x-1等价无穷小替换公式表

公式，看着多，找到规律分分钟就能记住。我们分成三组，有三对正反三个拓展和三组相似， 三 x t x e 得 x。 四帮减一法函数分别是 f 三 x x t t x 加一 在 x 区径于零时，都等价于 x。 第三组稍长，也有技巧把 x 看成零，来倍易的零，次方减一等于零，那零加一等于零， 咱再拓展一组。如果把 e 换成 a 时，那么右边乘以浪 a al a 换成 love you a， 右边则除以浪 a。 高中被拐求倒。公式，有一组很相似，请记住出现 a 的 x 四方形式 乘以浪 a 出现闹个 a 是除以浪 a。 再拓展一组 x 加一的 a， 次方减一等价于 ax 四，把 a 换成 n 分之一，就有了上面的公式。

每天一节高数课，期末考试不挂科，今天我们来分享一个等价无穷小替换的一个原则，这虽然是一个比较小的知识点，但是很多人在做题的时候对这个点非常的困惑，我们来看一下什么时候可以无穷小替换，什么时候不行。 课本上写的很清楚，就只有对所求极限中相乘或相除的因式，才能用等价无穷效量来替换，而对极限中的相加或相减的部分则不能随意替换。 好，那我们来看一下这个关键的就是相乘或相除的因式。什么叫因式？我们初中都学过因式分解，你比如说 a 方减去 b 方，那我们可以把它分解成 a 加 b 乘以 a 减 b， 那这个 a 加 加 b 这个整体和这个 a 减 b 这个整体就是他的音式，这个就叫音式分解，你一定要对音式这俩字 去理解。好，那我们来通过一个例题来看一下，利用等价无穷小量来代换来求极限，他这个分子是一个坍塌， x 减三 x， 那很多同学做的时候，你就比如说像下面这个去做了， 他上来的话，直接等价无穷小替换，把弹台 x 用 x 换掉，三叶 x 用 x 换掉，分子是 x 减 x 等于零，那这样去换的话就错了，因为我们这样说的很清楚，对极限适中的相加或相减的部分是不能随意替换的， 只能替换的是相乘或相除的因式。那好，那这个题如果正确的去做的话，那第一步弹腿换成三，引出考三应，把考三应给他 题下来，分子变成了这个样子，那变成了这个样子后，我们再去看这个题，那就变成了三应乘以一减考三应这个整体，那一减考三应这个整体，他就可以成为一个因式了，就 相乘或相处的因式。那这个时候我们把三用 x 换掉，一减靠三用二分之 x 方换掉，三 e x 三次方用 x 三次方换掉，然后 x 屈进于零的时候去求极限啊，那答案出来就是二分之一。好，下面的话给大家写了一些 x 去进零的时候，一些常见的这个无穷小替换的一些结论，这个结论的话我们在下节课会去推倒啊，这个结论的话，其实你只要抓住一个关键点就行了，就这个 x 三 exxxxx 一加 x e 的 x 方，这个一定要保持一致向啊。这个很多老师包括我上次说了，他都喜欢拿狗来讲，那就狗啊，这边就是三应狗， 那同样的 x 三英狗，那你也可以一直往下写，把所有的 x 看作一个整体，或者看成一个方块，方块 三，一方块啊，这样都是可以的，把它整体换掉就可以了。好，那我们再看这个例题，这个例题的话，那我们就说了可以直接替换了，因为他没有加减的部分，就是我们这个概念里的相乘或相除的因式啊。那这块的话直接换就可以了。 阿尔克坦坦 x 用 x 换掉，三 e 四 x 用 cx 换掉，我们就说了这个是一个整体，这是那条狗，那这也是那条狗 啊，这是那个狗，这也是那个狗啊，那这样的话他就可以直接换成他了，那答案就是四分之一了。好了，我们下节课来分享一下这个的证明，今天我们就分享到这里。

