2026数学二第一题选择什么

好，各位同学，大家好，今天给大家来讲一个这个河南省的什么 top， 二十的一个高三的一个刚考完的一个试卷，这个第八题，这个题还是出的比较有新意的，这个题的思路也比较多啊，我们来看这个，他说呢，在这个水平面上啊，他放了一个球 啊，然后有两个点， o a 和 o b 是 垂直的，他现在说的点 a 呢，到这个面的距离是三，然后问你点 b 到这个面的距离最大值。这个地方有两种思路，第一个是几何法，第二是间隙的方法，这地方我讲一个比较特殊的，用间隙的方法来做，我认为几何法呢，这个还是比较麻烦的， 那我来看间隙，因为我们球的体间隙是不太好好间的，所以说我们来看我们按球的思路来间隙，那么这个间隙呢，我把坐标原点呢，就是选在球心上，选在球心之后呢，它的这个 x 轴外轴，我把它就是相当于这个赤道面上来间隙 来看，我接下来的系是这样的，假如说这里就是 x 轴，这是 y 轴，这是向上的，是一个 z 轴，这里是 o 点，那我来看，首先呢他说点 a 啊，到这个平面的距离是一个三，这个平面在下面呢，在下面， 因为你下面这个半径是二，所以说点 a 到这个 x o， y， 这个面的距离呢，就是一个一啊。首先呢这个大家得想一下，第一点就是说点 a， 这个 a， 我 假如说他在这个位置上， a 到 x o y 的 距离就是等于一，也就是说呢来看这个地方呢，它的长度就是一，我这有什么用？我就设出来点一个坐标了， 那我来看，因为这个球的半径的是一个二，就是这个长度是一个二，那我来看我根据勾股定律，那是不是下面这个长度就是根号三，以此呢，我就看出来点 a 在 x 轴上是一个零，在外轴上呢是一个根号三，在 z 轴上就是一个一的长度。 哎，这个地方来看，我得设一个确定的点啊，那我来看他说点 b 呢，我就不知道了，但是点 b， 我 们来想 点 b， 点 b， 首先呢 o a 是 垂直于 o b 的， 第二个呢就是 o， 点 b 呢是在这个球面上的一个点，我假如说我射出来点 b 的 坐标就是 abc， 首先它是球面上的一个点，那么我就得到 a 方加 b 方加 c 方， 它就应该等于半径的平方，就是四，对吧？到上面一个距离，那么第二个因为 o a 垂直于 o b， 那么来看 o a 垂直于 o b 的 话，是不是向量 o a 和向量 o b 的 数量积就应该等于零，那么来看 o a 和 o b 的 数量积， o a 在 这呢就是根三 b 加上一个 c， 它就等于零。 好了，那么来看它现在要求点 b 到这个这个 off 面最大距离，其实就是看点 b 到 o x y 的 这个距离，其实就是看点 b 的 什么坐标最大，就是点 b， z 轴方向最大，其实这个地方就是求 c 的 最大值是多少 啊？求 c 的 最大值是多少，那我来我只要得到 c 的 方程是不就可以了？来看这个 b， 那么这个 b 的 话，我们现在做的是负的根三分之一倍的 c， 然后把它带到那个方程，这个这个 a 方加 b 方加 c 方这里边去，那么就得到了一个 a 的 平方加上一个三分之一倍的 c 方，加上一个 c 方，它应该等于一个四， 所以说我们来看，这样做出来三分之四倍的 c 方，他就应该等于一个四减 a 方，对吧？那我来看，我现在要求最大啊， c 最大就是就是四减 a 方最大，四减 a 方最大的话，他是不是刚好就是小于等于四， 这个就是非常好理解了，对吧？这个最值直接一看就能看出来，所以说这个 c 方呢，就是小于等于三，记着 c 呢是小于等于根号三， 那我来看 c 的， 你现在这是 c 是 根号三，他现在求的是到面的距离，是把这个根三再加上一个二，是不是就是他最大值了？哎，所以说这个题选的是第四个 啊，如果这样做的话，其实还是相对来说要简单多啊，但是呢，你这个地方要要我们跟我平时练的不一样，是什么间隙的问题啊？间隙的问题，点 e 的 坐标，我觉得第一步这个还是比较好想的，关键是第二步我设点 b 的 坐标。首先你是求面的一个点 啊，球面上点我就设到 a 方加 b 方加 c 方等于四了啊，就等于是 b 到球心的距离等于半径就可以了。第二个 o a 垂直于 o b， 这个比较好写， o a 垂直于 o b， 就是 那个数量积公式，然后以此呢， 通过这个我就把 c 方啊 c 呢用 a 来表示出来，就是我把 c 方呢用另外一个未知数表示出来，然后我就根据函数的思路来做就可以了。其实这个题还是， 嗯，也不能说是超纲啊，有点像这个解立体解析结合了有一点点像这个也是通过二零二五年的高考的一个新的变化，所以说，呃，如果是这种题的话，我认为还是间隙对于球的问题 要好想很多。这个你如果说我直接自己做直接画图，因为球的图不太好画啊，所以说这个感兴趣的同学可以试一试啊。这次讲到这，同学们再见。

于今年二零一五年十月二十一号星期日上午专业课一数学二考试的学生来说，普遍反映的就是答案的第七题，也就是给出了二重积分怎么来写合适的极限。这这道题确实比较难，但是把握住本质，它本质是从定积分得来的。定积分如何写成合适的极限呢？先分割这个分割，就算它不长，但这分割可能是均分，也可能非均分，这非均分包括等差得分，等比分等等等等， 然后再求和式的极限。注意要定线啊，定他的线有上下线。那么对定积分来说，我们是这样进行的，但是二重积分来说，不外他就是一个立体的体积吗？那么我可以先对 x， 然后再对 y， 也可以先对 y， 再对 x， 然后进行 求和。呃，进行这个对它的和展开说明，然后再定线，然后求其不成。但是对二重积分来说，它的不成一般都是均匀变化，我们考研的时候，非均匀变化的考试还是比较少。那么这道题宋老师会给大家做一个详细的说明，从题目给出条件到最后的答案 如何形成的。我会从第一个基础知识，以二种积分如何来写合适的极限出发，到它的积分域，它是一个三角形，积分域是个三角形。那么第三个宋老师会手把手的带着大家看看 d 选项如何是正确的。那么对于 a 和 c 选项，同学们可以自我下去再思考。 今天宋老师抽时间讲一下比较难的，我们数学二考研硕士初试的时候选的第七题，我们来看一下题目要求 f， x， y 在 区域， d 等于 x， y 等于 y 等于一上连续，这说明啥？这说明这个区域是啥？是不是一个正方形呀？ 它的区域是个正方形，那么且 f x y 就 等于 f y x， 这说明是不是它具有轮换对称性，比如说 x y 进行变换，它都不影响，所以它就轮换对称性。好让大家求什么？求这个二重积分， a， b， c， d， 它和舍极限等于二重积分。大家首先回顾下基础知识，什么是二重积分？二重积分代表什么？我们如何来做二重积分呢？好，给大家回顾一下， 来给你另一个二重积分， f d， f x d y d x d， y， 那 这个时候就等于注意一下，来，我随便画一下啊。好，这是一个，这是一个体积啊， 那么它的底面积是个正方形啊，底面积是个正方形，我把它进行无限的切割，那这时候会发现它形成了什么？什么小柱体啊？小柱体。好，我对它底面进行 说一下，它的区域就是我们的一个正方形区域，那这个小我，我给它切割的时候，那就是切割，我从上面往下面来看的时候，我们对应在 x o y 这个平面上啊，也就是 它的它对面了以后，平上就是这个这个小正方形，也就是它的底面就是我们这个 x o y 面。好，那这时候我们如何来对它的表达式来进行书写呢？首先我写出厘米乘 n 属于， 呃， n 均为无穷， m 均为无穷。注意，我首先写上 c 幺二等于一到 m 是 啥意思？ c 幺二到 e 上一半就是 x 轴方向，那么 c 幺二等于 n， 这个 g 一 般代表是 y 方向，也就是把 x 方向平均分成了 m 分， 呃，然后这是 y 方向平均分成了 n 分， 那这被 g 的 这个函数它所形成的高高，也就是 m 分 之 i 都 m 分 成 j。 好， m 分 成 j 分， j， 注意它的底是什么呀？底是 x， 平均分成 m 分 就是 m 分， 那 y 呢？是平分成 n 分， 所以说应该是 m n 分 之一。好，这就是我们，呃，对这个定积分啊，抓虫积分，然后对它体积做了一个简易的回顾。那第二个回顾的是我们看看三角形区，因为它有褶换对称性啊，所以我可以把这个平面正方形变成我们的三角形褶换对称性，那这时我们来看啊，这会画出我们的这个 x y 呃，这个形面来，假如这个三角形再上好，那他对应的立体图形我们再画出来了，也就说他对 x 积分，然后再对 y 积分，然后形成一个体积。呃，那这个其实我们分割的话啊，对二乘积分进行分割的时候，可以均匀分割，也可以非均匀分割，那均匀分割，那在我们考研过程中，对二乘积分一般指的是均匀分割，那对定积分来说，我们才说的是非均匀分割，因为我们非均匀分割可以是 等差分割，等底分割，等等等等啊这一系列东西。所以说那么对我们来说，那么做这种题首先要抓住啊，第一个是等差分割，等底分割，等等啊这一系列东西，所以说那么对我们来说，一般就是均匀切割啊，均匀切割啊，均匀切割啊。 刚才孙老师给大家做了两个方面的回顾，一个是二乘积分怎么写成合适的极限，第二个也告诉了大家，三角形里面是三角形它的分割，那么现在我们来看这道题，这道题首先他给出了题目的条件是 f x 到 y 就 等于 f y 到 x， 这代表的是我们融化对称性。那如何来解决呢？首先我画出一个平面域， 然后这上面一个正方形，我这样给它切割。注意啊，它是这样进行轮换对成形，比如说我下面的区域为第一，上面区域为第二。好，我做一个简要说明来。注意看，我这样写， f 第一 f， x， y， d， x， d， y 就是 代表着第一的里面为第一的这个 体积就等于。注意啊， f 第二 f， y， x， d， x， y， 这如何等呢？为啥？因为第一个第二个积分区域是相等，都是三角形， 而且他的他 x 和 y 互换也不影响， x 与 y 互换无影响。好，那么接着呢，我们就采用题目中告诉你，融化对称性啊，对称性，我们得到第二个区域。呃，既然第二和第一是完全等价的，那就是我是不是可以写成二倍的第一， x， l， x， y， d， x， d， y。 好， 那也就说这个不定 这二重积分啊，它底面我可以写成这个区域的两倍来进行求近。好，那这个时候我们看 b 选项，这个 b 选项很容易排除，为啥呢？因为他对 x 切割的时候是 n 分 之二，也 n 分 之二，那对 y 切割的是 n 分 之 j， 说明他对 x 进行 n 等分， 对 y 也进行 n 等分，那说明他的背积函数，我就写出了 f n 分 之二， f n 分 之 g， 这是啥？这是不是它的这个高呀？它的底面是啥？底面就是 n 分 之一乘以一就得 n 乘以平方公里，那说明底面积乘以高， 而且 i 等于一，它的。你看线上 i 等于到 n， 那 说明 i 大 于等于一。小于等于 n， 那 就是 n 分 之二。同时除以 n 分 之一，大于等于 n 分 之 n， 那 这时候我们就到 x 大 于零小于一，为啥？这极小，我们得到了，那这个时候它这个其实也代表了我们的零到 x， 那 j 呢？ j 我 可以做一个同样操作， j 是 大于等于小于等于等于 n， 这是我们也可以得到 y 大 于等于小于等于等于一，那这个时候我们注意看啊，如果上下线我这样写的话，我先写 f x， y， d， y， d， x 先写 y， 为啥呢？因为这里面先写 x 也行嘛，这个 x 先写 y， y 等于到 n， 那 说明这个 y 啊，他是零到一，他也是零到一。好，这时候我们来画一下图，其实零到一，零到一，如果这样做的话，确实我们就是等于二，这个二乘以分，但是注意它 b 选项是指的二分之一倍的关系。 错了，如果把二分之一去掉，那道题就是正确的选项，但是 b 选项错误的。来，我给大家分析 d 选项，那么 d 选项知道什么？ d 选项来，我首先再抄点题， d 选项是二分之一的厘米乘 n 取尽无穷， i 等于二 n， 然后 c 个码 j 等于，然后注意 j 等于它等于 i， f， r n， i， r， n， g n 方分之一。好，这如何来分析呢？首先我们来看一下啊，在 x 轴上，它的宽度是多少？在 x 轴上，从 x x 平面 x 轴上，它的宽度是多少？它是 i 等于到 r n， 那 这时候是不是 r n 分 之一啊？因为它除以 r n 了，你看它是 r n 啊，除以 r n 就 相当于 r n 分 之一，加上 r n 分 之一，加上点面，点 r n 分 之一，就等于它的 x 的 长度是一， 说明他中间是不是 r n 个呀？那也其实他是对这个 x 做了一个 r n 的 切割， r n 的 切割，那同理，他是不是对 j 也是去 r n 的 切割？好，那既然对 j 也是 r n 的 切割，那这时候我来写出合适的极限来看， c 个 i 等于 r n， c 个 g 等于 i， 然后注意， f， r n 分 之 i， r n 分 之 j 乘以 r n 乘以 r n 分 之一。注意，这个代表的是我们的高，这个高啊，这个高，这代表是 x 方向的， 这代表 y 方向的啊。注意，正，这代表 y 方向， x 方向，这代表底。一。好，我改成了这种形式。了解，注意，和题目的条件来对比来，这上面都一样。然后这是啥？四 n 符号的平方，而题目 d 选项是二 n 的 平方，说明他多了一个四倍的关系，多了一个四倍的关系，怎么办呢？我就乘以四二分之四。注意啊，二分之四。好， 那是二分之四的话，然后这个化解我们的二倍的。注意，我先写上这个，那么 r n 分 之一呢？是对外也对 y 做了 r n， 这是 r n 的 一种 d x， 那 这时候我来定线，来，我把 f x 也写出来。定线怎么定？来，注意，看它的反位如何来算它反位。注意，大家知道。来看好定线，它上面是 r n 分 之 j， 来。注意 r n 分 之 j， j， j 是 从一到 n， 说明 那这是个小于 n 啊，那这时候就小于 n 分 之二。来，注意，那是个大于我们的 n 分 之一啊，因为这是大于小于 n 呢，所以除以 n 等于小于 n 大 于小于 n 小 于 n， 小 于 n 大 于 n， 那 这个时候我们是不是要取极限啊？这个极限，当 n 属于无穷大的时候，这个极限就是零，那这个趋于无穷大的时候，这个极限是啥呀？ 是不是就是我们这个？这个是不是我们的 x 呀？是不是这就是我们的 x 啊？ x， 不好意思啊，刚才我鄙视了，你看这里面 j， j 是 不是大于一小于 i 啊？大于一小于 i， 那 这个除以 n， 是 不是 n 分 之 j 大 于二分之一，小于二分之二，那这个是我们得到，那这个 n 分 之 j 是 啥？就是 y 大 于几啊？ n 分 之一，啥？取极限是不是？呃，取极限是几啊？ 是不零呀？好，那这个取这个啥？这就是 x， 说明 y 大 于零小于 x， 注意， y 大 于零小于 x， 那 i 呢？在 x 方向上呢？ x 大 于一，小于 n， 然后除以 x 是 r， n 分 之 i 大 于二分之一，小于二分之二 n， 那 这个时候是 x， x 是 不是大于零小于一呀？那好，我们画一个图，我们就得到了这个图 来， x 大 于零小于一是在这，那这 y 大 于零，小于 x， 是 不？这个好，正好来，注意，我把填写出来，那这零到 x， 这是零到一，那这个时候我们就得到了这个区域的两倍，就是我们的 这个，这个必选，我们的答案必选。下面这道题的难度确实比较大，我希望同学们加强去练习，除了这道题，以后肯定一些数学。嗯，老师们 啊，会给大家总结这种题如何来进行秒杀或者解题大招等等。但是宋老师给大家说啊，这个解题大招不是不可以用，但是尽量少用，因为解题大招是完全可以说几乎破裂了，割裂了数学的逻辑性和严谨性。其实我们数学主要 来学习他的逻辑性和严谨性，从中我们来找到解题的方法，解题步骤。但是考场上那如果说能用秒杀法秒杀，咱用秒杀法秒杀，毕竟分数是重要的啊，分数是重要的。

