复变函数傅里叶变换

这条视频一定可以让你彻底看懂富力业级数和富力业变换的底层逻辑，并且一辈子也忘不掉。富力业级数是一个超级强大的数学工具，它可以将任意一个周期性的函数拆解为一系列基本的正弦和余弦函数。而对于非周期性函数，我们就需要富力业变换了。 这个公式看起来似乎很复杂，很恐怖，估计很多人上大学的时候根本就没弄明白这条公式的底层逻辑，就光记住一下应付考试了，因为我自己就是他是。其实呢，如果从几何角度来看，福利业级数其实非常容易理解，我讲完以后，你说不定这辈子都很难忘掉了。 我们第一步，先讲清楚副列级数，然后再推广到副列变换。我们看这张图片中黑色的斜线代表的就是一个周期为二派的函数，我们可以用几个正弦函数的和来不断逼近他。第一项 six 是周期为二派 的函数，第二项 si 二 x 是最小周期为派的函数，所以周期也满足二派。后面的 si 三 x、 四 x、 五 x 同样满足周期为二派。这样就保证了把他们加大减减以后，函数周期还是二派， 然后调整他们前面的系数，也就是调整正符，然后取越来越多的像，就可以慢慢逼近原函数了。这个就是富力业级数大体上的一个思路， 然后把周期二派推广到更一般的周期 t， 换成屏幕上的正线和于谦函数就可以了。这个中学的时候都学过，三角函数的最小周期就是二派，除以前面这个系数等于 t 除以 n， 所以复列级数就是这么表示的。 第一项是一个常数，后面就是把无穷多个周期满足 t 的正弦和余弦函数加起来，然后通过前面的富力叶系数来调整正符。别看这个富力叶系数看起来很复杂，其实完全不用死记硬背，我们通过几 合的角度很容易就可以理解。讲这个细数之前，我们先来回答一个很多人都疑惑的问题，忽略级数为什么非得是用正弦和余弦函数来表示，而不是其他的函数呢？ 是因为他们是正交的，所以选择他们作为积函数。就像我们熟悉的 x 轴和 y 轴是正交的，我们就可以用一个点在它上面的投影来表示这个点的坐标。中学时候我们都学过，如果两个向量的点击为零，他们之间的夹角为九十度，就说他们是正交的。 而正弦函数和余弦函数可以看成是无限为的。希尔伯特空间中的无限为向量，向量的各个圆就是连续区间内的函数值， 而两个函数之间的内基需要重新定义。有限为项量的内基是这样定义的，项量 u 是 x e y 一项链 v 是 x 二 y 二。项量 u 点成项量 v 就是 x c， x 二加 y 一 y 二。由于函数 的原是连续的，所以函数的内积就需要用到积分了。两个函数相乘，然后再积分算一下，得到正弦和余弦函数的内积为零，因此可以得到他们是正交的。于是富力业级数就可以从几何上来理解了。从几何角度看，富力业级数其实就是告诉我们 函数 fx 可以用这么一组由无限多个三角函数组成的正交机来表示，换句话说就是每一个三角函数都可以看成是一个独立的坐标轴。富力的级数展开就是把函数 fx 投影到这一系列由三角函数构成的坐标轴上面， 这里的系数就代表了函数 f x 在每条坐标轴上的坐标。比方说这个周期为二派的例子中，一 cos x， 三 x cos 二 x， c 二 x 等等就是函数 f x 的基底函数，把它们看成坐标轴前面的系数 a 零、 a 一， b 一、 a 二等等就是坐标， 这么看是不是就很清楚了？那下一个问题就是如何确定这些系数呢？要确定这些系数，其实就是求投影。我们找个简单的例子看一下，假设两个项链 v 一和 v 二是正交的，然后我们现在把另外一个项链 u 投影到这两个项链上， 于是 u 就可以表示为 c 一 v 一加 c 二 v 二，那么 c 一和 c 二就相当于 u 在这个新坐标系上的坐标了。