等价无穷小替换公式荣浩

公式，看着多，找到规律分分钟就能记住。我们分成三组，有三对正反三个拓展和三组相似， 三 x t x e 得 x。 四帮减一法函数分别是 f 三 x x t t x 加一 在 x 区径于零时，都等价于 x。 第三组稍长，也有技巧把 x 看成零，来倍易的零，次方减一等于零，那零加一等于零， 咱再拓展一组。如果把 e 换成 a 时，那么右边乘以浪 a al a 换成 love you a， 右边则除以浪 a。 高中被拐求倒。公式，有一组很相似，请记住出现 a 的 x 四方形式 乘以浪 a 出现闹个 a 是除以浪 a。 再拓展一组 x 加一的 a， 次方减一等价于 ax 四，把 a 换成 n 分之一，就有了上面的公式。

预备，开始大学数学救命课第四期，今天我们来说一下等加无穷小的替换。等加无穷小的替换是怎么回事呢？哎，非常简单，就我们面前的这一堆 啊，简单来说就是当 x 趋近于零的时候，大家就可以认为啊， sine x 弹见的 x arc 弹 x arc 弹见的 x e 的 平方减一 line 一 加 x， 这一堆跟 x 完全相等， 完事了啊，所以大家在做题当中就认为这些东西相等就完事了啊。那么下面的这些东西，前提都是 x 去零的时候啊，一减口算 x 去啊，跟二分之一 x 的 平方近似相等啊，就是大家在做题当中就这个波浪线，就把它理解成等号就行了好吧，哎，好，这是一堆东西，大家在这先截个图啊，有能力的同学把这个一到十二全都背下来。 如果实在没时间的同学啊，一般来讲，期末考试第一条这一堆和第二条一加口三 x 和二分之一 x 平方这一堆是考试经常考的，实在没时间同学一定要背下来第一条和第二条，有能力的同学就都背好吧，嗯， 这是等价无穷小的替换哎，有一个特别特别重要的前提就是，等价无穷小的替换仅适用于乘法，而不适用于加减法。好吧，老师再说一遍，等价无穷小的替换仅适用于乘法，不适用于加减法。老师举个例子，比如说这么个东西， 还有下面这个东西， 好，我们现在学会了啊， sine x， 当 x 趋近零的时候， sine x 跟 x 金丝相等，弹性的 x 跟 x 金丝相等啊！那我们说大家看老师的步骤，哪个是对的，哪个是错的， 一定上面是这个对的，下面这个大错特错， 好吧，哎，因为什么老师刚才反复强调这个等加无穷小替换啊，我们拿来替换一定仅适用于乘法，而不是用于加减法，你这里是加号等加无穷小，你拿过来替换就是错的，好吧，大家一定要注意，这件事非常非常容易出错，好吧，哎，好， 那我们来看一些例题，比如说这个例题一，嗯，我们说，哎，这一堆东西啊，其实我们看完之后，他是个零比零的，其实你用洛必达法则也行啊，但是很多时候啊，洛必达法则，你那个求导啊，他确实不简单，所以说我们记住一些常见的等加五十秒的替换，会更有利于我们的做题， 好吧，所以说例题一，如果有能力的同学啊，这个我们发现它是弹性 x 减三， x 正好是跟二分之一 x 的 三次方对应相等，那么这样的话，我把分子换成二分之一 x 的 三次方，然后比上 x 的 三次方啊，就等于二分之一就 ok 了。但是啊，由于这个东西没那么常见， 所以说怎么办呢？我们一点点推也能做啊。来，我们把弹性的 x 啊，一般来讲，这个出现弹性的一定要把它变成 sine 比 cosine， 也就是这个样子， ok， 简单整理一下， 分子分母同乘 cosine x 去分母， 分子提出个 sine x 来， ok， 好， 接下来我们用等价无穷小的替换。哎，我们来看第二条，一减口算 x 是 不是可以跟二分之一 x 的 平方对应相等啊？这个第二条可是超级重要的，大家务必背下来啊。来，那这样的话，一减分子的这个东西， 我就把它变成二分之一 x 的 平方。好，三 x 跟二分之一 x 平方是相乘，所以三 x 我 也可以替换，把它替换成 x， 那 这样的话， x 乘二分之一 x 的 平方，正好是不跟分母那个 x 三次方就约掉了。所以说，最终结果就相当于求这么个东西， 二分分子就剩个二分之一，分母就剩个口塞 x 带入 x 等于零，哎，最终结果是二分之一就完事了，非常非常简单，好吧。