谁还没掌握这个三角积分公式

见到一加 x 方在分母，就可以考虑三角画圆。一加 x 方，整体平方分之二加 x， 我 们先把它拆开左边再读算，右边是一个比较简单的，把它凑到后面去，就可以以分母的 x 方加一为整体。 第三，它有很多种方法，我们采取三角画圆。 三角画圆的目的就是将分母的多项变成单项。分母不喜多项是吗？ 二倍加展开降次 二分之一倍三于二， t 就是 三 t 乘以 cosine t， 而 cosine t 和 cosine t 都需要通过 tan 的 t 来求这两个的求法。其实画三角形也行，不画也行，可以通过 sin t 等于那个 tan 的 t 乘以 cosine t 和 cosine 方加 cosine 方等于一建立方程来解。也可以画三角形， 三 t 乘以勾三 t 分 别是 x 比上根号和一比根号，这两个根号相乘，根号就没了。 接下来算 i 二， 接下来我们算 i， 就 可以把 i 一 和 i 二加一起， 这两个加 c 也合在一块， c 一 c 二吧， c 一 加 c 二就是 c， 依然是一个常数，记得点赞哦！

注意刷视频暂停，先来三十分钟速成一下高数来看这一页。 哇哦，好多公式呀，是不是又开始打退堂鼓了？你先暂停，仔细看一眼里面的大部分公式，你高中的时候就记住了，你说老师那剩下的也不好背，不好背就去看这个视频，两分钟就能背下来。他们就好比游戏里的技能，你不多记住几个，咋放大招咋做题。 在背过公式的基础上，我们看导数的运算法则也得背过这些式子，我相信你也很眼熟，因为中学咱们都学过。 看题，上面的那些式子，你背下来了直接求导就可以。稍微有点迷惑的就是要记住，下面二分制派是常数，你记住一点，常数的导数是零。 第二题，求两项乘积的倒数，等于前倒后不倒，加上前不倒后倒， 前倒后不倒就是你先求乘号。前面的式子，后面的原式直接放上去，前不倒后倒就是前面的式子，你原式放上去，后面放求倒的式子。这个公式在这，你把公式背过就可以了。下面你来暂停，做两道练习题，背过公式就能做。 接下来看复合函数求导，你首先要找到中间变量。啥叫中间变量？假设你要寄一个很珍贵的礼物给远方的朋友，但是这个礼物很脆弱，需要先放在一个小盒子里，然后再把这个小盒子放到大包裹里寄出去，这个小盒子就是中间变量。来看这道题， y 等于二 x 加五的四次方， u 就 相当于小盒子，二 x 加五就相当于那个礼物，所以 y 就 等于 u 的 四次方， 所以这个岛就等于 u 的 四十方的岛数对 u 求岛，然后再乘以 u 的 导数，写出来就可以了，这个叫面试法则。 面试法则又是啥意思？举个例子，大冬天的时候，尤其是在北方的同学，在外面的时候，你会穿的很厚，然后就在宿舍很热，有暖气吗？那怎么办？你是要从外向内一层一层的铺衣服？复合求岛也是，你是不是也要先拆外面的大包裹，再打开里面的盒子呀？ 提四提五提六都是复合函数求导。提五提六，稍微有点不一样。求 d y， d y 啥意思？ d y 叫微分，微分怎么算？可以先求导数，再代公式。所以 y 等于 f x， d y 等于 f， 导数 d x 这个练习题也是复合求导，一定要小心一点， d y 要先求导数，再套公式。删了复合函数求导来看引函数求导，那什么叫引函数？ x y 在 一对了，都在左边，这叫引函数，这样怎么求导？就是将等式两边同时对 x 求导， 注意， y 是 x 的 函数，所以这个求导可以用到复合求导的列式法则。第八， x y 在 一对，也叫引函数，两边求导就可以了。第九题，怎么求二阶导数？ 二阶导，第一步是两边同时对 x 求导，注意 y 是 x 的 参数。第二步，将第一步得到的式子两侧再同时对 x 求导， y 是 x 的 参数， 把这个解出来就可以了。