为什么在极限的计算中，一用等价无穷小就很容易错？为什么有些老师会告诉你，在加减法中一定要慎用等价无穷小？ 想弄明白这个问题，你就要先搞清楚泰勒公式和等价无穷小之间的关系。简单的来说，等价无穷小就是泰勒公式的一个简化的版本， 因为它是简化的版本，所以呢，它的这个应用的范围也受到了限制，它主要是应用在这个乘除法中，加减法一定要慎用，或者说你就不用，你用 tal 公式就可以，也不会很很麻烦的。 那他是怎么简化的呢？他用的就是极限加减法中的吸收性。 你比如说啊，对于 san x 来讲，它的这个泰勒展开式是这样的，它实际上有无穷多项，只不过我们把这种更高阶的无穷小通通写成了这样的形形式啊，比 x 的三次方更高阶的 无穷小，我们都给他写到一个像里边了。那如果我们用吸收性啊，什么是吸收性呢？就是我们只留下那个最高级的东西。什么是最高级的？我们根据这个表来看， 左边就是高级的，右边就是低级的 x 在 x 区零的这个前提条件下，它是一个低一阶的无穷小，因为它是一次方嘛，剩下的这些相对于它来讲都是高级的，所以说通通舍去，最后就变成这样， x 等价乘 x， 那这个等价无穷小和泰勒公式在这个具体的计算中到底应该怎么用呢？啊？我先给大家讲一个这个最一般的规律啊，任何一个式子，当我们拿到它的时候， 都可以给他进行一个划分啊，分块分成就怎么分呢？你把它分成若干的几个部分，而这些部分之间呢，都是乘法点成或者这种除法的关系。 这个括号内部啊，有可能加减乘除都有，但是这个括号之间啊，他们都是乘除法的关系，任何一个式子，你经过变形啊，都可以化成这样一种形式。这个时候你就要注意了，在这个括号内， 我们进行计算的时候，我们一定一定要慎用等价无穷小，尽量用泰勒公式去算，因为呢，这个括号内部啊，他们是加减法是存在的啊， 而且我们用泰罗公式的时候，尽量要往后多展两，多展几项啊，省的有一些我们需要用到的项数啊，被省略了。一般来说呢，展到三项就够了， 然后再通过我们之前提提到的这个啊，吸收性，把每个括号中啊，最大的那一项，最高级的那一项找出来。 你比如说像这这道题三个括号，那就有找出三个项啊， a， b、 c， 最后把它们进行一个计算，最后再带入我们前提条件， 比如说 x 区域零啊，你看两个具体的例子啊，第一道题啊， limit x 区域零，三 x 比比上 x， 那这道题我们如果分块分成两块，而且我们发现这个， 呃，这个括号内部，他没有加减法的，那我们其实在括号内部进行计算的时候啊，是可以用等价无穷小的，他不会出错。如果我们用等价无穷小这道题怎么算？ 把三 x 等价乘 xx 比 x 等于一好，这道题就很轻松就做对了。那我们看第二道题，第二道题我们也给他进行一个划分，划分成两块好，我们就发现分子啊里边是有一个减法， 那如果这个时候我们再去强行用等价无穷小去算，很容易就出错。你比如说呀， limit x 区域零 三 x 等价乘 x x 减 x 比上 x 三次方，那是零比 x 三次方等于零啊，这就是一个很经典的错误。那正确应该怎么做呢？正确，碰到加减法要用泰勒公式的， 要用泰勒公式。用泰勒公式的目的是什么？目的是把它之后的后续的那些项写出来，而后续的那些项就是解题我们需要用到的关键的项。你比如说等于 limit x 区零 san x 的泰勒展开式，我们刚才背过了，是这样的， 然后减去 x 比上 x 的三次方啊，经过化解是这样一个形式， 那在这一步中，这个分子啊，我们已经给他化点好了，但是呢，你会发现， 呃， x 的三次方相对于这个部分来说啊，这一部分的含义就是说，呃，比 x 三次方更高阶的无穷小，那它实际上呃是要被舍去的，因为吸收性嘛，它的等级会更低啊，它就没有了。最后的答案就等于 负的三的阶层分制， x 的三次方比上 x 三的方等于负六分之一啊，这就这才是一个正确的答案啊。所以呢，呃大， 大家通过这样一个例子很清晰的就看出来，为什么等价无胸小。有的时候你用它，尤其在加减法中是错误的，因为它省略了 本来应该用泰勒公式出现的后续的那些项，而这些项在加减法中是有可能被用到了，因为在这里你看 x 和 x 是抵消掉了，那它就不能代表这个，呃，它就不能代表这个是这一部分的最高最高级了，那它的最高级就得接着再往下找，你在这接着再往下找，你就必须要用脑 tele 公式。 那大家在之后做题的过程中啊，自己去多多尝试啊，看哪些情况下用等价无穷小可能会更便捷，哪些情况下用太 公式才能做出准确的答案啊？一个非常重要的关键点就在这，你一定要把这个谁是高阶的，谁是啊？谁是高级的，谁是低级的，这个关系一定要理顺啊。无穷大是大于非灵长寿的， 是大于无穷小的，是大于零的，那无穷小中低一阶的无穷小是比高一阶的无穷小要更高级的，在无穷大中是相反的，高一阶的无穷大是大于低一阶的啊，这个应该很好理解吧，因为 它本身 x 区域零，那你 x 的平方，那肯定你这个是没有 x 的一次方要大的，因为次数越高相当于它的值越小嘛。 好，那就希望大家在做题的过程中，不要再因为呃不够理解等价无穷小的这么一个本质，而呃用它导致你做做错题了。