嗯，再看例题二啊， 带入 x 等于零，是一个零比零啊，用不漏答也行，但是求到有点麻烦，我们用等加无穷小的替换，我们知道，弹进它 x 啊，这个趋向于 x， 三 x 也趋向于 x， ok 啊，但我们知道啊，这个里头不一定非得是 x， 好吧，哎，同学们，比如说，在这里， sin 二 x， 我 就可以让它等于二 x， 弹进它五 x， 我 就可以让它等于五 x 啊， sin 啊，假如说这么一坨，我就可以让它等于这么一坨，好吧，啊，弹进它 啊，一个笑脸，我就可以让它啊，等于这么一个笑脸啊。所以就是说啊，结构分析嘛，这两部分对应相等就可以，不一定非得是 x， 好 吧。嗯， ok， 那 这样的话，弹进的二 x， 我 就可以把它变成二 x。 三五 x， 我 就可以把它变成五 x， 最终非常简单，上下遇到 x 就是 五分叉，非常简单。好啊，同样的道理。例题三，我们之前背过二，可弹进的二 x 是不是在这呢？哎，是不这个就可以把它变成二 x 呀？三五 x 是 把它变成五 x 呀，最终结果就是二比五就完事了，好吧，嗯，接着往后看。例题四啊， 代入 x 等于零，上下啊，这都是零啊。这个可以用洛必达法则，但是求导有点麻烦啊，我们还是用等加无穷小的替换一减 cosine x， 我 们可以把它变成二分之一 x 的 平方， 就是这个样子啊，好弹性的 x， 分 母的弹性 x 减三 x， 有 能力的同学直接把它变成二分之一 x 的 三次方啊，如果不行的话，同学们，就是啊，如果没记住那个东西的话，我们就把它变成像刚才那样啊，把弹性的变成 sine， 除 cosine 一点点推也是 ok 的 好吧。嗯啊，就是这个样子，还是跟刚才一样，分母提出一个 sine x 来， ok 啊啊，分母简单啊，把它这个内部的分母去一下，上下同乘 cosine x 就是 这个样子， ok， 一 减口三 x 啊，我们再次把它变成二分之一 x 的 平方 sin x， 我 把它变成 x， 这样的话，上下同时约掉二分之一 x 和三方，代入 x 等于零，最终结果就是一，非常简单好吧，嗯， 来离体五啊，分子是个 e 的 多少多少次方减一来啊，我们看，这是我们第一条背过的， e 的 x 次方减一，可以把它变成 x， 那 e 的 这一坨次方减一，我就可以把它变成啊，这个 e 的 指数那一坨。所以说分子直接把它变成 x 的 平方啊。 分母是 cos x 减一，一减 cos x 可以 变成二分之一 x 的 平方，那么 cos x 减一就是负二分之一 x 的 平方呗，非常简单，最终结果是负二啊。来例题六， 分子是 sine 的 平方，平方的意思不就是两个东西相乘吗？对不对？哎，老师把它写成这个样子会相对好看一些。 好，我们说过，等加无穷小替换，只要你相乘，我就可以随便换啊， sine， 这一坨我就可以换成一减 x， sine， 这一坨我也可以换成一减 x， 所以 分子就替换成了一减 x 的 平方， x 的 平方跟 x 减一的平方没区别，直接上下整体约掉，带入 x 等于最终结果四分之一，非常简单。好吧，例题，七，老师讲上一期的时候说过这种啊，两个相乘的时候，求其线，我们一定要把它变成这个什么呀，一定要把它变成 这种等价替换的形式，好吧，嗯，除以它的倒数就等于乘 x， 没区别。好，那这样的话，我们发现啊，当 x 趋均无穷的时候， x 分 之一趋均于零，所以说这种依然是符合那种零比零的那种感觉， 但是上下同时求倒的话，有点太麻烦。所以说，我们直接利用等加无穷小的替换啊，由于 x 分 之一这一坨取近于零，所以说三 x 分 之一直接把它替换成 x 分 之一上下直接作弊，等于一就完事了，非常非常简单。 所以啊，大家核心的核心，一方面啊，记住这些等加无穷小的替换，如果实在没时间的话，大家一定要务必记住第一条和第一条这一堆和第二条一减 q 三 x 的 平方。 第二件事啊，老师再强调一遍，等加无穷小的替换只适用于乘法，而不适用于加减法，好吧。

当你看到这道题目的时候，是不是很开心？这不就是等价无穷小替换吗？直接秒的一亿到这里。恭喜你，你做错了，这个是大家在使用等价无穷小的时候容易犯的经典错误。无穷小指的是当 x 区域 x 零时， f x 也要趋于零，并不是 x 区于零的任何式子都是无穷小。因此提到无穷小，要说明自变量的趋势，比较两个无穷小是否为等价无穷小，也要在同一自变量趋势下。正确的做法是 think 分之一。虽然在 x 区于零时 期限不足，但他是一个有界函数，所以这道题是无穷小乘以有界。这道题的灵，你学会了吗？快按你专升本的朋友来学习！

