2025初一数学上册最后一章教程

关于今年的最后一次月考，已经进入了倒计时，三个问题来测测你是否适应了我们初中数学？ e s 方程应用题，你能在三分钟内列出方程吗？几何图形计算机，你能一次性写对所有步骤吗？有理数综合计算，你能保证不丢冤枉分吗？如果有任何一个答不能，说明你还没有完全适应我们初中数学的学习节奏。 初一十二月月考抢分秘籍，帮你快速适应初中数学的五大思维转变，彻底告别我们小学思维！十二月必考的七大核心题型，逐个击破每种题型的解题模板，都能够让你快速进入做题节奏。历年月考压轴题精讲，提前适应考试的难度， 适应了初中的节奏，数学我们才能越学越轻松。今年的最后一次月考就是最好的检验机会，拿去下载打印吧，跟着亮亮无脑学习！

初一上册数学怎么学？这是很多刚步入初中的同学的疑问，其实七上数学有四个重难点，掌握了他们学习就能更轻松。第一个重难点是绝对值和数轴问题， 很多同学在绝对值这一块很难攻克，建议大家先理解绝对值的几何意义，这可是初中阶段的第一个数形结合。 做题时先画图，把数轴画出来，标上正负数和单位长度，再转化为代数问题去解析，这样会轻松很多。对于数轴动点问题，不管是动点、中点和差辈分，还是往返问题，解析步骤都是先找到动点起始对应的数，再表示动点对应的数，然后转化成线段去解析。 第二个重难点是一元一次方程，这部分的难点在于读题不清晰。方程的种类有很多，像行程问题、配套问题、利润问题、方案选择问题和分段计费问题等等。 其实同学们在学习过程中不用记那么多类型的问题，关键是要记住解这些问题。十、如何列等式，也就是找到题目里的等量关系式，这就是读题的关键， 后面列方程和解方程都是基础操作。第三个重难点是动脚问题，虽然参考信息里没有详细展开，但大家在学习时要注重角度之间的关系，多画图分析，找到解析的关键思路。 总之，学习初一上册数学要针对不同的重难点，采用合适的学习方法理解概念，多画图，找等量关系是关键。如果大家在学习过程中有不清楚的地方，欢迎在评论区留言。

hello， 大家好，我是乾坤老师，欢迎大家收看本期的初一数学每日一题。呃，今天给大家带来这道题呢，仍然是动角问题，然后它呢，是跟一个定值有关，就是也会看到里面有一个式子，说怎么怎么样能如是一个定值。好，我们来看一下这种题目该怎么处理啊？ 呃，它现在呢，以一个 a o c 是 四十度，那如果说角 a o c 是 三分之一的角 b o c， 则角 b o c 是 多少？ 嗯，也就是说，我应该是在图一里面再画一个 o c， 使得呢，这个 b o c 大 一点， a o c 小 一点，它俩之间正好是一比三的关系，那这个情况的话，应该会有 两种，对吧？分类讨论就是有可能呢，就是把这个大角分成了一比三两块，因为整个是四十度嘛，如果你分成一比三两块的话，那这里是十度，这里是三十度，这样的话，刚好能够满足它这个设置，所以此时的 b o c 呢，是三十度，但是也有可能是什么呢？在外边 啊，不用擦了，换一个颜色在外边，比如说像这样子 对 c 撇，那这样情况呢，你要保证 aoc 如果是阿尔法，那 boc 必须是它的三倍。 呃，也就是说 aob 呢，其实是占二阿尔法，那这样就好说了，一个阿尔法就是二十度。对，所以现在这边是四十度，那整个大角 boc 就是 六十度，它正好是占二十度的三倍， 这样也可以，所以就是三十度或六十度。好，然后他说，如图二，这个角 a o c 呢，告诉我们是二十度。嗯， o m 是 内部的一条直线， o n 是 角 m o c 的 四等分线，并且呢，三倍的角 c o n 等于角 n o m。 好呵，等等你读完这些之后，你感觉数据其实有点多，对吧？有点乱。然后呢，这个我们来梳理一下啊，其实就是 a o b 最开始的四十度不变，然后在上面又画了一个二十度，然后这个 o m n 什么关系呢？就是这个 o m 啊，它只是脚内部的一条直线， 具体在哪咱不知道哦。然后呢， o n 是 这个 m o c 的 四等分线，然后它会把这个分为上面的 c o n 这样的一小份，它乘三之后就是 a o m。 哦，上面小，下面大。行，那现在他想求四倍的角 a o n 加上角 c o m 的 值，加上角 c o m 的 值。好，首先我们来想想啊，你如果要保证四等分线 o m 是 这个角 a u b 的 内部的一点的话，嗯， 那么 c o m 首先它不可能是个四等分线，四等分， 它是不是肯定这个 o n 是 在 o a 的 上边？我想一下啊，这边是三等分，如果要整个 o m 和 o b 重合的时候呢，大小是六十度，那样的话，四等分也得是十五度。对，这个 o n 它一定会在 aoc 的 内部。我们先分析到这一点啊， 由 t e 得 o n 在 角 a o c 的 内部。 对，因为你 o m 最多不就和 o b 重合吗？那就算和 o b 重合的时候，你这个 c o m 的 四的分线 o n， 那 个 c o n 得是十五度嘛，它现在都不重合，那肯定比十五度还小，但是 a o c 是 二十度，所以它肯定是在 o a 和 o c 之间。 嗯，这一点先确定了，那这时候我们要想去导这个四倍的 a o n 加上角 c o m， 那 我们可以尝试一下这个射源导角啊，这样我可以直接假设我们的 a o n 呢为 r f， 大家来写一下啊，就是说我设角 a o n 等于 r， 所以 角 c o n 呢，应该就是角 a o c 减掉角 a o n， 也就是二十度减 r 分， 没错，好，然后这个角 n o m 呢？