高数二2026有几个c

奔驰的 c 二六零啊，现在二六款也是有数字钥匙了，然后呃，咱们今天给它连接一下，我这个台是苹果十五， 这个可以在十一以上可以用，然后它的系统版本呢，一定要升级到十七往上，就最少好像得十七点五，我这个版本是够底的，因为我一直也没升级， 在这里边查看一下，我这就是十七点五，然后咱们得带着车钥匙，然后进到车内点火，车机这一块呢，咱们选择一下，选择设定，然后车辆，然后解锁上锁这个数字钥匙，设定车主钥匙，然后把手机里边有一个梅赛德斯密， 把这个打开，就是咱们刚买完车的时候呢，那个销售会给你开通一个梅赛德斯密，那等功能全部激活完毕的时候，在咱们车辆中心这个里边会有一个数字钥匙啊，点击，然后创建数字钥匙，继续，然后把它手机呢放在充电板上， 那这块就会有一个进度条啊，等它走完就连接成功，已经快完事了啊。车主要是设定成功，然后在这个数字钥匙里边就会有一个我的名字啊，大旭的 iphone， 然后你可以选择仅解锁驾驶员侧车门，然后咱们手机里边呢就会有显示了， 继续，然后这个就是刚才添加了 c 二六零 l 皓夜运动这款车的车钥匙，还有一个是 e 三百豪华的，这都是我们那个公司的车，然后咱们试一下数字钥匙好不好使，我把这个车熄火，然后把钥匙拿下车，锁下车啊， 锁下车，然后把这个车钥匙给它放屋里， 这个车钥匙给它放这， 然后咱们在解锁的时候不需要不需要这个拿出手机啊，你就放兜里边揣着就行，它也不用你刷什么后视镜，也不用刷门把，你就正常揣兜里，然后走到车跟前， 然后就正常解锁，就手往这里一放啊，它就解锁了，然后进到车内啊，你如果要是充电的话，你就给它放在这个充电板上，要不充电的话你就还是放在兜里，只要这个手机在车里边就行。咱们启动一下 啊，启动了没问题，然后咱们熄火下车，然后再给它锁下车。我也是啊，没拿车钥匙，我这个手拿手机录像锁车 好使，完全没有问题，然后有这个手机钥匙之后咱们就更方便了，因为出门你带着手机就可以。

各位同学大家好，欢迎来参加咱们今天的专题解析课程，我是丁勇老师好，那今天的课程呢，我们主要分为三个部分，第一部分关于考研数学整体命题趋势的总结，第二，考研数学整体的权威的解析。第三关于的咱们二六届，二七届后面如何来进行复习，来给大家做一个介绍。 那么首先呢，总体的趋势，咱们今天考完了之后呢，很多同学在这个给老师说啊，今天的这个考试的难度的不如去年啊，今天这个难度的略微的要低一点，甚至有同学很自信的说，我今天有可能考了满分啊， 这个说明大家这个复习的还是不错，甚至呢，还有咱们这个呃，出的八套题里面有原题啊，那个先前大家说的大题是原题，那么总的来说，数一数三的特征呢？是差不多啊，就是注重基础，注重计算啊，所以呢， 大部分的题目呢，还是一些比较常规的，什么求极限了是吧，求导数啊，但是题目的计算量还是有点大啊，部分题目有点记，计算量有点 大，而重点还是比较突出的，因为今年的冷门相对来说还是少一点啊。当然呢，数学一的 比数二数三的略微的要难一点，因为咱们数学一的考了一个罗尔定律的证明题，而数二数三的同学其实是没有考啊，所以呢，数一的略微的比数二数三的难度要大一点啊。因为今年是咱们考研的四十周年， 为了让大家心情呢愉悦点，所以呢，他不像三十周年的时候他出的那么难啊，四十周年出的还是比较基础一点啊，所以呢，这就代表了咱们目前这个考研的一个趋势，主要就是出事的时候把一些重点的内容考察，那么你具备的一定的能力，那么最后呢，主要就是看复试，所以呢， 咱们通过今年的这考试来看的话，大家进入初试的还是比较简单，但是呢，你能不能过进入复试，这个就看大家后面的复试的准备情况怎么样。所以呢，不要掉以轻心啊，不要得意忘形。好，那么接下来呢， 这个具体的一些高频考点，大家可以的简单的看一眼，好吧，简单的看一眼， 那我就不给大家一个个的去列了，所以呢，我们考研试卷他的重点还是非常非常突出的，那么接下来大家比较关注的就是我们考完了之后想对答案啊，所以呢，我们接下来的给大家把这个答案呢一个个的对一下，当着我们说整个考试题呢， 他其实出的门的是比较少，但是有两个可能略微有点创新啊，第一个就是 有一个现行代数的选择题，考到了一个置换矩阵啊，这个实际上考试大纲是没有，但是呢，他在这个四题里面把这个置换矩阵的定义啊，给大家这个列了一下，这个就是比较新颖啊，但这个概念其实你读完题目给你的语言的描述应该还是能理解的，而那概率的大体 啊，概括的那个术语上的那个大体略微有点新颖，但如果你能够把这句话读清楚，这个题呢，其实可以转换成那个最值的分布啊，然后呢，那个估计那部分其实也不难，因为他已经给你把四项函数都写出来了。 好，那接下来我们就一个个来看啊，首先第一个就是考引函数求导啊，这个去年数二数三的考过，并且比这个难啊，因为数二数三的去年那个题是带有变现积分，而我们这个题实际上是没有啊，当然详细的解答过程，大家可以啊，去关注咱们这个公众账号啊 啊，回复的一张出数。最后呢，大家可以在里面的去领取咱们这个啊数一数三的这个完整的解析过程。好吧，好，这是第一个第二题， 数二的第一题呢，他是考察的是关于这个等价无穷小啊，实际上呢，这个大家只要把他的泰勒公式写出来啊，因为这个的等价无穷小，这个是很好找的啊，实际上你只要把他的泰勒公式写出来，那么整个等价无穷小应该不会特别难。 好，这是这个数二的第一题啊，数三的第一题的渐近线啊，就是给了一个极其简单的表达式，让大家去找有没有水平渐近线，有没有这个铅直渐近线。 那么数二的这个题呢，可能啊，数一的这个第二题可能略微有点灵活啊，因为它这里面出现负一的 n 次方，是吧，那么你在做的时候呢，你可以的考虑啊，可以考虑的，比如说你把这个 n 等于基数啊， n 等于偶数，你把它的收敛半径啊，你给它求出来，最后呢，找它的公共部分， 找公共部分，这个也可以啊，好，这是这个题。然后呢，接下来的数二的第二题啊，这个题目呢，实际上是零九年的考试题的改编啊，这个是零九年考试题的改编，这个我记得应该是在 考前密训课程里面，咱们给讲一下，有一个类似的题啊，零九年数学二的选啊，是填空题啊，应该是选择题吗？考了一个怪的歧视非歧视解的性质。 那接下来的这个数一的第四题啊，三乘积分，你看人家多好啊，都不需要你算对吧？他不让你算，他让你把这个三乘积分啊， a b 选项是写成这个注坐标对吧？ c d 选项就是你把它写成啊，求坐标，都没让你把这个三乘积分算出来，你看多好啊。 好，接下来的这个数的第四题啊，这个是去年考过吗？是不是去年考过，今年又考了？就是这个啊，引力的大小啊，引力的大小，去年考的好像是做工吧，是不是做工啊啊，今年的考了，只是考了一个引力啊，万有引力啊，实际上比去年这个题略微还要简单一点。 好，这是数学三的第四题，考了一个平均购入价格啊，考了个平均值啊，这个积分的平均值啊，这个最后结果是选 d 啊， 然后呢？这个数一的第三题啊，数三数二的第五题啊，这个呢，实际上从这个长相来看啊，这个经常给大家说嘛，从长相来看啊，这个大概率不会选 ab 的， 肯定不会选 ab 的 啊，是关于这个图形啊，你就画他的图形，考察这个啊，单调性，还有这个凹凸性，他的这么一个关系啊， 好，有这个可以有这个凹凸性，你就画图啊，可以去得到这个。这个实际上是什么？实际上就是这个割线的斜率嘛，对不对？你看割线的斜率是单则是单减嘛。 好，接下来这个选择题啊，这个选择题啊，这个就是怪这个方程组解的关系啊。好的，这个题目的条件是列向量由 b 的 列向量现形表示啊，这个两个 矩阵它的向量能够现形表示，你只要把它写成矩阵的形式嘛。好，那来判别这个非奇式现形方程组它是否有解 好，然后呢？反函数求导是吧？反函数求一阶导啊，求函数值啊，反函数求函数值，还只是让你求反函数的一阶导，还没让你求二阶导。这个是不是暑假集训讲过？是不是暑假集训的讲义上的？差不多啊，这个题目呢？差不多 好，接下来的新奇代数的啊，新奇代数的，这个数学一的，它是考察这个二次啊，这个化二次行为标准型啊，化二次行为标准型，然后呢和二次曲面这个结合起来啊，你只要把它化次行为标准型，然后呢根据正负惯性指数， 然后呢和这个圆柱面啊，圆柱面是什么？代表的是这个，有这个化成标准型之后，他有一个特征值是零，对吧？啊，两个大于零，一个等于零，相当于就是正惯性指数为二，负惯性指数为零啊，然后那你可以用特征值 啊，可以用特征值啊，通过正交信息变化啊。好，那么接下来的这个应该是咱们在应该是密押三套卷里面啊，应该是在密押三套卷里面，这个找过一个类似的 啊，就是在之前应该是二零一零年是吧，就是把这个二冲积分呢，写成了两个 c 个码。求和啊，之前呢是在二一年嘛？在二一年呢，也是数一数二的，是把定积分写成一个求和，我们这个是写成两个求和。 好，这个数一的第五题，数二的第八题啊，这个呢是就是所谓的创新，是吧，出现了一个所谓的 置换矩阵啊，所谓的置换矩阵其实他定义起来很清楚啊，就是单位进驻单位矩阵经过若干次互换两行，若干次啊， 互换两行出道行变化，是吧？互换两行得到了矩阵啊，好呢，根据这样一个定定义呢，大家去这个考虑下面这个啊，相当于就是由他是否能变成下面中间的哪一个 好，然后呢，这个矩阵方程有几啊？ a， b 等于 c 有 几？就是系数矩阵的值等于真管矩阵的值，根据两质相等最后的初等变换，把这个参数给它求出来。 好，然后这个题呢，六位，可能六位的复杂点啊，主要是把这个移过来之后，你可以把它配成一个 a 减 b 的 平方等于零 啊， a 减 b 的 平方等于零，然后呢平方等于零，这个时候呢可以考虑和这个字呢啊，结合起来就是这个应该是，好像是二四还是二三年考过啊？有 a 的 平方等于零，那你 a 的 字加 a 的 字小等于 n 啊，根据这个字 啊，这个根据平方等于零，根据这个字的来去推导啊，最后呢不正确的是谁啊？应该是这个 d 选项 啊。好，接下来呢就是算概率啊，这个很简单，独立了吗？是吧，独立同分布，把这个二维的概率密度写出来，然后呢用二重积分来去算这个概率 啊，这都是技术题啊，技术题的，你学完呢就应该能做出来啊，这个应该是我们冲刺班讲过吧，还记得吧？冲刺班讲过啊，使得他的最小啊，使得他最小啊，然后呢，这个做法有很多啊。 好，这是这个第八题啊，你可以用高等数学的四题来做啊，当然它实际上是个结论啊。 好，第九啊，这个第九题啊，第九题呢，就是给了一个分布函数，然后呢，这个是分布函数，然后呢，你去算，根据这个七万方差啊，你去算这个 a 和 b 的 值。 好，接下来数三的第九题啊，数三第九题呢，这个就是根据啊，呃，这是正态分布啊，这个二项分布，然后呢独立，然后呢？要你算这个相关系数啊，你就按照相关系数的定义啊，把五个参数啊，把五个 这个有关的数的给他算出来啊，最后呢，带入这个相关系数公式就可以了啊，计算量可能略微有点大啊，这个题稍微算起来会多一点。 好，第十题的是关于的这个条件概率嘛，对吧？这个条件概率转换成无条件概率啊，从这个长相来看，这个肯定不选 a b 嘛，对不对？估计的，因为 a b 差不多， c d 差不多嘛，大概率就有 c d 啊，所以呢，你把这个 这个左边算一算啊，把左边算一算，算一算之后呢，其实这个就是这个作为条件这个事件的概率啊，稍微的划一下减，但这里面呢，会用到这个极数的知识啊，因为它是个离散型，算概率。 好，接下来呢就是填空题啊，填空题呢，它这里面考了一个项链机，是吧？两个项链项链机，项链机算完之后呢，再算一个项度啊， 所以呢，这就是所谓的冷门啊，今年这个冷门考的不是很多了啊。今年冷门考的不多，就这个算是一个冷门好。然后呢，这个啊，这个 啊，这个以前的数学三的同学呢，很少考，但今年是考到了这个反差积分的比较判别法是吧，你把这个零到正无穷分成零到一，一到正无穷啊呢？分别利用比较判别法， 也就是找背接函数的什么等价无穷小啊，是吧，非零因子极限先求啊，用比尔判别法来做这个应该比我们在冲刺班讲的那个题要简单很多啊。这个好像是暑期讲义上有一个暑期讲义啊，那个极刑讲义上面应该是有一个选择题，和这个是差不多的 好。然后呢，这个计算，定积分的计算啊，定积分的计算，零一区间，你看这个地方是不是有个 x 减二分之一啊啊，所以呢，你应该要记住啊，应该是零 t 等于 x 减二分之一，做一个换元，然后呢，搞出个这个对称区间是吧？搞出个对称区间，然后利用记忆我背心字来算，这个会比较简单 啊。极限的计算是吧，这个无穷减无穷啊。然后呢，这个啊，数学三的这个历史二题啊，这个也是一个无穷减无穷啊，不知道他为什么要搞一个不一样的啊，其实做法差不多啊，这个呢，可能略微看起来复杂一点，但这题实际上就松分的啊。 好数一的参数方程求二解导是不是都做过啊？参数方程求导 啊。然后呢，取的半径啊，取的半径把取的算出来啊，这个算取的实际上是不就是这个，我记得是点题班讲过吗？是不是点题班讲过啊？引函数啊，引函数，求取律，求取律，然后有了取的之后求取的半径，实际上就是考引函数，求一阶导，求二阶导嘛。 二十四题啊，反差积分，这也没啥说的，分不积分是不是分不积分法啊？然后呢？说的第十四题啊，这个应该是，我记得是咱们那个 密钥三套卷啊，在密钥他三套卷的好像是卷一吧，好像是卷一里面啊，他给这个条件就是对 x 的 偏导在零零是派对 y 的 偏导呢，是等于三吗？ 好呢，再考一个。什么？是不是考一个符合函数是吧？这个记载一的导数就是符合函数求导。这个密押三套卷里面的差不多的一个题啊，就是数可能略微改了一下。好，这个第十四啊，微分方程的求解啊，二阶长细数非其次线线微分方程的求解啊，五分。 好，数一的第十五题啊，现现在数的这个就把特征值求出来嘛，把特征值求出来，然后呢？把最大的特征值算出来之后，他小于他，然后呢把这个的范围呢给他求出来。 好，第十五啊，第十五的平均值嘛。啊，就是积分除以积分区间的长度嘛，这个好像是一三年，一四年，当时的数三的， 初二的啊，初三的，初二的，初二的好像是一四年考的，初三好像是一三年考的，然后今年的就都考了啊，这个是初二的积分除以积分区间的长度啊，其实就是考定积分的计算。那么数学三的也有一个啊，数学三的也有一个。 好，这个概率的这个题啊，概率的这个题啊，这个就是博松分布嘛，博松分布啊，这个的独立啊，根据这个独立呢，大家去化解，然后呢，最后去算这个期望啊，离散型的，离散型的算期望 好，这个先行代数的啊，这个先行代数的，这个这个是规范型，规范型告诉他叫什么呢？就是特征值里面一个正两个零吧，说明他的字啊，他的字是一，他的字是一，他的字也是一嘛，因为这两个矩阵的字是一样， 那它的知识一说明，任意两行对应成比例嘛，你不就可以把 a b 解出来嘛。好，然后呢？这个十七啊，这个十七，这个十七题的，这就交换积分次序嘛，是吧？给你的直角坐标估计算不出来，这个呢，估计要变成一个极坐标嘛，是吧？估计要变成个极坐标来算 啊，这肯定是要交换积分次序啊，但他应该是只要坐标变极坐标啊。然后呢？接下来第十七啊，这个十七，这个十七的是 这个这一问啊，我记得是给那个钻石卡选基础圈呢，就讲过啊，还记得吧，给你这么一个等式啊，你要求 f 怎么求啊？是不是令他为 a 啊？令他为 a 啊，那把这个 a 解出来， a 解出来，这个 f 有 了啊，只说这个题呢，再加了一问 啊，再加了一位，你求出 f 之后，你把 f 的 展开嘛，对吧？把它套公式给它展开就行了嘛。啊，这个卷展开是考大题啊，这个比较大家比较头疼的是求和，是不是他求和没考，他考的是展开，但是是两个题变成一个的啊？ 好，就像这个第十八啊，这个第十八，第十八的数一的这个第十八题呢？呃，其实就是这个 f 的 对 x 的 偏导是这么多吗？ f 对 y 的 偏导是这么多 啊，所以说这种题大家从技术阶段到强化阶段到充实阶段其实都做过啊，对 s 偏导等于它，对外的偏导等于它啊，然后呢，我们接下来呢，是不是就根据二阶混合偏导相等，然后呢就可以算出这个第一问 啊？算出这个第一问之后啊，对，任意 u 它都是个常数嘛，对吧？这个常数，所以得把这个条件带进去嘛，把这个条件带进去啊，带进去之后，你可以把这个 c 的 解出来啊， 把 c 解出来之后，最后呢得到一个微分方程啊，因为一般只要是求函数表达式的题啊，基本上能确定它都是用这个微分方程来做啊。 