这个考试里面啊，单纯的看函数极限相对来说难度比较大的题，从分母入手要好办一些。 x 方减去 ctrl x 的平方， x 减去 ctrl x 乘以 ctrl x 加上 x， 就看你公式熟悉到什么程度了。等价于负的三分之一 x 的立方乘以二 x 负的 三分之二 x 的四次方。我们刚刚用到的摊件的 x 减 x， 等价于三分之一 x 立方。摊件的 x 加 x， 为什么要等价于二 x 呢？同阶相加，摊件的 x 等价 x， 它和后面这个 x 同阶的同阶相加， 如果系数和不为零，则可替换。分子上呢，也是一样啊，看你的公式熟悉到什么程度。你只用明确一点，分母上是四次的，我是不是也攒到四次啊？遵循上下同阶的原则，等于 x 方减去二分之一 x 平方的平方，再加小 ox 的是这个 x 不动展，因为它前面长了 x， 所以上 x 是不是就只用展到三次就可以？ x 减去六分之一 x 立方，再加小 ox 立方。 把这个括号打开。二 x 的平方减去二分之一 x 四次方，加上小 ox 的四次方。那么减 x 方加上六分之一 x 四次方。加小 ox 的四次方。负的三分之一 x 的四次方。 小 ox 四次方，加上小 ox 四次方。万有引力可以吸到一块变成一个，这个就等价于负的三分之一 x 的四次方。 公式足够熟练的话，你可以这么做，减个 x 方，再加个 x 方。这么写。那你看啊，这中间又有两个公式，那一加 x 减 x， 对泰勒公式足够熟悉之后，这个能直接写出来等 价于负档二分之一 x 的平方，另一个其中的更多 x 减三 x 等价于六分之一 x 的平方， 这项就等价负二分之一 x 平方的平方负二分之一 x 的四次方等价于 x 乘以六分之一 x 的地方，六分之一 x 的四次方 接数是不是相同的系数之和？你看，前面是负二分之一，后面是六分之一啊，这两个一加为零，同接相加系数和为零就可替换，这个就等价于负二分之一 x 四次方加上六分之一 x 四次方，也就是负的三分之一 x 打四次方。 这就可以了，则圆式 limit x 趋向于零分子上面等价于负的三分之一 x 四之方分母上面等价于负的三分之二 x 四之方上下一除极限等于二分之一往上。

我们来看一道把等 t 技巧和泰勒公式用到极致的极限计算的问题是这样一个式子，我们先处理什么呢？先式子先剪软的捏吧，我们先找个简单的看这个括号，当 x 确定的时候，这个括号呢，我给它减个一，再加个一。那你注意一下啊，这一部分是不等加 f 二分之一是吧？ 那这一部分按照等题公式，他也等价于负二分之 x， 所以整个呢，我们把它一等 t 是变这样的，因为老师打住，你这不瞎讲吗？那么加减怎么做等题啊， 这样想的肯定没听过直播是吧，加减也是可以等级的，我们总结一下啊，同阶相加，只要系数和是部位零的，那就可以替换。 这里还做了一个简单的证明，假设 u x 等加于 a 倍 x n 次方， v x 等加于 b 倍 x n 次方，然后这个 a 加 b 不等于 u x 是不可以选它， v x 是不可以选它，然后把它合到一起变这个形式。 那你注意，这个 a 加 b 只要不等零，这是不是等加于 a 加 b 再乘以 x n 次方。所以说呢，这里这个等 t 啊，是没有问题的。那接下来我们再来看分母上的另外一项， 那这一项怎么处理啊？你看，我们给它减个三 x， 再加个三 x， 要用到由泰勒公式我们隐身出来的等题公式，首先是 x 减三 x， 这是等加有六分之一 x 立方的。 其次呢，还有一个啊，这个 x 减去摊减 x 等价于负的三分之一 x 立方。那你看啊，这两部分，前面这个等价于六分之一 x 立方， 后面这个呢，先把 c x 看的整体，它是不等于负的三分之一 c x 立方，然后呢，再把 c x 等于 x， 是不是这样子的？哎，那你发现这两部分是什么关系啊？是不是又是同阶相加，并且系数和不为零？所以说呢，也可以等 最后等价以负的六分之一 x 地方分母上，这两项我们是不是就处理完了，再来看分子，分子怎么考虑呢？首先你看这两部分它有这么一个关系，我把这个 x 如果提到外面去，这是不是就有了 x 分之三 x， 然后呢，你再把这个一提出去，这上面是不是就减个一啊？这是第一步变形，第二步变形是井水，也是重点， 我把这个 x 分之三 x 减一，看成一个整体，然后这样呢来凑它怎么凑呢？括号里面减一，外面再减一，是不是选这样啊？ 然后到这里想干啥呢？我们还有一个泰罗公式，得出的等题公式，那就是这个式子，那你把这个式子和这个式对比一下，你会发现这个 x 分之三 x 减一，是不是就相当于上面的 x 是不是这里啊？注意他去不去零啊？他去零是没问题的，对不对？那所以说呢，我们就可以等替了，等替完了之后呢，把里面通分，注意这个 三 x 减 x， 再等 t 乘负的六分之一 x 立方，然后呢，再整理一下，就变这个形式了，那这么一来，我们分子分母这几项是不全部都完成了， t 代进去之后，答案就等于十二分之一。

