八上数学因式分解100道及答案过程

因式分解太重要了，这是我们期末的必考方法，那么对于因式分解十二大方法当中的九大考法，你掌握的怎么样呢？一起来看一下这九大考法呢，有提供因式法、换元法、乘法、公式法、 分组分解，十字相乘配方法，拆项法，还有天项法式负一法。老师呢，逐题将这九大方法给你讲透彻。 一起我们这个题里面减号前面有一减 b 减号后面有 b 减一，它们是互为相反数，所以第一题我们最简洁的方法，那么就是提供因式等于 a 方乘一，减 b 减号变加号后面的数可以变成相反数， 减号前面减号后面都有 a 乘一减 b， 所以 a 乘一减 b， 我 们提出来第一项里剩 a， 第二项里面剩 e， 那 么第一题我们就搞定了。我们要记住，因式分解的就是代表的是最后的结果，我们用 g 去表达其他的情况，像化简计算，我们都是去用和表达 来看第二题。第二题我们可以发现啊，加减分开，每一项里都有 a 加 b， 但是我第二项我在提 a 加 b， 好 提吗？肯定是提不出来的，所以这个时候我就可以用换元法，我可以去设 x 等于 a 加 b， 原式 等于 x 方减三， x 减十八，十字相乘 x 方 x 乘 x 十八三六十八负的交叉相乘负六 x 三 x 加起来正好等于负三 x， 那 么就等于 x 加三乘 x 减六， 我们之后再代入 a 加 b 加三，乘 a 加 b 减三。再来看后面的这一道，这道题很轻松的，它是一道同步题型，它是利用平方差公式整理一下四 a 方加一 乘四， a 方减一，在这里我们要注意，四 a 方减一，它还没有分解透彻，所以继续去分解。四 a 方 加一，乘二， a 加一，乘二， a 减一，二 a 减一，就不需要分解了，在初中阶段， 除非题目当中有明确要求分解到实数范围，一般情况下，我们在进行分解的时候，分解到有理数即可。这道题呢，我们就可以给他添一项，添一项进行分解。来，老师给他添一个， a 方减二， a 无中生有，加了一个正一，使左边凑成了完全平方公式， 那么我在这里加了一个一，所以在后面要再减一，减 b 方加二， b， 好， 继续，那么前面就等于 a 减一的方，后面我可以把符号提出来，减去 b 方减二， b 加一，所以后面我也凑出来了一个完全平方公式， 继续整理。等于 a 减一的方，减 b 减一的方，这是什么公式啊？平方差公式吧，就等于 a 减一，加 b 减一，乘 a 减一，减 b 加一。整理一下，那么这道题它就等于 a 加 b 减二，乘 a 减 b。 好 了，这道题就搞定，来下一个题。九 a 方减九， b 方减一，加六 b 这三项，如果我要把符号提出来，它组成的九 b 方减六， b 加一，这是什么式子？ 完全平方公式吧，所以继续往下分解。九 a 方减去三 b 减一的平方，这里组成了平方差公式，等于三 a 加三， b 减一，乘三， a 减三， b 加一，积的形式。那么这道题搞定，继续我们来看一下下一题。 五 a 方减十七， a 减十二，这道题它就是十字相乘，五 a 方等于 a 乘五， a 十二等于四乘三，三 a 四五二十二十 a 二十 a 和三 a 如何凑出来负十七呢？那么就是负二十加三，所以四的前面是负的，写的时候横出式横着写， a 减四乘五， a 加三。好，这一行我们搞定了，来，接着往下我们来看一下最下面的这一行， a 方减六， a 减七，这是一个十字相乘的式子，这个式子 a 乘 a 等于 a 方，七等于一乘七，交叉相乘 a 和七 a 如何可以凑出负六 a 呢？ 负七 a， 所以 七前面是负的一乘，负七等于负七正确，所以这个题它就等于 a 加一乘 a 减七。现在我们就已经发现了，十字相乘对于我们来说反而是比较简单的题，像这样子的分组分解，还有 换元法，对我们来说是中难度的题。继续来看最后两道，这两道题呢，就是稍微复杂一点点了，慢慢的来分析啊。