26考研反函数

好，各位同学好，我们今天开始学习函数啊，对于函数这一块内容，是大家中学的时候比较熟知的一个内容，所以呢，咱们这一块学习的时候，整体思路是给大家进行简单回顾就好 啊。首先了解第一个内容就是函数的定义啊，那什么叫函数呢？哎，我们在中学学的时候，是不是老师就给你强调涉及到函数，涉及到三个内容，第一个叫定语，第二个叫直语，第三个叫对应法则， 是吧？然后也涉及到自变量、因变量以及。呃，这个一个对应法则 f 是 吧，那我们就简单来看一下哈，比如说我现在给了一个非空集合 d 啊，那这个 d 呢？它在这上面我就给设定了， 给了一个对应法则 f， 然后我在 d 里边每取一个值 x， 那 对应的是不是就有另外一个值 y 与它对应， 那这样的话我们就得到了一个函数，那这里边 x 的 取值范围也就是自变量它的取值范围，我们取了个名叫所谓的定域，然后对应的 y 的 取值范围，也就是阴变量的取值范围叫做值域，那这样的话我们就得到了一个函数 啊，对函数这一块呢，大家要了解的内容是什么？是我们这个函数啊，它有一个隐藏的信息，就是有一个 x， 都只有，或者都有一个 y 与它对应， 那这里边其实反映出来的是个映涉法则。什么映涉呢？就是有一个字变量，它只能对应一个音变量啊，这个大家要了解哈，其实就是咱们中学所学的单设啊。单设啥意思？就是一个字变量 啊，它只能对应一个音变量啊，只能对应一个音变量 啊，这就是所谓的函数对不对？函数一定满足的是单设这个思路哈，大家一定要注意一下，这一块给大家重点强调的也是这一块内容。当然最基本的内容，比如说对一个函数来说， 你要会求他的定域，他的值域，对不对？这些是我们的基本功啊，我们在这不多说了。好，这第一个内容哈，函数的概念好，有了函数概念之后，那函数有什么相关的运算呢？哎，我们来看一下 啊，函数的运算，第一个呢叫四则运算，那这个比较了解，是吧？就是加减乘除，我们就不多提了哈。第二个呢，叫复合函数，那这个复合函数其实就是一层一层之间的一个复合关系啊，比如说我现在给你个函数是 y 等于 f， u， 是 吧？然后再给个函数是 u 等于 g、 x， 那它俩一复合，我是不是就可以得到一个 y 等于 f、 g、 x 这么一个函数，对不对？那对于这个负函数来说，咱们中学学习的时候说，一定，如果两个函数要能复合，是不是一定要满足内层？这个函数的值域一定要包含在外层函数的定义里边儿， 对不对？这是我们中学重点给大家强调的。那在我们考研的角度里边啊，复合函数这一块，大家重点的是有了一个复合函数，你一定要能够分清它的内外层啊，因为我们后面涉及到的一个最基本的内容，就是对复合函数进行求导， 对吧？那我们求导的时候，哎哎，有部分同学现在应该能够回忆起来了，是吧？就是从外层到内层给他进行求导，那这样的话，我们是不是一定要注意复合函数谁是外层，谁是内层？如果你这个搞不清的话，那你对于求导来说，那肯定就 很麻烦了，是吧？啊，所以这是复合函数这一块哈，重点区分清楚内外层就好好。接着再往下 给了一个例题啊，来感感受一下哈。 f x 是 等于一的 s 方，然后又告诉你 f 罚 x 是 一减 x， 其中罚呢，是大于等于零的，让我们求这个罚 x 的 表达式以及它的定域 啊，那大家看哈，他告诉你了一个函数是 f 一 的 f 等于一的 s 方，然后又告诉你 f 罚 x， 它是不是就是 f x 的 一个复合， 对不对？那所以说大家想有 f x 等于 e 的 x 方，我是不是就可以推出我的 f 斐 x 哎，它是不是就等于 e 的 斐 x， 它的平方，对不对啊？这个应该比较容易理解，然后提设中又告诉你 f 斐 x 又等于 e 减 x， 那 是不是我就可以得到我的这个 e 的 斐 x 方，它刚好就等于这个 e 减 x 啊， 对不对啊？为啥？因为这两个都是 f 反 x 嘛，那所以肯定右端的这两部分也是相等的，那我得到它之后，我要求 f 反 x 的 表达式，那我就解呗，是吧？因为左侧这边是 以 e 为底的指数函数，那所以说我可以两边可以先取个 low， 那 取个 low 之后，左侧就变成反 x 方，右侧就是 low 一 减 x。 好，那下边我就需要干嘛给他开方了，对吧？那这个开方的时候，两边同时开个方，左侧是 f x， 右侧这一块呢，肯定是要对根号对 l e 减 x 开根号的，但这个开开根号的时候，理论上应该有个正负，但是题设中有一个条件，大家一定要注意，他说了 f 横大于等于零，那所以说呢，我们直接就取正的，就直接开根号就完事了。好，那现在就得到了 f x 的 表达式 啊，第一部分就解决了，但是除了要求表达式之外，是不是还要我们求 f x 的 定域啊，对吧？那这时候怎么办？ 你是不是要保证 f x 有 意义？大家想对这个 f x 有 意义的话，首先他在根号里边，那在根号里边要想有定义，是不是必须要保证根号里边大于等于零，对吧？所以说我们要确定定域的时候，我就需要要求 low 一 减 x 是 大于等于零的 啊，那我就知道零是不是就是 low 一， 所以说我就可以推出这个一减 x 就 大于等于一，那从而解出来这个 x 是 不是就小于等于零， 对吧？啊，所以啊，这样的话，我们就可以得到最终哈，这个反 x 的 表达式，它就等于根号下 low 一 减 x， 其中 x 呢，是小于等于零的，那就结束了 啊，这个题目其实没有什么太大难度，主要的就是这个复合函数啊，这个东西理解就 ok 了哈，好，这是啊，第二种运算，复合运算。好，接着我们再来看一下 啊，下一个例题告诉我们 f x 是 这样一个分段函数，然后让我们求 f f x。 好， 大家很明显可以发现，对于这个 让求的复合函数来说，它其实复合的层是不是要多了一层，相当于我复合了三层，对吧？那这时候处理的时候思路大家注意哈，我们在处理复合函数的时候，是从内层到外层逐层进行复合 啊，啥意思呢？你看哈，我现在就要先求的是 f f x， 也就是说先处理内层这一部分，那怎么办呢？我现在已知的是 f x 的 表达式，那我怎么得到 f f x？ 那很简单，我就是把上面这个分段函数里边的 f x 都给它换成 f x， 所以 我就得到 f x 就 等于一，当 f x 它的绝对值小于等于一的时候 啊，然后呢，当 f x 的 绝对值大于一的时候，它就是零啊，这就是我的 f x 绝对值是大于等于一或者小于一的，是吧？ 需要把它解出来里边的 x， 大家看你 f s 绝对值要小于等于一，看看什么时候能满足就 s 取什么的时候能满足 f s 绝对值小于一或者小于等于一，那跟这时候就要看 f s 表达式了，根据 f s 表达式发现它的取值呢，是不是只能取一和零， 从而导致 fs 绝对值是不是永远都是？哎？小于等于一了，对吧？所以说此时 fs 绝对值小于一，其实就等价于我这个 x 就 属于 r 了， 就负无穷到正无穷都 ok， 对 不对？然后你再观察一下 fs 绝对值如果要大于一，那这个是不是就说明我这个 x 不可能是吧？取什么值的时候都不行？不可能，所以他是个空集，那是不是就得到我这个 f f x 取的值只能是 e， 此时 x 属于 r， 对 吧？那到这一步，我是不是就把这个函数的内层啊，复合了三层吗？是吧？对，内层的 f f x 我 解决掉了。好，他解决了之后，我要求这个 f f f x， 那 我怎么办？哎，那现在我这个内层已经是已知的了，所以我就给它带进去，它的取值只能是一啊，所以它就等于 f 一， 那 f 一 是多少？我是不是就靠原来给的这个分段函数把 x 等于一带进去，显然它是在 上面这一部分，对吧？所以说他的曲值就是一啊，那这样的话，我们就把这三层复合给解决了，是吧？那他的处理思路很简单，就是从内层到外层逐次进行复合就 ok 了。所以这道题答案应该选 b 啊。这是啊，这个例题好，我们接下来来学习反函数啊。首先和函数一样，先了解一下它的概念啊，什么叫反函数？我们刚才研究了函数啊，给了一个函数 y 等于 f x 啊，它是定义在 d 上的一个函数，那也就是说就知道了它的定域值，域呢？是不是也可以求出来是 f d 啊？那现在呢？我对于每一个 y， 也就是说属于 f d 上的一个 y， 我 就可以通过 y 等于 f x 来解出来这个 x 等于 f 逆 y， 那 得到的这个对应关系 s 等于 f 逆 y， 就 称为原来这个函数 y 等于 f x， 它的反函数，当然它俩之间是互为彼此的反函数 啊，这是所谓的反函数的概念，但是对这个概念来说，有部分同学看着会比较抽象啊，我们稍微给他直白一点来解释哈，什么意思？就是说我先给你一个函数，是 y 等于 f x， 对 吧？那这时候根据这个关系呢，如果说我能够解出来这个 x 刚好等于关于 y 的 一个方程，也就是说解出了 s 等于 g y， 那这时候其实他俩就是一个什么呀，互为彼此的法海说了啊，当然我们习惯性的呢，是以 x 为自变量， y 为因变量的，所以说在这个基础上呢，我再让 s 等于 g y 这个表达式的 x 和 y 交换一下顺序，我是不是得到 y 就 等于 g x， 对吧？那此时我就哎，得到 y 等于 g， x 和 y 等于 f x， 它们就互为彼此的反函数。只不过这里边要注意的一点，大家看这里边的 x 其实是啥？是不是原来的什么呀，原来的 y 了，并且你再看这里面的 y 是 不是就是原来的 x， 所以 说我们就可以得到函数和它的反函数的定义，和值域之间是不是就交换了一下顺序，对吧？就原来函数的定义就是反函数的值域，对吧？那同样的值域就是反函数的定义 啊，这个要理解哈。啊，这就是所谓的反函数，只不过呢，我们对于反函数这个呢，我们给它取记号的时候，我们就没有给它写成是记的形式，我们给它写成了 f 逆啊，也就是啥意思？就是 y y 等于 f x， 我 就可以反解出来 x 等于多少，一解这个 x 等于 f y， 然后再让 x y 一 交换，那就得到 y 就 等于 f 逆 x， 哎，我们就得到了它的反函数，这就是反函数的求解思路 啊，大家能理解吧啊，所以如果要让你求一个函数的反函数，它的思路就是这样的，先反解方程，反解方程之后让 x y 一 交换就行了 啊，这就是所谓的反函数哈。啊，那对于这个反函数来说啊，我们刚才说的是什么呀？怎么求反函数？但是我们还涉及到很重要的一个问题，是不是每一个函数都有反函数，或者什么时候反函数才是存在的？所以下面我们来学习反函数存在的冲要条件。 这个冲要条件是什么呀？是要求自变量和因变量之间要满足一一对应。啥意思？就有一个 x 啊，我就只能对应一个 y， 同时呢，对应的这个 y 呢，也只能对应一个 x， 这叫一一对应啊。比如说，举个例子，我如果给你个函数是 y 等于 x 的 平方啊，是吧？大家看，对这个函数来说， x y 之间有没有满足一对应啊？ 啊？显然没有，为啥？因为这个函数的定义是 x 是 属于 r 的，是吧？哎，大家看，如果说我的 y 是 取一的话，我的 x 的 取值显然不止一种，是不是取正一和负一都 ok， 所以 说它的自变量和一变量之间并没有满足一一对应， 是这个道理吧。所以说哈，我们什么时候才有反函数？是自变量和因变量之间必须要满足一对应，现在给的这个函数就没有满足，对吧？所以说，此时 y 等于 s 方， s 属于 r 的 时候，它这个反函数它就不存在。 