初一数学蚂蚁爬行长方体模型怎么做

大家好，我是于老师，今天我们接着研究蚂蚁爬行问题，看上一个视频思考题。如图，一只蚂蚁沿着边长为二的正方体表面，从 a 点出发，经过了三个面，到达点 b。 如果他的运动路径是最短的，求这个最短路径。注意他经过的是三个面，也就是经过的是三个正方形。现在我们把这三个正方形进行展开，从 a 到 b， 就是从这个点 a 到点 b， 我们连接 ab， 然后可以利用勾股定律求解， 在三角形 a、 b、 c 当中， b、 c 的长度应是二， a、 c 的长度是三个二是六，所以说 a、 b 的长度应该等于根号下 a， c 方加 b， c 方， 也就是等于根号下六的平方，加二的平方等于根号下三十，六加四，根号四十，化解 一下，应该得二倍的根号十，所以这个题答案应该是二倍的根号十。再看一个题目，如图，这是一个台阶，他的每一阶台阶长度都是五，宽度是三，高度是一， a 点和 b 点是台阶上相对的两个端点。一个蚂蚁从 a 点出发，沿着台阶的表面爬行， 然后呢爬行到点臂，问最短路程是多少？我们可以想象一下，在这个台阶上铺着一个地毯，这三个上面和三个侧面都铺着地毯，我们把地毯呢撤下来展开， 就变成了这个图形，这个长度应该是五，宽度是三，高度是一。同样道理，有三个三，三个一应该有三个四，所以这个长度应该是十二。我们要求的 a 点到 b 点的距离，那是连接 a、 a、 b， 然后利用勾股定理，这个 a、 b 的长度呢，应该等于根号下五的平方，加上十二平方应该等于的是十三，最短路程呢是十三。好，今天关于爬行问题呢，咱们就讲到这里，下一个视频见，请点赞、关注、评论哦！

正方体上一只蚂蚁从 a 点爬到 c 点，求它爬的最短距离。正方体的话，所有的展开图都一样，它就是两个正方形摞到一块， 看最短距离就是这个斜对角吧。来看长方体了，我特意拿了一个长方体，那从 a 点到它斜对角有几条路径， 这个是一个组合吧？这个面和这个面是一个组合吧？这个面和这个面是个组合吧？他从他这个面 这个面到底下，这个面到底下是一个组合啊。也就是从这个出发点有三条路径到斜对角。这啊好看，具体展开图啊。第一种展开图， 这个面加这个面，第二种是这个平面加上这个平面的路径吧。好，再看第三种路径是侧面加上底下这一面吧。 你展开的话，所有的式子都相似啊， a 的 平方加 b 的 平方加 c 的 平方加上二 b， c， 这个是加上二 a， c， 这个加上二 ab， 所以 你算两个边相乘积最小就是它的最短距离啊。

初中几何模型之勾股定理这一讲，我们一起来学习蚂蚁爬行模型难度，星级，四颗星我们要讲到蚂蚁爬行三个模型，先来看第一个， 蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从 a 到 b 的最短路径怎么算？那么蚂蚁要从 a 点爬到 b 点， 不管怎么爬，至少要经过两个平面。那么在蚂蚁从 a 点到 b 点爬行的过程中，经过两个平面的情况下，我们可以分三个情况来讨论， 那么此长方体的长宽高分别为 abc。 假设蚂蚁经过黄色 平面与蓝色平面，那么我们将蓝色与黄色平面展开， 这个时候我们会发现蚂蚁爬行的路线可以放在一个直角三角形中， 此时这个直角三角形的一边长为啊，一条直角边长为 a， 另外一条直角边为 b 加 c， 所以 ab 的长度我们可以 写成根号下 a 方加 b 加 c 的和的平方，呃，将括号展开后，会得到根号下 a 方加 b 方加 c 方加二 bc。 