n阶矩阵可对角化的充要条件

说 a 是一个 n 阶方阵，满足 a 方等于 a， 它先要证明 a 这个矩阵一定可以相似对角化。这是一道难题， 不好理解，看同学们能不能听懂。那这道题首先一个命题我们要掌握，就是 a 可以相似对角化的一个充分比较条件，也就是 a 相似对角化的最重要一个定理， 如果 n 阶方阵有 n 个线性无关的特征向量的话，那你这个 a 一定可以相似对角化啊，这个定律要掌握。那么这道题你要证明可以相似对角化， 就是证明矩阵 a 有 n 个线性无关的课程项量。怎么样证明呢？你只给我了这样一个矩阵等式，所以我一定要从这个矩阵等式出发，就可以写成 a 方减 a 等于零矩阵，那不就是 a 乘上一个 a 减 e， 这个矩阵等于零矩阵， 这样两个矩阵的沉积等于零矩阵，我们就可以得出一个结论， a 的制 加上一个 a 减 e 的值就等于 n。 各位同学，这又是为什么呢？哎，我们来证明一下啊，相当于先证明这样一个题，咱们两个乘积等于零，那么我们前面学过两个矩阵 乘积等于零矩阵的话，那么咱们两个矩阵的和都不会超过那个 n， 这是一部分。现在我再来证明这两个矩阵制的和还大于等于。恩，怎么证明呢？我们发现 a 的制 加上一个 a 减 e 的质，当然等于 a 的质加上一个 e 减 a 的质，为什么？因为 e 减 a 跟 a 减 e 差了一个负一，显然他们的质是相等的。好，我们紧接着就用一个定理，什么定理呢？矩证和的质一定是大于等于这两 两个矩阵合的制啊。矩阵制的合是大于等于这两个矩阵合的制，所以 就是大于矩阵 e 的置，这 a 一个减 a 就变成矩阵 e 了，矩阵 e 的值当然是满值，是不是我们证明了 a 矩阵的值加上一个 a 减 e， 这样一个矩阵的值是大于等于 n 的？ 一个大于等于 a， 一个小于等于 a， 所以我们就可以得出 a 的制跟 a 减 e， 矩阵的制的和刚好等于 a。 好，那如果这个听懂了，我们现在就直接可以利用这样一个结论。 那么如果咱俩的质的和等于 n 了，那我可以设一下，比如 a 的矩阵的质如果等于 r 的话，那么显然 a 减 e， 这个矩阵的质就等于 n 减 r。 那设了这么多目的是干啥呢？目的就是要找他的特征项量，是吧？就是你这个题就是要想方设法找出 n 个线性无关的特征项量， 你要找特征项量是先要求特征值好，那么我们对这个等式两端取行列式，是不是得到 a 的行列式乘上一个 a 减 e 的行列式就等于零，那么是不是我们就说了啊，要不然 a 的行列式等于零，要不然 a 减 e 的行列是等于零，这是个或的关系，那这就说明零是 a 的特征值， 那这说的就是一是 a 的特征值， a 的特征值取值范围在零和一之间， 再没有别的特征之后，所以你要求他的特征项链，那就是先来求当那么大等于零时，对应的那个方程组 解这个方程组，看看这个方程组有几个线性无关的解项链，就是有几个线性无关的特征项链有几个呢？因为我们 前面假设了 a 的至等于 r， 所以它有 n 减 r， a 等于 n 减 r 个 啊，这前头说的是因为 a 的至等于 r， 所以 n 减 r， a 当然有 n 减 r 个啊，就说 a， 所以 a 有 n 减 r 个 线性无关的特征项链， 从什么地方出发？从你这个系数矩阵的 z， 你说这个系数的 z 等于 r， 所以 这个方程组就有 n 减 r， 有 n 减 r 个限行无关的特征项量。好，现在我们再来研究一这个特征值，当那么大等于一时，我们求求他所对应的 特征响亮，那不就是解 a 减一倍的 x 等于零这个方程组， 因为 a 减 e 这个矩阵的特征值，就是我们刚刚已经假设了是 n 减 r， n 减 r， 所以这个方程组， 或者说啊，针对于这个方程组的结项量，对应于 number 一的结项量，就有 n 减 n 减 r， 是不是要等于 r 个线性无关的线性无关的特征响亮？ 好，做到这里头呢？我们来把左跟右连力属于特征值零的特征项量有 n 减二个， 所以特征之一的特征项量有 r 个，所以把它们两个合起来， n 减 r 再加， 是不是刚好有 n 个线性无关特征项量？当我已经证明 a 有 n 个线性无关特征项量的时候呢？所以 a 这个矩阵一定可以相似 对角化啊。那这个题呢，考察的知识点呢？比较多，第一个知识点就是，哎可以相似对角化的这个定语。那么这个题有一个一个难点，这样一个难点， 假如 a 乘 a 减一，这个矩阵刚好等于零矩阵的话，我可以证明咱们两个矩阵的质的和刚好是 n， 那最后呢？我们就证明了，所以零这个特征值的特征项量有 n 减 r 个，所以 e 这个特征值的特征项量有 r 个，于是 n 减 r 加 r， 最后就有 n 个线性无关的特征项量，所以 a 可以相似对角号。

我们来看这个题目，设 a 是一个 n 接方阵，证明存在一个 n 接非零，即阵选择 ab 等于零，充分标条件是 a 的行列式等于零， 那这个题呢，是和衡量市有关的问题啊，下面呢我们把过程来写一下， 这是一个充分比较条件，我们需要证明两个方形，我们先看看这个比较型，那比较型如何处理呢？我们可以用，我们可以首先把 b 呢进行分块，分块，那怎么去分呢？把每一粒啊看成一块， 毕竟分块啊，把每一列砍成一块，每每列呢每一块呢是个列项链， 那所以说我们呢就可以得到这个 ab 啊，根据这个分块决定的乘法，那 a 呢，看到一块，那相当于是一乘一的矩阵 啊，前面是一乘一，后面是一乘 n， 结果是一乘 n， 等下就是二号黑啊，成面里面每一个 是分块中的成分啊，等于呢，后面也有分块，也把眉脸上看成一块， 然后呢根据对应相等，那我们就可以得到 a 二法一就等于零， a 二法二也等于零，等等 a 二法人也等于零， 因为 b 不是零基础，所以说这个二百一，二百二，二百人中一定有一个非零项链啊，可以导出身子。二百一啊，二百二，二百人中有非零列项链，可以这样说， 既然有非灵力响亮，那么要根据这些力响量要满足啊这几个等式，那所以说这一个啊，从而什么可以推出这个，其次先放足， 那有非链接， 前面我没讲过啊，这样一个分链接， 所以说可以导出，我们导出他的航天式呢，就等于零，那这一点我们呢就把这个必要型中文下面我们看充分型，若 a 的航天式等于零，那么我们呢可以导出这个。其次先方组， 他那有废链接， 那既然有分庭结，那我呢就可以娶一个分庭结，那是那另另 一塔零，一塔一吧，这真的是 ax 的 一个飞零点， 那有分点解以后，那么我们呢可以得到一个， 随着 b， 也说在这个分点解基础上，那后面呢，再增加 n， 减一个立项量，那使得什么？使得他是一个方阵啊？那所以， 所以说我们知道这个 b 呢，一定不是邻居镇啊，所以我们啊很容易得出 ab 等于呢？等于 a， 一套一 等于 a， 一大一零，因为一大一是几，所以说是零，那这样 b 我们就可以啊得到了。

大家好，前面我已经给大家分享了关于一个矩阵，如果经过初等变换，他的字是不改变的，那根据这个结论呢？今天我们可以来证明一个更难的结论了，这个结论也经常会用到，那希望大家能掌握下来，也就是这第三点，这里写的 这地方就一个举证是怎样的，如果左乘一个列满字举证，或者右乘行满举举证了，他字不改变，当然之前我们也证了，就是左乘右乘可逆举证当然是不改变了。这里呢列满字是什么意思呢？ 我们首先来看这个第二点，这里写的就 a 是一个 m 乘 n 的矩阵，如果 i 的字是 n， 就是说它字等于它的列数，那就叫列满字。而且这里呢大家要清楚，这里会隐含着什么呢？隐含着就它的字竟然是 n， 那它 m 呢？一定是大于等于 n 的，一定要注意它的行数，为什么？因为之前说了它的字一定会小于等于它的行列的较小者了，所以它的字是 n 的话，那就是 他的行数一定是大于等于 n 的。然后呢大家思考一下，就是 a 经过初等行变换呢，一定可以得到这个样子的东西，我不知道大家能不能理解，如果不能理解的话，我这里可以先给大家举一个例子了， 这个例子呢，就是比如说 a， 但我写的很简单，就是他比如说两列上面就是单位，他就已经是列满字了，然后下面你随便写， 比如你下面可以写个二三四五什么的，那这里是四乘二的这样一个矩阵，这样四乘一个二的矩阵呢？ 你一定可以去经过什么呢？经过出导航变换去把它变成就是这个 e， n 呢？就相当于是 n 乘 n 的一个单位证了，因为它是列满字吗？它的字是 n， 就一定可以变成这样， 大家想想是是不是这样？因为你可以把第一行的负二倍加到这里，然后再把第二负三倍加到这里，这个第三行就变成零了。同样道理，再把第一行的负四倍加到第四行，第二行的负五倍加到第四行，那就变道了，他就一定可以变成。通过这个例子，大家应该能理解吧， 那理解这个东西以后呢？大家思考一下，就说如果只经过初等裂变化，能得到什么呢？ 还能不能这样呢？就是说如果这个 a， 它是一个列满字的，如果你只经过 初等裂变换，能得到什么？其实你看，比如说这个矩阵 a 就还是以它来看了，如果你制作裂变换，初等的裂变换 写在这里，你就发现你就变不了了，你就只能变成这个样子了， 你看裂变化已经没法再去画了，就就这个样子。也就说如果你是一个这个答案给大家了，就他是一个裂满字的，你只能变成这个样子，就一可能这里就变不了了，这里可能是夹的是 b 了，就只能变成这个样子，就是 a， 呃，就这个答案就这样。好，那思考完这个东西以后呢，大家再想一下，如果这个矩阵是一个行满字，情况又会如何？就这个 di 第二点，第二点呢？大家想一想，我写在这里了，我讲的大家已经想过了，行满字呢，这里也是一样，会隐含着什么呢？隐含着它的列数，因为它是 m 乘 n 的嘛，它的列数呢，就是大一等 m 的。 如果你不能理解，我这里也举个例子，行版字的感觉就这样的吗？比如说一零零一，然后可能二三四五，那就是二乘四。所以有的时候学新一代数啊，一定要有具体的例子，你可以用一些特殊的例子帮助你去辅助理解。 对，也就是说如果一个 r a m 成 n， 它的字是 m， 就是行满字，这个 a 呢，你会 会发现呢，你经过初等列变换，一定可以变成这样的 e m 零，就比如说这个，你去进行列变换，这里都能变成零，这个都能变成零，但是如果你只是经过行变换呢？ 你只能，如果你只是经过行变化，那可能只能变成 e m 这个东西，这可能又是一个 b 局证了， 能理解吧。好，理解完这个东西以后呢，我们就可以来正这个比较难的这个结论了，一个矩阵，左层列满字矩阵，或者右层函满字矩阵的字不改变，我们这里只正一个了，只正这个 组成列满字。另外一种情形，比如说这种情形的话，就交给大家自己去证明了，你就当成练习这个。呃，在我正 之前呢，大家也可以想一下，就是一个矩阵，左层列板字矩阵，为什么字不改变？如果描述出来，就这里就是 a， b 等于 c， 如果 a 的字是 n， a 的字是 n 是什么意思？