2023年中考数学三角函数题目答案

同学们，我们来看这道初中数学题，题目说，若正切阿尔法减十五度等于根号三，那么锐角阿尔法的度数是多少？ 这道题主要考察特殊角的三角函数值，这个支点解题的关键步骤是先利用已知条件建立方程，然后解这个方程求出角度。 解已知正切阿尔法减十五度等于根号三，因为正切六十度等于根号三，所以阿尔法减十五度等于六十度，解得阿尔法等于六十度加十五度，也就是七十五度。 我们验证一下，七十五度确实在锐角范围内，符合题目要求，所以最终答案是七十五度。 这道题通过已知正切值建立方程，利用特殊角的三角函数值求解角度，最终验证结果符合锐角条件。大家都理解了吗？让我们一起回顾一下吧！ 同学们，我们下节课见，记得去百度搜我，更多干货知识等着你！

hello， 各位同学好，我是教数学的宋老师，那我今天给大家去分享的是初三每日一练。来，咱们看这道题，说折叠一个矩形， a， b， c， d 折叠了啊，将这个东西折下来了， 你看啊，折下来之后的话，一眼就能看到这里有一个一线三这只模型啊，啊，因为你是折下来，这个是九十度呀， 所以一线他这只模型，我们知道这个三角形和这个三角形是相似的啊，并且这个比这个是不等于这个比这个，这个你一定要清楚啊，一定要清楚感觉， 然后他就告诉我们， a e 是 一个二倍的根号五， a e 是 一个二倍的根号五，好， tangent e f c 是 一个四分之三， tangent e， f c 是 一个四分之三，也就这个叫贪婪， 这个角的摊的值是一个四分之三。好，那你首先你要心里清楚啊，这个角的摊的值，那就摊的角 e f c 啊，那你要清楚，摊的是正对边比邻边，那就是 e c 比 f c， 首先有一个四分之三的比例关系 啊，我们刚才说了啊，因为这两个向量是相似的，那这个叉叉啊，肯定还等于一个叉叉，你看啊， 这个叉加和这个弧是不是九十度啊，而这个叉加那个绿弧蓝弧啊，也是一个九十度，所以这个也是叉叉，所以说我们心里要清楚啊，这个贪婪的角 b a f， 它等于叉，它等于 b f 比 ab， 它也是一个四四分之三，所以你心里一定要有这种感觉啊，因为这两个角相等呀，所以它们的贪婪值 b 相等呀， 啊，所以还能二次利用，知道吧，二次回收利用，是不是这个道理啊？来，咱们再看啊，求 b f 的 长，求 b f 的 长，哎，求这一截长，好，怎么去做？ 目前我们可以看到啊，这个面上好像就只有一个线段长度， a 是 一个二倍的杠五， a 也是一个二倍的杠五。 好，然后 a、 d 落到这里了。好，我们怎么去做？怎么去建立这个方程？ 好，你看啊，我们这样吧。啊，我们设未知数，你看啊，它不是说 ec 比 fc 是 一个三比四吗？那我就设呗，见比我就设分。我设 ec 是 一个三 x， 那 fc 是 不是就是四 x 啊？那我们勾股定律是不是可以求出来，这个变 e f 是 不是就是五 x？ 哎，是不是这个道理？它就是五 x 啊，那它既然是五 x， 你 看啊，继续推，它是谁？折上折下来的是不是它？所以这个 d e 是 不是也是五 x 啊？所以这个 b d c 是 不就是一个八 x 了，看见吗？这就是个八 x 了，那它要是八 x， 那 这里是不是也是八 x？ 好， 立即推，这个就是八 x， 看见吗？这个如果是八 x 的 话，刚才我还知道这个比，这个是不是一个，哎，三比四 啊，也就这个比，这个是一个三比四呀，你是一个八 x， 那 我就是六 x 呀，好，立即就可以推出来，这里是一个六 x， 看见了吗？啊？六 x， 那 这个是六 x 的 话，那这个就是个十 x， 十 x 跑上去，你看啊，所以这里就是个十 x。 所以 我们现在有没有找见方程？找见了我们可以发现啊，我们就可以在这个直角三角形当中 看见吗？我们可以在这个直角三当中利用勾股定律建立方程呀，好，不就把 x 解出来了吗？那所有的线段都含 x， 那 不就做完了吗？ 对不对？小小 b f 怕什么啊？所以勾股定的减法乘，也就是十 x 括号平方 加上五 x 括号平方等于一个二倍的根号五括号的平方。解一下，一百 x 方加上一个二十五 x 方等于一个二十 x 方，等于一个二十。除以一百二十五来约一下， 约一下，约个五上头这个四，底下这个二十五，是吧？啊？ 二十五分之四，所以 x 等于个五分之二， x 是 五分之二，而这个 b f 正好是六个 x 呀，所以就是六乘五分之二，所以就是一个五分之二十二。打完收工，你学会了吗？

