年级上册数学青岛版图形与几何练习册

下面我们来看一下六年级上册数学练习册第一百一十五页图形王国这一节的拓展应监督题。 如图，一个棱长八厘米的正方体，在它的前面的中心画一个边长两厘米的正方体，再由正方形向对面挖一个长方体洞，剩下物体的表面积是多少平方厘米？首先我们来看一下这个图 剩下的物体的表面积应该是什么？应该是正方体的表面积 s 正加上长方体的表面积， 然后呢减去两边对不对？两个这个正方形面积， 前面一个，后面一个，对吧？那么这个长方体的表面积呢？ 我们算的时候呀，能算它的侧边这个正方形的这个面积，如果算的话，我们也需要剪掉， 那我们只需要算什么呢？算在内一侧的下面就是这面一二里面的三、四里面的四个长方形的面积。 首先我们算这个正方体的面积 等于八乘八，这是它一个面的面积，再乘六等于多少呢？八八六十四对不对？再乘六得少。四六二十四，三百八十四 平方厘米。然后呢减去这两个挖空的的正方形面，这个挖空的正方形面积是 三百八十四，减去二乘二是它的正方形面积。然后因为有两个再乘二等于三百八十四，减去二得四，二四得八等于三百七十六 这个厘米。这个呢就是我们这个大的正方体的表面积的， 然后再加上这个里面挖空的这四个面，一个面是多少？首先这个长方形，对，对，它是个长方形，它的长方形是宽是二，长是多少？长是八，对吧？一乘就是它的表面有几个呢？一二三四有四个， 乘以四 n 六十四平方厘米，然后呢加起来三百七十六，加上六十四等于四百四十 平方厘米，也就说剩下的表面积是四百四十平方厘米。

求图形！阴影面积是五年级上册数学必考重点题型多，出错率高。要是能把小学数学九大几何模型都掌握了，孩子考试碰到相当于抄答案。要想几何学的好，推荐这本几何模型大全。 他把小学常考的三十四种几何模型都整理好了，比如一半模型无论一点怎么变，阴影面积始终是长方形面积的一半等级模型同底等高，不论一点怎么移动，三角形面积都不变。 还有风筝模型、鸟头模型、燕尾模型、旋转模型等等。每个模型的推导过程都有详细的图解分析，搭配视频讲解， 手把手教孩子吃透模型原理，配套一本举一反三的练习册，学练结合。每天十分钟攻克一个几何模型，你就会知道孩子的空间思维有多好，准备起来练练吧！

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同步小学数学五年级上册的学习课程，我是李晨阳老师，那这一讲内容呢？我们主要是来复习一下我们本学期学过的图形与几何中的 平移和对称。那孩子们，我们先来回忆一下，在这里边我们主要都学了哪些知识呢？ 哎，这里边咱主要是学习了对称轴，哎，也就是轴对称，那另外又学到了平移，还学到了欣赏与设计， 那我们一个个来复习哈。首先来复习一下轴对称，那对于轴对称来说呢，我们基本概念是把一个图案沿着某一条直线把它对折， 对折之后呢，如果他能够和另外一个图形进行完全的重合，那么，哎，我们就称这两个图形，关于这条直线，他是对称的，那也称这两个图形形成轴对称， 而这条直线就是我们叫做对称轴啊。几个小概念，要注意，一个概念是 对称，一个是成轴对称，还有一个叫对称轴，这里一个一定要搞清楚哈， 什么叫对称，一定是沿一条直线折回去能重合，那么这两个图形他们的关系就是对称的，而他们俩就形成了轴对称， 而中间这条直线就是对称轴， ok， 好 看，下面这几幅图都是成轴对称， ok， 好， 那我们再来看轴对称图形又该如何来画呢？哎，我们来画它的对称图形， 他的画法需要注意。第一，我们需要先找出关键点，比如说对于我们现在这个图哈，一看，这好像是一棵树的一半，对吧？