它就列满字，列满字的话， b 矩阵就相当左乘了一个列满字矩阵，得到了 c 矩阵，这个 c 矩阵和 b 矩阵的字是一样的。呃，大家可以先自己想一下怎么震了， 然后我这里呢，就想象大家已经思考完了 这道题呢，当然有两种做法，我们目前呢就先讲方法一了，另外一种方法呢，大家我也留给大家去思考了，他还有一种方法去正，我这里给的方法呢，就是初等变化不会改变矩阵的字，那我要去正这个 a b 呃， b 的字 会等于 c 的字，或者说 c 的字会等于 b 的字，怎么去弄呢？因为 c 其实就是 a b 嘛，是这样吧，这样之后呢，我就可以怎么办呢？我就可以这样的，你看我就可以去通过，因为你， 呃，我这里写慢一点，因为这个 c 等于 a b， 且 r a 等于 n， 可以吗？等于 n 的话，刚刚说了，它如果是列满字，我这个 a 呢？所以这个 a 一定可以通过初等行变换， 变到什么样子呢？变造是这样的，就是 e n， 然后零，就这样。好，那这个意思是什么意思？就是你可以存在可逆的矩阵，存在可逆的 p 矩阵，因为这个是 m 乘 n 的吧，那这个就是 m 乘 m 的，使得什么呢？使得 p a 等于他，这个能理解吧？ 这就相当于是你成了一个可逆矩阵，就相当于是做了一系列的出档行变换，把它变成这个样子，变成这个样子以后，那你看你就可以得到什么，你就可以得到。你看这个 c c 等于 a b， 如果你左乘一个 p 矩阵，这个也左乘一个 p 矩阵， 这是 m 乘 n， 这是 n 乘 l， 然后这个 c 呢？这个 c 也是这个 c， 当然是 m 乘 l， m 乘 l， 这是 m 乘 m 的，这个没问题吧？好， 这样之后呢，你会发现什么呢？你会发现这个 p a 就是它呀，然后再乘 b 矩阵，这个就是 m 乘 n 嘛，然后 n 乘 l， 那这个东西呢，就可以放进去，就是 b 和零， 这是一个 n 乘 l， 这里是一个什么呢？这里是一个 m 减 n 乘 l， 相当于一个零矩阵就变成这个样子了，我这里是为了让大家看的更清楚一点了，就是把这个接触都给大家写出来了。 好，写到这个地方以后呢，大家看你就会发现什么，你就会发现，哎，既然他们会相等，那 r p c 就会等于 r b 零分块，而这个东西就是 b 矩阵了，这字，而它呢，因为 c 局 证成了一个可逆矩证，它的字就会等于什么 r c， 因为 p 是可逆的，相应的就证到了，可以吗？那关于这个证明呢，就 说到这里，大家可以去好好体会一下，因为这里还有个练习题啊，就是说如果你另外一种情形可以想办法把它正出来，你就懂了，又成一个行满字矩阵，字不改变，这个就当成练习。方法二呢，我这里也提示一下， 方法二就是你可以利用什么方程，两个方程组同解，比如说 a x 等于零与 b x 等于零同解， 你就可以推到这两个字是相同的， 推到 r a 等于 r b， 当然这 这两个东西呢，不一定列数，一定要一样行数，因为列数一样保证的这个解项量是同尾数的吗？就 m 乘 n， 这个可能是 s 乘 n， 就这样的，然后你就可以推到他。呃，你也可以思考一下，为什么这个就后面当成你的思考题了，然后利用这种方式呢？也可以正道，反正后面我还会再讲到这种处理，用这种思维去正字相同的情形了，同解推同字就相当于 同志， ok， 那关于这一部分的分享呢？就说到这里，那希望大家听完呢，有所收获，谢谢大家观看。

相似判定相似判定啊，假设 a b 为 n 阶可逆矩阵， a 逆相似于 b 逆，其实这个这个跟那个一六年的那个有一个选择是类似的啊，它则下列结果， 正确的个数有几个，正确的个数有几个啊？相似判定，来吧，我们终于来到了相似终于来到了相似 开始了啊，来，备注，红笔红笔开始啊，想了啊，我把相似能说的给你，相似周边给你说一说，行吧。好，首先第一个啊，我别撇住了，总结吧， 考前串讲总结吧。总结一好， a 相似于 b， a 相似于 b， 好， 可以单向推。我前面好像用过啊，叫做四相等， 这是普通矩阵相似的关系是吧？四相等啊，也就是四相等，哪四个呢啊？质既特征值行列式， 对吧？四相等，这我就不多说了好不好。那就一组性质吧，四相等单向推，常用它啊，应用它可以干什么呢？可以求它们矩阵之间的参数啊，等等，可以解它啊。好，第二就是矩阵相似的冲，要 是屁逆 ap 在 这等于 b， 屁逆 ap 在 这等于 b， 好， 所以由它呢，我们也可以推以下性质，哪个性质呢？第一个就是 a 的 我，我这么写吧， a 的 n 四方依然相似于 b 的 n 四方，对不对？且屁不变。什么叫屁不变？ p 逆 a 的 n 次方乘以 p 还是 b？ 咱学到今天了，你别问我为什么好吧，好，这是第一个。第二个就是 a 加 k， e 依然相似于 b 加 k， e， 且 p 也不变，还是那个 p 还是那个 p， 矩阵 清楚啊，好，刚说过。对对对，这不给你多重复吗？你别烦我重复好不好。好，还有什么？还有就是传递性， a 相似于 b， b 相似于 c， 那 么则 a 与 c 相似，对吧？所以相似背后能考察的就是这两组，一组就是四相等及其性质啊，一组就是它们之间的什么传递性啊，关系啊，这种类型。好，这第一个，这个要清楚啊。好，继续。第二， 第二，那么特别的特别的啊，如果矩阵 a 相似为对角矩阵，这个是不是叫做相似对角化？这不叫做相似对角化， 对不对？你第五章那个幺三九席地库，你要真听我讲了，你基本已经听全了。真的，幺三九席地库第五章如果听讲了，应该基本听全了。相似对话我们需要总结大框架下啊，第一个就是它到底在求什么？ 根据 p e， a， p 为对角矩阵，那么此时也就有我的 p 就是 什么？就是矩阵 a 的 n 个无关的特征向量， n 个无关特式向量。你学到今天了，你脑袋瓜子也知道这东西啊。好，必须保证两个，第一肯定是 n 个，因为它是方阵好，第二个无关，对不对？好，第二就是对角在求什么呢？求特征值， lamb 的 e， 一 直到 lamb 的 n， 而且对角是 b 存在的，所以你不用操心。操心的是谁啊？操心的是这个屁， 操心的是这个屁，你不用操心对角。为什么呢？因为 n 阶方程一定有 n 个现行无关的特征向量， n 阶方程一定有 n 个现行无关的特征向量，听到没有啊，这是相似对角原理。第一个啊，好，继续再来第二个。第二，考什么呢？考相似对角化的判定好，你看有学生说了啊，考判定， 考判定好，判定。大脑要有这样的一个图啊，我写了八百回了啊。一个矩阵 a 相似于对角，或者说矩阵 a 可以 相似角化两个充分三个冲，要对吗？是我学生应该都知道啊。好，第一个，实对称矩阵 一定可以像素调化对不对？实对震矩阵一定可以像素调化啊。好，第二个，如果矩阵 a 有 n 个互异特征值，有 n 个互不相同的特征值， 是不一定可以像素调化，因为不同特征值对应的特征向量是线形无关的。两个充分啊，三个冲药，好，第一个冲药是废话，就是什么呢？就是存在可逆屁啊， 存在可逆屁啊，对不对？使得屁逆 ap 等于对角，但是你得说这是冲药啊，因为这是定义啊，当然这废话一句。好吧，好，继续再冲药，各位，再冲药就是，但凡我有虫根和单根，快点告诉我，是钉死单根还是钉死虫根？回答 我，是钉死单根还是钉死虫根。嗯，钉死单根还是钉死虫根？ 钉死虫根。也就是说 k 虫特征值那么的零，必有 k 个无关的特征向量。阿尔卑 k 虫那么的零，必有 k 个无关的特征向量。很好很好，是不？它好，真正翻译成人话，各位， 你 k 个线圈无关的向量来自于谁啊？来自于 lamb 的 零 e 减 a 倍的 x 是 不得零。它的基解啊，这玩意基解是多少个？我线圈无关的向量是不是多少个？你基解有多少个？ n 减 r 系数矩阵它的质啊，这些个应该等于谁啊？应该等于乘数啊，乘数是 k 重啊， 那你一个项呗。各位，一个项就意味着 lamb 的 零 e 减 a 的 质应该等于 n 减重数。 听懂的给我吱一声，学到今天了。这玩意你不知道送你个大牙刷子我让你不知道大脑要过。这个应该没有不知道的吧。我刚才有习弟给我讲了所以我就稍微多讲一点相似调化他的总结注意就是求什么注意他的判定不就完事了吗？ 清楚没有。嗯？零矩阵一定不能像素描画吗有点忘了零矩阵。零矩阵这字不是不是的啊。嗯知道了是吧。知道大家好像不记得。那不刚好让你记住。今天晚上睡眠记忆法啊睡眠记忆法。 你就梦这个就做梦啊。梦这个没梦到让舍友把你叫起来重新睡哈今天晚上睡眠记忆法给我背这个 两个冲门三个冲药。但其实各位最核心的是考这个啊最核心的是考这个。确实啊这这个是考频比较高 比较重要的对不对。有的学员说，冰姐我梦到你晚上骂我死孩子拿那个拿那个牙刷追着我。哈哈哈是吧。那行哈，就是这个题可以了。来，各位回到这道题这道题我们接下来就可以分析了。 性质吧。那我问你个事啊你这个屁逆 ap 等于 b 和屁乘 a 乘屁逆等于 b 这是不是一个东西啊这都是相似啊。这无所谓啊。好，你看他已经给你这个相似了他给你这个相似什么意思啊。就是屁逆这是不是 a 逆乘以屁应该等于 b 逆啊。这翻译过来是不是他 对不对。咱先玩简单的行吗。咱先玩简单的啊。那这个等式左右同时去逆 这个等式左右同时取逆你看这样是不是。嗯就是我我直接写一个取逆了。上面这个等式同时取逆是不就是屁逆中间 a 逆，再逆就是 a， 这边是屁逆，再逆是屁是不等于 b， 那 那你这不就相似了对不对？所以同时取逆。我写个取逆了啊，这个是成立的 对吧？好，另外一个，哎，这都相似了，我就问你能不能推 a 方相似于 b 方，这不性质吗？这不性质吗？这两个是不是显着呢？ 这样是不是显着呢？我看啊清楚啊。哎哎，明白呢，好，继续再来。咱先推这个的来伴随。呃，那个，呸，转至呢转至呢？那我直接写啊，来写这因为屁逆 a p 等于 b 啊， 取转制呗。取转制那就相当于屁逆 a p 的 转制等于 b 的 转制， 那也就相当于 p 的 转制， a 的 转制再乘屁逆的转制，屁逆的转制不就 p 转制的逆等于 b 转制啊。各位，这是不就是框乘矩阵，再乘框的逆为另外一个矩阵。我问你它俩相似吗？相似 是不是好行了，所以二三四成立啊，各位来啊，看一看。一各位高手们看一转置也可以。是的是的啊， 来看一一对吗？一我给了你个条件一我给了你个条件啊， a b 是 可逆矩阵， ab 是 可逆矩阵，你说有没有矩阵？来来来，我让你填啊，谁的逆乘以 ab 再乘谁刚好等于 b a 啊。 如果这个题没有可逆就完蛋了。没有可逆确实不一定成立啊。我有可逆哦，我有可逆， 谁应该怎么着？哎哎，很好很好很好啊，乘以谁我能凑出 b a 啊，你这有个暗示，这有 b 啊，这也有 b 啊。我跟他拼了我右侧你，你说呼吸并秒之。跟他拼了。放谁放 a 啊，那这也放 a 啊。 ok， 可以 了，所以这样 a 逆 a 消掉刚好等于 b a。 但是你自己去看，这叫一个矩阵的逆，乘筐再乘矩阵为 b a， 所以 它是相似的。故这个题都对 清楚了，眼瞎了没看到可逆是吧，免得没关系 好吧。啊，行，这是相似类判定，大家一定要注意的相似类判定啊。所以我觉得这个判定和他的啊，跳坑了是吧，和他跑两圈去是吧去吧去吧，跑两圈就好好跑一跑啊。所以他这个判定关系大家还是要注意的啊。判定关系要注意啊。

