张宇27数学30讲更新到哪里

好，同学们，好啊， 呃， 今天呢是这个考研数学，呃，今天是二六的考研数学，正好今天刚考完，那么我们呢跟大家一起对这个二六的考研数学呢进行一个简单的分析啊， 并且对未来考研的学生就是二七考研的同学，呃，这个提出一些呃建议啊，就是如何进行考研数学的复习。 我先问一下啊，这个二六考生如果有在屏幕前面的，呃，你们觉得今年这个卷子是简单还是难啊？你们可以回复一下， 是简单还是难 啊？大家的这个总体的呃认为是 至少没有预想的难，是吧？好，那么对于这个这个试卷呢，我想客观的评价，这个要留到呃 国家有一个最终他会有一个统计啊，就用这个统计的结果来去说。但是我想对二期的考生说，实际上来讲这张试卷，呃，你并不能说他简单 啊，那么如果同学做的比较好，那我就对你表示祝贺，那是可以啊，这个大家非常开心啊，这个很好，但是事实上来说这张试卷考察的细节是非常深刻的 啊。呃，很多题目，呃还是挺有难度的啊，呃，包括数一、数二和数学三啊，并不像，呃，大家都说的都那么简单啊。呃，我下面呢这个简单的说几句啊。 首先第一个 二六考研数学试题的特点，第一个是重点突出， 这一点是肯定是没有任何问题的，你像我们数学一，数学二和数学三那么考察的这个题目， 从题目这个考的内容上来讲，重点内容重点考，这个是绝不回避的，是吧？大家啊啊，为什么不能背诵是吧？啊？那这个没法背诵然后哈哈哈 数二真没想的那么难。我跟你说过你按照我八套卷四套卷的难度准备就可以的啊。没有没有问题的啊我出完卷子呃你们大概就知道是吧啊包括今年的这个限行代数的大题，这十二分的大题 是吧。嗯这个是是我讲过的原题的对不对是不是讲过的原题嗯我应该在三个位置上都讲了 啊。数一最后一题不简单啊也不简单，但是呢他有提示啊。这个待会我来说啊 数三也相对来说我知道大家都会这个二七的同学会问，呃明年到底会不会难对你主要是关心的是这个问题就是今年这个卷子到底怎么样我说了呃从这个待会我讲详细讲到时候会继续再说这个事情啊 啊从难度上来讲啊我总体先说一下这个倒也没关系。呃难不数学从来没有简单过啊。你你你不要不要认为说，呃这个今年简单了明年一定要难这个就不对了啊我我不绝对不是这个意思 啊。所以大家一定要知道考研数学呢他这个命题呢是具有一个呃一个非常好的一个规律性的 和科学性啊。呃没有，从来没有人说数学数学从来没有简单过，你要记住是这句话 啊。哎那么二七的同学你也可以这样去思考如果现在你看到你的二六的学长学姐说今年的卷子并不难啊或者对他来说他讲相对来讲比较简单至少没有想象中的难。那么希望你明年也会说这个话 对不对哎你也会说，哎没有想象中的那么难啊，说明你考的还是不错的。应该是这样的啊，呃，这个没有没有说今年很简单的这个这个说法啊，哎，这个你放心啊， 啊，不会变难的啊，也不会变简单，这两条你都要知道啊，你也不要去期待说今年的这个啊。啊，这是抖音的是吧？嗯 嗯，哎，你也不要期待说这个，今年 难了，明年就简单了，这个你不要去想啊，那么你你当然也不要去想今年简单了，明年变难。这个也不会的啊，这个不会的啊， 这个你你放心。好，我继续来说啊，我先把我该说的说完，我们再聊。第一个重点突出啊，该考的重点，那么二期的同学你就仔细听，我会在每一讲的开篇还是那句话啊，我给大家详细去说，这一讲哪些是重点，你一定要仔细听 啊，要记好我每天在这个基础知识结构上讲到的哪些是重点。哎，你一定要把它给我圈好，他认真听。这个考试还是要这样考，现在还以为要考二次型。现在说考二次型了 啊，但是数学，数学一里面考到的这个一个小题目是吧。啊，一个小题目考到了，嗯， 大题考的是我在代数上讲的二七的同学，你们可以啊，你可以问一下你二六的这个学长学姐，因为你们现在可能混合的人数在这里头的啊，是不是张老师讲的这个原题是吧。啊， 可以预见的，这个若干年内代数的大题应该是跑不出去我们的讲课范围的啊，这个应该是这样的，因为我把能够考的这个角度和方向已经预测了好几个了，哎，应该是暂时是跑不出去这个范围的。你只要好好学就行了。 哪节课哪节课。嗯这个学生知道啊哪节课我是记不住的。哎。这个是在讲到。嗯 我这是综合题啊是综合题首先你要掌握住嗯极大现行无关组的这个概念，掌握极大现行无关组的概念之后你要再会求矩阵的方阵的 n 次密然后这两个结合起来之后今年的大题就能解决了啊。就是换一下顺序这里面就有 啊九三讲里就有。对的九三讲里还就是有的啊。 第二个兼顾全面。呃兼顾全面的意思是什么呢？就是一些边角知识啊你还是要重视比方说数学二的这个考题。我我我拿到这个卷子之后呢我就看到了数学二的这个考题这个就是我们一千题里的这个应该是原题了是一千题里的原题了。 还有就是我八套卷里头还是出了一遍啊又出了一遍就是一个细指杆对指点的引力大小啊。这个你看他又连连续考啊这是连续考的。 呃没有没有说不能连续考啊所以我出完八套卷好多人一做怎么又来一个引力。因为去年考了 啊是点跟点之间的引力关系。那么你现在如果说是这个斜着杆或者放的直的杆啊就是位置不同嘛那么我这个引力那就是要求学生真正掌握如何去进行微元法，用微元法去计算啊然后写顶级分出来 这这样这就是很偏的一个知识点了对吧。啊引力考了考了他连着考，哎。 那你这个这个呃完全可以呃放心啊，就是呃全面的这个知识点也会帮大家考虑到的啊，所以这个这个考点上也是这样啊。然后去年数学三没有考这个经济应用，今年就补回来了， 补了一个，但是补着也不难。那补着也不难啊，这个一个小的选择题啊，但我们数学选择题一题五分，呃，十个完成填空是吧？哎， 这叫兼顾全面。第三一个计算量大，这一点呢，又是一个突出的特点了。 呃，很多同学其实以为这个数学呢，只要靠思路啊，我只要想明白就行了，其实并不是这样。呃，想明白我们大部分的数学题是要通过什么？是要通过一定的计算才得出正确答案之后才能得到全部的分数的是吧？ 啊，所以计算量这个点你千万不要忽略啊，那计算能力如果不强，你这个平时不自己好好的去计算啊，遇到计算题就交给答案啊，让答案帮你去做，这个过程 你练不出自己的计算能力啊，这个在考试的时候那就是要要出大问题的啊，所以很多同学是思路是有的，你让他算到底算不完。 所以为什么今年八套卷头一套卷子，我就特别给大家强调了这一条是吧，你们做八套卷的时候是不是就这感觉啊？题目没有什么思路上的难度，但是让你算完它，算到这个底，算到最后这个结果你很多同学你是算不出来的 啊，所以这个计算量大，这个是一定要要注意这一条啊。第四一条，我们这个题目呢，呃，常规题目还是比较多的， 但是呢，有一条你要注意，就是给人感觉上来讲的话呢，呃容易算，但是不容易。对，这里面主要有什么原因呢？就是因为他有些细节的考察呀，还是挺难的啊。呃，常规，你看起来很常规，他里面又藏了不少东西在里头 啊。你比如说我们那个二重积分的定义的问题，这个数学二考的数一数三都没考啊。那个细节问题，呃，你当然可以用特值法令 f、 x、 y 等于一啊，你可以用特值法去做，但特值法排除不了。呃全部选项 a 和 d 最后结果都是对的。 那你怎么样选出最后一个选项？那么就是我们需要对，呃这个呃定积分定义是需要有非常深刻的理解的啊。当然那个题目呢本身是有难度的嘛。那不可能所有题目都很简单的 啊，这是极个别的情况了。第五一个就是呈现一些共题的现象，共题 是指说，呃，数学一、数学二、数学三啊，互相借鉴啊，互相用这个这个对方的考题。你比方说其实今年的这个二六的新型代数大题， 呃，主要是跟这个，呃二五年的代数大题实际上是很像的。但我当时我就说这个话了，我说这个题没考完，那么你看他二六年他就继续考，然后在二六年的这个数一数二里面呢，就大家都考了啊，就是完全一样的大题是吧？呃， 就是说去年的代数数一、数二、数三都不一样大题啊，十二分。但是呢今年的代数大题就是数一数二数三就完全一样，那可能命题组觉得这个题目就非常好，那就认可了，那大家就都用了啊。 啊？第二个呢？数学二，数学二的大题涉及到了数一的 problem 方程 啊，这个数二的题目呢？这个这几年总是往这个数学一，那个数学一上那个大纲，那个边缘啊。呃，就就就这个有一些啊，这个在他的边缘啊， 接近他的这个知识点了啊，你比如说去年涉及到的是欧拉方程啊，今年涉及到的伯努利方程，这本身都是数学一的内容，但数二同学呢，都有涉及， 所以这个共题现象呢，你还要注意一些啊，也就是说，当然我没有说让你去做啊，你数学二一定要去做数一的题目，这个没必要的，但是我提到的在课上啊，我凡是提到了，比如说数二同学，你可以听一下 啊，书一的哪些知识啊，个别的知识啊，你听一听倒无妨，几分钟的事，你可能听完之后把它当做一个习题去做，你不一定。呃，你不一定是说我看看你们，哈哈哈，你们的评论，嗯， 不要这么卷啊，不要这么卷啊。嗯嗯，哈哈哈，说到哪了，你们都太慢了，宇哥说，我去，哎， 啊对，你们都是一百五十分的苗子，这个是，这是，对啊，所以共题现象呢，大家要注意一下，就是我提到了哪些点啊，你不要去学这个知识啊，你就把它当做一个题型去做 这个就可以了啊，你当做一个习题去做，你可能说你对这个知识点有一个印象，那万一考试考到了，那么我们做起来就容易多了，对吧？容易多了， 第六个命题还是有些新颖的啊，有一些，呃，用心定义啊，结合老知识来解决问题的这个考察，呃，比如说置换矩阵这个像这种概念上来讲的话呢？呃，我们大纲里是没有的啊， 但像这种考法，呃，我记得在真题里面还没有，以前还确实没有这么出过。你比方说啊，我说一个，有一个，我记得有一个，这个这个概念上是这样写的， 我记得有一个概念上是这样写的。 你比方说我们这个卷子里头有一道题，单位矩阵，经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换阵， 然后像这样的概念呢？以往是没有，呃，这样出现过的，就是我给你增加一个定义过来，然后现在现场问你这是什么， 这个就是信息给予性问题啊，以前没这么出过，看来这个这个二七啊，我在这个方面还是需要有一些，因为我也出过这种题给大家，但是这样出题比较一般，比较隐晦，我不敢这样出，因为怕学生说你要超纲什么的。 其实你把这个概念给他介绍完了之后，然后接下来你用的知识，大家知道一定是老的知识，他并不是新知识，都是老知识， 就是能解决问题的，他就是在考纲合理范围内。哎，对，你们高考时就有这种题的，哎，就是我现场教给你一个概念，或者现场给你一个新的情景，告诉你这个情景他的含义了，然后要你用老的知识去套进来，看看能不能解决这个新的问题。 那么这个在以往的专题考研数学卷子里是没有出现过的啊，这个在以往数学的卷子里是没有出现过的啊。