实变函数论教程杨力华答案

今天来更新第二个泡泡，也就是对等。那首先先给出对等的定义， 对等呢是指两个集合之间的关系，就是若 集合 a 与集合 b 之间存在一一映射， 则称 a 与 b 对 等， 记作 记作 a e 弯 b。 好， 那我们看一下。首先什么叫做 e e 射呢？我们的射一共有三个对，一个叫单射， 单射也就是 injection， 一个叫满射， 满射是 subjection， 然后就是双射，双射又叫单满射，也就是一应射，它叫做排斥。 那单摄是什么意思呢？首先映射，映射就是由一个集合到另一个集合之间的一个对应关系，对吧？那单摄呢？单摄就是一种比较特殊的映射，也就是说原像为一，原像为一的映射， 比如说我们有一个集合在这里，另外一个集合在这里，那左边这个集合叫做定域，对吧？如果是按照函数的说法，那右边这个叫做培育， 这边的东西叫做原相，对吧。然后呢，通过这个引申关系， f 引过去呢，叫做象， 那我原相唯一，也就是说我这里面的东西只能找到唯一一个跟他对应。满射呢？满射角对于任意的，任意的向 都存在原像，这个时候他就不管你为不唯一了，你可能有很多个原像，他不管，那双射呢？就是单满射嘛，既是单射，也是满射，也就是一硬射。 好，这就是我们对等的对等的定义。好，下面呢，我们再给出一个重要的定理， 叫做康托伯恩斯坦定理， 这个定理是说如果，如果一个集合，我们就做 x 吧， 存在一个单摄到 y， 这个符号就是单摄的符号，然后呢，有一个 y 到 x， 也有一个单摄，那么呢，就能推出 x 和 y 是 对等的。 好，这个定力证明需要用到，嗯，集合的分解，集合，集合，在映设下的分解， 在现实下的分解，嗯，具体我就不展开了。然后呢，我给出这个定律的一个推论，推论 就是如果集合 abc， 三者存在这样一个关系，比如说 a， 它是包含于 b， 然后包含于 c， 若呢 a 与 c 对 等，那就能推出来 bc 对 等。 也就是说啥呢？如果你这两个东西对等的话，那你这两个东西也对等，那自然他他们三个都对等。因为我们的对等有三个性质，第一个就是自反性， 自反性也就是 a， a 与 a 对 等嘛，自身与自身对等。第二个就是传递性， 这是 a 与 b 对 等， b 与 c 对 等。那么推出 a 与 c 对 等， 这是因为我们的双射它是具有传递性的，因为我们的单射和满射也具有传递性，所以双射具有传递性。第三个就是对称型， a 与 b 对 等的话，能推出 b 与 a 对 等。好，有这三条限制呢，我们就能，嗯，根据我们的康托波恩斯坦定律就能得到这个限制。那具体怎么来的呢？你就给出一个比较简短的证明， 因为我们的 a 是 b 的 一个子集，所以那自然就存在一个 a 到 b 的 一个单式，对吧？那还有就是 b 到 c 的 一个单式。 现在让我们说明这个 b 和 c， 它之间是对准，也就是有一个 b 到 c 的 单式，然后有一个 c 到 b 的 单式，根据我们的 control box 定律，选择 b 和 c 是 对准的。 那首先我们有一个 b 到 c 的 单式了，对吧？我们还差一个 c 到 b 的 单式，因为 a 和 c 是 对的呢。那自然呢，我们再来一个 c 到 a 的 单式，对吧？ 所以我们根据这两条呢，就能得到一个 c 到 a， 但是 a 到 c， 但是，所以 c 到 b 是， 但是，对吧？我们有他和他，从而就推出 b 和 c 是 对等的啊，这就是我们的一个推论。 下面还有一个重要的引力， 这引力是说，如果如果 a 一 和 a 二是无交的， b 一 和 b 二是五角的，且呢 a 一 和 b 对 等， a 二和 b 二对等， 那我们就能推出 a 一 并上 a 二和 b 一 并上 b 二是对等的。 这个引理也证明也很好证明，我们可以用。嗯，这里就不给数证明了吧，如果用极数的概念的话，应该是很好证明的，那这里我们就不极数的问题我们就不具体讲了。 好，这就是我们的第一个 part。 下面就是我们的立体，立体，按第一题，它让你证明这个负 a 到 a， 这个对称区间和 r 是 对等的。那对等就是找到一个双式嘛， 找到一个双手。首先呢，其实这这些啊，这些这个硬是需要去记的。 比如说我们有一个也是 f， 它是这样的负 a 到 a， 然后呢，到 r， 具体是怎么样的呢？ 比如我们有 a 方减 x 方分之 x， 那 这个它就是一个负一到 a 到 r 的 一个双式。好，我们验证一下它是不是双式。首先第一步先验证它是不是单式嘛， 对吧？验，怎么验证他是不是单数？如果这个函数是一个严格单调的函数的话，那他必然就是一个单数，他是不是单调的呢？那我们对他求一下导，看一下上导下不导 减去上倒下倒 x 乘以负二 x， 那 下面就是一个东西的平方，那我们看分子，分子这里就是 x 平方加 a 方嘛， 除以一个方括号的平方，它肯定是大零的，对吧？因为它是一个严格单调的函数嘛。那所以 f 为单式， 那第二它是不是满射呢？满射也就意味着啥？我们的值域和培域是相等的，我们的值域是啥？培域是 r， 那 么它的值域呢？它显然它的值域也是 r， 对 吧？因为它是一个单调递增的，所以我最小值就是上面的 x 取上于 a 负 a 的 正，对吧？那显然是等于无穷的嘛，对吧？ 那另外一个 x 就 相当于 a 的 负，就要等于正无穷。这个时候你只要看分子，它是正是负的，这个时候我确定负 a 正，那我这一块它就是负的，那所以就是负无穷，那这一块就是正无穷，因为它是一个满式嘛。 f 的 满式， 从而 f 为 e 硬式，或者称它为双式。 另外呢，还有一个硬式关系怎么样的呢？是负 a 到 a 硬到 r， 让 x 硬到，用 the tangent 二 a 分 之 pi x， 对吧？这个也是一个双手。那比如说我们把它的图像给画出来，这个正切函数的周期是派比上 omega， 对 吧？派比上 omega 是 二一分之派， 所以它的周期是多少？派比上我们应该也就是二 a， 所以 我们这恰好是一个周期。那一个周期的图像它就这样画，那显然是一个单调绿灯的，而且直译是从辅型到中型，所以它也是一个阴影设， 对吧？好，这就是这两个。下面这个列二 要是给出这样一个包含关系和对等关系，那证明另外一个对等关系。我们先从宏观上感受一下，他说这个 a 和这个 a 并 c 是 对等的，也就是 这个这个 c 啊，他可能他是在 a 的 内部的，也可能他是一个有限的，对吧？那 b 呢？比如说 a 他 能把这个 c 给它吸收掉， 然后让你证明 b 能把这个 c 也能给吸收掉。也说这个 b 它可能在 c 的 c 可能是在 b 的 内部的，也可能是它是一个有限的，大概就是这样，我们看一下，看一下矩阵，证明 这个又用，需要用到我们刚才说的这个引理，这个引理，然后我们看具体怎么操作。首先就是把这个进行无胶的一个分解嘛，首先 b 它要等于 b 叉 a， 变成 a， 进行一个无胶的分解。那 b 变 c 呢？ b 变 c 怎么分解？它就是首先 b 就是 b 叉 a 并上 a， 然后再并上 c， 那 这个时候完事了吗？好像，好像，好像没，好像还有点问题，因为他俩他不一定是无交的。比如说我们画一个图， 这一块叫做 a， 这整一块叫做 b， 然后呢？我的 c 是 什么呢？ c 在 这，我的 b 叉 a 是 哪一块？ b 叉 a 就是 这一块 a， b， c 呢？ a， b， c 是 这一块，加上这一块，你看显然显然是有交集的，这块是交的，所以这个我们要对它进行改进一下。我们怎么改进呢？就把这个 c 叉掉 b 就 行了嘛？ c 叉 b。 好， 你看这个这就是对它的一个无胶的分解，然后呢？分解完了之后，你看我们这个石子 如果有一个无胶的分解，然后呢？你和你对等，你和你对等，然后我们并在一起就对等，那接下来我们就找首先根据次反性 b 叉 a 肯定和 b 叉 a 对 等吧， 对吧？然后我们这要第一步，要第二步，他本身和他本身肯定对等，那下面我们就看他和他是不对等的， 他和他是不对等。首先我们先看一组包含关系，首先 a 开的他肯定是属于这个 a 并上一个东西的， 对吧？然后呢他肯定还属于啥？他肯定还属于 a 变成 c， 为啥呢？因为我这一块少，相当于少了一块，对吧？所以我肯定是包含有这样一个包含关系，然后呢根据我们伯恩斯坦定律的一个推论， 下面推论怎么说的？看如果有这样一个包含关系，然后呢，如果 a 和 c 对 等，那么 b 和 c 就是 对等，你看这个 是不是我们已经有了一个这样的包含关系，然后呢又 a 和这个它是不对等的，那我们是不是就能推出来 a 和你就是说他们三个都是对等的， 对吧？好，这不就好，这里是 b， 好， 这不就完成了吗？你看根据我们那个原理，首先找到一个无胶的一个分解，然后呢这个东西和这个东西对等，这个东西和这个东西对等，所以我们这个就和这个对等， 你就出来同时推出上 b 和 b 并 c 是 对等的啊，这就是我们的例二，我们的例三呢？我们例三也是直接运用，直接运用我们的 kantor 波恩斯坦定律的一个推论， 为啥刚才我们已经证明了负 a 和负一到 a 是 和 r 对 的呢？对吧？我们的利益。然后呢我们又有一组包含关系是啥样的呢？我们的开的是不是要包含在 b 的 里面？ 是不是要都要包含在 r 里面，对吧？右呢？右，我们的啊右就不写了，就在这上面，它和它是对的呢，那同时呢，它和它是对的呢，对吧？直接就出来了，有这两个同学就能记住 负 a 到 a 和 r 是 对的呢？为啥呢？因为我们的 control point 定 他的一个推论，对吧？好，这就是三到三到这里，下面就是我们的 ct。 好， 那这个 ct 一 呢？ ct 一 我就把答案写在这里，他是怎样的一个形式呢？ 它是 a， b 到 b 到零 e， 具体是怎么样的呢？就是 x 硬的 x 减 a 也除以 b 减 e， 就 这样一个形式，你学过概率论的都知道，它就相当于是类似于一个啊，均匀分布，把它给标准化了， 对吧？当然标准化这个说法好像没有这个说法，但就是类似于把它标准化了，有这样一个意思。那 c t 二我们就，嗯就不说了。

好，下面我们进入第三章测度论的学习啊。好，那么在开始讲第一小节外侧度之前呢，我们先来进行一个铺垫。好，这里有个什么呢啊？有个长度公里。 哎，其实很好理解啊，就是如果我给你一条直线上的一些点集所构成的集合组花 m。 好， 那么我定义每一个 e 包含于花 m 都会有这样一个实数 小 m 与之对应。这个实数有什么特点呢？首先， m e 大 于等于零非负，而且它等于零，当前仅当 e 为空集。 第二个，如果我的 e 可以 表示成 a 一， 一直到 a n 的 并集，而且我的 ai 和 aj 相交不空，相交为空，也就是说我的这个点击 e 可以 拆分成有限个集合的并集，而且这有限个集合它相交不空。 好，那么我的这个实数 m， 它就可以记作是每一个集合 m a i 啊的和加起来 这个性质，我们称之为是有限可加。好，最后还有一个就是我们给他一个基本定义，在零到一这个区间上，这个 m 的 值横为一啊，这样一个 m 啊，我们就，虽然说我们并没有明确的规定啊，但是其实这都是大家默认的东西， 但是我们观察啊，首先这个非负性是显然的，就是我一定给他一个标准也没问题，关键就是这个有限可加， 因为我的这个区间 e， 它不一定能拆分成有限个集合的并，它有些时候得是可数个，对吧？无限多个，那么它能不能进一步推广到无限可加呢？啊，其实是不能的，所以我们退而求其次，选择可数可加， 那么如果它是可数个集合的并集，就可以转化成可数可加性啊，那么这个 m 我 们就给他了一个名字，叫做测度。 但是这个侧度的得来其实并不容易啊，我们是通过外侧度来得的啊，这本教材上我选择的这本教材上是通过外侧度来得的啊，好，我们来讲。那么什么是外侧度？假设我的 e， 它是一个 rn 上的集合，我们称一个广义的非负实数。好，什么叫广义实数啊？就是一般我们的实数都是有限的实数，广义实数就是在它的基础上加上正负无穷， 这就称是一个广义的实数了啊，好，也就是说我的这个 m， 它是可以取到正无穷，取到负无穷的啊，好，这个 m 新 e 我 们是怎么定义的呢？好，首先我们的 e 可以 表示成一列开区间的可数并， 好，那么每个区间就会有它的体积啊，也或就如果是 e 为，就是它的长度嘛，每个区间都会有它的长度，我把这些长度加起来，对于这一个值来取下确界， 我把这个值定义为 m c e， 这个 m c e 就 称之为是 e 的 外侧度。勒贝格外侧度。 好，注意啊，这里的开覆盖必须是可数个啊，你不能取里边的有限个来做啊，这个就不太合理了啊，必须是可数个。 好，当然你这样的开覆盖可以取出不同的种类，那么每一个种类就会有一个不同的核，这些合理，我取下确界就是我的外侧度哈，这是我们给定的外侧度的定义。好，那么这个新的定义它包含着哪一些性质呢？我们一起来看 三个啊。首先，非负性什么意思？我的这个外侧度必须大于等于零，而且等于零当前仅当亦为空集。其次，单调性。 什么意思？就是如果我的集和 a 是 集和 b 的 子集，那么 a 的 外侧度一定小于等于 b 的 外侧度。 最后，次可数可加性。好，注意啊，这里是次可数可加性，说明他不是可数可加哦。可数可加意味着就是我如果是个可数并级， 如果我的 e 能够拆成拆分成可数个 a n 的 b， 那 么它的这个外侧度如果是可数可加性，那这个值就得等于那个的和吗？但是这里是次可数可加性，所以我们得到的是小于等于二。什么意思啊？这里来补充给大家 啊。意思就是如果我的 e 它能够拆分成可数个集合的 b， 那 么我的外侧度因为是次可数可加型二，所以它是小于等于这 每一个外侧度的和。那这就是我们的次可数可加性证明也给大家了，大家可以自己下来看一下啊。好，这就是我们外侧度的一些性质。好，那么有的教材上还提到一个叫做平异性， 就是我的集合 e 啊，我对集合 e 加 x 零，什么意思呢？就是对于任意一个 x， 它来自于集合 e， 我去 x 加 x 零来作为这个心集合的元素。好，他的外侧度和我 x 零的外侧度和我 e 的 外侧度是相等的啊，也就是说，我平移是不会影响这个外侧度的性质啊，有的课本上可能会有这个性质，大家可以加上啊。好，这就是我们外侧度的性质。 好，我们来看两个例子啊，怎么来理解这个外侧度？好，如果 e 他 是零到一，以全体有理数让你证明他的外侧度为零， 那我要证明一个集合的外侧度为零。外侧度的定义是什么啊？是假设 e 可以 被一足集合开覆盖。 好，那我的这个外侧度就应该是这些开覆盖啊，你取不同的开覆盖，产生不同的 体积和这些体积和的下确界啊，应该是这样一个定义。好，那么我们就取一些出来看看呗。好比如说像这个题，对于全体有理数而言，那么 e， 我 就可以把有理数当做二一二二，我给它取出来吧。 首先明确它有可数个。 好，那么每一个 r i， 针对每一个 r i， 我 都可以找到一个开极 r i 减二的 i 加一次分之 epsilon， 二 i 加上二的 i 加一次分之 epsilon。 好， 我对于任意的 r 都存在这样一个开区间。 首先啊，我们记作 i i 吧。好，那么这个 i i 的 体积就应该是二的 i 次分之 epsilon。 好，那么现在我要求的这个 e， 它其实就可以看作是这些 i i 的 可数 b， 对 不对？它会被这一组开去间覆盖。好，那么我们从外侧度的角度来说，它的这个侧度就应该是这些开覆盖的下缺界，自然就会小于等于这个 i i， 它从 n 为一， i 从一取到无穷 这些体积的和，而这些的体积是什么，大家还记得吧？刚刚我们才写吗？就是这个每一个体积是二的 i 次方分之一部分，一部分和 i 无关，它就可以提朝前剩下的 i 从一到无穷二的 i 次方分之一，它是等于一的， 所以其实我的测度会小于等于 epsilon， 由 epsilon 的 任意性，我就可以推出测度小于等于零，而我的测度又非负吗？外侧度，所以大于等于零，既大于等于零，又要小于等于零，所以我的测度就为零。 好，所以如果让你求解外侧度，你就紧抓外侧度的定义就行了，它是开覆盖的这个体积和的下垂界。再来看一个例子，好，下面我们来看这个例题，他说对于任意的区间 i 都有 i 的 外侧度，就是 i 的 体积。好，那么这个结论我们怎么来证呢？如果你能证明他就非常好用啊。之后我们再说明，任意区间都可测，那么这个外侧度直接就变成测度了，所以每一个区间上的测度都可求了啊。这个之后我们来说 好，那么对于任意区间这个题，我们分两步啊。第一步，我们先证明 b 区间成立，然后再把 b 区间进一步推广到任意区间。好，我们分两步。 好，那么为什么 b 区间上成立呢？我们就来取，假设 i 是 b 区间， 那么只要是 b 区间，它自然就是个 b 级啦，所以按照开级 b 级的关系，我一定可以找到一个开级。那么又是开区间 i 一 撇，使得 i 包含在 i 一 撇里，而且 i 它的这个长度会小于 i 一 撇，它的这个长度会小于 i， 加上 epsilon， 也就是说，呃，这个，这个，这个开区间跟它的长度几乎是重合的啊，这样一个关系好，那么由外侧度的定义， 我们知道啊，这个区间 i， 它的外侧度应该是这个开， 这个开覆盖它的这个长度求和的下垂角，所以它一定会小于等于这个 i 一 撇的长度， 而 i 一 撇的长度有小于 i 的 长度加 e b c 笼，由 e b c 笼的任意性，所以我们可以得出外侧度会小于等于体积，所以下面我们只要再证明体积小于等于外侧度就行了。 好，那么为什么体积会小于等于外侧度呢？我们来看，那么这个 i 除了可以找到一个开区间 i 一 撇之外，我还可以找到一个开覆盖。对于任意的 epsilon 大 于零，我都会存在一个开覆盖 i i， 它是个开区间列， 使得我的 i 它被这群 i 从一到无穷 i i 开覆盖，而且这个每个开区间它求和之后得到的也就是我这个开覆盖它的长度会小于我的外侧度加 epsilon。 那么既然有可数个，那么自然有有限覆盖定律，我就一定会存在有限个，那么我假设这有限个就是从 i e 到 i n 啊，使得我的 i 它被这有限个 i 从一到 n i i 开盖。 好，那么下面我们进行一个很有技巧的事情啊，我就把这个 i 看作是 i 和这个开覆盖 的交集好，那么进一步，由这个交病的运算性质我就可以得到啊，我就可以把这个病提到外面来， i 和 i i 先相交，再求病好，那么这个就可以进一步得到我的这个测度关系啊， 我的 i 交 i i， 它是 i i 的 子集。首先，所以 我 i 它的体积会小于等于 i 从一 i 交 i i 好， 这些开集合的 这些开集合体积的和，而它呢，它又是 i i 的 子集嘛，所以它就更进一步，会小于等于 i 从一到无穷我 i i 这个体积的和，而我这个体积的和，在这里啊，它会小于外侧度加 e p c 笼有 e p c 笼的韧性，我就得出了 i 会小于等于外侧度。那么两个结合我就可以得出 i 它会等于外侧度。 好，当然这是 b 区间的时候，那么为什么开区间或者说一般任意的区间它都成立呢？啊？这是因为假设我的区间任意，那我一定可以找到一个 b 区间 i 一 一个 b 区间 i 二，使得它夹在这两个当中， 而且它们距离足够小，使得 i 它会小于 i 一 加 epsilon 大 于 i 二减 epsilon。 好， 那么由这个单调性我们就知道啊， i 它的外侧度会大于等于 i 一， 它的外侧度小于等于 i 二，它的外侧度。 而由对 b 区间我们的这个探究，我们发现它们的测度其实就是我的体积，所以我的这个外侧度它会小于等于 i 二的体积大于等于 i 一 的体积。 而我 i 一 的体积可以看作是 i 减 e b c 吗？对于这边这个不等式， 我换一个颜色啊，这边这个不等式可以推出 i 一， 它的体积是大于等于 i 减 e b c 垄断。好，那么 i 二，那么就看右边这个，它可以推出 i 二，它的体积是小于等于 i 加 e b c 垄断。所以更进一步，这个不等式 它还可以变成 i， 它的外侧度大于等于 i 一 大于等于 i 的 外侧度减 e p c 隆小于等于 i 的 外侧度加 e p c 隆。而由 e p c 隆的任意性，所以可以得到外侧度和体积相等， 所以我们就证明了，不管是什么区间，它的外侧度都等于它的体积。往下我们来讲最后一个例子，假设我的 e， 它是直线上有界集合， 而且它的这个外侧度大于零，那么我对于任意一个小于 m e 的 正数 c 都能找到一个 e， 它的子集 e， 使得 我 e， 它的外侧度为 c， 这是什么意思啊？就是如果我把 m 型 e 看作是一个关于 e 的 函数，那么这个函数是连续的， 那我们来看看为什么它会成立二，那么关键就是证明这个连续性 好，大家来看我们怎么做二。首先我们取这个集合 x， 它的下缺界是 a， 上缺界是 b， 那么我把 a 点当做 b 集合的左顶点， b 当做这个 b 集合的右端点，那么我的 e 一定会是它的子集。 好，我们下面来先把这个 x 引进来啊。我们定义这样一个集合， a 到 x x 呢？大于等于 a， 小 于等于 b， 当然这个集合要和 e 相交啊。好，我们定义这样的集合是 e x， 那 么我们的函数 也就是 e x， 它的外侧度。二，它就是一个有关 x 的 函数，下正它连续，它还是关于 x 的 连续函数。 函数连续的定义是什么啊？就是啊，我们可以两种啊。第一种，如果它是又连续，那么就是我有一个 delta， 它是正数，当 delta 趋近于 f x 零， 我有 f x 零，加德塔 x 减 f x 零趋近于零。 好，那么如果它是大于零的，我们就是右连续啊，因为是从正的这边来去进，如果它小于零，就是左连续，如果它既又连续又左连续，那么它就连续啊。 好，那么我们来现在说这个是成立的。为什么啊？大家注意，当我令 delta x 趋近于零的时候，我的这个函数应该是外侧度啊，应该是 e x 零加 delta x 这个集合的外侧度。减掉 m e x 零，这个集合的外侧度 好，那么这个外侧度它就会小于等于 e 的 x 零加 delta x 减 e 的 x 零这样一个集合的外侧度， 而它显然小于等于 delta x， 所以 当 delta x 趋近于零的时候，这个值就会趋近于零，所以它又连续。同理，你也可以证它左连续，那么它既是右连续的，也是左连续的，它自然就是连续的。 那么只要连续，而我的 fa 又为零吗？那么就以 f b， 那 就是我的 m e 一 啦。 大于零好，那么它只要是连续的，那么我在零到 m e 中间啊，就一定会有个 c， 它是有 x 可以 对应的。那么换句话说， 对于任意的 c， 它小于 m c e 大 于零，我都一定会存在一个 x， 它是 a 到 b， 使得 f x 等于 c， 那 换句话说，就会存在这样一个 e x， 它是 e 的 子集，使得 m c e x 来等于 c。 所以 我们就证明了 这个结论是一定成立的。我的 m c e 应该是一个关于 x 的 连续函数。好，以上就是我们的可测。以上就是我们的外侧度的性质。