大家好，我是陆老师，今天我们来看一道初中三角函数的题目。首先我们来读一下题目，如图，四边形 e、 f、 g、 h 是 矩形 a、 b、 c、 d 的 内接矩形，所以这两个都是矩形八， 且 e、 f 比上 f、 g 是 三比一， ab 比上 bc 是 二比一。问我们角 a、 h、 e 的 正切值，我们把这个角来标一下， 那我们首先举有两个矩形就有很多直角，对不对？我们可以标一下， 是不是我们所谓的一线三等角啊，也就是 k 字形吧，所以这两个三角形是相似的吧，三角形 a、 d、 h 就 相似于三角形 b、 f、 e。 好， 我们首先把这个结论写一下，然后我们再看， 因为这个内接矩形，所以 h e 等于 f、 g， 所以 这两个三角形还是全等的吧， 所以三角形 a、 e、 h 又是全等于三角形 c、 g、 f。 好，我们现在暂时就能得出这两个结论。我们再来看条件， ef 比上 f g 是 三比一， ef 比上 f g 是 三比一， 那我们应该把这个 f g 转化为 h e 吧，尽量让它靠近我们要求的这个角，所以这个比这个是三一比三吧。然后又知道 ab 比上 bc 是 二比一，它比它是二比一，那我们怎么去表示这个角呢？ 这个角的正切值是不是都用到直角边啊？所以我是不是想把这个一比三转化为直角边的比啊？因为他是相似的，我们很好转化对不对？他比他是一比三，那么这条小的直角边比这条小的直角边是不是也是一比三啊？ 那我们这边可以设，我们就设这个为 a， 那 这个就是三 a， 我 们设 ab 的 长，就是另外一个设为二 x， 那 么 bc 就是 x， 那 么又因为它相似，所以这两个角是相等的，对不对？所以这两个角的正切值相等，我们就可以用 x 和 a 去列个等式。那我们看一下啊， 也就是 tanning 的， 我们要求的 tanning 的 角 a、 h、 e 就 等于 tanning 的 角 d、 e、 f 吧。那我们看一下 a、 h、 e 怎么去表示 这条边，知道了这条边等于什么？ a、 h 是 不是跟这个 c、 f 相等啊？那 c、 f 又等于什么？是不是等于这个 x 减去三 a 啊？所以它也是 x 减去三 a， 所以 弹性的角 a、 h、 e 就是 a 比上 x 减去三 a。 那我们再看一下天天的角 b、 f 呢？ b f 是 三 a， b e 是 多少？是不是二 x 减去 a 啊？ 那么它的正确式就是三 a 比上二 x 减 a， 那 么我们解这个方程，我们可以把 x 和 a 的 关系解出来，是不是 x 就 等于一个八 a？ 那我们随便带到哪一个式子里边，是不是就能把 canning 的 角 a、 h、 e 求出来？我们就带到第一个，是不是它就 canning 的 角 a h、 e， 它就等于 a 比上八 a 减去三 a， 那也就是等于五分之一吧。所以这道题的答案是五分之一，你学会了吗？

