八下数学沪科版2026新版教材教程

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好，我们继续来学习第六页关于二次根式的计算与求值的问题。首先第一题的话，计算啊，那这里面涉及到的是二次根式的加减乘除的混合运算， 那就是先乘除，然后再进行加减乘除运算的话，有理部分和有理部分进行运算，那就是二乘一，结果是二， 根号和根号部分进行匀算，根号不变，根号里面的数相乘八乘以八分之一。好，后面一个是除法，除法的话是有理部分和有理部分做除法，二除以一，结果是等于二的。根号部分相除，根号十二除以根号三等于根号下十二除以三。 啊，那变成乘法的话，就是十二乘以三分之一，前面运算得到结果是等于二的，后面运算结果得到的是等于二倍的根号四，那根号四的结果是等于二的二乘二，结果是四，合并之后得到的答案是等于六的。 好，接着第二题也是一个乘除混合运算啊，那首先第一个还是先做乘除运算，根号不变，根号里面的数相除三分之二除以二十七分之一，也就是乘以二十七，后面一个根号不变，根号里面的数直接相乘二分之一，乘以八。 好，前面运算得到结果应该是等于根号十八，后面运算结果是根号四。根号十八是要进行化简的，里面含有平方因素，九等于根号下九乘以根号下二，根号九乘根号二。 化简之后就应该是等于三倍的根号二，然后呢，再减去根号四的结果是等于二的。好，接着第二题，那第二题的话，首先给出的是二倍根号二加上二的平方，那这里面出现的平方，那我们前面啊，所学的整式里面的 公式，在我们的二次根式里面仍然是适用的二倍根号二看做公式里面的 a， 二看做公式里面的 b， 所以 套用公式，首平方，那就应该是二倍的根号二的平方，接下来实际的两倍，也就是二乘以二倍的根号二，再乘以二，然后尾平方就是二的平方， 后面是二次根式的一个乘法。答案，这里面根号十六可以直接是等于四，所以结果是等于四倍的根号二。 好，那接下来的话，运算一下二倍根号二的平方，结果是八，然后呢，加上八倍的根号二，然后加上四，再减去四倍的根号二，合并之后，得到结果应该是等于十二加上四倍的根号二。 好。下面一个前面部分的话，就是涉及到一个加减乘除，另外有乘方运算这个地方的二倍的根号二十四，那后面这是涉及到加减，就是最减二次根式，所以根号二十四是要进行化减的。 根号二十四，它是可以写成根号下四乘以根号六，得到结果应该是等于二倍的根号六。前面还有一个二，那就是二乘以二倍的根号六， 好，减去后面啊八除以啊，那除法变乘法，也就是乘以根号下三分之二， 变成乘，除以根号下三分之二，变成乘以它的倒数就是乘以根号下二分之三。化减的话，是用我们的除法的利润算化减根号三，除以根号二。 好，那这个时候上下同时乘以根号二，把分母里面的根号去掉，结果应该是二分之根号六， 从而得到结果应该是乘以二分之根号六。好，后面是完全平方公式差的完全平方公式，首平方根号三的平方积的两倍，那就是减去二乘根号三，乘根号二加上尾平方，应该是根号二的平方。 好，那接下来运算得到结果啊，那前面的二乘以二倍根号六，结果是四倍的根号六减去，那就应该是四倍的根号六，加上三，然后减去二倍的根号六，再加上二，合并之后得到结果应该是五减去二倍的根号六。 好，下面呢，二次根式的一个加减的一个运算，那这里面主要涉及的含有分母，含有分母的话，就用我们二次根式的除法的例算进行化减。那第一个啊，就是我们的根号五分之 x， 那 就可以写成根号 x， 除以根号五，接着把分母里面的根号去掉，上下同乘根号五，结果就应该是五分之根号五 x， 这是第一项 好。第二个的话就是 x 分 之五，根号下 x 分 之五，是等于根号五，除以根号 x， 分 母里面的根号去掉上下同乘根号 x， 所以 是 x 分 之根号五 x 好。 最后一个的话，就是根号下四分之五 x， 也就等于根号五 x 除以根号四，根号四的结果是二，那就是二分之根号五 x 好。先化简啊，化简完了之后啊，就是做进行加减匀算，那这个具体的化简的过程可以在草稿纸上进行就可以了，我们拿过来的化简的结果即可啊，那第一项就应该是五，然后乘以五分之根号五 x。 好。 第二项那就应该是 x 乘以 x 分 之根号五 x， 后面就是减去二分之根号五 x， 前面第一项计算结果是根号五 x， 第二项计算结果是根号五 x， 减去二分之根号五 x。 好， 根号部分保持不变，系数相加，减一加一减二分之一，也就是二分之三倍的根号五 x。 当然这个地方实际上也可以选择把五拿到根号里面去，把 x 拿到根号里面去也是可行的啊。 好，接着我们来看下面的第二小题。好，那第二小题的话，一样的，涉及到的是加减运算，本质是和变同类二次根式，所以这个时候先要把它化简成最减二次根式。那首先根号八 a， 它是可以写成根号下四乘以根号二 a 的， 从而得到结果应该是等于二倍的根号二 a。 第二项的话，根号下八 a 分 之一， 他应该是等于根号一，除以根号八 a， 那 根号八 a 的 话，是可以对根号八进行化简。