重要等价公式

人以眼身本上岸，各位宝子们大家好，明姐的全国专师们高等数学强化刷的班已经全面上线了， 欢迎各位宝子们到我主页去试听，同时呢有需要课程的呢，大家可以直接私信我，大家其实会发现时间过得很是很快的，对吧？一周，现在已经是周五了，那周五打卡我们就要开始了哟！那接下来我们一起来看一下今天这一道题。 那今天这一道题呢？给大家选的是一道极限的计算题，让我们一起打卡一下吧！我们来看一下这道题究竟该怎么样来进行求解。首先通过审题大家会发现这道题让我们求的是什么呀？是不是求的是 x 去零的这个极限？那我们先来看一下遵循极限的做题思路，定 化式。我们来看一下这个极限题它的类型到底定出来是多少？ 首先我们把零带进来 second x， 朋友们，如果说你觉得 second 零，你不清楚到底是零多少？大家还记得 second x 它的一个化简公式吗？它是可以化简为 cosine x 分 之一啊， cosine 等于多少？一一分之一还是为一？一减一为零，所以分母的极限类型为零分子呢？ no 一 零， no 一 零，哎呦，零加零为零，零比零的位置。那我们再来看一下有没有可以化解的地方，这个是最关键的，那哪里可以化解？首先大家其实可以看到刚刚在审题的时候，分词是不是有很明显的特点，什么特点？ 是不是有两个对数函数的公式？哪两个？哪两个？一个是 non， 一个是 non， 是 吧？那么这两个对数函数，那我是不是可以给它进行合并一下？怎么合并？大家思考一下哈， 大家看一下这个对数函数，我们如果说能够给它合并是不是就好了呀？那要来进行合并，中间这是一个加法关系，那你就去想， 在我们对数函数里面有哪一个对数函数的化简公式，中间可以把两个对数函数相加的形式给它进合并，还记得不？ 还有没有印象？朋友们，如果说我没记错的话，昨天的这个视频里面是不给大家全部补充出来了呀，我们对数函数的所有的化简公式，忘了的，一定要补充到你们的小本本上，你看，这一道极限题用起来了哟！ 昨天那一道题是求导题，会用到我们对数函数的化简公式，现在这一道极限题也会用到，所以可见我们的对数函数化简公式还是非常重要的。大家还记得我昨天给大家写的 n a 加 n b 吗？我们说它等于多少 n a b 这一公式还有没有影响？ 有印象的在评论区告诉敏姐哈，如果说没有印象的，赶紧拿个小本本记起来。大家现在看，这不就是我的 a 吗？这不就是我的 b 吗？来吧，我们把它化简合并为一个对数函数，那化简合并为一个对数函数，是不是就记为 non？ e 加 x 平方加 x 乘以 e 加 x 平方再减 x。 朋友们，如果说把这部分当成一个整体，把这部分当成一个整体， 这不就是 a 加 b 乘以 a 减 b， 诶，什么情况？这不就是我们之前中学里面，大学里面遇到的平方差公式吗？还记得不 来又来， a 加 b 乘以 a 减 b， 它是等于多少 a 方减 b 方，所以我们可以给它进一步的用平方差公式化减，化减以后，结果不就记为 e 加 x 平方的平方， 对吧？然后再减去 b 方， b 是 x x 平方，这一个对数函数化解以后，结果我们就整理出来了哦，你看这地方用到我们的对数函数化解公式， 化简以后还用到了我们的平方差公式来继续再接再厉。大家再看一下分母呢？分母没有化简干嘛？送它一个字，抄！抄抄，抄的时候慢一点，那抄的时候是 second x 减去多少啊？ cosine x 来，朋友们，大家再看还可不可以化简？ 当现在会发现这个时候的括号我是不可以给它进一步的打开，那括号进一步的打开，当 x 趋近于零的时候，那大家想一想， 对数函数增数这一部分是不可以进一步的化减，化减以后结果是多少啊？ a 方是不是一加二 a b 二 x 方，再加 b 方， b 方是多少 x 四次方，但是后面要减一个多少 x 平方，所以大家可以看到化减以后是不可以合并同类项， 合并同类项以后的结果是多少啊？一加二 x 方减 x 方，是不是加 x 方，再减去多少 x 的 四次方没问题吧？好，这个地方慢一点哈！这个地方是加 x 的 四次方，抄的时候慢一点，那现在你现在会发现分母也没有化简，抄一下 大家再看分子还可以化简，朋友们， no， 一 加终于出来了， 哎，一加后面跟的这一部分框起来框框是不是去零，说明它是不是可以等价啊？等价于框框是多少 x 平方加 x 的 四次方，没问题吧？