python 卡尔曼滤波实现过程

之前视频里有提到过这个卡尔曼绿波，但是卡尔曼绿波的应用呢？他是只适用于这个线性高斯系统，就是你这个系统的状态方程列出来以后，他必须得是一个线性， 那，那同样如果不是线性的话，那相当于这个卡尔曼绿波他就无法进行一个正常的工作，那这个卡尔曼绿波的估计值就会变得很差。那所以就是在这个卡尔曼绿波上又延伸出来一个扩展卡尔曼绿波，对这个非线性，对这个非线性系统就进行一个估计。 然后这个视频咱们就主要想讲一下关于这个扩展卡尔曼绿波在这个一维数据处理上的一个应用，咱们直接讲一下这个一维的一个小例子，然后在这个例子里边呢，你看前前两行是一个注视， 就是在这个系统里边，呃，这个 x k 等于一个 sine 括号，三倍三乘上这个 x k 减一，这是一个 状态方程，然后呢下面是一个观测方程，观测方程呢，就是这个 yk， 等一个二乘上这个 xk， 就是还是先看这个第一个状态方程，就他这个方程实际上是一个迭代方程。我现在已知这个 k 减一时刻，也就是上一时刻 它的一个 s 值，现在我想求就 k 时刻，也就是说这个时刻它的一个 s 值，那怎么办？我就把这个 x k 减一，就是上一时刻的这个 s 值，我就带到这个公式里边，带进去以后，然后三乘上这个 s k 减一，然后再求一个三点值， 最终得出来是一个 s k， 这 s k 呢，就是我这一时刻所得到的一个 s 的一个值，那我如果想求 s k 加一怎么办？我 s k 再带到里边，现在是三，乘上这个 s k， 再进行一个赛的一个计算，然后能得到一个 s k 加一，就是循环往复，这是它的一个 状态方程。然后呢？那观测方程呢？这个时刻的这个 s 值我乘上两倍，我是得，我是得到了我一个观测值，这个这个观测值的意思就是说这个观测量 y k 跟这个状态量 sk 之间的一个关系，他中间是成了，中间是差了一个两倍的一个关系，这个就是咱们系统的一个状态方程跟这个观测方程。从这个观测方程里边能看出来，跟之前应用卡尔曼滤波去解决的一个远山，远山距离估计的一个问题就是是明显不一样的， 因为在那个远山估计里边他建立的是一个线性的一个状态方程。但是对这个呃扩展卡尔曼绿波，但是在这个系统里边来说呢，他这个状态方程里边含有这个，他这个状态方程里边含有这个散音函数，就就很明显已经出现了一个非线性，就是在这个状态方程里边只要出现这个三角函数， 还有一个对数指数以及这个几次密，那这种形式就就是一个非线性的一个状态方程。那你肯定是不能用这个 carmelibo 去进行求解，因为 carmelibo 它适应的一个范围只是线性高斯系统，那如果你这个系统它就不是一个线性的系统，系统建模你就不是一个线性的一个建模方法的话， 你只要就需要用这个卡尔曼绿波的一些扩展方法，就比如说扩展卡尔曼和这个无忌卡尔曼来对这个飞线性系统进行一个状态量的一个估计，这是咱们建立的这个系统的一个状态方程，跟这个棺材方程这个 t 相当于就是说我这个 t 初始时刻我这个 t 就是从零点零一开始取， 一直取到这个一，然后中间怎么取呢？我中间就是每隔零点零一步，就是中间零点零一就是它的一个步长，我每隔零点零一我就取一个值，那你从这个 t 从零点零一到这个一取出来的一个值，就分别是 零点零一、零点零二、零点零三，一直到这个一，就是这个 t 相当于是取了一百个这样一个数，然后下面这个语句呢数组的一个长度进行一个求解。那很明显从上面这个，从上面这个解释中能看到就是这个 t， 这个这个数组他的一个，他的一个长度呢，就是这个一百， 就是因此这个 n 是 n， n 就是取一个一百的一个值，然后下面下面分别给出来这个 s、 y 的一个零矩，那这个矩阵呢？是一行 n 列这样一个零矩阵，我建立的这个 s、 y 两个零矩阵用来去 用来去接纳下面这些新产生的一个数据。