今天我们用这个视频来学习一下锐角三角函数这个知识点。先看一下定义，在一个直角三角形中，角 a 是 等于 bc 比上 ab， 也就是说角 a 的 对边比上斜边，这个叫做正弦 cosine， 角 a 等于 ac， 比上 ab 是 邻边比上斜边称之为余弦。单阵的角 a 等于对边比上邻边， ac 比上 bc， 对 于角 a 来说， bc 是 对边， ac 是 邻边， ab 是 斜边。 这个等大家熟悉了之后，是非常简单的，也就是我们课本上的定义。再次给大家罗列一下，单阵的角 a 是 对边比上 零变，这个我们称之为正切函数，这是我们要明确三角函数的定义。还有一个需要掌握点，就是特殊的三角函数的值要把它给背下来，比如说这是三十度，这个是六十度。 我们再画一个，比如说这是 abc， 这两个角都是四十五度，角 c 是 九十度，那我们来列一个简单的表格，大家来记忆一下。 三 cosine 分 别三十度、四十五度、六十度，这也是我们初中数学最后一章的内容了，大家学完这一章之后，我们整个初中数学部分就学习结束了，就可以转入到正式的复习中。根据图形来记忆， bc 设为一分， ac 是 根号三分， ab 是 两分， bc 是 一分， ab 是 根号二分，所以说三十度，大家记一下，这是二分之一。 当然同样的考三英六十度是零边，比上斜边也是二分之一，三英六十度是二分之根号三，考三英三十度也是二分之根号三。在这里三英四十五度和考三英四十五度都是二分之根号二。 最后一个 tangent 分 别是三分之根三一和根号三，大家掌握好，我们来学习一下这一道第十六题的填空题，这是大概是一九年的题目， 而且呃，我们可以确认一下，这个题是非常具有地区特征的，具有我们这个徐州市特征的，当时这个无人机恰好就是落在了市中心的锦绣名都商业楼附近， 然后测出来的这个 bc 的 高度就是刚刚建成的苏宁广场的高度，大致是这样子的，当然并不是准确高度。好，来看一下题目吧， a d 的 长度是六十二，这个信息也是老师开会的时候给我们提到的一个信息，十七度，那下面这个角也是十七度， a d 的 高度是六十二， b 处的阳角是四十五度，阳角我们确定一下，就是 ab 与水平面的夹角是四十五度。知道这些信息之后，求建筑 bc 的 高度， 我们就掌握三角函数的一个做题方法就可以了，就是一句话，构造直角三角形，不管题目类型是什么样子的，但是我们做题的原则就是这样子，所以说我们从 a 点直接向右做一条垂线，比如说这个点是 e 点好，那么 tangent， 十七度 就等于 c， e 的 长度比上 a e 的 长度， a d 是 六十二，比上 a e 的 长度等于题目中给到我们这个零点。三一，我们可以很轻松的算出 a e 就是 两百，然后因为这里这个角 b a e 是 四十五度，这个角也是四十五度，所以说 a e 和 b e 是 相等的， 那么 a e 等于 b， e 是 两百，所以说 bc 的 长度就是二百六十二。 这一年三角函数并没有考到大题，而是很简单放在一个十六题的这个位置。好，这个咱看一下它是不是属于我们一个现实的情况，我去搜了一下啊。大家可以看到这个徐州市苏宁广场 a 塔楼的高度是二百六十六米，是大致相同的， 这也是具有一个地区特征的题目，这个题目当然了也是非常简单，我们来看看下一题啊，这是一道期末考试的题， 我在此写一下。这一年的期末考试特别特殊，他把三角函数放到了最后一题，而且与学生的这个实际的学习生活非常贴切。是这样的，一个四十五度的直角三角板，和这样子一个三十度、六十度、九十度的直角三角板放到了一起的一个 问题，我们来读一下啊，把一个三角板拼在一起，则 a、 b、 d 等于七十五度，这个没有问题，四十五加上三十是七十五度。好，我们标出它这个角是七十五度， a、 c 是 六，那当然了 a、 b 也是六，直接去求三七十五度的值。 这个题目出的也是特别的好，得分率当时是并不高的，看着简单，而且我们待会讲解完之后，大家也会发现这个计算非常简单，但是在当时这个上学期九年级期末考试的时候，这个计算很多同学是没有拿到全分的，我们来一起分析一下题目 既然求的是三一七十五度，我在此讲一个错误的做法，因为当时有很多这个想去考创培，就是一中创培班的同学， 他是提前学了一个高一的内容，有这样一个公式，三英阿尔法加 betta 等于三英阿尔法 cosine betta 加上 cosine 阿尔法 cosine betta。 