北师大数学书81至80页怎么写

我们继续全章综合训练。先来看第一题，给了一个三角板，告诉我们角一等于六十五度，一点点往上捋了。啊，那你像这个角呢？它就是六十五度， 是吧？六十五，然后再根据三角板，这个是六十，你看结果，这个角是能求的，你可以用同旁内角互补，或者是用三角形的内角和。我们能算出这个小角呢，等于一百八十度，减 一百八十，减掉六十，再减一个六十五度。好，那五十五角二上去对顶角相等，也等于五十五度。 好。再来看第二题，第二题呢，它是一个命题问题啊，问你真命题的。所以第一个内同旁内角互补，两直线平行，真命题没问题。第二个，无理数都是无限不循环小数是不是也没问题啊？ 这是无理数的定义啊。第三个，经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行，它是错的。错在哪呢？没有强调同一平面内， 同一平面内啊，因为确实会有异面垂直的那种情况，如果是异面垂直的话，它是可以做无数条的，所以我们把它压到一个平面内就好了，所以三是错的。 第四个，如果一个数的立方根是本身，那么这个数是零或一，还有一个负一负一啊，所以第四个也是错的。那我们的真命题只有两个 c 选项， 第三题，第三题给的是平底锅烙饼啊，他说烙一张呢，需要两分钟，对吧？然后但人说了啊，每次最多放两张饼，所以你想我要是烙两张饼，是不是也是两分钟啊， 对吧？烙好一张饼需要两分钟，可以了，他说烙三张饼，那就几分钟，是不就是四分钟啊？看一下是四分钟还是三分钟？ 看一下，再再考虑一下，再考虑一下啊？四，反正四先可以烙哈。四可以烙，那看一下三分钟能不能烙呢？ 可以吧，他说先烙第一张饼和第二张饼的正面，是不需要一分钟，对吧？那你就假设假设呗，比如说第一张饼正面为正，反面为负啊，你先烙烙，然后烙完以后呢？ 两张烙过来啊，然后第三张我还没放进去呢，是吧？把他们翻过来，翻过来，然后这个两分钟是不是就应该走了呀？对吧？再烙反面，再烙反面，然后再烙反面的话 比较费劲哈。再烙反面 啊，我们可以搭配一下，你把第三张饼的正面给它烙了， 正面给他烙了，这个时候你的第一张饼就完成了，但是他只花费了几分钟，两分钟，对吧？这个只花费了两分钟，然后呢？然后你这不现在就反面都没烙吗？所以第二张饼的反面和第三张饼的反面是一起烙的，这个就是一分钟，这个也是一分钟，这个也是一分钟。 ok， ok， 所以 你看三分钟确实是可以的啊，所以答案是 b 选项，三分钟。好，再来看第四题，第四题的图我们在上边了啊，看，又是这一类题型，就给了圆圈的，那这种题型呢，就直接建议你引入未知数。那我们可以假设 f 为 x， 那这个时候的角 f g 对 f， g 对 这个角呢？就是八十度减 x， 除此之外呢，我们是能够推出这个角的， 因为在这呢是有一个猪蹄，是吧？那我们根据 x 等于八十减 x， 再加上角 b e f 推出角 b e f 等于二 x 减八十，所以在这啊，这个角二 x 减八十。 行，那除此之外，像他们的这个同旁这个邻补角都是能求的。看题干，第一个呢，告诉我们的是角 f e b， 所以 来看题啊， 这个图它俩不在一页上了哈。 f e b 是 f e b， 看好 f e b 是 二 x 减八十， 再加上角二倍的 f 找 f g。 对， 那就二倍的八十减 x， 我 们把它，把它的括号给它打开，二 x 减八十，加二八一百六，再减二 x， 确实等于八十，所以一是正确的。 再来看二角， f 是 x， 然后角 f g c 啊，它这个角，那这个角我就得用一百八十度减掉八十减 x 了。整理一下呢，等于 x 加一百， x 加一百，所以等于二 x 加一百。那只有在一定的条件下，我们二才是成立的，所以二是错的。 第三个角 f 啊， f 依旧是 x 哈，再加上谁呢？ f e a f e a 啊，那这个角，那我们也得用平角一百八十度减掉二 x， 再减八十啊。整理一下呢，就等于二百六十度减二 x， 所以加上二百六十度减二 x， 整理等于二百六十度减 x， 也是在限定的条件下，三才能成立，所以三是错的。下一个角 f g c， 刚才写了， x 加一百，再减掉 f x 等于，你看，确实得一百，所以四是没问题的， 所以我们正确的答案是 c 选项。那我在用这些啊，你看，我推了这么多角，其实我已经默认了它是相等的，所以我是拿角看角符不符合我们的要求的啊。好，第五题， 第五题看一下体干，它是一道统计题了是吧？体干给的？是啊，一共有十个球，颜色外呢？两个球均是多少？推来推去 记下，然后六个人摸题的结果更合理的是哪一个？