韦东奕解15题过程

纹身的数学能力到底有多强呢？这是一道北大数学训练营的压轴题目，当时参加训练的学生呢，都没有解答出来，而纹身通过瞪眼的方法求出了这道题的结果， x 五次方加上十个立方加上二十， x 减四等于零。 那对于一元五次方程该如何去解答呢？一般呢，常常认为一般的五次方程是没有公示解存在的，这个是不正确的。实际上，利用一些超越函数可以找到五次方式的公示解， 不存在的，是它的根式解啊。如果我们要求得数字解的话，我们可以利用牛顿迭代法得到解答。说白了，牛顿迭代法呢，就是通过迭代的方式啊，不断逼近正确解的。一个万金油的方法，在程序上是非常好实现的，我们 可以通过生育园拍摄呀，加班呢去实现啊，去解这个一元五的方程。那么这道题该如何去思考呢？ 这道题呢，我们可以尝试用换元的方法削去其中的一些像，但是呢，怎么去换呢？普通的换元是完成不了的， 而参加竞赛的同学呢，常常会使用 a 减 a 分之一去换员，但是呢，代入以后依然不好去求解， 因为中间的某些项依然小不了。而围城通过瞪眼的方法用换元法，只不过改了这里的一个数字，就把中间的很多项消去。当换成 a 减 a 分之二以后，代入到这个四字，最后会得到这么一个结果， a 的四十方减去四， a 的五十方减去三十二， 这个呢，可以写成 a 五的平方，最后求出 a 的值，从而求出 x 值，大家看是非常巧妙的，那这道题对于我们来说非常复杂，但是对于求他的实数根，我们是可以完成的， 那你要求他的实数根该如何去思考呢？这里面我们要了解一个函数的零点问题和裙带性定理。一般的对于函数外等于 fx， 我们把方程他等于零的十数根叫做函数的零点， 那零点存在性定理，如果函数 y 等于 fx， 在区间上图像是连续不断的一条曲线，首先一定是连续不断的， 并且有 fa 乘 fb 是小于零，那么函数在区间 ab 内必有零点，那么根据这里的零点群结性定理，那么这道题不就简单。 那么我们可以另 fx 等于他，然后判断 f 零乘 f 零点五小于零，从而我们可以得到函数的零点呢，是在零和零点五之间的， 然后用二分法求近视值就可以了，因为他要精确到零点零一码。其实呢，思路很清晰啊，就是计算有些麻烦，我们求出 f 零是小于零的， f 零点五呢是大于零， 那么 f 零乘 f 零点五就小于零，说明他的零点是在零点五之间的。接着我们再计算 f 零点二五，发现呢他是大于零的，所以他去乘 f 零的时候是小于零，那么他的零点是在零到零点二五之间。 通过这种方法不断的去测试，我们会发现他的零点是在零点一九五三一二五和零点二零三一二五之间的，所以他的近视减呢是零点二零。我们后边呢就是二分法求近视值了，实际上就是计算有些麻烦。

好多同学都在后台私信我这样一个十分有趣的问题，韦东一出题，结果初中生就把他解决掉了，这是一个什么样的题目呢？看起来挺简单的，挺简洁的。这样一个大学等于而且给出了限制条件啊，就是从 a 一直到 an， 他的范围都是属于负一到一的实数啊，这些数都比较小啊，在负一和一之间。那在这个条件之下，如何证明这个呢？首先我们得理解这个大派符号啊， 这个大派符号叫连城，既然初中生可以把它做出来，我们就尽量的在初中的角度就能够把它证明出来啊，这个是连城的意思，那么我们举个例子， i 从一开始到 n 结束， a， i 连乘的意思就是从 a 一， a 二， a 三一直乘到 a n， 那这个连成看起来挺简单的，然当多个数连成到一起的时候，就会变得比较有序啊，这个时候最关键点就是如何对他进行排序， 就比如说我们这样写啊， i 接大于等于一，小于等于 n， a， i 乘以 b， j 等于多少啊？它的意思是什么呢？