找到他的关键点，嗯，这个点， 哎，这个点，还有这个点，还有这个点，我们找到关键点，然后呢，再数出或者是量出关键点到对称轴的距离， 你看这个点到这距离相当是有两格，这个点到这距离相当是有三格，这个点到对称轴的距离是一格，而这个点到对称轴距离也是一格， 你数出这个格数，方便我们去做对称点对不对？所以第三是在对称轴的另一侧找出关键点的对称点。哎，也就是我们要 找到对称点啊，那对称点是谁呢？你看这个到他距离是不是也是两格？这个对称点是一格，那么这个的对称点是三格，这个对称点一格距离都要到对称轴的距离是相等的。 然后接下来第四步是按所给图形的顺序连接各点， 这边给出的图形它是怎样连接对称点的啊？连接这些点的，我们对称点就按它的顺序来连接，最后就能画出所给图形的另一半了。来，我们来顺次连接一下对称点，哎， 好了，对称图形是不是就画出来了？好，这是第一个就是对称的，那么我们再来看一下平移，那平移图形的方法如何平移呢？给你一个已知图形，要求你向上或者向下，向左或者向右，那么我们来平移，那注意什么呢？ 还是一样的，第一要注意的是点的问题，要选准点啊，我们怎么样呢？在原图上选择几个能够决定图形形状和大小的点， 那这些点它就起到了一个关键作用。第一我们就知道了图形的基本形状和它的大小有多大啊？那对于这面这面起子来说呢？我们找到它的点，你选择的是哪些点呢？首先这个是不是确定这个点就相当于确定了这旗杆的大小 长短，然后再确定这个点，是因为呢？找到图形这面棋子大小的来。哎，这个点，这个点，这个点，找到了，他正好是一个长方形的四个顶点，那就确定了图形的大小。 选好点之后，第二步是移点，我们把这些点确定了，那么就按规定的方向和规定的格数进行 平移，我们一个点一个点的移，那么最后是不就出来了？基本轮廓出来了，我们再顺次连接，就画出了他的平移后的图形来，我们一起看， 按要求把选择的点向规定的方向平移规定的格数 来，我们比如说我要把这个图形向右来平移，那我就把这个点一个一个对应的移过来。啊，你看我旗杆上的这个点，我移到这来对不对？移动几个呢？一二三四五六七。 移的时候如果同学们怕数错格子，那老师建议你点住这，开始一二 三四五六七，是不是就把这个点移过来了？自己画这样的一些线，就能够避免我们数错格子。 那接下来把每个点都按这样的方式往过移，好吧，看，我把那第二个点，第三个点，第四个点，第五个点都移完了，移完之后再顺次的连接这些， 哎，那么就形成了我们所要的平移后的图形。看， ok 了吗？好，所以做图的时候，这个平移最怕的第一是方向看错，第二是移的格子没数够，或者是数多了。 ok， 好， 孩子们，这个是我们这个单元主要讲的内容。好，那么接下来呢，我们再来看一下欣赏与设计，那欣赏与设计里边呢？我们利用的基本都是平移或者是对称的知识来设计很好看的或者是很漂亮的图案， 比如说下面给你一幅图，哎，你看这幅图是怎样形成的呢？它是不是通过平移或者是对称做出来的呢？ 好，你看，我们可以以这个为基本图形，哎，我以它为基本图形，通过平移对称来得到其他的，比如说这个我可以对称，是不是得到这个图形？就是像 右方对称，这个可以向上对称，是不可以做出这个图形，当然我也可以平移得到它，再对称得到它，再平移是不就得到它了？哎，所以我以它为基本图形就得到整个图形， 好吧，好，那么再来看，我们还可以以其他图形为基本图形啊，比如我还可以以这个为基本图形，直接做一个对称过去，对不对？哎，所以呢，我们就可以通过对称来完成图形的设计。 那在我们的生活中，其实你能经常见到很多美丽的图案都是通过平移和对称来完成的。 ok， 来，接下来我们来做几道小练习啊，看第一题，孩子们自己先做 好，你做完了吗？来说在下面的图形中找出与图形二的面积相等的图形有哪些呢？ 图形二是这个，嗯，不太规则，对不对？