二次函数考点总结书籍

hello， 各位，我是乔一，今天我们要讲解的是高中数学冷教 a 版教材课后习题第二章章末复习一元二次函数方程和不等式，快点开始吧！ 首先是本章的章末小结思维导图，接下来我们看具体的题目，我们首先来看复习参考题二，复习巩固的第一题。夏令营总共有四十八个人，要选 a 会怎么样？多选或者少选？ 选 b 又会少又会多，他现在设呢？ a 型号的帐篷有 x 顶，用不等式将题目中的所有不等关系都要表达出来。那我们假设 a 型号的帐篷有 x 顶， 那么 b 型号就容易知道，因为 a 型号的帐篷比 b 型号的少五顶，所以 b 型号就是 x 加五顶。那首先 a 型号的 x 肯定要大于零吧，而且 x 呢，要属于正整数，也就是 n 信号，并且呢， x 加五这个 b 型号的也要大于零，他说只选 a 型号的，那每顶帐篷住四个人，帐篷就不够用哦，那么每顶四个人， 那么 a 型号有 x 顶，所以总共是四 x， 那 这个人数呢，他要小于四十八才对，因为他说帐篷不够嘛，帐篷不够就说明人有多住，帐篷的里面的人一定要小于四十八个才会多出人来。那接下来还说每顶帐篷如果住五个人， 有一顶帐篷没有住吗？那每顶帐篷住五个人，那 x 顶也就是五 x 呗。啊，五 x 呢，就是总共住进帐篷里面的人， 那他说什么呢？有一顶帐篷没有住满，那一挺帐篷是五个人，没有住满，所以五 x 减去四十八个人，肯定要小于五个人，而且呢，他要大于零才会住不满，这就是选 a 型号帐篷的所有的情况， 那接下来看 b 型号，只选 b 型号的每一顶帐篷住三个人，帐篷不够。那 b 型号总共是 x 加五顶，每顶呢，住三个人，这是所有住进 b 型号的人数，他说帐篷不够，也就说有人多， 因此他就要小于四十八。他说每顶帐篷住四个人，则有帐篷多余，那也就说四倍的 x 加五，他首先要大于四十八倍。注意哦，他和我们前面这个不一样，前面是帐篷不够， 而这里呢，是帐篷多余，也就是说每顶住四个人，所有住进去的人，他一定是大于四十八的， 这样的话才是帐篷有多余。 ok， 列到这里呢，我们就把所有的已知条件用不等式给他表达出来了，这就是本题最终的答案。接下来看复习参考题二、综合运用的第六题。 他说当 k 取什么值的时候，这个一元二次不等式小于零，对一切实数 x 都成立，那首先我们要不要对它进行分类讨论，也就是说这个 k 能不能等于零啊？当然不能了，因为他都说的很清楚，一元二次不等式，因此 k 肯定是不等于零的。那 k 不 等于零，它就是个抛物线，这个抛物线要永远在 x 轴的下面，因为它要小于零啊。那这个图像怎么画呢？开口一定是要向下的， 你向下的话，这个图像才会永远在下面，如果你向上，这样的话，总会有图像在 x 轴上面，所以不行，一定要开口向下，也就是说 k 一定要小于零。而且呢，这个抛物线和 x 轴还要没有交点， 也就是说和它没有根，没有根，那就是判别式要小于零，满足这两个条件就能够满足我们的题。 德塔小于零， k 小 于零，那我们来解一下呗。那德塔是谁呢？是 b 的 平方减四 a c， 也就是 b 的 平方加上四倍的 a c， 把它整理一下，那就是 k 的 平方加上三 k 要小于零，所以 k 乘以 k 加三要小于零，解出来 k 是 大于负三小于零的，那综合 k 小 于零，所以这个就是它最终的答案。因此 k 的 取值范围就是属于负三到零左开右开区间，这就是本题最终的答案。 接下来看综合运用的第七题，他说明用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但是他们的比值呢，应该不小于百分之十，这个比值越大，采光效果就越好。第一问， 一所公寓面积与地板面积的总和是二百二十平，那这所公寓的窗户面积至少为多少平？ 那我们可以设窗户面积为 x 平面，那么地板面积呢？就是二百二十减去 x。 那 由我们的提议得出，首先这个窗户面积 x 一定要小于地板面积二百二十减去 x， 这是第一个大条件。然后呢，他们的比值，也就是说窗户的面积 x 比上 地板面积二百二十减去 x 要大于等于百分之十这个比例。那第三个 x 肯定要大于零的喽，你不可能没有窗户吧，地板面积也要大于零吧？ 哎，这就是它的不等式组。那我们直接解出来 x 呢？就解出来就是大于等于二十，小于一百一十， 所以窗户的面积也就是 s 窗户一定要至少为二十平方米。这就是第一题他的答案。 接下来看第二问，同时增加窗户的面积和地板面积。公寓的采光效果是变好了还是变坏了？那我们设呢，原来的窗户面积是 x， 原来的地板面积呢 是 y， 那 么假设呢，增加的面积为 a 平方米，当然 a 是 大于零的。那我们说公寓的采光效果取决于什么呢？取决于窗户面积比上地板面积。 那原来的是 x 比上 y， 后来呢是 x 加 a， 比上 y 加 a， 那 你说采光效果是变好了还是变坏了？我们在前面的学习当中学过，只要是 x 小 于 y， 而且呢， x 大 于零， y 也是大于零的， 那么上下同时加上一个正数，哎，他的分数一定是变大的，也就说这个地方他是小于号，这个叫糖水不等式，分子分母同时加糖，糖水变得更甜了嘛。所以我们可以显然知道 比值是变大的，所以采光效果呢，是变好了。当然，如果你马上看不出来这个是糖水不等式，你也可以让他们去做差吗？也就是说，你要去比较他和他谁的值会更大一点，那就做差法， 用右边减去，左边减出来一定是大于零的，因此右边一定是更大的，所以采光效果会更好。 好，接下来看综合运用的第八题，他要我们反照他的写法，左边呢，写一个相等关系，右边呢，写一个不等关系，然后判断他的正误。比如说我可以写啊，洛 x 等于 y， 那 么 x 的 绝对值就会等于 y 的 绝对值， 这个是一个相等关系的命题，那不等关系呢？洛 x 大 于 y， 那 么 x 的 绝对值就会大于 y 的 绝对值， 这个是对的吗？那显然是错误的吧，因为 x 等于负一，它大于负二，那它的绝对值反而更小嘛，所以这个是不对的，你举一个复数就可以了，这是我们列举的第二个，那你可以继续列举啊。如果 x 等于 y， 那 么可以写平方。 x 等于 y， 那 么 x 的 平方就会等于 y 的 平方，这个是相等关系，那么可以继续变啊。若 x 大 于 y， 那么 x 的 平方就会大于 y 的 平方吗？这又是一个错误的吗？和我们刚刚上面这个是一样的，你添一个负号就可以。比如说负一大于负二，平方一下，显然会更小，所以它是错误的。 接下来我们看拓管探索的第九题，他告诉我们呢， a、 b、 c、 d 和这个 e、 f、 g、 h， 它是同为一个面积的矩形，它们两个呢，组成一个，总共面积是两百平方米。也就说我现在画红色的这个区域， 总面积是两百平方米。然后呢，它在正方形 m、 n、 p、 q 上建一座花坛，哦，这里是花坛，我把它标注一下，造价呢，是四千二百元每平方米。然后在四个相同的矩形，也就是这个阴影的部分要铺花岗岩。 我把它也标注一下，造价呢，是两百一十元每平方米。然后在这四个空角，也就是这四个三角形当中，要铺草坪，草坪的造价呢，是八十元每平方米。那总造价为 s， 那 总造价那就是全部加起来呗。 ok。 那 现在呢，是 a、 d 是 x 长，哦，这里是 x， 当 x 为和值的时候， s 最小，也就总造价要最小。 那我设 a、 d 是 x， 我 可不可以设 a、 m 等于 y 呢？也就说这一段的长等于 y 米。 ok， 我 们先把它设出来，那有了 x， y， 我 们知道中间这个花坛，这是 x， 它是正方形，所以都是 x， 因此花坛的面积就是 x 乘 y 等于四，也就四倍的 x y 呗。那三角形的面积也可以求出来，那草坪的面积呢？我们可以先算出来一个三角形，就是二分之一的底乘以高，也就是 y 的 平方，总共有四个，那就乘以四呗。所以它草坪的面积就是 二 y 的 平方。 ok， 所有的面积我们都求出来之后，我们接下来就可以去列等式和不等式。首先两百平米，也就是这个矩形加上这个矩形的面积是两百平米， 那也就说四个阴影部分，也就是四倍的 x， y， 这四个矩形加上中间这个正方形 x 的 平方，它的面积之和是两百。那我们可以推出来， y 就 等于两百，减去 x 的 平方，要除以四倍的 x， 所以 总造价 s 呢，就等于花坛的单价乘以面积，也就是四千二百乘以 x 的 平方， 要加上花岗岩的单价乘以面积，也就是两百一十乘以四倍的 x， y， 再加上草坪的单价乘以面积，那就是八十乘以二 y 的 平方。那我们把所有的 y 都变成 x， 第一个四千两百 x 平方不要动，变成两百一十乘以四倍的 x， 再乘以 y， y 其实就是我们刚才算的四倍的 x 分 之两百减去 x 的 平方，加上八十乘以二倍的 y 的 平方，也就是 四 x 分 之两百减去 x 平方，整体的平方呗。所以我们把它整理一下，它就变成了三万八千，加上四千 x 的 平方，加上 x 的 平方分之四零零零零，也就是四十万。那么到这里呢，大家就一目了然了。 x 的 平方， x 平方直接可以使用基本不等式，它就会大于等于三万八千，加上两倍的根号下，它乘它也就是四千 x 的 平方乘以 x 的 平方分之 四十万，那么约掉 x 的 平方，它就是幺幺八三个零。哎，也就是说 s 它是大于等于幺幺八三个零的。那什么时候成立呢？ 当前仅当谁使用了基本不等式，我就让谁相等，那当然是四千倍的 x 的 平方会等于 x 的 平方分之四十万，那么写出来 x 就 等于根号十，因为 x 肯定是正数嘛， 负数要把它舍去，也就说 x 等于根号十米的时候，总造价能取得幺幺八零零零这个最小值。这就是本题最终的答案。接下来我们看拓广探索的第十题，他说购买同一种物品，可以用两种不同的策略。 第一种策略呢，是不考虑物品的价格的身价，每次购买这种物品所花的钱数一定。 那么哪一种更经济呢？我们假设呢？第一种策略，购物第一次呢，它的价格呢，是 p 一 元，我们买呢，买的是 n 千克。那第二次呢，我们假设它的价格是 p 二元，当然也买 n 千克，因为他说每次买这种物品的数量一定嘛，所以两次买它的平均价格，我假设它是 s 一， 它就等于第一次的总价 p 一 n 加上第二次的总价 p 二， n 除以二 n， 所以 可以把 n 约掉，那就是 p 一 加上 p 二除以二呗。这就是第一种策略下 它算得的平均价格。那接下来第二种策略。第二种策略呢，我们可以设，第一次花 m 元，那么它花了 m 元，它就能买多少千克呢？ 是 m 除以 p 一 千克，因为第一次价格是 p 一 元嘛，那么第二次呢，他仍然花 m 元，他能买到的千克数就是 m 除以 p 二千克呗。那么两次他买下的平均价格，我们仍然可以去算一下 s 二，它等于 第一次的元素，就是 m， 加上第二次的元素 m， 那 就是二 m 除以，总共他买了多少东西， 那就是 m 除以 p 一， 加上 m 除以 p 二。那把它整理一下，就是两倍的 p 乘以 p 二除以 p 一 加上 p 二。那它现在的操作就是要比较 s 一 等于 p 一 加上 p 二除以二和这个 s 二等于两倍的 p 一， p 二除以 p 一 加 p 二。 比较 s 一 和 s 二，到底谁更大呗？那比较谁更大，我直接做插法就可以了嘛。所以 s 一 减去 s 二，那算出来呢，是等于 p 一 加上 p 二，括号的平方减去四倍的 p 一 乘以 p 二除以两倍的 p 一， 加上 p 二。那显然上面呢，也可以把它整理一下，就是 p 一 减 p 二，括号的平方要除以两倍的 p 一 加上 p 二，那显然它是大于或者等于零的吧。也就说 s 一 一般是要大于等于 s 二的，什么时候相等呢？ 当这个 p 一 等于 p 二的时候， s 一 才会等于 s 二，此时它的平均价格就是一样的，如果不等于 s 一， 永远比 s 二更大。所以呢，建议推广 第二种策略，也就是说每次买这种物品所花的钱数是一定的，更划算。这是一种思路，也就说我们直接做插法，那么有没有更快一点的思路呢？也就说要比较 s 二和 s 一 的大小，我直接先从 s 二出发， s 二它等于两倍的 p 一， p 二除以 p 一， 加上 p 二，有核有机，我们可以直接使用基本不等式，那分母直接使用基本不等式，那就大于等于两倍的根号下 p 乘以 p 二， 那分母是大于等于整个分数，它就会小于等于分母是两倍，根号下 p 乘以 p 二，那分子呢？不用动，那么把它约一下，分母有理化，它其实就是根号下 p 乘以 p 二，那么根号 p 一 乘以 p 二，它就可以直接使用基本不等式，它就会小于等于二分之 p 一 加上 p 二，哎，它是谁呀？它不就是 s 一 吗？所以我们得到 s 二，它会小于等于 s 一， 哎，和我们前面这个第一种方法得到的是一样的， s 一 一般是要大于等于 s 二的。当前仅当 p 一 等于 p 二的时候， s 一 才会等于 s 二，所以选择第二种策略会比较经济。 这就是本题它最终的答案。完美，这就是这个视频全部内容，感谢观看，加油！

