考研数学二2026大题fx咋算

这是今天的考研数学一最难的两个题，嗯，这也太简单了，分数线一定上升。那先来看这个十九题啊，十九题是一个标准的曲线积分问题。我们在这个椭圆上进行一个计算， a 的 话是在负二分之一，负二分之一， b 的 话是在二分之一。二分之一，那他们有一个特征，就是他的横坐标等于重坐标， 而方向应该是这样一个方向。所以大家一定要注意，这里是一个顺时针，不要下意识的当成逆时针去计算。那所以我们当然要补充这样一根线， 也就是 y 等于 x 这条线，那么在这条线上我们可以算一下它实际上 y 等于 x 嘛， x 的 范围是从二分之一变化到负二分之一嘛，所以 y 等于 x 带进去，那这一块变成了 减二 x 平方，然后加上六 x， 减 x 平方 减 x cosine 四次方 x dx。 现在我们知道积分曲线是对称的，所以积函数部分积出来肯定是零，我们想都不用想都知道什么三角函数部分太复杂了，多半算出来就是零。你看积函数，积函数，积函数。 所以实际上真正有用的部分是我们的负二 x 平方，减 x 平方 d x， 所以 就是我们的负三倍二分之一到负二分之一 x 平方 d x， 那 我们很容易算出这个答案，等于四分之一。 所以在补充了这个线之后，我们知道，故 i 加上 i， y 等于 x， 它实际上等于 格林公式。那这里对 y 求对 x 求偏导数是六减二 x， 这里对 y 求偏导数是负二 x， 那 所以这里是加二 x。 于是我们发现等于六倍围成阴影的一个， 围成这样一个部分的一个面积，那显然它就是椭球面积的一半啊。椭圆面积的一半， 那我们知道椭圆方程 x 平方加 y 方除以三分之一等于一，那椭圆的面积公式拍 ab， 所以 我们知道 s 就 应该等于 根号三分之派。所以半椭圆的面积是不是就是我们的二分之一椭圆的面积，于是我们就得到，故 i 等于，那你六倍乘以这个面积就是我们的根号三派，减去 y、 d、 x 这一部分就是四分之一。于是我们就完成了这个十九题的一个计算啊，这个题计算量是相当低的，毫无难度可言。 再来看我们的第二次题啊，这个题难度也不大啊。实际上我们只需要把这个 负一到一 f x 的 积分直接给它写成是零到一 f x 的 积分加负一到零的 f x 的 积分，那我们知道它又等于零到一 f x 加 f 负 x 的 一个积分， 那左边是零，而我们知道在零到一上， f 肯定比 f 负 x 要大嘛，因为它严格递增，所以我们就知道它应该小于二倍。零到一 f x 的 积分， 那于是我们就得到二 a 大 于零，也就是我们的 a 大 于零就得正了。 再来看第二位，第二位是给了一个大 f， 让我们去找一个点可 c 是 的大 f 两点，可 c 等于零。那这种题放到这里肯定是靠罗尔中轴定律，所以我们要去找一下 它的零点有哪些，那这里是二角到等于零，所以我们肯定要找三个零点，那我们可以很容易观察到， f 一 等于 f， 负一等于零，那还有一个零点呢？你不要忘了，小 a 是 零到一的积分，实际上 大 f 零也是零。所以由罗尔公式定律，我们就得到 c 一 属于负一到零， c 二属于零到一，使得 大 f 一 撇 c 一 等于大 f 一 撇 c 二等于零。再由罗尔， 那我们就得到可 c 属于开启间 c 一 c 二使得 f 两撇，可 c 等于零， 于是故得正这样我们就完成了这里。那总的来说，这两个题应该是历年近几年考研数学一里面 最简单的两个问题啊，没有什么难度可言，那今年的话，这个分数线肯定会上涨。

各位同学大家好，欢迎来参加咱们今天的专题解析课程，我是定位老师好，那今天的课程呢，我们主要分为三个部分，第一部分关于考研数学整体命题趋势的总结，第二，考研数学整体的权威的解析。第三 关于的咱们二六届，二七届后面如何来进行复习，来给大家做一个介绍。那么首先呢，总体的趋势，咱们今天考完了之后呢， 很多同学在这个给老师说啊，今天的这个考试的难度的不如去年啊，今天这个难度的略微的要低一点，甚至有同学很自信的说，我今天有可能考了满分啊， 这个说明大家这个复习的还是不错，甚至呢，还有咱们这个出的八道题里面有原题啊，那个信心单说的大题是原题。 那么总的来说，数一数三的特征呢？是差不多啊，就是注重基础，注重计算啊，所以呢，大部分的题目呢，还是一些比较常规的，什么求极限了是吧，求导数啊，但是题目的计算量还是有点大啊，部分题目有点计，计算量有点 大，而呢，重点还是比较突出的，因为今年的冷门相对来说还是少一点啊。当然呢，数学一的比数二数三的略微的要难一点，因为咱们数学一的考了一个罗尔定律的证明题，而数二数三的同学其实是 没有考啊，所以呢，数一的略微的比数二数三的难度要大一点啊，因为今天是咱们考研的四十周年，为了让大家心情呢愉悦一点，所以呢，他不像三十周年的时候他出的那么难啊，四十周年出的还是 比较基础一点啊，所以呢，这就代表了咱们目前这个考研的一个趋势，主要就是初试的时候把一些重点的内容考察，那么你具备的一定的能力，那么最后呢，主要就是看复试，所以呢， 咱们通过今年的这个考试来看的话，大家进入初试的还是比较简单，但是呢，你能不能过进入复试，这个就看大家后面的复试的准备情况怎么样。所以呢，不要掉以轻心啊，不要得意忘形。好，那么接下来呢， 这个具体的一些高频考点，大家可以的简单的看一眼，好吧，简单的看一眼， 那我就不给大家一个个的去列了，说明我们考研试卷它的重点还是非常非常突出的，那么接下来大家比较关注的就是我们考完了之后想对答案啊，所以呢，我们接下来呢给大家把这个答案呢一个个的对一下，当着我们说整个考试题呢， 他其实出的门的是比较少，但是有两个可能略微有点创新啊，第一个就是 有一个现行代数的选择题，考到了一个置换矩阵啊，这个实际上考试大概是没有，但是呢，他在这个四题里面把这个置换矩阵的定义啊，给大家这个列了一下，这个就是比较新颖啊，但这个概念其实你读完题目给你的语言的描述应该还是能理解的，而那概率的大体 啊，该题的那个岁数上的那个大题呢，略微有点新颖，但如果你能够把这句话读清楚，这个题呢，其实可以转换成那个最值的分布啊，然后呢，那个估计那部分其实也不难，因为他已经给你把四项函数都写出来了。 好，那接下来我们就一个个来看啊，首先第一个就是考引函数求导啊，这个去年数二数三的考过，并且比这个难啊，因为数二数三的去年那个题是带有变现积分，而我们这个题实际上是没有啊，当在详细的解答过程，大家可以啊去关注咱们这个公众账号啊 啊，回复的一张陈述。最后呢，大家可以在里面的去领取咱们这个啊数一数三的这个完整的解析过程。好吧，好，这是第一个第二题， 数二的第一题呢，他是考察的是关于这个等价无穷小啊，实际上呢，这个大家只要把他的泰勒公式写出来啊，用这个的等价无穷小，这个是很好找的啊，实际上你只要把他的泰勒公式写出来，那么整个等价无穷小应该不会特别难。 好，这是这个数二的第一题啊，数三的第一题的渐近线啊，就是给了一个极其简单的表达式，让大家去找有没有水平渐近线，有没有这个牵直线线。 那么数二的这个题呢，可能啊，数一的这个第二题可能略微有点灵活啊，因为它这里面出现负一的 n 次方，是吧，那么你在做的时候呢，你可以的考虑 啊，可以考虑的，比如说你把这个 n 等于基数啊， n 等于偶数，你把它的瘦脸半径啊，你给他求出来。最后呢，找他的公共部分啊，找公共部分，这个也可以啊。好，这是这个题。 然后呢，接下来的数二的第二题啊，这个题目呢，实际上是零九年的考试题的改编啊， 这个是零九年考试题的改变，这个我记得应该是在考前密训课程里面，咱们那个讲一下，有一个类似的题啊，零九年数学二的选啊，这个选择还是填空题啊？应该是选择题吗？考了一个怪的歧视非歧视解的性质。 那接下来的这个数一的第四题啊，三乘积分，你看人家多好啊，都不需要你算，对吧？他不让你算，他让你把这个三乘积分啊， ab 选项是写成这个注坐标对吧？ cd 选项就是你把它写成啊，求坐标，都没让你把这个三乘积分算出来，你看多好啊。 好，接下来的这个说的第四题啊，这个是去年考过吗？是不是去年考过，今年又考了？就是这个啊，引力的大小啊，引力的大小，去年考的好像是做工吧，是不是做工啊啊，今年的考了，只是考了一个引力啊，万有引力啊，实际上比去年这个题略微还要简单一点。 好，这是数学三的第四题，考了一个平均购入价格啊，考了个平均值啊，这个积分的平均值啊，这个最后结果是选 d 啊， 然后呢？这个数一的第三题啊，数三数二的第五题啊，这个呢？实际上从这个长相来看啊，这个经常给大家说嘛。从长相来看啊，这个大概率不会选 ab 的， 肯定不会选 ab 的 啊，是关于这个图形啊，你就画它的图形，考察这个啊，单调性，还有这个凹凸性，他的这么一个关系啊， 好，有这个可以有这个凹凸性，你就画图啊，可以去得到这个。这个实际上是什么？实际上就是这个割线的斜率嘛，对不对？你看割线的斜率是单则是单减嘛？ 好，接下来这个选择题啊，这个选择题啊，这个就是关于这个方程组解的关系啊。好的，这个题目的条件是列向量由 b 的 列向量现性表示啊，这个两个 矩阵它的向量能够现性表示，你只要把它写成矩阵的形式吗？好，那来判别这个非奇式向量方程组它是否有解 好，然后呢？反函数求导是吧？反函数求一阶导啊，求函数值啊，反函数求函数值，还只是让你求反函数的一阶导，还没让你求二阶导。这个是不是暑假集训讲过？是不是暑假集训的讲义上的？差不多啊，这个题目呢？差不多。 好，接下来的新奇代数的啊，新奇代数的，这个数学一的，它是考察这个二次啊，这个化二次行为标准型啊，化二次行为标准型，然后呢和二次曲面这个结合起来啊，你只要把它化次行为标准型，然后呢根据正负惯性指数， 然后呢和这个圆柱面啊，圆柱面是什么？代表的是这个，有这个化成标准型之后，他有一个特征值是零，对吧？啊，两个大于零，一个等于零，相当于就是正惯性指数为二，负惯性指数为零啊，然后那你可以用特征值 啊，可以用特征值通过证券信息变化啊。好，那么接下来的这个应该是咱们在应该是密押三套卷里面啊，应该是在密押三套卷里面，这个找过一个类似的 啊，就是在之前应该是二零一零年是吧？就是把这个二冲积分呢，写成了两个 c 个码。求和啊，之前呢是在二一年嘛？在二一年呢，也是数一数二的，是把定积分写成一个求和，我们这个是写成两个求和。 好，这个数一的第五题，数二的第八题啊，这个呢是就是所谓的创新，是吧，出现了一个所谓的 置换矩阵啊，所有的置换矩阵其实它定义写的很清楚啊，就是单位进驻单位矩阵经过若干次互换两行，若干次啊， 互换两行出道行变化，是吧？互换两行得到了矩阵啊，好呢，根据这样一个定定义呢，大家去这个考虑，下面这个相当于就是由它是否能变成下面中间的哪一个 好，然后呢，这个矩阵方程有几啊？ a， b 等于 c 有 几？就是系数矩阵的值等于真管矩阵的值，根据两至相等，最后呢出等变换，把这个参数给它求出来。 好，然后这个题呢，略微可能略微的复杂点啊，主要是把这个移过来之后，你可以把它配成一个 a 减 b 的 平方等于零 啊， a 减 b 的 平方等于零，然后呢平方等于零，这个时候呢可以考虑和这个字呢啊，结合起来就是这个应该是，好像是二四还是二三年考过啊，你 a 的 平方等于零，那你 a 的 字加 a 的 字小等于 n， 根据这个字 啊，这个根据平方等于零，根据这个字的来去推导啊，最后呢不正确的是谁啊？应该是这个 d 选项 啊。好，接下来呢就是算概率啊，这个很简单，独立了吗？是吧？独立同分布，把这个二维的概率密度写出来，然后呢用二重积分来去算这个概率 啊，这都是技术题啊，技术阶段你学完了就应该能做出来啊，这个应该是我们冲刺班讲过吧，还记得吧？冲刺班讲过啊，使得他的最小啊，使得他最小啊，然后呢，这个做法有很多啊。 好，这是这个第八题啊，你可以用高等数学的四题来做啊，但是它实际上是个结论啊。 好，第九啊，这个第九题啊，第九题呢，就是给了一个分布函数，然后呢？这个是分布函数，然后呢，你去算，根据这个七万方差啊，你去算这个 a 和 b 的 值。 好，接下来数三的第九题啊，数三第九题呢，这个就是根据啊，呃，这是正态分布啊，这个二项分布，然后呢？独立，然后呢？要你算这个相关系数啊，你就按照相关系数的定义啊，把五个参数啊，把五个 这个有关的数的给它算出来啊，最后呢，代入这个相关系数公式就可以了啊，计算量可能略微有点大啊，这个题稍微算起来会多一点。 好，第十题的是关于的这个条件概率吗？对吧？这个条件概率转换成无条件概率啊，从这个长相来看，这个肯定不选 a b 吗？对不对？估计的。因为 a b 差不多， cd 差不多吗？大概率就有 cd 啊，所以呢，你把这个 这个左边算一算啊，把左边算一算，算一算之后呢，其实这个就是这个作为条件这个事件的概率啊，稍微的划一下减，但这里面呢，会用到这个极数的知识啊，因为它是个离散型，算概率。 好，接下来呢就是填空题啊，填空题呢，它这里面考了一个项链机，是吧？两个项链项链机，项链机算完之后呢，再算一个项度啊， 所以呢，这就是所谓的冷门啊，今年这个冷门考的不是很多了啊。今年冷门考的不多，就这个算是一个冷门好。然后呢，这个啊，这个 啊，这个以前的数学三的同学很少考，但今年是考到了这个反差积分的比较派表法是吧，你把这个零到众无穷分成零到一，一到众无穷啊呢？分别利用比较派表法 啊，也就是找背接函数的什么等价无穷小啊是吧，非零因子极限先求啊，用比尔判别法来做。这个应该比我们在冲刺班讲的那个题要简单很多啊。这个好像是暑期讲义上有一个暑期讲义啊，那个集训讲义上面应该是有一个选择题，和这个是差不多的。 好。然后呢，这个计算，定积分的计算啊，定积分的计算，零一区间，你看这个地方是不是有个 x 减二分之一啊啊，所以呢，你应该要记住啊，应该是零 t 等于 x 减二分之一做一个换元，然后呢，搞出个这个对称区间是吧？搞出个对称区间，然后利用记忆我背心字来算，这个会比较简单 啊。极限的计算是吧，这个无穷减无穷啊。然后呢，这个啊，数学三的这个历史二题啊，这个也是一个无穷减无穷啊，不知道他为什么要搞一个不一样的啊，其实做法差不多啊，这个呢，可能略微看起来复杂一点，但这题实际上就松分的啊。 好数一的参数求二阶导是吧，常规题吧，技术阶导是不是都做过啊。参数求导 啊。然后呢，取的半径啊，取的半径把取的算出来啊，这个算取的实际上是不就是这个，我记得是点题班讲过吗？是不是点题班讲过啊？引函数啊，引函数，求取律，求取律，然后有了取的之后求取的半径，实际上就是考引函数，求一阶导，求二阶导嘛。 二十四题啊，反差积分，这也没啥说的，分布积分是不是分布积分法啊？然后呢，说的第十四题啊，这个应该是，我记得是咱们那个 密钥三套卷啊，在密钥他三套卷的好像是卷一吧，好像是卷一里面啊，他给这个条件就是对 x 的 偏导在零零是派对 y 的 偏导的是等于三吗？ 然后呢，再考一个什么？是不是考一个符合函数是吧？这个记在一的导数就是符合函数求导这个密奥三套卷里面的差不多的一个题啊，就是数可能略微改了一下。好，这个第十四啊，微分方程的，求解啊，二阶长细数非奇是线线微分方程的求解啊，五分。 好数一的第十五题啊，线形代数的，这个就把特征值求出来嘛，把特征值求出来，然后呢，把最大的特征值算出来之后，他小于他，然后呢，把这个的范围的给他求出来。 好，第十五啊，第十五的平均值嘛，就是积分除以积分区间的长度嘛，这个好像是一三年，一四年当时的数三的。 初二的啊，初三的，初二的，初二的好像是一四年考的，初三好像是一三年考的，然后今年的就都考了啊，这个是初二的积分除以积分区间的长度啊，其实就是考定积分的计算。那么数学三的也有一个啊，数学三的也有一个。 好，这个概率的这个题啊，概率的这个题啊，这个就是薄松分布嘛，薄松分布啊，这个的独立啊，根据这个独立呢，大家去化解啊。呢？最后去算这个期望啊，离散型的，离散型的算期望 好，这个先行代数的啊，这个先行代数的，这个这个是规范型，规范型告诉大家什么呢？就是特征值里面一个正两个零嘛，说明他的字啊，他的字是一，他的字是一，他的字也是一嘛，因为这两个句子的字是一样， 那他的字是一，说明任意两行对应成比例嘛，你不就可以把 a b 解出来嘛。好，然后呢？这个时期啊，这个时期， 这个十七题的，这就交换积分次序嘛，是吧？给你的直角坐标估计算不出来。这个呢，估计要变成一个极坐标啊，是吧？估计要变成个极坐标来算啊，这肯定是要交换积分次序啊，但他应该是直角坐标变极坐标 啊。然后呢？接下来第十七啊，这个十七，这个十七的是这个这一问啊，我记得吧，给你这么一个等式啊， 你要求 f 怎么求啊？是不是令他为 a 啊？令他为 a 啊，那把这个 a 解出来， a 解出来，这个 f 有 了啊，只说这个题呢，再加了一问啊，再加了一问，你求出 f 之后，你把 f 的 展开嘛，对吧？把它套公式给它展开就行了嘛。 啊？这个卷展开是考大题啊，这个比较大家比较头疼的是求和没考，他考的是展开，但是是两个题变成一个的啊。 好，接下来这个第十八啊，这个第十八，第十八的数一的这个第十八题呢？呃，其实就是这个 f 的 对 x 偏导是这么多吗？ f 对 外的偏导是这么多 啊。实际上这种题大家从技术阶段到强化阶段到充实阶段其实都做过啊，对 x 偏导等于它，对外的偏导等于它啊。然后呢，我们接下来呢，是不是就根据二阶混合偏导相等，然后呢，就可以算出这个第一问 啊？算出这个第一问之后，对任意 u 它都是个常数嘛，对吧？这个是常数，所以得把这个条件带进去嘛，把这个条件带进去啊，带进去之后，你可以把这个 c 来解出来 啊，把 c 解出来之后，最后得到一个微分方程，因为一般只要是求函数表达式的题，基本上能确定它都是用这个微分方程来做啊。 好，接下来的这个数二数三的十八题啊，这个第十八题呢？这个应该是数学二的吧，数学二的二零年考过啊，数学二的二零年考过 啊，实际上这个地方就换元嘛，应该得到一个分段函数，对吧？啊，那求导数判判并判别这个导函数在零这点是否连续啊？暑期还记得吧，暑期集训营的奖励上一样的题啊。 好，接下来的这个集时啊，数一数二数三的都考了。这个二元函数无条件集时啊，已经连续考了若干年啊，从二一年开始是吧？二零年嘛，还是从二零年开始？这几年几乎每年都有啊，无条件集时啊，这个基础阶段，强化阶段，冲刺阶段啊， 基本上呢，都是讲过这种啊，并且讲的还比这个难是吧，我们还讲过啊，通过这个别的知识来求函数表达式，这个呢，是直接给你表达式啊，然后呢，数一的这个十九啊，为什么说数一的这个也不难呢？因为去年啊，那个 曲面积分是吧？去年考的那个曲面积分啊，那个曲面积分这个比较难，得分率比较低啊。但今年这个考的是曲线积分，实际上我们在考前大家其实都已经知道今年要考曲线积分啊，只是不确定他到底是考斯托克斯还是考平面曲线啊。这个就补线吧， 对不对？补线，这是个椭圆嘛，椭圆的一部分啊，你就用补线法补线的时候，我们其实这个在我记得好像是点题班给大家讲过啊，你补线最好补直线，是不是你就补一个直线啊，用高用格林公式就可以了。 好，这个数学一的啊，比较长啊，证明题啊，数学一的同学考了一个证明题啊，数二数三的其实没有考啊。 啊，这个这个等于零啊，那 a 的是半个区间上的积分啊，你证明 a 大 于零啊，所以说你就把这个啊，可以考虑用积分区间在线，可以把它写成两倍的零到一上。这个 f 加 f 负 x 的 积分啊， 通过这个单调性啊，通过 f x 严格单调递增啊，或者你再来看这个 a 啊，是大于零的啊，这个的一看就罗尔定律嘛， 对不对啊，这个肯定就是对导函数，用罗尔定律，找三个点的函数之相等，找三个点的函数之相等，然后呢？用三次是吧，是不是用三次罗尔定律啊，这个点很好找是吧？一啊，负一啊，零啊，应该是这么去找 好接下来的这个数二的第二次题啊，这个的就是旋转体的体积吗？但这个题可能有点计算量啊，因为你从这个结果来看不太友好，是吧？所以我们这里题型还是常规的题型，当然这题呢，他有一个拐点，是吧？有一个拐点，你要把这个拐点求出来啊要把拐点求出来 啊，拐点求出来之后你就可以求出 x 零嘛。好，那这是第一项线嘛，是吧？呃，这个第一项线无界区域嘛无界区域他应该就是个反差积分嘛，这个也讲过这题的第二问，这个应该是讲过第一问的常规题嘛，找拐点。 好，接下来数三的第二次题的这个常规的啊，这就是一个极坐标嘛。啊，然后呢？这个，呃，这个不是极坐标，这个直角坐标吧。 啊？这个可以出微分嘛，是吧？这个外，先对外积分嘛，先对外积分啊，然后再对 x 积分， 这个应该也属于比较常规的啊，这个比较常规的一个二乘积分的计算。好，这是第二次啊， 然后呢？这个数学二的第二次一题考了一个二阶微分方程。这个二阶微分方程的啊，微分方程的，求解嘛， 画圆是吧？啊？零 p 零 y 的 导数。好，接下来的这个线形代数的啊，这个线形代数这个题实际上是不和去年那个大题差不多啊， 和去年那个大题差不多。这也是我们钻石卡学员在考前发的密押三啊，这个考前必做八套题里面好像是第五套吗？讲过一个 啊，这个基本差不多啊，然后呢？也都是十次方，是吧？我们这个题也是十次方。他这个第一问看起来是正面题，其实是计算题啊。就是你找极大信息无关注嘛，是不是找极大信息无关注，而把其余的项呢，用极大信息无关注来表示出来 啊？所以这题呢，咱们这个状式来讲呢，应该做的比较好啊，因为基本上就是原题了。好，然后呢，概率呢？这个比较难的就这个大题了啊，概率呢？大体稍微难度要大一点 啊，主要就是你要把这个画的要想清楚，他现在有 n 个原件吗？然后每个的都是这个指数分布啊，所以呢，我们就假设他们的寿命是 x 一 x x n， 有 n 个原件，有 n 个寿命，每个寿命服从这个均值啊，你没有发现他有点像二零二二年那个题啊？ 有点像二零二二年是吧，均值就是七万，等于这么多，那么参数呢啊，指数分布的参数就是那 c 塔分之一嘛，对不对？好，那么现在呢？说啊， k 等于一 啊， k 等于一是什么？就是我现在有 x x x n， 有 n 个原件，寿命是 x x x n， 而那 k 等于一呢？说失效的原件的寿命啊，就是有一个原件嘛， 他说试验直到出现 k 个原件失效，是停止， k 等于一是吧？ k 等于就是出现一个原件，出现一个原件，它失效这个时候的停止， 然后呢，这个寿命是 t 啊，失效原件的寿命你知道是哪一个失效吗？其实你不知道，但是我们知道他一定是什么，一定是这 x e x x n 中间最小的那个， 对不对？所以呢，他这个 t 呢，应该就是 x x n 最小的那个，也就是迷你，是吧？就是迷你啊。 好，这是二四年吧，应该还记得吧。二四年考过啊，二四年在大题考过，我们在那个点题班吧，我记得点题班最后一个题啊，这个给大家看过啊，给大家看过，然后没有讲，因为和二四年那个题差不多，二四年的是什么？是均匀分布，再给他换成一个指数分布， 所以它就是 x x x n 中间最小啊，就是迷你也就是最值的分布嘛，然后呢，你就利用最值的分布是不可以把它的密度求出来，密度求出来之后，你看这个是一样 的，是吧？所以关键就是把这个 k 等于一 t， 这个 t 到底是什么意思，你要翻译清楚 啊， t 等于就是有一个原件失效，对不对？这个时候就停止， 然后呢，这个寿命是 t， 这个 t 是 什么呢？肯定是这 n 个中间这个时间最短，寿命最短的那个，对不对？因为你肯定是寿命最短的那个出现了 啊，原件的失效了吗？啊，所以这个 t 的 应该是 x 到 x n 中间最小的那个，然后呢，这个第二个呢？他把四项函数都给你了吗？对不对？四项函数给你了，你这个找最大四项，估计不就是取对数求倒倒数等于零就行了吗？ 对吧？倒数等于零就可以了啊，所以到最后就可以把这个结果就可以算出来啊，这个有点新颖啊，以后可能有同学没法把这个文字性描述的条件翻译成数学式啊，所以这个题呢，估计得分率呢，要稍微的低一点。好，这就是关于咱们这个 啊，今年这个考试题呢，就给大家解析到这啊，总的来说，根据大家的反馈，考的都还是不错的，所以呢，不管怎么样，大家都要准备复试啊，因为估计绝大部分同学应该都是能过初试的啊。 绝大部分同学过初试应该问题不大，主要就是看你的复试就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就这么多啊。最后祝二六届的同学啊，一战成硕。