碰到了有三次项的时候，我们首想的方法就是要去拆项， 那么这个题呢，我们在拆项的同时，无论你是让 a 的 三次加上二 a 方，他们俩组成一项，还是你让 a 三次和 负二 a 组成一项，还是你让他们三个组成一项。哎，你都发现了，进行到下一步就是你只能进行一步，进行到第二步的时候，你都不能再进行因式分解了， 那么也就是说明我只利用拆项，那么这道题我解不出来，那我还需要还可以干嘛？我还可以再给他再添一个项，或者是说我给他添一个数，那么在添项的时候呢，我们就是根据题目当中的数来决定来添什么，组成乘法公式来一起来看，这里是 a 的 三次，这有一个 a 的 平方， 所以我在组的时候我就在想，肯定是要把 a 的 三次提出来，那么我在给他拆的时候，我就想的是啊，我在上面写它， 我就在想可不可以把这个 a 的 三次提出来， a 的 三次要提出来的话，我就想提 a， 或者是去提 a 方，好，我先提一下 a 的 话，所以后面有一项必须要去含 a， 这里提出来 a 之后是二 a， 哎，可以理解成它做的是二 a， b 前面是正好，所以我要组完全平方公式后面是不是要加一，或者是说要加的是 a， 所以 我需要在这里给它加一项，就是加 a， a 的 三次加上二 a 方加 a 好， 无中生有加了一个 a， 所以 要再减 a， 题目当中的负二 a， 那 么就是负三， a 减三来前面的这里。哎，我给它当成一组，可以把 a 提出来， a 乘上 a 方加二， a 加一来，后面这里呢？减去三乘上 a 加一，好，继续加。好，前面这里是一个完全平方公式，等于 a 乘 a 加一的平方减三倍的 a 加一加减，分开试一项，所以等于 a 加一乘 a 乘 a 加一减三， 好，继续往下，我们是不是要把这个括号给算出来呀？ a 加一乘 a 方加 a 减三，那么到这里呢，我已经表达成了几的形式，这道题就搞定了。最后我们来看一下最后一题啊， a 的 三次减去八， a 减七，那么这道题我们是需要去研究它系数之间的关系，找到系数和系数的关系，我们去拆项的同时也要进行添项， 给它添一项，添加为 a 的 三次加上 a 方，无中生有加了一个 a 方，所以要减去 a 方来，注意看 三次和二次的系数是不是相同的，所以我在这里要再凑的时候， a 方和它的降次密的方， a 的 系数是不是也要相同？所以这里我要凑出来一个减 a， 这里是减八 a， 所以 后面就要减七， a 减七。大家重点来看这里 三次和降次幂，它的系数相同，所以我在下一个分组当中，二次和降次幂的系数也要保持相同。那么最后呢，就是剩下来的这一组负七和负七的系数是相同，就证明我们给它添项添成功了。 等于 a 的 三次加 a 的 二次，我们可以提出来 a 方， a 方乘 a 加一，这里呢，这俩是一项减去 a 乘上 a 加一， 这里我们可以把负七提出来减七乘 a 加一。好了，发现加减分开是一项，每项里都有 a 加一，所以把 a 加一提出来乘 a 方减 a 减七。那么这道题就搞定了。关于因式分解的常见九大方法，你学会了吗？

前面的视频呢，已经给大家讲过了音式分解的出接方法，接下来呢，我们来开始进接啊。进接方法呢，给大家先来讲解我们的分组分解法，也是我们系列视频当中的第四个方法。 什么叫分组分解呀？顾名思义，你给我来进行一些分组，他适用的项呢就会比较多了啊，当你看到了四项及以上的 要进行音式分解的时候，前面的提供音式法，公式法、十字相乘法都不好使了，你接下来第四个要想什么了？第四个就要想我们的这个分组分解法，那怎么分呢？ 当我们看到四项的时候呢，一般可以采取两项两项的分，或者一项和三项的分，当我们看到了五项的时候呢，你可以采取二三分组，这是最常用的啊。接下来当你看到六项式的，它的组合就比较多了，你可以均匀分三三分组 啊，也可以分成三块二二二分组，甚至可以一二三分组，可以用到一些公式。那分组是为了干什么呀？