等价无穷小所有公式图表

公式，看着多，找到规律分分钟就能记住。我们分成三组，有三对正反三个拓展和三组相似， 三 x t x e 得 x。 四帮减一法函数分别是 f 三 x x t t x 加一 在 x 区径于零时，都等价于 x。 第三组稍长，也有技巧把 x 看成零，来倍易的零，次方减一等于零，那零加一等于零， 咱再拓展一组。如果把 e 换成 a 时，那么右边乘以浪 a al a 换成 love you a， 右边则除以浪 a。 高中被拐求倒。公式，有一组很相似，请记住出现 a 的 x 四方形式 乘以浪 a 出现闹个 a 是除以浪 a。 再拓展一组 x 加一的 a， 次方减一等价于 ax 四，把 a 换成 n 分之一，就有了上面的公式。

上次我们讲了三对正法，三个拓展，今天来记三组相似，看着繁琐，找到规律只需要一分钟就能记下来。左侧都是减法，右侧都是分式，乘以 x 的平方或立方。记住 cose， x 跟二有关系， 这都是二。番茄 x 跟三有关系，这都是三，这靠散顶平方，其他都是立方。 下按 x 跟六关系，分母是六，我们用一张图也能记住。这是 tiny 与下按的第一项下函数图中间这条线是 x 值， 当 x 为某确定之时，距离代表两个函数的差。所有的等价值都是 x 的立方。过 摊停 x 离 x 远为三分之一，下按 x 离 x 近为六分之一。贪停 x 与下按 x 最远是二分之一。用公式表示如下 法函数也是一样的。记住这张图，五个公式就都记住啦！

每天一节高数课，期末考试不挂科，今天我们来分享一个等价无穷小替换的一个原则，这虽然是一个比较小的知识点，但是很多人在做题的时候对这个点非常的困惑，我们来看一下什么时候可以无穷小替换，什么时候不行。 课本上写的很清楚，就只有对所求极限中相乘或相除的因式，才能用等价无穷效量来替换，而对极限中的相加或相减的部分则不能随意替换。 好，那我们来看一下这个关键的就是相乘或相除的因式。什么叫因式？我们初中都学过因式分解，你比如说 a 方减去 b 方，那我们可以把它分解成 a 加 b 乘以 a 减 b， 那这个 a 加 加 b 这个整体和这个 a 减 b 这个整体就是他的音式，这个就叫音式分解，你一定要对音式这俩字 去理解。好，那我们来通过一个例题来看一下，利用等价无穷小量来代换来求极限，他这个分子是一个坍塌， x 减三 x， 那很多同学做的时候，你就比如说像下面这个去做了， 他上来的话，直接等价无穷小替换，把弹台 x 用 x 换掉，三叶 x 用 x 换掉，分子是 x 减 x 等于零，那这样去换的话就错了，因为我们这样说的很清楚，对极限适中的相加或相减的部分是不能随意替换的， 只能替换的是相乘或相除的因式。那好，那这个题如果正确的去做的话，那第一步弹腿换成三，引出考三应，把考三应给他 题下来，分子变成了这个样子，那变成了这个样子后，我们再去看这个题，那就变成了三应乘以一减考三应这个整体，那一减考三应这个整体，他就可以成为一个因式了，就 相乘或相处的因式。那这个时候我们把三用 x 换掉，一减靠三用二分之 x 方换掉，三 e x 三次方用 x 三次方换掉，然后 x 屈进于零的时候去求极限啊，那答案出来就是二分之一。好，下面的话给大家写了一些 x 去进零的时候，一些常见的这个无穷小替换的一些结论，这个结论的话我们在下节课会去推倒啊，这个结论的话，其实你只要抓住一个关键点就行了，就这个 x 三 exxxxx 一加 x e 的 x 方，这个一定要保持一致向啊。这个很多老师包括我上次说了，他都喜欢拿狗来讲，那就狗啊，这边就是三应狗， 那同样的 x 三英狗，那你也可以一直往下写，把所有的 x 看作一个整体，或者看成一个方块，方块 三，一方块啊，这样都是可以的，把它整体换掉就可以了。好，那我们再看这个例题，这个例题的话，那我们就说了可以直接替换了，因为他没有加减的部分，就是我们这个概念里的相乘或相除的因式啊。那这块的话直接换就可以了。 阿尔克坦坦 x 用 x 换掉，三 e 四 x 用 cx 换掉，我们就说了这个是一个整体，这是那条狗，那这也是那条狗 啊，这是那个狗，这也是那个狗啊，那这样的话他就可以直接换成他了，那答案就是四分之一了。好了，我们下节课来分享一下这个的证明，今天我们就分享到这里。