好，接下来的这个数二数三的十八题啊，这个的十八题呢？这个应该是数学二的吧，数学二的二零年考过啊，数学二的二零年考过 啊，实际上这个地方就换元嘛，应该得到一个分段函数，对吧啊，求导数判判并判别这个导函数在零 z 点是否连续啊，暑期还记得吧，暑期急需人的讲义上一样的题啊。 好，接下来的这个积值啊，数一数数三的都考了，这个二元函数无条件积值啊，已经连续考了若干年啊，从二一年开始是吧？ 二零年嘛，还是从二零年开始？这几年几乎每年都有啊，无条件及时啊，这个基础阶段，强化阶段，冲刺阶段啊， 基本上的都是讲过这种啊，并且讲的还比这个难是吧，我们还讲过啊，通过这个别的知识来求函数表达式，这个呢，是直接给你表达式啊，而呢数一的这个十九啊，为什么说数一的这个也不难呢？因为去年啊，那个 曲面积分是吧？去年考的那个曲面积分啊，那个曲面积分这个比较难得，分率比较低啊，但今年这个考的是曲线积分，实际上我们在考前大家其实都已经知道今年要考曲线积分啊，只是不确定他到底是考斯托克斯还是考平面曲线啊。这个就补线吧， 对不对？补线，这是个椭圆嘛，椭圆的一部分啊，你就用补线法补线的时候，我们其实这个在我记得好像是点题班给大家讲过啊，你补线最好补直线，是不是你就补一个直线啊，用高用格林公式就可以了。 好，这个数学一的比较长啊，证明题啊，数学一的同学考了一个证明题啊，数二数三的其实没有考啊 啊，这个这个等于零啊，好的， a 的是半个区间上的积分，然后你证明 a 大 于零啊，所以说你就把这个啊，可以考虑用积分区间在线，可以把它写成两倍的零到一上这个 f 加 f 负 x 的 积分啊， 通过这个单调性啊，通过 f x 严格单调递增。然后呢，你再来看这个 a 啊，是大于零的啊，这个的一看就罗尔定律嘛，对不对啊，这个肯定就是对导函数，用罗尔定律，找三个点的函数之相等，找三个点的函数之相等，然后呢，用三次是吧，是不是用三次罗尔定律 啊，这个点很好找是吧？一啊，负一啊，零啊，应该是这么去找好 接下来的这个数二的第二次题啊，这个呢，就是旋转体的体积吗？但这个题可能有点计算量啊，因为你从这个结果来看不太友好，是吧？所以我们说你题型那是常规的题型，当然这题呢，他有一个拐点，是吧？有一个拐点，你要把这个拐点求出来啊，要把拐点求出来 啊，拐点求出来之后，你就可以求出 x 零嘛。好，那这是第一项线嘛，是吧？呃，这个第一项线无界区嘛，无界区他应该就是个反差积分嘛，这个也讲过这题的第二问，这个应该是讲过第一问的常规题嘛，找拐点。 好，接下来数三的第二次题的这个常规的啊，这就是一个极坐标嘛，是不是应该是一个直角坐标嘛？ 啊，这个可以出微分嘛，是吧？这个外，先对外积分嘛，先对外积分啊，然后再对 s 积分， 这个应该也属于比较常规的啊，这个比较常规的一个二乘积分的计算。好，这是第二次啊， 然后呢，这个数学二的第二次一题，考了一个二阶微分方程啊，这个二阶微分方程的，求解嘛？ 画圆是吧？啊？零 p 零 y 的 导数。好，接下来的这个线形代数的啊，这个线形代数这个题实际上是不和去年那个大题差不多啊， 和去年那个大题差不多，这也是我们钻石卡学员在考前发的第二三啊，这个考前必做八套题里面好像是第五套吗？讲过一个 啊，这个基本差不多啊，然后呢？也都是十次方，是吧？我们这个题也是十次方，他这个第一问看起来是正面题，其实是计算题啊，就是你找极大的信息无关注嘛，是不是找极大的信息无关注，而把其余的下面用极大的信息无关注来表示出来 啊？所以这题呢，咱们这个状元选的应该做的比较好啊，因为基本上就是原题了。好，然后呢，概率呢？这个比较难的就这个大题了啊，概率呢？大体稍微难度要大一点 啊，主要就是你要把这个画的要想清楚，他现在有 n 个原件嘛，然后每个的都是这个指数分布啊，所以呢，我们就假设他们的寿命是 x e x x n， 有 n 个原件，有 n 个寿命，每个寿命服从这个均值啊，你没有发现他有点像二零二二年那个题啊？ 有点像二零二二年是吧？均值就是七万，等于这么多，那么参数呢啊，指数分布的参数就是那 c 乘分之一嘛，对不对？好，那么现在的说 k 等于一， k 等于一是什么？就是我现在有 x x x n， 有 n 个原件，寿命是 x x x n， 而那 k 等于一呢？说失效的原件的寿命啊，就是有一个原件嘛， 他说试验直到出现 k 个原件失效时停止， k 等于一是吧？ k 等于，就是出现一个原件，出现一个原件，它失效这个时候的停止， 然后呢，这个寿命是 t 啊，失效原件的寿命你知道是哪一个失效吗？其实你不知道，但是我们知道他一定是什么，一定是这 x e x x n 中间最小的那个， 对不对？所以呢，他这个 t 呢，应该就是 x x n 最小的那个，也就是 mini， 是 吧？就是 mini 啊。 好，这是二四年吧，应该还记得吧。二四年考过啊，二四年在大题考过，我们在那个点题班吧，我记得点题班最后一个题啊，这个给大家看过啊，给大家看过，然后没有讲，因为和二四年那个题差不多，二四年的是什么？是均匀分布，再给他换成一个指数分布， 所以呢，它就是 x x x n 中间最小啊，就是迷你也就是最值的分布嘛，然后呢，你就利用最值的分布是不可以把它的密度求出来，密度求出来之后，你看这个是不一样 的，是吧，所以关键就是把这个 k 等于 t， 这个 t 到底是什么意思，你要翻译清楚 啊， t 等于就是有一个原件失效，对不对？这个时候就停止 啊，然后呢，这个寿命是 t， 这个 t 是 什么呢？肯定是这 n 个中间这个时间最短，寿命最短的那个，对不对？因为你肯定是寿命最短的那个出现了 啊，原件的失效了吗？啊，所以这个 t 的 应该是 x 到 x n 中间最小的那一个，然后呢，这个第二个呢？他把四项函数都给你了吗？对不对？四项函数给你了，你这个找对数，求倒倒数等于零就行了吗？ 对吧？导数等于零就可以了啊，所以呢，最后就可以把这个结果就可以算出来啊，这个有点新颖啊，以后可能有同学没法把这个文字性描述的条件翻译成数学式啊，所以这个题呢，估计得分率呢，要稍微的低一点。好，这就是关于咱们这个 啊，今年这个考试题呢，就给大家解析到这啊，总的来说，根据大家的反馈，考的都还是不错的，所以呢，不管怎么样，大家都要准备复试啊，因为估计绝大部分同学应该都是能过初试的啊， 绝大部分同学过初试应该问题不大，主要就是看你的复试就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就这么多啊，最后祝阿六届的同学啊，一战成硕。

一杯茶，一包烟，一道积分算一天。今天来做一下二十六年考研数学二真题，答案会在明天更新，欢迎大家在评论区讨论。

哈喽，大家好呀，这是第二集视频，我将接下来这个视频我将会讲解。呃，第一学期期中考试必卷。首先我们看第一题，看上求极限，这个 等于多少？我们首先要看到 x 趋近于无穷，趋近无穷的时候，我们采用抓大头法，也就是看 x 方的它的系数，剩下的话就不要看了，所以它就直接等于三。 第二题，它求 x 乘以一的 x 次方的二阶导数 f x 的 一阶导数很容易得到，它是 x 加一 f x 的 二阶导数再进行加一。 呃，第三题，求 y 等于 x 分 之 l e， x 的 微分，嗯，那么它就是对它进行求导。分子的导数乘以分母 e 减去分子乘分母的导数呢，就是 lo x， 所以 d y 就 等于 e 减 lo x 除以 s 的 平方 d x， 他 说 f x 在 零到三上满足拉格朗日中指定律的中指是多少，那么我们先开始默写它的公式， f 三是多少呢？就是二十七减九加一，再减去一个一，除以三减零，那么它就是六。 呃，那么再对 f x 进行求导的话，它是等于 f c 的 导数， f x 的 导数等于三， x 平方减三，那么它是等于六的 x 平方就等于三， x 等于。由于这里的区间是正数，所以这里就是根号三。 嗯，去看这一道题的话，我们首先要回回忆定积分的基偶基基偶性质 f 负 a f a 呃， 我们首先要回忆 d 积分的呃，性质 f， 我们首先要怀疑定积分的性质 f x 如果是 g 函数的话，那么它就会是。呃，对它进行定积分的话，那么它就等于零。如果它是偶函数的话， 那么它就等于二倍的零 a f x， 所以这道题的话，因为它这是奇函数，所以直接把它去掉，那么就相当于是求 f 零一 f 负一，一 f x， 那 么对它求定积分的话，我们可以利用几何性质， 这是负一，这是一，相当于就是求这两个三角形的面积， 其中一个三角形的面积是二分之一，两个三角形的面积就是一。我们看选择题，这一个题考的是中央极限，那么它就等于 一解。我先进行变形一下， n 二分之一乘以一个二，再对它进行求极限， 那么它就是根据重要极限，它就是 e 的 平方， e 的 负二次方，因为这里是负负号。 我这里有一个小结论就是，呃，如果这里是一键一个呃，不管是什么呃 乘一个多少多少，就是这里。如果是减的话，一般我们的结果是 e 的 负多少多少，如果这里是加的话，我们的结果是 e 的 多少多少，就是这样一个小结论。 再看第二题，他说在 x 等于零处连续， 我们对它进行求极限， x 等于零， sin m m x 除以 x， 那 么它就可以近次取近于 m， 要想连续的话，那么这一点肯定等于三呀，所以选 c。 第三题，他说这个函数 f x 是 一个分段函数，在 x 零处是否连续，是否可导？我们首先要判断连是否连续， 由于这是一个有阶函数，乘以一个无穷小，那么它肯定等于无穷小，那么就等于零，所以它是连续的， 它是连续的，那么我们要判断它是否可导。利用导数的定义， x 趋近于零， f x 减 f 零 x 减零，那么就等于 side x 分 之一，因为它是正当的，当 x 趋近于零的时候，这个去 x 分 之一是趋近于无穷， 机械不存在，那么它就不可导，所以选 a。 第四题 f x 的 阶段点的个数为，我们首先对它进行化解，这里就是 x 减二， x 减一，那么它的没有定义的点就是 x， x 等于零， x 等于一和 x 等于二。当 x 等于零的时候， 呃，也就是厘米的 x 趋近于零的时候， f x， 它是等于 趋近于零。负的时候，它是等于 x 减二负负的一，因为 x 减一约掉了，所以它就是二分之一。当它趋近于零正的时候， s 减二分之一，那么它就是负的二分之一，所以它是一个跳跃阶段点。 当 x 等于一的时候， 因为它 s 趋近于一， f x 这一个，那么 x 的 绝对值肯定为正，我们就不要管它了，就约掉了。剩下了 x 减二分之一，那么它就是负一， 这是可去截断点。当 x 去呃等于二的时候， limit x 趋近于 二， f x， 当它趋近于 二，当它趋近于呃二的时候， f x 是 趋近于无穷的， 因为前面都约掉了嘛，就剩下了 x 减二分之一。如果你 x 取近于零二的话，底下是取近于零的，那么它就是取近无穷，所以它是第二类阶段点， 所以它的阶段第一类阶段点的个数是 b， 也就是两个。 下面看第五题，他说结论错误的是，对 f x 的 导数进行积分的话，肯定等于 f x， 这个是对 它进行这个对 e 的 x， 对 f e 的 x 求导的话，它就是 e 的 x 乘以 f e 的 x 次方的导数，所以 b 也是对的。 呃 c 的 话，少了一个负号，所以选四 d。 接下来看解答题。第一节的话是假逼定力，我们首先对它进行放缩， 小于等于圆，是任何一个数小于等于， 这样写吧， n 方加 k 配，再加上一个派， 那么对它两边进行分别求和的话，那么它就等于 原式 小于等于 n， 那么还是利用抓搭头发根号下二次方，那么开出来就是一次方， n 的 一次方，一次方和一次方相抵，所以就是极限为一，他左边的极限为一，右边的极限也为一，那么就可以利用夹逼准则得出原式的极限等于一。 第二题，求 f x 的 极值， f x 的 导数等于三倍的 x 加一， x 减一。我们也可以画一下图 负一一，那么它的图像就是这样， 很明显就可以看出来它的极值。 f 负一极极大值等于二，极小值等于负二极大值极小值。 接下来看第三题，如果你一开始对它 那进行求极限的话，肯定是有一点困难的，我们对它进行变形，提到一个平方除以一个二，为什么要这样变形呢？因为平方之后，由于散引方加口，散引方等于一， 那么它就等于一个三 x 分 之二，这就是一。加什么？就是你就想到了重要极限了吗？所以它就等于一加三， x 分 之二乘以一个二分之 x 次方， 那么它就等于零的 x 趋于无穷。一加三 x 分 之二， sin x 分 之二分之一乘以一个 sin x 分 之二除以一个 x 分 之二。当 当 x 取尽无穷的时候，这一部分就是取尽于一的。所以这一部分如果你把它看为 t 的 话， 呃，不是如果，如果你把这一部分和这一部分看为 t 的 话，那么这不就是一个重要极限吗？所以它就等于 e， 最终结果就是 e。 再看第四题， 他说当 x 趋近于零的时候，这个为等加无穷小，求 n 与 a 的 值。这一道题的话， 嗯，如果你利用它的定义的话，是比较难求的。这里我们采用麦克劳林公式展开，那么就是 cosine x 等于一减二分之一 x 的 平方加上一个 对，它分别展开的话，那么就是 cosine 二 x 等于一个一减去一个二 x 的 平方加去加上一个 s 的 平方， cosine 三 x 就 等于一个一减 二分之一。哎，二分之九 x 的 平方加上一个 这一，这一部分的话，我们乘的时候就不要管它了，因为最终的话，不管怎么乘，它都是一个无穷小，所以 cosine x 乘以 cosine 二 x 乘以 cosine 三 x， 它就等于 它就近次等于一减去一个二分之一加二加二分之九 x 的 平方。 为什么等于一减 x 的 平方呢？因为无穷小之后的 x， 不 管多少次方，多少次方，它都是无穷小，不可能比这个再小了，所以，呃，不可能比这个再大了， 所以我们只需要考虑它的一阶小量，也就是 s 的 平方计算系数。二分之一加二加二分之九等于七， 所以 cosine x 乘以 cosine 二 x 乘以 cosine 三 x， 它就约等于一减七 x 的 平方，那么 一减去这一部分就等于七 x 的 平方，所以 n 等于二， a 等于七。 第五题，求定积分零到四分之派， x 乘以 x 的 定积分，那么 首先 让它使用分布积分公式，它就等于 x 乘以二分之一，撒以二 x 零四分之 pi 二分之一撒因 r x d x， 它就等于把四分之 pi 带进去，就是四分之 pi 乘以一个二分之一，减去一个零，再减去一个。 谁的导数是 sine 二 x 呢？那肯定是负的 cosine 二 x 嘛，负的 cosine x， 把这个符号加上，提出一个二四分之一，所以它就是一个， 后面就是一个加上一个四分之一的 cosine 二 x 零四分之 pi 就 等于一个八分之 pi 减去一个， 加上一个 四分之一，等于八分之八减二。第六题的话比较复杂一点， 它让求二阶导数，那么求一阶导数的话，它是引函数求导。我们首先对这个 没事没事没事，怎么了？我就看看。没事没事，现在我要想看两眼，哎， 第六题的话比较复杂一点，呃，它是引函数求导，并且还套了二阶导数，那么第一点， 我们首先对它进行方程两边同时求导，那么它就是 e 的 f y 加上一个 x， 乘以一个 e 的 f， y 乘以一个 y 一 等。哎，少了一个 f， y 一 等，再乘以一个 y 一 等，等于 e 的 y 次方乘以一个 y 一 等。 整理一下， 把 y 一 道题，呃，把 e 的 f， y 呃次方单独拎出来， e 的 f， y 次方等于一个。把它移过去，把这一部分移过去， 它就等于一个 y e 导，把 y 的 e 导提出来，就是一个 e 的 y 次方。提取一个 x e 的 f y 次方， f y e 导， 把原方程的 e 的 f， y 次方。