我不明白一道小小的向量差乘与常论三度的题目有什么难的？给你们五秒钟的时间思考思考一下这道题。 好了，时间到了，黄埔课堂开课。这道题先算两个向量的差乘，得到向量 x、 f， 再算 f 的 三度。第一步计算向量一和向量二的差。向量一分量是零 x z， 向量二是 y 零。一代入差乘方法计算，第一个分量是 x 乘一减 z 乘零，得 x。 第二个分量是 z 乘 y 减零乘一，得 y 乘 z。 第三个分量是零乘零减 x 乘 y， 得负的 x 乘 y， 由此得到向量场 f。 第二步，算散度。按定义对 f 的 三个分量，分别求对应偏导，再相加对 x 求 x 的 偏导得一对 y 乘 z 求 y 的 偏导得 z 对 负的 x 乘 y 求 z 的 偏导，得零，三者相加，最终散度结果是一加上 z。 不 管你们怎么做，三个小时做二十多道题，优势在我。

一杯茶，一包烟，一道积分算一天。今天来做一下二十六年考研数学二真题，答案会在明天更新，欢迎大家在评论区讨论。

二零二六考研数学新型代数的这道选择题出的真的是太有水准了，不得不夸一下出题老师啊！呃，当然，这是一个新壶装旧酒的题，我们一起分析一下 a b 式 n g a 矩阵，且 a 的 列向量组可由 b 的 列向量组现行表出，这是不是一个老演员了？你得知道这句话，我们该怎么去精准的翻译， a b c d 选项哪个正确？这种选项是不是就有点让人晕题啊？ 若非题的方程组有解，则另外一个非题的方程组一定有解，若什么有解，另外一个一定有解，这种就有点让人晕题了。 好，那这种题目还是两种办法，第一种就是你的理论基础很扎实，你可以通过条件迅速的找到正确的选项，那你就用强势思维把这道题做出来。如果说你是那种有点晕题，你实在不知道从哪下手的话，那么你可以选择用举例子排除的思维， 如果能够直接排除掉三个错误的选项，咱是不是就得到正确的了？那如果说我们能排除掉两个，剩下两个我再去证明，这样也会相对来说容易一些了。我们先用排除的思维排除掉一定的错误选项，好吧，呃，如果使用排除法的话，我们 n 接的 n， 我 就取成个二 啊，我们就举二接的例子啊。那我们举的例子得满足条件呀， a 矩阵的力得能够由 b 矩阵的力先行表出， 那这个 b 矩阵给列的时候呢？我们有两种思维，一种是我取成线形相关的，一种是线形无关的。好比如说我想到的，先来一个线形相关的一零零零，这是 b 的 两列，看好了啊，比如这个是白塔一，这个是白塔二，而 a 的 列可以由这两列表出，那我把 a 的 第一列就直接可以取成个一零， 那就是一倍的白塔一，那 a 的 第二列呢？我可以写成一个二倍的白塔一，那我这里来个二零。这样举例子的话，最好让 a 转置一下， b 转置一下，这种的就比较容易排除掉了，不知道你有没有这种敏感性？下面呢，我们分别带入 a、 b、 c、 d 来看一下能排除哪些选项。 a 选项附带了一个条件，叫 a、 x 等于 bata 有 解，那我要找个 bata 有 解的话，你们能看出来 a 选项肯定排除不了吗？ a 选项肯定排除不了，因为这时候如果我把 ax 等于 bata 的 这个 bata， 比如说我取成一个一零，就这个地方无论我取个取个几啊，就无论上面这个地方我取成个几，这个时候 a、 x 等于 bata 一定都是有解的。 b x 等于此时的 bata 也一定是有解的，所以说 a 选项是排除不了的。再看一下 b 选项， b 选项说若 a 的 转置乘 x 等于 bata 有 解，那我们把 a 的 转置乘 x 等于 bata， 这个 bata 我 取谁呢？ a 的 转置拼上一个 bata 有 解的话，是不是增广举人的质代等于西数举人的质？ 那我把 a 的 beta 超过来一二零零，这边我取的 beta 得保证有解哟，那我是不是可以取个一二，我让这个 beta 取一二，那此时这个时候我取的 beta 满足了方程组有解，那么 b 的 转至乘 x 等于 beta， 这个非奇次方程组的增广矩阵是谁？ b 的 短值是不就一零零零，而这里的 beta 是 一二，这时候显然系数矩阵的值不等于增光点的值，那这时候方程组是无解的呦。哎，这个例子就可以把 b 选项给排除掉了。 c 选项 b x 等于 beta， 有 解，则 a x 等于 beta， 一定有解， 目测排除不了啊。好，你可以自己试一下。我们直接跳过 c 选项，开始看 d 选项了呦。 d 选项的话，附加的条件是， b 的 转至乘 x 等于 b， 它有解，这个 b 的 转至 b， 它这个增广矩阵 来， b 的 转至，我们把它写过来是一零零零，然后 b 它呢，是不是直接取成个一零就能保证有解了？此时我们看一下， a 的 转至乘 x 等于 b， 它一定有解吗？ a 的 转至乘 x 等于 beta， 它的增广矩阵 a 的 转至一二，这里是零零，而我们的 beta 是 一零。系数矩阵的质是不是一，而整体增广矩阵是不是二？ 这是不是一个无解的 d 是 不是就排除掉了？那这时候我们是不是还得再举个例子，把 a 或者 c 中的其中一个排除掉呀？如果我再举例子的话，我这个 b 矩阵，我举的时候，我是不是就举成一个它的两列性质无关的例子？ 我刚才举的时候特意举成的信相关的嘛，再举信无关的话，我就举成最简单的一零零一。那我 a 矩阵我就搞的稍微特殊一点，我让它的两列息息相关，比如说 a 的 第一列呢，是一零， 它的第二列呢？还是一列？是不是满足条件了？我们能够很容易的看出来， b x 等于 beta 一定是有解的，而且是维解。我觉得你走到这里应该去直接看 c 了，因为我们举的这个 b 矩阵 b x 等于 beta， 无论我这个 beta 写什么，它都是有解的。比如说我写成个一二吧， 因为系数矩阵是一个满滞矩阵，那这时候有解，而且是唯一解，而此时 a x 等于 b， 它这个非奇次方程组的增广矩阵一一零零，这里是一二，这时候就是系数矩阵是不等于增广女人的质，它肯定是无解的。通过这个例子就可以把 c 给排除掉了。 我们通过举了两个例子，把我们的 b、 c、 d 排除。所以说本题的答案选 a 排除法呢？呃，能想出来例子当然是很好用的，但是在这个紧张高压的环境下，我相信你能那么清晰的举出反例，还是有点难度的。 其实举出反例的本质原因是你知道他是错误，而且知道他错在哪了。能够精准的举出这样的例子，我们一起看一下法二该怎么解决。 直接法呢？就是通过我们题目给的条件，直接去推正确选项。题目的条件说， a 的 列向量组可由 b 的 列向量组向量出，我简写成列表出啊。这句话是不是一个老演员了？碰见这句话，我们可以执意我把 a 的 列给写出来， 那我不就得对 a 矩阵进行列分块吗？ d 列， r 列， r 列，那 b 的 列，我也得把 b 的 列给写出来。 裂分块，第一列贝塔 e， 然后第 n 列到贝塔 n， a 的 每一列就是每一个阿尔法 a， 是 不是均可以由贝塔 e 到贝塔 n 先行表出啊？那我就可以把阿尔法 a 写出来，它的表出形式， 那阿尔法 a 是 不是就写成一个多少倍的贝塔 e 一 直加加加，加到多少倍的贝塔 n？ 这里的系数呢？我就记成一个 k i e， 然后 k i n， 这里的 i 呢，可以取一二，一直到 n， 这就是 a 的 每一列均可以由 b 的 列先行表出的直译方式。 写到这一步以后呢，我们接下来就是看 a、 b， c， d 哪个正确嘛？我们先看一下 a 选项，若 a x 等于 b， 它有几 有解？是不是贝塔可由 a 的 列线性表出？那也就是说贝塔一定能够写成多少倍的 r 法一，一直加到多少倍的 r 法 n？ 那 我就比如说设成 l 一 倍的 r 法一，一直加加，加到 l n 倍的 r 法 n。 我 们这里的 r 一 是不是可以用贝塔一到贝塔 n 来代进来表示了？这个表示的意思是把它超过来嘛？把它超过来， 具体写过来的话就是 k e e 白塔一，一直加到 k e n， 白塔 n 一 直加加加，加到 l n 乘以 r 法 n， 这里的 r 法 n 呢，就是我们的 k n e 白塔一， 一直加到 k n n 白塔 n。 整理一下，这里是不是整理完以后得到了多少倍的白塔一，加上一个多少倍的白塔二，一直加到一个多少倍的白塔 n？ 其实这里简洁的来说就是 beta 能由 a 的 列表出，而 a 的 列是不是又可以由 b 的 列表出？所以说 beta 能够由 b 的 列表出。 beta 既然能够由 b 的 列表出，这就意味着什么？是不是就意味着 b x 等于 beta 一定是有解的，所以说答案选 a。