好同学误以为它是 a 乘以 b， a 二乘以 b 二， a 三乘以 b 三，好，一直到 a， n 乘以 b， n， 然后把这些相乘，实际上不是的， i 和 j 不一定相等啊，所以我们可以先固定一个量，比如说 i 等于，那么它是 a 一乘以 b 一， a 一乘以 b 二， a 一乘以 b 三，一直到 a 一乘以 b n， 再固定 i 等于 二，不断的写下去啊，把这么多相乘啊，最后实际上就变成了 a 一的 n 次方乘以 a 二的 n 次方，一直乘到 a n 的 n 次方， b n 之方乘到 b n n 之方啊，这也相乘？刚刚说了啊，这个排序非常的重要啊，如果我们把它化减成另外一个式子啊，比如说大派 i， 从一开始到 n 结束， ai 乘以大派 j， 从一开始到结束乘以 b j， 那这个时候是不是跟这个是一样的呢？我们可以把后面一个看成整体的值啊，比如说大 m 吧， i 等于大 m 乘以 a i， 那么它就变成了 a 乘以 a， 二，一直乘到 a n， 再乘以大 m 的 n 字方啊，和这个明显不一样，所以说这个还是应该在这里啊，所以说这种问题的展开和组合是非常容易错的啊，我可以理解这些基础知识，我们还得学会另外一个符号，叫 c 格码符号，这是求和符号。 比如说 sigma i， 从一开始导音结束 a i， 它实际上是 a 一加 a， 二加一三一直加到 a n 啊， 这是求和符号，而这个连城符号和求和符号有一定的关系啊，什么关系呢？他们是可以相互转化的。用什么转化？用乱转化。 把这个前面加个 no 二，所以 no 二等于 no n a 加 no n， a 二一直加到 no n a， 那这个实际上就是个求和啊，是一个码从一开始到 n 结束， non a i， 也就是说连成和求和是可以相互转化的。理解了这个，那么这个题目就变得简单了啊。 要证明这个，我们首先可以把它重新排序一下，大拍 i， j 是大于等于小于等于 n 的， 我们实际上可以把它写成 i 从一开始到 n 结束， j 从一开始到 n 结束。 我们要证明这个大于等于一啊，那等价于在前面添加一个 number， 要证 mean 这个是零啊。而把这个连成展开，实际上可以写成 一直乘到一加 a 一乘以 a n 除以一减去 a 一乘以 a n 啊，这仅仅固定了 i 的值十一啊，那后面呢？还有 i 的值是二的啊，后面就不写了，那仔细看这些，我们填那个 no one， 那就相当于可以把它展开成农一加 a 一，哎。乘以一除以一减去一乘以一加上农一加 a 一 a 二除以一减 a a 二，它就能够变成这种加法。而这个又可以展开啊，上面除以，下面展开成诺一加 a 一乘以 a 一，一减去 a 一乘以 a 一啊， 它每一个都可以展开成这种形式啊，那这种形式实际上就是一个加法的形式，所以这个就等价于证明 c 个码 i 从一开始到 n j 从一开始到 n no 一加上 a i 乘以 a j 减去 no 一，一减去 a i 乘以 a j。 实际上是这样的求和啊，那看到这样的求和，我们马上就能够联想到一个数啊，就是 no no 二，他等于 no 一加一啊，看起来是句废话，他等于一减二分之一加三分之一，减四分之一加五分之一啊， 这样不断的循环下去，为什么提这个呢？因为这个实际上是从 no 一加 x 提 给提炼出来的，它展开是 x 减去二分之一 x 方，加上三分之一 x 的三十方，减去四分之一 x 四十方，加上五分之一 x 的五十方，减去六分之一 x 的六十方。 它是这样的式子啊，当 x 刚好等于一的时候，不就是一减二分之一加三分之一，减四分之一加五分之一减六分之一吗？啊？这个是是怎么来的呢？实际上它是根据泰勒展开得到的减。 