材料力学公式汇总完全版

今天要分享的是材料历学证明题答题方法和技巧，我将用三十四道题带你掌握各章节推导证明题开始上课， 我们今天准备的这些推导类证明题呢，是相当于把基础班和强化班的所有的推导类证明题都融合在了这里，如果你想看的话也是可以的，也是感谢各位的到来啊，非常非常的感谢啊。 走吧，接下来我们来看一下啊，我们在第一场的时候，这里呢给大家准备了这三个，准备了这三个也就是拉伸，压缩以及剪切的题目。拉伸，压缩和剪切题目到底有什么呢？首先是第一个，第一个呢，这道题相信大家呢，做三百三十题的时候应该也是做到过的，那么这个三百三十题 为什么要给大家放进来呢？为什么可以作为一道推导类的正问题出现呢？就是因为他的推导的这个东西怎么突然变快了，我是尽量尽量讲快一点，行吧，没办法啊，这个条件有限，希望大家能够担待一下，没办法啊， 感谢各位的一个到来。那么这道题啊，他是求的是什么呀？去求的是魏仪和立的真的一个关系，哎，这样的一个比较不常见的一个题目，很多同学如果如果以前没有见过的话，你在考场上是绝对推不出来的，所以说我希望大家能够去熟悉一下，万一你们学校考到了呢，那你考到了啊，你现在看到就是赚到了， 所以呢，需要想去推导这样的一个题目的时候，哎，他一般呢会给你一个东西的，可能他直接给你，让你去推导一下，哎，这个力和位真的关系是这个，那么你能不能去推导出来呀？要想去推导出来呢，一定要具备如下的一个思维，那么就什么呀，三步走，大家记住啊，要想去推导这个题目的时候， 一定是三步走的，哪三步走呢？还记不记得呀？我们在做杆的变形协调呀，在做杆的拉伸压缩，这样的一个，大家记住啊，三步走的第一步， 这第一步静力平关系，那么第二步呢就是变形协调关系，第三步就是物理关系，这三步是一定要非常的熟悉才行的。那么我们一起来看一下这道题，这道题呢，它的过程呢，明显是按照这样的一个思维走下来的。首先呢第一个静力平关系，那么它 变形成这个样子之后，他是不是要对这个节点做一个受力平衡的分析啊？哎，首先呢他就去做了一下，哎，在这个节点是存在这样的一个平衡关系的，他只不过呢用了一个小技巧，那么这个小技巧呢，是需要大家去学学习的，那么在小变形里面，他是存在这样的一个技巧，但你是可以去做这样的一个等效的，做完等效之后呢，哎，这个就可以去得到一个比较简单的式子，一个关系， 有了这样的第一个关系之后，接下来呢第二个变形协调关系，那么这里的变形协调关系啊，有回放，这里的变形协调关系呢，它是有一点的严谨的，大家记住啊，它这里的变形协调是相当严谨的，不要用你们的小变形去做，记住，一定要通过这样的一个严谨的角度，通过这样的勾股定律去做， 才能去真正的得到我们这道题的一个答案，所以呢，这道题就按照这样的一个直角三角形的勾股定律去做就对了，最终呢，你就可以去得到这样的一个关系，这个就是变形协调关系。有了这样一个变形协调关系之后呢，前两步已经做完了，下来就是第三步就是物理关系，那么物理关系呢，就是这个 这个物理关系呢，相信大家都是非常非常熟悉的啊，这个也是一定要记住的一个宪性深长的一个公式，如果你没有这个基础，可以回过头去看我们前面的四次的直播啊，前面四次的直播呢，也是非常关键非常重要的，如果你没看过，希望大家能够去看一遍，对吧？ 那么通过这样一个三步走呢，哎，最终我们就可以去推导出最终的一个结果来了，那么我们的力呢，和卫衣是存在这样的一个三字方的一个关系，行 吧啊，这个嗓子已经保护不了了，实在保护不了了。然后呢，接下来就是第二个啊，第二个这个证明题呢，是出现在剪切的里面，那么在剪切的里面呢，他经常会遇到类似的一些推导类的证明题的，就比如说这个 这个题呢，考的是非常非常经典的啊，非常非常经典的各种学校，他可能会出选择题啊，填空题啊，判断题啊，都可能出这样一个小题啊，他绝对是一个小题，他出选择题的可能啊，出这个什么 解答题啊，也是有有可能的，然后出大体的概率是不大的，但是呢，希望大家能够去学会，哎，这样的一个东西，他怎么去求解？这样的一个铆钉的一个题目，他的剪切，到底他的剪切是出现在这个螺帽的这个地方，大家记住啊，是一个螺帽， 是这样的一个螺帽，然后呢它怎么滴呀？它中间的这个部分直接被剪掉了，好嘞，中间直接被剪掉了，所以说呢，它的面积就应该是这个周长乘上它的一个厚度，这个是剪切的面积，这个是剪切，直接用剪力去除以面积就行，然后呢是得到它的剪切用力，然后它的拉伸呢就直接是这个地方去拉断了， 一个是拉断的，一个是剪切的，然后呢让他们两个去满足一个比例关系，最终呢就可以去根据这个关系把他的这个结果啊，他的这个关系去推导出来。这个呢就是我们各种院校可能会考察到的一些题目，这个小的证明题也是希望大家能够去学会的，对吧？这个就是给大家这样的一个 一个建议，这种类型的题可能还有很多，好吧，还有很多啊，希望大家你自己私下可以去发现啊，发觉，哎，如果说他出这种题的时候，我到底会不会，我能不能去求出来，哎，这个呢给大家做个提醒就可以了。 那么，哎，这个推导啊，轻易的不能定力，怎么去推导呢？这样去推导啊，你先把他的这样的一个单元体去画出来，画完这个单元体之后，你用平衡的角度去推导，大家记住啊，我们的平衡角度是非常非常重要的，等一下呢，还要用很多很多的平衡的角度去纠结的，所以说一定要希望大家能够记住 平衡啊，一定要记住这个词，今天直播，你记住这两个词就足够了啊，这个词啊，然后呢就是这样啊，这样的一个单元体，你拿出来之后，哎，我们怎么去平衡呢？对这个 z 轴去取句，对一个，随便一个轴去取都可以啊，随便一个轴，这里呢，我们是对 c 轴去取句的，对 c 轴去取句呢，相当于用切硬力， 切硬力乘这个面积才能变成一个减力，那么这个啊，相当于这个切硬力乘上这个面积， d y 乘上 du 它这个呢就是它的减力 点，力有了之后，再去对这个点去这个轴去举，去乘上距离就可以了，乘上 d x， 这个呢是一个举，然后呢另外的一个界面也是这样的一个道理，哎，用这样的一个力去乘上它的面积啊，对边它乘上 d x 就是 它的面积，再去乘上它的举就对了， 所以呢，通过这样的一个求解啊，这样的一个对 z 轴平衡的一个平衡方程，最终呢就会去求出这样的一个切引力互等定力来了，行吧，这个大家一定要学会的啊，非常非常的简单，这个是第一个， 那么接下来第二题呢，这个是非常非常重要的，那么一个扭转轻盈的推导，这个呢是非常重要啊，一定要记住了，首先呢他满足的也是要想去推导这个证明题的话，同样也是三步走， 大家记住三步走，那么这个三步走怎么去走的呢？首先第一个静力平衡关系啊，这这里我们是反过来走的，但是呢，他也是三步走， 那么三步走呢，那么第一个是几何关系，几何关系呢？就是哎我们的这个变形，它的应变到底是什么样？首先这个应变的式子你不要管，你给我记住， 这个式子是一定要记住的，记住式子之后才能去做，而且大家记住不管是在陷阱还是非陷阱的时候，那么这个它的应变的式子是永远不会变的，永远不变，不管条件怎么去说的，它永远不变，它就是固定的，那么你记住它之后才能去做其他的题。接下来呢就是物理关系，由于我们 追导的这个扭转经历的题目呢，它是在现弹性下存在的，所以呢它现弹性下满足胡克定律，胡克定律这个东西相信大家应该也是会的，胡克定律，然后呢我们就可以去变成这个样子啊，这个就是物理关系，有了物理关系之后，接下来就是一个静力平关系，这个大家看一下是不是三步走，三步走跟我们前面的是不是一样的？静力的，几何的以及物理的正好就是三个。 那么这样的一个静力平关系怎么去列的呢？