数学式思维体操，如果你是二五考研的学生，千万不要划走，杰哥将在这个视频里面呢，帮助二五考研的学生解除一个初学者的迷思。那我们可以看三个例子，比如说我们第一个 三元二克二 x 除以 tange 三 x， 我们在计算过程中呢，把三元二 x 替换成二 x， 把 tage 三 x 呢替换成三 x， 得到结果三分之二。那我跟大家说这个呢是正确的，也就是说在乘除中使用我们等价微小替换是完全没有问题的。 那到底为什么呢？我们来看这个三一二 x 除以 tangent 三 x， 我可以对它呢做一个变形，因为我知道 c r x 和 r x 等价， ten 的 c x 呢和 c x 等价，那这个情况下呢，我们可以上下同乘 r x， 上下同乘 c x， 我给他做一个横等变换，你看 c r x 除 r x， 摊进三 x， 三 x， 三 x， 二 x。 各位来看，二 x， 二 x， 三 x， 三 x， 上上同乘二 x， 上上同乘三 x， 所以你发现这两边呢是完全相等的。 ok， 因为你知道 c r x 和 x 等价， c x 呢和 tange c x 等价。所以在 h 于零时，这个极限是一，这个极限也是一，这个是多少？这个是三分之二， 所以我们此时对他取极限，就等于对右侧取极限，而右侧等于多少，右侧的极限是多少，右侧极限是我们的三分之二，所以就完全解决了。但是这个情况下呢，上下同乘二 x， 上下同乘三 x 造成的一个效果就是 好像是我直接把三一 r x 换成二 x， 直接把弹性三 x 换成三 x 啊，所以这是为什么我们可以在乘除中放肆的使用咱们等价五角替换，不会出现任何问题。 好，那么接着呢，我们来看这两个。很多同学在处理这个极限问题的时候，他会有个疑问，就是三 x 呢和 x 等价，那他想把三 x 变成 x 啊，不是等价替换吗？我替换成 x， 得出结果是零，那这个呢，是入门学习时最经典的错误，那到底为什么不行呢？各位注意，我们在使用等价五角替换的过程中呢，本质上，或者说我们在求极限的过程中，本质上要遵循一个什么原则， 遵循一个横等原则，横等原则。各位来看，我们三 e， x 和 x 等价 这个符号是波浪号，他并不是等号，知道吧？他并不是等号，所以说 x 减三 e， x 除以 x 三次方，与 x 减 x 比上 x 三次方，天然的就是不相等的， 对不对？天然就不相等，那你针对这两个不相等的式子，两边同时取极限，你会发现极限就不一定成立了，知道吧？哎，如果说我能对这个式子做横等的 变换，那么使得等号左右两边相等，那等号左右两边同时举击线才是一样的。所以这种情况下呢，直接把三 x 变成 x 这种等加微小替换呢，是错误的，因为它违背了横等原则。那这时候该怎么办呢？各位注意， 我们 c x 呢，实际上是横等变换啊， c x 呢，等于 x 减六分之一， x 三四方加三四方的构建， 我把这里的波浪号，我变成了等号，那好，此时我再去计算它的时候，我就可以针对这个式子呢，作为横等变化， x 减三， x 以上， x 三四方就等于 x 减 x 减六分之一， x 三四方加三四方的高阶除以 x 三四方， 各位看是不是横等的变化？横等的变化三一等吗？对吧？带过来。那好，你就发现这个式子等于多少？这式子相就是六分之一，再加一个三次方的高阶除以 x 方， 他和他相等，那我对他取极限是不是就等于对他取极限，而他的极限呢？结果就是六分之一，所以咱这个结果呢，是等于我们的六分之一的， 对吧？哎，就解释了，为什么你直接在这里把三 x 变成 x 是错误的，就是因为三一和 x 它不相等，你做的不是很等变化。好，接着呢，我们来解释 第三个同样的道理啊，你看有同学说把这里的 cosinex 变成一， 是不是违背了咱们的横的原则？横的原则 cos x 和一 弦按不是相等的，也就意味着 x 减三， x 乘扣三 x 比上 x 三四方，弦按是不等于 x 减三， x 比上 x 三四方的这两是不是很等的？那既然不是很等，你对两边同时取极限，那就有可能出现极限不相等的情况。 