那看一下 a 选项，他说奇奇奇思肯定是记错了，对吧？呃，摸出黄球的不可能比白球的少。这个是不应该是 他太绝对了啊？咱们说太绝对了，因为你这个摸球嘛，他其实就摸了十个，摸了十次，所以会具有偶然性，所以他这个肯定。嗯，就就太绝对了。错了啊，他说虽然有可能推预测错误，但应该预测黄球更多。哎，你看人这句话说的 全部都是可能应该啊，所以 b 是 没问题的，他更合理一些。下边的第六题，他说举一个反例，带根号的数是无理数，是一个假命题。那举的反例，比如说根号四是吧？根号九都可以啊。 第七个等边三角形的，每个内角都是六十度，他的逆命题。那逆命题他也是一个什么命题？ 匿命题。那你先把它的匿命题写出来呗，对吧？那就是角都是六十度的，一定是等边三角形，这个是一个真命题啊。没问题。下边的第八题， 第八题他做的是一个平行线，问你谁做的是正确的？甲跟乙，那你去一定要看痕迹了，这个里边的痕迹先看甲痕迹，甲这个痕迹就是做了一个角， 是吧？他他确实是做了一个角啊，所以角跟角是相等的，所以甲确实没问题，做了一个同位角，那就是两直线平行，没问题。我们再来看乙，他乙，他咋做的呢？他这个线呢？没有给你画好，他实际上是一条吧。应该 是吧，他这个应该是一起的啊，他这个应该是一起的，那这个是一起的，这那这这个他应该是个角平分线，他跟他是相等的，然后呢，他做的这个角平分线，除此之外， 看一下啊，角平分线了，他跟他等，然后因为他是画的一整条弧，所以他这个小痕迹呢，应该是以以谁为圆心。是不是又做了一个角相等啊？是不？这个角，这不跟这个角就是一样的吗？ 他俩是一样的啊，所以呢，就做也是做了一个同位角，或者说做了一个内错角，是吧？所以也是没问题的啊，这个正确的是甲和乙，但他这个痕迹确实不太好看啊。再来看第九题，第九题考察的是一个平行线，给了第一个垂直， 给了一个角的十一等于幺四二，这个就是经典的平行线拐点做平行模型， 那他也是一个九十，所以上边这个是五十二度，然后再根据两直线平行，同旁内角互补，所以我们的角一对 c 等于幺八零，再减掉一个五十二，等于一百二十八度 幺二八。再来看第十题，第十题啊，看这啊，你看又是这种题型，对吧？又是这一类题型，所以这一类题型最简单的做法就是能引未知数，你就引未知数看一下题干啊，题干给的就是翻折，再翻折。 翻了一下，是哪个呢？看清楚啊，是这个，他是这么翻下来的，然后翻下来以后呢，他又把底下的这一块给他翻上去了，所以先来看第一个 给度数没，是吧？一个度数都没有给。好，那来吧，引未知数吧，啊，可以引哈来，你像这个角跟这个角，它俩肯定是相等的，所以咱们就可以假设它是 x x， 然后根据内错角相等，这个角也是 x， 是 吧？那再看呢？再看还能求谁不？咱知道是这个角跟那，呃，先一会看啊， 那我能求这个角，是吧？这个角这不就是二 x， 所以 翻上去这个位置应该也是一个二 x 啊，那你像这个小的，这都能求？ 行，这是一个，然后再有呢？再有还能求，我看一下上面这个位置，我想把它求出来啊，就这个地方，那这个地方的话可以是 一百八十度减，是不是减 x， 他 俩的和是一百八十度减 x， 那 我们还有的结论是 这个角和哪个角呢？和标蓝啊，和这个角他俩是等的，这是根据第一次的反折，那这个角是一百八十度减 x， 那 这个角呢？他也等于一百八十度减 x， 所以 底下这一个小的就这个 他就等于一百八十度减 x， 还得再减一个 x， 也就是一百八十度减二 x。 好， 那这个他是一百八十度减二 x 的 话，其实你上边这个看啊，这会就有点乱了啊，其实这块是最难的，他是一百八十度减二 x， 这个角他和谁是等的呢？他其实和这个角是等的，所以他也等于一百八十度减二 x， 所以那你再扣掉一个 x， 所以 剩的这个小角人家就等于一百八十度减三 x， 是 吧？那我们再根据一个三角形的内角和，所以能得到这个角，它就应该等于一百八十度减 x， 然后再减一个一百八十度减三 x， 一百八十减 x， 减幺八零减三 x， 去括号等于减 x 呢？二 x 这块就等于二 x 了，就这个小的可以啊，我现在把每一个角的度数都算出来了。那我们再来看第一个问圆圈一， 先看圆圈一，它说的是角 e 找 e g， 对 二， ok， 这个小角，那这个小角咱们刚才没算，现在就能算了，你可以用那个平角一百八十度减四 x 等于角，它说的是 e f f g。 e f g g 在 哪？ g 在 这， e f g， 那 e f g 不是 x 吗？是吧？ e f g 它不就是 x 吗？哎，所以它俩想要相等的话，是不是也是需要特定的条件的， 对吧？