也就是说 cosine 阿尔法加 betta 等于三， cosine 加上 cosine。 这个方法直接三英三十度加上四十五度， 直接代数就可以得到最终结果了，我们来看一下啊，先看一下最终结果是多少吧，但是我给大家要说明的是，这样做是只给答案分，因为你没有用到我们初中的这个几何知识点。三 a 三十度加上四十五度二分之一， cos 四十五度二分之根号 加上 cos 三十度是二分之根三三 a 四十五度是二分之根二，化简得到结果是四分之根二加上根六。 如果说这个题这样做的话，都没有去学这些三角函数的必要了，我们本意还是通过这个几何来证明。我们再次说明这个方法是不能用的啊，你上高中之后可以用。好，先来分析一下角度， 四十五度标出来，四十五度标出来。既然要求三一七十五度，我们要找的是对边比上斜边，观察一下这个七十五度，对边是没有的， 根本就没有对边，但是斜边有，斜边是 b、 d。 好， 我们来看一下斜边 b、 d 的 长度，咱先给它求一下，因为 ab 等于 ac 等于六，所以 bc， 这里我简单写下，是六倍根号二。 好，这个是六倍根号二。题目中我们看到在三角形 d、 c、 b 中，角 d、 b、 c 等于三十度角 d、 c、 b 是 等于九十度的， 所以说我们用 tangent 角 d、 b、 c 等于对边 d、 c 比上邻边 c、 b， 也就是六倍根号二，我们简单的直接写 数字吧， dc 比上六倍根号二，这个结果是等于三分之根三，所以说 dc 的 结果就等于六倍根号六除以三，结果就是二倍的根号六， dc 就 说是二倍根号六，所以 b、 d 是 等于两倍的 cd 是 四倍的根号六。这里我们也标一下这个是四倍的根号六。 现在斜边已经搞定了，我们需要去找这个七十五度对边，所以说很明显我们要去做这样一条垂线。第一，这也验证了我刚刚写过的这个问题，是构造直角三角形，我们继续讲构造直角三角形，接下来我要去求第一的长度， 第一的长度怎么求？刚刚我表示出来了，这个角是四十五度，这个角是四十五度，所以说在此我们只需要这样做一条垂线，就可以确定这个角也是四十五度啊。我来标一下做 c、 f 垂直于第一得角 d， c、 f 等于四十五度， 因为 c、 d 等于二倍的根号六，所以说 cf 等于二倍的根号六，除以根号二。在这里我的用，我用的是比例关系来做的，他们的比例关系是一比一比根号二。所以当 cf 和 df 求出来了之后，我们就可以写出 d、 e 的 长度了， d 的 长度就是二倍的根号三，再加上 e、 f， 当然了在这里 e、 f 是 等于 a、 c 的，是二倍的根号三，加上六。好的，所以说三七十五度就是等于二倍的根号三，加上六，再除以四倍的根号六。 最后一步计算就是分子分母同乘根号六，我们化简一下，分母位置是二十四，分子位置就是六倍的根号二，加上六倍的根号六。我们化简出来得到的结果就是四分之根二加上根六。 好，这样的话我们这个题目就讲解完毕了，再来对照一下这个答案，跟这个答案是一模一样的啊， 还是那句话，当时是有不少学生是为了去考这个一中的创培班，所以说提前学了这个高一的三角函数的内容，但是如果说你直接用到这个期末考场上来的话，这个是不给分的，所以说我们还是要建立这个一个几何的方法， 在此可以多啰嗦两句。有些同学或者家长可能问，为什么这个方法不给分，这很简单，一个教育公平的问题。如果说高中的方法你都能用到初三的这个知识点上来的话，那可以说又加具了这种学习的内卷。同学们学习初三内容已经很辛苦了，你再让他去提前学这个高一的内容， 当然力所能及的同学你可以去学啊，但是我们考试包括中考，你还是要在这个考纲允许的范围内啊。今天我们就把这个三角函数知识点用两道题目给大家呃，串一下大家，欢迎关注我一下，我还会继续更新。