来吧，我们将化简进行到底。那将化简进行到底？那分子用我们的等加化简公式， 分子等加以后，结果是 x 平方加上 x 四次方，分子没有化简超超超 sinex 再减去 cosine x， 现在我们将化简已经化完了哟，那化简化完了以后，我们来判定类型，分子不用说是零分母呢？刚刚我们已经判定了，也为零， 这是一个零比零的谓宾式。上方法，送他一个字，落落落，将分子分母同时求倒。来吧，我们把求倒以后的结果呢？我们一起来进行整理一下，可以吧？那首先大家可以看到分子求倒 带入我们的基本求导公式是 r x 加四倍 x 三次方，没问题吧？分母求导 c n x 带入我们的基本求导公式是它本身乘以弹性的 x， 再减去 cos 求导是负的反义负负相成为正，是不是加 sin x？ 那 我们再看还可不可以化解呢？朋友们，分子是不是可以提一个公因子，提哪一个？是不是提一个 r x 出来啊？或者你不提二 x， 你 提个 x 是 不是也可以啊？来吧， 当 x 去零的时候，大家可以看到分子，我们提一个二 x 出来，里面剩下的是一加二 x 的 平方，没问题吧？ 那现在大家可以看到分母呢？分母是不是也可以提一个公因子，哪一个三 x 出来？为什么呀？因为对应的弹性的 x， 大家可以看到分母，我单独给它写一下， sine x 乘以 tan x 除以多少 cosine x， 再加上我们的 sine x。 那你看每一项都有我们的公因子 sine x 我 们是不可以提出来，那提出来以后，里面剩下的 cosine x 分 之一是不是就是我们这个化简公式？那就记为 cosine 平方 x 分 之一，再加多少？是不是加一样， 对吧？好，那你可以怎么写呢？ cosine 平方 x 分 之一还可以写多少？还可以写为 a c 肯平方，对吧？你把 cosine x 分 之一换为 sine x 也是可以的。那现在我们进一步的来进行求解，那进一步来进行求解，大家可以看到这个时候的分母是 sine x 平方加一，那现在我们可以看一下呀，分母中间是一个乘积关系，那三亿后面跟的这部分框起来，框框去零是不可以怎么样啊？等价替换等价化简公式，是不是就可以等价为 x？ 那 所以来吧， 我们这样做的目的呢？就是为了利用我们的等价化简公式，进一步的化简是 x 分 之二， x 乘以一加二， x 平方， 分母是 c 点平方 x 加一抄一下，你看相同的约掉约掉，然后把零带进来，这地方是为零， 而这地方是 cosine 平方 x 分 之一， cosine 零为一，一分之一还是为一，这地方是一，那所以最后结果不就出来了吗？大家可以看到 最后结果，一加一为二，二分之。不要忘了前面还有个系数是二，所以二分之二，最后结果就等于一，你看一下你算对了没有？ 那么这道题用到的化简公式，首先有对数函数化简公式，也有三角函数化简公式，还有什么呢？还有我们的平方差化简公式， 所以大家在算的时候一定要慢一点哈，一定要细心一点，特别是我们的对数函数化简公式，如果说它写的是诺 a 加诺 b， 你 要记得可以代入我们的对数函数化简公式，写为诺 a b。 大家再把这一道题再看一下，那么这一道题大家听懂了以后，也欢迎大家给明姐一见三零哦！你们的一见三零是我每天坚持更新打卡动力，我们一起学习，一起打卡，共同进步。那同时呢，明姐的基础全程班与之配套的有千题练习册， 强化刷题班，配套的有强化刷题资料。所以想要跟着敏姐的基础全职班以及我们的强化刷题班的各位宝子们呢，赶紧私信敏姐吧！那么 今天是我们的周五，这周的打卡我们就到此结束了，我们下一周周一，同一时间，不见不散！各位宝子们，我们下周再见！拜拜！

所以你要问自己，问自己什么？你等价无穷小替换，你背过几个？你等价无穷小替换，你说背过八个？所以等价无穷小替换只不过是泰勒公司一种特殊情况， 听到没有？体会到没有？你怎么知道 c x 等加 x 啊？你怎么会背 c x 等加 x？ 答，怎么回答他？我是懂什么？那是因为我懂 c x 等于 x， 减加减加点点点，把更小的去掉，保留了 x。 所以脑海里面要把这句话提炼出来，等价无穷小替换，这是为了等价无穷小应该是背后的什么？是泰勒公式的 一种什么特殊情况？ 于是你问自己，你等价无群手背过几个？背过八个？所以各位在第一轮讲课三大计算的课程里面，我们泰勒公司要学几个？