那么怎么求坐标 c 一和 c 二呢？很简单，求 c 一就是 u 点成 v 一，再除以 v 一点成 v 一。这个很容易理解，你稍微算一下就明白了。 那么现在我们把这个公式再拓展到复列级数的情况，就可以求复列系数了。内积在有限为的向量空间中的形式就是点击，而无限为的函数空间中，内积的定义就是刚才说的这个式子了。我们要求 a n 这个系数，就是求函数 f x 在这个余弦 函数上的投影。参考之前向量的例子，分子就是函数 f x 和这个余弦函数的内积分母就是这个余弦函数和自己本身的内积， 于是就得到了 a n 算 b， n 也是一样的。这样你就彻底理解了复列级数了。总结一下就是复列级数可以把一个周期性函数 f x 展开成正弦函数和余弦函数，这些正弦和余弦函数构成了函数 f x 的基函数，复列系数就是基底的坐标。 理解了福利业级数，我们再讲一下如何从福利业级数拓展到福利业变换。福利业级数和福利业变换都可以把食欲转换成频率，不过福利业级数只能处理周期性函数，而福利业变换还可以处理非周期性函数。 所以时与就是函数值随着时间进行变化，而复列级数可以把函数展开成一些不同频率的三角函数之和。于是 把频率作为横坐标，就得到了频率图。比方说这张图前面这个黑色的方波函数可以由后面的三角函数叠加而成。坐标轴的这一面显示的是这个函数值随时间的变化，这个就是所谓的时欲。从另外一面看，则表示这个函数是由哪些频率叠加而成的，这个就叫做频率。 对于周期性函数来说，它的频语是一条条离散的竖线，而随着函数的周期越来越大，频语会变得越来越密。而所谓非周期性函数就可以看成是周期无穷大的函数，这时候频语就变成了连续的曲线。 而复利页变换的用处就是当周期为无穷大的时候，求出上面这根频域曲线。首先我们把复利页级数换一个形式，因为这里面又有重弦函数，又有余弦函数，不方便处理。我们用这个大名鼎鼎的欧拉公式给他表示成复数的形式， 同样可以把这一项看成是正交机，而 c n 则是对应机的坐标，然后令 t 区间于无穷。这么一算就得到了 f omega， 其中 omega 就代表频率，而这个就是所谓的副业变换， 站出来的就是频域曲线。好了，讲完了这条视频真的花了我不少时间和精力看完，帮忙点赞关注给朵小红花，感谢大家的支持！

练一下微分性质，求 f t 的 一个 t 方乘 u t 的 负极变换。 u t 是 单位接位函数从而的斜个结，要求 f t 的 负极变换。 u t 的 负极变换。我们知道之前我有个视频正过， 还记得怎么正的吗？反过来正，把 g 幂根分之一加上 pi 乘 dot 幂根做负了一页逆变换。最后就是它，虽然不完全是它啊，因为它有断点，中间那个地方你和它是二分之一，但是这个式子仍然成立。 f t 的 负列变换应该等于乘两个 t， 这里乘两个 j， 前两交道 我们先求一阶 j 分 之一，应该是负 j， 所以 前面有个系数，把它都展开吧，负的进去。 这道题就是一步算错，后面白费，所以一定要小心翼翼的算。 欧米茄方分之一，九米的负，二次方乘以前面的负，所以是二， 再乘以欧米茄三次方分之一。记得点赞哦！

