施密特正交化什么时候用

同学们大家好，今天我们来学习诗密的镇交化。诗密的镇交化的公式看起来有点复杂，但他要完成的操作就比较简单，就是将非镇交机化为镇交机。 比如 x x 二是这个平面里的一组非正焦机，经过市民的正焦化后，就能得到 v 一、 v 二这组正焦机。 下面我们来看看他的具体推倒。先从特殊的二位向量空间 r 平方说起，假设下面有两个项量是 r 平方中的一组非正焦机，我们将其中一个项量对另一个项量进行投影操作后，就能得到 r 平方的一组正焦机， 下面来进行怠速推倒。假设非真胶机为 x c x 二实名特真胶化的第一 就是任选其一作为 v 一，比如选 x 一，这样 v 一就等于 x 一， 然后做出 x 二在 v 一上的投影， x 二一拔，其垂线向亮就是要求的 v 二。 根据项链减法的几何意义可知， v 二等于 x 二减， x 二一拔，而 x 二一拔与 v 一在同一条直线上，因此 x 二一拔等于 k 一。 v 一在这个识字里只有 k 一还不知道，下面就来求解它。因为 v 二与 v 一正交， 所以他们点击为零，将 v 二等于 x 二减 k 一、 v 一带入此事整理一下，这样就求助了 k 一，从而求助了 r 平 方中的一组真胶机，为一为二。需要说明的是，上述推导过程并没有被限制，在二平方中， 它也可以完成在三维空间中的平面上寻找正脚机的任务，比如 x x 二是三维平面中的一组非正脚机，通过市民的正焦化方法就能找到该平面的正脚机和一 v 二。讲完了二维，下面来看看三维的情况。 还是以特殊的三位项链空间二立方为例，假设图中的三个项链是二立方中的一组非正较机，先按照前面二维的做法，将其中任意两个项量正交化，然后像这两个正交项链所章程的空间做垂线，从而得到第三个正交项链， 这样就得到了 r 立方中的一组真胶机。思路讲完了，下面开始具体推倒。假设废真胶机为 c x 二 x 三，将 x c x 二用前面的方法将其正交化为 v 一 v 二。 下面将 x 三向平面做投影，得到其投影项链 x 三一拔 x 三与 x 三一拔的连线极为所求的微三。 为了让同学们看的更清楚，这里将图像旋转一下，因为数值的项链是 v 三，根据项链减法的几何意义可知， v 三为 x 三与 x 三一把之差，也就是 v 三等于 x 三减 x 三一把。 因为 x 三一拔在 v 一 v 二所章程的平面上，所以它是 v 一 v 二的线形组合，也就是 x 三一八等于 k 一 v 一加 k 二 v 二。 为了好看，这里再旋转一下图像，从这个角度看， x 一拔是 v 一 v 二的线形组合就很明显了。将 x 三一拔等于 k 一 v 一加 k 二 v 二带入第三行，就得到了这个柿子。 因为 v 三垂直于整个平面，自然也是垂直于 v v 二，这样我们就得到了 v 三点成 v 一等于零， v 三点成 v 二等于零。 用刚刚二维中同样的计算方法，我们就能计算出 k 一 k 二这部分的具体推导，感兴趣的同学可以查看我们的文字版，将他们带回第三行，这样就取出了 v 三，这就是三维中的史密特镇交化， 将此推广到 n 尾，这样就得到了史密特镇交化的完整表达。

考虑怎么给答案的，这个过程我压根就不看，呃，沉积在二零零三年的数学三啊，也考了这个题目，大家看一看啊，说这个二次行呢，他的二型指定 a 的特征值之和是一，特征值之极的是负十二，叫你求 ab 的值。 那么这个地方首先大家想考什么呢？财神之和是一，财神之之一是负十二，就是考你什么呀？就是考你这个主界面的之和是一，是不是行列式，是不是负十二，对吧？ 那么通过这个呢？啊，去把这个 ab 的值呢，把它求出来，然后第二个呢？又来这个节目，教你利用正焦变换，把这个形画成标准形，并且所写出 所用的正确量和定的正交的，那么请看交补考中心。注意，像这种情况，我们知道一定是一个一重，一个二重，是不是一个一重，一个二重，因为这个地方我们知道，如果是三个不同的特征值，因为你是十个人。纠正，写个特定下，是不是已经正交过了，懂不懂啊？那么这个时候我们是不是要完成单位化就行了？那么特征如果是一个一重，一个二重，我们这个二重的时候啊，对内性关天一定是 两个，那么我们解这个方针组的时候，如果你解的好，自然就解出两个正交出来，我们就不需要去做这个生命的过程，知道吧？那么你再看一看消费考中心给的答案，他这么说的啊，其实孩子，你要你要搞清楚这个过程我压根就不看懂吗？你看交补考证怎么给答案的啊？等于难不了一等于难不二等于二解，这个七字线发走，二减一等于零，你看二减一个女人他都不写 这个正在草稿纸上完成的吧？得到基础解析，你看到没有？二零幺零幺零，那么对于南部的三等于负三写出来，基础解析是一零分，那么他讲了一句话，由于 已经是振焦项链组了，振焦过了，为了得到规范，振焦项链组只需要将它单位化，你已经振焦过了，你再用什么叫做他还是这个样，你为什么非要才做一遍呢？

