26数三反函数

来看今天这道考研必刷题， 接下去要讲的是一道求返航数的题目，那么对于求返航数呢，那我们有三种步骤，那么第一步呢，就是求出定域指域， 因为法函数也是函数，那么它就具有函数的性质，然后它一定是包括定域值域，还有它的对应法则，然后这里我们只要求出定域值域就可以了， 那么这个定域呢，是它的元函数的定域和值域， 因为 y 等于一，减去 log 二， x 加三，那么定义域是多少呢？定义域它限制在了 x 大于等于负一， 负一到正无穷。那么通过元函数的这个定律，我们去求出法函数的值域，然后再通过元函数的值域去求出法函数的定域。 那么 x 是大于等于负一，那我们就推出来二 x 加三 大于等于多少呢？然后这个是大于等于负二，就两边同时乘上二嘛，啊，负二再加上三等于一，所以它大于等于一，那我们就推算 log 的二， x 加三就大于等于零。大于等于 log 一嘛，就大于等于零。 那我们再继续推负的 log 二 x 加三是不是就要小一点零变号，因为前面两边同乘上负负一嘛， 然后再推出一减去 log 二， x 加上它应该是小一点一，就像这里两边都加上一个一嘛，然后它小一点一，那这就是我们前面的余函数 y 啊，推出 y 小一点一， 那么所以这个元函数的值域就是 y 属于富穷到一。 那么加去第二步呢，就去反解出 x， 就通过上面这个元函数去分解出 x 等于多少多少，因为它原来是 y 等于多少多少嘛？ 因为它是 y 等于一，减去 log 二 x 加三， 那我再对它进行化解嘛，一减去 log， 因为这里 log 和这个 log 它是有区别的，这个相当于是以十为底的 log 嘛，以十为底，二加三， 然后再进行以下就可以得到，把这个移到左边去，把 y 移到右边来，那就 log 的十二， x 加三等于一减去 y， 那我们注意到几个性质？ log x， 它是零 log， 以十为底的 x， 那么 a 的 log a 的 x， 那么它就是 x 等于 x， 因为这里 a 和这个底数是相等的，那它就是上面的这个帧数， 那我就两边同时取十为底，这边的 log 是二 x 加三， 这就是两边同序示威点， 那这个等于多少啊？那就根据这个公式嘛，他就等于上面 x， 那么就等于二加三， 就等于十的一减去 y 次方，那我在以下就可以得到 x 等于十的一减 y 次方减去三，再除以二嘛，二分之一倍的这个。 那么第三步呢？就对掉 x 和 y， 那就是把 x 位置用 y 去代，把 y 的位置用 x 去代码，那就得到了 y 等于二分之一倍的十的一减 x 方减去三吗？ 所以法函数 它是等于 y 等于二分之一倍的十的一减 x 方减去三。那么此时它的定义是什么呢？它定义就是 是它这里对应的 x， 它的它的值域嘛，就其实就这里 x， 我们刚才是对到过的，其实这里 x 本来是 y， 那我刚才刚开始求的是值域嘛， y 是属于负重到一，那所以这 x 就对应的上面这个 y， 它属于负重到一。 因为返航数的定义就是余航数的值域，因为我们最后对掉了这个 x， y 嘛，因为我们这要求求的是 x 的范围， 那么这 x 范围，我们刚才是不是把 y 跟 x 对掉，那所以这里我们求的 x， y 其实需求的就是 y 的范围， y 就这一块的范围啊。 y 范围我们刚才刚开始就求出来，它的 y 是属于负五重到一，那所以它的现在的方函数的定义域就是负五重到一， 那么这是他的定律。 那么关于这道题就先讲到这里。