我不明白一道小小的向量差乘与常论三度的题目有什么难的？给你们五秒钟的时间思考思考一下这道题。 好了，时间到了，黄埔课堂开课。这道题先算两个向量的差乘，得到向量 x、 f， 再算 f 的 三度。第一步计算向量一和向量二的差。向量一分量是零 x z， 向量二是 y 零。一代入差乘方法计算，第一个分量是 x 乘一减 z 乘零，得 x。 第二个分量是 z 乘 y 减零乘一，得 y 乘 z。 第三个分量是零乘零减 x 乘 y， 得负的 x 乘 y， 由此得到向量场 f。 第二步，算散度。按定义对 f 的 三个分量，分别求对应偏导，再相加对 x 求 x 的 偏导得一对 y 乘 z 求 y 的 偏导得 z 对 负的 x 乘 y 求 z 的 偏导，得零，三者相加，最终散度结果是一加上 z。 不 管你们怎么做，三个小时做二十多道题，优势在我。

二零二五年两项联考中，有家长们反馈，数学科目分 a、 b 卷，即文科是一套数学试卷，理科是一套数学试卷。其实这种说法并不准确， 实际情况是，数学科目采用统一试卷，只是在第二十四、二十五两道大题中各包含两道小题，其中一道小题指定由文科生作答，另一道小题指定由理科生作答。考生一定要根据自己的选科情况，作答属于自己的那道题。 再看物理科目，第二十六、二十七两道计算题，满分十二分，考生只要任选其中一道题作答就可以了。 另外，语文科目有两篇作文，分别是一篇材料作文和一篇命题作文，考生二选一完成就可以了。体裁不限，诗歌除外。现代文要求不少于七百字，文言文要求不少于四百字。 最后，历史科目的答题规则尤其要注意，第二十三、二十四、二十五三道分答题，每题十八分，考生只要任意选做其中两题就可以了。第二十六、二十七两道论书题，满分三十分，考生只要任意选做其中一道题就可以了。 二零二六届参加两校联考的考生们，动笔前一定要仔细阅读每道题的答题要求。二零二五届就有考生做了本不该自己做的那道题，自己该做的反而因为时间不足没能完成，导致失分。 因此，备考两校联考的考生们一定要牢记，看到不该做的题目时，心态一定要稳，这是考试规则赋予你的选择权，多做无益反而有害。 将时间和精力百分之百投入到规定的作答题目上，以及自己最有把握、最能高效得分的题目上，避免非知识性失分和无效的时间投入。关注港澳台联考，关注雷老师，为你提供更精准的升学规划！

各位家长好消息啊，今年数学二比较简单，只考了现在证明题在这里呢，祝愿咱们各位家长孩子都能一百二十加，我是考研蔡老师，去年呢也帮助了五百六十一名同学在复试及调剂过程中低分上岸。

同学们大家好，今天我们来看到全国二卷的第一题，求样本数据。二八，十四，十六，二十，它的一个平均数求解 x 一， x 二， x 三，一直到 x n 这 n 个数，它的平均数公式是 n 分 之 x 一 加 x 二加 x 三，一直加加到 x n。 那么在这道题里面，它一共有五个数，所以它的平均数就是五分之二加八加十四加十六加二十，算出来是等于十二的，所以这道题我们选择 c 选项。

最近非常期待的二零二六届成都医学院，果然没有令我失望，无论是难度还是质量来看的话，这套试卷应该是新二卷地区的天花板级别了，它的质量甚至要超过前一阵子的这个绵阳医学院。 比如说十一题的解析几何与这个基本不等式的结合，十四题的外接球问题，十八题的立体几何动点问题，还有十九题的呃，这种组合数形式的函数都是让人眼前一亮，心意十足，都是非常不错的好题。 另外这个试卷的题型难度分布也是非常合理，与今年新二卷难度持平，同时也比较重视数学思维的考察，是一套十分难得的好卷子。我们来接下来看一下这个关键题位的一些分析。单选的话实际上都比较轻松，即使到了第八题的话，也是一路顺风， 分类讨论就可以出题，然后多选前两题的话，也是难度不大。 十一题出的也非常棒，虽然考点核心依然是基本不等式，却不落科，就结合这个双曲线和椭圆来考察，难度就直接上来了。你看这个是是不是很熟悉啊，它其实是椭圆的方程，就是它的这个长短轴，并不是 x 和 y 轴的。 另外像这个后面两个选项，我们如果说得到结果来讲的话，它其实不难，但要说到严谨计算的话，估计还是需要用到这个其次化啊，非常不错的一个小题。十四题呢，同样是外界求问题，却隐藏了一些一体几何的正在里面， 他比较注重这个数学思维的考察。如果说我们看不出这个 c b 是 垂直于这个 p a b 这个面的话，那么这个题做起来其实也是非常的困难，对吧？然后像这个解答，前面三个大题，基本上也是送分到位，没有什么特别大的一个难度。 十七题的话，这个形式好像比较新，这个信息商在以前的高考里面曾经出现过， 所以不算是一个什么有新意的题了。另外十八题我个人非常喜欢。这个题的话，比较有意思的是，前两位就是非常的简单，但到第三位，他的难度蹭蹭的就往上升了， 它是一个立体几何的重点问题。这个题的话，你如果说去解析处理，你会发现计算量非常大，但解析里面的一个做法，看看答案的做法，其实就是用的间间细，但是这个题你即使是用的几何法去做，你看我用的是几何法， 也是避免不了一顿死算，难度系数非常大，你要在考场中算对的话，对你的计算功底要求非常的高，所以它也是一个高质量的一个几何压轴题。 十九题他有点类似于今年新一卷的一个数列题，但此题考点核心却变成了函数。 他这个第二问本子上面其实是这个几点效应，可以先去猜出结果，然后再去证明，要去严格去说明 a 不 等于二的时候，他的一种情形。第三问也是相当精彩，他基本上将这个组合数的一些重要公式考察了一遍，这个题做完之后，真的是非常的舒服，意犹未尽啊。

大家好，今天呢，我们来分析分析刚刚结束的高三年级的 t 八联考，这套数学试卷的话，出的还是非常好的啊，它的整体难度中等偏上，还是比较好的区分度的，然后高三年级拿来练习，是非常好的一套试卷。 然后除了参加 t 八联考的同学之外，其实全国各地的同学呢，高二高三同学都应该拿这套试卷专门练一练啊，质量很高。 然后咱们稍后啊，来带来这套试卷的主题讲解。然后这个视频呢，先主题来分析分析他的难度啊，题型这些， 首先还是试卷结构啊，仍然是符合八加三加三再加五的这样一个试卷结构的，也就是八个单选，三个多选，三个填空，然后再加上五个大题，然后呢还是十九个题目的这样一个结构。 那么咱们主体来说一说，这个第一题到第四题的话，就属于技术题了啊，大部分同学都能得到分，主要考察的是集合复数啊，不等式，基本不等式这些，还有向量的技术知识。 然后咱们来看第五题，这个第五题的话，就看到了是考察的数列还有不等式综合的这样一个题目，涉及到了这个恒成率问题，还有递推算是一个中等或者说中等偏上难度的题目。 那么关于这个第六题的话，文字性的内容非常多，而且还配有图。看到这道题了吧，这道题的话，就属于三角函数实际应用的问题，需要你有足够好的这样的数学建模的能力。嗯，属于中等难度。然后呢，第七题，第八题，先看第七题， 第七题是一道双曲线跟圆综合的题目，计算量在小题里头算是比较大的，所以他的难度也是中等偏上。那第八题属于单选的最后一道小压轴， 他的难度可以说就比较大了，他属于分段函数跟零点问题的综合，他需要分类讨论还有属性结合才能够把这道题做出来，难度属于比较高的。 这个是单选择题，那么接下来就是多选择题，多选择题的话，第九题第一问啊，就就第九题，它属于一个，怎么怎么说呢？它的属于一个基础题，没有什么太多可以说的。 第十题的话就涉及的东西比较多了，函数的性质不等式，涉及到了复合函数啊，还有极值啊等等等等，它属于一个中等偏上难度的题目， 然后例题几何，十一题啊，十一题的话就属于，呃，也是难度较大的题目了，例题几何综合的，它是一个正四棱锥 还有正方体关系的这样一个题目，你需要充分发挥你的空间想象能力，然后对计算的要求也是比较高的。然后关于小题的话，呃，我说说参考答案也不一定对，我自己做了做，嗯，单选的话， 反正我做的答案是 b、 c， d， b， 然后 a， a， d， b， 然后多选题的话，我这几个题分别是多少呢？嗯，第九个是 ab， 第十题是 a、 c、 d， 第十一题，是啊，也是 a， c， d 啊，两个都是 a， c， d， 这是我做的小题， 然后填空题，填空题的话也是，咱们来看看这个填空题啊，填空题咱们先对下答案吧。十二题我做的是六，然后这个值呢？是二分之根号二大题我还没做啊，然后这个是负三，这是我的这样一个答案吧。然后咱们来分析分析这些考点。 那么十二题的话，是一个很典型的二线是定律，他的系数比的问题，算是一个基础题，你只要明白二线是定律就可以做。然后十三题的话，难度一般吧，难度中等吧，是抛物线、焦点弦的性质的问题。然后关于这个十四题的话， 就涉及到三角函数的条件垂直了。十四题算是一道难题啊，他是需要分类讨论的，最终化简起来也比较有难度。这个是小题的分析， 那么大题的话，虽然我没有去做，但是往宏观上看了看啊，十五题的话，大概看了看，是解三角形的技术题，嗯，就不再多说了。 这个十六题的话，是概率跟这样一个随机游走的问题，然后第一问呢，是基础期望的计算啊，计算这个数学期望，然后第二问的话，就是路径技术啊，古典概型的这样一个问题了，中等难度吧。 十七题的话，肯定每年都会考立体几何，对不对？立体几何的大题嘛，然后他主要考的是斜三棱柱面面垂直二面角，然后计算量说真的还是挺大的。那么接下来这个十八题，十九题就真的很有难度了，咱们来看这个十八题啊， 十八题的话，它属于椭圆的综合大题，涉及到了这个四点共圆啊，还有这个面积比啊，计算是复杂的，然后思维要求很高，它就是压轴题的难度。 然后接下来看最后一道题，最后一道题的话，它就属于怎么说呢？有点这样一个新定义的这样一个意思在里头了，然后它的话是把这个高斯函数跟数列综合放到一块，题目是 挺新颖的啊。然后呢，你如果没有足够强的数学思维能力的话，我感觉这个十九题想拿满分几乎是不可能的啊，难度应该是这套试卷最高的吧，放到最后一题也是挺合适的。所以最后咱们宏观上整体上来说一说这套试卷，这套试卷的话，嗯，它的综合性很强， 对思维对计算的要求挺高的。然后知识面覆盖很广，不管是集合复述函数、数列概率、立体几何、三角函数、统计解析几何等等都考察到了。 另外我认为他出的好的一方面呢，并不是说他难度高，他出的就好，而是他有区分度，就基础题，中档题还有难题，他的占比，他的分布是合理的，适合检测，就是同学们不同的这样一个，呃，学习水平吧。 然后对于技术薄弱的同学的话，我认为呢，你重点应该把前四题，对吧？重点把前四题啊，还有十二题，十五题等等，你必须得都拿下来，然后水平中等。同学除了这些之外呢，比如说第五题啊，第六题，十六、十七也都应该拿下来。 至于就是平时非常优秀，一百二、一百三以上的同学呢，那你主要就是挑战第八，第十一我写一下吧，八十一， 十四，十八，还有十九的难度了，十九的话不说最后一问吧，至少你把前两问拿拿下来呗，对吧？好，这个呢，就是我对这套试卷的分析，咱们呢，下个视频带来这套试卷的主题讲解啊。

二零二六考研真题大盘点，一起来看看我们曾经预测的题。

今天这个是刚看见这个八二年考的题啊，把这个比较坑的题啊，给大家好好说说。这第一个选择题啊，就是个典型的坑题，为什么呢？因为这个知识点呢， 确实是咱们课本上的，但是啊，如果对课本看的少的同学肯定是不知道这个知识点在哪了。 这个稀土元素啊，在咱们人教课本的左页，我看一下啊，是七十八页，他里边有这个详细的定义， 说的是这个蓝系元素以及谁啊？ con 一， 一共十几种元素，所以说这个题选谁啊？选 c， 因为 f 区他不只是蓝系，还有什么元素啊？ r 系元素。所以说这道题呢， 告诫大家啥呢？就是说一定要这个回顾赫本啊，尤其是一些需要背的东西，大家务必要自己翻书，一定要看一遍。 然后呢，这块的知识点不只有这个稀土金属，还有一些别的合金也给大家找出来了，大家记得把它复习一下啊，这都给他勾出来了，比如说什么楚青合金对吧？钛合金，耐热合金，什么记忆合金，都在枕胶板七十八页， b 九一的这个上面附近 还有这什么铝合金，这个生铁钢，呃，这个不锈钢对吧？然后呢，以及就是说相关的，你像这个钢里边掺了别的元素，他应该怎么的？这个东西在苏教版上是没有的，只有人教版上有，所以说咱们这个何为考生 务必要就是说搞一本这个人教版的这个书去，你不管是电子版的还是实体的，大家详细看一下。