这个静力平关系也是一定要知道的，他相当于是 a 有 了一个点的一个面积，面积上这个点的一个引力，这个就是他的一个清理，有了这个点的清理之后，对我们的圆心去取据， 然后呢把所有点的这样的一个据去综合起来，他一定是等于外面的那个扭距的，这个就是静力的平关系， 这个式子是大家一定要会列的啊，静力平的式子，然后呢通过这样的一个式子，我们把前面的这个轻力带进来，带进来之后里面是有一个 ro 的 啊，这个 ro 带进来之后，这里也有一个曲距的 ro， 所以呢，他们就会变成一个平方，变成一个平方之后，那么他就是什么呀？就是我们的极惯性矩，我们极惯性矩的式子不就是这个样子的吗？ 所以就变成极关性矩，而且大家一定要会去学会去求啊，如果给了你个洁面，你能不能用极关性矩把一个洁面的啊，能不能去求出一个任意洁面的极关性矩，这个也是大家要有的这样的一个能力。 然后呢，我们把式子变成这个样子之后，下来呢，就可以去做一个比值啊，直接这个式子二式和三式去做一个比值，就可以去推导出我们的切引力的这样的一个公式了啊， 行吧，这道题呢，我也不用太多时间啊，这个大家一定要会的一个东西。然后呢，接下来就是第三题啊，第三题呢，就是这道题的一个变式，这个大家你可以去看一下啊，跟我们前一题的是完全一样的，只不过呢，上一道题是限性的，这道题呢是非限性的了，看到了吧，它明显是一个非限性的题目，那么对于这样的一个非限性的题目怎么去办呀？还是老样子，大家记住啊，还是老样子。 首先呢，第一个应变的式子，几何关系，它是永远不变的，所以说你就把它带下来就行了，既然这个式子是恒定不变的，那么除了他之后，哎啊，既然这个应变的式子是不变的，那么你通过这个式子，你的这个切引力是不是就有了呀？这个就是这里的物理关系， 所以说啊，在物理关系层面也解决了，有了这样的一个强力之后，接下来还是去列静力平关系，跟前面还是老样子还是一样的，所以说我们只需要去带进去就行了，一个切硬力乘上面积就是一个减力，减力乘上半径就是对圆心的一个局，你就直接这样去求啊，直接去积分就对了，最终呢，你们还是老样子，把我们的这两个常量去给他提出来， 记住啊，把这两个常量提出来，你把这两个常量提出来之后，就是里面的一个积分啊，直接剩下的就是里面的一个积分，里面的积分我们一般就管它叫做惯惯性矩啊，不管是什么样子，我都管它叫做惯性矩，哎，就是这样的一个东西， 所以呢，这个式子出来之后，我们还是二式和三式做一个比较，那么这个吸引力的式子就出来了，然后呢，你有时间有精力的话，再去自己去求解一遍这样的一个积分就行了。那么这个积分呢，大家也可以去看一遍， 我们的这个积分呢，是这个样子的啊，这个单独给大家放过来了，如果你想去学的话，可以去试一遍这个你们自己去积分呢，也是一样的，把这个非常简单的一个数学的积分，所以说你把这个啊 ipm 积分出来之后，哎，再带入到我们这个式子里面，就是最终让你证明推导类的这样的一个式子了，行吧， 有回放啊，行吧，这个就是给大家讲一个惯有的一个一个都有的一个逻辑思路啊，你们今天重点学的就是这样的一个思路，有了这样的一个思路之后，即便呢你这几天你没看条历学可能呢都忘记了，但是你考场上你能想起来这个思路就足够了，这个至少值十分 这个思路，好吧，这个思路至少值十分，你们要能够记住这个思路，绝对的十分保证了啊，十分稳了。那么接下来呢就是第四个啊，第四个就是我们的薄壁的这样的一个经历公式，他是怎么去推导出来的？想去推导这样的一个薄壁扭转的经历的公式的话，首先呢他存在两步的证明，两步证明第一步， 第一步是什么呢？第一步他首先需要去证明我们的切引力的是存在这样的一个关系的，就是在一个厚度不太一样的这样一个薄壁的一个里面啊，这样的一个一个结构里面。然后呢去求一下他们之间的一个关系，大家可以看一下啊， 首先是这个式子啊，根据这个式子去证明的，这个前面左边是和这个式子去对应的，那么他需要去求一下我们的任意一个点的经历，他和厚度之间的一个关系，这个关系呢是先去求出来的，怎么去求呢？就是这个样子，首先是根据经历不等定律的啊，你你就需要去这样去切，怎么去切的呢？这里跟一定要跟大家重点去说的， 我们大家记住啊，二刀流，只要是听过科瑞哥题目的时候，听过科瑞哥的方法的话，那么一定要记住二刀流的这样一个方法。什么叫二刀流呢？就是我们在推导类证明题的时候，往往是切两刀，一定是切两刀，记住，永远记住是切两刀，有些时候因为你切一刀的时候，你解决不了任何的办法， 你把这个结构就切开来了，切了一刀，你取出一段来了，取出 d x 段啊，基本上我们的方法就是啊，对，这个是三百三十题啊，如果说你看过三百三十题的话，这个相信大家应该也是有这样的一个能力和水平的，那么我们一般是二刀 第一刀的时候先去切一段，切 d x 段啊，我们一般推导类证明题都是这样去操作的，有些题你切一刀就足够去证明了，足够去列平衡方程就可以去解决了，但是这道题他不行， 那么你切一刀，你发现你不行的时候，一定要记得去切两刀啊，再去取出一个微段来，也就是这道题，通过这样的一个薄壁的圆环，切了 d x 段之后，再去取一段啊，在上面去取一段，取出来这样的一段 出来，这样一段之后，哎，根据这样的一段，上面的一个平衡推导类，一个清理互等定律，我们就可以去推导出这样的一个关系来，就是任意的一个位置的，他的闭后啊，和他的这个清理，他的成绩是一个定值， 这个也可以当成一个，一个什么呀，一个结论去记的啊，当成这样的一个结论，然后呢，有了这样的一个结论之后，才能去推导我们任意一个洁面的，他的一个保蔽的扭转的清理的公式也是这样去推导出来的，大家你自己刻下的时候可以去看一遍，但这里大家重点去记的一个理论，一个方法就是二道流， 你要记住二道流的时候，即便你在推导类的时候啊，你在推导题目的时候，你可能不会，但是你记住这样一个思想，那么你知道去切两刀，哎，这个足够了，好吧，这个就足够了啊， 我们去切两刀之后，哎，他的这个平方成是怎么去列的呢？就是我们水平方向的这个平方成，用水平方向的这个 切力啊，用水平方向的这个切力去乘上这个面积，然后呢，他就应该等于这个方向的切力乘上这个面积，这样去等效起来的，行吧，这个呢就是非常重要的一个思想的讲解。 那么接下来就是第五个这个柿子啊，这个东西也是希望大家能够去学会去证明的，那么这个怎么去证明呢？就是哎，证明我们的这样一个薄壁的扭转的相对的公式，那么它的条件这个相宜，大家都知道，只有在直径大于厚度啊，是二十倍的时候，你才能去用这样的一个柿子，这个柿子叫什么柿子来着？叫， 叫什么近四式，记住啊，是近四的一个计算的一个结果，这个是记计算出来的这个结果啊，只能是约等于这么多，但是呢，一般 这个题目他题干里面说了，这个题目是薄币的扭转的时候，一般就可以去用这个公式了，而且你还要去看一遍我们的币啊，我们这个直径和币后之间的一个关系，到底是不是二二十倍的这样一个关系，如果是二十倍的时候，我们才能用这样的一个公式，如果不是的话，我们一般是用哪个公式呀？一般是用薄币扭转的那个公式，也就是这个， 我们一般用的是这样一个公式啊，这个大家一定要做好区分，这个叫什么呀？这个叫什么呀？经四啊，这个叫准确的准确值，精确值啊，这个叫精确，这个叫近四。一定要区分好他们之间这两个式子之间的一个关系， 一个叫近四，一个叫精确。对，这道题你要想去证明的话，他的这个证明的思路是怎么样的？就是把你的一个近四的值带入到这个式子就行了，因为我们啊就是这个样子的，对不对？我们准确式是这个样子的 近似，是是是这个样子的，所以说你现在想去求之间的一个区别吗？