每天一节高数课，期末考试不挂科，今天我们来分享一个等价无穷小替换的一个原则，这虽然是一个比较小的知识点，但是很多人在做题的时候对这个点非常的困惑，我们来看一下什么时候可以无穷小替换，什么时候不行。 课本上写的很清楚，就只有对所求极限中相乘或相除的因式，才能用等价无穷效量来替换，而对极限中的相加或相减的部分则不能随意替换。 好，那我们来看一下这个关键的就是相乘或相除的因式。什么叫因式？我们初中都学过因式分解，你比如说 a 方减去 b 方，那我们可以把它分解成 a 加 b 乘以 a 减 b， 那这个 a 加 加 b 这个整体和这个 a 减 b 这个整体就是他的音式，这个就叫音式分解，你一定要对音式这俩字 去理解。好，那我们来通过一个例题来看一下，利用等价无穷小量来代换来求极限，他这个分子是一个坍塌， x 减三 x， 那很多同学做的时候，你就比如说像下面这个去做了， 他上来的话，直接等价无穷小替换，把弹台 x 用 x 换掉，三叶 x 用 x 换掉，分子是 x 减 x 等于零，那这样去换的话就错了，因为我们这样说的很清楚，对极限适中的相加或相减的部分是不能随意替换的， 只能替换的是相乘或相除的因式。那好，那这个题如果正确的去做的话，那第一步弹腿换成三，引出考三应，把考三应给他 题下来，分子变成了这个样子，那变成了这个样子后，我们再去看这个题，那就变成了三应乘以一减考三应这个整体，那一减考三应这个整体，他就可以成为一个因式了，就 相乘或相处的因式。那这个时候我们把三用 x 换掉，一减靠三用二分之 x 方换掉，三 e x 三次方用 x 三次方换掉，然后 x 屈进于零的时候去求极限啊，那答案出来就是二分之一。好，下面的话给大家写了一些 x 去进零的时候，一些常见的这个无穷小替换的一些结论，这个结论的话我们在下节课会去推倒啊，这个结论的话，其实你只要抓住一个关键点就行了，就这个 x 三 exxxxx 一加 x e 的 x 方，这个一定要保持一致向啊。这个很多老师包括我上次说了，他都喜欢拿狗来讲，那就狗啊，这边就是三应狗， 那同样的 x 三英狗，那你也可以一直往下写，把所有的 x 看作一个整体，或者看成一个方块，方块 三，一方块啊，这样都是可以的，把它整体换掉就可以了。好，那我们再看这个例题，这个例题的话，那我们就说了可以直接替换了，因为他没有加减的部分，就是我们这个概念里的相乘或相除的因式啊。那这块的话直接换就可以了。 阿尔克坦坦 x 用 x 换掉，三 e 四 x 用 cx 换掉，我们就说了这个是一个整体，这是那条狗，那这也是那条狗 啊，这是那个狗，这也是那个狗啊，那这样的话他就可以直接换成他了，那答案就是四分之一了。好了，我们下节课来分享一下这个的证明，今天我们就分享到这里。

哈喽，大家好，今天我们来讲一下有关求极限的题目。求极限的题目，我们首先要看 左下角 x 的确定过程，然后我们去判断大概率的使用的方法，再看右上角位置，如果有内容的话，我们大概率使用 uv 转化 u 的 v 次方等于 e 的 v， 让 u 次方大概率接等价无穷险替换公式。 我们来看右侧这道例题，首先看到左下角曲径过程， x 曲径无穷大， 后面的式子可以转化成 e 的二 f low on 这样的式子。然后右上角捞完，后面的内容可以进行一步化解，拆成两步。 运用等价无穷小替换公式时，当 x 趋近于无穷时， x 分之一这个波浪线是趋近于零的。 所以说 lawn e 减 x 分之一，运用等价无心脑循环公式，它是等价于负的 x 分之一。 所以最后的答案是 e 的 for。 详细步骤如下，点赞转发加关注，学好数学不迷路！

在上一期的视频当中，我们对下边这一个求极限的问题给出了一种做法，其中有百分之四十多的同学认为这种做法是错误的，但实际上这种做法是正确的， 他们认为错误，错误的理由是什么呢？错的理由是我们在这个地方利用了等价无穷小的替换，他不敢保证这种替换是正确的， 因为他在课堂上上课的时候，老师曾讲过一句话，说等价无穷小的替换在乘法或除法当中可以随意用， 但是在加减法当中不能够随意用，那么他用词说在加法减法当中不能随意用，不是说不能用， 而是在满足了一定的条件之后，加法和减法当中仍然是可以使用的，而且使用的时候 过程会变得更加的简单。你比如说这一个题是不两步就做出来了，当然这个题有人也提出来说我用诺贝达法则，很快，也有人提出来说我用胎了，公式也可以。 