当然这个题本身并不是很难的，因为它涉及到互换证，互换证这个那就看若干次它是基数次还是偶数次了 啊。所以这个题目呢，这个选择题选项倒不是很难选的，答案选的就是 b 啊，因为呢， a 逆呢，也是置换证，但是 a 的 伴随就不一定了是吧啊？ a 的 伴随就不一定了啊。说 a 逆是置换证，这个题选的是第二个选项，这个倒不是很难，是吧？ 还有十五题就出现了一个最大式特征值，最大式特征值他就给了一个用 m 括号来表示啊，最大式特征值，像这些都是代数学里面的基本概念或者说基本符号。呃，那么在今年考试里面呢，他有时候出现啊，出现了这个东西， 呃主要就是这样几个特点吧，其他的我也没有什么其他好说的，主要是这么几个特点。呃， 答案的话呢，回头看有个找个机会给大家发出去啊，但是我不想现在发。呃主要什么原因呢？我还是希望大家呢，能够好好的。就是二六的考生呢，好好的休息啊，没必要现在就继续卷 啊，这个实在是。呃，这个太辛苦了啊，应该好好的休息一下。那么二七的考生呢？你不要，你暂时你也看不懂的啊，你我发出答案来，你看也没有太大的意义， 你就好好的听我说的啊，尤其是这个啊，就是我要强调就是二七的考生，我们现在一定要把这个基础三十讲， 基础三十讲呢，要好好的去看啊。基础三十讲要好好去看。基础三十讲你你看看你们二六的学长学姐说的，其实我们很多的考点基本上在基础三十讲上就能够解决了， 你像今年大题的，像这种，呃，像数学二的最后一道题啊，数一数三的倒数第二道题啊啊，都是我们三十讲就解决完了的是 吧？啊，所以你要就这个按照我在基础知识结构上讲到的分析啊，让大家呢应该好好的去好好学习啊，你还是得好好学习啊，好好学习 呃，直播间啊，我念一下广告了啊，优惠一，直播时间段下单正价客送啊，这个是帆布包还有 pu 本啊，还有草稿本 啊，直播时间段不定时的来抽这个基础三十奖， 然后像这个像这个待会就让这个主持老师再给大家念了啊，我就不再念这个了啊，包括 这个这个优惠一啊，二六的考研复试调剂优惠二，二七的考研课程优惠三，全年集训营啊，有三个校区，一个是北京校区，一个是济南校区，一个是长沙校区 啊，有一个这个寒假特训营是吧？啊，好，下面我们来抽奖， 还是按照刚才的这个办法，大家评论区回复真题解析看启航 哎，你拿拿好，你拿走就可以了。好哎，同学们，大家可以把我们的真题解析看启航这几个字扣到我们的这个直播间啊， 然后呢，待会我们的宇哥喊停，然后看一下我们的这两位幸运儿是谁，后续记得去后台私信我们的工作人员，记得去领奖，好吧，同学们啊，包括呢，我们这边也会帮大家去同步你们的一个中奖信息啊，那么呃，大家可以啊，看到大家非常的热情啊，宇哥可以看一下 咱们同学们非常之热情啊，那宇哥可以准备一下我们就这边的啊，这是抖音，抖音，那你你现在说了啊啊啊啊，好的，那我们就开始吧。嗯，你喊个三二一，咱们开始三二一截屏。 好，来看一下我们的这个齐晓航 q a d v r r 同学，还有我们的齐晓航 p m h b w w 同学啊，恭喜咱们这两位同学啊，成功获得了我们直播间的两个赠品，这两位同学后续记得去找我们的工作人员去兑奖就可以啦。好的好的好的 好，呃，最后再说一句啊，我希望我们这个二六的考生啊能够好好的休息啊，呃，把这个精气神啊给补回来啊。那么同时祝愿二零二六的考生金榜题名啊，也 顺道把这个二七的也说了啊，希望二七的考生能够扎扎实实的开始从基础复习啊。呃，实现自己啊这个未来考研成功的梦想，为他做出你应有的努力。好，祝福大家，谢谢。

好，下面呢我们就进入第一块啊，我们先给大家讲零基础通关讲义，这个呢可以作为我们整个考研数学的基础知识，请大家先看基础知识结构。 在这呢我先跟大家强调一下，我们在整个学习过程当中啊，啊，刚举目张， 那就会有一个这个在每一讲的开篇都会有这么一个基础知识结构的这样一个标题，然后接下来呢就是把这个这一讲要讲的知识结构呢，给大家做一个清晰的梳理， 我认为这个呢是同学们要养成的一个学习的好习惯，那复习的好习惯是吧？那我这一讲学了哪些东西是吧？你要有主干， 那么这个每一个主干那么发展开来，他有哪些枝干是吧？每个枝干上是不是还有些个啊？再往下一级的指标提，还有些叶子 是吧？那就你一把拎起来，它就是一个完整的知识结构啊，所以有主干，有枝干还有枝叶，那那么这样你把它连串起来了，那就形成一个很好的系统性的结构了，而不是怎么样一盘散沙 是吧？你拎不起来啊，一拎全都散了，那你脑子里这个没有结构很乱，那么你在这个解决问题的时候，那么显然就是，呃，没有这个能力去把问题解决好 啊，所以思路的清晰是很重要的，我们这部分呢，一共给大家讲六大方面，就是这个零基础的里头啊，讲六个方面内容，第一个呢叫基本逻辑 啊，这个基本逻辑有涉及到两个指标题，一个呢就是常用的命题和它的形式，一个呢是常用的思路， 这个实际上很重要，它涉及到梳理逻辑的最基本的概念啊，我们不会去 这个深入的研究，树立逻辑这个是很难的一件事情，但是呢，我们要抓住的是考研数学啊，就是数学命题当中啊，最基本的一些啊，逻辑问题，那么这个是大家需要掌握的 啊，很多同学是不不重视逻辑啊这个概念的，那导致有些做有些题目的话呢，就是有些会蛮干 啊，那个这个没有逻辑，那么有些事情不好办，是吧，那么我们就要讲清楚在考研数学里需要我们掌握哪些基本逻辑，哎，就够了啊，这个不难啊，各位，不难，但是是一很是这个很强有力的工具。 第二个呢就是讲解析式，同学们，对于解析式啊， 呃，这个概念很多同学不清楚啊，解析式不知道是什么解析式怎么运算呢啊，也相对来讲比较模糊啊，或者是不够这个知识体系不够系统化，不够完整。所以呢，我们要单独跟大家讲一讲关于解析式的概念 以及对应的啊，它里面的有理式及其运算，无理式及其运算啊，这里面大家显然知道呃，这个重要性了，是吧？有理式及其运算和无理式及其运算。 第三个就是涉及到的方程和不等式了，大家知道方程是等号是吧？你说我前面等号左边是个式子，右边是零啊，什么什么等于零，这大家习惯来讲叫做方程， 其实呢，我也不一定就是什么什么东西等于零，那么什么东西等于零呢？他往往比如可以这样写，就是 f x 减去 g x 等于零啊，那么这个叫方程啊，那么你如果把 g x 挪过去，叫做 f x 等于 g x， 像这个跟它是没有区别的，是吧？大家，哎，你把 g x 移向到等号的左边，那么就变成这个式子，那你把 g x 给它移到右边来，它就变成这个， 是吧？哎，那这样来讲的话呢，呃，这两是一样的，那这个可以就叫做等式啊，所以方程呢，我们可以称之为等式和不等式， 对了吧？啊，这第三款内容，这是非常重要的啊，所以又涉及到的等式和不等式，而等式里面呢，我们在这个衔接的这块啊，中学大学数学的衔接这块呢，要跟大家再次强调一下关于一元 n 次方程的相关问题，当然 主要考的还是二次，是吧，以二次为主啊，大家把这个掌握住，还有就是重要不等式及它的应用，这里要提一下给大家。 呃，在考研数学里面，有一些不等式是默认你要掌握的啊，就是有些不等式他是不会这个啊，告诉你的，默认大家需要掌握它，比如说 我随便写一个啊，我们特别常用的一些，比如说 a 乘以 b， 那 么你加上绝对值啊，这个严谨一点，又是 a 的 绝对值乘 b 的 绝对值，这个一个意思，对吧？大家啊， a 乘 b 的 绝对值，它是小于等于二分之 a 方加上 b 方的，这就是一个非常重要的基本不等式，在我们这也可以叫做重要不等式 啊，两个数的乘积，它的绝对值是小于等于两个数的平方的。呃，这个算数，这就是平方 a 方 b 方嘛，两个数的平方的算数平均值， 是吧？那么如果从不等式的角度来讲，你可以算术平均值大于等于什么几何平均值，对吧？啊？这个是根号底下 a 方乘 b 方啊，算术平均值大于等于几何平均值，是吧？那么其实大家知道这边还有一个小于等于均方根， 是吧？那主要考的呢？是这样的，这是一个抽象的式子，就是任意两个实数，那么都满足这个。还有一些具体的，比如说一的 x 啊，是大于等于一加上 x 的， 这里任给 x 都是成立的，任给 x， 只要 x 是 实数，我们就一定有一的 x 次方是大于等于一加 x 的 啊，那么这个也是很常用的重要的一些不等式啊，这些都是默认不给你的， 那么有哪些我们需要掌握呢？那我们在基础阶段就要把这个学好它你听好了啊，这些东西就是拿过来一个题目，比如说这个题目里面出现了一的 x 次方减一， 你就不要犹豫了，如果出现了 e 的 x 次方减去 e， 马上怎么样？哎，我有放松，因为 e 的 x 次方减 e 就是 大于等于 x， 你 看 就有了吗？对吧？比如说，比如讲啊，我的这个竖列，我随便写一个 x n 加 e， 它是等于 e 的 x n 减去一的，是吧？那么你如果见到这样的式子的话呢，大家把它用上啊，那么你这个就直接给它就怎么样缩小到什么 x n 吧， 看出来没有？ e 的 x 四方减一，你看到这啊，这是 e 的 一个变量啊， e 的， 比如说 e 的 狗四方减一，大家等于这小狗 能听懂意思吧？一的狗四方减一是大一点，这个小狗的，为什么我们要这么夸张去写呢？很简单，因为这个狗是任取的，任取的实数都可以， 所以你这个给我一个 x n 竖列通向它也是个实数，那么当然这个只要这两个位置长得一样，这就可以用啊，就可以用，所以一的 x 的 方减一 啊，一的 x n 次方减一，那么大于的 x n， 那 么你这样的话呢， x n 加一大于等于 x n 呢？所以你这样就可以得到什么？这个竖列是单调增的，看到没，大家这个竖列是单调增加的， 这个就是一个重要的知识，大家在中学阶段啊，往往是要用求导数来去判别函数的单调性， 那么在考研里头呢，当然这个也还是一个知识，但是呢，呃，中学考过的东西呢，大学里面往往不再重复考啊，那我们就可能换一些角度来考察单调性，等等 啊，这个是我们说的重要不等式，是吧？哎，这是第三个知识，第四一个知识， 这我们涉及到的呢，就是这个函数的这个知识了，虽然我们在第一讲里还会讲到函数啊，但是在这呢，我们要特别强调几个事情，一个就是逆函数，一个指数函数，一个对数函数。 我们知道啊，在这个，呃，整个的基本出的函数里头，我们就是 反三角函数，有吧，对吧？大家，大家，大家啊，密函数，指数函数、对准函数、三角函数和反三角函数，实际上就这五种啊，那长函数啊，那就算进去也行啊，就是密指对三角，反三角 啊，那么这些个基本中的函数，那么在零基础阶段，我们需要他掌握他的哪些知识？ 