可化为有理函数的积分宋浩笔记

哈喽，大家好，我是考研数学彬彬老师，我们今天呢给大家讲解可以化为有理函数不定积分的呃，一种类型，也就是我们平常所说的三角函数里面的万能代化 好，首先他的背景啊，一定是含有三印或扣三印依次函数类他的一个不定积分，当我们发现通过背角或半角公式以及普通的三角函数公式 无法积分出来的时候，我们就可以考虑呃，一个万能代换的这种方式啊，那也相当于呢，他是可以由三角函数的原积分转移成我们昨天所学习的有理分式的不定积分。 好，这里面啊，首先啊，三角函数他的所谓的有理式的前提是积分是关于三印和扣三印的函数背景 好，那么他所做的万能代换是什么？今天这一面啊，屏幕前的这一面是比较重要的，大家一定要掌握啊。首先所谓的万能代换是将新的变量 t 设定成探探二分之 x， 这是固定设法，要大家需要记忆的固定设法啊， 一旦将 t 设定成贪的二分之 x 之后，那么我们就有了三大替换，第一个呢，是根据三亚 x 做相应替换 好了，我们可以观察里面我分别说一说啊，首先三亿呢，通过绊脚公式，他可以写成一分之二倍的三亿二分之一 x 扣三二分之 x， 那么一在这是不可以写成三亿方加扣三一方。 好，那这样话，我们整个上下同时除以扣三一方，就得到了二倍的他 除以一加贪的方，其中贪的二分之 x 呢，正好是 t 啊，那么重点啊，重点在这个地方有相当于三页 x 的第一个替换公式，最终结果是一加 t 方分至二 t， 这个需要大家掌握清楚 啊，那么熟练之后是要记忆的好这第一个第二，然后再说扣三以类的，扣三类的呢，首先呢也是通过被角绊脚公式，那么在这个地方呢，我们将扣三以通过绊脚转化，也是一分之扣三以防，减三以防， 那么上下还是同时除以扣三一方，这样的话也是能够出现坍塌二分之 x 平方将其转移为 t 的变量哦，就相当于第二种替换，是最终将扣三 x 换成一加替方分之一减替方，这是第二种替换， 当我们将里面的三 ex 和扣三 x 分别做相应 t 的替换的时候啊，那就相当于此时我的背肌函数，而三 ex 扣三 x 其实就可以全部转化成这两个多项式了。 那么大家想一想，是不是还有一个没有气叫做 dx 微元啊，那不要忘了啊，还有第三个就是左右同时微分， 因为 t 为他的二分之 x 嘛，那 x 就是二倍的 actel t， 那么在这个背景里面呢，我们可以左右微分 d x 就是一加 t 二分之二 d t 啊，那么三个替换大家要做相应的记忆之后，那么现在我们带回到原本的积分函数当中，就全部变成有关于 t 的有理分式的积分，好做个记忆啊。首， 首先三 e 为一加七方分之二 t 扣三一是一加七方分之一减七方， d x 是一加七方分之二倍的 dt。 好，我们马上做一个相应练习，比方说今天这道题目， 这道题目当中呢，首先我们如果直接按照三角替换或者三角的这个函数积分，会发现不易积，所以我们将其转移成相应的有理分式，那么我们正好训练一下公式。首先三应 啊，当然固定的替换啊，固定替换是 t 为他的二分之 x， 这个就不写了啊，那么三亿大家回顾一下是什么公式来着，一加 t 方分之多少多少二 t 还记得吧？哎，这个慢慢就记忆了啊。 好，第二，三亚 x 字是谁啊？还是二七除以一加提防对吧？哎，这个没问题啊，好，再来里面 一加扣三一 t 来背诵扣三应 t 要扣三 x 换到 t 上是一加 t 方分之谁来着？一减 t 方。好，以上这些是背机函数替换，不要忘了 d x 一 t 换是谁啊？二除以一加 t 方 还记得吧，这是 dt。 注意啊，这部分是微分的替换哎，这部分是微分做相应的替换， 微分的替换。好，那么接下来我们整个在运算里面呢，上下同时乘以一加替方，把它换成有理分式的积分，也就是昨天我们讲解的那种形式了。你看这个式子里面完全没有无理跟式了啊，按照有理分式上下因式分解，然后再呃 分开，有四个预算来积分即可。所以啊，希望大家把今天的万能代换掌握清楚。好，这样我们基本上呃函数不定积分的算法我们就全部给大家梳理了一下，当然题目需要大家自行去训练啊， 有第一类还原，第二类还原分布积分和有理分式不定积分，大家需要一一做相应的练习和掌握。我是冰姐，我们今天更新。

