复变函数与积分变换第三章思维导图

啊，同学们好，今天我们来学习复变函数积分变换的。复变函数的积分部分好，首先我们看一下复变函数积分，他有一个积分路径，在微积分中我们也学过这东西， 计算 led 十步，对吧？ z 是一个负数，他的十步，然后作为被击函数，然后 dj。 其中 c 是来看从原点到点一加二的直线段好， 以及这个抛线外点 s 平方从原点到一加二的弧段。那么我们这个例子主要是让大家认识到我们在复变函数的积分，他的路径方程如何写好。 首先我们说一个复数的形式是 z 等于 x 加二 y， 他的 x， y 之间是没有关系的，这个有印象吧，我们这负数是负平面的一个点， x 逗号 y 是吧，他是一个点，那 x 二之间没关系，最后取值啊，如果给定路径以后呢？他沿着确定的路径走， x 跟 y 之间 就满足了一个路径方程，这个时候 xoy 就建立了联系。好，我们以这个为例，从原点到点一加二的直线段，那显然原点是哦，一加二是这么一个点，他 他的路径这个直线段呢？显然满足 y 等于 x， 也就任何时刻 x 跟 y 的取值相同的。以前我们说一个负数 x， y 是没有关系的哈，所以我们确定路径关系是 y 等于 x， 从而写出代 入到这个负数 z 等于 x 加 i， y 的形式，也就是 x 和 y 是相等的好，我们得到他的参数方程，看清了 z， t 等于 t， 加上二倍的 t， 能理解吧？我们以 t 为一次变量，因为你 x y 是一个变量啊，他俩始终是相同的， 所以我们都把它表示成 t， 看明白这个逻辑没有？原来这个位置是个 x， 右边 i 乘以 y， 那么我们发现 y 跟 x 相同，我们同时把它取个 t。 好，这是第一个积分路径的参数方程，我们就写出来了。接下来我们看第二个，从抛物线外等于 x 平方，从原点到一加二。那我们再一次写，首先路径 x， y 值呢？关系是 y 等于 x 的平方，那你猜到没有？也就是爱后边这个虚数部分的 y 和前面的 x 满足一个平方的关系。 那我写出他的积分漏镜的参数方程来，看清了 t 加上 i t 方，假设这个 t 是 x， 那后边的 y 应该是什么？ x 平方，也就是 t 的平方，你 看明白这个逻辑了吧？我们最后把一个复数 z 等于 x 加 y 二这样一个标准形式，写成了一个含 t 的参数方程，就将这里 z t 等于 t 加 i t 的平方，前边 t 和后边 t 方怎么来的？我希望你看明白，它是基于 x y 之间的关系， y 等于 x 的平方，所以假设 x 是七，那么外应该是七的平方。好，我们再看第三个，从原点沿 x 数到点一，然后再到一加二的一个折线，从这来看呢，就是从 o 到一，然后再垂直上去到一加二。好， 这个显然是一个分段问题，是吧？积分漏镜有两段直线段构成，我们分段计算。在以前微积分中，我们说漏镜积分是不是也有分段计算？这个操作好，我们看第一段，他的方程式外等于零 万等于零， x 取自由值，所以这个路径的限制其实就只限制了 y 等于零， x 取值自由，那么他的结果是 x， 假设是个七， y 是取零，看到没有？七加上二乘以零。好， 注意，我这个二乘以零再减弱一点，其实就是 zt 等于七。然后我们一这个地方一般是不写的，我在这里特意写一个加上二乘以零，实际就是个零， 就希望你牢牢记住，复数是 z 等于 x 加 i y， 我们首先确定了 x 跟 y 之间的关系，然后假设 x 是多少，那么得到 y 应该是多少。用一个 t 把 x y 之间的关系连接起来好，接着第二段是 x 等于一，像这样东西外曲自由者，那么你猜一下这题应该等于什么？一加上爱 乘以一个对象。好，带起来就是一加上二乘以 t， 因为外取自由值，我假设外是 t， 那么他就形成一个 zt 的一个关于 t 的函数。好，我们通过这三个例子是希望大家能够认识到如何去写一个积分漏镜的参数方针，让他写成一个 t 的字，变量同， 同时把 xy 改成 t 的函数，基于的方式就是 xy 之间的这个关系，比如说 y 等于 x， 或者 y 等于 x 平方，或者我们这的 y 等于零和 x 等于。这种形式好，改， 大家五秒钟时间，大家掌握一下路径方程这个参数方程。关于题的函数如何写？五秒钟搞定它。 好，刚才呢，我们已经学了漏镜的写法，接下来我们讲这个负边函数积分的计算，那么用参数方程将积分化成定积分。好，首先假设一个光滑曲线 c 的参数方程式， z 等于 z t a xt 加二倍的外题。这就前面我们说的 xt 和外题怎么写？有印象吧。假设 x 等于一个什么什么让 y 死的关系是吧？写出外题的形式好，那么 t 有一个范围 a 到 b， 那么我对上边这个 f z 做积分，注意 z 是一个负数， f 是一个函数， f z 叫被击函数，对吧？ c 是积分漏镜。关于 z 做积分，那么我转换一下之后变成了关于 t 做积分来，注意了 f 辅 z， 把 z 换成了 t 的表达形式，然后后边 d z 变成了 z， 以偏 t 为的 d t， 然后 t 有个范围 a 到 b 来回忆一下，在前边微几分钟，我们学过 意外等于 y 一撇 x 的 gx， 这叫微风是吧？