它俩也是需要特定的啊，就是只有在 x 区某一个值的时候它俩才能等，所以这个一是错的。然后我们再来看二。 好， e f c e 找 e f c， 刚才这个就两个角加一起呗，就是一百八十度是不是减 x， 所以 二倍的幺八零减 x 等于 e e g c， ok， e g c 是 多少呢？ 一百八十度减二 x， 是 吧？也是一百八十度减二 x， 因为这个角跟这个角它俩算作是一个对顶角，它是二 x， 所以 e g c 呢？就等于一百八十度减二 x 减二 x， 然后再加上一个幺八零啊，那看一下这个等不等，把这个括号破开，三百六十度减二 x， 你 看三百六十度减二 x， 那 就说明无论我 x 取多少，这个都是成立的，所以二肯定是正确的啊。 那你像这道题作为填空题的最后一道题，你写一个二，我们先得两分，是两分呗，好过了啊，再看第三个， 哎，这会给度数了。看啊， e f g， 那 咱们就给它整上啊，找 e f g， ok， 就是 x， 它就告诉你 x 等于二十六了， 然后让你求的是 e f c 二，哎，刚才那个 e f c 二咱们也倒了，是一百八十度减三 x， 所以 我们把它带进去，幺八零减三乘二十六等于幺八零减， 整理一下，呃，三六一十八，一二三得六七啊，整理一下等一百零二度，哎，没问题，所以三也是正确的。然后再来看第四个 找角 f h 得二， ok， 这个位置，这个也能做，是吧？这个也能做，那可以用 内角和，行吧，用三角形的内角和啊，然后这个小角现在是一百八十度。不是减四 x 吗？然后我在这个三角形里边 啊，用一百八十度减 x， 再减一个一百八十度减四 x。 好， 我给他整理一下，幺八零减 x， 减一百八十度，然后加上四 x， 也就等于三 x。 好，这个是三 x 了啊，看后边的 e f b e f b， ok， 三乘 x， 三 x 等于三 x， 所以 圆圈四是正确的。那这里边就是二三四全都对了，只有一是错的。 这种题型呢，就是针对于这种谁加谁等于多少或者几倍的特别的好用啊。你像小题，你是这么做，如果是最后一道压轴题，其实你的做法跟它是相同的。

我们继续全章综合训练。先来看第一题，给了一个三角板，告诉我们角一等于六十五度，一点点往上捋了。啊，那你像这个角呢？它就是六十五度， 是吧？六十五，然后再根据三角板，这个是六十，你看结果，这个角是能求的，你可以用同旁内角互补，或者是用三角形的内角和。我们能算出这个小角呢，等于一百八十度，减 一百八十，减掉六十，再减一个六十五度。好，那五十五角二上去对顶角相等，也等于五十五度。 好。再来看第二题，第二题呢，他是一个命题问题啊，问你真命题的，所以第一个内同旁内角互补，两直线平行，真命题没问题。第二个，五里数都是无限不循环小数是不是也没问题啊？ 这是五里数的定义啊。第三个，经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行，他是错的。错在哪呢？没有强调同一平面内， 同一平面内啊，因为确实会有异面垂直的那种情况，如果是异面垂直的话，它是可以做无数条的，所以我们把它压到一个平面内就好了，所以三是错的。 第四个，如果一个数的立方根是本身，那么这个数是零或一，还有一个负一负一啊，所以第四个也是错的。那我们的真命题只有两个 c 选项， 第三题，第三题给的是平底锅烙饼啊，他说烙一张呢，需要两分钟，对吧？然后但人说了啊，每次最多放两张饼，所以你想我要是烙两张饼，是不是也是两分钟啊， 对吧？烙好一张饼需要两分钟，可以了，他说烙三张饼，那就几分钟，是不就是四分钟啊？看一下是四分钟还是三分钟？ 看一下，再再考虑一下，再考虑一下啊？四，反正四先可以烙哈。四可以烙，那看一下三分钟能不能烙呢？ 可以吧，他说先烙第一张饼和第二张饼的正面，是不需要一分钟，对吧？那你就假设假设呗，比如说第一张饼正面为正，反面为负啊，你先烙烙，然后烙完以后呢？ 两张烙过来啊，然后第三张我还没放进去呢，是吧？把他们翻过来，翻过来，然后这个两分钟是不是就应该走了呀？对吧？再烙反面，再烙反面，然后再烙反面的话 比较费劲哈。再烙反面 啊，我们可以搭配一下，你把第三张饼的正面给它烙了， 正面给他烙了，这个时候你的第一张饼就完成了，但是他只花费了几分钟，两分钟，对吧？这个只花费了两分钟，然后呢？然后你这不现在就反面都没烙吗？所以第二张饼的反面和第三张饼的反面是一起烙的，这个就是一分钟，这个也是一分钟，这个也是一分钟。 ok， ok， 所以 你看三分钟确实是可以的啊，所以答案是 b 选项，三分钟。