我们接着录一下二零二六年广州十二月份调研考数学试卷里的大题部分。 然后我们先看一下大题的第一题。咦，这次没有考数列，考的是解三角形。 嗯，然后先画一个三角形， a b c a b c， 然后这个向量应该是 c 方，减去 bc 就是， 呃， b， a 就是 c 乘 a， 再乘以 cosine b， 然后等于负的二分之根号二 bc， 先把 c 消掉，先把 c 消掉，然后 c 减去 a 倍， cos 等于 b 倍的 cos， a 等于负的二分之根号二 b， 所以 b 和 b 就 消掉了。所以 a 角的话呢，就是四分之三派。 然后再看第二问，第二问，嗯，知道 a 的 角度了，是一百三十五度， 然后知道 b 的 角度了，呃，一百八十度，除以十二 就是十五度，所以这两个的角度和是一百五十度，所以我们的 c 角应该就是三十度。六分之派。 然后面积还知道了，然后求 b 的 值， 求 b 的 值。那这个面积应该怎么用呢？那我肯定是要用这个角啊，这个角感觉会减。 嗯，不行，这个面积长得比较奇怪，所以我用哪个角合适呢？嗯， 求 b 边，求 b 边的话，应该用 b 角比较合适。所以三角形的面积等于二分之一 a， c 乘以塞 b， 然后带进去，也就是二分之一 a， c 塞 b， 塞十五度是四分之，根号六减根号二， 等于根号三加一。 这好丑啊。 哦，我可以写，我可以写个简单的。 不行，这个数比较丑，不好算。然后我们再换一组，换一组的话就是。嗯，以 c 的 话就是二分之一 a， b 乘以塞 c， 等于根号三加一，然后二分之一 a， b 塞 c 是 二分之一，等于根号三加一，所以 a b 就 等于四倍的括号。根号三加一，然后 a、 b 有 了， 然后我们可以知道它们的正弦比，也就是可以知道它们的边的比。 a 比 b 等于 side a 比上 side b， side a， side a 是 等于二分之根号二比上 side b 在 b 呢是根四分之，根号六减根号二，所以一化简，就是二分之。根号二乘以根号六减根号二分之四一化简，这是二， 我们再化简就是二除以根号二，根号三减一，然后在分母由里化乘以根号三加一，乘以根号三加一， 所以 a 比 b 等于根号三加一，所以我们设。所以我们的 a 就 等于根号三加一倍的 b， 然后带进去 a 等于根号三加一倍的 b， 再乘以 b 就 等于四倍的根号三加一，然后所以 b 就 等于二，然后这道题就做完了，然后再看十六题， 十六题的话，他说他是一个正，他说他是一个直的三棱柱， a b 垂直于 bc， 所以 这个呢是一个底面，是一个直角三角形。 ab 等于二， a a 一 等于二， bc 等于一，然后 a e 等于蓝背的 ac 啊，这个 e 是 一个动点，然后 a e f 也等于狼狈的 a e b， 那 如果我给他从这个向下引垂线，如果这有个 m 的 话， 那 am 也是呈相同比例的，然后这样一连的话，那 m e 应该是和 bc 平行，它是这个意思。 好，那不知道跟这道题有什么关系，我们看第一问第一问栏么？等于二分之一，二分之一的话，那就意味着它们都是终点，然后是平行，这是对的， 它的辅助线呢，就是再取 a、 b 中点就可以了，然后通过证明面面平行就会得到线面平行， 所以第一问就没有问题了。然后第二问栏目的为何止是 e f 最小？ 咦，好久没有遇到过这种题了。嗯， e f 呢？是，嗯， m f 和 e m 的 勾股的斜边， 嗯，然后这个是叫拉姆的分让， 然后栏目的分段整个长度是根号五，所以这的长度是根号五栏目的。 嗯，所以第二问的话， e f 应该是用勾股，也就是根号下 e m 的 平方，再加上 f m 的 平方， 然后其中，嗯 em， 它应该是比例，应该是 em， 比上一应该是等于喇么的比一，所以 em 应该就等于喇么的， 然后再继续。然后 fm， fm 呢，就是下面的是喇么的， 然后整个的是一，最上面的就是一减栏目的，所以它的比例就是一减栏目的。比上一 应该是等于 f m 比上二，所以 f m 应该是等于二减二那么的，所以带进去的话，应该就等于根号下那么的平方，再加上 二减二那么的平方，然后再接着运算，就等于五那么的方 减去四，减去八喇么的，然后再加上四，然后求它的最小值，开口向上对称轴是喇么的等于负的 二， a 分 之 b 也就等于五分之四， 那么等于五分之四是最小，然后最小值是多少呢？把五分之四加进去五乘以二十五分之十六，再减去八乘以五分之四，再加四，一会还要开放，这是五。 负的五分之十六，再加上四等于五分之二十五分之四，然后再开方，所以它的最小值应该是五分之二倍，根号五， 这就是第二问，他需要构造一个函数，然后第三问，他说当 e f 最小值的时候，求它的夹角，嗯，然后最小值的时候呢？喇穆德就已经知道了。喇穆德知道之后呢，这道题就可以间隙了。 a e f 这个平面，嗯，然后间隙我就不建了，应该是不难算的，哈哈，我懒，我就不算了。 然后再看十七题，十七题这个没有地儿斜了，把这个缩小一点点， 这是咋回事呢？ 行， ok 时期的第一问，讨论它的单调性，然后先写定域 是 r， 然后我们带它进行求导，应该是左导右不导，再加上右导左不导， 然后 e 的 s 次括号 a x 加 a 减一， 然后它永远是正的，就不管它了。然后这个式子呢？ a x 等于一减， a x 等于。 哦，这道题不能把 a 直接除，因为他 a 如果等于零，所以第一个讨论应该是 a 等于零的时候， a 等于零的时候，那这个导数值就是负的， 那这个函数就是减，嗯，然后第二个就是 a 大 于零的时候，那 a 分 之一减 a， 那就是没问题啊，那肯定有这么一个根呐，管他多少呢，反正这个一次函数是增的， 那此时这个根我们设它为 x 零，根的左边就是减的，根的右边就是增的，然后就搞定了。然后我们再看一下第二根。 第二问， a 等于一的时候，先把这个带进去，也就是 x 减一，再乘以一的 x 次小于 k， x 减二，说如果没有正整数结， 嗯，没有正整数结，那我们就说有正整数结呗。我们就倒着说，嗯，有正整数的结，然后先把 k 的 翻译求出来，然后再说 没有正整数的结，他说有正整数的结的话， k 的 范围应该是。 嗯， 我们看作是支取连力吧。嗯，这个左边的这个曲线我们刚才研究过了，当 a 等于一的时候呢，它应该是 零的，左边是减零的，右边是增，所以这个函数呢，应该是先减后增，零带进去应该取得最小值，零带去应该等于负一， 所以这个图像零带去应该是负一， 然后一的时候也等于零。嗯，所以这个图应该长这个样子的。 然后这个直线它的特点是永远过零，负二，零，负二在这会零负二。 先说有正整数的结，然后我们就让它们先相切， 相切的话，看看 这个切在哪。哈，我们对它进行求导，左边的曲线我们对它进行求导，求导的话就是左导 右不倒，加上右倒左不倒也就等于 x 乘以 e 的 s 次，然后切点的话，我们就设成是 x 零， x 零减一倍的 e 的 s 零， 然后点斜式就是 y 减去 x 零，减一，一的 x 零等于 x 零，一的 x 零。括号 x 减 x 零， 然后它过零。逗负一负一减去 x 零，减一，一的 x 零等于负的 x 零的平方一的 x 零。 嗯，这题的根， 这题的根好像不是谱。哦，我这个带错了。嗯，这个应该是过的是零，负二过的是零，负二 应该是，这个是负二，好像没什么太大区别。先把负的变成正的。 嗯，然后 x 零，如果等于几呢？哦，这道题难就难在这了。 这根的问题，这个切点是在哪呢？切点，我们刚才试了一下，切点不是整数，如果把一带进去的话，把一带进去， 如果切点 x 零是等于一把一带进去的话，那左边是二，然后右边呢是 e， 那 显然右边大， 然后如果 x 零是二的话， x 零是二的话，带进去就是二，加上亿的平方，然后右边的话就是四亿的平方，然后一化减 是二，三亿的平方，还是右边大，所以这个根应该比 二小。然后如果 x 带零进去的话，那零进去的话，就是二减一，然后右边是零，那它是大于的。所以我们知道我们这个焦点的范围 应该是这个焦点的范围应该是，嗯，零到一之间。 那如果有整数解的话， 没有整数解的对立应该是有，有的意思呢？就是至少有一个，至少有一个的话，那么这个整数解应该就是一， 应该就是一，至少一要先满足， 至少要一要先满足。所以的话应该是 x 要把一带进去， 一带进去的话，那应该就是， 嗯，把一带进去，那左边就是零， 然后小于 k 减二，所以 k 应该是大于二的， 那 k 应该大于二，它才是有整数节，那现在说没有整数节的话，那所以这道题的范围应该是 k 小 于等于二，是它的对立。 ok， 然后我们再看第十八题， 第十八题的第一问，他说左顶点是 a， 下顶点是 b， 然后长轴是四，嗯，也就是 a 等于二。 这个数好眼熟，我感觉这个数就是四分之 x 方加上三分之 y 方等于一，我们把这个数带进去检验一下，然后把一带进去和 y 等于二分之根号三带进去， 嗯，不对，这个分母应该是为 一的，那这样画，把一带进去，然后再把二分之根号三带去等一，那就没有问题了。嗯，第一问就搞定了，然后第二问，第二问的话，这个 屁是椭圆第一项线上的点，然后我们画下图，画下图， 然后这是二，这是一，然后说 p 在 这个椭圆的第一象线上任意点，那我就任意点点一下，然后人家说直线 a p， a 是 左顶点，那直线 a p 就会交 y 轴于 c 点， y 轴于 c 点，然后直线 b p， b 是 下顶点。 啊， ok， 开了，开了， 然后 b 是 下顶点。嗯， 对，现在录对 b 是 下顶点，然后他干嘛呢？他把 b p 连上，交 x 轴于 d 点， 然后交 x 轴于 d 点。图画完了，然后就找这个四个线的斜率， 嗯，这四个线一个是 a p， b p， 然后还有一个是 a b， c， d， a b 还有 c d， 嗯，所有的呢，都是由这个动点引发的。 那找斜率的话，我是射直线还是射点呢？嗯，我射点吧，因为它只有一个动点，所以我就射点，那我就射这个 p 的 坐标是二倍的 cosine， 负 cosine， 然后 a 的 坐标呢是负二负零，所以这个直线方程就有了。就是 y 减去 size， it 等于 k， size， it 比上二倍的 cosit 加二，括号 x 加二， 然后再令 x 等于零，所以这个 c 的 总坐标就是 我跳布拉， sizeit 比上扣， sizeit 加一，再加上 sizeit， 然后 d 的 坐标是它和零负一去连立，也就是。 嗯，依然是这个式子， y 减去。哎，等会儿这个式子写错了， 这个式子写错了，然后我们刚才选的是 p 这个点，所以这个位置还是要用 p， 这个点应该是 s 减去二倍的 cosine， 它， 然后等于斜率，斜率的话是 size， 它比上二。嗯，对，然后我们再重新的零， x 等于零，求 y c 零， x 等于零的话， 应该是负二倍的赛乘扣赛，除以二倍的扣赛加二，然后再加上赛，然后化简，二二二一， 然后再给他通分，也就是等于扣三加一，等于负的赛扣赛，然后再加上赛扣赛，再加上赛， 然后一化简，就等于赛出扣赛加一。嗯，然后 d 的 坐标， d 的 坐标呢？就是 y 减 size 等于 令斜率 size 加一，比上二倍的 cosine， 括号 x 减去二倍的 cosine， 然后令 x 令 y， 这是，然后我们是另外等于零，另外等于零，所以 x d 这个一过去就是负的二倍的三乘扣三，然后再除以三加一，然后再加上二倍的扣塞， 然后一通分，就是三加一分之 二倍的扣三。然后 我们再看一下这四个斜率， k 一 的话， k 一 就是 a p a p 的， 我们刚才在这写了，就是三除以二倍的括号扣三加一，然后乘以 k 二， k 二呢，就是 b p b p 的 话，刚才也写了，就是再加一除以二倍的 cosine， 这就是左边，然后右边的话呢，就等于 a b 的 斜率， a， b 的 斜率就是 纵坐标之差，是一比上横坐标之差是负二分之一，然后再乘以 c d 的 斜率， c， d 的 斜率就是， 嗯，这个是零斗 y c， 这个是 x d 斗零，所以应该是纵坐标之差，也就是 y c 比上负的 x d， 然后一相乘，所以就是二分之一。 y c 比上 sd， y c 再比上扣三加一，比上 sd， 也就是乘以二 c 分 之再加一。 那我们通过比较，这两个是一样的，所以这个第一小问就证明完了。然后我们再看一下第二小问， 第二小问呢？他说三角形 p c， d， 又是这个三角形，它的面积是 s 一， 然后 abcd， 它的面积是 s 二， 求 s 一 比 s 二， a， b， c， d 的 面积是 s 二，上面是 s 一。 嗯，这 s 二呢？这个不好表示，所以我们把它变一下形。 四边形肯定不好表示啊。 s， 所以 我们把所求变成 s 一， 比上 s 二的话，写成了 s 二，写成的是 s。 大 三角形，也就是 p a， b， 然后再减去 s 一， 然后上下同出 s 一， 也就是一比上 s， p a b 比上 s 一， 再减一。让求它的最大值，那应该是求，呃，它的最小值，所以我们应该也变成了求它的最小值。嗯， 最小值的话怎么写呢？ 把刚才的过程给他缩一下。 好烦这个真服了，这怎么给他缩一下？ 行，坐这了，坐这的话。嗯， 嗯，三角形的话，它是有公式的。三角形 p a， b 的 公式， 嗯，应该是把 p a， b 的 公式应该是先把写成向量。哦，我知道了，不要写向量公式。 嗯，这两个三角形 p a b 和 p b c。 呃， p a b 和 p c， d 的 话，它们的角是一样的，所以它们的面积比 s， p a b 比上 s e， 它们的面积比呢，应该就等于 p a 乘 p b 比上 p c 乘 p d， 那 p a 比 p c， 它们的比呢，就是等于我们的横坐标值比， 其中 p a 也就是二倍的 cosine theta 加二，然后比上 p c， p c 的 话，就是二倍的 cosine theta， 然后乘以 p b， p b 的 话，就是二倍的 cosine theta 比上 p d。 哦，我们这个不用横坐标比，我们这个用纵坐标比也是可以的，反正它们的斜率是一样的。 它们的纵坐标比 p b 应该是 sine theta 加 e 比上 p d， p b 的 话就是 sine theta， 所以我们 化简就是扣赛加一比上扣赛，再乘以赛加一比上赛，然后我们对它进行化简，这个就是赛乘扣赛，分之上面赛乘扣赛，再加上赛，再加上扣赛，然后再加一， 然后怎么办呢？ 就等于一加上塞加扣塞，再加一比上塞乘扣塞，然后又因为塞方加扣塞方等于一，所以塞加扣塞。 嗯，所以赛程扣赛就可以写成。 嗯，算了，还是把上面写了赛加扣赛，就可以写成一加上二倍的赛程扣赛，然后开方，然后再加一 比上赛成扣赛， 然后。嗯，这狮子好丑啊。 嗯， 不过呢，它不需要写过程，那我们就写结果吧，这个结果呢，就是什么时候取得最值？最大值肯定就是赛等于扣赛的时候， 也就是等于二分之根号二的时候，然后带进去，也就是他的最大值，应该就等于他的最大值，应该就等于一加上根号二加一，再乘以， 呃，四分之二，也就是二分之一，也就等于一加上二倍的括号，根号二加一，也就等于二倍根号二加三。对， 然后这个就是，呃，这个粉色的最值，这个不是最大值，这是最小值啊。粉色的最小值，然后最小值有了之后，然后再带进去，所以它最后的最大值就是 二倍根号二加二的倒数，然后上下同乘根号二减一，上下同乘根号二减一，所以就等于 二倍的一分之根号二减一。那这道题就搞定了。 ok， 然后我们来看一下最后一道题，最后一道题竖列， 嗯，竖列。这道题的第一问 没有底的，用绿色的写吧，然后第一问出现这个式子， 那 s n 等于 a， n 加一， s n 减一等于 a n， 然后两个一相减， a， n 等于 a， n 加一，减去 a n， 所以 a n 加一等于二倍的 a n， 然后这里是 n 大 于等于二的，所以应该是从第二项开始。那 a 二等于 s 一 等于一， 所以 a n 等于 a 二乘以二的 n 减二次， a 二等于一，乘以二的 n 减二次。 所以我们的 a n 的 表达式呢，它是一个分段的， n 等于一的时候是等于一， n 大 于等于二的时候呢，是二的 n 减二。 不过还好，第一问和后面没有关系，如果万一第一问写错呢，他也不影响后面。然后我们再看一下第二问，第二问，他问是否存在竖列，使得这个东西小于等于是否存在等差竖列。 嗯， s n 小 于等于它若存在，写出一个满足的就可以。 它的前面的核都比它后面的小，怎么样能保证它前面的核比它后面的小呢？嗯， s n 等于 a， e， n 加上二分之 n 乘 n 减一倍的 d， 然后小于 a 一 加上 n d， 然后把它给移过去，就是 a 一 或 n 减一， 再加上二分之 n 乘 n 减一，再减 n 倍的 d 小 于零。 a 一 括号 n 减一，再乘上二分之 n 方减 n， n 方减 n 再减二 n， 也就是减三 n 减三， n 加上减三 n 倍的 d 小 于零。嗯，那必须要符合这个条件它才可以了。 嗯，这里 a 一 是一个函数， d 是 个函数， n 是 个变量，所以这式子整理的有问题。 嗯，不应该用这么多也去成立，应该是二分之 d， n 的 平方再减去二分之三， d 乘以 n， 再加上 a 一 n 再减 a 一 小于零， 它这个式子要永远成立，那就是，那这个意思就是 n 大 于等于一的话，它就永远成立， 那正无穷，它也成立。小于等于零，所以 d 必须得是负的， d 必须得是负的。 首先 d 必须要是负的，而且从开口向下 都是负的，所以一就得是负的，所以一带去的话就是二分之 d， n 等于一带去就得是负的，所以二分 之 d 减去二分之三， d 加上 a 一 减 a 一 小于零， 负， d 小 于零， d 大 于零，这俩矛盾呢？嗯， 所以 a 一 a 是 负的是不可能的，所以 a 一 必须是正的， 一是负的是不会的。一带进去一定是正的，那一是正的话，嗯， 这个对称轴是多少？对称轴好像是个横定的，我们看一下这个对称轴，哦，这也是个对称轴。刚我们试了一带进去是正的， 哎，等会儿矛盾。嗯，再重新倒一遍。这个是 a 一 n 加上二分之 n 乘 n 减一倍的 d， 然后小于 a 一 加上 n d， 然后把它移过去 a 一 括号， n 减一，然后再加上二分之 n 乘 n 减一，然后呢？再减 n 倍的 d 小 于零， 这是题目的意思，然后把这一次化减 a 一 括号 n 减一，再加上二分之 n， 方减 n 减二 n， 这个也是对的。小于零，嗯，然后把它以 n 方的逻辑去整理， 嗯，这个后面应该是题目的理解有问题，他说是否存在， 哦，最后答案好像是不存在，因为我们刚才算的是， 嗯，任意的它都存在，那它都存在的话，它如果永远小于零，那 n v 很 大时候小于零的话，那 d 肯定是要负的， 那他是不是 n 等于一，要小于零，他也要小于零，也就是负 d 也要小于零，然后呢， d 又是正的，那这两个就是互相矛盾， 那有没有可能 d 等于零呢？如果 d 等于零的话，如果 d 等于零， d 等于零， a 一 括号 n 减一小于零的话， 那只要让 a 一 是负的就可以， a 是 负的话，就比方说 负 n 小 于负一， 那就可以了，所以他最后的答案呢，是存在。然后通向公式就是 a n 等于负一，这个通向公式， 哦，也不行，因为如果这样的话，那 n 等于一带去的话，他应该是取等于，而不是取小于，所以他还是。我觉得这道题是不存在 对，刚才说完理由了啊。然后我们再看第三问，第三问，嗯，如果 a n 是 等比竖列，且满足这个，然后求 q 的 范围，等比竖列的话， s n 应该就等于 一减 q 分 之 a 一 括号一减 q 的 n 次方，然后小于 a 一 乘以 q 的 n 次方。一。也太好了， a 和 a 一 消了， 然后的话就是一减去 q 的 n 次方会不会小于？ 嗯，一减 q 是 正的还是负的呢？我也不知道一减 q 是 正的还是负的。嗯，我们假设第一种情况，呃， 如果设等比数列的话，我们假设 q 是 大于 一的，那一减 q 的 一减 q 的 n 次方就会小，就会大于 一减 q 乘以 q 的 n 次方，一减 q 的 n 次方就会大于 q 的 n 次方。减去 q 的 n 加一次方， 然后就变成了 q 的 n 加一次方，减去二倍的 q 的 n 次方，再加一，它大于零。 嗯，这个怎么写呢？把它写成函数呢？ 这增的减的呢？ 就写成 q 减二乘以 q 的 n 次方，我们对它进行求导， 等于 n 加一，乘以 q 的 n 次方，减去二。 n 乘以 q 的 n 减一， 然后就等于 q 的 n 减一，括号 n 加一倍的 q 再减去二 n， 也就是 q 的 n 减一。 q 是 变量， q 是 谁是变量的，谁是变量的？是 n 是 变量还是 q 是 变量？它应该 n 是 变量啊， n 是 为任意的矢数，它都成立，所以 q 是 参数， 那得任意的 n 都成立的话，那这个是正的，那这个的话就是 q 减二倍的 n 加 q， 然后 q 大 于一，那我们改一下，改成 q 大 于二。 q 大 于二的时候呢，这个就都是正的，那它就是单调递增，那如果它单调递增的话， 嗯，那这个函数是单调递增的，那要递增的话，那这个式子如果大于零，那应该是 q 等于二。 q 等 于二的话， 一旦去这横成立的，一旦就横成立，那如果单调底增一带进去也 横成立的话， 那就证明 q 大 于二，它都是成立的，所以这个范围是对的。然后大于二成立，等于二也是成立的。 然后第二种我们就讨论 q 大 于一小于二，那如果 q 大 于一小于二的话，那么这个的这个就是负的， 那它的根就是二减 q 分 之 q， 那 它是正的， 等于负。 q 减负 q 加二分之二减 q 大， 还是二减 q 大 呢？嗯，如果大于一的话，也就一点五，一点五除以零点五，一点五除以零点五，那它就是一个 比大一点的话，就是大于一 一点九，它进去的话，这是大于一的数。大于一的数的话，而且它是减的， 所以是先增后减，这个图就先增后减，那最小的话是多少呢？这个函数就变成了先增后减， 正无穷带进去的时候，正无穷带进去的时候是正无穷， 这个就变成负的整数，所以这个就是不成立，嗯，就是不成立。然后第三种就是 q 等于一的时候， 如果 q 等于一的话， 嗯，咱们刚才说的是不成立的。然后第四个 q 大 于零小于一，如果 q 大 于零小于一的话， 嗯，那 q 比上二减 q 应该就是 q 比上二减 q， 那 它应该就 就是零到一之间，那就是零到一之间，那零到一之间呢？嗯，我们的第一个数， 而且它是一个这样的，所以这个函数应该就是减函数，那找他的最小值， 减函数最小值就是应该是带正无穷，那正无穷带进去的话， 它取零，它也取零，然后它也是成立的，所以这个它是成立的。 看，这个也是成立的啊。然后第五个就是 k， q 是 小于零的，若 q 小 于零的话， 那这个东西这个根就是负的， q 小 于零，它就是负的，负的它成立吗？ 哦，如果它是负的的话，那它的这个导函数就是时而是正的，时而是负的，时而增，时而减。 嗯，那能保证这个吗？好像保证不了，所以这个就不成立。所以最后的答案应该是， 所以最终的答案应该是 q 大 于等于二，或者是 q 大 于零小于一， ok。

