圆心0转过三角形顶点的过程

我们来共同学习一类圆当中新的角，弦切角。然后呢，我们了解一下弦切角定义的证明以及它的应用。 那么为了学好这个弦切角啊，我们首先做一个比对，在概念上，我们曾经学习过一种角，叫做圆心角，如图所示，角 a o b， 它就是一个圆心角， 顶点在圆心的角呢，叫做圆心角。我们会发现，圆心角 a o b 所对的弧就是弧 ab， 然后它所对的弦就是 ab， 那 么也就是说，任意给出圆心角对应的会出现三个量， 一个是圆心角所对的弧，再一个就是它所对的弦。另外，圆周角是我们学习的第二类角，比如这个地方的角 b a c， 我们可以看到它的顶点在圆上，并且角的两边在圆内的部分是圆的两条弦。像这样的角呢，叫做圆周角。它的特征，第一，角的顶点在圆上，二角的两边都和圆相交。 那么我们后来通过学习，知道有这么一个定律，圆周角和圆心角的关系是圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半。 那么在这里啊，图形有三种可能，第一，圆心在圆周角的边上。第二，圆心在圆周角内部。第三，圆心在圆周角 abc 的 外面。无论哪种情况，他们都满足角 abc 等于二分之一角 aoc。 那么今天啊，我们来共同的学习的是第三类圆中比较常见的一种角，叫弦切角。那么什么叫弦切角？我们首先看定义，顶点在圆上， 一条边和圆相交，另一条边和圆相切的角呢，就叫做弦切角。那么如图一所示， a、 c 为圆物的切线点， a 为切点 ab 是 圆内的一条弦，那么这个角 c、 a、 b， 也就是我们的弦切角。 那么在古希腊欧几里德的几何原本当中啊，对于弦切角定律的内容描述是如图所示， 我给大家画的波浪线弦切角的度数等于他所加的弧所对的圆心角度数的一半，等于他所加的弧所对的圆周角的度数。 那么如下呢，我们给出了弦切角定义不完整的已知和求证，请大家补充完整并写出证明过程。那么已知如同二 a、 c 为圆 o 的 切线，点 a 啊，是切点 a， b 是 圆 o 的 一条弦，点 d 在 圆 o 上，下面我们连接 o、 a、 o、 b、 b、 d 和 a d， 那 么求证的内容那就是求证。我们来看一下弦弦这里的描述，弦切角的度数就是角 b， a、 c 等于它所加的弧所在圆心角的一半，那就是等于二分之一角 a、 o、 b， 然后等于它所加的弧所在圆周角的度数，那就等于角 d 的 度数。好完整的说一遍，求证，角 b a、 c 等于 二分之一角 a、 o、 b 等于角 d， 那 么我们来看一下它的证明过程。那么为了证明我们的角 b、 a、 c 等于角 d 啊，我们需要做一个工作，什么样的工作呢？我们来看我们需要做一条辅助线，也就是我们学会转化。 那么以前我们处理问题的时候，经常说，看到圆周角啊，我们有的时候要学会找它所在的弧， 然后再找这个弧对着的一个新的圆周角，所以啊，这个地方我们可以这样做，一条辅助线， 延长 a、 o 交圆 o 于点 f， 连接 b f， 那 么这个时候我们就会发现我们的角 d 是 个圆周角，它所做的弧是 ab。 当我们 延长 a、 o 到点 f 并连接 b、 f 之后啊，不难发现，弧 a、 b 还对着一个角，就是角 f， 那 么我们这个地方只要是证明了角 f 等于角 d， 然后呢，它们都等于这个角 b、 a、 c 之后，问题就解决了，那么我们来看一下它的证明过程，我们会发现，我们延长 a o 胶原 o 与点 f， 实际上就相当于是做了圆 o 的 一条直径 af， 那 么做了直径之后啊，根据我们所求定律，直径所的圆周角是九十度，角 a、 b、 f 就 等于九十度， 所以我们的角 f 加角一就等于九十度。那又因为 a、 c 是 圆 o 的 切线，所以啊，角 o、 a、 c 等于 九十度，那么所以我们的角一加角 b、 a、 c 也等于九十度。