今天用一道题教会大家树立极限的四种套路。这是一道华科数学分析的式题。已知 x 一 等于一， x n 满足这个递推关系式，是要证明它收敛并求极限。 我们先看第一种方法，直接法。所谓直接法，就是看出极限直接正收敛。用归纳法很容易证明 x n 大 于等于一，小于等于二。如果 x n 有 极限， a 很 容易得出， a 就 等于一， 两边减掉一，用一下基本不等式，就得到这个式子。为了前后向抵消两边同时乘以二的 n 加一次方，就得到这个式子。接下来就是累加前后相消，我们得到下面的式子。用斯托兹定律或者两段放松手法，很容易得到这一项极限等于零， 从而根据加 b 准则， x n 的 极限为一。第二种方法是单调有阶定律。对本题来说，这个方法是最快的。 我们观察连续的这样两个递推式子， n 加一分之一肯定小于 n 分 之一。如果存在一个 n， 使得 x n 小 于 x n 减一，那么根据递推关系， x n 加一也小于 x n， 以此类推，就可以得到 k 大 于等于 n 时， x k 是 递减的，从而收敛极限就是一。 那万一不存在这样的刃怎么办？那也很好办。此时 x n 一定递增，有上界，所以极限一定存在且满足这个方程，所以极限就是一，而 x n 递增趋向于一， x 二大于一，这是不可能的。 第三种方法是科西收敛准则，直接放松就得到这个式子。然后根据上面的式子估计 x n 加 p 减去 x n 的 绝对值，类似于方法一就可以得到结果。第四种方法是根据上下极限证明极限点为一。具体操作步骤如下， 首先， x n 大 于等于一，所以下极限也大于等于一。设 x n 的 上极限是 a， 那 么根据定义，对任何 epsilon n 充分大时， x n 小 于 a 加 epsilon。 于是我们就有这个式子，两边取上极限，再让 epsilon 趋向于零，就得到 a 小 于等于一， 这样就得到上下极限的估计式，从而说明极限点为一， x and 收敛于一。最后，留一个思考题，如果 n 加一分之一改成趋向于零的正数列，结果还成立吗？前面讲的哪些方法还能用？记得点赞关注哦，我们下期见！

说一下考研数学的答题规范和时间安排，首先老师会在提前五分钟左右发你的这个答题卡和你的这个试卷，这时候切记千万不要随意的去涂改，也不要有任何的小动作，因为很可能你会被你的竞争对手举报。然后等到 开始考试的时候，直接看你的现代这个大题，我是针对的刷子的想法，如果现在大题你发现他考的是你会的题目，或者说你一看就有思路，马上把这个大题给写掉，在十五分钟内基本能把它秒了。 现在那里我这里提一嘴，像从二一年改革以来，二一年的话相似二二年二次型，这样循环二六年的话，大概率就考这个二次型了。所以我建议大家今天晚上可以再去看一下二次型，特别是那些没看过的。如果说你把二次型给相似都没问题的人，也没必要再去看了。 如果说问题比较大的话，可以去看看你做的笔记和经典的题目，重点看一下二次型。好，当你把现代做完之后，直接翻到前面去做你的这个选择题，直接开始写选择题的话，尽量在五十分钟以内做完。 千万记住，千万记住选填！你可能会遇到不会的，因为你刚开始写这个考研数学，刚上来可能会感觉到没有状态，或者说紧张，或者说没想到。那种方法 不用管，因为后面大体的题目一般题型是固定的，你练了那么多，练了一年一定能写出来了。所以千万不要执着于某一选填，像我去年就没有执着于选填，去年虽然数学相对比较简单，你像去年第四题我根本不会写，第七题非常难，我也不会写，第十题我也不会写，但是我没有管他，我直接跳过了， 然后来到你的这个填空题。填空题，切记！填空题的话，我去年就犯了一个很大的错误，切记，你一定要在你的草稿上面，或者在你的卷子上面确定这个答案是对的， 或者说你先写到草稿上面，先不要写到这个答题区。为什么？因为选择题你写错了，可以把它涂掉，用橡皮擦，然后改个答案，但是这个填空题你涂不了，像我去年就是这十五题，我把答案写上去了，后面发现我写错了，我就打了一根横线，然后我想写没地方写了，我就在这里写了一个很小的数字，我可能感觉应该是没给我分， 因为我选择你只错了两个，然后我后面只有一百二十二分，然后这个填空题肯定是这题没给我分，因为我涂掉之后根本没地方写，我只能写在对方很小地方，可能都没扫，都没有扫描到。所以大家写填空题的时候一定要把答案确定，确定确定是对的再写上去，如果没确定的话，等你这后面剪开完之后，再把这个答案写上去。填空题一定要重点注意， 找到第十七题一般是考定积分的计算，这个题相对比较简单，但是有的人肯定想不出来，想不出来也不要一直想，一般用十五分钟写完就行了。 然后十八题是导数定义，这个题相对说也是比较简单的，一般前三题比较简单，但是也是一样的想不出来，不要浪费时间去想，你花了三到五分钟还想不出来，就不要浪费时间了，往后面看，把这题拿下。然后十九题一般是考二元的偏微分或者偏导，这个题计算量就比较大了，一定要好好算，一定不能把答案算错了， 这个题一般在二十分钟之内写完就行了，然后等到这个二十题，这个是考二十几分，这个计算量一般很大，特别是你没有找到方法的时候，你就得硬算，硬算，计算力非常大，尽量在二十五分钟之内写完，一定要把它写出来。然后这个二十一题一般是中指定律，像我去年的话，我都没管了，我就想着这题我不要了，去年的话我确实也没去想，我一般 这个题我也不做，就是我这后面留了二十到三十分钟，我就是在想我这题能不能做出来，我看了一会，我根本做不出来，我就直接没做了，然后我就留了二十到三十分钟，直接去检查了，我就把这时间用在干嘛去检查我的这个选择题和填空题，我就明显发现我这个题错了，所以我把它改掉了，虽然没地方改，它这个选择题也是这样的， 我错的地方我把它改过来了，像我选择的，去年他只错了两个，然后这里扣了十五，然后这个题基本上是全扣了，就是十二分吧，然后总分是二十四，然后还有一个地方扣的一分，不知道哪里扣的，然后其他大题都是全对的，所以大家 一定要注意，就是这个二十一题的宗旨定力，如果你的目标是跟我一样的一百二到一百三的话，比如说你翻这个题很难，千万不要去浪费时间了，考研数学最切记你把时间浪费在某一题上面，一定是把所有题目做完之后再去做你不会的。

考研数学满分一百五十分，理工科的学生以及经管类的学生得数学者得考研数学也是最容易拉开差距的一门科目，在拿到我们的数学答题卡的时候，一定要先检查一下答题卡跟试题的完整度， 有没有漏印跟错印的地方，及时的跟监考老师进行反馈。接下来小周老师也来说一说我们考研数学的答题技巧。首先就是我们考试的做题顺序，做题顺序 一般可以按照两种，第一种的话就是我们先做选择跟填空，这类题型比较基础，我们可以先把它拿下，稳定住自己的心态。但是比较靠后的题目难度稍微有一些大， 如果超过三分钟还没有思路，果断放弃，先做大题，翻回来再进行思考。第二就是先做自己比较擅长的部分， 有的同学高数比较薄弱，但是现代和概率论比较擅长，那我们就先做擅长的部分，最后在攻我们薄弱的地方。在做填空题的时候一定要学会运用技巧，比如说排除法、赋值法和反例法， 能够快速的锁定答案，为我们节省时间。填空题一定避免粗心，规范书写，记得要化简。最后就是大题，在做大题的时候一定要切记步骤要完整，不要跳步，遇到特别难的题目 分不拿分，果断放弃，不会的不要钻牛角尖，等有时间了再翻回来进行思考。上考场之前把自己不会背的公式反复记忆，等进了考场之后， 快速的在我们的草稿纸上进行书写，这样避免遗忘和推倒。调整好心态，题难都难，你不会的，别人也不会。加油，祝愿刷到本视频的小伙伴金榜题名，成功上岸！关注小周老师，升学不迷路！

发生了一些变化，咱们来说啊，数二的，数二的，也有一些值得讲的题，但是听整体来说，难度并不算大，但是他有一定的技巧性啊，还是有一定的 综合型好，咱们来说一下啊，第一题，不用说了啊，这比较简单，咱们就不说了，直接过了啊。第一题，嗯，第二题，这微方程，这也不说了啊，简单的咱们就不说了，咱们说稍微有点难度的啊，适当说点有点难度的，太简单的咱们就简单一过就行了啊， 那么前两题难度都不大啊，虽然说是有点难度，但是难度都不大啊，他跟二四年到二五年基本持平啊，没有太大的变化 啊，这是这个，嗯，第三题，也不说了啊，这难度都不大。第四题，这个是前面看过啊，基本上是整体的原题。第五个，这个树一说过了啊，再也不说了，嗯，你可以听树一那个。 第六个，这就是反函数哎，简单说一下就行了啊，这没啥说的。那么你看，首先人家说 g 和 f x 是 反函数，那 g 零那谁，那就是它的 y 的 零，它的 x， x 的 外的零呢？就是 f 多少等零， f 一 等零，那就是等于吹一，它就等于 x， 那 么 g x 一 撇，或者是 g 零一撇，那就等于 f e e 撇分之一。哎，这一算就行啊，都很简单。不说了，这个有价值的题，就这个。第七题啊，这是二重积分的一道题，考的是二重积分的第， 哎，这个题是有一点点难度的啊，咱们来看一下，是函数 f x y 在 区域哪儿？ x 大 等于零，小等于一，外大等于零，小是个正方形的区域。哎，正方形呢，考定义是非常合适的，对不对？正方形区域考定义是非常完美的，人 家还说了，且 f x y 等于 f y x， 也就是说这个区域这两个区域 还是关于 y 等 x 对 称。哎，并且函数关于 y 等 x 也对称，那就可以二倍啊，这种是可以二倍的，这就是什么？这就是基友性的推广，也就是积分区域关于某条线对称，并且函数关于这条线也对称，那就可以二倍啊，这没啥问题，可以二倍的。 那咱们来看一看啊，它原来的定义，它应该这样，那直接等于厘米，它 n 去无穷大，那么 i 从一到 n， 哎，这个是 g， 从一到 n， 它都是 一二零到一，嗯，这是没问题的，那都可以是到 n， 嗯，好，那这是 f， n 分 之二乘以 f， n 分 之几乘以 n 平方分之一，都是正对，人家输，他输了什么？输了？关于它对称， 那你得利用对称线，对不对？那第一问没用上啊，哎，那咱们就把它按照你可以等于上面的二倍，也可以等于下面的二倍，对不对？那么如果等于上面的二倍，那就是厘米，它 n 趋无穷大，那么啊，等于上面的，上面的，那就是。假如说啊， x 从零到一，那 i 从一到 n， 那 么 g 就 不一样了， g 是 从谁？从 i 到 n， 因为它是，这是 y 的 x， 那 g 的 等于 x， x 是 i， 嗯，那就是 f n 分 之 i， n 分 之 j 再乘以 n 平方分之一，嗯，这是可以的啊，没什么问题。那么多少二倍，哎，这是上面的，你也可以下面的，对不对？ 那么一看二倍的，这两个都不满足啊，都不满足，这是什么？这是二 n 分 之 i， 哎，那如果等于二 n 分 呢？二分之，这样就是分成二 n 分， 那应该是厘米的 n 去了 i 从一到二 n， 那 么 g 从一到二 n， 然后 f 二 n 分 之二，哎，还有二 n 分 之 g 再乘以多少？那是二分，那就是二 n 分 之一，再乘以二分之四平方分之一，那这样是对的啊。哎，这样也是可以的，没问题。 好，那么同样他可以二倍，嗯，好，他二倍可以分成，也可以分成上，可以分成下。哎，好，那如果是用第二这一段呢，对不对？那你也可以。 哎，他可以，谁也可以 x， 嗯，好，他还用上面那部分吧，还是 x 再看有没有。那就是二倍的厘米的 n 去无穷大，那么 i 从一到二 n， 那 g 呢？ g 就 从多少 i， 对 不对？ 到 n， 这上面这一部分，那是 f 二 n 分 之 i 乘以 i 二 n 分 之 g 再乘以四 n 平方分之一。 好，那如果等于下面这个部分呢？下面这个部分呢？就这样写。等于二倍的厘米到 n 去的，那么 好，那就是 i 从一到二 n， 那 么下面这一部分，下面这一部分 x 从零到一，没有问题。 i 从一到二 n， 那 y 呢？ y 从零到 i， 那就是 g 从零到从一到二啊，从零到二，从一到二，嗯，是 f 二 n 分 之二，乘以二 n 分 之 g 再乘以四 n 方分之一。约，哎，你看有没有选项有 d 啊，所以说这个定义就很好啊，这个考的就。哎，用马轮换对称性，这考的就非常棒。嗯，好，这个也讲过了，第八题讲过了啊，这个就是用相互和现金表示。嗯， 好。然后这个第十题也没啥说的啊，都不难。嗯，就这个选择题有点难度，其他的相对都还好。好，这是数二的啊，数三的也有一个有难难度的啊，咱们说一下数三的，对，嗯， 数三的也有一个有点难度的。嗯， 好，数三的选择题，这前面这都没啥难度啊。哎，第三题有点难度啊。啊，这个没有啊，第四题，第四题。嗯，第四题是个新题型啊，之前从来没说过啊，从来没出过，咱们就说一下啊， 好，来看一看啊。设 t 时刻，某证券的交易单价是 p t 是 t 时刻是 t 时刻就是某一时刻。哎，交易单价是 p t， 某机构持有的份额是 q t， 若干机构在持有的啊，持有的份额 若干机构在 t 属于零到 t， 持续购入一定份额的证券，则证券的平均购入价格。那就是啊，函数的平均值，对不对？好， 那么来看这 a、 b、 c、 d 四个选项，那就是先求出来什么？先求出来他的，因为他的购入有份额，那份额，那从零到 t 他 是不一样的，那肯定是。哎，首先把 a 和 c 干掉， 对不对？那么你除以的平均值的时候，除以什么？除以份额的平均值吧，因为平均购入价格，你肯定得除以份额的平均值，那 t 十克的减去零十克的，哎，这分， 但是并和 d 没什么问题啊。再数分子，分子，那你除以它的分格，这段时间的分格，那怎么办？那你找总的购置总的价格除以 分格啊，分格的变化，那就是它的平均值，这是没问题的。好，那第一个，那么某时刻的交易价格对不对？交易价格，这个是 时刻决定了任何一个啊，任何一个时刻加加一个都有。再乘以什么？再乘以很短时间的分格，那什么 就是 d q t， 因为 q t 是 某一时刻的，那很短呢，就是微元，对不对？哎，好， 那就等于零到 t q t 乘以 p t 啊， q t 一 撇乘以 p t t t。 嗯，这你也可以看成 q t， 看成增量。哎，增量啊，某一时刻价格 a 乘以它的增量加起来，那就是 从零十克到 t 十克这一段所有购入的价格再除以总价，再除以什么？再除以他的风格的均值就可以了啊。啊，所以这选地啊，这个是比较明显的， 其他的难度相对来说都不大啊，都不大。嗯，好，这是这个初一说过了啊。哎，所以说这是这一年啊，也就没几个啊， 难度，这个包括这个啊，直接处理一下就行了啊，这是个常数，算出来。嗯，这个呢，就可以看到二减 x 分 之一，求导对不对？那直接它就等于多少？把二分之一提出来，那就是 二分之 x 的 n 次方 n 从一到无穷，我们直接出来了啊，好，这都是相对比较简单的题目啊。