当然我们学过了平行四边形、长方形、三角形、正方形、平行四边形的面积，还有梯形的面积，那我们是不是可以通过面积的方式计算？ 当然我们也可以通过平移的方式或者是对称的方式来做，你看这个呢，我可以把这个三角形给它直接移过来，移到这来啊，就是这个三角形，我把它直接平移放到这里来。 哎，这个图形是不是就变成了一个二乘四的长方形？那我只要找到跟二乘四这样的长方形面积相等的就可以了。我们找到了，有一 六和七，是不都可以把这七平移下来，把这个六同样的方式，这里三角形割下来，平移过来，补到这里来，对不对？ ok， 你 有没有手册呢？ 来，接下来看第二个，按要求画一画，说让你画出对称轴，画这个图形的对称轴，你画一下。 ok， 好， 孩子们，你们怎么画的呢？来看，老师画的是，哎，我画了一条竖的对称轴，左右两边。哎，一对折是可以完全重合的，所以这条是对称轴。那我猜有同学可能会画横着这一条，是不是也是它的对称轴？ 是的，都可以啊。好，我们再来看这个，按要求来画一画。这个说沿虚线对称的轴，对称图形的另一半说沿这条线对称的另一半是怎样的呢？ 哎，你可以先画点，然后再顺次连接是不就可以了？好，我们画出的对称图形是这个样子的。 ok， 你 画对了吗？ 好，接下来我们再来看下一个，下一个要求把这个小船呢向下平移五格。嗯，我们可以先瞄点，找到它的点，然后再顺次连接，对不对？ 好，先在这里边找到关键点，把关键点平移，然后再连接就可以了。 ok， 最后的 平移后的图形是这样子的，你做对了吗？好，接下来再看下一题，说把图形中的一向右平移五格， 把图形中的二向上平移六格，再向左平移八格，你来画一画，来看一下这个图形是这个，这个是我们的，一，这个是我们的，二来，孩子们自己平移一下。 好了，我们一起来看，把这个图形向右平移五格，我平移后的图形是这样子的， 移对了吗？千万记得哈，这里很容易出现的，就是格子数错了哈。来，再把这个图形先向上平移六格，再向左平移八格，来，向上， 先把这个图形向上平移六格，然后呢再向左平移八格，哎，就移到了这里，你有没有移对呢？ 一定要数清格子哟。 ok， 好， 那么再看这个题，画出下面图形的另一半来，给出图形是这样子的，来，我们画出它的另一半， 先找关键点，然后再描对称点，然后再顺次连接。 ok， 孩子们，都连完了吗？ 好了，孩子们，这讲内容呢，我们就讲到这里了，我们把对称平移和我们用对称和平移来设计一些美妙的图案。我们都讲完了，孩子们，你掌握了吗？ 来，我们下节课五年级上册的学习课程，我是李晨阳老师，这一讲呢，我们来复习一下我们本册里边所学到的图形与几何的第二部分。我们这部分主要是学习了组合图形的面积，还有多边形的面积。 孩子们，我们像过电影一样，在自己的大脑里边回忆一下我们多边形和组合图形这里都讲了哪些内容？ ok， 好， 我们一起来看。对于这部分内容呢，我们讲到了多边形的面积计算，讲到了组合图形的面积计算，还讲到了面积的一个估计，同时还讲到了新的一个面积计算单位叫宫顷和平方千米。 那这部分内容大家有哪些？有些掌握的不好，或者是，哎，还没有想到，那么一定要回放我们以前的视频哦。那首先来复习一下多边形面积的计算，那它的方法都有哪些呢？ 我们图形面积的比较方法，我们可以直接比较，也就是数格子，那我们还可以分割，还可以移补法，对吧？我可以把它割下来移过去，然后我们还可以用平移重合法来比较图形的面积大小。 那对于多边形呢，它的面积计算方法，首先我们要认识底和高才能进行面积。那对于底，什么样的图形都有什么样的底？它有几个底？高有和谁是对应的？ 那一定要注意，特别是三角形和平行四边形，它的底啊都分别有几个？三角形是有三个底对应的高，有三条一定是对应， 而平行四边形呢，底有两个，那他要对应的底对应的高。 