啊，好啊，上课，呃，我们这堂课呀，考虑特增值特征向量知识的一个应用，那么 啊是又一种啊，简化那个问题的一种手段，就是呢，这里说的相似矩阵，这里面要学三个内容，一个是相似矩阵相对氧化的概念， 一个是呢相对角化的条件和方法，最后呢是实对称阵的正交相似对角化。那么我们首先呢来看一下这个概念， 呃，对于两个方阵来说， a 和 b 这两个方阵如果存在可逆阵 t 使得呢， a 和 b 之间有这样的一种关系的话，那我们就成称 a 和 b 呢是相似关系啊，并且呢就是称从 a 到 b 的 这种变换呢，是相似变换，那么把这个 t 呢称为是相似变换矩阵啊， 两个方阵之间如果有这样的一种关系的话，我们就称为这两个矩阵相似啊，那么特别的，如果一个方阵呢和一个对角阵相似的话，我们就可以就称呢这个矩阵可以相似对角化啊，这是基本概念。 那么刚才我们提到了呢，相似是是一种简化手段，实际上在前边呢，我们学了另外一种简化手段，也就是两个矩阵的等价啊， a 经出等变换化成 b， 称为 a 与 b 等价。我们上堂课也提到过啊，这个等价关系啊，非常的好， 它，我们说它是一种简化手段。呃，我可以这么说一句话，呃，基本上代数问题哈，代数当中的问题，呃，代数当中的只要是计算问题，就离不开出等变换，嗯，上堂课我们也说了它有很多应用，那我们简单的回顾一下， 它是这么描述的，说的是存在可逆的 矩阵呢， p 和 q 使得呢啊， p a， q 等于 b， 这是用矩阵乘积来刻画，就是这样的一种关系。那么等价最主要的是两个矩阵如果等价的话，它们什么相同啊？ 质相同，这是最主要的，是质相同，等价关系保持质不变，当然细节还有很多其他的一些结果，但是最重要的，大家记住，如果两个矩阵等价的话，最重要的是 是相等，那么把这个等价关系和这个相似关系做一下比较，大家会发现，实际上呢，这个等价关系的 p 和 q， 如果它俩是互逆的话， p 和 q 是 互逆的话，这种等价关系是不是就变成了相似关系啊？所以说呢，相似关系是一种特殊的等价关系 啊，那么这样的话呢，他是特殊的等价关系，等价关系具有的性质他就应该也有，比如说两个矩阵等价的话，他俩质相等，那么现在两个矩阵相似的话，他两个质一定是相等的。 另外呢，我们知道等价呢，具有自反性、对称性和传递性，那么相似呢，作为一种特殊的等价关系，他也有自反性、对称性和传递性啊，自反性说的是什么呢？就说任何一个方阵，他一定和自身等价， 这叫自反性啊。现在说相似的话，如果任何一个方阵，他一定与自身相似。我现在说相似的话， 这叫啊，这个很容易很容易。那个利用定义验证一下，也就是说，大家看这是 n 阶单位阵的话啊，这是 n 阶方阵的话，就是 n 阶单位阵，是不是这个 就证明了啊？自反性啊，对称性是说呢，如果 a 与 b 等价，那么则一定有 b 与啊，又说等价了，相似啊，如果 a 与 b 相似，那么就一定有 啊， b 与 a 相似啊，那么这个也很显然，你看啊，根据相似定义，如果 a 和 b 呢是相似关系的话，一定存在可逆阵 t 使得呢， t 逆 a， t 等于 b， 那 么从它很容易就推出来了。什么呢？两边同时左乘梯，右乘梯逆，就得到了 a 就 等于梯 b 梯逆， 它俩是互逆的。虽然啊， b 与 a 也相似啊，那么这是呃，对称性，传递性。是说呢，如果 a 与 b 相似， b 呢又与 c 相似，那么这个时候呢？啊， a 就 与 c 相似，那这个证明和刚才类似。 a 如果和 b 相似的话，那存在于可逆阵，比如 t 一 使得 t 一 逆 a， t 一 等于 b， 那 么 b 与 c 相似的话呢，那么存在另外一个可逆阵 t 二，那么 t 二 b 二呢，就等于 c， 那 么实际上呢，把这个关系连起来写，你就可以得到这个，得到 a 和 c 的 一种相似关系，具体大家自己可以回去写一下。这个很简单 啊，这是说相似关系很容易知道的这样的一种性质，它有次反性、对称性和传递性。 那么刚才提到了这个引入相似关系，目的是简化啊，那么你要简化的话呢，或者说你引入一种关系，你总要知道呢，它这两种啊啊，具有相似关系的两个矩阵，本质上有什么共性 啊？我们现在知道它俩质相等，但是最最简简单的一个质相等，但啊，我们不能满足于它，我们要考虑呢，就是说 a 和 b 相似的话，除了质相等之外，还有哪些呢？啊，本质的共性， 这个结果呢，是非常好的一个结果啊，如果 a 和 b 的 特征多项式相同 啊，特征多项式相同，那么这个结果我为什么说好呢？行列式虽然是一个数，但是呢，当 ab 是 方阵的时候， 他们的特征多项式是不是 n 次多项式啊？ n 次多项式是不应该有 n 加一个系数，但是我们知道首次系数是一啊，咱们的 n 次方首次系数是一，那么这个结果就相当于什么呢？这两个多项式是一啊，咱们的 n 次方是不是对应相同啊？ 其他的 n 的 系数对应相同，所以这个结果实际上如果成立的话，它是很非常好的一个结果啊，就意味着 a 和 b 当中啊， a 和 b 当中有很多共同点啊，那么好，我们来证一下这个结果，这个证明很简单 啊，因啊，因为 b 等于 t， e a t 啊，我现在就计算一下就是了啊， b 的 特征对横式， 那么它就等于什么呢？把 b 这个形式带进来 这样的一个形式，那么好，谁让单位阵呢？我给它 左边成个 t 逆，右边成个 t， 是 不还是单位阵啊，对吧？那么这样的话呢，那我把这个蓝的是个竖啊，竖和矩阵可以交换，我可以把竖呢塞到这来，那么这样的话呢，呃， 左边可以提出来一个梯逆，右边呢可以提出来一个梯，那么这个式子呢，就是咱们的 e， 而这这里呢，就是减 a， 那 么这三个是方阵，对于方阵来说，乘积的行列式等于行列式的乘积。哎， 那我们又知道 t 和 t 逆是不是互为倒数啊，乘积是等于一的，那么这样的话，就得到了我们要正的结果 啊，特征多项式相似的两个矩阵。特征多项式相同啊，那么好，既然特征多项式相同，那么特征多项式的根是不是就一定相同啊， 对吧？所以这样的话如果 a 和 b 相似，那么结果是特征值相同。 特征值相同我就简单写了，表示特征值相同，那么这个结果写起来这么短，它是这里最重要的一个结果啊。刚才我们说了两个矩阵相似的话，本质有什么样，什么样的共性呢？现在回答你了，就是特征值相同。 相似的两个矩阵特征值相同这个结论非常重要啊， 那么特征值相同是两个矩阵相似的一个必要条件 啊，那也就说相似的话特征值就相同，那么自然会有这样的问题啊，可以提出来说，如果特征值相同的话两个选项是不是一定相似啊？ 那我们可以考虑一下啊，像这个结论应该是不一定的啊，否则就成冲要条件了。我们说不一定的话可以给大家去返利哈。呃，在呃如果要去返利的话，大家得知道这样一个结果，大家注意到哈， 这个是单位阵，单位阵，单位阵呢？乘以随便的一个可逆阵 t 逆乘以 t 的 话是不是一定等于单位阵啊？这说明什么？单位阵只和自己相似 对吧？我把这个结果再稍微扩一点，单位阵乘以个竖，这个矩阵叫什么矩阵？ 存量阵也叫数量阵，也就是组对角线上元素都是 k 的 那个矩阵，那么我们也把它成做一个相似变换的话，得到的结果是谁啊？是不是仍然是 k e 啊？ 这说明什么呀？存量阵也只能与自己相似，对吧？有了这个结果之后，我就好举反例了。你比如说啊，我就举二阶单位阵，二阶单位阵他呢是一，一，他的特征值是谁 都是一对。很简单，我再举一个矩阵 a， 二节矩阵，我举特征值也是都是一的。好看的，我举个什么阵好， 什么阵？三角阵？对，上完课咱见过了，那么这个矩阵是不是特征值什么也都是一对吧，这两个矩阵是不是特征值是相同的啊？它俩特征值相同，但是它俩相似不相似？相不相似 一定不相似，为啥呢？他只能和自己相似， 对吧？啊，实际上，我们啊，讲这个事，主要是想给大家讲讲一个什么结果呢？就是数数量阵只和自己相似，记着他有用，他很有用 啊。我举这个小例子，实际上想告诉大家这个事，数量阵只与自己相似啊，代数当中，简单的往往是最重要的。 好，接着来说啊，两个矩阵相似的话，它们特征值一定相同，那么特征值都相同了，特征值可以描述的性质是不就一定相同啊？ 我们上堂课说了啊，那个特征值可以描述什么性质呢？是不可以描述矩阵的既啊，所有特征值的核等于矩阵的既，还可以描述什么行列式。哎，所有特征值的乘积等于矩阵的 行列式。现在这两个矩阵的特征值都相同了，那么这两个矩阵的既肯定相同，它俩的行列式也一定相同 啊。那么这里边是描述的都是特征值的性质，但是最基本的是什么呢？特征值相同啊。好，我们来看一个例子， 现在啊，已知 a 和 d 相似，我们求这里边的未知数 x 和 y， 大家注意， a 里边有个未知的 x， d 里边有个未知的 y， 已知相似，确定这里边的 x 未知量 x 和 y。 那 么根据我们刚刚讲过的结果， a 和 b 因为相似，它俩特征值相同，因为特征值相同的话，那么行列式相同，那么 g 也就相同，这些结果都有， 那么现在我去要确定两个位置量，一般来说要两个有两个有用的条件就够了，对不对啊？那我现在来看一下两个有用条件，一个是 g 相同啊，一个是 a 的 g 等于 那是 d， d 矩阵的 g 啊，那么 g 是 谁？ a 的 g 是 谁啊？ x 组对角线上元素之和啊， d 的 g 是 谁啊？就是 y， y 加五加负五。那么另外呢，行列式相同， 这是一个条件，这两个条件已经两个条件，从这两个条件，实际上你确实就已经可以把 x 和 y 求解出来了啊。那我现在我先不求，我先说事，谁要按刚才说了， 除此之外，还有特征值相同呢？大家注意到这个 y 这个矩阵比较简单，它是个对角阵， 他的特征值是不就能看出来啊？是谁啊？五负五和 y， 对 吧？那好，五和负我是知道的，五和负，五是 d 的 特征值，是不是也是 a 的 特征值啊？ 那这样的话，我又可以写出来两个式子，就是五是 a 的 特征值的话，应该是五， e 减 a 的 行列是等于零， 那负五 e 减 a 的 行列是 等于零，谁让我一下就写出来四个，但这四个当中，实际上这四个当中有的是重复信息。为啥说有的是重复信息啊，谁让行列式相同和记相同，是不是从特征值相同里推出来的， 对吧？所以这里面可能含重复信息，那这里边呢？实际上还可能含呢？呃，含那种恒等式就空信息啊，什么意思呢？比如说我这目的是为了确定未知数，但这个恒等式成立的时候和外未知数啥关系都没有， 他就可能是个空信息。比如说我看这个式子，你看看这个式子负五亿，他等于谁呢？