注意啊，同学们，分组的时候不见得大家一次就能分成功的， 你分组呢，是为了你接下来能够继续因式分解下去，比如说你分成两项，你希望它有公式可以提， 或者我希望他是个平方差公式，这样你可以助力我继续做下去啊，总不至于尴尬在这里了， 对吧？一三分组有什么呀，尤其是你看到这个三了，他，哎，可以是我的完全平方公式，甚至于我还希望他是什么呀，他有可能是我们的十字相乘。总之呀，你分完组之后呢，不要只看头，还要看看屁股，我们要能继续做下去。 比如说，我们来举一个简单的例子啊，啊， ax 加 a， y 加 b， x 加 b y， 它整体进行提共音式显然没有， 对吧？但是呢，哎，这四项啊，我让它两块，两块组合就有共音式可以提了啊，组合方法不唯一，比如说我们选择前两个组合在一起，后两个组合在一起，你为什么希望人家组合在一起啊？就是因为我看到了有共音式啊， 对吧？是因为你看到了下一步你才给他分组的啊。这里有个公音是 a， 可以 提，这里有个公音是 b 可以 提。那么继续呢，紧接着啊，整体又有个公音，是了， 对吧？我把 x 加 y 这个整体提出来，提完之后，这剩个 a， 这剩个加 b， 所以 最后答案就是 a 加 b 乘以 x 加 y。 哎，两两分组两项呢，是有了咱们的题公音式，当然，我们以后做题的时候，两项也有可能是我的平方差， 好吧，嗯，接着继续，这里又含有一个四项的， a 的 平方加二， a， b 加 b 方减一，整体有公式可以提吗？没有整体有公式可以用吗？没有十字相乘，更不可能，怎么办啊？我分一些块，而且我特喜欢前三个就是一块， 为啥呢？因为前三个他不就是一个完全平方公式呢，对吧？这就是 a 加 b 正的平方，然后再减去一的平方。那你又看到了什么呀？两眼冒火光了啊，我又看到了，这是一个平方差公式， 对吧？那就是两数和乘以这两数差，这就是我们因式分解的最后答案。所以啊，我们的分组分解法呢？啊，你分完组之后呢，更多的还是使用我们前面的出接方法， 提供因式法、公式法以及十字相乘法，需要大家一定要熟练的应用啊，不太会的还继续去翻看老师前面的系列视频，接下来我们的分组分解法，一起来练习一下。我们先来看第一小题，来啊， a 方减二， a， b 加 b 方减九， 这是一个四项的，你想怎么分？是二二分组还是一三分组？选择一下，这可不是乱选的，是因为你看到了下一步 对公式一定要足够的熟练啊，我们要干什么？哎，一三分组呀，对吧，因为呀，我发现了前三项是个啥， a 方减二， a， b 加 b 方就是一个完全平方公式，所以来减原式，等于我就将前三项放在一起，这不就是一个 a 减 b 整体的平方吗？ 再来减九呢？哎，九又是一个三的平方，你又看到了什么？哈哈，你先完全平方公式用完了，紧接着呀，我又看到了平方差，这里是不是有个平方差公式，所以呢？哎，拆解成我们的两数和 乘以这两数差，好吧， a 减 b 加三，乘以 a 减 b 减三，这就是我因式分解的最后答案。一三分组是因为看到了有完全平方公式，最后分解要彻底，又看到了平方差公式， 而且每个括号里面已经不能再分解了，这就是我的最后答案啊，这是我们的一三分组。好，继续来挑战吧，我们看第二小题，这个怎么办？同学们，这个是四项的，你现在是想要二二分组还是一三分组？ 一三分组啊，什么时候涌三啊？是你发现了有完全平方公式或十字相乘的时候啊，那这呢，明显也没看出来他们，所以呢，我们来二二分组一下， 好吧，二分组一下啊，先来尝试尝试，比如说我让它两个分在一起，它两个分在一起来试一试啊。六 a x 加上三 a y 来减去， 这是一个整体，二 b x 加上 b y， 这里可以继续吗？发现还是可以的，有共音式可以提，提个三，提个 a， 这就是三 a 倍的二 x 加上 y， 对吧？同理，接着继续啊，这个呢，我们发现有个 b 可以 提，把 b 提出来，剩下什么？剩下我们的二 x 加上 y， 又看到了啥呀？二 x 加 y， 二 x 加 y 是 不是也是共音式可以提了，对吧？所以我把二 x 加 y 提出来，提完之后，这里剩下三 a， 这里剩下负 b， 三 a 减 b， 这就是我们的最后结果，分解彻底了。 