好，再来看第四题，第四题的图我们在上边了啊，看，又是这一类题型，就给了圆圈的，那这种题型呢，就直接建议你引入未知数。那我们可以假设 f 为 x， 那这个时候的角 f g 对 f， g 对 这个角呢？就是八十度减 x， 除此之外呢，我们是能够推出这个角的， 因为在这呢是有一个猪蹄，是吧？那我们根据 x 等于八十减 x， 再加上角 b e f 推出角 b e f 等于二 x 减八十，所以在这啊，这个角二 x 减八十。 行，那除此之外，像他们的这个同旁这个邻补角都是能求的。看题干，第一个呢，告诉我们的是角 f e b， 所以 来看题啊， 这个图它俩不在一页上了哈。 f e b 是 f e b， 看好 f e b 是 二 x 减八十， 再加上角二倍的 f 找 f g。 对， 那就二倍的八十减 x， 我 们把它，把它的括号给它打开，二 x 减八十，加二八一百六，再减二 x， 确实等于八十，所以一是正确的。 再来看二角， f 是 x， 然后角 f g c 啊，它这个角，那这个角我就得用一百八十度减掉八十减 x 了。整理一下呢，等于 x 加一百， x 加一百，所以等于二 x 加一百。那只有在一定的条件下，我们二才是成立的，所以二是错的。 第三个角 f 啊， f 依旧是 x 哈，再加上谁呢？ f e a f e a 啊，那这个角，那我们也得用平角一百八十度减掉二 x， 再减八十啊。整理一下呢，就等于二百六十度减二 x， 所以加上二百六十度减二 x， 整理等于二百六十度减 x， 也是在限定的条件下，三才能成立，所以三是错的。下一个角 f g c， 刚才写了， x 加一百，再减掉 f x 等于，你看，确实得一百，所以四是没问题的， 所以我们正确的答案是 c 选项。那我在用这些啊，你看，我推了这么多角，其实我已经默认了它是相等的，所以我是拿角看角符不符合我们的要求的啊。好，第五题， 第五题看一下体干，它是一道统计题了是吧？体干给的？是啊，一共有十个球，颜色外呢？两个球均是多少？推来推去 记下，然后六个人摸题的结果更合理的是哪一个？那看一下 a 选项，他说奇奇奇思肯定是记错了，对吧？呃，摸出黄球的不可能比白球的少。这个是不应该是 他太绝对了啊？咱们说太绝对了，因为你这个摸球嘛，他其实就摸了十个，摸了十次，所以会具有偶然性，所以他这个肯定。嗯，就就太绝对了。错了啊，他说虽然有可能推预测错误，但应该预测黄球更多。哎，你看人这句话说的 全部都是可能应该啊，所以 b 是 没问题的，他更合理一些。下边的第六题，他说举一个反例，带根号的数是无理数，是一个假命题。那举的反例，比如说根号四是吧？根号九都可以啊。 第七个等边三角形的，每个内角都是六十度，他的逆命题。那逆命题他也是一个什么命题？ 匿命题。那你先把它的匿命题写出来呗，对吧？那就是角都是六十度的，一定是等边三角形，这个是一个真命题啊。没问题。下边的第八题， 第八题他做的是一个平行线，问你谁做的是正确的？甲跟乙，那你去一定要看痕迹了，这个里边的痕迹先看甲痕迹，甲这个痕迹就是做了一个角， 是吧？他他确实是做了一个角啊，所以角跟角是相等的，所以甲确实没问题，做了一个同位角，那就是两直线平行，没问题。我们再来看乙，他乙，他咋做的呢？他这个线呢？没有给你画好，他实际上是一条吧。应该 是吧，他这个应该是一起的啊，他这个应该是一起的，那这个是一起的，这那这这个他应该是个角平分线，他跟他是相等的，然后呢，他做的这个角平分线，除此之外， 看一下啊，角平分线了，他跟他等，然后因为他是画的一整条弧，所以他这个小痕迹呢，应该是以以谁为圆心。是不是又做了一个角相等啊？是不？这个角，这不跟这个角就是一样的吗？ 他俩是一样的啊，所以呢，就做也是做了一个同位角，或者说做了一个内错角，是吧？所以也是没问题的啊，这个正确的是甲和乙，但他这个痕迹确实不太好看啊。再来看第九题，第九题考察的是一个平行线，给了第一个垂直， 给了一个角的十一等于幺四二，这个就是经典的平行线拐点做平行模型， 那他也是一个九十，所以上边这个是五十二度，然后再根据两直线平行，同旁内角互补，所以我们的角一对 c 等于幺八零，再减掉一个五十二，等于一百二十八度 幺二八。再来看第十题，第十题啊，看这啊，你看又是这种题型，对吧？又是这一类题型，所以这一类题型最简单的做法就是能引未知数，你就引未知数看一下题干啊，题干给的就是翻折，再翻折。 翻了一下，是哪个呢？看清楚啊，是这个，他是这么翻下来的，然后翻下来以后呢，他又把底下的这一块给他翻上去了，所以先来看第一个 给度数没，是吧？