学八个，而统计七百只给你写了五个，这八个在哪里呢？十六页。 那么这逻辑是这么来的吗？ 你背过哪？哪些等价无穷小？ x 圈零售，这个不用记，跟着听就行了。不是不背过 c s 等加 s， 你背过什么？有同学说我没有背过，牛 多的很，这些都没背过，看到没有，所以回去赶快背好不好？我只能教到你这个奋战，你这公式不背我怎么教你啊？ 还有哪两个呢？还有一减 cosine 是等价什么？二分之一平方，还有哪个？一加 x 的 alpha 次密减一等价，什么 alpha s？ 这个你要不要记？你可以写，也可以不用写，好不好听哦？ 请你相信我在做自己最大努力去帮助你，去减你的负担。所以明年强化班听我的课，不用做笔记，我把课上讲的每一点都在今年新出版那个强化教材里面。所以同学今天听完课觉得好爽，听超哥的高速课竟敢不用做笔记。就跟听政治课上画画 就行，等这个阶段你可以记好不好，这个阶段你因为你现在啥也不懂啊。你可以记，关键我是需要看到你的 a 四超高值， 你不要给我一天到晚就抄本笔记，真的，你听好，我什么是同学都见过，都没用的好吧。哎呀，你听好 好不好，我刚才那个图片你看到没有？那没用的，那么抄这个有啥意思呢？听到没，我见过那抄的很漂亮的那，那么每次早起那么费劲的很，你看看你刚才看到没有，这个笔记抄了后有用。那我我就说，同学来跟着我一起做笔记吧， 我中午好好整理一下这个文档啊，这个好不好，真的，请你相信我。那个笔记啊你，你不想写就不写。好吧，我也不建议你写， 你天天晚上抄这个东西，那不是书上不都有吗？书上不都有吗？看到没有， 我也不知道在哪里，刚才都打开看到有。好吧，我见过同学那个笔记做的特别漂亮的，后面发现也考的不好，懂吗？这后面在想，那怎样能考好呢？不用做笔记好不好？那就不用做笔记。有什么做的啊？终于找到了好不好， 我觉得全中国的考生笔记，这是两个最典型的版本，你应该做不到这么漂亮，你看看这小伙子，连我课上讲的段子都抄下来，用不同颜色饼干做的漂亮啊，结果当年也没有考好， 听到没有，所以数学考好不是超本笔记好吧，但这个小伙很幸运，这叫天道酬勤，懂不懂？别人付出了很大努力以后，虽然但 数学单科没考好，但他录取了个九八五院校啊，现在还是那个学校的学生会主席干啥？你这就运气吗？懂不懂？但运气的背后是来源别人平时的努力懂不懂？这是小伙字看写的漂亮吗？我见为小姑娘啊，一个小姑娘做的最好的笔记本是这样看的。呀呀呀呀呀呀，看着头都痛啊， 你看到没有？你能看这个画面？这是你看看，哎呦，这是啥东西？如果你是有那种跟我一样密集症的同学，你看到这些头都痛，你说他这是啥东西呢？一个小便签个小便签捏好。这是哪？什么内容？这什么内容？这什么内容？ 最后考好了没有？还可以，但分数不是太高好不好？所以跟你分享，做一本好的笔记本只是考研数学取得高分的必要条件，而不是所谓的充分条件。什么东西就是考研数学高分的充分条件？方法对，草稿纸 用的多。好吧，所以你听好，以后你看我这个话写哪里？十六月第一段话是不是写这八个你今天因为你啥都不懂啊，你可以跟着我写好不好？或者你不想写就用笔画画回去背吧， 这叫特殊情况，所以各位你就需要体会什么，你就需要学什么哦，为什么 c x 等加 x 呢？这是水平面上让你看到的 冰山上的一角叫三 x 等加 x 背后的针线是什么？你要研究背后的针线是三 x 等于 x 怎么样减去六分之一 x 立方。你既然这么跟着我写加小 x 立方， 为什么 t n g s 会等加 x 啊？这是你看到的现象，其实它背后是什么？比如说告诉你 t， n， g， s 等于什么？ x 加三分之 x 立方加水小 o， x 立 x， x 等加 x 为什么？因为背后 x， x 等于什么？ x 加六分之 x 立方加小 o， x 立方继续 x x 等加 x 背后是什么？ x， x 怎么减？等于 x 再来 lowing 加 x 背后怎么写？是等于 x 减二分之一平方加三分之一 x 立方加小 x 立方继续 e 的 x 米等于什么？一加 x 加二分之一 x 平方加小 o， x 平方继续 cos 最简单就是 x， 求导嘛，四的阶层 x 四十米，加小 o， x 四十米，最后 最后一个一加上 x 的二法之米等于什么？一加二法 x 加二法乘二法减一，除以二 x 的平方加小 ox 的平方。写完了，我给你标注个时间。