好吧，所以我们这里二二分组呢，是因为看到了有共音式可以提，当然了，我现在是选择他俩分的组，你还可以发现六和二倍的他们其实也有共音式可以提，对吧？哎，让他和他来进行分组也是 ok 的， 也能进行下去 啊。我说了，因式分解的结果一定是唯一的，你无论怎么分组了，最后答案都长这样，好吧，所以这个就是我们最后的结果啊，祝我们把格式补齐就可以了，我们进行了二分组。好的，接下来继续挑战我们的第三小题吧，我们来看。哎呦， 上难度啊啊，我就不给大家读题了，大家自己一起看一看。现在又是四项的，你是想二分组 还是一三分组？三的话要谨慎啊，因为你需要有完全平方公式或十字相乘，这里一眼是看不到的，对吧？所以我想先尝试二二分组啊，看能不能提供因式法或平方差来救一救。我们尝试一下吧。 哎，我们第一眼看到了谁和谁可以这个分组呢？我看到了 a 的 四次，这里有减 a 方 b 方，我尝试一下子，我能不能让他俩分成一组，他俩分成一组试试呗， 对吧？啊，不一定能成功，试试啊，成功了那就好，不成功接着换啊。来，我们这是 a 的 四次，减去 a 方 b 方，他俩放一起了，对吧？好，接着继续，剩下谁？剩下四 b 方， c 方减去四 a 方 c 方。 ok， 那 么我们有公因式可以提吗？必须得有啊，这里有 a 方，那留下 a 方减 b 方， 这个呢？可以提一个四倍的，然后呢，还可以提一个 c 方，对吧？剩下谁啊？剩下我们的 b 方减去啊， a 方， 对不对？接下来还有共音式可以提吗？哎呦，这里好像有哦， a 方减 b 方， b 方减 a 方，它俩互为相反数呀，对吧？所以我把 a 方减 b 方提出来， 提完之后剩下 a 方，注意啊，它俩会不会相反数。这剩个括号减去四 c 方，就问你开不开心。必须的呀，全都是平方差公式啊，已经都喂给你了啊。那接下来我们最后平方差公式啊， a 加 b 乘以 a 减 b， 这个呢，是 a 加二 c 乘以 a 减二 c， 所以这个就是我们的最后结果，两两分组用的，我们的提供一式法和平方差公式都用到了， 当然你也可以再尝试一下。你说老师我的，我让这个啊，不跟他分在一起了，我跟他分在一起行不行？他也有这个平方可以提，可以尝试一下一样的，对吧？最后结果都能化简成这样的啊。这个两两进行分组分解法的一个练习。好， 接下来我们继续进阶，你准备好挑战了吗？来吧，挑战成了，噔噔噔噔噔，这是有多少项？从七次降到零次，一共有八项，有没有思路去做？显然要用我的分组分解法了，而且八项呀，你想怎么分？ 四四分啊？三五分，二六分，二二二二二二二分，具体怎么分呢？ 思路怎么来啊？这里有方法啊，你看它是从 x 的 依次降密排列的，对吗？所以我们观察次数可以来进行什么？哎，两两分组，因为每两项每两项都可以，比如说它俩提个六次， 他俩提个四次，他俩提个二次。啊，这个整个组合因为提完之后呢，哎，都出现了共音式了。好吧，所以我们可以采取二二二二来进行分组来解原式，等于 我们可以抄一遍。抄完之后呢？啊，分别两项带上括号，那我们带完括号之后，这里可以提一个 x 加一，这里呢？可以提一个 x 加一， 同理，这里呢，我们来提一个 x 的 二次也变成 x 加一，最后 x 加一，这个整体提不了，你不要再提 x 了啊，不然就出现分数了。 那现在出现了什么了？ x 加一， x 加一， x 加一， x 加一归一是可以提了，对吧？啊，所以我们分组啊，大概率方向是对的，因为它可以继续下去。 好， x 的 六次加上 x 的 四次加上 x 的 二次，然后呢，注意别忘了这里留一占位，这里其实是个乘一的，对吧？加上一。同学们，做到这之后，你做完了吗？ 你做完了吗？结合你前面的经验啊，注意，这里还有一错呢，你必须必须分解彻底 啊，前面老师教大家的一式分解结果一定要彻底，结合前面的经验，这又是按着规律降密降下来的，六次，四次，二次，一次，你再次两两分组啊，是不是继续一次上面这个过程来啊，超下来这个呢，我们就把 x 的 四次提出来，剩下 x 的 二次加一， 这里呢就是剩下 x 二次加一。