这个练习题和前面的做法一样，只要知道它们是引函数，就可以自己暂停做一下。 下面我们说参数发生求导部分，学校可能不包含这一部分，你跳过就可以了。参数发生求导，你把公式背过就行。 x y 都是 t 的 函数，这叫参数方程，咱们中学的时候就学过，这是椭圆的参数方程吧。记住， y 对 x 的 导数是什么？是个分式，分子式， y 对 t 求导，分母式 x 对 t 求导。把这个公式背过。 第十一题要求这个参数方程在四分之派出的切线方程和法线方程。先求切点，切点在这了，再求斜率，这个斜率包括切线的斜率，法线的斜率。注意，切线的斜率就是倒数，那切线和法线是垂直的，所以法线的斜率就是切线斜率的负倒数。 十二题求二阶导数要背公式，一阶导在这了，就是这个式子，而二阶导是什么？二阶导是个分式，分子依然是一阶导对七求导，分母 x 求导。这个公式直接背过就可以了。 练习题也是一样的，你自己暂停做一下。下面我们看导数定义，要算分段函数，在分段点的导数要求左导右导。那什么叫导数呢？导数是因变量增量与自变量增量相等的极限， 好在这个里面左导是什么？左导音变量增量与自变量增量商的极限 显然应该是一右导是什么？一样的，算出来也是一左导右导都存在，还相等，所以零点的导数就是一 看练习题 f x 等于三 x 的 绝对值，这个里面零就是分段函数的分段点，要求分段函数在分段点是否可导，要求左导右导， 这个左导是负一，右导是一，所以导数不存在。下面来讲可导与连续。这里记住一句话，可导一定连续，连续不一定可导。来看这道题，求这个分段函数在 x 等于零处的连续性与可导性在 x 等于零处的连续性，要考虑极限值是不是等于函数值， 左极限右极限都等于函数值，所以它应该是连续的。那可导不可导呢？可导不可导可以用档次的定义来判断，导数是音变量增量与自变量增量商的极限， 这个左导是负一，右导是一极限，不存在，所以在这不可导。这些题你来自己做一下。接下来看第三部分，我们进行积分， 不见积分，首先把公式背的很熟很熟，一定要背过。其实咱们的积分公式和求导公式是一种逆运算，求导是往前迈一步，积分是退回来，你把前面求导公式背熟了，积分公式就好背了。你在这把积分公式背熟了，求导公式就好背了。 这些公式就是你们手机上存的那些锦鲤，佛祖保佑考试顺利背下来他们你的好运气就来了。 比如第一题 x 方的积分是什么？你直接看一看积分表里面哪个式子跟它占标带公式就可以了。第二个也是看看哪个式子跟它占标直接带公式。第二个表格是比较复杂的，积分的表格也得背过。第三题也是带公式，把公式找到直接带进去， 所以这个公式咱们要背的很熟很熟，这得练到啥程度呢？就好比你看到手机你就想划拉，他摸到篮球你就想投篮，听到音乐你就想摇摆，让他成为你生活里的肌肉记忆。你要把这个公式背的很熟很熟。第四个差的积分是积分的差，拆出来两个积分， 第一个积分和第二个积分，我们直接背公式就可以了。练习题也是再强调一遍，把公式必须背过。有些时候公式会进行变形，一般会怎么变形呢？看几个高中时候学的二倍角公式，你自己暂停回忆一下。 第五题，直接用二倍角公式来进行化简，就变成了这个式子。这个式子拿过来就是二分之一套算平方，分之一 是 second 方， second 方的积分是 tenth x， 也就是把积分表背过就行了。第六题，把分子乘开单写开，然后背积分表。 另外强调一下，我做了积分，写了半天，我做对了吗？对与错看两点，一是结果必须有 c， 如果结果没有 c， 你 一定错了。第二个积分结果的导数等于背接函数，如果等于你就做对了，不等于的话，你就得检查检查。 第七题，这个题就是你只要背过常见的三角函数和常见的积分公式就可以了，所以我们要用敏睿的眼光，灵活的使用这些公式，看见这个题就把不会的式子转化成我们背的公式。