我昨天也就是十二月十八号，在抖音发了一张高三数学的复习检测卷，并且还语重心长的说，这张试卷是没有基础题的，所以对于我们高三的同学，我觉得这张试卷非常非常有必要 下载下来，找一个安静而祥和的晚自习刷一刷，看看自己遇到的卡点都有哪一些，完了之后针对你这些卡点再去做针对性的复习。而我们的视频分享呢，也会 分享这里面的题目，那就废话不多说呗，直接来看看这张试卷的第一题，哇哦，复述的综合， 哎呀，并且还求最值！有好多同学一看到求最值的题目就懵，其实你真的没有必要碰到这三个字就胆颤心惊，没有那么多必要，因为求最值。你想嘛， 你做的任何最值题目，它涉及到的无非就这几个方向，函数的最值是吧？函数那里有最值？第二个，基本不等式那里有最值？ 第三个，哎，几何那里有最值，也包括我们的延椎曲线，是不是就是几何，也就是，那就这几个地方有最值呗。所以呢，我们 尽量在审题的时候往这几个方向靠就可以了。那就检验我们在平时学那些基础概念，基础知识和基础的一些最值模型能不能记得住呗。说这一个，他说有一个负数等于 x 加 y i， 嗯，这里没有什么好说的， 且有一个重要条件，那这个是啥意思呢？ 这个应该会拆，这个不会拆的话，天都得塌下来对不对？你这个是不是等价于这个里面这个负数的模呀？ 等于二呀？是不是？好？所以呢，既然是这个负数的模，那负数求模怎么求啦？负数求模不就是会等于根号下 x 方加外方吗？是不 ok？ 所以呢，你这里拆出来的话，不就等价于根号下前面这部分 x 减三的平方加上后面这部分虚部， y 加三的平方等于二吗？ 当写到这里的时候，你会发现什么道理？你是不是？好，即使你说两边平方也没问题，两边平方的话就是 x 减三的平方加 y 加三的平方会等于四。那这个是啥？ 这是不是一个圆的标准方程呐？也就说明了你的这个 x 逗 y 这个点是不是在我圆心是多少，是不是三逗负三为圆心 半径为二的圆上动啊？ 是不是这个意思？所以我们马不停蹄的把这个圆大概的画一画， 假设这个圆心就是三勾负三。好，然后我的 x 勾 y 是 不是在这里读没问题吧？我假设这个点就是 p， 其实也是我这个负数的负向量，是不是啊？因为我的负数也可以在坐标上显示出来，没好让我求再加一的最小值。 乍一看是不知道的，但是 z 我 知道 z 不 就等于在这里吗？所以我的 z 加一会等于 x 加 y， i 加 e 的 模吗？是等价于这个不？哎， 既然是这个负数的模，是不是等价于它的实部的平方加虚部的平方啊？等价于这个呗， x 加 e 的 平方，对吧？再加 y 的 平， 对不？没问题吧？哎，你这个是不是两点间距离公式啊？你这个是不是等价于 x 逗 y 这个点到我负一逗零这个点的两点间距离公式没问题吧？好，所以你负一逗零是一个定点呀， 我们暂且设它为 b 点啊，不要设 o 点，设 m 点。 然后问你这两点间距离的最小值，它是这个意思了吧？ 那我是不是得连一下负一到零到圆心的距离啊？然后和我这个圆交一一点，这个点就是我要找的 p 点， x 和 y 没问题吧？这最小值不就出来了吗？那这个属于什么类的？最值？是不是属于 几何类的？两点之间的距离？公式还带了一个圆，就等价于圆外有一个点到这个圆的最近距离呗，是不是？ ok， 所以呢，我要求的最小值就是这一段， 是吧？好，那这一段是不是等价于 m b 减去我的半径二呀？ 是这个半径二不？ ok， 好， 所以我来看看 b m 可求不？ b m 可不可求？ b m 是 不是这个是三，这个是三，这个是二，这个是一，所以你这条边是四，所以你的 b m bm 会等于五啊，所以你的最小值是不是等于五减二等于三呀？选择 a 选项。我的天呐， ok， 这个应该是比较简单的一种类型，但是呢， 很多人会害怕它，因为它涉及到最值，还涉及到了负数的一个综合考法。 ok， 所以 我们视频就分享到这里，拜拜。

