笛卡尔积满足什么律

好，我们开始讲第七章啊，第七章，第七章呢，是 二人关系，那么他在结合论当中是比较重要的一个内容啊，那么第七章的主要内容有包括有序对，迪卡尔乘机。那么二人关系的定义已表示法， 那么关系的运算，关系的性质，关系的必包，等价关系划分，平息关系，这些我们都是要讲的啊，都是要讲的。 今天我们来讲一下这个游戏，对以迪卡成绩以及二人关系的这个表示啊，二人关系定义表示。 好，首先我们来看一下什么是有序对啊？什么是有序对， 有两个元素 x， y 按照一定的顺序组成了二元组，那么称作是有序对啊，有序对，那么这里呢，有两个，这个 keeppoint 是吧？关键点，一个是顺序是吧？一个是有顺序的。第二就是二元组啊，有顺序的二元组， 那我们把它称作是一个有事以对啊， 那么有序队呢？是用间括号来括起来的啊，有序队啊，那么有序队一个是有顺序性是吧？ 第二个就是如果两个有序对，如果相等的话，就是，那么前面两项相等，后面两项对应的两项相等。嗯， 好，我们来看一下 decal 乘积啊，设 a b 为集合 a， 以 b 的 decal 乘积即做 a 乘 b， 且 什么呀，写什么呀？ a 成 b 的元素都是什么呀？都是有序队啊，那么有序队的这个前前进是吧？有序队的前进来自于 a 集合 a 集合的元素，那么有序队的后键呢？是来自于 b 集合的元素啊，那么这个程度是有序队。呃呃，迪卡尔成绩是吧。所以呢，迪卡尔成绩其实就是什么呀？就是有序队的啊，集合，那么这个有序队呢，是由 a 集合里面的元素和 b 集合里面的元素共同组成的啊，这个底杆成绩在以后大家学数字库里面啊，数字库表的这个 内程啊，也会内程，其实也是这个 d k 二乘机啊，数据库表的内程啊，内连接。好，我们来看一个例子啊，看一个例子， 那么是 a 是这个一二三集合， b 是 a b c 集合啊，那么 a 乘 b， a 乘 b 就是什么呀？就是 a 乘 a e b 的第二成绩，是吧？那他其实是有序队的集合啊，那么有序队的前键是来自于 a 的是吧？那就是一 a 一 b 一 c 啊，那就是前键 是来自 a 是吧？后键是来自于 b 集合啊，那么二 a 二 b 二 c 三 a 三 b 三 c 啊，就是这么一个有序类的集合，那么 b 乘 a 呢？ b 乘 a， 就是这个 b 集合里面，是吧？先由 b 集合里面组成的元素啊，那么是由构成前键，那么 a 集合的元素呢？是来构成这个后键啊，然后组成这个游戏队的一个成绩啊，就这样。 好，我们来看一下这个啊， a 呢，是等于空级的几和 b 等于空级，那么 p a 乘 a 是吧？首先我们要看一下 p a 等于什么是吧？ p a 等于什么啊？那么 p a 应该是 一个是空级，是吧？空级是一定要有的，是吧？空级。另外还有就是什么呀？这是零个元素，那么还有就是一个元素的集合，一个元素就是什么呀？空集的集合，是吧？这是一个集合的元素，那就是他自身啊， 那么这是这个 p a， 那么 a 呢？ a u 是等于这个空级的几何的是吧？那么 p a 乘 a 就是什么呀？诶？由这里面拿一个元素出来，是吧？空级， 然后这里面拿个元素出来啊，这也是什么呀？这也是空级啊，这样组成游戏队，然后这里面其实还有个元素，是吧？那就是空级的 集合，然后再次空起啊，这样啊，那就等于这个，是吧？等于这个 啊，好，我们看一下 p a 乘以 b， p a 等于这个，是吧？等于空集和空集的集合的这个集合，那么 b 集合呢？ b 集合是空集，空集是没有元素的，所以呢？没有元素是， 所以他当然也没没办法拿拿这个元素出来去构造这个游戏队，是吧？所以呢， p 这个第二成绩，第二成绩里面，如如果 a 和 b 呢？前面和后面呢？有一个是空级，那么他整个就是空级啊。 好，我们看一下 decar 成绩的性质，第一，它不适合交换率，是吧？不适合交换率，因为什么呀？因为 decar 成绩它是有序对的即可。有序对是什么呀？有序对是有顺序的啊， 所以他对这个顺序是非常敏感的啊。