好，他的定义和性质好，什么样的函数是可测函数呢啊？首先，如果我们假设 f， 它是可测极上的一个函数，如果对于任意的 a， 注意这里的 a 啊，他还是取广义实数，也就是可以取到无穷的这种。 我都有 e， f 大 于 a 可测啊，这个几何是什么意思？其实它取的就是使得 f x 大 于 a 的 这些 x 啊，取的是使得这个式子成立的原像，它和 e 的 交集。 好，换句话说就是我的这些 x 除了要满足之外，还得有 x， 它来自于 e 啊，这些集合，这些点组成的集合就是 f 大 于 a， e 啊，这个集合的含义好，那么如果这个集合它可测 啊，我们就可以称 f 是 e 上的可测函数了。好，当然这个定义不完全就是它只是其中一条啊，我们的这个 f 可测，我们是可以引申出五条等价定义的。好，那么除了严格大于之外，我大于等于也成立， 小于成立，小于等于也成立啊，只要这些集合都可测，对于任意的 a 属于广义实数 r， 那 么我们的 f 就是 e 上的可测函数。 好，那么这里大家要注意一个东西啊，就是你发现了，就是我们单看一组吗？大于和大于等于之间的区别就是加上了等号吗？好，那么这里我们给出一个推论啊，就是我 f， 他 如果在 e 上可测， 我们是能够推出 f 等于 a 这个集合可测。当然还是 对任意的 a 属于 r， 但是反过来，对于任意的 a 属于 r， 我 的这个集合 f 等于 a 可测，就推不出 f 在 e 上可测了。 所以你看，我们给出的第一个定义其实是比较严格的，大于二等的时候，我只能从可测函数推到集合可测，但是不能从集合可测推出函数可测二，大家注意一下。 好，这里的等号，他不重要的原因是因为他没有反过来推导的这个结论好，那么哪一些会是可测函数呢？常见的可测函数有哪些？首先零级上零级，记得吗？是什么啊？测度为零的集合，它上面的任意函数都是可测函数。 好，这个是为什么啊？其实我们可以快速的证明啊，假设 f 它在 e 上，它是一个函数，那么下面我要证明它是可测函数，就只用证明哈。对于任意的 a 属于我的广义实数 r， 我 的 f 大 于 a， 这个集合可测就行了嘛。 好，那么对于零级来说啊，测读为零的集合来说，那么任意的 任意的 a 属于 r， 我 的这个集合，它肯定是 e 的 子集，而我的这个 e， 它测度又为零，有我这个测度，它的这个单调性，它就会小于等于我这个集合 e f 大 于 a， 所以 我的 m e f 大 于 a， 这个集合，它也是一个测度为零的集合，也是一个零测集，所以它就可测 好，那么这是第一类可测函数啊，在零级上的任何函数，它都可测。第二类可测函数，简单函数它都可测。那么什么样的函数才能被叫做简单函数呢？就是首先我的这个集合啊，我定义在上面的这个集合，它可以拆成有限个 两两不交的可测即知。并。好，那么在每一个这个 e 上，我都取长值 c， 那 么我的 f 就 称之为是 e 上的简单函数。这里我们举一个最常见的简单函数的粒子克雷函数，如果 x 是 有理数， 那么它就取。一，如果 x 是 无理数，它就取零。好，那么我们的的粒子是无理数，它就取零。好，那么这里我把零到一 b 区间加上， 好，那我的零到一 b 区间就是我的 e， 对 不对？我的 e 就 被拆成了两个互不相交，但是又都可测的集合之 b， 而且在每一个集合上，我的狄克类函数取的都是长值，要么是一，要么是零，所以它就可测。二，这个函数就是个简单函数，它自然就可测。 好，那么这里我们还来还可以得到它的测度啊，好，那么它的这个测度啊，这个 啊，当然更进一步，如果我这里这个有线啊，我就取一个好，比如说我的这个 f， 它就是在 e 上的长值函数， 那么我的 f 一定是在 e 上可测的函数， 因为它就是简单函数了啊。那么为什么？如果我们要让证明这个结论，我们怎么证明呢？要证明 f 在 e 上可测，又来证明它的定义了。 那么我的 f， 首先假设它恒等于 c 吧，那么对于任意的 a 属于 r， 我 的这个 f 大 于 a 这个集合，那么无非两种情况，要么就是全体，要么就是 e。 因为如果我的 c 它大于， 如果我的 c 它小于 a， 那 我的 f 大 于 a， 就 没有点。如果我的 c 它大于 a， 因为如果我的 c 它小于等于 a， 那 么我的 f 要大于 a， 就 不可能有这样的点，所以是空集。如果我的 c 严格大于 a， 那 么它大于 a 就是 我的全体 e， 那 么不管是哪一个空集还是 e， 它都是可测结合，所以我的 f 就 会在 e 上可测 好，那么我们通过这个长值函数可测，自然就可以推出简单函数可测啦。因为简单函数也就是在每一段上它都长值嘛，所以它一定也都可测。 第三个，我们还知道可测级上的连续函数也必定可测好。那么首先连续的定义是什么？假设的 f， 它是一个有限值函数二，也就是说它的函数值都是有限时数，那么我们就称它在 x 零处连续。当且仅当 我的这个极限 x 趋近于 x 零时，函数值的极限是 f x 零。换句话说，对任意的 delta 大 于零都会存在对于任意的， 换句话说，对于任意的 epsilon 大 于零，我都会存在 delta， 使得当这个小于 delta 时，有函数值的绝对值小于 epsilon。 如果我用集合来表示，也就是我这个 x 零的 delta 领域内的函数值 f， 它都会是我 x 零的 epsilon 领域里的数 好，那么这里我们就用这个连续的定义来证明一下我们给出的这个结论。 我们来证明好，那么又要来证明函数一定是可测函数啦，那么证明的又是这个 f 大 于 a， 这个集合可测 啊，我任取这个 f 大 于 a 的 这个集合上的任意和一个点，那么首先我的 f x 会大于 a， 那 么由连续性假设我就知道，对于 euclidean 啊，我取得这个任意的 euclidean， 我 们不妨就取 f x 减 a 吗？我都存在一个这个 delta x 大 于零，使得啊，我的这个领域会在 f x 的 delta c 个 delta c 领域里会使得 我的这个领域它都在 f x 的 e、 p、 c 笼领域当中，而这个领域它一定是会在零到 a 到正无穷这个集合当中的。 好，我把所有这个 x 的 dota 领域去并集，那么首先它一定是个开集，而且也一定可测。 好，我的这个要证明的这个 f 大 于 a 的 这个集合，它就一定是 g 和 e 的 交集。好，那么 g 是 个可测集， e 是 个可测集，它们的交集也可测，所以我就证明了，我要证明的这个 f 大 于 a， 它是个可测集合， 它可测， f 就是 可测函数，所以在可测级上连续的函数一定是可测函数。最后，在可测级上，单调的函数也必定是可测函数。好，那么我们要证明 f 它是可测函数。仍然一样啊，我们找的是这样一个集合。 好，我们不妨假设这个 f 是 单增的吧。好，我们的这个集合就可以拆成这样两个集合的交集，那么这是一个 区间，它可测，这是一个可测级，所以它们的并级也可测，所以我们的这个 f 大 于 a， 它是一个可测级，所以我们的函数可测。好，那么到这里我们整理一下，大家回忆一下我们现在讲到的可测函数有哪些？首先，零级 上面的任意函数。其次，简单函数好，简单函数里有一类特殊的叫做长值函数。 好，第三，连续，第四单调，当然它们都必须在可测级上啊。 好，我们这些函数它都是可测的。我知道了哪些会是可测函数之后，它有怎样的性质呢？首先，它关于子集和有限病封闭什么意思？假设 e 是 可测函数， e 一 是它的子集， e 一 也可测，那么 f 就是 e 一 上的可测函数。此外，如果我的 e 可以 看作是一列 e 一 的有限病， 那么 f 是 e 一 上的啊，或者是 e n 上的可测函数，那么它就可以变成在 e 上的可测二，所以对于子集和有限病封闭。 其次，可测函数它还有关于四则预算封闭。什么意思？假设 f 和 g 它是可测函数，那么它的加减乘除全部都可测，还有这里更有甚者，我的绝对值也是封闭的。什么意思？ f 可测 f 的 绝对值就可测 g， 可测 g 的 绝对值就可测 f 绝对值的 p 次方 g 绝对值的 p 次方 p 大 于等于零也可测。好，那么如果考试的时候让你证明啊，那么又来，只要证明函数是可测函数，就是证明这样一个集合 啊。比如说，我们以 f 加 g 为例啊，那么 f 加 g 大 于 a 这样一个集合，是可测集合，那么对于这个题而言，我们讲一下思路就行了啊，我们把它移过来啊，这个集合和 f 大 于 a 减 g 是 同一个集合，我就证明右边这个可测就行了。 好，那么具体怎么证明？我们的这个解析上写的很清楚啊，大家可以下来看一下。好，当然乘积是怎么样的啊，我们也可以类似去证明。好，那么除了四则运算和绝对值运算封闭之外，我们关于确介的运算和极限运算也封闭。什么意思？假设我有一列 可测函数，那么对于他们取上确介得到的缪 x 和取下确介得到的缪 x， 它一定也是易上的可测函数。 好，这里大家不用管啊，暂时不用管好，这是对于确切运算。其次，对于极限运算几，什么意思呢？假设我的大 f x 是 这一列函数 f n x 的 下极限。 好，那么它的下极限大 f x 也一定是可测好。如果它的上极限我们用 g x 表示，那么它的上极限也一定是可测的。 如果它的上下极限都存在，我们就称啊，我的 f x 就是 我的极限啦。 好，那么这个极限它也一定是在一上的可测函数 啊，为什么？其实就是这个部分了啊？我们的上极限定义是它，我们的下极限定义是它，所以其实我们的上下极限本质上也是在做确结匀算，那么确结匀算封闭，自然我的极限匀算就也封闭好。最后， 我们可测函数的正部和腹部也可测好。首先，我们给出正部、腹部的定义啊，正部指的是什么呢啊？最大值 f x 和零的。 也就是说，如果我的 f x 大 于等于零，那我就取 f x， 如果我的 f x 小 于零，那我就取零好，这样一个集合，这样一个函数就是我 f 的 正部好，负部是什么？负的最小值 什么意思？如果我的 f x 大 于等于零，那我的最小值就是零，它去负还是零？如果我的 f x 小 于零，那么它的最小值就是 f x， 我 就去负的 f x。 好，这是我的上，这是我的正部和腹部。那么给出了这两个的定义。首先，我们可以迅速的得到一些关系好，我的正部和腹部相减是我的 f， 正部和腹部相加是我 f 的 绝对值 好，那么有了它们是绝对值，那么我正负正负，它一定会小于等于绝对值，我的腹部也一定会小于等于绝对值，这是第二个性质。 第三个性质，如果我将负的 f 看作一个函数，那么它的正负就是我的 f 正 啊！换一句话说啊，我的 f x 和负的 f x， 它有点互逆的这种感觉啊。 好，那么我的正部和腹部，如果我的 f 是 e 上的可测，那我的正部和腹部，它也一定是 e 上的可测。好，这是我们的最后一个啊。好，那么在这里我们再总结一下我们可测函数的性质，首先，它对于子集有限并封闭。 其次，对于四则运算和绝对值运算封闭。 第三，关于确切确界和极限运算封闭。 最后，它的上，它的正部副部也关于它封闭。 好，这是我们这个可测函数的性质。最后，我们给出最后一个可测函数和简单函数之间的关系啊，因为去到第五章我们要研究积分的时候，是从简单非负简单来推导的啊。这里有两个关系， 第一个，如果 f x， 它是 e 上的非负可测。 如果它只只是一个非复的可测集合，那我一定会存在 five k x。 啊，这个 five k x 是 简单 函数，那存在这样一个简单函数列，使得对任意的 x 属于 e， 我 的 five k x 都会小于等于 five k x 加一 five k 加一 x 小 于等于 f， 而且 我的 k 趋近无穷时， five k 它会等于 f x。 什么意思呢？只要我的 f， 它是 e 上的非负可测函数，那我一定可以找得到一列简单函数列，使得首先它们递增几次收敛于 f。 好， 那么如果我的这个可测函数它不非负呢？那就是一个一般的 可测啊，它没有非复性啦，那我也能找到 five k x， 只是说它就不单调了，我仍然能够找到这一列简单函数，它的极限 仍然是我的 f x。 所以 不管是非复还是一般的啊，我总能找到一个一列 简单函数，使得他成为我这个简单函数列的极限。我的可算函数总可以表示成简单函数的极限，如果他非负，可以是递增的，如果他是一般的，那就没有这个递增性啊。 但是注意啊，虽然他们没有严格的单调性，但是我 f i k， 他的绝对值也一定不会超过 f 的 这个函数值啊。好，这是我们的。嗯，第一章啊，这里最后我们再介绍最后一个关系，叫做几乎处处成立。 好，最后我们来介绍几乎处处成立啊，它是一个什么样的定义呢？我们来看好， 比如说啊，我要 g f x 等于 g x， 几乎处处成立于 e， 那 么就是它的定义是什么？就是使得它不成立的，也就是 f 不 等于 g， 这个集合的测度为零。 好，那么几乎处处成立的定义就是使得它不成立的那个集合测度为零啊，这就叫几乎处处成立。我们举个例子啊，比如说，如果 f x 还是这个啊，比如说 f x 等于 g x 几乎处处成立于 e， 也就是说， 那么我 f 不 等于 g， 这样的测度，这个集合的测度要为零。 好，那么对于这样一个条件啊，假设我的 f， 它几乎处处呃，等于 e， 那 么 f 在 e 上可测也可以得出，则 f 在 e 上可测， 我能够推出 g 在 e 上可测。 为什么呢？啊，其实这里我们来快速看一下啊，我们的 f 是 个可测集合，那我只要 f 能够，就是我的 g， 只要能够找到与 f 的 关系呢？最好啦。好，那么它因为它相等，是几乎处处成立的，换言之，不等的集合。我取出来假设是 e 一， 它一定是个零测集， 那么只要是邻测集，上面的任意函数都是可测的，所以 g 它会在 e 一 上可测，而 e 二是使得 f 和 g 相等的集合，那么 f 和 g 在 e 二上相等， f 在 e 二上可测， g 自然也在 e 二上可测，因为它们是相等的嘛。 进一步， f g 就 会在一，这个就是 e 一 并上 e 二这个集合上可测啦。那所以我们就证明了什么是几乎处处成立啊？ 几乎处处成立就是使得它不成立的这个集合测度为零啊。我们再举两个例子给大家感受一下啊。比如说，我说 f， 它在 e 上几乎处处有限， 那么它的定义就是使得 f 无限的这样子的集合， e， 它的测度为零。好，我们再来看 假设我的 fn， 它收敛于 f x 几乎处处成立于一，那么就等价于不成立，也就是 f x， 它不收敛于 f x 啊，这样子的集合， e， 它的测度为零。 那大家体会一下什么是几乎处处成立？那比如说，如果我要让你证明零到一上狄克雷它等于零， 几乎处处成立于零到一这个区间上。好，那么如果我要让你证明的是几乎处处成立，其实只要证明它不成立的集合是一个零子零策集就可以了。那么那么下面我就要证明，使得它唯一的这些 x 构成的集合，假设为 e， 我 要证明 m e 为零。显然呀，那么使得它为一的这些集合其实就是我零到一和有理数集的交，而这个集合它的测度显然为零， 这个之前我们是推过的啊，所以它就几乎处处成立于零到一啦。好，那么我们再来举个例子， 如果我的 f 等于 g， 几乎处处成立于 e， g 等于 h， 几乎处处成立于 e， 那 我就可以推出 f 等于 h， 几乎处处成立于 e。 好， 那么我要证明这个就是证明它不成立的集合是个邻测集。 好，那么首先有条件我们可以得到 f 不 等于 g 这样的集合， e， 它的测度为零。同理， g 不 等于 h 这样一些集合，它的测度为零。下面我要证明的是 f 不 等于 g， 下面我要证明的是 f 不 等于 h 这样一些点的集合，它的侧度为零。好，那么由它出发， f 不 等于 h， 它其实可以看作是 f 不 等于 g， 或者 g 不 等于 h 这样两个集合的并集， 因为我的 g h， 因为我的 f， g、 g、 h 是 互相相等的吗？那么 f 不 等于 h， 要么就说明 f 不 等于 g， 要么就是 g 不 等于 h， 只有这两种情况，所以是他们的并集，那么现在我要求的测度其实就会小于等于他们两个测度的和，而他们两个测度都是零， 所以我的测度就会小于等于零，而我的测度又是非负的，所以我的测度只能为零。好，好，那么这里我们给出几乎处处成立的性质啊，就是如果派一 好，我们几乎处处成立于一，同理，派二也几乎处处成立于一，派一并派二，也就是派一或派二几乎处处成立于一 好，这是我们几乎处处成立的性质。好，往下这是我们的第一小节。