第二种情况，假设蚂蚁经过黄色平面与绿色平面，这个时候组成的直角三角形的， 呃，这个一条直角边为 c， 另外一条直角边的长度为 a 加 b， 那我们根据勾股定理， ab 最终等于根号下 a 方加 b 方加 c 方加二 ab。 第三种情况，假设蚂蚁经过了红色平面与绿色平面，那么组成的这个直角三角形的三边直角编为，一条直角编为 b， 另外一条直角编为 a 加 c， 我们可以根据勾股定理得到 ab， 最终等于根号下 a 方加 b 方加 c 方加二 ac。 那我们综合这三个等式，我们会发现 acabbcc 小，那么 ab 的值就小，那么最后我们会得出结论，蚂蚁爬行的最小值，它是等于根号下最长边的平方加 短边与较短边合的平方啊，我们在这个模型下要优先判断长宽高较小的两条线段啊，然后在烈士计算。 接着来看蚂蚁爬行模型二，蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从 a 点到 c 点最短路径怎么算？从图中我们可以看出， a 点与 d 点是底面直径相对的两个点， 将圆柱的侧面展开，如图， a 点到地点的距离为底面圆的半周长， 那么半周长与高构成了一个直角三角形，这个时候我们可以知道蚂蚁爬行的最短路径的长度为直角三角形的斜边， 所以 ac 的距离我们可以利用勾股定理来计算。 ac 等于根号下太方，阿尔方加 h 方， 那么在这个模型下，我们同样是将立方体进行了一个侧面展开，再根据勾股定理带入相关数据来 计算。需要注意的是，如果 a 点与 d 点的位置不是直径上相对的两个点，这个时候我们可能会呃应用到无偿的计算公式。 确定了 ad 的距离以后，我们再带入直角三角形，用勾股定理计算。 接着来看蚂蚁爬行模型三，蚂蚁吃蜂蜜问题， 求蚂蚁从 a 沿着圆柱体外臂爬行，再沿着内臂爬行到 b 的最短路径，我们依然要将立方体进行一个车 侧面展开。这个时候聪明的同学会发现，其实这个问题现在就转换为了将军一马问题。 首先我们做 a 点，关于背着上沿的对称点， a 撇点连接 a 撇 b， 那么 a 撇 b 的距离就是蚂蚁爬行的最短路径， 那么相关数值我们要在题目中找到并且正确的算出。 算出相关数据以后，我们带入到这个直角三角形中，计算出 a 撇 b 的距离。嗯，根据这道题， a 撇 b 等于根号下 派方 r 方加 h 的平方。那么由前三个模型我们可以推广，这个立方体呢，可能是其他形状的立方体，但是关键呢，我们是要对这个立方体 进行一个侧面展开，展开以后，我们转入直角三角形， 利用勾股定理来计算计算出蚂蚁爬行的最短路径。 一起来看今天的例题一，如图，正次棱柱的底面边长为五厘米，侧能长为六厘米。一只蚂蚁从棱柱底面上点 a， 沿着 棱柱表面爬到点 c 瓢处，求蚂蚁需要爬行的最短路径的长。 根据模型一，我们首先要判断边长与冷长乘积的最小值， 经过判断，我们会发现五乘六和五乘五，那还是五乘五比较小，所以呢，我们会呃得到这个最短路径的长最松的这个列式为根号下六的平方加 括号五加五括号平方。最后计算出结果等于两倍，根号下三十四。那么 对于长方体正方体蚂蚁爬行问题，我们要优先判断三个数据之间的成绩，选较小的成绩进行计算。 第二题，如图，放在地面上的一个长方体盒子，其中 ab 等于十八厘米， bc 等于十二厘米， bf 等于十厘米， 点 m 在棱 ab 上，且 am 等于六， n 是 fg 的终点。一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面重点 m 爬行到点 n， 则他需要爬行的最短距离为。