我今天给大家讲一下这个施密特的生肖化到底是怎么来的啊？我们来看阿尔法和贝特内机，就是阿尔法膜乘以贝特膜再乘以 costco。 那这个时候呢，我们来看画一个阿尔法项链和一个贝特项链。我们现在呢，令阿尔法一等于贝特一，那么 ob 项链 他实际上是等于这样，是等于这个 oa 项链再乘以 q 三 c， 他再乘以单位项链，也就是阿尔法二的膜再乘以 q 三 c， 他再乘以这个单位项链。 把分子分母同时乘以阿尔法一的膜，是不得到这个结果。而分子呢，恰好是阿尔法一和阿尔法二做内机，分母呢，恰好是贝塔一和贝塔一做内机。我们来看，由于贝塔二项量和贝塔一项量是垂直的，所以说贝塔二项量呢，实际上是等于阿尔法 二项量减去 ob 项量，我们把 ob 项量带到里面去，是不是整理出来施密特征交化的第二个结论，以此类推，我们可以推出其他结论，各位同学一定要学会这个故事。

那么一零来一次这负一是不是？零一来一次这负一，那么你这样去解出来就要用史密特，懂吗？因为我们等一下有个什么东西啊？等一下是不是叫你求一个正交矩阵 q 和对应的对角证上 q t a 新 q 式对角证，是不是？那么这个地方就要找这个正交证了？那如果你这样做的话，你就要用史密特，懂吧？但是你一定要知道， 我们的基础解气本是不唯一的， up 二是负一以零，那么你能不能解出来直接是正交的呢？这个时候我上次跟你讲过了， 就是偷偷的，你在解方程的时候啊，你如果解的好一点，偷偷的加个谁，是不是偷偷的加这么东西是不是？那么偷偷这一加上去以后，你知道这就是什么东西了，是不是？一一负二来了是不是？那么这个显然是不是已经震焦过了？其实你这个震焦的过程就是你刚才写这个，这就是震焦，知道吧？这个方程起什么作用？ 这个方程就是雨，这个方程就是跟这个负一一人进交的过程，对吧？那么你下面做实名进交话，谁让你是做什么事情？你就是做这个，知道吧？就是做这个，那他不起那个贝塔一是 up 二吗？ beta 三啊，去把它去 beta 二是二分， beta 三是多少个一组合？那一组合就这个玩意，知道吧？做出来最后结果是不就这个东西嘛？那么这样做的话就不要用设备太了，懂嘛？就这个问题我不想再强调了啊，再强调就没什么意思了，是不是好像觉得我一天到晚在卖弄这个东西似的啊？ 你愿意用就用，你不愿意用呢？你按照原来的方法用这个都没有关系，知道吧？我只想告诉你，让你走一点捷径啊。但是你呢，原来被别人束缚了手脚，所以感觉到啊，用起来非常的不开心。

真题解析是密特正焦画上，我们就通过这个题目来看一看啊，再来看一看这个题目， a 是一个三阶的十对正确 a 的每行元素之和是三，那么从下面现在这句话应该搞清楚，什么意思啊？每行元素之和是三，告诉你什么意思上就是 a 乘以幺幺幺等于 三十三的意思，明白吧？那么三三三是不是写成三倍的幺幺幺吗？明白吧？啊，这句话就告诉你这个条件啊，三是特征值，是不是特征下的幺幺幺，是不是？而且满足 a f 二等于二，二 f 二，那是不是告诉你二是特征值，那么这个呢？ a 减二一二乘三等于零呢？上等价。为什么？大家看一看这一条啊， 告诉你什么东西，你把它盛开，是不是 a 二发三等于二变二发三的意思，然后又告诉你二发二发三怎么样呢？线性无关是不是？那是不是告诉你这个地方二对应了两个线性无关的特定项目，分别 是二房二房三，是不是？那么第一个叫你求 a 的特征值，以及线性无关的特征项链，那么你一定要知道特征值我们已经出来称之什么 a 的特征值，大家看清楚啊，那么这 a 的特征值是个什么情况？我们是不是看出来有一个三呢？ 有个二是不是？那么三所对应的线性无关的特征项链？阿尔法一是谁？显然我们看到是幺幺幺，是不是？那么这个二对应的两个限弯材料，我们把它写出来，一个叫阿尔法二， 这个叫阿尔法三，那么这个怎么得到呢？这个上就是跟这个幺幺幺正交，是不是？假如阿法是 x 幺三，这个 x 幺三他一定是跟这个幺幺幺正交的，那么这个时候就出来一个方程，是不是啊？出来一个方程，那么这个时候啊？我们把它写出来。