直线上的开级， b 级、完背级的构造。好，首先我们引入一个东西叫做构成区间， 它是什么定义呢？假设我的 alpha beta 啊，这是一个开区间。 好，假设我们的 g 是 一个开级。好，对于 alpha beta 这样一个开区间， 我有它包含于记，但是阿尔法和贝塔都不属于记啊，我们就称这个区间是一个构成区间 啊，可能这样讲比较抽象啊，我们来举个例子，假设我有个区间，零斗一并上一斗二或者是二斗三啊，我们就把零斗一、二斗三这两个叫做构成区间。 首先它们都包含于 g， 而且端点零一二三都不属于 g， 它就称之为是个构成区间。好，那我的开奇构造定底指的是什么啊？就是说直线上任意一个非空的开奇都可以表示成有线或可数个互不相交啊，有线 或可数个互不相交的开级的 b， 好， 这就是我们的开级构造定律好，那么直线上的 b 级又怎么来表示呢？哎，我们知道，如果 a 为 b， 那么 a 的 补救未开，那么只要它是开极，它就可以表示成有线或可数个互不相交的开极的病。那么反过来，我的 b 极就可以表示成挖去有线个或可数个互不相交的开区间所得的集合啊，这就是我的 b 极构造。 完背集是什么呢？完背集是自密的 b 集对不对？所以它首先和 b 集的构造肯定有关系，除此之外，我的完背集是没有孤立点的。看这里，我们就要引入一个叫余区间的东西， 余区间是什么呢？假设 a 是 b 级， a 的 补就是开级，那么这个余区间指的就是这些开级的构成区间。好，那么如果 b 级有孤立点，它的孤立点一定是余区间的公共端点好，孤立点 一定是余区间的公共端点。 我的 b 级是这些鱼区间挖掉的这些鱼区间所得到的集合，而我的自密 b 级也就是完背级。你不只要 变成 b 级啊，你不只要挖掉这些余区间，你还得挖掉这些孤立点，也就是公共端点。所以我的开区间是由开，所以我的开级是由有限或可数个开区间构成的。我的 b 级可以有挖去有限或可数个互不相交的开区间得到的， 而在 b 级当中，这些挖去的区间也称之为鱼区间。我的这个最后一个完背级，它指的是自密的 b 级，它就可以挖去有线或可数个互不相交的开区间。除此之外，再挖去这些鱼区间的公共端点啊，得到的就是我的 好。什么意思？那么就是我的开集开集，它是由有线或可数各构成区间， 当然这些构成区间得互不相交，有线或可数个互不相交的构成区间。得病。好，我的 b 级， b 级是开级的补啊，也就是说，如果我要取得 a 是 b 级，那么它的补就一定是开级，那么只要是开级，就可以表示成有限或可数个互不相交的构成区间的病，那我的 b 级就是这些的补，也就是挖去 有线或可数个互不相交的构成区间 的病。好，最后我的自密，最后我的完背己好。读完背己其实指的是什么啊？是自密，闭己， 自密说明它没有固立点，而我如果要有固立点，一定是这些它的不产生，构成区间的公共端点。 好，那么我的自密闭极，那么就是挖去啊，在挖去这些这些构成区间的并的同时啊，挖去我的固立点 得到的就是自密闭啊，自密闭可以由这样的呃东西构成，这节你只需要掌握啊， contour 三分歧是怎么构造产生的？其次，它的性质即可。好，我们先来看啊，首先，这个 contour 歧 啊，它其实是一个 b 区间零到一啊，不断进行三等分，我先分，然后把中间这个开缺间挖掉，再分，再挖开缺间 点点点啊，一直往下进行无数次这样的过程，得到的这些点构成的集合就叫做 contour 三分级。好，那我们的 contour 三分级它有哪些性质呢？首先它是一个 b 级， 其次它的长度为零。好，怎么来理解这个长度啊？因为它去掉的开区间其实是可数个开区间的 b 嘛。好，这些开区间的长度是一，所以我的 p 它的长度就是零了啊。 好，其次，他没有内点啊，大家可以自己下去看一下，他没有内点。好，他里边的点 全为距点啊，他只有距点，里边的点全都是距点，没有内点，没有孤立点。最后他的基数为 c 啊，这个 c 大家还记得吧，基数为 c， 是 个不可数集合啊，不可数集合。好，以上是我们第二节的全部内容。

好，下面我们来到第三章第三章第三小节可测级类。好，那么在进入新课之前，我们先了解一下现有的我们哪些集合是可测的。 好，首先，我们的零级，什么是零级啊？有的课本叫零级，有的课本叫零测级啊，其实讲的都是一个东西，什么测度为零，外侧度为零。 好，外侧度为零的集合，它就叫零级啊，它必是有限级。好，零级是有限级，那么由零级产生的一些东西，它只要变成了零级，它就是可测的嘛。 零级是可测级，那么有一些和零级相关的集合，它就应该会与可测有关。比如说，零级的任意子级必为零级，换言之，零级的任何子级都是可测级， 有限或可数个零级的并必定是零级。换言之，有限或可数个零级的并一定是可测级。 好，那么如果我们要来证明零级必为可测级，其实非常简单啊。好，我们就一紧紧抓住可测级的定义啊，他要可测，其实是我们的那个咔式条件成立嘛，也就是对于任意的 t 啊，我都会有 t 的 外侧度，会等于 t 交 e 的 外侧度加上 t 交 e 的 补的外侧度。 好，那么我们来看怎么来证明这个啊？首先， t 它可以看作是 t 交上 e 并上 e 的 补，换言之， t 交 e 并上 t 交 e 的 补， 那么由这个外侧度的次可数可加性，我的外侧度 t 它就会小于等于 t 交 e 的 外侧度加上 t 交 e 的 补的外侧度。也就是说，我们可以证明左边小于等于右边，那么下面我们只要再证明右边小于等于左边就可以啦。那为什么后面这个会小于等于呢？好，首先我的 t 交 e， 它是来自于 e 的， e 是 个零几啊，它的侧度外侧度为零， 所以由我的单调性可知，我 t 交 e 的 外侧度会小于等于 e 的 外侧度自然就会小于等于， 所以它会小于等于零，而它又会大于等于零，因为非负嘛，所以这个部分横为零，而我 t 交 e 的 补，它一定是我 e， 它一定是我 t 的 子集嘛，所以我还可以得到 t 交 e 的 补会小于等于 t 它的外侧度啊，那么我左边加上一个零 t 交易，它是不改变值的大小啊，所以这个等式也成立啊，那么我就证明了，这个等号的左边小于等于，右边小于等于都成立，所以它就相等， 所以零测极，它的外侧度为零，它的它必定是可测极。那么往下只要剩下的这两个，它就都成立了啊。 好，往下我们来看第四个东西啊，第四个东西，其实在之前讲外侧度的时候，我就强调了啊，任意区间 i 它都是可测基，而且因为我们之前说过，任意区间 i， 它的外侧度是等于体积的，所以当它可测时，外侧度和侧度相等，侧度也就都等于体积了。 好，这个的证明，大家有兴趣的去课本上找一下啊，他是课本上的一个立体来的啊，我们主要掌握的是结论啊，你要会用，如果考试的时候让你求他的侧度，你得会求啊。 好，这是我们得到的四个显然的结论。往下我们还要讲三个重要的定义，第一个， c 个马代数。 什么是 c 格码代数呢啊？它是指如果我的 omega， 它是我 r n 中子集一些子集类组成的集合类， 我在 r n 的 子集当中选一些来组成集合啊，这些集合的全体是我的 omega。 好， 如果我的空集包含于 omega， 当 e 属于 omega 时，有 e 的 补也属于 omega， 当 e n 属于 omega 时，有 e n 的 可数，并也属于 omega。 换言之，空包含空集在里边儿，补 可数并 这两个运算封闭，我们就称这个 omega 是 一个 c 格码代数。 好，那么因为取鱼封闭啊，取，取我的补集封闭，取我的这个可数病封闭，那我同时取这个可数病的补集， 得到的就是可数胶喽。所以我的 sigma 马代数对可数胶也封闭， 那么对补集封闭，对于集，也就是差集运算也封闭喽。所以我们的 sigma 马代数，它是一个对可数胶并 以及补运算 封闭的这么一个集合类。 好，那么如果我对这个 omega， 我 对这个 sigma 代数上再取一个非负值集合函数，那我的 miu 大 于等于零。好，我取什么呢？首先， miu 空，它是等于零的。其次，如果 e n 它来自于我的 omega， 那 么我 e n 它的可数 b 的 喵会等于求和。是不是和我们的测读有点像？哎，我就把这个喵叫做 omega 上的政策度，因为它非负二，所以我们叫它政策度，当然也简称测度好。换句话说，我们之前一直在定义的这个非负广义实数 m， 它其实就是我 c 格码代数 上 c 格码代数这个 l 啊，只是我们的这个空间里取的是可测结合而已啊，我们的 m 其实就是一个定义在 c 格码代数上的测度而已。 好，这是我们要了解的第一个东西啊，什么是 sigma 代数，什么是测度啊？我的 m 怎么来理解？好，第二个给大家两类集合，一类叫做 f sigma， 一 类叫做 g delta。 f sigma 呢是 b 集合 fi 的 可数项， g delta 呢是 k 集合 ei 的 可数交， 那我定义的这里啊，它们首先有什么关系呢啊？那么我来看，如果我对这个 sigma f sigma 去补集，那么它的这个首先由得木根公式，我的可数变就会变成可数胶， 我的 fi 就 会变成 fi 的 补，那么 fi 本来是 b 级，它去补就是开级就变成可数胶啦。开级的可数胶就是我的 g d t， 同理，我的 g d t 如果来去补，首先可数胶变成可数 b， e i 变成 e i 的 补， 所以 e i 是 开级，它的补就是 b 级，就变成 b 级的可数变啦。哎，就变成了我的 f sigma， 所以 它们之间的关系是互余的关系啊，互补的关系好，那么这里我们引一个例子让大家来感受一下哈。有理数和无理数 好，那么有理数级 q 和无理数级 q 的 补，它们分别是什么集合呢？我们来看，有理数集好，那么有理数集的每一个元素假设是二一二二一直到二 n。 首先，那当然它们还可以继续往下啊，因为它有可数个。首先我们要明确啊，每一个里边的元素其实都是我的距点， 换句话说，我把每一个二 i 单拎出来构成的单点积一定是一个 b 积 好，那我的这个有理数集 q， 它可以看作是可数个啊，因为我的 q 它是一个可数集合啊，可数个 b 级 r i 它的并集，换言之，它是一个 f c 个码集，那么它取补得到的无理数集就是一个 g d 它集啊，大家记一下，这很有可能考小题。 好，那么我们讲 f sigma 和 g d 塔是为了干嘛呢？是为了解决这样一个问题啊，找到我可测级和 g d 塔 f sigma 级之间的关系。假设我的 e 它是一个可测级，那我一定可以找到一个 g d 塔。注意啊， g d 塔它是 开极的，可数交好，找到一个这样的集合 o， 使得我的 e 包含于 o 里啊。假设这是我的 e， 我 可以找它的，在它的外面找到一个开极，它的可数交 好，使得 e 包含在这个 o 里，而且它们之间的差极测度为零，也就是说它们两个是无限接近的。 好。第二个结论是什么？好，如果一可测，我还可以在它的内部找到一些 b 级的可数 b， 使得它们两个也无限接近啊，它们的差级测度为零。 换句话说啊，我们再说的通俗一点，我的可测极可以看作是 g d 塔极，去掉一个零极，或者是 f c 格玛极，天上一个零极得到的。所以只要我能搞清楚所有的 g d 塔型极，所有的 f c 格玛极极和所有的零极，那么所有的可测极我就可以表示了。 好，这个非常重要啊，大家体会一下我 g d r 塔和 f c 个码引入的原因，是因为我发现我的可测级和它们只相差一个零级啊，几乎五线阶梯只相差一个零级。 好，那么我的 g d r t 星际和啊，它去掉一个零级，就是我的客测级，我的 f sigma 星际加上一个零级，它就是我的客测级。所以我只要搞清楚所有的 g d r t， 所有的 f sigma， 所有的零级，那我所有的客测级都可以表示了。 下面我们要给出最后一个定义，叫做伯雷尔级。 伯雷尔集是什么啊？它其实是全体开集做运算生成的集合。 做了哪些运算呢？可数胶，可数病 补剂， 所以哪一些天然它就是玻尿酸呢？首先，全体开己， 它是我的定义吗？其次，全体 b 己，因为我 b 己可以看作是开己的补。 第三，我的 g d r t 星际，因为它是开启的可数交运算。第四，我的 f c 格玛星际，因为它是 b 级的可数并运算。除此之外还有空级和我的 r n。 好， 这些都是我的伯利尔级。 好，那么讲到这里，我们就可以总结一下目前我们所见过的所有可测级。 首先，我们的零测级外侧度为零的集合一定是可测的。其次， 我们的区间一定是可测的，而且零测级的测度为零，区间的测度就是它的体积，还有吗？好，开级， b 级， 还有吗？啊，我的伯雷尔集，伯雷尔利啊，任意开集，全部开集，全部 b 集，我的 f sigma， g， dota， 空集，全体，这些都是可测集合啊，大家体会一下我们的可测集。

好，下面我们进入到第二章非赋可测函数的勒贝格积分啊，那么和我们之前所学习的啊，上一节所学的有什么关系呢？我们就来非赋可测函数和我们上一节的非赋简单函数之间会有怎样的关系？ 好，其实这个是在我们讲简单函数那里就讲过的啊，我们的可测函数和简单函数之间的关系啊，就是我们一定可以找到这样一个简单函数列，假设用 five k x 来表示，它首先是个递增的 啊，我的 f i k 会小于等于 f i k 加一啊，这个增意味着就是每一个 x 都成立啊，它是一个这样子递递增，或者我们叫做渐增。它的这个简单函数啊，而且更进一步，还是能使得每一个 f i k x 它都严格的小于等于 f x 啊，我是能够找到这样一组可测函数列的啊，使得什么呢？使得这组可测函数列的极限，当 k 趋近无穷时， f x 是 我的 f x 啊，那么既然我有这样一个规律啊，我就可以借助这个简单的可测函数啊，当然我的这个简单函数还可以大于零啊。 好，那么基于这样一个规律，我就可以根据这一组非负的简单函数的积分来定义非负可测函数的积分。怎么来来定义呢？好，那么这一组每一个简单函数都可以有一个积分啊，我们取这些积分的上缺借。好，所以， 好，我们给出非负可测函数积分的定义啊，我们取这些简单函数，它小于等于 f x， 而且大于等于零使得，当然，这里有要求啊，这组我的 f k x， 它其实是以 这个 f x 为极限啊，的这个啊，简单函数，那我们取这些极限啊，这些简单函数的积分的上缺，接来为非负可测函数的积分啊，可能这么讲比较抽象啊，之后我们来看具体例子你就知道了。 好，那么我们非负可测函数积分，它会有哪些性质呢？首先，第一个非常重要，应用非常广泛，就是在零测级上，它的任意函数勒贝格积分都为零。 好，那么我只要在零测级上，我不管取什么函数，它的积分都是零啊，因为这个积分你不管怎么取，反正我最后的勒贝格的定义，它应该是用我的测度 乘上我的函数值嘛，然后再相加，对不对？那我的都是零级了，测度恒为零，不管它上面的值是多少，它都恒为零， 所以他的勒贝格积分是零。二，这是一个很重要，应用非常广泛的性质。其次，勒贝格积分如果为零，那么我的 f x 等于零，就是几乎处处成立的。好，那我们来简单证明一下，那我要证明他几乎处处成立，证明的是什么？就是 f x， 他 如果不等于零 啊，这样一个使得它成立的 e， 它的侧度 m 为零。好，就是使得我的 m 不 为零的这个条件啊，当然，这里我还可以取大于 好，那么这个我们怎么来取呢？我们来取这样一组集合好，这组集合是使得 f 大 于等于 n 分 之一成立的，原像集记为 a n。 好，然后呢，我们来寻找这样一个简单函数，它在 x 属于 a n 的 时候，函数值为 n 分 之一，在 x 不 属于 a n 的 时候， 在 x 不 属于，在 x 不 属于 a n 的 时候，函数值为零，那其实我们也可以用一个这样子的记号来表示啊，它其实是 n 分 之一乘上 a n 的 这个特征函数 啊，就是如果我的函数来自于 a n 里，我们值就取一，不来自于 a n 里，值就取零啊。好，我们可以简洁为这样一个形式。 好，那么这个函数它就是一个简单函数。那么按照简单函数的逻格积分，我的 f n x 啊， d x， 当然它在 这个 e 上的这个积分，就应该是用函数值 n 分 之一乘上它的测度，也就是 m a n 的 测度，再加上零乘上。嗯，这个 e 减掉 m a n 的 测度啊，当然就是零啊，其实就是它我构造的这个法恩，它其实是小于等于 f x， 而且大于等于零的，所以 我的这个啊，积分，我法恩上的积分也应该小于等于在 f x 上的积分， 而提舍给了这个勒贝格积分是为零的啊，所以这个本身大于等于零，又得，小于等于零的值，就只能等于零啦，而我的 n 分 之一又不可能为零，所以只能它的侧度为零。 所以我们就证明了啊，使得这个大于零成立的这个集合的原像集，他的测度为零，所以就几乎处处成立。好，这是我们的这个形式，当然，反过来你也能得到，如果几乎处处等于零，我的勒贝格积分是零啊，那么反过来又是为什么呢？ 你还可以证明。反过来啊，如果我的 f x 等于零，几乎处处成立于 e， 我 也可以推出我的勒贝格积分啊，在 e 上的勒贝格积分为零啊，为什么呢？好，那么它几乎处处成立于 e， 那 我的 e， 它其实就可以分成两个集合，一个是不等于零的，一个是等于零的， 那么假设意义是不等于零的，那么他就是一个零策集好，那么往下我的这个积分，他其实可以就可以拆成啊，这个之后我们会说啊，这个区间的加哈，他就可以拆成两个区间作加 好，那么，呃，我的意义他是个零策集，其实他就是零。 好，那么在一二上是使得函数值为零的，那其实测度为多少，都不管他的函数值为零，他得到的也是零，所以我就证明了，反过来也成立二，几乎处处为零，也能推出勒贝格积分为零，所以他其实是个冲要条件 好，这是我们的第二个好。第三个，勒贝格积分如果有限，那么他就一定恢复有限。几乎处处成立，什么意思？就是如果我的勒贝格积分 f x e d x， 它是小于无穷的，那么我一定能推出 f x， 它大于等于零，小于无穷， 几乎处处乘以一啊，这就是这个的意思啊。好，那么这里我们强调一下啊，对于这样一个勒贝格积分啊，它的取值范围一定是从零到无穷 b 区间 好，换言之，他有可能取到这个广义的实数无穷。好，那么我们只把小于无穷，也就是有限的这个部分叫做勒贝格可积啊。这个情况，我们称 f 是 勒贝格可积的 啊，也简称是可积的好，如果他等于无穷，我们就不称他可积啊，只称他有勒贝格积分。就是这样一个形式，是一定存在的，他一定是在零到无穷之间的，而我们只把小于无穷的这个部分称之为可积。 好往下，它还有哪些性质呢？啊，就是我们刚刚用到的区间可加性。什么意思？只要 a 和 b 的 交集为空，那么我在 a 并 b， 这个集合下的积分就一定可以拆成，在 a 下先算 加上，在 b 下先算好，这就是我区间的可加性。当然，你的这个还可以任意推广，这里我们是两个集合码，你还可以推广成可数个。什么意思？假设我的集合 e， 它是 e 族 e i 的 可数并， 那么，而且啊，我的 e i 和 e j 还两两不相交，相交为空。好，那么我要求的它在 e 上的积分，我就可以拆成在每个 e 一， 每个 e 二，一直到 e n 上的积分。好，当然，因为它是个可数个，它还继续往下加，所以更进一步，它还可以写作 e i i 从一到无穷 f x 的 积分啊。 啊，换句话说，就是它有箭也成立，可数也成立啊。好往下单调性。单调性是什么意思啊？我们从两个维度来理解。首先是函数的角度，如果我的 f x 小 于等于 g x 啊，而且他们都可记啊，那么我 f 在 e 同一个区间，同一个集合上的积分一定会小于等于 g 在 同一个集合上的积分，这是针对函数的单调。此外，我们还可以针对区间来单调。 什么意思？就是如果我有一个 e 的 子集 e， 那 么同一个函数 f x， 它在 e 一 上的积分一定会小于等于在 e 上的积分。好，这是我们的单调性。 好，那么这里我们更进一步啊，除了小于等于之外，我们还讲，假设 f x 等于 g x， 几乎处处 成立于 e， 就是 在 e 上，他们几乎处处相等，那么我 f x， 它在 e 上的积分就一定会等于 g x， 它在 e 上的积分。这个非常好理解啊，因为其实只要处处相等，就说明他们不相等的集合是个邻测集，那我就可以把这个 e 拆成两个集合，一一和一二 好，他在一一上相等，在一二上不相等，但是没关系，一二他是个零测级，零测级上的任何集合都是啊，任何函数他的这个积分都是零嘛。那我现在对一个 b 区间来去积分，那其实就利用到了我的可加性，我就可以拆成两个区间上的积分和， 因为这两个积分肯定是不交的嘛，一个是等于，一个是不等嘛啊，同理，所以我们就可以证明他们相差的那个部分一定是积分，一定是相等的 好。那么更进一步，假设我的 f x 它就等于零好，就是我的 g x， 它就是零了，它几乎处处成立于 e 啊，其实就是我们刚刚得到的那个结论啊，就是 f x dx， 它就等于零 好。所以如果遇到类似的证明，你要会去做啊，只要看到几乎处处成立了，那么它的含义就是不成立的那个部分测度为零，那么与积分相关，零册集上的积分它一定是零 好，这是我们的单调性，在单调性这里我们还要进行一些补充啊，大家一起来看。首先啊，除了单调性本身它的性质之外，我们还要知道，如果我有 f x 小 于等于大 f x 好， 当然这样的形式出现，就说明是对每个 x 都成立的啊。然后呢，我的大 f x， 它的积分小于无穷，换言之，就是大 f x 它是可积的，那我一定可以推出小 f x 也可积 啊，这个太简单了啊。嗯，就是因为它，首先按照单调性，我 f x 它的积分，它一定会小于等于大 f x 它的积分， 而我大 x 大 f x， 它的积分已经小于无穷了，我小 f x 的 已经小于无穷嘛，所以肯定是可积的好，那么这里也给了我们一个证明可积的方法，就是我可以找一个比它更大的可积函数来把它控制住，所以我们还把这个大 f x 称之为小 f x 的 控制函数 好，这对我们后面要讲一般可测时的一个定力起到非常重要的作用啊。控制函数好，这是其一。其二，如果 f x 有 界， 也就是它的函数值小于无穷，我的 e 可测，而且测度也小于无穷，那么我的 f x 它在 e 上的积分一定会小于无穷。换言之， f x 在 e 上一定可测啊，不是一定可积啊，这个很显然嘛，就是它是一个有界的， 而且是非负的，而且是可测函数，对不对？我一定可以找到一个比它更小的减函数列，使得这个积分又表示成测度和 啊这个值的乘积，那我的测度又是小于无穷的，我的值也是小于无穷的，乘积肯定也小于无穷啦，加起来肯定也小于无穷啦，所以我的这个就是有限数，有限数就证明 f 在 e 上可记好，这是我们单调性的本身和一些衍生的结论。 往下我们还有限性性质。好，这里我们直接记这个最一般的情况啊， f x 加 alpha beta， f x 加 beta beta 的 g x， 好， 我对它来取 e 上的积分。好，那么这里要使用有两个条件，第一个，首先引入的两个时数 alpha beta， 它必须非负。好，其次，我的 f 和 g， 它必须可测。 当这两个条件成立时，我就可以求 alpha f 加 beta g 啊，也就是它的线性组合，它的积分就类似数的展开。 好，那么先进行至讲完，我们再来看，是一个很重要的定例啊，其实算是我们在非赋可测里最重要的一个定例，叫做莱维定例啊，它指的是什么呢？ 就是假设我有一列非赋可测函数。列。好，这列是非赋可测的。 好，那么这列函数再加一个条件， f k 小 于等于 f k。 加一。 好，这个函数。注意啊，它不是递增函数列啊，这里我们给他一个新的名字，叫做渐增函数， 它和递增函数的区别是什么？递增函数列是把递增函数放在一起，渐增函数列是指它的 k 和 k 加一项之间有小于等于的关系啊，我们把它叫做渐增函数列。好，只要有这样一个渐增函数列 存在，而且我当 k 趋于无穷时， f k x， 这个函数列的极限是 f x， 那 我就可以推出 啊，实现一个什么呢？就是积分和极限交换顺序的事情 啊，什么意思呢？就是我先对函数取极限，再求积分，它就会等于先对积分函数取积分，再求极限。 好，它是实现了这样一个事情啊，实现了积分和极限交换位置，它只有一个条件二，就是在一个渐增函数列的基础上加上极限，为 f x 加上有极限啊，这个事情，它只要是一个渐增的函数列，它的极限是 f x 啊，它都可以使得这个成立啊，这个部分其实就是 f x， 也就是说 f x 在 e 上的积分就等于每一个 k 取积分之后，在九极限 好，当然，我们还可以有一个进一步的推论，那么除了递增，递减成不成立啊？也成立，只是说要更递减 渐减啊，渐减渐减，不好意思，说错了，好，它指的就是，它指的就是我的 f k 要大于等于 f k 加一好，渐减好，如果我能有这样一个非复可测的是渐减的啊，我要推出这个积分互换位置，也就是对 这个函数列取极限再求积分，它会等于先取积分再求极限 好，会比渐增多一个条件。什么呢？就是我的首项 f 一 要可记 好，就加上这样一个条件，我的这个渐减的函数列就也成立了啊，好，这是我的来为定力好，那么剩下的一些东西其实都是来为定力的推论啊，比如说我们的趋向积分可以换序啊，假设我的 fn 它非复可测 好，那么我对 fn 先求和， n 从一到无穷再取积分，会等于先对它们取积分再来求和啊。逐项积分定里 好，最后我们给出法图阴历好，法图阴历是什么呢？就是如果我的 fn 它非负可测 好，注意，它没有渐增，也没有渐减性好，那么这样一个非复可测，它一定会有下极限 好，我实现的是下极限交换，当然它不是严格交换啊，我下极限的积分会小于等于积分的下极限 好，这就是我们的法图盈利好，那么法图盈利通常用在哪里呢？就是与下极限有关的，你就可以用法图盈利啊，我某个积分的下极限会小于等于下极限，得什么 好？这个其实在测度里也成立啊，我某个集合啊，就是我某个测度的下极限会小于等于下极限的测度啊，这个好像在测度的时候也是成立的。好，这就是我们的这个非负可测函数的所有性质。

