反对称矩阵的秩有什么性质

好，我们呢来总结一下反对式矩阵的性质，那么什么叫反对式矩阵呢？首先啊，如果能够满足 a 的 转制加 a 等于个零的话，那么呢，就称 a， 它为反对称矩阵。 好，就说明什么呢？就说明满足 a i j 等于个负的 a j i 的 形式， 这个结果啊，那么呢，有什么性能呢？看第一个啊，第一个，如果说我的矩形的话，他这个反转的矩形的话，说明什么呢？说明满足对角线元素均为零 啊，均为零的，为什么呢？因为对圆心的话都是满足什么呢？满足 a i i 的 呀，对不对？那么 i 和这相等的时候，不就说明 a i i 等于一个负的 a i i 吗？是不是它们俩相等，说明什么呢？说明就满足 a i i 就 只能取零啊？ 来，我们看第二个，就是说，如果啊，它是一个基础阶段化， 那么这个时候就满足 a 的 行列式是为零的，为什么要这样子呢？你们看啊，首先的话呢，如果是一个反的式的话，它满足 a 等于一个负的 a 的 转制的，是不是？那我这样子两边同取行列式，就满足 a 的 行列式，等于个 负的 a 转的行列式，那么我的 a 的 话是个 n 接的吧。好，就等于一个负一的 n 次方乘个 a 转的行列式啊， 那么 a 转换成和 a 转换成是一样的啊，就等于多少呢？负一的 n 次方乘个 a 的 行列式是不是这样的？来，你看啊，那么如果说当满足我的 n 的 话，它为二 k 加一的时候，是个基数啊，是个基数，那么负一的 n 次方就是个负一啊，所以说就满了，什么情况呢？好， 就满足 a 的 行列式等于一个负的 a 的 行列式。因此可得满足 a 的 行列式是为零的啊，是为零的，这是我们的第二条。来，我们看第三条啊，第三条， 第三条什么样呢？就是说啊，对于任意的 x 而言。 好，那么呢，均有 x 转至 a x， 它是等于零的，为什么这样呢？你看啊，首先你要知道什么呢？知道这是 x 转至 a x 的 话，它是啥呀？它是一个数啊， 对不对？它是一个数啊，那么这样啊，我现在两边去转制，可以吧？那啊，我这样子，则就满足 x 转制 a x， 它等于个 x 转制 a x， 我 再去转制啊，数去转制是相等的，对不对？那么呢， 等于多少呢？等于一个 x 转制 a 的 转制 x 呀，那么因为满足 a 转等于负 a 是不是等于一个负的 x 转至 ax， 对 不对？你看这个地方，它和它是相等的，对吧？前面多个符号说明什么呢？那么不就满足 x 转至 ax 等于零了吗？好，来，我们看下第四个。第四个什么东西呢啊？就是说，对于矩阵一加 a 来说的话，它为可逆矩阵的， 那么怎么证明呢？我们来通过一个反证法来证明一下。 好，首先啊，先假设 e 加 a 啊，它满足不可逆 啊，那么如果不可逆的话，说明什么呢？不就说明存在 x 不 为零啊，不为零能够使得什么呢啊？使得 e 加 a x 等于零这个方程组成立吗？对不对？是不是其实方程组啊，成立啊，有非零解。那你看啊，我现在这样子，那么如果是个零的话， 应该等于个多少呢？ s 转至乘个零的吧，而又满足 e 加 s 等于零啊，那么我能不能这样写，等于个 s 转至乘多少呢？乘个 e 加 a x 是 可以的吧，现在我给它写开啊，那么不就满足 s 转至 x 加个 s 转至 ax 吗？好，那么我刚刚得出来，满足 s 转至 x 等于零，在这呢， 所以说等于多少呢？不就满足 x 转折 x 的 形式吗？来，你看啊，那么现在的话， x 转折 x 啥东西啊？它是我们向量模的平方啊。好，如果说一个模长为零的话，说明什么呢？说明我的向量只能零向量啊。好， 则就说明 x 的 话呢，是为零向量的呀，这和我们的体感矛盾了吧，对不对？矛盾了吧，我展示的是存在 x 不 为零，而它是为零的呀，所以说矛盾。 因此的话呢，就满足我的一加一是可逆值啊，这是这个。