以和成为卷负数学之约，这节课我们看一下二点三，二次函数与一元二次方程和不等式。 在初中呢，我们从一次函数的角度看了一元一次方程、一元一次不等式，发现了三角之间的内在联系，利用这种联系，我们能更好的解决相关问题。 对于二次函数，一元二次方程和一元二次不等式也有这样的联系，我们看一下这样的问题。 问题一，原意是打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域，种植花卉，如果这个栅栏的长度呢，是二十四米，围成的矩形区域面积要大于二十米，则这个矩形的边长为多少？ 那边长的话呢，我们就设成 x 呗，对吧？边长设成 x， 那 另一条边长呢，就是十二减， 所以的话，因为整个是二十四，二十四除以个二，就是一个长和一个宽，它是两个长，两个宽，或者说就是二 x 加上一个二， x 加 y 就 等于十二， 那你设其中一个 s， 这个 y 就 等于个十二减， s 把 s 移过来，对吧？所以长乘宽就是面积，面积大于二十，我们就把这个不等关系列出来，那面积要大于二十， 然后这个整理一下去括号，把括号一去掉一项，就变成这个式了，那这个式子解出来呢？是 x 大 于零小于十二。那现在的话呢，我们还没没讲怎么解呢，对吧？所以他直接告诉我们了， x 大 于零小于一项。 一般的呢，我们把只含有一个未知数，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的不等式，称为一元二次不等式。 那这里边你要知道谁是未知数，谁是变量，谁就未知数。这里边的 x 是 变量，所以这个 x 是 未知数。而 abc 呢，叫做参数。 参数呢，你就把它当成一个实际上的数字就行了，比如说 a， 你 就当成二，当然实际上它不是二，它可可以是二，也可以是三。这里边这个参数呢，就是具体的数，只不过数是几，我们现在求不出来。 而这个 x 呢，是变量， x 可以 得一二三四五六七啊，就是小数也行啊，它是连续，这个 x 的 话，它是变量。所以的话呢，先看这里面有几个变量， 那几个变量是不是只有一个 x 是 变量，所以的话叫一元。如果有两个变量， x 加 y， 这两变量就叫二元。 然后呢，再看最高次是几次，最高次这个地方是二次，对吧？所以叫一元二次不等式。只有一个变量，一元最高次，二次 二次，对吧？最高次几次就是几次，所以一元二次，然后又是不等号啊，就叫不等式。好，我们继续在初中我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程，这怎么又说一遍 一元一次不等式的思想方法，类似的，能否从二次函数的观点看一元二次方程，进而得到一元二次不等式的求解方法啊？就是让我们看看怎么去解一元二次不等式。 下面我们观察这个一元二次不等式， s 方减十二， x 加二十小于零，与这个函数之间有什么关系？ 那我们看一下下面这个图像啊，下面这个图像，这个图像的话呢，就是 y 等于个 x 方减十二， x 加二十的图像， 对吧？那他和这个，他说和谁啊？和不等式还是和不等式啊？和它小于零 有什么关系呢？你看整个这个图像是这样，那它小于零的部分，什么叫小于零啊？你看它小于零是不是就相当于这个 y 小 于零， y 小 于零的话，就看图像，在 a 轴下方的时候，它 y 就是 小于零， a 轴下方，你看这 y 都是负的吧，你看这外这一段是负的，这一段是正的，所以只要 a 轴下方的图像，它就小于零的。 所以呢，我们看看这个函数和不等式什么关系？不等式其实是函数图像的一部分，对吧？小于零就这一部分，而大于零的话呢，就是这一部分和这一部分， 对吧？所以这里边的分界点在哪呢？分界点是在等于零这个地方，那等于零这个地方是什么？等于零这个地方就是令这个函数等于零这个方程的两个根，当然上面也给我们写了，没读啊。 方程 x 方减十二， x 加二十等于零，他的两个根 s 一 得二， s 二得十，这根的话就是初衷。我们那个解法能十字相乘就十字相乘，十字相乘不了就求根公式，那就能把这两根解出来。这两根的话呢，你看就是这个图像与 a 轴交点， 所以的话呢，我们解一元二次方程的时候，第一步先干什么呢？你看我们解一遍，他给他给我们是这个 s 方减去个十二， x 加上一个二十，然后要求小于零的部分。 第一步我们先令啊，第一步先令它等于零，把它与 x 轴交点这两个点求出来，也就说两根 那十相乘，一，一二十负的负的，然后横着写，那就是 x 减二乘以 x 减十等于零，所以 x 一 等于二， x 二等于十，这是第一步。 第二步的话呢，就是竖形结合，竖形结合画图。第二步，画图的时候呢，你不需要画外轴，因为书上他画的比较严谨，但是外轴其实一点用都没有，我们就随便画一个，只要有两个根就行了， 与 i 有 两根，就与 i 轴两交点，然后小的根标在左侧，大的根标在右侧，一个二，一个四，这是第二步。第三步的话呢，就看他让求的是小零还是大于零，他让求的是小零，小的零就在 i 轴的下方， 大于零就在 i 轴下方，所以就这一段。然后这个时候呢，只要是求它求不等式的解，解集一定是 x 范围，要不你这个地方你怎么描述呢？ 你说这一边图像你怎么描述的？是不是 x 在 二到十的时候是这段图像，对吧？所以我们是用 x 去描述的，那就是 x 是 大于二，小于十， 所以第三步就把它解出来。如果他说让你把解集写出来，那你就要写成集合的形式，那就是 x 描述法， x 大 于二小于十， 他如果说求这个不等式的解啊，那你就直接写这个也行。 大家等后面我们学完区间之后啊，你写成这个，写成这个或者写成区间，其实都给都行啊，都行。但是现在的话呢，我们最好写成集合，其实写成这个答案也给也给我们对的 好。然后我们看看这个，呃，它这个题目啊，它这个题目还引入了一个新的概念，我们说了一下不等式、一元二次不等式的解法怎么去解？第一步让它得零，把两根解出来。第二步，竖形结合画图。第三步，大于在 a 轴上方，小于在 a 轴上方。好， 然后这里边它引入一个新的概念，在这呢， x a s 方加 b， i 加 c 等于零的实数， x 叫做 二次函数的零点啊，引入一个零点概念，也就说这两个点是零点，二和十是零点， 那这两个零点是什么呀？是这个方程的根，对吧？所以这里边这个零点呢？他不是字面意思，他不是点，点是什么呀？比如说二三，这叫一个点，点是个坐标， 而这里边这个零点是什么呢？它是方程的根，对吧？方程的根，它就是一个数啊。所以如果是从这个图像的角度去呢，它就是与 a 轴交点的横坐标，所以这个零点呢？它是与 a 轴交点横坐标。这个点 啊，它是二，这个点是十，而不是说二零十零不是这样的，而就是这个点的横坐标二，这个点横坐标十。好，我们继续往下， 然后我们得到解集， s 大 于二，小于十，大于二，小于十，是在它给我们这个零到十二之间的， 零到十二之间的。为什么零到十二看？我们回过头来看啊，这个十二减 x， 它是个长度， x 也是个长度，这个 s 肯定就是大于零，对吧？这个 s， 这个十二减 x 也得大于零，对吧？所以的话，解出来 x 大 于零等于三， 因为它长度嘛，它就大于零，这两个长度就大于零，所以我们求出来这个范围啊，我们求出来这个二到十，你得看看它在不在这个 它给的范围里，所以二到十是属于零到十二的，所以 x 大 于二小于十，围成的矩形面积就是大于二十厘米。 好，然后上述方法呢，可以推广到求一元二次不等式的一般方法， a s 方加变， a 加 c 大 于零， a s 方加变 a 加 c 小 于零，小于零， a 轴下口大于零， a 轴上口。 因为一元二次方程的根是相应一元二次方程函数零点，一元二次函数零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图像与 x 轴相关的位置关系，确定一元二次不等式的解集， 然后嘚它去判断，对吧？嘚它等于零，嘚等于零，小于零，那对应的就是两个不相等的实数根，两个相等的实数根没有根， 那二次函数图像它给我们总结了与不等式的关系。我们看一下下面这个图像，下面这个表格啊， y 等于 a， s 方加 b， i 加 a 大 于零的时候，如果嘚大于零，两个不相等的时数根嘚等于零，两个相等的时数根嘚小于零，没根，对吧？然后 a 大 于零，就开口向上的啊，开口都是开口向上的。 第一步，你看，令它等于零啊，令它等于零，把两根减出来，把两根减出来，那这两根就是对称轴，然后这个就没有实数根，然后大于零，你看大于零， x 小 于 x 一 或 x 大 于 x， 取 x 轴上方的这个部分这一步， 然后呢？小于零，你看，小于零，取小于 x 一 到 x 二之间，取 x 轴下方这一步，然后后边那也是大于零，那就取 这一部分，但是把哪个点扣掉呢？这个点得扣掉，对吧？这个点是等于零，我们要大于零的部分，所以把这个点扣掉，你看不等于对称轴，这个 横轴不等于对称轴，然后小于零，是不是没有 a 轴下方的图像，小于零是空几？然后再看没有根的，这个没有根的，这个大于零，是不是全都在 a 轴上方？全体是都带着 s， 不 管等于几都带着他，这个都是 s 的 范围， 然后的话小零 l 下方有图像吗？没有 i 得几他都不晓得，所以空几，所以这个表我们需要记住。好，然后我们继续 求不等式 s 方减五 x 加六大于零的解集。那第一步怎么办呢？第一步定它等于零，把两根解出来， 所以第一步令他等于零，把两根解出来，你看第二步，竖形结合画图，他这个画 y 轴的，你压根不用画 y 轴，对吧？我们重新画一个，在他旁边画一个，画 a 轴，然后呢画开口向上，他说有两根了，你就画有两根就行。然后一个二，一个三，小的是二，大的是三， 然后要求大于零的部分大于零，就这一部分和这一部分大于零， x 小 于二，对吧？或 x 大 于三，然后写成 集合的形式。集合形式。好，我们来看下边这个九 s 方减去六 s 加一再解集。第一步还是令它等零，把两个根解出来，那两个根的话是相等的三分之一。第二步说明这根画图， 那有两个相等十根，说明与 a 轴一个交点啊，你就画一个交点行了，然后这个是根，把这根标出来，这根是三分之一， 他让我们求大于零的部分，大于零的部分呢，就是这一部分和这一部分，那只有这个三分之一不满足，所以 s 不 等一个三分之一，写成集合的，我们再看例题三， 求不等式负 x 方加二减三大于零的解集。那你可以用它这种啊，就是先在两边同乘的负一，然后把它转化成 x 方前面系数正的，又开口向上的。但是呢，你不建议人家该是什么就是什么，这样的话，学的就学的特别死， 就是像什么感觉呢？你只会加法，不会减法，所有的减法你都转换成加法做，那多麻烦，对吧？所以我们就直接做这个就行了，方法一模一样，方法一模一样。第一步，令它等于零，你看，我们在下边这个地方写 令负 s 方加上一个二， s 减三等于零，然后的话，我们算一下得儿它啊。 d， 它等于个 b 方，四减去个四乘以个负一乘以个负三， 所以等于个四减去个十二小于零，负八小于零，对吧？所以 d 小 于零是不没根啊？