例如第八题，有这个式子吗？没有咋办？ 公式里面有 x 方加一分之一这个积分，所以这个分式我们可以把分子加一减一，再约分就可以了。编辑题都是熟记公式，下面我们看第一类换元法。第一类换元就是直接带公式，没法直接带咋办？没法直接带，你就得想办法凑一凑，凑成我们常背的那个积分表凑出来就可以了。 像这个题前面是二 x， 你 背公式的时候，注意公式里面的 x 不是 x， 是 方框， 像这个你一定会 cos 方框 d 方框的积分，而这个是二 x 方框，所以 d 凑方框，这么凑就多了二， 所以前面的二就没了。这是第一类换元，又叫凑微分，关键在于把计算表里的 x 看成方框就行了。这个也是五 t， d t 怎么办？就把方框写成五 t， d 方框就是 d， 五 t 前面差了一个五分之一， 像十一题，这是平方，这是一次方，所以要把 x 凑到后面来，凑的时候前面配个系数二分之一，就把这个凑成我们会的式子了。十二题，你只要知道余弦的导数是负的，正弦可以把正弦凑到 d 的 后面，写成负的 d 抛线就可以了。 这一块关于积分，熟能生巧，一定要把题多练一练，求导说，少练没事，积分绝对不能少练，下面我们看分不积分。分不积分的关键是正确的选择，要选对了，事半功倍，要选错了一些， sorry， 选择顺序是什么呢？ 反对密指三，注意这里面哪个函数最难？那肯定是反函数呗。第二难的是对数，最简单的是三角函数，所以从前到后是从难到易，从繁到简。进而我们选择 u 的 原则叫先苦后甜，哪个类型难，哪个是 u？ 看这题， x 是 密函数， cos， x 是 三角函数， 反对逆值三，所以 x 为 u， 记住这个 u 要选对了事半功倍，选错了一切， sorry。 十四题，如果背接函数只有一项，那么这一项如果是对数或者是反三的函数，把它设为 u 就 可以了， 这个是 u， 那 v 呢？ v 就是 x， 直接计算。十五题， x 逆值三，所以 x 为 u， e 的 for x 是 指数函数。反对逆值三，所以 x 为 u， e 的 for x 方求 d v。 十六题， x 是 逆函数，绕 n 是 对数函数，谁厉害，对数函数厉害，所以绕 x 减一为 u， 把 x 缩到 d x 的 后面去就行了。看这些练习题，这些练习题的关键就在于看清哪一个是 u， 哪一个是 v。 第二类还原法，其实就是见到二次根式，用三角函数代换， 看谁不顺眼就让谁消失，看哪个不顺眼就把哪一个设为 t 就 可以了。就用这个表格看这题，根号下 x 方加一的立方，见到根号下 x 方加一，二次根式，所以用三角代换，令 x 等于看成 t。 像这题怎么办？看谁不顺眼，让谁消失。根号二 x 是 不是不顺眼，所以用 t 等于根号二 x 就 可以了。注意注意，不管是第一类还原还是第二类还原，你怎么还原还是怎样把它带回去 练习。五也是看谁不顺眼，让谁消失谁不顺眼。根号下一加一的 x 去 me 这有个根号不舒服令 u 等于它，记住谁不顺眼，让谁消失就可以了。

这种三角函数的一次分式来求积分，都可以通过待定系数法给他凑一分，直接秒了他。那怎么秒呢？关键就是看这个分式的分母。 你看这道题，它的分母是二三 s 加三口三 s， 那 么它的分子就一定能用 a 倍分母加上 b 倍分母的倒来表示，就是这个分子三 s 加八口三 s， 它一定能等于 a 倍的 分母本身加上 b 倍分母的导来表示，把它导出，求一下，整理一下，那就变成这样，然后用代入系数法，三 s 系数应该是二 a 减三 b 应该等于一吧，和三 s 系数应该是三 a 加上二 b 应该得八，那解出来 a 应该等于二 b 等于一， 咱就可以把这个积分给他拆开了，那就变成二倍的分母，再加上分母的导数，这就是分子呗。