看看他 负五负五减一，这是，呃，负四，是吧？啊？然后负二负四，这是负二负四，这是负五减 x， 这是负二，这是负二，这是不是还是负四啊？ 你去让它等于零，你看这是不是对于这个行列式，两行元素相同，行列是值一定等于零， 虽然他写出来了，但是他没有用啊，所以我这里就说一下什么呢？实际上你在这里边挑两个就行，你写出来这么多，你挑两个有用的信息就可以。实际上这里面最最直接能解最好的应该是这两个记，当然是最好用的，另外一个是他，我们来看一下， 你随便拿两个能解出来就可以啊， 这是行列式相同，为什么说这个挺好的呢？这个因为它只有含一个未知量，从它三阶行列式一计算出 x 就 求出来了，对吧？然后呢记这个 啊，然后就可以把它们解出来啊。具体的三阶行列式的计算呢，大家自己回去做一下啊， 这是利用相似关系确定参数。实际上我话说的多一点啊，就是从这个题大家也可以体会一下呢，一些应用的那种雏形 可以体会一下，虽然它相对比较简单哈。比如说啊，在保密通信当中， 我现在呢要向对方传达一个信息，我又怕他被别人盗走了，所以我自然就往里遮盖一部分加密，对不对？比如说我现在就是把这两个矩阵给人家了，这 x、 y 就是 我遮盖的部分，到了对方之后呢？他是不是觉得解密啊？ 他觉得用他们叫密钥，用密钥来解密，这密钥就是什么呀？他知道这俩矩阵相似，对于我们这来说，他知道他俩相似，他就用用这个相似关系就把 x、 y 还原出来了。 那么这就是实际上就是现在的这种实际问题当中的一种。就是，呃，就是信息传输当中的一种啊，就是保密解密的这样的一个过程啊。当然你方式不同了， 所以实际上我们的学习都和十一是应用密切相联系的。有些同学大一说总问说，我这课到底是怎么用啊？实际上话的说很多很多，把一个应用说清楚的话的说很多很多，当然你单有数学的知识也是不够的，所以你要学很多专业知识。 好，下边啊，第二件事就是这是我们这这一章内容，这一节内容，也是这一章内容的核心问题，就是相似对角化的问题啊，我们学了相似关系，目的呢是把一个矩阵简化， 想简化成什么样的矩阵呢？那就是简化成对角阵啊，那么现在就考虑一个方阵在什么条件下可以简化成一个对角阵啊？如果可以简化的话，我怎么来做这个事？ 这个定力很简单的一句话， a 可以 相似对角化啊，当然说的是 n 阶方阵， n 阶方阵 a 可以 相似，对对角化的充分必要条件是它有 n 个线性无关的特征向量啊，那我们来证一下， 我先证必要性，就是说已知 a 可以 相似对角化去证 a 有 n 个线性无关特征向量 啊。现在 a 是 个 n 结矩阵，那么既然它可以相对的话，也就说，呃，它可以和一个对角阵相似，那现在就存在一个对角阵，存在一个可逆变换矩阵。呃，可逆矩阵 t 使得呢？ t 逆 a t 等于那个对角阵， 那么存在可逆阵 t 和一个对角阵 d 使得呢？这个 t 逆 a t 等于 d， 这是因为可以相对而化，那么这个 t 呢？可逆阵，我把它的列写出来了 d， 这个对角阵呢？我把它组对角线上元素都列出来了啊，那么好，那么下边呢啊，下面呢？我把这个形式，我把这个形式啊， 这个 t 逆 a t t 逆 a t 等于 d， 这个形式我转化一下，我两边同时左乘 t， 是 不是就得到 a t 乘以 t d 啊？啊，就得到了这个式子，那么得到这个式子，而且呢啊，得到 a t 等于 t d， 大家一定记着这个说，这个 t 是 可逆的，而且 t 是 可逆的，而且 t 是 可逆的， 那么这个 a t 乘以 t d， 我 展开一下写出来呢，就是这个式子啊，把这个形式带进来，就是它，那，而且记着啊，就是 t 是 可逆的 这种形式的一个表示啊，到现在为止，我还好像没做什么本职工作呢，我只是 把它变了一下形，把这个相似关系换了一种写法。注意啊，换了一种写法，写成 a t 等于 t d， 而且 t 可逆， 就是他和他实际上是一一样的写法。那好，现在呢，我把 t 写用列向量组的形式写出来，那 a t 等于 t d 好 看，左边左边是不是方块阵相乘的一个形式啊？ 这相当于一行一列的矩阵。乘以一行 n 列的矩阵，是不还是等于一行 n 列的矩阵呢？具体乘的时候，一行一列的乘进去就相当于竖乘进去一样。所以左边等于什么呢？左边是等于 a t 一 a t r a t n 啊，右端再看右端右端，大家注意，这是呢？用一个对角阵又成一个矩阵， 大家应该前面学过了，用一个对角阵从右边成一个矩阵的话，其成绩结果有啥特点啊？ 相当于用左对角线上的元素去乘相应的列，也就是蓝的一乘第一列，蓝的二乘第二列，蓝的 n 乘第 n 列，对不对？那么这个时候我们就得到了蓝的一 t 一， 蓝的二 t 二 蓝的 n t n。 那 么现在呢，这两个矩阵相等，是不是对应元素相同啊？ 对吧？那就是 a t 一 等于蓝的一 t 一 a t 二等于蓝的二 t 二啊， a a t n 等于蓝的 n t n 啊，也就是具体写出来呢，就是这个结果， 这个结果。而且注意到啊，这是我把这个式子 a t 等于 t d， 是 不是解读成了这个式子， 对吧？写出来是这个式子，而这里 t 可逆，我按理说照样落下来，那 t 可逆有很多种等价说法，可逆阵有很多种等价说法。 t 是 可逆阵的话，它的列向量组怎么样， 它的列向量组怎么样？现象无关。哎，这是很重要的。那么我把 t 可逆就换成了它的列向量组， t e 到 t n 现象无关。好，现在谁让我说已经证出来了， 为什么要证出来？我要证明 a 有 n 个线圈无关特征向量，是不是呢？大家看现在啊，因为 t 一 到 t n 线圈无关，它们是不是都是非零向量啊？啊？既然它们是非零这个式子， t i 如果非零的话，它是不是表示 t i 是 a 的 特征向量，而蓝的 i 是 对应的特征值啊， 对吧？那么好，那整个这实际上有 i 对， 每个 i i 是 从 e 到 n 的 这 n 个式子，这 n 个式子就说明的是咱们的 e 到咱们的 n 都是 a 的 特征值，而 t 到 t n 分 别是 a 对 应于咱们的 e 到咱们的 n 的 特征向量， 对吧？而且还要加上一个线圈无关，实际上也就说 a 有 n 个线圈无关的特征向量， 对吧？那么我要证的就是 a 有 n 个先行官特权向量，我证明证明完了。 哎，这个过程好像我就是在翻译，一点点翻译我好像也没做什么，但是每一步翻译都要用到一些知识点，大家注意一下，这里有个环节，就是 a 这个相似变换，在这里用了这样的一个形式来写，写成这样的形式，它就是相似关系，在后面我们会用到啊，那么 这个整个推导过程呢？我们再回头看一下，实际上它告诉了我们什么事呢？它告诉了我们啊，如果 a 可以 相对导化，如果 a 可以 相对导化， 那么这个相似变换矩阵一定是由 a 的 n 个限行官特征向量做成的， 而这个对角阵一定是由 a 的 那 n 个特征值做成的，而且这些特征值和特征向量的位置是不是有对应关系啊？ 啊？把 a 相似对角化的那个变换矩阵，一定是由 a 的 n 个线圈贯特征向量做成的，而那个对角阵的阻对角线上元素一定是由它的特征值做成的 啊，这是必要性啊，那么下面我们正充分性就说已知 a 有 n 个线段特征向量，去证明 a 能相互转化，实际上就是把这个过程反过去写，刚才实际上那每每一步都是冲要的，但是为了清楚起见，我们还是逐一的写回去啊， 逐一的写回去，现在来看一下充分性，已知 a 有 n 个信物关特征向量，我去证明 a 可以 相比较化，那么 a 有 信物关特征向量啊，那我把它射出来啊， 那么就设 t e 到 t n 就是 它这个 n 个线段的特征向量，那么当然它有对应的特征值，那么栏目的 e 到栏目的 n 呢？就是依次是对应的特征值啊，那么，呃，那自然这是特征向量，这是对应特征值，自然就有这个关系，对吧？ 特征值和特征向量是不是自然就有这个特这个关系啊？这是已知条件。好，现在我要去证明 a 可以 相对化啊，那么这就是呃，下边呢这个事，大家看这个事是不是就是这个事啊？ 对吧？ a t 等于咱们的一 t a t 二等于咱们的二 t 二 a t n 等于咱们的 n t n， 对 不对？已知那个事的话，是不是它就成立了， 对吧？他成立他相当于谁呢？我们知道他，他相当于谁啊？他是不是就相当于 a 乘以 t 一 t 二到 t n， 而这边呢？拆开来写，拆开来写，是不是就是 t 一 t 二到 t n 乘以蓝的一蓝的二到蓝的 n 啊？这个式子是不是就是这个式子？刚才说我们写过了，对吧？所以这样的话， 所以说我们说这就有，就有这个式子成立，这个式子成立，那这个式子就是我把它记成 t 的 话，把这个矩阵记成 d 的 话，那就是 a t 等于 t d， a t 等于 t d， 而且呢，因为 t 的 列向量组 t e 到 t n 是 性质无关的，是不说明 t t 什么阵呢？ t 是 可逆阵好，而且 t 可逆。 那么下面刚才我们已经说了这个事，是不就相当于 a 和 d 相似了？我只要再写一步，两边同时左乘 t 的 逆， 就得出了 t 逆 a， t 等于 d 啊，那这个不就是 d 是 一个对角阵吗？ 这就说明了 a 可以 相等化啊，证明了啊，证明完了，那么这里边呢， 这个过程我们再读一下啊，它这个定理告诉了我们相似对角化的条件是它有 n 个线形无关特征向量。那么这个证明过程呢，也给了相似对角化的方法。我们来看一下， 实际上当 a 有 n 个线形无关特征向量的时候，我只要把它这 n 个线形无关特征向量作为列，写成一个矩阵 t， 把它所有特征值作为组对角线上元素，写成一个对角阵 d 是 不就有 t 逆 a t 等于 d 啊， 也就说怎么样进行相对角化呢？你把它所有所有特征值求出来，把它对应的 n 个心形无关特征向量求出来，对应的就可以把对角阵和呢啊那个相似变换矩阵 t 就 写出来了，那么就实现了相似对角化。 那么我刚才说的事，我写出来就是这样的啊，首先判定给你一个矩阵，让你进行相对化，我首先要判定，那么 a 有 n 个向量同正向量，那么可以相对化了啊，可以相对化，下面怎么做呢 啊？求出 a 的 所有特征值，栏目的 e 到栏目的 n 啊，求出它依次对应它们的现 n 个现行官特征向量 t 到 t n。 然后接着啊，把这个可逆阵 t 和呢对角阵 d 写出来啊，那么就有啊，相似变换矩阵有了，就实现了相似对角化啊。 我们先拿一个，因为求特征值，求特征向量，我们都求过上堂课那个立一，我们拿它来再看一下，演示一下 当时我们给的这个矩阵，立一的矩阵是 a， 是 这个三阶矩阵，求出来两个特征值， lm 的 等于二和 lm 的 等于负七啊，那我们知道大家看 他所有特征值，三阶矩阵有三个特征值，二，二夫妻，那么二这个特征值对应了两个线形无关特征向量， 夫妻这个特征值是不对应了一个线形无关的正向量啊。