来，我们看第五个。第五个啥东西呢？好，就是说 a 的 特征值 好，只能为零或者是虚数的。 那么为什么这样呢？我们看一下啊，刚刚我们是不是说了，满足一加 a 可逆，对不对？那么如果一加 a 可逆的话，说明什么呢？说明也满足 k， 一 加 a 也是可逆的， 我们可以通过上面的方法类推是不是？那么如果肯定的话，就满足 k， 一 加一的行列式是不为零的呀。那么如果满足不为零，说明什么呢？不就说明负 k 它就不是特等值吗？ 那么负 k 不是 特等值的话，我的 k 是 个实数啊，对不对？说明什么呢？说明满足特等值是虚数的呀。 好，并且也可能取到零。为什么呢？因为这个地方如果我的 n 是 个基数的话，就满足行列式为零啊。那么如果行列式为零的话，说明什么呢？说明满足特征值为零对不对？好，因此就说，当满足 n 为基数的时候， 好，特征值的话呢，为零的 好，因此可得就满足 a 的 特征值的话呢，只能是零或者是虚数的呀，并且我们要知道什么呢？知道的是啊，对于我的实数系数方程来说的话呢，好写这儿， 那么呢，虚根它一定是成对出现的。 所以说啊，如果题刚中出现什么呢？出现了 a 为三阶 非零反对称整数的话， 好，那么就满足 a 的 值是为二的，为什么呢？因为三是一个基数，满足特称值一定有零， 而我的 a 的 话呢，它是非零的，满足值等于一，那么因为 a 是 个反对称啊，我的零和虚根只能是特称值，对不对？并且虚根成对出现，因此的话呢，满足值为二就可以了。

好，我们看下这道题啊，他说 a 的 话呢，是一个三阶非零的反对的矩阵。好，那么 b 的 话是个方阵，并且满足 a b 减一的质为一，那么 b 有 哪是对的？看啊， 他们都是判别我的两个方程是否有零解的，对不对？那么看什么呢？看质啊，看质啊，并且都是个方阵，判别什么呢？判别行列式就行了， 对不对？那你看啊，那么这个地方的话，他说什么呢？ a 是 一个三阶非零的反对正矩阵，那么说明什么呢？说明满足质为二， 为什么为二呢啊，我前面是讲讲过的啊，大家可以去看一下。好吧，来，那么并且啊，满足 b 的 话呢，是个方正，三阶方正。还有就是说 ab 减的质为一来看啊， 我们通过它分析，如果满足 ab 减 a 的 质等于一的话，它说明啥呢？不就满足多少呢？满足 a 乘个 b 减一的质是为一的吗？ 是为一的吗？好，你看啊，它们里面是相乘的关系，对不对？有个不等式啊，什么不等式？就是说啊， r a 加 r b 减 n， 它是小等于 r a b 的， 有这个不等式啊，对不对？好，你看啊，那么如果往里面套的话，它不就满足这个关系吗？ a 乘个 b 减 e 的 值，它是大等于 r a 加个 r， b 减 e， 再减去个 n 的 呀，减去 n 的 吧，而我的 n 的 话是个三 a 的 值的话呢，是 v 二的，说明啥呢？不就满足 b 减一的值，它是小等于二的吗？来看一下啊， b 椅子呀，我带进去呗，你看啊，则 b 减一为几呢？就是 a 减一，五一好， 零一零，再是二 b 二的。来看一下这个值的话，可能是比二要小吗？或等于吗？来看这个地方，我取一个二阶指示，可以吧？ 二阶只是不为零啊，证明什么呢？来写着 b 减 e 啊，它呢，存在二阶，只是它是不为零的呀，那么不就满足 b 减一的质是大于二的吗？你看一下啊，我两边都要满足因子的话呢？好，就只需要满足 b 减的质为二就行了呀。那么如果满足 b 的 质为二的话，我的质不满质，说明什么呢？就满足 它行列是为零啊，对不对？行列是为零啊，怎么算呢？我就按照第二行展开一下不就行了吗？好，因此可得 就满足二倍的 a 减一，再减二是等于零的。可得 a 就 等于二点， b 等于多少呢？就等于个二五一零二零，然后呢，二 b 三点好，有它了吧？现在我算行列式啊，你看 b 的 行列等于多少呢？我按照第二号展开一下，就是二乘多少呢？乘个二一，再是二三点 好，那么结果就等于多少？等于个二乘个二乘三减二的结果等于个八。满足不为零，说明啥呀？说明满足我的 b 可逆啊，因此就说明 b 的 话呢，至为三的，至为三。那么如果为三的话，说明啥？说明我的 b x 的 话呢？ 等于零，它仅有零解。 仅有零解，对吧？我们前面说了呀， a 的 值为二，对不对？说明什么呢？就说明 a s 等于零的话呢，它是有非零解的呀。 啊，那么这个题选哪一个呢？选 b 选项是不是？