又因为三倍的角 c o n 等于角 n o m， 所以 角 c o m 就 应该是等于四倍的角 c o n， 那 就是四倍的括号二十度减 f， 这样就是八十度减 f。 好， 那现在你想要的是不是都表示出来了？因为，所以四倍的角 a o n 加上角 c o m 就应该等于四倍的 r， 加上八十度减四 r， 这样总共是八十度。 ok， 这是我们的第二小问 好。再来看一下第三小问，他说如图三角 a o c 呢？还是在外面二十度。现在好开始旋转了啊， o m， 它要从 o b 出发， 每秒五度的速度，逆时针旋转一周。 好，那如果旋转一周的话呢？这个第三问，首先三百六十除以五，那需要五七十二秒，所以时间是在七十二秒内完成的。然后在旋转过程中呢，运动时间为 t o n 一 直是角 m o c 的 四的分线。 嗯，并且还是角 c o n 等于三倍的角 c o n 就是 离 o c 更近的那个 c o m 的 四等分线。问，在 t 取某一个范值范围内的时候呢？四倍的角 a o n 加上角 b o m 会是一个定值，请直接写出来这个定值。 好的，那这个题其实跟我们前面讲到的一个的那个零度凸变平角凸变那个题很像。对，因为你最终想表示这个四倍的 a o n 和 b o m， 那 肯定要去，你要盯着 a o n 和 b o m 去看，对吧？你要盯着这两个角去看。 那首先我们来先想一下啊，就是 o m 从 o b 出发，这个 o n 从哪里出发呢？它们的四等分线是不是应该是从这个位置出发？ 因为这个夹角是十五度，整个大角是一百二十对六十度，它的四等分线应该是十五度，所以 o n 从这个位置出发，然后随着 o m 不 断往上走，那 o n 也会在往这走的过程中，对，然后逐渐减小。 在这个过程中呢，我们要表示的 b o m， 还有这个 a o n， 我 们来想想它会有什么区别啊？这个 o n 一 直在缩小，缩小，当 o m 和 oc 重合之后呢， o n 就 跑到左边去了啊，就是当重合的时候， o n、 o m、 oc 都在一起，只是 o m 过了 oc 之后呢，这个 o n 也就过了 oc 了。 对，这时候呢， a o n 没什么问题， b o m 也没什么问题。那可能第一个时间节点就是 什么时候 b o m 等于一百八十度的时候。嗯，这个 o n 在 左在右的情况是不是也会有区别？好，那我们的第一个节点应该是 o m 与 o c 重合的时候。 第一个当 o m 与 o c 重合。 对，我们要去探索一下，因为这个过程中过了这个重合，这个重合前 o n 是 在 o c 的 左边，重合之后呢， o n 是 跑到 o c 的， 这个刚才说错了啊，刚才是在右边，然后跑到 o c 的 左边去了。对，那这时候你在表示角 a o n 的 时候呢？我 看一下是不是会有区别啊？所以我们就先让它俩重合，重合的话也就是六十度除以五，也就是十二秒，所以这样的话 t 大 于零，小于等于十二秒，这个过程中它一直是保持图三的这个状况，那我们就可以表示一下， 如，如果还是设角 a o n 为阿尔法，那这个角 c o n 还是二十度加法，它和这个和这个刚才我们的第二位是不是就一样的？哦，不一样，不一样，它加的是角 b o m 哈，然后现在的角 b o m 呢？ 应该是。想一下啊，你设 a o n 是 f， c o n 是 二十度减 f， 然后 c n o m 就 有了啊， c o m 就是， 所以角 c o m 呢，应该是它的四倍，那就是八十度减四 f， 所以 角 b o m 就应该是用六十度减掉角 c o m， 这样出来的应该是这个四 f 减二十度。好，这就是角 b o m， 那 有了 b o m， 有 了 a o m， 我 们来代入进去，会不会是定值？ 其实不是，嗯，因为你这边是 a o n 是 四个 alpha， 你 b o m 里面也是四个 alpha， 它俩相加是没办法抵消的，所以这个过程中应该就没有定制了。好，那我们就找下一个节点， 当他过来之后呢？过来之后我们得画一下图哈，一起参考一下。当这个过了十二秒之后啊， o m 可能就跑这边来了。对，然后呢，这个 o n 呢？就跑这来了， 还是离 o c 更近一点？那现在我如果还是假设，那这个过程后维持多久呢？第二个节点就是当 o m 就是 角 b o m， 当角 b o m 等于一百八十度的时候。对，所以我们用一百八除以五，那应该是三十六秒，所以 t 大 于十二，小于等于三十六秒。这个过程中 我们来看一下，应该就跟图三这个状态是一样的。那我们还是设角 a o n 为 f 来看啊，这个角的话就是 f 减二十度。 对，然后呢， n o m c o m 这里呢，就是它的四倍，也就是四 f 减八十，那这时候的角 b o m 需要在四 f 减八十的基础上，再加上这个 c o b 六十度， 所以这样是四 f 减二十度。 嗯，跟刚才一样，是吧？ 刚才是什么四 f 减二十度，哎，为啥是一样的呢？好神奇啊。叫 b o m。 好，那这时候的话，它仍然是没有定值，是吧？因为你还是四 f 加四 f 的 现象嘛，所以这个过程中也不会有定值。我没有处理错吧？设这个角为 f， 乘以 f 减二十，然后四倍的话，就四 f 减八十，没有错。 对，那 b o m 搞定， a o n 搞定，它俩的相加也不是一个定值。嗯，因为此时角 a o n 都等于 alpha， 这样你用它的四倍加上上面那个还是没办法抵消，所以就不行，那只能继续往下走了。 好，那继续往下走会是什么现象了呢？就是紧接着这个 o m 呢？