这是接月函数 ft 等于一 t 大于等于零的拉普拉斯变换。小窗介绍的是他在描述简邪运动中作为外部激励函数展示的二维图像 对应视频。在本号的微分方程专栏和复利业变换专栏掌握本篇各个小窗里的内容，对理解本视频的三弟直观解释至关重要。 拉普拉斯变换在工程学、物理学和数学上扮演着非常重要的角色。拉普拉斯变换让我们能够评估一个系统的稳定性和频率响应。 拉普拉斯变幻还为我们提供了一种轻松求解微分方程的方法，把微积分变成了袋数。请大家注意，在本视频中有时间轴拖动的动画，时间轴代表函数输入，自变量替负平面代表两维的 ft 输出。如果再输入 s， 则还需要额外的两维，五维无法展示，所以 s 被设为无数负值中的一个定值，即当成常量。大家看到的螺旋线只是无数条线中的 s 等于此值的一条。 在本视频中，颜色表示一个函数的向位信息， 虚竖的向位，用旋转的白色线与正时轴之间的夹角来表示。 虚数的扶直，用旋转的白色线的长度来表示。这条线是 s 等于零点一加 i 时，函数 e 的 st 四方的图像。当 s 在负平面上任意取值时，对应无数条这样的螺旋线。 在 f， s 等于 s 分之一。这个频域函数中有时也叫 f 域，不存在时间信息，没有时间这个字变量。此函数的输入是一个虚数。虚数的十步和虚不值可以从两个坐标轴上读出， 落下的每颗珍珠代表一个负数。输入击中的点有两个含义，一是代表圆函数与饥函数乘积的积分函数， 二是代表元函数在拉普拉斯变换后输出的 s 与函数的值。此函数的输出也是一个虚数，他由图形的高度和颜色表示，高度由垂直于 于实轴和虚轴的一维轴给出，颜色则代表了第四维。图中每个点的高度代表输出的符值，颜色代表输出的向位。 图中现在看到这个拉普拉斯变换后的函数中，输出和输入完全相等，都为 s。 他的原函数是迪拉克 dlat 函数的一阶导函数，而这个拉普拉斯变换后的函数，他的输出等于输入的导数。前面说了，他的原函数是接月函数。 当 s 为何值时，这个频域函数存在，或者说圆函数的那个积分函数收敛在这里，当 s 的时步大于零时，函数存在。 这个例子中的函数，我们称之为频喻函数。与夏文中的 直遇函数对应， 十月函数就是时间的函数，此时大家看到的是接月函数 ft 等于一。 每个十余函数都有一个相关联的频域函数，他们之间的转换我们称之为拉普拉斯变换。 这种变幻很有美感，但是为了理解他，我们需要先谈谈指数函数的相加。 对于时间的函数来说，变量 s 永远相当于一个长数， ft 等于扶直乘以向位。 如果我们使 s 的虚步变大，白线的旋转会加快，频度会升高，而且幅值也会增大。 如果我们使 s 的时部变大，扶直会升高的比之改变虚步更快。 如果 s 的时部为零，这时是复立业变换，扶直会维持在虚步确定的直上，如果虚步不变，则扶直也不会改变。 我们把我们的函数乘上一个长数， 在这个例子里，不妨设这个长数为十数三， 不过这个长数也可以是一个虚数。 现在来看看，当我们像这样让指数函数相加会发生什么。 所有的波形都可以通过这种指数函数叠加的方式制造出来。 波形的拉普拉斯变换告诉我们每个指数函数要添加多 多少。 如图，我们画一条无限长的直线， 这条线可以在任何位置上。 当这条线固定在一个位置上，每一个这样的点就代表一个指数函数，而这些指数函数就是我们用来叠加生成波形的 复数。 s 就是每个点在实轴和虚轴上的位置。 对于这些点中的每一个，我们加上这个关于时间的指数函数。这里的 s 可以被视为一个长数，用前面大家看到的天上撒下来的珍珠来表示，这是 s。 取一个定值时 e 的 st， 四方的三为图像，一为输入，二为输出。 每颗珍珠放到指数函数异的 st 次方里，再都与一个虚数相乘，这个虚数便是拉普拉斯变换的频域函数的值。