但是如果我告诉你 y 等于 s 方，但是我限制了一下 s 的 范围，比如说是大于等于零的，那此时大家看，是不是他有一个 x， 就 只能对应一个 y 了，那此时他的反函数，哎，就是存在的，那存在的情况下，你会不会求反函数呢？ 哎，很好求是吧？先去反解方程，哎，大家看，由 y 等于 x 方， x 大 于等于零，我是不是就可以解出来这个 x 就 等于根号 y 是 吧？然后呢，我再把 x y 交换一下顺序，我就得到 y 等于根号 x。 好， 那他就是我对应的 y 等于 x 方，当 x 大 于等于零的时候，这个函数的反函数啊，也就是说， 我就可以得到 y 等于 x 方，当 x 大 于等于零时，它的反函数为 y 等于根号 x， 但这个 x 的 范围是不是原来这个函数的值域？那它是等于什么呀？ 大于等于零的吗？是吧？最少是零是吧？所以是大于等于零啊，那这样的话，就把这个反函数给求出来了啊，通过这个哈，大家重点要掌握的就是反函数什么时候存在，以及啊，如果给了一个函数，你要会去求他的反函数就 ok 了啊，这个 内容就比较简洁啊，大家掌握住就 ok。 好， 那下边我们涉及到的就是反函数的性质啊，那这个反函数的性质，首先第一条呢，就是函数和反函数他俩之间的关系啊，其实是啥？是不是把 x y 交换之后得到的一个关系？ 所以说呢，哎，它俩之间的关系，或者它图像特点必定是关于 y 等于 x 对 称的啊，这是第一个。第二个呢，是定域和值域的关系是吧？刚才也说了啊，如果 y 等于 f s， 定域是 ab 是 吧？值域是阿法和贝塔，那么它的反函数的定域和值域是不是刚好就是相反的？ 同时呢，还涉及到一个内容，就是单调性，如果 y 等于 f， x 是 单增的，那么它的反函数也是单增的。 如果原来 y 等于 f x， 这个函数是单减的，那它的反函数也是单减的啊，这就是涉及到了什么呀？反函数的定域和值域是交换了一下，并且反函数的单调性是保持不变的 啊，就是原来的函数是单增的，反函数依然是单增，原来的函数是单减的，反函数依然是单减啊，这就是单调性这一块的内容给它掌握住好吧啊，这个我们就不多说了 啊，这是反函数的性质啊，那再往下我们就来研究一下函数的基本性质。那函数的基本性质，我们在这里面给大家重点介绍的是四个性质啊，单调性， 还有基有性、周期性以及有界性。我们就首先先了解第一个内容，单调性就什么叫做一个函数单调啊？我们刚才 说对一个函数来说，有了函数就有定域和值域以及对应法则。我现在给了一个函数是 y 等于 f x s 属于 d， 那 我在它的定域上 啊，干嘛我给他随便找两个点， s 一 和 x 二，我就不妨假设 x 一 是大于 x 二的好，这时候我就比较 f x 一 和 f x 二的大小关系，如果满足 f x 一 依然是大于 f x 二的 啊，那这时候我就称函数是单调增加的，也就是我们经常所说的增函数，单调递增的函数什么意思？就是自变量之间的大小关系与函数值对应的大小关系刚好保持一致，函数就单增 啊，当然如果是相反的情况下，函数就是单调递减的啊，这就是所谓的单调递增和单调递减。那我们这里边说的增和减呢，是严格的单增和单减， 但是还有一个定义是什么呢？是如果说任取了一个 s 一 x 二之后，它对应的函数值之间是满足什么呢？假设 s 一 大于 x 二的时候， f x 一 是大于等于 f x 二，也就是说有取等号的。这种情况，我们就称这个函数不叫严格的单增了，而称为单调不减 啊。单调不解， ok， 那 反过来，如果 f x 一 小于等于 f x 二， f x 二就叫单调不增啊。这就是所谓的这个单调性这一块哈啊，比较简单的一个概念，不多强调了。嗯，好， 再往下涉及到的就是单调性的性质啊。首先第一个性质呢？是啊，如果函数本身是有单调性的，那么他们相加之后的单调性也是保持不变的。比如说我们的 f 一 和 f 二本身是单增的，那么他俩相加之后依然是单增的 啊。那第二条，如果函数是单增的，他如果成个常数倍之后，单调性会怎样？我们就关键看这个常数啊，是大于零还是小于零。如果是大于零的，单调性就不变， 就原来增，现在还增，原来减，现在还减。但是如果说，哎，这个常数是小于零的，那么它的增减性就会相反，原来增，现在就减，原来减，现在就增， 对吧？这是第二条。第三条是复合函数的单调性啊，说 y 等于 f u 以及 u 等于 g x， 它的增减性是相同的，也就内层和外层都是单增，或者说都是单减的，那么它们复合之后都是增函数 啊。但是反过来，如果内外层的单调性刚好是相反的，那么它们复合之后就是一个单调递减的函数啊。这就是我们对应的复合函数的单调性 啊，这是单调性相关的这个性质啊，下边我们就来学习周期性啊，什么叫周期函数呢啊，这个大家在中学的时候也学的比较多，是吧，也也是一个很重要的概念，我们简单回顾给了一个函数 y 等于 f x 啊，那如果说对于它的定义域内的任意点 x 我 都有 f x 加减 t 就 等于 f x， 那 么我们就称 f x 是 一个周期函数啊，这个大 t 呢，就称为是 f x 的 一个周期啊。但如果说这个大 t 呢， 它是一个周期的情况下，那么对任意的小 n 也就是 n t， 它依然是 f x 的 周期 啊，这个能理解哈，那我们下边呢，就把这个最小的这个正数啊，就称为这个函数 f x 的 最小正周期 啊，这个都比较简单的一个概念，不多说了。然后咱们经常会涉及到的常见的周期函数，比如说正弦、余弦，是吧？到他们的周期或者最小正周期都是二拍，还有正切余切啊，最小正周期都是拍 啊，这是我们常见的这个周期函数，那对应的周期函数有什么性质呢？哎，我们来看一下第一个性质，如果小 f 是 以大 t 为最小正周期的，那么我们就知道他的常数倍是不是依然以大 t 为最小正周期。 但是如果说是 f c x 的 话，那它的最小正周期就是要大 t 比上 c 的 绝对值啊，这个就是它对应的这个最小正周期了啊，这个大家要掌握住啊，比如说举个例子，我现在给你一个函数是 sine x， 哎，我们知道 y 等于三引 x， 它的最小正周期是二拍，这个大家很清楚对不对？那现在如果给的这个函数不是三引了，而是三引二分之 x， 那 它的最小正周期是不是就应该是二拍，再除个二分之一，也就是四拍， 对不对啊？就是这么个意思哈。然后再往下第二个性质，说， f 一 和 f 二如果都是以大 t 为周期的函数，那么他们的限性组合也就是 k 一 倍的 f 一 加上 k 二倍的 f 二，他就依然以大 t 为 i 周期啊， k 一 和 k 二都是任意常数哈。 啊，这里边大家要注意的一点是啥？这时候最小正周期有可能会缩小是吧？啊？但也有可能干嘛啊？是不变的，你比如说咱们书上举的例子啊，扣三二 x 和三 x 对 f 一 来说，它的最小正周期是多少啊？这个大家要会求哈， 我们来看一下， f 一 x， 它是等于扣三二 x 再加上一个三 x 的， 哎，我们知道扣三亿二 x， 它的最小正周期是不是应该是我的二拍？除个二，也就说是拍那三亿 x 最小正周期，它是不是应该是二拍？那它俩相加的最小正周期是多少呢？ 啊？大家这个要掌握住。是啊，这两个函数的最小正周期的公倍数，所以说它的最小正周期就是二拍 啊，就是这么来的，那同样的哎，书上是不是哎，又给了一个什么呀？ f 二 f 二呢？它是等于三 x 的， 当然这个三 x， 它的最小正周期是不是也是 哎，我们的二拍是吧？也就是说我的 f 二 x 等于三 x， 那 它的最小正周期肯定也是二拍，但是这时候我的 f 一 和 f 二相减之后，大家看它是不是就变成了扣三元二 x 了，那它的最小正周期是不是显然就变成拍了 啊？所以说啊，两个函数对吧，他们的组合就原来是周期的，组合之后肯定也是周期的，只不过这个周期呢，有可能会变小。 ok 哈，好，这是我们对应的这个第二个性质啊，这是周期函数相关的性质，这一块比较简单，大家重点掌握的是常见的周期函数以及周期性的定义 啊，这个就 ok 了啊，相关的这些性质也比较简单，很容易理解。好，再往下我们就来看第三个性质，叫旧性啊，旧性这一块，我们也是重点了解定义以及常见的旧函数 啊。那对于既有性这一块呢，首先要注意的一点，一个函数要想具有既有性，它有一个前提条件，就是定域必须先关于原点对称。就既有性，它的第一条就是必须要满足定域。关于原点对称 啊，这是很重要的一个条件，必须关于原点是对称的啊，这是第一条。第二条呢，你再看 f 负 x 与 f x 的 关系，如果相等，这时候就是偶函数， 如果发现现在不是相等，而是互为相反数，那这时候就是奇函数 啊，这就是奇偶函数它的定义啊。所以大家在判断一个函数是奇函数或者偶函数的时候，你的第一步一定要先看定域是不是关于原点对称，关于原点对称的情况下，我们再去考虑这个函数啊，它的 f 负 x 和 f x 的 关系 啊，这是我们对应的这个奇偶函数的定义。那常见的奇偶函数呢啊，最简单的一种就是 m 函数，就是 x 的 k 次方，那当 k 呢，是个奇数的时候，那它就是个奇函数，当 k 是 偶数的时候，它就是偶函数。 再有的奇偶函数就是大家比较熟知的三角函数，是吧？像三 e， x， cosine， x 这些啊，我们知道三 e， x 是 个奇函数， cosine 呢，它就是个偶函数。除此之外呢，还有正切贪心的 x， 它也是个奇函数。当然，如果再写的话，是不是还有 cosine 的 x， 它也是个奇函数，对不对？ y 等于 cosine 的 x 啊。那还有偶函数有啥？比如说 y 等于 loon x 的 绝对值啊，绝对值函数，是吧？这个函数依然是个偶函数 啊。那除此之外呢，还有一个函数，这个大家可能相对来说比较陌生，是 y 等于 loon x， 加上根号下一加 s 方，这个函数呢，它是一个奇函数 啊。当然有同学可能说，哎，他怎么就是个奇函数呢？我们来简单看一下哈。对于这个函数来说，我们要判断它的奇偶性，首先要看定域是否关于原点对称，所以我需要先找它的定域， 对吧？那这个函数的定域，大家看是不是只需要把满足内层的大于零就行，对吧？但是我们很明显可以发现， x 和根号一加 s 方啊，这两部分相比，那绝对值比较大的肯定是个根号这一部分，所以说呢，他永远都是 大于零的，所以我们就可以得到它的定域，就是 x， 干嘛属于 r， 也就是说，你 x 无论去多少我的 low 里边，这一部分都大于零，那定域既然是 r 了，就负无穷到正无穷，它肯定是关于原点对称的了，所以说我要判断它的旧性，那就是看看， 哎，当 s 取负 x 的 时候，是吧，与原来这个函数的关系而相等，就是 o 的 互为相反数就是 g 的， 那我就来看一下这个 y 负 x， 哎，你会发现它就是把里边的 x 变成负 x， 变成这么一个表达式，那它等于什么呢？哎，我们来看一下这个根号里边就是 long 里边是不是出现了一个根号减 x 的 形式，那遇到这种情况，哎，我们在中学其实学习过，就用有理化的思想，什么叫有理化呢？就是乘个根号加 x 啊，本来这个分母 可以理解为是个一，我就可以上下同时乘个根号，一加 s 方加 x， 那 我的分子里边是吧，也乘完之后，是不是我再写一步吧，减 x 乘个根号下一加 x 方，加 x 就 变成这个样子，我们稍微给它处理一下，它是不是就变成了，看一下分子上哈，是不是变成了根号下一加 x 方，再减个 x 方，那是不是就剩个一了，是吧？哎，我的分母就抄下来， 然后我们再用对数函数的运算性质，那就是负的 l 加上根号下一加 x 方，对吧？