刚才我们已经从这抓到这来了，是吧？再往下来， 对，往下来应该是到和 o c 这里重合之前，因为此时呢， c o m 的 这个四等分线就不好确定了。对，所以说如果是在这边的话， o n 可能还在这，但是过了一百八十度之后呢， o n 就 直接蹦到这边来了。 嗯，所以这时候呢，这个节点是一个时间限制，我们应该是看，当角 c o m 等于一百八的时候， 刚才这个时间也没有啊。来第三个问题，当角 c o m 等于一百八十度的时候，那这时候赚了多少了？先赚了一个六十，再赚了一个一百八，总共赚了二百四十除以五，那应该是四十八秒。 好，那我们就看一下，当 t 大 于三十六，小于等于四十八秒之间的时候会怎么样？此时呢？ o m 应该在这还没有到这个一百八哈，到一百八之前。好，如果是在这，那么它的四等分线应该是差不多在这。 好，呃，但现在的 b o m 对， 你要算的是下面这个角了，那么就来算一下吧。 还是假设 a o n 为 alpha， 那 这里因为是二十度，所以这个角就是 alpha， 减二十这边没问题。然后呢，这个角 c o m 仍然是它的四倍四 alpha 减八十也没问题，但是现在的这个角 b o m 是 有问题了。 在这种状况下，角 b o m 呢？我们可以尝试用三百六十度去减，减掉谁呢？减掉这个 c o c o m， c o m。 刚才说了不是四倍吗？所以是四 f 减六十，减八十， 还要再减掉原来的这个六十度。好，看看，这样的话，应该会出现我们想要的定值了哈，那一相减三百六减六十就已经是三百了，在三百八十减四 f。 好， 这样终于可以了。那这个时间节点呢？这个角 b o m 等于三百八十减四 f， 角 a o n 呢？等于 f， 所以四倍的角 a o n 加上角 b o m 刚好等于三百八十度， 是定值。那这个时间节点应该是这个时间啊，但这个时间呢？其实这个三十六秒你取到也是没问题的， 因为刚才我们把三十六秒画到上面那个范围内了，那上面那个范围没有，那我们就到下一个范围内呢？其实三十六秒吧，因为它在端点处啊，它属属于上一个范围和下一个范围都行，所以我们这个地方都要 ok， 所以 就大于等于三十六，小于零四十八秒的时候，这个夹角是定值，并且这个定值呢是三百八十度。行，那还有没有呢？我觉得应该还有哈，还有我们再来试一下再擦掉了啊， 就是当他过了这个虚线之后，那 o m 已经到这来了，对吧？当他刚到这个虚线之后，过一点点啊，这个 o n 啊，他就在这边了， 对不对？它应该是在 o a 的 下边了，一直走到什么时候，这个 a o n 就 会是零度了呢？嗯，也就是说你得保证 a o c 这个二十度的得是八十度啊，一直走到这，从这过来，走到这边 多少度呢？还差二十度的时候。对，大家想想是不是这样？因为你这样的话呢，你整个的角 c o m 刚好是八十， a o z 又是二十，所以它正好是它的死等分线，也就是 o n 和 o a 此时重合。 嗯，那我们就算出来这个时间节点。好，刚才这个时间是可以要的啊。 第四个时间节点就是当这个 o n 与 o a 重合， 此时呢，它应该是转到了还差二十度就转完了，也就转了三百四十度， 所以我需要用三百四十度除以五，那也就是还差二十度，还差四秒钟，那就是六十八秒的时候。好，那这个时间呢，应该是 t 大 于四十八秒，小于六十八秒。那我们来看一下，如果是这个现象的话， 那这个地方只是一个目标哈，所以 o m 在 它俩之间就行了，比如说在这 o n 在， 那好，我们还是设 a o n 为 f， 那 现在这个 c o n 是 二十度加 f 呢？就是八十度加 f， 那 么这个角 b o m 是 不是应该是在八十度加 f 的 基础上再减六十度，那就是二十度加 f， 二十度加四 f， ok， 那 么再加上 a u n 这个四 f， 发现没办法抵消，是吧？ 对，再来说一遍啊，还是假设 a u n 为 f， c u n 的 话，就是它的二十度加 f， 而这个 c o m 一定是它的四倍嘛？所以 c o m 是 八十度加四 f， 再减掉上面的 c o b 的 六十度，留下的这个 b o m 就是 二十度加四 f。 好，确定好这个之后呢，你这个 a o n 库拉四倍的加上它并没有，是并并没有定制，所以这个情况我们也不要好。那最后一种情况就是当 t 大 于六十八，小于七十二秒，这过程中，这过程中发生什么事了呢？来给你画一下啊， 也就是说 o n 又回到 o a 这个里边来了，但是现在呢，它还没有， o m 还没有回来，在，这，对，那这种情况下，我们还是去推一下啊，这个角为 f， 那 c o n 这个角是不是此时就是二十度减 f 了？ 对，然后呢，这个角 c o m 在 这种情况下，角 c o m 仍然是四倍的角 c o n， 所以 是八十度减四 f， 嗯，八十度减四 f， 没错，然后这时候的角 b o m 呢，就应该是在八十度减四 f， c o m 基础上再减一个六十度，所以是二十度减四 f。 好， b o m b o m 有 了，所以此时四倍的角 a u n 加上角 b o m。 哇塞，可以哎，四 f 加上二十度减四 f， 所以 是二十度，丁值 啊，发现两个啊，所以这个过程我们挪下来 ok 了，定制啊，所以这样的话我们就找不到两个，这里也是哈，你这个六十八，我还是给他放在这个范围内，因为他可以啊，可以。嗯，好， 就就就结束了，我们来看一下总结啊，就是当这两个时间的时候，它会是定值，如果是三十六秒到四十八秒之间的，这个定值是三百八十度，如果是六十八秒到七十二秒之间的，这个定值是二十度，这就最后答案。哇塞，这个题确实不是很好搞啊， 这边没有用的，我们就去掉了，不是很好搞，不过呢，这个其实还是考虑大家对于动角问题的这个把握，就是随着他这个改变，你需要把握好一些时间节点去给他进行分类讨论才可以， 只要你分类清楚了，其实中间的这个计算的过程操作好像每个类型都一样，只是看看最后判断一下是不是定值，如果不是定值，我们就快速的省掉，然后换下一个。好，这就是我们今天的每日一题，希望能够对大家所帮助啊。最后大家如果觉得不错的话，不要忘记点赞、关注、收藏，感谢大家支持，我是强光老师，我们下期再见，拜拜。

