简丹老师说的积分是什么

在往期格林定律的视频中，我们将线积分与二重积分相关联。今天我们将要学习另一个基本定律，散度定律。这也被称为高斯定律，它将曲面积分与体积分相关联。它不仅是向量微积分的核心，更是 gan、 bae 分 布、偏移检测等 ai 算法的数学基础。 我们先来谈谈通量积分。与线积分类似，通量积分同样涉及两个要素，像量场和曲线。如果你还记得，像量场视为空间中每个点都分配一个向量的数学对象。就像这样， 在该图表中，我们并未采用每个向量的实际长度，而是用颜色来表示长度，这可以避免画面杂乱。 但与现积分不同的是，我们还会用到另一个向量函数，我将用恩茂来表示。恩茂代表的是法向单位向量。具体来说，要得到恩茂，我们需要取曲线的切向向量，将其旋转九十度并使其磨长为一。 例如，对于这条曲线，恩茂的方向如下所示。你可以看到这些向量始终与曲线垂直。在二维背景下，通量积分的目标是测量流体。通过曲线的流量， 我们该如何测量呢？和大多数微积分主题一样，我们试着放大曲线，使其几乎像一条直线。如果我们能测量曲线小段的流量，就能通过取线上的积分得到整个曲线的流量。如果你还有印象的话，这种积分就是现积分。 和向量微积分中的许多主题一样，当我们将向量场想象成某种流体时，相关概念会更容易理解。因此，对于一个微小的时间变化，通过小段 delta s 的 流体量可以用这个平行四边形来衡量。现在我们来仔细看看这个平行四边形。 众所周知，平行四边形的面积等于底乘以高。这个平行四边形的底是 delta s， 而它的高则是 t 时刻向量场在垂直于 delta s 方向上的分量。 这听起来可能有点复杂，但本质上我们关注的是这个向量的模长。你可以看到它是垂直于 delta s 的， 这正是我们要用到 n 帽的地方。要得到平行四边形的高，我们只需计算向量场 f 与 n 帽的点击，再乘以 delta t。 因此，一个平行四边形的面积就是 f 点乘 n， 冒乘以屌塔 t， 再乘以屌塔 s。 也就是说，通过这个平行四边形的流体量为 f 点乘 n， 冒乘屌塔 t， 乘屌塔 s。 现在我们需要的是单位时间内的流量，因此我们将其除以屌塔 t， 得到 f 点乘 n， 冒乘屌塔 s。 最后要测量通过整个曲线的流速，我们只需对曲线进行积分，这本质上就是一个线积分。 因此我们的通量积分表达是如下， b 和曲线 c 上的 f 点乘 n 冒积分。你很可能之前就听说过通量这个术语。具体来说，你可能听说过电通量或磁通量。 这些术语在三维空间中使用更为普遍。在三维场景下，通量积分用于测量通过某一表面的流速。 三维通量积分的概念与之类似，但他不是对曲线进行积分，而是对表面进行积分，也就是说，我们要测量的是通过该表面的流速。让我们尝试计算一个二维通量积分。 假设向量场 f 等于 x， y 加 x， 曲线为半径一的圆，我们来求该向量场在这条曲线上的通量积分。首先，我们对曲线进行参数化，由于这是一个圆，我们得到参数方程 rt 等于 cosine t 三 t。 接下来，我们需要求 n 貌。 n 貌是垂直于曲线的法向单位向量，要得到它，我们只需取曲线的切向向量，并将其旋转九十度，这样就能得到 n 貌等于 x y。 如果你还记得计算通量积分的固定公式，将上述参数带入公式后，我们得到对应的积分，其结果为二派。现在我们已经理解了通量积分的概念。 接下来看看散度定律的表述。向量场 f 在 b 和曲线 c 上的通量等于 f 的 散度。在区域二上的二重积分。和悬度一样，散度也是向量场的一种运算。 如果你还有印象，旋度用于测量向量场的旋转程度，而散度则用于测量向量场的向外通量。本质上，某一点的散度描述了向量场的场线在该点向外发散的程度。 比如，图中的这个区域具有正散度，场线似乎是从该区域向外流出的，这使得它成为正散度。区域，本质上相当于这个向量场的一个圆，而另一个区域则具有负散度。类似这样的向量场中也存在正散度情况。让我们回到散度定律。 