那么你就把他们共同的量去往里带就对了呀，尤其是这个准确的式子，精确的解，精确的解的话，你就需要把这些，哎，我在这个式子里存在的一些量把它带进 去，你就比如说直径啊，共同的直径，也就是平均直径，我就需要把这个平均直径的这个量给他去带进去，哎，这个平均直径啊，这个大地是等于平均直径，加上这个什么呀？ 减去这个 b 后的，所以说把这些值带进去之后啊，带入到这个精确解之后，他就可以得到化简，得到这样一个式子，这个式子再去和我们的这个近似是做一个比较，他就可以去出现这样的一个东西了啊，出现这样一个东西了， 你只要让这个解去小于百分之五的误差，这个就可以，因为我们采用历时历，这个经常跟大家说，对吧？听过 qq 课的同学都应该都知道， 我们曹立学是一门偷懒的学科，只要保证百分之五以内的误差就足够了啊，这个我们就算是正确的，这个给大家判卷的时候也是这个样子，你们计算出来的结果和我们的答案啊，答案给的这个方法，这样的一个答案，他的误差只要不超过百分之五，就认为你的答案是对的，所以说不管你的答案计算出来等于能够等于多少啊，没关系，只要误差 超过百分之五，这个就是对的。然后呢，最后啊，这个大家我们正出来呢，哎，只要是大于十八的时候，他其实就是可以去证明的啊，他的误差是不超过百分之五的，行吧。然后呢，接下来就是我们扭转的弹簧类的题目，扭转的弹簧类题目呢，一共有两个的，这里呢，我们重点应用的方法就是什么呢？就是我们的做工等于应变能的这样一个方法。 然后呢，接下来啊，这道题一定是这样的一个方法啊，做工等于应变能，这个大家可以看一下，我们的弹簧他只受扭转的 这样的一个 fr 的 一个扭矩，那么这个弹簧任意位置它只有扭矩，它没有减力，我们一般是不考虑减力，这里呢也没有弯曲，所以呢，在只有扭矩的状态下，哎，我们直接列这样的一个能量守恒是非常容易的， 这样的一个能量守恒的式子啊，能量的一个式子，应变能的式子，相信大家应该都会的，那么这样的一个应变能呢，它一定是等于二分之一力成了它做工产生这段距离的，所以通过这样的一个方法，我们就可以去把这个东西给它证明出来，就可以去求出我们的这个位移来，求出位移来之后呢，它的刚度就有了，因为我们的刚度应该是等于什么呀？ 这个位移出来之后，我们的刚度就应该是等于力去除以位移吗？这个就是我们的一个刚度，所以呢，这个弹簧的刚度都是这样去推导的啊，也是需要大家一定要有这样的一个思想和方法的，那么这道弹簧的题呢，也是非常非常重要的。这道弹簧的题呢，跟我们上一题的出题的方式和方法是不同的，我觉得啊，如果有能力，有经历同学可以去学一下这道题的一个方法， 这道题的方法还是非常重要的，尤其是这道题的弹簧的这个思路啊，这道题的思路呢，你看一下他一个斜弹簧，好吧，他一个斜弹簧，那么这样一个斜弹簧，他就面临一个问题，他的他不是一个直的啊，他的扭矩，哎，每一圈都是不一样的 啊，每一圈都不一样的，所以说呢，他的扭矩是在变的，然后他的这个力矩的这个力臂啊，或者什么长度都在变的，所以他的很多量都在变，他的这样的一个形状就跟一个蚊香是一个道理的， 就跟蚊香是一个道理，所以呢，哎，他的很多变量不一样，那么他就会需要一个新的解析的思路，那么这个新的解析思路就这个样子啊，这个大家可以去学一下，这道题的重点是在这里的， 这道题的重点，希望大家能够去看懂，能够去学通，这个的证明就在这里。那么这个思想是什么思想呢？就是这个样子的，我们每一个界面他都会受到一个扭矩， 好吧，每一个界面都会受到一个扭矩，那么这个界面受到一个扭矩之后，你受到了这样的一个扭矩，在这一段上，在这一个 d、 x、 d、 s 段上，它就会产生一个扭转角，这一个 d、 s 段产生的扭转角，它就会产生一个位移啊，它的 d、 x 段就会产生一个这样的位，只要它有一定的扭转角，它就会有一个下降量， 这个就是我们这道题的一个核心的思想，你求的就是这段的一个牛转角，这段牛转角上这个半径就是他的一个下降量，所以呢，我们做积分就是把这个下降量都给他积出来，这个就是这道题的一个思想啊，希望大家能够去学。 然后呢，接下来就是到了弯曲内力的一个章节，弯曲内力他的推导类的题目并不多，这道题呢也是非常的简单，这道题呢，我希望大啊，相信大家都 了解我们的什么呀，我们在去画简陋图，万一图的时候，它是存在这样的一个积分关系的啊，我们的，哎，这样的一个积分关系，我们的这个积分百合，它做了一个积分，它就应该是等于简历。那么简历再做一个积分，它就应该是等于扭矩啊，应该等于扭矩，扭矩再做积分是等于什么呀？ 扭矩再做积分应该是等于什么？我们的 q 做了一个积分，应该是等于简历，简历做了一个积分之后，应该是等于弯举，那么弯举再积分呢？应该是等于什么？弯举积分之后等于什么呀？ 转角对吧？弯举积分的话等于转角，转角再去积分的话，应该是等于挠度，所以这个关系啊，这样一顺的关系是一定要会的。好嘞，怎么去积分下来的？这个关系啊，大家一定要理顺，理清他怎么去积分出来，他的一个应用的方式和场景要学会啊，这个就不多说啊，这个是大家的一个基础要有的。 所以呢，这样的一个题，哎，这样的一个公式，他到底怎么去求出来的呢？他到底怎么去证明的呢？这个乘法考了好几年了这个乘法考了好几年了 啊，这个答案确实有一点问题啊，有点问题，这个方向你可以向下啊，这个方向可以向下，然后呢，这个方向向下之后，他这里就应该是一个负的啊，这里就应该加一个符号。 这个答案确实有点问题啊，但是这个思想你们要学会的，哎，这个思想要学会。这里有一点问题，但是你这个思想要学会。那么这个是什么思想呀？就是切 一导流啊，前面姐给大家讲二导流吗？这道题是一导流哎，让你去证明这样的一段你就对了，你去切出 d x 段来， 切出点一个段来之后，哎，拿出这样一个结面来，那么在这样一个结面来呢？它的简例是一边是 fs， 一 边就是 fs 加 dfs， 然后呢下来就是轴力也是一样的啊，轴力这边是 f n， 那 边就是 f n 加 d f n， 然后呢弯矩也是一样的，这边呢是 m， 那 边就是 m 加 d m， 你 把这个图给它画好，画好之后呢，你去求平方程啊，水平一个，数值一个，然后呢再对某一个点去取据，再列一个三个方程，绝对是可以把这道题的一个解题的方式和方法，这个是大家要学会的，可以吧？ 这个跟正负没有关系来，这个跟正负没有关系啊，你们只需要去这样去列出出来啊，你把这个关系去列出来，去求就对了啊，去竖直方向去列一个平方整，你就可以得出来，这个你没必要去纠结他的正负关系啊，没必要。行吧， 完全正例的章节呢，他的证明题还是蛮多的，因为大家也都知道，我们不管是基础班还是强化班，他有很多类的证明题，这个大家你可以去回顾一遍， 在弯曲硬币的这个章节，你能想到的证明题能有几个？首先呢，第一个就是我们弯曲正硬币的一个证明，那么弯曲正硬的证明呢？这个还是按照以前的一个三步走的规律，所以大家看一下这个三步走重不重要？非常的重要啊，非常非常的重要， 我们三步走是非常非常重要的，那么有了这样的一个三步走呢？怎么去做？首先第一步是几何关系吧，永远的第一步啊，几何关系，几何关系，而且是最重要的，它是不变的。记住，你不管在什么 啊，你不管是在比如说是线弹性的时候，还是非线性的时候，或者是在不同的梁，不同的材料的梁的作用下，有些时候这个梁是不是可能是两种材料呀？有些时候，哎，这个是上面一个，下面一个，有些时候左边一个，右边一个啊，他可能这个材料都不一样， 即便是材料不一样的话，他只要满足一个条件啊，有些时候他的题干里会说，哎，如果说这个梁啊，他是什么呀？