这个视频我来讲讲怎么求反函数。前面讲过，对于 y 等于 a 的 x 次方，如果用 y 表示 x， 那 x 就 等于 log a y。 接着美观一下，把自变量换成 x， 因变量换成 y， 就 得到 y 等于 a 的 x 次方的反函数了。 通过这个例子，咱可以总结一下求反函数的方法。第一步，先把原函数反减 x， 用 y 表示 x。 第二步，美观一下，把自变量换成 x， 因变量换成 y。 总结完毕，来试个题吧。比如 y 等于 log 二， x 加二再减二，它的反函数是啥呢？ 用刚才的方法，第一步，先反减 x， 漏个二， x 加二就等于 y 加二，那 x 加二就等于二的 y 加二次方，所以 x 等于二的 y 加二次方，再减二。接着第二步，美观一下，把自变量换成 x， 因变量换成 y， 这样就求出反函数了。 刚才都是两步搞定反函数，有时候还得考虑定域的问题，比如我给元函数加个定域， x 大 于等于零，小于等于二，那反函数是啥呢？这回元函数有定域，那它的反函数也得写出定域，它的定域其实就是元函数的值域。 来看看元函数弦求真数的范围， x 大 于等于零，小于等于二，所以真数 x 加二就大于等于二，小于等于四。 对于 log 二， x 加二，底数大于一，那在二到四上是单调递增的，所以在二处取到最小值 log 二，二等于一，在四处取到最大值 log 二四等于二， 所以 log 二， x 加二大于等于一，小于等于二。再看函数 log， 后头还得减去二，那 log 的 范围也得减去二，所以值域就是负一到零， 对应到反函数中，就是定义域为负一到零，这样就搞定了。像这样，如果原函数有定义域，那求反函数就得变成三步，前两步是不变的。第三步还得把原函数的值域求出来，作为反函数的定义。 用这种方法，咱还能求出分段函数的反函数，比如在原来的基础上增加，当 x 大 于等于负二小于零时， f x 等于 x 方，你能求出它的反函数吗？ 函数是分段的，那反函数也分段求就行。 x 大 于等于零小于等于二时，它的反函数刚才算过了，是二的， x 加二次方再减二，并且定义域为负一到零， 还得算算 x 方的反函数。第一步，先反解 x， 那 x 就 等于正负根号 f x。 注意， x 大 于等于负二小于零是负的，那 x 显然等于负根号 f x。 接着第二步，把自变量写成 x， 因变量写成 y， 最后要写上定义域，也就是求原函数的值域。 x 方显然在负二到零上是单调递减的，所以最大值是负二的平方等于四，最小值接近零的平方，也就是零。 所以 x 方大于零，小于等于四，那反函数的定义域就是大于零，小于等于四，把求得的这段反函数和刚才的写到一起，这样就搞定了。 好了，以上就是反函数的求法，用三步就能搞定。第一步，反写 x， 用 y 表示 x。 第二步，美观一下，把字变量写成 x， 因变量写成 y。 第三步，写上反函数的定义，也就是原函数的值域。怎么样，学会了吗？如果会了，就速度去刷题吧！

好的，咱们这一个视频给大家讲一下，函数部分的最后一个小的考点叫做反函数。呃，我先说一下他这个考频啊，考频非常低哈，非常低，反函数。好，那在讲这个反数之前，我们先引入一些东西啊，核心的东西就是反解的问题。 引入，比如说我举个例子啊，假设有一天你知道了一个函数 y 等于 x 加一，好，我现在让你去反解，根据这个等式哈，去反解 x， 反，反解 x， 对 吧？哈哈，反解 x， 那 你这个也怎么解？就说我要解出来 x 到底等于谁？那很简单， x 会等于多少一项就行了， x 会等于 y 减一，好，这就是反解 x， 好， 这是加法的反解，你看减法反解也是一项嘛，对吧？因为加减是一起的。那如果说我说现在有一个 x 乘以 y 等于一呢？ 我让你去反解 x， 你 怎么解？ x 会等于多少？ y 分 之一，呃，当然，我们前提条件限制， y 不 等于零哈， y 不 等于零， ok， 好 好， 这个加减乘除很好。反解嘛？比如说我随便编啊，我说有一天是三 x 加上 这个二倍的 y 平方等于七，你怎么反解 x？ 很 简单，你要解 x 的 话，就说只能单独留 x， 其他东西都往另外一边挪哈，一定要写成 x 等于什么的样子啊？那你要解 x， 首先就要把这个二外方干掉，对吧？把三干掉就行了。那怎么干 二外方？他是个加减法的问题啊，三 x 一 向就会变成七，减去二外方，对吧？