好，前面的 x 加一留着这里呢，就可以把 x 平方加一，整个共音式提出来，提完之后这剩个 x 四次加上我们的， 这里，整个提出来了啊，留一占位。好吧，所以这个才是我们最终答案，他才是分解彻底啊。 s 加一乘以 s 平方加一乘以 x 次次方加一。这个是怎么分出来的呀？是我们通过观察次数来的。 好吧，所以我们的分组分解法呢，大家一定要多多去观察，你看一看有没有公因式可以提这第一个，你看一看有没有平方差公式和完全平方公式可以用，你看一看有没有十字相乘法三项的最后次数，这里有规律的依据次数去分组。好吧，整个的分组分解进阶方法，你学会了吗？

完全平方公式这里的变形啊有十三个不止，你看看 a 方加 b 方， a 加 b 的 平方，减 a 减 b 的 平方，但是这里依依老师啊，要教大家一个技巧，这些变形你都不用记， 如果你能学会完全平方公式之二推一的这个通法，我们很多题目啊，都可以瞬间秒出答案了。 那有关于完全平方公式和乘法公式，这里的平方差公式，老师给大家出了一套专项题，都是我们近三年期末的易错真题， 如果大家对于这类题目还经常拿不准，经常马虎出错的话，家长们帮孩子打印出来，咱们分题型进行练习，这样才能更高效进行复习。下面呢，咱们就来一起看这道题的 前半部分题干。如果你会知二推一，完全不用看啊，因为在这里面你想求的式子， a 方加 b 方，完全可以利用已知的 a 加 b 来进行构造。什么叫做完全平方公式的知二推一？顾名思义，要构造完全平方公式对不对？ 我就构造 a 加 b 的 平方， a 加 b 的 平方不就等于 a 方再加上 b 方再加上二 ab 吗？对不对？ a 加 b 等于负三，那负三的平方不就等于九吗？所以咱们就有九就等于 a 方再加 b 方来二， ab 的 值等你给你了，是二乘以一等于二， 所以在这里 a 方加上 b 方的值直接求出来等于十，所以你会发现我用的是啥？完全平方公式的之二推又是啥？换而言之，就是说所有的完全平方公式都是由三部分组成， a 加 b、 a 方加 b 方和 a 乘 b 这三部分，而这三部分已知任意两部分就可以推第三部分，所以以后遇到这样的式子， 甭管它求啥，你只需要利用现有的条件构造什么，构造完全平方就行了。把已知的东西带进去，那我们要求的不就求出来了吗？那有关于这种完全平方公式的至二推一变形，你现在学会了吗？

来一个视频给大家讲清楚我们高阶方法第二大招，双十字相乘法进行音式分解。什么叫双十字相乘？顾名思义，双 两个十字相乘，对吧？啊，再给大家解释一下。首先呢，你得有十字相乘的一个基础，如果不会的，请翻看老师前面的一个视频。其次，这个双呀，啊，表面上是双，实则这里是有三个十字相乘。好，我们一起来学习一下 十四相乘法，它适用的啊，就是我们类似于这样的二次六项式，还有什么呀？ x 平方向， y 的 平方向， 长数项，或者说 z 的 平方向，一种类似的啊。然后，还有什么由我们 x， y 的 乘积项，由我们的 x 跟长数的组合的 x 一 次项， 由我们 y 跟常数成在一起， y 的 一次项。好吧，啊，当我们看到的这种形如像这样的二次六项时，我们就可以用双十字相乘法进行啊，隐式分解怎么用呢？好的，我们一起来挑战挑战我们的大难题了啊！ 先来看第一小题，二， x 平方加三， x 外减九，外方加十四， x 减三，外加二十，就是我们非常常见的常规的双十字相乘法了，对吧？啊，显然是一个二次六项式，怎么分解呢？注意，大家在分解的时候分解这种平方向，平方向和常数项 凑谁呢？凑这里的 x， y 的 乘积项，长数项和 x 的 乘积项，长数项和 y 的 乘积项，这三个是让我们来凑的。好，我们来看一下。二、 x 你 要怎么拆？注意，我们的双十字乘法要多多尝试了， 不是跟我们十字相乘啊，你可能尝试一次两次就出来了，这个需要大家多多尝试。