满足平面假设的话啊，满足平面要求的话，哎，那么他的几何关系是一定成立的，大家记住啊，一定成立，永远是成立的，所以说你不要去去考验他的一个做题的应用场景，横成立， 只有他是恒成立的，其他人呢，可能不成立啊，但是他恒成立，哎，所以说他一定要写出来，只要是证明题，你要一定要把它写出来，然后呢有了这样的一个结构关系之后，接下来就是物理关系，物理关系呢，由于我们现在是现弹性的情况下，所以呢应用的就是这样的胡克定律啊，这个胡克定律要写出来，写出来之后变成这个样子，那么接下来呢，就是我们的静立平关系。静立平关系怎么去做的呢？是这样， 我们去取一段面积，取一段面积之后呢，他肯定是有一个正负力的，这个正力乘上面积就是一个力啊，就是一个轴力了，这个轴力呢，对我们的中性轴去取据就对了。这个就是一个扭矩啊，或者叫弯矩，在这里呢我们叫弯矩， 就会形成一个弯曲，然后呢把所有点的弯曲值做一个积分，这个呢就会形成一个结面的弯曲，然后和另一个外面的外在的弯曲去平衡就对了啊，这个就是我们对 z 轴的一个弯曲的平衡方程，那么我们在这里呢，只会用到 z 轴的平衡方程，这里我问一下大家， 有人用过 y 轴的平衡方程吗？ y 轴什么时候会用到平衡方程呢？你们有人用用过吗？ 有人用过吗？对啊，推导类的证明题呢，如果说题干给了图啊，你可以用题干的图，但是呢，你答题是在草稿纸上答的，即便题干有了图，那你也需要自己去画一遍，所以说证明题是一定要自己去画图的，所以啊，你的这个准备的笔啊要好一点， 一定要带尺子的，到时候 一般是什么要要用到这样的一个 y 轴的一个平方整呀？弯曲的平方整呀？对啊，是斜弯曲啊，而且是什么样子 的？是这个样子的题啊，这个题我不知道大家有没有以前见过啊，他是这样哎，他这里呢是有一个一个悬臂梁啊，他这里是一个墙这里是一个墙这里是一个墙呢？然后他会伸出来一个梁啊他会伸出来一个梁哎，他伸出来的梁呢？是是这个样子的 它伸出来的梁是这个样子的，那么这个梁呢是这个样子哎，它怎么去形成的这个梁呢？它是竖直的两块木板啊，这里是作用了一个力，这里作用了一个 f， 然后它这个结面呢是什么样子的？它的结面是这个样子的 哎，这边呢是 e 一 的一个结面，这边是 e 二的一个结面，然后它会问你什么呢？它会问，哎，我的这个力加载在什么位置的时候，这个梁是平面弯曲，它不会发生扭转， 这个大家会不会呀？这个会不会呀？如果你们想学可以来私下来问我。好吧，这个今天没时间啊，只能给大家讲，在这里 这个就是这个他用到的啊，总体用到的方法就是对我们 y 轴的一个积分，两边的这个硬币，这个界面两边不都有硬币吗？对 y 轴去做一个积分，那么你做对 y 轴做一个积分的话，哎，最终就可以去求出来我们的这个偏心的距离，这个 e 大 概是多少， 这个就是啊，另外的一个知识点了啊，这个就是也是属于叠加法里的一些东西，这个就是两个式子啊，应用的场景是不一样的，这个大家可以去学一下， 那么我们这里重点应用的就是对 z 轴的一个平方成，哎，那么通过对 z 轴的一个平方成，哎，直接的把这个带进去就行了，我们的正力呢，乘上这个面积就是一个一个轴力，轴力，对啊，这样的一个正轴去局距就是这样的一个局，然后呢不断的积分 就会去请和我们外面的这个 z 去相等，然后呢最终积分出来，因为里面呢都是有 y 的 啊，所以说最终都会剩下 y， 那 么它呢就是一个惯性矩，直接把它变成惯性矩就行了， 这个就是这样来的啊，一定要知道惯性矩是怎么来的，然后呢哎，形成这样的一个式子，这个式子呢也是应用场景是非常非常巨大的，应用的就是这样的一个式子，这个就是这个式子怎么去来的啊？要知道怎么来的，那么这个式子呢，最终你做一个简化，它就会变成这个式子， 这个式子可以说是弯曲变形里面非常非常重要的式子了啊，从头到尾都是去用它去操作的，所以这个式子怎么来的？一定要学会， 然后呢，通过这样的一个求解，这个还是一样的啊，这个直接去做一个笔直就行了，现在呢二式和三式都有的，二式和三式去做一个笔直，最后呢就可以去把我们这个正用力的式子去推导出来了，这个求解的过程 就这个样子，这个呢就是求解的一个过程，三步走，还是需要大家能够去记住它里面那些东西的应变的式子，这些东西一定要记住的， 这个思路大家记住就行了啊，我们来看下一个，下一个呢就是第二个啊，也是这道题的一个变式题，哎，这道题的变式题呢，就是从一个现行材料变成了非现行的材料，变成了非现行材料之后，现在大家会证明了没有呢？还是老思路，还是按照刚才的一个思路， 我们先把这个应变先给他写出来啊，只要是这种题，你就把它应变写出来，之后就写出来就行了，因为什么呀？因为他的题干里永远会涉及到一句话，什么话呢？就是这个若 平面啊，或者叫平洁面，假设成立这句话一定要有的，一定要有，只要有的情况下你的应变才能去用，记住啊，有的话你的应变才能去用，而且呢这个是横成立的， 然后有了这样的一个柿子之后，哎，由于说这个人的体干中已经已知了这样的一个物理关系了，所以说我们只需要把应变的柿子带入到这个物理关系来就行，你的应变的柿子有了，有了，有了之后再去带入到我们的平衡方程去积分就行了，这个积分关系啊，前面已经说过了， 就带进去，去积分，还是老思路，把你的这个长量给他移出来啊，把这个 b 啊，啊，把这个 b 啊，把如呀都移出来，移出来之后里面去做一个积分，那么这个都是关于 y 的 一个积分，最终呢？ a 在 n 是 基数的时候，我们是可以得到如下的一个积分的啊，可以得到如下的一个关系，最终呢还是两个式子，做一个比值，做一个比，最终呢就可以去达到啊，这样的一个效果， 得到这样的一个关系啊，这个就是我们的一个变式体，希望大家能够通过这个变式体去真正的了解这样的一个思路。我会了啊，接下来我们来看一下其他的，那么我们弯曲正影力的啊，弯曲正影的学会了之后，哎，接下来就是弯曲清理的，那我弯曲清理怎么去做的？那这个弯曲清理同样是用到了我们的二道流，大家记住啊，又是科瑞哥的啊，科氏定力， 我们一般叫科氏定律啊，或者叫科氏方法论啊，科氏方法，我们我们其实还有一个科氏定律的，我不知道大家还有没有印象啊，我们在讲基础班的时候，我绝对是提到过一个科氏定律的，那么什么叫科氏定律呢？就是 我们在变形协调的时候，我最终可以去推导出一个式子来的啊，在变形协调的时候，我可以推导出一个式子来的，那么它的下降量，它一般是等于阿尔法倍的德尔条一，加上贝特倍的德尔条二，这个就叫格式定律啊，有，我不知道大家有有没有这个什么呀？ 这个看过科瑞哥讲这个东西都是非常好的一些东西啊，都是科瑞哥单独的去推出来的一些东西。 然后呢，这个题他的证明，他的推导了一个过程也是这个样子的，他用的二刀流，二刀流啊，二刀流就是，哎，首先呢，我先去在这个界面去切刀，切了一刀之后取出 d x 段来，那么取出 d x 段来之后，他发现他求不了，他求不了这个经历，因为什么呀？在这个界面上他只有简历啊，他只有简历， 在这个界面上是有简历的，那么这个简历他没办法去求经历呢，怎么办呢？我们就有了二刀流的这样一个方法，那么切了一刀之后，又取出一段来啊，又 通过这个二刀流取出一段来，那么这个里面是不是就存在了切引力呀？我们在这个界面是有切引力的，那么在水平的界面是不是通过切引力的互等定律也可以去求出来他的一个切力啊？因为这俩切力一定是等大的嘛， 你现在是不是切了一刀之后，是不是暴露出来了我们切开这个界面的切引力了呀，那么这个切力呢，正好就可以去在水平方向去列平衡方程了。大家记住啊，你只要是去求弯曲强力的，不管是在水平的方向上去列平衡方程的， 一定是在水平的方向列平衡方程。