实际上应试到这叫什么？ dz 等于 z 一撇七倍的 dt， 一模一样的啊，我们前边 fz 照抄改成 t 的表达形式，然后后边 dz 罗列过来，照写就是 z 一撇 tv 的 dt。 好， 这就是用参数方程做这个副变孩的积分。来举一个例子，计算类比的 dz 从原点到点三加四二的直线段。好， 首先我们把三加四，哎这个直接呢写出来，显然这个直线方程就是 y 等于四分四比三乘以 x。 好，我们具体来看直线方程，那么为了我方便书写，我假设 x 等于三， t 看到没有，我写三题， 我能够把这个分数搞掉。如果 x 取三提朝里边一带，那么 y 就是四提，我通过一个 t 建立了 x 跟 y 之间的关系，大家都是 t 的表达式，然后 t 的取值范围呢？是零到一，看清了，不是零到三， x 取值零到三，其实对应过来 t 就是零到一啊，这个小范围要看清了好，那么在 c 上，也就是在这一条曲线段上， z 等于三， t 加四， it 因为 x 和外朝着一段形成复数的表达形式， 我们就接着写 dz 关于 t 的求道，也就是 z 关于踢球的再乘以 d 题，那么显然 t 球道是三加上四爱，然后爱是长寿，跟 t 没关系哈，所以是四二倍的 d 题。然后我们对 z 北的 d z 进行之分，显然 t 的取值范围是零到一，然后注意了，一定要看清楚， z 本身是三 七加四爱七，然后我先把 z 抄下来，就是三加四二，再乘以七，这是 z 本身抄过来的，然后再乘以 dz 变 变成了三加四二倍的记题，我把 dz 改成三加四二倍的记题，合起来就是三加四爱库里的平方乘以七倍的记题。好，我们接着对他求原函数，那么我是对的题做积分。显然三加四爱的平方是一个长寿，跟七没有关系， 就一道前标，变成七倍的具体显然原函数就是二分之一，七的平方好打一竖带进去，零到一，那么前边三加四的平方合起来，最后就得到这样一个结果，这是一个标准的复变函数积分，我们对 难受的积分，其实就是先写积分路径，然后确定这个积分 t 的取值范围零到一，然后呢，把你的 z 带进去，改成 t 的表达形式，然后 dz 用微风的形式写成他倍的 dt， 然后朝里边 好注意，尤其是第一步到第二步之间特别容易错，有人顺手就把 dz 写成 dt， 他忘了 dz 等于三加四二倍的，具体注意， z 是超过来的三加三 tb 的四。 it 好， 最后的积分呢？我们关于踢球元素，前面这个没关系，就直接抄了。接下来我们再看一个例子，计算 z 背的这个膜纸 dz， 然后 c 是圆珠膜纸，等于二，那显然这个膜纸等于二，就是以圆点凹为圆形，形成一个半径为二的圆。好，我们具体来看积分，这个漏镜的参数方程， 就等于 z 等于二倍的一档二 c 塔，在这里我们是以 t 作为一次变量，把 xy 改成了 t 的函数，因为你这里是一个圆的方程，我们用 c 塔来做变量比较合适。三百六十度直接转， 也就是二倍的 e 的二， c 的，这其实是负数的一个指数表达形式。好，二是他的磨长，然后二 c， 他表示这个角度，角度是 零到二派。好，我们进一步来搞 dz 等于多少倍的 dc 档，把它转成 cd 的积分来看清了。对 c 塔球道的时候，二照朝 e 的某个对象，球道还是 e 的某个对象，然后那首先 e 的爱， c 塔就抄下来了，然后顶上这个 c 塔，也就在这里是爱 c 塔。关于 c 塔球道有一个爱来， 这就是为什么二 i 啊，这里的二是怎么来的？接着我们继续看，那么 z 的膜值， dj 转成超， z 的膜值显然就是二了，因为你的圆周半径就是二。好， dz 是赵超的二，二倍的 e 的二， c 的 dc 的好，进一步化简。 那么我们接着看，我们是对 c 塔做积分，然后四爱，就做一个长寿超的，前面零到二派做积分，那么一打二四塔直接球员按住呢？不好使。我们把一打二，四打改成三角表达形式，那就是什么角度是 c 塔，那 x 作为十步，就是靠近四塔， 加上二倍的四 s 打 dc 的好，然后写出他的元函数。利用的是这样一个公式，写成三角形数表达形式。那四二，然后零到二派，然后科三四打 dc 的，然后我们把加法拆开，后边是四二乘以二倍的 cs 的，那写上二的平方负一减四倍的零到二派 cs 大积分。 科森西打，原来是多少，显然就是 c c 大了。我们打一束 c c 打零的 ipad， 然后 c c 大圆压柱是负的扣增的，但是你是减号，所以我是加上四倍的科四的。如果你对这个加减不明白，你算完之后再往后倒一下是吧？四倍括三四的一球到是负四倍的 c c 的好，跟前面一致，打 一竖零到 ipad 带进去四 e f 分之派，然后减零，我们就不再计算了，这个非常简单。好，我们通过这两个例子，希望大家掌握复变函数积分的计算方式，转成某一个变量七 或者 c 塔的一个积分。好，尤其是这个指数型的转换，这里是参数方程的转换，这里是指数形式。给大家五秒钟时间，大家再观察这两个题的计算方式。