那刚刚前面已经求过二倍根号二 a， 根号下二 a 分 之一，接着要把分母里面的根号去掉，上下同时乘以根号二 a， 那 分子就是根号二 a， 分 母是二乘二 a， 也就是四 a 啊，这是后面一项第二个根号化简的结果。最后一个根号二 a 本身就是最简的，就保持不变。 好，接着把画件的结果代入，那就是七 a 乘以二倍的根号二 a， 然后减去四 a 的 平方乘以四 a 分 之根号二 a， 好， 再加上七 a 倍的根号二 a。 前两项把它运算一下，应该是十四倍的根号二 a， 然后呢，减去四倍的根号二 a， 好，加上七 a 倍的根号二 a。 接下来合并同类二次根式都是同类的啊，那就是这个地方的字母根号部分保持不变，前面的系数将加减十四 a 减去呃，这里的四 a， 然后再加上这里的七 a。 好，那这个时候得到的对应的结果啊，这个四和四也约掉了，应该是 a 倍的根号二 a 啊，好，从而得到对应的结果应该是等于二十 a 倍的根号二 a。 好， 接着我们来看下面的一个化简求值，那对于化简求值的题目需要注意一下，必须是先化简，得到化简的过程以及化简的结果，再代入数据进行计算， 那这里面它涉及到的是二次根式的一个加减运算，加减运算本质是合并同类二次根式，所以先进行化简。第一项，根号二十五 x。 化简的过程可以在草稿纸上进行啊，根号下二十五 x y， 那 就应该是根号二十五乘以根号 x y， 结果应该是等于五倍的根号 x y。 第二项，根号下 x 分 之 y。 用我们的除法的逆运算化减根号 y， 除以根号 x， 分 母里面的根号去掉上下同乘根号 x， 也就是等于 x 分 之根号 x y， 好， 那同理的话，根号下外分之 x。 一 样的除法的逆运算化减根号 x， 除以根号 y， 上下同时乘以根号 y， 也就外分之根号 x y， 好。最后一个的话是根号下 x y 的 三次方里面有平方因素，所以是用乘法的利用算化简根号下 y 的 平方乘以根号 x y， 也就等于 y 倍的根号 x y。 大家也可以选择把根号外面的 x 拿到里面变成 x 的 平方啊，那这个也是可行的啊，尽量的，我们是把这个根号进行化减，有平方利用乘法的逆运算化减，有分母，用除法的逆运算化减。第一项得到的结果应该是五倍的根号 x， y。 第二项呢，就应该是加上 x 分 x 倍的 y 分 之根号 x， y， 最后一个减去 y 分 之一，乘以 y 倍的根号 x， y。 好， 接下来运算一下。第一项照写五倍的根号 x， y， y 约掉之后是根号 x， y， y 和 y 约掉了是四倍的根号 x， y， 最后是根号 x、 y， 从而得到合并之后的结果应该是等于根号 x， y。 好， 那接下来把我们的 x 和 y 代入即可啊， 好，将这里的 x 等于六分之一。 好，将 x 等于六分之一， y 是 等于八代入啊， 好，原式就应该是等于根号下六乘以啊，六分之一乘以八， 结果是等于根号下三分之四。那根号下三分之四是不能作为最终的结果的，因为这个根号下面是含有分母，不是最简二次根式。那有分母，用我们的除法的逆序算化简。根号四除以根号三，根号四的结果是二二除以根号三。 分母里面也有根号，分母里面的根号要去掉上下同乘，根号三，得到结果应该是等于三分之二倍的根号三，从而得到式子。最后化简的结果应该是三分之二倍的根号三。先化简，然后再代入求值，对结果进行化简。

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好，我们继续来学习第四页关于二次根式的乘除运算。那首先我们把乘法以及除法的运算公式给大家去回顾一下啊。首先二次根式的乘法，根号 a 乘以根号 b 等于根号下 a 乘以 b， 根号不变，根号里面的数是相乘的。好，另外一个除法的话，就是根号 a 除以根号 b， 结果应该是等于根号下 a 除以 b 的。 当然这个地方啊，就是公式本身存在是有前提条件的， a 是 大于等于零的， b 也是大于等于零的， 下面这个的话， a 是 大于等于零的。另外一个 b 在 分母上它只能是大于零的，公式是等式，等式可以从左到右，也可以从右到左，那从右到左的话，就是对结果进行化解。 好，接着我们来看对应的题目。首先第一题是三个二次根式相乘，那就是根号不变，根号里面的数直接相乘六乘以十五乘以二十。 好，从而得到结果应该是等于根号下一千八。那根号下一千八的话，里面是含有平方因素的，那如果说直接找不到最大的平方因素，也就是根号一百乘以根号十八， 而十八里面又有九这个平方因素，所以最大他的一个最大的平方因素啊，应该是九百，所以他应该是化简的过程，可以在草稿纸上进行，根号九百，根号下九百乘以二，从而化简得到结果应该是等于三十倍的根号二。 好，接着第二题，那因为里面包含有理部分以及二次根式的无理部分，那有理部分和有理部分进行运算， 负五乘以三，也就是负的十五。