二 x 平方呢？拆解乘 x 乘以二 x 好， 负九外方符号先不用管，九外方呢，一般我说了，先按着中间的来拆三外乘三外，对吧？所以来拆成三外乘三外。 接下来就要思考一个问题，哎呦，我的符号该给谁？给完谁？你想干啥呢？这里有第一个十字啊，我想让它交叉相乘，凑谁啊？你看它俩乘完之后是三 x 万，这个乘完之后是二三得六六 x 万， 这是出来的 x y 乘积项，对吧？所以你想要凑的是三 x y， 那 你想想他们两个，你把符号给谁能得到？三 x y 给谁呀？符号是不是给他，因为我们知道六 x y 减三 x y 就是 三 x y， 这样我们的三 x y 就 被凑出来了。打个勾勾，好吧，所以你的符号给谁了？给他了？给好了啊，接下来继续，我们还有谁没拆？还有常数没有拆二十，怎么拆？ 还是尽量先拆两个数离得比较近的四五二十，你凑不出来了，再往这个二乘十啊，什么一乘二十，再去拆去，那种可能性比较小了啊。我们先来尝试一下四五，你想想拆四五，接下来你想要干的是什么呀？凑我们的四五，跟我们的 y 相乘，凑的是我们的负三 y， 对吧？想办法凑一凑负三百啊。所以你就想一想，我们这里四五或者五四都行，都尝试一下，好吧，而且这是正的，他俩要么拆成俩正的，要么拆成俩负的，看行不行啊。 来三五一十五。而且是什么呀？交叉相乘，你发现没有，是负的十五万，对不对？来写一写啊，这有个负的十五万，接下来三四一十二，正的十二万。哎，挺好，这就是一种运气了啊，很幸运啊，他俩加完之后恰好就是负三万 凑出来了。那有时候老师我刚开始写的是四五，不是五四没凑出来怎么办啊？你再调换一下顺序啊，所以这个就看大家的数感，多多去尝试了。好吧，现在完成任务了吗？我想问你， 你的这里已经拆好了，也拆好了，二十也拆好了，三 x y 凑好了，负三 y 凑好了，你还有有没有发现还有一个人没被我们打勾勾啊，没有彻底完成任务，谁啊？十四 x 你 还没有解决？哦， 好吧，所以说啊，他虽然叫做双十字相乘方，实则是引含了三个十字啊， 我们前面凑的都是俩十字，第三个十字用来干什么来？第三个十字用来验证，用来验证一下你前两个是不是正确了，如果第三个验证失败了，抱歉，说明你前两个都失败了， 前两个只是侥幸对了，但是最终不是对的，明白了吗？所以第三个啊，他有一票否决制， 他如果没验证出来，前面全是错的，所以我们就要看一看能不能验出来。怎么验呀？十四 x 怎么出来的？是不是用我的 x 跟常数项交叉乘出来的，对吧？来，再画一个十字啊， x 跟四画一个十字， 二 x 跟十画一个来乘一下，二 x 乘以五呢是二五一十 x x 乘以四呢是四 x 加完之后太幸运了呀，一次就凑对了，十四 x 真的 凑对了， 这六项都被我打上勾了，这才是完全正确。这就是我们的双十字相乘法。最后怎么书写呢？跟十字相乘一样的，最终横向书写，所以来解原式，等于直接写答案就可以。好吧， x 加上三， y 加上五，乘以 二， x 减去三， y 加上四，这就是我们分解彻底的最后答案，一步到位了。好吧，所以这种问题呢， 你只要看到了啊，我们类似的二次六项式的都建议大家用双十字相乘法，你不要再采取什么拆天相法，分组分解法很麻烦，没有老师这个招好用好不好啊，这真的是我们的高阶好招，教给你啊， 接下来继续再来挑战一题吧，一定要把这方法彻底学透了啊。我们来看一下，又是类似于我们的二次六项式吧，平方向，平方向，长竖向，然后接下来这个 x y 的 乘积项， x 和常数的乘积项， y 和常数的乘积项，一点一点的去凑。好吧，先拆啊，二 x 平方呢，被我拆成 x 乘以二 x 负外方呢，肯定拆成 y 乘 y， 符号给谁，一会再说。好吧，来，注意看啊，我们要凑谁了？开始 他们要画十字的话，你肯定是要凑的 x y， 这是二 x y 凑谁呀？我希望他俩能凑出来 x y 啊，你肯定是要凑他的，那你想想，符号你给谁能有正 x y 啊，负二给谁？