各位，这可不简单的事情啊，不是说光把一个概念写给你，比如 y 点三 x， y 点 x 三 x， 光写出这样一个表达式是不够的，我们要对它的性质，对它的考点，大家注意啊，就是对它的性质 啊，你比如说对称问题，对称问题就是对称性啊，这是很重要的一个事情啊，那对称问题就是对称性，是吧？啊，那是性质当中的一种了啊，那么像这里面还涉及到有周期性啊，是吧？你三角函数，比如三 x 五是有周期性 啊， cosine tangent， 这都有周期性的是吧？反三角函数，反三角函数，你要求的出来，比如说阿克泰尼的 x， 你 给我一个定义，它这样是没有周期性的， 对不对啊？他没有轴性的啊，那么所以这性质，那到底有还是没有？有的话怎么用？这就是个重点。还有一个就是考法， 对吧？大家知道这个性质跟考法，这个应该是我们在大家在中学阶段就是一个重点啊，就是你在高中啊，这个高考的时候，这就是个重点， 那么在研究生考试里面呢，或多或少的还会涉及到这样一些，所以呢，我们在第一讲会讲到函数的，呃，基本内容的前提下，我们在零基础里呢，先要给大家讲讲这里面的最基本的性质和考法 啊，所以这个呢，衔接起来，按照以往的经验啊，对大家来说呢，是很有帮助的啊，所以同学们，这是我们的第四款啊， 第五一个就是竖列啊，其实刚刚我还谈到过这个竖列的问题，是吧？那么竖列以及它的单调性 啊，竖列的单调性当然是非常重要的事情了，是吧？哎，你研究一竖列，那么当然大家知道，首先竖列的概念，这个要讲，还有等差等比， 这个大家都很熟悉的，可是呢，我们还要重复讲啊，但重复的同时是一个螺旋式的上升，它不仅仅是重复中学知识，我们就是看大学数学里面怎么去用它， 是吧？那么这里专门谈掉了，谈到了一下，就是竖列的这个单调性啊，单调竖列，你看我刚才随手随手举的例子里面就讲到这单调问题，是吧？啊？为什么呢？我告诉你，因为在大学数学里面单调竖列 啊，只要再加上一个条件，什么条件呢？就是有界，那么他就必然有极限，极限是存在的，或者是树立是收敛的啊，这个话你先不用记啊，先不用记，呃，所以单调性，我是提醒大家，就是因为单调性很重要， 懂吧？就是我们后面研究的一一类啊，非常重要的竖列就要研究它的单调性啊，它只要有单调性了，再加上一个性质，那么它就会一个很完美的这个收敛的结论了。所以单调呢，是我们需要好好去研究的 啊，这是竖列的问题。最后一个六就是坐标系和坐标系变换， 大家在中学阶段学的比较多的是直角坐标系，但是对于这个极坐标系啊，那么大家学的不多啊，所以呢，我们不仅要讲直角坐标系和它的坐标变化，我们还要讲到极坐标系以及直角坐标系和极坐标系之间的 relationship， 他们的关系啊，我们就要把直角系划成极坐标系，要把极坐标系划成直角系下的相应的怎么转化是吧？表达式怎么转化呀？啊？那个区域怎么转化呀？这都是重点 啊，这个在未来的考试啊，在大学数学里面都重点，你比方说啊，在我们说到整个这个知识里头呢，我说一些啊，你可能会啊，就大家可能比较陌生的啊，但实际上考试来讲很重要的，比如说第一个基本逻辑，我用红笔画一下，你这个东西你不熟悉 的是吧？啊，有很多同学做一些证明题啊，那为什么一直这个害怕证明题呢？ 原因在于基本逻辑没有系统的去学过啊，其实他很简单，他并不难的啊，但是你没有系统学过，你就缺少这个抓手啊，这是第一个。再有呢，就是关于解析式的概念，很多同学不知道 啊，我们待会要详细讲啊，一点一点的跟大家说啊，就各种式子的名称你都得应该知道， 然后到了就同学对解析式的概念不清楚，呃，到了先行代数里面，你讲到二次，其次是二次型，他也不知道什么叫二次其次是吧，就这些概念都没有。那当然，你这个学数学这基本概念是要有的是吧？ 第三一个就是一元 n 次方程和重要不等式，他有一些重要的这个结论啊，以及怎么考怎么用，大家不是很熟悉。 第四一个反三角函数大家不是很熟悉，对称问题不是很熟悉啊。第五个呢，大家就是这个单调性的这个研究不是很熟悉。第六个呢，大家就是其坐标系和极坐标系的关系啊，很多同学不是很熟悉。 我讲我用红笔画的地方啊，当然就是接下来你听课的重点啊。呃，有同学说，老师，我们要不要预习 啊？我讲呢，能预习最好，你要是没有预习的习惯呢，你就一定要把我每一讲开头的这个基础知识结构，你要把它听好，它 然后我们在听好这个基础知识结构的时候呢，实际上我已经在帮助你做一些预习了。啊，就是这些个重点，你回头要后面要好好的去听啊，好好去听，好记住知识结构呢，我们就说到这里。

很多的考点基本上在九三讲上就能够解决了，你像今年大题的，像这种数学二的最后一道题啊，数一数三的倒数第二道题啊，都是我们三十讲就解决完了该考的重点，我会在每一讲的开篇我给大家详细去说这一讲哪些是重点，你一定要仔细听，要记好我每天在基础知识结构上 讲到的哪些是重点。哎，你一定要把它给我圈好它。如果现在你看到你的二六的学长学姐说今年的卷子并不难，那么希望你明年也会说这个话啊，说明你考的还是不错的。 我们现在一定要把这个基础三十讲要好好的去看啊，能够扎扎实实的开始从基础复习，实现自己未来挑战成功的梦想，为他做出你应有的努力。

今日话题，张宇今年发挥也太深了，蚌埠祝了家人们！今年考研最强的原来是章鱼老头呀！这两天好多人都在说章鱼押中了英语作文，给小白看的一脸懵，研究了一下才发现原来是老头考前发的视频，标题赫然写着这二六考研人的家书， 合着这老头是在搞英语作文押题呀！众所周知，昨天英语作文考的就是家书。这位网友说，宇哥明年考研英语跟定你了！ 另一位网友说，张宇不愧是著名的考研英语老师，谁懂？真的太好笑了。那话又说回来，张宇今年在考研数学上的表现如何呢？首先，考研数学刚结束，张宇押题这个话题就冲上了热搜，可见张宇今年表现确实非凡。这位网友说，现代大题几乎全是张宇原题，其他也有很多在三十讲里见过， 英语作文加书也押对了，还得是你啊宇哥！另一位网友说，二十二届高考人这不终于复仇了，属于是感觉好多都在张吧里做过，写的太顺了，还好没听朋友的去跟武忠祥。当然还有这些这些大家都在说命题，命题都是张宇三十讲里的原题， 看来大家数学都考的不错，真是恭喜大家了。最后考研数学得二十七，考研指条明路，跟住张宇就对了。当前至六月属于基础阶段， 主要任务是学知识点，直接用章宇三十讲搭配章宇一千题组题来夯实基础。七月和八月属于强化阶段，主要任务是学做题方法，直接用章宇三十六讲搭配一千题必组题来提升实战锦鲤能力。 九月和十月属于真题阶段，近十年真题至少做两遍，重点把握命题规律。十一月和十二月属于冲刺阶段，主要任务是刷模拟卷，必刷的模拟卷有章宇八套卷、章宇四套卷和功大超越卷等。最后留下你期望的考研初试分数，你一定能上岸！

今年的计算机代数的十二分的大题是我讲过的原题，二七的同学，你们可以问一下你二六的学长学姐，是不是张老师讲的这个原题？可以预见的若干年内代数的大题应该是跑不出去我们的讲课范围的，因为我把能够考的这个角度和方向已经预测了好几个了，应该是暂时是跑不出去这个范围的。 你只要好好学就行，你要掌握住极大限行无关组的这个概念，掌握极大限行无关组的概念之后，你要再会求矩阵的方阵的恩赐密，然后这两个结合起来之后就有对的，矩阵里还就是有的。

各位二零二七考研的同学们，大家好，我是张宇，那么从今天开始啊，我们就要一起走上二零二七考研数学的征程了 啊，那么在二零二七的考研数学的复习过程当中，我想大家知道啊，我们有这样五本教材，在基础阶段， 这个基础阶段的三十讲有五个内容，一个呢就是我们现在要给大家讲的这个零基础 零基础的通关讲义， 这个内容呢是我们在大学数学啊，更严格意义上讲是考研数学跟大家中学数学之间的一些啊，这个衔接的知识， 就是说你在考研里头要做题目也好，想问题也好，做计算也好，那么是用的到的中学数学知识， 那么我们需要做一个全面的通关，所以把它叫做零基础通关讲义啊，这是我们的第一个材料啊，大家手里拿到的这个小册子，那么这是第一个，第二一个呢就是我们的高等数学分册， 高数分册，然后呢我们就开始讲这个高等数学 啊，因为零基础讲完之后，那么大家就完全具备了开始学习高等数学考研的高等数学的内容的能力了，那我们就一点一点的开始学习， 那么在整个高等数学学完之后，那么大家再拿起第三本书，也就是那个，哎，一元积分学的一元函数，呃，积分学 通关讲义， 那么这个一元函数积分学通关讲义呢？它一共分成了七组， 那么七组训练题，我个人的建议，那么大家在整个高等数学学完之后呢，去做这个工作 啊，当然有的同学呢，愿意在高等数学啊，学到一元积分学这块的时候呢，那么就拿出专门的一段时间去好好做一做这个一元积分学的七组训练题。 这个也可以，但是从进度上来说的话呢，你要中间要专门拿出一块时间来练啊，这个还是要花一定时间的啊，因为我告诉大家是这个内容，实际上就是， 呃，我在小册子里面写的是核心计算的通关讲义啊，那我们可以认为这个一元函数积分学啊，那实际上就是一个核心计算 啊，是一个核心计算的这个通关讲义，那确实如此，就整个的你考研里头最难算的东西是吧，区分度最高的当然就是这个一元函数积分学的计算了 啊，所以呢，我们今年是新增加了这么一块啊，新增加这一块呢，那么我想建议大家就是等这个高等数学全部在学完之后呢，那么专门我们啊拿出一块时间来学 啊，也可以啊，那么穿插在这个高等数学分册里面啊，当你学到一元函数积分学之后，那么你学完了一元一元积分学，那么你可以做这个核心讲义核心计算的这个同款讲义 啊，那么这是我们的第三本册子，那么上面呢，我们就等于把高等数学呢就全部说完了， 那么你把这个高等数学就把这三个册子都做完学完啊，搞懂吃透，实际上你就达到了 啊，传统意义上来讲的基础跟强化的所有内容。你再换句话说，你学完这三个时间可以上考场了 啊，但是呢，我的意思大家不能这样就上考场啊，当然，因为什么，因为我们可能要奔着更高的目标去走， 所以在基础三讲的高数学完之后啊，就是高等数学啊，那么你经过学完之后呢，我们就可以进入，那当然是我们以后的事情了，是吧？啊，那么最后后面呢，就进入高等数学十八讲，那么就是那个专门讲解题的 是吧？这知识呢，我们在这块学如何解析呢？我们放到高等数学十八讲里去讲啊，好，这是我们说的高数这块。然后第四本册子就是限行代数的分册， 新型代数的分册，新型代数分册，这样也包含两个内容了，一个呢就是零基础讲义，这个零基础讲义呢，由于新型代数相对比较少一些，我们就把零基础讲义呢跟新型代数分册就合在一起了啊，合成一本册子， 那么到这为止呢？呃，到这新一代数结束了，新一代数结束呢，数学二的同学就结束了，那数学二呢？只考这四个册子啊。然后呢，还有一个就是第五个册子，就是该理论与数据统计， 该理论与数据统计的 这个分册，那么这块呢，就是数学一和数学三要学的啊。呃，那么这个概率论与数学统计，它的零基础呢？就是第一讲， 因为整个的概率统计的这个教学的这个体系的安排啊，它就给了大家一个第一章，或者叫第一讲， 叫随机事件与概率。那么随机事件与概率，严格来说他并不属于大学的概率论里面的基本知识啊，因为大学的概率论实际上是要以随机变量作为研究对象的，而第一讲里头没有涉及到他的研究对象，所以呢，其实他是个零基础， 所以我们概率统计的零基础跟专业的内容呢，也是合在一起的啊，所以大家要注意啊，就是高等数学有个零基础，因为太重要啊，而且相对内容来讲也不少，所以要单独拿出一块来，但现代数也有零基础，概率统计也有零基础 啊，注意啊，都有这个，相当于是预备知识的这种零基础啊，分别都在这个分册里头了。 那么这样呢，我们这个整个二零二七的考研数学的基础上来讲，那么就是五块内容啊，就是这么多，这块是数学二不考的啊，数学二只有前面的四个内容啊，四个册子，那么数学一三呢，就是五个册子。