那么三阶矩阵有三个线形无关特征向量，那么这个时候这个三阶矩阵可以相相互调化，那么如何相互调化呢？我们就说只要啊令 t 相似变换矩阵是等于可算一，我不写了，就那个可算二，然后可算三，那么这个对角阵 d 呢？我写成可算一，可算二，对应的特征值是二可算三，对应的特征值是负七。 那么这样的话呢，那就有 t e， a， t 就 等于 d 就 完成了啊，这就是相似表达的 相思对氧化的过程就是求特征值和信庸观特征向量。好，我们再来看一个题，考虑一下。刚才说学习相思对氧化主要是为了简化嘛， 解决问题的简化。现在我们就来体会一下这个相思对氧化有什么用。 a 呢，是个三阶方阵，已知它的特征值是一负一负一，然后 t 一， t 二和 t 三依次是这三个特征值对应的特征向量。那么求让你求 a 矩阵 啊，进一步呢，让你求 a 的 九次密。好，那么我们知道 a 是 三阶方阵，它现在有特征值都知道了，而且呢，它是不是有三个限行官特征向量啊？啊，它是有 这两啊，这个是 t 一 的特征向量， t 二和 t 三是不都属于负一的？ t 二和 t 三是不。显然限行官啊， 两个向量对应分量不成比例，就限行无关呗， t 二 t 三肯定是限行无关的，那我们根据上堂的一个结果，每个不同的特征值啊，属于不同特征值的限行无关。特性向量放到一起，是不是仍然限行无关啊？所以这三个 就是线段的特征向量，所以 a 就 有三个线段的特征向量。那么根据刚才给的结果，这个 a 是 可以相对比较化的。怎么相对比较化呢？ t 就 取成这三列，那么对角阵呢，就取成对应的这个特征值， 然后就有这个结果， t 逆 a， t 等于 d。 那 么注意到，我现在就是啥都没想把它写出来了，现在想想我要干啥？我是要求 a 矩阵啊，那么现在 t 是 知道的， 当然 t 逆是可求的， d 也是知道的。那么现在我只要把 t 逆和 t 扔到那边去，把 a 写出来就可以了，把这个式子的两边同时左乘 t， 右乘 t 逆， 得到了这个结果。这个结果啊，下面就是计算问题了，留给大家自己算啊，回去一定要算，我和给大家说一下你应该怎么算，也回顾一下以前的知识， 当然一定这个实践能力要强啊，计算能力要强。现在呢，那个那个 t d 是 很容易求的， t d 是 很容易求的啊， t 就是 这三列了，对吧？右边成个对角阵的话，是不是拿这三个元素分别去乘 t 的 第一列，第二列、第三列啊？所以 t d 是 很容易求的， t d 你 是可以求出来的， 你现在要求的是，要求的是 t d 梯逆，是不是要把这个已知举针又成个梯逆啊？这相当于已知举针又成个梯逆。你是不是可以用等列变换啊？怎么做呢？这里放一个梯， 下面放一个 t d， 这都是已知的对他做出等列变换，因为 t 是 可逆阵，经过列出等变换，是不是一定可以化成单位阵啊？当 t 转化成单位阵的时候，这个位置一定转化成谁，就是 t d。 t 逆是吧？这个位置放的就是你要求的，原因是啥呢？你看啊，你对 t 做列出等变换，化成单位阵的话，我们这相当于 t 又成了一个可逆阵，等于单位阵，对不对？ t 乘以哪个矩阵能等于单位阵呢？一定成的是 t 逆，对不对？说明对他做那个列变换，相当于对他又成了一个 t 逆。而这部分呢 啊，你对 t 做的列变换波及到了 t d 身上， t d 受用了同样的列初等变换， 那么 t d 的 结果是不是也相当于又乘了 t n 啊？所以这时候你就得到了这个结果，大家回去啊，一定要算一下，计算很简单啊， t 和 t d 都可以知道，按照这个方式就能把它算出来了，这是这个结果。 好啊，这个结果算出来之后呢，我先讲一下它说明个啥问题， 它说明啥呀？大家看 a a 矩阵现在是不是就是用特征值和特征向量的信息就完全还原出来了，这说明了什么呢？在 a 可以 相似对角化的时候， a 的 特征值和 a 的 特征向量代表了 a 的 全部信息。 因为知道大家知道刻画一个矩阵有方方面面有很多事情，比如说它的质，比如说它的行列式，比如说其他等等 啊，现在还有特征值，还有特征向量，那么你说行列式代表了特征值多少信息？是一些质代表了一些，只能说部分， 对吧？现在呢？说如果 a 可以 相似对化的时候，我 a 我 可以完全不知道，我只知道它特征值，特征向量的信息，我就可以还原出 a 整个的信息，这是不是说明特征值和特征向量确实反映了 a 矩阵啊，一些本质的，而且很多时候是全部的， 很多时候最指的是可以相似对氧化的时候，所以我们要考虑相似对氧化啊，只有在相似对氧化的时候，它才可以代表特征值和特征向量，才可以代表 a 的 全部信息。如果它不能够相对氧化， 代表不了全部，只能代表可能很大的一部分啊，这个要清楚，这就说明我们做这个事有啥用。好，接着下边我们来看 a 的 九次密啊，算 a 的 九次密，那我们来算一下，在前面第二章的时候，学矩阵的时候，大家应该算过 a 的 九次密啊，不是 a 的 九次密了，就算过一个矩阵的高次密，大家应该有一个印象，实际上是很难求的 啊，只是某些特形，比如质等于一的矩阵啊，什么什么等等，我才很容，我才可以或者说相对容易的求出来他的高私密。那么现在呢，对于这个 a 来说啊，这个 a 矩阵来说，这个 a 矩阵让你如果让你直接去求 a 的 九私密， 应该是很有难度的，计算量很大，你要真能算出来，我就让你算一百次密，反正它难度大，对吧？啊？但是现在呢， 现在呢，如果 a 可以 相互对角化，它和对角阵之间建立了这种关系，我们来看一下，那么这个时候呢， 这个九次密就相当于成了九次乘法，满足结合率。我把中间的是不是 t， n 和 t 都碰上了， t， n 和 t 一 碰上就变成单位阵了， 所以中间的 t 和 t 密是不都没了，那么中间这个 d 九个 d 是 不就碰上了？所以其结果呢，就是 t 乘以这个对角阵的九次密，再乘以 t 密一个对角阵的高次密，很好算呢，是不是就相当于九次密取进来， 那么这个时候呢？取进来，那么这个是不是就是 a 本身？ 那么第二问题就体现了什么呢？ 相似对氧化的一个简化的作用，它确实能让我们处理很多问题变得简单啊，可能有些根本完成不了的，有了相似对氧化就可以完成了。 而且在这里大家再再一次可以体会，我们说简单的往往是最重要的，你会算了对角阵的高次密的话，你就能会算，能会解决一大批矩阵的求高次密的问题，借助于相似的这个手段。 好， 那么下面呢，我们接着来考虑。刚才提到相对氧化这么重要，我们下面考虑个什么问题呢？就说我要相对氧化，我 a 就 得有 n 个线形物官特征向量， 那我考虑什么问题呢？每个特征值得贡献多少个特征向量，才能保证矩阵能有 n 个线形物官特征向量，从而保证它可以相对氧化。 那么先看这样一个结果啊，我们来证这样一个结果，这个结果前面我提到过， 上堂课我们啊定义了几何从数和代数从数的概念，我也说了，一般来说一个特征值的几何从数是不超过代数从数的。现在我们就来证明一下这个结论， 我假设篮的零呢是 a 的 一个特征值，当然这个 a 还是 n 接的啊啊，而且我假设它的几何从数是 r， 那 现在我要证明的是它的代数从数呢？至少是 r 啊。那么几何从数是 r 是 什么意思呢？是不是说明篮篮的零这个特征值对应了 对应了 r 个现行无关的特征向量啊？对吧？那我要证明代数从数是 r， 什么意思呢？我是不是要说明这个特征多项式当中蓝的零这个特征值至少有至少是 r 从的， 对吧？那我就要证明的是这件事，这是那个特征多向式，我要证明这个特征多向式至少有二个量的减量的零这样的因子， 对吧？好，这是已知条件，这是我下面的方向。现在这个问题啊， 我们前面求特征值这个矩阵都得知道，现在呢？这个矩阵就是一个符号，我们说是抽象的，看起来这个抽象的一个符号，我要说它的特征值 啊，我要说啊，它是这个，它的特征值啊，有二从个蓝的零啊，看起来是很难的啊，看起来这个事很难。 嗯，一会稍微休息，休息五分钟再说吧。啊。

今天我们给大家带来一道限信怠速当中一个比较复杂的问题啊，也是近两年 啊，二五二六模拟卷当中经常出现的一个问题，是什么呢？就是说我们使用同一个矩阵或者同一个可逆的限行替换，把一个正定矩阵化为规范型，然后呢，把一个可逆矩阵化为标准型，是不是啊？标准型， 首先呢，问题是这样的哈， ab 都是实对证矩阵，记住，其中 a 是 正定啊，正定矩阵它一定和同一单位正，是不是啊？则存在这样一个可逆的矩阵 p， 使得 p 的 转至 a， p 等于 e， p 的 转至 b， p 等于 number。 也就是说，我利用同一个可逆矩阵 p， 使得 在这个 p 的 作用下，使 a 和同一单位证，使得 b 和同一个对角证，是不是啊？对角证用同一个可逆矩阵 p 是 不是啊？那么也就是说，用二次形的语言来描述，就是可存在一个可逆的线圈替换，是不是 x 等于 p， y 可以 把一个正定二次形怎么样？ 合同于规范性，是不是啊？对不对？因为这个易对应的是规范型。然后呢，把另一个二次型合同于什么呢？合同于标准型，是不是啊？合同于标准型，那么这样的矩阵 p 怎么去找哈？为什么他存在 啊？记住哈，核心就是同一个相似变换矩阵，把另外一个矩阵化，为什么型？使对称矩阵化为标准型， 那么为什么存在这样的矩阵 p？ 我 们先看一下，因为 a 是 正定 z， 所以 它一定存在一个可逆矩阵 c， 使得它可以怎么样？合同 于单位 z 是 不是？合同于单位 z， a 是 正定吗？所有的测值都是大于零的，是不是啊？它合同于单位 z， 那 么因为 b 是 实对称矩阵 c， c 的 转至 bc 仍然是实对称矩阵，为什么呢？我们看一下是不是等于 c 的 转至 b 的 转至再乘以 c， 因为 b 是 实对称矩阵，就 c 转至 bc， 是 不是等于它本身啊？所以它是实对称矩阵。 那么既然是实对称矩阵，一定存在一个正交证 q， 使得 q 的 转至乘以 c 转至 bc， q 等于 lamb 的。 我们说只要是实对称矩阵，它一定存在一个正交证，使得它怎么样 可以合同一个标准那个对角证，这个对角证上的对角圆就是由他的特征值所构成，这个 q 的 列就是由他的特征向量经过斯密特增加化、单位化以后所构成，是不是啊？于是呢？最后我们令什么呢？令这个 p 等于 c， q， p 纪委所求的取证，使得 p 的 转至 a， p 等于 e， p 的 转至 b， p 等于 number。 那 么为什么 p 等于 c， q 就 满足这个条件，能够使得这个 p 让 a 怎么样合同于单位证，让 b 合同于那个对角证， 是不是啊？前面我们再捋一下啊，这个 c 怎么来的？是把这个十对乘矩阵怎么样合同于单位正所需要的矩阵 c， 是 不是啊？然后呢？ c 的 转至 bc， 又是这个十对乘矩阵，所以存在正交证 q， 使得这个市值成立。