呃，下面给录制，给大家录制一道就是二零二六年啊，这个考全国硕士研究生招生统一考试数学一啊，数学一是数学，数学一二三里面最难的啊。 呃，一道这个大体啊，格林公式啊，格林公式，高等数学课本里有 下册格林公式的应用啊。好，就昨天啊，就昨天，昨天考了。此时此刻，我不想吟诗一首， 我想到了这个披头士乐队啊，英国的六十年代吧。六七十年代。 the beatles 英文发音啊，有一首歌曲啊，叫 yesterday， 就是 昨天啊， 感兴趣的可以听听啊，那首歌比较好听啊，是那个约翰列农和保罗麦卡特尼唱的啊， 一共四个人，四四团队。呃，乐队四个人。呃，是由列农和那个保罗麦卡特尼唱的。好，言归正传， let's begin 这道题啊，读题 有向曲线 l 为椭圆，高中的沿逆时针。注意这个啊，方向从点 a 到点 b 的 部分计算。这，这一串啊， 好，咱们看啊，我先给大家复习一下，格林公式，就是这个啊，高等数学课本里有。这是个，这是个 b 曲线啊， b 曲线 l， p， d， x 加 q， d， y 就 等于 变成二乘积分，这个是 d， 这 d， 这个 d 是 这个。呃，那个面积啊，面积，然后就变成了偏 q， 这就是偏 q 啊，偏微分，偏 q 比偏 x 减，偏 p， b 偏 y dxdy， 这就课本上了啊，这个格林公式，注意这啊，这个地方必须是封闭的啊，封闭的图形必须是封闭了。这道题就不是封闭了。我给大家画个图啊，这个地方需要用到高中了啊，这个是 x 方 加三，外方等于一啊，我们先给它化简一下。高，这，这不是标准的椭圆啊，这是高中了啊，高中人，高中数学人教版，必选择性必修，必修二啊，里面有圆锥曲线部分，这是椭圆啊，我们化简成 x 方加三分之一 分至 y 方等于一，很明显，焦点在 x 桌上。为啥在焦点在 x 桌？为啥在 x 桌？大家可以翻翻课本啊，焦点在 x 桌。画图啊，画个图 注意啊，数学前后都是连的了啊，初中高中还有大学还有什么研究生考试，这个这个这个这个前后都他都是连的了啊。好，我现在可以和大家画个椭圆啊，焦点在 x 处， a 方就是一， b 方就是三分之一，现在这是沿逆时针方向。我给大家画一个啊， v 是 负二分之一，二分之一第一项线， 呃，他说是从点 a 到点 b 的 部分啊，点 a 到点 b， 而且是逆时针啊，逆时针只能是这样的了啊，这样的，这样的，就是这一段啊，我给大家画一下，就红色的这一段， 很明显，这不是个封闭的，我们需要添加啊，添加使得构成封闭的，就添加这个 b 到 a 啊， b 到 v 就 把 ab 它连起来啊，添加 b 到 v， 这样子，这样连起来，这样，这一块就构成了封闭的区域啊， 就是课高等数学课本里的 d， 而且这个 d 这块区域是在这个封闭曲线的，永远在封闭曲线的左侧啊，所以这叫正方向，正方向啊，好，既然是正方向啊，我们都不用管它了。 好，下面解析。那 i 就 添加了，是 b a 啊，那么而，而且啊， b 的 坐标是二分之一，二分之一，再用一下，高中的这个是负二分之一，负二分之一， 它的斜率，只要直线的斜率啊， k v b 等于 y 二减 y， 一 比上 x， 二减 x 一， 那就是二分之一，减负二分之一。 y 二减 y， 一 比上 x， 二减 x 就 二分之一，还是二分之一，减负二分之一， 这就是一比一就是一啊，斜率是一，呃，那个用一下那个直线方程，那就是 y 减二分之一 等于 k 倍的 x 减 x 零就是一乘 x 减二分之一。很明显过原点啊，做二分之一消了，二分之一消了啊，那就是 y 等于 x 啊，相当于这条直线啊，就是 y 等于 x， b 到 v 直线 y 等于 x。 写到这， 好，下面啊，咱开始计算这个 i 等于，这个需要添加这个 b 到 v 啊，那就是， 呃，这个是 b 曲线 l 加这个，这个 b 到 a， 这个 y 到 x 啊 y y 等于 x， 我 们给它设成 l 一 啊，这个 l 一， 那就加 l 一 啊，加 l 吧，别加 l 一 了。 加个 l 就 去把和和大 l 区分开啊，加个 l 就 加 l， 那 么这个就变成了是 pdx qdy， 我 直接用 pdx 了，加 qdy 好，再减去这个 l 啊，就就就这个 b 到 a 的 部分 p d x q d y q d y 好， 这个 p 啊，就是 e 的 x 次方，要 e 的 x 方的次方 sin x 减二 x y 这个 q 就是 六 x 减 x 方减 y 倍的 cosine 四次方 y 好， 下面啊，这个地方啊，这儿 here， 我 们用下格林公式啊，因为这是封闭的啊，那么我们用 i 一 吧， i 一 就等于。 这个是，呃，这个啊，哎，我问了个啥东西，这个啊，这个 l 加小 l pd x 加 q dy， 那 么就变成了这个，呃呃，二乘积分啊，那这个就是偏 q 比偏 x 减去偏 p 比偏 y， 这个 d x dy 等于。好，下面啊，呃，换个颜色，我在这给大家写一下啊，这撇 q 比撇 x， 就是 这个 q， 是 q， 是 这个。对 x 啊，求偏微分。 撇 q 比撇 x， 那 么 y 啊，就看成长数了。 x 六 x， 就 像求导啊，对 x 求导。大白话啊，对 x 求导 y 看成长数。六 x 的 导数就是六 x 方的导数减二 x 啊，后面常数的导数就是零啊，不写它了。然后是撇 p 比撇 y 对，好，下面，这这这，这个这个啊，屁，然后对偏屁 x， 偏屁屁偏 y 啊，偏屁屁偏 y， 对 外求导，那么 x 就是 常数，那前面都这都是 x， 那 么这就零了。对外求导，那就是负二 x。 好， 下面咱写一下， 那么撇 q 比撇 x 减，撇 p 比撇 y 口算二 x 消了，就是六啊，那就是六倍的 这个 d x d y， 这个啊，好，咱们来看，咱们来看啊，那么这块积分区，这块区域啊，这块图形区域很明显啊，是椭圆的一半啊，椭圆面积的一半，呃，高等数学课本里有椭圆的面积公式啊。 s 椭 就等于派 a b 啊，派 a b， 这个 a b 就是 这里面。呃， a 是 一，呃， a 方是一， b 方是三分之一，那么现在是一半，那就 s 吧，我用 s 啊，那就二分之一。派 a b 等于二分之一，派 a 就 a 方， a 方是三分之一开根号就是三分之根号三啊， 三分之根号三。好，下面带入，那就是六倍的乘以二分之一乘派乘三分之根号三，这个啊，这一约分呢，就是根号三派啊，呃，三，呃，那是根号三，派， 这这，这是 i 一 啊，然后再算 i 二 i 二，就等于就这个啊，这个是 l p d x q d y p d x q d y 这个 l 就是 这个 b 到 v 这条线段啊， b 到 a 这条线段。好，下面就变成定积分了啊，那就是二分之一到负二分之一啊，积分上下线就是从下线是二分之一，因为这方向是 b 到 v 啊，到负二分之一， 好把这个 p 和 q 带进去啊，而且啊，注意这啊，因为这个是 y， 等于 x 啊，我们需要把 y 换成 x， 那 就是 p 里面，把 p 里面这个 y 换成 x 啊，那就 ex 方 sin x 减二 x， y 就是 二 x 乘 x 就是 二 x 方啊，这个是 dx dx 加上 q d y 这个 q 啊，把 y 换成 x 啊，那就是六 x 减 x 方，减换成 x， 那 就是 x cosine 四次方 x。 注意这啊，这个 dy 就 换成 dy x 了， dy x 好， 下面，呃，合到一块，那就是二分之一到负二分之一积分，然后合到一块，就是 e x 方的次方 sin x， 呃，减三 x 方，合并同类项啊，初初初中的，再加上六 x， 再减 x cosine 四乘以 x dx， dy 就 没了啊，好，下面都好再用一下那个。高中了啊，忌偶性这是，这是定积分的考研，考研里面定积分也常考了啊，咱来看一下这个 c x 高中数学，这是 g 函数，忌偶性啊， 这个 e x 方是偶函数， g 乘偶，那就是 g 啊，所以这个啊，这个整体它是 g 函数， g 函数啊。呃，三 x 方是偶函数，先不管它了，六 x g 函数 x g 函数 cos 四次方 x 偶函数，那么这个 g 乘偶，这个也是 g 函数啊， 高中数学课本里有啊，定积分，如果背记函数，在这个对称，呃，积分上下相对称的时候背记函数，如果是记函数啊，他的定积分结果就是零啊，相当于这个是零。最后积分结果啊，零六 x， 呃，定积分零 x 乘 cos 四次方 x 零，这都没了啊，这样就简化计算了，那么就就只剩负三 x 方，那就二分之一到负二分之一，被积函数是负三 x 方 d x 这这个积分，然后符号，呃，可以把这个积分上下线颠倒一下，就变成负负二分之一的，下线二分之一，上线三 x 方 d x， 那 么这个很明显啊，那就是 x 的 三次方 二，呃，负二分之一到二分之一，把负二分之二带进去啊，做减法，二分之一的三次方是八分之一， 负二分之三次方是负八分之一，那相当于八分之一。减负八分之一，那就是四分之一啊。最后同学们别忘了加一块啊。呃呃，那个带入去，再再做点减法啊。所以故这个 i 等于多少？就等于前面是根号三派， 然后后面就是四分之一，都减四分之一，这是最后结果啊，最后结果 finally results 最终的结果啊，最后这个答案啊，就是根号三派减四分之一。 好，注意这道题啊，呃，不算难啊，这个，因为这它不是封闭的啊，需要添加从 b 到 a 的 线段， 再然后再用，结合一些高中的知识啊，把这道题搞定好，咱今天到这里啊， over。