一个度数都没有给。好，那来吧，引未知数吧，啊，可以引哈来，你像这个角跟这个角，它俩肯定是相等的，所以咱们就可以假设它是 x x， 然后根据内错角相等，这个角也是 x， 是 吧？那再看呢？再看还能求谁不？咱知道是这个角跟那，呃，先一会看啊， 那我能求这个角，是吧？这个角这不就是二 x， 所以 翻上去这个位置应该也是一个二 x 啊，那你像这个小的，这都能求？ 行，这是一个，然后再有呢？再有还能求，我看一下上面这个位置，我想把它求出来啊，就这个地方，那这个地方的话可以是 一百八十度减，是不是减 x， 他 俩的和是一百八十度减 x， 那 我们还有的结论是 这个角和哪个角呢？和标蓝啊，和这个角他俩是等的，这是根据第一次的反折，那这个角是一百八十度减 x， 那 这个角呢？他也等于一百八十度减 x， 所以 底下这一个小的就这个 他就等于一百八十度减 x， 还得再减一个 x， 也就是一百八十度减二 x。 好， 那这个他是一百八十度减二 x 的 话，其实你上边这个看啊，这会就有点乱了啊，其实这块是最难的，他是一百八十度减二 x， 这个角他和谁是等的呢？他其实和这个角是等的，所以他也等于一百八十度减二 x， 所以那你再扣掉一个 x， 所以 剩的这个小角人家就等于一百八十度减三 x， 是 吧？那我们再根据一个三角形的内角和，所以能得到这个角，它就应该等于一百八十度减 x， 然后再减一个一百八十度减三 x， 一百八十减 x， 减幺八零减三 x， 去括号等于减 x 呢？二 x 这块就等于二 x 了，就这个小的可以啊，我现在把每一个角的度数都算出来了。那我们再来看第一个问圆圈一， 先看圆圈一，它说的是角 e 找 e g， 对 二， ok， 这个小角，那这个小角咱们刚才没算，现在就能算了，你可以用那个平角一百八十度减四 x 等于角，它说的是 e f f g。 e f g g 在 哪？ g 在 这， e f g， 那 e f g 不是 x 吗？是吧？ e f g 它不就是 x 吗？哎，所以它俩想要相等的话，是不是也是需要特定的条件的， 对吧？它俩也是需要特定的啊，就是只有在 x 区某一个值的时候它俩才能等，所以这个一是错的。然后我们再来看二。 好， e f c e 找 e f c， 刚才这个就两个角加一起呗，就是一百八十度是不是减 x， 所以 二倍的幺八零减 x 等于 e e g c， ok， e g c 是 多少呢？ 一百八十度减二 x， 是 吧？也是一百八十度减二 x， 因为这个角跟这个角它俩算作是一个对顶角，它是二 x， 所以 e g c 呢？就等于一百八十度减二 x 减二 x， 然后再加上一个幺八零啊，那看一下这个等不等，把这个括号破开，三百六十度减二 x， 你 看三百六十度减二 x， 那 就说明无论我 x 取多少，这个都是成立的，所以二肯定是正确的啊。 那你像这道题作为填空题的最后一道题，你写一个二，我们先得两分，是两分呗，好过了啊，再看第三个， 哎，这会给度数了。看啊， e f g， 那 咱们就给它整上啊，找 e f g， ok， 就是 x， 它就告诉你 x 等于二十六了， 然后让你求的是 e f c 二，哎，刚才那个 e f c 二咱们也倒了，是一百八十度减三 x， 所以 我们把它带进去，幺八零减三乘二十六等于幺八零减， 整理一下，呃，三六一十八，一二三得六七啊，整理一下等一百零二度，哎，没问题，所以三也是正确的。然后再来看第四个 找角 f h 得二， ok， 这个位置，这个也能做，是吧？这个也能做，那可以用 内角和，行吧，用三角形的内角和啊，然后这个小角现在是一百八十度。不是减四 x 吗？然后我在这个三角形里边 啊，用一百八十度减 x， 再减一个一百八十度减四 x。 好， 我给他整理一下，幺八零减 x， 减一百八十度，然后加上四 x， 也就等于三 x。 好，这个是三 x 了啊，看后边的 e f b e f b， ok， 三乘 x， 三 x 等于三 x， 所以 圆圈四是正确的。那这里边就是二三四全都对了，只有一是错的。 这种题型呢，就是针对于这种谁加谁等于多少或者几倍的特别的好用啊。你像小题，你是这么做，如果是最后一道压轴题，其实你的做法跟它是相同的。