最近很多模拟卷里边都涉及到了对反对称矩阵性质的考察，那么在这里呢，静静老师给大家总结一下反对称矩阵到底有哪些性质。考试碰到了直接去用 n 阶矩阵 a， 如果是一个反对称矩阵，那么矩阵 a 应该是长成这样，主对角线元素全为零，其余位置的元素一定是关于主对角线元素互为相反数的， 所以就有小 a r j 加上小 a j r 一定得零，这是从元素上来看，那如果从矩阵上来看的话， a 加上 a 转置一定等于零矩阵。所以但凡题目里面出现了矩阵 a 加上 a 转置得零矩阵，或者说 a 转置等于负的 a， 那 么这道题考察的一定是反对称矩阵的性质。 性质如下，第一个，如果 n 是 一个极数的话，那么 a 的 行列式一定是零。我们可以去计算一下 a 的 行列式，也就可以等于负的 a 转置的行列式。其中这个负一 取 n 字方，再乘以一个 a 转至的行列式。因为 n 是 个基数，所以照样是负一倍的 a 的 行列式， a 的 行列式本身就是个数，这个数等于它的相反数，那么这个数只能是零，所以 a 的 行列式必然为零。 第三条，对于任意的一个向量 x， 甭管它是不是零向量，一定会有 x 转至乘以 a 乘以 x 一定等于数字零。注意，这个你可以给他看成一个二次型了，那么二次型的结果一定是个数，这个表示数字零。既然是个数，我们可以算一下，这个数字一定可以等于这个数字本身的转至，所以我们主动给他取一个转至， 于是就有他就可以等于 x 转至 a 转至再乘以 x， 其中 a 转至又可以用负 a 来代，那么他就变成了负的 x 转至 a， x 这个数字等于它的相反数。好了，这个数也只能是零。于是就有对于任意的向量 x 都有 x 转至乘以 a 乘以 x 的 数字零。第四条 k e 加 a， 只要 k 不 为零，这样的一个矩阵一定是可逆的。很多题里边只要看到了，都可以直接用，那就有 e 加 a 可逆， e 减 a 可逆， a 减 e 可逆等等，这一系列的矩阵通通都可逆。来证一下，可以用上面的第三条来证。这里的第四条题目说它一定可逆。我们不妨假设这个矩阵不可逆，如果不可逆的话，那么 我一定能够找到一个非零向量 x， 使得这样的其次限行方程组，它是有非零解的，这个非零解呢，就是 x， 因为系数矩阵不可逆。那接着我们就可以去计算构造上面这个二次型啊，有 x 转至乘以一个零向量，其中这个零向量我就用 k 加 a 乘以 x 来代。 括号打开第一项就是 k 倍的 x 转至乘以 x， 加上第二项， x 转至 a x。 前面的第三条说了，对于任意的一个向量， x 都有 x 转至 a， x 一定是零向量，那代入之后，一定就有 k 乘以 x 转至乘以 x， 它得是零向量了。 又因为前面说了，这个 k 是 不为零的，那就只能有 x 转至乘以 x 为零，说明这个向量的内积才为零吧，其他向量的内积都不为零。而前面又 设的这个 x 是 非零向量，那就说明咱们推出来矛盾了，只要推出来矛盾，就说明这个假设是错误的。说明 k e 加 a， 只要 k 不 为零，必然可逆。 好，最后第五条，因为第四条里头的 k e 加 a 一定可逆，那就意味着 k e 加 a 的 行列式一定不为零，说明矩阵 a 的 特征值肯定不能是负 k， 而这里头的 k 取的很普通，不为零就行了。 k 不 为零，说明负， k 不 为零，那就意味着矩阵 a 的 特征值肯定不能是负 k 不 能是负 k， 说明不能是所有的非负值，非负的数。只要是非负的数都不能取， 那么课堂值呢？他就只能取零或者是纯虚数。注意哦，纯虚数一般都是成对出现的呀，比如说零加减 i， 零加减二 i， 那 么 a 的 质就表示非零特征值的个数，非零特征值的个数成对出现，所以 a 的 质就只能是偶数了。以上呢，是反对称矩阵的几个性质考试碰到了。