然后呢，二次根式跟二次根式来进行计算，根号不变，根号里面的数进行乘除匀。算。好，那这里面只有乘法，第一个就是二十七分之八。 好，第二个是，嗯，代分数换成假分数的形式，已有四分之一，结果是四分之五，然后呢，再乘以五十四，好，接着去计算我们的根号里面的，可以这个拿铅笔在上面做标记啊，就是二十七和我们的五十四可以约分，约掉之后剩下一个二， 然后呢，这个地方的四和我们的八可以约分，约掉之后也是剩下一个二啊，从而得到啊，结果就应该是十五倍的根号下四乘以五，好，那根号四的话，结果是等于二的，所以最后得到结果应该是等于，呃，负的 啊，那就应该是负的三十倍的根号五。好，接着我们来看第三题。 好，第三题的话告诉的是一个两个二次根式的一个乘法，还是一样的根号不变，根号里面的式子直接相乘，那就是根号下十二倍的 x y， 然后呢，乘以四分之九倍的 x 的 平方， 好，把它运算一下，四和十二是可以约分的。好，约掉之后，那就是二十七倍的 x 的 三次方，然后呢 y， 接着对它进行化简，里面包含有平方因素。好，首先是有根号九，然后呢，乘以根号下 x 的 平方， 再乘以根号三倍的 x， y， 好， 前面啊，根号和平方，把它化简之后，结果应该是三 x 倍的根号三 x y， 好，接着我们来看第四题，一样的包含有理部分和无理部分，那就有理部分和无理部分分别进行计算，首先有理部分的话，分母乘分母作为奇的分母，三 n 分 子乘分子作为奇的分子，那就是二 m 好，根号里面的式子直接相乘，那就是 m 分 之二 n 三 n 的 平方，然后呢，乘以 n 分 之三 m 的 平方，好，接着去印算一下我们的根号内部的式子好。得到的结果应该是 啊， m 和 m 是 可以约掉一个的， n 和 n 是 可以约掉一个的，也就是九倍的 m n， 那 这里面是有平方因素，根号九，根号九是三，从而得到结果应该是 n 分 之二， m 倍的根号下， m n 好， 三和分母里面的三是约分约掉了啊，好，接着我们来看下面的啊化简计算 好，那首先第一个的话，就是在计算的时候可以稍微注意下技巧，零点一六好，直接乘零点二五的话，不是很好求啊，零点二五的话是可以看作是四分之一，所以他可以看作是零点一六 乘法的一个呃交换率啊。然后呢，乘以一百，那也就等于根号十六，好，根号十六，化简之后的结果是等于四的 好，下面一个里面出现的平方减平方，所以不需要把它呃三百三百一十三的平方和三百一十二的平方分别算出来啊，那这里面出现的平方减平方，那就是我们的一个平方差公式，所以它应该等于三百一十三，然后呢，减去三百一十二， 再乘以三百一十三，加上三百一十二，好，前面减了之后，结果是一，后面相加之后，结果应该是六百二十五好，那六百二十五的话，他是二十五的平方，结果就应该是等于二十五的根号下二十五的平方，结果等于二十五， 好，接着第三题计算好，那这里面涉及到一个除法的运算，那除法运算的话就是，嗯，还是有理部分和无理部分分别来进行计算。首先有理部分的话，就是四分之九，除以八分之三，那就是乘以三分之八。 注意，后面这个式子是看做一个整体的啊，八分之三类似于看做二四根式。前面的系数好，当然他不叫系数啊，我们只是内比过来看，就类似于我们同内向的这种想法啊。啊， 就是系数好，那这个时候，嗯，有理部分和有理部分做除法，然后呢，无理部分根号部分做除法，那就是四十八除以三又五分之一， 三有五分之一代分数化成假分数。五分之十六，除以五分之十六，那就是乘以十六分之五。好，那这样的话，运算一下前面部分运算之后的结果是等于六的，后面的月份之后运算得到结果是十五。 根号十五是一个最减的二次根式，所以结果就是六倍的根号十五。好，下面一个出现的，嗯，相当于是一个二次根式的除法，它是一个 商的算数平方根，所以这个地方在算的时候，前面的有理部分，那就直接照写。后面的话啊，呃，因为后面备注呢， a 大 于 b 大 于零，那么 a 减 b， 它是一个正数啊，所以它是可以写成根号下三倍的 a 加 b， 然后呢，除以根号下四倍的 a 减 b， 也就是我们的，呃，二次根式除法的一个逆运算。好，那这样的话，在运算的时候，可以前面还是一样的，先照写好三倍的 a 减 b， 好， 后面的话就是呃，根号四就是二，那就是二倍的根号下 a 减 b， 然后呢分之根号下三倍的 a 加 b， 那接下来要化简，就是分结果的分母里面是不能含有根号的，可以选择跟前面的 a 减 b， 根号加 a 减 b， 它俩进行约分，得到等于根号加 a 减 b， 然后再跟后面的式子相乘， 也可以选择是目标的这个分式啊，就是分子分母同时乘以根号加 a 减 b， 好， 所以它结果就应该是等于三倍的 a 减 b， 然后呢乘以两倍的 a 减 b， 好， 上面的话，它就应该是等于根号下三倍的 a 加 b， 然后呢再乘以根号下 a 减 b， 也就是根号下三倍的 a 加 b， 乘以 a 减 b， 好， 接着这个分母和呃里面的 a 减 b 和我们的这个地方的 a 减 b 是 可以约分的，所以整体结果那就应该是二分之三倍的根号下 好，这个根号里面的式子运算一下啊， a 加 b 乘以 a 减 b， 平方差公式，那就是三倍的括号 a 方减 b 方，去掉括号之后，三倍的 a 方减去三倍的 b 的 平方， 所以最后得到化简之后的结果应该是二分之三倍的根号下三 a 的 平方减去三倍的 b 的 平方 啊，这个地方虽然说根号内部是有平方数，但是啊，它不是平方因式啊，这个就是最简的形式。 