那么根据同角的与角相等，不难发现，我们的角 b、 a、 c 和 我们的角 f 是 同一个角的与角，所以我们的角 b、 a、 c 就 等于角 f， 而角 f 和角 d 是 同弧所对的圆周角，那么角 f 等于角 d， 那么我们的角 b、 a、 c 啊，也就等于角 d， 而角 d 啊，它是同弧所对圆心角 b、 o、 a 的 一半，所以我们这个问题就可以顺利的证出来。那么这个定律的证明，大家会发现，我们使用了一种特殊的方式，就是转化的思想构造了一条直线 之后，我们当时证明圆心角和圆周角之间的关系有异曲同工之处。 那么第二问，我们来看一下他跟我们说的这个题目。如图， ab 为圆 o 的 切线， a 为切点，大家可以看这个图， ab 是 切线， a 为切点， 点 c 啊，是圆 o 上的一个动点，过点 c 作 cd 垂直于 d， 然后呢，垂直于 d 之后， cd 和圆 o 交于点 e 连接 o， e， o， c 和 a e， 若 a d 等于十， a， e 的 长等于二倍的根号二十九。 然后让我们求 c， e 的 长等于多少。那么首先我们这个地方，你要去想它是否出现了弦切角，那不难发现， a b 为圆 o 的 切线， a 为切点，那就出现了弦切角，这个弦切角就是角 d a e。 那 么出现了弦切角之后啊，我们就不妨去想一下，这个定力是不是可以使用啊？关于弦切角定力， 那么弦切角出现了之后，我们就找它所夹的弧，然后再找这个弧对着的圆周角，不难发现，我们 找到了这个弧，这个弧叫 a e， 同学们找到了 a e， 所以 说我只需要连接 a c 就 可以找到它所在的弧。再来看一下， 在这里啊，我们连接 a c 之后啊，这个角 d， a， e 所加的弧就是弧 a e， 它所在的圆周角就是这个角， 我们称之为角 a c d， 那 么这里面的条件我们再来标注一下，这儿有一个垂直关系，然后我们 a， d 的 长等于十， a， e 的 长呢，等于二倍的根号二十九。让我们去求 c， e 的 长等于多少， 那么不难发现，我们说了，因为这个角 d， a， e， 它是圆 o 的 什么角呢？同学们是圆 o 的 弦切角 角 d， a， e 是 圆 o 的 弦切角，那么所以按照我们刚才所学的弦切角定律，我们就可以直接使用这个角 d a e， 它就等于 角 a c d， 也就是它等于它所加的弧对折的圆周角，然后呢，这还有一个直角有垂直关系， 发现就因为这个角啊， a、 d、 e 是 九十度，这个角 a、 d、 c 也等于九十度， 所以三角形 a、 d、 e 就 相似于三角形。什么呢？ c、 d、 a 两角对应相等，两三角形就相似。那么所以啊，我们只要求出来 c、 d 的 长，就可以 想办法求出 c、 e 的 长，那么这个里面呢？不难看出啊，这里面有一种垂直关系，那就是在直角三角形 a、 d、 e 中啊，我们可以使用勾股定律，我们会发现， 十的平方加上 d、 e 的 平方就等于二倍的根号，二十九括号的平方，那么这样不难算出， d、 e 的 长就等于四， 那么 d、 e 的 长等于四，我们再求 cd 的 长即可，那么这个时候我们就可以使用相似了，也就是这个小的直角三角形 a、 d、 c 我 知道 a、 d， 所以 啊，我们求 cd 的 话，我们就用 a、 d 比上 c、 d， 它就等于 d， e 比上 d a。 同学们， 然后我们代入即可， a、 d 的 长是多少呢？是十，而 c、 d 的 长是未知， d、 e 的 长等于四， d、 a 的 长等于十，这样我们交叉相乘即可求出， c、 d 的 长 等于二十五，那么 c、 d 的 长等于二十五， d、 e 的 长等于四，所以我们 c、 e 的 长就等于 二十五，减四等于二十一，这样问题就可以顺利地求解，这也是我们能够灵活地使用弦切小定律，可以比较方便地解决这一类问题。好，同学们，你听明白了吗？