底下还是这个分母 d x， 然后这个单位就给它分离整数了，那就是拆出来一个二 d x， 再加上这一部分，是不是可以给它凑为分了？二三 x 加上三口三 x 分 之一，然后在 d 这个分母吧，那么直接可以写了，这就是二 x 加上三口三 x， 这绝对值再加 c， 咱再秒一个试试，这个是不是还是三角函数组成的一次分数的积分呢？现在这个口在 x 是 不是就可以等于 a 倍的分母加上 b 倍分母的导，然后还是用单项系数法，所以 a 和 b 是 不都等于二分之一的，就可以给它 拆开了。二分之一的分母加上二分之一分母的导 d x， 然后给它分离常数，最后结果就是二分之一 x 加上二分之一 lie 在 x 加，口在 x 的 绝对值再加 c。

三角函数和的变换，一个视频全搞定，无论是二位角公式，降米公式，还是两角和差公式，我都给你们整理好了搞笑的口诀，那我们开始上课吧！ 我们先来看到第一个提醒哈，两角和差公式非常的简单，一定要熟记我的口诀，对于正弦公式来说，它是非常正义昂然的， 所以说，只要是正号展开，他还是正的，他不改变，我是负号展开我还是负的，我不改变，我不搞那些花架子。而对于他的口诀来说嘞，我们撒野阿尔法加贝塔，记住了，帅哥加哥帅！如果是撒野阿尔法减贝塔，这是帅哥减哥帅。 而对于弦公式来说，他就很多余了，他就非常的邪魅一笑了，所以他的符号展开绝对是不一样的，他就要反着来哈，你是正派，那我就是反派。所以说这里的正号展开是符号，这里的符号展开是正号。所以 cosine arvonne 贝塔，他对应的口诀是 哥哥减嫂嫂，而 cosine alpha 减倍，它对应的是哥哥加嫂嫂。咱们再来看到正接公式，它是不是由正弦和余弦组装得到的，所以说它是一正一斜的，咱们的分子展开来哎，保持符号不变，而咱们的分母展开来，它就要变符号了， 同理，这里是加号，咱们的分子展开也是加号，同理，咱们的分母就是负号的，而此时哈，我们怎么去记公式呢？ tangent alpha 减贝塔，咱们的分子是 tangent 减 tangent， 咱们的分布是一加 tangent 乘 tangent， 而咱们 tangent alpha 加倍呢，咱们的分子就是 tangent 加 tangent， 咱们的分母呢，就是一减 tangent 乘 tangent， 我 们就全部记住了哈，大家不要着急记笔记哈，这里的口诀呢，以及后续的口诀题型我都整理好了，大家一定要领取了，之后呢，多复盘几次，点击我的主页这里去撩就可以领取了。 我们来看到第一个题目哈，已知撒眼乘撒眼等于三倍， cosine 乘撒眼则不用看，我们先把左边全部给它展开，撒眼放在这保持不动，这里是撒眼减，所以它变成了帅哥减哥帅，帅的话，这里就是二分之根号三乘哥 杰哥帅，这个样子非常的简单，然后右边来是等于三克，然后再乘上，这里是相加，所以是帅哥加哥帅，帅哥哥的话就是二分之二，三加哥帅，好这个样子的， 我们再继续来跟大家说一下哈，你在做选填的时候呢，一定要记得化简，我们把三以内写成是 s， 把 cosine 写成是 c， 这样你就可以节省很多时间。我们把左边展开哈，就是二分之根号三倍 s c， 再减去二分之一倍 s 方，等于右边的 二分之三倍，根号三的 s c， 再加上二分之三倍的 c 方，哈，就这个样子。然后呢，我们去化解一下，就会得到根号三倍 s c 再加上 c 方，它是等于负二分之一的， 然后此时哈，你看，我们要求的是一个二倍角，所以呢，我们是肯定要把这两个东西给它画成二倍角的。 而咱们 s c 怎么化成二倍呢？是不是我在这乘一个二就可以了呀？乘一个二嘞，它就可以化成咱们的撒眼二 alpha 了，对不对？ 