同学们，大家好，我们讲一下史密特正交化。对于史密特正交化呢，他其实就是这一个定理，我们可以从几何的角度去理解。 首先我们就相当于是我们学的坐标系。假设我们在几何中有一这么一个仿射坐标系，他是不是也可以表示我们所在平面上的任意一个项链，也就是还说是 f 一， 这是 f 二。我们可以表示这个平面里面的任何一个项链，用 f e f 二。 然而我们用 f 一 f 二来表示的时候呢，但是他俩是锐角，导致我们表示的时候并不是很好的表示。所以说迪卡尔呢，他引入了我们的直角坐标系， 也就是变成了这种。这假设我们这一个保持一个不变， 这个我们变成 f 二一平。这种情况下，我们再去研究几何问题的时候，我们用这个坐标系，相对来说很多情况都比较好，容易去研究。因此我们 再从几何的角度来看这个坐标系。我们把这个原来这个仿射坐标系变成这个直角坐标系，他是怎么拧过去的呢？ 也就相当说保持一个不变，另一个如何从 r 发二到 r 发二一撇。其实这个过程就是我们的史密特整交化的一个过程。对于这一大堆公式，同学们可以自己去记，也可以通过想方法去记 另一个。我们有的时候解题的时候并不用这种公式去套，因为他比较麻烦。如非是纯数学专业的同学，我们可能会用到他来证明一些问题。 所以说这个公式就相当于是我们保持这一个啊。我们摘下的 f 一，我们令他等于白塔一，他不变，然后令白塔二等于 f 二，减掉这一大堆白塔一，白塔一的一个内机分支白塔一， f 二北太一，这是这个。然后阿尔法三，他等于阿尔法三减掉北太一，然后上呢，是这个内机分支阿尔法三，北太一，这是北太一。接下来减掉一个 f 贝塔二，贝塔二的内机分之 f 三，贝塔二的内机乘上贝塔斯二，这以此类推。这一块我们得 得到的贝特一，贝塔尔一直到贝塔 m， 他是一个两两正交的，而且这一个里面的任一个 k 个都与我们的 f 一到 r 发 k 是等价的。但是有很多同学问我们这个公式怎么来的呢？我们可以给大家简单的去分析一下他是怎么来的。 首先我们来看这个分析的过程，这相当于是我们 f 一和等于 r 北太一，对不对？这是我们令的，因为我们 f 二我们可以写成的是 f 二加上 k 一倍的北太一。这是这个情况， 因为我们不知道这个 k 是多少，因为我们要知道这个 f 二和这个贝塔二和贝塔一他俩是正交的。当然这个贝塔二是可以 由 f 二和 f 一的一个线性组合对不对？因为就相当于是你可以由他的一个线性组合，因为这个平面 对于这个平面里面的任何一个项链都可以由他俩限行表示。所以说我们把这个 f 二一撇由他俩限行表示出来。也就相当于是我们的这的贝塔尔由这俩限行表示出来。 现在我们知道的是贝塔一和贝塔二是正交的。所以说我们用内机公式他贝塔一和贝塔二正交，然后我们进行代入， 最后我们他们俩是等于零的，我们通过计算，我们可以把这个 k 一给他算出来，也就是负的北太一，北太一他的内机分支 f 二，北太一的内机也就是我们的这样这个系数 这个系数我们可以算出来了。然后同理我们阿尔法三呢，是不是相当于是可以由我们这三个分解成这三个项链？阿尔法三， 然后贝塔一，贝塔二他两个，然后分别与贝阿尔法三与贝塔一正交，然后得到了一个式子，而贝塔一与贝塔二也是正交的，也得到了一个式子。我们这样两个连粒，我们就可以把这两个参数给他求出来了。 k 一撇是多少 k， 贝塔三和贝塔二也求出来，然后我们就可以把 k 二求出来，因此我们这个公式就可以给他算出来了。对于这个公式我还是如果你想弄明白，可以自己用我这种方法去推，你推上一到两遍，你就应该知道我们怎么去记这个公式。当然这个公式 他的意义其实就相当于是我说的有两个非正交的项链给他拧成正交的情况。这就是我们的史密特正交化。当然我们在后期做题的时候，我们 给工科生学生来说的话，我们有的时候不用史密特画去做题，我们有其他的类似于史密特画的方法来给大家去讲。