简单的说一下，根据他的展开的知识，我们可以根据某一点来不断逼近他任意点的值，比如说 f x 零的值啊，加上 f x 零的倒数除一的阶层乘以 x 减 x 零。 加上 f x 零的二阶档除以二的阶层乘以 x 减 x 零的平方。加上 f x 零的三阶档，除以三的阶层乘以 x 减 x 零的三次方。嗯， non， 一加 x 的一阶档是一除以一加 x 啊。 二街道是负一除以一加 x 的平方，三街道是负一乘以负二除以一加 x 的三次方。那当这个 x 零取零的时候，他是 一加零零啊，那后面这些就能够写成这种形式了。 ok， 理解了这个式子，我们就可以把它展开了，把这个展开就相当于要证明， 而这个展开， 我们可以看到偶数项都消掉了，偶数项都消掉了，剩下基数项了。这二 a i a j 加上二倍的 a i a j 的三次方除以三，加上二倍的 a i a 接的五十方除以五，那他是这些的和啊，我们把它写成求和公式，他可以写成 k， 从一开始到无穷尽处啊，因为我们展开是到无穷尽处，只留基数项的话， 他是二倍的 aiaj 的二 k 减一次方除以二， k 减一啊，只留基数项，他就变成了这个啊。而关于求和符号有个特点啊，比如说 i 从一开始， j 从一开始， ai 乘以 bj 吧， ai 等于二， i 加一， b j 等于二， j 加一啊，在这个情况下，它是等于二啊， i 加一乘以二接一加一啊，那把这些进行求和，因为它接变化是 i， 并不影响接的变化，我们可以把二加一提到前面来， 实际上就变成了两个相乘啊，啊，理解了这种排序方式，我们就能够去化解啊，我们可以把 k 提到前面去啊， k 从一开始到无穷大数， i 从一开始到 n， j 从一开始到 n 二倍的 aiaj 的二， k 减一次方除以二， k 减一啊，他是可以进行这样的操作的，而单独的看这个，我们可以假设 k 是个固定值吧， k 是一， 那这个时候把二提出去，它实际上可以写成 a， 一乘以 a， 一加上 a， 一乘以 a， 二加上 a， 一乘以 a， 三，一直加到 a， 一乘以 a n， 再加上 a， 二乘以 a， 一加上 a， 二乘以 a， 二，一直加到 a， 二乘以 an， 一直到 an 乘以 a 一， a n 乘以 a n， 那它实际上是 a 加 a， 二，一直加到 a n 乘以 a 加 a， 二，一直乘到 a n 啊， 也就是说他是两个求和的相乘啊，从一开始到 n 结束， a， i 乘以接，从一开始到 结束 a j 啊，把这两个相乘，它实际上可以写成这个，理解了这个，我们就可以把它写成， 它，可以写成 前面这个 boss 不变。 这两个相乘实际上是一样的啊，实际上都是 a 一的二 k 减一次方，加上 a 二的二 k 减一次方，一直到 a n 的二 k 减一次方啊，后面一个也是跟他一样的啊， 就是一个平方啊，最终我们是求 k 等于一，从一开始到正无穷处二除以二 k 可以剪一下这样的一个求和啊，那这个很显大于零的啊，这个大于等于零， 所以这个整体啊，不管是多少个相加，他都大于等于零啊。 ok， 得正啊，这个题目还问呢，他什么时候可以取零啊？那很显然， k 是可以取无成大的。一，一旦里面有一个单独的最大的数啊，比如说 a m x 吧，有个单独的最大的数， 肯定会让它变得卫生大，那肯定会有另外一个数啊，负 a m x 跟它平衡，把它消掉啊， 也就是说出了一个最大只是正数，肯定有一个最大只是负数的，跟他相相相，那剩下的数里面可以以此类推啊，有一个正的就有一个负的，所以相同的条件很简单啊，就是如果这 个数列里面有一个数不为零，他是 b 一吧，那么必有负 b 一出现啊，他都是成对出现的。这个题目涉及到了经典的年成到求和公式的一个转化，还有在不断的排序里面 找到适合的组合方法，是一道比较经典的正面题目啊。 ok， 关注我，让学习变得更有趣点。