用这条珠链上的红珠子表示，红珠子对应图中在这个位置的高度和颜色，代表虚数的浮直和浮角。由于我们有 无穷多个点，每个点代表的是函数，这样的函数相加很容易变成无穷大，除非我们也乘上一个无穷小的数，也就是这些点的间距。 由于这些点的间距接近于零，所有这些指数函数的加和可以表示成这样， 我们将结果乘上图中的这个长数， 就得到了我们关于时间的元函数。这是拉普拉斯逆变换对应的积分，也叫布罗姆维奇积分或富丽叶梅林积分。梅林逆宫式是用线积分得到的实数 c 表示直线的未 位置是 s 的十步，十步不变，在虚步上积分。 由于 c 可以取无穷个值，这条线可以在无穷多个位置，所以有无穷多种方法来创造我们原来的波形，即得到无穷多个元函数。 如果我们把线移动到 s 的时部为零的位置，那这就是一个特殊情况。我们要只用正弦曲线来生成波形，就像复立液变换一样。小窗展示复立液变换的二维图像，与本三维图像描述的是 同一个数学场景，但小窗因为缺少时间轴而借用了副虚轴。动画表现的是一对角速度相反的信号相加，他的虚步互相抵消，只剩下十步叠加后的函数在十轴上震荡。 现在是两对角速度相反的信号相加的动画，小窗也是，但此时主画面的情况跟刚才不同，因为拉普拉斯变换的 s 十步步为零，虽然信号相加时把他的虚布抵消了， 叠加后的函数还是在实轴上震荡，但震荡幅度在发散，这时已经是拉普拉斯变换。小窗的情况则跟前面类似，还是复利液变换 s 时不为零，震荡幅度不会发散。 拉普拉斯变换比复理液变换更具有普遍性，因为用拉普拉斯变换，我们也可以将 垂直随时间变化的丧影曲线叠加。那如果反过来，我们已经知道了我们的波形是什么样的，怎样得到他的拉普拉斯变换呢？ 看如下的表达是，我们在长数 s 前面有一个符号， 将这个表达是乘以我们想要找到其拉普拉斯变幻的函数的波形， 在这里是接月函数。 ft 等于一 t 大于等于零，他的定义率在大于等于零，所以为负的情况可以引去。 在这个乘法运算的结果里，每一个时刻是一个用箭头表示的负数， 通过如下方程把所有的箭头加起来就是积分。 结果是一个用白色箭头表示的负数，而这个用白色箭头表示的负数就是我们的波形。再取值为 s 十的拉普拉斯变换。 如果积分的结果为无穷，我们就说在取值为 s 时，波形的拉普拉斯变换不存在。 这种情况是存在的。例如，当这个 s 的实布是一个很大的负数时， 这就是为什么在我们的例子里，当 s 的实布为负数时，拉普拉斯变换不存在。 当决定在哪里划线来恢复我们的原始波形时， 我们需要把它画在对于当前波形拉普拉斯变换存在的地方。

拉普拉斯变换是副理业变换的升级版，是的，你没有听错，就像功能手机升级到智能手机一样，非常厉害的。那么为什么要升级副理业变换？又有哪些问题呢？ 你可能觉得复理业变幻已经很强大了，既然这么强大，那除了处理信号之外，能不能用它来干点别的？ 比如解危分方程？还真有这个可能，因为复理业变换有一个重要的性质，那就是函数 n 解导数的复理业变换等于其复理业变换乘以 i o m a， g r 的 n 次方。 现在有一个微分方程， y 的二节导数加 y 等于负的 f。 解微分方程就是要把 yt 的函数解析式求出来。我们将微分方程的等式两边同时进行 行复理页变换，再利用函数倒数复理页变换的性质，就能把微分方程变成简单的代数方程了。这里的大 f omega、 大 y、 omega 分别是小 ft 与小 yt 的复理页变换， 这样就很容易求出大 y omega， 然后再通过复理页逆变换就可以得到 yt， 很完美，像变魔术一样就把微分方程解出来了。 