咱来说一下无穷小量等价交换。你看一下这道题，在你不知道无穷小量等价交换的时候，你可以对他进行快乐公式的展开，展开至第一项结束为止。第一项后面的 全部缩写。此时分子分母同时除上 x， 你就可以得到结果了，结果为一。再 这个替换的过程中，你把高阶无穷小去掉，不影响结果，结果还是一赞呀。 x 换成 x 的过程，实际就是换成 x 加上圈 x 的过程。 对于为无穷小的因式进行替换的过程中，你把高阶物从小去掉了，这个操作就叫做无穷小量，大家再换。但是要告诉你一句话，无穷小量等价再换。只可以对因式为无穷小的进行代换，不可以对分子或分 母象里的无穷小进行代换。你看一下这道题，你知道 x 区域零时弹尽他， x 等加于 x， 三一 x 等加于 x。 如果你想对分子上这两项直接进行替换，实际上是要把它替换成 x 加上圈 x 替换成 x 加上圈一 x， 减去 x 加上圈二 x。 此时整理之后，分子分母同时除上 x， 他依然是零比零行未定。是你没有得出结果 相当于什么？相当于这个替换你是失败的。所以你坚决不要对分子分母向里的无穷小进行无穷小量等待换，这个过程是错的。看一下我的粉丝给我发来的一个做题 过程，这简直就是 你听懂了吗？

当你看到这道题目的时候，是不是很开心？这不就是等价无穷小替换吗？直接秒的一亿到这里。恭喜你，你做错了，这个是大家在使用等价无穷小的时候容易犯的经典错误。无穷小指的是当 x 区域 x 零时， f x 也要趋于零，并不是 x 区于零的任何式子都是无穷小。因此提到无穷小，要说明自变量的趋势，比较两个无穷小是否为等价无穷小，也要在同一自变量趋势下。正确的做法是 think 分之一。虽然在 x 区于零时 期限不足，但他是一个有界函数，所以这道题是无穷小乘以有界。这道题的灵，你学会了吗？快按你专升本的朋友来学习！

无穷小量等价代换原则一来讲一下这个无穷小量等于代换这个东西虽然简单，但是有很多人还是没有弄明白。无穷小量等于代换的原则一共有两条，第一条对整体的因式为无穷小的进行代换。什么是因式呢？也就是乘法和除法的部分叫做乘除的部分，比如说 a 乘乘 b， a 除乘 ba 和 ba 和 b， 就叫做因式。再比如说 a 加上 b 比上 c 加上 d 好了， a 加上 b 是整体这个式子的一个因式， c 加上 d 也是整体这个式子的一个因式，这叫做因式。 你比如说 a 加上 ba， 减上 ba 和 b， 就叫做象，这个象是针对这个式子的，象好了，这个式子的象就是谁， a 和 b 这个式子的象就是谁。 a 和 b， 这是象和音式的区别，你得知道什么是 音，是什么是像吧？好了，对整体的音是为无从小进行代换。比如说举这么一个例子，阿尔法和 bat 是无从小，并且在极限过程中，阿尔法等价于阿尔法一， bet 等价与 bet 一 lame 他俩作弊。好了，这个阿尔法和 bet 是整体的一个因式吧， 可以代换了。你比如说把阿尔法换成等价的这个阿尔法一，把贝塔换成等价的这个贝塔一，也可以同时换上面换成阿法一，下面换成贝塔一。这是咱举的第一个例子。 再举一个例子，比如说有这么一个极限，雷梅他阿尔法成成型。阿尔法是什么？是整体这个式子的一个音势啊，那么阿尔法就可以直接换成阿尔法一。