那显然这个是不是就等于我的负 y 啊， 是不是啊？所以说我们就得到它是一个奇函数啊，这个大家要掌握住哈， low x 加上根号下一加 x 方，它为奇函数 啊，这个掌握住以后遇到之后直接拿来用就好了啊，好，这是我们对应的常见的就函数。接下来我们来看一下就函数的性质啊，首先第一个性质呢，就是它的图像的特点 啊，对于偶函数来说，它的图像呢，是关于外轴对称的啊，奇函数的话，它的图像是关于圆点对称的啊，这个就不多说了。然后再往下涉及到的就是奇偶函数限性组合的性质啊。比如说，我现在给你两个函数， f 一 和 f 二，如果都是奇函数，那他们组合之后仍然是奇函数 啊。如果是偶函数，组合之后仍然还是偶函数，我们重点要掌握。第三个性质就是函数啊，如果说本身是奇偶函数，那他们相乘之后的就行 啊，如果原来是奇偶性相同的两个函数，那么乘积之后就仍然是偶函数。啥意思？就是积乘积是吧？是偶函数，偶乘偶仍然是偶函数，但是如果奇偶性是相反的，一积有，那么它们相乘之后就是一个奇函数 啊，这是第三个性质。然后第四个呢？是说如果给了一个函数，它的定域呢？是关于原点对称的，那么我就知道 f x 的 绝对值啊，这个函数它是个偶函数，还有 f x 加 f 负 x 啊，这有个除个二 是吧？啊，他就是一个什么呀？哎，偶函数，当然你要不除二，他也是个偶函数哈。然后 f x 和 f 负 x 相乘的也是一个偶函数，这个呢，利用这个奇偶函数的定义啊，一判断就好了，比较简单，我在这就不给大家推了。然后还有 f x 减 f 负 x 的 话，他就是一个 基函数啊，这就是我们对应的常见的基函数的基础上，又给大家拓展了几个。好，那有了这个性质之后，哎，我们发现 f x 加 f 负 x 除个二和 f x 减 f 负 x 除个二一起有，大家有没有发现，它俩加起来是不是刚好就等于我们的 f x， 所以说呢？哎，我们就可以得到第五个性质啊，就是任意的一个定域，是对称区间上的函数，它都可以写成一个奇函数和一个偶函数的和啊，也就是 f x 可以 写成这种形式 啊，都比较简单哈，在这不多说了，这是奇偶函数啊，相关的性质。好，下面我们来看一下这个例题啊，他告诉你 f 是 奇函数，既是偶函数，让我们判断下列复合函数中是奇函数的式啊。这个考察的内容其实就是判断奇偶复合函数的解偶性 啊，那我们就可以来简单看一下啊，对于第一个选项，它是 f f x 啊，那我要判断它的奇偶性的话，我是不是就把里边的 x 先令成 f， 呃，先令成负 x， 得到 f f 负 x 啊？因为我们知道 f x 是 奇函数，它就满足 f 负 x 是 等于负的 f x 的， 对不对？所以说我的内层 f 负 x 就 变成了负的 f x。 好，又因为外层这个 f 也是个奇函数，所以说我的 f 负的 f x， 它就等于负的 f f x， 对 吧？那所以说，我们根据奇偶函数的定义就得到 f f x， 它就为奇函数 啊，这是我们的 a 选项，是吧？啊，他问的是，哎，是奇函数的式，那这样的话， a 其实就选了，是吧？然后我们再来看这个 b 选项， b 呢，给的是 g f x， 哎，我们来观察一下这个函数，它内层是 f， 外层是 g， 是 不是内层是 g 的， 外层是 o 的， 那我们来看一下它到底是 g 的 还是 o 的， 那我就把里边的 x 变成负 x， 那 对应的，因为 f 是 g 的， 所以说它就等于 g 负的 f x， 又因为 g 是 偶的，所以说它就是 g f x， 哎，大家看一下，你是不是得到 f， 呃， g f 负 x 就 等于 g f x， 所以 说我就得到这个 g f x， 它就为偶函数， 对不对？哎，这是我们的 b 选项，所以不选。然后再看 c 选项，来啊，它是 f g x 啊，那这时候你同样的把道理，你把 x 换成负 x， 又因为 g 是 o 的， 所以它就是 f g x， 是 吧？哎，那这样的话，大家有没有发现，此时我的 f g x， 它就等于 f g 负 x， 那 我是不是就可以推出我的 f g x， 它就是偶函数， 对吧？然后你再看 d 选项是 g g x， 那 我就把 x 依然令成负 x， 就 得到 g g 负 x， 因为 g 是 偶函数，所以它就等于 g g x， 对 吧？哎，这样的话，你是不是就得到我此时的 g g x 这个函数，它依然是一个偶函数 啊，依然是这么一个偶函数，那这样的话，我们这道题肯定就选 a 了，是吧？但是我们再来分析一下这类，这个，这个整个题型哈，整个题目哈，这四个选项能得到什么信息？首先我们来看一下 c、 d 两个选项，你会发现哈，它的内层是不是都是 g x， 是吧？内层是 g x， 啥意思？是不是内层都是个偶函数，是偶函数之后你看外层，不管是 g 还是 f， 也就是说，我不管你的外层是偶函数还是 g 函数，我最终得到了这个复合之后的函数，是不是都是偶函数， 对吧？所以说，由 c、 d 两个选项，我们可以总结一下哈，复合即偶函数，复合之后的性质就是内，偶则指于偶。 啥意思？就是只要你的内层是偶函数，那么整体这个复合之后的函数就一定是偶函数， 然后对于 ab 两个选项呢？哎，我们很明显可以发现它的内层都是 f， 那 f 是 不是都是 g 的， 内层是 g 函数？那我再看最终复合之后的函数，当我的外层是 g 函数的时候，复合之后就是 g 函数，当我的外层是偶函数的时候，复合之后就是偶函数。啥意思？是不是当一个 复合函数，它的内层是基函数的时候，那这个复合之后的函数到底是基的还是偶的，是不是就与外层的保持一致了，是吧？所以呢，这个总结出来就是内基则川之外 啊，则川至外啊，其实就是下面小节里边给大家说的内容哈，那所以呢，大家在学的过程中，或者说以后判断复合的这个函数的基数性的时候，你就可以直接用这个法则做题的话，就会更快一些，提高我们做题的效率。 好，这是我们对应的，这个就函数好，下边我们再来看一下最后一个性质，叫有界性啊，什么叫有界啊？我们来先看看定义啊，给了个函数 y 等于 f x 啊，如果说现在呢，我存在一个实数大 m 啊，对于定义里边的任意点 x， 使得 f x 都小于等于大 m， 那 此时这个大 m 我 称为是 f x 干嘛？它的一个上界，我就称函数在去 d 上是有上界的啊，这叫 上界是吧？然后呢，如果我现在又有一个小 m， 使得在定域域内 f x 的 取值呢，都比小 m 要大，也就都大于等于小 m， 那 此时这个小 m 我 就称为是 f x 的 爱下界啊，或者说它是它的一个下界 啊，那什么叫有界呢？有界的意思就是我这个函数 f x， 它既要有上界，又要有下界，对吧？说的直白一点，是不是说对于任意的这个 x 属于它的定域 d 我 都有 这个 f x， 它是大于等于小 m， 小 于等于大 m 的， 那这时候我就称这个函数 f x 有 界， 就称 f x 是 有界的，对吧？这就是所谓的有界啊，就是说，再说的直白一点，是不是大家可以理解为是这个函数它对应的值域是一个有限的范围或者有限的区间，那这就是所谓的有界型 啊，很简单的一个东西。那当然有同学可能会说，那它的图形应该是怎样的呢？这个我们也可以简单的了解一下哈，这是 s 轴 y 轴啊，假设呢？我大 m 就是这啊，我的小 m 假设就在这。哎，你这个值域既然是在大 m 和小 m 之间了，是不是说明你的图形的走势肯定能够通过大 m 和小 m 这两条线，干嘛给他限制 框进去是吧？啊，就是说你可以在这来回给他哎，跳动，但是呢，你不能超过大 m， 你 也不能越过小 m， 这就是所谓的有界函数，它的一个图形的特点， ok 哈。啊，这叫有界，大家一定要注意，函数有界一定是既有上界又有下界，上下界都要有才行啊，这是我们对应的有界性的定义，当然我们有时候可能也会遇到这个有界性的定义，会这么定义哈，就有些题目中可能会说，他说可能我就找到了一个正数大 m， 对吧？那对于任意的 x 属于这个 d 呢？我都有 f x 的 绝对值哎，小于等于这么一个正数，哎，大家看，这是不是也叫有 g 啊，很容易吗？你把绝对值符号于去，你是不是得到 f x， 它现在是大于等于负的， 哎，这个大 m 小 于等于正的大 m， 那 这不就是上面这个定义的形式吗？对不对？所以说它确实也是有界的， ok 哈，此时也是有界 啊，所以说以后你再判断一个函数有没有介的时候，你就可以找，哎，第一种形式就是大于某一个数，或者大于等于某一个数，小于或者小于等于另外一个数，或者说呢，你就看他的绝对值啊，是不是小于等于某一个正数， ok， 哈，好，这是我们对应的这个有介性他的定义。好，下面我们就来看一下常见的有介函数，大家比较熟的，像三角函数里边是不是三 x 是 吧，或者说扣三 x， 就正弦和余弦函数，他们都是有间函数，还有啥？嗯，比如说符号函数，可能这个大家稍微陌生一点，是吧，当 s 大 于零的时候， 他就是一啊，小于零的时候呢，就是负一，等于零的时候就是零，所以这叫符号函数，想让它的取值范围介于负一和一之间，是吧，就只有仨值吗？所以说绝对值小于等于一，这也叫有间？还有反三角阿克塞隐 啊， x 三也 x， 它的这个值域呢，是负二分之拍到二分之拍之间，所以说呢，它也是一个有界函数啊，常见的有界函数哈， 大家要掌握住，遇到之后也应该能够快速的判断出来是一个有界的函数啊，下面我们来看一下如何判断一个函数的有界型啊。首先呢，我们先来看一下我们对应的 呃，第二个小题啊，它呢比较典型啊。第二个小题，它给你的函数呢，是 sine e 的 x 四方比上一个 s 加一，哎，那我们知道，对于这个函数来说，它的外层 sine 是 不是就是一个 有界函数？哎，对，是吧？那这样的话，我们已知的信息是啥？是对于 y 等于 sine x 这个函数来说，它无论 x 取的是哪一个范围，也就属于 r， 是 吧？我对应的都是一个有界函数， 那既然这样的话，我给的这个 sine e 的 x 次方比上 s 加一，这个函数，它是必定就是有界的， 对吧？为啥？因为你的内层函数一的 s 四方比上 s 加一，无论你怎么取值，你最终是不是肯定是在 r 上，或者说肯定包含在 r 里边，对不对？所以说这个就是一个有解函数啊，这就是第二题特别好处理。那他处理的思路呢？就是借助了常见的有解函数， 借助有界函数啊，来去判断函数的九型，这是我们判。呃，判断函数的有界型，这是我们判断有界型的时候常用的一种方法，也是特别好用的一种方法，既快速又简洁，是吧？啊，这是我们的第二个题，然后下面我们再来看第一个题 啊，给的是 x 比上一加 s 方。那首先第一个呢，我们也是要看一下这个函数的定域啊，发现是不是也是 r， 那 我要判断有界的话，那我就 看一下它的绝对值，哎，能不能满足，哎，有界性的定义也就小于等于某一个正数就 ok 了，如果能的话，那是不是也就结束了，是吧？啊，那这个大家看，加个绝对值之后，它是不是可以处理成是 x 绝对值比上一个一加 s 方， 对吧？那然后再怎么做呢？哎，我们现在就考虑一下哈，我把这个一加 x 方和 s 绝对值之间看看有没有什么关系啊。这个呢，其实就是我们常见的一些不等式啊。常见不等式里边什么呢？我不知道大家有没有印象哈，有一个不等式叫均值不等式 啊，均值不等式啊，它的内容是啥呢？是说啊， a 方加 b 方大于等于二倍的 a b， 对不对啊？