哈喽，大家好，我是强光老师，欢迎来收看本期的初一数学每日题啊，今天给大家带来的这道问题呢，还是一个规律探索的一个问题啊，然后这个题目也是去年历夏去期末考试的一道原题。嗯，一个回形路线，然后呢，他说 就是从 o 出发，大家看一下啊，从 o 出发这样子转一圈，所以他在转的过程中呢，他这个边长也在增加，嗯，所以才出现这种回形的这种路线，然后他记作呢，就是从 o 出发 到第一次回到 a 一， 我们就叫第一圈，它的长度为七，然后从 a 一 出发又回到了 a 二，有时候从这再走，这就第二圈，然后第三圈的时候呢，就这样子， 是这样吧。啊，这，这已经是第四圈了，是吧？哎，哈哈，数错了啊，第一圈， 对，第二圈到这啊，第三圈，第四圈，刚才那底音，第四圈，然后问这个第 n 圈的长度有可能是 a、 b、 c、 d 哪一个选项，嗯，所以这里我们要去找规律，对吧？你要看一下每圈的这个盒会有什么样的特点。 嗯，那这时候呢，我就不建议大家说直接把第一圈，第二圈，第三圈这个长度直接算出来，然后再去找规律，因为你直接去找一个数的规律，不如直接看一下组成这个数的这几部分的规律。 嗯，这样要更好观察一下，因为你拿到一串数直接去找规律的话，你可能的能想到的方法就是做叉。对，但是如果说你把这一串数，因为它毕竟是一个加和的这样一个关系吗？对，你把这里面的每一个加数，你给他排列一下，你去探索每一圈之间是不是也会有一定的联系，这个我觉得会更更好办一些。 ok， 然后其实刚开始想到这个题的时候啊，大家这个会发现他的这个他这里很明显的一个规律是什么？就是说 他从刚开始你就如果你要看的是这个边长长度的话，是不，刚开始就是一加一，然后加二加二，然后加三加三， 然后加四加四，是这样吧？对，你如果要给他把他当成，因为有些题他就是这样的哈，就说从 o 到 b， 这是第一次操作，第一次、第二次、第三次、第四次、第五次、第六次、第七次、第八次。对，他想要去求第二零二五次，这总共加和是多少个长度？ 那你可能就要按照这个规律来依次往后加了，对吧？加一加一、加二、加二加三、加三、加四加五、加五加五。嗯，但这个题并不是发现用不上，因为我就去试了一下。你想第一圈这个七他怎么来的呢？他应该是先加一，再加一，再加二，再加二，又回到了一 结束了，然后到第二圈的时候呢？结果不知道是多少，但是第二圈你看他从 a 一 开始走吗？先加二、三四四二 二加三、加四、加四、加二，其实到这你可能还没有看的出来规律，你会觉得有点懵，但是不要怕这种找规律的问题呢，你多写那么几个，这个应该就好观察一些。所以我们再把第三圈也圈一下。第三圈开始算的时候是不是三加几了？加了一个六， 再加是加六吧？加了五再加一个六，好，三加了一个五，又加了一个六，又加了一个六，然后过来之后呢又加了一个三， 好，所以现在有一个规律在了，就是你第一个数和最后一个数一定是相等的，那我们再看看别的，再来看第四圈，好好算一下啊，往上要走四个，对不对？要加四，再往这走，走到这这加了一二三四五六七，加了一个七， 嗯，然后再往下一二三四五六七八，再压一个八，这边应该是还是加一个八，然后又加一个四。其实现在我觉得规律已经找到了，大家发现了吗？ 就是如果你挨着这个规律一直到第 n 个的话，它应该是等于什么？第一个数肯定是 n， 加上一个数，再加上一个数，再加上一个 n， 这是肯定的，对吧？然后中间这里呢有两个相同的，你发现第一圈的时候是加二、加二，第二圈是加四、加四、加六、加六、加八、加八，所以到第 n 圈的时候呢，这里我们应该填二 n， 对。而第二个数呢，他是一三五七九，是不是一圈积数过来的？或者说你就看后边这个相同的数，是不是他永远比相同的这个偶数小一。在这个地方我们直接写一个八 n 减一， ok， 那 这样第 n 圈这个和我们就算出来了，发现最后加起来呢，正好是八 n 减一， 那就说明如果你这个 d n 圈是 a、 b、 c、 d 中的一个，那他这个 a、 b、 c、 d 这个数先加上一，必须是八的倍数才能算。所以你看第一个加上一是一百不是八的倍数，一百四十五也不是八的倍数，四百八十一也不是八的倍数，八百，这个肯定是八的倍数， ok， 所以 这样答案应该选择 d 选项， ok， 这就是我们今天的每日题，希望能够对大家做帮助啊！最后大家如果点赞、关注、收藏，感谢大家支持，我是强辉老师，我们明天再见，拜拜拜。