那么第一节学完了之后，我们来看第二节，第二节讲的是一些特殊的点的定义啊，好，这个点的定义我们分两个类型来讲，首先第一类按照我的这个点和我这个空间的位置关系来刻画，我们分成三类，内点、外点和界点。 好，那么什么是内点呢？就是我只要存在一个德尔塔领域，使得我的这个僻零的德尔塔领域都包含于 e 啊，我就称这个 e 是 个内点啊，比如说我们这个， 我们拿红色的笔来画吧，假设我的这个红色的点好，我一定会存在某一个 dura 领域，不管这个 dura 是 多大还是多小，我的这个整个领域都含于我的意内，我就称这个点批零是我的内点好，那么什么是外点呢？就是我一定会存在一个领域 dura 领域内， 使得我的整个领域都不在意当中啊，相交为空，这样的点我们就称之为是外点好，我们拿绿色的来表示吧， 好，比如说像这样一个点，它的这个领域啊，我一定是找到一个领域，使得它和我的意相交飞空，它整一个领域都在我的意外面，这样的点我们就称之为是外点 好。最后什么是借点呢？借点就是他的任意领域内都有益中的和意外的 啊，这样的点就称之为是借点好。那么我们用数学语言表示，就是对于任意的德塔大于零，都有相交不空和和补极相交不空的地方啊，那就是有在意中的，也有在意外的，这样的点我们就称之为是借点 好。那么这里有一个很重要的东西啊，就是我的内点一定属于意外点一定不属于意 啊，不在意内，我的界点可能属于意，也可能不属于意，他可能在意中，也可能不在意中啊，大家体会一下，这是内点，外点和界点好，那么往下我们来研究句点和孤立点 对应，还有个孤立点啊。好，我们句点的定义各个课本给的是不一样的，所以其实这里是有三个等价定义，我们先看第一个。 好，那么句点好，它指的是对于任意的德尔塔大于零，它的某一个德尔塔领域和我的一刨开屁零的交集不空。好，当然你这么理解，如果抽象的话，你还可以理解为是这个屁零的去心领域 啊，就是我把僻零抛掉的这样一个领域，它和我的 e 交集布空啊。句点的意思就是我这个点， 它的任意一个 dota 领域内，抛掉这个心，还会和 e 相交，这样的点就称之为是句点好，其实句点刻画的是一个连续性啊，这里我们待会儿再说。好，那么什么是孤立点呢？就是我存在一个 dota 使得 就是我的去心领域啊，这里它相交只有屁零，其实指的就是我的去心领域。好，这里打个小圆心，表示去心，他和我的 e 相交为空 啊，其实是对应的一个定义啊，据点就是相交不为空，孤立点就是相交为空。好，那么他们其实刻画的是这个连续性好。为什么呢？我们来举个例子看， 比如说如果我有一个点列啊，他是这样子，我们叫做这个，呃，独立的啊，就是离散的好，那么我们对于任意一个点，比如说这个点批零八， 好，我取他的领域啊，我总能找到一个领域，使得他和我的异相交只有这个点，那么他的去心领域和我的异相交就非为空啦，所以这样的点我们就称之为是孤立点。 那么什么是离，什么是距点呢？啊？就是我必须是连续的，你体会一下。我在连续的点击里取一个点僻零，那么不管我的这个 dara 怎么想啊，即使再想， 我刨开这个点之后，是不是都会和我的 e 交于其他的部分啊，相交都不空，这样的点就称之为是矩点好，大家体会一下啊，矩点孤立点其实刻画的是离散的程度啊， 好，那么矩点和孤立点之间和 e 的 关系啊，矩点不一定属于 e， 但是我的孤立点一定会属于 e 啊。我们一会来说， 嗯，句点会有三个等价的定义啊，有的课本他给的可能不同，但是他都推过啊，这三个定义分别是， 好，我们来看，第一个呢，就是我们刚刚给出的对于任意的倒数大于零，我的去心领域啊，这里我还是比较习惯于说是去心领域，大家自行抉择啊，他的去心领域和 e 相交非空。好，这是我句点的定义。好， 第二个定义是对于它的任意领域，而还是任意的它大于零，我的这个领域批零和 e 相交一定会有， 相交一定是一个无限点集 啊，这也是课本会给的定义好，第三个呢，就是我存在异中异列互异的点列，使得它的极限是霹雳好，我们也称啊，这个句点其实叫做收敛点 好，如果我能找到一个点列互异的点列，使得它收敛于霹雳，我的霹雳一定是句点。 好，那么下面我们来看一下这个定力该如何来证明呢？好，那么如何来证明这个距点的三个等价定义成立呢？我们一起来看啊，如果我存在了互易的点列 p n， 使得它的极限是 p n， 刚刚我们才用领域描述过啊，那么就是对于 任意的德塔大于零，我都会存在一个大 n， 对 于任意的小 n 大 于大 n， 我 的 p n 就会在我的屁零的到他领域内啊，所以，那么我这里任意的小 n 大 于大 n 呢？我就可以找到无穷多个属于就是这个屁零的点啊。 那么换句话说，就是在他的任意领域内，我都能找到大于大 n 的 这么多个屁 n， 使得他易于屁零 啊。所以我的三推二是显然的，同理，二推一也是显然的。那么既然我都有无穷多个异于霹雳的点，那我把霹雳挖掉，香蕉一定飞空，所以二推一也很简单，那么我们下面只需要证明一能够推出三来，这个证明就结束了。 好，我们我们来看，怎么由一得到三呢？既然对于任意的 delta 大 于零，我都去形领域和 e 相交非空，那我就不妨取几个 delta 嘛，比如说我零 delta 等于一，那我的这个 p 零的 e 这个去形领域，它和 e 相交就不为空集。我不妨就假设我的 p 一 和 p 零不相等，但是 p 一 在这个去形领域当中 好，那么往下我来取 sigma 二好，这个 sigma 二的取法就很很有意思了啊，我取的就是这个 p 零和 p 一 之间的距离和二分之一的最小值啊，取这两个的最小值， 好，为什么啊？我们来看，假设这是我的 sigma， 好， 这是我的 delta 唯一的这样的一个领域内，我在里边找了一个点 p 一， 好，那么往下，我要做一个 p 零的下一个领域啊，那我取的这个距离 delta 二，就应该是取 p 零和 p 一 之间的距离或者是二分之一啊，找它们两个的最小值，谁小我就取谁。好，那么这也是我的 delta 领域啊。 好，那么我在这个 p 零的 delta 二领域内也一定会和 e 相交飞空，那我就取这个和 p 一 不同的点， p 二，它自然也要取和 p 零不同的点啊。好，那么我的这个 p 二，它就会也会在我的这个 p 零的 delta 二领域内。 好，那么继续往下，按照一定的规则啊，我的 p n 取的就是这个 p 零和 p n 减一的距离和 n 分 之一的最小值。好，然后我的这个领域 的矩形领域和我的 e 相交，仍然非空，我不妨就取这个 p n， 它会和我的前面的 n 减一， n 减二啊，一直到一零都不相等。那么这组互易的点列，因为我的这个 p n 和 p 零之间的距离啊，我取的这个德塔 n 应该是小于 n 分 之一的，小于或等于都可以，好，那么它自然就会小于我的 e， p c 了。 当我的 n 趋近于无穷的时候，所以我们就得到了 p n 会收敛于 p 零，所以我的一可以推三，所以这三个定力等价好，这三个定义等价。好，那么界点和。 好，那么刚刚我们通过两种分类，把我空间里面的点分成了两类啊，我们分成了内点、界点和外点。 第二类是离散关系啊，我们分成了距点和孤立点 好，当然这里其实外点也算在内啊，那么我们来看，那么这两种分类是根据不同的规则分的啊，他们之间会有什么内在的联系呢？好，首先我的内点一定都是距点 好，我的界点有可能是距点，有可能是孤立点 好，那么反过来， 我的距点有可能是内点，有可能是借点，我的孤立点只能是借点好。我们来画一个图理解一下啊，假设这是我的点击啊，这里有个空间，外面还有一些零散的点好，那么我们先来看内点， 内点其实就是在这个空间内部的点嘛，那么它的任意领域，趋心领域一定会和我的异向交非空，所以它一定是距点好。其次我们来看界点 好，如果这个界点是在我的边界上， 那么我的任意的它领域啊，趋心领域和我的异向交都非空，所以它是距点。但是如果我的这个界点，比如说是像外面这种离散的点， 那么我们说这些离散的点他都是孤立点，所以我的借点也有可能是孤立点好。反过来，我的据点一定是内点或者借点好。嗯， 而我的孤立点一定是借点啊，所以孤立点一定是内部的点，我的孤立点一定是借点 好。那么从这个分类来说，我们就可以得到一些这样的关系啊。首先我的借点，借点里的元素可以有两类啊，一类是句点，一类是孤立点，他不是句点就是孤立点。然后我的句点也会有两类啊， 要么是内点，要么是借点，他不是内点就是借点。大家体会一下，这是我们的分类。好，刚刚我们讲好，刚刚我们讲的是一些特殊的点啊，内点，借点， 内点，外点，界点，距点和孤立点，那么由这些点组成的集合，我们也给他们起几个名字啊，首先开合，开合是内点所组成的集合，其次是导极，导极是距点所组组成的集合， 然后是边界，边界是界点所组成的集合。最后是 b 包， b 包是 e 并上 e 的 导啊， 好，那么内点组成的集合开合，我们打个小圈圈啊，这个圈圈可以打在旁边，也可以打在上面啊，都可以。距点，我们是用导极啊，一撇，和我们这个含导函数求导差不多这个符号，然后边界是有点像这个偏微分的这个方法，这个记号， 这个来表示我们的边界， b 包是用 e 上面打一横啊， b 包，好，那么刚刚我们说刚刚我们得到的啊，大家回忆一下，我的界点不是距点就是孤立点，那如果我要用集合来表示， 那我的边界，这个他就要么是我的导极，要么是我的孤立点啊，所以他可以看作是这两个集合的并好，那么往下我的距点， 他要么是内点，要么是界点， 所以我 e 的 导极还可以看作是 e 的 开合和 e 的 边界的并。 好，下面我们再来理解 b 包啊， e 的 b 包它是等于 e 并上 e 的 倒积，用数学语言来描述，其实指的是 啊，任意的这个 x 的 领域，它和我的 e 相交都非空。好，那么哪些点可以成立呢啊？首先就是内点和界点，所以 e 的内核 e 的 开合并上 e 的 边界可以是 b 棒，除此之外呢，距点和孤立点也可以，所以 e 的 导极并上 e 的 孤立点 也完全 ok， 当然， 当然我还可以用 e 并上 e 的 边界来刻画好，所以这是我们 b 包的四个等价定义啊， e 并上 e 的 导， e 的 开合并上 e 的 边界， e 的 导并上 e 的 孤立点，或者 e 并上它的边界。 好，那么这里给大家几个实例啊，比如说，我们来看，如果我的这个集合 e， 它其实指的是 x y 这样的点， x 的 平方加 y 的 平方等于一，那我们来求它的开合， 我们求他的开合，求他的到极，求他的边界和币包啊，我们一起来算一下。好，那么这个其实等价于的是一个圆心在零到零半径为一的圆啊，他就是一个圆线。好，那么我们来看他的开合， 开合指的是内点啊，内点指的是总会存在一个 derta， 使得我的这个 x 啊，或者是 x y 这个点，它的 derta 领域整一个都包含在我的 e 当中，但是我发现这个题你是找不到的，所以它内核开合为空。 好，然后我们再来看它的导极， 它的导极指的是就是任意的一个 derta， 我 的去心领域 和我的 e 相交不空。好，那么我们发现啊，在这个上面，我任意一个点，它的趋近领域都相交会空啊，所以其实就是我的 e 啊，得到的就是这个 x 方加 y 方为一的点击。好，我们再来看它的边界，边界指的是什么啊？是界点的全体界点，指的是我和 e 相交 不空，且和 e 的 不相交也不空。 那这样子的这个好借点指的是什么？就是对于任意的 d 塔领域，我啊这个点的领域它和 e 相交非空和 e 的 不 橡胶也飞空啊，这样的点的集合，我们就称之为是边界啊，那么这个题的边界是什么呢？我发现，其实其实就是阿奇，其实就是我的一码 x 方加外方为 e。 好， 最后我要求的 b 包， b 包可以看作 e 并上 e 的 边界，也可以看作 e 的 开合并上 e 的 边界，也可以看作是 e 并上 e 的 到极，也可以看作是 e 的 到极并上 e 的 孤立点。 好，那么这个题其实开合啦，导极啦，边界啦，我们都算出来啦，可是我们用它比较好哎，当然你也可以用它比较好，当然你用它也完全 ok， 反正得到的都是我的 e 啊，所以这个题我的 e 是 这个样子的集合啊， x y 好 的， x 方加 y 方要严格小于 e 了。好，它指的是什么呢？如果我们画图来理解，它指的就是这个 圆里边啊，内部不含边界啊，画出来应该是个虚的圆这样子的圆，然后呢，它的点是在里边的。好，我们先来看我们要求的还是开合到极边界和臂包， 然后我们先来看它的开合，它的开合指的是啊，总存在一个的它领域 包含在我的这个 e 当中，找不到找得到这样的点呢啊，显然啊，我这个里边任意一个点都是啊，所以它就等于 e。 好， 就是我的 x y x 方加 y 方小于 e 往下我们来求导极，导极指的是对于任意的 dota， 我 都有去心领域 和 e 相交非空。好，那么首先内部的这些点肯定是成立的啊。好，我们来看边界上啊，如果我取在这个虚的边界上，我能不能对于任意的 d、 r、 t 都有相交非空呢？区间领域相交非空呢？也是有的，所以我们的这个 b 包啊， 所以我们的这个导极啊，指的是 x 方加 y 方小于等于一，大家体会一下。然后是我的边界， 边界指的是对于任意的 d 塔，另一，我既要有相交飞空的部分， 也要有不在里边的部分啊，所以相交于它的补集也要飞空好。那么这样的点的集合，其实就是我这个圆的外面这一圈啊， x 方加 y 方等于一的这一圈。 最后我的 b 包啊， b 包，比如说我用它和它来写，那么就是 x y 满足 x 方加 y 方小于等于一。 好好好 好，我们再来看最后一个例子，假设我给你的 e 啊，它是零到一 b 区间和我的有理数 q 的 交集啊，让你求导极开合 b 包 啊，我们先来求它的开合，开合指的是什么啊？就是我总存在一个单调，使得我的这个领域 他会在我的意义当中好，但是我们要理解啊，即使他是在 b 区间零到一上，那么我也会在任意一个点当中把他的任何一个领域内找到无穷多个五里数吗？因为他是稠密的，而且里边一定有五里数，所以 它就一定不会在我的意义当中了呀，所以它一定是空集。然后我们来看到导指的是什么？对于任意的德塔，我的去心领域和我的 e 相交都非空。 好，那么首先在这个里边的任意一个有理数，它都成立吗？它的去心领域里一定有无穷多个有理数 好，当然如果我取的是无理数，它的趋心领域里依然有无穷多个有理数，所以相交都是非空的，所以它的倒积是在零到一这个 b 区间上的所有实数。 好，往下我们再来看看它的 b 包。 好，那么如果是现在来求 b 包，其实好，我就直接用 e 一 并上， e 一 得到就可以了，所以是零到一 b 区间。好，大家深刻的体会这三个例题啊。