第二，他不适合结合率啊，不适合结合率，因为你如果要结合的话，那么他 他们结合之后的他的这个有序队是完全不一样的啊，完全不一样，所以呢，就是这个风，这个是不一样的一个这个有序队啊，所以他也不满足这个结合率。 那么第三，对并应省或者交应算啊，还有集合的应算呢，它是满足分配率的。 那么迪卡尔成绩与并级和交集其实是两个维度啊，两个维度的这个运算，所以呢，他当然就可以这个满足这个分配率啊。所以好。第四， a 和 b 当中有一个如， 如果是空级的话，那么他们的 decar 成绩就一定是空级啊，一定是空级， 这个刚刚我们已经已经这个做过了，是吧？好，第五个，如果 a 里面 a 集合里面有 m 个元素， b 集合里面有 n 个元素，那么 a 乘 b 抵考成绩的元素就是什么呀？ m 成 n 的，是吧？因为什么呢？它有 m 中可能，是吧，取值的可能，它有 n 中取值的可能，那么它们构成了有序列的取值可能就是 m 成 n 的啊， 这个证明我们就不证了啊。好，接下来我们来看一下这个恶言关系啊，恶言关系，那么恶言关系 呢？其实这个定义啊，其实他是一个，嗯，我们来看一下他的定义啊， 如果一个集合，他是空集，或者呢，他他的元素都是有序，对啊，那么他这样的一个集合称作是一个二元关系， 这里说明什么呀？说明空级也是一个二元关系，是吧？如果他不是空级呢？那么他的元素必须是什么呀？二元二元组，是吧？有序，对啊，有序，对，那么这样的集合呢？称作是一个二元关系。二元关系。 好，我们来看下这个实力啊，那么这是一个集合，是吧？这是一个集合，那么这里面的元素都是什么呀？都是有序， 对，所以呢，它是一个二眼关系啊，这个 s 集合呢？ s 集合呢？这里有一个游戏队，是吧？但是这个 a 和 b 不是游戏队，所以呢，它不是一个二眼关系啊，它不是一个二眼关系啊， 那么这就是这个恶言关系的定义啊。他要么是空级，是吧？如果他不是空级呢？他的元素必须什么呀？都是有序队啊，一定要都是有序队啊，不能出现其他的这个情况啊。 好，我们来看一下这个 a 到 b 的关系与 a 上的关系是 a b 为几何？那么 a 乘 b 的任何子级所定义的二元关系叫做什么呢？叫做 a a 到 b 的二人关系，是吧？也就是说 a 乘 b 的任何子级啊， a 以 b 的底卡儿乘积是吧？ a 以 b 的底卡儿乘积，都是什么呀？ 都是有序队是吧？都是二元二元这个二元这个组有序队啊，有序队，所以呢，他的子级呢？当然也是有序队的啊，所以呢，这个集合呢，就称作 a 到 b 的二元关系，当 a 等于 b 的时候呢，就称作 a 上的二元关系，是吧？ a 上的二元关系就是 a 乘 a 啊， a 乘 a， a 乘 a 的这个自积啊。好，我们来看一下这个 a 等于零一集合， b 等于一一二三集合，那么我们看一下，这里有 r 一 r 二， r 三、 r 四，是吧？好，我们看一下这个， 我们看一下 r 一 r 一零啊，有个零二，是吧？二肯定是从这来的，是吧？零肯定是从 a 来的，所以呢， r 一肯定是 a 到 b 的关系啊， a 到 b 的关系， r 二呢？ r 等于 a 乘 b， 那么 r 等于 a e b 的低个儿乘积就是什么呀？这个肯定是，是吧？肯定是 a 乘 b， 肯定是这个 a 乘 b 的子级啊，所以呢，它也是什么呀？它也是这个 a 到 b 的关系啊， a 到 b 的二人关系，那么 s m s n 等于空级，空级是任何几何的子级是吧？他肯定也是这个这个 a 乘 b 的子级啊 啊， r 四呢？ r 四零一是吧？零从这里取一个，一从这里取个，肯定也是这个啊，可能也是这个，所以呢， r 一 r 二， r 三 s 四都是 上面都是 a 到 b 的关系啊，都是 a 到 b 的关系，那么 r 三和 s 四这个稍微有点特殊啊，稍微有点特殊，为什么呢？因为他也是 a 到 a 的关系 啊，你可以把这个这个 b 集合给给盖住，是吧？