而这个 c 方嘞，我们就要用降幂公式了，给它化成是二分之一加科撒眼二 alpha 了哈，所以这里就是二分之一加上二分之科撒眼二 alpha 等于负二分之一的好，我们再去整理一下 二分之根号，三倍三眼二反，再加上二分之一倍科三眼二反等于负一的好。此时我们写成塞科加科塞塞眼课，这是科的话，也就是咱们的六分之一选 a 选项。 我们来看到二倍角公式哈，他是最最最畅考的，没有之一。首先是三眼二反，他没有什么花折，他就等于二倍塞扩 两个帅哥哈。但如果是 cosine 二法，他的花招可多，他花招最多，他有三个花枝，首先呢，是最大的花枝，这 cosine 方减去三眼方，所以他是在沟通什么？沟通一个一次方和咱们的二次方之间的一个非常重要的桥梁。 同时嘞，咱们的 cosine 方和三眼方还可以继续再去写，因为 cosine 方他加三眼方，他是不是等于一的呀？ 所以如果说咱们把三衍方写成是一减科三衍方，它就会变成二倍科三衍方减一了。而同理，我们把科三衍方写成是一减三衍方的话，那么它就会变成什么呢？它就会变成一个一减二倍三衍方呢？我建议大家不要直接推哈，直接背 怎么背嘞哈？首先科三衍方减三衍方是非常常背的，而后面这两个东西怎么背嘞？你思考一下， 我们的科三眼和科三眼，它是一个宗族的对不对？那么肯定我在搞平方的时候，肯定是科三眼在前的，而三眼它是不同宗族的，那么我在搞这个展开的时候，它肯定是靠后的， 所以说它们在结构上就有对称性，一个是二倍方减一，一个是一减二倍方，就给大家记住了。我们再来看最后一个 tangent 的 阿尔法，它是更简单的哈， 因为你给它直接拆成是 tangent 的 alpha 加 alpha， 然后呢，咱们的分子还是正好就是 tangent 的 alpha 加 tangent alpha， 一 直二倍 tangent alpha， 而咱们的分母嘞是一减了，减什么呢？ tangent 的 alpha 乘 tangent alpha 一 直是 tangent 方二法，就给它记住了。 我们看到这道题哈，已知 cosine theta 等于负五分之三，它又告诉了 c 塔角的范围，一定是为了让你求出来， sine theta 为多少呢？为五分之四，然后呢，它在二分之 pi 到 pi 之间，所以 sine theta 它肯定是大于零的，所以我们求对了，我们再看后一句话， sine 二 sine theta 加四分之 pi 肯定是要给它展开的，对吧？ sine 加它展开是什么？帅哥加哥帅，也就是帅 哥加哥帅的这个样子的。所以你看我这儿要求的是什么？求的是一个撒野二 c 塔和一个科撒野二 c 塔， 而撒野二 c 塔它等于多少呢？它是不是等于二倍帅哥的，对吧？也就是等于二乘上负五分之三，乘上一个五分之四的，而这里的科三以二 c 塔嘞，你怎么求啊？ 非常的简单，你可以写成是科塞也方减三也方，你也可以写成是二倍科塞也方减一的，也可以写成是一减二倍三也方的哈，给大家求出来。所以最后答案呢，它是等于负五十分之三十一倍根号二的。 我们来看到降倍公式哈，它其实是我们刚才二倍角公式的一个延伸，为什么呢？因为科塞也二法，它是不等于二倍科塞也方减一的， 而它又等于咱们的一减二倍 sine 方阿尔法的。那你来看第一个十字，我如果说把一给它搞过去，则此时来二倍 cosine 方阿尔法，它是不等于 cosine 二阿尔法加一等，而此时 cosine 方阿尔法，它是不就等于二分之一加 cosine 阿尔法了，对吧？ 而咱们这一个式子嘞，我们就可以写成是二倍 sine 方二法，它是等于一减 cosine 二法的，而 cosine 方二法，它就等于二分之一减 cosine 二法的。