然而下面因为上面是一个迭代公式，所以说你必须要付出值，给完出值以后才能进行一个联系迭代的联系迭代一个计算付完出值以后，带入到上面的这个观测方程，根据状态方程，咱得到一系列这样的一个 s 和这个 外的一个曲折啊，在这咱们就是给这个 s 一复出值，复的是个零点一，那零点那如果 s 一是零点一的话，那外一同样就是用这个式子，那外一取的那外一就是一个零点二，然后下面咱们进行迭代，就是这个负，然后下面咱们用这个负循环去进行一个迭代， 那这个 n 呢？因为咱上面说到这个 n 呢，就是这个 t 的一个长度，就是 n 取的就是这个一百，那这个 i 呢？ i 因为咱们出值已经有了，所以咱们 i 从这个二开始取，从二一直取到这个一百，相当于是迭代了九十九次，就是因为咱们 x 一和 y 已经知道了， 那咱们就从这个 x 二开始计算，一直计算到这个 x 一百，相当于最终能得到 x 和 y 分别是各一各一百个这样一个数值。然后这个式子，这个式子就是咱们就是咱们这个系统的一个状态方程，就就是把这个 x 一带到里边 就能得到 s 二，然后下次循环 s 二带到里边得到一个 s 三， s 三就一直能从这个 s 二不断计算到这个 s 一百，就得到一系列这样一个 s 值。然后同样下面这个 y 呢，就是咱们的这个观测矩阵。再见，那你上面这个 s 已经求解过了，那你带到下面就自然就得到这个 y 的一个曲值。 然后那咱就与上面这个情况不同呢，咱们咱们的 x 呢是一个真实的一个量，咱们咱们上面求出来这个 x 一堆 x 呢是这个 x 的一个真实值。 然后下面呢下面你在这个观测这个真实值的时候，就要加入一些噪声，因为咱们这个外是一个观测值， 就是实际上你用这个传感器去进行一些观测的，你得到的往往都是加上这个噪声的一个数据，因此咱们就是对他进行处理一下，就是在这个真实纸的一个基础上去加上这个去加上他的一个噪声， 那这个噪声呢？就用用了这个这样一个函数，这个函数意思就是在后面有两个参数，这个零呢，就是说这个噪声的一个均值是零， 然后后面这个一呢，就是说这个造成的一个方差是一，然后得到咱们的一个观测值，然后到这边复循完，复循完结束，咱们这个 x y 这两个空的一个矩阵就被填满了，那 x 矩阵呢？就分别从这个 x 一到这个 s 一百给填到这里边，然后 y 矩阵呢，就分别从这个 y 一到这个 y 一百给填到这里边， 那这个 s y 矩阵就已经填满了啊，这这个语句已经注入掉了，这个语句就是对这个所造出来这个 x 和这个外信号 分别关于这个 tt 呢，其实就是咱们的一个横坐标，这个没有实际意义，就是对他进行一个画图。呃，去比较比较一下这个真实值， x 跟这个加入噪声的一个观测值外，这两 两个的一个信号值的一个区别，这个倒不是很重要。然后上面上面这个真实值跟这个观测值这个信号已经造好了以后， 然后咱们呢，然后咱们下面开始对进行这个扩展卡尔曼绿波的一个计算，这个语句跟刚才上面两个一样，也是相当于造了一个空，造了一个一行恩列的一个空举刃，这个癌症就表示的是下面这个扩展卡尔曼绿波里边计算出来的 每个对这个状态量 x 的一个估计，就是他的一个后沿估计，咱们把咱们把每个球车的一个后沿估计 就是给塞到这个里边，那这样的话，这个 s 正相当于就是对上面 x 一，一直到这个 s 一百这么一百个数去进行一个估计，得到这样一名这样一个后验的一个 x， 然后下面开始进行复出值，那系统的那这个 s 出值呢？稍微零点一，咱们这咱们这出值 设为零点一，当然的话你也可以，你也可以把这个处值设为零，这个无所谓，下面是这个初始的一个斜方差矩阵，这斜方差矩阵呢，咱们设为零点一，左 q 咱们状态方程里边的一个过程噪声的一个方差， 在这取零点一，然后 r 呢？观测方程里边的一个观测噪声的方差，然后取的是 r 等于一， 因为咱们对这个观测值加入噪声的时候，咱们加的方叉是一个一在这边，在这边咱们把这个观测噪声方叉取为一，然后下面开始进行这个扩展卡尔曼滤过的一个计算，这个跟上面一样，也是分别迭代了九十九次，从这个 s 一一直求到这个 x 一百， 然后那这个扩展卡尔曼绿波呢？