那么有些同学问啊，这个高等数学上册啊，学到什么程度考场上才能不挂科？最近很多同学在给我发私信问这个问题，还有同学问，这个期末考试一遍过这个课是不是零基础，看完这个课马上就能上考场， 马上就能考及格。那么首先呢，大家还是要自己先进行一个比较全面的复习，那么大家在学习的过程中，这些知识点，他的重点，他的技巧，他在做题的时候需要注意的什么事情，然后等加五角替换，相加相减的时候，可能就会出问题 啊，比方说第二重要极限，他在做题的时候，他的要点，符号，函数，求导函数，到底是怎么回事？包含我们常见的，比方说有点函数积分啊，有哪几种类型啊，每一种类型做题的时候怎么 做？那么这些知识，这些分类其实需要大家自己做的，那么如果大家懒得自己做的话，我们这个书里边给大家进行了知识点啊，题型的分类，包含典型的题目啊，常见的练习，都给大家比较好了。 这样的话呢，大家先自己啊，先过一遍，然后在期末考试之前的话，一个周，两个周，用这本书，用这道课快速的把高等数学上册过一遍，这样的话呢，哎，我们同学期末考试考一个高分，咱争取过个好年，这是没问题的。

考试的时候看到这道题，你会不会高兴的昏过去？有理函数的积分是比较容易的，就是算起来麻烦，接下来我们就一起来复习一下计算有理函数的过程。 第一步，把分式裁分成简单分式的和。第二步，将右边的式子通分，这样我们就可以得到一个横等式。 第三步，把右边的四字展开。第四步，根据恒等式列出方程组。第五步，解方程组。第六步，重新写积分。

看这样的例题，看这样的题里边，我们一拿题目说，啊，求这个 s 分之一在成了一个 n 根根号下 s 加啊， s 减啊， 那一拿这题看，里面有这东西，哎，这个东西有了，所以我们这就不用想了，哎，直接再换掉，哎，令他等于七，哎，直接给这样的换人， 那么我们相应的东西啊。另，嗯，根号加他等于 t， 那么我们这里边的 x 需要解出来，也是说两边一平方啊，那么需要把 x 给他解出来 啊，前面的公式不用记啊，换人不用记，就是具体的问题，直接在这换，那么两边把它解出来啊，解出来以后，这个 s 我们就等于两边先一平方 啊，两边一平方，那么这个就变成 t 平方了，这是 s 加二，这是 s 减二。好，那么里边就会有 x 加二啊，除上一个 x 减二等于 t， 这是换完了啊，两边一平方，根号下啊，根号下，两边一平方， 然后把这个 s 减二给他乘过来啊，把 s 减二给他乘过来，然后再把 x 的移到一边啊，其他长处移到另外一边，所以这里边呢，我们把这个乘过来，这就 s 有个七平方倍，这个 s 是一倍，所以这个 s 的系数就变成七平方减一除下来， 然后这边剩下二，二是长子啊，这，这乘过来有个负二，负二一过去正二啊，那么这时候就有一个叫啊气平方， 这是就是把 x 我们给他解出来，然后把 s 解出来以后，那相应的 dx 我们也可以算了。 ds 啊，就给他求个道啊，那么我们这个 求个岛，然后再呈上一个 dt， 那求岛，我们知道这个叫分母一平方啊，然后是分子求导啊，分子求导是个四 t 啊，这里面有个二啊，有气，然后再乘上分母不动啊，分母不动，有个提平弯减一， 然后再减去。分子不动啊，分子是二七平方啊，加一，这个东西不动，分子不动，再呈上一个分母求导，分母求导是个二气，那这样说，这有一个 四 t， 这一个四 t， 我们可以把四 t 给他提出来啊，提出来以后，这是个七平方，这是个七平方，给消掉了，然后这是个负一，这是个负一对负二，所以分子上实际上剩了一个负八气了， 然后分母上是 t 平方减一的啊，平方 dt 啊，就剩下他了。那这样的话呢，我们把里边我们要用到的东西都给他找来了啊，我们这里边要用的啥都给他找来了，要用啊 x， x 找来了，哎，要用这样一个， 要用这个 ss 找到了，要用这个根号，根号换成 t 了，然后 dsds 也给他换掉，所以原来这个积分我们就有了啊，原体我不超了啊，所以这时候这个积分他就等于啊，积分 x 分之一， s 是他，那么 s 分之一，哎，就变成了一个二系平方加一，把它翻个个啊，把它翻个个 s 分之一，那么就变成了 d， 点击这是 x， 然后这一项根号根号，这一项直接换成 t 了，哎，这一项直接换成 t 了，然后再成了一个 d s 啊， d s 是个 t 平方减一的啊，平方分之一个负的八 t d t。 