当然有些题目在用的时候，可能用的是啊，它的变形，说 a 大 于等于零， b 也大于等于零的时候，我这个 a 加 b 呢，是大于等于二倍的根号下 ab 的， 对吧？啊，这就是我们所谓的均值不等式哈，那对于我们这道题来说，正好用一下这个等式，大家看，比如说我们先除以这个分母吧，你这个一加 x 方，它是不是可以理解为是一的平方加上 x 的 绝对值的平方， 对不对？他肯定大于等于二倍的。什么呀？一乘 s 绝对值，那就是二倍的 s 绝对值，那从而我是不是就可以推出这个一加 x 方分之一，他就小于等于二倍的 x 绝对值分之一，那从而我就可以得到 s 绝对值比上一加 x 方之后，他就小于等于 x 绝对值，比上二倍的 s 绝对值，那这不就是二分之一吗？ 对吧？所以说我现在就可以推出，哎，我的 x 比上一加 s 方这个函数依然是一个有界函数啊，这就是我们对应的第一个题，处理的时候就借注意了，常见的不等式， ok 哈，那除此之外呢？哎，咱们书上是不是还有个第三问，哎，让你求 x 乘三 x， 哎，他到底是不是有界？当然很多同学看到这道题之后，哎说，哎，老师很明显可以发现这个 x 乘三 x 啊，他的定域是不是依然是 x 属于 r， 那 当 x 属于 r 的 时候，这个 x 是 能去无穷的啊，所以他应该是无界的，是吧？很多同学看到这道题之后啊，很快速的能够判断出来他无界，那怎么说明他无界呢？ 哎，这个大家要注意哈，怎么说明无界？其实很简单，我只需要证明他没有上界，或者说没有下界，只要没有一个界，他对应的就无界了，对不对？那我怎么办呢？大家想，他如果没有上界，是不是可以理解为我对应的这个表达是他最终能够趋于正无穷， 对不对？他如果没有下结，是不是代表着这个表达式最终能够去负无穷？那这样的话，这个函数就是无界的。所以说我们处理的思路就很简单，我就看看对于这个表达式，哎，我给他取个极限，最终能不能到无穷就好了，正负无穷都 ok， 是 吧？那对这道题来说，因为他的定域 x 是 属于 r 的， 那这时候我的 x 呢？我就可以取啊，任意的值，那现在这个表达是，如果说只有 x 的 话，他肯定就无解了，对不对？但是他关键有个三引，那这个三引我怎么办？ 哎，我们可以把这个三引啊，给他通过 x 的 取值，让他取一个特定的值，这个还是比较容易实现的，是吧？比如说，我就举个例子哈，我就令我这个 x 就 取上，比如说，我就取个呃，二 k 牌， 再加个二分之拍，假设我就这么取，那我这样这么取完之后，大家想一下，我这个 x 乘上三引 x 这个表达式，现在是不是就是二 k 拍，再加上二分之拍， 再乘个三，一，它三一，它就是一了，是不是？哎，大家很明显发现我这个 k 呢，是取的所有的正整数啊，所有的整数，那这样的话，它是不是当我的 k 趋近于正无穷的时候，就必然导致，哎，我的 x 乘上三引 x， 最终就可以趋正无穷， 对不对啊？那这样的话，它就干嘛就无界了呗，对不对啊？它就没有上界，是吧？此时它就无上界， 他没有上界，没有上界，从而干嘛？从而就无界， 对不对啊？所以说我们就得到了这个函数是无界了， ok 哈，所以呢，通过这个第三题，我们就得到判断一个函数如果说是无界的话，我们的思路就是求哎，他的极限， 发现这个极限呢，是可以去无穷的，正无穷或负无穷都 ok， 是 吧？这就说明他无界了， ok 哈，好，这是我们对应的这个呃，这道例题，然后判断有界和无界的思路，大家要给他掌握住。其实如果说判断一个函数的有界性，说的直白一点就是你要正它的值域是一个有限的范围，如果说对应的啊，什么常见的含 这个有界函数呀，或者说常见的不等式啊，这些等等都不好处理的情况下，你也可以考虑求函数的值域，当然这种方法就比较繁琐了，但是思路是 ok 的， 好吧，好，这是我们对应的这个啊，有界性 好，再往下呢，我们就来看一下我们涉及到的函数的分类啊，里边呢，涉及到第一个就是基本出等函数，那这些函数呢，就是我们中学所学的那些常见函数啊，什么密函数啊，指数函数啊，对数函数啊，三角函数和反反三等函数，这些就是所谓的基本出等函数。不多说了，那再往下还有一个定义叫出等函数。 什么叫出等函数啊？它是有一个严格的自身定义的，是由常数和刚刚上面说到的这五类基本出等函数，经过有限次的四则运算和有限次的复合运算之后，是吧，得到了一个函数，就叫做出等函数， ok， 那 通过这个定义，大家想这个出等函数，它是不是就是通过这五类再加上一个常数，通过有限次的加减乘除和有限次的复合之后得到的函数？所以说我们就知道这个出等函数哈，它肯定有具体的表达式， 对不对？它有具体的表达式，并且呢，它肯定还不是一个分段函数，所以说这个出等函数的定义，我们也可以简单理解为就是有具体解歧式或者有具体的表达式 且不分段的函数 啊，这就是所谓的出等函数。当然，从这个定义里边，我们是不是也要注意的一点就是，啥？就是我的分段函数，它肯定就不是出等函数， ok 哈，啊，这是我们对应的这个初等函数的定义啊，当然，下边咱们给了一个呃，新的名词叫秘制函数啊，当然有部分同学了解，有部分同学不理解哈，啥意思？就是 u x v s 四方这种函数就叫做秘制函数。这种函数呢，我们在中学里边没怎么涉及，但是呢，它其实不陌生， 为什么？因为对于这个密值函数 u x 的 v x 次方来说，我可以给它做个横等变形啊，我给它先取个以 e 为底的指数函数，然后再取个以 e 为底的对数函数，它俩之间是互为反函数的，所以说这个 u 的 v， 它是不是肯定可以写成 e 的 loon u x 的 v x 次方，对不对？然后对这一部分来说，我再利用一下对数函数的运算性质， loon a 的 b 次方是等于 b 的 loon a 的， 所以说它就可以写成 e 的 v x 乘 loon u x 次方， 对吧？啊，那这样一转化之后，大家看我是不是就把我这个密值函数转化成了一个复合函数啊？是吧？以 e 为底，外层是一个以 e 为底的指数函数，这样的一个负函数， 所以这种函数呢，对我们来说是不陌生的，所以大家遇到它之后不要害怕，只要遇到秘制函数，我就这样转化。那这个转化的公式呢？我们给他取个名，叫对数横等式， ok， 叫对数横等式，以后遇到之后直接写成这种形式就 ok 了哈，叫对数横等式，直接转。 嗯， ok， 好， 它属于出等函数里边，相对来说大家陌生一点的。嗯，转化之后就变成熟悉的了。好，这是我们对应的这个出等函数。好，再往下呢，就是分段函数，我们刚才说了分段函数，它不是出等函数，对吧？ 啊，不是出等函数啊，当然，什么叫分段函数，那很简单，那就分段的函数吧，对吧？当然这种分段的函数呢，它确实就直接分段了，比如说就这种形式是吧？ 啊，分了两段，当然下边这个符号函数是不是分了三段？绝对值函数，是吧？啊，他这些都是分段函数，包括取整函数 啊，最大值函数、最小值函数等等，这些都是分段函数，但是呢，只不过有些题目他在处就是在定义分段函数的时候呢，他确实表达是呈现的，就是这种 分了两段的形式，但是有一些呢，他可能就没有写成分段，比如说绝对值函数，我其实就可以直接写成是 fs 绝对值，我不写成后面这个大括号的形式，是不是也 ok， 对 吧？像这种分段函数，你遇到之后，像这种是吧？你遇到之后你干嘛？你就要小心，虽然他可能写的时候就写的是 fs 绝对值， 但是它本质上是个分段函数，对吧？啊？包括什么呀？取整啊，绝对值函数包括什么呀？符号函数，最大值函数，最小值函数，这些都是藏的比较深的分段函数，但是你要注意，它本质上依然是分段的 好吧？啊，这是分段函数的定义，再往下有个引函数，什么叫引函数？就很简单哈，就是表达是不够明确的啊，比较明确的是啥，就告诉你 y 等于 f x， 对 吧？那这样的话，这个表达式就很清楚， y 之间的关系，我是 很很明确了，是吧？但是呢，这种引函数呢？啥意思？就是它体现出来的是 x 和 y 之间的一个关系，但是对于这个关系来说呢？哎，我没有给你明确的写出来 x 啊，就是 用 x 来表示 y， 或者用 y 来表示 x 的 形式，这就叫做引函数啊，这个比较简单，不多说了。参数方程，简单来说就是带有参数的方程啊，就是它本来体现的是 x y 之间的一个关系，但是呢，我中间用一个参数 来给它作为一个纽带，哎，把 x y 和连接连接出来，但是 x y 之间呢，其实没有什么 直接的关系，它是通过这个 t 啊来转化的， ok， 这叫参数方程。然后下边还有极限函数啊，它也是个函数，只不过呢，你是通过 表达式中有极限，就是你通过把这个极限解决出来，最终才能得到这个具体的表达式叫极限函数。还有后面我们要学到的变现积分函数啊，或者说积分上限函数。好，这是我们常见的一些啊，函数 好，再往下，我们主要了解的就是我们中学里边涉及到的一些常见公式啊，比如说代数公式里边，密函数是吧，它的公式包括对数函数的运算公式，这些大家都要熟练掌握啊，当然在这呢，可以稍微再给大家补充一下，有部分同学也可能会遇到什么指数函数的运算性质， 就是指数函数啊，涉及到的什么？比如说 a 的 x 加 y 次方，以及 a 的 x 次方的 y 次方，它就是 a 的 x 乘 y 次方，这些也是我们经常用到的，所以大家要熟练掌握 好。再往下呢，就是我们的一元二次方程里边涉及到的问题啊，那比如说图像是吧啊，通过 a 的 符号判断开口向上还是向下，以及对称轴求根公式，根的判别式是吧，以及对应的这个根 到底实根还是虚根，包括我们的微答定律，两根之合以及两根之积，这些大家都要给它熟练掌握啊。多项式这一块呢，我们重点给大家讲的是两个， 第一个呢，是 a 加 b 的 n 次方是吧？等于 c n k 乘上 a 的 k 方， b 的 n 减 k 次方啊， k 从 e 到 n 给它进行求和。这个呢，其实就是我们所啊中学所学的二项式展开定例啊，二项式展开定例 啊，二项式展开定力啊。然后后面这个是 a 的 n 方减 b 的 n 方，等于 a 减 b， 乘上 a 的 n 减一次方，加上 a 的 n 减二次方，乘 b 依次往后加，这个加的时候是 a 的 次方逐次减少 e， b 的 次方逐次增加 e， 对吧？啊，这是我们对应的这个多上式里边常用的两个哈啊，然后再往下就是常见不等式是吧？比如说第一个叫三角不等式啊，然后第二个或者第三个我们称它为是刚才写到的均值不等式。然后下边呢，是常见的两个啊，在三角函数域， x 的 一个关系就是在零到二分之拍上三 x 小 于 s， 小 于 tan 的 x， 在 大于零的情况下， lo 一 加 x 是 小于 x 的， 又小于一的 x， 四方减一。好，这些基本公式大家就熟练掌握，直接拿来用就好了。 好，再往下就是竖列，那竖列这一块我们在中学学的比较多的就是等差等比竖列是吧，涉及到的就是它的前 n 项和这些都熟练掌握， ok 哈，当然对于等比竖列这一块哈。嗯，那我现在对 sn 求极限的时候，也就是说对这个表达是求极限， 如果这个 q 也就是这个公比它的绝对值小于一的时候，大家看你这个一减 q 的 n 次方，当 n 去无穷的时候，它的极限是不是就是一啊？ 因为这个 q 的 n 次方的极限就是零，对吧？啊，所以说我们最终就可以得到 sn 的 极限，就是 a 一 比上一减 q， 也就手向比上一减公比啊，这些东西都比较简洁啊，以后就直接拿来用 好吧。好，再往下就涉及到三角函数这一块，那涉及到的第一个内容呢？就是三角函数里边的函数关系啊，就是正切等于正弦比余弦，是吧？