大家记住啊，平方程啊，水平方的一个平方整就行了，直接在二刀流之后水平方向去列平方整，水平方向列平方整，你是不是就用到了这样的一个清力啊，这个清力直接乘上这块的面积，记住啊， 这块清力乘上这块的面积，然后去列这样的一个平衡方程就可以了。这个平方程是在哪里啊？就是这个啊，就这个， 这个大家可以看一下啊，这个平方乘非常非常的关键，这个平方乘它有几部分呢？第一个就是我们切开这个平面的切力乘上面积 组成的一个力啊，水平方的力，那么其他的水平方力还有谁呢？就是我们的正引力组成的力啊，正引力组成力呢，就是 a sigma 一 啊， sigma 二，也就是两侧的正引力组成的这个力，那么两侧的这个组成的正引力的和，也就是轴力， 他其实也是有不同的，他也是有不同的，因为他两侧的弯曲是不一样的，有一侧的弯曲是 m， 另一侧另一侧就是 m 加 dm 啊，他一定是有一个增量的。然后呢你把他们带进来，带进来的时候，哎，列入到我们的弯曲正立的式子，你把这个弯曲正立的式子带进去啊，最终你就可以去一步一步的一步一步的去推导出来了。 这个大家你可以去看一遍啊，这个过程其实跟我们刚才那过程是非常相似的，最终呢就可以去变成这个样子啊，最后变成这个样子，那么你变成这个样子之后呢，我就直接把这个什么呀，把这边的 d x 去移过来， 你把这个 d x 移过来之后呢，直接就变成了简历啊，是 d m 比上 d x 最终变成的 简历，我们的简历是这样来的啊，最终呢就会去把我们的这样的一个经历的公式去推导出来了，这个是非常常见的一种经历的公式，那么其实还有一些特殊的经历的公式呢啊，他的求解的思路是完全一样的，我是希望大家一定要学会这样的一个方法，他的材料也是不一样的， 知道吧，他的材料也不一样，这个材料呢是一一，就比如这个材料是一一，这个材料是一二，这个材料是一三。如果说你材料都不一样的话，你的这个中性轴的方程应该怎么去推导？应该怎么去求， 现在有了 e 时候应该怎么去做呀？还是老样子，但记住啊，还是老样子，我们应用的去求这样的一个中性轴方程的时候，永远用的是水平的轴力等于零的这样的一个方程啊，永远是这个样子。 所以呢，我们先把这个式子去列出来，列出来之后呢，直接带入到我们正因力的一个公式，在这里正因力的公式大家一定要记住，是两个啊，这两个都可以把，这两个都可以。 第一个式子就是我们前面推导过的这个公式啊，这个叫计算式，大家记住这个叫计算式，这个计算式呢，在这里也可以用，在前面去推导，弯曲清理的公式也是可以用的， 然后呢，我们现在也可以用什么呢？用这个定义式，这个定义式不就是我们的弹性模量呈上应变吗？那么弹性模量呈上应变呢？它还可以变成什么呀？弹性模量呈上 y 比上 u， 所以 说我们一般就是用这个， 因为这它里面存在了 e 啊，它里面出现了弹性模量，所以说你只要是证明不同材料的，你就用它就对了，然后呢，如果是同样的一种材料，你用它其实也是可以的啊，同样一种材料都可以，所以说这两个柿子一定要分清楚，一个叫计算式，一个叫定义式，你一定要分清楚什么时候用哪个柿子， 然后呢，我们通过这样一个式子去带进去，带进去之后把这些常见的量都给他提出来，里面呢就是一个积分啊，然后呢里面就会变成了一个 y 啊，对 y 的 一个积分，对 y 的 一个积分，这个叫什么来着？这个叫什么？这个叫净局啊，这个叫净局，一个 y 的 叫净局，两个 y 的 叫惯性局，这些定义是你一定要分清楚的， 然后，哎，它就变成了一个近局的式子，变成了 s 啊，变成了近局，哎，变成这个式子，变成这个式子之后呢，我们把这个 ro， 因为 ro 都是相同的嘛，只要是同一个量，它的 ro 都是一定的， 所以说我把这个轴去掉就行了呀，你把这个轴去掉之后，哎，你就直接把这个径距用其他的形式去展开，我们的径距应该是什么意思来着？不就是这块洁面乘上什么呀？乘上这块洁面的形心到中性轴的一个距离吗？这个不就叫径距吗？所以说径距的定义大家也要知道的啊， 净距的积分式以及它的定义这些东西啊，简单的应用，这些都是要知道的，所以呢，我们就可以去把净距的这个式子去弄出来啊，净距的式子弄出来，净距的式子弄出来，所以带进去，带进去之后呢，最终就会去把我们的这样的一个展开，展开之后得到这个式子，哎，最终我们行星的啊，这样的一个 中性轴的式子就可以去推导出来了，那么你就会发现它和我们以前学过的中性轴啊，行星轴的式子是完全一样的。好吧， 这个就是非常重要的一个题目，那么接下来呢，就是下一个一个简单的证明，这个简单的证明呢，跟刚才其实也是非常一样的啊，这个就是上一道题的一个变式，这个大家看一下就行，它让我们去证明什么呀？ 证明啊，如果说，哎，两块同样的材料啊，不同的材料，然后呢，他的高度是一样的时候，他的中性轴是绝对不会通过一个行星的啊，也就是说不会通过这个中间的这个点的，那怎么去证明呀？用反正法，好吧，用反正法啊，他这里先假设啊，这里先假设，哎，他是通过的啊，他是通过的，然后呢最后再去反正， 好吧，他是不满足的啊，最终就可以去证明出来他是不通过形心的。这个方法，大家你课下的时候可以去截图去保存，可以去自己看一遍啊，这个没多难，跟刚才是差不多的。 然后呢接下来就是下面的这道题啊，下面的这道题呢，也是比较关键的一道题目，我把这个放这里吧， 这个大家可以看一遍，这道题呢是让我们去推导这样的一个不同材料的，也就是什么呀，叠合梁的弯曲正用力的一个公式，那么大家一定要会两点，第一个就是我们叠合梁的一个中性轴怎么去求， 我们叠合梁的中性轴怎么去求？刚才已经给大家试着了，对不对？刚才已经让大家去证明了这个式子，所以说你应该知道了，哎，我的式子是有的，我可以去用这样的一个式子去求中性轴， 第一个就是去求中项轴，那么他应用的式子就是我们前面的那个式子，那么第二个就是什么呀？这里啊，第二点就是什么呀？去求他的什么正用力的公式，我们再去求解正力公式的时候用到的还是啊，还是不太一样的啊，还是不太一样的，哎，他就变成了这个样子， 我们前面的是近距，这里呢就变成了惯性距，因为他要取距呀，来这里他就涉及到了取距的一个东西，这里呢我们应用的是轴力等于零，这里呢是弯距等于零， 所以它应用的场景是不一样的，掉下去就正例啊，应用的就是它。然后呢我们啊直接去取据，取据的时候它就会多了一个 y， 多了一个 y 之后它就会变成惯性矩，知道吧？它就会变成惯性矩，哎，就是从这里啊，慢慢的去积分，积分出来之后最终就会变成惯性矩，那么变成惯性矩之后我们就可以得到一个什么式子来着？我不知道大家有没有印象，它就会得到这样的一个式子， 他就会得到这样的一个式子，那么这个式子是什么呀？这个式子大家在哪里见过呀？我什么时候跟大家说过呢？这样的一个式子，这个式子在什么时候可以用呢？是不是在量去求量的一个弯曲变形的时候呀？ 如果啊一个叠和量让你去求弯曲变形，让你去求这个挠度是多少呀？这个什么是多少呀？这个我在模考的时候是不是给大家讲过了，让你去求这个东西的时候，你是可以直接用的，大家记住啊，如果让你去求的话，你是可以直接用的，尤其是那些这种叠加法的公式，是可以直接用的， 非常重要的两个公式啊，希望大家能够记住啊。这个呢就是第六个了，要去求一个是去求中轴的，一个是去求一个叠和梁正立的这两个公式的啊，这个要学会去推导，这个我就不去说太多了啊，这两个要记住， 没人回忆吗？我们在第六张硬应变的章节，到底有几个能够去推导类的题目，你们都想不起来呀，这个肯定是一个啊，这个就是一个，这个就是什么呀？ 就是斜界面的一个硬力的公式啊，硬力和正力和正力的公式，这个到底是怎么来的？