从我们要保证我们每一步变化他之间都相等的，一定要做很等的变化啊。其次也是当你把 c x 替换成 x 的时候，你会发现他呢实在是不等于 x 乘 x q 三 x 比上 x 三次方的 都不相等，所以说你不能直接做等价替换。 ok， 当你不能直接做等价替换的时候，我们要注意，我们可以使用咱们的横等变换，也就是态度展开去处理这个问题。你看这个里面呢，我把这个三 x 给它写成 x 减六分之一 x 三次方加三次方的高阶，那就是 limit x 区域零 x 减 x 减六分之一 x 三次方加三次方的高阶啊，乘以我们的 q 三 x 比上 x 三次方， 对吧？好，那你看，我们分子上可以给它拆开 x 减 x 乘 cosin x 加六分之一 x 三四方乘 cosine x 再加三四方的高阶乘 cosinex 抵上一个 x 三四方。 各位注意我们这块呢，根据极限可拆法则，可以把它拆成三个极限， o x x 方乘扣三 x 除以 x x 方。这部分极限呢，是零啊，是零六分之一 x x 方乘 q 三 x 除以 x x 方。极限呢，是我们的六分之一 x 减 x 乘扣三 x 除以 x 方。这部分极限呢，很显示我们二分之一把它拆成三个极限嘛，所以就是我们二分之一加六分之一加零，就得用我们的三分之二。 说了这几个例子之后呢，实际上还有一个比较经典的例子啊，我相信很多同学呢，还是有 问题的。各位来看， limit x 一零。各位来看，有这么一个例子啊，很多同学呢，不知道为什么这个是错误的。 x 一零时，一加 x x 分之二次方减去一方除以 x 这个极限。 由于 e 加 x 的 x 分之一次方在 x 区域零时呢，它是得有我们的 e 的，所以很多同学就把这里呢写成 e 的平方，然后结果是零。好，这是错误的。根据杰哥这节课你的所学啊，叫什么呢？叫横梗变换。 很显然，我们一加 x 的 x 分之二次方减去 e 的平方除以 x， 它并不等于一方减一方除以 x， 它不是很等的。所以针对两边并不是相等的式子，两边投入曲极线就不一定相等了，对不对？ 所以这个题目正确的做法是什么呢？是针对它做横等变换，把它变成 e 的 lone， 然后呢两边同时提一个一方再利用我们等价微小替换就可以了啊。所以这个视频呢，就是帮助大家解决我们加减和乘除中 到底什么情况，应该使用增加不了替换就是乘除可以加减，不可以在加减中呢？我们一般都是使用泰勒展开做横的变换，就一定不会有错。 好，那这个就是我们这一期视频内容，如果视频对待有帮助的话，希望大家能够给杰哥一个视频大大的三连，给杰哥一点小心心。那我们下节课再见。拜拜。

我说一遍啊，各位同学，加法什么时候等 t？ 两种情况，第一，你对我们常见的替换公式你熟不熟悉？如果不熟悉，加减就别替换，你就只记得乘法可替换就可以了，这个也能解决大部分问题， 够六了。你再想加减替换的问题，加减什么时候可替换？有两种情况是可以替换的，第一是低阶加高阶，他直接等价于低阶。我们举个例子， x 确定于零的时候， x 加上 flow 扣三 x， 前面写个三 x 吧，这个你就不用考虑了，你看就直接等价于 x， 因为前面这个三 x， 它是等价 x 的，后面这个 lon cos x， 它是 lon 一，加上 cos x 减一，它等价于 cos x 减一， cos x 减一等价于负的二分之一 x 的地方。这两者什么关系？后面是前面的高阶低阶加高阶，直接等价于低阶。如果你对替换 公式不是很熟练，我跟你讲，这个玩意一点用没有，你看你什么情况？第二个法则，同阶的相加，并且只要系数和不为零， 则可替换。相加的时候系数不能互为相反数，相减的时候系数不能一样。这你就记得啊，同接相加，因为减也是加嘛。所以我就总结这一句话，同接相加，并且系数和部位里则可替换。 举个例子，怎么替换？首先我给他中间减个一，再加个一 cosinex 减一，等价于负的二分之一 x 方，一减去 e 的 x 方次方，这个等价于负。 这两个不是同接的吗？那你一看系数和是不为零的，那么就可以替换等价于负的二分之一 x 方减 x 方，也就是负的二分之三 x 方加法，就这两种情况可替换，那什么时候不能替换？