a 考研数学结构就是我，今天呢，我要给大家讲一个反对称矩阵的性质， 如果问你反对称举证有什么性质？如果你什么都不知道，那好，今天这个视频一定要坚持看完，考研考到你就牛逼了，因为这个性质你知道就知道，不知道就是不知道，考场上没有时间去推导，而且你也推导不出来，你信不信？哎，同学们来做一下这个例题， n 结实矩阵 a 写成括号 a i g 的形式啊，这是我们举重的一种表达形式啊， 满足 a i j 加 a j i 等于零，下列命题中正确的是。首先，这个表达什么意思啊？这个表达的就是反对称正的意思，比如说我们举证 a 呢，它是一个二阶的啊，这就是 a 一一 a 一二 a 二一 a 二二，那由于 a i j 等于 a j i， 所以如果 i 等于一， j 等于二的话，那么 a 一二加 a 二一应该等于零，所以可以把 a 二一换成负的 a 一二，对不对？ 其次，我们再看，如果 i 和 j 相等的话，那是不是说明 a i i 加 a i i 等于零啊？那是不是说明 a i i 就等于零啊？说明主对衡元素是零。 那你看这个情况下， a 的转制是什么？ a 的转制是不是零？负的 a 一二 a 一二零啊， 它是不是等于负的 a 呀？对不对？好，所以我们反对认证呢。首先，第一个性质是 a 转制等于负的 a， 写成代数形式就是 a i g 加 a g i 等于零，这是一个刺激，一个信号啊，看到 a i g 加 a g i 等于零，它就是反对证证。其次，反对证证， 主对角线元素必须都是零， 对不对？其次，我们除了主对角线元素之外啊，跟着主对角线对称那种元素都得是叉个符号啊。好，接着我们来看反对称，这 一定是可逆矩阵吗？同志们，一定可逆矩阵吗？可不可逆？咱们对这个式子呢？两边同时取一个行列式， a 转制行列式等于负 a 整体行列式，对不对？而 a 转制行列式就是 a 的行列式， 负 a 整体的行列是是负一的， n 次方乘 a 的行列是，这时候 n 呢？ a 是 n 阶矩阵啊。那也就是说， a 的行列是减去负一的， n 次方的， a 的行列是是等于零的。 如果 n 等于二 k 加一， 如果 n 是二 k 加一，则 a 的行列是减去负一的，二 k 加一，次方乘 a 的行列是， 是不是等于零？那这种情况下，这是啥？这是负一，那实际上是加了，是不是推导出来 a 的行列式呢？等于零，这说明什么？说明如果我们矩阵 a 的接数是一个基数的话，那它一定是不可逆的。 那么有同学问了，哎，杰哥，如果 n 是偶数的话，你这个也什么都得不到啊。 n 是偶数的话，那不就 a 的行列式减 a 的行列式，这是一个横等式吗？那它到底是不是可逆呢？那这种情况它是可以可逆，也可以不可逆， 你懂吗？但是只要我们 n 是一个基数，当 n 为基数的时候， 我们 a 的行列是一定是零，我们 a 呢？它一定不可逆， 所以他说 a 是可逆矩阵，这个不对吧？好，所以一不正确。 所以现在就知道咱们反对深圳是不是在有些情况下是不可逆的，有些情况下是可逆的。打个比方， 比如说 a 就是零，零负一一，这个时候 a 的行列是就是一个一，对吧？ a 它是一个二阶的，而且呢，它不可逆，它可逆啊。第二个， e 加 a 是不是可逆？举止 e 加 a 是不是肯定取证呢？