因为很多同学呢，只会用对不对？ 在我们斜界面的正力啊，任意一个界面，任意一个角度的正力和正力的公式，这个相信大家都非常的熟练，也都背的是滚瓜烂熟的，但是这个公式怎么来的，你现在知道吗？他如果让你到时候去推导，你能不能去推导出来呢？这个也是非常关键的啊，我们推导的一个过程应用的方法和思路是什么呢？ 应用的这个思路就是平衡方程啊，我们平衡方程说过多少次了，我们从头到尾应用的都是平衡方程，对不对啊？都是平衡方程，所以说你只要学会了平衡方程，很多东西都是迎刃而解的， 只不过大家是没有这个思路而已，你可能你这个证明题看的比较少，你就不知道它的思路究竟是什么样子，但是你看的比较多了之后，你会发现啊，真的太简单了啊，真的太简单了，全是这样的一个思路，绝大多数百分之八十九十都是平衡方程，你只要能够去，哎，取出一部分来啊，永远是取出一部分，取出一部分再去做一个平衡方程，基本上就差不多， 你千万不要用英立原退啊，千万不要用英立原退，那个不现实的， 那么我们啊，这样的一个一个小点的一个受力应变啊，一个点的受力变，他的一个正受力，受力到底怎么去求的呢？就是根据平衡方程，那么怎么根据平衡方程呢？就是切一刀啊， 把你的一个单元体去切刀，切了一刀之后，哎，变成这个样子，这个大家可以看一下啊，切了一刀之后的一个形状，那么切了一刀之后怎么去求呢？就是在任意的方向上去投影就 ok 了啊，你可以看一下我们这个怎么去投影的呀， 是不是任意角度的一个正负力的啊，值却也乘上 d a， d a 是 不是就是这个洁面的面积啊？ 记住啊，这个洁面的面积啊，是非常重要的，然后呢，是这个洁面的面积，然后呢，你会通过这个面积去求出来其他洁面的面积之间的一个关系，因为这里不是有角度吗？ 通过这个角度你就可以取出来，哎，我水平的这个面积的面积是多少数值的这个面积是多少啊？有了这个面积之后，你才能是有利的存在啊，你的硬力乘上面积才是力，我们列的平衡方程永远是关于力的，而不是硬力的，你记住这一点，永远是力的平衡，而不是硬力的平衡啊，是硬啊，是力可以做投影， 可以在这样的一个方向去列平衡方程，我们第一个平衡方程呢，就是在这个方向的平衡方程，那么这个方向呢？哎，如果其他力不在这个方向的话，就需要去做一个投影，你就比如说我的歪的啊，歪的这个呀， 歪的这个在这个方向去做一个投影，然后呢，我的两个轻力啊，同样也是在这个方向去做一个投影啊，所有的令力乘上面积，它都是力，大家记住这一点就对了，因为你们很多同学都没有概念啊，你们觉得硬力就是硬力，跟跟这个 轴力啊，这种宏观的力没有什么联系，其实不然，其实不然，只要是硬力乘上面积，它就是力，好吧，永远是这个样子的，然后呢，只要是力，它就可以去做一个平方乘，然后它面积之间的关系就是这个关系，你只要找到一个其他的跟你的这个关系，就可以去唯一的确定了。 然后啊，就可以变成什么呢？变成经过这样一个式子的一个推导，由于呢，他的这两个值是相等的，正啊，这两个完全相等，所以呢，最终就可以把式子推导成这个样子来，就可以把式子推导成这个样子，那么我们把式子推导成这个样子之后，再根据我们的 这个正弦与弦的一些关系啊，二倍角的一些公式啊，最终就可以去把我们啊这样的一个常用的任意角度的正例就推导出来了，那么这一点我不知道大家有没有看到这个公式呀， 那么你们大家看到这个公式之后有什么感想？我这里问一下大家，我们把这个这个式子啊，我们把这个式子推出来之后，你们看到这个式子有没有什么感想？有人有感什么感想吗？ 你能够得出来什么结论呀？我们任意角度的正盈利，它是等于什么呀？它是不是等于水平的正盈利的投影吧，水平的正盈利的一个投影， 数值的正立的一个投影，再加上切硬立的投影，看到了吧，那么这个投影呢，只不过他的成的值跟立的投影成的值是不一样的，我们要求立的话，他成的投影一般是 cosine 就 哦就够了，但是你到了硬立这里是不是成的都是平方呀？ 你用的都是 cosine 的 平方啊， sine 的 平方，你用的是这个东西，所以说学东西一定要学透的，一定要学透的，所以你记住这样的一个关系就行了啊，如果要投影的话，一般是这个样子的， 然后再来看第二个啊，这个引力应变张几，它的推导类正问题并没有多少，它其实第一个呢，就刚才的那个，对吧？刚才第一个啊，接下来就是第二个，第二个就是薄壁的这样的一个压力容器的 宝贝，压力容器呢，它有正盈利的两个公式的，这个大家是让大家记住的，对不对？让大家记住的啊，这两个公式是大家一定要记住的，那么你既然记住了，哎，一定要学会推导它到底怎么去推出来的呢？就是根据平衡方程啊，永远是平衡方程， 你只要去切就对了，切完了之后对不对？切完了之后去列平衡方程，哎，这个呢是在水平方向去列的。 x 的 这个是水平方向去列的啊， 它相当于是水平方的受力乘上水平方的投影的面积，最终呢就应该是等于我们的这一圈的薄壁啊， 这个呢就是压力乘上这个投影面积，然后呢这个就是我们哎一圈的压力容器这一圈，对吧？这一圈这一圈的压力容器的面积乘上你的这个 这个面积就行了，一圈的薄壁的面积就对了啊，最终就可以去推导出来，然后呢你同样的这个轴向受力 也是这样的一个思路啊，也是这样的一个思路，也就是这个他也是这样的一个思路，他也是用的压力的乘上投影面积，压力乘上竖向的一个投影面积，最终呢就应该是等于竖直方向的这个正力啊，乘上他的两边的这两条的面积，这边一条，这边一条 就对了啊，就这样的一个球解，应用这样的一个平衡平衡的一个分析就可以推导出来，这个可以直接用，这个可以直接用， 完全是可以直接用的。而且我在九五八的时候是不是可以讲过呀？如果说他大的比较多的话啊，对，如果大的比较多的话，你的镜像引力是可以忽略的，如果大的比较多，如果大的不多，就需要去算的啊，如果大的啊多的话，是可以直接去忽略的， 这就是我们三个硬币之间的一个联系，行吧，这个题呢也就不说了啊，这个式子要大家会的。然后呢就是我们的第六个啊，第六章的第三个，也就是推导这三者之间的一个关系啊，推导这三者之间的关系，其实在课本上是有其他的一个方法的，在课本上呢，用硬用的是应变能的一个公式啊，用的是 这样的一个应变的密度的这样的一个公式，但是呢，我我不太喜欢，好吧，我不太喜欢那样的一个推导方式和方法，所以说我这里呢给大家准备了另外的一种啊，这个也是我们基础班提到的一种， 要想去用这样一个方法的话，你需要具备两点要求啊，第一点就是你需要去知道啊，我们的这样的一个纯剪切，我们用到的是纯剪切啊，用到是纯剪切这样的一个单元体的受力状态，那么这样的一个受力状态的时候有什么呢？他的受力啊，正受力是存在这样的关系的，是可以直接看出来的， 他的正力最大正力是在他四十五度的这样的一个角度啊，这样的一个位置，最大的拉力和最大的压力正好是垂直的一个关系，就是一个是 c 幺八一，一个是 c 幺八三，然后他的值呢，都是掏啊，都是掏， 那么在这种硬力状态下，我们去推导他们三者之间的关系是最好的，最简单的，然后啊，就直接带直就行了。首先呢我们就可以通过两种方式去求解我们四十五度的一个应变啊，我们的求解思路就是这样去来的， 去求解四十五度的一个应变值，那么去求解四十五度的应变值呢？他的方式很多，真的很多，这里呢给大家讲两点啊，两种方式方法，第一种呢就是，哎，先去把他的这个什么呀，把他的这个四十五度和啊正四十五度的这个硬币先求出来，求出来之后呢，应用胡克定律， 用我们平面内的胡克定律就可以去求出来，哎，去求出来这样的一个式子，这个是这样的一个方法，去求四十五度的一个应变值，那么还有什么方法呢？