来，今天看一道三角函数的新定义，也就是九下锐角三角形里边的锐角三角函数里边的相关的一些新定义。再来看一下这个题目啊， 已知构造已知啊，这个题是一个什么阅读理解题啊，要根据材料来扩展，那么构建一个集合图形来解决代数问题，是数形结合的思想的重要应用。例如在计算它的十五度的时候，可以如图构造这个图形， 在 r t 三角形啊，角 c 等于九十，角 b 等于这个角 b， 角 a， b， a， b、 c 等于三十，他是怎么做的呢？他舍了 a、 c 等于 x 啊，在这里面我标一个， 一定要注意这个 a、 c 是 x 啊，它这里是 a， c 是 x 啊，延长它怎么做的呢？延长 cb， 延长 cb 等于 bd， 使得 bd 等于，使得延长 cb 至点 d 使得 bd 等于谁呢？等于 ab， b、 d 等于 ab 啊，那么也就是说呢，要注意，这里边是 b、 d 等于的是 ab， 不是 b、 d 等于 c， b 啊，这里一定要看清楚这有个条件，那么也就说 b、 d 等于 ab， 这是一个条件，这是一个条件啊，把这个条件标一下， ac 等于 x， 那 么它也就是说呢， 做的是 ab 等于 b、 d， 他 其实他的构造思想呢？其实很简单，构造的思想就是说呢，当你看到了角 abc 是 三十度， 那么以这个角为三角形的一个什么外角，构造一个什么等腰三角形，其实这个思想挺好的，他在这个题里，他直接给你了一个做法，构造一个等腰三角形作为他的一个外角，然后呢，得到了这个角 a、 b， a、 d 等于角 b、 d， a， 他 们都等于他的一半，也就是这两个角是相同的啊，是这两个角相同，都等于这个角的一半三十度，一半十五度啊，这个是三十啊，这个是十五十五， 那么也就说呢，他看看这他怎么来证的啊？那么 c、 d 呢？本来 c、 d 是 等于谁呢？ b d b d 加上 bc 的， 也就是本来是他 b d 加 bc， 那么 b、 d 又等于 ab 转化成在在直角三角形。在 r t 三角形 a、 c、 b 中，他舍的是 ac 是 x 啊， ac 是 x， 那 么也就说三十度所对的直角边这个边 ac 是 x， 那 么推出谁啊？ ab 应该是一个斜边，它应该这个 x 等于斜边的一半二 x， 那 么 ab 等于二 x， 那 么 b、 d 就 等于多少？ 那么我们还知道了由勾股定律，由勾股定律知道 bc 应该是根三 x， 对 不对？所以此时的 cd 应该等于谁了？ 应该等于 bc 加上 bd， 也就是这里边的二 x 加上根三 x 啊， 他就是这样推倒的啊，你一定要看明白他的推倒过程，然后呢，他会发现这个角哪个角啊？摊他这个角，摊他 角 a 角 a、 d、 c 是 十五度，那么也就说摊他十五度应该等于在哪个三角形里啊？在 r t 三角形，一定要看清楚，在 r t 三角形 a、 c、 d 中，还是放到这一个大三角形里， 它的十五度应该等于 a、 c 比上 c d， a c 是 谁啊？是你舍的那个 x 吧？这个 x 啊， c d 是 谁啊？ c、 d 就是 刚才这里求的啊，是二 x 加根三 x， 最后把这个 x 约掉，是一比上二加根三， 进行分母有理化，那就是二加根三乘以二减根三，二减根三，所以最后得到了它的正弦值 是二减根三，那么整个的步骤呢，你要理解清楚它的概念。第一步，这里边要构造以三十度 为边，那为角作为一个外角构造，这里构造的等腰三角形， a、 b、 d 是 一个等腰三角形，并且呢这个外角是三十度，那么里边每一个小内角，两个底角都是十五度， 那么就构造出了所要求的那个忐忑十五度，这不就是构造了这个角 a、 d、 c 等于十五度，这里一定要清楚这个思路啊，这个思路挺好，那么同理，他让你看一下，这是第一位啊， 咱们看一下第二问，第二问，请你对比以上的方法。那么这种材料题呢，一定要做到承上启下，承上，所谓的承上启下呢，就是你看看第一步他是怎么做的，那么这个呢，你比如说如图二， 这个四十五度，那你很明显要想到啥呢？很明显要想到这个是四十五度，那你仍然是第二个，你怎么做？ 