复变函数傅里叶变换思维导图

好，我们简单的证明一下欧拉公式，欧拉公式呢，在我们信号语系统里边用的非常非常多，这是伴随我们整个信号语系统从头到尾，那么我们简单把它写出来，他是一的 j， omega 这样的一个指数，等于三角函数 cosine， omega 加上节约一成 si 浓密的，那么这个证明呢，通常来说是把他他他的态度展开， cosine 和 sony 的态度展开，然后再去证明，那么我们这里用一般项来证明。 呃，首先来说 e 的 j， omega 的胎络展开呢，我们可以表示成一个一般式，那么它的一般式呢？是这样的，呃，有一个分子，一个分母，因为 ej omega 的 n 阶倒数是本身，那我们除以 n 的阶层，然后分子呢是呃 j omega 的 n 次方这样的一个展开式一般式，那么 cosine， omega 的展开式呢？我们也可以写成一个一般式，那么还是从零到无穷大变化。我们有一个符号项， 那么符号项呢？乘以 n 次方，呃，那么的分子呢，是二 n 的阶层，注意，因为科三有名的是偶函数，那么分子上呢 啊，我们可以写成啊，他是二啊，就是欧米格的二 n 次方这样的一个表达式 啊，这是口三油门感，我们同时可以把把 sine omega 写出来，那么 sine omega 的展开式呢，也是类似的，只不过他的 呃三欧米格呢，是一个积函数，所以我们可以写成二 n 加一这样一个积数，那么欧米格的二 n 加一次方这样的一个表达式， 大家可以看到呢，在这里边呢，这两个，如果我们把三个 mig 乘以一个 j 的话，你会发现呢，会有一个奇妙的事情发生 啊，我们先来看一下 call 三 umiga 和三 umiga， 在这里边都有一个符号，像负一的 n 次方，我们和他对比来看，这里有一个结，一个虚数，我们联想到 j a 的平方呢，是等于负一的，所以大家可以看到我们把 j a 平方呢，嗯， 来替换这个负一，那大家可以看到呢，这个 j 平方可以加入到这里面， 这是 j 的二 n 次方，所以这就是 omega j omega 的二 n 次方。好，所以我们写出来就是说哦， cosine omega 呢，就是 这样的一个表达式了， n 等于零到五重大负一的 n 次方消失了，那么他就变成欧米格的二 n， 这是这是负一，是 omega 平方，所以负一的 n 次方是 omega 的二 n 次方，所以把它和它合并进来，就是 j omega 的二 n 次方，是 j omega 的二 n 次方。 那么分分母，分母呢是不变的 r n 的阶层，因为这个还是偶数项，那么 sign omega 呢？我们还是按同样的方法写出来呢，是这样的一个表达式，同样把负音呢用 j a 平方带进去，所以 j a 平方就是 j 的二 n 次方。 j a 的二 n 次方呢，拿到这里边大家可以看到呢啊是这是欧米格的二 n 次方，所以大家想象一下，如果把 三个面的乘以一个 j 的话，那么这里就多了一个 j， 那所以呢，我们这个分子上呢，就可以表示成 j omega 的二 n 加一次方，那么分母呢，是不变的二 n 加一的 n 次方，所以大家看对比这两个公式呢，我们就可以看到，一个是 cosine omega， 如果 cosine omega 加上 jay omega 的话， 一个是偶函数，一个是积函数，那所以 call 三英欧米伽加 j 乘三英欧米伽这两 公式加起来的话就等于什么呀？你看这一个是偶数项，这个是基数项，而且这里是其次的，所以所以你可以我们写成一般是是 n 等于零到无胸大，那么 n 的阶层分值呢？是 j omega 的奔驰法，那这样呢？就等于了 e 的 j omega， 这就证明了欧拉公司呢的整个过程。