今天呢，我们要讲解的是平行平行线。先来看第一题，他问你不能判断的是啊， ab 平行于他啊。那像这种题你就一个个看，像 a 选项的话，角 a 等于角三，把角 a 秒上，把角三秒上，可以，所以第一个是错的啊，能判断啊，所以 a 不 能选， 然后铅笔对吧？你拿橡皮擦掉来继续。第二个角 a 描上，角二描上来，哎，相加一百八，同旁内角互补，两直线平行，所以 b 也可以啊， 下一个角一等于角四，角一瞄上，角四瞄上内错角相等，没问题啊，所以这个也不能选。然后最后一个角一等于角 a 瞄角一， a 来看，所以它能推的是对 e 平行于 af， 所以 我们的对选项是错误的。 再来看第二题，第二题当中如图放置有的结论是哪一个？先看第一个角一等于角三正确。为什么？因为他们都是直角，你用直角九十度减角二和这个角三也是九十度减角二，所以一是正确的， c 是 错了。 然后呢？第二个你看到没？都有二，所以二不用判断了，看三就行了。第一个，呃，第三个给的是角二等于多少度呢？四十五度。 好，那我能判断这个也是四十五度。四十五度， ok， 再怎么样呢，他给的是 bc 平行于 a， 对， 那 bc 想平行他，我最简单的方法就是内错角相等看，确实是 因为这个角四啊，他也等于四十五度，这不就他跟他等吗？内错角相等，两直线平行，所以三是正确的，那我们的 b 就 pass 掉了。然后，那还得看啊，还得看四来，继续，擦掉铅笔的痕迹，擦掉，继续。他说如果角四等于角，角四等于 角 c， ok， 这个角 c 呢，是四十五度，如果这个角也等于四十五度的话，好，那这个地方就是九十， 是吧？他就一定是个九十啊，那他是九十，反过来这边就是九十，然后这个角是三十，所以角三呢，就得是六十，角二呢就得是三十，所以角二等于三十。正确，第四个也是正确的，所以答案是对选项第三题。 第三题给的是一个较难的题型哈，其实这种题我们就可以动手动手去操作一下哈，他给的是第一个采用不同的方法， 明小明明呢，把纸带一 ab 折叠，角一等于角二呢等于六十，然后小丽是这么折叠的。那好，那看第一个，他说上下边平行 啊，二是不平行的。为啥呀？那看一下正确的是哪一个。先判断这个 二吧，先判断这个第二个图，因为第二图好看哈，你这么折的话，就说平分嘛，这都是九十 是吧？这都是九十，所以满足同旁内角互补，两直线平行平行，所以这个第二个肯定是没问题的啊。然后我们再看那个图一，第一个 他是六十的话，这个角身上也是六十，然后因为翻折嘛，所以这个角也是一个六十， 然后，所以他的这个小角呢，根据平角一百八减六十也是六十，然后角一呢，也是一个六十，这就符合了内平啊。同位角相等，两直线平行，所以上下边都是平行的。答案是 c 选项第四题， 第四题呢，它是我们平行线当中的标准模型。第一个一百四，你像这个我能推的，我就推出来了。然后角二呢，等于四零，对吧？然后角三呢，是一百零八，怎么办呢？直接做平行线吧， 你看，就这个，这个时候，当它平行的时候，我们三条线必须全部都平行，三条线平行以后来看，角三等于一百零八， 所以我们的角四，那就同旁那角互补呗，他也是一个一百零八啊，这个直接就写了哈，还行，没有那么难哈。然后再来看第六题，第五题 答题哈，看一下点，对呢，是一个点，满足 c 对 a， 这个角等于角， c a、 b 这个角，他说第一个，若 m、 n 垂直于 a c， 嗯，那目前为止看的话，它这条线是不垂直的哈， m n 垂直于 a， c， m 是 经过的一条直线，所以第一个图我就自己画一下，就这意思，这个是 m n 是吧？然后他说垂足为 e， ok， 这个地方是 e， 好， 咱们给他补全了，补全以后来看题干，第一个 c， a、 b 等于七十啊，那这个地方也得七十啊，然后嘚嘚， a、 b 等于二十，所以这个是五十， 然后问你 c， a、 d 等于多少是吧？ c a d a d， a b 啊，看错了，这个是二十，那这个就是五十呗。啊，所以第一个空就是五十结束。第二空让你求的是 c、 d， e 啊，那这个是五十，他就得四零，哪个地方呢？就是这个地方啊，他得四零，因为是都等于七十嘛，所以这块就应该是三十，所以 c、 d、 e 第二个空，答案是三十度 好看到括号二了，也是给了一条这么个线啊，它是这时候它就没有垂直了，因为括号一是垂直的，括号二就换了啊，那它的题干条件是不变的。 c 对 a， 那 就是这个角等于 c a b， 那标错了，这个角等于这个角。好，那看题干第一个，且 c 对 f。 好， 那咱们给它画上啊，是这个小角等于谁呢？等于 c， a。 对， ok， 等于它， 对吧？等于他，那你想我都用这个红色的减掉这个绿色的，所以谁是等的？是不是这个角跟这个角就等了？你看出来了啊？内错角相等，两直线平行结束。好，再来看第六题。第六题什么题型呢？看一下啊，几何直观题哈，来吧，第一个，第一个 他给的是两个三角板，把直角叠在一起了，然后告诉你，角 bc 个呢？