数学啊，他的风格出现了一定的调整，也就说突破了以前所说的旧年份，就是没有旧年份，从此打破了， 也就是从二零二二年到二零二六年，你发现这几年难度基本持平，你说难数学难度大吗？不大，今年难度也不大，但是不代表一定做的对。那什么意思呢？说明这题他有一定的技巧性，很强哎，很强的技巧性， 那么还有一定的综合性，但是题难度确实不大啊。确实不大，有很多基础性的题目，你看第一题上去，这数一的上去，都是基础性的题目啊，这是很基础的题目，那么你看两种方法对不对？ 你可以分别对 x、 y 求偏导对不对？求出来往里带就行了， 分别对 x、 y 求偏导是可以的，这是第一种。那么 还可以两边直接对整个式子进行全微分也是可以的。直接全微分就可以了。全微分直接处理对不对？哎，也是可以的。好， 咱们来看看数二的，还有数三的啊， 咱们来简单看看他们的难度啊， 目的是干什么？目的就是看看他的难度。好，这是数一的啊， 好，这是数三的，你看减去线，这多简单，同样求偏导数，对不对？哎，数三这个更简单啊。这，好， 那你看一下数二的第一题比结的问题对不对？它与它是等价物效，哎，那就是同结嘛，然后求 a、 b 为方程，看这题，第三题，你看看 啊，现在的引力，这都是常见的题目，这个题目应该很多数学特别熟悉 啊。这个之前都出过一题啊，真题都出过一题，这第四题，这又来非常相近啊，基本上把以前的真题照抄过来了啊， 还有这。哎。这题啊，这个可能稍微有点难度啊，但是画图可以解决，很简单，画图凑凑的。对哎，第一个 f x 在 负一到零内单减，哎，这段单增，一段单增，一段单减的极极小值。那胡扯， 看他没说连续啊，说连续就可以了，就差个连续。这一段单减，这一段单增，哪个是极小值啊？净胡扯 是不是。哎。 b， 那 么 f 零是极小值， f 零是极小值，那这段单增，这段单减，这段单增，对不对？不对。极小值是什么定义？极值定义什么？是领域内的最值？它只管领域，能管区间，管不了。 哎，领域内的对值可以，那是非常非常小。哎，它既然是极小值，那它左侧很小很小，多少零减的到零加的这个很小的领域内，它可以。左边是 单减，这没问题，那右边是单增，这是可以的。 那对不出来区间啊，区间那都多了，那是最值的问题。所以说一个是宏观概念，一个是微观概念啊。如果它是最值最小值，那没问题， 它是负一到一这个区间的最小值，那是可以的啊，那是可以的。哎， 那你这是技巧之之，只管领域管不到区间啊，没那么大能耐。嗯啊，来看第三个是 f x， 区间内是凹函数，那么则它在这个单增看这是什么， 那不就是 x， f x 还有谁？还有一 f 一 两点连线的斜率，对不对？ 对吧，两点它是什么函数？凹函数。那你画一下呗。它是凹函数啊，那么这是负一，这是正一。哎，怎么都行啊。哎，你说老师你画对称的，我不想让它对称。可以，没什么问题， 可以的。哎呀，对称不对称都无所谓啊。这是 负一啊，这是一。嗯， 这是负一这是一，所以这都无所谓。嗯， 好，那你看两点连线的斜率。那这个那，这是哪个点？这是这个点。哎，那你看，这是斜率。到这到这到这到这到这。这不单增吗？ 这一眼都看出来了，这没啥说的啊，所以这个是对的。嗯，这也是， 咱们画个图呗，画个这样的图，它是拐点的图。那你看看，这是负一，这是一。哎，那你看， 这不让它弯那么厉害啊。弯的厉害了，比较麻烦。 这个弯的厉害点。嗯，这个平滑点啊。 嗯，几乎没什么弯度。那就像这样对不对？两点连线，连连连连连单增。它一定是奥函数吗？不一定 对，可能是拐点，只不过是拐的比较平滑啊。是拐点啊，拐的比较平滑，没问题啊。哎，所以说一画图都出来了啊，很直接。 好，所以说呢，这是咱们最后专门讲啊。就是 啊，没录没录没录课放到 b 站上啊。哎，没有放到平台上啊，各种平台都没放。嗯，就这种什么呢？也就是说第一个你可以用各种方法复制法，你最后考研了嘛？ 哎，画图对不对？选择题嘛，填空题嘛，不需要过程无所谓的，你只要能做出来就行。 对啊，等等各种跑，然后放松啊，这不都用上了。好，这是数二的啊，也就这个题了啊，反函数，这都没啥呀。 对啊，这个二中积分，这个也不复杂啊。 好，这是数二的，咱们看一下就行了啊，咱们今天主要说数一的。嗯， 好，咱们来看一看数一的这道题第一桌，哎，那就两个方法，第一个两边分别 对 x、 y 求偏的，求规律带就行了啊。第二种，那全为分， 对不对？好，哎，对，这个式子全为分，那见谁对谁求道，见 x， 对 x 求，见 z， 对 z 求后面这个。 先对指数函数求指数函数求。这有个 y， d， y， 这有个 a， d， z 啊，把它一压向啊，这是，嗯， d x 减去 e， y 加 a， d y， 嗯，就等于 a 加上 a 倍的 e 的 y 加 a z 啊， a z， d， z， 那 就推出 d， z 等于什么？等于 a 加啊，那 a 提出来， a 乘一加 y 加 a， z 分 之 dx， 再减去 a 乘一加 y， a， z 分 之一的 y， a， z， d， y， 哎，你看看，这是个，前面是个一，这是什么？这是负的，这是谁？ 这就是 p n， z， p x， 这是谁啊？加个符号啊，符号得有带符号， 这是偏在偏外那一减就行了吗？哎，这是个正一减去负的加正的，那不刚好它约掉，等于二分之一啊，好，所以，哎，很直接的 啊。第二个，求密极数啊，那么也是两种方法，你看，这是 x 二次方，那你可以先求入，例如它 n 求的对不对？多少？那是 a， n 加一除以 a n， 那 就是四分之三加上负一的 n 加一，它 n 加一 除以，那就乘以。哎，可以直接乘就行了啊。但是还是先除上吧啊，三加负一的 n 次方，括号的 n 次方，那就等于厘米的 n 区了一番。嗯，这剩下剩下四分之一四分之一个提到外面， 对吧？嗯，然后这是，嗯，提到外面，这是三加负一的 n 加一次方，括号的 n 加一次 除以三加负一的 n 次方，括号的 n 次方。好，那么这个再去算，稍微麻烦一点啊。那你看，那 n 取要分情况讨论呢。 n 位基数的时候，那这一加是偶数，这是正一，这是四，对不对？这是 n 加一次方，这是四啊，那这呢？ 这是 n 位基数的时候，这是负一啊。二三减一，二啊，二的 n 次方，二，这是四分之一啊。 嗯，再提出个四是一，嗯，这还有个四的 n 次方，除以二的 n 次方，对不对啊？那剩下多少？剩下二来， n 为偶数， 偶数奇数，你看，这样不好算是吧。嗯，那这这种方法就不太好用啊。不太好用，那就不管它啊。那怎么办？那咱们用点常规的，那就是看它这个奇数， 它的 n 次方，嗯，再乘以 x 的 二次方，也是正的啊，都是正。首先这个是多少？你不管，是 n 区最大了啊， n 区偶数的时候，它是一一的 n 次方， n 区 计数的时候，它是小一，那所以就小于等于 x 的 二次方，是吧？嗯，正向计数嘛，这是个正向啊。看到正向计数， 那它什么时候收敛？那小于一的时候收敛，对不对？哎，那就推出 x， 它小于一，那这还有 n 次方开方，哎，看着正向极数就开 n 次方，对不对？嗯，那就退出来。 x 的 平方小于一，那就退出来。 x 属于负一到一，再去验证两个端点 x 等于一的时候，那你看，那么如果 n 去偶数都不行， n 去 n 等负一的时候也是啊。好，那就不要了，那就两个半点都不行，那也出来了啊。好，这是法二啊。 第三个，已知 f， x 在 它内有定义，一样的，刚才说过了，对不对？嗯， 第四个是 z 等于根号下四减 x 方减 y 方，这是什么？这是求的一半， 是吧？嗯， z 大 于等于零，求到一半。嗯，半球啊。 所以你看这题都常规题目都没有，很复杂啊， 哎，但除到相对来说，还是挺有水平的啊。还挺有水平的。 z 等于根号加 x 方加一方，那个是半球啊， 这个是个圆锥面，嗯， 是个圆锥面啊， 好，是个圆锥面，那么一看对谁积分。 x 方加 a 方加 z 方，那用什么？求坐标？这不是直接吗？ 两个曲面相交的有界 b 区，你看这不是都往求坐标的方向走。好，求坐标。那先投影，投影下来是什么？是个圆是不是？哎，一，投影多少？ 把这最大的投影下来，这个时候这是明显是四十五度。 x 等于，这是 y 等于 z， 嗯，对不对？这是 x 等于 z， 嗯，好，那么在这个球上 对不对？在这也在球上，那你往里带。好，那么投影下来把谁干掉？把 z 干掉，那就是球。投影下来啊，是个球，这个球上这个啊，这一部分投影下来 半截干。 z 等于零，那是 x 方加 y 方等于四啊，好，这是这个，那半径就是二，那 这个下面这个圆是一圈，那 seat， 先确定 seat， seat 是 零的二派，对不对？好，再确定它的肉，它的肉是这一节，那不求的半径吗？ 二，再确定它这个范围，从这开始，走远点，走走走走，走多少？四分之派，四十五度啊。好，所以第一个是零的二派，哎，一看都对。 dec 第二个零的二， 对不对？不对，第二个是谁？它都是先 r 中 find 后 set， 对 不对？先 r 中 find 后 set。 那， 所以 a b 都不对啊，顺序都不对， 那零到四分，那只有 c 了，哎，一看尾巴把 x 方，在求坐标的情况下， x 方加 a 方加 z 方等于 r 方，没错，嗯， 可不是 a b 啊， a b， 这都不对，哎，奇，坐标才是二重积分才是 x 方加 a 方的 r 方啊，那再加 z 方，那是这。求坐标啊， x 方加 a 方加 z 方才是 r 方，还有个尾巴是 r 方， sin phi， 嗯，这都没问题。嗯，好。 当位震经过若干子若干次两行互换得到的矩阵，称为置换矩阵。哎，这新概念，故意给你弄个新概念。这种题挺好。嗯， 你从来没见过的东西，但这种相对来说他不难，他告诉你这个东西，你照着这个东西去做就行了。理解哦。什么叫置换矩阵呢？就是经过若干次的两行互换，指两行互换啊。哎，这两行互换了啊，再找两行互换，换若干次 a 就是 有限词的两行互换得到的矩阵，叫置换矩阵。嗯，设 a 为 n 结置换矩阵 a a， 是 啊，两行互换过了啊， a 的 伴随为它的伴随， a 星为它的伴随，则 它是不是置换矩阵，它是不是置换矩阵？它的关系？首先你要看 a 的 逆，大家知道 a 的 逆和 a 什么关系呢？ 这一求，这边是单位矩阵，这边是 a 的 逆。好， a 是 什么？置换矩阵 对不对？ a 是 置换矩阵，就是什么意思？置换过的，哎，求 a 的 逆怎么办？你这再换回来都求出 a 的 逆了。你这原来这是 a， 这是 a， 要变成单位矩阵，这是谁？他本来是单位阵哎， a 是 单位阵， 置换过去的对不对？就是经过二维码字两行呼唤，那么你要求你呢？再返回来，你原来怎么换呢？你再换回来 对不对？这就求你的过程啊，你两行呼唤嘛，求你都是进行出动变换，出等行变换，对不对？哎，你要这样就是出等列变换， 这样都是触动行变换，所以这大家都说，你说是若干两行互换，你都想到逆啊，求逆矩阵不是这样一写，不就是触动行变换吗？对不对？两行互换再换回来，这不求出逆吗？那所以说 a 的 逆是单位矩阵经过若干次的两行互换，然后再换回来，又经过若干次了，再换回来， 就是相当于换了两道，但是不还是单位矩阵经过若干次吗？还是有限次，那所以 a 的 逆是置换矩阵，这没错啊。这不一定啊， c 和 d 都不一定，因为 a 乘 a 的 伴随等于 a 的 函数乘以 a 的 逆， 这里谁这里 a 的 函数不等零，这没问题，对不对？退出 a 的 伴随等于谁？ 那些 a 的 这行列式乘以 a 的 逆，对吧？但 a 的 函数等几，这不确定啊，这不确定。它经过若干次互换， a 的 函数可能等于一，可能等于负一都是有可能的。 哎，至于是等于正的负的，不知道啊，都有可能，你看经过几次，经过几次，那就是负的，经过偶次就是正的，那所以 c 和 d 都有可能啊。好， 哎，通过这个也能看出来， a 的 伴随不一定是置换矩阵，对吧？如果 a 的 行列是等一的时候，它刚好等 e， 那 可以，如果它等负一呢？ 那就不是互换了，还多了个负一，还要全部元素乘个负一，那就 不是置换的啊，就不是置换的，所以这个也能看出来啊。哎。 a 的 伴随也不一定是置换矩阵，他可以试，哎。在 a 的 衡量是等一的时候，他可以试，那不是还是 a 的 逆吗？那不是本质还是 a 的 逆，是置换矩阵吗？对不对？哎，这都好理解。嗯，第六个， 设 ab 为 n 结矩阵， b 为 n 为列向量， a 的 列向量均可由 b 的 列向量现形表示，则方程，你看看 一看是非。其次，这就不好整了，对不对？那么首先看条件啊，先把这个条件分解一下， a 的 列向量均可由 b 的 列向量表示。一种是， 哎，是不是？哎，又乘一个矩阵 c， 那 不是它列下来向量表示吗？但是好用吗？你发现这有解是什么意思啊？这是 a 的 质等于 它的质，这个有解，什么意思啊？ b 的 质等于 b 到伴随的质，对不对？这是非其次的啊，这也是 a t 等于 a t 对 的， bt 等于 bt 倍差，你用这个显然不好推，对吧？那以前的推其次用这个没问题。以前考过，那变成非其次呢？ 那你就不能掉入同样的陷阱了啊。那咱们来看，既然人家说了第一个，那么 a 的 列向量均可由它向量均可由它向量表示， 对不对？那它进而推出 a 的 值啊，小于等于 b 的 值，这没什么问题，对吧？嗯， 好， a 的 值， a 的 列向量都可以用 b 的 列向量表示啊。嗯，那就是什么意思？再进而推 a 的 列向量。向量，向量向量表示。好，那推出啊， a 的 列向量是不是包含在 b 的 列向量内啊？它不可能超过 b 的 列向量了，对不对？你也可以理解成包含啊，不想理解也没问题。来，咱们说选项啊， a 第一个选项说 ax 等被减，那它等它什么意思呢？ 那就推出被它可有 a 的 列向量， 要多加一列嘛。肯定列向量啊，因为 a 的 值等于它的值，说明什么？说明 a 这几个列向量把它干掉了，它的列向量可有 a 的 列向量？向量表示， b 也可以。那个 a 的 可有 b 的 向量表示啊？被的也可有，被的可有 a 的 向量表示，那么还有 a 的 可有 b 的 向量表示， 对不对？就是 a 的 全部的都可以用 b 的 形式表示， 被，它能有 a 的 形式表示，那它是什么？被，它可有 b 的 列向量形式，这没啥问题， 你 b 可以 表示 a， 对 不对？那可以用 b 去表示 a 之后再去 表示 be 吗？那不是 be 就 可以有 b 的 列了。弦形表示吗？它既然可有弦形表示，那就推出来 b 的 值就等于 b 被它的值，对不对？