我们对散度定律的设定与格林定律大致相同。我们有一个向量场 f 和一条闭合曲线 c。 记住，这条曲线是有向的，且必须是闭合的。但正如我们之前所讨论的，我们还会用到法向单位向量函数 n 貌。 事实上，散度定律的证明过程也与格林定律类似。如果你一直认真跟随讲解，可能已经猜到接下来要讲的内容了。 由于通量积分本质上就是一种线积分，和之前一样，我们可以将闭合曲线分成多个部分，而这些部分的线积分之和等于外部闭合曲线的线积分。随着我们继续深入，我们可以把曲线分割成无数个小块， 让我们来看其中一个小块。围绕这样一个极小曲线的通量积分代表什么？其实他就是通过这条小曲线上的流速。由于这条曲线极小，几乎趋近于一个点，而通过某一点的流速正是向量场在该点的散度。 因此，我们可以用向量场的散度来近似这些小曲线上的通量积分，进而要得到整个闭合曲线的通量积分。 我们只需对曲线所为区域内所有点的散度进行求和，这本质上就是一个二重积分。因此，外部闭合曲线的通量积分等于向量长散度在该区域上的二重积分。 我们再梳理一下这个逻辑，闭合曲线可以分割成不同的部分，但这些部分的通量积分之合等于外部闭合曲线的通量积分。因此，我们可以利用这一性质将闭合曲线的通量积分。因此，我们可以利用这一性质将闭合曲线的通量积分。 正如我之前所说，随着这些小区线上的尺寸不断减小，它们会逐渐趋近于一个点。此外，随着曲线尺寸的不断减小，散度对该曲线通亮积分的近似效果会越来越好。 正如我所说，这种直觉与格林定律的相关直觉非常相似，你不妨去看看我讲解格林定律的视频。 但现在我们来谈谈三维空间的情况。如果你对曲面积分或三重积分的概念还不太熟悉，我们先快速回顾一下它们的含义。当我们谈论对某个对象进行积分时，本质上是在对该区域内所有点对应的函数值进行求和。 例如，如果你还记得定积分的本质是对某个函数在两个 x 边界之间的所有函数值进行求和。 同理，现积分则是对某个函数在一条曲线上的所有函数值进行求和。我这里的意思是，对于曲线上的每一个坐标点，我们将该点的坐标带入函数中，然后对所有得到的函数值进行求和。 因此，取面积分意味着对某个函数在某一表面上所有点的函数值进行求和。如果我们的表面处于三维空间中，那么对应的函数需要接收三个输入参数，因为该表面上的点都是三维坐标点。 三重积分的原理与之类似，不同之处在于，它不是对表面上所有点的函数值进行求和，而是对该表面所包围的空间内所有点的函数值进行求和。让我们回到散度定律。 三维空间中散度定律的表述如下，向量场在闭合曲面 s 上的通量积分等于该向量场的散度在曲面 s 所包围的区域 v 上的三重积分。 我们来看具体的设定。这次我们不再是在二维空间中研究，而是在三维空间中我们有一个闭合曲面 s。 为了简化说明，我用球体来表示微是该曲面所包围的空间。 f 是 三维向量场。 我们设定的最后一个要素是一个向量函数，它给出的是垂直于曲面的向量。和二维情况一样，如果你还有印象，这个向量就是 n， 你 可能已经猜到接下来的逻辑了，向量场在三维空间中的曲面积分就是通量，因此我们测量的是流体通过整个表面的流速。 和二维散度定律类似，正如我们之前所讨论的，向量场的散度描述的是某一点的流速。 不过现在我们不再考虑极小的面积圆，而是考虑对无数个极小的体积圆乘以对应的散度后进行求和。 由于我们是在三维空间中进行积分，所以这里要用到三重积分。这个三重积分的结果就是向量场 f 在 区域微周围的总向外通量。注意周围这个关键词，它意味着这个总向外通量与闭合曲面 s 上的通量是相等的， 这就是散度定律，它将三维空间中的通量积分与三重积分相关联。散度定律的应用十分广泛，其中一个关键应用是在麦克斯维方程组中。 我们可以通过散度定律将麦克斯维方程组在积分形式和微分形式之间相互转换。如果大家对这部分内容感兴趣，可以期待后续视频内容。 好了，视频到这里就结束了，最后，如果感兴趣的你想进一步学习，我也整理了一些相关前沿论文，希望对你的理解有所帮助。