好，接着下面化简，那化简的话就是利用我们的呃，第一个是商的一个算数平方根，所以直接把它写成二次根，是除法的一个利润算。进行化简，也就是根号下三倍的 x， y 的 三次方，然后呢，除以根号下两倍的 z 的 平方， 好，那这个地方分子分母里面都含有平方因素，那上面的分子部分他可以写成根号下 y 的 平方，然后呢，乘以根号下三倍的 x， y 下面的分母部分的话，是可以写成根号下 z 的 平方，乘以根号二，所以最后得到就应该是根号二倍的 z 好。 分之 y 倍的根号下三 x， y 好。结果的分母里面是不能含有根号的，所以上下还要同时乘以根号二，从而得到结果就应该是等于两倍的 z 分 之外倍的根号下六倍的 x， y 好。 上下同时乘以根号二 好，从而得到最终化简的一个结果，好。接着第二题，首先它是二次根式的除法，那我们就先进行除法运算，根号不变，根号里面的数相除代分数，先写成假分数的形式，一又三分之二，也就是三分之五。除以三分之四，也就是乘以四分之三， 好。预算得到结果是根号下四分之五，好，那这里面是商的一个算数，平方根，利用我们的除法的利润算，它等于根号五，除以根号四，而根号四的结果是二，所以结果是二分之根号五， 好。第三题的话，一样的还是先做除法，有理和有理部分。十六除以一，就还是十六。根号里面的式子相除，那就是 a 的 三次方 b， 然后呢，除以二 a， 也就乘以二 a 分 之一， 那继续运算一下，十六倍的根号下，那就是二分之 a 的 平方 b， 好，那这里面是有这个分母的话，用我们的二次根式的除法进行化简，根号下 a 的 平方 b 除以根号二，好，那这个时候的分子部分的话，是由根号下 a 的 平方， b 有 平方因素，所以它可以写成根号 a 乘以根号 b。 好，然后呢，接着是呃得到的结果，那就应该是把分母里面的根号去掉，还要再上下同时乘以根号二。那我们还是一步一步来啊，也就是根号二分之 十六倍的 a 乘以根号 b， 在 上下同时乘以二。呃，乘以根号二啊，得到结果是二分之十六倍的 a 乘以根号两倍的 b， 那 二和十六是可以约掉一个二的，从而得到结果应该是八 a 倍的根号下两倍的 b， 好，从而得到目标的一个结果。所以计算的时候每一步做一个计算，第一步做除法，就只做除法，除法变乘法，然后呢，接下来做成乘除计算。乘除计算完了之后，对结果进行化简 啊。先用除法的另一算进行化简，然后有平方是用乘法的另一算进行化简，整理最后的结果即可啊。

好，我们来学习第一页关于二次根式啊，以及相关的性质。首先，第一题以下的式子中一定是二次根式的，那二次根式的定义啊，提供的信息是形容根号 a 的 形式 好，并且这里面的被开方数 a 是 必须要大于零的，那四个选项的形式都是成立的，那 需要满足的是被开放数必须要大于等于零，所以这里面能够符合要求的就是我们的 d 选项平方是具有非负性的， a 的 平方加一一定是大于等于一的，那么他一定也是大于等于零的，所以 d 选项是成立的。 好，第二个二次根是有意义的条件，那他有意义的条件就是他的被开放数 a a 必须要大于等于零 啊，被开放数必须是具有非负性的啊，那这里面的第二题以下的啊，代数式根号 a 有 意义的条件，那就是被开放数 a 是 要大于等于零的，对应的是我们的 b 选项。 好，下面的第三题以下的二次根式根号下三减 a 要有意义，那他的被开方数也就是三减 a， 这样的一个式子的值应该要满足大于等于零的，从而解这样一个不等式，得到 a 的 范围应该是 a 小 于等于三，对应的是我们的 c 选项。 好，第四题，如果 a 是 一个任意的实数，以下的各式中一定有意义的。好，那这个四个选项里面都是带根号的二次根式 啊，被开放数必须要满足大于等于零，所以符合要求的应该是我们的 c 选项平方，它本身是具有非负性的，也就是被开放数 a 的 平方大于等于零，符合要求啊，另外的，这里面的都是不确定的啊啊。 接着是二次根式的一个双重非负性，那双重非负性的话，包含两层含义啊，第一个就是它的内部被开放数 a 是 必须要大于等于零的， 另外一个根号 a， 它可以看作是非负数 a 的 一个算数平方根，那算数平方根本身是有范围的，应该也是这个根号 a 式子整体它也是大一点零的， 所以这样的话，二次根式它是具有双重非负性的。那我们在做题的时候要注意区分用的是它的一个内部非负性还是外部非负性啊？ 