这就是传说中的解危分方程的神器吗？还不能高兴的太早，马上就要面临问题了，因为富力爷变幻存在着比较严苛的限制条件，他要求函数必须是有限个断点，有限个集值， 最重要的是他要求函数绝对可击，意思就是信号函数在富无穷到正无穷上必须是有限的，因此无数的常用函数，诸如指数函数、 二次函数，甚至连常数函数都不能进行复理页变换。与此同时，复理页变换在处理信号衰险的时候也面临困难。比如在物理学中，单摆的运动会被看作是一种简协运动， 用一个关于时间的函数来表示他近似于一个正弦曲线。用复理页变换就能得到更简单的疲欲表达，看起来很完美，但是在自然界中却无法真正找到这样的间隙运动，因为真实世界总会受到阻尼的影响，所以实际的运动函数可能是这样的。 事实上，单百会按照一种指数衰减的模型逐渐变小。自然界中有许许多多现象符合指数衰减的规律，比如地震波的传递，放射性物质的衰变。再比如人们记忆的遗忘曲线护理液变 换能告诉我们函数中存在哪些正弦曲线，却不能很好的处理衰减因素。如此一来，拉普拉斯变幻便应运而生。拉普拉斯变幻本质上是复利业变幻，更一般的泛化形式。为了说明什么是拉普拉斯变幻，我们通过一个例子来展开接下来的讲解。 对于不满足复理页变换要求的二次函数 f t 等于 t 的平方，把这个函数乘以一个衰减系数 e 的富伽马 t 次方。这样一来，当 t 趋于无穷大的时候， t 的平方乘以 e 的富伽马 t 次方，在无穷大处的极限是零。 为了把小于零的部分过滤掉，我们再乘以一个单位积月函数，这样就可以得到一个可以进行复理页变换的新函数 g t 了。把 g t 的复理页变换展开，在 把指数部分合并到一起是这样的。然后把伽马加 iomega， 用一个复数 s 代替，这就是拉普拉斯变换，它是一个从食欲到复数欲上的积分变换，其中复数的虚部代表频率，食部代表着衰减因子。 这个函数的输入输出都是负数，所以涉及到四个变量，它的图像可以用一个立体图形来表示。 输入 s 用负平面上任意一点表示。输出 fs 的模长用 s 到曲面的垂直距离来表示，而 fs 的香味就用颜色来表示。 当你把图像画出来，就会知道，复里叶变换其实是三维图像中伽玛等于零时的切面，也就是过须轴的那个切面。这就是为什么拉普拉斯变换使复里叶变换更一般的泛化形式。 现在我们可以结合衰减系数，把任意的函数分解成若干代指数衰减因子的正弦函数的线性组合。这样一来，我们就可以按照真正的衰减规律分解信号了。 更重要的是，拉普拉斯变换没有复利业变换那么多的限制条件，他可以轻松地用于求解微分方程。 现在我们去试一下函数一阶倒数的拉普拉斯变换是这样的，二阶倒数的变换是这样的。再回到刚才的微分方程， y 的二阶倒数加 y 等于负 f， 对方程两边同时进行拉普拉斯变换就是这样的。同样的道理，我们可以得到关于大 ys 的代数方程。求出 ys 之后，再进行拉普拉斯逆变换，就可以求出函数 yt 了。因为不存在复利 变换那样的限制，他对于大多数函数都适用，所以他被广泛用于求解线性常微分方程、偏微分方程和积分方程等问题。怎么样？关于拉普拉斯变换你了解了吗？今天的讲解就到这里，您可以关注梯度世界，了解更多精彩内容。