第一步，没有根，第二步，竖形结合， 画个 a 轴， 画个 i 轴，然后的话开口向哪，开口向下，对吧？负 x 方嘛， x 方前面系数负的开口向下，然后没有根，所以就这样嘛。 然后他问我们大于零的部分，大于零的部分有吗？没有，对吧？所以就空集。第三步，把剪辑写出来，空集。 所以我们没有必要啊，把它非得转化成开口向上的，因为你只要记住它是什么样，大于零就在 a 轴上方，小于零就在 a 轴下方就可以了，它该是什么样就是什么样就可以了。 好，然后我们看看下面这个表格，用框图表示其求解的过程啊，其实就复习一遍 a s 方加 b， i 加 c 大 于零的这种形式啊，先计算嘚儿它有没有根啊？这个计算嘚儿它的时候，你看这个嘚儿，它不是说每个都计算嘚儿它，那太麻烦了。嘚儿它等于个 b 方减四 a c， 这个 b 方是正的，对吧？这个 a 和 c， 如果这个 a 乘 c 是 负的，是不一定是正的， 它是负的，前面再乘一个负的，是不一定是正的，那现在就变成一个正的加一个正的，那是不一定是正的，对吧？所以什么意思啊？只要这个 a 乘 c 是 负的，你就不用算 d， 它一定大于零。 那 a 乘 c 什么时候负的？就是 e 号嘛？所以只要你看到 x 方前面的系数和这个常数，它俩是 e 号不同，你不用算 d 了。 那比如说我们写一个，你看你用不用看，用不用算 d 的， s 方减二， x 减三，等于零啊，不能等于零， 等于零也行，等于零也行吧，写成函数我们还得转化，就写得零吧方程。然后的话，那你看需不需要算 d 的 呢？ 它就不需要算 d。 你 看 s 方前面这个系数， a 和这个常数，它俩是和这个 c 啊， c 就 常数，它俩是互相对，它俩是这个符号相反的，对吧？一正一负。所以这个时候的话，你就不需要算 d 了，它俩是一号。 那你看，我们算一下得儿，它得儿等于个 b 方四减去个四，乘以个一，乘以个负三，所以就是四加上一个数，那一定是正的，对吧？所以不是说什么时候都算得儿的好，然后我们继续 当得儿大于零啊，它有两个不相等的十五根得儿等于零，两个相等的十五根得儿小于零，没有， 然后解集啊，大于零就这个等于零，这个然后小于零，全都是，对吧？好，然后我们看下面具体的练习，先看第一个， x 加二乘以 x 减三大于零，那第一步先把两根解出来，对吧？两根解出来，这个一个根是负二，我们写在上面，一个根是负二，一个根是 x 减三得零，一个根是三，然后呢，竖形结合把图画出来， 画到后边，这个够了，应该一个是负二，一个是三，开口向上啊，因为 x 乘 s x 嘛，然后要大一点的部分，所以这两这两， 然后你写的时候呢，写成这个集合的形式就可以了。 x x 小 于负二，对吧？或 x 大 于三，你再看第二个，第二个的话呢，我们需要先怎么办呢？先移项过来设相乘吧， 三 x 方减去个七， x 减去个十，所以这个你说你用算嘚儿它吗？你不用算嘚儿它，这两个是一号的， 这两个地方一号嘚儿一定大于两个不相等式，所以我们就十相乘试试。一三，然后十拆成二和五吧。二五一十二五一十不行啊， 二五行吗？三五一十五，二不行， 五和二呢？五和二也不行，那就拆成别的一和十，一和十，一和十正好了，中间是负七，所以这个这个十决定符号了，它是负的，负十加三负七。好，然后写的时候横着写，那就是 x 加一乘以个三， x 减十等于零，第一步令它得零，把两根解出来，一个根是它得零， x 一 等于个负一，一个根是它得零， x 二等于个三分之十。然后竖形结合画图， 你看全画图，感觉地方不够，这是负一，开始向上了，是向上，这是三分之十， 然后我们要小于等于零的部分，那就是小于在 a 轴下方，所以这个的话就是 x， x 大 于个负一带等号大于等于负一小于等于三分之十， 因为它这个地方带等号了，你就带等号。 然后我们再看第三题，负 x 方加四， x 减四小于零。第一步啊，还是把两根解出来，令它等于零，我们写在它前面这块，负的 x 方加上一个四 x， 然后减四等于零，那就是 x 方减四， x 加四等于零，那就是 x 完全平方吧， x 减二的平方等于 x 得二， 然后我们输赢结合画图啊， 开口向下，然后呢，只有一个根啊，就两个相等的时候， 这个根是二，所以这个解集的话呢，你看小零要小零部分，只有二，这地方不行，对吧？那就是 x， x 不 得二。 好，我们再看后面这个第四个，第四个是，这是完全平方吗？是吧？ x 减二分之一的平方 来减二分之一的平方，等于减二分之一的四，对吧？所以根的话呢，就是 x n 二分之一，然后开口向上， 然后这是二分之一，我们要小领的部分，小领部分有吗？没有，对吧？这空集，空集不用写那括号啊，就这就是一个集合的意思。好，我们再看第五个， 负二 x 方加 x 小 于等于一个负三，然后把前面插在前面算， 所以负二 x 方，然后加上 x 减去个三移过来加三小于等于零，所以先令它等零，把两根减二 s 方，负二 s 方加上一个 x 加三等于零，所以二 s 方减 x 减三等于零。 能不能十字相乘呢？这个也不用算得，它能不能十字相乘。二一，然后三一行，是吧？ 二一三一，它是中间是负的，所以三决定符号，那就是横着写。二 x 减三乘，一个 x 加一等于零，所以两根一个根是 x， 一 等于二分之三， 一个根是 x， 二等于负一，然后我们竖形结合， 开口向下， 一个根是负一，一个根是二分之三， 然后我们要小，要小于零的部分吧，所以这一部分和这一部分，那就是 x x， 嗯，带等号， x 小 于等于负一，或 x 大 于等于二分之三。 好，我们再看第六个啊，第六个得算单调。为啥啊？你看这个 x 前 x 方前面系数啊，和这个常数它俩同号，所以算一下。单调 单调等于个 b 方，九减去个四乘四， a c 十六小一点，所以没跟没跟我们数学结合， 然后开口向上，还没有根，这样，那这个时候大于零的部分全体实数吧。 r 是 吧， r 也是个集合啊，直接写个 r 就 行。好，然后我们再看第二。第二题，当自变量 x 取什么范围时， 下列函数的值等于零，大于零小于零，那就让我们把函数图像画出来，画完图像之后的话，那就能看出来，对吧？所以呢，还是先令它等于零，把两边解出来。 就前面这吧，三 x 方减去个六， x 加上一个二等于零，这能实现成吗？试试吧，三一二一，一二改成一，二呢啊，改成一，二呢啊，改成二，一呢？ 二也不行，所以不能十字相乘。不能十字相乘咋办呢？就只能求根公式了啊，就奔那方面。所以 x 等于个二， a 分 之 b， 二 a 分 之负， b 六加减，根号下 b 方六六三四六减，这个四乘以三。所以下面是六六分之六加减根号下 里边是多少？三四一，十二，十二乘以二十四，刚好十二。 好，然后的话，嗯，刚好十二能开出来点，那就是六分之六加减 二倍根三三 c 三，然后同时出个二吧。三分之三加减根三。这么难看啊，这数三分之三加减根三。好， 那我们就竖形结合吧，好像就这个数吧， 然后三分之三减根三，这个就是三分之三减根三， 这个就是三分之三加根号。然后什么时候等于零，什么时候大于零，什么时候小于零，我们就不写了啊，我们直接说一遍啊，口述一遍也没有地方写太小啊。 等于零这两个点对吧？ x 等于它和它大于零， x 小 于大于零，是不是这两部分呢？ x 小 于三分之三点根三， 或 x 大 于三分之三加根三小于零，是不？这一部分呢？你画完图其实都出来了，剩下就是就是八股纹了啊。好，然后这这段就是 x 大 于三分之三减根三小于三分之三加根三就小于零，对吧？就这一部分。 好，我们再看第二， y 等于二十五减 x 方，那先令它等于零，把两根解出来， i 等于个正负五，然后竖形结合， 那这个是开口向下的，然后一根是负五，一根是五。 好，然后描述一遍，什么时候得零呢？ x 等于一个负五或 i 得五，什么时候大于零呢？ x 大 于负五小于五，对吧？什么时候小于零？ x 小 于负五或 x 大 于五，你看下第三个， 那这个能不能试下去？这个怎么一看好像单调，这得算单调， 单调等于一个 b 方三十六减，这个 c， c 小 于零啊，单调小于零，没根开入向上， 所以什么时候等于零呢？没有空记对吧？什么时候大于零呢？ x 小 于二，全都大于零。 x 小 于二，什么时候小于零呢？没有空记啊。第四个，第四个，第四个也得算得它啊，第四个也算得它。你看这两个地方也是互相数 啊，也是这个同号的啊。同号只要是同号就算得，所以的话我们算一下得呢， 但是它等于一个 b 方一百四十四，减去个四乘一个负三，再乘一个负十二， 所以等于一个一百四十四乘一个啊，减去一个十二乘以十二，减一百四十四，那正好中巧得零 说明什么呀？得二得零，说明两个相等，是不是？那前面这是完全平方式的。那我们没约分，没看出来啊，约个分吧，要令它得零， 然后同除个负三，那就是 x 方同除个负三，减去个四， x 加上一个四等于零，还真是完全平方，所以就是 x 减二的平方等于零。 i 得二。好，我们求出 i 得二了，我们把这擦了，在图像画到后边，这啊， i 得二， 开口向下， 然后这个点就是二。让我们我们描述一下呗，什么时候得零啊？ i 得二时候得零，什么时候大于零啊？没有空积，什么时候小于零？这一部分和这一部分把二扣掉，对吧？那小于零就是 s 不 得二， s 不 得二的时候都是小于零的。我们继续看下面的内容，利用一元二次不等式可以解决一些实际问题。下面看两个例子， 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量是 x 与创造的价值 y 之间有如下关系， y 等于个负的二十 x 方，加上两千两百 x。 现在呢，这个厂家呢，他希望这个流水线创收啊，就是能挣六万块钱以上， 则在一个星期内大约应该生产多少摩托车，所以的话，这个六千是这个六万是啥呀？六万是价值，对吧？是这个 y， 这个 y 呢，要他以上，以上就是什么比他大，所以的话呢，就是这个 y 大 于 六万，然后的话呢，我们去解这个方程就可以了，整理成这个形式化简化，解完之后求出来他的两个根，一个是五十，一个是六十，然后竖形结合啊，竖形结合，开口图画好了，我们不画啊， 这样的，对吧？然后一个根是五十，一个根是六十，所以的话，他要什么呀？他要 你看这个整理完之后呢，它是小于啊，是这个了，这个不等式小于零，所以要小于零的部分， 所以要这一部分五十到六十，所以 x 呢，就是大于五十，小于六十，大于五十，小于六十，那就是五十一到五十九，所以生产五十一到五十九都能保证六万元以上。 好，再看例五，某种汽车在水泥路面上的刹车距离 s 和汽车刹车前的车速 v 之间有如下关系， s 呢是距离， v 是 速度啊，速度越快肯定刹车距离就得越长，是吧？在一次交通事故中测得刹车的距离大于三十九点五，那么这辆汽车刹车前的车速为多少 啊？已知刹车距离大于他，然后呢？求车速，那刹车距离是谁呀？是这里边的 s， 所以 说明这个 s 大 于三十九点五， s 是 谁呀？ s 是 他，所以就是他大于三十九点五。 然后去解这个方程啊，解这个不等式啊，去解这个不等式，化简，两边同乘一百八，化简成这样，对吧？然后得儿大零有两个指数根，所以这个题他挺仁子，没让你算啊，他给你算好了， v 一 求根公式吧，对吧？然后 v 二求出来两个，但是你这个 v 是 什么呢？ v 是 速度啊，速度能是负的吗？速度得是大大于零啊，所以这个是不行的，你看这个数是负数，负九减去的，它负数不行，所以只能要这个，对吧？这个是负数， 然后呢，我们就竖形结合画出它的图像，那只取哪一部分呢？只能取这一部分，因为速度不能是小一点，所以只取这一部分，那就是 v 二要大于一个， 那就是 v 啊，要大于 v 二，就这个大于 v 二，然后的话，这个 v 二啊，这个数，这个数的话呢？如果考试真考到这个数的话，它会给你参考数据啊，它会给你这个根号下这个数。二八五二幺约等于多少？ 你不用害怕，我们正常我们是很难用手开开平方开出来啊，开这根，所以的话，他给你算完了啊。 v 二就是七十九点九到八十之间，所以这辆车速呢，至少为八十千，每时约等于八十千。 