ok， 好， 我们来看一下啊，对于我们的梯形来说，上底到下底的垂线段的这个就是我们梯形的高， 而上底下底就是平行的那组，那对于我们的平行四边形，那从平行四边形边上的任意一点到对边来引一条垂线段， 这个就是我们平行四边形的高，而平行四边形有两组，对边上下这两个是平行的，那么他俩之间做一条垂线段，这个可以作为以他为底为 的高，同时呢这两条也是一组平行线，那我可以以他为底从另外一条边向他做垂线，是不是以这条为底的高，哎，叫对应，一定要找准。 那么然后再看三角形，他的高是从他的任意一个顶点向对边做的垂线端， 我以这个顶点向对边做，这是哎，这个底上的高，当然我也可以以这个顶点向这条边做垂线段，那就是这条底上的高， 那么同理是不是也可以做这条底上的高？所以三角形有三个底，三个对应高， ok， 好， 那么再来看它们的面积公式和变形，对于我们平行四边形，它的面积公式是底乘高，用字母表示，就是 s 等于 a h， 同时我知道了面积，知道底可以求高，知道高和面积可以求底，所以这两个公式大家也要熟知。 那么同时三角形的面积，三角形面积公式等于底乘高除以二。同样的，我们可以推导出底怎么求高怎么求。 那对于梯形来说，它的面积是上底加下底乘以高除以二，我们一样可以用字母表示。同时如果知道了面积和其中其他的量，那我们可以求高，可以求上底，可以求下底， 分别都可以求出来，那这些公式一定要熟悉啊，而且应用起来一定要得心应手哦。 ok， 好， 那么再来看一下组合图形的面积，对于组合图形呢，我们通常用的方法有很多种，对不对？比如说这个图形， 我要求它的面积，我们可以采取第一种方法，我们叫分割法，我们把已知的组合图形分割成已知的多边形，我们可以直接求，是不是？好，比如说我们可以这样来分来看一下啊， 我们可以哎，这条线一分，是不是分成了两个梯形，梯形加梯形，当然我们也可以这样来分，哎，上边一个长方形，下边一个长方形，当然我们也可以竖着分，左边一个长方形，右边一个长方形 啊，身上这边好像是一个正方形，对不对？当然我也可以两条线都加，就变成三个四边形，是不都是可以的？ ok， 好， 这是第一种方法，叫分割法，当然我们也可以采取第二种方法叫添补法。 怎么添补呢？就是这个本来应该是一个完整的四边形，只是这少了一块，我们把它补回来再减掉就可以了。哎，比如说，哎，我们把它补完完整的一个长方形，再减去这一小块长方形是不就可以了？ ok， 好， 那么还有第三种方法，第三种方法是什么呢？就是先分割再填补。哎，如何来先分割再填补呢？比如说我们可以先分割把它，哎，从这割下来， 割完之后呢？你观察一下这道题，数据很特别，这个长是六米，这样是三米，说明上面这一段是不是也是三米？那这三米我是不是可以把它移过来，补过到这来，是不是就把它变成一个完整的长方形？比如说， 哎，我把它补到这来，是不是就变成了一个完整的长方形？就是我先分割，然后再填补，也是可以的。 孩子们做这种题一定要用多种方法，多种方式来做，对我们的思维训练特别有帮助，能够让你变得是特别灵活，是不是？哎，我们可以多角度思考问题。 ok， 好， 那么再来看一下面积的估计，对于一些不太规则的图形呢？我们在估计它面积的时候，可以这样来啊，先在这个方格纸上进行估计。第一，我们可以数格子， 那大于或者是等于半格的，我们就把它记为一格，那么如果要是不够半格的呢，我们就记为零格，对不对？ 哎，那第二种方法呢？我们可以把不规则的图形看成近似的规则图形，按规则图形的方式来计算它的面积， 这是对于面积的估计。接下来我们再来看一下公顷和平方千米，那一公顷是多少呢？ 