负二给他 对吧？负 x y 加二 x y 等于 x y， 所以 符号给了他说明，哎，他俩乘出来再带个符号，就符号在这里，接着再来。 我们下面一个，该拆我们的常数负六了啊，凡是带着符号的都不好搞，因为你想一想符号得给谁这个事。负六呢，我们要拆一拆二三得六，对吧，来尝试一下啊，不成功的话，我们接下来再试呗，没关系，不要害怕失败， 二三得六，一会再想一想符号给谁来交叉相乘，这里有个三外，这个交叉相乘有个负二外，想凑谁啊？想凑出来正五外，他俩无论符号给谁，能出来正五外吗？哎，好像可以，符号给谁啊，我把这个负的变成正的不就好了吗？对，我给他前面来个符号， 三外加二外是谁？不就是五外吗？好像还是可以的，对吧？还是可以的啊。所以我们现在是把括号给谁了？把括号给他了，对吧？因为他俩夫妇得正了，二外加三外刚好是五外。好，前两个啊，被我凑出来了，还差一个没有解决。谁负四 x？ 注意符号啊，负四 x 你 还没有解决哦，那就是第三个十字用来干什么？用来验证，来画十字。好的，画完十字之后你就发现来交叉相乘，这是个负四 x， 然后我们交叉相乘，这里是个三 x， 结果是多少呀？来负四加三，结果是个负 x。 你发现了什么问题？同学们，失败了，你前两个，虽然这个凑对了，这个凑对了，最后失败了。我说了，第三个十字是有一票否决制的，如果他失败了，证明你前两个只是恰巧对了而已。好吧，这不是我最后答案， 不要气馁，接着换一换数，因为这一组十字还是可以用的啊，我们的长数再来调整一下。所以我把前两个十字抄下来接着用啊，它是可以用的，来负二和三，如果不行的话，我再试一试。负三和二呢？ 他并不会影响我。这还是五 y 吧，对吧，因为负负得正啊。这是三 y 加上二 y 还是五 y， 对 不对？这两个还是凑对了啊，来，最后画 x 这个十字能不能行？二乘三是负六 x， x 乘以二是二 x， 然后，哎，真的是负四 x， 现在你的负四 x 才算是成功了。好吧，所以我们还是遇到了啊，前两个十字能对，但是第三个十字不对啊，说明你整个都是失败的， 明白吗？说明这个整个都是失败的，所以不用害怕尝试啊，尝试，你再重新调节一下，这个最终才是正确的。来，横向书写好解原式，等于直接写答案即可。 x 加 y 减三乘以二， x 减 y 加二，这就是咱的最后答案了。哎，我们的双十字枪乘法啊，继续让大家再练一题，然后呢，我们再来一个进阶吧！哈，小试牛刀，再试一试啊，这个是什么呢？哎，没有长数项了， x 一 方， y 方和 z 方 其实是同理的，仍旧，我们拆什么呢？平方向啊，拆平方向这个数字稍微有点大啊，所以我们好好尝试一下。六 x 拆成二 x 乘三 x， 呃，这是我们的六 y 拆成啊，二 y 乘三 y， 来想一想怎么去凑。负五 x y 交叉相乘，二三得六，你看啊，这是二三得六倍的 x y， 这也是二三得六倍的 x y， 无论符号给谁都搞不出来负五 x y 怎么办？他俩调换一下顺序啊，因为三三得九 x y 对 吧？然后二二得四 x y， 你 这里给个谁符号，你这里给个他符号负九加上四倍的，是不是就是负五倍的，看到了吗？这里就是负五倍的啊，所以符号给他看吧。哎，符号给他第一个十字搞定了， 接着继续啊，我们还有 z 呢啊，还有 z 呢啊，我给大家拆开去写啊，现在我们的负三 y 和二 y 负三万和二万呢，跟谁组合呀？跟这里的 z 组合来凑谁？我们刚才这个已经凑出来了，对不对？我们现在来凑啊，负二十三倍的 y z， 好 吧，来吧，这又是负二十 z 方啊，那你还是拆成什么四五二十二乘十啊，然后看看符号给谁啊。先来尝试啊，比较近的，比如说四 z 和五 z 啊，他俩乘完之后是八 y z， 他 俩乘完之后是负十五 y z。 别忘了还有一个人有符号呢，你想一想，符号给谁，让他俩加出来是个负二十三 y z， 符号给谁？哎，给他呀，这个不难想， 负八加上负十五倍的，不就刚好是负二十三倍的吗，对吧？负八怎么来的呀？