然后我的这个余切呢？等于一比 啊，这个正切也就是啥意思啊？就正切和余切相乘之间等于一。还有涉及到正割等于余割的倒数，然后，呃，正割等于余弦的倒数，余割等于正弦的倒数，然后还涉及到与一相关的这三个公式啊，大家都给他熟练掌握，拿来用就好了。 然后还有诱导公式，这个诱导公式里边哈，呃，主要就是掌握住我们中学里边老师给大家讲的那个口诀，叫即变偶不变，符号看象限，即变偶不变。 哦，符号看象限 啊，就是这个口诀就 ok 了 啊，当然怎么理解，我们帮大家简单回顾一下。比如说我现在处理以三元为例哈，处理三元 x 加二分之 k 拍，那这个处理的时候既变我不变，这个 g 和 o， 大家注意它指的其实就是这个 k， k 是 个基数还是偶数，这个变不变指的是谁？就是我的函数名， 我函数的名称到底变不变。比如说我就以三元 s 加二分之开二分之 k 拍为例，如果说我这个 k 它是一个基数 啊，积变啥意思？就是函数名就要变了啊，就是原来是三也吗？现在就要变成什么呀？啊，就要变成扣三也，就是扣三也 x， 但如果 k 是 个偶数 哎，偶不变，那函数名就不变，就还是三也 x， 然后还有后面这一句话，符号看象限啥意思？就是你这个处理完之后对应的三也或者扣三也 x， 前面这个符号到底是正号还是负号？你看什么？ 看象限？看什么象限？看处理之前对应的这个角在第几象限啊？因为我外层是三爷吗？如果说这个角在一二象限，那我前面的符号就取正 啊。如果说我对应的这个角在第三四象限，那我前面这个符号就取负啊，就是这么个意思啊，简单回顾一下哈，就既变偶不变，符号看象限这么一个意思啊，那下面这些公式其实都是根据这个诱导公式来推出来的啊，我们在这就不带大家一个一个过了 好再往下呢，涉及到的就是两个角和或者是差的公式，对吧？啊，那三引和扣三引两角和差的公式呢？这个 就是直接拿来用就行了。那后面我们重点要掌握的就是这个倍长公式，三引二 x， 他 怎么来的哈，他等于二倍的三引 x 乘 q 三 x， 但是他怎么来的？ 其实就是把二 x 写成了 x 加 x， 那 你在利用上面讲到的两个角和的正弦公式，打开就是三扣加扣塞，那这样的话，一整理之后就是二倍的三 x 乘三 x 啊，直接拿来用好 cosine 二 x 也是一样的，就写成 cosine x 加 x， 然后利用两个角和的余弦公式，打开之后就是 cosine 方减 cosine 方啊。当然后面这两个公式呢，它是借助于了 cosine x 方加上 cosine x 方是等于一的这个公式。 比如说，我把这个表达式里边的三引方，是不是就可以写成一减 q 三引方，带进去一整理之后就变成了二倍的 q 三引方减一。同样的，你也可以把这个 q 三引方写成一减三引方，一整理就是一减二倍的三引方， 对吧？我们经常用的这个背角公式，其实是这个哈，当然还涉及到是两个角的正切，对吧？贪心的阿法加贝塔。比如说和的正切公式，它就等于贪心的阿法加贪心的贝塔比上一减贪心的阿法乘贪心的贝塔，那如果是贪心的二阿法的话，一样的给它写成贪心的 x 加 x， 给它用上面这个公式，就是二倍的贪心的 x 比上一减贪心的 x 的 平方， ok 哈，这就是所谓的倍角公式啊，这是我们正常用到的倍角公式。当然，我们可能还会倒过来用所谓的半角公式，比如说你有三元二 x 等于二倍的三 x 乘 q 三 x 了，你是不是就可以得到三 x 乘 q 三 x 就是 二分之一倍的三元二 x， 对不对？同样的道理，你有扣三衍二 x 等于二倍的扣三衍 x 方，是不是可以得到扣三衍 x 方就等于二分之一加扣三衍二 x 是 吧？同样的，可以解出来，三衍 x 方就等于二分之一减扣三衍二 x。 哎，这就是我们常用的 半角公式啊，其实他和背角公式是一个公式啊，大家用的时候都直接拿来去使用，要熟练掌握住好，再往下还涉及到机化和差，或者说和差化机公式 啊，这个公式呢，可能对大部分同学来说就很难记忆，我们在这呢简单给大家说一下啊，怎么理解他，所以你以后用的时候你就啊去现场 啊，可以去推一下，你理解它的话就去推，就不用死记啊，或者死背公式了。比如说我们就以这个 cosine alpha 加 cosine beta 为例，对吧？我怎么处理呢？我是这样的，我的理论基础哈是第一步把这个 alpha 和 beta 分 别给它表示出来 啊，怎么表示呢？我把阿法给它表示成是阿法和贝塔相加，除个二和阿法和贝塔相减，除个二之后，大家看这两个角一加是不是刚好是阿法，这个贝塔呢？也是一样的，只不过呢，这时候要让它俩相减 是贝塔对不对？那这样一处理之后，大家再来看我这个 cosine 阿法加上一个 cosine 贝塔的话，我是不是就可以把这里面的阿法和贝塔用我上面表示的形式那两个角给它带进去了？ 所以 cosine r 加 cosine 贝塔，它是不是就等于我的 cosine 二分之 r 加贝塔加二分之 r 减贝塔 之后再加上一个 cosine 二分之 r 加贝塔减二分之 r 减贝塔，然后我再利用两个角和或者是差的正弦公式给它打开，那对于 cosine 前面这一部分，它是不是就是 cosine 乘 cosine 再减去 cosine 乘 cosine 对 不对？然后再加上后面这一块的话，很明显是两角两角叉的与选公式，它是不是应该是 cosine 乘 cosine 再减去啊？加上是吧 cosine 乘 cosine， 哎，得到它，那这时候这两部分一合并，大家看是不是这两部分的塞塞刚好抵消了，所以我就剩二倍的 qq 乘上 q 三也二分之阿尔法减贝塔，对不对啊？那这样的话，通过这个推导，你是不是就得到 q 三也阿尔法加贝塔就等于二倍的 q 三也二分之阿尔法加贝塔乘上 q 三也二分之阿尔法减贝塔， 对不对？我就得到它了啊。这就是所谓的什么呀和差化积。以后只要处理和差化积的思路都是这样的 啊，就是把那俩角表示成这俩角和的二倍和这俩角差的二倍的和或差啊，然后再用正弦或者余弦的这个两角和差的展开公式去给它处理就 ok 了 啊，这叫和差化积哈，当然可能有同学说还有计划和差呢。计划和差就更简单了，你看，根据我们刚才的推导，我是不是得到 cosine alpha 加 cosine beta， 他就等于二倍的扣三也二分之啊，发加倍他乘上扣三也二分之啊，发减倍他了是吧？那如果说我现在问你，两个角的余弦是吧，就扣三也啊，二分之啊，发加倍，他 乘上扣三也二分之啊，发减倍，他等于多少？那不就更简单了吗？你是不是两个除个二就行了？就是二分之一倍的扣三也啊，发加扣三也倍他， 对不对啊？上面这个就是喝茶话题，下面这个就是计划喝茶，所以说你就把他俩当做一个公式，直接去拿来用就行了。 懂这意思啊，那咱们书上给的这个呢，其实就相当于又给他变了形啊，你看你这个阿尔法是不是刚好是这俩角的，和你这个贝塔是不是刚好是这俩角的叉？所以说你要再一推倒的话，我是不是就可以相当于把上面令成了阿尔法 这个令成贝塔，也就是说两个角 cosine 阿法乘 cosine 贝塔的话，它是不是就等于二分之一倍的 cosine？ 什么呀，这俩角相加 再加上 cosine， 是 不是这俩角相减就啊法减贝塔，那这样的话，哎，我们是不是就给它处理出来了，对不对？所以说这就是所谓的哈这个激化和差或者和差化解公式啊，大家重点就是把这个处理思想掌握住以后直接拿来用就好 啊，这是我们对应的这个三角函数这一块涉及到的公式，再往下就是集合的几何相关的东西了，比如说求面积，求体积的什么三角形呀，梯形呀，是吧，圆呀，椭圆呀，包括一些啊，空间几何体的柱体是吧？啊，包括锥的，还有求的这些体积 啊，平面解析几何的涉及到的两点的距离，直线方程面的方程是吧？啊，椭圆以及双曲线的方程，这些大家去给他回顾一下，我们在这就不重点讲解了 啊，最后呢，还涉及到的是常见函数的导数啊，这些呢，我们到后面还会去给大家讲，但是呢，呃，这些内容大家都要具体给他掌握住，直接拿来用啊，因为如果你每一次都去限推这个就太慢了 啊。 ok， 好 啊，这是我们对应的导数这一块啊，那我们第一个模块呢，就给大家简单回顾这么多 啊，但这里边没有什么太多新内容哈，所以说大家如果哪一块弱的话，就赶快给他啊梳理一下，掌握清楚，因为我们到后面学习的时候，学习的时候就会涉及到他们的使用。

同学们好，我们来看今天的每日一题，假设函数 f x 等于 long x， 加上根号下一加 x 的平方，那么让我们判断函数 f x 的基础性，这个简单，并求其反函数 好，这种题啊，其实是比较简单的积累题型，你比如说那个基友性，我们除了说自己可以判断，我们应该通过这个题啊的积累，把这个基友性直接记下来， 到后期定积分的学习啊，求导的学习是吧啊，这块直接就可以使用了，要积累下来，另外还要学会这个法函数到底是如何求的，因为我们后面会涉及到法函数的一些相关的以内容哎，所以这个基本东西得掌握好。 那么首先我们看看这个呃既有性该如何处理，然后求出他的反函数，很显然这个函数啊，他是可导的，而且你如果有点积累的话，你会发现这个函数他的导数是多少， 是不是刚下一加 x 平方分之一，它的导数应该是这个吧，对不对？它的导数是这个，这个呢，它是大于零的，说明这个函数是单调递增的，对不对？ 而且定义是负无情的重情值欲呢，你也可以求一下，也是负无情的重情，他是可以求法函数的啊，没有问题。所以这个题呢，你也就不需要去判断了，直接上来就写他的法函数就可以了。来，我们看具体操作 键，判断基础性呢，得给 个范围吧，你区间你都对应不上是吧，你都不是对称区间，你怎么来个基友性呢？好，一直 x 属于负无情的重型，其实也就是电域了。好吧，那现在 f 负 x 等于烙用，你看，根据题目来啊，他是把 x 换成负 x， 应该这个加上根号下一加负 x 的平方，那不还是 x 平方吗？对不对？他们 是不是现在我要找到他和 fx 之间的关系，那不是基友性吗？对不对？什么叫基友性？不是找一下这个 fx 与 f 负 x 的关系吗？对不对？如果他相等偶函数，如果他等于负他基函数，不，这不干的吗？ 所以现在尽可能的转化成，呃，题目这个样子怎么办呢？哎，我发现了，我可以这么改， 我上下同时乘以上下，同时乘以根号下，他加他，好吧，你写大点，根号下一加 x， 平方加 x， 怎么个上下呢？你把这个地方看成分子分母呢？看成一这样的话，上下同时乘以他和他相加，对不对？那此时不就变成了分子的这部分减去这部分的平方吗？能看明白吗？ 所以就是他减去他的。呃，他的平方减去前面那个平方，那不剩一了吗？来，看到没有？等于负的 long x 加根号下一加 x 平方。好 好，回过来了，这是谁？ f x， 所以等于负的 f x， 那你看呢？原来 f x 和 f x 是这个关系，是不是？那么很显然 f x 是个极限数。 go， 我们说 f x 为积函数啊，在服务生的忠诚上是积函数。 好了，放这吧。哎，可以了，基友性的判断啊，其实很简单，就使用这个方法就可以了。那么接下来我们看看他这个法函数怎么求的。同学们要知道法函数是什么对不对？法函数是什么？简单来，简单点 说，就比如说 y 等于 f x， 对不对？就是每一个 x 我都有一个 y 与之对应，是不是？那这样的话，这样的话，我们这叫 y 关于 x 的函数，那如果反过来，可以说说，每一个 y 我们都对应的有有唯一的一个 x 与之对应的话，对不对？ 那么这样的话相当于 x 又是关于 y 的函数，是不是？