那第一个非负我们称之为是根号内部的一个式子的一个非负被开放数的非负。另外第二个非负我们称之为是外部非负，也就是根号 a 这个式子整体是具有非负性的。 好，我们来看一下对应的题目。首先第五题的话告诉的 y 等于根号下 x 减五，加上根号下五减 x 减六， 这里出现了两个二次根式，那二次根式要满足有意义的条件，那就是内部的被开放式，也就是首先 x 减五，他必须要大一点零。 第二个五减 x， 这样的一个被开放数也要大一点零结这样一个不等式组，第一个不等式得到 x 要大一点五，第二个不等式组得到 x 是 要小一点五，所以要同时成立，那么 x 它就只能是取五的， 当 x 取五的时候，我们把它代入前两个二次根式的值就都是零，得到 y 的 值就是零加零减六，也就是负六，从而得到目标带求的 x 加 y 的 值，那就应该是等于负一负一的九十九次方，结果应该是等于负一的 好。接着第六题告诉的 y 是 等于根号下二， x 减六，加上根号下六减二， x 加四， 一样的出现了两个二次根式，那么这两个二次根式的内部都是具有恢复性的啊，用到的是它的一个内部恢复啊。那这样的话，我们就可以得到的是第一个二次根式内部的被开放数二， x 减六，要大一点零。 第二个二次根式的内部六减二， x 也要大于等于零。第一个不等式得到 x 大 于等于三，第二个不等式得到 x 小 于等于三，要满足同时成立，那么不等式组的解集就应该是 x 等于三， 把 x 等于三，代入可以得到 y 应该是等于零加零加四，也就是 y 是 等于四的，从而得到 x 乘以 y， 三乘四，结果应该是等于十二的 好，这两题用到的是它的内部式子整体恢复，从而确定 x 的 范围，同时成立得到 x 的 值，进而得 y 的 值。 好，接着第七题，第七题告诉的是根号 a 减二，然后加上根号下 b 加三，等于零。根号 a 减二，这个式子整体是具有恢复性的。根号 b 加三，这个式子整体也是具有恢复性的， 两个非负数的和为零，则每一个非负数为零。所以这里用到的是整个式子整体也就第一个啊，就是我们的根号 a 减二，这个式子整体是大于等于零的。然后呢， b 加三，根号下 b 加三，这个式子整体是大于等于零的。 两个非负数的和为零，则每一个非负数为零，进而也就得到根号 a 减二，这个式子的值是等于零的，以及我们的根号下 b 加三这个式子的值也是等于零的。 而算数平方根二次根式的值为零，那么被开方数的值应该也是零，所以就可以得到这里的 a 减二是等于零的 好，同时 b 加三也是等于零的。进而也就可以得到 a 的 值是等于二的， b 的 值是等于负三的， ab 的 值出来之后，从而得到目标带求的 a 加 b， 二加负三，结果应该是负一 好。接着我们来看第八题，好，第八题的话告诉的是， a 加六的平方加上根号下 b 的 平方减去两倍的 b 减三是等于零的 好。那这个地方啊，出现的就是，嗯，平方加上根号二次根式等于零，平方本身具有非负性，大于等于零算，呃，二次根式也是具有非负性的，所以这个地方的题目条件也是两个非负数的和为零。注意，在写的时候要写式子整体大于等于零 好。从而得到啊， a 加六的平方减两倍的 b 减三也是等于零的， 而我们的平方等于零的数只有零，那进而也就可以得到的是 a 加六是等于零的好，以及我们的算二次根式内部的被开方式 b 的 平方减去两倍的 b 减三也是等于零的 好。那根据这样的两个式子啊，理论上来讲是关于 ab 的 二元二次方程，呃，是可以求的啊，比如说这个地方，我们实际上后面啊，虽然它是一个二次的式子，但实际上是可求的， 那因为目前我们目标带求的它也是一个式子的值，所以我们就没有必要具体的求出来这个所有的字母的值， a 是 可以求的啊， a 是 等于负六的。 好，那这里面的 b 我 们就可以不用求了，因为目标带求的式子里面出现了两倍的 b 的 平方减去四倍的 b， 所以 根据我们的这个信息啊，可以得到已知的这个等式，那就是 b 的 平方减去两倍的 b 是 等于三的，所以这里的话，我们就直接考虑一个整体求值 好，代数式的一个整体求值就可以了，那目标代求的式子，它可以表示为两倍的 b 的 平方减去两倍的 b， 然后呢，再减 a， 那 b 的 平方减两倍的 b 是 等于三的，那结果就应该是等于二乘三，然后减去 a 是 负六， 也就是六减负六，结果是六加六，也就是十二好。当然这个地方实际上也可以把这个 b 给求出来啊，就是对左边的式子可以因式分解啊，这个简单提一下啊，不太建议这样去用啊。呃，因式分解的话，就是十字相乘，也就可以把它分成 b 减三， 然后呢，乘以 b 加一是等于零的，两个式子的乘积是等于零的，那么要么第一个式子等于零，也有可能是第二个式子等于零，从而得到 b 减三等于零。 好，或者是 b 加一是等于零的，从而得到 b 是 等于三的，或者是 b 等于负一。 