那么最后我们看一下，为什么 p 的 转至 a， p 等于一，是不是啊？ 因为 p 的 转至 ap 就 等于 c， q 的 转至 a， 由于 c 的 转至 ac， 这个是谁？这个是 e， 是 不是啊？所以他就进一步写是什么 q 的 转至 eq， 当然就是单位正的对不对， 而 p 的 转至 b， p 就 等于 c， q 的 转至 b 乘以 c， q 等于 lamb 的， 这个是在这里就有了，对不对？所以这样的问题，它的解析步骤我们刚才整理了哈，第一个就是把这个正定矩阵怎么样？先利用配方法哈，把它画成什么形？ 规范型，得到这个 c。 好。 然后呢，再用正交变换把这个矩阵 c 的 转至 b， c 是 不是啊？把它化成标准型，得到 q， 然后令 p 等于 c， q 就 搞定了。 好，所以第一步先要把这个正定矩阵是不是啊？注意下这个正定矩阵，利用配方法把它化成什么形？化成规范型。然后呢，得到这个矩阵 c 之后哈 啊，这个 c 之后，再把 c 的 转至 bc， 利用正交变化换为标准型，就要得到 c 和 q 之后 p 等于 c， q。 那 么我们来看这样一道立体哈，这样的立体 a 和 b， 第一个证明 b 是 正定矩形，这个很好证明，只要他各接主旨式，怎么样 代理好这个我们就不争了哈。求可逆矩阵 c 使得 c 的 转至 b， c 等于 e， 任意矩阵一定可以怎么样？一定可以和同于单位矩阵，是不是啊？第一问，就是做一个缓冲。第二步呢，求可逆矩阵 p， 就是 刚才我们讲的使得怎么样呢？ 使得以及对角值 lambada 哈， lambada 使得 p 的 转至 a， p 等于 lambada， e 的 以及 p 的 转至 b， p 等于 e。 也就是说，用同一个可逆矩阵 p 将 a 怎么样？ 把 a 化为标准型，把 b 化为什么型？化为规范型，是不是啊？规范型第一问，相当于是一个缓冲，是不是啊？ 那么它比较简单， b 是 实对称矩阵，又是正逆矩阵，我们把它对应的二次形写出来，用配方法，一次只配一个字母，先配谁？ x 一， 是不是啊？那这里就加一个 x 三的平方，再减一个 x 三的平方， 就 x 一 加 x 二完全平方，再加 x 二方，加 x 三方，那这个是 y 一 y 二， y 三是直接变成了规范型， 对不对？所以我们令 y 等于它得到 y 等于这个矩阵乘上 x， 但是我们要的是 x 等于什么？ p y 是 不是啊？所以它求逆之后等于这个字， 是不是啊？既存在可逆矩阵 c 使得 c 等于它，我们把它标出来，哈，那么最终使得什么样呢？使得 f 等于 c， 既得到它就等于 e， 是 不是啊？就是 c 的 转至 b， c 等于 e， 这样 c 求出来了以后，那么我们看一下， 第一问中，我们看 a 是 使对称矩阵，是不是啊？我们得到这个将正定矩阵化成什么形？ 化成规范型所用的这个可逆可逆的线圈替换 c， 就 要去把什么 c 的 转至 ac， 仍然是一个对称矩阵，把它利用正交变换，换成什么型？标准型，是不是啊？于是呢？我们找到 c 的 转至 ac 就是 d， 这个矩阵是这样的， 由于它是实对称矩阵，所以我们一定存在一个什么证，证交证 q， 使得 q 逆 dq 等于 q 的 转至 dq 等于 lamb 的， 是不是啊？等于 lamb 的 好，那么这个步骤都是老套路啊，先求特征值对不对， 再求它对应的特征向量，零对应的特征向量一个一，这个重根对应的特征向量。这个当然你也可以用前面我们讲过的取零交换法和斜两次法来求，是不是啊？那么得到这三个特征向量以后，它本身就是正交的，是不是啊？然后呢，求单位化，也是单位矩阵，是不是啊？令 q 等于阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三。 最后呢，我们求出 p 等于 c， q 可逆，最终我们就得到什么呢？ p 的 转至 ap 就是 c， q 的 转至 a， c q 等于它，是不是 等于 number 第二个呢？ p 的 转至 b， p 等于一，是不是啊？等于一？好，前面的步骤同样例二，我们也看一下啊，他说求一个可逆的心心替换 x 等于 p， y 把它与它同时标准化，是不是啊？化成标准型。 那么刚才我们讲的模，那个模型是不是对他也适用啊？只有其中一个是正定矩，是不是啊？那么规范型也是什么型？标准型， 那我们来看一下啊，他们对应的矩是他哪一个是正定矩？ a 正定哈，容易判断哈， a 是 正定的好， a 是 正定的，我们先利用配方法把它画成什么型？标准型，是不是啊？标准型得到，这样对不对？ 最后呢，得到这个 c 矩阵 c 啊，于是就得到 c 的 转至 a， c 等于什么 e， 然后我们再来研究 c 的 转至 bc， 是 不是啊？这个矩阵 d 是 不是啊？利用正交变换把它化成什么形？ 标准型哈，先求特征值，再求特征向量，它是三个单根，是不是啊？单根阿尔法一，阿尔法阿尔法三，再正交化，得到什么 q， 是 不是啊？得到 q， 最后呢，我们就令什么使得 q 的 转至 dq 等于标准型，那个对角正零一五是不是？零一五是它的特征值。 好，最后呢，我们就令 p 等于什么 cq 好， 得到这个矩阵，则就得到 p 的 转至 ap， 是 不是啊？等于单位正，是不是啊？ 于是我们就得到这个 p， 是 不是啊？等于 c q， 最终呢，可以使得在 x 等于 p y 的 这个心心替换下，把 f 化为什么型？标准型，把 g 也化成什么型？化成那个标准型，对不对啊？标准型。 所以这个问题呢，就给大家提供了一种解析套路啊，但大家关键是要对前面的黑体字的证明要理解哈，就怎么样找到这样一个可立矩阵 p， 使得他能够把一个正令矩阵化成什么的合同于单位证，又把另一个可立矩阵合同于什么 对角证，是不是啊？怎么去找？好？欢迎各位小伙伴评论区留言，好喜欢我们的视频，可以点赞关注加分享啊！评论区欢迎大家留言，明天我们更精彩！

欢迎你们来到静哥二六款预测的最后一题啊，那这是我们的最后一题， 那么静哥呢，是在二六款已经更新了预测题，已经更新了两百多道题了啊，静哥坚持每天更新的是最后一道题，静哥也非常开心啊，非常开心大家完成这道题就可以撒花了啊，也祝愿大家能够成功上岸。 好，今天我们讲的最后一道题呢，是关于二次型的同时和同轴对角化啊。啊，这道题呢是两问啊，因为考研的话，他没有考过这个同时和同轴对角化，所以这里设计了两问，比较符合考研的风格。那我们看下第二问啊，求 a 可以 选 p 和对角选，等它 p 转 a， b 里等它就用把 a 进行和同轴对角化。 那么毕业证定的啊，毕业证定，所以把毕业也进行合同，对啊，合同到单位证。好吧，大家这种这这个说，这是什么？这是矩阵的说法，身上还有个二次型的说法，就大家知道矩阵的合同不就二次型合同吗？对不对？ 他这个意思就是说能把 f 这二次型，比如 x 转成 a， x 通过一个可逆变换把它变成 y 转成 number y， 对 不对？变成标准型啊，但还有一个呢，就是后面那个 b， b 的 话呢，一样的啊， 就是把 b 这个二次型是如果有个 g 的 话， g 是 什么？是，是 x 转至 b， y 对不对？我们也做一个 x 转至 b， x 也可以做 x 等于 p， y 的 这么一个肯定变换，它也变成什么，它也变成 y 转至 y 啊， 那这个其实就是 y 转至 y 就是 什么？就是规范型。好吧，这里的 b 是 镇定的，你这样说也可以啊，那这个叫同时合成对角化，这个叫同时化成标准型或者规范型。好吧，好，这期我们来做一下啊。解， 那么这题呢，涉及了两问，第一问呢，就给个提示啊，给个提示就是这个 c c c 的 人， a c b c 的 一，可以吧？嗯，好。呃，第一问，我们是刚讲过的啊。第一问，你先证明 b 镇定，当然很简单， b 这个结论镇定，我们是不是可以用数字四判定，是吧， 一阶乘数是大于零，二阶乘数是一零零一也大于零，是吧。嗯，三阶乘数是就它了嘛， 得到三就是这个 b 的 行的式啊，一零一零一零一零二，可以吧。嗯，这个应该也得一等于一吧，大于零啊，所以呢，则 b 镇定啊，这，这是个提示啊，那 b 镇定了之后，让你求 c 使得 c 转于 bc 点一 啊，这个题我们就要讲过啊，因为 b 镇定的，那 b 所对应的那个二次形所对应的那个 规范型，应该就是这个 e 所对应的规范型，是不是？所以呢，像这种啊，叫你把 b 合通到 e 的 方法，最好的方法就是用配方都比较简单。好吧，配方，把 b 这个二次型配成那个规范型就可以了。因为 b 镇定的，所以我们对 b 这个二次型不行。配方，我们好的 f 等于 x 转至 b x， 好 吧，嗯，那你配方，你把它写出来是吧。啊，是不是等于什么呢？对，角线是一二， 对不对？好，然后剩下的就是，嗯，哎，两倍的是吧，两倍的 x 一 x 三，好吧，就这样啊，我们配方把它变成规范型啊，这样就得到 p 了是吧？ 对，就得到 c 了，怎么配方呢？来配一下。那很简单啊，就直接 x 一 先拿 x 一 配方， 先拿 x 一 所有的向 x 一 拿过来，那就是 x 一 加 x 三的平方，是吧？然后这里再加上 x 二方啊， x 三方就少一个啊，可以吧？啊，够了啊，这就已经是全平方了，规范型啊。我们立， y 一 等于 x 一 加 x 三， y 二等于 x 二， y 三等于 x 三，是吧？ y 三等于 x 三，可以吧？ ok， 好， 没问题吧？那，但是你这个最好把它 x 给他写一下啊，就是 你最好把 x 一 x 二 x 三写成 y 啊，因为你做的变换要等于 x 什么什么 y 吗？是吧？你要求逆序的话比较难算，所以呢， x 三呢，就是 y 三了，是吧？ x 二就是 y 二，是吧？ x 一 是多少？ 就是晚一减晚三嘛？就是晚一减，晚三就减掉，晚一减个三就减晚三，是吧，可以吧，这样的话比较简单啊，对应的曲线应该是这个， 嗯，一零负一零一零零零一，对吧？晚一晚二，晚三，可以吧？好，就它啊。 ok， 好， 就这个，这个呢，咱们就是切去你的 c 了啊，这就是 c， 可以 吧？所以呢，这样的话， f 这个二次型， l 转至 b x， 对 不对？ 好，做这个变换， x 转 a x， 我 们就做 x 的 c y 的 变换，是吧？那就是 y 的 转至 c 的 转至 a c y， 对 不对？嗯， f 是 二次型嘛， l 转 b s， l 转 b x x y 变换是不是？变他，是吧，那么这个呢，你最后得到结果是不是这个 y 一 方，这个是 y 一 嘛，对不对？这是 y 二，这是 y 三啊， 对吧？嗯，其实就是什么？这个就是 e 嘛，那肯定是 e， 是 不是？所以就是即 c 转 a， c 等于 e 啊，对吧？因为这个绝对是 e， 是 吧？