一千题呢，预计是在十二月份的之后呢，来给大家拿到手里。我刚才说了，大家在基础阶段呢，我觉得你把三十讲一千题的 a 组题作为一个配套，这样会更准确一些，他的配合的完整度更好一些，但是不用太着急，你听一段时间之后呢，一千题就来了。一千题主要是等什么 呢？这个我一千题主要是我要等一下目前最新的一些研究的试题，我需要把最新的研究的试题呢放到这个新版的一千题里去，所以一千题呢，预计是在十二月份的 来给大家拿到手里。所以你不要太着急。因为什么呢？因为基础三十讲的课后题题有的，我刚才专门介绍这一点，那么我们三十讲后面是有这个课后题的，你先做这个课后题就够了，不必要着急。

头疼，关于这个宇哥在超时速及其在极限当中的应用啊， 他其实就是有两个方面吧。两个方面，第一个方面是 一些定义，一些性质方面的应用，可以辅助你去理解啊。还有方面就是这个极限运算运算方面的应用， 那么我只推荐你用超时速的概念去理解解释 极限当中一些定义和性质，至于这个运算呢，就不推荐了， 因为什么呢？因为你看你如果看过他后面的这个关于这个极限运算的这个规则的解释啊，相当复杂， 对吧？其实，呃，没有必要，极限运算就相当于是一个工具， 这个超时速在极限运算当中应用就是这个工具的工作原理。呃，我们其实只需要做到怎么使用好这个工具就可以了，至于这个工具怎么去工作的，这个工具的工作原理 你能理解固然好，但如果你像我一样理解的不够深，其实这一部分可以放弃。知道我我也是看完这一部分的内容，听完课之后还是， 呃，稀里糊涂的很乱，所以我这部分就直接放弃了，对吧？这里我总结了极限计算的题型和方法， 大家自行截取。我做一个简单的说明啊，我们知道考研计算极限考察的就是三个方面，化解、选择方法以及如何正确使用这些方法 啊。我们的做题思路也是按照这个顺序来的，化解的目标是把原本的式子化解到我们熟悉的形式上去， 比如说重要极限常见的等价无穷小啊，泰勒展开等等。那么我们选择计算方法就是判断我们化解后的式子是哪一种？未定式 以及我们化解后的事在形势上更接近哪一种方法，对吧？最后是每种计算方法的使用。呃，我们需要去注意 洛必达的使用条件，以及呃，求导后这个极限是否存在，还有一些泰勒展开的方式啊，还有这个等价无穷小的使用。 虽然宇哥讲的超时速可以很好的解释极限计算过程，避免我们乱用等家务熊小， 但如果你像我一样实在听不懂，就记住对事的化解一定要到位，不要想当然的去使用等家务熊小， 尤其是对式子当中的一小部分直接使用，这样等式的前后大概率是不成立的。 接下来我会更新一些我遇到的极限计算的题目，去覆盖上面总结的题型和方法。 觉得我总结的不错的，点点赞，感谢你的支持！

想必二七考研的同学们已经开始学数学了，肯定在犹豫我到底跟谁？我概率论跟谁？现代跟谁？高速又跟谁？数一数二数三又跟谁？所以这期视频给大家详细讲解二七考研数学老师的推荐是主流版本的，大家可以放心观看。然后这期视频肯定是没有任何广告的，我敢保证， 而且可能会得罪部分老师，但我一定是全网最良心的老师，推荐的这个视频我不会去讲任何的不公道的话。而且考研不是追星，只有适合自己的老师才最重要的，千万不要盲目跟风。 首先说在前面的话就是大家一定要把这个初高中的复习经验给忘掉，我想必我的粉丝可能很多都是普高，可能学校从来没有过九八五的学生，可能学校从建校到现在一百来年都没有出过一个九八五的学生，你然后就考上了一个二三本，然后就不敢幻想自己能考上九八五， 然后依旧延续高中那套死读书的方法啊，就只跟一个老师啊，这老师说啥是啥，也不会去观看其他的复习资料。 所以说没有最好的老师，只有最适合自己的老师，而且一定要功利性的选择，你不要管这个老师他有没有人，看这老师跟的人多不多，你应该是看他能不能帮你提分，能不能帮你提分。 因为很多经验帖都是一些广告的，这个，呃，推广以及广告，甚至很多素人啊，很多那些高分上的学长学姐，他们也是收的钱，发那种经验帖来推荐这个老师，推荐那个老师，因为他们可以收到米， 所以说你要找到是最适合你的老师，不要盲目跟风，不要说这个人考的高分，哎，他跟着这个老师考出高分，那我就跟这个老师。 然后第三个千万不要听耐听完，千万不要天天听课，一定是做题加推导加复盘加总结加听课才得有上岸，然后效率一定是大于一切的，但是也一定要花时间，对吧？我们是二三本，我们是双飞，你想考一个九八五，对吧？你从一个双飞考到一个九八五， 你从南年的这个三月份开始，我觉得是不够的，南年三月份你复习六到七个月，想考一个九八五还是比较难的。所以说 尽管效率很重要，但是如果说你再花了一年的时间一直高效率，那可能会更加好，可能你就考上九八五，或者是考上清北了。然后基础差的学生，我建议不要去学那些一百四、一百五的高分学生的经验，因为那真的是需要天赋的，不是一般人能考出来的。 第六个考不上的学生的特点肯定是公共的，有的小众哥对吧？就是总是喜欢去跟那些小众老师啊，觉得大家都没跟自己跟了，他就一定能考个一百四啊，或者考个一百五 啊。可能说有的人你是九八五二幺，说本科的还好，你如果是一个二本三本的，我建议你千万不要去跟一个小众哥，不要打小众哥对吧？你基础语文就不好，你就跟这些主流老师，对吧？跟这些主流老师肯定是没问题的，他们讲了那么多年课，为什么还能再讲？就是他们讲的是肯定是有他们的优处，有他们的好处 才能一直讲。然后千万不要红黑笔，就是一张一只红笔一只黑笔，给自己改改题目改答案就是千万不要打模拟题， 千万不要总是在网上面去发你的那个成绩，你没考上之前啊，不要发，没考上之前还有不要盲目的比进度，但是也一定要有自己的进度，你不能说，我说了你不能说，你想考个几百五，来年三月份才开始对吧？肯定是不够的，但是你不要盲目比进度，也不要跟别人攀比， 你得有自己的目标，也不是每个人都要考几百五，对吧？你考个二幺其实也够了，然后可能有的人考个双分也够了，也不要盲目的去攀比， 然后千万不要自认为自己是天府格，考研数学也很难也很难也难啊，没你想那么简单，千万不要自认为自己的天府格啊，一百三一百四随便考，其实没那么容易，考普通人的话，一百二到一百三就是他的天文班了啊，一个普通人， 但是一百二一百三，他考绝大部分的九百五完全够了啊，因为大部分的九百五的平均分也就是一百二一百三。 然后我直接开始讲正题，第一个五神，五神的话，数二的话强烈建议跟这个没什么好说的，他的干货非常多，而且基本上是不会讲废话的啊，技巧也非常多，五神的课堂是不会跟你讲任何废话的。像这个二重积分，这个旋转体面积这块，他自己创的公式讲的非常的好，对韩式这块也讲的非常好，很多老师他虽然 都知道他讲的好，但他不能去抄他的，因为抄他就抄袭了嘛。所以我不管你学什么，我都建议在二重函数这块去听一下他这个东西啊，去学下这个方法， 然后课上的例题讲的非常透彻，会讲很多种方法，针对应试的方法，他只针对考研应试，不会讲那些废话，然后他也不会讲一些普通人难以理解的概念和一些邪修的门学问。这个章鱼老师确实讲的比较多，但你说他没用呢？确实有用，对吧？书一的话很有用，有的难题，因为书一你根本做不完，内容太多了， 有时候你就得需要一些这种邪修的门学问，但书到没必要，书到题目少啊，内容少，而且没那么难，你就没必要搞这种东西 啊。然后普通话很标准，而且版式也非常漂亮，听起来很让人能接受。而且强化课程真的是神中神，武神的基础课确实差了一点，强化课程非常精华，所以很多人为什么跟了武神，他觉得武神不行，所以他没有听到强化课基础课确实讲的少啊，这个没什么好说的，你他的教材也非常的薄， 然后缺的就是他的一节课，时间确实很长，两到三个小时，可能很多人听不下去，对吧。啊，我听听两到三个小时的课，我还得刷题，可能一天就只学个数学了，而且提供的情绪确实比较少，段子比较少啊，容易让人听不进去，因为他其实有点像大学老师。我说因为确实就是大学教授吧，他可能不会给你去讲那些段子， 他可能更主要的是讲课，可能有的学生他这个听不下去，这个很正常，听不下去他其实可以适当的换个老师，因为你别听着听着睡着了，千万不要听着听着睡着了 啊，别听着听着睡着了。然后基础课程确实比较薄重，听完之后刷题什么都会，刷六零很多人不会。我当初听完他的基础课刷六零的话，十个题顶多做出一两个。真的不会做啊，我都没听懂公式没备注。 而且书一部分确实武神的书一部分很多东西没讲啊，而且确实比较欠缺。这个的话也没什么好说的，他现在基本上都在书一部分，没有花很多时间了。而且教材更新是比较少的 啊，他这个教材你可以随便拿个二三二四二五，他这个教材相对来说更新比较少，他是真的，他说相对于张宇吧，因为其他老师的教材更新也没那么多，因为考研的知识点是不变的，就张宇老师创新非常多。我是相对来说啊，你像其他老师更新的也比较少。 然后第二个啊，第二个这里写错了这里写错了，这里是章鱼老师。 章鱼老师他数一跟数三可以无脑根的啊，他真的是讲课非常通俗易懂，而且段子频出，而且真的是精神干部。我觉得每一个考研的话都可以去看看章鱼老师这种切片或者看他视频， 真的你看完之后考研其实纯出了学，还需要这种精神怠慢，所以考研你考到后面的话，学了那么久，你很容易学不下去的，就是你没有这个东西支持你。但像章鱼老师讲的很多话都很让人激动，特别是讲的那种 我们顶峰相见，我们希望你换个身份，换个延伸的身份，其实这种话很激励人的，所以我建议每个人去看一看， 而且像我，我的现在也是跟着章鱼老师，我后期是跟着章鱼老师，后面他我越学越起劲。 然后张宇老师非常重视这公式推导，他重视去底层去理解，不是死记硬背，他每公式都给你推推导，我觉得是最重要的，你数学一下考高分一定要去推公式，不能死记硬背，不然的话你真的学不会。