你要解 x 是 不还要同时除个三，那 x 就 会等于三分之七倍的啊？三分之七减二外方，对吧？好，这个很简单啊， 来，再来。那比如说我们初中阶段学过这个根号的问题，比如说再来哈，我说 y 等于根号下 x 加一，那对于这种带根号的时候，你怎么去反解 x 呢？也是一样的，很很简单啊， 你这个根号是开二十方根，对吧？那我要解 x 等于谁？那首先我要把这个根号去掉，对吧？把根号去掉过，只会剩下一个 x 加一，然后你要求 x， 你 再把加一去掉就行了。那你首先去根号吗？你怎么去根号？两边同时取平方， 那就会变成外方等于 x 加一，这个叫做两边同时取平方啊，然后再来 了解 x 啊，是不是通过加减法的一项就行了？ x 等于多少 y 方减一，知道吧？好，这三个例子啊，就是我们初中阶段的内容。好，然后还有一些高中阶段的内容，比如说 假设有一天 y 等于一的 x 次方，我要让你去解 x 怎么去解？那么这个时候你去反解 x 就 没有用到你学的这种加减乘除啊，取多少次方呀？取多少就常数次方嘛，然后或者说开多少次方根这种哈， 那怎么办呢？简单来给他写几个反解公式啊，注意，这几个公式你会去套进去了。如果说有一天你遇到了是一的三角形等于框框， 那么你去反解这个三角形，它就会等于圆框框啊，也就说你看到这样的一个指数的形式，你去想对数啊，看指数，想对数，看对数，那就想指数。比如说有一天你遇到的是圆三角形等于框框， 那你去反解它，反解这个三角形，它就会等于一道框框次方啊。啊，这地方我写的是特例啊，就说 以一为底的对数来说，因为我们用的比较多。那如果说是一个普通的，比如说假设你有一天遇到的是这个东西等于框框，那你怎么解？那三角形就等于三的框框次方？反正看到对数想指数，看到指数想对数啊，好， 反着来嘛，对吧？他让你往东，你就往北，你就往南呗，这个就是就像什么一样？就像这个，有一些同学的这个 父子关系，母子关系、母女关系、父女关系、情侣关系，就这样的吗？对吧？我偏要跟你对着干，哈哈哈，好，再来。 那如果说有一天你遇到的是三影三角形等于框框，那我就要推出来三角形会等于阿克三影框框。 好，如果说是 cos 三角形等于框框，那我就要推出三角形等于阿克 cos 框框， 那同样的道理，探也会出现这个情况啊。如果说探见了三角形等于框框，那你要推出三角形等于阿克探见天框框。好，举些例子啊，比如说， 呃，假设有一天你写的是 y 等于一的三 x 加一次方，假设是这样的哈，你要去反解 x， 你 怎么去反解？你看 y 等于一的三一次方，是不是有点像这个模板啊？就是一的三 x 加一次方等于 y， 那你要去反解这个三角形，这个就三角形吗？哈，这个 y 就 框框，那你要反解 x 的 话，你首先肯定要把 e 去掉，再把加 e 去掉，再把三除下来，对吧？那一个个来嘛，一个个剥离哈，你先算出三加一套公式是不等于会，会等于 y， 那三 x 是 不会等于零外减一？ x 是 不是会等于三分之三分之零外减一就这意思啊。所以说我反解出来 x 等于三分之零外减一就这样的哈。 其实就是你的所有的以前学过的硬算顺序反着来了啊。以前你先算什么乘除法呀，对吧。你现在先算乘除再算加法加减法你刚刚是走到这一步过后 从这步倒着走你就先算加减法再算乘除法，对吧。以前负函数你先算内层再算外层现在先把外层剥离再算内层就反着来的哈。 好，所以说其实本质还是说我们要对函数的形式以及基本的运算顺序要清楚嘛，对吧。 好，这说清楚了啊，那接下来我们再来说一下如何去求反函数啊。 呃至于反数是什么我们不用去关心他啊不用去关心他我们只需要关心如何去把反数算出来就行了。就反着来的函数你大概这么去理解哈来我就写到右边啊求解反数的步骤啊。 求解反数的步骤有以下几步哈。 什么意思啊？就说，呃，我们考试一般是这样的给出一个函数 y 等于什么什么 x 让你求解这个函数的反数那就相当于把这一个人 反着去处理一下啊。