期上期末的压轴题一定会考一元一次方程同根问题，我们一起来看这道题。已知关于 x 的 方程，二千零二十五分之 x 加五等于二千零二十五， x 加 m 的 减为 x 等于二千零一十八，那么关于 x 的 这个方程的减为多少？ 这道题考的是方程的整体构造，拿到这个题，我们看到是关于 x 的 方程，所以方程里面的 m 作为参数， 如果将 x 等于二千零一十八代入到第一个方程，求出 m， 再将 m 代入到第二个方程当中，求出方程的解。 这样的方法过于复杂，并不推荐，需要采用的是整体构造的方法，我们需要构造的是给出解的这一个方程的形式，观察到这里有二千零二十五分之多少加五等于二千零二十五乘多少再加 m。 所以我们需要构造出的形式是二千零二十五分之一个部分加五等于二千零二十五乘，这个部分加 m。 根据给出的 x 等于二千零一十八，也就是这个部分需要为二千零一十八，所以我们可以直接得出这个部分就等于二千零一十八。 现在来观察一下目标方程给到了二千零二十五五和 m， 但是我们注意到，我们需要构造出的五和 m 前面的符号应该是加号，但是目标方程给到的是减号，所以我们需要将它转化为加号。可以采用的方法是等号的左右两边同时乘 负一，那么可以得到二千零二十五乘五减 x 的 差加 m。 此时可以观察到二千零二十五加五加 m 和我们给到的形式是完全一致的， 所以以五减 x 对 应的就是括号的这个部分，二千零一十八，因此五减 x 就 等于二千零一十八，可以解得 x 等于负二千零一十三。那么这道题的解就是 x 等于负二千零一十三，你听懂了吗？

这个视频里，我来给你讲讲 me 的 乘方，比如这个例子， x 的 四次方的三次方，像这种给一个数的乘方，再乘方，就叫做 me 的 乘方了，那它该等于多少呢？ 根据乘方的含义， x 的 四次方的三次方，也就是有三个 x 的 四次方相乘。哎，这不就是同底数密的乘法吗？根据同底数密相乘，底数不变，指数相加，那结果也就是 x 的 四加四加四次方，即 x 的 四乘三次方，算一算，也就是 x 的 十二次方。 不难发现，在这个运算中，之前的底数是 x 结果的，还是 x 没有发生变化，而结果的指数十二，就相当于之前的四和三这两数的乘积。 用更一般的形式来表示， a 的 m 次方的 n 次方，其中 m 和 n 都是正整数，那它的结果就相当于有 n 的 m 次方相乘。根据同底数 m 的 乘法，结果就是 a 的 m 加 m 加 m 等等等等。一共有 n 个 m 相加这么多次方， n 个 m 自然就是 a 的 m 乘 n 次方喽。 所以， a 的 m 次方的 n 次方就等于 a 的 m 乘 n 次方。换句话来说， m 的 乘方底数不变，只要把指数相乘即可。 学会了这条法则，那咱再来看个例子，告诉你，三的 m 次方等于二，九的 n 次方等于五。问你三的四 n 加 m 次方等于多少？很明显，你没法根据这俩式子算出 m 和 n 分 别等于多少，那咱就没法根据 m 和 n 来求最后的结果了。因此，咱得换个思路， 先来看看这个结果，三的四 n 加 m 四方。这六个加法，根据同底数幂乘法的性质，三的四 n 加 m 四方，就应该等于三的四 n 次方乘上三的 m 四方。哎，三的 m 四方，这里不是说它等于二吗？把它带进来就等于三的四 n 乘二了。 三的 m 四方搞定了，接下来再来看看他。按照刚才的思路，三的四 n 次方和九的 n 次方会不会有啥关系呢？这里都有个 n， 貌似有点联系，不过这俩底数分别是三和九，不一样，那咱就得先给他变变形。 九不就是三的平方吗？那九的 n 次方也就等于三的平方的 n 次方。根据 me 的 乘方，也就等于三的二 n 次方。到这就好办了。不难看出，三的四 n 次方，也就是三的二乘二 n 次方，这不就是三的二 n 次方的平方吗？都有三的二 n 次方，那他们总算联系起来了。 九的 n 次方等于五，那三的二 n 次方就也等于五，所以三的二 n 次方的平方自然等于五的平方，也就是二十五，最后三的四 n 次方就也是二十五。再回到刚才的算式里，结果就是二十五乘二，算一算就得五十了，这就是最后的答案了。 好了，就讲这么多，总结一下，在计算 m 的 乘方时，只需要记住它的运算法则就行，也就是 m 的 乘方底数相乘怎么样？听懂了吧，赶紧动手试试吧！

期上数学最难的期末十二个必考点全部吃透！逆袭班级前三期上数学期末压轴题十二个必考点，考点一，到考点十二 考点一，与绝对值有关的压轴题考点二，与整式加减有关的压轴题。 考点三，与一元一次方程解有关的压轴题。考点四，与一元一次方程实际应用压轴题。考点五，与实际线段有关的计算压轴题。考点八，角的旋转压轴题有完整解析版分享！

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hello， 大家好，我是乾坤老师，欢迎大家收看本期的初一数学每日一题啊，今天给大家带来的这道问题呢，也是一道非常有意思的一道问题啊，它是跟动角有关，但是呢，这个思考过程会比较 很复杂。没错啊，因为大小要构成两条，这个动射线他们要呈现平行的状态，而在这个过程中呢，可能又不止一种情况。对，所以对于我们这个理解问题的这个考验比较大一些啊，好，那我们来快速看一下吧。啊， 呃，他说呢，现在对某一个景点处呢，有两条笔直并且互相平行的景观道，然后在这两边的分别设置了两个激光灯， 现在 a 灯发出的光束由 am 逆时针旋转到 an 便立即回转，也就是说这条光束是这样的，从这开始出发转到 an 再回来 再回来。 ok， 大家在这个景点都能见过类似于这样的光线哈，好，然后 b 呢，则是 发出的光束就是 b p， 他 要那个逆时针旋转到 b q， 然后再回转，也就是说从 am 那 边转过来的是逆时针，他这边呢则是，啊，那个是顺时针哎，等会那个是逆时针还是顺时针 哎？哦，两个都是逆时针啊，好神奇啊。哈哈，对，然后这个是往上，那个是往，这 也是逆时针，这个也是逆时针啊，都是逆时针哈，都是逆时针。