就是用我们应变的公式， 这个就是我们应变的一个公式，这个应变的公式怎么去记啊？我不知道大家还有没有印象呀，应变的关系啊，应变的这个公式怎么去记来着？是不是就是把我们的什么，把我们的这些东西啊，把我们这些东西在硬的柿子里面去替代，我们前面是不是推了一个硬的柿子呀？ 我们前面是不是推了一个硬的柿子？我们推了一个硬的柿子之后，你要去背应变的柿子，你无非就是把你应变啊，往里去替换就对了，知道吧？ 把你的应变往里去替换就对了，直接替换完了，就你应变的一个式子，这个应变的式子要记住的。然后呢，有了应变的式子之后，他不是要去求四十五度的一个应变吗？你就直接代公式呀，对不对？由于这个是一个纯扭转啊，纯剪切，由于是纯剪切，所以说呢，你的这两个是等于零的吗？好吧，这两个等于零的，然后呢，你的剪切的 这个应变应该就等于硬力去除以你的弹啊，你的剪切弹性模量，最终呢，你这样的一个式子 a 就 可以去得到一个求解，对不对？待会到这样一个公式就可以去解出来是这个东西， 这个东西呢，大家看一下他俩是不是一样的呀？都是四十五度的一个应变啊，所以说你直接相等就可以去求出来这样的一个三者之间的一个关系，而且还有一个角度去求我们四十五度的一个应变之。我不知道大家还有没有印象啊，我们的三百三十题在最开始的几道题啊，前两道题， 三百三十题的前两道题绝对是讲过一个方法，就是用几何的角度去推导我们四十五度的应变和切应变之间的一个关系的，我不知道你们有没有啊，有没有这种这种印象啊？我绝对是讲过这样的一个题的，有印象啊，如果你没印象的话，可以去回去过头去看一遍啊，这个题的这个角度和方法也算是比较不错的， 他的这个结论呢，也是可以去直接记住的，知道吧？这个结论是可以直接记住的，就是你四十五度的这个应变，他在纯剪切的时候是等于二分之一的切应变的，这个式子你们有有经历啊，有能力可以去记住，万一人家考了填空题或判断题呢，你可以直接打上来， 然后呢我们的啊，这个大家可以看一下。哎，我们要想去推导这样的一个题目啊，要想去推导一个长细杆的一个欧拉公式，到底怎么去推的呀？这它是有很多的方式和方法的，我们桥后边讲的呢，那个是比较详细的一个办法，如果说你觉得比较墨迹的话啊，你要觉得桥后边的那个方法比较墨迹哎，你就可以看一下这个方法 啊，你可以看一下这个方法。首先第一步列什么呀？弯曲方程对不对？首先去列弯曲方程，那么列完弯曲方程呢，就可以把这个弯曲方程带入到我们前面的挠曲线的这个积分式子里面来。 从来没有学过这门题，我觉得你今天能学会一些方法就足够了啊，你今天能学会一些方法，到时候万一考到了，哎，你就可以去用，如果说没用啊，没没考到 也不浪费你的时间对不对？所以说今天你重点去学这些方式和方法，怎么样的一个套路。前面重点说的很多啊，等一下我再就给大家做一个总结，那么这样的一个压杆稳定的推导类型的他的思路是什么样子呀？这个思路你记住是最好了啊。先去干嘛？先去列平方整， 好吧，先去列平，呃，弯曲方整，先去列弯曲方整，列完了弯曲方整之后呢，接下来你就把这个弯曲的一个式子里面来，你是不是学过弯曲的一个式子呀？ 你待会进里面来，那么你待会进里面来之后呢？哎，这里有一个小技巧啊这里有一个小技巧，就是呢，你用这个 k 方怎么地呢？表示成这个意思啊？用 k 方表示成 fr， 比上 e i 这个东西，这个叫化腐朽为神奇的柿子，我一般在追岛的时候我都这样去说， 你要没有这个式子啊，它起不到这种化腐朽为神奇的效果，所以它就是起到了点睛之笔的作用，只有有了这样一个点睛之笔，哎，我们把它带进去，它最终呢就会去简化成文方整啊，你们在数学里面常见的文方整就就有了，有这种常见的文方整之后呢，你就会去用数学的纯数学的方法去求解它的通解， 直接呢就会去把它的通解就求出来啊，你带着进去之后，哎，用这样的一个东西就会去把它的这个文方整求出来 这样的一个微分方程，有了这样的一个微分方程之后呢，你就可以去把它的通解求出来，知道了吧？你就可以去求通解来，有了通解之后，第四步解啊， 通过边界条件去求解这个通解里面的系数就行了，里面不会有这个 a 和 b 的 系数吗？ a 和 b 的 系数，你通过边界条件去求解就行了。什么有什么边界条件呀？ 我们在 x 的 等于零的时候，它的挠度是等于零的，我们在 x 等于 l 的 时候，它的挠度是等于零的，你只要把这个边界条件带进去啊，就可以把这两个系数去解出来，我们应用的就这样一个办法，所以说你只要会了这样的一个思路就 ok 了啊。重点是这里的一个什么呀， 去求它的微方程的，这个过程是比较需要大家去记住的啊，怎么去得到了我们的微方程？ 那么接下来呢，就是第二个啊，刚才是两端角质的一个推导啊，这个题呢，就是一端固定，一端自由的这样的一个推导，哎，这样的时候同样也是去列他的平方啊，弯曲方程，有了这样的一个弯曲方程之后，再是带入到他的一个这样的一个挠曲线的积分式子，带入进来之后再是化腐朽为神奇的式子啊，再去得到我们的 一个微方程啊，大家可以看一下这个思路是不是跟刚才是完全一样的，所有的题啊，这四道题都是这个样子好吧，都是这个样子，他的区别就在于他怎么去解出来的，哎，这个微方程有了之后，接下来就可以得到他的一个什么通解啊，有了这个通解之后，就可以去 去用边界条件去做求解，因为这个所有的这几个都是边界条件都是不一样的，那么这个边界条件是什么呀？这里呢，我们一般都会假设一个偏移，我们一般都会假设一个的偏移去求解啊，所以说这个的它是要要有的， 我们在 x 等于 l 的 时候，它的 w 就 等于多少它啊，这些边条件都是可以往里带的，同样呢，这里是不是还有两个呀？首先呢是 x 等于零的时候，它的挠度是等于零的，它的转角是等于零的，这都可以往里带啊， 带进来之后，你就可以去求出我们的里面的量来了啊，直接就可以把我们的这个 k 取出来，重点是去求 k， 大家记住，我们这所有的都是去求 k 啊，都是去求 k， 你 只要把 k 球来了，因为我们是存在这样的一个化腐朽为神奇的式子的，我们的 fcr 就是 等于 k 方乘上 ea 就 等于这么多，所以说你只要把这个 k 球来了，你直接往里带，你的这样的一个欧拉公式就有了，所以说大家一定要记住这样一个方式和方法，可以了，你记住这个方式方法就 ok 了。 然后呢，刚才呢是一端固定，一端自由下来呢，就是两端固定啊，两端固定的时候，哎，他到底怎么去推的？这个大家你也可以去看一遍， 同样也是这样的一个思路，首先呢去求他的弯曲方程，有了弯曲方程之后，带入到这样的一个挠曲线的积分方程，再去化腐朽为神奇，再去形成我们的微分方程。有了微分方程之后，再去求他的通解啊，再去求导得到他的转角方程，然后再带入边界条件就有四个。 x 等于零的时候，对吧？ x 等于零的时候。嗯，你看一下呀。好吧，宝贝，你看一下啊， x 等于 l 的 时候，它的它的位移啊，这个位移是我们假设的，它偏一端，它啊，这个是要假设的，只要是这样的一个压根稳定，大概率要假设一个位移的。这个你等一下自己的时候去课下看啊，我们上课没时间研究题，你学的重点是思路， 你不要觉得这道题你不会啊，你要没看过你肯定不会，等开价的时候啊，我这个东西给你自己去研究就 ok 了。行吧， 然后再加下来，就这个啊，两段固定的时候，它的边角线呢？是有四个的，对不对？边角线啊， x 等于零的时候，它的位移是等于零的，它 x 等于 l 的 时候，它的挠度等于零，它的转角是等于零的，这是四个，你 把这四个带进去的话，同样是可以去得出来的啊。