那这样的话，我们这个算子就是什么 f 的反算子，这叫运算法则，知道吧？这个反算子呢，我们用的是什么 ff 的立去表达，哎，就可以了。 所以你看的话，这个是圆圆数，这个是反圆数，是不是？只不过呢，表述我们在表示的时候呢，不喜欢这样表达，我们更喜欢写成是 y 等于啊，分离 x 就是你要你，那你意思就是说以后如果说你要求反圆数的话怎么办？ 你先把这个函数先反过来表示不是 y 关 x 的吗？你先反过来表示成这个 x 等于 y 的一个函数，对不对？然后呢？然后呢，再把这个字母互换下就可以了， 明白吧？这就是反数了啊，来，我们看看怎么操作吧。好，第二本求到的反数，那么下面的位置有限啊，我们先写着好来， 为了便于计算，我们将这个 f x 用 y 去表达啊， y 等于 f， x 等于 l， 一加多少 一啊？不是，一加 x 加个人往下一加 x 平方，是不是？ 哎，是这样的，那么则我们把它反过来表示你这个 x 加上根号下一加 x 的平方，这就等于谁了，他们这就等于谁了，这不刚好等于谁 e 的吧， 先反过来去，反过来去表达啊。好，这个式子等一下我们要用，所以这个式子呢，叫衣式 来，再根据基友性仔细看啊，再根据基友性你看一下 f x 是不是个基函数啊？ 是不是？是不是积函数？那么详看，既然是一个积函数，那积函数什么特点呢？是不是关于圆点这对称对不对？关于圆点对称。好了，那你想想，我利用积有性是不是可以直 直接表示出来这个烙印负 x 加上根号下 x 平方和它的关系啊？那么由基偶性值， 或者说由奇函数性质之 由 g 函数性质值。好，由 g 函数性质值。你看啊， 你把这地方换成负 x 可以吧，那这个地方就变成了 low 负 x 加盖上下 x， 比方也就是 f 负 x 对不对？那 f 负 x 是不等于负的它， 那这个时候你是不是可以写了啊？你看看啊你，你这个式子 low 用我给你先 这样写的，负的。呃， low 用负的 x 加上这样加一加 x 平方，这个等于是他们按上面这个速度，是不是？他是不是表示就是他等于谁？等于负的 f x 是不是负的 f x， 他们负的 f x 是谁啊？ 那不就复他了，复发吗？哎，一步到位吧，复发好， good， like good cool， 你这个负，这个未占未占。没有呢，我写在那，这样我把姓去掉， 有积函数值。好吧，有积函数值能表达这个意思就好了。好， good， 那现在我就可以得到负的 x 加上根号下一加 x 平方， 拿过去 n 一的负二一二三二，看到了吗？这一式和二式是不是这样写出来的？你仔细看一下一式和二式啊，现在我要想把这个 x 写成 y 的表达形式怎么办？同学们 是不是根据一式和二式消掉？没有用的，消谁 shell 根号下一加 x 平方听到没有？两式相减嘛？好，那么一减二得 来，一减二得就得到了二倍的 x， 那两个杠抵消了啊，等于 e 的 y 减去一的负法，是不是那两个杠抵消了啊？你可以再看一下，没问题的啊，那所以 我们就推出了这个 x 啊，应该等于二分之，这不是反过来表示了吗？首先去反过来表达好了，因此， 因此这个 f x， 它的反函数， 反函数 v。 啊，你这时候就可以写了啊，叫 f 的 ne x 等于 e 的 x 减去 e 的负的 x， 负的 x 除以二，是不是这么 很简单嘛啊，很简单，这是反复的表达。好吧，反复的表达，其实就是这么个意思，哎，先写出，先根据题目的形式，哎，比如说 va， 题目是 va 是关于 x 的形式，对吧？ and va 是关于 x 的形式。那么你要先写出 x， 关于 y 的表达，写出来之后呢，其实这个式子就是它的反过来表达了，对不对？那么它的反数呢？我们一般怎么写？我们一般写成把这个字母再互换一下，就是 y 等于 f x， 知道吧？字母互换一下，而这个，这个和这个是什么关系？你看， 反过来表达，那是一个反算子，知道吧？那他的，他的运算法则是 f， 那他的运算法则呢？就是 f 的立，明白没有？最简单的，就比如说是三 x 和谁，哎呦，三 x 和阿克塞， 这不是咱们学过的吗？就这个关系。好吧，阿克撒样和撒样，这刚好是一对反顺子。好，咱们 那今天的每日一题啊，我们就讲了这个题，做好积累，因为到后期啊，这个这关于这个 low 的形式用的是蛮多的，你比如说后面啊，给你一个说啊，同学们注意了，负一道一积分，烙用 x 加上根号一下一加 x 平方，这个题怎么算？是吧，你上来就给我口算，不要到时候 直直摸摸的，然后说老师我不会算这个，不知道怎么处理，哎，分不清分啊，做的好累。一点都不累啊，还有三角花园什么的， 大队东西都出来了。不要这样，因为你你知道他的基友性了。后面直接等于多少零，你不是计算数吗？对称十元积分是不是零？这个都是前期积累需要掌握的好吧。 当然类似的这样一个积函数还有很多啊，你比如我们后面说的，比如说烙用多少烙用这个一减 x， 一加 x， 像这个函数他在负一到一上也是一个积函数， 知道吗？也是一个记函数，类似的也应该记啊，在二零一二年考研的时候是十二卷子吧，要大体考察的，不就涉及到他吗？好，这是我们今天每日一题，做好积累，下次每日一题，再见。

二六考研的各科难度真的是大反转，二六考研的考场期考率达到了百分之三十，今天呢，就来给大家扒一扒最直观的考后的真相。政治，萧旭荣老师说了，出题算是中规中矩的。徐涛老师也说了， 基本上大题除了正经以外，大家应该都有背到过模板，或者说原题，多选择题和第一道大题稍微难一点，因为你不能说保证政治就非常的简单，他有一到两个地方难是正常的，所以政治今年应该不会拉下太多的差距。 其次，英语。英语的话，英语一的难度呢，确实是比较难的，但是如果说你做过二五年的英语真题，你就会发现今年的英语的阅读比去年要简单很多。英语一难在什么地方？难在翻译排序和大作文， 但是有老师说了，今年英语一的整体难度和去年相比的话是下降的。其次，英语二，英语二呢，中规中矩，没有难，也没有简单，所以说去年你做模拟卷是什么水平，今年就大概什么水平。第三就是数学，数一确实比较难，但数二数三的难度 回到了一七年的时代了，也就是说数二数三是比较简单了。最后，专业课，专业课因人而异，灵活度拉满， 他不再局限于教材，而是结合你所学专业的行业热点来命题。理工科类提升了计算题和实验题的占比，考验动手能力和逻辑思维能力。 不管考的如何，大家已经熬过了最艰难的阶段，接下来就是要认真的去分析自己的各科的分数。从今天开始，大家每天晚上都可以到我的直播间来估分，一姐会告诉你的分数何去何从。如果说要准备调剂的话，给你推荐三所学校，关注一姐会让你的考研变得更加简单。

今年这个二六年的四零八啊，真没有人觉得这个题目有几道题有问题吗？啊，我看那些机构都在说自自己压中了什么什么，对吧？ 啊，就是就甚至帮这个出题老头去圆场啊，而事实上我觉得今年这个四零八他有的命题啊，就是很草台班子的感觉啊。呃，我们从哪道题开始往后去看呢？就是 先来看几个不严重的吧。啊？我们从这个数据结构吧往后去看啊，因为我也拿到的是回忆版啊，回忆版他这个题目描述可能就与这个真题确实有出入啊，就比如说， 呃，这个十一体，其实这个问题很小，但是呢，从这里就已经能看出来他的命题已经不是很严谨了啊，为什么这么说呢？你看这个第三个，这个 k 路规定排序，这个是言外敏书上有的啊， k 路规定进行这个外部排序，规定趟数为 d， 然后呢？哎，这个初始规定段生成初始规定段的这个长度啊，可用内存大小限制。呃，这个 这句话呢，其实是没问题，但是有的人呢，他会想到这个，呃，我们这个传统的或者说最开始生成出走规定段，他就是的大小就是与内存工作区大小一样的，对不对？但是如果我们采用置换选择排序 啊，是不是好像就能改善一下，对吧？但其实这道题呢，你怎你怎么给这个出题老头去圆呢？就是 你就只能说这个因为出自用置换选择排序生成出入规定段长度可能不一样啊，虽然他有个平均长度是两倍工作区的大小，对吧？在这个理论情况下，对吧？但是呢，就是，呃，我们 毕竟使用这个算法可以突破这个内存工作区大小的限制，对吧？他甚至理论上还能达到。 就是我们二十三年有一道这个外排的题，大体理论上你甚至可以跟文件大小一样的这个出入公屏段大小，对吧？可以跟他整个这个你代排代排序的这个数据大小一样，对吧？所以说这是不是就产生了一个矛盾啊？对吧？ 啊？就根据二三年的那一道题的那个出入公屏段的长度的最大值，是不就没有限制？所以说这个第三问，呃，你 这个是一个矛盾点，那我觉得怎么给出题老头去圆这个厂呢？啊？怎么给他一个圆厂，对吧？毕竟他这个描述是有一点歧义的。那你就只能说 啊，我们这个内存工作区大小是这个硬件，对吧？正常来说我们硬件是能够是这个主要因素，你通过算法或者软件或者采用置置换选择排序，你只能去改善，对吧？但是你的硬件 是你限制的主要原因，对吧？主要因素跟次要因素，对吧？就很抽象了。这个其实还好，这个十一题啊，还不算那么离谱的。呃，然后讲后面看到我们家数学来吧，这十四题其实我在七月二十号模考啊，王道他自称自己压中了，但是 他他那道题呢？我感觉他是在，我也不能说他是抄着我的，但是确实呢，他的出版时间是在我的模考发布时间之后，因为 这道题呢，呃，王道他涉及到这道题是在第三套试卷的一道组成原理选择题，然后他那套那那个那套卷子之前啊，之前那一道题在二五年就二六之前他不是这一道题能理解吧。也就说今年新换进去了。 那他换的时间在我之后啊。然后我告诉你这道题的题源是哪。你也不能说这题原书确实能找到一个来源，但其实我记得好像不止一本教材出过类似的题。常说非书上也有也有这道题啊。 所以这道题是道很经典的题对吧。只不过他一直在这个教材中没有可以搬到教辅啊，或者说啊或者说他就是要么教辅他是一道这个大体你给他改成一道选择题。这是我在七月二十号模考改成的选择题。当时呢，呃 我这里是默认锁入方式啊，是就近锁入啊。当当然呢当时很多这个。呃还有当时考完了还有人问我就说这个默认锁入是什么啊？他不知道就近锁入这个东西啊。我把那个图找过来稍等一下。 呃这是当时那次公益模考啊就是免费的啊。当时还有人问呢还在讨论对吧。这个这个十二题啊这个就近驶入要不要往前进位啊。是要往前进位的。我我还跟他解释了这个是要往前进位的，然后呢最后这个答案就没问题好吧。呃 就是然后这个今年就考，这也算王道。他既然说压中那应该我我出的要早，那应该是应该算我我也算压中了对吧？我这个还 还有再只是一部分对吧，还有算这个与增值的误差啊。这个也算吧，因为福典书驶入确实很久没有考了。这道题呢是我从这个周册改来的，五月份的，当然这个是最早的我的一个。嗯，小班内部的了。啊，那就不说了。 那还有一些当我们这里不是讨论压压住哪些题啊，只是顺带提到了还一个比较离谱的这个题是这个十七题啊，这个我觉得是最离谱的整张试卷啊，就如果没有问题的话，这个出题老头我觉得 多少有点毛病，对吧？你看我们这个题干是不可以理解为他是顺序，呃，可能会顺序执行，对吧？ 就是执行后，哎，按成方顺序就顺序执行下一条指令嘛，对吧？就不会有那些改变这个指令的执行流，对不对？就是按正常的默认的顺序执行那条件跳转，毫无疑问这个是没问题的。那剩下三个我个人感觉都都不行。然后呢？那 这个争议就出现在 a 跟 b， 你 非得在二跟四选一个，那我告诉你，二跟四他都是有问题的。为什么这么说啊？ 过程调用就是我们的 call 指令，对吧？后面一般跟的是函数的地址啊，函数的入口地址或函数名嘛，那其实也就是一个标函数入口地址的一个一个标识， 对吧？