学习信号与系统里边通常会遇到有这么几个概念啊，首先一个概念呢要搞清楚，就是福利业变换，那么另外一个概念呢是 离散时间副业变换，还有一个概念呢是离散副业变换，那这三个概念呢，有哪些关系呢？他们之间的联系是什么？我们来探讨一下。 那复列变化本身呢，是针对一个连续信号来说，比如说 ft， 那么我们要把它转换到频率的话，很简单呢，我们把它做一个积分就可以了，也就说把原函数乘以一的负 j， omega， t 做这样的一个积分的就可以了，那这样的一个积分呢，我们就可以把连续函数呢 从时运呢变换到频率，那么这个时候呢，时间已经消失了，我们只剩下啊 omeg 只剩下频率的这样的一个值， 那我们现在仍然不满足这样的一种情况，我们想呢把食欲有一足采样值，那比如说是 fn 这样的一个采样值，我用方括弧呢表示一个数值，或者是一个啊 数的集合，表示一个理想的采样数值，比如说你从你的 a， d， c， 或者怎么样得到这样的一组数值，那我们要把它做复列变化呢？我们很简单的，就是把它乘以一的负 j， omeg n 就可以了， 那所以说这样的一个合适呢，那么 n 等于零到 n， 也就说采样值呢，是有 n 个采样值，比如说通过 a， d， c 这样来得到一种一一组结果，那么这个 时候呢，我们就得到的离散时间忽略变化，那也就是说，嗯，在食欲呢，是这个时间离散的，食欲呢是食欲里啊时间离散的，所以， 所以这是副列变换，那这是第一离散时间啊副列变换，所以这里要搞清楚呢，那么离散时间副列变换呢是值域呢？再把信号变成一个离散的数据， 那我们计算机因为只接受啊零和一的信号，所以需要离散频率，所以呢对频率进行抽样，所以我们现在呢，对啊，频率抽样，那么对频率抽样呢，我们有一个技术说我们用 omega k 来表示，也就说把 二派分成 n 份，那我们用一个 k 表示我们占到多少份就可以了，这样呢，我们就进行了这个频域抽样过程啊，这是一个很重要的步骤，那这样的话，我们就把第一 tft 呢变到这个 dft 的这样的个离闪负裂变换的概念 啊，那所以我们最后得到的零散复列变换呢？是我们把零散序列啊，乘以一个负一的负 j， 二派除以 n 啊， 乘以 k， 这是我们的离闪频率，然后乘以一个 n， 这是我们的积分区域啊，我们从零到 n 减一，这样 n 个数据呢，去做一个啊积分啊， 这时我们得到了我们的 d f t， 就是离闪负离变化，这个才是我们计算机能够接受的， 所以你可以看到呢，食欲被离散了，那么频率呢，也被离散了， 这样呢我们计算机呢才能够接受他啊，所以大家可以看到呢，如果，如果食欲离散以后呢，会造成信息的丢失， 那么同样呢注意一点，就是频率提成以后呢，也会造成啊信息的丢失，如果如果把这个信号再反变换到这个啊食欲的话，那么他就会造成这个食欲的啊信号的丢失，也就是我们通常说的啊，所谓的渣男效应啊，渣男效应， 也就说你通过渣男去看一个东西的时候呢啊，那么他肯定会造成数据的丢失啊，这是顺便提一下啊，所以明确三个概念就是啊，敷裂变 啊，离散时间负离变换，这是一个过渡，那么我们需要在频率抽样以后呢，变成这个离散负离变换，所以最终我们用到的呢是离散负离变换， 那么在我们的信号与系统里边，在自动控制系统里边，我们都会用到的是这个啊，离散啊，福利变换，这是三个变换之间的关系呢，帮助大家明确一些啊，连续欲的啊，福利变换 啊，食欲离山以后的福利变化和食品欲抽样以后的啊福利变化， 那么在这里边呢，就是这个旋转音值本身呢，我们可以用一个图形来简单的表述，在这个抚平面里边呢，你可以看到，如果你 n 等于四的时候呢，那么抽样值呢， 就是这四点啊，你按反时针方向去旋转，因为因为 wn 