呃，不对，把原方程的 e 的 f， y 次方带进去， 就是这一部分，和这一部分发现一样，把它带进去，那么就是 e 的 f y 次方等于一个 y e 一 导乘以一个 x f y e 一 导，那么 y e 导就等于一个。 这里和这里消掉了，就等于一个 x e g f y e 倒， 那么求到了一阶导数是这个， 那么我们再继续求二阶导数。求二阶导数的话，首先进行换元吧，令 miu 换一个颜色， 这一部分等于六， 那么 d 六除以 d x 就等于一个 d x 一 减， f y 一 等除以 d x 等于。 那么谁忘记了 d y 方除以一个 d x 方的话，它就等于一个否否方分之 d 没有除以一个 d x， 其中这个 d 妙。除以 d x 的 话，就是对它进行求导， 那么对它进行求导的话，就是一解前不导。呃，前导后不导，一解 f 外一导，加上一个前 前不倒后倒 x 乘以一个负的 f y 俩倒， y 一 倒， 就等于一个 e 减 f y 一 倒，减去一个 x 乘以一个 f y 两倒， d y y 一 倒， 再继续化解 这里的话，把这个 y 一 导 带进去，这里最终的结果就是一解去一个 f y 一 导，一解去一个 f y 一 导的平方解去一个 f y 两导， 那么它最终的结果代入原表达式，它就是 除以一个 x 乘以一个 e 减 f y 一 的平方，那么它最终的结果就是这里。我直接抄答案了，它答案实在是太长了。 第四题，综合综合题，它要求切线方程和法线方程，它同时还是一个 引函数，那么我们对它方程两边同时进行求导，就是二 x 加去一个二 y 乘以 y e 导加上一个 sine pi， x 加上一个 pi 乘以 x 减一 cos 等于零。 将 x 等于一， y 等于二代入，那么就解得 y 一 到等于负二分之一， 介斜率的为法负二分之一，那么法线的斜率， 法外法线斜率为它的导数，它的负导数嘛，它的负导数就是二嘛。 所以在那一点的切线方程为 y 减二等于一个负二分之一， x 减一，法线方程为 y 减二等于一个二倍的 x 减一 指。下面第二题指出他的间断点，并说明间断点的种类。嗯，这一题的话， 我们首先要找找到他的没有定义的点，那么就是 第一个单独零出来。 tan tan 加 x 等于零， x 等于 k 牌， tan 加 x 等于 k 牌加二分之二。当 x 等于零的时候， 厘米的 x 取近于零， x 除以 tan 加 x， 它是等于零的，而它是等于一的，所以 x 等于零是可去间断点。 当 x 等于开拍的时候，厘米的 x 取近于开拍， x 取近于 tan 加 x 等于当它。 我们看图发现，当 x， 呃，当 tangent x 趋近于开拍的时候， tangent x， 它是趋近于零的，那么 这一部分的话，它就是无穷大，所以它就是无穷间断点。当 x 等于开拍加二分之拍的时候， 另一边 x 取进于开拍， x 去除以乘进来 x 等于零为有限值，它是可去间断点。 如果他他题目说如果是可区间短点，那么补充函数定义是它连续 对 x 等于零。补充定义 y 零等于一，即连续 对 x 等于 k 派加二分九派补充 y， k 派加二分九派等于零，即列式。 剩下一道证明题的话，上一上一个视频已经讲过了，这里就不多说了。好了，今天这一套题就讲解到这里，谢谢大家。

我们来看一下大题部分，第一个趋向于一式啊，这个也是由理化，对吧？因式分解由理化啊，当然了。呃，可不可以使用抓大头？可以不是，可不可以使用洛必达？可以，没问题的。那我就，我不按洛必达来了。 趋向于一的时候我们就直接开始了。那你看一下由理化，然后并且把因式分解同时进行。平方减一，是不是减一加一， 那么下面这个是根号下二 x 减 e 再减 e， 哎，我搞一个它再加 e， 那 么根号下叫做二 x 减 e 再加 e 的 格式啊。没有，你就等于个叫做 limit x 趋向于 e 时， 那下面这个话是不是就是平方函数？这个的平方减去这个的平方是不是二 x 减二，我把二提出来，那变成了 x 减一了，那上面有一个 s 减一，对吧？这个 s 减一跟下面的 s 减一同时约到了。那好，各位，剩下你照抄就可以了。剩下你不用管啊，你会发现 剩下的这块就是上面这个整个部分。减一加减一，加减一减减，减什么东西？减一是不是约掉了，剩下的是非为零是把一代取。可以了，上面的话是二，二跟二约掉了，然后这个是根号下一一，一加一等于二，最终答案是等于二。 好，继续再后十二题，变现积分啊，这个靠平音很高， 比如说二六年大概就会出啊。 limit x 趋向于零时，我们还是啊，那句话就是零比零行，对吧？零比零行，能等价的地方立马等价，那么我们把分母等价成 x 本身，上面照抄就可以了。 这个不用犹豫啊， call 三 t 在 d t 的 形式。好，各位，既然是零比零型，那我们就撸必打，对吧？变现积分嘛，肯定是要落的，化成最简代入分母，求导式 e 上线代入 e 的 负 x 次幂加上 cosine 负 x 米，再乘以上线的导数，是不相当于是负 e， 非为零。是了，把零代入就可以了。上面 e 的 零次密是 e， cosine 零是 e， 那 最终是负二， 这是我们的第十二题，它的格式。好，继续十三题算不定积分，那这个的话就拆开做呗，对吧？把这个括号乘进去， x 乘 e 的 x 密是一个，这个一会走分布就可以了， 再加上一个二倍的 x 乘一个 e 的 x 平方点 x， 这又是一个。前面这个的话，走分不积分啊。这个不动 d 的 e 的 x 密本身再加上一个，然后二 x 出到后面去， 凑成 d 的 x 平方，这个没问题啊，前者 u 乘以 v， 再减去一个 v 乘以 d u， 这个一会儿直接出答案了，那后面的话，这个也是可以出答案，它本身 最终答案。把 e x 密提出来， x 减一，再加 e 的 x 平方，本身加 c 啊，这是我们说的 这个题目，应该来说较为容易啊。好，再来看一下十四题，十四题考了一个有理，有理函数算积分。嗯，那好，各位，其实在我的复盘课里面，我把有理函数分的非常非常的细， 就是分成了乍分式，出分成了真分式，这种情况下是不是我们所谓的真分式？那真分式的话，要看一下分母能不能因式分解啊。那这个 这个 b 方减去 c， c 啊，减四乘 a 是 小于零的，没有根，没有办法因式分解，并且分子中用 x 啊。那我们采取的方法是这样的，大家听我讲，就是第一步干什么呢？先无脑凑分， 大家不用看解析，也不需要听其他的课，你就用我的方法，非常的好使啊。无脑凑分， 分之叫做 d 的 x 平方减二， x 加二，这是第一步。那无脑错完分母之后干什么呢？你需要验证一下系数。怎么验证呢？很简单，你对它求一下微分，这是什么？这是二 x 减二，对不对？那你会发现这个二 x 减二跟这个二 x 减五，是不是 只是差了个什么？是不是只是差了减三？所以说我后面干什么？哎，我再补减三就可以了，懂什么意思吧？ 是这个零到一。这道题其实给的比较简单。其实给的比较简单一点啊，就是有的时候我们还会遇到更恶心一点的，就是说，比如说你的系数不再是二 x， 那 比如说啊，我举个例子，比如原式的系数是 x 的 话，大家想一下，如果我这样进行的话需要干什么？ 那如果原式是 x 的 话，你这个求反导是二 x 减二，那我前面添一个二分之一是不就可以了？懂我的意思啊，只不过呢，这道题简单跳过这个环节。好，剩下的怎么做呢？剩下的其实是我们另一种另一个做法。好，这个把它出来啊，这 u 分 之一在 d u 嘛？是 l n 的 u 平方减二， x 加二，恒大于零，绝对值，不用多添了，零根一代入再减去。注意，这是我们讲的另一种类型，就是是分母没法因式分解，分子中不含 x， 这种干什么呢？错误，完全平方，错误，完全平方，我们把分母 平方减二， x 怎么凑完全平方？是不是搞一个 x 减一平方出来，那剩下的是不是加一？人家是加二，哎，我再补一个加一这样，然后在 d 的， 哎，我再凑一个 x 减一的字样，这个能听懂什么意思啊？好，前者的话，把一带进去的话是， 呃， loan 一， loan 一 是零，不写了，下线带入进去是有一个前面有个符号 loan 二，这是它的格式，减去一个，这个是什么？是不是就是 a 可 tangent x 减一，然后我们再把零跟一带入就可以啊。前面有个三 负的 sine 二，上限代入是零，下限代入是 ak tangent 负一。我稍微打个操作，各位， ak tangent 负一是不？就算一下 tangent 多少度等于负一就可以了。很明显负四分之派跟前面的放在一起，哎，最终是 这个负的负四分之派，那就正好也是四分之三派，这样就可以了。这是第十四例，有问题的你去听一下我的复盘课，讲的很细啊。 ok， 十五例，十五一专项的内容，这是我们求平面方程的。那这个题其实并不难，你注意啊，他讲了一句话，他说我这个平面方程啊，与这个直线这个直线都平行，其实很明显了，各位 不需要画图啊，这种题我画图只是方便我讲思路而已，大家可以利用。就是身边的环境啊，脚下的地面啊，旁边的墙壁啊等等来想象一下这个。你看我要求的是 pi 对 吧？那已知两条直线，我与这两条直线平行，那这是 l 一 吧，这是 l 二吧， 这是 l 二。其实很明显，各位，我们说了啊，求平面是不要搞 n， 要搞这个法向量 n， 那 么已知谁啊？已知 l 一， 已知 s 一， 对不对？我们能读出来方向向量吗？ s 一 吗？我们又能读出来 l 的 方向向量 s 二。那你看一下啊， s 一 跟 s 二与 n 之间的关系是不就垂直关系？哎，这就是比较关键的一个点，所以说我们用什么 n 向量怎么求？差乘 s 一， 差乘 s 二就可以了。嗯，好，那我们就直接开始答了啊，这个答关键步骤就行了。嗯，我们可以。 嗯，前面这个可写可不写啊，这 l 一 代表第一条直线啊，啊，是这个，给它起好名字，给它起好名字啊，放在这儿，然后方向向量 为这个嘴读出来啊，负一二四， l 二是第二条直线照抄，然后我们的方向向量 为，我们给他一个 s 一 吧，第一个是 s 一， 第二是 s 二， s 二的话，是不是相当于是二负三一的格式？这没问题啊，然后所求平面 为 pi， 我 们的法向量 为 n。 那 好好，开始把具体的值了， 具体的得分点啊，就是，前面你可以不描述这么细，因为题干讲了， pi 是 平行于 l 一， 并且 pi 平行于 l 二，所以说此时的 n 垂直于 s 一， n 垂直于 s 二。 那既然都垂直的话，那我下面答一下，第一， n 向量是不是就等于一个 s 一 x 乘 s 二，那既然是 x 乘的话，我们构造一个三阶行列式来做就行，就等于个 i g k， 这个需要体现啊， s 一 负一二四， s 二二负三 e 通过交叉相乘，我直接写答案了，最终答案是十四 九负一。好，这就是我们所谓的 n 向量，那 n 向量有了，并且我知道一个点对不对？那好表示一下，又因为派过点 二零三，那我们的这个发现呢？为它啊，所以由我们说的啊，点项式有点法式方程可得，我们平面 pi 就 有了，是不是叫做 十四倍的 x 减二加上九倍的 y 减零，那就是九 y 呗， 减去一个一倍的这个 z 减三的字样单位零，对吧？那我们给它稍微的化简一下啊，就是给它开出来就行了，写成咱们说的一般式啊，一般是更常用一点，那就是十四 x 加上九 y 减 z， 剩下的整数项放在一起减二十五等于零即可。哎，这就是我们所谓的 求平面方程的做法。好，继续啊，十六题，十六题的话就是微方程算我们的特解，那微方程算特解的话怎么办？是不是第一步变形啊？不是，什么第一步变形，是不是先确定一下什么类型？这标准的一阶向量性。那我们先把它整理一下， 两边同时出一个一加 x 平方， y 倒加上一个一加 x 平方， 等于一个三 x 平方加一比上一个一加 x 平方，这是我们所谓的。呃，这是我们所谓的限性的自也， 对吧？限性自也，那好，被限性的通解公式，那其中 p x 等于一个二 x 比上一个一加 x 平方， 然后 q x 等于，后者等于三 x 平方加一比上一加 x 平方。 好，根据我们的通解公式， y 就 等于一个最外层 e 的 负二 x 比上一个一加 x 平方， d x 乘以一个 q x， q x 的 话，是不是就相当于是三 x 平方加一比上一个一加 x 平方， d x 再乘 d x 再加乘入 c 的 字眼， 这是没有问题的啊。那紧接着我们算一下这个值啊，你会发现呢，这个地方是不是可以二 x 凑到后面就凑成 d 的 x 平方，再补一个加一，然后前面是一加 x 平方分之它的字音，这是什么东西？这是 round 的 平方再加一， 那么前面有个有个负数，那这个是多少？是不是把帽子提到这个位置？他一化简的话，正好就是平方加一分之一，这些大小纸上进行就可以了。那好，这个算完了，算完之后呢？里面这个东西注意啊，注意， 这个照抄。三 x 平方加一，比上一个一加 x 平方，这个就不用再算了，就是这块跟这块关系成倒数关系，再乘一个一加 x 平方就可以，这个没有问题啊，再加乘除 c。 好， 我们整理一下啊，那他跟他约了，三 x 平方加一进行积分出答案， 等于一加 x 平方分之一倍的乘一个，那三 s 平方加一积分，三 s 平方积分是 x 三次米， 一积分是 x 本身，然后再加 c 就 行。哎，这是什么？这是我们的通解，特解的话是不代入，代入我们的出值条件，代入零零得先把 c 算出来啊， c 就 等于个，相当于是这块是零，这块是零啊，然后零零， c 就 等于个 c 等于谁啊？ c 等于零是不就可以了？这个没有问题啊，那既然是 c 等于零了，那我们的 特解就有了， y 就 等于一个叫做一加 x 平方分之 就是三四米加 x 呗。哎，三四米加 x 还可，还可以再提个公因子，对不对？你看三四米加 x 嘛，我提个 x 出来，是不是平方再加一的字一样，他跟他约着，哎，正好就是 y 等于 x 即可，没有问题啊，这个直接去答， y 等于 x， 这是我们第十六题的格式， 没问题啊。然后再往后十七题，十七题呢，是多元函数，多元函数里面的引函数求导，对吧？我们就直接来了，第一步的话，构造辅助函数令大 f x， y， z 就 等一个 y 乘一个 z 方加上一个 e 的 二 x 加 y， 再减去一个扩散 z 的 形式，那么要算它，对吧？我们先把对 x 的 偏导，对外的偏导算一下， 对 x 求偏导，前面是零，这个加 y 内层球有个二倍， 然后对外求偏导，是 z 方加上 e 的 二 x 加 y。 还有一个就是对 z 求偏导啊，对 z 求偏导， 那么对 z 求偏导，前者是二 z x 二字 y 加上一个 e， 这个求导是正的三 z 的 格式啊，这个没有问题。那好，下面的话，把两个偏导写一下就可以。 z 对 x 求偏导， round z 除以一个 round。 x 等于一个负的，上面是大 f 对 x 求偏导，下面是大 f 对 z 求偏导， 就等于一个负的，上面大 f 对 x 求偏导。是二 e， 二 x 加 y， 下面对 z 求偏导，照抄就可以了。二 z， y 加上三 z， 同样的 z 对 y 求偏导，等于负的分子，大 f 撇 y 分 母，大 f 撇 z， f 撇 y。 上面这个表达式啊，负 z 方减去 e 的 二 x 加 y， 下面是二 z， y 加上一个三 z 就 可以了。哎，这是我们的第十几题，它的格式。好，再往后十八题，十八题呢，考的是一个二冲积分的题， 其实你结合这个题的特点就能看出来啊，这道题跑不了极坐标吧。我们画一下图，这是 x 轴，这是 y 轴 y 的 范围啊，大于等于零，小于等于 x， 那 有条线是 y 等于 x， 这个是，这个是三吧，这个，这个是一吧，这个读挺大的，这个是一， 一一二三，这个是三。好， y 的 x 长成这个样子， y 等于 x， 然后是 x 平方加外方，小于等于一，那么圆心是在， 然后是第二个 s 平方加外方等于九，对吧？等于九的话是过这个点，过这个点，然后这样一连接， 哎，这么一个圆。嗯，我们再看一下， y 的 范围是大于等于零，大于等于小于 x， 比如说是在 x 轴上方以及 y 等于 x 下方之间，然后 s 平方加等于一的话，就是这个蓝圆的外面，小于等于三，就是红圆的里面。