实际上跟这个卡尔曼绿波他的一个求解方式类似，也是分为了这个预测和这个更新这两大步，这个预测下面分为这几个公式，更新 下面也同样分为这几个公式。先看一下这个预测预测呢，首先第一个公式就是咱们需要对这个状态方程进行一个线性化， 看一下，先先看一下上面的状态方程，是一个散引括号 x 三乘上这个 x， 这个因为它包含一个三角函数，所以说它这个状态方程它并不是一个线性的，那咱们怎么去把它变成一个线性的？咱们在这需要对它进行进行一进行求导，上面这个式子对这个 x 进行一个求导， 求导完以后会得到这样一个，就得到一个 a 矩阵，那此时的这个 a 矩阵就是他的一个状态转移矩阵 a， 这是求出来上面这个公式的一个数据。然后呢，然后这个式子里边这个式子里边这个 x 正呢，也就是上面咱负的处值，现在的就能计算出来他先进化之后的一个 呃状态转移矩阵 a， 那这，那这个式子呢？那用这个上一时刻的后验 x 去对此时刻的一个鲜艳 s 进行 求解的时候，咱们用的还是这个非线性的一个状态方程，而不是用的对这个非线性方程线性化之后的这样一个方程。然后下面下面就是同样用这个同样就是用上一时刻的这个后后验的一个状态方状态斜方差矩阵，也就是在这给出的这个斜方差矩阵的一个初值， 带你带到这个里边就是给 a 呢，就是上面先进化之后的一个状态转移矩阵 a， 撇呢，就是他的一个转制带到带到这个里边先 去计算在这一时刻的一个鲜艳斜方叉矩阵，这些都是他的一个预测，因为他，因为他这时候求出来的这些 x 还是这个 p 都是他的一个鲜艳，所以这几步是他的一个预测。 然后下面到这个更新，那这个更新更新这一块呢？首先还是跟上面这个预测一样，在这个预测点是把这个状态转移矩阵给求了个导，先进行一个先进化 更新部分的这个 c 等于二呢，同样也是在这个观测方程这对这个二 x 进行，然后对这个 x 进行一个求导，就得到了这个 c 矩阵，这个观测矩阵是一个 c 等于二，然后下面这个式子呢，是对这个卡尔曼增益进行一个计算， 就是利用咱们上文已经求出来的这个鲜艳的一个状态斜方叉矩阵，还有这个 c， 呃，还有这个鲜艳化的一个预测矩阵 c 对他进行一个求解来计算出来，就是我有这个卡尔曼争议以后，然后我对这一时刻鲜艳的一个估计值 和我的一个观测值，我去进行一个加权，也就是在这一步是一个信号融合的一个过程，那在这一步就是咱们利用这个观测信号外 去对这个状态变量 x 进行了一个扩展卡尔曼的一个估计，也就是咱们，也就是咱们这个公式，用这个模型计算出来的一个鲜艳的一个 x 和用这个咱们得到的一个观测 去进行一个融合，最终得到咱们扩展卡尔曼估计出来的一个状态量，然后下面的用咱们的一个鲜鲜艳的一个状态方， 那下面这个公式呢，就是咱们就是用咱们鲜艳的一个状态斜方叉矩阵进行一个更新，变为这个后就是从这个鲜艳斜方叉矩阵变为一个后艳斜方叉矩阵，那其中这个爱呢？这个爱括号一相当于就是一个单位阵，只不过这个单位阵的一个尾数是一， 这个 i 一的意思也就是一个常数一，如果这个，如果这个中间这个一变成二呢？相当于就是一个二阶的一个单位阵。然后 k 呢？还是咱们上面计算出来的一个卡尔曼增益， c 呢？ c 呢？就是还是咱们先进化之后的一个预测矩阵去进行计算，得到咱们后院的一个行山矩阵， 对这个鲜艳的斜方扎矩阵去进行一个更新，得到咱们后沿的一个斜方扎矩阵，然后下，然后下面这个 plus 呢就是，对，就是就是横 坐，横坐标都是这个 x， 然后纵坐标呢？第一个这个 x 呢是咱们真实的一个信号，是是红色的这条线，然后后面这个信号呢扩展开，用这个扩展卡尔曼绿波所估计出来的一条信号，也就是这个，也就是这个后沿 x， 他的一个颜色是蓝色。那咱们运行这个程序看一下效果怎么样？ 那，那这个图呢，就是咱们用这个扩展卡尔曼滤博对这个飞线系统进行一个依维信号的一个处理，那咱们呢可以对这个 q 跟 r 去进行一个调餐，然后来通过改变这个参数，可以看这个曲线的一个变化。