等于一百一十度， ok， 一 百一，那这个是九十，所以这块只能是二十，然后求的是角 a， c， e， 那 就是九十，再减二十等于七十度。第一个比较简单，下一个 让你去猜想。那猜想题你就记住，就大胆的往里引未知数，那你可以假设 b， c。 对， 其实你可以假设 a， c， e， 其实我建议的是假设 a， c， e 啊，因为这个小嘛， 对吧？当它是 x 的 时候，来这个角它就变成了九十减 x， 所以 整个的角 b c， 对 呢，就是用一个九十度，再加上九十减 x， 它呢就是 x， 所以 你看 一百八十度减 x， 然后它是 x， 所以 这两个角之间的关系是互互补的，加上角 a， c， e 呢，就等于幺八零。 好，那无论你这个 e 运动到什么位置上，它实际上都是这么个结论啊，然后再看三，它说有一个不动，然后说绕着点 c 那 儿转一周，那一周就是三百六，然后问你等于多少度的时候，其中 c e 平行于 ab。 好，就这个平行于他。哎呦，那他的第一个图一个也没给你画呀，对吧？一个也没给你画啊，那就需要我们自己来了。第一个吧，他给了两个辅助图，所以我觉得这题应该是两种情况，你可以拿出你的三角板， 你可以拿出你的三角板啊，把那个三六九的那个三角板摁在纸上不动，然后就转那个四十五度的，所以第一个位置我们就转转转，你看转到大致这么个位置， 他给的是 c e， 哈，平行于， c， e 平行于啊，那这个就是，哎，这个，这个在这 转一周嘛，对吧？ e 在 这啊，然后我们的对在这，你看这不就行了吗？可以吧。啊？那他，他跟他平行，那我们就找结论就行了，找结论就行了啊，图已经给你画好了，所以我们直接来看，他问你 bc 对 等于多少？这个时候的 bc 对， 就在这。 好，那来看两直线平行，所以我们有的是同旁内角互补呗。这个角等于三十度啊，所以我们这个角呢，就得等于一百二十度， 是吧？他就等于一百二，然后这边是一个九十，所以这个也得是一个三十，所以九十再减三十，六十度是一个，所以这个图算出来是六十，然后我们再往下来看下一个，还有没有别的情况呢？你继续转一转，其实就是转到这个， 是吧？转到这，你看这个地方是 e， 这个是 d 的 时候，这不就也行吗？这也行哈， c e 平行于它， 它是三十，那这个角就是三十，这是九十，然后看一下，所求求的是 bc 的 这个角，好，那这个角正好就用三百六十度，减九十，减九十，再减一个 三十，最后整理一下，等于一百五十度，所以我们的括号三呢？有两个答案，一个是六十，一个是一百五。

那我们继续讲解平行线的全章训练。先来看第一题，他问你假命题的是哪一个？ ok， 这一类题型啊，那你就需要一个一个去分析了。那你先看第一题， 先看题干给的是 ab 等于 ac， ab 等于 ac， 那 除了有腰相等以外，其实它的底角也是相等的，大家不妨给他记住啊。然后再往下来看第一个 a 选项，又给了一个 c 对， 平行于加啊， c 对 等于 b e， 我 画题图画作这种全等题啊，我就画一条，我不会把那个 b e 画上，因为你可以看到，如果你这样的话，它其实就在这个三角形里边。 这个三角形当中呢，有的是 c 对， 然后有的是一个角，然后有的是一个公共的 c b， 但是这个呢，是不符合我们的什么要求呢？全等的什么这个要求的全等有边边边， 有边角边，其中这个角必须为假角，还有角边角。那好，这个边必须为假边，以及两角及其对边。那我们这个全等是 没有依据的，没有依据的话，它俩不全等，所以也没有办法去推得 c b 等于 e， c b， 所以 这题你看 a 选项，直接他就 pass 掉了。 所以啊，你不要再说啊，我再把 b e 画上，画完了以后，你发现这个图你又乱了，在政权等的时候，就拿一条，就拿一个三角形看就行了。这个三角形如果满足的话，其实那个也对应的也是满足的啊。那我们再来看第二个， 他说最快的一台机器是哪一个？也是偏难的一个题型，你看整个这个全部都是中考原题啊。先来看，那我是不得算出来呀，对吧？我是不得算，所以现在看的话，我们的 a 机器其其实出现了两次， b 呢，也是，你看几次？两次 c 呢？两次？ d 呢？两次，对吧？ e 也是两次，所以你把这五个全部都加在一起，会变成二倍的。 a 加 b 加 c 加 d 再加 e， 等于把这几个数啊加在一起整理好了以后呢，它是一百零二， 可以吧？所以我能单独的求出， a 加 b 加 c 加 d 再加 e 除以个二，等于五十一，这是这样的啊，那至于谁最快，你是不是就最好把 abc 对 全算了，所以怎么去配呢？