我们这个特征制也整不出来，我们以后再去证明是不是，是否是肯定取证中呢？可以尝试用方针组的想法去理解。 他说是肯定取证，那我就反正反反正吧。同志们啊，会不会啊，你看啊，我假设 假设 e 加 a， 它不可逆， 既然一加一不可逆，那么一定存在一个非零销量 x， 使得一加一乘 x 等于零啊，你看，一加一乘 x 等于。这个方程组由于吸引人不可逆，所以它一定有非零减嘛，它肯定是有无穷多减嘛。那好， 现在呢，我们来看啊，我们用这个菲林的这个项链 x 啊， 你看好了， we're on， 它去成一个零向量啊， we're on 它去成一个零向量，那么 x 转制成一个 x 呢？肯定是零了， 对不对？好，那我把这个零呢，用这个代换，因为 e 加 a 乘 x 是零嘛啊，所以 x 转制成 e 加 a 乘 x 依然是等于零的啊。啊，那这个情况下呢， 我们把它写成 x 转至 e， x 加 x 转至 a x， 可以吧？好，接下来呢，你想要把证二证明完，现在有点扯住蛋了，我必须要把另外一个结论告诉你，也就是咱们这个 mit 三，所以我们先来到 mit p 三，命题三正确不正确？我相信之前肯定有知道的同学啊，知道同学扣个一啊。命题三正确不正确，正确的话正确扣个一啊，不知道的话扣个二。命题三是正确的啊，只要举证 a 是反对证证，则 x 转至 a， x 一定是零。 为啥呢？ x 转置 a x， 它既然是一个数字，那么对一个数字去转制它，还是 还是它本身对不对好？那么这个时候呢？ x 转至 a 转至 x， a 转至又是负 a， 所以 x 转至负 a x， 它又等于 x 转至 a， x 等于负的。 x 转至 a x， 所以 x 转至 a x 呢，是等于零的。所以 三十正确的啊！从三十正确基础上，我们再回到咱们的二，这个东西呢，是咱的零啊，零不用管了。那 x 转至乘 x， 注意啊，这是一个非零限量的内积，它一定大于等于零。取等号的条件是 取等号条件是我们 x 必须是一个零项量。但现在呢，我们已经知道 x 转制成 x 等于零了，所以咱们 x b 是一个零项量。 但是我们这里面说的是什么存在非零项量 x 使得 e 加 x 乘 e 加 a 乘 x 等于零啊？但我们推出来的是矛盾了啊，那说明假设错误，说明 e 加 一定是可逆矩阵啊。所以二正确，三正确。所以一个反对成正加一个单位正，一定是一个可逆矩阵，它本身不一定可逆，但是加一个单位正义一定可逆。另外， x 和 z x 一定是零。 好，接着我们看第四个，如果 a 不是零矩阵，则 a 不可能合同于一个非零对角矩阵。 对的四是正确的。为什么呢？我们合同 合同是什么？是十对称矩阵 与十对称矩阵合同。 非时辰证矩阵与非时辰证矩阵合同。 你看我们矩阵 a， 它既然是一个反对称阵，那反对称阵一定和一个反对称阵合同，它不可能和一个时阵阵阵合同，而菲林对角矩阵，对角矩阵是一个时阵阵矩阵，对不对啊？所以第四个呢，是正确的啊，所以 a 不可能和一个菲林对角矩阵合同的，对吧？只要 a 不是零矩阵。 好，那这个题目命题正确的，就是我们的二三四好做对的同学，弹幕扣个六六六 啊，让大家都知道你把这个题目做对了。然后呢，今天学到的同学啊，下面一定要去复习把这个备注啊。有一说起来，反对证，举证什么性质？第一个反对证，举证主的元素肯定都是零。第二个反对证，举证 x 转至 a x 这个二字音，结果一定是零。第三个反对认证，只有当接触是一个基础的时候，他才是一个。呃，这个，这个，这个不可逆矩阵，其余情况下有可能可逆，有可能不可逆。接着再说，一加 a 一定是， 可你去这吗？你把这背住啊，以后遇到类似的题目马上就能写出来，考研考的就是结论，你考上没有时间去推，对不对？ 好，这个就是咱们今天杰哥教给大家的啊，如果视频对大家有帮助的话，一定要给杰哥一个三连点赞，投币、转发、收藏，多多支持杰哥创作啊，就是你说你呢？