呢是等于一的负减，二派除以四这样的一个方式去旋转的，所以我们分别等于一负勾啊，负一和正勾这样的一个表达 啊，所以以此类推，如果你想把你的频率分辨率变得更高的话，你可以做一个事情，就是说 你可以把你的这个单位元呢分成更多的分数，比如说我分成了 n 等于八，那么这个时候呢，我们就可以说 w 八呢等于二派一的负阶，二派除以八这样的一个 一个分法啊，这就是帮助大家理解从连续到理想的这样的一个过程，我们如何用计算机 去处理我们的啊信号，那么食欲抽样会造成信息的损失，频率的抽样也会造成信息的损失，所以你要权衡你的产量数率，你的你的这个数据量和你的计算机的处理能力。 那么所有的出发点呢？可能是从你的误差去出发啊，你要满足你的误差小于你最小的那个要求，那么才能达到这个，才能去选择正确的采样速率和啊采样点。

护理液变换的应用可以说是渗透到了我们生活中的每一个角落，可不止科研呦。这次我再拿一个很常见但却很容易被忽略的东西来讲讲啊，某个东西的价格受供求关系的影响和环境的变化，东西的价格往往都不是一成不变的， 变得厉害的甚至一天一个价啊。我们把时间展开一条轴，然后把不同时间点的价格描出来啊，然后再连起来，于是呢，就得到了一个随时间变化而波动的价格图。 如果说某个东西的价格是这样的，几乎毫无规律可言啊，前几天都还在节节翻身，今天下午就突然来了个这个九十度下跌啊。 通过复利页分析啊，得知其中的分量呢是长这样的，频率高，波动的幅度也高，那就证明了这个东西的价格存在着较短时间内的大起大落，不靠谱啊！上面所讲的价格随时间的波动图，我们通常称呼这一类为时 预信号，他可以分解成多个不同频率的正弦分量。假设我分解出来的分量频率分别是一七八九、赫兹，我这里的横坐标呢，是频率啊，刚刚的分量就在对应的位置上画一条不同高度的线，这条线的高度呢，就表示了他的波动幅度啊，我们就得到了一个平谱图， 这一条一条的呢，就叫做平谱线。大家发现了一个问题，没有这些谱线啊，都是离散的，一条条分开的。好，接下来我再告诉大家一个关于谱线的秘密啊，用 t 分之一来计算频率的间隔啊！我们发现了，当周期越长，谱线呢就越密集， 那像第二个东西的价格波动啊，他就根本不可能有重复的周期可言的，他就是定义在整个时数域的非周期函数。那怎么办呀？这种情况我们就把他当做周期是无穷大的不就行。 周期 t 无穷大，那 t 分之一呢？就无穷小，那普线之间的间隔就无穷小，间隔无穷小不就是连续了吗？所以非周期函数频率的存在啊，是连续的，这里有一段声音的信号，他是关于时间的非周期信号。那你看他的频谱就是右边的这个连续的啊。 黑体向外辐射的能量就是随时间变化的，非洲际函数在不同的频率下只能一份一份的发射。例如一赫兹的能量，你要么就来一份，要么就来 n 份，你是不能来零点几份一赫兹的能量的啊，每一份的能量的大小呢，就是普朗克长量乘以频率，这就是量子的由来。 于是乎就有不少人认为能量就是不连续的。那我们应该怎么去看这个问题呢？啊？我提供另一个思路给大家看一下啊，虽然每个频率下只能一份一份的发射和吸收，但是频率的变化却是连续的，一赫兹到两赫兹之间，他还可以 有一点一赫兹，一点零一赫兹，一点零零零零零零一赫兹等等等等，无穷无尽。也就是说你不能有零点几份的一赫兹的能量，但是你可以有一份或者是好多份零点几赫兹的能量啊。 那这个时候我们对能量不连续的说法是不是就有了更深刻的认识呢？好了，这期讲到这，每周三晚十点直播，给大家用理科思维读一本好书，我们下期见！