看 abc 对 对 e， 行吧，你看，如果你给这三个加在一起的话，这三个加在一起啊，那会变成 a 加 b 加 c 加的，再加一个 e， 其实又多了一个的，它是等于多少呢？二十三，加上二十，再加上一个二十二，整理一下等于六十五， 等于六十五，所以会发现，哎，你不多了一个谁多了一个的吗？对吧？所以的的话，你用六十五再减掉一个五，十一等于十四， 你看，其实你捋出来一个头那些就都能算了，的，为十四啊，记得点啊，的为十四，所以我标在这十四，十四，所以你看这个就能求了。 c 就是 六 啊，你往前推， c 是 六，我们的这个就是十三，然后 b 是 十三的话，这个就等于十， 然后往后推，对，等于十四， e 等于八，然后那最后一组干嘛呢？你可以验一下，看你算的对不对啊。 a 你 不得十吗？然后你的 e 不 得八吗？加在一起正好为十八，那说明我说我们做的是对的啊，是做对了，那做对了，那就看吧，谁是最快的，是不应该是对，是最快的，所以编号为对。 好，再看第三题啊，又是一道中考题哈。哎呀，给的是加一丙槽对吧？一到九互不相同容器当中，然后记录 积分，然后他说积分分别为二十，十分跟九分。哎，那你看啊，就是掉下去一个，他不就记一分吗？那就说明丙槽他应该是怎么样？ 饼潮应该是最是不是最低的，他应该是比较小是吧，他就应该是比较小，所以呢，他说其中第一次的操作积分最高的是乙潮，则第二次最低的是谁？那就应该是饼， 对吧，这个就应该是饼，因为你咱们说操作一次他就有偶然性，其实操作多次的话，就是那个小的，他漏的分也是低啊，所以答案就是饼就可以了。下一个第四题，又是一道中考题，看一下什么题型呢？ ok， 平行线体型啊，他给的是折了，其实像这种折折折呀，什么反射问题？那你就找这里边的角是角一等于二加三，然后角一是八十，二加三呢，那也是八十， 嗯，等于八十，所以角三等于四零。 b， 角三就等于 啊，看有问题是吧，这个他俩怎么能相加的八十呢？是不应该是谁啊？是不应该是这条跟这个 a 他 俩是平行的，那他俩是平行的话，角一是不等于角二加角三啊？ 啊，对，没问题是吧，角一等于他啊，所以答案是 b 选项没问题的啊，可以我们再来看第五题， 第五题，第五题呢？ ok， 三角板问题是吧，经典的三角板问题啊，那来看三角板当中呢，他让你求的是角 a、 c、 e 的 度数。哎，那我们得熟悉三角板嘛，这个是九十，这个不就是三十嘛。所以 a、 c、 e 的 度数，答案是 c 选项。 再来看第六题，又是一个平行模型哈，平行模型，大家可以记住，平行模型的辅助线方法就是拐点做 拐点做平行。那看题，给了两对平行，其中角 b 呢是幺四五，这个不涉及到拐点，所以你就正常推就行了。 角 c 的 度数呢，是一百八十度，减掉幺四五等于三十五，再根据一对内错角相等，所以角对呢，等于三十五度。答案是 b 选项。再来看第七题，好，又是平行问题啊，给了一个垂直角一是幺二零。 好，那我是能得到，这个是六十的。嗯，角二三十，注意细节，有单位，所以我们不要写单位了。第八题， c 等于四四。好，那就是这个，这个是吧，都等于四四呗，都是 c， 它，所以角 a、 o、 b 的 度数。那你可以用三角形的内角和一百八十度减四四，乘上一个二，一百八十度减八十八，等于九十九十二， 有单位了，不要再写单位了啊。再来看第九题，九题给的是对 e 这两条线平行， 角 e 对 e 对 f， 这个角等于角 c， 求证。第一个等于角 a， b 对 f 等于角 a， 那 我只要正出平行不就行了吗？是吧，因为他俩是同位角，他俩已经是同位角了，所以只要正平行，对 e 平行于 a、 c 就 可以了。那先看第一组平行，平行下这个角跟这个角是等的，标个号角一， 这个标个号角二，题干给的是角二等于角 c， 我 们再因为平行，能推出角一等于角 c 吗？然后再配合角二等于角一，然后再配合角二又等于角 c， 所以 能推出角一等于角 c。 好，那 e 跟 c 相等，继续推得 f 平行于 a， c， 这就是两直线平行。角 a 和这个角是同位角，相等。好，再来看 第二个问，第二个问呢？它的第一个问是成立的，依旧是成立的，所以可以直接拿下来用的。啊。四十五度，那它也是四十五度。然后给的是其中对 f 平分 b 对 e， 所以 角二也等于四十五。来标记吧，这都四十五度 是吧？它让你直接写出 abc 的 形状。行了，你看四十五度，四十五度。首先底角相等，它是一个等腰三角形， 满足三角形的内角盒能推出角 b 等于九十度，所以它是一个等腰的，并且是一个直角三角形，所以简单写等腰 r t 三角形。