那这个方法的话，就是后面还需要分类讨论，也就是分 b 等于三， a 等于负六，以及 b 等于负一，然后呢， a 等于负六，两种情况进行求减。目标的代数式的值，大家最后的结果是一样的，所以这里面啊，更建议去用整体求值的这样一种想法。 好，接着第九题告诉 abc， 满足根号下八减 a， 加上根号下 a 减八， 那观察到我们的前面的这样的两个二次根式，它的内部的被开放数，一个是八减 a， 一个是 a 减八，互为相反数。所以这个时候考察的第一个内容的话，就是，呃，他的一个 内部恢复啊。首先左边的两个二次根式啊，考察的是一个内部恢复性啊，也就可以得到是八减 a， 它要大， a 等于零，同时 a 减八也要大 a 等于零， 第一个得到 a 小 于等于八，第二个得到 a 大 于等于八，那要同时成立，那么此时能够得到 a， 它就只能是等于八。 一旦 a 等于八，第一个二次根式的值为零，第二个二次根式的值为零，所以等号左边就是零。好，那等号左边等于零的话，零等于根号下 c 减十，然后加上后面 b 的 平方，减去四倍的 b 加四。 好，后面一部分刚好是一个完全平方式，也就是 b 减二的平方。好，那接下来的话就是， 嗯，二次根式加上一个平方等于零，那就是借助我们的二次根式以及平方的一个呃，恢复性，那这个时候用到的是我们的二次根式的一个外部恢复啊。 好，那就得到的是这个式子整体它是大于等于零的。然后呢，平方整体是大于等于零的，从而得到，呃，我们的这个 c 减根号下 c 减十是等于零的，以及 b 减二的平方也是等于零的， 那都等于零之后，进而也就得到被开方数 c 减十是等于零的。好，另外一个就是 b 减二也是等于零的，进而也就可以得到 c 的 值， 这是零啊。好， c 的 值是等于十的， b 的 值是等于二的，以及我们前面求得的 a 的 值是等于八的， 那带入到我们目标带球的式子，那目标带球的式子根号下，那就是 b 是 二，那就是二乘以十减八。好，然后计算一下，结果等于根号四，也就是化简之后的结果应该是等于二的。 好，这是我们的第九题。好，接着我们来看第十题。好，第十题的话啊，就是 二减 a 的 绝对值加上根号下， a 减五是等于 a 的。 那可能第一个有同学想到的是，绝对值和我们的二次根式是具有非负性的，两个非负数的和相加，结果他是一个。首先 a 肯定是一个大于等于零的数，因为左边是具有非负性的， 但是我们常规的是两个非负数的和为零，我们是能够得到这两个数都为零，但是这个地方的 a 并不一定为零，而且也能够发现 a 是 不可能为零的。好，所以这个地方不能直接用非负性来做题。 那这个地方啊，首先有绝对值，有根号，我们最后要求 a 肯定是要想办法把绝对值和根号都给去掉。 这里面首先出现了二次根式，二次根式的意义就是他的内部被开放数必须是大于等于零的啊，从而就可以得到这个地方的 a 减五，他应该是大于等于零的，从而得到 a 应该是大于等于五的。 a 一 旦大于等于五，那么前面的二减 a 的 绝对值二减 a， 他 就应该是一个负数， a 是 大于等于五的，所以二减 a 是 一个负数，负数的绝对值是 好。内部的这个数字啊，它应该是一个负数，负数的绝对值是等于它的相反数好，从而可以得到等号左边啊，把绝对值去掉，取它的相反数，那就是 a 减二，然后呢，加上根号加 a 减五，结果是等于 a 的 左等号，左右两边都有 a， 我 们可以把 a 消掉，好，把 a 消掉之后，然后呢，接着我们就可以进一步得到根号加 a 减五，应该是等于二的，把二移到右边， 接下来我们要求 a 的 值，那就把根号给去掉，那根号去掉的方法就是两边同时平方，左边平方的结果是 a 减五，右边平方的结果是等于四的，从而可以得到 a 的 值，就应该是等于九的目标在求的 a 的 值为九， 所以他首先是借助二次根式的内部恢复性确定 a 的 范围，根据 a 的 范围来确定绝对值，内部式子的正负，根据内部式子的正负来去绝对值，去完绝对值之后，找这个等式之间的联系，然后再去去根号，得到 a 的 值。 好，那十一体的话是跟它有类似的处理方式，它里面有绝对值，有平方，有二次根式，左边的三个式子都是具有非负性的，但是目前的右边的二 m 减七，他不一定为零。好，所以这个时候啊，就是首先还是借助我们的二次根式的一个 非负性好，用到的是它的一个内部非负性，那内部非负的话，得到的是这里的 m 减四，应该是大于等于零的，从而也就可以得到 m 应该是大于等于四的， 那 m 一 旦大于等于四，我们可以得到七减二 m， 也就是 m 大 于等于四，二， m 是 大于等于八的， 所以七减二 m 一定是一个负数，那既然它是一个负数，负数的绝对值等于它的相反数，所以去掉绝对值之后，那就应该是二 m 减七。好，然后呢，加上 n 减三的平方，再加上根号下 m 减四，结果是等于二 m 减七的， 那这个时候会发现左右两边都有二 m 减七，合并掉了，合并完了之后，那得到的就是 n 减三的平方， 加上根号下 m 减四的，呃，根号下 m 减四，结果等于零。