好，那这样一看，以后我们这里边看，上面 t 平方减一乘 t 乘个负的八 t 有理，多项式函数，下边二 t 平方加一， t 平方减一的平方，哎，多项式函数，所以整个这个这个东西呢，就转化成 有理，也是说通过这样一个无理代换，把这样一个无理函数，整体来说是无理函数，那给他就转化成这样一个有理了，哎，这就转化成有理， 那剩下的我们就是对这个有理函数进行积分，当然有理函数，我们知道积分总可以击出来 啊，当然对这个题来说，我们先整理一下啊，整理一下这个二啊，这负八给它消掉一个啊，消掉一个分子上这个 t 平方减一，这一个 t 平方减一啊，也就消掉，那么这时候就变成了一个分子上就变成了一个负的四 t 平方， 然后分母上来，分母上这个 t 平方减一，消掉一个，这剩了一个 t 平方加一，哎，那么这是 t 平方加一，成了一个 t 平方， 建议啊，分不上就成他了啊，当然你这副号也可以放进去啊，把这个副的这这个就开始变成一减 t 平方啊， 那么剩下的问题呢，我们就是把这个利用它把这个游历函数写成部分分式吧，标准的形式就写对部分分式，然而有些比较特殊的我们可以不写，这样 像这这里边呢，当然整个的思想还是不分师啊，啊，这个里边我们可以拆一下，简单的问题，我们直接凑一下，这里边七平方加一， 当然把这个负的，把这个负号用掉啊，这就变成一减七平方了，这个用掉啊，一减七平方，然后这个啊变成正的，那么这时候就变成了七平方加一，或者叫一加七平方，是一个啊，分支一个啊，分支 解还不知道啊，这是后面变成一减 t 平方，分出一个东西，那么剩下就说我们凑一下，先用一啊，上面先放成一试一下，然后这个是负的，这个是正的，那我中间给个减号，先试一下，看谁减谁啊。当然我们一般习惯都是小的减大， 大的减小的啊，大的减小的有分母上是小的，那么这个就变成了这样，一个一减 t 平方，这个换一下，先写一减 t 平方啊，这些先写一减 t 平方，这再写一加 t 平方。俩中间用加号，那么中间先用个减号，试一下， 中间预选号的话，这个一通分啊，一减七平方到这，这一通分，一加七平方到这，所以这一块是一减七平方，通分的话，这是一减 g 平方，然后这一块有个中间有个负号，哎，负号那负的正，所以上面剩了二七平方，二七平方，这是分子上本身是四七平方，那所以有一个，前面就流出来一个二 啊，前面就流出来一个二，这就变成了二倍啊，这个积分就变成了一减去平方分支，再减去一个一加去平方分支，也就分成这样式 啊。会列啊，就是简单的问题，直接列，那当然了，复杂的问题，那叫部分分式的啊，复杂的问题要写部分，像这样，如果写部分分式的话，那么这里边呢，我们要一式分解分母的，一式分解是一减 t 啊，然后一加 t， 然后再是一加七平方，这是分母，分母就分成这三项，一是分解，那就是他了。然后呢，我们的做法是啊，对每一个因子写部分分式，那么这时候就写成一减七分之 a 啊，这个一加 t 就写成一加 t 分之 b 啊，这个就写成了啊，一加 t 平方啊，这个一加 t 平方分之，这里边呢是二次的，二次的要写啊， d x， c x 啊， c s 加 d， 然后这个合起来就是，这是就是标准的写法啊，简单的问题可以凑，这是凑起来啊，就是我们中学建的叫列像，用它里头剪 简单一些。好，那剩下的问题，合的积分是积分的合了啊，那就变成了一个啊，这个积分一减 t 平方分之二比 t 啊，后边这一块再减一个二倍的积分啊，一加 t 平方分之一比 t， 那么这个我们很熟悉啊，这个呢，说，这个是我们的公式啊，我上课补充的啊，啊，课本我们你自己可以找一下，课本，我们是一百六十四页，当时我们补充的积分公式叫积分啊，我们见过这个 a 平方减 x 平方分支， 这个这个是阿克贪进点的形状，是吧？这，这不用说了，一加 s 平方分之一，这直接阿克贪进，所以这俩积分我们都可以记出来。 好，具体的积分我们不写了，这个记出来是捞音啊，那捞音，捞音，一加除个一减啊， 啊，那叫二，一分之一捞音啊，这样一个 a 加 x， 除个 a 减 x 啊，这个是 a 的摊计题，那这样的话呢，我们原来这个积分呢，就可以记出来 啊，这是这样一个例题，换元看清啊，这一块给出来了一个无理概换。