好好学习，天天向上，我是你们帅气的浩哥。我们这个视频呢，讲解我们广州前两天的临膜， ok， 我 们来看广州前两天临膜，他考了多少基础题？ 我们首先来看第一题，他说已知负数 d 要等于 i 方，加上 i 的 立方，那所以我们知道哈，就是 i 的 平方呢，是等于负一的， 所以负数 d 呢，它其实就是负一减去 r， 那 它对应的点呢？是我们的一个负一，逗号负一， ok， 那 所以负一到负一呢，是我们的第三项线，所以选择我们的一个 c 选项， ok， 然后我们来看第二题，他说已知集合 a 是 等于一三四，集合 b 是 等于一，逗号 a 加二，然后他说则 a 等于二，是 a 并 b 等于 a， 那 通过 a 并 b 等于 a 呢？我们就知道集合 b 要是 a 的 一个子集，对吧？ 那所以呢，如果 a 等于二的话，集合 b 呢，就是我们的一个二加二，也就是一逗四，它刚好呢符合 b 是 a 的 子集，但是我们来看 a 加二，它有除了等于四以外哈，它还有可能是 a 加二要等于三，也就是说 a 还可以等于一，也就是说，所以如果 b 是 a 的 子集，就说明了 a 有 两个范围，一个是一，一个是二，所以我们就知道小范围，所以大范围，所以就是前推后后，推不出前， 所以选择我们的一个 b 选项， ok， 然后我们来看第三题，他说假设他的乘积服从我们的一个正态分布，然后呢是 八十五，逗号九，那所以呢，服从正态分布。那么我们就画一下他的图，这个就是对称轴八十五， ok， 然后他下面说了，一 c 到二， c 是 零点八六，那所以八十五，我们就知道八十五加上九，他就是要等于我们的一个九十四，然后呢八十五减去我们的一个九呢，就是要等于我们的一个七十六， 所以这就是七十六，所以呢，我们知道就是从七十六到九十四之间，他们的比例呢，是我们的一个零点九，零点六八，那他的左右两侧对应的就还有一，减去零点六八，也就等于我们的一个零点 三二，零点三二再除括号，也就是说右边就占了零点一六，左边呢也占了零点一六， ok， 所以 来他说若按照零百分之十六，那就是零点一六和零点三四，然后零点三四还有零点一六的比例，将 成绩从高到低分为 a、 b、 c、 d 四个等级，那所以也就是说 a 等级呢，它只占了零点一六，只占零点一六的话，所以就说明了我们的 a 的 成绩分数线就是等于我们的一个九十四，所以选择我们的一个 c 选项， ok， 然后我们来看第四题，他说 x 平方等加上 y 的 平方等于 x 的 绝对值，那所以我们就知道哈， 这个式子呢，它就应该是分为 x 平方加上 y 平方等于 x， 当 x 大 于零的时候，以及 x 小 于零的时候，就是 x 平方加上 y 平方等于负 x， ok， 那 所以上面移到左边呢，就 x 平方减去 x 加上 y 平方要等于零，然后所以我们就知道这个是我们的圆的标准方程，圆的一般方程，所以我们就先求出圆心，圆心对应的就是二分之一到零， 然后把二分之一带进去，他就是得到了负 r 方，就要等于四分之一，减去二分之一加上零，刚好就会等于负四分之一，也就是 r 方就要等于我们的一个四分之一，所以也就说明半径也是二分之一， 那所以呢，我们就来画下图，它就是一个圆心是二分之一到零，半径呢，也是等于我们的一个二分之一的一个圆。 ok， 那 所以左边 同理，它对应的应该就是负二分之一到零半径也等于二分之一的一个圆，所以它围成的一个图像，那就是等于 面积呢，就是等于 pi 方，也就是 pi 乘以我们的一个二分之一括号的平方，但是呢，会存在两个圆，对吧？两个圆，所以就是乘以一个二，所以它就等于二分之 pi， 所以呢，就是选择我们的一个 b 选项， ok， 然后我们来看第五个，他说已知 alpha 和 beta 都是第二象限的一个角，然后他说他按着 alpha 等于我们的一个 m， 他 按着 beta 呢等于 m 分 之一， 那所以我们就可以知道啊，他既然是第二象限的角，又是给了我们这么一些数值，对吧？所以我们就直接假设他按着 alpha 等于负二就可以了， 那所以呢，就可以得到它按着贝塔就等于负二分之一，所以画一个直角三角形，对吧？因为是第二线线的角，所以呢，我们就可以知道它是邻边是负一，对边是我们的一个二，斜边是根号五， 所以这个角就是阿法。然后再来看我们的一个贝塔，他说他按着阿法 单整数，贝塔要等于负二分之一，所以对边是一零边是负二，斜边是根号五，这就是贝塔，所以呢，我们就可以知道哈，就是我们的三阿法呢，就等于根号五分之二，我们的一个 cosine 贝塔呢，就要等于负根号五分之一 啊， cosine 法，然后呢，我们的一个 cosine 贝塔呢，就等于根号五分之一， cosine 贝塔呢，就是要等于我们的一个 负根号五分之二，所以我们就可以知道 sine alpha 乘加上我们的一个 beta， 它就等于 sine alpha， cosine beta 加上 cosine alpha， sine beta， ok， 所以 它就要等于我们的一个根号五分之二，乘以我们的一个负根号五分之二，然后加上我们的负根号五分之一，乘以我们的一个根号五分之一，所以它就等于负五分之四，减去五分之一，也就是负一，所以选择我们的一个 a 选项， ok， 然后我们来看第六题，他说已知三角形 a、 b、 c 的 一个外接圆心， 那所以我们可以，然后他说下面 o a 加 o b 要等于我们的一个 oc， 所以 来随意画一下，假设这个是 c 点，这个就是 a 点，这个就是我们的一个 b 点，对吧？所以呢， o 点 假设就是在这个位置，那这里就是 d 点， ok， 所以 就说明哈，我们的一个 oc 一定是在 o b 的 中点的垂直平分线的正上方，所以换句话来说，我们就可以知道三角形 a、 b、 c 呢，是一个等腰 三角形， ok， 但是又因为它说的 o a 加上我们的一个 o b， 刚好会等于我们的一个 o c， 那 所以就说明了一个问题了，就是我们的一个 如果连接起来 o a、 o b 的 话，那么就说明我们的四边形 a、 b、 c、 o 就是 一个菱形，并且是一个有六十度的菱形， 那所以就说明我们的一个角 a c b 呢，就要等于一百二十度， ok， 所以 它说的是向量 c b 在 向量 c a 上的一个投影向量，所以这个角是一百二十度，那么我们就画一个 三角形延长，把它做一个垂直，假设这是一点， ok， 所以 它的投影向量就是等于我们的一个向量 c 一， 然后呢，因为左边是九一百二十度，所以右边就是我们的一个六十度，所以我们就可以知道 c 一 呢，就是要等于我们的一个二分之，就要等于我们的一个二分之一倍。 c b， ok， 那 所以就说明向量 c 一 就要等于负二分之一倍。向量 c a， 所以 选择我们的一个 d 选项， ok， 然后我们来看第七题，他说要把编号为一、二、三的三个盒子里面里面呢要放四个玩不同的一个小球，然后则每个盒子中所放的球的 个数不大于其编号，那所以我们就来看，假设一个盒子里面他呢是一个球，然后我们的二号盒子呢也是一个球，那我们的三号盒子 这个时候呢，他就是有我们的一个两个球，对吧？那所以这个时候呢，总共就是有这么多情况，就是 c 四一乘以 c 三一，就要等于十二种情况， ok， 然后第二种情况，如果是一号盒子里面 是一个盒子，是一个球，然后我们二号盒子里面他没有球，但是我们三号盒子里面是有我们的三个球，所以这个时候就是 c 四一，也就是要等于我们的一个四。 然后再来第三种情况，就是一号盒子面有一个，然后二号盒子里面呢，他就是有两个球，三号盒子面是一个球，那所以我们就可以知道 他这个时候就还是 c 四一乘以 c 三一，也就是一十二个球， ok， 那 所以这个时候呢是一号盒子有球的情况，总共就是有我们的这三种情况，然后再来他有可能呢一 一号盒子里面是没有球的，那所以这个时候二号盒子只是一个球，然后三号盒子有三个球，所以就是 c 四一，也就是四种情况，然后呢有可能就是二号盒子有两个球，然后三号盒子呢也有两个球，所以这个时候就是 c 四二， 所以就等于四乘三除以二，也就是要等于我们的一个六种情况，所以那总共呢，他有的情况就是有这五种情况，所以就是这里相加就是要等于我们的一个二十四， ok， 然后四加六就是等于十，二十四加四就是等于二十八，所以二十八再加十就是等于我们的一个三十八，所以总共呢就是有三十八种情况， ok， 然后我们再来看我们的第八题， 他说如图，在我们的一个负一点五就等于负一，他指的是不小于 x 的 最小整数， 然后一点五就是等于二，所以根，然后呢它又说 g 函数 f x 满足这么一个条件，那所以我们就知道哈，当 x 大 于零的时候，负 x 就 小于零，所以它对应的解释是， 那么就有 f 负 x 就 等于 x 平方减去 ax， 所以 它就等于负的 f x， 所以 就知道 f x 呢等于负的 x 平方加上我们的 ax， 所以 我们就知道大于零的时候，它的解析式就是长成这个样子了， ok， 然后它说则 在我们的一个零到三上恰有两个不同的实数根，那所以我们来可以来看哈， 就是我们的 f x 其实就是负 x 平方，加上 a x 就 要等于 x 减去 x 的 绝对值， 所以呢，就有负 x 平方，加上我们的一个 a x 减去 x 就 要等于负 x 的 绝这个东西，对吧？ 那我们可以来看哈，就是如果说我们去进行一下区分，因为他说了是在我们的一个零到三上，对吧？ 那所以对应的一个点就是什么点呢？就是如果说是 x 大 于零，小于等于一的时候，它这个解式就变成了负 x 平方，加上 a x 减 x 就 要等于负一， 然后当 x 大 于一，小于等于二的时候，它就变成了等于负二。当 x 大 于我们的三小大于我们的二，小于等于三的时候，它就是要等于我们的一个负三， ok， 那 所以这就说明一个问题，我们要做的 就是在选项里面选出来，看有谁符合，看 a 否有哪些数值能够符合。根等于负一，负二、负三 有只，尤其只会存在两个根就可以了。 ok， 那 所以我们先来看选项， a 选项里面有一，然后 b 选项里面呢是没有一的， c 选项里面呢是没有一的， d 选项里面呢也有一。所以我们就假设 a 等于一，当 a 等于一的时候，假设左边是 g x r， 那左边呢？就是当 a 等于一的时候，左边 g x， 它就等于负 x 方，那所以我们就来画下图，负 x 方大致就是长成这个样子， ok， 然后在负一，在 a 等于 x 等于一的时候，它对应的值呢刚好就是负一， 当它等于二的时候，它对应的值呢就是要等于我们的一个负四， ok， 那 所以我们来看零到一的时候，零到一的时候，它是我们的一个负一，对吧？然后我们的一到二的时候，它对应的值呢就是我们的一个负二， 然后我们再来看它下面，当它等于三的时候，它对应的值就是负九，对吧？但是呢，当 x 是 零二到三的时候，我们的一个右边呢是要等于我们的一个负三， ok， 所以 我们就可以知道他这个时候呢刚好是有两个不同的实数根的， ok， 所以 也就说明 a 是 可以等于一的，那我们就可以排除掉我们的一个 b， c 选项， ok， 然后我们再来看我们的一个 cd 选项， cd 选项的区别呢就是在于 我们可以知道一个是可以取到我们的一个二分之三的，所以我们就直接假设我们的一个 a 等于我们的一个二分之三就可以了。 那这个时候 g x 呢，它就等于负 x 方加上二分之三减加 x， 所以 就是加上二分之一 x， 我 们就可以知道它的对称轴呢是等于我们的一个四分之一的， ok， 就是 负二 a 分 之 b， 那 所以一样的我们画一下竖轴， 所以这一段就是我们的一个四分之一，当它等于四分之一的时候，我们把它带进去，就是负十六分之一，加上我们的一个八分之一，所以就等于我们的一个十六分之一，所以在上面然后零的时候是零，对吧？ 二分之一，另外一个值呢是我们的一个二分之一， ok， 然后所以就是再往后面走，那我们就知道，当他在一的时候把他带进去，对应的值就是等于负一，加上二分之一就等于负二分之一， 所以这个时候这里是负二分之一， ok， 而零到一的时候呢，他对应的就是这一段 对应的值是我们的一个负一，当 x 等于我们的一个二的时候，我们就可以知道我们的一个 g x 呢，是要等于负四，加上二分之一乘以二，所以他这个时候呢就要等于我们的一个负三了， ok， 那 所以我们就可以看到 二的时候呢，是最大最小值是负三，那也就是说他这个时候呢，跟我们的一个负二的时候会有一个交点。 ok， 然后当我们的一个 x 等于三的时候呢，我们就可以知道我们的一个 g x 呢，他就要等于负九，加上 我们的一个二分之一乘以三，也就等于负九，加上二分之三，所以呢他就等于负二分之 一十五，也就是等于我们的一个负七点五了， ok， 那 所以这个时候呢，因为我们的二到三，他还是等于我们的一个负三，所以我们就可以知道哈，他这个时候是不存在焦点的。也就是说 当 a 等于二分之三的时候，他们两个我们的 g x 跟我们的一个负一，负二负三这三个数，它油钱呢，只会存在一个焦点。所以就换句话来说，就是我们的一个 a 不 能等于我们的一个二分之三，所以呢，那这一题就是选择我们的一个 d 选项， ok， 然后我们来看下一题，他说已知 g x f x 等于这么一个东西，那我们就知道根据他给的一个板块长度，就知道他是二分之一个周期就等于十八分之七 pi 减去十八分之 pi， ok， 所以就可以知道二分之一个周期就要等于我们的一个十二分之十八分之六拍，所以周期呢就等于十八分之十二拍， ok， 那 八分之十二拍呢，它就是要等于我们的一个三分之二拍， 那所以我们就可以知道哈，我们的一个 omega 就 要等于三，然后再把十八分之拍二带进去，所以就有十八分之三， 我们的一个 pi 加上我们的 pi 就 要等于我们的一个零，所以就六分之 pi 加上 pi 等于零，所以 pi 就 等于负六分之 pi， 所以 我们的一个 a 选项呢，就是正确的， ok， 然后再来看我们剩下的，那所以我们可以看到哈，他们之间的长度是十八分之六 pi， 那 四分之一个周期呢，就说明的长度就应该是十八分之三，那就是 十八分之四派。再往后面呢，就是我们的一个十八分之加个三，就是十八分之十派， ok， 所以 我们可以看到九分之二派就是等于乘个三啊，乘个二二九十八，所以他就是八分之四派。第二个呢，乘个六，那就是等于十八分之十二派，那我们很明显的知道十八分之十二派在十八分之十派的右边，所以他不可能是单调递减，所以 b 选项是错误的， 然后他说九分之八派对应的就是十八分之十六派， ok， 那 所以我们来看， 我们刚好他下一个对称点呢，就是十八分之十三派，再下一个取到最大值呢，就是十八分之十六派，所以我们的 c 选项是正确的， ok， 然后他说把它的图像右平移，也就是以平移十八分之二派个单位， 那所以来平移十八分之二拍一个单位，那很明显他就是得不到 g 函数， ok， 最多呢也不过就是得到一个偶函数才对，所以我们的一个 d 选项是错误的， ok， 所以 这一题就选择我们的一个 a c 选项。 然后我们继续来看第十题，他说他的负二负零在他的准确上面，所以就说明我们的一个 p， 我们的一个焦点 m 就 要等于我们的一个四，对吧？啊，等于我们的一个二，所以它的包线方程就应该是 y 平方，等于二十的八就是八 x， 所以 就有八就要等于二 p， 所以 得到 p 就 要等于我们的一个四， ok， 然后我们来看第二位， 他说过 b 点的直线，所以我们可以看到哈，他是 y 平方，等于我们的一个八 x， 那 因为过的点呢是负二到零，所以假设直线方程就是 x 平等于 m， y 减二，所以就可以知道 y 平方呢，就要等于我们的一个八倍 m， y 减二， 所以就可以得到 y 平方，就要等于八 m， y 减去一十六，所以就 y 平方，等于 y 减去我们的一个负八 m， y 加上一十六，就要等于我们的一个零，所以就有 y 一 加上 y 二等于八 m， 还有 y 一 乘以 y 二就要等于一十六，所以我们这个时候来看哈， 就是如果说在第一个式子乘个二，第二个式子乘个 m， 我 们就可以知道二倍 y 一 加 y 二就等于 m y 一 y 二， ok， 那 所以呢，假设就是设 m 的 坐标是 x 一 到 y 一 n 点，坐标是 x 二到 y 二，对吧？ 那所以我们就可以知道哈，他说 m o m 乘以向量 o n， 他 对应的呢，就是等于我们的一个 x 一 x 二加上 y 一 y 二， 所以 x x 二呢，就是 m 被 y， m 被 y 一 减二，乘以我们的 m 被 y 二减二括号，加上 y 一 y 二，所以去括号， 他就是得到了 m 方。 y 一 y 二加减去二 m 括号，我们的 y 一 加 y 二括号，然后加上四，就再加上 y 一 y 二， 所以来左边同时提个 m， 它就变成 m 被 m y 一 y 二减去二倍括号， y 一 加 y 二括号，然后加上四，再加上 我们的 m 啊，我们的 y 一 乘 y 二是等于一十六。我们可以看到哈， m 被 y 一 y 二就等于二被 y 一 加 y 二，所以 m 被 y 一 y 二就等于后面的，所以其实这个括号里面就是零，所以它就等于二十，所以 b 选项是正确的。 ok， 然后我们继续来看下一个 c 选项，他说要大于等于，那所以也就是说我们要做的一个点就是一个原则，对吧？那就是假设他相切的时候， 看一下这个点的坐标是多少，那相切就意味着德塔就要等于零，所以就说明八 m 的 括号的平方减去四乘以一十六，就要等于零，所以就有六十四。 m 平方就要等于我们的一个二十 四乘以一十六，所以就得到 m 平方就要等于一，所以 m 就 等于正负一，也就说明这个倾斜角就是我们的一个四十五度。 ok， 因为是相切的，所以这是 f 点，然后呢，这是我们的一个 b 点，所以可以看到哈，这是 m， 那 就是 m f， 他说 m b 比上我们的一个 m f 要大于等于我们的一个根号二，那所以我们就可以知道，很明显的就可以知道了，因为我们阿法的最大值是我们的一个四十五度，对吧？那所以他这个时候相切，然后 如果用我们的一个定义去进行转换的话，比如说过 m 点做我们准线的垂线，假设这是 a 点，所以它换句话来说，我们就知道我们的一个 m f， 它就等于 m a， 所以 mb 比上 m f， 其实就是 m a 比上我们的一个 m 啊，就是 mb 比上我们的一个 m a， 它说它一定要大于等于我们的一个根号二。 ok， 所以 我们可以看到哈， 如果我们把这个等式导一下，就可以知道是 m a 比上 m b 要小于等于二分之根号二，也就是说他说这个角的 cos 值 就要小于等于一个二分之根号二，那所以我们很明显的知道哈，因为下面这个角是四十五度角， m b f 是 四十五度，所以上面这个角 m 啊 b m a 呢，也是最大是四十五度，对吧？而 m a 比上 m b 呢，刚好就是它的一个口算值，也就是等于我们的一个口算 b m a， ok， 那 b m a 是 要小于四十，小于等于四十五度的，对吧？所以它的口算值呢，就应该是要大于等于我们的一个二分之根号，所以 c 选项就是错误的。 ok， 然后我们继续来看我们的下一个选项，就是我们的一个 d 选项， d 选项一样的，我们如果说根据我们的一个抛物线的一个定义去进行一个转换的话，我们就可以知道哈，这是 m， 这是 n， 他对应的，然后左边的准线的距离呢，是我们的一个二，对吧？所以他对应的 m f 加上 n f 其实就是 x 一 加二分之一，加上 x 二加二分之一， ok， 那 所以我们可以知道哈，就是我们如果因为他们同时都在我们的直线方程上面，对吧？所以我们可以知道 x 一 加二就等于 m 倍 y 一， 所以它其实呢就是要等于我们把上面擦掉，它就是要等于我们的一个 m 倍 y 一 分之一，加上 m 倍 y 二分之一，所以通分呢，就得到了 m 倍 y 一 y 二分之 y 一 加 y 二， ok， 而 m 被 y 一 y 二等于两倍， y 一 加 y 二，所以它就等于二倍。括号 y 一 加 y 二分之， y 一 加 y 二， y 一 加 y 二就约掉，所以就等于二分之一，所以 d 选项是正确的，所以这一题正确的，就选择我们的一个 a、 b， d 选项， ok， 然后我们来看第十一个，那像第十一问这一种的，对吧？ 其实这一个就可以大家就可以选择放肆性的去进行一个适当的去跳过了，他说如已知函数 f x 跟他相切于这么一个点，然后 他说依次，那所以我们就可以知道哈，在 a、 b、 c、 d 这四个里面，如果我们要去蒙的话， 直接就是可以选择，我们可以看到哈，上面选项是选 a、 c， 下面选项是选 a、 b、 d， 对 吧？所以如果要是像我让我再去蒙的话，那这一题我就是会蒙个 d 选项， ok， 然后这一题的答案好像是我们的一个 a、 b、 d 选项。 ok， 也就是说像这一题它有三选的，只要你随便蒙一个，你都能够蒙过两分出来。 ok， 然后我们继续来看下一个。 他说已知函数是偶函数，所以呢，既然是偶函数，就说明一定它的定义又是 r， 就 说明 f 一 一定要等于 f 负一， 所以 f 一 呢，就是等于我们的一个 logo 十加一就是 logo 十一减去我们的一个 a， 就 要等于我们的一个 l g， 那对应的就是十分之一加一，对吧？那所以它就是等于十分之十一，然后再减去我们，再加上我们的一个 a。 ok， 那 所以可以看到它就是 l g 十一减去 a 就 要等于右边，就是 l g 十一减去 l g 十加上 a， 所以 l g 十一就约掉了。 ok， 那所以我们就可以知道，把 a， 或者说把 a 移到负， a 移到右边，把 l g 十移到左边。所以就可以知道，一就要等于二 a， 所以 a 就 等于我们的一个二分之一。 ok， 所以 那这里就是我们的一个二分之一。 然后再来看第十三题，他说有三道，第三道和第四道是我们的黄金赛道，由一到八班按从小到大的顺序来进行抽签决定，他说抽出的签不再放回。然后他说一般没有抽到我们黄金赛道的条件下， 那所以这个时候来看啊，一般没有抽到条件黄金赛道，那也就是说总共还剩下七个赛道，对吧？然后他说则三班抽到黄金赛道的概率，那所以就不用说了，七道里面有两道是黄金赛道，所以他抽到黄金赛道的概率，那就是等于我们的一个七分之二， ok， 那 这就是符合在一班没有抽到条件黄金赛道的条件下，我们三班抽到的概率，那所以这个时候我们再回到前面来看我们的选填哈，我们的选择题呢，基础题就是我们的前面八道题，还是比较基础的哈，也就是说，所以 他八道题，那就是乘以五五百就是四十分。然后我们的多选择题呢，前面两道多选题还是比较简单的，所以就是十二，第二三道多选题呢，可以再随便选出来，所以他就是十四分，然后两道填空题，所以这里就是十分， 那所以呢，总共就是我们的一个六十四分， ok， 当然第八题有些同学呢，会可能会觉得比较难一点，那所以也就是说他还有可能是五十九分的这么一道基础分数， ok， 然后我们再来看我们的第十五题， 他说已知 c 方要等于 b， a 乘以我们的一个 bc， 那 所以就知道是 c 方减去我们的一个 a， c 乘以口算 b， 对 吧？就要等于负二分之根号二倍 bc， 所以 同时那我们就可以知道哈，就是我们的 a， c 乘以口算 b， 对 应的数字就是 b 方等于 a 方加上 c 方减去二倍 a， c 口算 b， 对 吧？