好，类似的在二点一解呢，我们学过啊，是当时有这么一个不等式，那现在的话我们就能解了，对吧？我们把这个不等式一解，我们解一下，二 x 方 减去个十三 x 加上一个二十，小一点，先令它等于零，把两根解出来。二 x 方减去个十三 x 加上一个二十等于零，十四相乘一二， 然后二十拆成二和十。二和十行吗？二和十好像不行，四五吧，四五好像差不多，二四得八，八加五十三啊，四和五正好。 然后写的时候呢，横着写，那就是 x 减四乘以个二， x 减五等于零，所以一个根的话呢，是等于个四，另一个根呢，是等于个二分之五，然后竖形结合画图， 一个根是二分之五，写这吧，二分之五小，这是四，然后我们要小于零的部分呢，就是这一部分，所以 x 大 于等于个二分之五小于等于个四。 那定价的话呢，就是在两块五，对吧？到四元的时候收入不低于二十万。好，我们看下边的练习，再看第一个 x 是 什么？实数是根号，有意义。根号有什么意义啊？根号里边的数啊，二次根式啊，根号里边的数不能小于零吧。非负型，所以大于等于零， 那就是 x。 方加上一个 x， 减去个十二，大于等于零。然后第一步先令它等于零，把两根解出来，一一三四 负的横着写， x 加三乘以 x 减四等于零，一个根是等于个负三，一个根等于个四。然后的话，我们竖形结合， 开口向上，一个根负三，一个根是四 大于等于零，取 a 轴上方的部分，所以最后的解集就是 x， x 小 于等于个负三，或 x 大 于等于个四。 好，我们再看第二题，如图长为八米，宽为六米的矩形地面，四周种植花卉，那个粉色的花卉中间种植草坪，绿色草坪，如果要求花卉带的宽度相同， 贴草坪的面积不超过总面积的一半啊，所以这个题不等关系在这呢，草坪的面积呢，不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度因为多少米？那就因为 x 米呗，对吧？ x 米， 所以我们设这个花卉的宽啊，这是 x， 那 这个也是 x， 这个这段宽也是 x， 这段宽也是 x， 那 这个题等量关系是，草坪的面积不超过一半，那我们把草坪面积表示出来，长乘宽，长的话是八减二 x， 然后宽的话呢，是六减二 x， 然后这个面积呢，要不超过小于等于 二分之一，乘以八乘以六，矩形面积一半，让我们算算这个数吧。但是这里边这个 x 是 有范围的，对吧？ x 有 啥范围啊？你这个 x， 这个 x 加上这个 x 二 x， 咱也不能比这个长，比这个宽还长，也就说小于六二， x 一定得小于六，所以 x 得小于三啊， x 小 于三才行。 好，然后我们解这个方程啊，那就去括号呗，对吧？ 六八四十八，然后减去个二八一十六十六， x， 再减去个二六一十二，加上一个四， x 方这边小于等于个二十四吧， 然后都移到不等式的左侧。那咱整理一下，四 x 方减去个十六十二二十八， 加上一个二十四小一点点，然后同除个四写在前面了。 x 方减去个七， x 加上一个六小一点点。十次相乘一一六，负的负的， 所以 x 减一，乘以个 x 减六，那一个根的话呢，是得一一个根得六竖形结合。 当你特别熟练的时候，就不用画这图了。脑子里一想，一六小幺零这一部分，所以 x 大 于等于一小于等于六，那又因为 x 得小于三呢，对吧？又因为 x 小 于三，所以 我们写成集合形式啊，然后就看这个多少米写成集合形式吧。 x 应该大于个大于等于个一小于个三，是吧？大于等于一小于三。 好，然后我们再看第三题，不写成集合形式也行。这题他没说写成集合形式第三题。某网店销售一批新款 削比。削比器啊，每个削比器的最低售价是十五，若按最低售价销售，每天能卖出三十个，最低售价销售，每天卖三十个。若一个削比器的售价每提高一块钱啊，就减少两两两个， 为了使削比器每天获得不等，关系在这了，对吧？四百元以上大于四百，对吧？四百元以上一定得大于四百，不能等于八。大于四百应该怎样定制这批 削比器的销售价格？那怎样定制啊？ x 呗，对吧？定价是 x， 定价是 x 销售价， 然后的话我们要收入等于啥呢？单价乘以数量，所以的话，那就是 x， x 就是 单价再乘以一个数量，数量怎么求呢？最多最多能卖三十，对吧？然后减去什么呢？你不提高价了吗？你只要提高一块钱就少卖俩， 所以减去少卖多少个的。那提高了多少钱呢？提高了，你现在卖 x 本来是十五，所以提高了 x 减十五块钱，那每提高一块钱就少卖两。那再乘一个号， 然后这个数呢？要大于四百，然后减这个不等式吧。那算算呗。 s 括号倍的里边整理一下，三十减二 x， 然后再加上一个三十大于四百，那就是 x 括号倍的六十减去个二 x 大 于个四百， 六十 x 减去个二 x 方，然后减去个大于四百，移到等号内乘以四百， 所以的话都移到等号的这一层。那就是二 x 方减去个六十， x 加上一个四百小于零。同除个二 x 方减去个三十， x 加上一个二百小于零。然后能十字相乘吗？四五四五二， 能不能十相乘？ 一百乘以二十肯定不行， 四十乘以五十。啊，不对，四十乘以五十，多少乘多少，一眼能看出来。二百 四乘二十最简单，那个最简单，那个我翻一眼没看出来。一和二十，对吧？十和二十一，一啊，负了，负了， 那就是 x 减十乘以 x 减二十等于零，然后 s 一 得十， s 二等于个二十，所以两根解出来了，竖形结合画图， 开口向上，这是十，这是二十你要小利用的部分这一部分。所以 x 大 于十小于个二十大于十小于二十。前面这个过程我们查了吧？啊，就是计算过程，这些都是写草纸， 直接把整理这个写来就行。 x 方减去个三十， x 加上一个二百小于零，然后呢？减得就是 x 大 于一个十小于二十，其他都是计算过程。 所以怎么定价呀？十块到二十呗，对吧？十块到二十。但是这题还有个限制，这个地方还有个限制，你不能卖太特便宜，特便宜它还不让 每个削比器的售价最低为十五，所以呢？又因为 x 大 于十五，所以 x 要大于个最低售价为十五。啊，可以等于最低售价为十五，所以 x 大 于等于十五小于二十。

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开口向上， a 为正，开口向下， a 为负。开口越大， a 越小。开口越小， a 越大。 a、 b 同号轴在左， a、 b、 e 号轴在右，左加右减 b 来变，上加下减 c 出现，这就是书上没有。但是中考经常考的二级公式，很多孩子不知道就会很吃亏，因为用二级公式解析效率真的很高。比如初中的高频考点，很多孩子不知道就会很吃亏，因为用二级公式解析效率真的很高。比如初中的高频考的二级公式，很多孩子不知道就会很吃亏。比如初中的高频考点，很多孩子不知道就会很吃亏。比如 的平分线交于点 p， 求角 b、 p、 c。 普通解法会用大量时间推理计算，但如果知道三角形两内角平分线的二级公式，你就会知道角 p 等于九十度加二分之一的角 a， 它会直接用这个公式快速的解除角 b、 p、 c 等于一百二十度。这本书包括三十二个必考主题， 四二十个重点难点以及七十五个二级公式，每一页都有知识点讲解以及立体分析，每个二级公式都有推导演变过程，让孩子理解的更加透彻，把这套书吃透。初中数学根本不用去报班，初一到初三都可以用，而且还是全国通用版本，家有初中生的家长赶紧准备起来吧， 就算我妈不给我买，这套二级公式快解就能帮上大忙，掌握了这些， 无论是基础题型还是综合大题，都能快速找到突破口。比如海伦公式已知三角形三个边长，我们就可以直接用公式算出面积。公式里 a、 b、 c 对 应的是三角形各边长， p 为三角形周长一半。 通过这个公式，就能在已知三角形边长的情况下直接得出面积，让孩子在选择或填空题时可以节省很多时间。这本书包括三十二个必考主题， 四、二十个重点难点以及七十五个二级公式，每一页都有知识点讲解以及例题分析。每个二级公式都有推 导演变过程，让孩子理解的更加透彻。而且学习二级公式的过程，本质是对基础公式的灵活运用和生化理解。家里有初中生的，赶紧准备起来吧！ 你数学是什么时候开窍的？初中，那你数学是怎么开窍的？对，二级公式在我初一排名垫底的时候，我妈妈没有让我大量刷题，她说那些都是假努力，而是给我买了本二级公式。会计，我告诉你，初中数学想学好，其实是有窍门的， 不要问孩子要不要，直接给他买一套。学会了这些快速解析的二级公式，做填空选择题时就可以直接套用，遇到大题也能更快的找到解析突破口。我举个例子， 比如初中常考的等腰三角形，已知三角形 a、 b、 c 中角 a 等于六十度，角 a、 b、 c 和角 a、 c、 b 平分线交于点屁求角 b、 p、 c 这样一道填空题， 普通解法会用大量时间推理计算，但如果知道三角形两内角平分线的二级公式，你就会知道 角 p 等于九十度，加二分之一的角 a， 直接用这个公式快速得出角 b、 p、 c 等于一百二十度。他把初中七十多个二级公式都做了系统的梳理，包含三十二个必考主题，比如三年四百五十二考的全等三角形，三年一千三百三十考的平行线， 三年九百零八考的一元一次方程。而且每个二级公式的推导演变都有详细的解析，还有立体巩固加深。用好了这本书，初中数学就不担心了，家里有孩子在上初中的赶紧准备起来吧！

初中数学开窍飞快的方法就是练二级公式，如果你家孩子学会二级公式解析，你会发现孩子做题就像在抄答案这么简单。同学们记住这个万能公式，十秒求出中考必考最值问题！ 当你中考遇到这样一道题，不用思考，直接套用科西不等式， a 就是 二， b 就是 三， 所以式子就变成了这样， x 平方加 y 的 平方等于十三，再代入数值，答案就是十三，这就是书上没有但是中考经常考的二级公式，很多孩子不知道就会很吃亏，因为用二级公式解析效率真的很高， 比如初中的高频考点等。腰三角形，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 b、 c 等于六十度，角 a、 b、 c 和角 a、 c、 b 的 平分线交于点 p 求角 b、 p、 c。 普通解法会用大量时间推理计算，但如果知道三角形两内角平分线的二级公式，你就会知道角 p 等于九十度，加二分之一的角 a， 它会直接用这个公式快速的解除角 b、 p、 c 等于一百二十度。这本书包括三十二个必考主题， 四二十个重点难点以及七十五个二级公式，每一页都有知识点讲解以及例题分析，每个二级公式都有推导演变过程，让孩子理解的更加透彻。把这套书吃透，初中数学根本不用去报班，初一到初三都可以用，而且还是全国通用版本，家有初中生的家长赶紧准备起来吧！