这是 a 选项哎，那推出来它有解，那对， 那看 b， a 的 转置，那就是横向量了，你加一列，那就不行了。那这个 a 的 转置的列向量就是就不是题目的列向量啊，它可能跟 b 的 列向量没关系， 它，那这个它就变成原来 a 的 行了，这是 b 的 行，可能没关系啊，可能没关系，推不出来，所以 b 和 d 没啥要求啊。 好，那只能退出 a， 那 c 也不对了，那就用线一表示就可以了呀， 对不对？好，这是这个第七个是二次型 f x 一 x 二 x 三等于 a 等于它，若方程，它等于负一，表示曲面为圆柱面。什么叫圆柱面？ 圆柱面不就是类似 x 方加 y 方等于 r 方这种吗？对不对？哎，好，那就是 z 可以 任意取，那这等于负一， 那所以 a 肯定是负的，要不然不可能变成圆柱面，但这负的这负一肯定得消掉，不消掉肯定不行，对吧？那所以 a 正的干掉，正的咋可能是圆珠面哎，所以这两个， 那么 a 等于负四，你这是负的负 x 一 的平方，对不对？好，那么这是这一个啊，简单，往里带哎， 这是等于负 x 一 的平方减 x 二的平方，减四倍的 x 三的平方。呃，再加上四倍的 x 一 乘以 x 二加 x 三，加上四倍的 x 二 x 三，简单，配方嘛，简单。 嗯，前面这个那个来啊，这是 x 一 x 二，好，负四倍的 x 一 的平方加上 四倍的 x 一 x 二加 x 三的平方，这是啊。啊，开放了之后二倍的 x 一， 嗯，二倍 x 一， 二倍。对，可以。那再加上再减去， 后面配着平方减去 x 二加 x 三的括号平方，那再加上 x 二加 x 三的括号平方， 再减去四倍的 x 二平方减去四倍的 x 三的平方，再加上后面的四倍的 x 二 x 三，是吧。嗯，前面都可以配成完全平方式了啊。提出来，二 x 一 减去 x 二加 x 三，它的平方。好，后面是约负三倍，负三倍，正六倍。耶，刚好。 x 二的平方加上 x 三的平方乘六倍减去二倍的 x 二 x 三。嗯，刚好就行了。两个都负的，没有三个啊。所以第一个不对，选 b 出来了，选择题嘛，做对就行。好， 第八个，设随机变量 x 除以 n 一 二正态分布， f t 等于它 f t 的 最大最小值与。呃，最小值点与最小值，看着复杂，好像是。好家伙，还有函数还有随机变量， 这是送分题。 f t 是 舍给你了写呗。 啊，等于什么？ x 方加二 x t 加上 t 方， t 是 什么？ t 是 常数，在这里面就等于一 x 方加上二 t e x 加上 t 方，嗯，对吧，人家只是 x 属于随机变量， t 肯定是常数呀。啊， 平方的期望等于方差，加上期望的平方，嗯，加上二 t e x 来代啊。哎，二 t e x 啊， e x 下上啊，加 t 方，嗯，就等于 d x 平方， e x 一 平方是一的平方啊，加上二， 一啊，一 x 之一，二 t 加 t 方，那就等于 t 方加二， t 加三，对吧。这最值简单吧， 画个图等于什么？ t 加一的括号平方再加二，这个大于等于零，所以它大于等于二，最小值是几？在负一处取得，是几是二，对不对出来了，连求导啥都不用， 平方一下就行了。哎，这不就送出来题吗。第九个，设连续性随机变量 x 的 分布函数。 x 设随机变，连续性随变量 x 的 分布函数给你了啊，随机变量 y 的 分布函数耶， 看清楚 f f 什么意思？ 呵呵，前面的 x 那 个分函数是什么？一样对应法则一样，对不对？哎，对应法则是一样的啊， 好， x 除以期望方差， y 的 期望和方差，对吧？好，那所以这是谁的大 f 谁的 x 的？ 那不就相当于这个位置是 x 吗？ a y 加 b 不 就是 x 的 位置吗，对不对？哎，这样写啊，不能写。等于啊，这不就是 x 的 位置。 好，那，所以啊，那就来了， e a y 加 b 就 等于什么 e x 啊，同一个分布函数，同一个位置， 对应法则还一样，那七万黄叉不都来了， 好，两个式子呃， a 一 倍的 y， 哎，加 b 等于 e x， 嗯， a 方 d y， 哎，这是常数，零等于 d x， 好， 继续往下写，那么 y 的 期望等于零没了，所以 e x 是 缪， 这是 a 方， d y 是 一，等于 d， x 是 sigma 方，嗯，好，那所以就退出来。 b 等于缪， a 等于 sigma， 嗯，因为题目给的只有正的啊， b 没有什么 其啊 a 才可以等于正负。 sigma 没说 a 一定是正的，对吧？嗯， 但是你说了啊，方差期望是零啊，无所谓。那确实不一定正，不一定正负啊，但是你给他也只有一个正的啊。 大家，第十题设随机变量 x 的 概率分布是这个，则对于任意的正整数 m 有 好，这是关键。任意的正整数 m， 这是这道题关键啊。 m 是 随意的， 它是变化的啊。左边都是这。那来看一眼， p x 大 于 m n 啊，在它的条件概率 x 大 于 m 的 条件概率，那就等于同时发生 同大取大的，没问题。除以 p x 大 于 m， 算一个算一个。谁 x 大 于 m， 那 另外一个就套进去了，对吧？ 那就是一减去。 p x 小 于等于 m， 嗯，就等于一减去，嗯，从一到 m， 对 吧？ 嗯，那是 p x 等 k， 那 是二 k 加一分之一加上三 k 分 之一等比数列好简单。嗯，那是提出个二分之一，嗯， 那就变成二 k 二的 k 四方分之一，那就是一减公比二分之一 a 一 乘以一减公比的 m 四方， 嗯，这是第一个减去后面这个啊。嗯，一减公比分之 a 一 乘以 e 减公比的 m 次方之一。好，哎，消掉 e 减去二分之一，加上二分之一乘以二 m 分 之一次方。啊，这是三分之一，这是三分之二。那下面还有个二分之一在 减去二分之一乘以，再加上二分之一乘以三的 m 次方分之一，嗯，这没了。嗯， 就是二的 m 加一次方分之一，减去二分之一，再加上三的 m 分 之一次方。好，这是要结果就行了啊， 上面那个一样的都可以带，它与后面的比较是等于还是大于与谁比较好？那来看啊，带进来 大于它，那就是二的 m 加 n 加一分之一，加上二分之一 除以。嗯，这是二的 m 加一分之一加上二分之一三的 m 分 之一。哎，它有一部分可以约掉，你发现没有， 二的 m 加一次对三的 m 次方，哎，可约掉。好，咱把这公式拿出来，二的 m 加一分之一，再乘以二的 n 次方分之一。 嗯，再加上二分之一三的 m 次方分之一再乘以二的。也有公式二的 n 次方分之一。哎，都是二的 n 次方， 可以把 m 消掉，也就跟 m 没差，它放松不放松跟 m 没太大关系了。那就等于。嗯，二的二的 n 次方分之一啊， 对吧，那你只能跟谁比？等于也好，大于也好，只能跟 n 比，因为 m 没有了， m 干掉了， 对不对？好，那你看二的 n 次方，跟它看一看它是几啊？ p x 大 于 n。 嗯，刚才咱算的啊，那就是 x 大 于 n 就 等于。呃， m， 这是二的 n 加一分之一，加上二分之一三的 n 分 之一，是吧？嗯， 大于 m 等于这，大于 m 等于这啊，嗯，耶啊，这下面是 m 啊，把这 m 干掉， m 在 这碍事。 这是提出个二分之一，这是二的 n 次方分之一，这加的三的 n 次方分之一，它俩耶，不等 不等。这一个三的 n 次方。肯定要，肯定要分母大它小啊，所以它大于 p 乘以 x 加的。哎， 对，哎，所以就选 d。 好， 这是这一个，大家看填空题，填空题也是送分题啊。 好，设向量 v 一 v 二 g f x y 等于它俩的差乘。差乘是什么？差乘就等于 i j k 零 x z y 零一对不对，计算出来 d i v f， 那 不是这什么，这是 f 分 别对 x 求偏导，加上 f 对 y 求偏导，加上 f 对 z 求偏导，是这玩意吧？嗯，对。哎，这是散度啊，散度 啊，散度，弦度七度，这公式一定要记住啊，考公式你都废了。所以这公式一定要记 好。乘一下主对角线，这是 x 乘二，然后它乘它呢，就加上 y z 乘以 g， k， 零，再减去。嗯， x y k， 这是啊，零，嗯，零，嗯，都有零啊，那所以它就等于 x， y， z 负 x y， 这是它的三个坐标，嗯，三个坐标，那分别对 x， 这三个位置分别对 x， y 和 z 求偏导，那就等于第一个位置对 x 求一啊。 div 啊， 嗯，相当于 p q， r， 就 这意思啊，第一个位置对 x 求偏导，第二个位置对外求偏导，第三个位置对 z， 没有 e 加 z 啊， 极限。这个简单咱们就直接写了啊，省事。这就等于你看这题，这不是送分题是干什么的 啊？你可以等价，你也可以用拉格朗日，用拉格朗日快一些。一看分母是平方，那所以 c x 就 等于 x， 还减不？不减了，减三的阶层， x 立方高了，没有必要 减去后面 round 加 x， 那 第一个位置是 x， 它 x 再减，那前面是括号加二分之 x 的 平方加上平方的高净角，一消，等于二分之一啊，出来了啊，很简单， 这个是函数， y 等 y， x 有 参数方程，它确定，则那让你求二阶的在 t 等于四分之。二。代公式专门说过这公式等于什么。 哎，等于负 y 一 撇的立方分之 x， t 一撇， y t 两撇啊，我给你带就行了啊。这我也不说了啊，比较简单啊，带一下就行了。 x y 都对， x 啊和 y 都对，求道，特别简单，没啥说的。哎，这个稍微说一下啊， 一看，这个是一到中无穷，看有没有瑕疵。没有，第一步先看有无瑕疵啊，必须确定无瑕疵才行啊。一看，没有，这是负一，上面是去无穷，是负一，下面是零，所以一到中无穷，没有没有瑕疵就直接解。 那么把这个放后面，是负 x 分 之一，嗯，那就是负 x 分 之一。洛安 x 加一，在一到中求减就变成加，嗯，一到中求，那是 x 分 之一乘以对洛安一加 x 求导，那就是 x 加一分之一，嗯， tx 正无穷的时候，那谁密函数原大对数函数零一的时候，那这是负的零减去，嗯，一漏二，漏二，正漏二啊，前面漏二，这个带进去，嗯，这是 直接变成减吧，对不对？放到后面都是相减，嗯，直接变成它俩相乘就可以变成相减了啊。 相减放到后面直接是 loo， 相减都是正的啊，等于消除 x 除以 x 加一，一到正无穷，对不对？ 好， loo 二加上正无穷的时候是一， loo 一 是零，那就是零，嗯，减去，嗯，一带进去 loo 二分之一，嗯，那是负二，负负的正等于二倍的 loo 二，那也算了啊。 好，设矩阵 a 是 一零零二， a 二零二 a， b 是 a 负一负一负一二一负一负一 a m 大 x 设矩阵 x 的 时，特征值的最大值，那你算一下呗。 来，我们的 e 减 a 来快速的算一算。那你看它的，并且还得若它的大于它 m b 就是 b 的 最大特征值，大于 a 的 最大特征值，你找到最大特征值呗，对不对？找到最大特征处理一下。 lamb 的 减一，零零负二 lamb 的 减 a， 负二，零负二， lamb 的 减 a， 按照第一行展开， lamb 的 减一乘以负一的一加一次方，后面是 lamb 的 减 a 的 平方减去二，得四，四啊，那退出特等值， 一个是 lamb 的 等于一啊， lamb 的 一，嗯， lamb 的 减 a 的 括号平方等于四，那就是 lamb 的 减 a 等于正负二， 嗯， lamb 的 等于 a 加减二，是吧？好看，哪个最大啊？哎， 好，先撂这，不知道哪个最大啊。看 b 的 lamb 的 e 减去 b 的 行列式，那就等于 lamb 的 减 a， 一， 一，哎，一 lamb 的 减二，负一，一 lamb 的 减 a。 好， 再打处理。嗯，你可以用我看啊。哎， let me 减 a， 哎， 加一下吧，第三列加第一列。 let me 减 a 加一，零 lemon 减 a 加一，可以提出来啊，一 lemon 减二，一一负一， lemon 减 a， 好， 那就等于，嗯， lemon 减 a 加一， 这是第一行就变成一零，第一列就变这啊， lemon 减二，负一， lemon 减 a。 好， 那你接着就可以处理了。可以提一列第一行的负一，不加第三行啊。 好，那就是一一零 lamb 的 减二，负一，零零，对 lamb 的 减 a 再减一。耶，那就耶处理。减 a 加一，哎， lamb 的 减二， lamb 的 减 a 减一，嗯，那就推出来。哎，一个 lamb 的 一等于二啊。 嗯， lamb 的 另外一个等于 a 减一，一个 lamb 的 等于 lamb 三等于 a 加一，嗯，那你看谁大了，对不对？好，那如果嗯，它的二最大， 它的二最大，那二最大的话，那 a 加一得小于二， a 是 小于一的。 好， a 小 于，看清没有啊？二最大，嗯， a 的 得小， a 的是三个，嗯， a 小 于一，嗯，这是一， a 小 于一，那么它加个二有可能比一大，对不对？那么 a 小 于一，加二有可能比它大，那不行，对吧？那说明 a 加一得大于二，对吧？ a 加一的大于二， a 的 a 的 大于一，它是最大的啊， a 加一是最大的，嗯， 那它最大的小于二啊，它最大的是， 嗯，最大的是一个是一，一个是 a 减一，这个很小啊。 a 的 大于一的情况下啊。看啊，那么 a 减二，它得小于一，对吧？ 嗯，那不行，那这个也不行，对不对？那说明这不能是大的啊。那二是最大的，也不行， a 加一最大的也不行，那 a 减一最大， a 减一大于 a 加一，还得大于二，是不是？ 嗯， a 减一大于二的话，是 a 是 大于三，内。哦，他是 a， 那 他不可能变大。那不行， 那只能是看啊。哎，这个小题还有意思啊，那只能是 a， 只能是 a 加一大于二，不行啊，刚才咱们试过了啊，那只能 a 加一小于二， 那二是最大的， a 小 于一，来再给他的，求教几他俩同时满足啊。 a 小 于一啊，他最大的是二啊，他最大的比二小，嗯，他的是一 比二小， a 减一，那么 a 小 于一， a 小 于 a 减二，肯定是个小于一的，没问题。那么如果 a 加二，就怕 a 加二比二大，对吧？那让 a 加二 对小于一，是不是 a 加二小于一，那就是 a 小 于负一，这 a 小 于零，哎，同时呢， a 加二，那是 a 是 负的，那 a 减二呢？啊，那它更小，这没啥问题。 好，所以这是最终啊。这 a 小 于，这是 a 小 于负一，是不是 a 加二对， 是不是 a 加二，那么减 a 等于正负二。对。哦，真的，那这个是 a 小 于负一啊，最终小于负一。嗯，好，小于负一。好，这就是 这几道题啊，好。