那么空级肯定是 a 乘属于 a 乘 a 的啊，空级肯定属于 a 乘 a 的，那么零到一的集合呢？零到一的集合呢啊，零到一的这个游戏队其实也是什么呀？也是 a 乘 a 的集合，所以这个 r 三 r 四也是 a 上的二元关系。 好，我们来看一下这个二人关系的这个技术啊，技术，那么假设啊，假设 a 有 n 个元素啊， a 有 a 有 n 个元素，那么 a 乘 a 肯定就会是这个 n 的平方个元素，是吧？ a 乘 a 是 a 的皮肤跟元素，这个就是什么呀？这个就是有序，对啊，有序对，有序对集合的这个个数，是吧？有序对集合的元素个数，那么 a 乘 a 的子级有多少个呢？有多少个呢？ 子级的个数，这个就是什么呀？前面我们讲过，是吧，其实就是你 p 就是求密集，求的是， 我们之前讲秘籍的时候讲过，是吧？你要求一个集合的秘籍，其实就他求他子级啊，求他子级，所以呢， a 乘 a 的子级呢？就是有多少个呀，就有二的 n 的平方个啊，因为我们前面讲了，是吧，如果 a 有 n 个元素，那么他有多少个秘籍啊？那就是二的 n 字方个秘籍啊， 它的面积有二的 n 字方格元素啊，所以呢，这个也是同样的，是吧？所以呢， a 上有二， r 的 n 次方， r 的 n 平方个啊，二零，二零关系。 好，我们来看一下几个比较特殊的关系啊，特殊的二元关系，第一个就是空级啊，那么空级是任何几何的子级，是吧？所以空级呢，也是一个这个很重要的二元关系，我们把它称作是一个空关系。 第二就是权益关系，权益关系就是最大的这个，哎，这个集合是吧， 就是最大的这个 a 乘 a 啊， a 乘 a 里面最大的就是他自身啊，这个就是 a 乘 a， 所以他就是一个权益关系啊，就是所有的这个律师队都包括在里面了啊，第二个就是恒等关系啊，第二就是恒等关系。 横等关系就是什么呀？就是这两个有序的元素啊，是相等的啊，相等的，那么这个元素来自哪里呢？来自于 a 集合啊，来自 a 集合。 好，接下来就是小于等于关系，小于等于关系就是什么呀？ x 小于等于 y 啊， x 小于等于 y 小等关系， x 小等于 y， 那么整除关系呢？就是 x 整除以 y， 是吧？整除以 y 包含关系，那么就是 x y 的子级啊， x y 的子级，那么这里签名是什么呀？证明 x y 都是都是几何啊，都是几何，那么 a 是几何的几何了啊， 好，我们来看一个例 子啊，看一个例子，那么 a 是等于一二集合啊， a 等于一二集合，那么 ea 等于多少呢？ ea 就是这个 a 乘 a 的所有的可能性，是吧？ a 乘 a 啊， a 乘 a 所有的这个可能性，那就是一一一二二一二二，是吧？ 那么 i a 呢？ i a 就是 x 等于 x， 是吧？一等于一二等于二，是吧？二等于二，这样的，这个就是 i a 啊。好，我们看一下，这个 a 等于一二三 b 等于这个 a b 啊， a b， 那么其实这里面讲的都是什么？都是 a 上的关系，所以这个 b 呢？没有任何，没有任何作用啊，还是这个 a 啊，那么 l a 呢？就是小于等于关系，是吧？那就是一 一一一二一三二二二三三三，整除关系啊。 d a， 那就是一一一二，是吧？一三二二三三啊，这就是整除关系。 好，我们看下这道题，这道这个例子啊，这个例子，那么 p b 等于什么呢？那么 a 等于 p b 啊， 这个 p b 就是 b 集合的密集，是吧？ b 集合的密集，那么这个密集呢？是这个 b 集合从这儿来的啊，这个 b 集合啊，等于 a b， 那么密集就等于这个了，是吧？密集就等于这个，这个我们就不再细讲了。那么则 a 上的这个包含关系，包含关系呢？其实就是什么呀？哎，他就是一个有序队，是吧？有序队，二也有序队，那么有序队的话，前面是后面的元素的这个子级 啊，我们来个看一下空级，从空级开始，是吧？空级是空级的子级，空级是任何颜色子级，所以他有四个元素啊，一个、两个，三个四个。 好，接下来看一下 a 集合啊， a 集合应该有两个，是吧？