好，这第一问就完成了啊，好，这个还还哦， c 转 b c， 哎呦，怎么老就超速，这个头大， 对不起啊，扇自己一巴掌啊。好，接下来我们就完成了啊。那关键是第二问，第二问怎么做？第一问事实上是个很重要的提示啊， 第二个怎么做呢？就是你第二个呢，是要做同时和同对角化，对不对？你这个 c 呢，已经得到了，已经把 b 进对角化了，是吧？那怎么办好这个题就很难了。 那么这个 c 啊，能作为这里的 p 吗？那肯定不一定是吧，因为 c 的 转折 ac， 他 不一定是对角制，对不对？但是呢，这个 c 已经把什么把这个 b 进行和同对角化呢？那很显然，我可以把 c 作用在 a 上， 就说我设一个 d 啊，这个抖友们要知道， d 等于 c 的 转至 ac， 好 吧，这里的 a 使对称的，这个 d 啊， 肯定是使对称的，你可以证明一下，则 d 为使对称啊。使对称，你可以证明一下啊，当然很好证，我稍微正一下吧。 d 的 转制穿脱率啊， a c 对 吧？嗯，呃， a 的 转至对吧？ c， c 的 转至 c 还是他吗？那这个其实就是什么？ c 的 转 a， c 对 吧？就是 d， 对 不对？那这样的话呢， d 本身是对称，所以我可以对 d 做正交变换，则 你可能首先正交 q， q 转至 d， q 是 什么？是对角针，那么他大家听懂吧？啊，好，那就很显然了， d d 这个矩阵，我们可以用 q 的 转至 d， q 等于那么大。 d 什么呢？ q 的 转至 c 转至 a， c q 对 吧？等于那么大啊，你把它，再把它写成 c， q 的 转至 a， c， q 是 不是等于那么大？哎，你看，这不就很像 p 了吗，是不是， 对不对？这不就 p 吗，对吧，是不是 p 美女啊。但这个 p 能让 我们还要满足 p 转的 p p 等一吗？能，能让它等一吗？其实可以的，因为 p 的 转至 b p 等于什么？是不就是 c q 的 转至 b c q 等于 q 转至 c 转至 b c q， 可以 吧，那也就是 q 转至 e q 啊，等于 e 啊，可以的啊，但是很很显。因为 c 转至 b q 嘛，你做的正交变换它是不影响 b 的。 能听懂 𠲎， 那 必讲必的，所以这个是可以的啊，所以 p 就是 c q， 那 这个题我觉得我应该做完了，好吧，呃，其实就是什么？你把这个结论算一下，把这个 d 算一下， 对 d 进行正弦上数转化，那 p 就是 c q。 好， 这答案能听懂 𠲎， 好 吧啊，这个思路我就我说满了啊，然后，呃，你我告诉大家答案，好吧，答案，这个 d 是 个矩阵， 对 c 的 软 a c 是 什么局呢？乘一下啊，乘一下就是一零零零，一零和零零零，好吧，然后呢， q 把 d 进一，对啊， q 什么 q 这个啊， q 是 也比较简单啊，零零一，然后这是一零零，最后一个是零一零啊，这样的话呢， q 转至 dq 就是 能它，好吧，能它啊，这就是零一啊， 可以吧。然后这样的话呢， p 是 等于 c q 的 啊，乘一下就行了， ok， 嗯，就这个负一一零啊，就这个答案啊，你自己做啊，一零零， ok 吧。嗯，这样的话，霹雳转至 a p 就 等于等它霹雳转至 b p 就 等于 e 啊，就做完了啊。我觉得这个东西为什么很容易呃，最后我再强调一下，为什么我觉得这个东西很容易考， 你们有没有发现这题两问，第一问，求 c 的 时候，我们用什么东西来求的？我们是不是用配方来求的？ 是不是？那第二问，求这个 p 的 时候，我们是不是要把这个 c 转的 ac 进行正交像素氧化？我们是不是做了正交变换？所以这个这种题呢，他两个都考，既考了配方，又考了正交变换，所以他特别重要 好吧。啊，所以呢，这个题特别重要，但这个题我觉得是考试比较容易考的东西啊，它也不难，但是呢，它两个都考了，很综合。好吧，好，这就是我们二六款预测的最后一题啊，谢谢大家！最后一题啊，完结，同学们撒个花 好吧。嗯啊，希望同学们明天好好考试，成功上岸，谢谢大家。

大家好，老杨给你讲题了，一看这两道题啊，好像蛮复杂的，给人一个高深莫测的感觉。 a 加 b 等于 ab， 证明 a 减一为可逆取证。这用了什么知识点？用了可逆的定义，要想证明可逆，只要证明两个鬼东西相乘等于单位取证，一个就是另外一个的可逆 逆取证，将证明两个数字是互为倒数，一个就是另外一个的倒数，就用这样来整。 那怎样弄呢？很简单，我们把 a 加 b 减 a， b 移过来不就行了吗？然后要产生个 a 减 e， a 减 e， 怎么产生个 a 减 e？ 那简单，我们可以这个地方，我先悄悄地提取一个 e， 提取个 b， 有 没有发现？所以 我再搞一个， a 减一加上一减 a 一 减 a， 我 要把它变成减号， a 减一乘以 b 等于这个，则负一。 这时候我就可以左提取个 a 减一，就变成了一减 b 等于负一，我再把这个符号放进来， a 减一乘上一个 b 减一等于一。 好了，我们就证到了。第一位。好，怎么证的呢？所以 a 减一是可逆的，它的逆绝对等于什么？ b 减一 好，这就是第一位就轻轻松松的做出来了。第二位，要想证明 a， b 等于 b 好 不好？ 好，根据我们刚才求的， a 减一的逆是等于 b 减一，所以我可以让 b 减一和 a 减一相乘，是不是等于单位矩阵？哎，那为什么？ 哎，因为两个矩阵互逆，谁乘谁都等于单位矩阵。 但是这样一变，就成了一个现象了， b a 减 a 减 b 加一等于一，所以就得到了 b， a 等于 a 加 b， 而 a 加 b 又等于什么？ ab， 所以 得这 好了，那下面第三题求这 a 矩阵 好，第三题怎么做呢？ a 减一的逆 是等于 b 减一，所以 a 减一就等于 b 减一的逆，是不这样子，所以 a 就 等于一加上 b 减一的逆 啊。这道题原来只要求一下 b 减一的逆就行了， 隔开下面我们就开始用 b 减一和一放在一块，求它的逆距值好， b 减一就是零负三零二零零零零一， 简单不？一零零零一零零一。所以这道题啊，它的计算不复杂。 第二行交换的，第一行乘二分之一，就是一零零零二分之一零，第二行乘以负三分之一，就是负三分之一零零。第三行不动， 我们就非常快速的求出了 b 减一的逆等于什么？零二分之一零 负三分之一零零零一，所以 a 就 等于相加就得到一二分之一零负三分之一零零零二。 好了，这就是这道题的最后答案，你算对了没有？ 各位默默学的小伙伴， 老杨给你讲这道先行代数题，这就是我们经常讲的一个项链，能不能有另外一组项链先行表示，表示是唯一还是表示不唯一还是不能表示？ 整个题目最复杂的计算是什么？告诉老杨，就是错误的行变换，就是把 r 发一， r 发二， r 发三， b 大 写在一块，然后把它 k 幺幺幺， k 幺 这种东西啊，我希望你要倒背如流计算起来。下面经过错误的行变换怎么算呢？ 啊，这算呢，有个小技巧，我们希望啊把字母啊，哎，上来就有个字母蛮痛苦的，所以我们把非字母的数啊调上去，怎么调？一三两行对调好不好？ 一一 k 二，然后是一 k 一， 一 k 幺幺负三，这样我算起来呢，就舒服一点， 就不要过早的碰到字母。乘上个负一加上去零 k 减一，一减 k 和负一，蛮好的， 感觉的，有规律出来了，然后第一行乘上个负 k 加上去就一减 k， 一 减 k 平方负三减二 k， 是不是挺好的？哎，这样就不要分什么 k 是 正大，是负的一一 k 二 k 减一，一减 k 负一，把第二行加到第三行， 二减 k， 平方减 k 啊，然后这里面的负四减二 k 不是 蛮好的吗？ 其实到这呢就可以讨论了，但是总觉得这个地方还可以再写一步，实际上这一步呢，没有进行任何变化，只是干了一件事。什么事呢？ 把二减 k 平方减 k 呢？应试分解。老师，我这个不会分解，那就这个鬼东西，二减 k 减 k 平方等于什么？ 二加 k 乘以二减 k， 哦，一减 k 是 不是这样子的？哎，你这个太快了，我这个我光这个就要把我想半天了。 不是二加 k 就是 二减 k 嘛，要出现负 k 嘛，肯定二乘了负啊，然后就成了正的啊，不就这样子出来吗？所以 小伙伴不要急啊，老杨这些小的技巧都会一一告诉你的。然后这题就个负二，就是二加 k， 心里就有数了，这个题就到这，我们就基本上 妥妥的，最复杂的计算我已经画出来了，下面就开始讨论了。第一个，当系数矩阵的值等于增广矩阵的值 等于 v， 这张勾是三的时候，是不是为一节？为一节就表示什么为一表示，所以为一表示这种情况是为一表示 啊。那为一表示就要求什么 k 减一不能等于零，你必须要有三个分零行，那第二行必须要不等零，第三行也不能为零， 所以我们就得出 k 不 等于一，且 k 不 等于什么负二来继续这答案。 第二个，当系数矩阵的值不等于增广矩阵的值的时候，老师你怎么老是用方程组来解啊？不就是方程组吗？不能表示吗？就是前面没有系数吗？不存在 k， 不 存在 x、 e、 x r、 x 三吗？ 啊？不等，我们说不等就是小宇，那小宇要求前面的值小，后面的值大，那至少这一行不零，这个不等于零。所以我们就立马得出 什么现象，要么 k 减一等于零， k 减一等于零， 它等于零，那随便你这个地方为什么值？ 因为你你已经搞了这个负零了。所以第一种情况是可以的， k 减一等于零，或者呢？ 如果我 k 减一不等于零，那我就二加 k 等于零，二加 k 等于，那就还是一样的，你这不是一一样的就有解了。所以这个就不行，只能 k 减一等于零啊，是这样分析的，所以 k 就 等于一， 这这种情况可以。好，第三种情况 啊，不好意思啊，这是第三种情况了。第二种情况啊，这是不能表示。第三种情况，要能表示，就是就是我这个刚才解的解的顺序啊，这是不能表示。好，我现在来解第二个啊，能表示 就是要小于三，只要小于三，有几种情况呢？要么你最后一行全是零哈，所以我们就会得到， 二加 k 乘上一减 k 等于零，负二乘上一加 k， 二加 k 等于零， 因为你这个地方零就不行了， k 减一等于零，这个地方是负一就无解了，所以这时候呢，我们就得到 k， 只能 k 等于什么？负二， k 等于负二的时候有无穷多解就是，所以这答案呢，要搞清楚啊，第一题答案是不等于一解不等于负二，第二题的答案是 k 等于负二，第三题的答案是 k 等于一好不好？三种情况 就是我们对应的解的三种情况。 好，各位小伙伴，我们看这道题，一看这道题呢，就是一个 中值定底对吧？只要看到 b 圈连续开圈刻到，且 f 一 等于 f 二等于四，显然两个端点值不一样，那么存在可 c 所一到二，使得 f 一 变，可 c 啊等于这样子。 老杨再次强调，只要出现逻导数 你这个等式，你这个方程中出现导数，那十有八九就是用鲁尔定律来证明，那么鲁尔定律最难的，我们一直强调就什么就构造，那怎么构造呢？其实也是有公式的，像这种呢，我们 把这公式直接给你啊，我们到寒假班再详细的介绍这个公式。这什么意思呢？