而且单课时时间比较短，课程很精简很精简，而且面面俱到， 而且配套的讲义，他就相当于百科全书，每年都在更新创新。张宇老师真的是一直在教研第一线，他这么大的流量，他还是不去做营销 啊，还是不去线下去拉拉人，对吧？他一直在那里钻研他的教教材，这也是令我佩服的一个点，而且他也会自创很多黑科技公式啊，但是他确实只能使用部分题型了，他自己会创一些公式，你像那个简典型的点火公式对吧？你说没用的其实很有用，你说有用的其实确实考的比较少 啊，缺点就是呢，呃，强化阶段确实容易作妖，但这也不是缺点吧，我觉得，呃，这是创新嘛，但是我觉得对于这种基础差的人就是有点缺点的，对吧？你基础差的话，我觉得没必要去试啊，就比如说二五年的张八啊，你如果生活太顺，你可以做二五年张八， 你看你这真的是毁了你的考研梦。我那时候做张八我就三四十分啊，三十到四十分我做都做不下去的。跟你你你你真的生活不是你会做到。张八你看有多难，完全没必要，不可能出那么难的。还有他那个强化十八讲 那么厚，强化阶段六，那到时候七到八月份呢？就只有三到四个月就考研了，三到四个月考研了，你根本学不完的，你根本学不完， 那你跟的是章鱼老师，你强化就只能跟他，那时候你就很难受，你要学学不完啊，那时候很多人就去年被骂惨了吧，现在今年就没这么离谱了对吧？还有现代部分强化的话基本上不讲基础，直接上来就是公式，根本听不懂，听不懂就讲啥， 但是章鱼老师一直一直在改，一直在创新，就是像这种话我觉得没必要，可能说你考一百四一百五有用，你考个一百二一百一十分，我觉得你听这种东西就浪费时间了，哪听的完啊，你真的是变成耐听完了啊。 然后还有部分人，但是部分人觉得上课讲段子他讲故事浪费时间，他因人而异的，我觉得这个是挺有意义的，对吧？这是给你一种激励， 还有有些立体的结论。确实对于只考一百一百三的人没什么必要啊，有东西确实比较难，但是也不是说基础差的人不能跟张宇老师，张宇老师基础课也讲的非常精华，而且今年还有零基础课。还有零基础就是你这是高考考个二三十名天的课，他有个零基础专门针对高中数学的那种相关知识 啊。所以张宇老师我觉得数一数三是无脑跟的，还有这个周一周亚星老师，周一星老师的话，很多数三的人都是跟他，特别是这个三九六，三九六的一个经济联考，基本都是跟他，因为他有个专门的课，这个他很多人也知道，然后他的基础确实讲的非常扎实，特别适合接触不好的同学。但是他的课程非常多啊， 内容太多了，内容太多了，因为就他讲的太基础了，内容太多了啊，书一的话，书二的话我不太建议去跟的，而且他是年轻老师，他能够从学生的角度去思考问题，这是为什么很多人去推他的原因。而且情绪价值也给的非常足啊，也给的非常足，像他这个名称哥哥对吧？以及 缺点就是想拿高分确实比较欠缺，比较适合一百一十分左右的学生，而且他的教材配套体系，因为他没做那么多年吗？才开始做这个老师没做多久，确实相对于张宇老师跟吴忠祥老师的话相对差了一点啊。然后这个汤家凤老师，汤家凤老师的话这个 题型就相对来说比较难，比较简单的啊，很典型，非常的基础。像这个一千八百题，这个是一个基础中的基础吧，如果说你数学真的很差，可以做到一千八百题，你数学其实高考有九十分都没必要去做这个题型题的，这个题目太简单了，相当于在这里就是练一加一等于二这种感觉 啊。但是我没有说他难的地方不难啊，他是有基础部分也有难部分，每个题型测都是这样子的。我没有说题目不难，你要我做我也做不出来好吧，但是基基基础部分确实太基础了。然后当时他的一个宗旨你讲的非常好，可以去听一下，观看的非常好， 而且他也有很多年积累，就是考研题型行业方面讲的很透彻，也是背的背的背的行，而且他也很会提供情下子，对吧？他去骂人的话，骂的你挺爽的，骂完之后你肯定挺想学的，但是缺点就是口音确实比较严重，很多人可能接受不了。 然后这个讲套路，但是他也不讲原因，而且不重视公司的推导，而且这个配套书记确实是有点跟不上时代了，没怎么更新，像一千八百的基本没怎么更新，而且营销太多了，他基本上总是会去线下的吧，湖南的学生肯定知道每个学校都会来，他每年都会来推销，让你去干嘛？卖这个线下的课对吧？没有那么多时间去调研了， 我觉得相对来说，呃，大家可以理性的参考。好吧。然后这个像其他这些老师，像李林老师的话，这个不用多说了，你就像现在不跟他，到时候你一定会刷到八八零的。还有这个李六李四两套模拟卷出的非常的经典，而且他可能压重题啊，你像今年的话，很多人说二六考研他可能就会压重题了， 很多人在说这个事情吗？真的好像之前压中过一次吗？还有永乐大帝，他真的是现在有点玩，但是确实现在的话有点退休了，基本不干了，但是也是最尊重一只老师的，根本基本不干了，所以现在其实没有跟的必要了，像现代的话，其实可以去跟这个江小青老师，他也想的非常好，如果说你不跟张宇， 如果说你没跟张宇，现在的话就是首推蒋小千嘛，然后这概率的话也是一样的，你没跟张宇的话就首推这个方浩嘛，这两个老师讲的也挺技术挺好的，差不多讲这里，然后大家有问题可以继续问，关注熊三，带你从双飞一战上九八五二幺。

基础三十讲学完了，考场可以直接上的。二六版的基础三十讲实际上总的销量到现在应该超过一百万册。基础三十讲你们学长学姐都听说过是吧？大家这个很信任我呢，责任也很大。那么这个从学习的角度来讲呢，我把基础三十讲给大家做了一个 非常完整、比较完善的这么一个教材，把所有的考试内容全部放在一个三十讲里面了。这个三十讲前面挂了个词叫基础三十讲，但是我基本上我是不太讲基础这两个字的，因为三十讲就包括了所有的学习内容，它代表的实际上是传统的基础课，或者 叫基础阶段和强化阶段，基础和强化实际上都在里头，它并不是说只是基础阶段去学的内容。所以很多同学呢，把基础三十讲学完了， 上考场可以直接上的，这个是没有问题的，因为基础三讲无论从内容的完整性还是从题目的难度上来讲，实际上是达到考试要求，完全达到考试要求。

各位同学大家好，今天想和大家聊聊张宇三十讲二七版和二六版的选择问题，以及更核心的怎么学才能真正吃透。三十讲会做题，最近后台好多人问我，二七版三十讲改动大内容上了不少，到底该选新版还是旧版？我特别理解这种焦虑，生怕选错教材落了重点，影 响备考。那我先给大家吃喝定心丸。三十讲的核心知识点，两个版本都覆盖到了。二七版的改动主要在拓展内容难度偏高的例题上，向二阶讲述辨析法、分段估值问题。这类炫技式内容要么删掉，要么归为选学，繁杂的公式、花样图形和二级结论也精简了一大半。说实话，这次删减对大多数人是好事。 去年知透三十讲的难度是九分，今年直接降到五比六分，学习时长也缩短了，备考压力小了很多。但比版本选择更重要的是，不管用哪个版本，你学完之后能独立做出题吗？我去年备考时就踩过坑，三十讲看完觉得知识点都懂了，结果一做一千题，十题只能对四题。 后来发现，这不是我一个人的问题，而是很多同学都会遇到的普遍困境。所以，今天我不止想聊版本选择，更想和大家分享怎么把三师长真正学到手，避免看完了但不会做题。先说说新版三师长到底删了什么核心结论是，删的是难题，超纲内容、核心考点全保留。我对比过新旧版本，去年非考研重点的边角知识点都被删减了，这些内容真题里出现频率低，删掉反而减轻记忆负担。而且二七版回归了二四版的风格 框架经验内容集中，对考研重点的针对性比二六版强很多。之所以做这些删减，是因为去年很多同学反馈，三十讲啃不动，暑假复习不完。二六版信息量太大，大家光看没巩固，知识点根本留不下。关于版本选择的建议很明确， 基础一般的同学直接用新版，内容精简，重点突出，不会陷入看不完的焦虑。二战的同学有旧版也能用，但一定要对照新版删减的专题，把性价比极低的内容剔除后再学。剔除后其实就是新版的加强版，例题更多，深度更高。但我必须提醒大家，别像我当初一样，在版本选择上浪费好几天，真正的问题从来不是版本，而是学完会不会做题。我 当初看完极限部分，觉得七大未定是等价无穷，小都懂了，结果在智能型刷对应专题时，连遇几道泰勒展开的辨识题都做错了，才发现自己对泰勒展开的应用条件、展开接触的判断完全模糊。书上例题看懂了， 只是因为老师帮我选好了方法，我只是被动跟着走。后来我跟着智能型的引导死磕三天，从基础展开到代参数、复合、函数、线套的题型逐个突破，才真正吃透这个知识点。所以纠结版本的同学，不如先测测自己的实际水平，可能问题根本不在版本上。接下来聊聊核心问题，为什么三十讲看完了还是不会做题？这 是我去年最困惑的事，也是很多同学的通病。看老师解析轻松，自己上手就没思路，听完课做题正确率还在百分之五十以下。我当时看完三十讲，做完课后题，一刷一千题，基础篇正确率只有百分之四十，还自我安慰着已经不错了。后来才想明白，不是听完课就进入强化阶段了。强化阶段的核心目标是提高解析能力， 不是看完课。之所以会出现看完不会做，核心原因有两个，第一，知识点没真正内化，看视频时觉得都懂，过段时间就忘，做题时根本想不起来本知识，只有知识输入，听课没有有效输出，独立解析没形成肌肉记忆。第二，缺乏针对性训练，习题侧按章节编排， 我们根本不知道自己哪个知识点不弱，花大量时间做已经会的题，真正的漏洞却一直没发现。我自己就有过深刻经历，我以为导数学的不错，结果在智能型综测中连续做错。以函数求导的题，从一阶到二阶，再到代参数的变式题，接连出错后才发现这个知识点我根本没掌握。 后来系统一直推送这类题型，我死磕三天后突然开窍，理顺的法则、应用条件和计算逻辑，更关键的是智能型能帮我抗遗忘。今天做对的题，过几天在我快要忘记时会重新推送，反复巩固后，知识点就真的刻进脑子里了，不会再出现学后面往前面的拉扯感。所以学习效果好不好，关键看知识点能不能留下来， 无效的重复指挥浪费时间。那基础阶段到底该怎么学？首先目标要清晰，不是看完课，而是打牢基础。我的判断标准是，一千题基础篇一刷正确率达到百分之八十以上，达不到就说明基础有漏洞，后续强化会很吃力。关于看课，我的建议是一定要提前预习， 课前一晚翻五至八页讲义不用身钻，只要了解大致题型和不懂的概念，第二天带着问题听课，效率远比被动接受高。关于做题，核心是学练结合，光学不练等于白学。刷题是巩固知识点的关键，尤其是独立做出的题，巩固效果最好。但大家都面临一个问题，市面上的习题测题量太大，一千题八八零、六六零，每本都上千道题根本做不完，还分不清哪些题该重点做。我当时也纠结，后来发现智能型的 ai 猜你会不会功能特别好用，它能预测我对习题测题目的掌握概率。预测能做对的题，我扫一眼，有思路就跳过，节省时间。预测可能做错的题，我就认真做重点列。