什么意思？你看我们的题干往往是这种啊，求函数给了你个函数让你求他的反函数啊给了你个函数让你求他的反函数是这意思好，不然说起来干瘪瘪的有点抽象对吧，做起来很方便啊。第一步 第一步怎么做第一步就是我刚刚给大家铺垫的这个蓝色笔的部分就反解 x 根据题干上给的那个函数那个等式反解出 x 你 说你要算出 x 等于什么什么 y 啊，一定要写成这种形式，你的右边就不能再有 x 了哈。 好，第二步呢，你要去交换 x， y 的 位置就 x， y 互换位置啊，以前的 x 写成 y， 以前的 y 写成 x。 好， 第三步写出，你交换完了过，就形成一个反数了哈，就得到一个反数了。好，然后呢，再写出新的这个函数的定义啊， 然后我们通过一道题来说明一下。两道题啊，来，这道题，它说求函数 y 等于根号下 x l 加一的反数。好，求解步骤就在这儿，我再给你复制一份啊。哎呦， 刚刚是复制的呀，怎么跑到哪去了？拷贝对吧？ 好，你就照着这个模板来。那第一步怎么做？第一步就是反解 x， 你 反解它， 你看啊，我就直接在这豪放派写了哈。啊，有时候豪放一下嘛，毕竟舒适的后代，对吧，哈哈，舒适老祖宗嘛，对吧，但是我不姓苏哈，好，编的哈。来， y 等于标号下 x 减二加一哈， 那你要反解 x， 那 你首先把这个加一去掉，那就根号加 x 减二会等于 y 减一，你就慢慢的去找 x， 然后你要去找到 x， 首先要把根号去掉，那就两边同时取平方， 对吧？就会变成这个意思，然后你要再去解 x 的 话，是吧，还要把二消掉，那就两边同时加二，所以说你反解出来就这个玩意简单哈， x 反解出来应该是多少？应该是 y 减一的平方，再怎么样再加二，对吧？好，这是第一步反解出 x 啊，来看红色比较第二步，他说怎么样要交换 x， y 的 位置，那也说以前的 x 写成 y， 以前的 y 写成 x 好， 就会变成这个样子了啊，第三步写定义好， ok， 来理解一下。也就说我们在写到第二步过后，这个东西其实已经叫做反函数了， 那对于这个反函数而言，我的质变变成了谁？我的质变其实变成了这个 x 啊。然后我们要写反数的定义，其实就是写这个新的函数里面 x 的 范围，好，那么写这个新的函数里面 x 的 范围，那你要找这个 x 的 范围，其实这个 x 是 由以前的 y 得来的， 对吧？你下面这个 x 是 由以前的这个 y 的 来的，而以前的这个 y 就是 其杠上的 y， 所以 说你要写下面这个三角形 x 的 范围，其实就是在写其杠上 y 的 范围。 ok， 所以 说我们有句话啊， 叫做反函数的这个定义域啊，及原来那个函数 y 的 范围啊， 好，很多同学有时候理解不了这点，对吧？反述学习还是有点恼火好， 哎，这个我擦不掉，我就不擦了啊，这个蓝色圈圈。所以说你这地方写定义应该写什么？写 x 的 范围，而这个 x 的 范围应该是体现到 y 的 范围。那很多同学又看不懂啊，他说那这个 y 的 范围是多少呢？哈哈，这 y 的 范围是多少？ 这个 y 的 话，你想啊， y 是 等于根号加 x 减二加一，那你这个东西 带根号的东西，它是不是永远会大于等于零啊？因为你是开平开二次方根吗？对吧？永远大于等于零。这一坨永远大于等于零，然后再加个一，是不是永远会大于等于一啊，对吧？大于等于一啊。所以说这个时候你写定义 x 啊，它就应该是什么 x 会大于等于一这样的一个范围，知道吧？这样的一个范围啊，好，然后呢，你如果说把它写成区间的法，区间的表表示啊，就是应该是什么？ 应该是 x 属于一到正无穷哈，这个意思啊。 ok， 好，写完了哈。那第二个题，求函数它的反数，那也是一样的。第一步，我们要去反解 x 啊， 很多同学在最后一步写定义的时候有点麻烦哈，如说你觉得比较麻烦的话，你优先先学会如何去反解 x 啊。那看又来啊，这道题反解 x 有 点麻烦，很多同学他反不来， 要不要反减 x？ 