好，那接下来就是我们的平方和二次根式的一个双重，呃，一个恢复性 好，那这个时候用到的是一个外部整体恢复，也就是 n 减三的平方要大一点零，然后呢，根号下 m 减四是大一点零的， 进而得到 n， n 减三的平方等于零。根号 m 减四是等于零的，那进一步也就可以得到是 m 的 值是等于四的好， n 的 值是等于三的好，当然也可以先写 n 等于三， m 等于四啊，那就可以得到 m 减 n， 三减四是负一 负一的一百次方，结果就应该是等于一的好，得到目标的结果应该是一。好，接着我们来看十二题，好，这个十二题的话，他的做法实际上也是类似的。 好，我们写在下面啊。好，首先这个地方出现的有根号，有平方。好，根号和平方同时出现的时候，这个根号我们实际上是可以把它去掉的。好，那去掉根号之后啊，首先注意就是，呃，这个平方它是在内部的， 在内部的啊，所以这个地方的二零三六减 m 的 值是正的还是负的，暂时是不确定的。所以这个时候去掉这个根号之后，首先是要加一个绝对值好，也就是二零三六减去 m 的 绝对值，然后呢，加上根号下 m 减去二零三八， 结果是等于 m 的 好，那这个时候的绝对值和我们的二次根式是具有非复性的，但是等号右边他是 m， 并不是零，我们不能直接用零来做题， 所以这个时候有根号有绝对值，还是要想办法去根号以及去绝对值，从而去求目标带求的不带根号这样的一个式子的值。 那首先还是讲的是先去绝对值，根据这个地方二次根式存在的意义，根据二次根式存在的意义啊，内部的被开放数，也就是 m 减去二零三八，它应该是要大于等于零的 好，从而我们可以得到 m 应该是大于等于二零三八。 m 一 旦大于等于二零三八，那么二零三六减去二零三八的值应该是一个负数，负数的绝对值等于它的相反数，所以得到的是 m 减去二零三六， 然后加上根号下 m 减去二零三八，结果等于 m 好， 等号左右两边的 m 是 可以合并掉的，那接下来把这个常数移到等号右边，也就可以得到 m 减去二零三八，他应该是等于二零三六的。接下来是去根号， 去根号的方法就是两边同时平方， m 减去二零三八好，应该是等于二零三六的平方。当然这个地方不需要具体的把 m 的 值给具体求出来， 因为目标待求的也是一个式子 m 的 平方减啊， m 减去二零三六的平方，所以我们只需要移项啊，把二零三六的平方移到等号的左边， 然后把我们的二零三八是移到等号的右边，从而得到目标带球的式子的值应该是二零三八。好，这里面他稍微用到那一点，就是我们下一个章节里面的一个内容啊，就是根号下 a 的 平方应该是等于 a 的 绝对值啊， 因为这个地方的 a， 它有可能是一个负数， a 的 平方是一个非负数，但是 a 有 可能是一个负数，那些比如说根号下负二整体的平方， 它结果应该是等于二，而不是负二，所以这里面要稍微注意一下啊。好，接着我们来看十三题。 好，首先告诉的 m， 呃，有时数 x y m 满足的是这样的一个等式，这个等式里面包含三个二次根式以及一个平方 啊，二次根式加平方，它都是具有非负性的，先利用的是我们的等号右边的两个式子啊，注意观察等号右边两个式子的特点， x 加 y 加 y 减二，以及根号下二减 x 减 y， 那两个内部的被开放数之间实际上是有联系的，互为相反数，那互为相反数的两个数如果要同时大于等于零，那么它就只能是等于零。所以这个地方首先利用的是它的一个内恢复 内部的一个恢复性，得到的是 x 加 y 减二，应该要大于等于零好，同时二减 x 减 y 应该也要大于等于零。 由第一个式子得到 x 加 y 大 于等于二，由第二个式子得到 x 加 y 小 于等于二好，从而就可以得到 x 加 y， 它应该是等于二的，一旦 x 加 y 等于二，那就可以得到的是我们的根号下，三 x 加上五 y 好， 三 x 加上五 y 减三减 m， 然后加上二 x 加上三 y 减去 m 的 平方应该是等于零，减零，结果应该是等于零的，那接下来就是一个，嗯，二次根式加上一个平方等于零， 那二次根式和我们的平方都是具有非负性的，那这个时候用到的就是外部式子整体非负性好。所以接下来就是因为我们的三 x 好，加上五 y 减三减 m 是 大于等于零的，同时平方二 x 加上三 y 减 m 也是大于等于零的，两个非负数的和为零，则每一个非负数为零。所以接下来的话，就是得到这两个式子的值应该都是等于零的。 而我们知道二次根式啊的值等于零的话，那么它的内部的被开放数就应该是，呃，等于零的，平方为零的数也是只有零的，所以接下来的话，就得到的对应的两个式子的值为零 啊，两个式子的值分别为零。好，那这样的话就结合我们前面的啊，就是 x， y 等于二，那得到的就是关于 x， y 和 m 的 一个三元一次方程组。 