大家好，二次函数来了，今天我们来看看二次函数攻坚指南。第一个正难点，核心剖析难在哪？ 二次函数真正的难点在于它是一个动态的、完整的系统，而非孤立的知识点。第一个，图像与性质的深度绑定 是树形结合啊，难点在能否做到看到解析式，我脑中就出现图，看到图像立马反映出系数、符号和性质，这是后续所有应用的一个基础， 它的核心就是参数 a、 b、 c， 即判别式德尔塔如何影响图像，它的开口方向？对称轴顶点与坐标轴的交点。 例如仅凭 a、 b 的 符号，如何快速判断对称轴的位置？有一句话叫总结出来的口诀啊，左同右异，是不是第二个顶点的核心地位？顶点是二次函数的指挥中心， 最值问题、变化趋势、对称性都围绕它展开。正难点在于灵活运用 讲配方法或者顶点坐标公式，准确找到它，并在实际问题，比如说求最值应用题中定义其意义。 第三个，代数与几何的跨界融合，它的综合题是难中之难，这是最大的难点啊，常见于压轴题，例如动点问题，在抛物线或者直线上运动的点构成的三角形的面积是最大最小是多少？ 第二种就是存在性的问题啊，抛物线上是否存在一点屁，使得某个三角形是直角三角形等腰三角形或者是平行四边形。 这类题目啊，需要将几何条件将边长角度面积给它转化为关于点坐标的代数方程，最终归结为解方程或者求最值。第四就是含参数讨论 分类啊，他的分类思想要知道啊，当解析式中含有未知参数，比如说 m 的 时候，需要讨论 i 等于零还是 i 不 等于零，是嘚它大于零，嘚它等于零还是嘚它小于零？对于对称轴的位置是在哪？这需要严谨的逻辑和分类讨论的能力。第二个， 高效学习方法论如何去攻克他。第一个，根基问题，死磕树形结合，务必动手画图。每做一小题，哪怕是简单的填空，也要在草稿纸上勾勒出抛物线的示意图， 标注它的顶点，对称轴与 y 轴的焦点与 s 轴的焦点。啊，如果有的情况下，让图像思维成为本能。第二个，构建知识网络，而非记忆零散的公式，用思维导图将以下内容联系起来，三种解析式， 一般是顶点式、焦点式，明确各自的优势，何时用哪个？五大关键点， 开口方向，对称轴，顶点坐标与 y 轴的交点与 x 轴的交点。核心工具，用配方法判别式，求根公式，顶点坐标公式。第四个，学习路径，由静到动， 由单到综。第一阶段，静态的掌握固定系数二次函数的所有基本的性质。第二阶段是动态的，研究含参数的这种函数理解系数变化，如何引起图像舞动。 第三阶段，综合的啊，挑战代数几何的综合题，学习如何翻译，把几何语言将等腰直角平行平行这些翻译成代数语言，将翻译成代距离的公式，斜率方程。 第四个，精练练习注重反思，不盲目的刷题。针对薄弱环节，比如说最直硬硬的问题，存在性问题进行专项的训练，用好错题本，记录错题，并分析错误的根源。嗯，失误或者是计算失误。 第三个高频考点，全书里他具体是考什么基础与中档的考点啊？第一个，图像与性质的判定， 给解析式判断图像大致的图像是什么样的，形状是什么样子，或给你图像你判断 a、 b、 c 符号及 a 加 b 加 c 或者四 a 减二， b 加 c 等代数式的符号是什么样子的。 第二个解析式的确定已知三点或顶点，或者是另一点坐标，或者是与 s 轴的一个交点加另一点，求解析式。 第三个问题，配方法与顶点要求用配方法将一般式转为顶点式，并指出顶点对称轴和最值问题。 第四个，实际应用最值问题是高频的应用题啊，比如利润最大的，面积最大的，材料最省的问题。关键就是建立正确的函数关系式，并注意自身这个自变量的实际取值范围啊。综合于压轴的考点。 第一个函数与方程与不等式，利用二次函数图像呀解一元二次方程和不等式。第二个交点问题，二次函数以一次函数，它的交点问题连立方程转化为一元二次方程，用得它来判断交点的个数。 第三个动点与图形面积问题，也是高频的压轴体啊，求三角形，通常有一边平行于坐标轴，或者用割补法来求它的面积， 求面积最大时的点坐标，常用水平宽乘以铅垂高除以二这种方法。第四个存在性问题，也就是压轴的难点啊， 特殊三角形等腰直角这些利用两点间距离公式，根据边的关系来列方程， 将特殊的四边形，比如说平行四边形、菱形、矩形。通常利用中点坐标公式或者对边平行且相等来列式五个新定义或者探求体，结合材料探求二次函数的新性质或者新应用。总结来说呀，攻克二次函数的路线 啊，大概是建立树形结合的底层思维，掌握顶点核心的知识网络，通过专项突破训练综合翻译能力，针对高频考点进行实战演练， 把它看作一个有趣的战略游戏。你的任务是掌控这条抛物线的一切，祝你通关顺利！

二次函数全对的方法初中数学二次函数知识点总结定义结论， 二次函数顶点式、 焦点式、待定系数法。求二次函数解析式。 抛物线的翻折轴对称、旋转中心对称需要电子板留一二八。

小宝们，期末压轴题超全大盘点，主包帮你一节课搞定他！最全题型汇总加实战技巧，所有手写笔记和针对性练习主包都放在群里了，完全免费制作不易，麻烦宝子们一键三连，大家的支持是主包最大的动力！哈喽，各位兄弟姐妹们， 今天我们继续讲压轴题，在上一节课我们已经讲过了这个几何的压轴，主要给大家讲解的是类比、拓展、探究这种重要的解题思路。 好，本节课我们主要讲解二函数压轴，在本节课的时候，我会跟向上一节课一样啊，如果说你上节课没听的话，推荐你一定要把上节课听完之后再去听本节课的这个二函数压轴，你学的这样的话更有系统，系统性好吧， 就是这节课的话也是非常重要，非常关键的，我们各种的考试都会牵扯的到，闲话不多说，我们就开始今天的课程。好吧，我在讲这道题之前，你需要明白一件事情，就是二函数最值。 我写到这啊！写到这，你记一下，你记一下， 你记一下， 你记一下，把这句话记记到自己的笔记本上，记到脑子里面，记到脑子里面。不能忘啊，千万不能忘，千万不能忘， 千万不能忘 啊！就是二次函数最值，让求谁的最值，就想办法表示出谁 让求谁的最值，就想办法表示出谁。记完了吧，让求谁的最值，就想办法表示谁。记完了吧， 好，继续听，听好了啊听好了，我现在给你讲的是本质啊，听好了啊，因为题是无穷的，题是无限的，你所遇到的题是无限的，是无穷多的，但是核心是不变的， 就是比如说我在课堂上刚刚讲过了，你会遇到二函数，让你求面积的最值，让你求周长的最值，让你去求利润的最值，那么不管是让你去求谁的最值，你就先把这个二函数给它表示出来，你先把它的面积给它表示出来才行。 而且通过你刚刚讲，我跟你讲那个定轴定区间，定轴动期间，你会发现其实二次函数的最值分析，你发现没有，其实不难，大部分人类听完一听完一遍之后都是可以具体分析的。难在哪里啊？难就难在表示 谁能把这个面积的二次函数给他找到，表示出来，那谁就能往下找到他的最值。 懂我现在说的啥意思吧？难在表示，难在表示出这个二次函数，比如说这道题， 他让我现在求这个面积的最大值， p、 a、 c 的 面积，那么我就第一步，你记住你的核心，你就是把这个 p、 a、 c 的 面积给它表示出来，你表示出来，你用二次函数把它的面积表出来之后，那么它最大值呼之欲出，直接出来，明白吧？你再比如说看下一道题， 这个题他说的是这个 b、 c、 p 的 面积是 s， 然后让你找这个面积的最大值，那么你就要想办法表示出这个 b、 c、 p 的 面积，用二次函数表示出来，表出来这个二次函数之后才能出对折。 你要明白这一类题的核心，你看下一道题，下一道题我让你求利润的最大值，那么好了，那么你就想办法表示出利润，表示用二三数表示利润之后，然后再加上我跟你讲的第一步，求定轴，第二步画草图，然后用这解穷法，然后就可以把它的最大值找到了， 明白了吧？包括我们以后会遇到什么什么周长的最大值，或者什么几个边长之合的最大值，只要是遇到这种求最大值的题，那么难就难在你把它表示出来，不是难在求它的值，而是难在表示出这个函数解析式，明白吧，这是核心，这是实质。 好，我们来看第一题，已知抛物线 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 与 x 轴交于 a 点坐标负三对零， b 点坐标一对零， c 点坐标零对三。好，告诉我。呃，求解， a 是 用什么？用什么式？一般是顶点式还是焦点式？兄弟们， 一般是顶点式还是焦点式？ 对，交点式，是吧？交点式。所以说我们在写第一个的时候， 我们就可以设 y 等于 a 倍的 x 减 x 一 乘以 x 减 x 二， 然后这个交点坐标。啊， a 点坐标是负三对零，然后这个 b 点坐标是一对零，我们带进去啊，把这个负三就带入 x 一 里头，把这个一就带入 x 二里头，我们可以得到 y 等于 a 倍的 x 加三，乘以 x 减一。 完了之后的话，我们再我们再把 c 点坐标带入，把 c 点坐标零度三带入上市。占完焦点之后，然后再带普通点啊， 带普通点的时候，我们把横坐标往 x 里面带入，我们把纵坐标往外里面带入，我们会得到一个三等于 a 乘以零加三，再乘以零减一，算一下，三等于负三， a 是 吧？ a 等于负一。 好，所以这个 y 等于负的 x 加三，乘以 x 减一。好，这个解是出来了，我们给它整理成我们的一般式啊，整理一下，那就是负的把它乘开啊，括号给它乘开。负的这个 x 方， 呃，加三 x 再减 x 等于加二 x， 然后再减三，然后给它整理一下负 x 方减二 x 加三。好，负 x 方减二 x 加三，这是我们的第一问，然后接下来我们来看第二个 焦点式。焦点式一般是比较麻烦啊，用焦点式比较快一点，因为这个题的话，给了我两个焦点啊，给了我 a、 b 两个焦点，所以说我们用焦点式。 好，我们来看第二个啊。解析式现在是 y 等于负 x 方，嗯，加，呃，负 x 方减二 x 加三。 然后第二个它说的是设设动点 p 的 横坐标为 t， 它说了这个 t 是 大于负三小于零，然后你这个 a 点坐标是负三都零嘛，对吧？然后你这个 b 点坐标是一都零， 他说这个 p 点坐标大于负三小于零。啥意思呢？他的意思就是说 p 点 p 点就光在这个这个弧 a c 上运动，明白吧？他意思是 p 点就在这个呃弧 a c 上运动啊。他让我们求这个 p a c 的 面积， 他让我们求这个 p a c 的 面积。嗯，关 s 关于 t 的 函数关系式，并说明 t 取和值时面积取到最大值，那么我们接下来只需要表示出这个 p a c 的 面积就行了， 对不对？我们只需要表示出 p a c 的 面积了，而这个 p a c 的 面积也是比较简单的呀，对不对？也比较简单的，我们用那个那个铅垂法，是吧？用铅垂法，因为 c 点坐标是零度零度三啊， c 点坐标是零度三，我们用铅垂法啊，用铅垂法 啊，这个 s 三角形 p a c 就 等于， 哎，对了，还有一个问题啊，这个千锤法有没有同学不会的呀？不会千锤法的扣一波五二零， 不会千锤法的扣一波五二零。 好， ok， 那 我继续了啊。呃，可以求 a c 的 平行线，有时候说的也行，但是咱不用花里胡哨啊，咱就用咱这个，对吧，也就就是用这个比较正统的啊。千锤法， 我们来看下什么是，就是你铅垂法的话，你需要过点 p， 因为 p 点的横坐标是 t， p 点横坐标是 t， 那 么它的纵坐标我们就可以用这个二次函数解析式表示啊，就是负 t 方减二， t 加三， 记住这句话啊，你看你 p 点的横坐标是 t， 那 么 p 点是在这个二次函数上面的，所以说我们就可以用这个二次函数解析式来去表示这个 p 点的纵坐标，记住了吧。然后我们用铅垂法的话，我们需要求 a c 直线 a c， 我们用千捶反的话，我们我们需要求直线 a c， 然后这个 y a c， 对 吧？这是一次函数 y 等于 k， s 加 b 啊， y 等于 k， s 加 b， 然后是 x 加三，你自己求这一次函数，你自己求啊，我直接口算了，这个比这个可以口算，然后求出来之后，那这个一次函数是 y 等于 x， y 等于 x 加三，那么因为这个 p 点坐标你不我们往下做垂线， 比如说我们这个交点 q， 那 么 p 和 q， 它的它的横坐标都是 t， 它的横坐标是相等，都是 t， 那 么它的纵坐标的话就是 t 加三， 所以 q 点的纵坐标我们可以用 t 加三来表示了，明白了吗？所以这样的话我就可以这个 p 点和 q 点，我们就有了 p 点， q 的 线段长度就有了。这个 p q 的 话就是用用 p 点纵坐标，就 y p 减 y q， 用 p 点坐标减去 q 点坐标，用 p 点坐标减去 p 点坐标。我现在在给你讲牵涉法啊，你认真听就行了。这个 p q 就是 p 点坐标减 q 点坐标，我们我们给它整理一下， p 点坐标是负 t 方减二， t 加三， q 点纵坐标是 t 加三，我们给它整理，就是负 t 方减二， t 加三，减 t 减三，给它整理，那就是负 t 方减三 t。 好， 负 t 方减三 t， 这个是 p q， p q 的 距离你就表出来了。那么什么是铅垂法呢？我们现在来给你隐身一下，比如说现在我这里有一个三角形， 我们铅垂法它主要解决的是这种 p a c。 铅垂法，它主要解决的是这种这种斜着的三角形，那么我们的方法就是过点 p 往下做垂直， 做完之后有个 q， 我 们来观察这个 s 三角形 p a c 的 面积，这个这个我们不是要求这个 p a c 的 面积吗？这个总面积，它就等于这个分割出来这两个三角形，对吧？ p a q 和 p c q 的 面积。 好，然后我们再来看这个，这个不管是 p a q 还是我们的 p c q， 它是不是都有一个公共的底？我们把 p q 当到底，然后它的高， p a q 的 高是在这儿，对吧？ p c q 的 高是在这儿，它们的高啊， 那么它们有一个公共的底，就是 p q， 它们有一个公共的底，就是 p q， 然后你看它们的高，它们的高可以进行合并，它们的高合并之后其实就用 c 点的横坐标减去 a 点的横坐标， 他们的高其实就是用 c 点的横坐标减去 a 点的横坐标，减完之后就是可以减出来这个总高，对不对？所以他们的高就可以用这个 x c 减 x a， 我 这样写能听懂吧？用 c 点横坐标减去 a 点横坐标， 然后他们公共的底是 p q， 他 们的他们的高，高的和和完之后的话，就是 c 点横坐标减去 a 点横坐标，然后再除以二， 那么我们就可以把这个 p a c 的 面积用这个式子来去表示了。而我们的 p q 其实就是用 p 点纵轴标减去 q 点纵轴标，对不对？我们的 p q 其实就是用 p 点纵轴标减去 q 点纵轴标就是 y p 减 y q 它们的高就用 c 点的横轴标减去 a 点的横轴标，就是 x c 减 x a， 然后除以二，这样的话就比较快， 这样画的比较快啊。我，我写这个事，你能看懂吧？下一次你再用牵扯法的话，其实就很简单了，就是意思就是说本质就是这个本质啊，就是 p 点的纵坐标减去 q 点纵坐标就是他们公共的底， c 点横坐标减 a 点横坐标就是他们公共的高。底乘高除以二就出来了， 就这个意思啊，就这个意思。好，明白这个之后，那么我们现在 p q， 你 看是不是 p 点的坐标减 k 点的坐标减出来了，然后接下来这个再用他们公共的高，公共的高就是 c 点的横坐标减去 a 点的横坐标， c 点的横坐标是零， a 点的横坐标是负三，零减负三等于三，所以他们的高是， 对吧？高是三，所以说这个 s 三角形 p、 a、 c 就 等于底 乘高，高是三，然后再除以二，这个它的面积我们就找到了啊。整理一下，那其实就是二分之三乘以这个负 t 方减三 t， 我 们给它整理一下负负二分之三， t 方减去二分之九 t。 好，那么这样的话，我们就把这个 p、 a、 c 的 面积给它表出来了，面积表出来之后，我们呢？你看这个不就是这，你看这是不是这个对伸轴是不是固定的？然后这个区间是负三到零这个区间是不是也固定的？是不定轴定区间，求对值，对不对？求对值。所以说我们这个时候就按照我们的方法，第一步求对伸轴， 求对伸轴， x 等于负二 a 分 之 b， 负的二 a 分 之 b， 然后等于负的这个二分之三求定中，然后接下来我们再画草图，第二步我们就画草图，开口向下， 开口向下，对应轴，给它标出来这个 t 等于负的二分之三啊，这个对应轴不应该是 x， 应该写成 t 哈，因为整个是一个关于 t 的 一个函数， t 等于负二分之三，然后标上去负三到零，负三负三在这，对吧？负三肯定是离这个对称轴是远点，你看负三到这个二，负二分之三是二分之三个单位，零到这个负二分之三也是二分之三个单位，所以零的话就对称的。他俩这两个蓝色点是对称的， 那么我们只看蓝色区域，在蓝色区域内是不是对称轴的时候刚刚取到最大值了，对吧？所以在对称轴取到最大值了啊， 所以这个 s 的 最大值就是 x， 就是 让它的 t 等于让它的 t 等于这个负二分之三， 我剩下我都不算了，你算一下就行了啊，你明白咋算就行了，这就是所谓的就是牵扯法嘛，对吧？没啥难度，没啥难度，你听一遍就懂了啊，还有啊， 嗯，做平行线，这个你，你不用管那么多花里胡哨的东西，兄弟们懂吗？黑猫白猫，抓到耗子就是好猫。为啥这么多老师他去教你牵扯法，那肯定牵扯法正确率是更高的哈， 好，这是我们的第二题，然后我们来看第三题， 我们来看第三题。已知 m 是 直线 a c 上的一个点，动点， m 是 直线 a， c 上一个动点，将 m 绕着点 o 旋转九十度，它旋转它，它也没有说咋旋转，对吧？兄弟们，它也没有说顺时针旋转还是逆时针旋转，所以这个题肯定多个答案，两个答案至少俩答案了吧。 旋转得到点 q， 若点 q 恰好落在二次函数图像上，请写出点点 m 的 坐标啊，就是点 m 绕着点 o 旋转，旋转完之后，点 q 恰好落在二次函数图像上。看这版，看这版， 看见吧，就是这种题，我，我们我，我们来看一下旋转啊，旋转，我们来看一下，就是，首先兄弟们，我先说一句话啊，记好我这句话，考试的时候，在压轴题里头，如果遇到旋转，大概率就是全等， 大概率是全等啊，相似的概率就比较小。再说一遍啊，再说一遍，考试的时候，在压轴题里面，如果遇到旋转，大概率就是全等啊，你要往全等上去想。 好，我们看第一种情况，因为它 m 点不知道嘛，对吧？所以我们点一下， m 是 a c 上，好，比如说 m 在 这， m 在 这，然后我们连接 o m， m 在 a c 上啊，这个提杆，别，别忽略了啊兄弟们。 m 在 a c 上啊，我刚刚就忽略提杆了， 这样子大概啊，好，然后这是 q 啊，思路是不变的啊兄弟们。然后还是这边做垂直，然后这边也是做垂直。 好，做完垂直之后的话，那 m 在 a c 上， a c， 它是 y 等于 x 加三，那这样的话，这个 m 点坐标更好表示了，我们设 m 的 横坐标是 m， 它的纵坐标就等于 m 加三。 好，这个 m 加三，这个 m 是 一个负的， m 本身是个负数，那它的距离就是负 m， 刚刚已经讲过了，同理，这边也是负 m， 这边也是负 m， 然后再来看这个纵坐标是 m 加三， m 加三是一个负数，对不对？那这边是不是也是 q 点？刚好是在负半轴上， q 点的横坐标也是负的，也是这个 m 加三，所以说我们就可以表示出 q 点的纵坐标就是负 m， q 点的横坐标就是 m 加三。 好， q 点有了之后，我们 q 点是不是还在这个二参数上面？我们把这个 q 点坐标带入这个二参数，负 x 方减二， x 加三，我们带进去啊，我们把这个 q 点坐标带进去， 带进去我们会得到一个负 m 等于负的 m 加三的平方减二乘以 m 加三，再加三，就这个啊， 好，明白了吧，然后这个就好解了，对吧？这个完全平方公式，这个解了就好解了，这个解出来两个答案，一个 m 一， 一个 m 二。 好，这是第一种情况，然后接下来我们把第二种情况给它画一下。呃，一会儿我再解答公屏上的问题啊。我们先我们先听，然后把第二种情况给它画一下。 m 在 a c 延长线上啊，啊， 沿着 o 这样九十度， 就刚刚是顺时针，现在我们让它逆时针转， 这边给延长一下啊， 然后交一点 q， 就 这样子啊，好，然后这边也还是做垂直，然后这边的话就 q 往这边做垂直了，对吧？往这边做垂直，做完垂直我们可以得到这两个三角形是全等的， 我们可以再次表示一下啊， m 点坐标还是 m？ 逗， m 加三，好，那我们先看这个，这个地方，这个地方是负 m 对 不对？这是负 m， 那 么这个就代表着这个地方是负 m， 而 q 点坐标现在是在负半轴上，在外轴的负半轴上，所以说我们 q 点的纵坐标本身我们就让它是负数， m 本身就已经是负数了，明白了吧？所以我们就 q 点的纵坐标就是 m 了。我们再来看这个横坐标， 这个地方是 m 加三，它是个负数，它是个负数，那么这边我们需要给它变成正数，因为 q 点现在，因为 q 点的话，现在是在横坐标是正的，那 m 加三是一个负数，那它的横坐标想要变成正数的话，就需要在前面加括号，负的 m 加三 等于负 m 减三。这个地方你要注意一下，就是 m 加三本身是一个负数，那么我们在前面 m 加三，这个整体是个负数，我们在前面加个符号，负负得正，那这就变成一个正数了，所以我们表出来 q 点的横坐标 是负 m 减三，然后我们再把这个 q 点坐标就这个，然后再次代入到我们的这个二函数中，我们就可以得到第二个式子了。 m 等于负的负， m 减三的平方减二乘以负， m 减三再加三，然后又可以解出来 m 一 和 m 二，你可以再解出来，总共四个答案，全部保留啊，这个题的话，四个答案是完全保留的。 对，正全等的话，你现在三垂直，这个对你们来讲你们都会啊，我都，我都不说正全等的事了，主要就是你要明白哦，原来它旋转之后，我们要通过设出 m 点坐标，推导出 q 点坐标， 推导出 q 点坐标之后，然后 q 点坐标，它是在二次 m 上面，你表示出来你，你表示出来 q 点坐标之后，你把 q 点坐标带入我们的二次函数，然后我们就可以得到一个 e 二次方程，得到 e 二次方程，然后把 e 二次方程解出来就是答案， 所以你要注意一下啊，然后国二国二同学说的是，呃，老师，咱不应该延长吗？如果要做的话，啊，对，需要把 a c 延长一下是吧？需要把 a c 延长一下，看，我都延长了啊，延长一下能听懂吧？这个题 今天不好意思啊，今天稍微稍微拖了会儿堂，因为这道题的话，我想给大家讲完啊，给大家讲完还有啥疑问没？还有啥疑问没？ 我们总结一下今天所讲的啊，今天第一，我给你讲了一个，就是这个我们的二次函数最值范围的通杀的，什么所谓的定轴定区间，定轴动区间，动轴定区间，其实都可以用那个方法解决，你发现没有，这是今天讲那个讲的第一个。第二，我们今天给你讲的就是 我们在进行你的期末考试，月考和我们的第一次模拟考试，第二次模拟考试，第三次模拟考试。我们在遇到这种所谓的最值问题的时候，他不会考定轴动区间，也不会考什么动轴定区间，他只会考定轴定区间，他就只会考这种比较基础的， 明白吧？而你必须要记住一个东西，就是让你求面积的最值，那么你就记住这句话，题干中让我求谁的最值，我就想办法把谁的最值表示出来，表示出之后，答案就呼之欲出了，明白了吧？ 好，我们来看这个第三题。第三题先读题，如图，抛物线 y 等于负三分之根三， x 方加 b， x 加 c 与 x 轴交于 a， b 两点点， a 在 点 b 的 左侧， a， b 坐标给我们了，而且是负一度零和三度零， 那么遇到这个题的话，有负一对零和三对零，我们就用交点式了，对吧？交点式，而且这个题里面 a 也有，我们的交点式是 y 等于 a 倍的， x 减 x 一， 乘以 x 减 x 二， 那么现在现在的话，这个 a 是 负三分之三，我们直接带进来了负三分之三，然后 x 一 是负一，那 x 减负等于加一，再乘以 x 减三。我们整理一下这个式子，整理完之后我们的焦点式就有了啊，我们这个 d 一 我就解决了， 整理一下，那就是负三分之三 x 方加三分之二倍根号三， x 再加根号三。好，这个式子还是比较长的，我们来看第二问， 如图一点，得在直线 bc 上方运动，然后连接得 c 和得 b， c 和得 b， 当这个 b c， d 的 面积取得最大值的时候，呃，让我们求得 m 加 b n 等于几？得 m 加 b n 等于几？ d m 加 b n， 听里面说了， m n 等于四分之根三啊， m n 是 有的。首先，那，那这个咱们可以用牵垂法，对吧？我们用牵垂法可以快速的表示出这个面积，它让我们面积最大吗？我们就算一算啊，什么时候面积最大？好，第二问， 我们在写的时候用牵垂法的话，那咱肯定现在 需要去求一下这个 bc 的 表达式啊。 b 点坐标，这个 c 点坐标，因为根据这个二三数，我们知道这个 c 就是 就是根号三，所以这个 c 点坐标是零度根三，然后 b 点坐标是这个三度零，我们可以快速求出这个 y bc 啊，设代求写啊，能口算口，但不能口算，用笔慢慢写就行了，算出来是，嗯，负的三分之根号三 x 加根三，好，这是 b c。 然后接下来我们就可以设我们的得点坐标， 设得点得点坐标是 m， 横坐标 m， 那 么中轴标我们就可以用这个二次函数表达出来表示了，就是负三分之根号三 m 方加 三分之二倍根号三， m 再加根号三，那么这个得点坐标我们就表示出来长这个样子。得点坐标有了之后，那么我们就可以 就是往下做垂线，往下做垂线，比如说 abcd， 假如说这是 e 点啊， 那么一点坐标我们就可以表示，表示成为了，因为一点和得点的它的横坐标都是 m， 它是同一条竖线上，然后一点的坐标，我们就可以用这个二函数表，用这个一函数表示一下，就是负的三分之根号三 x m 加 m 加根号三。