伙伴们好，我是数学竞赛飞哥，正如标题所讲，这道题呢，是十年之前维多利讲给我们听的，具体的背景呢，那是在二零一三年 北大百年数学体验营考试，他的压轴题就是本题，当时我们所有的考生没有一个人能够做出来。 后来韦东义负责给我们讲题，我印象非常的深刻，他走上讲台，轻描淡写的啊，轻描淡写的做了一个变换，这个题目呢，就迎刃而解，那感兴趣的同学呢，不妨啊，点击暂停键，自己先想一想。下面呢，我们就来公布答案。 我记得当时在考场上，我是有思路的，一元五次方程啊，是没有求婚公式的，所以呢，我们要另辟径，通过一些变形，一些画圆的手段来处理本题呢， 平移变化和背程变换，显然呢，是没有什么卵用的，所以呢，我们呢，想做一个代数的变换，那我令 x 等于 a 减 a 分之一，以及 x 等于 a 加 a 分之一，均无功而返， 非常的遗憾，因为时间是有限的，做这道题的时候呢，时间已经所剩无几，我就没有时间再往下面去进行计算了。而事实上呢，当年的答案是这样的，令 x 等于 a 减 a 分之二， 那么呢，圆方程啊，就会化为一个非常简洁的形式。那这个画展的过程呢，我就不再赘述了，就是一个很通俗易懂的二项式定理的展开，他就会化成 a 的五次方，减 a 的五次方分之三十二，等于呢四， 所以这个题目做到这里呢，就很轻松了，那它是一个关于 a 的五字方的一元二字方程，等于呢八或者负四。 我们进一步的呢啊，根据这个复数的单位，根可以把 a 呢求出来，再带入到 x 中，就可以把 x 呢最终的解除了，我们就不再坠数了。 ok， 那其实呢，挺有意思的，很多时候呢，做题目都是说显然易得注意到，那我就挺纳闷了，那魏东义呢？当然就说那注意到，哈哈。哎呀，差距啊差距，那最后呢，再说魏东义那个小故事， 当时我进了集训队之后，知道了韦教主的一个传奇，他的传奇，他在高中竞赛阶段的传奇，并不仅仅是他拿了两届 m 的满分金牌，因为我们中国历史上呢，还有很 超级为 m 的满分金牌。他所创造的奇迹是他在我们的国家对选猫考试当中啊，七次考试全部取得了满分，那国家对选猫考试的难度是要 高于 m o 的，那七次全班考试全是满分，我不知道搁了这么多年，这个记录有没有有人再次创造出来，我可能感觉应该是没有。那这是唯教主所创造的奇迹。 ok， 那这个节目呢，仅仅用于缅怀啊，十年之前的我，二零一三年，其实是九年啊，四舍五入，十年没毛病。好的，这就是本道题。那轻描淡写，我是数学记载飞哥，那么下一期呢，会给同学们分享我最喜欢的一个平面及格定理，我们下期再见。

好了，我们今天看一道第四十九届奥林匹克数学竞赛题，题目四射时速 syz 都不等一，并且呢，还是乘外乘 z 等一， 证明呢， s 减一的平方分之 x 方，再加上外减一的平方分之外方，再加上这一减一的平方分之这方大于等于。这道题呢，是当年魏东义高一参加竞赛拿满分日考题。这道题呢，具体的做法如下， 因为题目告诉你，孩子外死呃时速，并且呢，都不等于一，都不等于分母呢，可以都不为零，对吧？并且呢，孩子成外成 z 等于，就你证明这个是大于等于， 因为第一项呢，你可以看成是 x， b 上的 x 减一整个的平方，是吧？同理， 第二项可以看成外比外一的整个的平方，第三项可以看成这比成这一的整个的平方。所以呢，我们为了写的方便呢，我们先定先定呢， a 呢， 它就等于 x， b 称 x 减一， b 呢，它是等于 y， b 称 外简易， c 呢，它是等于最比成一个最简易。