这道题呢，我们根据题目中这个给的数据 关系，我们要去构造一个全新的长方体，也就是说在新的这个长方体中，我们重新根据模型一的结论来计算 mn 的距离。 根据长宽高三边的关系，我们发现六乘十较小，所以我们列式 mn 等于根号下最长边十二的平方，加上 短边和较短边两边的合的平方啊，计算出最后结果为二十， 所以这道题的答案为选项 a。 来看今天的最后一道题，如图所 是，圆柱形容器高为六厘米，里面周长为六厘米。在容器内壁离底部二厘米的点 b 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁离容器上沿二厘米与蜂蜜相对的点 a 处。 这蚂蚁从外 ba 处到达内 bb 处的最短距离为多少厘米？ 我们将容器侧面展开做 a， 关于容器上沿的对称点 a 片连接 a 片 b， 那么 a 片 b 就是蚂蚁爬行的最短距离。嗯，我们过 b 点做 fa 的垂 线垂逐为 c 点。这个时候我们将 a 片 cb 三点构建成了一个直角三角形，那么我们通过相关数据来计算直角三角形的两条直角边长 a 片 c， 他的距离应该是等于啊六减二再加二， 那么 bc 的距离应该是等于半周长，也就是六的一半三厘米。那么这两个直角边的数据我们算出来以后，带入勾股定理， a 片 b 等于根号下六减二加二整体的平方，再加三的平方，计算结果为三倍，根号五 厘米，也就是说蚂蚁从外 ba 处到达内 bb 处的最短距离为三倍跟后。 关于蚂蚁爬行的最短距离问题，我们通常是通过展开立体图形画，立体为平面，画曲线或折线为直线，利用两点之间线段最短解决问题。 同学们下去以后多体会好这一项，就到这里，我们下一讲，再见。

立体几何最短路径解题关键，画趋为直这道半圆柱蚂蚁爬行题，先算半圆柱弧长，再结合已知线段长， 用勾股定律就能算出 a 到 c 的 最短路径，跟着动画一步一步看，超直观！

啊，把这个题目搞定了，东西还可以，我想大家现在心中大概有一个方向，就是我们从 a 到 c 皮这两个对角，蚂蚁怎么爬走过的路径最短？同学们脑海中是怎样想象的呢？我觉得你是这样想的，首先呢，你选择一条路径，那么它可以有几种路径呢？因为长方体有三个不同的面，所以呢，我们其实至少要走过两个， 那么也就意味着三个里面选两个，我们有三种组合，我们可以从正面上面走，也可以从正面右边走，也可以从左边上面走，大家从下边和右边它是对称的，是一样的逻辑。所以呢，我们把这种哎走立体空间的问题转化成平面的问题，把它展开，然后我们分别对应的长宽高把它列出来，然后最短路径两点之间现在最短，我们走对角，然后利用勾股定律去求这个长度， 从而计算。大家思路和我一样的，给我敲个一 ok， 那 么我们的标准答案显然也是这样子，这是我们的标准作答，最终答案求的根号四十一，大家算的没有任何问题，但是我还是觉得这个方法有点繁琐，如果每次遇到这样的题目，需要花这么长时间去算的话，我觉得太亏了。接下来是我们见证魔法的时刻。 好，同学们，我想大家已经思考到了，既然我们三个面里边要选两个，我们在任意组合下，其实是长方体的三条棱长， 大家看这里分别，我们设为 a、 b、 c 的 话，我把它排个序， a 小 于 b 小 于 c， 那 么我们最终形成的那个勾股定律计算的那个斜边，实际上就是我们用其中的两个棱长拼成一条长直角边，剩余的那条棱长作为另外一条直角边进行勾股定律的计算就可以了。