无穷加无穷等于无穷吗

在我们刚接触到这个微积分和高等数学的时候，有一个概念就是无穷大和无穷小，这个概念就比较令人头疼， 也不好理解。如果我们去看教材，会发现教材上写的比较繁琐啊，他会写一大一大段话，而且呢，阅读和理解起来也并不容易。 那我就尝试一下用这个呃，比较简单的方法，用这么一个数轴，或者说一张图给大家把这个关系理顺。首先呢，就是我们能接触到的所有的数，所有的概念，在这个微积分的这个范围内，他都可以分为六个等级。 第一个呢就是高阶无穷大，这是从大到小拍的，这边是大，这边是小， 这个大于号他不是一个那个严谨的大于号，他是表达这个等级的高低，等级最高的就是高阶无穷大，然后是低阶无穷大，这两个统称无穷大啊，符号就是这样一个横着写的八。 然后呢，这个正无穷大和富无穷大都属于无穷大啊，一定要注意啊，这个富无穷大他可不是无穷小， 富穷大也是无穷大啊，他只不过是往数轴的副半轴走的。然后就是菲灵常说，菲灵常说他里边他也是哎，包含正数和负数的， 我们其实只看他的绝对值，通过他的绝对值来给他的这个等级定性。 呃，负负数他也是，他就是往负半周走，他实际上呢，他并并不是说这个数就小啊，他和这个正数他是同一个等级的。然后就是低节无穷小是要高于高节无穷小的啊， 这个跟无穷大正好是反过来的，因为就是无穷小的接触越高，实际上他是越靠近于零的。最后一个啊，就是零啊，零这个数是可以说 这个所有的数中最特殊，也呃最重要的一个数，这个我们一定要注意，就是零，它可不是无穷小，零就是真正的零，就是这个符号。而我们平时说的无穷小呢，比如说 limit x 区域顶 x 的 平方，那这个它只是区域零，它不是真正的等于零，所以说它是无穷小。相对的来说呢，这个高阶和低阶它是一个啊，对比。呃，高阶无穷小，比如说 limit x 区域零， x 的三次方 啊，这个相对来说呢，这个就是 x 三平方，就是一个高阶的无穷小， x 平方就是一个低阶的无穷小啊。如果是无穷大呢，就是反过来啊， limit x 趋于无穷的时候， x 的三次方，它反而就成为了一个高阶的无穷大。 limit x 区域无穷的时候， x 平方就是一个低阶的无无穷大，高阶低阶，大家要注意，这是一个相对的概念， 那任意我们拿到两个数，怎么去判断一下这个他们之间的这个等级关系呢？比如说啊，用一个方法做个笔直啊，这也是我们 呃教材上经常说的这种比较高阶和低阶无穷小的一个方法。但实际上呢，他可以放到啊，所有的说通过这个笔直的方法都可以。比如说啊，一个啊， 高级的这个高级数啊，比上一个低级数， 他最后的结果啊，应该就是一个无穷啊，正富。然后呢，如果一个哎，低级数比上一个高级数，他最后的 结果就应该是零，如果是最后的哎，同级，两个同级相比，最后的结果应该是一个非零常数，这个 c 呢，是不等于零的，非零常数就是这样一个关系， 那高级就是哎，等式，左边的这个图左左边的都叫高级，图右边的他都是低级 啊。这里要注意一点，就是我们在比较的时候，这个分母上啊，是啊，不，他是不可以等于零的啊，注意一下这个，因为这个分母的定义域是不包含零的。除此之外呢，我们这个运算的这种规则都他都是通用的，比如说 limit x 区无穷的时候， x 平方比上五，这个 在这个 x 区域无穷的这个条件下，分子的等级应该是属于无穷大，对吧？他应该是个无穷大。然后呢，分母的等级应该是个非丁长数， 所以说他应该是符合就是高级比低级的这个规律，他最后的结果就是等于无穷吧。 然后我们通过这个方法啊，继续再举一个例子，比如说 limit 啊， x 取零，那啊 x 的三次方啊，比上二，那这个它的结果就是一个零啊，因为它是低 级比高级嘛，分母是一个非零常数，分子是一个啊，无穷小。然后还有就是比如说 limit x 区域零，这个分子是二倍 x 平方， 分母是 x x 平方啊，最后结果等于二啊，它是等于一个 c， 等于一个常数，非零常数啊，那就说明这两个是平级的无穷小， 在他们的关系中，谈不到高洁无穷小和低洁，因为他们最后的结果是一个长寿啊，这就是一个啊平级的关系。 所以说呢，这大概呢，我们通过这么一张图和这个比较的方法啊，对于这个无穷大、无穷小，以及他们和非零常数啊，还有零的关系啊？可以做一个大概的了解。