所以说能够确定的是，目前积分区域应该是这块轮廓。这个没问题啊，就这块 这个环形域。那好，那现在的话，既然积分区域是一个环形域，被记函数出现了 s 平方加 y 方的字意，这是两个标志，这两个标志同时出现，基本上都离不开极坐标，所以说这道题选择用极坐标来做就直接来了啊。原式等一个 叫做 d c， 它那么范围的话就是从零度到四分之 pi 倍镜函数 r 乘 d r， 那 正好就是一个半径是一，一个半径是三，这是没有问题的啊。呃，那好，倍镜函数的话，我们重新写一下啊，根号一下，里面 x 平方加外方是不是 r 方， r 方再来个三次米，是 r 的 六次米。 没问题啊，上面 x 加 y， 那 就是 r 乘以个三， c t 乘以加上扩散 c t， 我 就提个公式了， 加 cosine theta 的 形式现在有点乱，对吧？我们再重新化解一下啊，原式就等于一个零四分之 pi 在 d theta 本身，那么这个下面根号下 r 的 三四米上面是 r 方，是不是约掉了，还剩一个 r 分 之一，这个没有问题啊。然后呢，我们把这个 cosine theta 加上 cosine theta， 提出来 一三二分之一，在第二进行积分，先积里面啊，先积这块，所以说里面的话正好就是 sum 啊，零四分之派 sum theta， 加上 cos sine theta， 然后是 long 二上下线一根三带去，这个好算，带去的话是 long 三， long 三是正数，我们就直接提弦就行了， long 三提到减去是一个数啊。然后后面进行积分， sum theta 是 那么负的扩散 theta， 散扩散 theta， 积分是正的散 theta。 然后呢，再把我们的零 四分之派往里带就可以了，带入进去恰好是一对不对？你看你把四分之派带进去的话是零下，带进去是零，有一个负一嘛， 那，呃，下线带入是负的对不对？下线有一个负一，负一跟负一正好是正一，所以说最终答案是正的零三。哎，这是我们的第十八题，它的格式没问题啊。好，然后下面应用题部分第一个，第一个呢，考的是 啊，我们说的这个算极值，算极值啊。首先强调一下定义，因为有洛，所以 x 的 范围属于零到正无穷 求导， f 撇 x 求导，就等于个二倍的洛 x， 求导出一个洛 x 导数 b x 本身 减去一个前倒二倍的零 x， 然后再前倒后补倒，是不是相当于是减二，再减去一个 x 分 之一的格式，然后再加上三啊？注意，这，这个咱们完全可以化解。呃，我们最起码是 我们可以有二倍的零 x 嘛，对吧？提个二倍的零 x 出来，那后面的话是 x 分 之一减一，而你看啊，恰好后面这个 二百 x 二分之一减一没问题啊。这部分啊， 二跟三是一，对吧？那就是一减 x 分 之一的格式，这个能看懂啊。那么一减 x 分 之一跟前面的 x 减一，是不是又可以提一个共因子？那我再来一步吧，这个打草建议。 这一步打草了，我们 就等一个原式，那么我们把一减 x， 把 x 分 之一提出来吧，那就相当于是二倍的零 x 减一，这个能跟上啊，再乘一个 x 分 之一减一的公式， 换这个程度，换这个程度，你再算注点也好，不可导点也好，就好，算很多了。令 f p x 等于零等 第一个式的为零 x e 是 等于个相当于是 让零 x 取二分之一呗，是不是 e 的 二分之一四米根 e 啊，另一根 x 二，让第二个式的为零是等于 e 的。 有不可导的老铁们有，但是呢，范围是在零到中位数之间，零就舍掉了。所以说啊，这样的话就找到了两个可移点啊。找到两个可移点之后， 然后我们判别极值。二阶导的话，我看一下啊，二阶导好算吗？二阶导， 二阶导还行，对吧？我们利用二阶导来判别吧， f 撇撇 x 就 等于个先导，这个图导是 x 分 之二乘以一个后部导， 再加上一个二倍的零 x 减一不动，后面这个 x 分 之一求导是负 x 平方分之大，所以说前面的这个加号变成减号 化简，需不需要化简呢？化不化简的无伤大呀，因为我们只是干什么呢？我们只是算一下这个二阶导的正负情况啊。你看一下，我们把这个根 e 带进去， 把根 e 带进去之后，那这个就变成了一个根 e 分 之二乘以个根 e 分 之一减一， 再减去 e 分 之，这个根 e 是。 嗯，那这个就是零了啊。所以说还剩这个结果，这结果根 e 减一是负的，前面是正，所以说应该是小于零的，我们没必要去研究 等于谁啊，只要确定小于零就可以了，这是第一个。那同样道理，把一带进去，把一带进去的话，这个是，这个是零，这个不看了，然后这个是，这个是零，然后负一前面有个符号变成正一了。哎，这个是大于零，这个好算啊， 那这样的话就赢不了了。所以说二阶导数小于零嘛。二阶导数小于零是取得极小值的，所以说我们就直接来 x 极大值为 f， 根 e 带回原式啊。好，带回题干中的原式二倍的根 e 再减四分之一，极小值 为把 e 带回原式，等于正三。哎，这是我们的第十九题。好，第二，第二十题也是一个应用题啊。算一下面积算一下面积的话，这个画押图 x 周， y 周 有一条直线是 x 等于一，有一条直线是 y 等于一。 好，这个是什么东西？大家可能不大会画了啊。这个没什么东西，你看啊，我把原式给你转换一下。 y 等于圆的根 x， 是 不是 x 的 二分之一？是米，我把二分之一提前了，是不是二分之一乘以个圆 x， 那是不是就跟 y 等于洛 x 前面添了个二分之一系数，只是轮廓变了而已。那我们去描几个点呗，比如说啊， x 取一的时候仍然是取零，这个是没有问题的，你看啊，就是 y 等于洛 x， 轮廓原来是长成这个样子的，那乘以二分之一，是不是相当于是缩减了 y 的 值？缩减而已， 没问题啊，那，那我仍然是经过这个点啊，这个图画的有点大了，有点偏大了，我再稍微稍微调整一点点啊， e 在 这， e 在 这。 你看啊，我们去描一下这个点，这是二，然后 e 的 话，大概是在这个位置吧，在这个位置， 那么洛 e 洛 e 是 一，洛 e 是 一的话，前面是二分之一，所以说 y 的 值是取二分之一的。注意啊，这个信息应该是在这个点处，在这个点处啊。 嗯，好，稍微调整了一下，还是有一点点不大像，对吧？我，我就画成这么一个轮廓，所以你看啊，这样的话，我们围城的这个积分区域的话，应该是三条线的 b 区，应该是这整框，这整框。 那好，这整块画完之后，我们得确定一下咱们的焦点，那左边的焦点是一，右边这个焦点的话，得求一下啊，求一下焦点连力啊。这个比较简单，就是把 y 等于一带入到我们说的 y 等于 loon 的 long 的 这个根 x 里面啊，那很明显，此时的这个根 x 是 不是让它等于 e 就 行了，那么 x 应该是等于一方， 等于一方，也就是说最右边这个焦点呢？横坐标是一方的啊，这个没问题。好，然后面积就等于 s 等于 d x 零到一方上，减下，上面是一，减去，下面是二分之一，然后根 x 我 就给你写成零 x 了， 这样就可以了。好，然后正常积分等于一个对一积分，就是 x 本身减去一个，后面这个如何记？打后面这个左分不积分对不对？零 x 嘛，那我就稍微的快一点点了。嗯，左分不积分的话呢，就是 u 乘以 v x 乘一个零 x 点积分啊，前面是零根一方带进去。 哎，这个下线应该是一对吧。应该从一开始啊， e 一 方，然后是 e 一 方，减去一个 v 乘以 d u， 那 相当于是对 e 几分了。我就直接疏远了 x， e 一 方的格式，最终通过上一线代入移化减是二分之 一方减去二分之三的格式。好，这是我们的第二十题的格式最后一个证明题。好，我们看一下啊。嗯，第一问证明扩散零到一，使得 f 扩散等于一成立。 那其实你看我们在读题的时候啊，我们就是先读一下结论，确定一下用什么定律。基本上两问的话，第一问都比较友善，这个也排除不，这个也是很友善的。这什么证明方向跟存在性的问题，不存在任何的导数。那我们大概就可以判定好了，用零点，那么零点辅助函数是不一个项就可以了。 证明的结论是大 f x 一个项是等于小 f x 减一的。哎，这道题确实没有在低问中，难为你，那么显然区间给的是零到一，那么就用零到一，显然在零一上连续 大 f 零，算一下 大 f 零。哎呦，还真难为你了，对吧？零的话不合适，把零带进去的话，小 f 零减一是等于一，减一是零的 端点值一号才行。你等于零肯定是不行的，那零 pass 掉了，那零不行的话，二分之一跟一呗，对吧？试一下就可以了。所以说我们这个区间的话，答二分之一到一，二分之一到一上连续好，二分之一就等于一个小 f， 二分之一减去， 减去一啊，等于负一， ok， 小 于零，那么大 f 一 是小 f 一 减一的，二减一是正一大于零。好了，端点值 乘以一个大 f 一 是横小于零的下结论，有零点定力可得， 至少存在一点扩散。扩散区间呢，是属于二分之一到一之间的，这个小区间是包含在大区间零到一内的，使得式子成立，这样就可以了， 大 f 扩散等于零，成立即原始成立，即小 f 扩散等于一成。这一问非常的简单。好，主要是第二， 那么接着就是第二问，这个第二问有些难度啊，这也是为什么这套卷一直被催更的原因，大部分同学就奔着这道题来的。那我还是建议啊，对于这种难题就是逻辑性弱一点的， 我们建议大家就是你去把我的二零二五证明题专项听上一遍，你再听我讲，要不然说实话啊，我现在讲的这些逻辑你未必能听懂， 就证明题就是这样的啊，就是靠一点蛛丝马迹找出来辅助函数。那其实第二问的话非常明确，证明发生的存在性的问题有导数，我们的定律落在了拉中，或者是我们的卢尔，那我们还是喜欢用卢尔，对不对？卢尔虽然说条件强一点，但是更明确一点。 那好，你看一下，我把带证明的函数给你写一下，那难点就是这了，就是我们能不能反映出来这个辅助函数怎么写。 减一再乘以一个小 f x 等于零。说实话啊，这个结构其实并不难，非常像我们的公式，但是公式中确实用不了啊，这个是确定的啊，公式中没有一个跟它一样的。那可能同学，有的同学，可是这个公式 f x 导数加上三角乘一个小 f x 等于零，不行啊，各位，虽然说有小 f x， 那 你能说三角是小 f x 吗？不能有小 f x 对 不对？那好，各位，我们就要用一些什么方法。各位，其实直接法很好用， 就是求导之前嘛，对不对？我们要搞求导之前的，大家想象一下啊，就是现在目前来说的话，其实就两个东西， 那两个东西加在一起等于零。求导之前，其实我们的逻辑就是这个地方应该最终做的公式是这个 前导乘一个后不导，也就说是乘法求导口诀是这种格式是 u 乘 v 求完导之后的格式，说白了就是 前倒乘以后不倒啊，当然它写的是加啊，加上一个前不倒乘以后倒。这种格式能懂我的意思吧？那我们需要干什么呢？确定一下前跟又是谁？那好，各位，其实大家关注一下这两个信息就可以了， 就是这个信息 f x 的 导数，这肯定就是前导对不对？因为带导数符号的非常明显。那好，各位，那后面肯定会有一个前部导，那大家看一下前部导应该是谁？ 要么是小 f， 要么是小 f x， 要么就是前面这个 f x 减一，是不是都是可以的？能懂我的意思吧，都是可以的，因为你看小 f x 减一，循环导之后也是它，小 f x 循环导也是它。那好，我们两种可能性啊，假设啊，两种可能性，第一种可能性的话， 就这样，我把 f x 跟它理解成这个，就是我们刚才说的 u， 你 看 u 到它， u 不 到它，哎，是不一模一样，完全可以啊，完全可以。好，各位，那我现在把小 f x 确定是是 u 的 话，我们试一下。第一种可能性啊，求到之前的整数， 就等一个小 f x 确定好了。你不是要找 u 乘以 v 吗？那另一种形式，各位，那 v 只能落到这个位置了，对不对？ 那好，各位，这是前倒乘，以后不倒，各位，后不倒。按理说应该会有小 f x 减一的字样，对不对？肯定会有它的，那现在没有怎么办呢？各位，没有的话，它可以藏起来了。 什么叫做藏起来呢？各位，如果说两边共同有个公因子的话，是不是可以把它藏起来？什么意思呢？大家请看这一步。我，我不解释这么多啊，大家看这一步就行了。就是你看啊，他原式啊，他可能是这种格式， f 撇 x 乘一个 e 三角，加上一个 f x 减一 乘一个 f x， 再乘一个 e 三角。我问你，我们把 e 的 三角提出来， e 的 三角提出来之后，这块加这块是原式等于零，是不是跟 e 的 三角不沾边？比如说有可能他会有一个 e 的 三角，然后被约掉了，这也是为什么我们在固到辅助函数的时候，你会发现啊，鲁尔攻里鲁尔定律的三角公式里面都会有 e 的 三角这一块， 为什么说最后啊，算完的时候仍然成立，因为 e 的 三角提出来了，能懂我的意思啊，所以说，你看，我照这个逻辑走好，这是 e 的 三角，那 e 的 三角只能是谁？大家告诉我， e 的 三角只能是谁？你看一下后面这个是什么？后面这个是求完倒之后的样子。答，你想啊，它就相当于是我 先演变演示一下 e 的 三角啊， e 的 三角这个东西啊，它求倒之后， 我是等于 e 的 三角乘以个三角的倒数的，对不对？那好，这个地方是不是就所谓的 e 的 三角求完倒之后的样子， 能能懂什么意思啊？那你看一下啊，那 e 的 三角求完导之后的样子啊，我可以这样去理解，就相当于是三角的导数等于小 f x 再减 e， 能懂什么意思不？大家看这就能看懂了，看，这就能看懂了。 就是，你看，这不是前倒乘以后不倒吗？对不对？前倒乘以后不倒，加上一个前不倒，前不倒在这乘以后倒后倒之后，是 e 的 三角乘以一个 f x 减 e。 我 们都知道 e 的 三角求导是 e 的 三角乘以三角导数，所以说三角的导数等于小 f x 减 e， 能听懂什么意思啊？各位，那求到之前应该是谁？三角应该是谁？其实我们能推出来了，此时的三角应该是一个什么变现积分吧， 对不对？应该是一个变现积分。那所以说我们这个时候可以写成零 x 小 f x 减 e， 你 看对还是不对？ 哎，来了这把那所以说这个时候，哎，我的 e 的 三角找出来了，我的 e 的 三角找出来。那好，各位，我问你， 那 e 的 三角找出来之后， e 的 三角跟它是不是就是我要找的辅助函数？所以说我把这个地方挪过来， 最终确定好这个地方应该是 e， 叫做零 x， 小 f x 减 e 在 d x， 不 信你自己去验证。我们正着来一遍啊，正向思维大家更能接受一点。好，各位，你看一下对不对啊？我对 js 求导。 切到 fpx 乘一个 e 的 这一坨，不写了啊，再加上一个 fx 不 动乘一个，后面求到 e 的 这一坨，然后内层再求会有一个小 fx 减 e。 那 你把 e 提出来，是不是就是原始能懂我的思维吧。好，各位，辅助函数 暂且是找到这么一个形式，那我们得验证一下对还是不对啊，验证一下对还是不对。那你看一下啊，我们拿几个点验证呢？拿上面的特殊点，就比如说 零二分之一一，当然还有我们第一问中的扩散，其实做题做多的同学应该知道，第一问中的扩散一定是能用的上，一定是可以用的上的啊。好，各位，我们先不着急啊，我先给你再挨个试一遍。首先你看一下啊，这零 人讲了，小 f 零是一，那最终答案等于一对不对，因为这个是啊，上下线是是零嘛？那 e 的 零次面是一啊，好，我把它留在这。那么 g 的 二分之一好不好使？你试一下呗， g 的 二分之一，人家说的是零，那所以说这就是零， 那么 g 还有一个 g 一 g 一 好不好使呢？ g 一， 人家说的是二对吧？是二的话，这个是，其实 g 肯定不好使，因为小 f 二，虽然说我们知道是二， 但是这个你不知道啊，对不对？零一，小 f x 减一，这个是我们不知道的，基本上一就可以 pass 掉了。还有一个非常关键的信息，就这个扩散， 那么这个扩散是小 f 扩散是等于一的，对不对？那小 f 扩散是等于一的，那就是一乘一个 e， 零扩散， f 扩散再减 e d x 照样是不行，没有说端点值相等的情况。那好，这个时候我们就应该意识到了，辅助函数出问题了。 哎，你还记得吧？刚才我说这是第一种情况，那你再试一下第二种情况，对不对？