好，作为这个数学二最难的一道题，最后一道题他说求微分方程，这个满足这个条件的解，那么你这个微分上拿到以后，我们这个地方呢，是判别类型，选择方法。但我们数学二同学他什么类型？你看出现 x， 出现 y， 出现了 y 一 撇，但是没有出现 y 啊，叫做不显含 y 的 可将解方程啊， 这就是个可将解方程，那么所以 y 一 撇就等于 p， 那 y 两撇就等于谁 p 一 撇， 然后你这个时候呢，你把它一带进去，然后这个时候再往下解就可以了。那你注意这解方程，这不是难题啊，所以这个数学二十卷子里面没有正例题，都是计算题， 那并且这个计算题也没有什么特殊的技巧，那这个时候呢，就是通过这个把它化成一阶，然后呢再来解那样一个一阶方程就可以了 啊。所以这个数二的介子，为什么同学说数二介子简单，因为里边没难题，再一个没有我们比较怕的证明题，那这个时候，所以到我们同学来讲，应该说是这个比较容易做的。

同学们大家好，欢迎大家走进金城课堂，我是金城考研侯老师，今天又和大家一起来分享关于二零二六最新的考研真题的考后的解析。 那么今天内容我主要是分三块，第一块就是今天我们考的最新的我们的考研数学真题的一个解读，已经整体的难度以及我们的一个考试情况。那么第二块就针对数学三，我们做一个部分题目的一个真题解析。 第三就根据我们最新的专题，我们二零二七以及二零二八我们的考研学生怎么去备考我们的考研数学，我们做一个整体规划， 接下来我们先看一下我们的我们的一个整体情况，那么这边我是接选了我们的升数学三的专题，我接选了一部分， 比如说我们第一个题考的是间期线，这个题是非常常规的，而且这个题在我们基层考研的暑期我们的测试上已经考过了，就是问有没有水平，有没有铅直，就这是一个常规考题。那么我们整个数三试卷，其实我们选择的第 十题，这个题考的是什么？一个无记性，是不是有无记性就考你的是这个答案是选的是 d， 那么这个题其实如果直观去正这个不等式，还是有一定难度的。但如果大家可以赋值法，对于他说对于任意的 m 和 n， 如果同学们可以赋，比如 m 和 n 分 别都等于一，我们可以快速求出答案，所以这个题大家要注意一下，我们可以快速的去赋值， 这是关于我们的选择。那么填空其实整个数三相对考的还是比较基础的，那么第一道其实我们前面真题已经考过了，就是让你去算 我们的积分，那么你只需要对这个 x x 减一把，它配方就可以了，就这个可以配方其实就是 x 减二分之一的方，然后 x 方减 x， 然后再减去四分之一， 然后你再乘上 x 减二分之一，它让你去算这种积分零到一上，很明显你只需要把它看作 t， 这就是负一到正一上，这是一个 g 函数，这是二次方，这是一次方，所以积分是零，那么这个极限是一个非常常规的通分就可以了。那么对于这个连散性，其实这道题问一下， p 的 取值范围就在这个开区间内， 在零到二这个开区间内，那么这个题其实我们在金城考研暑期讲义上讲过，和它基本上是完全一样的题目， 就是考你是霞积分还是无穷积分，然后霞点是零，又是无穷积分，所以你要拆成零到一，一到正无穷去算，那么为方程的特解，那这一块我没有给出题目啊，因为是刚考完，所以我还在整理中，那么这个解答案是对的哈。 那么对于二次型的题目啊，让你算下 a 加 b， 你 只要抓住二次型的质是一就可以了，那么概率题目也是相对比较常规的， 所以我们填空题其实相对是比较常规的。其实整个我们今年的二零二六的考研数学，那么数学三的难度是一定会比二零二五简单，因为整个二零二六我们的解答题其实是没有证明的， 就是说我们还是以计算为主，相比二零二五是偏简单的，但是我们还是考察是以什么基本功，比如大题考的什么密级数展开，还有偏导数、求导数以及导函数是不是连续，包括极值、重积分，都是非常常规的题目， 所以就是整个我们今年的一个考试情况，就数学三，我只说数学三，那么数学三其实难度是比二零二五是要简单的，但是大家注意一下，简单并不代表你可以拿高分，就是说我们很多题目计算，大家注意下，尤其是刚刚说的，你像我们的这个 第十题，包括我们的第四个填空，考的是一个一个经济经济学应用买正就是买那个，那个就是经济学应用，问一下这个平均购买的花的平均消费 就是买的正这个，这个经济学应用里面那个题目，其实那个题还是有一点点小小小的难度的，这就考的是一个平均值问题， 那么填空其实相对来说比较常规，那么解答题，呃，还是一计算，比方说这个二十题计算，大家注意下，虽然给了区域是对称性，但可以有轮换对称性，但是这个轮换对称性我们一般不会用，你直接用什么，直接用我们的 x 型区域去算会比较快一点， 所以这是我们整个的一个考试情况。那么针对我们最新的二零二六的考研数三专题，我们可以看一下，简单的回顾我们的压体情况，比如说我刚刚讲到这个极数展开，你看我们考的是二阶 x 方，这是个常数，这个算出来是四分之一， 这个二减 x 方展开密级数，其实你看看我们的领读的直播，讲的是它基础的课程，讲的是它展开密级数，完全是一样的，后边的积分是个常数，是四分之一，其实不影响你的答案。 那么包括我们刚刚这个间期线 x e 的 x 分 之一，针对 x e 的 x 分 之一，我们特意考了这个 x e 的 x 分 之一， x 一 的 x 分 之一，所以前面只多了一点点函数，所以这是类似，这是我们的题目非常非常相似的，这就是我们整个二零幺六我们的押题，那么包括我们的刚刚讲到这道题，问一下 h f 一 撇 x， 问 f 一 撇是不是连续给了一个变现积分，大家可以看到我们也搞给我们，在我们的进程的测试里面， 我们可以也给出一个变相积分，让你求导数，证明导数连续，大家可以看一下，完全是一样的， 就是说我们也是给你变相积分，我也是问你导数，证明导函数连续，这都是非常非常相似的题目，所以你不能说啊，完全一模一样。那么何老师一定就是说不能保证跟你完全一模一样，但是我能保证你考点我们的题目相似度是绝对高度相似的。 比方说刚刚讲的这道，那么阿克泰特的 x x p 四方，那我们也讲过我们自己，我们的首席讲义上也是阿克泰特的 x 方 lo lo 等加成 x 方，所以完全相相类似的就基本上都是一模一样了。问 off 的 范围，我们整体考的是 p 的 取值范围，这都是我们的一个整体的情况， 那么以及我们的概率的最后一个题考的是什么？考的是最小值的指数分布，最小值的可加性， 所以我们和我们这个题完全是一样，这个应该是完全一样，然后还要求什么？求期望，所以我们今天也是考，你求期望，求方差，求最大。私人估计 是完全一样的吧，考的确实就是个结论。所以今天中午考完之后，有同学说，那何老师我数学一百五稳了，他说，老师你先不要回我消息，下午考完之后我们我只你再回我，我绝对稳了。 所以我不知道。同学们，呃，这个同学当然是考复旦的，学习也是非常不错的，所以他为什么敢说这句话？就因为我们在精神课堂上都讲过类似的题目， 至少我一眼拿到这个题目我一看非常非常熟悉，包括我们数三的盖，数三的现代。我们今今天考的是什么？求吉他关足，证明 r 发一 r 吉他关足，并考你音式分解矩阵。 a 等于记成 h， 那 么这个是我们 在二零二六金城暑期和春季班响应上原题。但是我们今年的最新真题还就只多一问，算 a 的 十四方， 那么只要用什么 a 等于哎 g h， 那 a 方呢？就 g h g h， 然后你把它算出来，这个式子其实是一负一零一，然后规范法，那么 a 的 三次方呢？就是 g h， 然后就是这个数字哈，就是 j 乘它 h， 相当于里面，相当于这个就变成了 j 一 负一零一， 然后 h j h， 然后这个你先乘这里得到什么？得到一个 a 的 三 等于 j 一 负二零一 h， 那 么以此类推， a 的 十， 那么正好就是这一负九零一 h， 把算出来就行了。这一本题算 a 的 十四方，不允许用对角化，因为这个矩阵是不能对角化的，大家可以去算一下，它是不可以对角化的， 所以这就是我们今天的数三真题，这是我们在暑期和春季给的奖励上的题目，它只多了一问 a 的 十四方。 那么这是我们整个的一个考试的情况，就是我只做了部分题目，大家看到我只做部分题目，我没有做完整，所以今天我也只是拿我们的数学三我们做一个专题分析，那么通过二零二六的专题可以发现我们的特点还是重三斤， 所以基础题占的比例很大，而且今年没有出现证明题，所以都是考大家计算能力，所以大家计算能力要突出， 就是在有限时间内你要拿高分。所以对于二零二七考研的同学来说，同学们，从现在开始你还是要第一抓三基。何为三基？就是基本概念， 第一叫基本概念，第二叫基本理论，第三叫基本方法， 就是概念理论和方法，然后再加上它的应用。所以通过今年的数三专题，那么大家还是要关注和经济学相关联的一些应用。 我们今年的选择题第四题就考到，就是说啊，一个公司啊，他的一个证券价格是多少，证券价格是多少少，然后买的就是买了多少股，买了买了多少份额，让你算平均的消费是多少， 这是我们今年的哈，就是和证券买证券给股票类似的，就是每股多少钱，然后买了多少股，让你算下平均价格。大家还是要会经济学应用，有数三同学可能大部分都是商科，但是有些同学可能也没学过金融，大家还是要注意一下， 所以对于二零二七，二零二八的同学，大家还是要注意，思想不变，就是三基和计算为主， 那么证明题大家还是要关注泰勒公式相关的证明，虽然说二零二六没有考证明，我们二零二五，二零二四，二零二三都考了证明题 大家一定要清楚。所以针对我们今年的考研数学，如果同学发挥的比较好的话，可以赶快准备好你的复试，把复试准备起来，千万不要等，如果等成绩一出来，你再准备复试，那是有点晚的，所以现在如果你你自我评分评分的比较好，那么你就准备我们的复试课， 如果你觉得啊你的分数还是有冲一冲的可能性的，那你还是要动起来。那么对于二零二七，二零二八同学，我们以三基和计算为主，按照我们的学习计划正常的推进我们的学习， 这是我们整个今年的一个整体情况，虽然说今年整体难度不大，那么明年的话，难度我们其实这几年还是比较平稳的，只是说今年少了证明题， 那么以计算为主，所以难度比二零二五是相对来说是低减的，但是说也没有想象那么简单，大家还是要按部就班的去准备我们的学习， 那么我今天主要是讲数三，那么数一数二同学们还可以更多的关注我们金城考研数学课堂， 我们在后续的直播，包括我们的营销里面，大家可以关注我们对我们对数学一二三完整的专题解读，那么同学们可以扫一下我们精神考研的公众号， 那么可以关注一下我们对二零二六整个专题的进解读情况，包括我们后续的专业课，像我们的金融，四零八法术等等， 大家可以关注，我们都会在这两天会做一些我们的直播，以及大家索取我们完整版答案，都可以扫码加我们这个群，关注我们晋城考研的公众号，这是整个的二零二六的数学的情况，那么请同学们及时关注我们晋城考研，谢谢大家。

呃，下面给录制，给大家录制一道就是二零二六年啊，这个考全国硕士研究生招生统一考试数学一啊，数学一是数学，数学一二三里面最难的啊。 呃，一道这个大体啊，格林公式啊，格林公式，高等数学课本里有 下册格林公式的应用啊。好，就昨天啊，就昨天，昨天考了。此时此刻，我不想吟诗一首， 我想到了这个披头士乐队啊，英国的六十年代吧。六七十年代。 the beatles 英文发音啊，有一首歌曲啊，叫 yesterday， 就是 昨天啊， 感兴趣的可以听听啊，那首歌比较好听啊，是那个约翰列农和保罗麦卡特尼唱的啊， 一共四个人，四四团队。呃，乐队四个人。呃，是由列农和那个保罗麦卡特尼唱的。好，言归正传， let's begin 这道题啊，读题 有向曲线 l 为椭圆，高中的沿逆时针。注意这个啊，方向从点 a 到点 b 的 部分计算。这，这一串啊， 好，咱们看啊，我先给大家复习一下，格林公式，就是这个啊，高等数学课本里有。这是个，这是个 b 曲线啊， b 曲线 l， p， d， x 加 q， d， y 就 等于 变成二乘积分，这个是 d， 这 d， 这个 d 是 这个。呃，那个面积啊，面积，然后就变成了偏 q， 这就是偏 q 啊，偏微分，偏 q 比偏 x 减，偏 p， b 偏 y dxdy， 这就课本上了啊，这个格林公式，注意这啊，这个地方必须是封闭的啊，封闭的图形必须是封闭了。这道题就不是封闭了。我给大家画个图啊，这个地方需要用到高中了啊，这个是 x 方 加三，外方等于一啊，我们先给它化简一下。高，这，这不是标准的椭圆啊，这是高中了啊，高中人，高中数学人教版，必选择性必修，必修二啊，里面有圆锥曲线部分，这是椭圆啊，我们化简成 x 方加三分之一 分至 y 方等于一，很明显，焦点在 x 桌上。为啥在焦点在 x 桌？为啥在 x 桌？大家可以翻翻课本啊，焦点在 x 桌。画图啊，画个图 注意啊，数学前后都是连的了啊，初中高中还有大学还有什么研究生考试，这个这个这个这个前后都他都是连的了啊。好，我现在可以和大家画个椭圆啊，焦点在 x 处， a 方就是一， b 方就是三分之一，现在这是沿逆时针方向。我给大家画一个啊， v 是 负二分之一，二分之一第一项线， 呃，他说是从点 a 到点 b 的 部分啊，点 a 到点 b， 而且是逆时针啊，逆时针只能是这样的了啊，这样的，这样的，就是这一段啊，我给大家画一下，就红色的这一段， 很明显，这不是个封闭的，我们需要添加啊，添加使得构成封闭的，就添加这个 b 到 a 啊， b 到 v 就 把 ab 它连起来啊，添加 b 到 v， 这样子，这样连起来，这样，这一块就构成了封闭的区域啊， 就是课高等数学课本里的 d， 而且这个 d 这块区域是在这个封闭曲线的，永远在封闭曲线的左侧啊，所以这叫正方向，正方向啊，好，既然是正方向啊，我们都不用管它了。 好，下面解析。那 i 就 添加了，是 b a 啊，那么而，而且啊， b 的 坐标是二分之一，二分之一，再用一下，高中的这个是负二分之一，负二分之一， 它的斜率，只要直线的斜率啊， k v b 等于 y 二减 y， 一 比上 x， 二减 x 一， 那就是二分之一，减负二分之一。 y 二减 y， 一 比上 x， 二减 x 就 二分之一，还是二分之一，减负二分之一， 这就是一比一就是一啊，斜率是一，呃，那个用一下那个直线方程，那就是 y 减二分之一 等于 k 倍的 x 减 x 零就是一乘 x 减二分之一。很明显过原点啊，做二分之一消了，二分之一消了啊，那就是 y 等于 x 啊，相当于这条直线啊，就是 y 等于 x， b 到 v 直线 y 等于 x。 写到这， 好，下面啊，咱开始计算这个 i 等于，这个需要添加这个 b 到 v 啊，那就是， 呃，这个是 b 曲线 l 加这个，这个 b 到 a， 这个 y 到 x 啊 y y 等于 x， 我 们给它设成 l 一 啊，这个 l 一， 那就加 l 一 啊，加 l 吧，别加 l 一 了。 加个 l 就 去把和和大 l 区分开啊，加个 l 就 加 l， 那 么这个就变成了是 pdx qdy， 我 直接用 pdx 了，加 qdy 好，再减去这个 l 啊，就就就这个 b 到 a 的 部分 p d x q d y q d y 好， 这个 p 啊，就是 e 的 x 次方，要 e 的 x 方的次方 sin x 减二 x y 这个 q 就是 六 x 减 x 方减 y 倍的 cosine 四次方 y 好， 下面啊，这个地方啊，这儿 here， 我 们用下格林公式啊，因为这是封闭的啊，那么我们用 i 一 吧， i 一 就等于。 这个是，呃，这个啊，哎，我问了个啥东西，这个啊，这个 l 加小 l pd x 加 q dy， 那 么就变成了这个，呃呃，二乘积分啊，那这个就是偏 q 比偏 x 减去偏 p 比偏 y， 这个 d x dy 等于。好，下面啊，呃，换个颜色，我在这给大家写一下啊，这撇 q 比撇 x， 就是 这个 q， 是 q， 是 这个。对 x 啊，求偏微分。 撇 q 比撇 x， 那 么 y 啊，就看成长数了。 x 六 x， 就 像求导啊，对 x 求导。大白话啊，对 x 求导 y 看成长数。六 x 的 导数就是六 x 方的导数减二 x 啊，后面常数的导数就是零啊，不写它了。然后是撇 p 比撇 y 对，好，下面，这这这，这个这个啊，屁，然后对偏屁 x， 偏屁屁偏 y 啊，偏屁屁偏 y， 对 外求导，那么 x 就是 常数，那前面都这都是 x， 那 么这就零了。对外求导，那就是负二 x。 好， 下面咱写一下， 那么撇 q 比撇 x 减，撇 p 比撇 y 口算二 x 消了，就是六啊，那就是六倍的 这个 d x d y， 这个啊，好，咱们来看，咱们来看啊，那么这块积分区，这块区域啊，这块图形区域很明显啊，是椭圆的一半啊，椭圆面积的一半，呃，高等数学课本里有椭圆的面积公式啊。 s 椭 就等于派 a b 啊，派 a b， 这个 a b 就是 这里面。呃， a 是 一，呃， a 方是一， b 方是三分之一，那么现在是一半，那就 s 吧，我用 s 啊，那就二分之一。派 a b 等于二分之一，派 a 就 a 方， a 方是三分之一开根号就是三分之根号三啊， 三分之根号三。好，下面带入，那就是六倍的乘以二分之一乘派乘三分之根号三，这个啊，这一约分呢，就是根号三派啊，呃，三，呃，那是根号三，派， 这这，这是 i 一 啊，然后再算 i 二 i 二，就等于就这个啊，这个是 l p d x q d y p d x q d y 这个 l 就是 这个 b 到 v 这条线段啊， b 到 a 这条线段。好，下面就变成定积分了啊，那就是二分之一到负二分之一啊，积分上下线就是从下线是二分之一，因为这方向是 b 到 v 啊，到负二分之一， 好把这个 p 和 q 带进去啊，而且啊，注意这啊，因为这个是 y， 等于 x 啊，我们需要把 y 换成 x， 那 就是 p 里面，把 p 里面这个 y 换成 x 啊，那就 ex 方 sin x 减二 x， y 就是 二 x 乘 x 就是 二 x 方啊，这个是 dx dx 加上 q d y 这个 q 啊，把 y 换成 x 啊，那就是六 x 减 x 方，减换成 x， 那 就是 x cosine 四次方 x。 注意这啊，这个 dy 就 换成 dy x 了， dy x 好， 下面，呃，合到一块，那就是二分之一到负二分之一积分，然后合到一块，就是 e x 方的次方 sin x， 呃，减三 x 方，合并同类项啊，初初初中的，再加上六 x， 再减 x cosine 四乘以 x dx， dy 就 没了啊，好，下面都好再用一下那个。高中了啊，忌偶性这是，这是定积分的考研，考研里面定积分也常考了啊，咱来看一下这个 c x 高中数学，这是 g 函数，忌偶性啊， 这个 e x 方是偶函数， g 乘偶，那就是 g 啊，所以这个啊，这个整体它是 g 函数， g 函数啊。呃，三 x 方是偶函数，先不管它了，六 x g 函数 x g 函数 cos 四次方 x 偶函数，那么这个 g 乘偶，这个也是 g 函数啊， 高中数学课本里有啊，定积分，如果背记函数，在这个对称，呃，积分上下相对称的时候背记函数，如果是记函数啊，他的定积分结果就是零啊，相当于这个是零。最后积分结果啊，零六 x， 呃，定积分零 x 乘 cos 四次方 x 零，这都没了啊，这样就简化计算了，那么就就只剩负三 x 方，那就二分之一到负二分之一，被积函数是负三 x 方 d x 这这个积分，然后符号，呃，可以把这个积分上下线颠倒一下，就变成负负二分之一的，下线二分之一，上线三 x 方 d x， 那 么这个很明显啊，那就是 x 的 三次方 二，呃，负二分之一到二分之一，把负二分之二带进去啊，做减法，二分之一的三次方是八分之一， 负二分之三次方是负八分之一，那相当于八分之一。减负八分之一，那就是四分之一啊。最后同学们别忘了加一块啊。呃呃，那个带入去，再再做点减法啊。所以故这个 i 等于多少？就等于前面是根号三派， 然后后面就是四分之一，都减四分之一，这是最后结果啊，最后结果 finally results 最终的结果啊，最后这个答案啊，就是根号三派减四分之一。 好，注意这道题啊，呃，不算难啊，这个，因为这它不是封闭的啊，需要添加从 b 到 a 的 线段， 再然后再用，结合一些高中的知识啊，把这道题搞定好，咱今天到这里啊， over。