那 f 一 撇可 c 等于可 c 分 之 f 二 f 可 c， 第一步你把可 c 换成 x， 然后移过来就减掉 x 分 之二乘上 f x 等于零， 那么这个时候，呃，再写的好看一点，就 f 一 撇 x 加上 f x 乘上这一坨，就是负 x 分 之二等于零。那 把这个找出来以后啊，一定要画这种标准形式哦， f 一 撇 x 加上 f x 乘上这一坨，那么我就可以直接构造了。构造什么？ 就是我们分析一下啊，这个分析不是解体过程，我相当于老杨的草稿纸一样的，我就可以拎大 y f x 等于什么呢？小 y f x 乘上个一的， 那把这一坨放在这，负 x 分 之二 d x， 这就老杨所说的 h x， 那 这就是 h x， 那 就行了，那这样我就把它构造出来了。积分一下， 好，这是一的负二零绝对值好不好，因为这个 x 全是正数，一到二嘛， f x 好， 一的 l x 负二次方，然后化简下来就 x 平方分之 f x。 好， 这样好了，我们已经找准了，这个就是 f x， 那 老安你这个积分应该加个 c 耶，我们这只要找一个主元函数，不带常数 c， 这样我们画起来比较简洁。好，这就是整个分析的过程。 好，有了这个分析的过程，下面直接证明了。哎，老杨你这公式蛮好的嘛。啊，这个公式呢，老杨会在寒假班里面再详细的介绍啊，因为我们讲模拟卷嘛，就不要讲得，那么这个公式怎么来的就不说了。好，零 大 f x 等于小 f x 比上 x 平方啊，这，这一步最值钱的，就这一步，你哪怕后面都不做，你先光写了这个，这道证明题十分的话，你这至少是四分。 显然在一到二上连续 一到二内可导 b 曲线连续开，曲线可 导。且呢，当 f 一 等于多少带进去，小 f 一 比上一的平方正好是一，当 f 二等于小 f 二比上二的平方，为什么小 f 二等于四了，那四分之四就是一， 所以两个端点值相等。好，这是我们最核心的，那么根据罗尔定律， 一定会成这个可 c， 所以 一到二有，你看这种写起来行云流水，手心冒汗这种感觉到 f 一 撇，可 c 等于零成立 好了，到这还没有完，到这，如果这道题有十分，你到这最多只能拿八分， 最多拿八分，因为我们证的结论是这个结论，你怎么可以这样子写就结束呢？好，下面又要写啊，又，因为大 f 一 撇 x 等于多少？好，我们开始求啊，分母的平方， 是不是啊？分母的平方就是四，然后分子先倒乘，分母不倒 减去分子不倒乘分母求倒就是二 x。 好， 所以我们带入这个东西等于零，那我们带进去就是 f 一 撇和 c。 好， 那 我们就可以把那个 x 约掉，或者是不约嘛。可 c 平方减掉 f， 可 c 乘上个二，可 c 比上 可 c 的 四字旁等于零。有一种可 c 数一到二，所以肯定是个正数，那我就可以把可 c 四字旁约掉。 下面一个化简的过程啊， f 一 撇克 c 乘三个克 c， 平方减掉 f 克 c 乘三个二，克 c 等于零啊，这步应该也没问题，然后再除过去 等于移过去，除过去就是克 c 分 之二 f 克 c， 所以 得正 怎么样？那把这个除过去，与这个可 c 移过去，所以这样才完美的证明出这样的结论。到这呢，十分就满满的拿到。 所以说这个抽啊，它是有公式的，当然是鲁尔定律的。呃，它抽大 f x 啊，有各种各样的模型。呃，这是其中的一个简单的模型，就是我们把这个模型称为叫 也将会天下为师吧，就是 f 一 撇 x 加 f x 啊，这种类型的，凑微万法啊，凑这个大 f x。 具体呢，我们在寒假班里再讲， 各位默默学的小伙伴应该说这道题啊，是一个真正的亚洲题啊，所以计算量又超大，考的知识点又特别多的一道题啊，这个就属于难题了啊，他把很多知识揉在一起，好听大家分析啊。 首先告诉你，零到一上连续零到一内，开机间内大于零啊，说明这个 f x 呢，是在 x 的 上方，那么呢，满足这样的方程，然后围成的面积等于二，求函数 f x 的 表达式 还是一样的，没告诉你 f x 的 表达式，只是通过一个微分方程的形式给了你。那第一步我们就开始来搞 那 f e p x 减 x 分 之一， f x 等于二分之三 a x 的， 那么从这个式子里面，我们就可以用天下为实。 f x 等于多少？ e 的 负的负 x 分 之一 d x 加上 q 啊， e 的 不带符号就是负 x 分 之一 d x， d x 加 c， 你看老杨，老杨写的是不是这么熟练，你也要写的这样子熟练。所以 f x 等于多少？理论上这个化简的过程就不不要写了，直接写最后结果。但是 我跟其他人不一样，我要把这个化简的过程都要给你说得清清楚楚，负负得正，那么 x 分 之一的积分就是 lowing， 理论上是带绝对值的老 a 值，强调在这个里面，我们为了便于计算，不把这个绝对值带进去好不好？这个绝对值我们不要， 目的只有一个，计算方便一的负拉 x， d x 加 c， 你看怎么个方便法子？一的 long x 就 等于 x 啊，这个知识点如果你忘记了，你可以复习一下。 好，二分之三 a x 一 的负 long x 就是 一的 long x 的 负一次方，那就负一次方哇，立马简单通透了，就等于 x 乘上，而这个约调就是二分之三 a x 加 c， 所以 再化简一下，就等于二分之三 a x 平方加上 c x， 太棒了。 这时候呢，我们发现有两个参数，一个是 a， 一个是 c。 此时呢，嗯，又给了一个条件， f x 在 一零，还有什么围成的面积啊？既然围成的面积，我们就要画图，那不画图呢？这道题是做不出来的。 这个是零，这个是一。好了，它是 y 等于 f x 与 x 等于一，是竖线 y 等于零，是横线 x 轴以及 f y f x。 嗯，那只告诉你 f x 是 大于零的，那，那就，那就这样子大于零的， 所以这个的图形就它的表达式。我也不知道 f 零是不是等于零。是不是哦，我看一下， f 零是不是等于零，那肯定等于零。那，那，那说明我这个画的不对啊，我这个地方要要从零开始画 啊，因为 f 零呢，是等于零的。好，这个面积等多少？等于二，那 s 呢？等于 零到一 f x， d x 等于零到一，二分之三 a x 平方加四 x d x， 那等于这个积分就是二分之一 a x 的 三次方，加上二分之一 c x 平方，零根一带进去，就等于二分之一 a 加二分之一 c， 这个结果等于几啊？等于二， 所以呢， a 加 c 就 等于四，所以 c 就 等于四减 a， 好，这有什么好处呢？这个好处就把 f x 的 面积呢又给或 f x 的 表达式呢？又清晰化了，只搞到最后是一个变量， c 减 a， 就 c 没了，就变成四减 a。 好， 这就是它的表达式。 到这儿，我们这个 a 呢，就相当于是一个常数，那它告诉你了， a 是 常数，那我们用常数来表示。 好，第二位呢？ a 为合制的时候，它绕 x 轴旋转呢，体积是最小的，那旋转体的体积公式 v x 等于 pi 零到一，还是这个图形，那就是 f x 的 平方 d x， 这是公式。那这道题真的难记，考在考你的就是二分之三 a x 平方加上四减 a x 的 平方 d x 就 考你。是这个内容，我看这怎么考啊？考你的计算打开， 那很多人不是不会算吗？老杨手把手教你算，四分之九 a 平方 x 四次方，加上二 a b 就是 三 a x 平方，然后四减 a x 加上四减 a 平方 x 平方 d x。 很多人到这就头疼了，哇，太复杂了，这样复杂的计算，你能硬着头皮算出来，我觉得 你就与众不同，你就有韧劲，那可以记了啊。四分之九 a 方 x 五次方，积分就是什么？ x 四次方，积分，就是五分之一，就是二十分之九 a 的 平方 x 五次方 零个一，那么这个是三 a 四减 a， 这个是 x 三次方，接下来就是四分之 x 四次方零到一，加上三分之四减 a 的 平方 x 三次方零到一， 那这个一带进去很简单，所以就等于 pi 乘上二十分之九 a 的 平方，加上三，就是十二 a。 哦，算了算了，就四分之三四 a 减 a 的 平方， 再加上三分之四减 a 的 什么平方？好，这就是体积算出来了， 这个体积算出来以后，我们相面不要急着动，它们什么时候最小，那我们这个时候呢？要对 a 求导，把 a 看成变量， 就是十分之九 a 加上啊，四分之三乘三个 a 啊，就四减二， a 加上三分之二 a 减四啊，把这个符号上面放进去零，这个等于零， 那这个怎么解呢啊？你别看老安这样轻描淡写的，写起来好像很轻松啊。这个，这个东西你要自己画一遍，我这呢手把手教你画。那你要看我算的过程中。呃，一些小的技巧， 这个是减二分之三 a。 好， 你这样子化解积什么 pi 约掉了，那就是十分之九 a 就是 十分之九减掉二分之三呃，然后再加上三分之二 a， 剩下的移过来，移过来就是三分之八减掉三，怎么样？老师，这个怎么算啊？再来个 g， 这个就是二十分之多少二十分之十八减到二十分之三十就是负二十分之哇，太累了，那你就三分之二减二分之三多少 啊？三分之二减二分之三，其实六分之四减六分之三六分之五吧。所以十分之九减六分之五，那就是三十分之二十七减三十分之二十五，就等于三十分之二，就等于什么十五分之一 a 等于负什么三分之一，所以呢， a 就 等于负五，怎么样， 口算都算出来吧。好，根据唯一注点记为最值点， 所以 a 等于负五，体积最小达到最小。 这个时候的表达式啊，我们也可以写出 f x 的 表达式等于多少呢？ f x 带进去， a 等于负五了，就是负二分之十五 x 平方 a 等于负五，加上九 x。 很好啊，这样的题呢，值得你拥有啊，值得你去计算，我呢，手把手教你计算，把整个计算过程都已经告诉到你，你哪算错了，你要去跟正， 这道题你能计算正确，你何出一百五呢？ 各位默默学的小伙伴，那么这道题啊，应该说是常规题， 第一步，我们先等加替换 x 一 减 cos 等于二分之 x 平方，然后上面呢是零到 x， 零到右方 arct 一 加 t， d t， 然后是 d， 等于 x 向零靠近，那这个时候呢，我们就可以 洛比达了，下面就是二分之三 x 平方，上面呢这个洛比达很容易乱，你把这一坨看成是一个大的函数，零到 x， 这个里面对 u 求导， 那么它求导的时候呢，就相当于把这里面含 u 的 换成 x 好， 然后再乘上 x， 对 自己求导就是 e， 好， 再接着 啊，对 x 求导就是三 x， 那 这里面就是 a k， t， n， 一 加 x 法，再乘上个 r x， 那 x 平方的导数是二 x， 这时候把 x 约掉零带进去，就等于三分之二 x 乘以一呢，就四分之 pi， 就 等于三分之二，乘上四分之 pi， 结果等于六分之 pi， 你 做对了没有 啊？我个人认为这道题啊，还是可以的啊，像准准本的考题的真题， 我们这呢没有让你交换积分次序啊，就直接一层层的往下走，还是蛮友好的。