你看我的啊，第二种情况，各位再看这个位置啊，我刚才说了啊，前导前不导，它也是对应的。那我不妨这样想，还有一种可能性呢？我也写过来啊，是不？还有一种可能性是这个 f x， 这是前导的话，加上小 f x 减一乘以一个 f x 等于零， 你看有没有可能就是这是前导，谁是前不导呢？这个是前不导，是不是也说得通， 小 f x 减一无穷导就是它呀，对不对？好，各位，那这个时候我们要按照刚才的思路去走一遍了，你看现在能不能听不听得懂啊？你看啊，还是它们共同有一个 e 的 三角。那我这样理解， 此时是前倒乘一个后部，倒，写成谁呢？写成 e 三角，再加上一个前部，倒也就是这个 f x 减一不动， f x 减一不动， 乘一个叫做 e 的 三角求导等于零。那我们都清楚啊，这个 e 的 三角求导呢？是下面这个格式，是 e 的 三角乘一个三角的导数。 好，你比较一下原式啊， f f p x x 乘一个 e 的 三角是这一块， f x 减 e 是 这一块，那么 e 的 三角 三角求完导之后是这个，所以说三角的导数跟它是不是相同？所以说我们现在又得得到了一个信息，非常关键的信息就是三角的导数此时应该等于谁的？应该是等于小 f x 本身的， 没问题吧？那求导之前是谁？是不是变现积分？哎，我写成这个是不是就可以了？零 x， 小 f t 在 d 啊，等一下啊， 我先把三角写成叫做零 x， 小 f t 在 d t 是 不就可以了？你试一下边积分求到是不是就上面的原式。所以说我现在就懂了，辅助函数其实是谁？是 f x 乘一个 e 的 它。好，我们验证一下对还是不对啊？ 两种情况你都讨论，那这种情况肯定是没问题的。好，那就等于个小 f x 怎么说啊？应该是这个对不对？因为前导，因为我们说了啊，这个是 u 嘛，对不对？这个是 u， 前不导是小 f x 减一乘以一个 e 的 叫做零 x， 小 f t 代替 t 就是。 各位啊，我为什么敢笃定这个一定是对的呢？其实是受刚才这几个数的影响。那你看一下，我们结论中是不是有一条是小 f 扩散等于一， 这条非常的关键，这第一文中的结论，这一个非常非常的关键。所以说啊，其实我们做题做多了就会有这么一个意识，小 f 扩散减一在鲁尔定律里面， 在鲁尔定律里面，我们要用上这个条件的话，肯定是需要把它带入到这个方程里面，让一个方程等于准确的值，对不对？其实我们会发现，这个时候会出现小 f x 减一的字样，那你把扩散带进去的话，是不是正好这个东西能派上用场？ 大概懂我的意思啊啊，这是一些比较微弱的逻辑，而且更何况我们题干中也讲了，哎，这零啊，那个小 f 零是等于一的，那你看一下小 f 零是等于一的，小 f 零代入的话，前面是不是也是零，所以说基本上就跑不了了，入二零用它就行了。 能懂我的意思啊，好，那你看一下啊，下面我开始走了。第二问，正式开始令辅助函数 g x 等于个叫做效 f x 减去一乘以个 e 的 叫做零 x， 效 f t 在 递递的形式， 这样就可以了。所以说这道题的难点确实是辅助函数。找辅助函数我用的方法是什么？其实是直接法， 其实是直接法啊，我用的方法是前倒后不倒这个动作，因为我们确实能够看得出来前跟后是谁，前跟后是谁啊。那这个时候需要大家把一个辅助的一个东西 e 的 三角给它搞出来 啊，那听懂什么意思啊？那下面的话其实就顺理成章写了。那我们刚才已经讨论过了，端点值的话就是零扩散，现在零扩散上连续 那么开，区间内可导零扩散内可导断点值，我们带一下啊。这零题干中讲了，小 f 零是等于一的，一减，那就是零啊，那就不用说了啊。这个扩散题干中也讲了，第一问中的题干啊，那是不是也是零？哎，断点值相等， 下面就顺理成章了。没什么可讲的，由洛尔定律可得，人家让你算的是口 rta 啊，至少存在一点 rta。 rta 属于区间，是零到可散之间，那么这个小区间是包含在最终的零到一之间的，使得我们最终的式子成立，每个式成立呢，叫做这撇 ar 等于零成立啊，当然，你写个极原式成立就妥当了，当然我们说过了，这个方法呢， 最好是最终再写一个因为所以啊，我也是给大家打打疑吧。啊，就是我把这个因为所以写出来，你可能对这道题辅助函数理解的更到位了，因为你看一下啊，这一撇 x 求导 是谁呢？是前面求到，是 f 撇 x， 乘一个后不倒，这个保留就可以了，零 x， 小 f t 再递梯，那么再加上一个小 f x 减一，不动，再乘以谁再乘一个，后面求到，那就是小 e 的 这个零 f f t 再递梯，内层再求，会有出现一个小 f x 本身，这是没有问题的吧，对吧？那你看，你把它写出来了，然后我们再把这个这一整坨提出来，那是不就说明了，所以 我们的 g 撇 rta 就 等于一个 e 的 零 rta， 小 f t d t， 我 把它提出来啊，乘以一个括弧里面的 f 撇 rta， 再加上 f rta 减一，乘以一个，叫做 f rta， 当为零。乘以各位，它不为零，是不是原式一定成？哎呀，这不就出来了，积最终 f 撇二，它加上一个 f 二，它减一， 再乘一个 f 二，它当为零就可以。好，大家把这个思路再听一下， 再听一下啊，当然，每个模考题如果遇到比较好的证明题呢，我都会把它放在我们说的那个证明题专项里面。那个视频是不断更新的，想在这拿满分，想在这拿高分的同学 建议去看。好了各位，这是我们这套卷，我们到这。

来看一看啊，咱们数学的各个板块啊，数学各个板块的分值啊，得分难度啊，啊，性价比啊，策略分析啊，咱们开课之前，咱们先来看看啊，这么几块内容啊，第一块内容，空间解析几何这块内容呢，一般的就是两个题，分值 题数分值二啊，两个题这一块啊，建议大家我们得分难度啊，难度低，容易拿分， 性价比比较高。为什么说性价比比较高呢？因为这一块啊，设计的主要是公式，我们可能不理解这个知识点，但是咱们会背公式，会套公式，这二分就可以拿到啊，所以这一块的解析策略这一块，我们就立足讲义，我们多看公式，多背多背公式， 我们的目标啊啊，这两分要拿到，稳拿满分啊，背了公式啊，那咱们开课之后，就是我会给大家明确的提出来这些的公式啊，这些公式怎么用套公式啊，一套公式一代数就拿分了，这是这一块的特点 啊，所以这块啊，到时候学的时候啊，一个是把公式咱画上重点符号，再一个就是例题，咱多多做几遍例题，咱就能套公式了。这是空间解析几何这一块， 那另一块呢，是函数极限连续，函数极限连续啊，这一块难度略微高一些，但是难度略微高一些，难在哪呢？概念性比较强啊，可能一时半会，我们理解不了这个概念。 一时半会啊，我们可能理解不了这个概念，有些个啊，他特别难的，我们就可以放过他，特别难的，咱也不较真了，可以放过他，是吧？这个函数极限连续啊，这个地方不是两分吗？啊，我们可以拿一半的分啊，照着一分去拿，这块建议也不要放过 啊，概念性尽管强，到时候咱讲一些个解题策略，解题方法，哎，这块啊，我们的 总体的策略就是掌握基础方法，掌握基础方法啊，过难的好了，过难的咱就放过，不看他了。掌握基础方法，到时候咱做题的时候啊，在基础方法的基础上，连蒙带猜，争取多拿分， 这是函数极限连续，到时候咱们应用的策略，到时候过难的我们可以放过，考试的时候也不一定考这些过难的啊，考试的时候基本上啊，大多数都是比较简单的，可能有这么一两个，两三个难的，那是正常的 啊，如果函数极限连续这一块出到难的了，咱可以略过啊，但是我们要掌握这个基础的分析方法，利用基础方法，我们遇到简单了，那基础方法就够用了，我们就拿到分了， 遇到难的呢，在基础方法的基础上，我们连蒙带猜也可以是提高准确率 啊，这是个这个地方，下一个就是导数一微分，导数一微分呢，主要求导公式，求导公式这一块，我想这块难度比较低，而且这一块最大的特点就是规律性比较强。 好，今年考这个题，明年还考这个题，还考这个规律的，肯定不是原数据是吧？不是原数，不是原题，但是还考这个规律，只要我们把握了这个规律了，这个分是可以拿到的，而且占分比例还比较高，只要我们掌握了这个规律了，哎，这分数就能拿到， 所以说这一块的规律啊，我们不要放过啊，这一块非常容易拿分，要画星的话，我们完全可以给他画五颗星啊。这一块我们的策略就是多看课间上的例题，争取拿满分， 导数又会分这一块，下一块的积分，学积分呢，就分为不定积分和定积分，这块规律性也强，这块难度相对来讲也比较低，规律性也比较强啊，这块实际上要是出难了呢， 也可以出的很难，但是我们这个考试啊，积分学这块出的不会太难啊，就是以基础知识点，基础方法为主， 所以是到时候我们掌握这个基本规律，基本规律大概五六个基本规律，我们强化这些规律 啊，带着这些规律我们去多看例题啊，我们的目标当然就是多拿分了，是吧？这块一共四分，四个题，我们保三争四是没问题的， 保证拿三分，有一个男的，有一个男的，咱们争取一下，争取一下，争取这个准确率能高一点就行，反正到时候咱考试又不出大题，都是小题，对吧？所以说这一块我们啊就 多看这个规律，到时候讲课的时候啊，咱多总结这个规律，放心，我给你总结好，咱们大家啊已经。是 啊，各位都很忙，对吧？所以说我们争取啊，问题都解决到课上，课上跟着老师，老师把规律给大家总结好，人家怎么考试，人家怎么出题，人家出题的方向是什么样子的，我给大家都总结好，到时候啊，节省大家的时间，大家就是在有限的时间内争取达到最好的效果。 下边了还有无穷极数，极数这个内容啊，无穷极数呢，难度就比较高了， 这里边难度虽然高，但是内容也比较多，但是啊，有些小技巧还是挺好用的，无穷极数这两分两个题难度高啊，但是我送给大家一句话，多注意解题的基础技巧 啊，掌握一些小技巧不是一共两个题，两分吧，掌握这个小技巧，拿一分不成问题 啊。另一分我们可以争取争取，还是那句话，咱们在小技巧的基础上，连蒙带猜，再排除法，四个选项，排除两个，那另外两个再随便选一个，正正确率还百分之五十呢啊。所以说这一块咱们的目标就是保一争二。 下边到了常微分方程了啊，下一个目标就是一个知识点，常微分方程。常微分方程啊，也是一些公式，难度较低，就是一些基本公式，可以说常微分方程的难度比空间解析几何还要简单一些 啊。难度低，主要就是记公式，规律性也很强，也容易拿分，所以说常微分方程 我们也是争满分，稳抓基础争满分。为什么说稳抓基础争满分呢啊，你只要把基础基本公式啊，都背过了啊，基本公式都熟练了，就是可以拿满分的。常规方程这个考点不会出太难的啊，就出一些个基本公式的 常规方程，这里是吧。再一个就是 我先带大家总览一遍，相当于总览一遍这些一个基础知识点，让大家心里边有个数。咱们高等数学啊，都讲点什么内容，对吧？好常温方程了，这里边最性价比最低的就是最后两个，一个是先行代数，一个是概率统计。 现代数啊，我们上大学的时候他一一本书啊，那本书也不算太厚，但是内容时间好多，而且里边啊可理解性的东西啊，可深挖的东西特别多，知识和知识点之间的联系也特别紧， 所以这一块现代数啊，一共大概就占三分左右，是吧？有时候出三个题，有时候甚至更少，他的特点就是知识面很宽，知识面很宽广，费时间，性价比不高。 这时候我们走策略是什么样的呢？我们计划啊啊，到时候讲了这门课，到了现代数那时候，我给大家瞄准高频考点，到时我领着大家带给大家看，是吧？哪些考点考的比较频繁，我们可以争取到这个高频考点 啊，高频考点到时候咱们可以保一争三，这是咱们的目标啊，一共三个题，咱们肯定有一个题是特别简单，只要带公式就行的，咱把这个题 毫无保留的拿下，在这个基础上我们再瞄准高频考点，瞄准高频考点我们就可以啊，在一的基础上保一争三，另外两分我们是也是完全可以争取的，所以限速啊，到时候咱啊不可以全部就放弃了。 概率统计也是，概率统计这门课，咱上大学的时候，那本书也很厚，咱们概率统计出题啊，在这也得出三个左右。 概率统计知识面更宽广了，知识面宽，占分少，这是它的特点，对吧？占分少，而且是呃投入的时间呢，要比较多，你要想把它搞透，投入的时间会很多，所以说性价比也不太高，你要想把它搞透，投入的时间会很多，所以说性价比也不太高。考的频率高 哪，哪些考点考的频率高，我们就把哪些考点拿下，拿下了这些考点，咱完全可以保一争三这么一个规律，你看咱总揽了一下这些规律好了，总揽一下这些规律啊，我们来看看我们， 哎，那咱们就往下，往下，那就第一部分了，第一部分空间解析几何 啊，咱怎么讲呢？我想啊，咱怎么讲就是围绕这两个问题，第一个，人家考什么，人家考什么，咱们就是通过基础考点来回答这个问题， 我们绝对不可以拿着教材咱们一一句话一句话讲吧，是吧？咱没那个时间了啊，那样效果也不好，咱们一定要紧扣考点 啊，咱们怎么讲呢？第一方面就是啊，我们把这个基础考点，高频考点一个得过一遍，过过这些考点啊，这些考点都有什么？让大家有一个基本的印象， 过完基础考点之后啊，我们然后再过命题方向，看看人家这个题怎么出，出什么样的题，咱们就把真题拿出来，你看看这个点怎么出题啊？这个点怎么出题啊？出了题怎么解决啊？我们把这个命题方向一个一个的给大家展示出来， 我们就围绕这两大方向，我们来讲这个课程。好在讲课的过程当中，大家有任何建议啊，意见呢，我们都可以随时提出来。 好了，你看咱就看看啊，第一部分咱就到了空间解析几何， 这空间解析几何啊，首先来讲啊，我要解释清楚，让大家心里透亮一点。解析，什么叫解析啊 啊？解析是干什么呢？解析，说白了说透彻一点，解析实际上就是计算啊，空间解析几何，解析就是计算几何是什么？就是几何图形 解析不就几何图形吗？你比如说啊，我们画一个图形，画一个这个，这个图形啊，你看代表的就是 y 等于 x 的 平方， 这个图形叫抛物线，代表的是 y 的 平方，左边就叫做图形啊，左边就叫做图形啊，右边呢就叫做图形的解析式。 那我们空间解析几何解析，说白了就是计算，解析几何就是计算几何啊，让你计算几何的啊，说白了就是每一个图形我们给他一个解析式， 每一个图形都给他一个解析式，那么这个图形和图形之间的位置，我们就不靠画图去解决了啊。抛线复杂了，我画一个简单的，比如说咱画直线，这是一条直线，第一条直线给他一个方程是吧？给他一个方程 啊，再画一条直线，第二条直线又给他个方程，比如说是第二个方程，那么这两条直线的位置关系到底是平行啊，到底是垂直啊，我们将来啊，就不靠画图去看他的位置关系了，我们靠这两个方程之间进行运算， 通过运算的手段来确定图形的关系，通过运算啊，来确定这个图形， 图形就是几何，来确定图形之间的位置关系，位置关系， 这就是解析几何啊。空间解析几何干什么呢？解析就是计算几何，就是几何图形，通过计算的方法来确定图形和图形之间的位置关系。所以说这一块 我们的重点啊，就是计算这个，这这点，这个知识点，空间解析几何绝对不会考你画图，不会让你画图像啊，所以这块呢，就是考运算，怎么通过运算的角度来确定图形和图形之间的关系？空间解析几何啊，当然就是三维空间里边的几何。 好了，这就是我们空间解析几何要学的内容，学的思想，这思想考不考啊？不考只是让大家心里边透彻一些， 这是空间解析几何啊，咱有一个大的一个理解了，是吧？所以说重点呢，咱就放到解析两个字上，解析两个字上，这个解析啊，本质上就是计算啊，所以说它顾名思义，我们重点就放到计算上了，有关几何的计算， 所以说咱在学习的过程当中涉及到的计算，我们一定要把它记好。 那么第一方面呢，咱们来看基础考点，空间解析几何都考什么呢？我们从考点上来看呢，咱一点点看啊，都考这些点，一个就是向量代数， 一个就是平面，一个就是直线啊，一个就是柱面、旋转曲面、二次曲面、空间曲线，你看是不是都是图形啊？你看这些个平面是图形，直线也是图形，柱面、旋转曲面都是图形，空间曲线都是图形。 我们就想啊，对这些图形不会让大家去，不会让大家去画图的啊，就是这个图形涉及到什么样的计算啊？用计算的手段来解决图形和图形之间的位置关系，来解决图形有关的问题。 整个这一部分啊，就这么五个点，这五个点呢，我们一个点一个点的来看， 首先来讲限量代数，第一个点啊，限量代数啊，就是向量，是不是向量呢？