那 首先你直接这样去，如果说你一点都不动他，你可以没任何办法，那这个时候怎么办呢？我们先让分母去乘到左边，那就变成 y 去乘 e 的 x 值方，加一会等于 e 的 x 方， 那我要反减 x， 我 至少要把 x 和 s 放在一起吗？你现在 x 分 割成两个地方了，那你尽量要让 x 结合在一起啊。那怎么办呢？先打开，通过加减法移向来找啊， 是不会得到这个东西。然后你现在就把 x x 放在一起，那 x 你 最开始单独分离不出来，你只是说我只能让他们附属的 打包的 e 的 x 方放在一起，那你就移向嘛，对吧？你干脆把左边移到右边去啊，那就会变成剩下左边就剩下 y 了，右边就变成 e 的 x 次方，减去 y 倍的 e 的 y 倍的一的 x 次方，对吧？好，然后现在呢，你又会得到 y 会等于多少奇偶公因子？一的 x 乘一减 y， 那 这样的话，你要找 x， 你 是不是就可以先把一的 x 方写出来，那一的 x 方是不是就正好就会等于 y 除以一减 y 哈，然后你现在再解这个 s， 是 不是好解了？看到指数想对数，那 x 就 等于零，一减 y 分 之 y， 好， 所以说反解，对吧？反解啊，第一步，我反解出来，发现 x 会等于零， 一减 y 分 之 y， 哈。 ok， 那 接下来第二步，我们说第二步，就是说交换 x， y 的 位置。 你以前的 x 写成 y， 以前的 y 写成 x 啊，看红色笔啊。好，那写呗，写哈 以前的 x 写成 y， 以前的 y 呢？写成 x 就 会变成这个东西。好，你写出这个东西过，其实就已经得到一个反数了， 那得到反数过后，我们说要写出这个反函数的定义，要写出这个反数的定义，就是说写这个人里面 x 的 范围，而这个人里面的 x 其实是由以前的 y 换过来的。所以说你要写这个 x 的 范围，其实就是找以前的 y 的 范围，而找以前 y 的 范围 就是找什么？就是找这个函数里面 y 的 范围，而他的范围就是直域。那现在很多同学又来说，哎呀，我看到这个同学，我也不知道他的范围是多少呢？ 我故意出出了个稍微难一点的题啊，那这个是这样的哈，你想哈，这个 e 的 x 次方，他永远会大于零吧？ e 的 x 次方，我们之前学函数做图的时候，是不是 y 等于 e 的 x 方，他是不是永远会大于零？而下面 e 的 x 加 e 次方，是不是永远会大于一啊？ 对吧？你说一个大于零的状态，去除一个大于一的状态，那首先他会大于零，对不对？因为两个正数相除，上面是小的，下面是大的，那你肯定在一， 这个比一小吗？对吧？在一的左边哈，所以说你这个整体一个大于零的状态，除以大于一的状态，其实就是在零到一之间，知道吧？ 在零到一之间，所以说我就知道啊，原来题干上的这个 y 的 范围在零到一之间啊，啊，这种速感大家要有哈，其实这里面考过像二四年四川整体选择题的第一题啊，就是这样子的哈，让你去找范围，有些东西找不来。 好，当然我们找范围方法很多，这只是其中一种啊，所以说你 x 算出来是多少属于零到一之间，对吧？这就是你反式的定义， ok？ 当然有些同学他有点疑惑，他说，老师，那我有，我可不可以这样干了，他说我已经算出来 y 等于零，一减 x 分 成 x 了，那我要算这个 x 的 定义，直接让它大于零不就完了吗？ 让他大明不就完了吗？好，我说一下这种，呃，这种同学啊，他想的是，哎，我直接根据反函数的实实在在的这个表达式啊，去求定义，那么这个时候你通过这种思路去做，有些时候算出来答案是对的，有些时候算出来答案是错的哈， 因为他跟他具体的性质和形态有关啊，比如说你们后面做题可能会遇到三角函数的情况， 那就会出问题，同样的一个 y 等于三一二 x 让去求反数，如果说这个最开始前面给一个限制条件，对这个原来的函数 x 范围他不同，那你解出来反函数，他的定义也是不同的， ok， 所以 说，呃，大家能尽量用找直域的方法啊，就用找直域的方法，一般不要去根据表达式直接去写， 一般不要直接去根据反函数的表达式祈求定义啊，你能够找到题干上函数的值域，你就去找这个题干上函数的值域啊，因为这个是最准确的啊。 