所以就可以知道哈， 我们的二倍 a， c 口上 b 呢，就是会等于我们的一个 a 方加 c 方，再减去 b 方，所以这个式子同时乘个二，就得到了二倍 c 方减去二倍 a， c 口上 b 就 等于负根号二倍 bc， 那 所以它就可以写成二倍 c 方减去括号，那把上面的式子把它带回来，就是 a 方加上 c 方减去 b 方括号，就等于负根号二倍 bc， 所以去括号就会有二倍 c 方减去 a 方减去 c 方，再加上 b 方，就等于我们的负根号二倍 b， c， ok， 所以 就有负 a 方加上 c 方加上 b 方，就要等于我们的负根号二倍 b， c， ok， 那 所以我们就知道哈， b 方加 c 方减 a 方呢，它还等于我们的一个二倍 bc， 口算 a， ok， 所以 bc 就 约调就得到了口算 a 就 等于我们的一个负二分之根号二。 ok， 那 所以角 a 的 大小就等于一百三十五度。 ok， 然后再来看它说，若角 b 等于十二分之 pi， 那所以我们就可以知道哈，角 b 呢，是六分之怕的一半，所以角 b 呢，就是等于一十五度，所以，那这个时候我们要做的就是画一个三角形就可以了。 ok， 那 所以呢，随意画上这么一个三角形， 那假设这里就是 a 点，这里就是 c 点，这里就是 b 点。因为角 a 是 一百三十五度，角 b 是 十五度，所以我们就知道角 c 呢，就是我们的三十度。所以我们做 a， c 的 反向延长线过 b 点做反向延长线的垂足，假设这是 d 点， 我们就可以知道我们的角 d， a、 b， b， a， d 呢，就是等于四十五度。所以假设 a、 d 是 x， 那 么我们的 b、 d 呢，就也是 x， 所以呢，我们的一个 c、 d 呢，就是等于我们的一个根号三 x， 所以 a、 c 呢，就等于根号三 减一。括号 x 乘以 x， 再乘以二分之一，就等于根号三加一。 ok， 所以 我们就可以知道这有二分之。根号三减一， x 方就等于根号三加一，所以 x 方就等于根号三加一，括号乘以二，再比上根号三减一，然后所以分母由立方同时乘个根号三加一， 所以分母由的话就变成二，所以跟上面的二就约掉，所以就得到 x 方等于根号三加一，括号的平方，所以 x 就 等于我们的一个根号三加一。然后我们要求的是 b， b 呢，就是 a c， 它就等于根号三减一，乘以 x， 也就是乘以根号三加一， 所以它就等于我们的一个二，那所以这第一问就算出来了， ok， 然后我们来看我们的一个第二问， 然后我们来看我们的下一题，第十六题，他说在我们的一个值三棱柱里面，对吧？然后，所以呢，像这一题，其实直接第一问不知道怎么去构造的，就直接去解析就可以了， 直接间隙去算，反正你在第二位也能用到相关的结论。 ok， 那 所以我们可以看到哈，就是我们的 a 点坐标呢，对应的就是等于他说了 a a b 等于二， a a e 等于二， b c 等于，所以假设右边是 x， 左边是 y， 上面是 z， 对 吧？那所以我们就可以知道 a 点坐标就是零斗二斗零， b 点的坐标就是一斗零斗零，对吧？ 然后 b 点坐标就是零斗零斗二， c 点坐标就是一斗零斗二，然后 a 点坐标就是二斗二斗零， 然后他说若纳莫塔等于二分之一，对吧？所以也就是说一点是 a c 的 中点， f 点是我们的 ab 的 中点，那所以就可以直接知道一点坐标就是我们的一个 零啊，二分之一逗一逗零，然后我们 f 点坐标就是一逗一逗零，所以就有向量 e f 就 等于我们的一个二分之一逗零逗零， ok， 然后平面，所以我们又知道，平面 b c c e b e 的 法向量 n， 它就是等于一到零到零，所以我们可以知道哈，这是 ef 是， 所以我们又可以知道，它的法向量呢，是要等于我们的一个 零到一到零的，对吧？那所以我们就可以知道哈，向量 e f 乘以我们的一个法向量 n 呢，它刚好就是要等于我们的一个零，所以就说明向量 e f 是 垂直我们的一个法向量的，所以这项向量 e f 要平行于我们的平面， ok， 那 所以这就是第一问，就这样结束了， ok， 然后我们来看我们的第二问，他说那么它为和值时，然后我们的 e f 会要取得最小值，那所以就好好的来啦， 那我们就可以知道哈，假设一等坐标是 x， 它就可以设成 x 一 逗 y 一 逗零，对吧？所以向量 a 一 呢，就是要等于我们的一个 x 一 逗 y 一 减二逗我们零， ok， 然后它说会等于，那么它被 a c， 所以 像那样 a c 呢？那就是 c 点减去 a 点坐标，所以就是一斗负二斗零，所以就可以知道 x 一， 就要等于，那么它， 然后 y 一 减二，就等于负二，那么它所以就可以知道 x 一 呢，就是等于，那么它我们的 y 一 呢，就要等于二减二，那么它 ok， 所以 一点坐标就出来了， 就是我们的一个 numpad 逗号二减二， numpad 逗号零，包括我们的一个向量 a 一， 它的坐标就是 x， 就是 等于我们的一个 numpad 逗号，我们的一个负二 numpad 逗零， ok， 然后同理，按照题目所说的，它说向量 a e f， 所以 假设 f 点坐标就是 x 二到，因为它的 x 二是零，所以就是零到 y 二到 z 二，对吧？所以向量 a e f， 它就要等于 f 减去 a 点，就是我们的一个 啊，它的 a e 点坐标是零到二到二， ok， 所以呢，我们就可以知道 a f 呢，它就是零逗 y 二减二逗 z 二减二， ok， 然后我们的向量 a， e b 呢？就是我们的 b 点减去 a 点，就是零逗负二逗负二，所以就可以知道 y 二减二等于负二，那么它 然后 z 二减二也等于负二 number， 所以 就可以知道 y 二就要等于我们的一个二减二 number 和 z 二，就也等于二减二倍 number， 所以 来 f 点坐标就是零逗二减二 number， 逗号二减二 number， ok， 然后再来因为我们的第三问还会用到我们的一个 aef 哈，所以就直接是 f 点减去我们的 a 点，对，就可以知道我们的向量 af 一 样的，先把它写出来，对吧？所以它就是等于零负我们的一个负二 number， 负二减二 number， ok， 那所以呢，他说要写 e f， 所以 就直接求向量 e f， 那 就是 f 点坐标减去 e 点坐标，那就是等于负 numata 负零负二减二 numata， 那所以然后再求他们的魔长，魔长呢，就等于根号下纳木塔的平方加上二减二纳木塔括号的平方，所以就等于根号下纳木塔平方加上四减八纳木塔，然后再加上四纳木塔平方，所以他就等于根号下五纳木塔的平方减去八纳木塔加上四， 然后他说纳木塔为和值，是 e f l 最小值，那所以我们知道根号里面呢，就是我们的一个二次函数， 并且是我们的一个开口朝上的函数，所以就是求对称轴，就是在纳姆塔等于负二乘五分之负八，也就等于五分之四的时候，所以五分之四呢，刚好又是在我们的零到一之间，所以就说明它的一个最小值就是我们的一个五分之四， ok， 在 number 等于五分之四的时候取得最小值， ok， 然后那对应的值 e f， 它就是要等于根号下，那就是把它代入第一个式子，对吧？那所以就是五分之四括号的平方，加上 我们的二减五分之八，也就是五分之二，也就是，所以就是五分之二括号的平方，所以就等于根号下二十五分之十六加四，也就等于根号下二十五分之二十，所以就等于五分之二倍根号五。所以 e f 的 最小值就是五分之二倍根号五， ok， 然后再来看第三问，他说在 e f 取得最小值就是五分之二倍根号五， ok， 然后再来看第三问，他说在那么等于五分之四的时候， 那所以这个时候呢，我们的一点坐标就可以直接啊，一点写不写已经无所谓了，我们就可以直接写出向量 e f 的 坐标了，所以就把五分之四带进去，那他就是等于五分之四逗号，负 五分之负五分之八逗零，然后我们的向量 o a f 呢，他就是等于零逗五分之四带进去，就是负五分之八逗号，我们的一个五分之四带进去，也就是五分之二， ok， 那 所以就是写两遍求它的反面呢，就负五分之四，负五分之八，然后零，然后五分之四，负五分之八，然后零，然后以及零，负五分之八，逗，零啊逗五分之二， 然后零到负五分之八到五分之二，然后加头去尾，所以这一个相乘就是负二十五分之一十六，然后这个交叉相乘就是等于负二十五分之八， 这个交叉相乘就是要等于我们的负二十五分之三，四八三十二， ok， 所以 分母都有约掉一，负负都去掉，同时除个八，所以它就会变成我们的一个二逗一逗我们的一个四， 所以它的法向量 n m 就 要等于二逗一逗四，然后后一个平面的法向量在前面算出来了，就是零逗一逗零，对吧？所以他们的口算值就等于分子就是一分母，就是等于根号下二的平方加上一加上四的平方，然后再乘以我们的一个一， 所以就等于一比上根号二十一，所以就等于二十一分之根号二十一。 ok， 所以 那这一题其实难度也不大，就是纯间隙去算就可以了。 ok， 那 所以，然后我们继续往下面来看第十七题，它是当 a 大 于等于零的时候，让我们讨论它的单调性，所以我们首先讨论单调性呢，就是直接首先先对 f x 进行求导，那它就是等于 a x 前导后不导，就是 a 被 e 的 x 加上后导前不导，就是加上 a x 减去 e 括号乘 e 的 x， 所以 提取公因是 e 的 x， 所以 它就是等于 a x 加上 a 减 e 括号。 那所以第一种情况下面就是当 a 等于零的时候，那么我们知道 f x 的 导函数呢，就是等于负的 e x， 所以 就可以知道 f x， 它就是单调递减， ok， 然后第二种情况就是当 a 大 于零的时候， 我们知道一的 x 呢，永远是大于零的，所以它的单调性就只跟我们的一个 ax 加上 a 减一相关了， ok， 那 所以就是当 ax 加上 a 减一大于零的时候，所以就 ax 大 于一减 a， 所以 就是因为 a 要大于零，所以就是 x 大 于 a 分 之一减 a， 那我们就可以知道哈，就是我们的 f x 在 我们的一个负 a， a 分 之一减 a 到正无穷，就应该单调递增，然后在负无穷到 a 分 之一减 a， 就 要单调递减， ok， 然后我们看第二问，他说 f x 要小于 k 被 x 减去二，他说他要没有正数减，当 a 等于一的时候，所以我们可以看到，如果说 a 等于一，它就变成了我们的一个 x 减一，乘以一的 x 要小于 k， x 减去二， ok， 那 所以看哈，就是这个函数如果说要没有正整数解的话，就是对于 x 属于我们的一个正整数，所以换句话来说就是什么它让我们求的又是刚好是 k 的 取值范围，它刚好是不是就符合？ 是不是只要说明对于任意的 x 属于我们的一个正整数，都会有 x 减一，括号一的 x 会大于等于 k， x 减二， 对吧？这换句话来说，是不是就满足什么？满足对于任意的 x 有 限制要求，然后求 k 的 值值范围， 然后刚好又是减不等式，所以我们常见的就是分离函数，所以就可以知道 k x 就 要小于等于我们的一个 x 减一，括号乘以一的 x 加上二，所以就 k 要小于 x 分 之 x 减一，乘以一的 x， 再加上二， ok， 那 所以我们就是在，并且呢，它是要对于对于 x 属于我们的一个正整数，它必须得要成立， 那所以我们就假设后一个函数，它就等于我们的一个 g x 就 可以了，那所以如果说我们对于 g x 进行求导，它就是下面的平方，上面呢就是前导后不导，那就是一的 x， 对 吧？ 然后加上我们的一个 x， 减一括号乘以一的 x， ok， 然后再 乘以 x， 然后再减去我们的一个后导，那就是 x 减一，括号乘以一的 x 加上二， ok， 然后所以呢，我们可以知道去括号我们化简分子的部分，对吧？化简分子的部分，它就是前面这一部分，就是要等于 x 被一的 x， 然后他说乘以 x， 那 就是 x 平方， 然后减去 x 减一括号一的 x， 再减去我们的一个二， ok， 那 所以它就是要等于 x 平方，分之上面就是 x 平方，减去 x， 加上一括号乘以一的 x， 再减去我们的一个二， 他说了，对于是对于任 x 属于任意的一个正整数，对吧？那所以我们的重点就可以看到哈，因为这个函数 它的单调性呢，就只跟我们的分子相关，跟分母是没有关系的。而分子呢，我们可以看到哈，它是一个二次函数，二次函数是在 x， 它的对称轴呢，并且是二分之一， 因为是对于正整数，所以它的一个最小值我们就可以知道哈，就是 x 平方，减去 x， 加上一，括号乘以一的 x 减去二，前面函数是单调递增， 后面函数是增函数，所以增函数乘增函数还是增函数减去一个常数就还是增函数，对吧？所以它就一定会大于等于。当 x 等于一的时候，那也就是等于一减二， ok， 也就是说他一定会大于零的，所以换句话来说，就可以知道 g x 的 导函数是一定会大于零的， ok， 那 也就说明他是单调递增，那所以我们就可以知道哈，就是我们的 k 呢，就一定要小于等于我们的一个 g 一， 也就是要小于等于我们的一个二， ok， 所以 k 的 取值范围就是小于等于我们的一个二，那所以这一题其实难度也不大哈， ok， 然后我们继续来看第十八题，他说他的左顶点是 a， 然后呢，长周长是等于我们的一个四的，所以 首先呢，我们就是对它进行一个画图给，所以左边是 a， 下面是 b， 对 吧？然后长轴长是四，所以就说明二， a 等于四，所以就说明 a 就 要等于二， 然后他说一到二分之根号三在上面，所以就是 x 就 把它带进去，就是一的平方比上二的平方加上 我们的一个二分之根号三括号的平方再比上 b 的 平方等于一，所以就四分之一加上四， b 方分之三就要等于一，所以就四， b 方分之三就要等于四分之三，所以就知道 b 方等于一， 所以他的解释是呢，那就可以直接出来了，就是我们的一个 x 平方比上四加上 y 平方就要等于一， ok， 那 然后所以我们继续来看下一位，所以这里就是 p 点，这里就是 c 点，这里就是我们的一个 d 点， ok， 然后再连接我们的一个 a b， 那 所以我们就可以知道哈， a 等坐标就是负二到零， b 等坐标就是零到负一， ok， 然后他说 p 点是在一项下面的任意一点，所以假设 p 等坐标就是我们的一个 x 零，逗号 y 零， ok， 那 所以呢，他说直线 a， p 加 y， e 于点 c， 直线 b， p 加 x 轴于点 d， 他 是用四条直线 a p， b p， 然后 abcd 的 斜率分别为 k 一、 k 二、 k 三、 k 四，他让我们证明 k 一 乘 k 二等于 k 三乘 k 四。那首先我们就知道 k 三呢，就是要等于负一减零比上零减去负二， ok， 所以 它就要等于负二分之一，这是已知的，然后我们就可以知道啊，那我们重点要求 k 四的话，我们就是需要把 cd 坐标算出来，对吧？所以我们就直接假设方程就可以了， 因为 ap 呢，它过的是我们的负二逗零，对吧？所以我们就假设方程是 x 等于 m， y 减去我们的一个二，当然呢， k 一， 所以就会等于 m 分 之一， ok， 然后我们在这是 l a p， 然后 l b p 呢，就是设 y 等于 k 二， x 再减去一， ok， 那 所以来看 c 点坐标，这当 x 等于零的时候，我们就可以知道，当 x 等于零的时候，对吧？我们就知道 y 就 要等于 m 分 之二，所以 c 点坐标呢，就是零到 m 分 之二， ok， 然后第一点坐标呢，就是当 x 等于，当 y 等于零的时候，我们就可以知道 x 把它带入 l p l bp， 所以 就可以知道 x 呢，就要等于 k 二分之一，对吧？所以第一点坐标就是 k 二分之一到零， ok， 那 所以首先我们来看哈， k 一 乘 k 二呢，它就等于 m 分 之一，乘以我们 m 分 之 k 二， 然后再来算，我们的 k 三呢，是等于我们的一个负二分之一的，我们的 k 四呢，就是 k、 c、 d， 对 吧？所以它就是等于 m 分 之二减零比上 我们的一个零，减去 k 二分之一，所以它是不是就等于 m 分 之二，再比上我们的负 k 二分之一，然后倒过去，倒上去，所以它是不是就等于负 m 分 之二倍 k 二， 所以 k 四等于这个，所以我们可以看到 k 三乘以 k 四，那就等于负二分之一，乘以我们的负 m 分 之二 k 二， 所以负负二和二就约掉了，负负就约掉了，所以它刚好就等于 m 分 之 k 二，所以它刚好就等于 k 一 乘 k 二，所以证明就出来了。 ok， 然后我们继续来看下一个，我们可以看到哈，他说要求三角形啊 a、 c、 d 的 面积比上四边形，那所以我们就首先可以知道哈，就是四， s 一 呢，它就等于 s 三角形 p、 a、 d 的 面积减去 s 三角形 p 啊， a、 c、 d 的 面积，对吧？所以它就是二分之一乘以 p a、 d 的 面积，就是我们的一个 a、 d， 然后乘以我们的一个，它的高就是 y 零减去 m 分 之二， ok， 所以 这就是所谓的 s 一， 然后我们的 s 二呢，它就等于 s 三角形 a、 c、 d 的 面积加上 s 三角形 a、 b、 d 的 面积，这两个三角形呢，是同底不同高的，对吧？ 那所以它就等于二分之一，它们的底呢，都是 a、 d， 然后它们的高呢，就是一个是一，一个是 m 分 之二，所以就是一，加上 m 分 之二， ok， 那 所以，所以换句话来说，我们要求的一个 s 一 比上 s 二， 它其实就等于二分之一，我们的一个乘以 a d， 再乘以我们的一个 y 零减去 m 分 之二， 然后再比上二分之一乘以 a d， 再乘以一加上 m 分 之二，所以二分之一 a d 就 约掉了，对吧？所以它就等于 y 二零减去 m 分 之二，再比上一加上 m 分 之二， ok， 然后我们去进行一个通分的话，我们就可以知道，它其实对应的就是等于 m 被 y 零减二，再比上 m 加二， ok， 那 所以重点其实就是让我们去求我们的一个 m 和 y 零之间的关系， ok， 那首先我们来看哈，因为我们的 p 点是在题目说说的， p 点是在第一上线，对吧？ m 呢，又刚好是等于 k 分 之一，这个是已知的。 ok， 那 所以我们就是首先来看 k 的 值， k 一 的值呢，它是就应该大于零，小于我们的一个二分之一， ok， 那 所以 m 分 之一呢，就是要大于零，小于我们的一个二分之一，所以 m 呢，就要大于我们的一个零，这里应该是大于二，哈，这里是写错了哈。 然后，所以啊，重点是要得到我们的 m 和我们的一个五二零之间的关系的话，那就没有别的，没有别的可说了，就是直接连累我们的一个 直接连列我们的一个椭圆方程以及我们的直线方程就可以了， ok， 那 所以椭圆方程就可以写成 x 方加上四倍 y 方就要等于四，然后以及 x 等于 m， y 减二，把它带到上面去就可以知道，就是 m 减 y 减二，括号的平方加上四倍 y 的 平方减去四就要等于零，所以展开就是 m 方 y 方，然后减去我们的一个四倍 m， y 加上四，再加上四 y 方减四等于零，所以加四减四就没了，所以这 m 方加上四括号 y 方就要等于我们的四倍 y 方啊 y， 那 所以同时除个 y， 我 们就可以知道 y 零呢，它就是要等于我们的一个 m 方加上四分之四倍 m， ok， 那 所以换句话来说，就 m 方 m 倍五二零呢，就要等于 m 方加上四分之四倍 m 方， 那所以我们问的这个等式， m 加二分之 m 倍五二零减二呢？它其实就是 m 加二分之 m 方加上四分之四， m 方减去二， 所以它就等于 m 加二分之。分子通分，就是 m 方加上四分之四，被 m 方减去二， m 方再减去八， ok， 所以 它就等于 m 方加上四括号，乘以 m 加二分之上面就是二， m 方减去四 啊，减去八， ok， 然后所以同时提个四，我们就可以知道，它就啊同时提个二，它就变成了二被 m 方减四。哎，刚好又符合我们的一个东西，叫做 平方差公式，所以它就是二倍 m 加二，乘以 m 减二括号，所以它就是再除以 m 方加上四括号，乘以 m 加二，所以分子分母等于 m 加二就可以约掉，所以它就等于 m 方加上四分之二倍括号， m 减二就是求它的一个最值， 那这个就是我们常见的基本不等式里面的等式了，对吧？所以就是令 m 减二等于 t， 那 t 呢，就会大于零，所以 m 呢，就等于 t 加二，所以右边的等式就等于二 t 除以 t 加 二括号的平方加上四，所以它就等于二， t 比上这 t 方加上四， t 加上四加四， ok， 也就是加上我们的一个八， 然后所以同时再除个 t 就 变成二比上我们的 t 加 t 分 之八，再加四，所以基本不等式。 t 加 t 分 之八，就会大于等于二倍根号啊，大于等于四倍根号二，所以整个式子就小于等于四倍根号二加四分之二， ok， 所以它就是右边化解四被根号二加一分之二，所以同时约个二，下面就变成了二，然后分母由列化，同时乘个根号二减去 一， ok， 那 所以这个括号就是平方，它公式它就等于一，所以它就是等于二分之根号二减一，所以它就小于等于二分之根号二减一， ok， 那所以这就是它的一个最大值，也就是二分之根号二减一。等式成立的条件是在 t 加 t 等于 t 分 之八的时候，也就是在 t 方等于八的时候成立，也就是在 t 等于二倍根号二的时候，等式成立， ok， 那 t 等于二倍根号二，我们就可以知道， m 呢，就是要等于我们的一个二倍根号二加上二，然后 我们再把它连立起来，就可以求出我们的五二零对应的点的坐标了， ok， 但是因为这里题目没有说让我们去取五二零，没有让我们去算出 p 点的值哈，所以我们可以不去求，当然如果你们不放心，也可以选择把它带进去去求哈，所以我们可以看到哈，其实像 这一道题，它的难度不大，它主要难度的点就是在于什么呢？就是在于看你会不会 l a p 的 直线方程会不会设成 x 等于 m y 减二？如果会做会这么去设，那其实它计算量就比较少， ok， 然后我们看第十九题，他说给了这么一个通项公式，所以我们就知道 s n 减一就等于 a n， 所以再拿 s n 减去 s n 减一，就可以知道 a n 就 要等于 a n 加一减去 a n， 所以 这个 a n 加一就等于两倍 a n， 所以 这个 a n 加一比上 a n 就 要等于二，所以我们就知道了 a n 是 一个公比为二的等比竖列， ok， 那 所以就可以知道 a n 就 要等于， 但是注意，这个 n 呢，是要大于等于我们的一个二的， ok， 因为上面都是 n 大 于等于二开始的，那所以我们来看哈， 按照它的这个些说法来说，我们看，假设当 n 等于一的时候，带进去就知道 s 一 是等于 a 二的，也就是说 a 二是一，那 a 一 又是等于一，所以我们就知道 a n 是 从第二项开始为等比数列，所以上面是一 n 等于一，下面就是二的 n 结。 我们的一个二 n 大 于等于我们的一个二， ok， 那 所以写到这里其实就大差不差了，这一题十七分也能够得到五分的， ok， 所以 这个时候我们来看哈，就是 十五题，这十三分呢，其实难度还好，然后呢，我们的十六题，这十五分呢，没啥难度， 所以这里就是有二十八分了， ok， 然后我们的第十一、十七题的话，十七题，其实你哪怕第二问不会写，就是 算第一问写出来吧，第一问写出来呢，基本上也会有我们的一个八分左右，所以就是三十六分， ok， 但其实第二本难度也不算特别大，然后第十八题真的这一个十七分就是纯跟送分差不多，所以他就是五十三分。 然后我们的第十九题，一般来说写完第一问起码也会有个四分，所以这就是五十七分， ok， 也就是说他最最基础的分应该就是这五十七分，哈，那所以来五十七分，如果说是写到后面，那就是会有一百 一十三分，如果是前面就会有一百二十一分， ok， 也就是说所以这一套题他的一个基础分值大概就是一百二十一分到一百一十三分之间， ok， 那 所以如果说没有得到这么多，那就是 说明后续我们一定要好好的去扎实我们的一个基础知识。 ok， 那 我们这个视频呢，就到这里了，我们下一个视频见，拜。