涉及到的主要的方向，一个就是坐标，一个就是数量机的运算，一个就是限量机的运算， 首先说限量代数，指的就是代数，就是用数去表示向量，向量啊，向量的坐标表示， 首先来讲向量，什么叫向量，向量啊，就是最初的形态就是几何图形，既有大小又有方向的量叫做向量 啊，既有大小又有方向，你看我们给他画出来，这就是一个项链，箭头代表他的方向，这条线的长短叫做大小，但是你用画图的方式来画这个项链，不方便，不方便参与计算啊，我们中学啊，曾经学过项链之间的运算， 限量之间的运算，怎么来运算呢？我们用几何图形的方法啊，什么三角形法则，比如说这个是限量 a， 这是限量 b， 画出限量 a 来，再画出限量 b 来，限量 a 加 b 就是 我们起点和终点一连， 这个代表的就是 a 加 b。 三角形运算法则是吧？限量 a， 限量 b 啊，我们做 b 平行四边形，做平行四边形，做出来做 a 的 平行线， b 的 平行线，那么对角线就是 a 加 b。 写到这了，同学们一定觉得挺麻烦的了，所以说这个向量的运算，依靠 向量的运算，靠画图形的方式画出来挺麻烦啊，所以说我们不去画图形怎么办呢？我们向量代数解决什么问题？不要画图形了，我们用计算的方式来表征这个向量 啊，所以说第一个点就是限量的坐标表示，想办法用坐标来表示限量啊，所以说第一个点啊，就是限量的坐标表示，当然限量怎么来坐标表示啊？限量的坐标， 我画一个图，我就画个平面图，画平面图啊，比较容易理解，比如说我们写一个点，这个点是一到二 点， a 的 坐标是一到二，这是 o， 我 们和 o 和 a 相连，这就是一个向量 o， 那 么向量 o a， 我 们就可以这么来表示，既有起点又有终点 啊，既有起点又有。同学说，一会一卡再观察观察啊，既有起点又有终点，就可以得到这个向量， 这个向量啊，就既有大小又有方向了。但是这个向量，我们很想用坐标的方式表示向量啊，为了将来便于计算， 怎么表示呢？我们就借用点 a 的 坐标来表示向量啊，就这样来写，写一个 o a 就 等于一逗二，实际上就是点 a 的 坐标。用坐标表示向量， 也可以写成限量 a 啊，就是 o a 就是 限量 a 的 坐标是一到二啊，用坐标表示限量。 那么用坐标表示向量有个什么好处呢啊，用坐标表示向量，这个坐标啊，就可以参与运算，比如说，知道向量 a 是 一到二了啊，知道向量 b 的 坐标三到五，那么向量 a 加上向量 b 的 时候，就不要用画图的方式了。 好了，我们就直接让坐标参与算， a 加 b 就是 a 的 坐标，加上 b 的 坐标，一加三四，二加五七，你看，两个向量相加就算出来了，这完全就没有图形了，不要画图了，这就是在计算 好了。所以说向量这块啊，向量的坐标是直观重要的啊，只要咱们写出向量的坐标来了，就可以进行计算了， 不从原点的向量，对啊，下面咱们看看有些向量的起点不是原点，对吧？啊，所以说， 从这开始啊，同学们，我们要设计计算了向量的坐标设计的计算都有什么呢啊？向量的坐标，你看向量及其向量计算，这里我们可以略过了，这里说的向量，既有大小又有方向的量叫做向量，对吧？这就是在画图形， 画图形不考啊，限量的加减法，平行四边形法则或者三角形法则也可以略过了。不考啊，相当于数一数的乘积，这我想啊，相当于数的乘积啊，也可以略过了。我们直接就到了限量的坐标。 限量的坐标思想，刚才我讲过了，就拿点的坐标来代替向量的坐标啊，用点的坐标借用点的坐标来表示向量 啊，有同学刚才在群里提过了，是吧？如果向量，那么向量的画图的话，起点在原点，那么中点正好是点的坐标，比如说一到二，那么这个 o， 这是 a 啊，向量 o a 就 可以表示成坐标一到二，如果他的起点不在原点，这时候向量的坐标怎么来求出来，怎么计算出来？ 如果说，你看，这就是咱第一个计算了啊。以 m 一 为起点， m 二为终点的向量 a， 坐标怎么来求 坐标的求法？我先用平面向量来展示一下，比如说一个起点是 a 啊，起点的坐标是一到二，终点是 b， b 的 坐标是三到五，那么向量 a b 写出来啊，起点是 a， 终点是 b， 从起点指向终点，这就是一个向量。这个向量的坐标咱们怎么定，怎么来进行计算，有一个固定的计算方法，就是让终点减起点 啊，就是让点 b 的 坐标三到五减去点 a 的 坐标一到二，终点减，起点 三到五减去一到二，让坐标相减就行了。三减一，横坐标和横坐标相减，等于二，五减二等于三， 所以说这个向量 ab 的 坐标就是二豆三啊，再写出来，向量 ab 的 坐标就是二豆三啊。这就是如果向量的起点不在原点的时候，向量的坐标就可以这么来求， 只要知道起点，知道终点，限量坐标就是这么求。那有同学说了，如果起点再远点，怎么求啊？比如说，这样写一个吧，点，起点是 o 啊，终点是 b b 的 坐标，比如说三对五，那么向量 ob 的 坐标怎么求？向量 ob 的 坐标啊？ 也可以用同样的思路，中点减起点，这时候它的起点是圆点，圆点实际上就是零零点啊，所以说， ob 的 坐标也可以理解成点 b 的 坐标减减去圆点的坐标，结果就是三豆五。 好了，那么这个我们完全可以进行推广，推广到空间向量也是这么算，空间当中的两点， 空间当中的两个点呢，既有横坐标，又有纵坐标啊，又有竖坐标，考试不会就是这样的题吧？不会啊，同学考试肯定不会这样题，但是考试啊，有的时候就需要你用这个知识点，把限量的坐标给他求准确。 因为这段时间有不少同学问问题，我看呢，有的同学就是限量坐标求不对，你坐标求不对，你后边不是白扯吗？所以说啊， 你看，等于说啊，同学们考试不会出这样的题吧，说明是不是觉得不难，是不是觉得简单，那就对了啊，解析几何实际没多难啊。所以说，你看起点是 m 一， 终点是 m 二，那这样的向量怎么求出它的坐标来啊？我们的目标把它的坐标求出来，你看，就是这呢， 这你看，我划重点了。同学们啊， 看，划重点了啊，就要会算一个起点，一个终点，终点减起点就是限量的坐标。第一步咱把坐标算出来了，第二步才有可能进行下边的运算。 好了，坐标算出来了，坐标算出来了，接下来就需要算什么呢？啊？第一个和限量坐标的有关计算，咱就来了，和限量坐标的有关计算，你看限量坐标的有关解析运算，实际上就是都算什么呢？ 项链，咱们知道项链无非是有大小，有方向，对吧？所以说项链的坐标的有关直接运算就是这两方面，一方面就是大小，一方面就是方向。 好比说第一个，第一个计算，你把坐标求出来了，需要咱们算什么啊？一个就是需要咱们算项链的大小，这个 圈起来啊，如果限量 a 的 坐标知道了， ax a y， a z， 那 么限了 a 的 大小怎么算？就按这个算，根号下边 a s 平方加 a y 方加 a z 方。举个举个例子来讲，比如说限了 a 的 坐标是一到二，那么 a 的 大小又称为 a 的 模， a 的 模怎么算呢？啊？就是根号下边一的平方加上二的平方，这么去算简单吧啊，这是第一个计算向量的大小啊，算出来就是根号下面一加上四，也就是根号五。 好了，现在坐标知道了，第一个运算就是让你算大小，不要画图，只要知道坐标了，就能算出来。第二个需要算的就是方向啊，算大小。 勾股定律吗？这不是对，非常正确同学，就是勾股定律，好，非常有希望大家啊，我觉得非常好，好了，这是第一个了，算大小对不对？我觉得大家都能行，都能过关。哎，放心，考试就有这样的啊，不让你直接算这个，但这个是其中的一步。 第二个就是算项链的方向啊，项链的方向啊，你看我写一个项链 向量的方向，这写一个向量，这个向量，这不是 o， 说这是 a a， 这不一到二吧，随便写一个，你看这项量既有大小又有方向， 那大小咱可以准确的算出来。方向怎么算呢？方向可以是这个方向，画个红线又是另一个方向啊，算方向，方向怎么算呢？实际上算方向啊，用这个套方法，我们为了算出向量的方向来，我们定义了向量的方向角 啊，项链的方向啊，怎么来定呢？实际上项链的方向，我们可以借用这个项链和坐标轴的夹角来确定项链的方向。项 链的方向，你说什么？按照中小学北偏东多少度啊？不太实用，不准确，这玩意用度数，我们到了高中讲了弧度制了，用弧度制表示，或者说我们不搞那么深了， 我们向量的方向怎么表征啊？你只要知道向量和坐标轴的夹角了，比如说和 x 轴的夹角，记成阿尔法啊，比如说阿尔法是四十五度和外轴的夹角啊，记成贝塔，阿尔法也知道了，贝塔也知道了，那么向量的方向 等于说就是定了啊，以阿尔法四十五度，贝塔代表的是以外轴的夹角也是四十五度啊，这个向量的方向就算是定出来了。 有同学说我用阿尔法，以阿尔法的坐标，以阿尔法的夹角是四十五度了，就不用背它了呗。为什么还用背它呢？得用有的时候它这项量的方向啊，你看还可能在这个方向上看到。没有啊，这个阿尔法也有可能是四十五度，是不是方向不确定 啊？只一个向量只考虑跟 x 轴的夹角啊。这个向量的方向是不确定的，所以说跟 x 轴的夹角和 y 轴的夹角。贝塔同样，贝塔如果也是四十五度的话，这个向量就彻底确定了。 所以说确定向量的方向用什么来确定呢？就是啊，靠向量和坐标轴的夹角，这个夹角我们给起个名字就叫做向量的方向角 啊。向量的方向角这个概念阿尔法贝塔啊，叫做方向角，这个角度一旦定了，向量的方向就定了 啊。那个角度那岂不是涉及到三角函数啊，是吧，老复杂了。放心，不涉及那么复杂的三角函数，这个方向角怎么求？不会让你去求方向角， 方向角也不好求给一个向量，向量的方向角往往根本就不是特殊角，求不出来。那怎么办呢？咱不求方向角了，我们用方向余弦来代替啊。所以说向量的方向余弦指的是什么？指的就是向量方向角的余弦 啊。方向角有三个，一个是阿尔法，一个是 beta， 一个是伽马。阿尔法是与 x 轴的夹角啊， beta 是 与 y 轴的夹角，伽马是与 z 轴的夹角，这三个角度就能确定限量的方向。 哎，那我们计算呢，你只要计算出三个角度的余弦值就行了。 cosine alpha， cosine beta， cosine 伽马 啊，余弦值。余弦值是什么呢？我介绍介绍啊，防止有些同学忘去了，比如说直角三角形里边三条边 abc 这个角是 zeta， 那 么口塞 zeta 就是 余弦的意思，代表的就是临边比斜边， 邻边比斜边 a 比 c， 就 叫做余弦。好了，咱废话不多说了，咱说的越多，实际上咱同学们觉得越复杂。好了，我说我们的正题，我们知道向量的坐标。 老师，方向角有正负吗？有啊， cosine theta， 算出来是正就是正，算出来是负就是负。这同学提的很好啊，这个正负啊，不用你提前考虑，你算出来结果等于正，它就是正，算出来结果等于负，它就是负。方向角 好了，方向角怎么来算？同学们啊，方向角的算法，我想要想算方向角，实际上先先讲这个单位化。 什么叫单位化？给一个向量，比如向量是一个非零向量，比如说向量的坐标是一到二。 好了，这个向量是不是单位向量？我说不是，什么样的向量叫单位向量，向量的长度是一，叫单位向量。你这个向量 a 的 长度啊，不是一是吧？ a 的 长度算算看，用勾股定律就是一的平方加上二的平方，算出来就是 根号，下边一加四，也就是根号五，这是他的长度，说明他不是单位向量。好了，今天咱们就想一种方法，本来不是单位向量，给他做成单位向量这个过程就叫做单位化。 具体怎么操作的，就让向量除以它自己的长度。啊，不是向量 a 吗？啊？向量 a 除以它自己的长度，或者叫做乘以它自己的长度分之一，给向量 a 的 基础上乘以它自己的长度分之一。 啊，单位化怎么算呢？那算的方法呀，你看我进行计算，算的方法就是让坐标参与运算，长度是根号五，让它再乘以根号五分之一就行了。根号五分之一乘以它的坐标 根号五分之一啊，乘以它的坐标 根号五分之一乘以坐标，你看是多少啊？是不是根号五分之一逗根号五分之二啊？根号五分之一逗，根号五分之二，看到没有？根号五分之一逗根号五分之二。 好了，这个就成为了单位相量了啊，这个结果，这个过程就叫做单位化，这个结果啊，就就是单位相量了， 过程叫单位化啊，结果就是单位相量了。好了，既然结果是单位相量了，我们来看啊，这个结果里边这个坐标， 这个结果里边这个坐标分量，第一个正好是 cosine alpha， 第一个就是你看阿尔法贝塔伽马，对吧？阿尔法是和 x 轴正向的夹角，第一个正好是 cosine beta， 坐标还能成啊，对了，我们求半天坐标干什么的？就是让坐标参与计算的啊，可以参与这个加减和数乘的计算。对了啊，坐标能成， 坐标能成，你看是不是很简单啊，坐标成完之后得到的结果，第一个分量就是 cosine 阿尔法，第二个分量就是 cosine 北塔。 好了，所以说你看，咱就得到了啊，方向余弦， cosine alpha 就是 根号五分之一，是吧？ cosine beta 就是 根号五分之二 cosine alpha， cosine beta 就 算求出来了求到这了啊，咱就说这个向量 方向就算求出来了啊，有同学说有点卡啊，咱们缓一缓，缓一缓，你看第二个运算，我觉得可能不是每个同学都能听明白，有同学说啊，方向，方向，余弦，注意啊，方向余弦有可能是负的方向余弦有可能是负的 啊，如果你的向量坐标里边有负数，方向余弦就有可能是负的。 好了，我稍微总结一下， 卡了是吧？卡了。好了，同学们啊，我稍微总结一下这个向量的方向的进行计算啊，我用一个小例题来总结一下啊，让大家 有大小有方向。向量和矢量的区别是什么？向量就是矢量，矢量就是有大小又有方向的量就是矢量啊，只有大小没有方向的量就叫做标量。 好了， 我举个小例题，咱们大家能听明白，这个计算咱就算过了。举个什么样的小例题啊？比如说，限了 a 的 坐标。单位向量是个什么概念？没太听明白 啊。限了 a 什么叫单位向量？比如说限了 a 的 坐标，我写一个什么是一到三这个限了 a， 什么叫单位向量？长度是一的向量叫单位向量 啊。求向量 a 的 cosine alpha， cosine beta 怎么来求？哎，我解这个问题， cosine alpha， cosine beta 求出来了，就说这个向量的方向算求出来了。 好了，我们解这个问题啊，首先呢，求一下向量 a 的 长度，也就是向量 a 的 模 根号下边一的平方加上三的平方，要不要指明是非零向量当然要指明，如果零向量啊，我们认为它的方向是四面八方的，放心，不会考这个，我们就看计算好不好啊，这个计算呢 啊，就是给大家一，给到大家一个向量，大家能够把这个余弦算上就行了，咱不用，不用扣那么细了，概念咱可以不用扣那么细啊 啊，这块考的主要是计算，解析几何。啥叫解析？咱重点落到解析上，解析就是计算，同学们啊，那些概念我们可以，人家这项量会，会告诉你具体项量的啊，会告诉你具体项量，比如说 a 等于一等于三，这就是具体项量，对吧？ 然后第一步啊，咱求求出它的长度，也叫模。 老师，能画坐标吗？这样能直观些，具象化，画坐标尽量不要画。同学，因为咱们这个考点叫解析，就是不会考画图的啊，就是解析啊，就是要学会计算 啊，我们目的就是啊，让大家做好什么工作呢？不画图就能计算啊，这是咱们的考试的考点，因为叫解析。解析就是计算 啊，画图也行，我给他，我给画个图啊，这个因为问题简单，也可以画图一斗三，对吧？一一二三，把限量做出来，你看画出来了吧，让你求什么？让你求这个阿尔法和贝塔啊，求阿尔法和贝塔。那我们 不求阿尔法和贝塔，求口算阿尔法口算贝塔，口算阿尔法，口算贝塔。 有点像抬头一加一，低头再抬头直接拉普拉斯变换啊。同学，你考的太复杂了啊，别想那么复杂，千万不要把减的问题复杂化，不要把减的问题复杂化，我们要把复杂问题简单化。你看就是，是不是一加九啊，就等于根号十 啊，也不要试图画图。我举个例子是平面例子，人家考的叫空间解析几何都是空间图，你画也画不出来。空间图像不好，画 好了，根号十算出来了吧，然后就是单位画啊，给限了 a 进行单位画 a 等于一逗三。什么叫做单位画呢？哎，单位画的过程就是给限了 a 除以自己的长度， 你看了就给限了 a 除以自己的长度，当然也可以写成乘以长度分之一。限了 a 的 坐标，不是一逗三吗？哎，同学们就可以做这样的运算，除以根号十一逗三除以根号十。 这种写法当然是不规范的。同学，这种写法不规范，你要做大题肯定不行，咱考试放心，不考大题。你这么一写啊，实际上就是坐标参与运算， 让一逗三去做预算就行了，多简单。