护理液级数大家肯定不会陌生，我们知道周期为二拍的函数 f 可以写成这样的级数，从直观上看就是一些频率越来越高的正弦波的组合，其中的系数可以通过这样的积分来计算。我们当然可以从线性代数的角度进行解释。 三角函数组成了一款正交机，可以去展开周期函数，因为正交，所以复利业级数在做某些积分或者微分方程的时候有很好的效果。但是在实际计算的时候， 我们往往会陷入一个个麻烦的积分里面去。如果每次计算级数都需要进行代 n 的积分，不仅容易出错，而且令人沮丧。然而相反的， 我们对泰勒级数的恐惧会更少。我们知道只需要一点小小的倒数就能展开那些狰狞的庞然大物，但是你是否想过这两种级数之间的联系呢？如果我告诉你，泰勒 级数和护理液级数其实是一种东西，更进一步的，我们可以通过泰勒展开来计算护理液展开，你会不会觉得诧异呢？今天我们将彻底破除这两者之间的隔阂，并且展示用泰勒展开求护理液级数的一些实力。在此之前，我们先从欧拉公式开始说起， 这个式子也许是世界上最著名的式子之一了，无数人拿它水了无数的视频，说其是世界上最美的公式。我们在高中的时候知道，至少我们可以用它来求 m b 角公式。比方说我们两边三次方很容易就得到这样一个式子， 左边是二项式，右边是两项，展开对比实步和虚步，我们就能得到三倍角公式。那么我们在高中其实还见过另一种问题，那就是如何计算 cousin 次方的 护理业基数。当然高中不会让你积分，这里其实是利用 m 被角公式来进行计算。按照原来的办法，我们需要对 cos 做很多积分，而这些积分也许是不好做的。我们知道可以用欧拉公式来算，第一步是将 cos 写成指数形式， 这里用 c 代替指数，然后我们再展开，这就是二项式定理。由于二项式系数的对称性，我们可以对前后对称项进行配对，比方说三次方，我们可以得到这样的式子，再用一次欧拉公式，我们就能得到线性组合。类似的 五次方，我们也有这样的配对方法。我们发现与其说极数，这个其实是复理液求和，不论如何我们都得到了想要的复理液展开。有人会问，这样展开究竟有什么用呢？我们可以前前举一个例子说明。现在假设我们要做这样一个求和，当然 方法有很多，我们可以用四次方的复利页展开得到这三项，很自然的原始求和就变成了三项求和。利用诱导公式可以得到这样的结果， cos 里面乘等差数列的计算也可以通过欧拉公式，比如说变成指数求十部得到结果位负一， 所以最后的结果也是显然的了。用二项式展开作为影子，是让我们意识到我们可以通过二项式定理得到某些复利页展开，而二项式定理实际上就是泰勒公式，只是项数是有限的而已。 欧拉公式的使用促使我们从另一个角度认识护理业级数，很明显，泰勒级数说到底就是密级数而已，我们用 r 的各种密来表示 f。 另一方面，谁说三角函数不能表示成密的形式？很明显，由前面的例子，我们大可以将其写成密级数。注意，这里儿和 state 都是实数。由于欧拉公式的参加，我们也许要研究负数作为变量的函数了。让我们冷静下来思考一下刚刚说的话的含义。为了将三角写成指数，我们用了欧拉公式，这不可避免的让我们将实变量进行组合，形成负变量，那么 我们的函数自然就需要从十变函数拓展到复变函数。我们知道，解析函数的泰勒公式与原来完全平行，意思是说，我们可以像展开 x 一样展开 z。 我们想想 z 里面 r 和 say 代表什么，而代表模长， say 代表浮角。如果 say 固定，那么 f 就是二的函数， 这个时候展开就是泰勒极数。如果二固定，那么 f 就是 say to 的函数，这个时候展开就是复理业极数。所以横看成岭侧成峰，泰乐极数和复理业极数只是看待复 函数的不同方式而已。换句话来说，沟通泰勒和复利业的最短道路。在负平面上，这种关系是和谐的，同时在应用上面是重要的。