ok， 啊，就这个样子啊。然后呢？当然有些有些地方他会，呃，做题的时候，他会把这个 y 写成什么？这个反函数 y 啊，可以写成 f 负一 x， 也就是说你的这个，比如说这道题，你就算出来 y 等于零，一减 x 分 成 x， 它有可能也会写成 f 负一 x 等于零一减 x 分 成 x， 这就是一种反式的表示方法，没什么别的意思啊，这种这样规定的啊，所以说以后大家看到这种形式，你不要 不要不知道啊。 ok， 好， 这个就是非常低品和小众的一个考点啊，那么大家以后用了主要是会反解 x， 就是 已经非常好了哈，会做这一步反解 x 就 已经很好了，因为后面会遇到很多情况都会反解，特别是 换元法，根式代换那些哈。 ok， 好， 那这个视频我们就给大家讲到这哈。

几个常见函数的求导。首先是引函数的求导。引函数是什么呢？就是平时的函数都是 y 等于 x 这样子的。就是没有像这种常规函数这样写成 y 等于多少多少的。 他一般写成都是这样子，两边都是一个算式，有些时候很难解出来的。然后他怎么求到呢？就对等式两边分别求到。比如这题，你看三 x 等于二外方，然后 求导的话，就等式两边分别求导的话，三 x 求导等于 q， 三 x， 然后二外方求导的话等于四外，然后有外参与的要加外一撇，这样子我们反解出来外一撇就等于 cx 除以四万，然后隐含数。所有的求导都是这样子。对等式两边分别求导，然后有外参与的要加外一品。然后是对数函数的求导。对数对数求导呢，一般他出的题都是这样子，带 根号啊，或者是三分之开三次方这样子。然后这种呢，我们首先要把它先写成 y 等于 x 减一， x 减二， x 减三， x 减四，整体的 二分之一次。我们先把它整体写成这样子，就把这个根号给它拆掉，然后拆掉之后呢，对两边分别挪，分别轮轮外，然后 这个就两边添乱对数，然后就可以把二分机拿到前面去了。 然后括号里面自己穿，自己穿我就不嫌。 然后呢，就对他两边分别求导，然后再对等式两边分别求导就可以了。求导之后呢，有外参与的要加外一撇，然后再缓解出来外一撇就可以了。 然后参数参数变量，参变量函数的倒数就是这种， x 等于多少 t， 然后 y 等于呃多少 t， 它就是没有明确的 x 等于多少， yy 等于多少 x， 这样子写出来的。怎么求呢？然后首先是公式 dy 除以 dx 等于 dy 除以 dt， 然后呢， dx 除以 dt， 这是有写的，有分的。然后呢，就对他们分别求到就可以了。比如说地外吹地气的话，就是就对这个外求到。然后呢，就是 三 t 方的话就求到，求出来是六 t。 然后呢，再对 x 分别求到， x 求到呢，就是 co 三 c 的话，那就是负的三 c。 然后求导求出来就是这个 答案就是这个，就是这个，这样子写就可以了。就是要注意的是参变量函数的求导真意，他有些时候不是让我们求一次导，他可能有些时候让我们求两次导。然后求两次导呢，里面是这么写的抵外平房写中间，然后 dx 的平方。险后面遇到这个呢，他就是求两次导的意思。求两次导怎么求呢？他公司是这样子的。 呃，就是 d 括号 dy 除以 dx 除以 dx 除以 dt。 二次方的公式是这样子的。它什么意思呢？就是我们首先用第一次的时候，已经求出了 d y 除以 dx 了。然后呢，第二次的时候再分子的话，分母的话就是 x 再求一次到， 就对这个原函数的 x 再求一次的负的三 t。 然后呢，分子就不是不是，不是外去求到了，而是我们第一次算出来的这个这个整体再求一次到。然后这就是一个分式求的，分式求到的话是分母的平方， 然后分子求到乘以分母减去分子不到乘以分母求到负的裤三体。然后这样子 再把它反解出来就可以了，主要就是知道这个公司是什么意思就可以了。反函数，哎，补上吧。