一逗三，那就分别让一除以根号十，三除以根号十，得到的就是根号十分之一，根号十分之三，这就算出来了。 好了，算好之后你看算出来了吧。算好之后，这第一个就是 cosine 阿尔法，第二个就是 cosine 贝塔，所以说咱就得到 口算阿尔法正好是就是这个根号十分之一，口算贝塔就是这个根号十分之三。好了，同学们，听懂的打个一好不好？这个运算， 哎，打一好好好，这不高中的题吗？哎呀，同学，对啦，这，这就是高中的题，这就是高中的题，但是这方向余弦高中可能没给出来，高中都是大多数都是平面几何。 好了，听懂了最后一步，把这个问题推广推广到空间向量。同学们，咱们这个知识点叫什么？空间解析几何，我举这个例子啊，只是平面几何不考平面几何 啊。分母又去根号，分母又去根号，咱就不往下算了啊，到时候人家考试的时候，你看是分母去没去根号。考试四个选项等着你去，选哪个跟你算的一样就选哪个。 哎，非常对，这同学说的非常对啊，我觉得我今天很高兴，咱讲课，咱有效果了，效果不错。 好了，我推广了啊，你看人们考试的时候，人家不出平面向量，出空间向量，比如说写个一到二到三向量的坐标，空间图也不好画了，对不对啊？但是会想办法让你知道他的坐标向量， a 的 坐标是一到二到三。让你求方向 啊，求什么呢？求口塞阿尔法，口塞贝塔，口塞伽玛。这三个怎么求啊？跟刚才的方法一模一样。 那就先求 a 的 长度，或者叫 a 的 大小。 a 的 模等于什么呢？就类似于勾股定律就算就行了。各个分量的平方和一的平方加二的平方加三的平方 啊，算出来结果就根号下边一加上四是吧，加上九等于根号 十四，算出来了吧，算出来了，单位化给 a， a 不是 一二一到二到三吗？然后咱们给它进行单位化。 什么叫做单位化？本来它的长度是根号十四，不是单位向量，让给它化成单位向量过程就是让 a 除以自己的长度，根号十四，这就算好了，真正参与运算的是坐标。参与运算，让坐标去参与运算， 它坐标不是一到二到三吗？然后再除以根号十四。好了，下一步就算出来了，就让坐标的每个分量除以根号十四就行了，得到根号十四分之一，根号十四分之二，根号十四分之三，这仨数就算出来了。 好了，算出来之后啊，这不有仨数吗？正好对应着仨，这样我们就可以得出来啊，我们就可以得出来了。口塞阿尔法就求出来了。 口塞阿尔法就是第一个，根号十四分之一，口塞贝塔就是第二个，根号十四分之二，口塞伽玛就是口塞伽玛就是根号十四分之三。这就算，算出来了，算到这了， 算到这了就是，就算，这个向量的方向就算，算出来了。哎，算到这了就结束了啊。这位同学说单位话没听懂啊单位话没听懂，单位话没听懂啊。嗯，咱们怎么解释解释这个单位话啊？单位话，比如说一个向量， 单位话呀，就是给向量本来向量的长度，不是一 算法，明白加角会算好够了啊，什么叫单位化？我想咱们再解释一遍，听明白最好，听不明白，哎，咱们就直接按这个算法进行计算就行了。 单位化，现在一到二算它的。什么叫向量？现在一到二坐标知道了，你写出来，你看一二， 这不点的坐标是一到二吗？然后这个向量你算算长度，长度用勾股定律算，不是一就不叫单位向量。什么叫单位化啊？我们就想求出一个方向跟这个一到二相同，但是是单位向量的新向量。 这个蓝色的，你看就是单位向量啊，在一到二这个方向上求一个。呃，长度是一的新向量，就叫做单位化，用几何表示啊，并不好算真正单位化啊，真正需要单位化的算法就是让他除以自己的长度， 它的长度等于根号下边根号五啊。单位画的过程就是让 a 除以自己的长度， a 除以自己的长度之后，得到一个心向量， 根号五分之一，根号五分之二。好了，这个同学，你用这个坐标去算一算，得到了心向量画出来 既有大小，又有方向。横坐标是根号五分之一，纵坐标是根号五分之二，画出来这个蓝色的向量正好就是一个单位向量了，而且跟原来的向量方向相同。哎，这个过程就叫单位化 考试，考三维的。对了，不考二维的，二维的只是想给大家介绍这种算法。好了，这个算法再过了啊 啊，这周在哪？同学，咱不画了，咱就空间图不好画。我就想说明白一点，不要大家画图，就只会计算，用计算的方式解决问题，因为人家这个考点给的是解析，是计算，不要画图啊，空间图不好画， 你看，第一个计算点，咱就过了啊啊，同学们热情很高，我很高兴啊，咱们多提问题。第一个，限量的坐标，你看，利用坐标来计算向量的大小来计算向量的方向。 好了，这个点咱就算过了啊。再一个就是限量和向量之间的运算啊，这些运算有什么运算呢？ 你看啊，这个向量，比如说向量的坐标下边就开始了，坐标参与其他运算坐标参与其他运算，参 与其他运算。还有其他运算，还有什么运算？你比如说一个向量 a 等于一二三啊，干脆我就用空间向量来举例子了，要不有同学老有疑问啊，哎呦，我这怎么 我重写这个？比如，限量 a 是 一逗二逗三，限量 b 是 什么？二逗一逗一， 有点卡顿了是吧？啊，卡顿了，缓一缓啊，缓一缓，能参与什么运算呢？第一个，咱写出来了，限量的算长度，算大小，算方向。第二个啊，限量和限量之间的互算，比如说 a 加 b， 就 让坐标去算就行了，那就是横坐标和横坐标相加 啊，一加二三，二加一三三加一四啊。比如说二乘 a， 一个长数和向量 a 相乘啊，就让坐标参与计算，就是二乘以三三四 啊，三四，好，写错了，二乘 a， a 是 这个， a 是 一二三，就是二乘以一二三， 二乘以一二三，你看成完之后就是二四六，这就是向量的运算加法和常数与向量相乘， 这是其他运算里边第一个了，第二个就是向量和向量之间的数量积。 好了，咱回到课件数量积，另一个运算了，向量间的数量积。 什么叫数量积？咱们先回忆数量积的定义。数量积啊，我们表示手段上就是用点乘的方式， a 一 点 b 之所以叫数量积，就是乘完之后是一个常数，所以叫做数量积， 是吧？ a 点乘 b 就 叫数量积，定义是什么？就是这个 a 的 模乘以 b 的 模，再乘以 cosine theta， a 的 模乘以 b 的 模，再乘以口算 zeta。 zeta 是 什么？ zeta 是 两个向量的夹角哎，如果我用画图的方式给大家展示一下， 我们最先接触的时候当然是画图了，给一个向量 a 啊，再给个向量 b， 这不有个夹角 zeta 吗？那夹角 zeta 的 空间向量，你能用量角器去量吗？量不出来，同学们 啊，所以说这个定义是用几何的角度给出来的，就是 a 的 长度再乘以 b 的 长度，再乘以加角 zeta 的 余弦就是 a 点乘 b， a 的 模乘以 b 的 模，再乘以口算 zeta。 哎，这是定义好，但是定义用定义算这个东西啊，它不好用，不好算。这里边有一个简易算法 写啊，减变算法。减变算考什么考？就考这个减变算法。减变算法是什么？就是坐标参与运算，只要知道 a 的 坐标了，知道 b 的 坐标了，就有一个简易的算法 啊，算 a 点乘 b 的 时候，就让它们坐标分量相乘再相加。哎，下边这个就是简易算法哎，课间，咱们在课间打出来了吧，打出来了咱就画上重点符号框起来。这个减变算法才是我们的重点符号 啊，这根本讲不了几页，简单一点的可以稍微快点。老师啊，我也是这么想的。好了，你看这个减变算法，咱们算算就过了啊。这个减变算法怎么来算呢？ 你看，比如说这两个向量 ab 吧，算 a 点乘 b 的 时候就用这个减变算法啊，就是一乘以二加上二乘一加上三乘一，这样子去算 分配率。不是啊，不是，分配率跟分配率可不一样，对应分量相乘再相加它乘以它，是吧？再加上第二个乘以第二个，再加上第三个乘以第三个 啊？组合率，这没有规律这没有规律，就是一种简变算法，叫做坐标参与运算。 好了，这个运算也不难，对吧？啊，分配的交换率不是这个啊，分配的交换率可不是这个，可不是求点乘运算的，他说点乘运算符合分配率交换率，他俩点乘谁在前面谁在后边都可以啊，这个咱们可以略过。这个需要注意的就是这个东西 陷了 a 的 膜啊，有的时候要表示这个陷了 a 的 膜等于谁啊？陷了 a 的 膜就等于陷了 a 和自己做点乘再开方。 为什么是这样子的啊？陷了 a 的 膜，比如陷了 a 是 一到二到三陷了 a 的 膜啊，就可以表示成 a 和自己做点乘啊， a 和自己做点乘， a 和自己做点乘，你看看 a 和自己相乘，自己和自己的分量相乘 啊，我写得清楚一点吧，咱争取这个一遍，咱们过这个东西， a 比如说是一、二、三，那考虑一下 a 和自己点乘等于多少？ a 和自己点乘，那就是你写两个 a 对 应分量相乘，再相加就行了啊，就是一乘一，加上二乘二，加上三乘三，也就是一的平方加二的平方加三的平方，你看 a 和自己点乘， 就这个。所以说 a 的 模等于什么呢？ a 的 模不就是根号下边一的平方加二的平方加三的平方吗？也就是说呀，就是根号下边 a 和自己做点乘。 好了，同学们跟着我写结论，两边平方就得到 a 的 模的平方，就是 a 和自己做点乘。 有道理，同学啊，咱们可以讲的快一点，很好，这里过了啊，这个咱们写这个结论，写好就过了。下面 a 的 模的平方就等于 a 和自己做点乘 啊，这个点咱过了啊。向量的数量机，下一个就是向量的向量机。 什么叫做向量的向量机啊？向量机就是啊，算完之后是一个新向量，就叫向量机，你看，算完之后是一个新向量，叫做向量机。新向量 心向量呢？当然既有大小又有方向了啊，大小怎么定的，方向怎么定的？比如说 是吧， a 是 一个向量， b 是 一个向量，现在乘完之后，我们认为得到一个心向量 c 啊，心向向量 c 的 方向就是与 ab 同时垂直，大小就这么定的大小啊，那就是 a 的 模乘以 b 的 模，再乘以塞沿 z 塔， a 的 膜乘以 b 的 膜再乘以三。也对，它是大小，下边是方向，既有大小又有方向是吧？乘完之后是个心向量。 好啦，这个心向量啊，我们这种乘法就定义成差乘，或者叫做向量积表示的时候就表示成 a 叉乘， b 表示的时候你看就表示成 a 叉乘。 b 代表的就是限量机，它定义是既有大小又有方向，你看定义是既有大小又有方向。好了，一句话，画图好画吗？这玩意画图也不好画 啊。定义啊，你这求角度的贼塔量角器也不好量。这也有一个简易的算法，坐标表达式啊。这个是简易算法。好了，同学们，跟着我做笔记，把这框起来，这个就是简易算法。好了，同学们，跟着我做笔记，把这框起来。这个就是简易算法。 方向怎么确定的？同学们，不要追究这个问题了，方向就是与 a、 b 同时垂直，如果你想确定方向的话，就是右手法则去确定的。 一个是限了 a， 一个限了 b， 得到个新向量。新向量的方向啊，是和 a、 b 都同时垂直的啊，有可能向上，也有可能向下同时垂直 啊。这个图咱不要求画出来，要求会算，对吧？这会解析算什么呢？就是啊，考点在这简变算法这里啊，简变算法用 上面，课件上怎么都没有方向，不是重点都啊，课件怎么没有啊，我这就是课件。同学，你不是下载课件，是不是下载错了，我这讲的就是大家下载的课件啊。 好，这个减变算法就可以通过这个减变算法直接算出向量的坐标来，这个减变算法就可以算出新向量的坐标来 啊，这个减变算法就算这个用的 好了，你看这个向量的点乘，那么咱也讲到这了，这里边啊，讲了点乘，讲了差乘了，这个东西有什么用？它的作用啊？点乘，差乘的作用，咱们是说啊，确定向量的位置关系啊，利用解析 来确定向量的一些个事实吗？比如说 a 等于啊，什么二到一到一， 你看我们比如说问同学们，向量 a 与 b 的 位置关系是啥样的， a 与 b 的 位置关系是啥样子的位置关系。好了，这就用到了啊，向量子做计算 啊，讲位置关系怎么成？没讲，刚不讲了，成了吗？呃，叉成就是成，一会咱讲这个具体公式，位置关系好了，重点啊，划重点了，考就考这个，用计算的方式。 说对了，同学说对了，就是位置关系。判断位置关系的讲这个计算就是为了让你运计算的，利用这个计算方法确定位置关系。比如说第一个 a b 是 不是平行 判断题，第二个 a、 b 是 不是垂直判断题会判的这两个，这是最基本的， 看 a b 怎么平行，怎么来判别啊，平行怎么来判别啊，就是就是 a 和 b 啊，这个对应分量成比例就行了， a b 垂直怎么判别？垂直的判别减变方法就是对应分量乘比例。比如说你看一比二， 这个和这个相比，我把 a 写在上边，一斗二斗三啊，把 b 写在下边，二斗一斗一，你看它的比例是不是相等，一比二是不是等于二比一，是不是等于 三比一？一比二，等不等于二比一啊？等不等于三比一，如果等的话就叫做对应分量乘比例， 而不等啊，就是不平行，这就不平行，垂直不垂直啊。啊？垂直不垂直就是靠点乘来进行计算 啊，如果垂直的话，那 a 和 b 垂直的重要条件就是 a 和 b 点乘等于零，点乘等于零就垂直，点乘不等零就不垂直。 好了，这个垂直不垂直啊，也不垂直。为什么？你看，那么我们就用点乘去进行计算， ab 点乘就是一乘二，加上二乘一，加上三乘一，算出来的结果就是二加二加三，七 七不等零不等零，好，不垂直。你看这就叫解析，同学们啊，这就叫解析，咱们考点在这呢，重点咱放在这个地方啊，这个出题出不了几个，出题实际上面很窄，出不了，太复杂了啊，就出这些运算， 你看咱会这个就行了啊。坐标表达是，你看这是叉乘，在这呢，叉乘，将来咱就用这个乘号叉乘，点乘就用一点来表示，这俩表示方法不一样，咱能区分开这两个。 好，这点我想这点咱就过了啊，知识点咱就讲完了，我看知识点啊，考点呢？考。

hello， 各位同学，这里是信仰微积分，大家催得非常的紧，这个一模刚刚结束，我们就在这周完成了数一到数三的更新，这是最后一套卷，数一同学的试卷 难度呢？肯定是比数二数三那两套要难一点，尤其是最后的证明题，但前面的知识我觉得较为基础啊。好，我们来看一下这套试卷。 好，我们来看一下第一题。第一题仍然是一个函数的题目，在定义域内单增的式，这个考的就是函数的性质，我们就直接判别就可以了。 单调递增的指数，函数单增，其他选项都不对。你像 x 绝对值是不是先减后增，人家图像长成这个样子。三 x 不 用说了，一增一减一增，那么二 s 平方是不是往往上开口的抛物线也是一减一增的？在定义域之内横增的只有 d 选项正确。 好，然后第二题考的是分段点数，研究连续性的问题啊。那好，我们就按照左连续右连续来展开。 首先像 f 一 x 取一的时候，第一段表达式是二，这个是没有问题的。那紧接着叫做 limit x 趋向于一，负根一正。我们先研究一下一正吧，趋向于一正的时候是 sine 一 减 x， 比上一个一减 x， 这个我们可以走一下等价，就等一个叫做 limit x 趋向于一正时，上面是一减 x， 下面是一减 x， 然后同时约掉。哎，答案等于正一，那我们会发现这个时候右极限是存在的，但是它不等于函数值，对吧？ 不等函数，所以说一定是非连续的，那是什么？一定是间断的，那一定是间断的，我们看一下是什么间断点，是不是取决于右极限，你会发现右极限表达式跟我们刚刚写函数值的表达式是一样的啊。我再抄一下， 那就是平方加一。哎，是等于二的，左右极限均存在，但是不相等，所以说乘除位是跳跃。简单点，选择 b 选项好，再然后第三题，拐点式。当然这是一个选择题，选项我没有打出来。嗯，那你看啊，这个范围 是零到正无穷，在零到正无穷之间，我们去找一下二阶导数为零的点，以及二阶导数不可导点。它求导是 x 加上一个 x 分 之一， 然后 y 的 二阶导就等于个一减 x 平方分之一，我们给它稍微通分一下啊，那就是平方分之，叫做 x 平方减一的格式对不对？令其为零， x 取到正负一，那你看啊，取到负一是不是就舍去了？因为人家定域是 这个零的正无穷，所以说 x 等于正义。那有没有不可导点呢？有，但是零也舍去对不对？不在定域之内。所以说唯一的一个可疑点就是 s 等于一， 那唯一的一个点是 x 等于一的话，是不是就说明这个点一定是拐点？能懂我的逻辑啊？好，那这样的话，我们就把拐点的形式答出来。呃，我们得带回原式算一下，当 x 等于一时，我们的这个 y 是 等于一个二分之一 加洛二，那么这个时候拐点就有了 一二分之一，加上论二的公式，这是我们的第三题它的公式啊。