仍然是做 b、 d， 延长 b d， 延长 c b， 就是 延长 c b， 延长 c b 至点 d， 使得 a、 b 等于 b、 d， 那 也就说呢，以这个四十五度，同样的是做一个等腰三角形，那么这个就是二十二二点五度， 因为他让你求的是谁呢？求的就是它的二十二点五度，也就是求的是这个角，那么延长 a、 b 等于 b、 d， 延长 a、 b 等于 b、 d， 那 么此时所以角 a、 d、 b， 就是 啊，二分之一的外角四十五度等于二十二点五度，那么求的呢，就是它的二十二点五度， 也就是在这个三角形里边啊，看清楚是 a、 c 比上 bc， 那 么一定要注意这个 a、 c 是 x 的 话，你仍然按照上面提，一定要继承上面的思想，这是 x， 这是 x， 因为这是一个等腰直角三角形。 a、 b、 c 是 一个等腰直角三角形，那么 ab 此时的 ab 就是 根二 x， 那 么 ab 也就是根二 x， 那 么此时的 ac 仍然是 x 的 话， 那么此时的 bc 加上谁啊？ c d 这个啊，它的二十二点五应该等于 a c 比上 c d， 那 么此时的 bc 就是 x 加根二 x， 那 么最后一整理就是根二减一，是吧？所以这个题的构造呢，一定要注意这种思想，其实呢，他要继承他的思想，往外延展一下。 其实在这里呢，我想还想说一点呢，就是啥呢？它通过这一点呢，你可以记住一些常用的一些基本的结论，哪些结论呢？它是高一里面的三角函数里面啊，它等于三幺二分，等于 cosine 贝特加上了 cosine 二分 向量 bit。 那 么如果是 cosine alpha 呢？ cosine alpha 加 bit 呢？它应该等于 cosine alpha， cosine bit。 减去这里是加，这里是减啊，减去 sine alpha 乘以 sine bit。 还有一个 tanter alpha 加 bit 应该等于 tanter alpha， 加上 tanterbit， 应该除以一，减去 tanter alpha， 乘以 tanterbit。 那 么由这个公式，这是两角合差公式啊， 可以拓展出两个下边这个公式。如果把这里的 beta 换成 alpha， 也就是三 alpha 加 alpha， 等于其实就是三幺 alpha 乘以 cosine alpha 加上 cosine alpha， 也就是二倍的 cosine alpha 乘以 cosine alpha。 那 么同理， cosine 这里就是 cosine 二 alpha， 那 么 cosine 二二号呢？它应该等于 q 三幺二号，加上 q 三幺加二号，把这里的倍都换成，那其实也就是 q 三幺二的平方减去三幺二，其实这里边还可以导，因为 q 三幺二号等于一减去三幺二分平方，所以是一减二倍的三幺二分， 也可以其他的表示啊，也可以用三表示。 q， 三，那么还有一个贪二，仍然是这换这个和差公式啊， 那就是二倍的探探二号，比上一减去探探二号平方，这个呢，就变成了一个什么公式呢？对角公式，这是高一里边的三角函数里边拓展，你看一下这个题， 其实他用的是探探二十五度，我们知道探探三十度应该等于探探多少？十五度加十五度，那把它背出去， 那么正好利用两角和差公式，他应该等于贪婪十五度加贪婪十五度，也就是二倍的贪婪十五度等于一减去贪婪十五度的平方，其实贪婪三十度，我们知道应该等于三分之三。最后 建立一个关系式，其实也可以求出贪婪十五度，一定要注，这个贪婪十五度是个什么数？正数啊，因为他是一个锐角，所以也可以求， 那么同依次类推，那么它的四十五度，其实它就等于一，它就等于二倍的，它多少度？二十二点五度，比上一减它二十二点五度的平方，也可以求出它的二十二点五度， 一定要注意，此时的它的二十二点五度呢，都是一个大零的数，你要在求的时候，它求出一个关于它的二十二点五度的一样二次方，求正根啊，求正根， 这个一定要记住啊，所以他呢，这里边一些公式呢，他就是拓展了一些高中的三角函数里边的公式来套用，但是用集合的思想呢，一定要注意啊，把它利用作为一个三角形的外径。