好，我们家我们来看第三小节啊，对等和基数好，那么对等和基数之前，我们先来复习一下啊，这里要用到的是映射好，那么是什么是映射啊？其实在数学，你只要学数学，你肯定要学什么是映射啊？好，那么映射指的是什么呢？就是对于一个非空几何 x y 两个， 那么每一个 x 都会有唯一的 y 与之对应，这样的对应法则，我们就称之为是映射好，那么这个映射里有一些比较特殊的啊，单射， 满射和双射好，双射我们也称一一映射好，我们来看单射是什么啊？其实在很多课程的证明当中，我们都会用到啊，单射的意义就是，对于如果有 far x 等于 far y， 那 么我一定要有 x 等于 y 啊。 好，满射是什么呢？如果有一个 y 啊，它是属于 b 的 啊，或者是属于大 y 的， 我一定能够找到一个 x， 使得 far x 等于 y 啊，也就是它的原象必须得存在好，单射的意思是，当它的象相等时，原象必须相等好，双射，它是一映射，其实就是记单且满 好，这是我们映射需要掌握的东西啊。第一个好，往下，那么什么是对等和基数呢？好，这里的对等啊，它是从 a 集合到 b 集合的 好，这个否是双射好，我们就称 a 和 b 对 的，用小波浪线来表示啊， a 和 b 对 的。好，那么这里我们规定空集和空集对的好，我们来看 好，那么如果两个集合对的，我们就称它们有相同的基数，也称之为是二，记作 a 上面两横，那么 a 和 b 对 的啊，意味着 a 的 基数等于 b 的 基数， 那我们来看几个比较显然的对等关系啊，比如说我的全体正基数会和我的全体正偶数对等， 好，那我用哪一个双射来关联呢？ a x 加一好，比如说我的正整数 也会和我的正基数或者正偶数对等， 用哪一个来关联呢啊？一个是 five 等于二 x 减一或者加一啊，一个是 five 等于二 x， 好， 那么除此之外，我们常见的还有什么呢？ 比如说，我还可以用区间二分之派，负二分之派到二分之派和区间负一到一对的啊，利用什么呢？哎，利用撒引 y 等于三 x， 我 还可以建立开的负二分之 pi 到二分之 pi 和实数 r 对 等啊，用什么呢？哎，用 tangent x 好， 只要这个 pi 是 一个一一映射啊。双射，我们建立起来的关系就是对等关系。好，这是我们的对等和基数啊，基数是什么啊？就是对等集合就会拥有相同的基数啊。基数其实可以理解为是有限元个数的一个推广。 好，那么了解完什么是对等之后，我们来看对等会有什么性质啊？好，对等这个小波浪大家其实很常见啊，他和我们近视袋数里的等价有点相似啊，所以他的性质其实也是等价的性质啊，自反对称和传递 好，如果 a 和 a， 他 本身一定是对等的，如果 a 和 b 对 等，那么 a 对 等 b， b 对 等 c， 那 么 a 就 对等 c 啊， 好，那么基数的大小之间会有怎样的关系呢？啊？我们来看一下，如果 a 和 b 对 等，按照定义来说， a 和 b 就 有相同的基数，所以 a 的 基数等于 b 的 基数。好，如果 a 会和我的 b， 他的一个子集 b 一 对等，我们就称他的基数小于等于 b。 好，那么这里更严格一点，如果是个贞子级，那我就严格想往下我们给出可数级的定义啊。好，那么什么是可数级呢？就是与正整数级对等的集合，就叫做可数级啊。好，那么对等，其实就是你能够找到一个双设发啊，使得我的这个， 嗯，你要求的集合，比如说 a 吗？ a 和我的正整数 z 来对等。好，那么这个 a 就是 可数级或者可数级列啊， 这里我的这个可数集，它就会有一个等价的重要条件啊，什么意思呢？就是我 a 里的元素总可以排成这样子的一个无穷序列。好，那我就只要找到一个 if， 把我的 a 一 和一对应， a， 二和二对应 a 三和二三对应啊，那么找到的就是一个对等。 好，比如说，我们来举个例子啊，那么什么样的是可数集呢？好，比如说我的这个取的是二 n 啊，也就是我 n 里的每个元素都乘二，那么他对应的就是二四六，一直到后面的二 n， 然后点点点，对吧？ 好，然后我的 n 呢？他是一二三啊，一直到 n 啊，往后，往后，首先他们肯定是无穷训练，其次我能够找到一个否啊，他其实是把 x 变成了二 x， 这个否是一个双摄。 好，那么我的这个二 n 就 会和 n 对 的，那么自然我的二 n， 它的基数就会和 n 的 基数相同啊，它们只要是对的，那我的二 n 这个集合， 那它的也就是 y x 等于二 k k 来属于我的正整数 啊，或者是自然数集。好，他就是一个可数集啊，大家体会一下。可数集啊，和我的自然数集正整数集，对的，好，那么他会有哪一些性质呢？ 好，首先他一定啊，任何一个无限极，他会有哪些性质呢？首先可数集他要和我的自然数集对等啊，他首先一定是个无限集合， 它一定是无限的啊，有线它就不可能可数啊，有线它就不是可数集合，它一定是个无限极好，那么在任何一个无限极里，我总可以找到一个子极，把它排列成 n 的。 对的啊，所以任何一个无限极啊，都至少 有一个可数子极 好，那么这个可数子极啊，它就是无限极中具有最小基数的集合 啊，这是他的一个特征啊，他是所有无限极中具有最小级数的集合。好，那么除此之外，可数级的子集 好，你取出来的子集啊，就可能会是有限集合，或者是无限集合。如果是有限级呢，他就是有限级，如果是无限级好，那么可数级的无限级绝对也是可数级。 所以我可数级，要么他的可数级的子级，要么是有限级，要么是可数级好，这两种情况，我们也统称为智多可数级。 所以更进一步，我可数级的子级好，智多有限级。呃，智多可数级， 要么是有限级，要么就是可数级好，那么可数级的子级是以上的一些性质，它的交它的并级会有什么样的性质呢？假设我们给定三个集合 ab， 假设我们给定两个集合，一个 a 是 可数级，一个 b 是 有限级，它们的并级仍然是可数，为什么呢？哎，那么它们并起来，我不妨就把这个 b 里的元素放在前 n 个好，把 a 里的元素放在后面的，从 n 加 e 开始。 好，那么我的这个他总，他就是一个无穷序列啊，我总可以把它排成一个无穷序列，自然就是可数集。好，那么下一个如果是有限个可数集的 b 呢？比如说，我们再取一个 c， 他 也是可数集，那么 a b c， 好， 我仍然啊，我采取这样的形式啊，我 c 一 取一个 b 一 取一个 c， 二取一个 b 二取一个，我排出来的他仍然是一个 无穷序列啊，所以它仍然是一个可数集。所以有限个可数集的病还是可数集。更进一步，你还可以去证明，可数个可数集的病仍然是可数集。好，这样我们的无穷序列怎么选呢？啊，我们就以这样子的规则来选啊， 好，这样排出来的这样一个啊，这个我们的并集啊，啊， a 并上或者是 i 从一到一到无穷。这个 ai 啊，这样一个集合的并，我们采取这样的数这个顺序来排列， a 一 一 a 一 二 a 二一 a 三一 a 二二 a 一 三啊，采取这样子的一个顺序来排列好，它仍然是一个无穷序列，所以它自然也是一个可数积。 好，所以这里的性质大家记一下啊，有限可数的并仍然可数。有限个可数积并仍然可数。可数个可数积的并仍然是可数的。 好，那么我们如何来证明全体有限有理数的集和 q 是 一个可数集呢？啊，这个很重要，之后我们会经常用到有理数集 q， 它是一个可数集啊，好，这里的证明我们分三步啊，第一步，我们证明 ai。 好，这个的定义是， i 分 之一， i 分 之二， i 分 之三，一直点点点啊，这个 h 一 二三好，比如说我的 h 一， 带进去就是一二三四五，就是一个自然数级啊，我的 ai 好， 它一定是可数的 好，为什么呢？啊？比如说我的 h 一， 它对应的这个 a 一， 它其实就是一二三好，它其实就是我的整那个自然数及 n 好， 如果我的 h 二，我的 a 二，就是二分之一， 二分之二，二分之三啊，它其实就可以记作是二分之 n 嘛，它一定会和 n 对 等。那么同理，你 h 任意数，它都会和 n 对 等，它们都是可数集好，那么我们说可数集的 b 可数个可数集的病啊，并起来他仍然也是可数集，而他们取病之后，就一定是我的正有理数好。换言之，正有理数是可数集 好，那么既然我的可数集分成了正有理数二，我的有理数集就可以分成正有理数，并上负有理数，再并上零，而我的负有理数也一定是可数集。为什么呢？因为我完全可以找到一个双设法，它就是把 r 印成负 r 好，那我的 r 里的元素如果来自于的是赋有理数，那我映射过去的这个 r 就 一定会来自于正有理数，而我的这个否一定是个双射 好。所以我就证明了啊，那么我的赋有理数一定会和正有理数对的。那么自然赋有理数就是可数集好，往下，它可数， 他可数。我们说有限个可数级的病仍然是可数，可数级和有限级的病仍然是可数，所以我们就证明了有限级有理数级是个可数级和 好，那么除了子集和并的性质之外，我们还有卡尔卡氏基的性质啊，大家来回忆一下之前我们讲过的值基啊，其实就是啊，比如说 a 叉乘 b， 它指的是 ab 这个元素好， a 来自于 ab 来自于 b 好，那么现在假设 ai， 它都是可数集好，我们的卡式机 a 一 叉成 a， 二，一直叉叉叉叉到 a n， 它仍然是可数集 好，注意啊，这里到 n 就 结束了，所以有限个可数集 的值积式可数积好。比如说啊，我们举些例子啊，比如说平面坐标 为有理数的的点子全体 哎，它就是一个可数计好，因为这个坐标是有理数啊，平面坐标每一个分量是有理数，它就可以看作是有理数和有理数的值基啊，它自然是一个可数计 好。比如说整式多项式、整系数多项式 a 零 x 的 n 次一直加加加，加到 a n 减一 x， 再加 a n， 它也是一个它的全体，也是一个可数积 好，为什么呢？啊，这里我们也来简单的说明一下。好，如果我把 a n 看作是这个整系数多项式的全体， 好，首先这个 a 零，它肯定是要来自于非零整数啊， 好，剩下的 a 一 啊，一直到剩下的 a 一， 一直到 a n 啊，它就是，它就都来自于整数啊，所以它，其实啊，你的这个系数 a 零， 你是可以看作是 z 零啊，这个 z 零表示的就是 z 挖掉零啊和 z z z 啊，这里因为我的系数是从 a 一 直到 a n 啊，有个 n 个数，所以这里看作是 n 个 z 的 值基，再乘上 z 零啊，是这样一个集合会和这样一个集合对的好，那么这边这个集合呢？首先它是有限个，而且 啊，我的这个它， 而且我的 z 和 z 零，它都是可数积，所以有限个可数积的值基，它就是可数积，所以它是一个可数积，那么这个是可数积，和它对等的 a n 自然就也是可数积。好，我们就证明了这个整系数多项式的全体是一个可数积。 好，那么更进一步，我们还可以推导出啊，代数数的全体是可数记。好，那么代数数是什么呢？好，其实就是整系数多项式的根 好，所以不止整系数多项式的全体是整系数多项式的根的全体也是可数记。

好，下面我们来看一些例题。首先第一个题，我们求这个 f x， 它的离脉隔肌分啊，好，那么注意这里啊，它有的时候可能会省略这个 l， 但是你只要底下求的这个是个区间二是零到一这样一个区间，而不是写作零到一这样一个 东西啊，那么前一个我们都是表示离脉隔肌分，后面一个是离脉肌分啊。好，我们来求这个勒贝隔肌分。 好，那么怎么来求解呢？首先观察左边这个 f x， 它其实定义域是在零到一上的，而这两个函数解析是求出来的，一定是非负的函数，所以 f x 是 个非负可测的。 好，那么非负可测的零麦格积分来，自己回想一下它的定义啊，它是分解成那个 简单函数，对不对？好，那么分解成简单函数之后，再乘上呃这个 x， 它所在的区间测度好，那么我们来观察啊，它其实是有理数和无理数以及 x 等于零，但是只要是与有理数相关啊，我们的这个 x 属于零到一并上这个有理数这个集合， 它的测度一定为零，那么不管前面你分解成什么样的简单函数和测度相乘都是零。所以更进一步，我们要求的零到一上的这个 f x， 它的勒贝格基分其实就变成了零到一上啊，我们后面这个度，前面那个和， 呃，这个有理数有关的，这个我们就不要了嘛，我们只要无理数的这个好，那么就变成了一加 x 的 平方分之一 d x。 好，然后呢，进一步，我们说离麦额贝格积分和离麦积分的转化是什么？只要他在区间 a 到 b 啊，也就是这里零到一上，他 离麦可积，那么他就一定勒贝格可积，而且值相等啊，这是显然的吗，在零到一上这个函数，我们是能找到原函数的。什么呀？ ark tangent， 所以 更进一步，这个离麦格积，勒贝格积分就会变成零到一上一加 x 的 平方分之一 d x 就是 这个离麦积分。更进一步就是 ark tangent x 零到一。好，那么带进来就是阿克托尼特一减，阿克托尼特零就是四分之派。好，这是我们的第一个题。 好，我们来看第二题，求这样一个极限，这个题目，很显然啊，它出现了一个极限，对不对？极限，然后又出现了一个积分啊，那我们的常规想法，极限和积分出现在一起啦，就要想到勒贝格控制熟练定律 什么呢啊，来回忆一下勒贝格控制收敛定律理的条件啊，是三个。首先给你两个函数啊，两组函数，一组是 f k， 一 组是大 f， 它们两个都可积啊，勒贝格可积，好，第二个，我的 f k 这一族函数，它会收敛于一个 f。 好， 第三个，我的这族 f k 会被一个大 f 控制住啊，也就是它的绝对值小于等于大 f。 好， 这三个同时满足，那么我就可以实现积分和极限的换序。 什么意思呢？好，这里其实就相当于是 k 趋于无穷时， f k 趋近于 f 嘛。好，那么如果我要求的是当 k 趋近于无穷时啊，在某一个区间 e 上 f k， 它的积分， 极限啊，就可以变成求极限的积分啊，实现极限和积分的换序。换言之，就求 f 它在 e 上的积分。 好，那么这个题显然我们也要实现这样的步骤。好，那么要实现这样的步骤，我们的关键就是一定要找得到啊。这个题的关键其实要找得到这个大 f， 只有这个大 f 存在，你才可以用这个控制收敛定力。 好，那我们来看一下，这个函数里的 f k 显然是一加，显然是一加上 n 方 x 的 平方分之 n x 乘上三引 n x 的 五次方吗？这是我的 f k， 对 吧？或者说 f n 吗？ 好，那么我的 f n 究竟会被哪一个大 f x 控制呢？我们一起来看啊。首先这边这个 撒引 n x 的 五次方，它其实一定会小于等于一，所以这个值一定会小于等于一加 n 方 x 的 平方分之 n x。 好， 这是一个技巧啊，看到撒引一定要把它放松啊，它一定小于等于一，它的绝对值，所以就会小于等于它，那么往下这个部分呢？哎，很好， 其实这里也还是对于这个地方是有进阶的啊。 n 方 x 方加一，它其实是什么？基本不等式吗？它会大于等于二倍 n x， 好， 那么分母越大，分子就会越小，所以它进一步小于等于 n x 分 之二， n x 也就是二分之一。好，那么我就可以把二分之一这个看成大 f x， 它一定是勒贝格克奇吗？ 所以我也找到了这个大 f x， 所以 我的 f n 是 小于等于大 f x 的 这个条件成立，这两个条件成立，而且我们来找 f n， 它会收敛于什么？那么当 n 趋近于无穷的时候，我们观察。首先一加 n 的 平方分之 x 方， 分之 n x 好， 当 n 趋近于无穷大的时候，我的分母增加的会比分子更快，所以这个量会趋近于零。然后我的撒引 n x， 我 们刚说了，它是个有界量，它一定小于一，换言之，这个 f n， 那就是我们数学分析的东西啊，它是一个无穷小，乘上一个有界量，自然还会趋近于无穷小，所以趋近的这个小 f 就是 零。好，那么这道题我们已经完全解决了啊，我要求的这个极限积分的极限啊，这里我不抄了，就变成了极限的积分，而这个极限 f x 就是 零。 好，所以在零到一上，这个零的 d x 一定为零啊，所以这个极限值为零。 好，下面我们来看第三题啊，他说 e 是 一个可测极， f 呢，在这个可测极上可积好，然后又给了一个 e n， 这个 e n 是 什么呢？是使得 f 的 绝对值大于等于 n 的 原象极，让你证明 n 乘以 e n 的 测度为零。 好，那么首先我们来研究啊，这里为什么会出现绝对值，而给的是 f， 这里你要迅速地能够从 f 可积得到它的冲要条件 f 的 绝对值可积好，再迅速地从啊，因为这里是 f 大 于等于 n 啊，一定要有这样的感觉啊，我一定可以得到可积，就可以得到。这个函数是几乎处处有限的， 也就是说他小于无穷，是几乎处处成立于一的。好，那么几乎处处成立，更进一步得到的就是什么不成立的集合原象不成立的这个原象集是测度为零的，换言之，就是使得绝对值等于无穷的这些点一， 他的测度 m 为零啊，是个零测极。好，这是我们你要能迅速得到的这些结论啊。好，那么往下我们来看，现在我们要求的这个东西啊，你要怎么来转换啊？你怎么来找这个东西？好，我们怎么来转化啊？我们借助这个 f x 绝对值在 e 上的积分。 好，那么这个积分，首先这个 e 你 就可以拆成两个啊，一个是我们这里所谓的 e n， 对 不对啊？所以我就可以拆成 e n 和 e 加减 e n。 好， 这里采用到的是这个区间的可加性啊。好，那么里面都是对 f 这个绝对值函数来求积分。 好，那么这边这个值它肯定是个正数啊，因为我是在一个相当于呃，这个这个区这个区间 啊，或者说这样一个集合上去绝对值的积分，那么你这个积分了，别个积分你求出来，一定是啊，趋近于它的一个简单函数乘上它的侧度嘛，最小都是零嘛，所以这个数会大于等于啊，我们第一个部分 f 的 绝对值，它的积分在 e n 上的积分。 好，然后呢？我的 f 在 这个 e n 上，我要求是什么？哎，是绝对值大于等于 n， 对 不对？所以它的值最小是 n， 所以 它更进一步就会大于等于 n 乘上 e n 的 测度。哎，你发现这就出现我们想要的东西了， 对吧？好，那么现在我要证明这个值会趋近于零，可以怎么来证？哎，大家就有思路了吧，我就证明它前面的这个东西趋近于零嘛。 好，那么它，它前面这个比它大的东西都趋近于零了，它自然就也趋近于零了呀。好，所以我们来证明这个东西成立，这个东西会趋近于零成立。好，那么这个又为什么会趋近于零成立呢？ 好，又回到这其实是个勒贝格积分嘛，勒贝格积分，你要证明的是两个啊，要么就证明它的值会趋近于零，要么就证明它的侧度会趋近于零。 好，那么如果他的侧度会趋近于零，或者说他的侧度就是零，或者是个很小的数，那么乘上他的值就会很小。这个东西你是不是觉得很很很熟悉？侧度侧度很小的时候的值会很小。什么绝对收敛，所以这里要用到积分的绝对收敛性 好。积分的绝对收敛指的是什么啊？大家回忆一下，积分的绝对收敛，积分的绝对收敛指的是当我 a 的 测度五逐渐无限小啊，小于 d 它，好，那我这个 在 a 上，对于 f 这个绝对值，它的积分也会无限小，这就是我绝对收敛的定义啊。好，那么这个题显然就是拿绝对收敛来做哈，我们来看怎么做？ 好，那么我要证明的这个东西无限小，我就要来证明，也就是说在 e n 上这个测度也要趋近于零嘛。好，那么为什么在 e n 上的这个测度会趋近于零？首先根据刚刚我们预测的啊，我们的这个 e n 它的测度，它其实应该会，呃，小于等于 n 分 之一倍的这个积分，在 e n 上 f 的 积分， 好，这是其一。好，当然还大于等于零。好，那么现在如果我两边同时取 n 趋近于无穷，好，那么这边这个，这里是个积分值，对不对？好，那么不管这个值是多少，你前面取了 n 分 之一，这个肯定会趋近于零啊，所以他的最大值都会趋近于零了，所以 我的这个 e n， 它的测度，它就会趋近于零啊。大于等于零，小于等于零吗？就会逐渐趋近于零，它的极限值就是零啊，应该是这么写，它的极限值就是零， 对吧？那么它的极限值就是零，我就可以推出什么，推出这个 e、 n、 f 的 绝对值 d x， 它也会趋近于零 啊，他会取无限些啊，好，换言之，就是当 n 趋近无穷时，我们的这个极限值就等于零。好，那么它等于零。更进一步，由这个绝对收敛性啊，这里是绝对收敛，这里是由绝对收敛性得到的。 好，是我的测度无限小时，我的值也会去变化，也会无限小。好，那么由它也趋近于零啊，这里就由到了这个不等式，那么比它大的数都趋近于零，所以我们的 n 乘上 m e n， 这个值就会趋近于零。好，所以它的极限就是零啊，这就是我们的这个证明题。 好，下面我们来看这个例题啊，来看，先读这个题的条件啊，他说这个，首先有个小于这个测度不为无穷啊，小于无穷的这么一个 集合 e， 然后呢，有一组 fn， 它是几乎处处收敛可测的。然后呢，让你证明这个极限等于零，当前仅当 fn 一 侧度收敛于零啊，好，那么这里又回到了一侧度收敛。这个的含义是什么？ 这个的含义应该是，呃，啊，好，那么更进一步又来了啊，好，那么好，我们只要看到积分和极限的关系，是不是就想到了勒贝格控制收敛定律？ 好，那么控制收敛定律又是三条，第一条，第二条，第三条啊，第一条我的 fn 和大 f 要可测啊，要可积。 第二条就是我的这个，嗯， fn 它要趋近于一个 f。 第三条就是我的 fn， 它要被某个大 f 控制好，只要能找到这个大 f， 就 可以用控制收敛定力啊，然后就找这个极限值。好，我们先来观察一加 fn 分 之一 fn， 它显然是小于等于一的， 对不对啊？这个绝对值它肯定是小于等于一的，我不妨就把这个，嗯，大 f 看成这个一啊，所以我就找到了这个收敛就是控制它的函数，而这个一和 f 都是可测的，可积的，所以我最后再找到这个极限值就可以了，那我这个积分的极限就可以转化成是极限的积分， 对吧？而这个题告诉题，设，我们先正左边嘛，我们先正由左至右啊，我假设这个极限就已经是零了，好，那么它在一个 e 上，这个 e 它的侧度是有限的，所以我只能是 f x 来等于零，也就是说，它的收敛的这个函数 就是要收敛于零嘛。啊，所以说，你的这个 fn， 也就是它的绝对值，除以一加上 fn 的 绝对值，这个函数它得收敛于零， 对不对？好，那么一般这个其实是几乎处处收敛，或者说是好，那么这个收敛我就可以进一步推出。什么呢？几乎啊，这个一侧度收敛， 因为其实我们的收敛是比一侧度收敛条件更强的啊，好，所以他就会一侧度收敛于零。 好，然后呢，我要从左边推到右边，那么我要证明 f n 它 e 测度收敛于零，其实证明的是什么？哎，是证明 f n 它的绝对值大于等于 c 格码，当然这个 c 格码是任意的 好，对于任意的 c 格码大于零，它大于等于 c 格码，这个的原象极 e， 它的侧度为零啊，这是我要证明的好，那么怎么来证明呢？哎，我们就来取这个 f n， 它的绝对值大于等于 c 格码 好，那么 fn 的 绝对值大于等于 c 格码，其实等价于的就是 fn 分 之一加 fn 的 绝对值好。 为什么会想到这个？因为题是给的我是这个嘛，对不对？我从条件里翻译出来的这个结果，能用的东西是这个，而这个其实相当于与 fn 的 关系是什么？就是 x 分 之一加 x 这个函数输入了 f f 的 绝对值好，那么这个函数更进一步，它其实是一加 x 分 之一加 x 减一， 其实是一减掉一加 x 分 之一，它是一个在一到正无穷上增的好，那么我要证明的这个 f n 其实等价于是证明一加 f n 分 之 f n， 它大于等于一加 sigma 分 之 sigma， 好， 对吧？而我的这个，它 f n 的 绝对值除以一加 sigma 的 绝对值，它确实是一侧读收敛于零。换言之，对于任意的 sigma， 这个 它是趋近于零，它的侧度去是等于零的，这是成立的，那么这边它等于零也是成立的，所以我的 fn 就 会一侧度收敛于零，这是左边正右边。 好，我用到了哪些？首先我用到了勒贝格控制收敛定力，找出了这个 fn 所收敛的函数 f， 所以推出了这个 fn 的 绝对值除以一加 fn 这个函数，它一侧度收敛于零，再用这个条件去证明的 fn 一 侧度收敛于零，这是左边正右边。好，我们再来看右边怎么正左边 好，下面我们来看右边怎么正左边啊。那么如果我的 fn 它一侧度收敛于零，按照定义就是对于任意的 sigma 大 于零，我， 我 f n 的 绝对值大于等于 sigma 这个的测度 e 啊，这个的原像及 e， 它的测度为零。好，那么按照刚刚我们分析的，其实 啊，或者更严谨一点，我们还是说去零吧，它的测度是去零的好，那么按照刚刚的分析啊，我们原我们要找的是这个东西好，那么这个东西是不是又嵌套到了刚刚那个函数，那个函数是增的嘛？那我们才说，所以 你的 c 个码大于等于你的 f n， 你 的 f n 绝对值大于等于 c 个码，会和 f n 比上一加 f n 的 绝对值大于等于一加上 c 个码，分之 c 个码是等价的，而我的一加上 c 个码，分之 c 个码，这是个增函数，所以它 大于等于 c 个码。换句话说，你要求的这个 f n 的 绝对值，一加 f n 的 绝对值，它大于等于 c 个码。好，这个集合 e， 它其实是 f n 大于等于 c 格码这个 e 的 子极，那我它的这个侧度一定会小于等于它的侧度嘛，而这边这个侧度是零，或者说趋近于零，所以这边这个侧度也会趋近于零。换言之，我的 f n 的 绝对值比上一加 f n 的 绝对值就会一侧度收敛于零。 好，然后呢，我的 f n， 他的绝对值比上一加 f 的 绝对值，他又会整体小于等于一，所以有控制收敛定律啊，你又找到了这个 f， 他 又是可积的，他又有控制函数，所以我们的这个 n 趋近于无穷这个积分， 也就是这个积分的极限就会变成极限的积分啊，就变成了零的积分，自然就为零。好，所以我就反过来也推导出来了。