然后呢，这个过程返回是这个 return 指令，它是与 call 指令是成对出现的，对吧？就比如说我们 call 指令一般怎么去用呢？ call 指令后面跟一个函数的入口地址叉叉，前面呢？可能进行一个函数的传餐，放到计算器里面，可能计算器传餐， 然后呢，扩展它会执行什么呢？它会将当前的 pc 压占，对吧？你要保存断点了，然后可能根据你这个 可能还保存些寄存器一些信息，好，那么就跳转到另一个，另一个这个零 x x x 的 一个地址了，那么 也就开始进行这个含函数子这个子程序调用的执行，对吧？那执行完之后他又瑞特又返回到这里，也就说你靠子林是跳过去，瑞特是跳回来，对不对？跳到跳回来，跳到阔子林下一条跳回来，那这两个怎么可能， 你懂吧？就这个就有问题啊？就你怎么看？感觉我不知道是题目描述他的一个偏差，还是这个 有，这个就是回忆版与整体不一样，就你们有没有有没有能够解释的啊？因为这个我是怎么都没弄，都没有弄明白，然后一直都有争议，没有一个能够给我 就他能够解释清楚的，对吧？就所有的这个机构的解释都非常牵强，这个是出于咬头必须要要挨喷的一个点啊。这没啥好说的，这个线路指令这个也毫无疑问是要 这个进行一个软中断的，这个也没啥问题啊，所以说也是会改变执行流的，所以说这个体是一个比较严重的一个事故体了啊。这个是十七体，不知道有没有那大佬能解释一下啊？可能是这个 我也不知道该怎么圆了，这个很很难说啊，不知道为什么没有人站出来说啊，这个我就站出来开团，好吧。然后这个二十题， 呃，二十题呢，就是你们不要去钻牛角尖，因为你看前面都已经出了这么不严谨的题，已经有了，何况呢？你看二十题的题干啊，你看完他的题干以及他的描述，你就觉得这道题呢，你就不应该钻牛角尖了，因为出题老头呢，已经就已经这个草台班子已经， 他的不严谨性啊，甚至还不如我的模考卷，对吧？模考卷都挑不出这么多争议和看物的啊。就已经就已经是，可能就没花多少时间，因为，呃，你们没命过题不知道，就你们去出四零八题， 就是很多地方描述他的语言的精确度，你是要改来改去的，就不能有歧义，对吧？不能有歧义，你肯定要反复的这个敲打，反复的琢磨，很显然这个出铁老头他今年这一步可能就简略了一点，你看 这个其实没啥问题，但周期这个数据通路，然后多周期数据通路大于，有人觉得大于等于，对吧？我也不知道怎么想的，但是其实可能是有点歧义，对吧？ 但我觉得大鱼应该是没毛病的啊。然后呢，这个流水线应该是理，理想情况下，对吧？理想情况下你没有经经过发生冒险，但是可以等，或者说近四等于一，对吧？ 理想情况下，对吧？他说不考虑异常中断他这个可能，呃，他把他这个跟冒险划等号了，对吧？仿存，呃，因为流水线理，理论上你用 这个，如果你能用开始指令开始数据开始，那当然是最省时间的，所以说，呃， 这个第三个他的描述就很多很多钻这个牛角尖啊，恰好呢，他又有这个 a 选项跟这个 d 选项，对吧？所以这种就很就遇到这种，你发现这个老头已经不对劲的时候，就不要去给他钻牛角尖了啊。 这很多他被这个坑了，因为往年的那个坑，那好歹他不是那种奇异上的坑啊，就是你那个知识点不知道，或者说他就是考的冷门考点，或者说他就是，哎，玩那些文字游戏，比如说总线宽带，最大数据传输率，他给你一个突发传送的公式， 对吧？或者说他给你一堆无效的信息，用不上了啊。这个就扯到这个经典的八零幺这道题了啊，这一道题，你看这个题目，你说没有奇异的问法是什么？没有奇异的问法就去，哎，问这个持续期 字断或者是 n o v 是 多少，对吧？那么有歧义的问法，那就是这个你从 h 开始发送数据帧，那这个时机到底要不要算这个 d f s， 对 吧？是开始发送还想要发送，那这个地方又有歧义 啊，所以说非常狗屎。这道题也非常狗屎，也是包有争议的一道题。然后看一下我的某考卷啊，也是八零幺幺也问了这个除以七字断 和时间，这个是没有任何争议的，没有任何提议的啊，这是我的某考卷一道大题，也就是说我一道， 呃，一套卷子啊，就压中了一道福点数，这个也，这个也不也算差边吧。因为二四年考的也不算啊，因为我们说押题，你得押中有意义的题，比如说年年都考的什么练表啊，的修改操作呀啥的，就是练表那几个改来改去的几改指的那几个操作， 什么站呢那些都除非他，你能压中他这个角度，好吧，这倒不算什么好吧，这个倒不算什么。所以说 你们看有的机构他自称自己压题啊，压的都是就是非常，哎。年年都考的那个，那个能叫压吗？那个，那有啥意义啊？人都会，对吧？没有区分度啊，应该这么这么去问就不会有歧义啊。这出题老头又整了一个有歧义的问题啊。这选择题啊，主要就是四道。

都说二六考研数学简单，都以为偶数年会难，没想到今年比二五更简单。但其实呢，是现在命题组对基础知识的考察更多更全面了。以前卷面基础题能占七十分，中档题占五十分，难题占三十分，现在的趋势基础题能占到九十分。所以二期考研的同学，你们的侧重点一定是基础阶段。因为考研数学的趋势就是考 基本概念、基本理论、基本方法这三个东西。这不是我说的，是武中强老师重点强调的，所以跟武老师是非常适合基础阶段想稳扎稳打能应对各种考勤的。跟大家说一下跟武中强老师的话， c p 测怎么去搭配。基础阶段，每天背诵听一到两个小时的课，然后做高中数学基础片的例题。基础阶段每天要保证至少三十道题的提量， 所以说例题肯定是不够做的。那二期考研新增了基础研试卷，就是为了解决往年基础阶段跟吴老师的同学题不够刷的问题。高速基础篇加基础研试卷加自己推导二级结论，这就是高速基础阶段的安排。那高速基础结束之后呢？咱衔接现在的时候很容易不适应，因为现在的知识点很碎，你会觉得为什么现在基础阶段都结束了，我还是不会做题。 所以现在你听完李永乐老师的课之后，除了做现在基础篇的例题之外，去刷现在的基础研试卷，那除此之外，还要多跟着李永乐老师一起推导各种二级结论。 如果基础阶段现在的提量没上来，定力也没打扎实，那到了强化阶段，你会感觉现在跟没学过一样。还有就是大家比较关心的问题，我基础阶段学完现代强化，在开高速的时候会不会就忘光了 啊？这是必然的，因为中间隔了一个月没做高速，你肯定会忘的。所以现在基础的时候，大家就去做六六零的高速部分，等强化开始高速的时候，每天再刷点六六零的现代部分，那这样你是不会两边来回忘的。 而且前几个月大头全在数学，每天英语专业课站不了多长时间，前几个月咱们多花点时间把数学啃下来，后面强化真题你都会很轻松。基础阶段最忌讳的就是有的同学开始的晚或者进度慢，然后因为赶进度而走马观花的学，那每天做题量上不去，到了强化阶段你还是会全忘光了。跟着这份规划走，你的数学基础一定会比身边的人都扎实。

二六考研国家线必然会下降，各位家长，这两天在估分过程中，很多孩子很会家长很焦虑，那么今天这个视频呢，缓解下大家焦虑啊，咱们点赞收藏一下。我先说一下国家线今年为什么会下降，重要的依据就是考研人数的下降。 咱们做个对比啊，去年考研人数下降了五十万啊，你看他的理学，国家线降了十三分，经济学降了十一分，文学降了十四分 啊，今年考研人数继续下降了四十五万啊，再加上考研还在持续扩招，尤其这里面有一个啊，细节因素啊，就是有不少的双飞硕，甚至一些二本硕在今年是首次招生， 他们的招生任务得完成啊，所以说不可能国外线很高的，所以说大家不用过于焦虑。讲到这里啊，有些人可能说啊，今年考试普遍变简单了， 家长，并不是所有科目变简单了，咱们就拿英语来说，英二是简单的，但是英一难度大呀，英一和英二是同一个国家线，你比如数学，数二、数三是简单的，但是数一难度比较大呀，它是同一个国家线，包括今年的教学三三，包括四零八，难度都是相对往年是加大了的， 所以说国家线一定是往下降的。在这里还给大家说个好消息，今年大概率的阅卷尺度会比较宽松，因为上面已经有了明确的要求，研究生的选拔相对于初试更侧重于复试啊，相对于孩子的应试能力，更看重孩子的综合能力，是教育局的明文规定。 所以说咱们家孩子过完分以后，哪怕比去年的复试线低个十分、二十分，我觉得今年大概率也能够进复试，但是复试厮杀会更为激烈，尤其攻科里面的热门专业，比如说零八五四这个死亡代码，比如说电器，比如说机械啊。所以说各位家长一定跟孩子提个醒， 出式进复式是比较简单的，但是复式一定让孩子呢尽早开始准备，而且要全身心投入准备，只有这样孩子今年才能够稳稳的一战上岸。当然我每天下午两点钟会给大家通过直播讲解咱们复式，作为家长咱们怎么去帮孩子规划，咱们可以点关注啊，通过直播咱们进行一个交流啊。

有一样东西终于给在座诸位同学千呼万唤始出来了，就是我们去年同级开设的二六考研最后一个班型，今年我们给他换了个名字，叫超级调剂复试班。去年叫什么？叫调剂大数据班，还记得吗？这个班型是二六考研同学最后的倔强和挣扎。 二六考研的超级调剂复试班，在年前的时候，我们只接受六十人报名哦，这个班型的招生逻辑为年前六十个人，但年后只有四十个人，一共一百个人， 你们猜它的价格是多少？绝对是在座诸位同学接受的。二八八零今年的超级调剂复试班一下分为两个板块，两大板块哪两大类？首先第一个肯定是和调剂息息相关。调剂大数据的投放说是什么意思？ 我们针对任意一专业的调剂数据库，基本上已经渗透了全国的任何一个学校，任何一个专业，任何一个硕士点，但是光光这个还没有用， 我们要做什么？出了成绩之后的自动投放和自动匹配，不需要你天天针对你这个专业，爬到上面去找条信息能理解吧？信息差完全待你所使。那么 ok， 大家可以看一下这个。那么他投放逻辑是，名校优先投放，好，地区优先锁定， 而且今年比去年要有升级，因为去年只能投一个学校哦， sorry， 一个专业，但今年不仅能投一个专业，并且能够投放专业代码相同的三个专业同时投放。你想一下，相邻专业相互调剂，是不是你的机会又会多很多？ 我们所有报名同学是没有心情差的，当然看到这里很多同学会在想一个问题，说，老师，真的假的？我给你看一下好不好？我给在座所有同学举个例子吧，比如说去年有很多同学可能会跟我讲说老师对吧，什么零八五四之类的对吧？这些专业的话根本没有需要调剂定信息，专座那是不是很打脸啊？ 你可以看一下啊，调剂信息都是最新的，知道吧？是在今年四月份的时候，当然是针对二五考研的啊，二六考研的数据还没出来，你想一下，在座所有同学一共有七十一页的调剂信息，你能理解王老师想讲什么？懂了吧？就是你不知道归你不知道，你不要说你自己 就是没有，只是你没有掌握这个信息差有很多好的学校，好的专业而已，只是你不知道而已。而且我们的消息来源全部是来自于官网的啊，你可以看一下，这个没有什么剪辑的啊，全部来自于官网啊，这个我给大家说一下啊，全部源自于官网，全部源自于官网的啊！ 那么在这里我还想讲掉一下，但有同学就说了，对吧？说老师，教育类的文科类专业没有调信息的，我就随便，比如说在座所有同学喜欢考的教育专硕，难道没有吗？你看这些学校怎么样， 对吧？你不管全日制还是非全，我们都能找到的。我给大家说一下啊，不管是全日制非全，我们对接的都是官网，但有的官网已经因为二六考研吗？有的官网已经删掉了吗？但有的官网还有保留，但只要有的我们都有的啊， 当然也有些相对来说地区还是不错的一些学校，看明白没？当然也包含了各种专硕，会计硕士有很多，包括医学类的等等，只是你自己不知道而已， 并不是没有好吧？而且我们能做什么？出一个投一个，出一个投一个，就是这么快知道吧？