这个 k 是 等于这么多的，我们的所有的 n 都取一啊，我们的所有的 n 都取一， 最终就会得到我们的这样一个欧拉公式了，然后呢，这里呢，还有一个公式，就是这个式子啊，这个然后呢，还是老样子啊，还是老样子，先去修一个平方乘，有了，有了这样一个弯曲方程之后，带入到你的脑曲线的式子里面，带入到脑曲线之后，哎，化腐朽为神奇，再去 形成你的微方程啊，有了微方程之后呢，再去求通解呀，再去求导呀，然后再带入边界条件就行了，这个边界条件同样是这几个，好吧，这个边界条件同样是这几个啊，这个大家你自己可以看一下， 待会到变条件之后呢，最终你就可以去把这个 k 解出来，有了这个 k 之后呢，就可以去形成我们的这个样子了啊，这样的一个挠曲啊，这样的一个欧拉公式了，这个大家你可以看一下。 然后呢，接下来就是第九章啊，第九章呢就是动载，呃，第九个小结吧，也不能叫第九章，第九个小结是动载荷，那么动载荷呢，它这里的这几个公式的推导，你们现在还会不会啊？这个也是非常重要的啊，我们经常用的这个什么动刻系数的这个公式， 东和西的公式我们天天用啊，但是这个公式到底怎么来的？你会不会推？这个就很关键了啊，很关键了，首先呢是第一个，第一个是自由落体的这样的一个公式，哎，他到底会不会啊？你能不能去用呀？能不能学会去推导呀？就这样的啊， 直接同我们这样的一个动载荷的章节，他用的一个思想就是什么能量守恒啊，从头到尾用的思想就是能量守恒，你只要遇到动载荷，那么就是能量守恒。首先呢是一个势能啊，势能从头到尾，哎，减弱了这么多，减小了这么多的势能，那么他最终转化成了什么呢？转化成了我们梁的弹性势能啊， 通过我们的势能的一个减弱啊，最终全部转化成了我们梁的弹性势能，那么弹性势能的怎么去表达的？这里大家自己去学一遍啊， 怎么去表达的？我们的弹性势能呢？永远是这样去表达的，哎，就是二分之一这个冲击力呈上冲击变形，然后这个势子啊，它是可以千变万化啊，这个势子它是千变万化的，我们可以这样去展开，还可以另外的形式去展开，这个大家可以去学一遍。 这个呢就是，哎，我们这个力呢，呈上动和系数就是一个冲击的力，我们这个谓语呢，呈上动和系数，它就是一个 d， 怎么去表达的这个力？学习一下，哎，然后呢我们就可以去化解，把这个 p 呀，就可以约掉呀，把这个二分之一就可以约掉呀，然后把这个哎就可以变成这个样子，变成这个样子之后呢，我们直接去解这样的一个 k d 就 行了，直接去解一元二次这样的一个方程，直接去带解的，带这样的一个解的一个什么呀？公式就行。 然后呢最终啊我们去解这样的一个方程就行，带入到我们的求根公式之后，我们的这个就是我们求解的一个过程，这个大家可以去学习的。 然后呢接下来是第二个啊，第二个是水平冲击的一个动能和的公式啊，动能吸收的公式，这个你到底还是会不会呀？ 然后呢就是这个动能水平，冲击的动能吸收的公式就是你水平的什么呀，你的动能全部都转化成了我们梁的弹性势能，也就是我们的动能，哎，直接和我们的梁的弹性势能去做一个等式，那么这个梁的弹性势能呢？这里大家看一下，我们冲击的力呈上冲击的变形，这个还是老样子， 然后这里我们还是这样去展开啊，把动和系数去解出来，然后啊这样去纠结就行了，这个非常容易就给去解出来了啊，这个是比较简单的，这个大家自己去学一遍啊，比较容易 接下来呢，这里啊有些同学可能没学过这个公式，我希望大家你在这里重点去学一下。这个公式呢，也是常用的一个公式啊，一定要学的，一定要记得，希望大家你以前没见过的可以去学一遍啊，这个也是我们强化班的一个公式，这个可以用啊，可以直接用，以后遇到了可以直接用。 那么这样的一个动刻系数的公式啊，如果不让你推导的话，你是可以直接用的，但是让你推导的话，你最好去求一遍，或者是什么呀，或者如果说你觉得他可能会，他可能不让直接用的话，你可以去直接列一个什么呀，列一个这样的一个能量法的一个式子，列一个能量手能式子，最终呢你再去，哎，直接就写啊，直接写一遍 推我，哎，我推导出来这个式子，然后接下来再去用也可以，好吧，也可以啊，你这个糊弄啊，糊弄判卷老师的，这个我是真不知道。 然后呢啊，这样的一个能量手的柿子，这个大家可以看一下，这个就相当于刚开始的时候是正常运行的，里面是存在动能的，里面是存在一个动能的，然后呢，咔一冲击，里面又有了一个更大的动能， 那么里面呢，就会有一个什么呀，以前动能的一个损失和势能的损失，这两个能的损失啊，然后以前呢，还有一个应变能的， 这个所有的能最终全部都转化成了最终的一个应变能，这样去做了一个能量的转化，能量转化最终呢，你就会去哎，求出我们的这个得的 d， 得的 d 呢，再去除，以啊，这个得 s t 就是 一个 k d 了， 就是这样来的。所以呢，这个公式啊，是对这个式子是很常用的，大家记住啊，这个式子很常用，你不要觉得这个很很那什么很常用，希望大家能去学会。然后呢啊，这三个小式子的证明，学会之后下来最后一个啊，最后一个就是南航的了，所以说你们来看一下，南航其实挺难的，十五分。 然后呢，这个题啊，到底怎么去推导的？这个大家自己刻下去看一遍啊，怎么去推导的？还是能量守恒啊，永远用的是能量守恒，直接两个动能去全部都转化成我们的量的啊，变形能啊，两个冲击。好吧，两个冲击，然后呢，怎么去转化的？这个我就不说了，这个大家刻下的时候去看一遍。 好吧，那么这里唯一需要注意的就是这里的静位仪永远是两个力造成的，一个微。

物理学史上最伟大的十个公式是什么？下面给你大家展示一个公认度很高的物理学十大经典公式版本包含了经典力学、电磁学、相对论、量子力学等核心领域。 第十名，不确定性原理指出粒子的某些成对物理量，如位置与动量不能同时被无限精确测量，这从根本上否定了微观粒子具有确定轨道的概念，解释了经典力学在原子尺度完全失效的问题。 第九名，薛定厄方程用波函数描述粒子的状态及其随时间的演化规律，使人们能够计算电子在原子中的概率分布和离散能级，成功解释了原子光谱化学键形成以及半导体工作的微观原因。 第八名，洛伦兹变换给出了高速运动条件下时间长度和同时性的数学关系，解释了为什么运动方向会变短，从而解决了光速不变原理与经典时空观之间的矛盾。 第七名，智能关系式结实质量本身就是高度浓缩的能量形式，解释了核裂变与核聚变中巨大能量的来源，说明了太阳持续发光数十亿年的根本原因。 第六名，麦克思维方程组系统地描述电场和磁场如何相互产生与传播，预言电磁波以固定速度在真空中传播， 并由此确认光是一种电磁波，统一了电学、磁学和光学这三大分支。第五名，热力学第一定律明确了内能热量和工之间的定量关系，解释了热机为何不可能把吸收的热量全部转化，为机械工奠定了发动机、制冷机等工程技术的理论基础。 第四名，能量守恒定律表明，在任何封闭系统中，能量只会在动能、势能、热能、电磁能等形式之间转化而不会消失或凭空产生，使复杂物理过程能够通过统一的能量视角进行分析和预测。第三名，动量定律说明物体所受核外力在时间上的累积效应等于动量变化， 解释了为何延长受力时间可以减小冲击力并成功应用于碰撞、安全设计、子弹穿透、火箭反冲等问题。 第二名，万有引力定律皆是任意两个有质量的物体之间都存在相互吸引作用，精确解释了行星绕太阳运行的轨道潮汐现象以及抛体运动，使天上和地面的运动规律第一次被统一。 第一名，牛顿。第二定律建立了力、质量和加速度之间的定量关系，使人类首次能够通过已知受力条件准确预测物体未来运动状态，成为工程、航天和日常历学计算的根本出发点。 你心中的 top 一 是什么？欢迎评论区留言。最后引用一句牛顿名言，如果我看得比别人更远，那是因为我站在巨人的肩膀上。