所以呢，题目就教你证明 a 方加 b 方加 c 方大于等于 啊，因为呢，我们看一下啊， a 的取值范围， abc 他的取之范围，因为他是等于 s， b 称 x 减一，他可 这个分式可以分离出一个长速加上一个真分式，我们，我们把他的分子呢，先减个一，再加个一，我们把这孩子减一看成一个看成一项，所以呢，他就等于一加上一个 x 减一分之一，因为 x 肯定不等于整个的 x 分之一，他也不等于零， s 减一， s， s 减一分母不能等于零，整个的这项 s 减一分之一也不等于零，所以呢， a 肯定不会等于一的，我们就得清了。 a 肯定他是不等于一的。同理呢， 从里呢？有，从里呢？有。有这一项和这一项也可以 得出呢？ b， b 也不等于 c 呢， c 也不等于啊。我们把这项，我们有 a 等于 s， b 乘 s 分之一，我们解乘 x 等于多少，所以呢，我们给它乘开，就是 x 减一，再乘上一个 a， 他是等于加 x， 也就得出了 x 乘 a， 我把这个 x 移到他的左边，把这减一，一打开，这个减一，减一，移到他的右边，我们就得到了。 提出个 x， 我们就得到了。因为 a 不等于一，所以呢， a 减一呢，也不等于零，所以它的 x 是等于呢？ ab 像 a 减一。好，同理呢， 有后面这两下，我们就可以得出了。外呢外，他是等于 bb 是一个 b 减一， j 呢， 他可以写成 c， b 成个 c 减一，我们得到了这三项。因为呢， x 乘 y 乘 z， 他是等于一的，我们把这三项给他乘开，我们得到了。 得到了 a 比成一个 a 减一，再成一个 b 比成个 b 减一，再成一个 c 比成一个 c 减一。是，他也是等一啊，他也是等一，我们就可以得到了。 a， b， c， 他是等于 a 减一， 再乘上一个 b 减一，再乘上一个 c 减一。好，我们把前面两项乘开，前面两项一乘开，他就变成了 ab 减 a， 再减 b， 再加一，再乘乘一个 c 减一，然后呢，把这两项再乘开，他就得到了 abc 减 ac， 这是减去了 a 乘 c， 再减去个 bc， 再加 c， 再减这个 ab， 再加 a， 再加 b， 再减一。因为 abc 等于等于这串数 后面这一项。后面后面这一项是不是应该等于零啊？因为两边这个，因为 abc 等于他，所以两边消掉个 abc， 也就变成后面这个式子。就是 就是，这个是，是不是应该等于零啊？他等于零，我们我们就可以得出呢？这有个 a 加 b 加 c， 是吧？再减一，我们就可以得出来， a 加 b 加 c 再减一，它是等于 ab 加 bc， 再加上一个 ac， 我们就得到了，我们就得到了这个方程。好，咱们看题目啊，题目他教你求 s 方比成一个排 是减一的平方，再加上一个外方比成个外减一，他的平方再加上一个，这方比成一个最减一的平方。 我们刚才另了 abc 说他就等于 a 方加 b 方， 再加这个 c 的平方，因为 a 方加 b 方加 c 方呢？你可以看成是 a 加 b 再加 c， 是不？整个的平方再减去个二倍的 ab 再加 bc 再加这个 ac， 因为 ab 加 bc 加 ac 呢，他是等于他，他是等于， 所以呢，我们就可以写成了 a 加 b 加 c， 他整个的平方再减去二倍， a 加 b 加 c 再减去个一样。 我们把这个这两项，把它 a 加 b 加 c， 看这个整体，这就是 a 加 b 加 c， 它整个的平方减去个二倍的 a 加 d 加 c， 负二，再成了负一，把这打开，随便一个加二加二，你可以先加一，再加点。第一，前面这三项是不是就是一个完全平方了？ 也就是 a 加 b 加 c 再减去个一，是不是他的一个完全平方再加一， 因为这个完全平方他是大于等于零的，所以整个这个柿子也是大于等于一的，我们就证明了。嗯， 这个是啊，他是大于等于一的。好，这道题呢，我们今天就讲到这，下次再见。