好，这样的话我们的得益好，我们就简单写一下，设得点坐标是 m 逗号负的三分之根号三 m 方，加三分之二倍根号三 m， 再加根三，则一点坐标是 m 逗，负的三分之根号三 m， 再加根号三。然后呢，这个得 e， 我 们就表示出来了，用上面这个得减去这个 e， 我 们已经给你讲过了，用上减下 得益，那就这个，呃，这个没有人给他减，那所以说还是负的三分之根号三 m 方，然后这个减这个的话负负得正，嗯，那就相当于加上根三 m， 然后根三减根三就没了，所以说我们的得益就有了啊。得益有了之后， 然后我们接下来这个面积 s 三角形这个 b、 c、 d 的 面积，我们就用 b 点的横坐标减去这个 c 点的横坐标，就是他们公共的高，他的底的话就是得 e 好， 那就是负的三分之根号三 m 方，加根号三 m， 然后这是底乘高，高的话是 b 点横坐标是三， c 点横坐标零，那三减零还是三底乘高，然后再除以二，好，整理这个式子，整理这个式子我们算一下，它就等于负的二分之根号三 m 方，加二分之 三倍的根号三 m， 好， 就是这个啊， 送到这之后，然后还有就是你要注意他说了点的是在上方运动，他其实这句话兄弟点的在 b c 上方运动，这句话他其实浅藏的意思就是我们的 m 是 大于零，小于三的，大于 c 的 横坐标小于这个 b 点横坐标。 我，我写一下啊，就是因为点的在直线 bc 上方运动，所以说我们的 m 是 大于零，小于三，因为它说了不含 bc 两点啊，所以说不能有等于号。然后接下来这是不是我们熟悉的二次函数给定区间，对吧？就定轴，定区间，求最值，那就简单了。 然后接下来的话，我们就是换一下草图，开口向下，开口向下，求一下对称轴。所以第一步我们求一下对称轴， 它的 x 等于负的二 a 分 之 b， 二 a 分 之 b， 算一下根三，根三要削掉，你看这个根三，这个根三削掉，然后负负，嗯，也变成正，然后还剩二分之三，所以对准流就是二分之三。呃，然后第二步我们画草图，分析一下开关向下， 然后它的对称轴 m 等于二分之三，这个这个这个地方，这个 x， 我 应该改成 m 啊，因为这个整个题的话，我把字面量已经设成了 m 了，然后它是零到三，哎，你看这个零和三刚好离这个二分之三刚好是对称的，对吧？ 这刚好是对称的，所以说我们的最大值其实就是在对称轴的地方取到二分之三的时候取到， 所以最大值 s， 三角形 b， c、 d 的 最大值，那其实就是，呃，当它的等于 m 等于推伸轴的时候，然后把这个二分之三我们代入我们的表达式中，算一下， 再去算一下负的二分之根号三，乘以这个二分之三的平方，再加上二分之三倍根号三，再乘以二分之三。好，我跳一步啊，算出来，算出来之后是八分之九倍根号三。 好，这个面积就有了，这个面积有了之后，那么也就是说当它的面积取得最大值的时候，我们的 m 是 二分之三，我们看我们的 m， 什么？我们的 m 不 就是得点的横坐标吗？对不对？那这样的话，我们把这个二分之三带入得点里头，我们得点是不是就出来了，对吧？得点的横坐标我们是能表示出来的啊。 所以当 m 等于二分之三十，当我的 m 等于二分之三十，这个得点坐标，我跳步啊，就是二分之三。逗，四分之五倍根三， 四分之五倍根三，这个，这个，这个我跳步了啊，你自己带进去算一算哈，得点就有了。得点有了之后，它让我们求的是这个， 呃，得 m 加上这个 b n 的 最小值。呃，这个题里面你要注意啊，得点是在运动的，对吧？得点是在运动的。这，这就相当于我们之前讲过的将军野马嘛，对不对？将军马。所以说，呃，你就做这个得 m， 关于这个，做一个平行线，我们做一个这个得 m， 呃，关于 m n 的 平行线，就这样啊。好，我们做一下， 做完之后，我们可以使得这个得 m 是 平行于这个这个得得片 n， 就这样，这样做一下，就是意思就把这个的点给它平，平行下来，平移下来啊，就这样子。好，你看一下我接下来怎么写，我把这个图稍微放大一下啊，好，然后就这样子做一下。平行， 这个得撇，我们是能表示出来的，对吧？因为这是一个平行四边形嘛，我们其实相当于直接是往下平移了。平移多少呢？那是不是就平移这个四分之根号三，对吧？平行四分四分之根号三。 好，然后平移完之后，这个得撇，找到之后的话，那其实他让我找的是得 m 加上 b n 的 最小值，其实是不就是得撇 n 加 b n 最小值，对吧？那得撇 n 加 b n 最小值，将其码做对称。 b 点刚好是关于 a 点对称的嘛，对吧？ b 点关于刚好是关于 a 点是对称的对称，然后我们连接 a 的 撇，那么 a 的 撇就是我们的最小值， 我讲这你能听到吧，对吧？就是意思是把这个得给它平移下来，平移完之后的话，我们本来是让找得 m 加 b n 的 最小值，那么其实就转换成了找得撇 n 加 b n 的 最小值， 然后做完对称之后，那我们只要连接 a， a 得撇， a 得撇就是答案， a 得撇就是答案。好，那么因为你是平移的嘛，你这个得撇坐标是能能找到的啊。得点坐标是二分之三逗，四分之五倍根号三， 二分之三逗，四分之五倍根号三，然后我们是不是往下平移平移了一个四分之根三，四分之五倍根三减四分之根，是不是刚好是根三，对吧？啊？所以说我们这个得撇坐标就是二分之三，逗，这个根三，我们的得撇 得一，撇坐标是二分之三，豆跟三得撇有了之后，然后 a a 的 坐标，我们知道是这个 a 的 坐标是负一豆零，然后有得撇有 a， 然后勾股定律，对吧？我们就可以求这个 a a 得撇了。 好，我给你描一下购物定律，然后接下来在这边就购物定律了啊，购物定律了，所以这个 a 的 撇就等于底，底的话，其实就是的撇的横坐标减去 a 的 横坐标二分之三减负一等于二分之三加一加一等于二分之五， 二分之五的平方高高的话，就是的的纵坐标减去 a 的 纵坐标是根三，那就根三的平方， 然后再开方算一下，算出来是等于这个二分之根号三十七，那么这个最小值我们就搞定了。这是我们的第二问，然后我们来看第三问啊，第三问， 第三问。好，我把图挪一下， 第三问，他说的是如图二，将一中的平行线向右平移，将一中的平行线向右平移，当他恰好过圆点时过圆点，那 a 点本来是负一对零 往右平移一个单位，对吧？左加右减嘛？左加右减，然后过圆点时，设圆抛物线与平行后的抛物线交于点 e 连接 b e 点 p 在 这上面。 如果这个三角形啊，随便点个点撇啊。如果三角形 p e c p e c 这个如果三角形 p e， c 等于 bce， 等于这个 bce 减三十度的时候，就这个角等于这个 bce 减三十度的时候，直接写出所有符合条件的 p 点坐标。 好，那么那么这种这种题的话，那我们写的时候这个有有点难度哈，这个你读着听就感觉有点难度，不好想，不好想。首先我们先把这个平移之后的解析式给它找到，好吧，我们先把平移之后的解析式找到，因为它是左加右减嘛，左加右减 好，往右平一个单位。这个原解析式是 y 等于负的， 原解就是 y 等于负的三分之根号三 x， 方加三分之二，被根号三 x， 再加根三，原解是这个。然后接下来我们把它配成顶点式， 配上顶点式之后，然后我们再次往右平移左右减，对吧？好，顶点式的话，我们之前讲过，我直接，我直接跳步啊，我直接跳步，然后你算完之后，它的现在解式就是 y 等于负的三分之根号三 x 方加三分之四倍根号三 x， 这是我们现在的解式，因为它过圆点吗？所以 c 是 零啊，没有 c 现在解式。这个啊，好，找到现在解式之后， 然后我们来再看这个点 e， 我 们是能求出来，因为点 e 刚好是两个解式的交点，对不对？交点的话我们就连利嘛，对，我们俩连利，我们进来找一点坐标连利啊，让两个解式相等，就这一坨等于这一坨。 负的三分之根号三 x 方加三分之二倍根号三 x 加根三，就等于负的三分之根号三 x 方 加三分之四的根号三 x， 这个刚好这两边都有 x 方 x 方，对吧？负三分之根号三就刚好消掉了，然后这个算也很好算，对，把这个移过来，这个算也很好算啊，算出来我们的 x， 它就等于 二分之三 x 出来之后的话，那你把哎哎这个 x， 你 带入这个第一个节式也行，带入第二个节式也行，都可以算出来，都是答案。这个一点坐标找到了，继续跳步啊，你自己带，带完之后找到一点坐标是二分之三，到这个四分之五倍跟三 好一点，坐标标上去啊，二分之三都四分之五被根号三一点坐标有了之后，我们再来看这个 o c 的 话，等于根号三，因为你这个原解是根号三，对吧？这个 o c， 然后这个地方是三， 你你，你看到这个一比根三比二，你能不能看见，对吧？这是三十度啊，这里面藏着一个三十度的，看到没有？为什么要想三十度？因为它里面有一个减三十度，知道吧？刚好嘛，对吧？根三比上三的话，是不是刚好是一比根三，然后这边一定是二，对不对？所以这是三十度啊？因为 c o 等于根号三， b o 等于三角， c o b 等于九十度，教大家一下垂直， 所以直接推导出来角 c b o 就 等于三十度了。好，然后这边就是三十度，找到三十度之后，然后接下来我们要去找这个这个东西啊，这个 p e c 角 p e c 啊，怎么办呢？我们就 过点 c， 我 们做一个平行线，做一个 cd， 看一下啊，过点 c， 做一个 cd， 平行于 x 轴， 好，左右平行线做完平行线之后，根据内存角相等，对吧？你底下是三十度，那你上面这个这个这个 dcb 也是三十度，内存角相等。好，我们就有一个三十度了。有个三十度之后的话， 那么我们来看啊，现在要求的是这个角 p e c 等于角 b c e 减三十度。你看，我先把这个 p 点坐标给你点一下啊，我们先点一下 角，这是 p p e c， 这个角等于这个等于这个角， b c e b c e， 就 这个角， 这不是三十吗？对吧？这是三十减三十，那说明我们必须得让我们这个 p 跟这边这个角得相等，跟上面相等，所以我就接下来过点 e 做一个平行， 你看我们如果过点一，做一个平行线的话，假如说这是，然后这个这个地方是 p， 因为 p 点在对准手上嘛，对吧？ p 点在对准，我们先找到这个点，好，我们找一下角 pe c， 我 们找到 pe c， pe c 找到了吧？就这个很小的 pe c， pe c 等不等于这个角 bc 减三十度，你看，因为你现在做的是平行线往内缩小的，对吧？ p e c 是 不是刚好等于这个 ec d， 对 吧？而刚好这个 b c e 减三十，是不是刚好等于这个 ec d 了，对吧？我，我现在给你标一下，相当于标上角一角二吧。 这边是角一，然后这边角二，对吧？角一等于角二，你说角角一等于角二，然后这个角二。兄弟，这个角二是不等于这个 bce 减三十，那是不代表角一也等于 bce， bce 减三十，那是不是推导出来了，对吧？ p e c 等于 b c e 减三十，明白吧？所以这个第三问，他就辅助线不好想，他难，其实难的辅助线不好想啊，好，然后他还让我们求此时的 p 点坐标他还让我们求此时的 p 点坐标。 此时的 p 点坐标。嗯， 你想想咋求此时的 p 点坐标，哎，你看这个 p 点跟这个 e 点不是平行的吗？对吧？那 p 点不是在原来这个对称轴上吗？我们可以求一下原函数，求一下这个原函数的对称轴。我们求下原函数对称轴， 它是 x 等于负二分之 b， 负的二分之 b， 负三分之，根号三乘以二，再三分之二倍，根号三负二分之二，算上刚好一，所以 p 点横坐标是一，而 p 点跟一点是不是它是平行的，对吧？那 p 点平行的话， p 点一点的纵坐标相等啊，那 p 点坐标直接出来了。一逗，四分之五倍根号三，对吧？直接出来了， 好，这是第一个答案啊，第二个答案直接出来了，好，这是第一个答案，我们来想，我往下再把图再往下弄一下， 对吧？你听完第一个答案之后，你就大概明白这个题我们需要做平行，对吧？我们看第二个答案， 在第一问题里面我已经求出来一点坐标，一点坐标是我标下二分之三，逗，四分之五倍根号三，好，然后这边是三十度啊，三十度。第二个答案怎么办呢？第二个答案的话，我们是，首先，呃，我们， 我们这个 p e 这边不是做了一个平线吗？对吧？