那怎么去记忆嘞？其实非常非常的简单。 怎么做呢？就是你想哈，我的降倍公式是跟我的二倍角公式对应的，那它背后的大 boss 一定是 cosine 二法。先记住了， 然后你再举呗，我一个对称过来是二分之一加，一个对称过来是二分之一减，这里就填上了个大 boss 就 可以了。而谁是加谁是减呢？那加肯定是同宗族的呗。我的 cosine 方二法和 cosine 二法， 我们俩是同宗族的呀，肯定是一加，而咱们的三也和 cosine 它是不对负的，所以它是一减就记住了。我们来看这道题啊， cosine 方，那马上就用咱们的向量公式， 它就会变成什么二分之一加，科撒眼里面这一坨重上一个二，就是二倍的四分之 pi 减 alpha 的。 好，我们给大家展开一下，这是二分之一加，科撒眼里面就是二分之 pi 减 alpha 的。 哎，这个东西是什么呀？由诱导公式哈，它就会变成 sin 阿尔法，就是二分之一加 sin 阿尔法，所以它就等于右边的五分之三的，此时你解出来咱们的 sin 阿尔法来，它就是等于五分之一的 over 了。 我们来看到第四个题型哈，给值求实，很多老师在这里讲的太难了，其实非常的简单哈，只要他给你什么值，你当成整体去做，你就避免了说，哎，我先给他展开，我也给他合起来，你多此一举干什么呢？我不管三七二十一，我就去令这一坨整体为 t 呀， 则此时我的 alpha， 它就等于 t 减六分之八，而题目给的条件，它就变成了三点 t， 它等于三分之根号二的。 那么后面这一坨我要求的 cosine r 减三分之二牌怎么办嘞？我们先把 r 法替换掉，替换成 t 减六分之派，再减去三分之二牌，给它展开，变成 cosine r t 减三分之派， 减三分之二牌，这里就会变成什么减派呀，对吧？我减去一个派了之后，你就会发现，哎，再由右导公式，它是不是变成负 cosine r t 了呀？ 然后呢，我们有的是 sine t 等于这么多，那我肯定是由 sine 的 二倍角公式，也就是一减二倍 sine 方 t 呀，所以里边儿就是一减二，乘上三分之二的平方也是九分之二的，所以最后算出来是负九分之五的 over。 我们来看到第五个题型哈，给值求角其实也非常的简单，只是要去判断这个角的范围。已知 cosine alpha 为这么多， gamma alpha 加 beta 为这么多，然后呢？ alpha 和 beta 都是在零到二分之派之间求角 beta 的 值，这个应该怎么做嘞？你就直接写成 gamma beta 等于三眼阿尔法加贝塔，你肯定要把题目条件都给用上，对不对？阿尔法加贝塔，我再减去一个阿尔法不就可以了吗？我这里是塞减，那就变成了帅哥减哥帅，也是帅哥 减哥帅。那我们来观察一下啊。哎，这一个是已知的，是十四分之五倍根号三的，而这里科三阿尔法也是已知的，是七分之一的， 而这里来我们是不知道的。而这个三眼阿尔法来，我们是可以求出来的，因为我们的阿尔法是在零到二分之外之间，则此时来三眼阿尔法，它就等于根号下一减科三眼方阿尔法哈算出来嘞，它就是等于 七分之四倍根号三的，算出来了。那我们再来看科三眼阿尔法加贝塔怎么做嘞？有同学说，唐老师直接用根号下一减三眼方阿尔法加贝塔就可以了。 行，宝贝，为什么？因为我们的阿尔法贝塔都是在零到二分之二之间，则阿尔法加贝塔它是在零到派之间的， 则此时我算出来科三也阿尔法加贝塔，它可能是正的，也可能是负的，所以在这还需要去判别它究竟是正是负。哎，那我应该怎么去判别啊？其实非常的简单， 大家看哈，我们的 sine alpha 加 beta， 它是不是等于十四分之五倍根号三等，而咱们的 sine alpha， 它是等于多少嘞？