二零二六考研的第二天，今天上午我们数学的考研科目就结束了，才老师先给大家总结一下今年的难度，那数一今年依然还是那么难，他的难度没有变化太多，数二两级分化比较严重，就是 因为今年没有证明题，大家觉得简单的同学会觉得特别简单，没有好好复习同学或者是对这个其他题目不太这个擅长同学依然会觉得很难。 数三，我们老师说近几年最简单的一年。那通过以上的大家反馈的情况可以看出来，今年的数二要比大家期待的要简单一些。那欢迎各位同学，各位家长来彩霞老师直播间来细聊。

同学们大家好，欢迎大家走进金城课堂，我是金城考研侯老师，今天又和大家一起来分享关于二零二六最新的考研真题的考后的解析。 那么今天内容我主要是分三块，第一块就是今天我们考的最新的我们的考研数学真题的一个解读，已经整体的难度以及我们的一个考试情况。那么第二块就针对数学三，我们做一个部分题目的一个真题解析。 第三就根据我们最新的专题，我们二零二七以及二零二八我们的考研学生怎么去备考我们的考研数学，我们做一个整体规划， 接下来我们先看一下我们的我们的一个整体情况，那么这边我是接选了我们的升数学三的专题，我接选了一部分， 比如说我们第一个题考的是间期线，这个题是非常常规的，而且这个题在我们基层考研的暑期我们的测试上已经考过了，就是问有没有水平，有没有铅直，就这是一个常规考题。那么我们整个数三试卷，其实我们选择的第 十题，这个题考的是什么？一个无记性，是不是有无记性就考你的是这个答案是选的是 d， 那么这个题其实如果直观去正这个不等式，还是有一定难度的。但如果大家可以赋值法，对于他说对于任意的 m 和 n， 如果同学们可以赋，比如 m 和 n 分 别都等于一，我们可以快速求出答案，所以这个题大家要注意一下，我们可以快速的去赋值， 这是关于我们的选择。那么填空其实整个数三相对考的还是比较基础的，那么第一道其实我们前面真题已经考过了，就是让你去算 我们的积分，那么你只需要对这个 x x 减一把它配方就可以了，就这个可以配方就这就是 x 减二分之一的方，然后 x 方减 x， 然后再减去四分之一， 然后你再乘上 x 减二分之一，它让你去算这种积分零到一上，很明显你只需要把它看作 t， 这就是负一到正一上，这是一个 g 函数，这是二次方，这是一次方，所以积分是零，那么这个极限是一个非常常规的通分就可以了。那么对于这个连散性，其实这道题问一下， p 的 取值范围就在这个开区间内， 在零到二这个开区间内，那么这个题其实我们在金城考研暑期讲义上讲过，和它基本上是完全一样的题目， 就是考你是霞积分还是无穷积分，然后霞点是零，又是无穷积分，所以你要拆成零到一，一到正无穷去算，那么为方程的特解，那这一块我没有给出题目啊，因为是刚考完，所以我还在整理中，那么这个解答案是对的哈。 那么对于二次型的题目啊，让你算下 a 加 b， 你 只要抓住二次型的质是一就可以了，那么概率题目也是相对比较常规的， 所以我们填空题其实相对是比较常规的。其实整个我们今年的二零二六的考研数学，那么数学三的难度是一定会比二零二五简单，因为整个二零二六我们的解答题其实是没有证明的， 就是说我们还是以计算为主，相比二零二五是偏简单的，但是我们还是考察是以什么基本功，比如大题考的什么密级数展开，还有偏导数、求导数以及导函数是不是连续，包括极值、重积分，都是非常常规的题目， 所以就是整个我们今年的一个考试情况，就数学三，我只说数学三，那么数学三其实难度是比二零二五是要简单的，但是大家注意一下，简单并不代表你可以拿高分，就是说我们很多题目计算，大家注意下，尤其是刚刚说的，你像我们的这个 第十题，包括我们的第四个填空，考的是一个一个经济经济学应用买正就是买那个，那个就是经济学应用，问一下这个平均购买的花的平均消费 就是买的正这个，这个经济学应用里面那个题目，其实那个题还是有一点点小小小的难度的，这就考的是一个平均值问题， 那么填空其实相对来说比较常规，那么解答题，呃，还是一计算，比方说这个二十题计算，大家注意下，虽然给了区域是对称性，但可以有轮换对称性，但是这个轮换对称性我们一般不会用，你直接用什么，直接用我们的 x 型区域去算会比较快一点， 所以这是我们整个的一个考试情况。那么针对我们最新的二零二六的考研数三专题，我们可以看一下，简单的回顾我们的压体情况，比如说我刚刚讲到这个极数展开，你看我们考的是二阶 x 方，这是个常数，这个算出来是四分之一， 这个二减 x 方展开密级数，其实你看看我们的领读的直播，讲的是它基础的课程，讲的是它展开密级数，完全是一样的，后边的积分是个常数，是四分之一，其实不影响你的答案。 那么包括我们刚刚这个间期线 x e 的 x 分 之一，针对 x e 的 x 分 之一，我们特意考了这个 x e 的 x 分 之一， x 一 的 x 分 之一，所以前面只多了一点点函数，所以这是类似，这是我们的题目非常非常相似的，这就是我们整个二零幺六我们的押题，那么包括我们的刚刚讲到这道题，问一下 h f 一 撇 x， 问 f 一 撇是不是连续给了一个变现积分，大家可以看到我们也搞给我们，在我们的进程的测试里面， 我们可以也给出一个变相积分，让你求导数，证明导数连续，大家可以看一下，完全是一样的， 就是说我们也是给你变相积分，我也是问你导数，这个导函数连续，这都是非常非常相似的题目，所以你不能说啊，完全一模一样。那么何老师一定就是说不能保证跟你完全一模一样，但是我能保证你考点我们的题目相似度是绝对高度相似的。 比方说刚刚讲的这道，那么阿克泰特的 x x p 四方，那我们也讲过我们自己，我们的首席讲义上也是阿克泰特的 x 方 lo lo 等加成 x 方，所以完全相相类似的就基本上都是一模一样了。问阿尔法的范围，我们整体考的是 p 的 取值范围，这都是我们的一个整体的情况， 那么以及我们的概率的最后一个题考的是什么？考的是最小值的指数分布，最小值的可加性， 所以我们和我们这个题完全是一样，这个应该是完全一样，然后还要求什么？求期望，所以我们今天也是考，你求期望，求方差，求最大，私人估计 是完全一样的吧，考的确实就是个结论。所以今天中午考完之后，有同学说，那何老师我数学一百五稳了，他说，老师你先不要回我消息，下午考完之后我们我只你再回我，我绝对稳了。 所以我不知道。同学们，呃，这个同学当然是考复旦的，学习也是非常不错的，所以他为什么敢说这句话？就因为我们在精神课堂上都讲过类似的题目， 至少我一眼拿到这个题目我一看非常非常熟悉，包括我们数三的盖，数三的现代。我们今今天考的是什么？求吉他关足，证明 r 发一 r 吉他关足，并考你音式分解矩阵。 a 等于记成 h， 那 么这个是我们 在二零二六金城暑期和春季班响应上原题。但是我们今年的最新真题还就只多一问，算 a 的 十四方， 那么只要用什么 a 等于哎 g h， 那 a 方呢？就 g h g h， 然后你把它算出来，这个式子其实是一负一零一，然后规范法，那么 a 的 三次方呢？就是 g h， 然后就是这个数字哈，就是 j 乘它 h， 相当于里面，相当于这个就变成了 j 一 负一零一， 然后 h j h， 然后这个你先乘这里得到什么？得到一个 a 的 三 等于 j 一 负二零一 h， 那 么以此类推， a 的 十， 那么正好就是这一负九零一 h， 把算出来就行了。这一本题算 a 的 十四方，不允许用对角化，因为这个矩阵是不能对角化的，大家可以去算一下，它是不可以对角化的， 所以这就是我们今天的数三真题，这是我们在暑期和春季给的奖励上的题目，它只多了一问 a 的 十四方， 那么这是我们整个的一个考试的情况，就是我只做了部分题目，大家看到我只做部分题目，我没有做完整，所以今天我也只是拿我们的数学三我们做一个专题分析，那么通过二零二六的专题可以发现我们的特点还是重三斤， 所以基础题占的比例很大，而且今年没有出现证明题，所以都是考大家计算能力，所以大家计算能力要突出， 就是在有限时间内你要拿高分。所以对于二零二七考研的同学来说，同学们，从现在开始你还是要第一抓三基。何为三基？就是基本概念， 第一叫基本概念，第二叫基本理论，第三叫基本方法， 就是概念理论和方法，然后再加上它的应用。所以通过今年的数三专题，那么大家还是要关注和经济学相关联的一些应用。 我们今年的选择题第四题就考到，就是说啊，一个公司啊，他的一个证券价格是多少，证券价格是多少少，然后买的就是买了多少股，买了买了多少份额，让你算平均的消费是多少， 这是我们今年的哈，就是和证券买证券给股票类似的，就是每股多少钱，然后买了多少股，让你算下平均价格。大家还是要会经济学应用，有数三同学可能大部分都是商科，但是有些同学可能也没学过金融，大家还是要注意一下， 所以对于二零二七，二零二八的同学，大家还是要注意，思想不变，就是三基和计算为主， 那么证明题大家还是要关注泰勒公式相关的证明，虽然说二零二六没有考证明，我们二零二五，二零二四，二零二三都考了证明题 大家一定要清楚。所以针对我们今年的考研数学，如果同学发挥的比较好的话，可以赶快准备好你的复试，把复试准备起来，千万不要等，如果等成绩一出来，你再准备复试，那是有点晚的，所以现在如果你你自我评分评分的比较好，那么你就准备我们的复试课， 如果你觉得啊你的分数还是有冲一冲的可能性的，那你还是要动起来。那么对于二零二七，二零二八同学，我们以三基和计算为主，按照我们的学习计划，正常的推进我们的学习， 这是我们整个今年的一个整体情况，虽然说今年整体难度不大，那么明年的话，难度我们其实这几年还是比较平稳的，只是说今年少了证明题， 那么以计算为主，所以难度比二零二五是相对来说是低减的，但是说也没有想象那么简单，大家还是要按部就班的去准备我们的学习， 那么我今天主要是讲数三，那么数一数二同学们还可以更多的关注我们金城考研数学课堂， 我们在后续的直播，包括我们的营销里面，大家可以关注我们对我们对数学一二三完整的专题解读，那么同学们可以扫一下我们精神考研的公众号， 那么可以关注一下我们对二零二六整个专题的进解读情况，包括我们后续的专业课，像我们的金融，四零八法术等等， 大家可以关注我们都会在这两天会做一些我们的直播，以及大家索取我们完整版答案，都可以扫码加我们这个群，关注我们晋城考研的公众号，这是整个的二零二六的数学的情况，那么请同学们及时关注我们晋城考研，谢谢大家。