一个是他自身，一个就是 a b 集合啊，一个是他自身啊，一个是 a b 集合， b 集合也是一样的，是吧？然后就是最后他这个 a b 集合， a b 集合只有他自身了啊， 这就是他这个包含关系啊，包含关系的这个这个奥运关系， 那么类似的定义呢？还有大于等于是吧，小于大于关系，真报案关系等等啊，好，我们来看 一下关系的表示啊，关系的表示，哎，就说给你一个恶言关系是吧，给你一个这个有时对的集合，你怎么样来表示他啊？你除了用集合的表示方法之外，其实还有两种更加形象或者是更加直观的表示方法 啊，一个是关系几证，一是关系几证，另外就是关系图几证，我们可能都在这个代数里面其实都学了，是吧，他是有行有列的啊，那么关系几证其实是不是一个特殊的这个几证，那么几几证里面的元素要么是零， 要么是一啊，要么是零，要么是一，那么这个零表示什么呢？零表示对应的行和列呢的元素是没有啊，没有有序，对的啊，如果是一的话，就是有有序，对，是吧？ 对应的行和列是有存在，有序堆的话就是一，如果不存在就没有啊，就是零。好，我们来看一下这个 x l a 等于 x e， x 到 x m 是吧？ y 等于这个， 那么 r 就是 a 到 b 的关系，那么这样的话，我们可以这样写啊，行是吧？ x 就是行啊， x 一 x 二到 x m 啊，这就是 y 一 y 二到 y n 对应的啊， x 啊，我应该，我应该是这个写，我应该写反了啊，就是 x 在这里啊， x 在这里，这是 y 啊， 对应的 x 到 y， 如果有边的话啊， x 到 y， 如果存在这样的有序，对的话， x 一 y 一，如果是存在的话，它就等于一啊，也就这个地位置是一，如果没有就是零啊，没有就是零，这样的啊，这样的一个集镇，布尔集镇是吧？布尔集镇 好。第二个是关系图，关系图其实就是一个带有顶点和有向边的一个图啊，顶点，顶点就是什么呀？就是 a， a 的元素啊， a 的元素，那么边呢？边其实就是这个有序对，是吧？如果存在有序对，就是存在边啊。 那么从这两个这个定义我们可以看出 a 关系矩阵，它好像可以表示这个功能更强大一些，是吧？关系矩阵可以表示 a 到 b 的关系，也可以表示 是 a 上的个关系，那么关系图呢？关系图只能表示什么呀？只能表示 a 上的关系啊，只有一个 a， 是吧？没有 b 集合，这里呢？有 a 集合，有 b 集合啊， 这个就是这个关系的表示。我们来看一个例子吧，我们来看一个例子，那么 是 a 是，是 a 等于一二三四啊，是 a 等于一二三四，那么 r 等于一一，是吧？一一一二二三 啊，四四二，那么 r 的这个关系起见就可以这样来表示，是吧？我们可以这个 x 一 x 二，是吧？那就是一二三四，这也是一二三 三四。那么如果是 a 上的关系，那个关系之间就是什么呀？就是一个有这个行和列相等的一个行，行数和列数相等的，是吧？好，我们看一下，一一有边，一一有边，就这里是一，是吧？一二有边，这里是一， 然后呢？这一行就没有其他的了，这没有的话就是零零啊，然后二打头的， 二打头的有二三二四，是吧？二三二四没有，其他的没有，其他的用零来表示啊，好看。三打头有没有？三打头？没有啊，没有，就是零啊。 啊？我们看一下四打头的，四打头的只有四二，是吧？四二在这，其他地方都是零啊。好，这就是什么？ 这个就是这个，这个关系取证啊，关系取证。好，我们来看一下关系图，关系图。哎，这里有一二三四四个顶点，是吧？这是零啊，一二 三四啊，那就是一到一有这个边，那就是他自身的顶点上的坏了啊，这个是一到一的边，一到二的边啊，这个然后是二到三的边，二到三这里啊， 然后呢？二四四二，是吧？二四四二啊，这样的，这个就是关系图啊，这个就是关系图， 这个就是这个二人关系的这种两种表示法啊，两种表示法。 好，今天的这个我们课就讲这么多啊，那么接下来的时间大家做一下这个课后习题啊。大家翻到这个一百三十九页啊，做一下第十题啊，第十一题啊， 大家做一下这个 co 习题啊，一百三十九页。第十题和第十一题。