这样筛选后，我做八八零的时间从一个月缩短到两周，错题更集中，问题也暴露的更明显。等 我再智能型，把相关专题刷到等级三后，再做一千题强化篇，正确率稳定在百分之八十五左右，这时候才真正觉得基础打牢了。还有个关键点是知识点覆盖。考研真题可能考任何知识点，包括所谓的冷门内容，比如二四年数一的数，二五年数一的薄松定律，很 多人觉得这些是老师没重点讲的，不会考，结果吃了大亏。而我因为在智能型上练过柏松定律的题，虽然当时怀疑过考察概率，但还是老老实实掌握了，最后二五年真题真的考到了。要知道，一千题八八零之覆盖百分之八十五的知识点，六六零更是只有百分之七十五。只有系统的全面训练，才 能避免遗漏考点，那些看似冷门的内容，该练还是得练。最后给纠结版本的同学几点终极建议，版本上基础一般选二七版，二占有二六版的可以用，但要剔除超纲内容。学习方法上记住，不是听强化课就是强化阶段，强化的核心是会做题。一千题基础篇正确率不到百分之八十，就先踏实打基础。行动建议是，学完必须巩固，不能光听不练，重视独立刷题，自己做出来的题才是真掌握，立刻行动，别 总等着准备好再开始。其实版本选择真的没那么重要，学习的核心是抓牢不落点，别在习题特里浑浑噩噩混过去，用什么教材跟哪个老师，这些都是形式。 真正决定分数的是你学到的东西能不能留下来，能不能灵活用。我们追求的理想状态是，知识点学的透，一步到位，没有遗漏，不用反复减遗忘的内容。面对综测的新题，能主动调动知识点，形成思路，独立做出来，并且越用越熟练，新题自己做出来，这才是我们备考的终极目标。最后想对大家说，不要被版本选择的焦虑困住，把精力放在真正能提分的事上，踏实学，认真练，相信自己，你们一定可以的！

我觉得第一遍听不懂的话呢，做好标记，然后在基础复习阶段呢，就不要太多的往后走，你应该停下来再去听第二遍。然后这个问题一定要需要解决的，无论是通过自己的思考去解决它，还是通过询问同学啊、老师啊各种方式去解决它， 我们必须再把它解决之后再往下走，尤其是最开始的这个基础阶段，如果有这个，就好像有些这个漏洞啊，或者千疮百孔啊，你往下走的话就是越来越困难，所以第一遍听不懂的，一定要想想办法把它解决掉，而绝对不能盘浑的过去了， 谈婚的过去了，到后面这个问题积累的越来越多，那这个是肯定是不行的，不能把问题遗留了，去看后面的啊，一定要解决了这个问题再去看后面的。

下面我们就从第一个开始讲起，我们先看一基本逻辑， 好，基本逻辑里面的第一个内容就是常见命题和它的形式，第一个，第一个呢，我们称这个叫做全称命题，全称命题呢，它的结构是这样的， 一、全称命题，它的结构是就是任给 x 均有 a 成立，你看这个是不是很简单啊， 走吧啊，我们举个例子吧，比如说任给 x 属于尔，这个任给啊，这个符号大家实际上认识，就当草稿纸在这写了啊，任给的这个符号呢，他实际上是把这个大写的 a 啊，把它倒过来，看到没有啊？就 a 呢，把它倒着写 啊，那么 a 是 什么呢？就是 arbitrary， arbitrary， 这个是英文单词任意的意思啊，叫任意的， 或者叫武断的啊，这个是大家呃，这个比较熟悉的这么一个英文单词， 这是一个这个 ad 街是吧？嗯，这是一个，呃，这个任意的手段啊，是吧？啊，武断的想法呀，武断的决定啊，等等 形容词的这么一个，呃，地位是吧？ ad 街是不是 ad 街是吧？ 啊，那么我们现在取它的第一个意思，任意的，任意的，那你把这个 a 给它倒过来写，所以就任给 x 啊，好，如果任给 x 属于 r， 这个 r 呢？大家这样知道，这个是实数啊，实数级啊，这个 r 呢？黑写的这个黑体的字呢？这个是印刷体啊，那么我们其实这样写任给 x 注意什么呢？那大家有两种写法，你不要写黑体字啊，要把它涂黑了，这个没必要啊，那么你就普通的写，你就这样写就可以了。任给 x 属于 r， 这个 r 呢，就是，呃，实数级，但还有个更好的写法，那就是任给 x 属于 这样的写，那就体现出来你更专业的这个啊哈，表达了啊，就这个，你就加两个数是吧？哎，两数写个 r 啊，就像好像有重影是吧， 这样的话呢，这个就是实数级啊。啊，都可以啊，一般大家写这个就行了， 任意 x 属于实数级，大家注意啊，均有什么成立呢？这个 a 呢？是一个判断，这个或者叫一个命题，那么这个判断或者命题就是什么什么东西成立呢？就是 x 的 平方一定是大于等于零的成立，那么这个就是一个叫全称命题啊，全称命题 啊，这是一好，下面看注。那么一个命题的否定命题，那我们对于全称命题来讲，我们讲它的否定命题是什么呢？那就是看好了啊，这就是任给改存在。 我们现在介绍这个符号，这个 e 呢？这个这个是这样，是这个大写的 e 翻过来写，那看到意思了啊，你这个呢是上下颠倒， 哈哈，这个呢是左右颠倒，所以蛮有意思的，你还可以理解是什么呢？就是这个任给啊，和这个 a 啊，这个和这个 a 呢？它实际上相当于是上下对称， 是吧？上下对称的，那这个 e 跟这个这个存在呢？跟这个 e 呢？那是左右对称，对吧？那左右对称，哈哈，这个是这样的，那这个 e 呢？这样就 exist 啊，你写名词也行啊， existence 是 吧？啊，好，那么这个存在呢，我就不再写了啊，这个是存在的意思， 存在的意思，那取其首字母，把它左右对称也写成这个符号，这个叫存在啊，所以我们讲全称命题的否定命题，是说任给改成存在， 然后 a 改成 a 八，大家请注意啊， a 改 a 八，那么因为这个任给 x 属于 r， 那 么我们均有 x 方大于等于零成立，这就是那个 a， 对 吧？那么你现在任给改存，任给改存在，存在 x 属于 r， 那 么使得什么呢？使得 就是 a 八乘以 a 八是它对的事件，对的事件就是 x 方是不是小于零乘以。 大家告诉我这句话是真的还是假的？就是这句话对还是不对啊？大家知道，任何实数的平方，你不是从实数里取吗？存在 x 属于 r， 使得一个实数的平方小于零，那么这个是不可能的， 是吧？啊，我们是实数域啊，实数域的平，一个实数的平方一定是大的啊。所以原命题是真命题，那么他的否定命题就是假命题， 这就是假命题啊，假命题。好，这是我们说的第一个啊，叫全称命题。第二个 特称命题啊，我们看第二个叫特称命题。特称命题是什么意思呢？就是他刚刚写的是存在 x 使得 a 成立，大家像这样也可以对应起来去理解了。哦，这个全称啊，全称的全，就意味着是认给，认给吗？这不就是全面的意思吗？啊，你所有情况我都给你放在里头了，任意的 x， 是吧？就是你比如说任意 x 属于 r， 那 就意味着全部的 r 我 都搁这里头， 这个情况都搁这里头了，那不就是全称吗？全称命题就是全部都满足的，是吧？合成命题呢？特殊的，你看存在 x 存在的意思大家知道，就是至少有一个， 是吧？至少有一个，那么这不是特殊性吗？啊？我我我没说全部啊，我说至少有一个叫存在，存在 x 使得 a 成立好，譬如说存在 x 属于 r， 使得 x 平方大一点零， 大家请注意啊，这句话对不对啊？那这句话对不对呢？我们有两个检验方法，第一个就是凭你的知识去判断， 那大家想想看，存在不存在实数，使得实数的平方大于点零，当然存在，你比如你举个例子，你比如说一啊，你举一个数一，一呢是实数，那么一的平方是一，一是大于点零的。 举一个实数零，零是实数，零的平方是大于等于零。你取一个 x 等于负一，负一是实数负一的平方一大于等于零，因为大于零或等于零， 你就举一个例子，他这样是这个是命题是成立的啊，所以就你可以根据自己的既定的知识去判断，还一个判断方法，那就是用他的很好否定命题。 我们刚才讲了啊，命题和他的否定命题就真假来讲的话呢，那么当然你真我就假，否定命题那就假了，如果否定命题是真的，原命题就是假的 啊。所以呢，我们就要看的话，你就看他的否定命题了。否定命题道理很简单，存在改任意看到没有，然后使得的 a 改成均有 a 八成立 啊，均有 a 八成立。嗯，那么其实大家看得很清楚，我们的这个全称命题的否定命题，其实就是一个全称命题， 对吧？那么我们来看看他的这句话的否定命题。这个全真命题是什么呢？就是任给 x 属于 r 均有 x 方小于零，是吧？大家 啊，你 x 方大一点零是 a 吗？你 a 八不就是 x 方小于零吗？那大家告诉我，这是真还是假？这肯定是假的，任给 x 属于 r， x 方均有，它是小于零的，这显然是个假命题，所以原命题是真命题 啊，原命题，真命题。好，这是我们说到的第二种命题，两种了啊，一个是全称命题，脑子里要想到啊，哦，是认给 x， 那 么均有 a 成立，那么特称命题是存在 x， 使得 a 成立， 而且他们俩呢？就是啊，互为何定命题啊？好，我们来看三运势命题， 我这已经画好了几个关键词了啊，我们来看一下运势命题，他是这样的，就是 a 啊，打个箭头到 b， 怎么念呢？就是若 a 则 b 啊， a 成立，内涵着 b 成立啊，更专业一点说，就是若 a 成立，则 b 成立，写在这啊，这个叫运势命题。 好，我们来看看它的否定命题，大家请注意啊，如果原命题是若 a 则 b， 那 么它的否定命题是什么呢？是 a 且 b 八， 所以这个不一样啊，跟前面的它不是什么存在，改任意，任意改存在，不是那个东西了啊。 运势命题的否定命题是这样的，这个原命题是若 a 则 b， 大家注意啊，这个逻将很简单，就是说，如果 a 成立，则 b 成立，那么它的否定命题是什么呢？你注意看这个啊，是 a 成立 的同时 b 不 成立，这个是他的否定命题。我们举个例子啊，举个例子大家就懂了，那么给出原命题啊，那么如果，如果 ab 不 等于零，你注意啊，我就说这个是 a 了 啊， ab 不 等于零，那么则我们可以推出什么呢？那个 b 这个命题，如果是这样的，它如果 b， 如果这个判断或者这个说法是这样的，就是说 a 不 等于零， 看好了啊，那么 a 是 不是蕴涵着 b？ 就是 说或者说若 a 成立，是不是 b 成立，那我们就看举个例子，如果 ab 不 等于零，是不是意味着 a 蕴涵着 a 不 等于零， 能听懂意思吧？哎，那么这个就是一个运势命题，那命题我们还没有给出结论，他是真还是假啊，但至少说我举了个例子，那么这个叫运势命题，那么这个命题的否定命题是什么呢？你注意啊，他的否定命题是这句话叫做 a a b 不 等于零，且 b 八是，那 b 是 a 不 等于零，那就且 a 等于零了。看到没有，这个式都是否定命题。 所以你看一句话，这句话对还是不对，我们就来了，你看它的否定命题，如果看不懂它，你就看否定命题，如果你看不懂 啊，你就看他的否定命题，那他俩互为何定命题嘛？