然后他呢也是逆时针，转到这就回来，转到这就回来，然后，对，所以在这个过程中，他们想呈现平行的话，我觉得状态是不是就很多啊？然后我们再来看啊，他说两个灯不间断的照射，比如说他们在一直转一直转， 然后现在 a 灯这边旋转速度给到了，这个很关键啊，十二度每秒，而这边 b 灯呢，则是每秒转四度哦，这边这个转的会慢一些，转四度每秒。 好， b 先转十二秒。哎呀，还非得先设置这个，先转十二秒， a 才开始转。当 b 第一次到达 b q 之前，两灯光束如果互相平行的话，那个 a 灯旋转的时间是多少？这里哈，问的是 a 灯旋转的时间， a， a 是 启动慢的那个。嗯，行，哈哈，这里有意思哈。好，那我们来想想啊。这里要想几个问题呢？首先， b 先转十二秒， 那这十二秒 b 已经转了多少了呢？这里 ab 不要混了哈， b 是 慢的，这个它旋转十二秒，说明这个四乘十二，它已经是四十八度了。假设说这个 b p 撇就是在途中这个状态走的吧。四十八度， 对， b p 旋转到 b p 撇， ok， 假设说这个角它就是四十八度。 十二秒之后哈，好，然后先转十二秒，完事了，然后 a 呢才开始转动， a 再开始转动，也就从这个时刻开始， a 是 不开始这样子，你使劲转了。呃，行。然后当 b 自己第一次到达 b q 的 时候，这个旋转停止。 哎呀，我有点快乱了。来，我们想想，前十二秒不算，因为 a 是 没有动的，那么从这个时间开始，如果 b p 第一次到达 b q， 那 此时这个旋转夹角应该是一百八减四十八，那就是一百三十二度。 那我们用一百三十二去除以它的速度四，看看它需要几秒钟能转完呢？那应该是四三四十二， 三四十二，三十三秒钟。那就说明 a 灯的这个运动时间 t 它应该是大于零，小于等于三十三， 没错吧？嗯，所以我们只要在三十三秒内去解决这个问题就可以了。好，那此时呢？ m a 从这开始转，我们先想第一个状态什么时候能够平行哈？什么时候能够平行？嗯，第一个状态好说一点，就是说 假设，因为他现在已经不平行，一个是横的，一个是斜的，那这边只要是转过来，这边稍微转一点点，他们可能就会平行。对，那假设说， 嗯，行，这个地方人家这个图的意思是不是那个虚线应该是四十八度的状态，是吧？哈哈。 哎，哎呀，咱不管了，假，咱自己再重新画一个吧。假设说他转了这个 t 秒钟，然后从四十八这个基础上转了一个 t 秒钟，那这个角度是不是四 t 度？因为他每秒转四度，然后这边呢？假设他转了这个 t 秒钟，那就是转了十二 t， 那 么他们就会出现第一次平行的状态。 对，然后这次平行的话，我们来想，平行线两直线平行之间，那么他肯定会出现。哎呀，这个我们现在这个阶段，大家如果没有学过平行线的话，可能会不太好办啊。因为，呃，可能二三年的时候呢，市中区他是 已经学到了这个相交线平行线，所以他在期末考试里面就出现了这个平行线的这个效果。嗯，对，哈哈，行，大家这个理解一下哈，只要是两条线平行呢？ 两条线只要平行，你像这两个角，他们叫同位角，一定会相等，这个角一角二，然后像角二乘角三呢，这个叫内错角。对，第一个叫同位角会相等，内错角也会相等，然后呢，还有一个角二和这个角四，这个叫同旁内角， 同旁内角这个会呈现互补的状态，并且反过来说也是完全可以的，就是同位角相等，那么两直线就平行。内错角相等，两直线也可以平行，同旁内角互补的话，两直线也可以平行。所以像这个位置呢，我们可以找什么呢？我们可以找的是，呃，内错角或同位角都行哈，都要找。 大家看，当我们这两条线如果平行的话，那就说明这个十二 t， 因为这条线和这条线平行，那么这个角他俩之间应该是一个内错角的关系，那这里的十二 t 就 应该等于什么呢？等于下边这个内错角就上下两条线平行。又来了一个内错角，等于这个大角是四十八加四 t， 所以 第一种情况就有了，那应该是四十八度加上四 t 等于这个十二 t， 这就是我们要的第一个时间， 嗯，此时呢， t 刚刚转过来。好，那这样算出来的话， t 应该是需要几秒？呃，八六八，四十八，六秒钟就可以。好，第一个答案就有了，六秒再来。 再往下转的话，因为这个针一直在这样转啊，再往下转的话，他们应该是不会再平行了。对，哎呀，这个真的好难考虑啊， 因为他要转到这边来，是不是然后那个针还要回转？嗯，行，我们要考虑第二个状态了，第二个状态呢，就是 am 这边继续走，这里建议大家用两个笔去比划一下，看看第二个状态应该是发生在哪个位置。呃，两个笔就必须继续走，继续走，这边更快，然后呢，这边继续转， ok， 这个过程中应该不会出现平行的状态，两条光束啊，然后呢它再回转回来，再赶上它， ok， 那 这个过程的话应该发生在 好，这样想吧，这样想就是说咱刚才不是说三十三秒内吗？对吧？而这个 a m 这边如果要走一个来回的话，就走过去需要一百八十度， 然后呢，我们看啊，他多久走一个？一百八，我们可以用一百八十度去除，以他的速度十二，这样算一下，应该是先上一，先上一呢，十二那就是六十，再上一个五就可以了。十五秒，十五秒就可以走过去，而三十三秒的话，也就 哦，也就两个来回，是不是两个来回就是过去，回来再过来走三秒就结束了， 嗯，但是他这边的话是三十三秒。接下来我们怎么分析呢？就是首先当他第一次平行之后再往下走，应该不会再出现平行了，大家想想不会再出现平行了，他们肯定会相交，然后只有等到他这样转过来之后才有可能再次平行 转过来，这个过程中可能会出现再次平行，所以那这样的话也就发生在十五秒之后了。对， t 大 于十五秒之后，那大于十五秒之后呢？ 