我们强调这种关系使得用泰勒级数求复利业成为可能。比方说，我们刚才的例子就是分析这个复函数， 当二等于一的时候，我们能够得到 f 就是三角函数的密。接下来，我们研究另一个重要的函数以及反比例函数，其复数形式很简单， 就是一减 c 分之一，然后我们将其进行分母实数化，分离实步与虚步。很明显这个复函数就是等比数列求和，所以我们瞬间就能得到齐。泰勒展开，再一次利用欧拉公式， 所有的一指数都会变成三角函数，我们对比十步就会得到这样一个式子，这个相当于泰勒和护理液通过某种方式纠缠 在一起。事实上等号左边正是大名鼎鼎的切比雪服多项式的母函数，我们可以随意选取。二、得到关于 cat 的复利业技术，当然我们也可以随意选择 cat。 当我们将左边的函数按照而展开，在对比系数就能通过另一种方式得到 n 倍角公式。另一方面， 我们通过护理业展开能得到一些离谱的积分，可以想见直接求解这些积分不是一件容易的事情，当然 一般也就是用留数算就是了。我们接着考察下一个函数，对数函数我们取而为一，可以得到虚实分离的函数。这个结果的得出是容易的。考虑一、和 z 的和 几端点在一个圆上，根据小学几何关系，我们就知道 e 加 z 的磨长和浮角了。当然你也可以 arctin 算，没有区别，当然 land 泰勒展开是中 众所周知的了。重复前面的步骤，我们能够得到虚步的复利液展开，我们仔细看，这个不就是 x 的复利液展开吗？多少题目让我们算，我们竟然用勒一步就出来了。我们注意这个时候选取的浮角范围是复拍到派，如果我们想知道 zet 平方的复利液展开 直接积分就行，顺带的我们得到了平方倒数货，利用泰勒做护理液，这是一件很轻易的事情。 现在我们检查一下食部，很明显食部与虚部的情况几乎类似。我们得到了类三角函数的复利业基数。这个式子看似简单， 实际上在很多积分中都很重要，比如最最简单的这个积分，大家已经用区间在线编施过很多次了，但是复利业是不是耳目一新呢？最后我们看看指数含 数的情况，很明显，我们还是运用欧拉公式，不出意料的得到了一个很恐怖的柿子，左边这些等于右边有点克苏鲁的味道了。当然我们可以写成积分，这个积分如果让你求，你会怎么解呢？ 当然，如果想单独求一指数的复利业技术依然是很容易的。这里我们需要用贝塞尔函数的母函数的泰勒展开，当然这个结果比你想的要重要的多， 或许他看起来是一大坨不可名状的东西。总之，很多常见和不常见的情况，我们都可以用泰勒展开去求复利液展开，因为他们实际上都是一回事，你觉得呢？

单复变函数论，数学的一个分支，主要研究自变量和因变量均为复数的函数的性质和应用。只含有一个自变量的复变函数，称为单复变函数。它是时变函数论的推广，但许多其他数学分支以及理学、 工程技术学科中有着广泛的应用。复数是单复变函数论的基础。复数即 c， 是 由所有形容 z 等 x 加 y、 x， y， i 的 数构成的集合，其中 x 称为十部， y 称为虚部， i 是 虚数单位。满足 i 等一负数的几何表示是在负平面上进行的，负平面是一个二为平面，其中十轴对应于负数的十部， 虚轴对应于负数的虚部，负数 c 等 x 加 i， y 在 负平面上对应于点 x， y， y 也可以表示为从远点出发中点为 x y 的 向量。负数的运算包括加、减、乘、除、乘方和开方等。这些运算在负平面上都有直观的几何意义。例如，负数的乘法对应于负平面上的旋转和伸缩变换，负数的除法则是乘法的逆运算。 负变函数是定义在负数级或其子级上的函数，其性质和时变函数有较大不同。负变函数 f z 在 点 z 处可导的定义是存在极限， m c c f z f e c c c， 该极限值称为 f c 在 c 处的导数。如果 f c 在 其定义域内的每一点都可导，则称 f c 为解析函数。