是等于七分之四倍根号三等，其实也就是十四分之八倍根号三等。 你就会发现不对呀，我加上一个角之后，我反而 sine 值变小了， 什么意思呀？什么意思？我们来画一下 sine 的 图哈，然后呢？我们 sine x， 它在零到派上是这样一个图像的，我们可以确定的是，我们的 alpha 角肯定是在这里的， 对不对？然后我们呢，我们的 alpha 加倍，它可能是在对称轴的左边，也可能是在对称轴的右边，如果说它在对称轴的左边，那么 alpha 加倍它在这里，则此时 sine alpha 加倍，它是肯定要大于 sine alpha 的， 因为在对称轴的左边，它是单调递增的，对不对？但 此时出现了大逆转，我们的撒眼阿尔法加贝塔，它是小于撒眼阿尔法的，就说明啊，它其实已经跑到哪里了，跑到这里去了，它甚至比这个对过来还要更小啊， 对吧？所以你就可以说明，咱们的阿尔法加贝塔，它肯定是在二分之派到咱们的派之间的， 那么 cosine 算出来就一定是个不止不扣的负数啊，对吧？所以在这呢，我们就怎么去写，我们就直接写成 cosine alpha 加贝塔，它就应该是等于根号下一减 cosine alpha 加贝塔的平方的，但是外面还要再加一个负号哈，所以你算出来它是等于负十四分之十一的，好，带进去一下哈，最后的答案呢，它就是等于负十四分之十一的， 所以给值求角，它的关键因素在哪里？在你要去确定这个角的范围，我最后算出来到底是正还是负，这个是需要商量的。 那我们最后是不是得到了三倍，它是等于二分之根号三的，又因为 beta 它是在零到二分之派之间，所以 beta 它肯定就等于什么呢？等于三分之派了。 over。 我们来看到辅助角公式哈，这一个函数化成这样一坨东西怎么化嘞？这里有二倍角，这里有一个一倍角，肯定是要把一倍角用降倍公式换成二倍角的。 我们后面这一坨哈写成什么？是不是二分之一加二分之一加什么大 boss， 就是 cos 二 x 的， 对吧？然后呢，我们前面保持不动，后面来写成是一加 cos 二 x 的。 好，这两坨东西我放在一块儿， 也就是根号三倍撒也二 x， 再加上克萨尔 x 加一等。此时我提一个什么出来，提一个根号下这个的平方就是三，这一个一的平方就是一等，所以提的是根号四也是二出来。提一个二出来之后嘞，里面还剩下 三也二 x 乘上二分之，根号三，再加上科三也二 x 乘上二分之一，再加一个一等，所以里边就是塞科加科塞塞克，这里是克，也就是咱们的六分之 pad。 然后呢，再加上一个一，最后呢，就已经写成这样一个形式了，它适用于做大题的时候。 如果你还想查看更多的数学解例程序，以及更多的数学题分方法，一定要点击我们的主页这里群哦。

还讲一下关于那个这这六个三角函数怎么来记他的求导和积分。呃，因为我也是之前一直就是对这这三个，另外三个他这个求导和积分就比较陌生嘛，感觉每次记就很难记，所以后来就发发现这种就是 用图图像来记他。然后首先三里面三个考三，我感觉就是没什么好说的，因为这个高中就肯定记了。然后餐厅和这个这边我们先求导吧，这就是求导的， 然后这个 tanning 到 tan 就是 一个平方， s e c x， 然后 tan x 这个到这个 tanning x 到 tanning x 就是 s e c x tanning x 是 相乘嘛，然后跟它对立的，就刚好这边是，嗯，这个到它这儿也是个平方，但是它这要加一个负号，所以说是。然后在 c 的 平方，然后这边也是一个跟它对应也是一个负号，就是 s e， 呃，不是 tony x c s c x， 然后就是这个这个图像，可以看出它们就是互相对应的嘛，然后对应来记就很好记，然后它积分的话，你会发现它也很有对称性，把这个图像画出来，如果它的对角线就是它的，呃，它的那个导数， 然后这边是积分积分的这个图像，这个三 x 和 cosine x 也是相互转化的，没什么好说的。