等于二的对称矩阵可以表成二个至等于的对阵局阵之和。要想解决这个问题，我们呢需要用到对称局的一个重要结论。 在二字形里面，我们学过任何对称矩阵都合同于对角形。那下面我们利用这个结论来证明这个问题。是 a 是 对称矩阵 志伟 r。 因为 a 是对称矩阵，所以存在可逆矩阵 c， 使得 c 的转至乘 a 乘 c 合同与对角形。 因为 a 的痣是 r， 所以这里的每一个 d i 都不是零。 那下面我们 把后面这个矩阵可以分解成二个字为一的矩阵之和。 下面我们因为这个 c 是可一可逆的，我们呢可以把 c 全部移到后面去， 再利用这个矩阵的分配率， 我们呢可以把这个乘机进行展开， 再根据转至和逆，他们之间是可以交换的，我们就可以得到。 那么很容易发现这其中的这每一块 都是对称，举针 切至都是一。

二零一四道题，他说假设三阶矩阵 a 的特等值是二，那么打一等于，那么打二等于六是 a 的二重特等值，然后呢？阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三都是矩阵 a 属于特等值，六的特等值。 好，好，第一位让我们求 a 的另一个特征值和相应的特定项量，叫他，哦，他的志是二啊，是吧是吧？好，然后第二位让我们求取答 a 好题怎么做？ 那你拿到之后啊，首先是不要把这个条件往特等值上面去翻译，那你看，说三阶十对称举证 a 的质是二， ra 等于二，好，这个翻译过来表示什么？是零为 a 的特等值，这些整体啊，他的考察的深度啊，他的考察深度和我们平时讲的其实是不是要低多了， 是不是这样容易多了啊？零是 a 的特征值，然后呢？另外两个是不是告诉你了，那么在一等于，那么零六是二层特登值，是不是一定一共就三个特登值，那就都有了，所以说则 a 的特登值六六 零，就这三个，然后呢？然后你再想，他告诉你六的三个特效量，哎，你说六怎么会有三个呀？你说老师，你问的是个啥问题？他别说三个了，他补充多个都有。哎，你这三个他线性相关就没事了啊，但是他线性无关的有几个？线性无关的是不是只有两个？对，你这三个里面你会发现啊，三个整个他是线性相关的，但是线性无关的好，不能挑出两个 好，是这样，好，就说呢，这是第一个啊，首先我们要注意到，接下来我们要求什么呢？就要求零的特征项量，因为二重特登值六有两个线性无关的特征项已经找到了，不用再找了，那么我们是不是在找零的特征项就可以了？好，零的特征项量怎么找？借助于什么呀？借助于正销来找就行，是不是？好，我们这样啊，假设零的 特征销量 beta 等于 x 一 x 二 x 三 t， 是不是？好，那所以说呢？所以说我们则返一 t beta 等于 off 二 t beta， 是不是？ 这个贝塔和阿尔法一、阿尔法二都正交好，那么拿过来是什么呢？好，这几是一加 x 二，然后呢？ x 一二 x 一加 x 二加 x 三。好起，这个会写了吧， 其基础解析啊，是负一负一，你这个等于被他这就完事。那你注意，第一问怎么写啊？第一问，你这么写，哎，你说则 属于增值六的特等销量是什么？是 k 一，阿尔法一加 k 二，阿尔法二，好，其中一 k 二不全为零。好，属于增值一的特等销量为 k 三倍的贝塔啊，其中 k 三 啊，我自己看到了，这不算酒吧啊，我自己看到的啊，这就做完了？反球举证 a， 独立举证 a 头上讲。没有啊，昨天晚上讲了一个，你现在屁都写出来了，屁怎么写啊？屁怎么写？屁就写阿尔法一，阿尔法二，还有 对角矩阵，写什么？对角矩阵写六六零啊，好，这个 a 等于 number， 拼命啊，这个自己算吧，是不是？这个我现场在这给你算一遍，是不是没啥意义？没没，没啥意义啊，看下答案啊，我不给你算答案。这个。好吧，看这个。