我们首先来说一说激光雷达，激光雷达的原理呢，就是发射一束激光，遇到障碍物，然后反射，接收到回拨，计算发射和接收的时间差，从而判断障碍物的距离。 激光雷达呢，又分为两种啊，有一种叫机械式激光雷达，就是他可以向不同的方向三百六十度的旋转，然后扫描，是吧？这样就可以判断说 周围的障碍物离自己都有多远了，可以获得一个三 d 的点震，就可以勾绘出啊周围的这个情况。还有另外一种激光雷达呢，叫做固体激光雷达，他就是有很多个光源形成一个阵列，通过调向的方法就 可以实现向不同的方向发射激光，他不需要旋转，而且这种雷达呢，他相比来讲造价比较低啊，这个寿命也比较长，可能是未来激光雷达的这个发展方向。激光雷达有很多很好的特征，比如说啊，首先他的定位非常准确，那他可以准确的判断这个障碍物离我们有多远，而且什么方向呢，他都可以准确的判断 出来。同时呢，激光雷达人自己发射电磁波接收回波，他不需要有外界的光，所以夜晚呢也可以使用，而且激光的波长很短，他可以判断这个物体的表面的形状，这边这个物体是一个平面呢，还是一个凸起啊，他都可以判断出来，我们称之为可以三地建模 啊。但是激光雷达也有他的缺点，比如说呢，因为激光波长比较短，很难穿透雨雪云雾到雨雪云雾的天气，激光雷达呢就不能用了，对吧？再比如说呢，激光雷达是靠发射激光接收回波测量物体的距离，他没有办法判断这个物体是红色还是绿色的，是吧？他 没有办法判断物体的颜色，所以他看不出来红绿灯是吧？而且他也没有办法区分哪个车道线是不是？这是激光雷达的一个缺点呐？那么为了克服这些缺点呢，人们还需要其他雷达，比如说毫米波雷达。毫米波雷达和激光雷达原理类似，他只不过波长长一些，他 也可以实现比较准确的定位，在夜晚呢，也可以使用。他还有一个优点呢，就是因为波长长可以穿透雨雪是吧？所以也称他为全天候雷达是吧？白天晚上都能用，雨雪天气也能用啊，但是他也有缺点，首先呢，他跟激光雷达一样，不能够区分物体的颜色， 而且呢，因为他波长比较长，就没有办法准确的描绘出这个物体到底是长什么样子，是吧？没有办法进行三地建模啊，这是他的缺点。那么怎么办呢？人们又提出，我们还可以用摄像头吗？摄像头啊，就相当于汽车的眼睛， 他跟雷达不一样，雷达是发射电磁波接收回波，而这个摄像头呢，他只接收外界的光信号，他不往外发射，对不对？所以他的特征，首先呢，他可以判断颜色对吧？他拍摄了很多很多的照片，然后把这些照片呢输入计算机进行机器学习，他就可以知道哦，这个是红绿灯，那个是斑马线，这个是人，那个是车， 对吧？他就可以知道这些信息了。但是摄像头也有他的缺点，首先来讲呢，晚上没光的时候，摄像头肯定是用不了的对不对？雨雪天气这个光也很容易被遮挡，所以呢，也没有办法判断前方的物体了。 如果你是双目摄像头呢，你倒是可以进行简单的定位，但是摄像头他是有机变的，所以他的定位准确度啊，远远没有雷达好啊。如果是单目摄像头呢，就没有办法实现定位了，同时呢，摄像头也没有办法进行三地建模，对吧？ 你这样一看呢，每一种传感器其实都有他的优点和他的缺点，所以我们得把多种传感器配合起来使用，才能够准确的判断出外界的环境。你比如说你用这个激光雷达 进行定位是吧？定位完了之后呢，用它勾勒出这个物体的这个形状来，最后我们再用这个摄像头进行上色，我就可以知道是什么了。如果摄像头发现啊，前面有一只老虎，结果呢，激光雷达判断这是一个平面的是吧？那我们就可以知道这是一张老虎的年画 对不对？我就可以准确的进行判断。那小鹏 p 七呢，就是利用了这样的技术啊，他有五个毫米波雷的，还有十四个摄像头进行融合。

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