好，这样的三个方程啊，构成的是关于 x， y 和 m 的 一个三元一次方程组，那解这个方程组的话，可以得到 x 的 值是等于一的， y 的 值等于一， m 的 值是等于五的 啊。当然这个地方因为目标带球的式子里面只有 m， 所以 这个地方的 x 和 y 也可以不用把它算出来，可以当做一个整体，比如说这个地方啊，就是，嗯，有一个稍微技巧一点的算法的话，就是把我们的这个第二最后一个方程 两边同时乘以二，也就得到四 x， 然后呢加上六 y 减去二 m 应该是等于零的。用这个方程和我们前面的一个方程做减法， 那就得到的是 x 加 y， 然后呢是，呃，减 m 加三等于零，把 x 加 y 等于二代入，然后直接得到 m 的 值等于五也是可行的啊。方法不为一， 那接下来目标带球的式子是 m 加四，根号下 m 加四，代入数据就是根号下五加四也就等于根号九， 根号九是根号下三的。平方化简之后啊，实际上结果就等于三，也就得到目标带求的式子的值应该是等于三的。

上课 老师好，同学们好，请坐。前面，我们比较完整地研究了三角形，那么现在请同学们回顾一下，我们研究了三角形的哪些内容呢？好，赵欣然， 三角形的定义和三角形的性质。嗯，好，请坐。大家还有没有同学需要补充的？好，你来说， 我们学习了三角形的三边关系以及它的分类。嗯，好，请坐。还有没有需要补充的？好了，你醒了，我们还学习了三角形内的一些重要线段。嗯，好，还有没有同学需要补充的？好， 我们还学习了三角形的应用，以及一些特殊的三角形。嗯，好，请坐。那么综合大家刚才所说的，那我们其实也就是研究了三角形的概念，三角形的性质以及应用。 我们研究了一般三角形之后，我们还研究了特殊的三角形。那么我们是如何探求来获取这些知识的呢？ 好，你来说，我们是通过度娘简拼，观察、证明来获取这些知识的。嗯，好，请坐。那就是说我们对于一些几何知识的获取，我们可能要经历一些观察呀，操作啊，猜想证明来获取这些知识的。 那三角形是我们学习过的简单的封闭的平面几何图形。那接下来如果我们继续研究平面图形的话，你认为我们可能会研究什么图形？ 四边，四边形。那要是边数多一点呢？多边形，多边形，那也有可能是五边形或者是六边形，统称为多边形。那生活中啊，许多物体中都有多边形的形象。 那这张开始我们就来研究多边形。那你认为我们可能会研究多边形的哪些内容呢？ 好，那你讲，我觉得我们会学习多边形的概念、性质和应用。嗯，好，请坐。比如说与三角形的研究路径是类似的，那我们可能会通过哪些方法来获取这些知识呢？ 可能也是用什么观察、操作、猜想、证明是不是。好，我们一起来看一下本章的目录。那这章呢，分为四节内容， 分别是多边形、内角和平行四边形、矩形、菱形、正方形，还有综合与实际多边形的镶嵌。那其实就是两大块一般的多边形以及特殊的多边形。 这节课我们就一起来学习。第一节，多边形内角和 三角形的定义，大家还记得吗？谁能来说一说？好，我合计你试试。 三角形是由三条线段首尾相接的封闭图形。嗯，好，请坐。那这三条线段能不能在同一条直线上？ 不能，那就是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做三角形。那么大家能不能类比三角形的定义，给多边形也下个定义呢？ 好，验开，我认为四边形是由不在同一条直线上的四条线段首尾相接连接而成的封闭图形。 嗯，那多边形呢？多边形就是由 n 条不在同一条直线上的线段首尾相接而连接成的封闭图形。那这个 n 条是指几条？呃，是指它的边数，边数。那可以是哪些数呢？可以是呃大于，呃，大于等于三的 任意数。好，那你先请坐，大家看，老师手里有四条线段这样组成的图形是不是四边形？是，是的，那我给他折叠起来呢， 是不是？那像这样个别不在同一平面内的四边形其实叫做空间四边形。那我们初中阶段呢？只研究平面图形，所以我们要给他加上一个限制条件 是什么？在同一平面内。那因此我们就说是在平面内， 在平面内由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做多边形。好，老师给他记下来。 那么大家考虑一下三角形与多边形是什么关系呢？ 好，你来说说看。 三角形属于多边形。嗯，三角形属于多边形。 那好，你先请坐那三角形，它应该是多边形中边数最少的多边形，是不是？那它也可以认为是最简单的多边。

紧急通知！改版后的八下英语来了！拿到新教材的家长可能已经发现单词量增加百分之五十，尤其是长单词非常多，语法方面更是难上天，孩子看不懂也学不明白。这是半学笔记，跟改版后的新教材完全同步，十一月刚刚出版，每篇课文都有详细的批注， 就连词汇表和听力题目都有批注，孩子看得明白，重点的单词、句型、语法都有单独讲解，而且全书都带有中文翻译，扫码，还能听音频，无论是寒假预习还是开学后的学习都很合适。语数英全课都有，快准备起来吧！

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