而且打个比方，有的学校的话，你也知道半夜会出条信息，不要紧，不要你守着，我们自动带你投，没有问题，先到先得，你一定比你的竞争对手的信息差要多的多的多的多，同时你的信息反馈一定是及时的来理解吧， 而且相对来说的话，你优先投放的概率特别特别高，优先投放相当于什么？优先接到你的信息，然后优先决定要不要你 优先去考虑，知道吧？大家看好今年投放。逻辑是名校优先投放，好地区学校优先投放。我在这里我要强调一下，名校优先投放肯定是先锁定二幺九八五学校，如果需要调整信息，如果没有的话，往下一步一步排，好地区的双飞院校，好地区的双一流， 对吧？一层一层递增，直至弹尽粮绝，听明白没？因为在读书的同学可能还没接触到这个板块，因为这些学校他不是瞬间出的， 知道吧，他的信息会随着时间的流逝而一点一点在最后的时候，明年三四月份的时候集中一点一点的出，所以你很可能错过一些不错的学校，那么你不用担心，交给系统出一个头一个出一个头一个没有死角。 那么今年的超级调剂复试班，我们还给在座的各位同学带来了什么？也是以往学员没有的叫什么呢？叫复试综合线上课程由这两部分组成，首先英语综合课程有两节，然后这两节课程讲内容比较多， 可以看一下，包含了面试对吧？英语口语，英语自我介绍，英语专业如何介绍等等，就是怎么去介绍你的专业， 听明白了没？这点当中的素质大家在座所有同学还是要具备的，包括英文简历的一些相关的注意事项。那么好，复试综合课程当中我们也排了两节，不多不少知道吧， 里面内容信息量也比较大，包含了复试礼仪，礼仪呀，简历指导呀，比如说在座所有同学要准备自己的简历，那咱们去做对吧？包括一些复试细节，但自我介绍，面试注意事项，面试心态，导师沟通技巧 啊，面试基础培养，包括专业课注意事项等，这些都是在座诸位同学在这个环节当中特别欠缺的一些问题。那么今天全部把它包含在我们的总费用里面， 一共有四节课，再加上我们的调制，大数据的投放，怎么样？有没有带在座诸位同学全平台的复试班的价格给你打下来？但王老师在这里特别声明一讲，不是跑过跑路啊，报名的同学掌握这两个环节，尤其是复试成绩差， 我告诉你，基本上在这个环节领域，任凭风浪起，稳坐钓鱼台。当然这里是不是有同学讲说，老师我就是想异性恋，同学我告诉你，不要刚，也不要犟。异性恋固然是希望在座的所有同学能够录取，但是有一个问题，难道你不真的不做好良辰准备吗？但有同学会在想一个问题，说，老师， 万一两个都带我入了怎么办？你选一个自己想去的，一点问题没有的啊，我跟你讲一下，因为他不是强制的，这个是个基本常识了啊。 同时去年我们也遇到过学生，比如说有两三个学校给他发了 offer， 在 不同的时间段，他甚至都可以去两三个学校当中去面试，最终去选一个心仪的学校去录取就可以了。 因为面试这个东西讲究什么呀？就调剂讲究什么？双向原则的，能理解吧。在有这两大块的加持之下，那么我们报名同学的话，也会全程宣宣签约，而且我们多少钱是二八八零就是二八八零，后续没有任何费用的啊。然后谁里面会写的清清楚楚，明明白白。 那么我们现在报名的同学，年前我们是接受六十人，年后四十人报完即止，知道吧？年前抓紧，因为年后的话价格还会再涨。 首先给大家说一下啊，前期的报名率哈。首先第一个对吧？未来过国家线的同学，在启动复试线上课程的同时，也会挂着调剂大数据，我在这里给大家说一下是什么意思， 就是你准备你的，但是你这个数据始终挂在那个地方，能理解了吧？你要给自己留一手， ok， 大家能理解吧。第二个，没有过国家线的同学，如果你二战，未来可以转单科班，全程班，后续没有费用，政治、英语、数学或者管理的联考群只中一科， 知道吧？但我强调的是，在座所有同学要有一个预估，因为报名之后一旦录入数据之后的话，这个费用是不对的啊，强调一下啊，那么在这里同学说，老师我过了国家线，也过了一遍复试线，那你们正常就复试啊，对吧？复试的话开课啊，对吧？但是同时也要挂着这个东西，以防万一。我强调一下啊， 然后最后一个就是班主任的实时跟踪对接，分班制，然后超市超级这个复式班，二零考研十个班，然后一个班现在多少人呢？一个班是十个人知道吧？因为这样子的话就是跟踪性会更加强一点，而且的话这方面来讲的话就是也会更好的去服务大家。 那么这就是我们现在给二六高一同学推出的我们最后的班型，当然要报名的同学的话后台叫我后台四，王老师我来帮你，好吧，到时候会给在座诸位同学进行专属对接。再强调一下，年前只招六十人，年后只招四十人，年前二八八零，年后 是三二五零。我强调一下啊，所以现在报名正报名后台四。

二六考研已经落幕了，各科难度大反转，坚持到最后的就是赢！那二六考研以正式落下帷幕，这次考试呢，不仅各科的难度迎来了大反转，考场契考率更是高达了百分之二十五，那能坚持到最后完成所有科目考试的同学呢，你已经赢了一大半。 那么先说说大家最关心的各科情况啊。首先说政治，那徐涛老师的评价也是中规中矩啊，那大部分的大题除了 呃正经相关的题目外呢，基本上都在背，考试背到了原题，只有多选择题和第一道大题的难度稍高一些，但整体拉不开太大的差距。那大家发挥的也都比较均衡啊。 那在看英语科目，虽然呈现的这个区分度，英语一的阅读部分比去年简单不少，难点集中在翻译和排序题，不过呀，大作文的难度同比下降。 那英语二全程中规中矩，难度和去年的模拟题呢，不相上下，只要你平时扎实练习呢，那基本上都能够保证稳定发挥啊。那数学的科目反差是最大的， 数学一的难度是偏高的，而数二数三直接回到了二零一七年的简单水平。那不少同学反馈，简单到起飞，专业课呢，则普遍灵活度拉满，命题仅 结合着这个行业的热点啊，尤其是理工科的专业，计算题和实验题占比明显提升，更考验考生的动手能力和逻辑思维。 那么琼姐想跟大家说，结合今年的扩张政策和高气考虑的实际情况呢，能坚持考完所有的科目，你就已经占据了非常大的优势，相信所有的努力呢，都不会白费，祝福每一位考研人都能够金榜题名，成功上岸，开启人生崭新的篇章！

我真服了这考研英语命题组了，也太宠咱们二六届的考研生了吧。那么我总结起来就是总体变简单了，因为我刚收到好几个学生反馈，今年考英二的话，贼多人提前交卷的，而且今年英二的难度确实比去年降低了不少， 但是英一的难度还是在线，而且今年考了一个比较偏的图表作文，很多人压根平时就没有怎么练过这一类题。 第二个，今年不管是四六级还是说考研英语，它里面其实出现了很多这种中国特色的时事政治的单词，比如说下午的万星填空十五五。所以综合今天的政治跟英语这两门课来看，以后千万不要觉得不考我就直接不练了，起码要全方位无死角的都涉及到， 不然你上考场的话一句话都写不出来，就相当尴尬呀。那么我总结一下，今天的考试难度比去年下降了不止一个档次，当然还是那句话，怎么考完一科扔一科，明天考数学的同学也要注意，可能计算量会比较大。那如果你想知道你家孩子考的怎么样，可以来我的主页粉丝群，我告诉你。

家人们，二零二六考研最颠覆的不是分数，而是命题逻辑的大反转。大家有没有这种感觉，公共课难度集体降难的同时，专业课难度是普遍上升的。 这波操作到后面到底隐藏了哪些玄机呢？我先上一些干货考勤啊这个二期考研同学你们也可以认真看一下。首先今年政治肖秀龙老师是属于压中的，被对比去年没压中的，自然时刻，难度是稳降的，他多选题难度可能不低啊，因为 每年都是压重一年，然后不压重一年知道吧？你像今年的一带一路十周年，二十一届山东全会，全部压在这个政治里面， 学员普遍六十加左右都很正常的。当然也有一些一些坑，就是你像今年的分析题，他就不考哲学，他就考政经，不过材料肯定很细，只要你能理解，你也能写出来，所以说你靠死记硬背也不完全行，也有这个趋势，但英语就更有趣了，英英语可以说是冰火两重天，你像英语一，他大家也不能说是完全简单， 他属于中等偏上的难度的。你像他考人工智能，一些相关前沿的话题，长难句是比较密集的，小作文也有省题坑，像书法加法之类的是吧，还大作文。他是双图表，因为近大家面体人也知道模板很盛行，你像密密哥的模板 对吧？所以他搞个双补涂鸦给你们，让你们去反反皱模板。像英语二，其实肯定是比去年简单的，但是六十五分以上的也没有那么的容易考六十到六十五分肯定会比往年容易的。你像英语一的话，难度的话肯定就是 降低，但是高分成绩失杀也是很激烈的。那数学是我最想跟大家说，为什么呢？你说数学他有很多人说简单，简单我觉得确实简单，但是没有比二一年简单，他没那么简单的，他属于二一年的 pro 版本，我不知道大家有没有这种感觉，整体是偏常规的，所以说考完之后很多人说 压中题目了，然后我跟我同事说，我说你今天来压题，你说我压不动，我说为什么他说我压不动这么简单的题目， 你直接想想的，其实也不是说简单，后来我们说是属于常规，你像今年肯定是一百四十分扎堆的，就我刚考完之后，就有同学打电话，好几个打电话说刚刚我问了我说什么为什么我他说我一百五，但是过了几天之后他说高，其实我只有一百四，是有只有一百三十五的， 但是还是没有大家想那么简单，不过一百五的我这边目前都有，都有四五个确定的，他说我对答案一模一样，可想而知呢。所以说今年的一百五十分的含金量肯定没有往年那么高，也意味着可能月赚老师改的会严格一点， 特别是大体知道吧。我换句话说，大家可能不理，就是我这边去年一个连诱导公式都不会的在工地上工作六七月份的那个同学，当时所有人都劝他弃考的，最后慢慢慢慢把他扣上来，他今年都扣分一百二，还有去年考五十分，今年扣分一百三的，包括我二战班 十五个人的班里面每个班都有三个左右一百四的，但是我不知道其他地方情况。这个这个不代表我说了，我带着这几个班不代表普遍性，但是在我看来，你这再怎么难的卷子，你能考一百二？你都是高手，懂吧？那我在重点来了，公共课集体较难的同时，背后 隐藏哪些玄机呢？我刚才讲的专业课难度是是上升的，其实背后有一个选拔逻辑的那个大转向，以前他还靠攻克筛人，现在是侧重于专业课 是不是攻克，现在相当于只是基础门槛，真正拉开差距，筛选人才的可能变得专业课。毕竟我们读研，他研研究的还是什么， 还是你的专业硬实力，这也符合研究生的培养的核心需求。还有一个值得的琢磨的是，会不会跟考研人数有关的，现在很多人跑去考公了，考研人数有所回落，攻克降难是不是为了留住更多的考生？你没想过， 毕竟考研和考公还是有很高的重合度的，要是今年的攻克还像去年一样难，那会不会导致很多人弃考，转向考公呢？适当的降难是不是能稳住一些报考的基数，这都是可能会存在的。 所以说未来几年到底是什么样子的可能我会稳着这个趋势去走，但是这两个原因并不冲突，一方面考研回归选拔人才的本质嘛，专业课是难是必然的。另一方面，面对考公的竞争嘛，攻克降难，平衡报考热度，避免了人那个人数流失，也是能理解的嘛，双管齐下嘛。 正好我给二期考研的同学提个醒嘛，别在死磕攻克压题和模板。其实今年考研这后期的时候我就说了，不要想着刷一两百套模拟卷都够了，有的同学刷五套模拟卷都能考一百四呢， 而且我说政治要紧跟时政加练。理解我很，其实我说了很多话，你们再再翻回去看一下，我是不是这样说，其实我当时说的是一周两到三套模拟卷，不得了了，回归讲义，到后期的时候很多人盲目的去做模拟卷，因为每年都这样，我我真的没有想任何针对任何一个博主，因为每年我都是在那个点说那个话，知道吗？ 毕竟拉开差距的关键还是在那个专业课，所以专业课可以提前准备，但公共课你要知道考纲明确讲清楚了，重基础重概念轻技巧，懂吧？这是给二七考研上岸的一些核心逻辑，拜拜兄弟们。