然后这个 tanning x 就是 它，它越过三 x 到 tan cosine x， 它是一个负号的形式，然后它是这样的形式，所以说它这个相对于这边的，然后它就是到越过 cosine x 到 cosine x， 它就是一个这样的形式， 就是不要把他们的那个正负号记反了就行了，因为他们的形式还可以对比的记，然后这边就是，呃，他长的是这样的，是三三 x 到这个 twenty x， 然后这边是这个 c s c x 加 twenty x， 这边就是这个 c s c x 减 call twenty x， 然后呃，因为积分，积分记得加 c 啊，我这边没加 c， 就是 为了方便记嘛，就是只只要记住这这个形式就行了，然后然后这个图像就可以对对对比记。

我们想要化简这种形式的三角函数，一般都是用两角和余弦公式先展开， 再用辅助角公式合并，最终得到结果。如果嫌被公式太麻烦，可以将三角函数表达成像量的形式来解决。先画 cosine x， 再画 cosine x 加三分之派，那他们的假角就是三分之派。 因为两个三角函数的系数都为一，所以两个向量的模长也都为一。根据平行四边形法则，合成的向量就可以画出来了。再来看一下，合成的向量也是一条角平分线，所以这个角等于六分之派。 很明显，右边这条边的长度也为一等幺三角形，所以上边这个角也是六分之派。很容易算出中间向量的模长为根号三， 所以我们可以直接表示合成的向量就是长度为根号三角度为 x 加六分之派。

背了又忘，忘了又背，三角函数诱导公式根本不用硬钢，掌握一个核心口诀，十秒解锁所有难题。看完直接扔掉笔记， 下次再看到郑于娴的自变量部分，后面加减二分子 k 派，别再愣神了。记住既变偶不变符号看象限，让它成为你考场上的条件反射，快去艾特你那个还在死记硬背的兄弟，用魔法打败数学。 具体操作时，条件和带球式的自变量看不出明显关系时，可以直接换元，这里可以令条件自变量为 alpha， 带球式自变量为 beta。 通过四则运算得到二分子 k 派这个式子， 最后用诱导公式转化带球式，直接把带球式自变量这个 beta 用 alpha 和二分子 k 派表示， 用诱导公式消除二分子派，此时 k 等于一正弦变余弦，这里假设负二， alpha 在 第一象限，它加二分子派在第二象限，第二象限的正弦为正，所以写出来的余弦前系数为正，然后余弦函数是偶函数。自变量部分的符号可以直接画正 题干，知道 cosine alpha 的 值，直接用二倍角公式就可以得到答案。诱导公式就像数学里的镜像法则，无论角度如何绕圈，三角函数最终都会回到最熟悉的模样。

这几个公式在折叠问题当中，或者是几何图形当中应用还是非常之广泛的哈，叫弹进呢， r 减倍，它等于就是它当分子，分子背下来字母就好背，一加它们俩的乘积。这货跟哪个很像的？ 两直线夹角四十五度公式来第二个。这公式背下来很好用的啊，就等你上高中，老师也会强调这个叫弹弹，以弹弹，弹走鱼尾纹，弹 弹，一弹弹，哎，这块还有一个弹进呢。这公式背下来等陆续做题，我们用到我会教你啊，叫弹进的二 alpha， 弹进的二 alpha 叫二倍角三角函数公式，我们做一些几何题，是不是经常出现这个角是另一个角的二倍，怎么怎么地， 对吧？经常见。那弹进的二 alpha 等于什么呢？很简单，就是把这个式里的 be 换成什么 alpha， 那 就变成了弹进的 alpha 加弹进的 alpha 是 什么？二、弹进的 alpha 分 子呢？一减弹进的 alpha 乘弹进的 alpha 就是 弹进的 alpha 的 平方。