各位同学大家好，欢迎来参加咱们今天的专题解析课程，我是定位老师好，那今天的课程呢，我们主要分为三个部分，第一部分关于考研数学整体命题趋势的总结，第二，考研数学整体的权威的解析。第三 关于的咱们二六届，二七届后面如何来进行复习，来给大家做一个介绍。那么首先呢，总体的趋势，咱们今天考完了之后呢， 很多同学在这个给老师说啊，今天的这个考试的难度的不如去年啊，今天这个难度的略微的要低一点，甚至有同学很自信的说，我今天有可能考了满分啊， 这个说明大家这个复习的还是不错，甚至呢，还有咱们这个呃，出的八道题里面有原题啊，那个信心单说的大题是原题。 那么总的来说，数一数三的特征呢？是差不多啊，就是注重基础，注重计算啊，所以呢，大部分的题目呢，还是一些比较常规的，什么求极限了是吧，求导数啊，但是题目的计算量还是有点大啊，部分题目有点计，计算量有点 大，而呢，重点还是比较突出的，因为今年的冷门相对来说还是少一点啊。当然呢，数学一的比数二数三的略微的要难一点，因为咱们数学一的考了一个罗尔定律的证明题，而数二数三的同学其实是 没有考啊，所以呢，数一的略微的比数二数三的难度要大一点啊，因为今天是咱们考研的四十周年，为了让大家心情呢愉悦一点，所以呢，他不像三十周年的时候他出的那么难啊，四十周年出的还是 比较基础一点啊，所以呢，这就代表了咱们目前这个考研的一个趋势，主要就是初试的时候把一些重点的内容考察，那么你具备的一定的能力，那么最后呢，主要就是看复试，所以呢， 咱们通过今年的这个考试来看的话，大家进入初试的还是比较简单，但是呢，你能不能过进入复试，这个就看大家后面的复试的准备情况怎么样。所以呢，不要掉以轻心啊，不要得意忘形。好，那么接下来呢， 这个具体的一些高频考点，大家可以的简单的看一眼，好吧，简单的看一眼， 那我就不给大家一个个的去列了，说明我们考研试卷它的重点还是非常非常突出的，那么接下来大家比较关注的就是我们考完了之后想对答案啊，所以呢，我们接下来呢给大家把这个答案呢一个个的对一下，当着我们说整个考试题呢， 他其实出的门的是比较少，但是有两个可能略微有点创新啊，第一个就是 有一个现行代数的选择题，考到了一个置换矩阵啊，这个实际上考试大概是没有，但是呢，他在这个四题里面把这个置换矩阵的定义啊，给大家这个列了一下，这个就是比较新颖啊，但这个概念其实你读完题目给你的语言的描述应该还是能理解的，而那概率的大体 啊，该题的那个岁数上的那个大题呢，略微有点新颖，但如果你能够把这句话读清楚，这个题呢，其实可以转换成那个最值的分布啊，然后呢，那个估计那部分其实也不难，因为他已经给你把四项函数都写出来了。 好，那接下来我们就一个个来看啊，首先第一个就是考引函数求导啊，这个去年数二数三的考过，并且比这个难啊，因为数二数三的去年那个题是带有变现积分，而我们这个题实际上是没有啊，当在详细的解答过程，大家可以啊去关注咱们这个公众账号啊 啊，回复的一张陈述，最后呢，大家可以在里面的去领取咱们这个啊数一数三的这个完整的解析过程。好吧，好，这是第一个第二题， 数二的第一题呢，他是考察的是关于这个等价无穷小啊，实际上呢，这个大家只要把他的泰勒公式写出来啊，用这个的等价无穷小，这个是很好找的啊，实际上你只要把他的泰勒公式写出来，那么整个等价无穷小应该不会特别难。 好，这是这个数二的第一题啊，数三的第一题的渐近线啊，就是给了一个极其简单的表达式，让大家去找有没有水平渐近线，有没有这个牵直线线。 那么数二的这个题呢，可能啊，数一的这个第二题可能略微有点灵活啊，因为它这里面出现负一的 n 次方，是吧，那么你在做的时候呢，你可以的考虑 啊，可以考虑的，比如说你把这个 n 等于基数啊， n 等于偶数，你把它的瘦脸半径啊，你给他求出来，最后呢，找他的公共部分啊，找公共部分，这个也可以啊，好，这是这个题。 然后呢，接下来的数二的第二题啊，这个题目呢，实际上是零九年的考试题的改编啊， 这个是零九年考试题的改变，这个我记得应该是在考前密训课程里面，咱们那个讲一下，有一个类似的题啊，零九年数学二的选啊，这个选择还是填空题啊？应该是选择题吗？考了一个怪的歧视非歧视解的性质。 那接下来的这个数一的第四题啊，三乘积分，你看人家多好啊，都不需要你算，对吧？他不让你算，他让你把这个三乘积分啊， a b 选项是写成这个注坐标对吧？ c d 选项就是你把它写成啊，求坐标，都没让你把这个三乘积分算出来，你看多好啊。 好，接下来的这个说的第四题啊，这个是去年考过吗？是不是去年考过，今年又考了？就是这个啊，引力的大小啊，引力的大小，去年考的，好像是做工吧，是不是做工啊啊，今年的考了，只是考了一个引力啊，万有引力啊，实际上比去年这个题略微还要简单一点。 好，这是数学三的第四题，考了一个平均购入价格啊，考了个平均值啊，这个积分的平均值啊，这个最后结果是选 d 啊， 然后呢？这个数一的第三题啊，数三数二的第五题啊，这个呢？实际上从这个长相来看啊，这个经常给大家说嘛，从长相来看啊，这个大概率不会选 ab 的， 肯定不会选 ab 的 啊，是关于这个图形啊，你就画它的图形，考察这个啊，单调性，还有这个凹凸性，他的这么一个关系啊， 好，有这个可以有这个凹凸性，你就画图啊，可以去得到这个。这个实际上是什么？实际上就是这个割线的斜率嘛，对不对？你看割线的斜率是单则是单减嘛。 好，接下来这个选择题啊，这个选择题啊，这个就是关于这个方程组解的关系啊。好的，这个题目的条件是列向量由 b 的 列向量现性表示啊，这个两个 矩阵它的向量能够现性表示，你只要把它写成矩阵的形式嘛。好，那来判别这个非奇式向量方程组它是否有解 好，然后呢？反函数求导是吧？反函数求一阶导啊，求函数值啊，反函数求函数值，还只是让你求反函数的一阶导，还没让你求二阶导。这个是不是暑假集训讲过？是不是暑假集训的讲义上的？差不多啊，这个题目呢？差不多 好，接下来的新奇代数的啊，新奇代数的这个数学一的，它是考察这个二次啊，这个化二次行为标准型啊，化二次行为标准型，然后呢和二次曲面这个结合起来啊，你只要把它化次行为标准型，然后呢根据正负惯性指数， 然后呢和这个圆柱面啊，圆柱面是什么？代表的是这个，有这个化成标准型之后，他有一个特征值是零，对吧？啊？两个大于零，一个等于零，相当于就是正惯性指数为二，负惯性指数为零啊，然后那你可以用特征值 啊，可以用特征值通过证券信息变化啊。好，那么接下来的这个应该是咱们在应该是密押三套卷里面啊，应该是在密押三套卷里面，这个找过一个类似的 啊，就是在之前应该是二零一零年是吧？就是把这个二冲积分呢，写成了两个 c 个码。求和啊，之前呢是在二一年嘛？在二一年呢，也是数一数二的，是把定积分写成一个求和，我们这个是写成两个求和。 好，这个数一的第五题，数二的第八题啊，这个呢是就是所谓的创新，是吧，出现了一个所谓的 置换矩阵啊，所谓的置换矩阵其实它定义写的很清楚啊，就是单位进驻单位矩阵经过若干次互换两行若干次啊， 互换两行出道行变化，是吧？互换两行得到了矩阵啊，好呢，根据这样一个定定义呢，大家去这个考虑，下面这个相当于就是由它是否能变成下面中间的哪一个 好，然后呢，这个矩阵方程有几啊？ a b 等于 c 有 几，就是系数矩阵的值等于真管矩阵的值，根据两至相等，最后呢出等变换，把这个参数给它求出来。 好，然后这个题呢，略微可能略微的复杂点啊，主要是把这个移过来之后，你可以把它配成一个 a 减 b 的 平方等于零 啊， a 减 b 的 平方等于零，然后呢平方等于零，这个时候呢，可以考虑和这个字呢啊，结合起来就是这个应该是，好像是二四还是二三年考过啊，你 a 的 平方等于零，那你 a 的 字加 a 的 字小等于 n， 根据这个字 啊，这个根据平方等于零，根据这个字的来去推导啊，最后呢不正确的是谁啊？应该是这个 d 选项 啊。好，接下来呢就是算概率啊，这个很简单，独立了吗？是吧，独立同分布，把这个二维的概率密度写出来，然后呢用二重积分来去算这个概率 啊，这都是技术题啊，技术阶段你学完了就应该能做出来啊，这个应该是我们冲刺班讲过吧，还记得吧？冲刺班讲过啊，使得他的最小啊，使得他最小啊，然后呢，这个做法有很多啊。 好，这是这个第八题啊，你可以用高等数学的四题来做啊，但是它实际上是个结论啊。 好，第九啊，这个第九题啊，第九题呢，就是给了一个分布函数，然后呢，这个是分布函数，然后呢，你去算，根据这个七万方差啊，你去算这个 a 和 b 的 值。 好，接下来数三的第九题啊，数三第九题呢，这个就是根据啊。呃，这是正态分布啊，这个二项分布，然后呢独立，然后呢？要你算这个相关系数啊，你就按照相关系数的定义啊，把五个参数啊，把五个 这个有关的数的给它算出来啊，最后呢，带入这个相关系数公式就可以了啊，计算量可能略微有点大啊，这个题稍微算起来会多一点。 好，第十题的是关于的这个条件概率吗？对吧？这个条件概率转换成无条件概率啊，从这个长相来看，这个肯定不选 a b 吗？对不对？估计的。因为 a b 差不多， cd 差不多吗？大概率就有 cd 啊，所以呢，你把这个 这个左边算一算啊，把左边算一算，算一算之后呢，其实这个就是这个作为条件这个事件的概率啊，稍微的划一下减，但这里面呢，会用到这个极数的知识啊，因为它是个离散型，算概率。 好，接下来呢就是填空题啊，填空题呢，它这里面考了一个项链机，是吧？两个项链项链机，项链机算完之后呢，再算一个项度啊， 所以呢，这就是所谓的冷门啊，今年这个冷门考的不是很多了啊。今年冷门考的不多，就这个算是一个冷门好，然后呢，这个啊，这个 啊，这个以前的数学三的同学很少考，但今年是考到了这个反差积分的比较派表法是吧，你把这个零到众无穷分成零到一，一到众无穷啊呢？分别利用比较派表法 啊，也就是找背接函数的什么等价无穷小啊是吧，非零因子极限先求啊，用比尔判别法来做。这个应该比我们在冲刺班讲的那个题要简单很多啊。这个好像是暑期讲义上有一个暑期讲义啊，那个集训讲义上面应该是有一个选择题，和这个是差不多的 好。然后呢，这个计算，定积分的计算啊，定积分的计算，零一区间，你看这个地方是不是有个 x 减二分之一啊啊，所以呢，你应该要记住啊，应该是零 t 等于 x 减二分之一，做一个换元，然后呢，搞出个这个对称区间是吧？搞出个对称区间，然后利用记忆我背心字来算，这个会比较简单 啊。极限的计算是吧，这个无穷减无穷啊。然后呢，这个啊，数学三的这个历史二题啊，这个也是一个无穷减无穷啊，不知道他为什么要搞一个不一样的啊，其实做法差不多啊，这个呢，可能略微看起来复杂一点，但这题实际上就松分的啊。 好数一的参数求二阶导是吧，常规题吧，技术阶导是不是都做过啊？参数求导 啊。然后呢，取的半径啊，取的半径把取的算出来啊，这个算取的实际上是不就是这个？我记得是点题班讲过吗？是不是点题班讲过啊？引函数啊，引函数，求取律，求取律，然后有了取的之后求取的半径，实际上就是考引函数，求一阶导，求二阶导嘛。 二十四题啊，反差积分，这也没啥说的，分布积分，是不是分布积分法啊？然后呢，说的第十四题啊，这个应该是，我记得是咱们那个 密钥三套卷啊，在密钥他三套卷的好像是卷一吧，好像是卷一里面啊，他给这个条件就是对 x 的 偏导在零零是派对 y 的 偏导的。是等于三吗？ 然后呢？再考一个什么？是不是考一个符合函数是吧？这个记在一的导数就是符合函数求导这个密奥三套卷里面的差不多的一个题啊，就是数可能略微改了一下。好，这个第十四啊，微分方程的，求解啊，二阶长细数非奇是线线微分方程的求解啊，五分。 好数一的第十五题啊，线形代数的，这个就把特征值求出来嘛，把特征值求出来，然后呢，把最大的特征值算出来之后，他小于他，然后呢，把这个的范围的给他求出来。 好，第十五啊，第十五的平均值嘛，就是积分除以积分区间的长度嘛，这个好像是一三年，一四年当时的数三的， 初二的啊，初三的，初二的，初二的好像是一四年考的，初三好像是一三年考的，然后今年的就都考了啊，这个是初二的积分除以积分区间的长度啊，其实就是考定积分的计算。那么数学三的也有一个啊，数学三的也有一个。 好，这个概率的这个题啊，概率的这个题啊，这个就是薄松分布嘛，薄松分布啊，这个的独立啊，根据这个独立呢，大家去化解啊呢？最后去算这个期望啊，离散型的，离散型的算期望 好，这个先行代数的啊，这个先行代数的，这个这个是规范型，规范型告诉大家什么呢？就是特征值里面一个正两个零嘛，说明他的字啊，他的字是一，他的字是一，他的字也是一嘛，因为这两个句子的字是一样， 那他的字是一，说明任意两行对应成比例嘛，你不就可以把 a b 解出来嘛。好，然后呢？这个时期啊，这个时期， 这个十七题的，这就交换积分次序嘛，是吧？给你的直角坐标估计算不出来，这个呢，估计要变成一个极坐标啊，是吧？估计要变成个极坐标来算啊，这肯定是要交换积分次序啊，但他应该是直角坐标变极坐标 啊。然后呢？接下来第十七啊，这个十七，这个十七的是这个这一问啊，我记得吧，给你这么一个等式啊， 你要求 f 怎么求啊？是不是令他为 a 啊？令他为 a 啊，那把这个 a 解出来， a 解出来，这个 f 有 了啊，只说这个题呢，再加了一问啊，再加了一问，你求出 f 之后，你把 f 的 展开嘛，对吧？把它套公式给它展开就行了嘛。 啊？这个卷展开是考大题啊，这个比较大家比较头疼的是求和没考，他考的是展开，但是是两个题变成一个的啊。 好，接下来这个第十八啊，这个第十八，第十八的数一的这个第十八题呢？呃，其实就是这个 f 的 对 x 偏导是这么多吗？ f 对 外的偏导是这么多 啊，实际上这种题大家从技术阶段到强化阶段到充实阶段其实都做过啊，对 x 偏导等于它，对外的偏导等于它啊，然后呢，我们接下来呢，是不是就根据二阶混合偏导相等，然后呢，就可以算出这个第一问 啊？算出这个第一问之后，对任意 u 它都是个常数嘛，对吧？这个是常数，所以得把这个条件带进去嘛，把这个条件带进去啊，带进去之后你可以把这个 c 来解出来 啊，把 c 解出来之后，最后得到一个微分方程，因为一般只要是求函数表达式的题，基本上能确定它都是用这个微分方程来做啊。 好，接下来的这个数二数三的十八题啊，这个第十八题呢？这个应该是数学二的吧。数学二的二零年考过啊，数学二的二零年考过 啊，实际上这个地方就换元嘛，应该得到一个分段函数，对吧？啊，那求导数判判并判别这个导函数在零这点是否连续啊，暑期还记得吧，暑期集训营的奖励上一样的题啊。 好，接下来的这个集时啊，数一数二数三的都考了这个二元函数无条件集时啊，已经连续考了若干年啊，从二一年开始是吧？二零年嘛，还是从二零年开始？这几年几乎每年都有啊，无条件集时啊，这个基础阶段，强化阶段，冲刺阶段啊， 基本上呢，都是讲过这种啊，并且讲的还比这个难是吧，我们还讲过啊，通过这个别的知识来求函数表达式，这个呢，是直接给你表达式啊，然后呢，数一的这个十九啊，为什么说数一的这个也不难呢？因为去年啊，那个 曲面积分是吧？去年考的那个曲面积分啊，那个曲面积分这个比较难，得分率比较低啊，但今年这个考的是曲线积分，实际上我们在考前大家其实都已经知道今年要考曲线积分啊，只是不确定他到底是考斯托克斯还是考平面曲线啊。这个就补线吧， 对不对？补线，这是个椭圆嘛，椭圆的一部分啊，你就用补线法补线的时候，我们其实这个在我记得好像是点题班给大家讲过，你补线最好补直线，是不是你就补一个直线啊，用高用格林公式就可以了。 好，这个数学一的啊，比较长啊，证明题啊，数学一的同学考了一个证明题啊，数二数三的其实没有考啊。 啊，这个这个等于零啊，那 a 的是半个区间上的积分，然后你证明 a 大 于零啊，所以说你就把这个啊，可以考虑用积分区间在线，可以把它写成两倍的零到一上这个 f 加 f 负 x 的 积分啊， 通过这个单调性啊，通过 f x 严格单调递增啊，或者你再来看这个 a 啊，是大于零的啊，这个的一看就罗尔定律嘛， 对不对啊，这个肯定就是对导函数，用罗尔定律，找三个点的函数之相等，找三个点的函数之相等，然后呢？用三次是吧，是不是用三次罗尔定律啊，这个点很好找是吧？一啊，负一啊，零啊，应该是这么去找 好接下来的这个数二的第二是题啊，这个的就是旋转体的体积吗？但这个题可能有点计算量啊，因为你从这个结果来看不太友好，是吧？所以我们这里题型还是常规的题型，当然，这题呢，他有一个拐点，是吧？有一个拐点，你要把这个拐点求出来啊要把拐点求出来 啊，拐点求出来之后你就可以求出 x 零嘛。好，那这是第一项线嘛，是吧？呃，这个第一项线无界区域嘛？无界区域他应该就是个反差积分嘛，这个也讲过这题的第二问，这个应该是讲过第一问的常规题嘛，找拐点。 好，接下来数三的第二次题的。这个常规的啊，这就是一个极坐标嘛。啊，然后呢？这个，呃，这个不是极坐标，这个直角坐标吧。 啊？这个可以出微分嘛，是吧？这个外，先对外积分嘛？先对外积分啊，然后再对 x 积分， 这个应该也属于比较常规的啊，这个比较常规的一个二乘积分的计算。好，这是第二次啊， 然后呢？这个数学二的第二次一题考了一个二阶微分方程。这个二阶微分方程的啊，微分方程的，求解嘛， 画圆是吧？啊？零 p 零 y 的 导数。好，接下来的这个线形代数的啊，这个线形代数这个题实际上是不和去年那个大题差不多啊， 和去年那个大题差不多。这也是我们钻石卡学员在考前发的密押三啊，这个考前必做八套题里面好像是第五套吗？讲过一个 啊，这个基本差不多啊，然后呢？也都是十次方，是吧？我们这个题也是十次方。他这个第一问看起来是正面题，其实是计算题啊。就是你找极大信息无关注嘛，是不是找极大信息无关注，而把其余的项呢，用极大信息无关注来表示出来 啊？所以这题呢，咱们这个状式来讲呢，应该做的比较好啊，因为基本上就是原题了。好，然后呢，概率呢？这个比较难的就这个大题了啊，概率呢？大体稍微难度要大一点 啊，主要就是你要把这个画的要想清楚，他现在有 n 个原件吗？然后每个的都是这个指数分布啊，所以呢，我们就假设他们的寿命是 x 一 x x n， 有 n 个原件，有 n 个寿命，每个寿命服从这个均值啊，你没有发现他有点像二零二二年那个题啊？ 有点像二零二二年是吧？均值就是七万，等于这么多，那么参数呢啊，指数分布的参数就是那 c 塔分之一嘛，对不对？好，那么现在呢？说啊， k 等于一 啊， k 等于一是什么？就是我现在有 x x x n， 有 n 个原件，寿命是 x x x n， 而那 k 等于一呢？说失效的原件的寿命啊，就是有一个原件嘛， 他说试验直到出现 k 个原件失效，是停止， k 等于一是吧？ k 等于就是出现一个原件，出现一个原件，它失效这个时候的停止， 然后呢，这个寿命是 t 啊，失效原件的寿命你知道是哪一个失效吗？其实你不知道，但是我们知道他一定是什么，一定是这 x e x x n 中间最小的那个， 对不对？所以呢，他这个 t 呢，应该就是 x x x n 最小的那个，也就是迷你，是吧？就是迷你啊。 好，这是二四年吧，应该还记得吧。二四年考过啊，二四年在大题考过，我们在那个点题班吧，我记得点题班最后一个题啊，这个给大家看过啊，给大家看过，然后没有讲，因为和二四年那个题差不多，二四年的是什么？是均匀分布，再给他换成一个指数分布， 所以它就是 x x x n 中间最小啊，就是迷你也就是最值的分布嘛，然后呢，你就利用最值的分布是不可以把它的密度求出来，密度求出来之后，你看这个是一样 的，是吧？所以关键就是把这个 k 等于一 t， 这个 t 到底是什么意思，你要翻译清楚 啊， t 等于就是有一个原件失效，对不对？这个时候就停止， 然后呢，这个寿命是 t， 这个 t 是 什么呢？肯定是这 n 个中间这个时间最短，寿命最短的那个，对不对？因为你肯定是寿命最短的那个出现了 啊，原件的失效了吗？啊，所以这个 t 的 应该是 x 到 x n 中间最小的那个，然后呢，这个第二问呢，他把四项函数都给你了吗？对不对？四项函数给你了，你这个找最大四项，估计不就是取对数求倒，倒数等于零就行了吗？ 对吧？倒数等于零就可以了啊，所以到最后就可以把这个结果就可以算出来啊，这个有点新颖啊，以后可能有同学没法把这个文字性描述的条件翻译成数学式啊，所以这个题呢，估计得分率呢，要稍微的低一点。好，这就是关于咱们这个 啊，今年这个考试题呢，就给大家解析到这啊，总的来说，根据大家的反馈，考的都还是不错的，所以呢，不管怎么样，大家都要准备复试啊，因为估计绝大部分同学应该都是能过初试的啊。 绝大部分同学过初试应该问题不大，主要就是看你的复试就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就这么多啊。最后祝二六届的同学啊，一战成硕。

二零二六考研真题大盘点，一起来看看我们曾经预测的题。