好，下面我们来看第五章的第三节一般可测记函数的罗贝格积分啊。好，那么首先我们要给出一般可测函数啊，因为它非负，但是我们只学过非负的可测函数，所以我们就要找关系啊。好，那么这里我们发现 f， 它会等于 f 正减 f 负。 好，这是它的正部，这是它的腹部。 好，那么现在我对 f 积分就可以转化成对他们两个的差值积分。好，进一步，我们定义啊，我们如何来定义？ 好，我们来定义一般可测函数的积分啊，它的积分就是正负的积分，减负部的积分，有点像是对 f 积分，然后括号展开这种感受啊。好，那么更进一步，如果这两个至少一个有限， 好，我们就把这个值称为是上积分。好，它就存在上积分了啊，至少一个有线就存在上积分了，如果两个都有线， 好，我们就称它可积。 好，那么这里注意一下啊，那么通常我们来证明一个函数，它可积啊，不是证明 f 二，尤其是一般可测函数，我们证明的是它的绝对值啊。 好，为什么它可测，它的绝对值就可测呢？因为绝对值和正部腹部的关系啊，我的绝对值会等于正部加上腹部，那么如果我的离麦格积分，它本身是对于这个 f， 他的离麦格积分他是有限的，换言之，这个得是有限的，这个得是有限的，对不对？他们的运算才可能有限吗？不然肯定是会和无穷挂钩的，那么他们的差值有限，自然和就有限，所以绝对值也是有限的，那么反过来，绝对值有限，他们的 正部腹部也一定有限，所以做差有限，所以他就也可积啊，所以绝对值可积和他本身可积是冲要条件好，这是一个很重要的性质 好。那么在给出了可测函数的定义之后，我们来看看他会有哪些性质啊？其实他的性质和非负可测有些类似啊，但是他的性质要更多更广泛，而且其中有一个控制收敛非常重要啊。我们先一步一步来说，首先， 它有几个基本事实大家要掌握好，就是如果我的 f 可积，那我的 f 一定是几乎处处有限的，也就是它小于无穷，是几乎处处成立于一的，几乎处处有限。 好，其次，如果我在邻测集上， 那么我在 e 上的任意函数，它的积分都是零。好，如果我的 f x 等于零，是几乎处处成立于 e 的， 我也能推出积分为零。 好，如果我的 f x 小 于等于大 f x 几乎处处成立于 e， 那 么大 f x 为可测 啊。维克基，我也能推出小 f x。 维克基，我们仍然是把这个大 f x 称之为是控制函数 好，这是一些基础的事实好，往下我们来看它有哪些性质。首先，仍然对区间可加 好。也就是说这个可加，如果 a 交 b 等于空集，那么在 a b 上的积分 a 并 b 上的积分就可以拆成在 a 上的积分加上在 b 上的积分。 如果我的区间 e， 它可以表示成一组两两不交的区间之比啊。 e i e j 相加为空，那我在 e 上的积分就可以等于在每个 e i 上去积分再求和 好，这是我们的区间区域可加性。 当然，其实在控制函数这里，我们还可以得到单调性嘛，其实控制函数这个性质，我们就是从单调性得来的。如果 f x 小 于等于 g x， 那 么我 f x 的 积分在同一个区间上小于等于 g x 的 积分在同一个区间上。 好，所以我们的单调性也是成立的。当然，这个单调性除了函数还会有区间好，如果 e， 它是 e 的 子集，那么在 e 上对同一个函数取积分，就会小于等于在 e 上对同一个函数取积分。 而且这里不要求它严格啊，其实我只要几乎处处成立啊，就是可以的啊，几乎处处成立就已经能得到结论了。好，当然我们还有和非负的差不多啊，就是还有一个，如果 f x 它有界小于无穷啊， e 的 测度也有限， 那么我 f 在 e 上的这个积分一定是小于无穷的，换言之， f 在 e 上可积好，这些性质都是类似对不对？好，往下会出现一些不同的啊，还有心性预算我们没说啊， 我们还是在这里编个号吧，免得大家搞混了啊。四十一，四十二，四十三，四十四啊，然后五区间可加信，然后六单调信，然后七啊，有界， 呃，这个函数有界，去这个区间测度有界，那么就可积，那我们的八就是我们的限行性质好，注意注意啊，这里的 c 之前非负可测和非负减减都要求乘上的这个数，要是非负实数好，那么来到一般可测 的积分当中，这个 alpha 就 可以取任意实数啦。好，那么我们还是有那个性质啊， alpha f 加贝塔 g 来求积分好，它一定等于 alpha 倍的 f 加上贝塔倍的 g 好， 那么刚刚讲的这些，其实在我的非负可测函数当中都有类似的性质啊，那么往下我们要介绍的就和非负可测函数有较大不同了啊。好，第一个， 绝对连续性。 好，什么意思？ f， 它是可测的，它是可积的，那么我就可以推出，对于任意的 e、 b、 c、 o 大 于零，都会存在一个 derta。 对 于任意的可测级和 a， 它是 e 的 子集， 只要 a 的 测度小于 derta， 就 会有 f， 它在 a 上的积分绝对值小于等于 f 的 绝对值，在 a 上的积分小于 e、 b、 c 了。 好，那么它是一个什么意思呢？它结实的其实就是我的这个。呃，勒贝克积分，它好像有一种连续性在，就是当我的侧度变化很小的时候，我的积分变化也会很小。 好，那么这其实是罗贝格积分，一个很好的性质啊，当我的区间足够小的时候，我在区间上的变化也会足够小。 好，第十个，请大家打三个信号在旁边啊，这个性质非常重要，控制、收敛、定力，他几乎是整一本书最重要的性质和定力啊。控制收敛、定力， 他说的是什么呢？好，假设我有一组 f、 k， 它是可积的。 好，那么这里可积，我们可以简记为记入大 l、 e、 r 这个符号代表的是在 e 这个集合上可积的所有函数。好，那我的 f、 k 是 上面的一组可积函数大 f。 啊，我的这个控制函数，它也是可积的。好，这是第一个啊，我们找到一列函数，它可积大， f 也可积好，如果有 f、 k， 它 几乎处处收敛于 f， fk 的 绝对值还小于等于大 f。 好， 当然，这也是几乎处处成立的，我就能够推出什么好，我的积分可以换去二积分和极限好。当 k 趋于无穷时，如果我先对 函数求极限，它一定会等于先对函数求极限， 再取积分好，其实自然就是 f x 的 积分好，这个非常重要啊，一侧度收敛， 首先我可以实现积分与极限换序，而且我的结果就是它几乎处处收敛得到的那个 f。 那 么这里说一下啊，其实除了几乎收敛，我们这里如果是 f k 一 侧度收敛于 f 啊，我得到的这个性质也是成立的啊。 啊，为什么呢？因为其实一侧读收敛，我们是能够找到一个子列，使得他几乎处处收敛的吗？通过李自定理啊，这个我们是得到的，那么其实一侧读收敛，我就可以推出是几乎处处收敛，那我找到的这个子列，我就继承 f k 啊，我就又回到了我们的这个控制收敛定理啊，所以一侧读收敛也可以 好，那么我们之前说过啊，其实之前我们是 在非负可积的时候，我们是来为定理实现的积分和极限的换序啊，那么我们有了来为定理，自然就会有逐项积分。那么 在一般可测里，我们是通过控制收敛的定理的实现的积分和极限换序啊，那么有积分的极限的换序，其实我们对应的就会有逐项积分。所以这里我们把最后一个定律说掉啊，逐项积分定律 好，就是我的 e， 它可测， 我找到的这组 f n， 它也可测啊，甚至是可积的好，如果 正向极数啊，就是对 x 的 绝对值，取极限的积分求和它收敛， 那么我的函数相奇数 n 去无穷 f n 啊，这一组数列的和它在一上几乎处处收敛，而且我们还可以得到 它求和啊，它这个函数相奇数，它的积分一定会等于积分求和 啊，也就是积分这个正向级数啊，积分求和。

好，下面我们进入第三节，开级 b 级完背级啊！首先我们来给出什么是开级，什么是 b 级啊？开级是什么意思？哎，就是它如果是 n 为 q 式空间当中的一个点级啊，每一点都是它的内点，换言之，如果 e 包含于 e 的 内点，那么 e 为开级 好，而我的 e 的 开合，它一定是在 e 当中的嘛，内点的集合一定是在 e 当中的，所以其实这个还等价于 e 等于 e 的 内开合 好。举个例子啊，之前我们讲过的这样一个练习啊，如果 e 呢，它是一个点极啊，这个点 x 方加 y 方小于 e 好， 首先它的开合我们之前也做过啊， 其实就是 x 方加 y 方小于一，它刚好和我的 e 相等啊，所以它就是一个开极 好。那么什么是 b 极呢啊？ b 极呢？就是如果每一个句点都属于 e， 换句话说啊，它的导极包含于 e， 那 么我们就称 e 为 b 极， 每一个距点都属于 e 好， 那么再举个例子，比如说之前我们讲的 e 啊，啊，如果 x 方加 y 的 平方小于等于一，我们来找它的导极， 它的导极指的是距点的集合，就是任意一个趋近领域相交非空，其实就是 x 方加 y 方小于一，这个集合，它们两相等，所以得到的它是个 b 集。 好，那么这里针对开级和 b 级有一些显然的结论，大家可以记一下啊。首先，开级 领域都是开级， 因为我得到的都是绝对值严格小于零嘛， 我得到的都是绝对值严格小于等于它嘛，好，除此之外，对于 r e 啊，也就是呃，这个 e 为的欧式空间，它所有的开区间，任意开区间都是开极好，这个大家可以先记一下，后面我们会来严格证明啊，任意的开区间都是开极 好，其次，空集和 n 为欧式空间也都是开极 好，那么 b 级有哪些弦的结论呢？好，那么 b 级有哪些弦的结论呢？首先， 如果 e 的 导极是空极，能推出 e 为 b 极好，其实这是 b 极的第二个定义啊。我们要证明是 b 极，除了证明 e 的 导极包含于 e 之外，我还可以去思考，如果它的导极直接是空极，它就一定是 b 极 好，这是 b 极的第一类情况啊。第二类特殊情况，非空有限点列， 它一定也是 b 极，为什么？因为非空的有限点集啊，它就没有聚点， 它的导极为空啊，其实它就是上述的一个特殊情况好。除此之外，我的空集和 r n 也都是 b 极， 还有一类二，我在 r 一 上任意 b 区间也是 b 级 好，大家可以类比去见啊。首先，空集合 r n 既开右 b， 其次， r 一 上的开区间是开级， b 区间是 b 级好，那么针对不同的啊，我们的领域是开级好，我的非空有限点级是 b 级啊，如果它的导级是空级，那么它一定也是 b 级 好，大家体会一下。好，这是第一个定力啊，这是我们一些比较显然的 好，下面我们来具体的证明一下。首先，开区间一定是开极好，我要证明他是一个开极，其实只要正我 e 在 e 的 开合当中，因为 e 的 开合包含 e 是 显然的啊，之前我们是说过的好，那么这个又是为什么呢？我们先来画一个图感受一下啊。 假设这是我的开区间啊，这是左端点，这是右端点。好，我要证明它是开合，那么就是证明 我这个 e 当中的每一个元素都是内点就行了呀。那么怎么来证明呢？我假设取一个 e 好， 任取一个 x 好，那么怎么来证明呢啊？我就任取一个 x， 它假设是在 a 到 b 这个开区间当中的。好，那么我取这个单调，假设单调就取， 嗯， x 减 a 的 绝对值， x 减 b 的 绝对值啊，这两个距离的绝对值的最小值吧。 好，那么我就可以找到这样一个有关 x 的 单调领域。假设我的 x 取到这里啊，这个图里显然是离 b 更近嘛，所以这个最小的距离是 b 在它的这样一个开合当中啊，它交出来的这一段，它一定还会在我的 a b 开局键当中，所以我就证明了这个 x 是 内点当中的点啊，也就是说它要包含于这个 a b 的 开合， 所以我就证明了 e 会包含于 e 的 开合，所以它是开几。 同理，我们还可以得出 b 区间 a， b 也是 b 级。好，我们要证明一个集合是 b 级，其实警察定义就是证明它的导极在它当中。好，这里我们进一步说明啊， e 的 导极在 e 当中其实等价于什么？ 首先等价于它的逆否命题啊， e 的 补会在 e 的 导极的补当中成立。此外， 我们知道 e 的 b 包，它是等于 e 并上 e 的 导极，导极都在 e 中，这个的值肯定是 e， 所以 我们的 b 极也等价于 e 的 b 包等于 e 啊。 好，那么 e 的 b 包除了等于 e 并上 e 的 导之外，它还可以等于 e 并上 e 的 边界，所以它们要等于 e 的 边界，一定也是 e 的 子集好。所以这是 b 包的 几个定义啊，首先他，其次他，然后他，然后他，比如说这个题 b 句间，其实我是跟紧不可以写出 这样一个有关 x 集合，它的导极，它的 b 包，它的边界对不对好？首先它的边界， 它的边界其实就是 a， x 等于 a， 或者 x 等于 b， 它显然是在 e 当中的，所以是 b 几好。除此之外，我还可以写出它的 b 包 ab， 这个的 b 包，其实就是 ab 会和 e 相的，所以它是 b 几好。除此以外，我还可以写出它的倒积， 他的导极其实还是 ab， 所以 和异相等，和异相等自然也是他的子极，所以是 b 极好。大家体会一下啊。 b 区间是 b 极，开去间是开极好。那么除了之前我们所说的那些啊，回忆一下， 那么空集和 r、 n 为空间，它是既开又闭的，然后开区间是开集， b 区间是闭集，有界啊，或者是有有限点集，它一定是啊，当然是非空啊， 非空的有限点集，它一定是 b 集，因为它的导集为空好。这一些是比较特殊的开集 b 集好。除此之外，我们一开始所学习到的 点的集合啊，比如说内点的集合，开合，它一定是开集，距点的集合导集，它一定是 b 集，当然我的 b 包，它也一定为 b 集 好。那我们来看一下为什么啊？首先我要证明它的开合是开合，其实证明的就是它的开合会包含有开合的开合 好，我们来简证一下 好，假设我现在取 p， 它在 p 的 e 的 开合当中，那么自然就会存在一个 p 的 领域，使得这个领域它是在 e 当中的。 好，那么对于任意 p 当中领域的一个点，假设为 q， 那 么我由领域的性质知道，我一定会存在一个 q 的 领域，使得它会是我 p 领域的子集， 我的这个 q 的 领域， 它会满足这样一个连包含关系， 所以我的 q 其实也是在 e 的 内点当中，所以我的这个 q 领域，它其实是我开合当中的一个领域。换言之，我的 p 其实是属于开合的开合，所以我就证明了它的开合是开合的子集，自然开合尾开。 好，那么我们来看，为什么导极是 b 呢？好，那我要证明导极是 b， 其实要证明的就是它导极的导极还在它的导极当中。 好，那么我们来证明二句，假设我取一个霹雳，它是来自异德导极的导极，换句话说，就是对任意的 c、 d 塔一嘛，我的去心领域 和我异的岛际相交布空。好，我不妨取其中的一个点啊，这个布空的点，我假设 p 一， 它就会在这个去心领域当中， 而且我的 p 一 还不等于 p 零。 好，因为它不只来自于趋近领域，它自然还有来自于岛级，所以我还会有所有关于 p e 的 领域啊，它的趋近领域和我的 e 相交为空。 那，那换句话说，我就会有个点 p 二啦，它会在我的去心领域和 e 的 交集当中。当然我的 p 二也不合， p 一 和 p 零相等，所以你观察这个 p 二，它会来自于 p 一 的去， p 一 的去心领域，自然也会来自于 p 零的去心领域， 所以 pr， 它就会来自于 p 零的去心领域和 e 的 交点。换言之，我的 p 零是 e 的 去点，因为相交费空吗？ 所以我的僻零会来自于 e。 一 撇，我证明了倒极的倒极会包含倒极，那么倒极就是 b 极。好，那么除了开合倒极之外，我们还有 b 包， 这里我们用黄色的，绿色的来写吧。好， e 的 b 包也为 b 好， b 包，其实证明起来比较简单啊，因为我可以直接用运算来证明。好，我们就在这里写啊。 好， e 的 b 包是等于 e 并上 e 的 导极，那么 e 的 b 包得到就会等于 e 并上 e 的 导极再求导。这个运算我们之前说过了啊，导极它是满足这个 b 的 封闭，所以它会等于 e 的 导并上 e 的 导再求导。 好，那么 e 的 导再求导，它会包含于 e 的 导，所以它就等于 e 的 导， 而我 e 的 导肯定是包含于 e 的 b 包的嘛。啊，所以我们就证明了 e 的 b 包求导，它会包含于 e 的 b 包，所以它是 b 级。 好，这是其一啊，很重要的心智开合是开合导集，导集和 b 包都是 b 级，而且我们还可以得到结论啊，开合一定是最大开集， b 包一定是最小 b 级 当然是包含于 e 啊，包含于 e 的 最大开级和最小 b 级。好，那么开级和 b 级会有什么样的对偶性呢？ 就是开级的补会是 b 级， b 级的补会是开级啊。啊，于级也可以用来说明啊，开级的于级是 b 级， b 级的于级是开级。好，我们来简单证明一下这是为什么？好，假设 e 为开级，那我们要证明一下这是为什么？好，假设 e 的 补级是 b 级，也就是它的导要含于它， 那我们来证明一下啊，好，假设我在这个易的岛，易的卜的岛里取一个点僻零好，那么下面我就要证明僻零它会来自于易的卜 好，怎么来证明呢？好，假设它是，那么由这个据点的定义啊，任意的岛屿，我的这个去心的 和易的岛卜相交一定非空， 那么它只要和我的补极相交费空，就说明这个僻零它不是内点，它就不在开合当中，而我的 e 是 胎记，开合就等于 e， 所以 我的僻零就不会来自于 e， 自然僻零就会来自于 e 的 补，所以得正， 大家体会一下啊，开级的余级一定是 b 级。好，那么同理， b 级的余级一定是开级，那这又是为什么呢？啊？我们再来证明一下，假设 e 为 b 级， 那么下面我就要证明它的补啊，是个开级嘛，也就是它的补要等于它的开合，那么这个证明我不妨就假设， 因为其实这个等号我们只用这一边啊，就是它包含于它的开合就可以啦，因为另外一边是显然的。好，我们采用什么法？反正 如果我的 p 零它不属于 e 的 补的开合，那么我能推出 p 零它不属于 e 的 补也可以啊，我们先从左边。好，那么它不属于 e 的 补的开合，它就不是 e 的 补的那点，那么我就会对任意的它 都会有我的这个 p 零，它的 d、 r、 t 领域和我的 e 相交非空嘛。好，那么你再看这个定义其实是什么？哎，是句点的定义嘛，所以 p 零它就会来自于 e， 它的导极， 而它又是 b 极啊， e 又是 b 极，所以它的导极会来自于 e， 所以 我就证明了 p 零是在 e 当中的 好，那么他在 e 当中，自然我的批零他就不会在 e 的 补当中，所以我就得到了结论，所以 b 级的补都是开级，开级的补都是 b 级好，这个队友性质大家要牢记。那我们来看开级会有哪些性质啊？首先，第一个就是空级和二 n， 它是开级，而且在我的 r n 空间当中，只有空级和 r n 它是开级。其次，我的开级任意个开级的并还是开级。 有限个开级的胶仍是开级，换句话说，它会对任意并有限胶封闭 好，那么这里就来了，如果是无限多个开级的胶，它可就不一定是开级喽。之前我们还做过啊，比如说零 一加上 n 分 之一好，如果我是可数个这样开级的胶啊，我交出来是个 b 区间好，之前我们还说啊， b 级是能分解成可数个开级的胶 好，我们举个例子啊，其实之前我们是做过的，比如说零一加 n 分 之一好，这些集合的可数交得到的应该是一个左开右闭的集合 好，它就不是开极了啊。所以无限度的开启的胶可就不一定是开启啦，它只对任意并和有线胶封闭好，那么在我的 r n 空间当中，除了空集和 r n， 它是即开右闭之外，就没有了啊，但是它会有很多既不开又不闭的集合，比如说左闭右开，左开右闭等等。 好，那么 b 级和开级的性质是都有的啊好，那么如果 e 是 开级，那么它的补级就是 b 级。我们之前说啊，它的任意并 啊，比如说我的这个伽玛，它是来自于阿尔法的啊，我的阿尔法，它是来自于伽玛的，它的任意并是开级，那么开级的补就变成 b 级啦。好，这又是德摩根公式啊，那我就变成了它的补来去交 啊。所以对应过来啊，我 b 级的任意交是 b 级有限并是开级， 任意交是 b 级有限病是 b 级啊，也就是说他会对任意交有限病封闭。 那那么同理，如果是无限多个 b 级的病就不一定是 b 级了啊，因为它可能就变成开级了。好，这里大家注意一下。