做一个平线啊，然后首先的话我们这样写啊，我们需要就是在直线， 就在这条直线 l e， 我 们现在把这个标成 l e 啊，在直线 l e 上我截取一个点 q， 使得这个 q e 等于 q c。 在这个直线上截取的这个 q 点，它不一定是在抛物线上，这点你要注意一下啊。好，截取一下，使得这个 q， 比如说我们把这个地方命名为 q 啊，我截的是一个 q e 等于 q c 啊。 截取完了之后，然后接下来我们再做一个平行线，我们再做一个平行线， 这样再做一个平行线， 做一个这个 e g， 平行于这个 c q， 啊，做这个平行，因为咱刚不是过点 c， 我 们也做了一个平行嘛，对吧？这个标上去， 好，那就说明这个肯定是就这个点啊，兄弟，兄弟，就这个点，这个点，把它命名为这个 g， 我们来观察，我们来观察这个三，这个四边形，我给它描黑一下啊，兄弟们，就是我们来看这个这个四边形， 首先它上下平行，其次我们是不是做了一个这个 e q， 它是，哎，有 q 了， e g e g 是 平行于这个 c c q 的， 又做了一个左右平行，平行四边，我们是不是还截了一个平面相等，所以是菱形啊？菱形 作 e q， 平行于 c q， 则四边形 c q e g 为菱形，关键我们就用这个菱形，关键啊，关键我们就用这个菱形了啊， 好，然后还有就是我们的 p 在 哪里，对吧？我们 p 在 哪里？ 你看这个 p 点，这个 e g 和这个对应轴有一个交点，我们这个 p 就 在这个位置， 就这个焦点这个位置啊，看好了，就这啊，就这，这就是 p。 好， 那么我们来看此时此时的话满不满足？提议啊？此时的话他，他要求的是， 他要求的是这个角角 p e c p e c， 这个角在这呢啊，他要求这个角 p e c， 嗯，等这个角等于这个 bce， bce 减三十，你看这边刚好不是三十度吗？然后 bce 是 不是大角？大角减三十，是不是减出来这个小角， 对吧？这个 ecg， 而 ecg 是 不是肯定等于这个 pec， 因为它是菱形吗？这两个菱相邻，这个角是相等的吗？对不对？所以是符合提议的啊，明白吧？ 这个题的第二个辅助线就这样做，不好，不好想，确实不好想，实话实说啊，不好想，好，你想明白之后，然后接下来，我们接下来只需要求这个 p 点坐标就行了，只需要求 p 点坐标，行了，我们我们的这个 q 点坐标和我们的这个 e 点坐标，它的坐标是相等的，对不对？我们可以设 q 点，横坐标是 m， 那 么纵坐标的话就是四分之五倍根号三，我们 q 点坐标是设出来的， q 点坐标设出来之后，那么我标一下啊， 标一下 m 豆四分之五倍根号三。 q 点坐标有了之后，那么我们这个 怎么求？ m 是 可以求的勾股定律，你看这个，这个 q e， 对 吧？ q e， 我 们能表述出来， q e 刚好是二分之三减 m， 对 吧？ q e q e 二分三减 m， 然后 c q c q 的 话，这个地方勾股定律哈， c q， 因为 c 点坐标是， 呃，零度根三，现在这边零度根三，那么这个地方其实就是四分之五倍根三，再减根三等于四分之根号三，就这个地方啊，这个地方是四分之根号三， 然后你，你这个地方是 m， 对 吧？这是 m， 这个边上是 m， 然后勾股定律，所以说我们的 c q 就 等于这个四分之根号三的平方，再加上 m 的 平方，然后它是菱形，菱形的话， q e 是 等于 c q 的， 呃，因为 q e 等于 c q， 所以说这个二分之三减 m， 就 等于四分之根号三的平方加上 m 方，然后我们给它算一算啊，算一下这个，这个其实还是比较好，是一个关于 m 的 一元次方程，我们算出来，我跳一下啊，算出来 m 等于十六分之十一， m 出来之后的话，那么 q 点坐标是不是出来了，所以 q 点坐标就是十六分之十一。逗，四分之五倍根号三，这是 q 点坐标就有了。 q 点坐标有了之后，然后我们再来看， 那 q e 是 不是就有了，对吧？嗯， q e 就 有了， q e 有 了之后，因为这个是因为一点是二分之三，然后这个 m 的 话是十六分之十一，那么 q e 的 话，就是二分之三减去这个十六分之十一，所以这个菱形的边长就出来了啊， 所以 q e 我 们写一下，就用二分之三减去十六分之十一，算出来是我们的十六分之十三。好，那这样的话我们就相当于这个啊，这都，这，这都出来了，是吧？这都出来了， 这都有了，这是 eg， c、 c g 都有了， 好，这都有了，我都给它标一下啊。标完之后，然后接下来就是你要想，你要想一下我们，我们怎么去设这个， 那这个点也有了呀？这个 g 点不也有了吗？对吧？然后我们要求这个屁，对吧？然后我们直接用一函数，我们可以算出来，因为一点坐标也有，然后我们的 g 点坐标，我们 g 点坐标，为什么我说有了？因为，因为这个横坐标是十六分之十三，对吧？横坐标是十六分之十三， 然后纵坐标是根号三，然后这样的话这个 g 点也有， e 点也有，然后这个 e 函数是不是出来了？ e 函数出来之后，我们再把这个 p 点是在 x 等于一上吗？对不对？把对称轴这个 x 等于一带进去，我们就可以求出 p 点坐标了。所以接下来就是设 这个 y e g 就 等于 k x 加 b 啊，然后把 e 点这个 g 点这个代入，代入之后的话，我跳过啊，我们算出来这个 e g， 它就等于这个十一分之四倍根号三， x 加上四十四分之三十一倍根号三， 然后我们再把 x 一 代入，算出来这个 y y， 它就等于，嗯，十一分之四倍根号三，加上四十四分之三十一倍根号三。和平一下 算出来是四十四分之四十七倍根号三。好， p 点左边出来了，所以这第二个答案是一豆四十四分之四十七倍根号三，所以说我们的第二个答案就这样出来的， 这个题你会感觉到他对吧？辅助线不好想，其实想明白辅助线之后算，我倒觉得还是比较好算的，对吧？大家一般都能想到，主要就是辅助线难就难的辅助线了啊。 ok， 兄弟姐妹们，我们今天主要讲的是二次函数压轴分成了小题部分和大题部分，小题部分我们主要处理的是这种 abc 的， 这种题也是非常高频非常热门的，认真听，相信你听完之后肯定是有帮助的。然后接下来就是二次函数的大题压轴考最值，求最值！ 如果哪里没有听懂啊，推荐你可以再听一遍，或者记记笔记，不会的话随时问。好吧，今天的话我们就先讲到这里，非常感谢大家一直以来的支持， 非常感谢大家，拜拜，兄弟们，拜拜！拜拜！

提醒一下，九上数学二次函数解析式全部背熟，期末就可以躺平了。求二次函数解析式题型几近 九上数学二次函数解析式的六种形态，圆点式、纵轴式、横轴式、顶点式、一般式、焦点式。 二、函数图像与系数 a、 b、 c 的 关系需要电子板留一八零。

秒做二次函数最值，好，今天又两道题，把二次函数在单招对口考到的最值问题全部给大家讲清楚。 做二次函数最值问题，第一步，找到对称轴二， a 分 之负。第二步呢？判断开口，当 a 大 于零时，二次函数开口向上，那么它就有一个最低点，这个最低点就是它的最小值， 该最小值也还是对称轴值，也就是二 a 分 之负 b。 当 a 小 于零时，开口向下，二次函数有一个最顶点，那么最顶点代表的值就是 最大值，同样顶点的 x 值也是对称轴二， a 分 之负 b。 具体的我们来看这三道题，第一题已知 y 等于 x， 平方加二 x， 则最小值为。第一步，找对称轴二， a 分 之负 b， a 等于一， b 等于二，我们直接代入二乘一，分之负二等于负一。第二步，画出草图，对称轴 x 等于负一， a 大 于零，开口向上，那么画出草图，很明显就能看到，当 x 等于负一时，这个点是最低点，那么把 x 等于负一带入二次函数，那 y 就 有最小值， 带入一下， y 等于负一，也就是一加负二，也就是 y 等于负一，那么就是当 x 等于负一时， y 有 最小值等于负一。这道题选择 b， 第二题已知 y 等于 x， 平方加二 x 在 定义于一到二中的最小值为。同样的，第一步，找到对称轴二， a 分 之负 b 等于负一， a 大 于零，对称轴 x 等于负一，那么画出草图。这里多了一步，找到题目当中要求的定义一到二， 我们能看到对称轴所代表的 x 等于负一的点，虽然是二次函数的最低点，但是题目当中给到的是在定义一到二当中最小值， 那我们只找在定义一到二当中的所代表的最低点的最小值，那么很明显也就是当 x 等于一时所代表的点是最低点，那么外值呢？就是一个平方加上二乘一等于三， 这道题选择别再无效点赞了。单招数学影响公办录取的核心题型，押题卷里全覆盖，私信直接拿。

同学们，通过前面课程的学习，我们已经将第五章二次函数学完了。本节课我们将对二次函数进行总结，看看我们究竟学习了哪些知识。 一、二次函数本章我们学习了二次函数的定义啊，一般的形容， y 等于 ax 平方加 b， x 加 c， 其中 a， b， c 是 常数且 a 不 等于零的函数叫做二次函数。其中 x 是 自变量， y 是 x 的 函数。看二、二次函数的图像和性质，本章我们学习了解二次函数 y 等于 i， x 的 平方的图像和性质。 二次函数 y 等于 i， x 平方的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴是 y 轴。当 a 大 于零时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点。当 a 小 于零时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 本章我们还学习了二次函数 y 等于 x， i x 平方的性质。看二次函数 y 等于 i， x 平方的性质。以 i 大 于零， 当 x 小 于零时， y 随 x 增大而减小。当 x 大 于零时， y 随 x 增大而增大。 当 x 等于零时， y 的 值最小最小值是零。二、 i 小 于零，哎，当 x 小 于零时， y 随 x 的 增大而增大。当 x 大 于零时， y 随 x 的 增大而减小。当 x 等于零时， y 的 值最大最大值是零。 文章我们还学习了二次函数 y 等于 i， x 平方加 b， x 加 c 的 性质，而二次函数 y 等于 i， x 平方加 b， x 加 c 的 图像是一条抛物线，它的顶点坐标是负的二分之 b 和四 a 分 之四 a， c 减 b 的 平方对称轴是过顶点且平行于 y 轴的直线。 a 大 于零时，抛物线开口向上，当 x 等于负的二 a 分 之 b 时，函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的 值最小，最小值是四 a 分 之四 a， c 减 b 的 平方 a 小 于零时，抛物线开口向下，当 x 等于负的二分之 b 时，函数 y 等于 i， x 平方加 b， x 加 c 的 值最大，最大值等于四， a 分 之四， a， c 减 b 的 平方。 看三、二次函数与一次一元二次方程。本章我们学习了二次函数与一元二次方程的关系。 如果二次函数 y 等于 i， x 平方加 b， x 加 c 的 图像与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程 i， x 平方加 b， x 加 c 等于零，有两个不相等的实数根。 如果二次函数 y 等于 i， x 平方加 b， x 加 c 的 图像与 x 轴尤其只有一个公共点，那么一元二次方程 i， x 平方加 b， x 加 c 等于零，有两个相等的实数根。 如果二次函数 y 等于 i， x 平方加 b， x 加 c 的 图像与 x 轴没有公共点，那么一元二次方程 i， x 平方加 b， x 加 c 等于零，没有实数根。 反过来，根据一元二次方程 i， x 平方加 b， x 加 c 等于零的根的情况，可以判断 二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的 图像与 x 轴的公共点的个数。好，同学们今天的课就到这里，再见！