在很多高等数学问题的讨论中，我们会经常不自觉的使用一些结论，比如无穷大加一，他还是无穷大，那这个结论看起来比较显然比较直观，但是如何从数学的角度来进行严谨的论证呢？今天就来跟大家讲一下。那首先我们需要回归一下最原始的定义， 在高等数学中是如何定义无穷大呢？我们知道哈，无穷大它不是一个具体的数，而是一个过程，所以在高等数学里面，我们把一个区域无穷的函数或者数列称为叫做无穷大，那严格来讲这个定义就是这个样子哈， 给你一个函数 fx， 在副无穷大、正无穷上有定义。如果对于任意的实数 k 都存在着某一个 m， 使得当小 x 大于 m 的时候， fx 大于 k， 那这个时候我们就说这个 函数 f x， 当 x 确定无穷大时的极限是无穷大，那此时就把这个函数称之为叫做无穷大。 那这个我们可以画一个简单的图来理解一下。如果这个 fx 啊，他曲径无穷大，对吧？那就是无穷无尽的往上走，他是什么意思呢？ 就相当于我认给你一个 k， 我都可以存在一个 m， 使得 m 往后的这个函数都位于 k 的上方， 而且你这个 k 不管走在什么位置，我都可以找到一个 m， 比如说我 k 走到这的时候，那我 m 就可以挑这里，对吧？比如说我可以走到这的时候呢？那我 m 挑在这里就可以了。这个其实就是我们普通的 abc 弄大恩定义的一个推广。 好，那利用这个定义来论证一下我们刚才的问题，既然我们现在说哈无穷大是什么呢？无穷大是一个 函数，对吧？所以我们刚才的问题就转化成这样一个叙述哈，就是已知 fs 这个函数，他的极限是无穷大，那么我把 fs 加上一之后，得到这个新的函数极限还是无穷大，来证明一下这件事情好，那么来给一个严格的证明哈， 就是从我们刚才的定义出发，首先对于任意的大 k 属于 r， 对吧？就相当于先给你一个任意时数大 k 哈，然后 k 是属于 r 的，那么 k 减一也是属于 r 的呀，他也是时数啊。又因为 我们告诉你了， x 取决于正无穷， fx 的极限是等于正无穷的，所以现在针对于这个 k 减一，我们是不是就存在一个大 m 一，使得什么样呢？使得， 当 x 大于 m 一的时候，那我 fx 是不是就大于 k 减一啊？ 这个就是我们正无穷极限他的一个定义哈。好，那现在我们来讨论一下呀，我们现在讨论的是这个函数哈， fx 给你加了一个一， 那很好办呢，因为我们知道 fx 是大于 k 减一的，你把这个一挪过来，不就变成 fx 加一了吗？那为了把这件事情说严谨一下，我们就这样来做，我们就取，取谁啊？取大 m 就等于刚才的大 m 一，对吧。 那这样一来，当小 x 大于大 m 的时候，因为你大 m 就是大 m 一嘛，所以你 x 大于大 m， 就意味着 x 就大于大 m 一啊。而我们刚才已经说了哈，当你这个 x 大于 大 m 一的时候呢， fx 就大于 k 减一啊，然后我们把这个一给你挪过来，就变成了 fx 加一就大于 k 啊。好，写到这之后，我们的论证就结束了。为什么结束呢？我可以把关键步骤圈一下哈。 第一步，你不是认取了一个实数 k 吗？对吧？然后我找到了一个大 m， 使得当小 x 大于大 m 的时候， f x 加一就大于这个 k 啊，这不就是正好我们的定义吗？所以我就可以写出来 fx 加一他的极限就等于正无穷，这不就说明 fx 加一也是无穷大吗，对吧？这个过程哈，就严谨的论证了无穷大加一他还是无穷大，严格的证明哈，才是我们数学真正的魅力之所在。