一公顷啊，它相当于是边长为一百米的一个正方形的面积，那它的面积是一百乘一百就是一万平方米，那就说明了一公顷正好等于一万平方米， 那一平方千米是多少呢？一平方千米相当于是边长为一千米的一个正方形的面积， 那它的面积为一千乘一千等于一百万平方米。哎，看，这是一百万平方米，那一百万平方米正好相当于是一百公顷，所以一平方千米等于一百公顷。 ok， 好，这是我们这一单元里边啊，这个部分主要讲的内容，那么接下来我们来做几道小练习，来，这道题，孩子们先暂停视频，自己先来做。 ok， 孩子们做完了吗？首先来看第一个五宫格和五平方米，哪一个大呢？ 哎，这不用说，是不是宫寝大一点？那竖着来看哈，那九平方米和九十平方分米平方米和平方分米，他的进率为一百，所以，哎，这是九平方米要大一点。 看下一个四百公顷和四千平方米，一公顷能等于一万。哦，四百呢，那就相当于是四百万，对不对？哎，所以这个四百公顷要大一点。 八百平方厘米和八平方分米平方分米和平方厘米之间的净率也是一百，所以呢，这个 八平方分米等于八百，对不对？哎，所以他俩是相等的。那么再看下一个五百八十八平方分米和六平方米， 那我们说他们之间进率为一百，所以这个实际上等于六百平方分米，这个是不是要小一点？ 好，再看这一平方千米，一平方千米应该等于一百万平方米，咱们看看这是不是一百万，哎，这才十万，所以这个要大一点。 ok， 孩子们都做对了吗？ 好，这是第一题，我们再来看一下第二题，下图中梯形的面积为五十四点六平方分米，然后让你求阴影部分的面积。 说这个呢，阴影部分是一个，哎，三角形，它的底为十五，要知道它的高，它的面积马上就可以出来了，是不是？但是，哎，这道题里面咱只有底没有高，如何来求它的高呢？ 非常好，我听到同学说了，他说，老师啊，我们可以借助于梯形来求高呀，三角形的高和梯形的高是一样的， ok， 非常好。是的，那梯形面积已经知道了上底下底，所以我们直接求他的高 来面积乘以二除以上底加下底的和。有了高，我们用底乘高除以二，三角形的面积就出来了。 好，看一下详细的解答过程。它的高为五十四点六乘以二，再除以上底加下底的和，最后等于五点六分离， 而三角形的面积也就等于低乘高除以二，结果为四十二平方分米，你做对了吗？那么这讲内容呢？我们就讲到这里了，孩子们有任何的疑问及时看回放啊，或者及时翻一翻以前的视频。

大家好，我们今天来看这一题。我们先读题 下列各题。图形中是由能长为一厘米的小正方体摆成的。图一中共有一个小正方形，从前面看有一个小正方形， 表面积为六平方厘米。图二中有四个小正方形，从前面看，有三个小正方形，表面积为十八平方厘米。图三中共有十个小正方形，表面积为三十 六平方厘米。这一题考察的主要是我们几何图形的基础。先看第一题，第六个图中共有多少个小正方形？他第六题中总共有三个问号， 也就是说我们要回答他三个问题。我们先看第一个问题，共第六个图形中共有多少个小正方形？ 我们按前面的规律来看，图一中有一个小正方形，从前面看有一个小正方形，表面积为六平方厘米，图中有四个，再再到图三中有十个， 一个到四个，再到十个，再这样子一直算下去，十个小正方形，图三中就有十个，一二三一二三一二三。这个图三刚好对应的是它这条边有三个， 也就是说这边三个，这边三个，这边三个。要看第六个有多少个，这边一定会有六个六。那这一边扣除掉上面的那一个，这边就只有五个六加五。然后这再看底下这一边， 他要去除掉这两边的这个就是括号，六减二、四四折是底下的，六折是左侧的，五指的是右侧。那中间还有一些小中文题没有算到， 那既然他头顶上这一个是去掉的，不算的，那就是再加一个六减一， 答案等于十一加四，再加五，答案等于二十个。第一题，第一题总共有二十个小正方题，从前面看有多少个小正方形？ 