解析函数具有许多重要的性质，如无穷可导性、科西离曼方程、密集数展开等。 其中科西离曼方程是解析函数必须满足的一组偏微分方程，它保证了解析函数在负平面上具有褶微分方程，它保证了解析函数在局部上保持角度不变。 密集数展开则是解析函数的一个重要特征，它表明解析函数在其定义域内的每一点都可以展开为密集数。 科西定律是单复变函数论中的一个基本定律，它监视了解析函数在负平面上的积分性质。科西积分公式是单复变函数论中的一个重要公式，它提供了计算解析函数值的一种方法。 流数定理是单复变函数论中的一个强大工具，它可以将负平面上的基根问题转化为求解孤立起点处的流数问题。黎曼硬设定了负平面上的单联通区域与单位员之间的共行硬设关系。共行硬设是单复变函数论中的一个重要概念，它指的是在负平面上局部保持角度的硬设。 共行硬设在几何上意味着褶角性和局部相似性，因此它在解决负平面上边界问题中发挥着重要作用。贬值问题是数学中的一个重要问题， 它通常涉及的是在边界给定的条件下，求解函数在某个区域内的性质。编制问题通常转化为求解解析函数的基本表达式或流述问题。通过共形映射可以将复杂区域上的问题简化为更易于处理的形态，从而方便求解。

路变函数论，数学的一个重要分支，自十八世纪诞生以来，便在众多科学领域展现出了其独特的魅力和深远的影响力。它不仅是纯粹数学研究中的瑰宝，更是应用数学、物理学、工程学乃至经济学等多个学科不可或缺的工具。路变函数论的研究对象是负平面上的函数， 其那些将复数映设为复数的函数。复数由实部和虚部构成，即引入极大的拓展了实数系的范围，使得许多在实数域内难以解决的问题在复数域内找到了答案。 复数的几何表示复平面为复变函数的可式化提供了可能，使得函数的性质可以通过其在复平面上的图像直观地展现出来。复变函数的基本性质包括连续性、 可导性和解析性。其中解析性是复变函数最为独特的性质之一，它意味着函数在某点可导，可在该点的领域内也必然可导，且其导数处处存在且连续。这一性质导致了复变函数在复平面上具有高度的光滑性和规律性， 与时变函数中的情况截然不同。复变函数论的核心理论之一是科西黎曼方程，他给出了复变函数在某点解析的重要条件，截函数在该点的实部和虚部分别满足偏微分方程的特定形式。 科西黎曼方程不仅结识了复变函数解析性的本质，还为研究复变函数的性质提供了强有力的工具。另一个重要的理论是复变函数的性质提供了强有力的工具。另一个重要的理论是复变函数的性质提供了强有力的工具。另一个重要的理论是沿着负平面上曲线的积分 现积分。与时变函数中的情形相比，复变函数的现积分具有更为丰富的内涵。它引入了路径无关性的概念，即只要终点和起点相同，无论沿何路径，积分 结果都相同。这一性质为复变函数的积分计算带来了极大的便利。复变函数论留数定律它建立了函数在闭合曲线内部的节点与沿该曲线积分的值之间的深刻联系。留数定律不仅在理论上具有重要意义， 而且在解决实际问题中发挥着巨大作用，特别是在求解复杂积分、求解微分方程等方面。随着科学技术的发展， 复变函数论的研究也在不断深入和拓展。现代数学中的许多分支，如负分析、负几何、负动力系统等都与复变函数论密切相关， 特别是负动力系统理论。他研究负平面上迭代函数的动力学行为，解释了复杂系统内部的混沌现象和分形结构，非理解自然界中的复杂现象提供了新的视角和方法。但物理学中，复变函数论被广泛应用于量子力学、电磁学、热传导等领域，为解决波动方程、 是函数等问题提供了强有力的数学工具。在工程学领域，复变函数论在信号处理、控制系统、振动分析等方面发挥着重要作用。此外，复变函数论还在经济学和金融学中有着重要应用，并与计算机科学、信息科学、生物医学等领域的交叉融合更为紧密。