看反函数求导，看书上反函数求导呢，他反函数是什么呢？就是平常我们写的函数，他都是外等于多少多少 x。 然后反函数呢，就是 x 等于多少多少外的， 这叫反函数。然后他怎么求，他怎么求到呢？他有一个定理，就是呃， f 一撇， x 求到之后呢，等于外外一撇分之一。就是他们两个求到之后呢，是倒数的关系， 是倒数吧。对了。然后然后一般用用来做证明题。比如说这个，你看这道题，它外等于二个三 x， 然后我们证明外一撇等于根号一键 x 屏 分之一。如果按照我们平时的来算，计算那个求导的话，外一撇求导就等于二个三页 x 求导的话，就是等于根号一减 x 平方分之一。这是公式，但是他现在让我们证明。然后怎么证明呢？就可以用反数字来证明。 首先从这个外等于二个三以 x 可以反解出来，这个 x 等于三以外。然后呢，我们就对这个根据这个椅子的公式，他们两个求导之后是倒数的关系，他求导 有关于 y 的这个函数的，这个求导就等于关于 x 这个求导分之一。所以呢，现在 x 等于三意外，就等于三意外求导分之一。然后三意外求导呢，等于酷三意外。然后酷三意外呢，可以写成一减三意外平方开根号，因为那个三应加酷三意等于一嘛。 然后呢，三意外呢，又根据我们一开始写的，他是等于 x 的，所以就可以写成根号一减 x 分之一，然后就得到这个证明了。一般就用于证明题。

这个视频我来讲讲怎么求法函数。前面讲过，对于 y 等于 a 的 x 次方，如果用 y 表示 x， 那 x 就等于 log a y。 接着美观一下，把自变量换成 x， 因变量换成 y， 就得到 y 等于 a 的 x 次方的反函数了。 通过这个例子，咱可以总结下求反函数的方法。第一步，先把原函数反解 x， 用 y 表示 x。 第二步，美观一下，把自变量换成 x， 应变量换成 y。 总结完毕，来试个题吧。比如 y 等于 log r， x 加二再减二，它的反函数是啥呢？ 用刚才的方法，第一步，先反减 x logo， x 加二就等于 y 加二，那 x 加二就等于二的外加二次方，所以 x 等于二的 y 加二，次方，再减二。接着第二步，美观一下， 把自变量换成 x， 应变量换成 y， 这样就求出反函数了。刚才都是两步搞定反函数，有时候还得考虑定义的问题，比如我给原函数加个定语， x 大于等于零，小于等于二， 那反函数是啥呢？这回原函数有定义，那他的反函数也得写出定义域，他的定义其实就是原函数的直域。来看看原函数，先求帧数的范围， x 大于等于零，小于等于二，所以帧数 x 加二就大于等于二，小于等于四。 对于 log 二， x 加二，底数大于一，那在二到四上是单调递增的，所以在二处取到最小值 log 二，二等于一，在四处取到最大值 log 二，四等于二，所以 log 二， x 加二大于等于一，小于等于二。 再看函数 log， 后头还得减去二，那 log 的范围也得减去二，所以直域就是负一到零， 对应到法函数中，就是定律为负一到零，这样就搞定了。像这样，如果元函数有定义，那求法函数就得变成三步，前两步是不变的。第三步还得把元函数的值域求出来，作为法函数的定义。 用这种方法，咱还能求出分段函数的反函数，比如在原来的基础上增加，当 x 大于等于负二小于零时， fx 等于 x 方，你能求出他的反函数吗？ 函数是分段的，那法函数也分段球就行。 x 大于等于零，小于等于二十，他的法函数刚才算过了，是二的， x 加二次方再减二，并且定义为负一到零，还得算算 x 方的法函数。第一 步，先反解 x， 那 x 就等于正负根号 fx。 注意， x 大于等于负二小于零是负的，那 x 显然等于负根号 fx。 接着第二步，把字变量写成 x， 因变量写成 y。 最后要写上定义，也就是求圆函数的直域 x 方显然在负二到零上是单调递减的，所以最大值是负二的平方等于四，最小值接近零的平方，也就是零。所以 x 方大于零，小于等于四，那反函数的定义就是大于零，小于等于四。 把求得的这段法函数和刚才的写到一起，这样就搞定了。好了，以上就是法函数的求法，用三步就能搞定。第一步，反写 x， 用 y 表示 x。 第二步，美观一下，把字变量写成 x， 应变量写成 y。 第三步，写上法函数的定义，也就是元函数的值誉。怎么样，学会了吗？如果会了，就速度去刷题吧！