嗯，看这个，别的看这个题，从前面看有一个小正方形，从前面看有三个小正方形，从前面看有六个小正方形，它是 这样子一直叠压下去的，那这样来算，我们从这个角度看，一二三四五六有六个，这面是一二三三个，这面再是一个，那我们再设想一下，到后面又有几个，一二三四、一二三， 然后到这边再是一二，就只能看到这些，一二三四、五六七八九，有九个，就是这样子，三个三个一直加下去，那我们图三图三就有， 图三就有六个。那在他问我们图六有多少个？也就三乘三， 当然等于九个，也就是说再用这个六个小正方形，六再加九等于十五个。图六中有十五个小正方形， 从前面看有十五个小正方形。第三个问题，他问我们表面积是多少？第六个图中表面积是多少？ 前面的表面积是十八，这个后面的是三十六，我们用十八除以三试试。六个，我们再用这边的三十六除以六 也是六个，那我们按规律这样子算下去，用十五乘以六等于九十个哦，九十 cm 的 平方， 也就说第一题的表面积是九十多 cm 的 平方。 我们来看第二道题，他问我们第 n 个图中从前面看有多少个小正方形？表面积是多少？ 他这次我们没有问我们小正方题，所以我们主要重点在小正方形和表面积。按下面的那个规律看，他都是这个小正方形，是用， 呃，就不看里面的，就是 n 加 n 减一，再加这边的括号 n 减二， 这样子算下去就等于三 n 减三。也就是说他第一个问题有多少个小正方形，答案是三 n 减三。还有我们表面积是多少？ 嗯，也是按前面的规律，用括号三 n 减三，括号乘以六， 答案等于十八， n 减十八。所以这一题的表面积是多少，答案就等于十八 n 减十八。综合来讲，如果第一题做出来了，第二题要做就很简单，谢谢大家。

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各位同学们，你们真的是太不容易了，刚过了这道关，又过那道关，像黑板上这道五年级的求第一的长度的这种题目，你们有思路吗？ 好多同学直接就蒙圈了，说王老师，这是哪个天使大姐出了这样的题来，难为我们呢？如图，正方形 a、 b、 c、 d， 它的边长是四厘米， 长方形 e、 d、 g、 f 的 边 ef 呢？过 a 点点 g 在 b、 c 上，若 d、 g 这条边为五厘米，这条边是五厘米啊， 让我们求第一的长度，你开什么玩笑啊，这个第一的长度怎么求啊？各位，其实这道题他考察的是等级变换，比如说这个长方形的面积和这个正方形的面积相等。 那还有的同学说，老师，这个面积相等我，我怎么看不出来呢？大家仔细观察，接下来不要眨眼睛，因为这道题它涉及的内容比较多，我现在连接 ag 这两个点， 连接完以后，同学们会发现，三角形 agd 是长方形面积的一半，因为涉及到一半模型，看到没有，这两个加在一起是长方形面积的一半。那这个 a、 g、 d 是 不是 长方形面积的一半？同时三角形 a、 g、 d 是 不是也是正方形面积的一半？正方形的面积是不是边长成边长，而这个三角形的面积是底乘高除以。二。 老师，这个三角形 a、 g、 d 既是长方形面积的一半，同时也是正方形面积的一半，所以这个长方形的面积我写一下啊，长方形 s、 e、 d、 g、 f 就 等于 s， 正方形 a、 b、 c、 d， 它们俩的面积相等。中间王老师用了一半模型， 那他俩的面积相等，正方形的面积我能求出来是边长乘边长，长方形的面积这条长有了是不求的是宽啊，所以长方形的这条宽就应该等于正方形的面积，同时也是长方形的面积除以长方形的长， 所以那么第一的这条边的长度也就等于四乘四，然后再除以五，求出来是三点二厘米， 轻松的拿下。各位，关键的就是等级变换的问题，你学会了吗？关注王老师，让数学变得 so easy！