好，终于我们来到了第五章积分论啊。好，那么首先第一节我们要了解的是什么是勒贝格积分，他的定义和性质。好，我们从最简单的非负简单函数的积分入手。好，那么首先什么是简单函数 好？简单函数之前我们是讲过的啊，如果我们可以把我们的这个可测基 e 它拆分成可数，而不是有限个可测的互不相交的 集合的并集，然后在每一个 ei 上，我们都有一个时值 ci 和它对应，那么这个 ci 当然它得恢复啦，现在所以有这样的函数，我们就称之为是恢复简单函数。好，那么我们定义恢复简单函数，它的勒贝格积分 是什么呢？就是每一个 e i， 它的侧度乘上对应的函数值 c i 再加起来 啊。举个例子，比如说我们的这个笛律克雷函数一到零啊，如果我的 x 是 在零到一上取有理数，就等于一，如果取的是零到一上的无理数，那么它就是零。好，我们来算一下它的积分。 好在零到一这个 b 区间上。好，那么他，他首先是个简单函数啊，那么这个区间上的测度是零，他对应的函数值是一，下面这个区间上的测度是一，他对应的函数值是零，所以他的积分是零。 好，大家快速体会啊！非负简单函数的积分，求解，那么这个积分他有区域可加进，什么意思？假设我给你两个集合 a b， 这两个集都是可测集。哦，好，如果我的交集为空，那么我 b 集的积分，那 f， 他的积分就会等于 a 上的积分加上 这个 b 上的积分，也就是说只要他是相交为空的区间，我就可以给他拆开 好往下。什么是积分区域的连续性呢？就是假设我给你一个积分区域 a n， 他 首先满足增， 其次满足他的可数 b 是 我的 e， 那 么我对 a n 每个区 a n 区间上取积分，再来取极限， 和我直接啊，因为这个 e 这样一个运算，它其实也可以理解为，因为它是个递增的嘛，所以它的这个可数变其实就是 a n 的 极限。你也可以把这个先取积分再取极限看成先取极限啊，再 取积分，好，这是我均分区域的连续性好。第三个限性性质， 什么意思呢？就是如果我的 f 和 g 它都是连续函数，那么它们之和的积分会等于积分之和。如果我前面还乘上一个非负的时数啊，那么 r 大 于等于零，那么我的这个 r 法可以提出来更进一步，比如说，如果 f 朗的 r 法 f 加上贝塔 g， 它来取积分啊，在集合 e 上，它就会等于 r 法倍的 f 取积，加上贝塔贝的 g 取积。好。当然这里要注意啊， f 和 g 可测阿尔法贝塔非负啊，这是我们的限性性质好，这就是我们非负简单函数的娄贝格积分。

好，今天要讲的内容叫做可测函数列的收敛，那么在这里呢，首先先给出几个收敛方式的定义，首先我们先设我们的 f 和 f k 在 e 上 几乎处处有限可测。 好，那我们给出第一个收敛函数的定义。第一个叫做几乎处处收敛， 几乎处处就是 almost everywhere， 简写为一个 a， 一个 e。 好， 那具体是怎么说的呢？弱 limit k 取近于无穷， f k 等于 f a e x 除以，那么则乘 f k 几乎处处收敛于 f， 记作什么呢？记作 f k， 然后呢，上面写一个 a， f x 属于一，或者呢？或者你怎么写？或者写 f k 是 不是连到 f， 然后把 a e 写在下面， a x 属于一。 好，这个时候注意几乎处处收敛，也就是对于对于除掉一个零测级的话的 x， 我 的 f k 是 收敛到 f 的， 那我不收敛点集呢？我不收敛点集，是不是要是一个零测级，所以有这样一个留住， 嗯，不说连点积怎么写，就是 b 几 k 等于一，交几 n 等于，然后呢？ b 几 n 等答案， x 除以一， f n 减 f 大 于等于 k 分 之一。好，就这样一个集合的速度是零。好，第二个熟练方式叫做几乎一致熟练， 类似于几乎处处熟练，就是它，要是它要磨掉一个测读很小的集合，在剩下那个集合上是一致收的。具体是怎么样的呢？对于任意的 delta 大 于零， 存在易的可测子集， 记住 e delta， 给他自己一点的满足。什么呢？满足，我这个侧度 是要小一点的。好使得呢？使得我的 f k 是 一致收，等 在哪上面呢？在一叉掉一点大手。好，这就是我们的几乎一手的， 下面呢，下面就是一侧读收敛， 一侧读收敛， 一侧收敛，也就是对于任意的 x 型大于零，我的 limit k 拘谨于无穷。 然后我这样一个点击， f k 和 f 之间距离大于等于 f c 零，这样一个点击的测度的极限要等于零，那等价的 等价。然后我们可以把这个极限给它，给它写开，就是对于任意的 f c 零小于零，是对于任意的 f c 零一撇，小于零存在。一个大 n 属于 n， 正 对于任意的 k 大 于大 n， 是 不是有我这个测度 要小于 f c 龙一撇？那事实上呢？事实上我们可以用一个 f c 龙去控制，也是对于任意等价于对于任意的 f c 龙代理存在。这后面 这就是 action 了，这一点就很不可思议，本来你这是我这个 action， 是， 对吧？首先给出的， 我这个艾普森也是认给的，这个认给的是从这个极限里面出来的，对吧？我们这一句话就等价于这句话嘛，对吧？这个艾普森是事先给出的，那么既然等价于一个艾普森就能把它给控制住，就很美妙，那证明也也不难证明。 我们不妨在这里写一个比较简单的证明， 我有一个方向是显然的。咳，是不是从这个推到这个是显然的，我把这个 epsilon 一 撇，取成 epsilon 不 就行了吗？所以我们只剩啥？只剩充分性， 只剩充分性，也就是说我们已知这件事情，让我们去推这件事情， 好，怎么来呢？首先是不是我们已知这个，这是已知。然后呢？让你证明这个，好，那我们这里就取， 比如说我们取 third 一 撇， third 等于 epsilon 和 epsilon 一 撇的最小值。然后呢， 存在一个大 n， 属于 n， 则等于任意的 k 大 于大 n， 我是 不要有我的这样一个测度， f k 减 f 大 于等于德尔塔 小于德尔塔，对吧？然后呢，我们有一个什么样的包含关系呢？我们的这个集合 x 属于 e， f k 减 f 大 于等于德尔塔，这个这几个 它是不是这个的？它是不是比较小的一个？比较小的一个？所以它就包含了我这样一个 大于等于 epsilon， 对 吧？你看我这个是不是相当于是集合更小了？因为我这个的 epsilon 是 更大的一个， 所以呢，从而呢？从而我的侧度，因为侧度就有单调性嘛， x 除以一 f k 减 f 大 于等于 f， 这种的色度是不是小于等于 m？ 是 不是？这个东西的色度 是不是小于 dell？ 它是不是小于 dell， 是 吧？不在这里吗？那 dell 它是不是小于 f 从另一撇，对吧？ 也就是说啥呢？这里我只需要一个， 这里我是用两个 iso 去控制的。前提是啊，我只有一个 iso， 所以 就充分性就得正了。好，这是一侧读手链，那自然就有一个，一侧读科西， 一侧读科西，一侧读科西是说啥呢？ 这个时候就是我的 f k 和就是一个基本列嘛，我的 i 和 g 分 别趋向于中无穷。然后呢，我测读 x 除以 e f i 减 f， g 大 约等于 f， x 大 约等于等于 f x 等于。 当然这个也能把它展开，也能用一个 app 去控制，最后也得到一个类似这样的一个设置。好，这就是一侧度克西，那则称 我的 f k 是 一侧度 克西列，或者称之为基本列。 好，这就是我们的定义。然后呢，这些既然有不同的收敛方式，那这些收敛方式之间就肯定是有区别的，不然不会平白无故去给他再起一个名字。 这些这些收敛方式之间可能存在蕴涵关系，对吧？也可能是毫无关系的，所以我们就给一个大概的一个关系图谱， 一个大概的关系。首先呢，就是我们的几乎处处手链。 然后就是我们的几乎一只手链啊，就是一侧手链。 首先几乎一致收敛，它是很强的，它是可以直接推出几乎处处收敛的，也能够直接推出一侧的收敛， 嗯，这些阴阳关系都能找到证明。然后呢，我几乎处处收敛呢？我在有限的侧度空间中，我是可以推出几乎一致收敛的，也就是我的 aguf 定律， 前提是测速空间是有限的。好，你看我这个几乎处处测速空间有限，我能推到这里，也能推到这里，所以我就相当于是我，我能推到这里，前提也是要求测速空间有限。 那这个实际上就是我们的勒贝克定律。 好，那另外的就是一测度，一测度测速仪，它是蕴涵一测度克西的， 我们这样写， 那在完倍的空间中呢？也就是我这个底线他跳不出去，所以我这个一侧头，可惜是能够推到一侧头。收敛的前提是啥？完倍的空间， 然后我们的 r n 就是 晚辈的，所以这个是不需要担心的。然后呢，我们的一次入赘有什么性质啊？一次入赘能够推导出存在一个子列几乎处处收敛， 也就是我们的梨子定梨 一四零。然后呢，我们其实是希望，那我们还有一个就是几乎处处收敛，一定就存在此列几乎处处收敛了，这很显然的，对吧？那么希望呢？像如果我能把它推过来，这个其实是我们能够形成一个闭环的，对吧？ 把它推过来其实是，嗯，不是，不是，不是很容易的，需要一些条件，比如我的子列收敛，怎么得到我的原来的竖列收敛？那首先第一个单调是可以的，单调是可以做到的， 单调就意味着我的极限是存在的，我子列瘦脸，意味着我的本来的这个竖列也是瘦脸的。另外呢，另外呢，如果这个 f k 啊，它是利浦希斯的， 它是利浦希斯，连续的也能够退出。还有一个就是如果我满足，我要写到右边， 如果我满足一这样一个条件，对于任意的 epson 带领我这样一个级数， 有时候我 f k 和 f 之间距离超过 epson 的 这样一个侧度的一个级数，它是收敛的，也能够推出，也能推出这一步。 好，我们这里就给出三个条件，那具体怎么证明呢？单调就很显然，对吧？单调无用之一，那这个呢？这个需要用到泛函的一些知识，所以这种我们就不讲。第三个条件呢。第三个条件需要用到我们的 波累判特力引力， 我们下面就给出这个引力的一个描述， polarity， 它是说弱我的一个级数， 它是收敛的，则我这个上级也能说懂， 它是要等于零， 这就是波尔坎的例子。第二个 bug， 看这些一共有三道立体看第一道，第一道就是就是这个给你单调，让你推，给你单调和一侧的受力，让你推几乎垂直受力。 看一下具体的证明。首先由离子定力， 是不是我这个一侧的手链，用例子证明能够得到什么存在子列， 那就叫 f k g 吧，是几乎处处出现到 f 的。 因为啥呢？因为我的 f 是 单调的嘛，我 f 是 单调递增，单调递减的 u f k， 单调递减 是不极限一定存在，极限存在恰好就是这个子列的极限成了这首 f k 收敛到 f 的， 这里应该是 k。 好， 这就证明完了。一句话就证明完了，好看不看离二，离二是说我们的几乎一致收敛是包含一侧的收敛的，也就是我们的哪条线这条线 好，我们给出命令，我先设出来，我先设 f 和 f， k 是 e 上几乎处 处有限的可次函数。 好，我们是不是条件是几乎一致手链让你推一侧的手链，也就是你对于任意的艾普森带来很存在 一的可测自己 e x 轴。然后呢，我这个 e x 轴的侧度小于 e x 轴，使得呢？使得我的 f k 是 在补极上是一只手的 好，那极是什么呢？我们的极值向量是怎么定义的？极是不是我们的 limit k 趋近于无穷，是不是有一个一致的？一个速？ x 属于 e 叉六 e f 九 f k 减 f 是 不是等于零？ 哎，就是啥呢？我们把这个键给它展开，也就是我们还是还是这个 x， 就是 对于对于 x 大 于零，如果存在一个 n 属于 n， 正，对于任意的 k 大 于 n， 把这个键展开，就是我的 sup f 属于 e 叉掉 e f 型， f k 减 f 小 于 f 型，对吧？我把它剪开就是这样。然后呢，这个是说呢，我的上极限是小于 f 型的，也就是对于任意的 x 属于 不是上节，是上学期，就是因为说对于任意的 x 数的我都是小于 x， 那 我大于 x 的 点的集合呢？因为说我们大于 f k， 减 f 大 于等于 x 的 点的集合的 这个测度是不是小于？等于我们的剩下的这一块 h e f c 是 不是小于 f c？ 好， 你看，这就是，是不是我们的一次函数，对于任意的 f c 大 于零， 存在一个 n， 对 于任意的 k 大 于 n， 它小于 f c， 它是不是和我们的定义是一样的？和这个定义是一样的。好，这就整完了。 第三，第三是告诉你了一个， 告诉你了一个一，呃，几乎处处出现的一个等价条件，因为它是一侧都出现的。对，你的 f k 是 一侧几乎处处出现的。好，我们先看 b 型， b 型， b 型，我的 f k 是 一几乎处处出现到零的，是不是意味着我的 f k 的 绝对值？ 嗯，我写成极限的形式，直接由 t 可知。 我的 lemity k 距进无穷 f k 的 绝对值幺等于零， a e x 属于一， 那我极限极限存在，那我的上极限是不是也存在？所以我的 lemity 谱 k 狙击英雄 f k 是 不是也要点零？是不是也是 a e 的？ 那急呢？我的连名次数打开是啥？连名次数打开就是真的 k 取进无穷 n 大 a 等于 k， 这不是 f n 等于零，你看这不就是它吗？就是它吗？这个把它看成一个整体的话，就这个整体是等的，极限是等于零，特别是 a e 的。 然后呢，我由这个 a e 手点怎么得到？ e 四的手点是不是由勒贝格定力 用的贝克定律得直接就得。我这个东西是一侧入手的， 一侧的旋转到零，对吧？ x 除以。好，这就是我们的必要线。下面看充分性，充分性也就告诉你充分性，也就告诉你这个东西是一侧入手的，然后让你证明它是 主点收的，也就是几乎出入口的。好一次的时候怎么推？怎么推这个几乎出入口，是不是这三个条件， 要么六倍 c 色，要么有这个条件，要么单调。这个时候我们就关注这个单调，它很有可能就是一个单调的，因为你的素谱一般而言它是一个单调递减的。 好，你先把它记作，先把它记作 g k 吧， 把 g k 等于 sum 大 于等于 k f n， 那 你看我这个 g k 是 不是单调的？显然是单调递减的，对吧？显然 g k 那 大一点 g k 加一的 最近的 k 属于 n， 正好。下一步呢？下一步就是由离子定力嘛，因为我这个 g k 是 一侧都收的， 然后呢？由离子定力 是不存在一个子力。 我们这个 g k i 吧，这一次是不是几乎处处收到零的？ a x 除以一，然后呢？又，因为我们是单调的，所以啥？ 所以就相当于是我们的极限 是我们的 limit， 这里应该是把它叫做 i 取进无穷 j k i 等于零，也就是意味着啥？我 j k i 是 啥？ 就是 limit k 取进无穷， j k 是 等于零，因为我是单调的嘛，对吧？因为单调所以退出它， 然后呢？然后把这个 g k 给它带进去嘛？就是 limit k 取尽无穷 the soup n 带等于 k f n， 它是等于零的，它不就是啥，它就是 limit soup， 对 吧？有上极限 是等于零的，上极限点零能得到我们的极限点零吗？好像一般是不能的，但是呢，因为它是等于零的，它又是大一点零的，所以我们的零小一点零，我们的下极限是比较大一点零。因为我是一个绝对值啊， 我下极限肯定大一点零，因为我这是一个绝对值的极限，下极限是比较小一点，小一点上极限， 我上极限等于零，这不就闭环了吗？也就意味着 g， 我 们的 limit f， n 要等于，我们的上极限要等于我们下极限要等于零。好，这不整完了吗？是 a e 的。 好，这就是我们的充电器，下面就是三个 ct。