首先它得有反函数，对不对？这个 y 等于 f x， 如果它有反函数，那么我们怎么求？就是它的步骤是什么？首先第一步要求定域和值域， x 属于什么东西， y 属于什么东西？ 然后再从 y 等于 f x 中解出 x， 就 比如那个 y 等于 x 方， 那这样我们把它解出来。从，从这个把这个 x 解出来，就是用 x， 用 y 来表示，那 x 是 不是正负根号 y， 对 吧？好，这叫把从 y 等于 f x 中解出 x， 就是 这一步。 然后我们再把 x 等于，就是刚刚我们解出来的那个 x， 不是 解出来一个式子吗？就比如这个 x 等于正负根号 y 中的 x 和 y 对 调，把这个式子再改成什么 y 等于正负根号 x， 对， 改成这种形式。 好，这就是我们求的那个 y 等于 x 方的反函数。然后我们还要在这个求好的这个反函数的后面加上定义域，定义域是不是就是它原函数的值域，原函数的值域就是这个， 那还是以 y 等于 x 方为例，这里这个里边的 x 是 不是全体实数？ x 属于 r 是 吧？ x 属于 r， 那 么 y 是 零到正无穷，对吧？那么到反函数里边的 x 是 不是就是零到正无穷？ 好，这就是它的定义域，它的定义域。反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域啊，这是求反函数的步骤。那我们看注意， 在求反函数的时候，首先我们要考虑原函数的定义域和值域啊，是不是第一步就要求定义域和值域， 否则会导致错误。结论，如果遇到开偶次方，就是我们刚刚说的 y 等于 x 方，那开偶次方是不是 x 等于正负根号 y？ 那 要根据原函数原函数式的定义域判断出反函数的正负号。那我们说如果这是 x 属于 r 的 情况， 如果 y 等于 x 方，它的定域 x 大 于零， x 大 于等于零，那解出来 x 是 不是就等于根号 y， 对 吧？啊？这是根据，就是根据，就是偶次方的时候，根据定域去判断反函数的正负号。 好，接下来我们来做几道题啊，在你的同步练习上的几道题， 来翻开同步练习册。

的图像啊，他说 y y 等于 f x 与 y 等于 f 逆 x 关于直线，哪儿 y 等于 x 对 称啊？就是那条平分一三象限的直线，关于这个直线对称。 然后我们看图，看这个图，假设函数 y 等于 f x 的 图像上的任意一个点为 ab， 哪个是 y 等于 f x 这条线，这条线是不是 y 等于 f x， 它有一个 m 点是 ab， 对 不对？ 也就是说 b 等于 fa， 那 么 a 就 等于 f 逆 b， 所以， 所以 f 反函数 y 等于 f 逆 x 上图像的任意一个点啊，就是这个点 b， f 逆 b 就 可以表示为 b a 看就是这个 m 点就可以表示为 b a， 所以 从图上可以看出，从这个图上可以看出它函数这个 f x 图像上任意一个点 a， b 任意一个点 a b 是 不是，是不是都与这个 f e x 图像上的任意一个点 b a 是 关于直线，关于这条直线对称的，关于这条直线对称的， 你看是不是关于这条直线对称，你这取个点，这也是，这也是关于这个 y 等于 f x， y 等于 x 对 称的。 所以也就是说它上面每一个点，这个这个函数 f x 上的每一个点，都与反函数图像上的每一个点， 关于这个 y 等于 f x 对 称。所以我们就说这个函数的图像与反函数的图像，关于 y 等于 x 对 称，那这是它的图像，那我们看如何求反函数呢？