是他俩乘出来的，所以符号给他， 好吧，说明我的，哎，负二三 y z 也凑出来了，最后验证谁，第三三个十字起关键性作用啊，验证我的负二 x z 行不行？这个十字是谁来的？是 x 和 z 来的 s。 前面我已经写了，是二 x x z 呢，这也确定好了，是负四 z 和五 z， 来验证一下吧。二五一十 z， 十倍的 x z， 三四一十二，负十二倍的 x z， 加完之后是多少？负二 x z， 太幸运了是吧，这俩加完之后真的是负二 x z， 太幸运了，说明我们一次成功了 啊，一次成功了，最后干嘛？横向书写好吗？最后这个十字，这是我的第一个十字，这是我的第二个十字，这是我第三个十字 啊，组合到一起，你拆到一起就是我们横向书写啊，给大家来合到一起。你怎么写的呀？就是二 x、 三 x， 还有我们的负三 y 和二 y， 还有我们这里的这个负四 z 和五 z， 对 吧？来横向书写就可以了啊，解原式等于啊，直接朝二 x 减三 y 减四 z 乘以三 x 加二 y 加五 z， 所以 这就是我们的最后的答案， 双十字相乘法无敌好用，你学会了没有？经过前面视频的学习，双十字相乘法我们来解决一道啊，十分附加题，看你学会了没有。 s 平方减三 x y 减十， y 方加 x 加九， y 减二，这就是我们经典的二次六项式哎，就首选我们的双十字相乘法解决问题，哎， 拆谁拆平方向平方向和我们的常数项凑谁凑我们的负三 x y 正 x 和九 y。 好， 我们一起来拆一拆 x， 平方拆成 x 乘 x， 然后我们的负十外方呢？符号先不用着急给啊，我们先来来凑二五一十啊，比如说二 y 和五 y 来想一想，交叉相乘啊，这里是五 x y， 这里是二 x y， 符号给谁能得到？负三 x y 给谁给他呗，对吧？啊，因为负五倍的加二倍的就是负三倍的给他的话，是这样来的啊，是这样乘出来的五 x y， 所以 符号给到他了，这个就被我们凑出来了。 接下来拆谁拆我们的常数项，哎，常数项有个负二，还是不管符号给谁啊，一二得二， 他俩有个人有个符号没关系，我们先画十字，一会来凑，他俩乘完之后呢，是负五万，他俩乘完之后是四万，你希望他俩的和是多少？来凑出来九万九万啊，怎么办啊，你这里变成正五，正五加正四，不就是九吗？所以说我符号给他 啊，符号给他，前两个被我凑出来了啊，最后一个起决定性关键作用就是我们第三个十字用来验证的，他有一票否决制。那我们来看啊，第三个画十字， x 乘以二是二 x， x 乘以负一是负 x， 太幸运了，二 x 减 x 啊，就是我的正 x 凑出来了， 太幸运了，一次搞定，最后横向书写，所以直接得到我们答案。解，原式等于 x 加 y 减一，乘以 x 减五， y 加二。好，至此，音式分解法老师一共给大家六个视频，七种方法，包含我们的出阶、进阶和高阶。哎，我们音式分解呢，这一块大骨头啊大难题，各位同学一定要啃下了，你好好去翻阅我们前面的视频就可以了。

八上数学最难的英式分解全部吃透，逆袭班级前三！首先是英式分解的知识归纳，一、英式分解的概念 二、提取公英式法三、平方差公式法四、完全平方公式法五、十字相乘法六、分组分解法。再来看英式分解的易错题，易错点一， 混淆英式分解与整式乘法易错点三、公式运用错误。完整电子班课分享！

八上数学英式分解就八大题型吃透，考试稳了！

八上数学最难的英式分解全部吃透，冲刺班级前三。八上数学整式的乘法与英式分解必备公式密的运算，乘法运算，英式分解法求值问题三十道，一、 利用公式解答二、代入求值三、利用完全平方公式四、英式分解变形五、整体带入。六、根据公式七八根据密的法则即可解答。十、根据同底数密的乘法化简。

八、上数学期末必考因式分解十大题型，吃透冲刺班级前三题型一，整式乘法与因式分解的关系 题型二，利用因式分解求值题型三，利用因式分解进行减变运算题型四，因式分解的实际应用题型五，利用因式分解解决整除问题等十大题型吃透这些，数学期末稳上一百一十。