当然大家的想法都很对，但是如果你会用等价无从小的替换，是不是更加的简单一些？那么下边我们就来讲一讲等价无从小的替换，在加法或者减法当中，什么情况下能够使用？ 好？我们假设有一个无穷少量，阿法是一个无穷少量，说明他是区域零的，贝塔也是 区零的，也就是说阿法和贝塔都是什么东西嘞？都是无穷小量，简称无穷小。然后我们再假设阿法和贝塔这两个无穷小啊都已经找好了他的替身，假设他的替身是他， 然后再假设他的替身是他。那么我们前边已知的就是说第一种，如果是阿法和贝塔是成的形式 乘的求极限的形式好求极限，那么他就等价于什么呢？直接让他们两个的替身上场去求，或者第二种情况，求极限，他们两个是相除的形式，就等价于直接让他们两个的 替身上场。但是在除法当中要注意，分母是不能为零的，分母不能为零好，此时要注意分母是必须不能等于零才能用它。 但是我们在题目当中碰到的第三种情况就是求极限是加法的时候 能不能直接让他们俩的替身上场，也就是说能不能直接变成他的替身，加上他的替身上场之后再求期限呢？那么此时必须要满足条件，那么条件什么呢？条件就是我给这两个 将要做替换的这两个无穷小做笔直求极限，如果极限不 等于负一，那么此时我就可以在加法当中任意的去变换好。那么第四种情况，如果是在减法当中呢？ 什么时候能够让他们的 t 神上场嘞？那么也有条件，条件就是 我给这两个做笔直求极限，如果极限值不等于一，那么他们两个就可以在减法当中换成他们相应的替身来计算极限。那么这个十字我们再把它看一看，能不能再总结出一些更加好记的结论， 比如说第三点，我们来看第三点，第三点最后的解冻什么呢？说是阿尔法跟贝塔作笔直求集 线不能等于负一，如果等于负一就怎么办？如果等于负一，我要是换进去，是不是这个地方就等于零了？ 哎，如果这里等于一是不这个地方放进去也就等于零了，所以我们把它说的再简单一点。在加法和减法当中，能够让替身上场的条件就是，当我把他们换成替身之后，加法 他加上他不等于零，和他减去他不等于零， 如果加起来不等于零，那么在减法当中就能换，如果减完之后不等于零，那么在减法当中就能换。所以第三点和第四点我们可以简计成下边的这个结论。下面我们再来 看一道例子。假设求极限 x 去于零，上边是 ttent， x 减去三 ex， 下边是 x 的三次方，那么这个题目能不能用等价无穷小的替换？我们先来判断判断一下， x 区域零的时候，摊正的 x 替身是 x， 商议 x 的替身也是 x。 好，这个替身和这个替身这个地方是做的减法，替身相减之后怎么样等于零呢？ 替身相减等于零。回到刚刚的结论，在减法当中，如果替身相减不等于零才能替换，那么现在 等于零了，等于零就说明不能替换， 替身不能上场说明减法此时换了就错了。但是我没有想到在乘法和除法当中可以任意换，所以我把这个题目能不能想方设法把这个减法改写成乘法或者除法的形式？ 好，我来改写 x 区域零。好， tangent x 不变 song x 等于什么嘞？我们知道 tangent x 是等于 sunny 除以 cosine 的，那么也就是说桑 in 就等于 constant 乘以 cosine， 我把它换掉就等于 constant 乘以 cosine x 的三次方。再继续分子，此时有公因式 tangent x 会把它提出来，提完之后剩下一减去 cos i x， x 的三次方下边我们仔细观察，仔细观察，发现我可以此时把分子当成两项，前边的贪整的是一项，后边的一减 cosine x 是一项， 变成了两部分的乘法，而两部分的乘法是我们可以用等价了。 tangent x， tangent 狗等价于狗， 一减 cosine x 等价于谁？是不等价于二分之一 x 的平方是不继续利用等价狗，此时就可以换掉了，换掉之后，结果最终等于 x 取零， x 乘以二分之一 x 三次方下边是三次方，好，这里是平方，该约的约掉，最终结果等于多少？等于二分之一， 好，所以这个题目是不能随便用。我们再回到我们上一期的视频当中这个题目来，这个题目前边的替身是三 x， 后边的替身是五 x， 三 x 减去五 x 是不等于负二 x 不等于零，他不是零， 不是数字零，所以它是可以做替换的。那么这一类型的题目，如果你在专升本考试当中懂得懂得了这个条件，对于某些题目来说还是比较快的。这一类型的题目你会了吗？