无穷大到底存不存在？听听数学家们怎么说无穷大到底存在不存在？这个问题的答案只能是见仁见智了，我只是来论述一下历史上人们对这个问题所给出的答案。 古希腊时期，具有极高思维水平的中学家们就开始思考吴琼大这个问题，包括巴门尼德赫拉、克里特之诺等人。哈到亚里士多德时代达到了顶峰。亚里士多德在历史上第一次明确区分了时无线与浅无线 实物线，认为无线是一个已经完成了的，实实在在存在着的，可以被当成独立的东西来看待的一个整体。而 而潜无限则认为无穷是一个不断延续的、永不停止的过程，因此他不能被当成独立的整体来看待。比如自然术这个概念，潜无限主义者就认为，当我们说全体自然术时 是没有意义的，因为我们不可能穷尽所有的自然数，每当你写下一个自然数，我们都可以找到他的下一个自然数，只需要加上一即可，所以他是一个永远延续的过程。人类的理性无法把握全体自然数这个概念。而 而食物限论者则认为说全体自然数是有意义的，他们整体构成了一个集合，而这个集合是存在的，我们可以对这个集合进行各种操作。学过高中数学的我们自然就知道啊，他其实就是 n。 亚里士多德只承认浅无限的存在。而随后的人们也在一直围绕着这两个概念剪开了激烈的争论。不过所有的争论哈都是基于哲学层面的，而真正从数学的意义上来思考无穷的则是因为微积分的产生而带来的。微积分中对无穷小量的 处理方式引起了人们巨大的争议，甚至引发了第二次数学危机。为了解决这次危机，人们深刻意识到，必须给无穷下一个精准的数学定律。 经过博尔扎诺、柯西、威尔斯特拉斯等人不懈的努力哈，我们终于有了现在高等数学课本上通用的对于无穷大的定义。一般认为，无穷小量和无穷大量不是某个具体的数字，也不是一个可以参与常规运算的数量， 它的本质是一个具有特殊特征的数列。那这里呢，我们就需要运用到数列极限的概念。 对于数列 a n 以及某个长数 a， 如果对任意的 apc 龙大于零，都存在一个大 n， 使得当小 n 大于大 n 的时候， a n 减 a 的绝对值小于 apc 龙，那这个时候我们就称 a 为数列 a n 的 极限。继承 limit n 曲俊无穷时， a n 等于 a。 那利用上面这个定义，我们将极限等于零的一个数列称之为无穷小量。因此，上面的定义就可以改写成如下形式， 对于某一个数列 a n， 如果对任意的 epc 龙大于零，都存在一个大 n， 使得当小 n 大于大 n 的时候， a n 的绝对值小， epc 龙则称这个数列为一个无穷小量。比如说哈，以下的数列就是一个无穷小量，一二分之一，三分之一，四分之一，无穷下去啊。当然 完了，无穷小量不止一个，以下的数列呢，也是一个无穷小量。零点一，零点零一，零点零零一，零点零零零一，遵循相同的思路哈，我们也可以定义无穷大量，它本质上也是一个数列。对于一个数列 an， 如果对任意大的 m 大于零，都存在某个大 n， 使得当小 n 大于大 n 的时候， an 大 大于 m， 那么就称这样的数列为一个无穷大量。同样，无穷大量也不止一个，下面两个数列都是无穷大量，比如第一个一二三四等等等等，第二个一十一百一千等等等等。 可以看出啊，用这种方式来理解无穷，本质上是一种浅无限，因为任何数列都是无穷无尽，永远写不完的。因此，只要你承认数列这个东西存在，那么无穷也是存在的。 上面对于无穷小与无穷大的研究，是为了使得危机分变得更加严谨。而真正对于无穷小与无穷大这两个概念，从本身的角度来研究的则是数学家康荒。 康托是集合论的创始人，他利用集合这个工具，给出了无穷大精准的数学描述。康托是从一个集合包含的元素的个数来 思考这个问题的。我们知道，集合分为有限集和无限集。顾名思义，有限集指的就是元素的个数为有限个的集合。无限极呢，指的就是元素的个数为无限的集合。但 其实啊，这两个概念本身目前来看就是有问题的，因为我们现在还不知道无限是什么。那你怎么就说一个集合包含的元素个数是无限的呢？康托是从两个集合之间的映射来思考的，我们高中都学过映射，或者也称函数这个概念。 关于映射，我们还需要明确以下几个概念，第一个，如果对于任意两个不同的数， a 和 b， f， a 和 fb 也不同，那么我们就说 f 是一个单射 injective。 