那就是同接相加，并且 系数和也为零，比如说 x 区零， cosine x 减去 e 的负二分之一 x 方， 你要么呢？可以落，被打也可以，他能展开吗？我找到下一节不就完了吗？对他实现降为打击。你看这个例子，我如果给他减个一，再加个一，这就不行了，因为系数和是零啊，你这个扣三 ex 减一等价于负的二分之一 x 方。后面呢？等价于二分之一 x 方的除以和是零，这个就不等值的等级了， 攒到下一节就行。一减去二分之一 x 方，加上四的接长分之 x 的四次方，再加小 ox 的四次方。 e 的 x 次方等于一加 x 加上二的阶长分之 x 方，再加小 ox 方。一减去二分之一 x 方，再加上 二的阶长分支。负二分之 x 方，加小 ox 的四次方，这就行了，括号打开二十四分之 x 的四次方，加上小 ox 的四次方， 减去八分之一 x 的四次方，再减小 ox 的次次方，等于负的十二分之 x 次次方，再加小 ox 的次次方等加于负十二分之 x 的次次方。 好，这个就完事了。第三种情况，如果同阶相加，系数和也为零，那你就他的展开展到下一节就可以了，也可以有更简单的处理方式，都展开就行。做题他就是这样子啊，你要不想动脑子，你就算的慢一些。

这个考试里面啊，单纯的看函数极限相对来说难度比较大的题，从分母入手要好办一些。 x 方减去 ctrl x 的平方， x 减去 ctrl x 乘以 ctrl x 加上 x， 就看你公式熟悉到什么程度了。等价于负的三分之一 x 的立方乘以二 x 负的 三分之二 x 的四次方。我们刚刚用到的摊件的 x 减 x， 等价于三分之一 x 立方。摊件的 x 加 x， 为什么要等价于二 x 呢？同阶相加，摊件的 x 等价 x， 它和后面这个 x 同阶的同阶相加， 如果系数和不为零，则可替换。分子上呢，也是一样啊，看你的公式熟悉到什么程度。你只用明确一点，分母上是四次的，我是不是也攒到四次啊？遵循上下同阶的原则，等于 x 方减去二分之一 x 平方的平方，再加小 ox 的是这个 x 不动展，因为它前面长了 x， 所以上 x 是不是就只用展到三次就可以？ x 减去六分之一 x 立方，再加小 ox 立方。 把这个括号打开。二 x 的平方减去二分之一 x 四次方，加上小 ox 的四次方。那么减 x 方加上六分之一 x 四次方。加小 ox 的四次方。负的三分之一 x 的四次方。 小 ox 四次方，加上小 ox 四次方。万有引力可以吸到一块变成一个，这个就等价于负的三分之一 x 的四次方。 公式足够熟练的话，你可以这么做，减个 x 方，再加个 x 方。这么写。那你看啊，这中间又有两个公式，那一加 x 减 x， 对泰勒公式足够熟悉之后，这个能直接写出来等 价于负档二分之一 x 的平方，另一个其中的更多 x 减三 x 等价于六分之一 x 的平方， 这项就等价负二分之一 x 平方的平方负二分之一 x 的四次方等价于 x 乘以六分之一 x 的地方，六分之一 x 的四次方 接数是不是相同的系数之和？你看，前面是负二分之一，后面是六分之一啊，这两个一加为零，同接相加系数和为零就可替换，这个就等价于负二分之一 x 四次方加上六分之一 x 四次方，也就是负的三分之一 x 打四次方。 这就可以了，则圆式 limit x 趋向于零分子上面等价于负的三分之一 x 四之方分母上面等价于负的三分之二 x 四之方上下一除极限等于二分之一往上。

所以你要问自己，问自己什么？你等价无穷小替换，你背过几个？你等价无穷小替换，你说背过八个？所以等价无穷小替换只不过是泰勒公司一种特殊情况， 听到没有？体会到没有？你怎么知道 c x 等加 x 啊？你怎么会背 c x 等加 x？ 答，怎么回答他？我是懂什么？那是因为我懂 c x 等于 x， 减加减加点点点，把更小的去掉，保留了 x。 所以脑海里面要把这句话提炼出来，等价无穷小替换，这是为了等价无穷小应该是背后的什么？是泰勒公式的 一种什么特殊情况？ 于是你问自己，你等价无群手背过几个？背过八个？所以各位在第一轮讲课三大计算的课程里面，我们泰勒公司要学几个？学八个，而统计七百只给你写了五个，这八个在哪里呢？十六页。 那么这逻辑是这么来的吗？ 你背过哪？哪些等价无穷小？ x 圈零售，这个不用记，跟着听就行了。不是不背过 c s 等加 s， 你背过什么？有同学说我没有背过，牛 多的很，这些都没背过，看到没有，所以回去赶快背好不好？我只能教到你这个奋战，你这公式不背我怎么教你啊？ 还有哪两个呢？还有一减 cosine 是等价什么？二分之一平方，还有哪个？一加 x 的 alpha 次密减一等价，什么 alpha s？ 这个你要不要记？你可以写，也可以不用写，好不好听哦？ 请你相信我在做自己最大努力去帮助你，去减你的负担。所以明年强化班听我的课，不用做笔记，我把课上讲的每一点都在今年新出版那个强化教材里面。所以同学今天听完课觉得好爽，听超哥的高速课竟敢不用做笔记。就跟听政治课上画画 就行，等这个阶段你可以记好不好，这个阶段你因为你现在啥也不懂啊。你可以记，关键我是需要看到你的 a 四超高值， 你不要给我一天到晚就抄本笔记，真的，你听好，我什么是同学都见过，都没用的好吧。哎呀，你听好 好不好，我刚才那个图片你看到没有？那没用的，那么抄这个有啥意思呢？听到没，我见过那抄的很漂亮的那，那么每次早起那么费劲的很，你看看你刚才看到没有，这个笔记抄了后有用。那我我就说，同学来跟着我一起做笔记吧， 我中午好好整理一下这个文档啊，这个好不好，真的，请你相信我。那个笔记啊你，你不想写就不写。好吧，我也不建议你写， 你天天晚上抄这个东西，那不是书上不都有吗？书上不都有吗？看到没有， 我也不知道在哪里，刚才都打开看到有。好吧，我见过同学那个笔记做的特别漂亮的，后面发现也考的不好，懂吗？这后面在想，那怎样能考好呢？不用做笔记好不好？那就不用做笔记。有什么做的啊？终于找到了好不好， 我觉得全中国的考生笔记，这是两个最典型的版本，你应该做不到这么漂亮，你看看这小伙子，连我课上讲的段子都抄下来，用不同颜色饼干做的漂亮啊，结果当年也没有考好， 听到没有，所以数学考好不是超本笔记好吧，但这个小伙很幸运，这叫天道酬勤，懂不懂？别人付出了很大努力以后，虽然但 数学单科没考好，但他录取了个九八五院校啊，现在还是那个学校的学生会主席干啥？你这就运气吗？懂不懂？但运气的背后是来源别人平时的努力懂不懂？这是小伙字看写的漂亮吗？我见为小姑娘啊，一个小姑娘做的最好的笔记本是这样看的。呀呀呀呀呀呀，看着头都痛啊， 你看到没有？你能看这个画面？这是你看看，哎呦，这是啥东西？如果你是有那种跟我一样密集症的同学，你看到这些头都痛，你说他这是啥东西呢？一个小便签个小便签捏好。这是哪？什么内容？这什么内容？这什么内容？ 最后考好了没有？还可以，但分数不是太高好不好？所以跟你分享，做一本好的笔记本只是考研数学取得高分的必要条件，而不是所谓的充分条件。什么东西就是考研数学高分的充分条件？方法对，草稿纸 用的多。好吧，所以你听好，以后你看我这个话写哪里？十六月第一段话是不是写这八个你今天因为你啥都不懂啊，你可以跟着我写好不好？或者你不想写就用笔画画回去背吧， 这叫特殊情况，所以各位你就需要体会什么，你就需要学什么哦，为什么 c x 等加 x 呢？这是水平面上让你看到的 冰山上的一角叫三 x 等加 x 背后的针线是什么？你要研究背后的针线是三 x 等于 x 怎么样减去六分之一 x 立方。你既然这么跟着我写加小 x 立方， 为什么 t n g s 会等加 x 啊？这是你看到的现象，其实它背后是什么？比如说告诉你 t， n， g， s 等于什么？ x 加三分之 x 立方加水小 o， x 立 x， x 等加 x 为什么？因为背后 x， x 等于什么？ x 加六分之 x 立方加小 o， x 立方继续 x x 等加 x 背后是什么？ x， x 怎么减？等于 x 再来 lowing 加 x 背后怎么写？是等于 x 减二分之一平方加三分之一 x 立方加小 x 立方继续 e 的 x 米等于什么？一加 x 加二分之一 x 平方加小 o， x 平方继续 cos 最简单就是 x， 求导嘛，四的阶层 x 四十米，加小 o， x 四十米，最后 最后一个一加上 x 的二法之米等于什么？一加二法 x 加二法乘二法减一，除以二 x 的平方加小 ox 的平方。写完了，我给你标注个时间。