对不对？哪个容易判断真假，你就先判断哪个。那大家告诉我， ab 不 等于零，那么意味着是 a 和 b 是 都不确定，所以你说且 a 等于零，这个显然是假命题 啊，那你记住，只要他假命题，他就一定是真命题，明白了吗？啊，这个是我们讲的运势命题， 但是运势命题跟前面两个啊，一个全称命题和呃，这个特称命题，那么还有不一样的地方呢？我们这里还有 逆否命题，这个有重要性了啊，这个又来了一个啊，逆否命题，这个是我们在未来考试当中啊，最为重要的一个情形啊。所谓逆否命题呢，是这样，就是如果 a 成立， 则 b 成立， a 蕴涵 b， 那 么它的逆否命题是，哎，我就写在这啊，是 b， 否则 a 否，它们俩是等价的。 那我的书给大家写了啊，这是两个等价的命题啊，这是两个等价命题。好，你比如说我举个例子说，呃，如果 ab 不 等于零，刚才说了啊，我们可以得到 a 不 等于零，对吧？哎，这就是刚才说的 a 蕴涵 b， 那 么同样的话呢，就是 b 否蕴涵 a 否。刚才说这俩是等价的，那就意味着接下来这句话应该这样写，就是 a 等于零，立即可以得到 ab 等于零，你看对吧？ 啊，那么 b 是 a 不 等于零嘛，所以 b 八就是 a 等于零啊，对吧？那么 a 是 不对零，那么 a 八就是前提的等于，所以这两句话呢，就是 这个结论，如果是真的，这个结论一定也是真的啊，这两个呢，就是等价的命题形式，这个叫做逆否命题啊，这个我们今后常用啊， 在有些选择题里头，你不要看，现在好像写的很简单啊，在未来，我们知道这个选择题有很多命题的角度上都有可能出现这种基本的梳理逻辑， 以后会给大家说到啊。说到第三一个啊，这里再讲一个这个否定命题的概念啊，有很多同学对这个否定命题和否命题啊， 搞不清楚啊，我这里说一下，这个字叫否定啊，这个没有这个定，这个字叫否定题。 否定题是什么呢？就是这里要注意啊，否定题只有运势命题才有啊啊，那么前面的全称命题和特称命题是没有否定题的啊， 否定题只有在运势命题当中才有的啊，这是我们在这个知识体系下啊，那你这个可以斩钉截铁的下这个结论的啊。只有在运势命题当中才会有否定题，那么我们这样说的， 如果 a 蕴涵着 b， 它的否定题是 a 否蕴涵着 b 否是这个， 那么大家知道，这个否定题无非就是在原来的 ab 上加俩杠。注意啊，你跟逆否定题啊。呃，你这个对比一下你，谁让你看得出来这个叫否定题，这个叫逆否定题。这个逆是什么呢？是把这个符号给他改了逆， 你懂吗？就是 a 推 b 嘛， b 八推 a 八，那么这个对的，这个是等价的，所以逆否命题跟原命题是等价的啊。但是如果没有逆之否了，那么就是 a 八推 b 八，那么这个是什么情况呢？我先举例子给大家看，你来看一看。 呃，运势命题和他的否命题是不是也一定是一真一假？我们来看看啊。呃，刚才这个话已经说过了啊。 呃，但是我加了一句话，否命题没什么意义啊，因为我把结论告诉你，原命题如果是真否命题可能真，也可能假 啊。比如说，我们举个例子， a b 不 等于零，则 a 等于 a 等于零，这是刚才说的 a 推 b， 是 吧？或者 a 蕴涵 b， 或者说若 a 成立，则 b 成立，那么这个当然是真命题喽啊，那么它的否定题，那就是 a 八 a 八就是，如果 a b 等于零，则 a 等于零， 那么这句话就是你想看啊，你就把它否了，把它否了，你就两都改等号了。那大家知道两个数乘起来等于零，并非 a 一定等于零，所以这个是假命题，对吧？因为 ab 乘起来等于零，不一定是 a 等于 b 等于零，也有可能 a 不 等于零是可能的， 明白吗？所以原命题这个运势命题是真的，它这个否定命题就是假的了。但是你再比如说，如果 a 则 b， 你 看好了啊，这个时候如果是 ab 不 等于零， 我们得到 a 不 等零，且 b 不 等零，那那这就是真命题了啊，是真命题。那么它的否定题是什么呢？就是 ab 不 等零，它的否定题是 ab 等零 推出，就是他去这个对的时间啊，他的否是什么？是 a 等零，注意这个且字改成什么，是不是改成或了，是不是或 b 点零，你看这句话也对吧啊，这句话也是对的啊，所以这个时候 a 推 b， 那 么 a 否推 b 否，这两个都是真命题，都是真命题啊，这也是对的。 所以我们讲否命题之所以他没有意义是什么？原因就在这了。对于有的命题来说啊，有的运势命题，那么他的否定题是对的啊，就是原命题为真，他的否定题也是真的。但对有的运势命题，原命题为真，他的否定题就是假的， 所以我们跟这句这个是得不出来啊，就是说原命题跟他的接下来否定题是没法出现，呃，你真我假，你假我真的， 这个定不下来，明白吗？大家没有确定性的结论，那么在这个基本的梳理逻辑上来讲的话呢，就是否定题就没有什么意义， 是吧？那么大家想想看，这个道理就是，我们当然希望有两句话，那么这句话我搞不清楚的话呢，我就看他的，哎，对了，看他的否定命题 啊，因为原命题和否定命题一定是呃，对，一定是。呃，你真我假的就是你其中有一个是真的，另外一个一定假，其中有一个假的，另外一个一定真。我们用容易判别的去推导那个不容易判别的，那么这个才有意义。 好吧，这个呢，我们给大家说到这，好，下面看四、多元命题， 这个我打了个星啊，建议大家也打个星，因为这个呢，是我们在考研数学里面呃，最开始就要碰到的基本概念， 因为什么你数列极限、函数极限，其实都是多元命题。我先介绍一下什么叫多元啊？前面讲的全称和特称命题，实际上就是一个一元啊，一元命题。你看我们这举例子啊，就任给 x， 任给 y， 从逻辑上来讲就是说不论给什么样的 x， 什么样的 y， 均有 a 成立。 哎，大家想想看，你如果把这个任给 y 去掉，那这个任给 x 均有 a 成立，这不就前面讲的什么全称命题吗？对的，对不对？你再比如说，我再举个例子啊，任给 x 存在， y 使得 a 成立，那么大家想想看，你要把这个任给 x 去掉，存在， y 使得 a 成立， 那你这个不就是前面讲的什么前面讲的特权命题了，是吧？啊？而你现在如果说增加了前面啊，就增加了不仅仅是一个任给或者是一个存在， 呃，出现了多个任给和存在，或者任给和存在的这个混搭， 明白是吧？那么这个时候呢，我们称之为多元命题。那么多元命题在哪里有呢？ 我们来看，比如说竖列极限的定义，这个我在书上写了一句话啊，以后会学到啊，我们后面学啊，这里头呢，大家先认识一下形式符号如何书写 啊，逻辑正确即可，所以我现在不要求你去理解这句话是什么意思，我们主要把它的形式符号啊，大家帮我掌握住，我给你解释一下是怎么样去表达啊？ 说 x 的 极限是 a， 它的充要条件，这个充要条件是定义了，是吧？我来写一下啊，所以这个你就不用管它了，这个以后我们会讲，是吧，那么现在我们就单纯的来看这个任意一次隆大于零， 大家看，任给一个是吧？存在大 n 大 于零，又来一个吧，使得任给 n 大 于大 n 均有 x， n 到 a 的 距离小于 ab， 那 么你现在不管它，我就写个推出符号，这个其实呢，这个是最保险的，你写个推出符号到底是均有还是使得，那么你是要得看呃，它的基本逻辑，所以你要如果看不出来的话呢， 你打个箭头，这总是对的，哈哈，就蕴涵着这样一个结论，是吧？那么大家看，这实际上就有三个吧，任给、存在，任给可以推出 x n 减 a 的 这个绝对值小于什么，那么这不就是那个 a 吗？ 对吧？哎，好了，你现在要想，呃，给出它的这个逆否命题， 大家请注意啊，逆否命题跟原命题是什么是等价的，对了，那么我出选择题了，如果 x 的 极限是 a， 那 么当然就这句话，我现在问你，如果 x n 的极限不是 a， 或者是 a 不是 x 的 极限，注意啊， a 不是 x 极限，这个叫 a， 是 x 的 极限，那么这个呢，你相当于是 a 跟 b 啊， 是吧？大家啊，这个是冲要条件啊，这个互为冲要条件，我们后面马上就会讲到冲要条件，那么它的否命题呢？当然就是 a 否 b 否互为创造条件，是吧？这个大家能理解的啊，因为你现在前面我讲的逆否呢，就是 a 推 a 蕴涵 b， 那 你逆否呢？就是 b 否蕴涵 a 否，但现在呢， b 也能推 a， 是 吧？所以呢， a 否也能推 b 否，所以这两个符号都是一样的。我再详细说一下吧。 这个逆否命题是这样啊，我们前面讲的是 a 蕴涵 b， 那 么它的逆否命题呢？是 b 否蕴涵 a 否 和它俩是等价的，是吧？那么现在如果 b 蕴涵 a， 那 么你要这个反过来就是 a 否蕴涵 b 否，对吧？大家，那么现在大家这两个都成立，是吧？ 都成立，因为你 a 推 b， b 推 a， 看到没有？如果都成立的话呢？底下是不也都成立？那底下都成立是不就 a 否 a 否可以推 b 否， b 否可以推 a 否？所以呢，就是 a 和 b 如果是互为充分条件，那么 a 否和 b 否也互为充分条件，这两个也是等价的， 好了吧啊，这两个也是等价的，那么选择题可以这样出啊，你如果出题的时候问我是 x n 的 极限是哎，就 a 是 x n 的 极限，或者 x n 极限是 a， 那 么它出货条件是有的。那我现在问你，如果 a 不是 x n 的 极限，什么结论啊？ 对吧？那这个必否会写吗？那这个必否可是必的否定命题啊，对不对？那这个否定命题你要会写了啊，大家看好了啊，这个其实写起来就是这样，任给改存在看好了啊，我这个换个颜色写吧。 任给改存在看好了啊，存在 a b c o 大 于零啊，那么存在改任给任给大 n 大 于零，任给改存在，看见没有？存在小 n 大 于大 n， 使得 均有改，使得我们打个箭头吧，那就是 x n 到 a 的 距离是大于等于 a b c、 o 的， 你看这句话就是必否 选择题啊，你选择题你要选这个是吧？我再说一遍啊，你这样这个很好理解，就是任给改存在， 存在改任给任给改存在，你现在能听懂了啊，就是多元命题的话，那你就把他前面写的他是任给你改存在，他是存在，你改任给， 明白了吗？然后这边是 a， 这边是 a 八就可以了，一般来说的话呢，你这是均有，我将这个应该写的使得，是吧？啊，你一般这样写，但是呢，你如果怕这个搞不清楚呢，你就多打箭头，这个也没问题， 是吧？啊，好了，这样呢，我们就把这个多元命题呢给大家介绍一下，这个我们后面要常用的啊。 哎，你这个从基本逻辑上如果把问题搞清楚了，有些选择题做起来就不会困难了。好，第二个问题，我们来讲常用思路， 那么如何用上我们上面讲的各种命题呢？ 那么按照这个解析的角度来说，我们做如下的分析，就这款内容呢，是更指的是我们今后解析的方法是在落实到我们具体问题当中去的。