这个状态我们想想啊，你得两边都得顾及着他这个四 t 如果转了十五秒的话，已经又转了一个六十度，也就是说现在这条线我们得重新画一下啊，不重新画的话还真不好分析了。 如果过了十五秒呢？那这个 b b p 这条线它本来就转了四十八，哎呀，这看不见啊，它本来就转了四十八，然后再过十五秒又转了个六十，它肯定要比九十还要多，也就它要朝这了，它要朝这了， ok， 他 要朝这了啊，这个夹角呢，我们可以表示为四十八加四 t， 对， 因为我们这个 t 呢，是以 a 的 时间为准的， a 是 晚出发十二秒嘛，然后 b 是 早出发，所以前面四十八度，我们直接加上就可以了。而这个，而这个，这个这个 a 点呢？他到这的时候，你注意啊， 哎，重新来啊，就说他从这走走走，走到这，这是十五秒，过了十五秒开始往下走了，那这个过程中他可能还会跟他进行第二次平行，就这种状态， 第二次平行，好，就这样。好，那如果是这样的话呢，我们可以去找一下这个角， 对，这个角，因为是这样的，大家看啊，只要是你给他平行落下来之后，这个四十八加四 t 也同样会等于这个位置的钝角，因为他俩是一个同位角的关系，也是四十八加四 t， 那 我只要能表示出来这个角，他跟这个四十八加四 t 相加等于一百八，就可以保证这两条线平行。 ok， 那 这个角怎么表示呢？我们想他是先转了十五，对吧？然后过了十五之后的话，那这个 t 应该就是以他的速度为准，十二秒，每 十二就是每秒十二度，然后十五秒的时候就是一百八，回来也就走了一个 t 减十五，所以就乘一个 t 减十五就行了，我们去掉前面十五秒吧。 ok， 所以 这就是第二个阶段，十二乘一个 t 减十五， 再加上这个四十八加四 t， 这样相加等于一百八十度，好，那我们再给它解决一下。嗯，前面来算一下， 十二 t 减掉一个十五乘十二，先给他一个二三十，三十乘六，一百八十，是吧？减一百八十，再加四十八，加四 t 等于一百八十，这样的话十六 t 就 等于， 嗯，三百六减了一个四十八，三百六减四十八，三百一十二，那 t 就 等于先上一个约分吧， 先除以四四七，二十八，三十二，四八，三十二，四四十六，还可以除以四吗？一四得四，三十八除不了了，只能除二了。二，这里是三十九，二分之三十九， 二分之三十九，二分之三十九的话，应该是十八秒多。 ok， 这个又可以了。嗯，然后呢？再往下应该就没有了，对不对？那还有第三种情况，就是当我看看第三种情况还会不会存在，就是当什么状态了呢？ 这样子，平行之后再往这它继续转，它这边就只能是相交了，一直到它俩水平，然后再回来。好，这时候的 t 呢，应该是要比三十秒， 哎，等会对三十秒要大，大于三十秒。什么状态呢？就是三十秒的时候，说明这个 am 呀， 这个 a 灯呢，他应该是从这开始出发，这里就十五秒，到这又回来三十秒。对，而三十秒的时候，这个 b 灯呢，他已经走了一百六十八度了，三十秒那个时刻应该是一百六十八度，一百六十八，也就还差个十几度，就这样。 好，如果再想出现平行的话，还有可能吗？应该不会可能了，对不对？如果你再平行的话，应该得是这样状态才行，但是他转不到这边了，时间不允许了。啊，那这样就没有了。 ok， 综上答案应该是有两个，一个是六秒，一个是二分之三十九秒。 嗯，这道题确实是不太好想一些啊，然后我上次前两周还做过一道题，那道题有四个答案。对，因为那个题的话，第一个真的这个速度更慢，然后那个真的速度更快，他只要速度够快，我会发现啊，只要他走一个路，一个全程呢，他就会平行一次。 嗯，然后在这个过程中三十三秒内呢，他只能够走两个全程，所以也就能够平行两次。 好，这就是我们今天的每日一题啊，希望能够对大家所帮助。你会发现这种题确实没有太多的套路方法啊，只能是凭借大家的这个画图，凭借这个 分段分析去把这个题目搞定。嗯，还是挺有难度的哈。好，这就是我们今天的每日一题，希望能够对大家所帮助。最后大家如果觉得不错的话，不要忘记点赞、关注、收藏，感谢大家支持，我是乾坤老师，我们明天再见，拜拜。

同学们大家好，五分钟一道压轴题，我是你们的吴雅老师，今天带来的是一道武侯区的一个考试题目啊，武侯区七年级 是我们初一上期的一个期末考试的压轴题，一道动点和动角的结合问题。那我们来首先看下题目点， a 表示的数是最大的，负整数呢， a 就是 负一，然后给了一大堆，然后 b， c 是 十二呢，这个是六，这个是六，所以 b 等于五， c 等于负七。 这第一位就比较简单啊，现在我们看第二位，第二位。我们先看一下整体的运动形式啊， p 从 c 出发， p 从这里出发， 然后以每秒两个单位运动到 b 点啊， p 从这里出发，然后以每秒二十度的速度绕 a 逆时针转，再转回到 c 点，意思是还要这样转转转转回到 c 点，速度为二十。 那好，接下来我们说 q 从 b 出发， q 从这里出发，速度为四，转动到 c 点，然后再以每秒十五度的速度转回到我的 b 点。那么我们来告诉我们说， q 是 运动到 b 后停止， 然后我们算下总时间啊，整个距离是十二十二，除以我的速度是四，我们在水平方向上运动的时间三秒钟， 这里转动的角度的速度是十五，总共转多少度？转了一百八十度，所以一百八去除以十五等于十二秒钟，所以总时间是三加十二等于十五秒钟。好，接下来看第一个， 他说 p 和 q 都在线段 b， c 上的时候，这个题就比较简单了啊，那我们把 p 点这里出现 p， a 和 q 嘛， a 点还有 q 点给表出来。首先 p 点从 c 出发，出发点是负七，那就是负七加上我的速度为二，而 t 嘛，做了二七个单位， a 点呢？ a 点不变，就是负一， q 点呢？是从这里出发，这里应该是五啊五，速度为四，反方向运动，那是五减四 t， 这个简单的标点法大家一定会啊。 然后他说，如果 ap 等于二倍 a q， 也就是 ap 等于二倍 a q， 我 们就是就该带进去啊， 在数轴上距离就叫绝对值， a p 就 叫 a 减 p 的 绝对值， a q 就 叫二倍 a 减 q 的 绝对值。那么把 a 和 p 分 别 载进去，大家可以口算啊，负一减去，整个式子呢，就是六减二 t 的 绝对值等于二倍的 a 减 q， 就是 这个减，这个等于负，六加四 t。 我的做法一般都是先化减，先同时除以二，那就是三减 t 的 绝对值等于负，六加四 t， 那 么两个绝对值相等，这两个东西要么相等，要么相反。 第一个三减 t， 要么就直接等于负，六加四 t， 要么就是三减 t， 直接等于这个的相反数也是六减四 t。 那 我们一项第一个，第一个一项 五 t 就 等于九 t 就 等于五分之九，这第一个答案再把这个提过去，三 t 等于三 t 就 等于一。所以第二题一或五分之九，两个答案就做出来了啊。好，接下来我们准备看第三个问， 第三个问，他说 q 在 半圆弧上，意思是我 q 已经运动到这个位置了，他运动过来是不是已经花了三秒钟了？但是我们看下三秒钟开始，我们第三题是相对从三秒钟开始动 p 点，三秒钟在哪里？是排在这个位置，他还没上圆呢，所以这个还有三秒，这段还要三秒，我们是不是就要总结一下他这个分段区间，对吧？首先我们来看 q， q 是 最简单的嘛， q 我 就从第三秒开始动，那从第三秒开始动的话，我们把右边这个图形给擦一下啊。 我们一般来说，设中间这个这个点为心，它是不动的，那么 b 点就是我们的零度。我一般来说，这样设 c 点多少度，就该是一百八十度，它告诉我们说 b a 大 等于八十， b a 大 等于八十，意思是大点和 b 点的距离就是八十度嘛。我们可以用动点的思想来想。 好，标完了过后， q 点相当于从 c 点出发，速度是多少？是不是十五？ t， 但是我是第几秒开始动的？我们先要把时间三到十五秒嘛，十五秒结束对不对？所以我的度数，我的出发点是不是一百八？但是我要减去多少呢？ 减去多少是不减去每秒钟走了十五，那我们就把速度写上去，时间就是用 t 去减去我开头的时间， t 减三，那么化简出来就叫一百八十减十五， t 加四十五，那就是二百二十五减十五， t 就是 我 q 点 表示出来了。接下来我的 p 点呢？ p 点从零三秒钟开始，一直到第六秒钟的时候， p 是 不是永远都在这个位置？那我的 p a 这个度数是不是永远都是零度？所以我的 p e 就是 零，零代表多少多少秒到多少秒， 是不是三到六秒钟？那么 p 二呢？我开始动了啊，我的速度为二十，那我从哪里动？是不是从零开始动？那么根据刚刚一模一样的方法，零加上，因为是顺，因为我度数在增加，对吧？零加上我的速度乘以我的 t 减去多少？ 减去我从第几秒开始动，是不是第六秒开始动？十五秒是不该停止了？六到十五秒，然后我们来看 t 减六化解，那是不是二十 t 减去一百二十？ 好，接下来告诉我们说， a， e 是 paq 的 角平分线， q 倒是只有一个，那 p 是 不是有两个？所以我的 e 点是不是应该有两个 e？ 一 是不是 q 加 p 一 除以二 等于多少？我们自己带带进去直接算了啊。 q 加 p 一 除以二呢是二，二百二十五减十五， t 除以二，时间呢？是不就是 三到六秒钟？一二，那就是我的 q 加 p 二除以二带进去算一下啊，那是一百零五 加五， t 除以二多少秒呢？是不是六到十五秒钟？他问我们说是否存在 t 的 值时的 e， a 大 等于五十度一点。我知道了，大点是多少，题目中也给了啊，大点是八十， 那就是一 a 档把中间这个 a 都可以不看，所有的 a 都可以不看的啊，那就是一大之间的距离为五度吗？那就是一减大的绝对值等于五吗？那这个就是一个纯粹的计算过程了啊。我们先看三到六秒钟的时候，我就写到左上角啊，一三到六秒时， 我的一是不是他？我的大是不是他？为了方便我计算啊？我是不是都写成二分之一百六吗？因为他都是二分之二分之一去减大，用这个去减去这个，那就是 二分之二百二十五，再减一百六六十五减十五， t 的 绝对值就是我大减一等于五，那我化减是不是六十五减十五 t 同乘二啊？ 那就是六十五减十五 t 等于十，或者六十五减十五 t 等于负十嘛。第一个解出来等于多少？十五 t 等于五十五 t 等于三分之十一。第二个 t 十五 t 移过去，这个移过来，十五 t 等于七十五 t 就 等于五。 那么看这两个满不满足？三到六秒钟，哎，刚好都满足，所以两个答案有了。第二个，那就是六到十五秒的时候，我是用一二和大一，对不对？那就是一二减大一的绝对就等于五，一二减大一， 这个去减去二分之一百六，一百零五减一百六等于负五十五啊，那就是 二分之五 t 减五十五的绝对值等于十啊，等于五啊，是不还是一样的同乘二，把这个地方擦一下啊， 确实位置太小了。这个 t 比作为压轴题是比较多啊，那就是五 t 减五十五的绝对值等于十。所以五 t 减五十五，要么等于十，要么五 t 减五十五等于负十，那么一下五 t 等于六十五，那么 t 三等于十三， 那么五 t 等于四十五 t 四该等于九，那九和十三在不在？这里面？也在，所以四个答案啊，我用红红的标注一下，一二三 四四个答案。好，整体这个题呢，属于我们特别优秀的八，优势会把这四个答案全部做出来啊，这个用动脚法做这种题比较简单啊。