你好同学，数学考完难不难？难。难，哪部分比较难？每个题都难。每个题都难，考的数一数二数三数二数二什么专业？你们去？我们是人工智能。人工智能啊，这个复习多长时间了？ 复习，其实数学学了一年，但是我俩对数学一窍不通。一窍不通？对，那么你觉得今年数学难还是去年数学难？看这个真题的话，其实我觉得差不多差不多。昨天的英语和政治和今天数学你感觉排个序，哪个最难？ 数学大数学，数学最大数学政治英语吧。政治英语政治感觉难在哪？政治？ 哎呀，我觉得是因为我自己没背好。没背好什么就反正全都没背好。没事，这块我可以告诉你，其实去年昨天的政治出的有点太偏了啊。这个倒不怪你，没事，别人不会不会不会，考的特别好，因为他那个，尤其马源。你刚才说那个自幼九九九考的比较恶心，基本三十年其实没那么出过题啊。 那数学部分数学您说您说。哈哈哈，那你分析一下英语不？英语啊？英语你们考的英一英二考的英二，英二英二说实话相对中规中矩。第一个因为我去，我昨天考的英二啊，那个第一篇阅读和第四篇阅读相对来说难一点，剩下都相对还好， 现在还好。婉约天空和这个新题型是比较简单的啊。你们觉着？你们觉着你们这个数学大概能打多少分？你觉着能打多少分？ 我觉得四十分都够呛。那我就谦虚了哈哈哈。谦虚了， 你觉得呢？那我五十，哈哈哈。五十我跟你说啊，就去年看那个分数线能分析出来一点就是无论你打多少分，你是打三十、四十、五十，你们都有机会能破线。这是真的啊，因为去年，因为去年我也没想到分数线会降那么多，因为这两年确实人变少了。 最后一个问题啊，你们那个屋的考生多不多？就是有没有缺考的？有三四个吧。三四个还是学理工科的孩子有毅力啊。昨天我那个考场六个啊，上午六个，下午六个。哦，祝你们下午一切顺利啊。谢谢感谢感谢啊。哎，拜拜。拜拜。