第二个，如果 f 是从 a 到 b 的映射，如果对于 b 中的每一个元素 y 都有 a 中的元素，使他作用过来得到 y， 那么就说 f 为从 a 到 b 的满射 surjective。 比如说， y 等于 x 的三次方，它既是单射，又是 r 到 r 的满射，而 y 等于 x 平方，它不是单射，因为 e 不等于负一，但是 f 一等于 f 负一啊，同时呢，它也不是满射，因为对于负一来讲，在 r 里边就没有数 x， 使得 f， x 等于负一， 既是单射又是满射的映射，我们称之为叫双射 bijective。 其实啊，双射就是我们所理解的一把钥匙开一把锁。 对于两个集合 a 和 b， 如果我们可以在他们之间找到一个双摄，那么我们就说这两个集合是等式的。通俗来讲哈，就是这两个集合包含的元素的个数是相同的。 比如说我们上面图里面举的两个集合，一二三四和二三四五，因为他们之间存在着一个双摄， fx 等于 x 加一。对于等式的集合，我们就可以用 一个符号来表示这些集合的式。通俗的理解啊，就是集合所包含的元素的个数，比如我们用符号四来表示上面提到的那两个集合的式，那 那么接下来我们就来思考一个问题哈，所有自然数的集合，一二三四点点点点点和所有正偶数的集合，二四六八点点点点点，是否是等式的呢？ 很多人的第一印象是啊，这怎么可能是等式的呢？正偶数集，他只是包含了自然数集中的一部分的东西啊，那无论如何，他包含的元素的个数应该只有自然数集和元素个数的一半啊。但是啊，康托却给出了一个精致骇俗的结论，这两个集合包含的元素的个数是一样多的。 一，他们是等式的。原因很简单啊，因为我们可以很轻松的在两个集合之间找到一个双摄嘛，我就让 fx 等于二 x。 之所以称这个结论惊世骇俗，是因为他打破了我们之前一个很直观的观念，一半竟然和整体是相等的。那我们可以仔细分析一下这一结论产生的原因，就是因为我们针对的是无限集合， 如果是有限级的话，我们就绝对不可能得到这样的结论。比如说哈，我想在一二三四和二四之间找到一个双摄，这是绝对不可能的。这点呢，是由奥数中大名鼎鼎的抽屉原则所保证的。 于是啊，我们就找到了有线级与无线级的一个本质的分界线，那就是能不能和自己的一部分相等。于是我们就有了如下定义哈，如果一个集合，他 与自己的所有贞子集都不等式，那这个集合称之为叫有限集，那不是有限集的集合称之为叫无限集，无限集合的是我们称之为 无穷大。以上呢，就给出了无穷大这个概念的定义哈，可以看出来，自然数级就是一个无限极，实数级也是一个无限极。那么自然数级所代表的无穷大与实数级所代表的无穷大又是否一样呢？康托呢，也给出了答案，二者是不一样的， 实数级的无穷大比自然数级的无穷大要高一级哈，这就涉及到了可数级和不可数级的概念。 至此呢，无穷大这个概念在数学上就有了精确的定义，但是这一套理论啊，明显违背了人们的直观，因 而被当时的很多数学家所反对，其中呢，就包括康托的老师克伦内克。克伦内克认为啊，所有的数学对象必须是符合直觉的，因此他激烈的反对康托的这一套理论，甚至利用了自己的职权对他进行打压，最终竟然导致康托精神失常，住进了疯人院， 这也是数学史上的一大丑闻。索性啊，还是有一些人支持康托的，其中就包括德国大数学家，二十世纪数学领袖希尔伯特。 我们常常听到的希尔伯特旅馆的例子就是为了阐述康托的这套理论。那关于这个希尔伯特旅馆啊，已经有很多其他文章介绍了，在这呢，就不再给大家坠述了。 一九六零年年初啊，另一位德国数学家亚布拉寒鲁冰逊，他提出所谓的非标准分析理论，把无穷小量和无穷大量也当成一个具体的数量来看待，从而建立了一套新的数学分析理论。 不管是康托的理论还是鲁宾性的理论，实际上都是在承认实物线的存在。因此啊，不管无穷大是否真的存在，至少在数学里面他们是存在的，并且呢，为我们很多数学理论提供了基础。