继续， 所以说这个第三题选的是 d 选项啊，选项我没有打出来。好，再往后第四题，第四题的话，下列温方程是这个的式啊，已知通解，让我们反过来求温方程。那你看一下啊，通解的格式长成这个样子，说明了是不是 是两个根均存在，但是不相等的，一个是负一，一个是 f g。 那 怎么去求这个微分方程呢？非常的简单啊，就是我们把这个特征方程写成这种形式，哎，双根式， 你按这个来就行。那你看一下啊，我具体一点啊，把这个值往里带一下啊。第一个 r， 一 是负一， r 加一乘以一个 r 减去它，减去二分之一等于零。我们把这个完全平方，把这个括号给它弄过来啊，那就是 r 方， r 方减去二分之二加 r， 那 是不是加上二分之二，然后再干什么？再减去二分之一等于， 这是什么？这是我们的这个特征方程，那特征方程之后转换成我们说的微方程，是不是把 r 写成 y 的 二阶导，加上一个二分之 y 的， 然后减去一个二分之 y 等于零，哎，这么一格式，所以说， 当然选项中是两边同乘以二，同乘二的格式啊，那就是二 y 二阶导加上一个 y 的， 再减 y 等于零， 选择 c 选项。哎，这是我们说的第四题。好，第五个数一专项的内容，决收的是，那既然是提到了决收，是不是下一选项中，我们都可以加一个绝对值去研究，比如说 a 选项，比如说这个剩下选项啊，所以说 a 选项的话，虽然是是这个交错技术，但是呢，我们直接加上绝对值， 加上绝对值之后，是不是就变成它了？我稍微写一下， n 等于一到无穷，是 n 加一乘一个根号下，叫做二 n 加一的格式。那好，各位，关于它的连散性 怎么整？是不是用一下比较谁来反对？不对，用比较谁来反啊？这个时候呢，我不妨哎，我令 找一个那个 v n 出来，对吧？啊，我令 v n 就 等一个，通过抓大头，大家也能看得出来啊， n 趋向无穷的时候，这个抓大头的话，是 n 乘以一个根号下二 n 是 不是相当于是 n 的 二分之三四米，根二乘以 n 的 二分之三四米， 这个能跟上啊，二分之三次米的形式，那好，各位，我们去研究一下啊，此时这个 n 等于一到无穷啊，这个 v n 啊，这个根二的 n 的 二分之三次米分之一，根据什么？根据 p 极数，对不对？这是 p 极数， p 极数可得是不是？显然是收敛的 好，这是 p 级数，那既然是收敛的，我们跟原式比较一下啊，原式呢，这个我们就统一的称，称之为 u n 吧。啊， 那好，再因为 limit n 趋向于无穷时，你看一下，右 n 比上 v n， 右 n 比上 v n， 这个极限一定是 a， 一定是一，你抓大头抓过来的，你可以再算一遍，我就没有必要再算了。那好，各位，极限等于一，说明什么？连散性一致对不对？有比较晨间法可得 巴拉巴拉啊，原极数，注意啊，原极数是加绝对值之后收敛的，是不是连闪线一致啊，叫做绝对收敛。哎，这是 a 选项， 所以说 a 正确。那我们再看一下其他选项啊，其他选项的话，你像 b 选项的话，也可以用同样的方法来做啊。这个过程我每个选项都给大家分析一下吧，这个地方大家是弱项，就是我还是建议，如果这块没听明白的话，你听听我的复盘课，哎，绝对很清楚。 好，你看一下啊，长成这个样子的话，交错指数我们直接加个绝对值了。加个绝对值就是相当于是负一的 n 次密没了，那是不是还闪一个二 n 方减一分之 n， 哎，正向指数，那么还是 利用这个我们说的比较简单法，找一个 v n 出来。 v n 是 不是取抓大头，取二 n 方分之 n 就 取二 n 分 之一？其实你看一下啊，二 n 分 之一是不是这个极数典型的调和发散 发散，这是调和极数啊，就不用再啰嗦了。那既然是发散的话，你看再因为 limit n 趋向于无穷时，右 n 比上 v n 极限也是一。这个我就不详细写了啊，等于一，所以说由啊，我们说的比较式来反啊，这个极数呢？ 加绝对值之后啊，加绝对值之后不能说原极数，应该说加绝对值之后的极数叫做发散。 那就可以不选了，人家这道题只是让你判别决收对不对，决收是加绝对值之后收敛，所以说我就不判别了。 b 选项不对。同样道理， c 选项，哎， c 选项非常的明显。我就简写了啊， c 选项，你看加绝对值之后啊，是不是变成它了， 叫做 n 等于一到无穷。论的一加 n 分 之一，是不是它的联想性跟这个级数跟 n 等于一到无穷 n 分 之一调和级数的联想性一模一样的？我就不再啰嗦了啊，这个也不对。那好， d 选项 d 选项的话，那我们也是加绝对值啊，注意啊，这个加完绝对值之后变成这个了，叫做 n 等于一到无穷，叫做二的 n 次幂，上面是三的 n 加一次幂。你注意啊，这个正向极数的特点，判别量型，我们使用什么？ 答，使用比值实现法，对不对？因为我出现这个 a 的 n 次幂了，对吧？出现 a 的 n 次幂，这种，我们可以使用比值实现法。那好，我们不妨啊，这个此时的 这个右 n 呀，我们就写成题干给的二的 n 次幂，然后是三的 n 加一次幂， 那么比值神经法则不就让 limit n 趋向于无穷时，我们用 u n 加一比上 u n。 注意啊，是大的比小的我们稍。呃，其实，其实不用这么啰嗦其实不用这么啰嗦啊，可以不用比值。我突然看到了啊，各位，你看一下啊，此时这个通向的极限是多少？ limit n 趋向于无穷时，通向的极限是多少？那我给你抄一下，三， n 分 之上面是三的 n 加一次， 那么这个极限等于谁？这个极限我们可以这样去理解啊，就是你这样写，我写一个叫做 limit n 趋向无穷时，我把二的 n 次幂跟三的 n 次幂放在一起， 再乘一个三，那么二分之三整体的 n 次幂是不？我可以这样写，二分之三整体的 n 次幂。整体的 n 次幂是谁啊？是不？无穷大对不对？趋向于无穷嘛，趋向无穷，最终答案是，等于无穷大。等于无穷大，是不是不会等于零？那好，各位，这种是什么有 必要条件得，你不用答了啊，其实善解人意就能看出来必要条件。我就写一下啊，必要条件可得怎么样？这个级数是发散，那不对， 哎，这个就不用笔直了，直接不满足必要条件。好，这是我们的第五题啊，当然我觉得做对还是比较容易的，你要说每个选项都分析出来，可能有些难度啊，大家要尽可能的达到这个目的。嗯，好。然后我们看一下填空题部分，第一个 简单， e 的 无穷型的，对不对？那很明显 e 的 无穷型吗？直接来了，闭着眼写就行了。 e 叫做 limit， x 趋向于无穷式，肩膀的位置就是 x， 加上二零二六，乘以个括号里的一加 x 分 之一再减一，是不是现在变成了乘 x 了？ 这个没问题吧，那肩膀的位置是无穷比无穷型，那抓大头可得 e， x 比 x， 那 就是， 哎，这个没问题啊，那就是 e 本身就可以了，不要写 e。 呃，然后第七题也是数学专项的内容，向量 a 跟 b 是 它平行算 m 加 n 比较简单。我们都清楚，各位， a 如果平行于 b 的 话，是不是意味着我俩之间成比例对不对？ 等于 lamb 的 比。那换句话说就是啊，得负一比上 m 就 等于个二比四，对应的量程比例嘛，就等于个 n 比二的公式。那很明显，最终得出来了， m 是 取到负二的， n 是 取到正 e 的， 那么 m 加 n 就 拿负 e 就 可以了，这是我们说的这个。嗯，好。然后第八题权威分 也是比较简单的一个点啊，在一零处的求和根。那好，我们就算一下偏导呗，这对 x 求偏导，这个非常的好，算三加上一个三 x y 其实可以秒啊。我现在不秒了。 我，我先按这个方法来啊。这个没有必要， z 对 外求偏导，那就是 cos y， 内层对外求偏导有个 x， 然后你把这个值往里带一下就行了，对吧？所以说我们 z 撇 x 把 e 零带进去。 呃， y 取零吧，后面为零等于三。 z 撇 x 把 e 零带进去。 哎，这个是等于一的，那我们的 d z 一 零就等于个三乘 d x 加上一个一乘 d y， 这样就可以了，务必要跟 d x d y 好。 考了一个收敛区间数一的专项。 嗯，收敛区间的话，我觉得应该来说比较容易啊。收敛区间是不是就把收敛半径确定好就可以了啊？这个基数 不算是我们说的那种复合型啊，不算是那种 x 减 x 零的 n 次幂那种形式就直接来就行了。好，收敛半径 r 就 等于个 limit n 趋向于无穷式。怎么说嘞，叫做 a n 比上 a n 加一。注意啊，跟前面我们学的比值神连法要区分开来。比值神连法是大的，比小的， 这个收敛半径是小的，比大的 n 向无穷的时候， a n 啊，就是四的 n 四密分之 n 加一，就是原式中的这个除了 x 之外的这个项就是 a n， 然后乘一个倒过来，那是不是就相当于是 n 加 一再加一 n 加二，对不对？上面的话，是不是 n 加一跟 n 加一，四密跟四的 n 四密 一约，是不是还剩一个四？所以说收敛半径是谁？收敛半径是四的话，收敛区间是不就确定了啊？故收敛区间就是负四到四， 大家感兴趣的可以去求一下它的收敛域啊。好，然后我们继续第十题啊，同样的是算是小题里面的一道难题，交换积分四序。那我们会发现这是两块，对吧？两块。所以说啊，我们慢一点啊。 先来看一下第一块积分区域，第一块积分区域的话是这样的啊，他说 y 大 于等于零，小于等于根三，然后 x 的 范围大于等于。这个东西 有一个根号下四减 y 方再减一小于等于一个上限 x。 啊，这是第一块，然后第二块我也解一下啊，第二块， y 大 于等于根三 小于等于二， x 大 于等于小于等于一，大于等于一减去根号下四减外方的格式。那好，各位，那你看一下我们干什么呢？画图。 好，我们先去描一下第一块 x 轴， y 轴。我们说了啊，这种图像的话，就是你把这个 我们读出来的上下线的范围啊，就比如说 y 的 范围大于等于零，小于等于根三，你把 y 等于零， y 等于根三这两条线划出来。那好，我大概说一下啊，先描几个点吧，这是一，这是一，这是二， y 等于零， y 等于零，不用画了， y 等于根三。各位，根三是多，大概是多少，大家记一下啊。根三这个这几个数要知道的，大概是一点七，多一点啊，一点七吧，根三简直不知道了。好，那大概是在这个位置吧，这条线是根三， 比一点五高一点点就行了，这是根三。然后再来看一下 x， x 有 一条线是一啊，好， x 等于一。在这儿 还有一个，各位看这儿啊，这个重要一点，有些同学看不出来这是什么东西，我也看不出来， 但是我们要学会调整。各位，你把一挪到右边去，就是说我们调整的技巧是什么呢？把根号去掉，是不是你要完全平方，但你看啊，你是不是把 s 等于一拿过来之后再完全平方之后就好一点。那好，各位，我完全平方一下在一个项啊， 左边完全平方是 x 加一整体的平方，右边完全平方没了，把外方移到左边去，加外方等于四，把四写成二的平方，这个没问题吧？这是什么东西？圆心在负一零， 半径为二的圆。好，各位，这个圆有讲头，我们得 描的稍微的精准一点啊，要不然会出现很大的误差。那你看一下啊，半径为二，那经过这个点对吧？半径为二是不经过这个点，哎，大概是以它这么一个为圆心，大家在画这个圆的时候啊，要 不断的去调整，就是你会发现啊，就是在大家在画图的时候，一般来说啊，就是就在画图的时候，如果你发现了，哎，这个大概可能跟这个点相交，那你要特别注意一下啊， 看看，你可以代入求一下是不是相交的，就比如说啊，这个点是不是相交呢？一定是相交的，你可以代入求一下。当 x 等于 零的时候， y 一定是取得根三的，你不信你去求一下啊。所以说啊，大家画的时候就多调整调整，就尽可能让它精准一点，尤其是在这个地方，就是你会发现这张图的话是 很精密的啊，它跟我们之前画的图像要精密一点，所以我尽可能的给大家画的像一点。 当然大家手里没有工具，没有工具也不用太担心啊，没有工具的话，到时候找一个圆规什么的啊，去大概去描一下。还是啊，这个地方最重要的是取点，就只要是这个点你取的精准就 ok 了。 那我这个根三科呢，有一点点不精准。好，大概是这样，大家也能看得出来是交这个点，交这个点啊，如果画的精准的话， 有一点点强迫症。那么各位，原来是整个圆吗？这一点很重要，原来并不是整个圆。你看 x 等于根号减一，指的是哪半圆？答，右半圆，因为根号前面的是正数。注意啊，根号前面如果是正数的话，那指的 是右半圆或者是上半圆，那或者上半圆，所以说目前我代表的是这一块。那好，画完了，画完了，我们确定一下是哪块积分区，你看一下 y 的 范围， 呃，零跟三两点之间， i 范围大于等于圆左边，蓝线右边，所以说围成的积分区域应该是这块。 没问题啊。好，画完了，那紧接着看一下第二块，一定要注意啊，先画一块，再画一块， 这是一个技巧，因为你两块全画出来的话，你调整就不好调整了，所以说你看我第一块画出来了，就算是不准确，我根据第二块去调整就可以了啊。第二块的话，有一条线是 y 等于二。好， y 等于二，用到了，我用绿线给大家画这条线， 那这个地方同样的是有一个圆，对吧？我们把它写在这个位置啊，大家看一下，这是这个是什么？你注意啊，它跟刚刚我们在写第一块积分区域的时候，这个圆非常的相似，但是不一样，你看清楚了， 好，我把它，我把一同样的挪到左边去啊，那就是 x 减一，然后再来个平方，那就是平方，然后这边的话是四减外方，再把外方挪过来，外方等于四。大家不用顾虑右边这个符号消失了啊，一会我们再说。好，各位，这是什么原因？ 这个是圆心在一零，注意啊，圆心在一零，半径为二的圆，所以说我们在这这样画啊，我用橙色的圆来画这个点，过这个点，过这个点 啊，过这个点，过这个点，应该是啊。呃，然后我也是用光滑的曲线给你画出的，我把整个圆画出来，一会我再给你说是具体哪个圆啊， 它呢，照样是半圆的，这个大家能看图看出来。 嗯，好，我们看一下啊，那此时原来的是 y 等于负的跟它，那所以说代表的是哪半圆？是不是左半圆，我把右半圆给擦掉啊。这种图的话，务必要把图做得尽可能的精准， 左半右右半圆我就给你擦掉了。哎，这个图还有一点不不大精准，是吧， 再稍微的大一点点。 嗯，这个样子吧。好，我把右半圆给你擦掉。那你看啊，右半圆擦掉之后呢，其实是还剩这么一块左半圆留着。 好，那我们来看一下这块积分区域，这块积分区域的话， y 的 范围是根三到二之间，黑绿之间，然后 x 大 于呈现左边蓝线右边，所以说是这一小块。看清楚，我涂成蓝色这一小块， 而且就是这两个圆是共同经过这个 y 等于根三这条线与 y 轴这个交点的啊，所以那你看一下啊，现在积分区域是合在一起的啊，基本上基本上就是 二乘积分交换积分次序之后，积分次序区域是合在一起的，很少会出现两块的情况。那现在题干给的是 y 型，我们使用 x 就 可以了。好，我使用 x 型来做一下 s 就 等于一个 d x， 那就是从零到一之间上减下，对不对？你注意啊，这个啊，不是。呃，后，后记 x， 嗯，后记 x， 零到一之间先记 d y， 背记函数呢，是向 f x y 的 形式，那么 由下往上画一条射线，先交的写下线，后交的写上线。那你会注意到先交的是不是这个圆， 对吧？第一个圆，第一个圆的名字在这呢，大家注意注意细节。什么细节呢？我们说了，现在是 x 型，我们要把被积函数 写成 y 等于多少 x， 对 不对？那先交的下线的话，你会发现这个圆的是不是代表的是上半圆？哎，这个能看懂啊，上半圆的话，所以说你看啊，那就是 y 就 等于个 四减去 x 减一的平方，再开个根号，这个没问题吧？上半圆是正的啊，所以说我们再把里面完全平方开出来，那就 s 平方减二 x 再加一前面的四跟它一乘，三减 x， 方减二 y 就 行。 所以说啊，这个上半圆的话，代表的是根号下，叫做三减 x， 平方减二 x 抄过来写， 没问题啊，然后后交的写上限，那你画完线后，交的是上面这个成色的圆在这儿 上线，上线的话仍然是上半圆，所以说仍然是 y 等于正的四减去 x 减一方，然后再开根号的问题，这个没问题啊， 然后我们整理了一下啊，是等于根号下，也是把里面的无限平方开出来，那就是三减 x， 平方加二 x， 仅此而已 啊，我写在这啊，根号下叫做三减 x， 平方加二 x， 所以 说这就是我们这块的面积。这个题算是小题里面比较有难度的一道啊。好，各位。