那么大家来看一下，我们既然是三个棱长任选两个组合，那么我们一共有三种方案，所以路径一的 平方它等于 a 加 b， 我 们以 a b 做组合，然后路径二呢，我们 a c 作为那个拼接的直角边组合，我们 bc 呢，作为第三种拼接组合，然后另外剩余的那条边作为另外一条直角边，我们进行勾股定律的计算，打开之后看到最后你会发现 神奇的规律，你发现它们所包含的式子里面都有 a 方加 b 方加 c 方，唯一的区别在于最后的这个小尾巴，二 ab， 二 ac 和二 bc。 那 么请问 这里面哪个最小呢？大家是显而易见的三个，我既然排完序，肯定是两个最小的成绩最小，因此我们的排序是路径一小于路径二，其次小于路径三。那我们得到什么结论呢？我们得到的结论叫做，我们在每次求最短路径下的情况下，那么我们只需要选两个最短的 拼接在一起作为直角边，剩余的那条作为另外一条直角边进行勾股定律计算，所以我们得到的结论叫做最短路径等于根号下短的加短的平方，加长的平方。那么我们来练两道题来验证一下这个问题。首先大家来看刚刚的这个问题， 大家还记得答案自己算的是根号四十一，那么我们来看，既然我们的结论两个短的拼在一起，二加三的平方加上四的平方，看根号是不是根号四十一， 所以我们掌握了这个方法以后，你在做这类题的时候，完全不需要去比较三种可以秒答。之前你花四到五分钟解决的问题，现在你只需要三十秒最多。我们再来看来看这个问题，现在你知道三个平方分别是三五六，它对角的话，那么我们两个短的拼在一起，三和五拼在一起， 再加上剩剩余的那条边六，这是六八十。很明显答案为 c 选项，你看十秒钟就搞定了，我们再来练一个。来看这里三四五，大家非常熟悉的数字，这次我们呢肯定是拿短的，短的加短的，三加四的平方加上五的平方看根号二十五加四十九等于七十四，所以根号七十四，因此答案选 b， ok。

这里有一个长方体的盒子，它的底面长为四，宽为三，高为六。在埃点处有一只蚂蚁， 他经过长方形的表面，要到地里去吃食物， 他所走的路径最短，此刻我们要想办法把这一个立体推行，转化成这三种平面推行 求蚂蚁所走的最短预定场，实际上就是从 ab 到 b 之间的线排长， 这个立方体就相当于我手中的这个分，他怎么走呢？他从 a 点严重正常性走到这里，然后再有这个点，直接到达比例， 那我们把右面给他展开， a 等待着， b 等待着，这个是相当于把上面给他展开 a 点，沿着这条线走到这里，然后再 到达地点，我们把它展开，就是这种情况，这里是 a 点，这里是地，就是 对他的左面。如果蚂蚁从 a 点沿着左面来走，要沿着这条线，然后再走这条线倒到地点。好，这里是 a 点，这里是规矩。 下面呢，我们来标注一下。过去在这一个三角形当中，假设是安全锁，这里是直角， 我们可以看出这条边是长方形的长，加上他的宽，这叫什么呢？因此挨背的平方 应该等于七方，加上六七七四十九，加上六六三十六， 结果等于再来看这个情况，这个是宽四，这也是个谁叫三角形的颜色。这段的长四个六，这段的长就是这个四个三，那中间的平方 就等于四个平方，加上九十九，结果等于十六，加上二十一，等于九十七。 我们来看最后一种情况，最后一种情况，这个调是谁？这叫什么？叫谁？ ic 的长， ic 的长，这是个三，这是六，这个 正常是因此来别的平方就等于十个平方加上三个面，结果有一天一百加上去等于零。他有三条路可走， 他沿着前面和右面，或者是前面上面，或者是左面上面， 究竟哪一条路所走的路径是最短的？我们只要看从 ab 的平方最小就可以了。 我们可以看出第一种情况他的结果是八十五，第二种情况就是七， 第三种情况是一百零九。所以说这只蚂蚁他走的最短路径应该是先经过前任，好像来到这个位置，然后再到这个位置， 这不是指这个地方之一变成，这就是指的了。好。