先给大家做一个简单介绍啊。 首先第一个叫做常规思路，这个 p 呢，我写的这个符号一般就叫做 procedure， 就 相当于是英文当中的讲程序，是吧，你解析的程序啊，所以一般写成 p， 常规思路呢，我就记成 p 一 了， 在常规思路里面呢，有这样几种子的标题，第一个叫做正向思路，就写成 p 一 一， 什么叫正向思路呢？那我们就从已知条件出发，按照所学过的基本方法和典范的思路，这个基本方法和典范思路更多的可以理解成就是我们的经典题型， 是吧？就有些有套路子的啊，这个路子呢，是比较啊，每一种题都是套这样的路子，一步、两步，三步这样写下去的。哎，那这种题当然是有的啊，那么进行下去，最终得到结果或者是结论， 那么这个点叫做正向的思路啊，那么你这样往下推呢？一般就是运势命题起作用了，比如说 a 往下推， b 就是 如果 a 成立，则 b 成立， 对吧？啊，那么继续接着推，那么如果 b 成立了，则 c 是 成立的，就是一步一步往下写了啊，这正向推，那么这里面呢，我们就要把一个概念说清楚了，在运势命题当中，如果 a 能推出 b， 如果 a 成立，则 b 成立，我们称 a 是 b 的 充分条件。 你注意啊，这个时候称 a 是 b 的 充分条件， 这是我们称啊，这是第一个，第二个。有时候呢，要分情况来证明，比如说啊，我们这个，比如说 x 的 取值，它 x 属于 r， 那么他是在整个时数级上去的，那么就有可能我们要怎么办呢？那么就有可能我们要分情况讨论。你，比方你要分 x 大 于零的时候，那么 a 怎么推出 b， x 小 一点零的时候， a 怎么推出 b 啊？这个要分有的是，很多时候要分情况讨论的， 这里就是你要 cover all the possibilities 啊，人家必须覆盖到所有的这个可能的情况啊，这一点呢，需要大家注意啊，确保证明的完整性。 呃，我们的零基础这个讲义啊，你不要看这个很薄这个小册子，实际上这里的都是精华的东西啊，你在未来啊，你这个要反复的去翻这些小册子。 所以数学的学习呢，他实际上是体现了一个人的这个思维的缜密，那思维的缜密呢？他实际上就是要求你要对这些经要的总结啊，要通过后面的例子反复的去总结，是反复的去思考，去使用 啊。第三一个，如果命题是错误的，那么你举一个反例就行了。大家知道啊，如果一个命题是错的，你就不可能实现说 a 推 b， b 推 c， 这样推下去之后，把这个结论证出来， 因为他不对，所以就没法这样正，那明白吧，没法这样往下推，所以这时候呢，你要举一个反例出来，就否定了这个结论，就这个结论是不成立的，这是我们遇到的最常见的一种考法。 第二个，反向思路，反向思路呢，我又打写了一个 p e 二、反向思路的意思是说，那么刚好从结论出发， 往前推是吧？那就是说，如果这边正向思路讲的是 a 往 b 推，是吧？这是条件，这是结论。 那你反过来说呢，那就是 b 推 a， 看到没有 b 推 a 啊，那么就是从结论出发，如果要得到这个 a， 只要什么成立就行了啊，根据你所学过的题型啊，基本方法，典范思路，那么只要 b 成立就行， 那么为了得到 b 啊，那么只要 c 成立就行，以此类推，直接一直到推理到已知条件，那么因为已知条件是成立的，那么则最终的 a 是 成立的啊，所以这个是倒着写的，是吧？倒着写的好。我们这时候知道，如果 b 推 a 啊，那么就是说 a， 这就叫做 b 的 必要条件。好了，这个是我们说的第二个啊， 如果 a 推 b 啊，就 a 成立，则 b 成立，那么 a 叫做 b 的 充分条件， 那么如果 b 推出 a， 我 们称 a 叫做 b 的 必要条件啊，这个大家搞清楚啊，这两个啊，这两个，那么对于同一个来说，大家这样可以把它啊替换过来说，就是，你现在看得出来，我这个呢，就是 b 推 a 了，是吧？那么箭头推出去的这个字母是充分条件，能听懂吗？你看 a 箭头推出去，那么 a 是 b 的 充分条件 啊，那么如果箭头指向的这个 b， 它叫必要条件，它是 a 的 必要条件，你看你这个箭头指向谁，谁就叫必要条件，看懂了吗？那么箭头从哪出来，那个叫做充分条件， 你这样就好记了。好吧，这是第二个反向思路，第三一个叫双向，那么双向思路呢？那当然就是说我从已知条件出发，那往下走， 这是 a 往 b 走，对吧？哎，往 b 走，那么你的结论是 c， 那 么 c 的 话呢？你就往前走，往前走 c， 比如说啊，比如说 d 吧， d 往前走，找到 c， 是吧？哎，尽量往上走，然后推导的过程当中，如果你衔接起来了，比如说 b 跟 c 是 互为冲量条件的，那么这个就通了，这个就通了，对吧？哎，就是，你这样说吧，如果 a 成立，则 b 成立， 是吧？那么 b 和 c 是 互为冲量条件的，所以 b 成立，只要 c 成立就行，故 d 成立，所以 a 就 推出了 d 了， 对吧？这个基本逻辑你搞清楚它就可以了啊。好，如果在这样一个情况下呢？我们如果出现这种符号，就是 a 成立，则 b 成立， 且 b 成立，则 a 成立啊。那么这两个 a 成立，则 b 成立，且 b 成立，则 a 成立，我们称它们互为充分必要条件啊，就互为充分条件。 还是那句话，你反正箭头啊，从哪个字母出去，这个字母叫充分条件，箭头指向谁，那个字母叫另外一个字母的必要条件，你把握住这个就行了，是吧？这是第一个啊，我们讲到的常规思路， 第二个，反正思路，反正思路，这个打个星啊， 包括下面的第三个，这个数学规划，你打个星，我告诉大家啊，这两个的重要性， 这两个重要性都是在推理过程当中会增加一个强有力的条件啊，这个是解析当中的一个利器。很多同学却不知道， 当律政结论出现如下两种情况，第一个，显而易见，但不易说明时， 你比如说啊，仅仅证明这个大 m 是 大于零的，如证明这个大 m 是 大于零的， 你说这样一个结论，我就是说显而易见，但不易说明， 怎么办？那这时候我就假设大 m 怎么样？小或等于零啊，对吧？我就假设出它的这个否定命题，大家注意啊，这个就是否定命题了， 因为你如果证的 m 大 于零是真命题，那么这个设 m 小 二点零，它就是假命题。那反证法的原这个这个出来的这个这个逻辑就是你给一个假命题，推推推推推，要推出矛盾的， 对吧？因为什么？因为你是假命题，如果是真命题，那你推不出矛盾的，那么就是你假设一个 m 小 二点零，那么就跟这个真命题是否定的。否定了真命题，那就是个假命题，那个假命题往下推推推，当然会推出矛盾了，你跟已知条件产生矛盾， 是吧？但是大家知道啊，这是一个强有力的条件啊，对不对？你增加了一个大 m 小 二点零的条件啊， 懂意思吧？你再比如说，如证明这个啊，我我我这样写，如证明 f x 不 等于零， 哎，就是 f x 等于零，它是没有零点的。假设 f x 大 于零， 那大家看就是 x 是 f x 的 根啊，你告诉我这个假设就因为证明它这个不存在零点，那么它真命题啊，你就证明了的，当然证明结论是对的，你否则题目出错了，对不对？ 那么这真命题，这就是假命题，就说他有零点，但是他注意你假设他有的话，你推推推会推出矛盾的，可是你别忘了，这个条件可是一个你下面推理当中要使用的重要的一个强有力的条件， 就相当于是我给了你一个新条件了，同学们，明白意思吗？你这句话啊，现在还体会不深啊，等到后面解析的时候，你会发现，这个反正法其实是给我们在增加条件的， 对不对？哎，真的，你假设了吗？你，你本来就是，你所有的题目其实都是假设的，但他假设就是真的，你假设这个就是假的，但是注意，不论假设是真，还是假设是假，那都是假设出来的，都能用 啊，你用它，只不过人家题目给的假设，你推推推，推到结论是正确的，只不过你自己加了一个假的，混到这个所有的条件里面去了，那你最终会推出矛盾的。 这个很漂亮的思路啊，这个在逻辑上来讲是非常了不起的一个解析的利器啊，这句话你现在不太能听懂啊，有同学可能听明白了，有同学可能没有明白，没有关系啊，初听不识曲中意， 再听已是曲中人啊，你到时候就会明白这个道理了。同理，第三，一个数据规划法也是这样， 无论是第一竖规范还是第二竖规范，我们都后面都要详细的给大家讲的啊，那么都会有这么一件事情，就是如果是第一竖规范 还是第二竖规范，他是这样，第一步是验证 n 等于，比如说吧，一成立， 那么第第二输规法呢？第一步是验证，比如说 n 等于一二成立，对吧？那么第二个，第二个，这最重要的一个就是什么呢？就是假设 n 等于 k 成立，大家注意又来了，这不是推理当中增加了一个条件吗？假设 n 等于 k 成立啊，这边是假设 n 小 于 k 时成立， 哎，小于 k 加一喽， n 小 于 k 加一成，这是增加的一个条件啊 啊，这白扔给你一个强有力的条件。那么第三步呢，才是这去验证，就证明 n 等于 k 加一乘以，那么这个也是证明 n 等于 k 加一乘， 是吧？那么他的这个第一步验证就很简单的啊，关键是用好他假设的这一步去证明最后的结论， 这也是一个逻辑上一个非常漂亮的一个方法，看到没有？哎，你增加的这个假设，你增加的这个假设的这个东西啊，你这假设这种假设的东西就是一个新的条件，假设的东西就是新的条件，把它给我用上 啊，后面再说。好吧，大家，因为你现在还没有到具体的例子，其实像这样的东西呢，大家在中学的数学里面是也是经常见到的，只不过呢，你没有做一个系统的这种总结罢了，是吧，所以说出庭不识曲中意， 再听已是曲中人。其实很多同学是不识庐山真面目，只愿身在此山中，呵呵，就是曲子听多了，他其实不知道自己已在曲中啊，已经在这个山里头了。 最后一个逆否思路，这个我不在这解释了啊，逆否思路其实就是看哪句话能理解了， 如果 a 成立，则 b 成立，那这句话你看不懂，那你去看这句话，你自己把它改了，怎么改呢？你把这个 b 啊写出它的否定命题 啊，你去重新捋一下，你说 b 否如果成立，那么把 a 写成否定命题是不是看得懂？ 如果他成立，他必成立，他一定成立，因为他俩是等价的啊，这两个是等价的是吧，那么你就看是 t 还是 s， 你 看哪个更容易去思考，你就用哪个啊，就是这个道理。好吧，好了，那么 第一个呢，我们就先说到这里，在整个的这块这个知识里头呢，我想，呃， 常用思路是需要我们结合后面的题目啊，大家要反复的去使用和思考的啊，所以在零基础阶段呢，我建议大家一定要先把我们前面讲的这个 呃基本逻辑的常用命题和它的形式，先把这个要掌握清楚好不好？然后至至于这个曲子你是听过还是没听过，是吧？呃，咱们在解析当中再来好好谈，好吧？这是我们讲的第一个内容。