好，接下来我将为大家更新十遍期末的一个系列课程，当然我不希望把它叫做十遍的速通课程，这个课程是怎样的呢？首先我会把每一个每知识点分成一个 像这样的一个小泡泡，比如说我们的辅宾尼臀内力定力，辅宾尼臀内力。 然后呢，每个泡泡里面分为三个 part， 第一个 part 就是 我们定义 相关的定义定力，然后引力和推论，第二个 part 就是 就是立体。 第三个 part 就是 ct， 然后 ct 这部分是我应该是不会给出解答的，就是把 ct 贴在这里，如果有必要的话，可能会出 ct 课。然后比如说我们还有一个泡泡叫做控制收敛定力， 然后这里面还有三个画的，对吧？我就不写了。然后呢，我希望这两个泡泡之间是相互独立的，就是不不分学习的相互顺序的， 比如说你某一点薄弱，你就来看某一个泡泡。然后呢，当然你要有一些基本的知识，比如说 我们的卡拉酵素的条件 o r o d o r y， 对 吧？卡拉肖队，还有呢，你要知道什么叫最基本的可测函数， 也就是我们的伯纳尔基的原枪是是可测的 等等等等。然后呢，你也要有一些数学分析的基础， 或者是你懂一点托扑。 然后呢，下面就进入我们的第一个泡泡，就是集合列的极限。首先我们先给出一些相关的定义，比如我们有一个集合列 a k 弱，满足 我们的 ak， 只要属于 ak 加一的，也就是它是递增的，对于任意的 k 属于属于正整数。然后呢，我们称我们这些集合的并集 为 ak 的 极限列，或者简称为极限喽？ 那另外的若它是递减的， 那我们称这个交集为极点列，对吧？ ak 的 极点列记作 记作，就记作我们正常的极限的形式，另外的可以去补充 ak。 好， 那下面我有有一点补充，就是 比如我们的我们的极限，当他是递增的时候，我的极限是并级，那我们并级关注的是什么？并级 关注的就是你这个元素有没有存在过。 比如我问你这个 x 零它在不在这个并集里面，那你就看有没有你的哪个 k 使得这个 x 零存在过。在这个集合列里面，我们的交集呢？ 交集关注的是有没有离开过，对吧？交集存在，所有的交在一起存在，说明你每一个都存在，因为你没有离开过。 然后呢，下面我们就当然一般的我们的这个集合列，它不一定是有这种很好的单调的性质，所以我们就给出上下极限的定义。 上下极限 如果还是这个 a a k， 我 们的上极限怎么定义的呢？上极限 a k 就是 先交 k 等于一 n 点 k， 上极限就是先交再并，我们的下极限呢，就是先并再交。 看一下这个时候我们看一下它是不是一个量定义的东西。比如说我们这个并集，我把这个后面这一块，我把这个 b k， 那 我们的 b k 加一呢？是不是相当于我少并了一个？少并一个，自然我要递减，对吧？你说了递减的极点，取一个交集就是它的极限了， 对吧？递减的这一点，取一个交集就是它的极限，同样这个这块是递增的，递增的极限取一个并集就是它的极限，所以这是两定义的，是没有问题的。好，下面我们给出 给出一个注，就是在我们的实变中，交集就代表着任意，并集就代表着存在，所以我们可以把它写成什么形式呢？雷姆特 k 去无穷 a k， a k， 它是一个集合，对吧？所以我会切成集合形式。然后呢，就是对于任意的 k 属于我们的正整数，总存在一个 n， 你或者答应他，或者答应他喽，使得我这个 x 属于我的 a n， 意思是啥呢？就说你无论这个 k 多大，无论怎样的 k， 总能找到， 总能找到一个 n， 使得呢？我这个 x 在 这里面，对吧？你怎样的 k 不 能找到一个，怎样的 k 不 能找一个，所以就意味着无穷多个， 无穷多个 n， 使得呢？我的 x 除以这个 a n 能不能下极限呢？ 下一节线，就是说，你看下一节线，下一节线我们是先存在后任意，对吧？就是说我们存在一个 k， 所以 我们的 n 是 n， 正对于任意的 n， 它也点 k， 然后呢？我的 x 是 要属于 a n 的， 你看他是说啥？我总能找到一个 k， 然后呢？我 k 后所有的所有的这几个我 x 都在这里，也就是说 总能找到 一个 k， 使得 k 后，使得 x 属于 k 后所有的集合。 但我这种写法有点不标准，那也就是意味着我只有有限的，仅有 仅有有限格，嗯，使得呢？我的 x 它是不属于 v n 的， 对吧？仅有有限格，从这个有限格、有限格一直到 k k o， 所有的我都存在。前面可能有些存在，有些不存在，对吧？但总归是有限的。 好，这就是。然后还有一个，还有个就是我们的下极限，当然要要是我们上极限的一个死记录， 对吧？然后呢，当且简单它俩相等时，我们的上极限等于下极限的时候，我们乘这个极限是存在的， 你将这个基建层呢，也就是基围零点九千无穷 a k。 好， 下面就进入我们的第二个第二部分习题的讲解。 比如说这个例，它是把这个集合列分为基数、基数项和偶数项，然后呢让我们去求它的上下极限，当然我们可以用这个定义，对，我们的上极限怎么写的，这样写的，下极限这样写的，然后呢去找他们的， 去找到他们最后的这个结果嘛。然后我们也可以利用这句话叫做无穷多个 n， 使得这个 x 属于 n， 这个呢 总能找到一个 k， 使得 k 后所有的 n x 都在这个集合里面。看我们怎么怎么利用这句话，比如我们画一个图， 这下面就是我们的一二三四等等等等，一道无穷，那这就是比如我们的 a 一， 我们的 a 一 长什么样？ a 一 就在这边，就是零到一，对吧，所以我 a 一 就画，这是画成这样， 零到一，那这就是一了， a 二呢， a 二就是零到二，这是我的 a 二， a 三呢就是零到三分之一，对吧？零到三分之一就在这， a 四呢就是零到四， a 五呢就是零到五分之一，那更短了， a 呢就是零到六等等等等诸如此类，就不画了。 噔噔噔，然后我们看，我们看我们的下极限，下极限是说总能找到一个一个 k， 使得我在这个 k 我 所有的项都在里面，看我能不能找到一个这样的一个元素，比如我元素在这里， 我是不是找不到一个？我是不是找不到一个 k， 使得我这个 x 在 每一个 k 里面，对吧？我这会越来越短，越来越短，越来越短，越来越短，是不是趋近零，对吧？最后没有一个元素在里面，所以我的下极限就是啥？就是一个空击， 我的上级线呢？上级线就是说我，我无穷多次出现在这个集合里面，比如说我随便找一个 有这个 x 零，我是不是会无穷多次出现，对吧？我后面没有无穷多个，很高很高的无穷多个会出现在里面， 比如我们这个呢？刚才我们画的这个，他是不是也会无穷多次出现在这个所有的几何里面，对吧？那这个这个他就不管吗？去掉吗？不在就去掉吗？所有的偶数项是不是他都在里面？他就是无穷多个都在， 然后呢？我的 x 是 不是很大很大很大，他都能找到一个 k 都在这个里面，所以我的上极限是啥呢？我上极限就是零到无穷吗？ 答案是零的重整，对吧？这就是我们的答案，这就是下一件，这就是上一件。好，下面我们看下面一个题，零二零二，他告诉我们什么， 给了你这个上下这个计数箱偶数箱的这个集合，然后让你求它的上行和下行，那这个时候我们就没法画图了，因为我们这都不是具体的东西， 所以我们就按照他的定义来写，比如我们先写上极限，任取无穷，哎，上是不是先？是不是先交 n 等于一到无穷，并上 k 等于 n 到无穷 ak， 对 吧？然后我们这些 k 并在一起是啥呢？ k 等于 n 到无穷 ak 是 不是相当于把所有的计数相并在一起？偶数相并在一起，所以就是并 k 等于 n 到无穷 a 二 k 减一，是不是相并在一起？偶数相并在一起，并上 k， n 到无穷 a 二 k， 对 吧？我就是想并在一起，我想并在一起，就所有并在一起。我这部分是啥？ 我这部分就相当于这并击，然后呢？一个 a 是 不是最后还是 a 啊？我这个呢是并击 并起，然后一个 b 最后还是 b， 所以 就等于 a 并 b， 最后这块是 a 并 b， 它就相当于是交，然后呢？ a 并 b， 那 不还是 a 并 b 嘛？ 它最后答案就是 a 并 b。 好， 我们看下极限，下极限里面的 n 趋无穷下，不是先并 再浇。 好，我们还是先看这块，这块所有的浇在一起是不是相当于基柱箱浇在一起？偶遇箱浇在一起， 但相当于是你把你的基柱箱浇在一起， 然后呢？再浇，把你的偶数箱也浇在一起， 那这块呢？这块就是相当于是一个交，然后呢一个 a， 然后再交上，我再来一个交集，然后 b， 那 我这块是不是就是 a 啊？那这块就是 b 啊，那就是 a 交 b 啊， 那我回到这块我就是一个并嘛，并上啥？并上 a 交 b， 因为我后面这部分都跟 n 没关系嘛？对，就是 a 交 b。 好，你看我们的上极限就是 a 并 b， 下极限就是 a 交 b， 这件事情是很美妙的，怎么美妙呢？就是我不需要去， 我以后遇到一个让我求下极限的尺子，我就把它的计数向的极限给它求出来，我取一个并级，或者取一个交级就完成任务了，也就是说啥呢？我有一个这样的尺子，我的上极限， 它又等于啥呢？我基数项的极限变上，我偶数项的极限， 我的下极限 就是我基数项的极限，再把上面抄抄下来 交上，这是要变交交上，对吧？ 但这里有一个问题，什么呢？就是你这部分的极限不一定是存在的，因为我这里都给的是比如我这个题，这个题它的极限就算，因为它是单调的，它单调递减的，它单调递增的，所以它极限总是存在的，对吧？如果不存在怎么办呢？那不存在也很好办， 如果它极限不存在，那就是，那就是我的上极限了。变成什么了？我这边的上极限， 那这里呢？这就是我的下极限了，下上下极限总是存在的，对吧？加上我这里的下极限，那为啥是这样的呢？我们说我们的上极限是啥？就是有无穷多相， 是不是有无形多项存在，那就意味着我要么在奇数项、几乎奇数项中的无穷多项存在，要么在偶数项中的无穷多项存在。比如说，这个逻辑关系怎样呢？比如说我们，比如说我和小明，我们两个人年龄加一起大于五十， 那也就意味着我们两个中最多只有一个零零后，对吧？那回到这里呢？ 那我们两个如果都是零零后的话，那我们两个年龄都小于二五岁，都小于二五岁，对吧？两个小于二五岁的人加在一起，怎么可能年龄大于二十五，大于五十呢？这个意味着就是如果我奇数项中只有偶数项存在，偶 只有有限项中存在，我偶数项也只有有限项存在，那我就不可能有无穷多项存在， 也是这个意思，但如果你你愿意的话，应该是用一个，用一部德摩根就就能证明完了，德摩根 大约应该是应该是这样的。然后呢，我的下极限也是同样道理，那这个东西就非常美妙。美妙在哪呢？我们就来看下面这个题目。好，他给了你这个 技术，像和偶像把你分开，而且他这个 m 还是，但这些都无所谓，然后让你求一个上下极限，然后呢，我发现他是一个单调递增的距离，他是一个单调递减的距离，当然他的极限都是存在的，所以我只需要单独求他俩的极限就行了。我先求 m 的 m 取近无穷 a 二 m 加一，它是不是一个单调递增的？单调递增呢？也就是它相当于是一个并集， 对吧？并集，那我左端点肯定是零了，那我右端点呢？我右端点有没有这个二呢？ 我是这样的呢还是这样的呢？那就回到我们最初刚才刚开始说的，我们并集关注的是什么？并集关注的是有没有存在过，你看这个二有没有存在过？这个序列中他是不是相当于是二减 m 等于零的话，就是二减二分之一，然后呢？二减 五分之一，噔噔噔，是不是二减二， m 加一分之一，是二，从来没有出现过呀，对吧？总是总是，总是差一点，差了二分之一，差了五分之一，差总是差了一点，所以我这二从来都没有出现过。在这个穴位里面，所以我就是取不到， 所以我左边就是开启。好，那么下面这个键呢？利用的 m 去进行无穷 a。 二 m， 它是一个递减的虚列，递减虚列就是相当于是交集嘛，零点一到无穷 零的一加二 m 分 之一。好，左边我们很好确定就是零，右边呢？右边这个一，我们是这样的呢，还是这样的呢？对吧？那我们就着急关注的。什么？着急关注的就是你有没有从这个序列中消失过， 我是不是从一加二分之一，一加 三分之一，噔噔噔噔噔噔，是不是一直在，一直在这个，比如说我这个虚列，正好这是零，这是一级，我这个虚列是不是一直都是这样编的，这样剪的，这样剪的， 是不是一从来没有消失过呀？所以我的这边右边就是 b 级。好了，那我们的上下极限呢？上下极限就刚才说的，我们的上极限 是不是两个并在一起啊？零到二，并上零到一，那也就是直接就是零到二，零到二这边是开的。好，那我们的下极限呢？ 下极限也就等于交在一起嘛， 交在一起就是零到一嘛， 这就是我们的上下节，你看这个就很美妙，我们只需要单独求一个，再求一个标，并在一起就是上节，交在一起就是下节。好，这就是我们的例三， 然后例四，例四，其实就考察我刚才说的我们并级关注的是什么，交级关注的是什么。 第一个他直接让我们求极限，我们先判断这个极限存不存在，那显然这个是单调递减的区域，所以他极限肯定存在，这个是单调递减的区域，他极限也存在 递减的区域。我们关注的什么递减，就像是交在一起吗？ n 趋近无穷， a n 也就等于交在一起， 然后呢，我们的左端点肯定是零，对吧？我们的右端点呢？这个一在不在里面呢？是这样还是这样呢？我就判断这个一有没有从这个序列中消失过，好像是从来没有消失过。比如说我们 n 点一的时候是二，然后一加二分之一，噔噔噔噔，一加二分之一，是不是一从来都没有消失过？他这个右端呢，总是比一大一点点，所以我这个地方就是 b 几， 然后呢？这就我们第一问嘛，第二问，第二问，他是不是一个递增的序列？递增的序列我们就相当于是啥并在一起， b n 它相当于是并在一起，然后呢？零到 e 减 n 分 之一， 左端点开始零，右端点呢？右端点就这个 e 是 该的还是 b 的， 就关注这个 e 有 没有存在过， 他应该是没有存在过吧，因为他总是笔短了一点点，所以就是零到一。好，这就是我们的历史。那么下面呢，就是三个 ct， 三个 ct 我 们就呃，不给出解答，只把这个题目贴在这里。

各位同学大家好，我是来自蚂蚁期末的小周老师，今天给大家带来的是十遍函数的期末突击课。好，下面的一些时间，我们先从整体上认识一下十遍函数的基础内容，然后呢，再具体的来了解。好，那么其实十遍函数它整体 啊，我们只学前六章的内容啊，这六章包括第一个集合。 好，第二个是点击，第三张是测度，第四张是可测函数，第五张是积分， 第六张是微分和不定积分 啊，其实里边的有些基础内容，我们在大一的书分里边就已经学过了啊，只是我们的这个识变函数可能是比书分更进一步的研究。好，我们来先举一些例子啊，我们先来看集合的基本概念。好，那么集合的基本概念，其实不管是哪一个啊， 哪一门课，它都是基础内容啊。集合论是个非常重要的东西，但是呢，你只要知道它大概在描述什么呢？就是我们把具有某种特殊特征的事物的全体 称之为是一个集合，通常呢，我们是用大 a、 大 b、 大 c 来表示，那么这些特征的事物啊，我们叫做元素，用小 a、 小 b， 小 c 来表示。好，那么集合的表示方法最常用的是，呃，三类啊，第一类就是列句， 举个例子，比如说我们的自然数及 n， 它就是零一二三点点点。好，那么列举法通常用在就是这个数具有一定的特征，你可以用啊，就是具有一定的规则，或者它是一个可有限的集合。 好，第二类呢，叫做描述法，我们把比如说举个例子啊， a 啊，它表示成 x， 这个 x 是 满足某一特征的。好，这样的表示方法，我们称之为是 这个描述法。好，那么往下我们还会经常见到一类叫做 fe， 它是什么意思呢？它其实是 f x， 当 x 属于 e 啊，也就是当 x 属于 e 时，这个运算产生的结果， f 的 值域。 嗯，这个我们也是经常用到的符号，大家可以注意一下。好，那么有这个值域，咱也会有原像级啊，我们用 f n 啊，比如说 d， 它指的就是什么呢？啊，我，它指的就是 x 属于 e， 但是 f x 属于 d 啊，也就是 d 的 原像级。 什么是集合啊？他有什么样的表现手法？其次是他之间会有怎样的关系啊？其实就是如果 x 属于 a 时，有 x 属于 b， 我 们就把 a 集合称作 b 集合的子集。 好，那么如果有 a 包含于 b， 且 b 包含于 a， 我 们就称 a 和 b 相等啊，这是几何的关系？当然，这里的包含符号，你可以写作，这个没有一横啊。啊，大学里的是没有一横，我们高中学的时候是带有一横的啊。好，这里注意区分一下。 好，往下我们来看集合的运算，集合的运算有哪些呢？就是集合的交并补。好，那么这里我们要引入一个集合的表示啊，叫做集合族。集合族是什么意思啊？假设我有一个 alpha， 它是一个指标， 它来自于一个 londa 啊，指标集， 我们把 a， 阿尔法，阿尔法属于朗姆达这样一些集合的集合称之为是集合族。 好，那么这里就会有一个叫做并集，并集呢，就是我们将 a 了阿尔法，我们把阿尔法，阿尔法来自于朗姆达的所有，这些阿尔法的所有元素拿出来 组成一个新的集合 好，那么这个新集合就可以看作是原本这组集合的并集，用并集符号表示， 当然这个阿尔法来自于 lama。 好， 那么如果我把它里边的所有元素啊，相同的元素拿出来 组成的这样一个新集合，我们就称之为是集合的交，嗯，他就用交集符号来表示 好，那么这里就有一个非常典型的例题啊，就是比如说让你证明 啊，把 m 把 f x 和 g x 的 最大之大于 c 的 这些 x 取出来，它一定会和把 f x 大 于 c 的 x 和 g x 大 于 c 的 x 取出来的两个结合作并记 好。那么这个我们怎么来证明呢？其实也非常好证嘛，我们要证明两个集合的相等啊，我们依据定义来说，它就应该是把它看作 a， 把它看作 b， 那 么就是 a 包含于 b 且 b 包含于 a 嘛，这就是我们这个证明题的 证明题的基本思路。 好，那么我们下面来看看为什么 a 会包含于 b 啊， 如果我的 x 是 来自于这样一个集合 a 集合的啊， f x g x 大 于 c， 那 么一定会有 f x 大 于 c 或者 g x 大 于 c， 因为或满足并并关系，所以我们就可以推出 x 要么属于 f x 大 于 c 的 这个结合，要么属于 g x c 大 于 g x 大 于 c 的 这样结合啊，其实就是它们的并啊，所以我的这边包含关系证明了，下面我们来证明另外一边，那么如果我的 x 是 来自于 f x 大于 c， 并上 g x 大 于 c， 那 么我的 x 要么是要么 f x 大 于 c， 要么 g x 大 于 c， 自然它的最大值 就会大于 c 啦，所以 x 就 会属于我的 a 集合，那么左边包含右边，右边包含左边，自然就会相等。 好，这是我们的两个例题。 我们来看这样一个例题啊，它是课本上的例题，就是我的区间开区间 a b， 它可以由一组 b 区间 a 加 n 分 之一 b 减 n 分 之一来去并集得到。 好，那么同理，我的 b 区间 a b， 它可有一，可以由一组 a 减 n 分 之一 b 加 n 分 之一啊，取交集得到。 好，那么继续推广。如果我要得到的是 f x 大 于等于 c， 或者 f x 小 于等于 c 啊，只要是 b 的， 我都是由开区间来得到 b 的，是由开区间取交集来得到。 如果我要得到的是 f x 小 于 c 或者 f x 大 于 c， 好，只要是开极，我都是由一组 b 区间取并得到的。 好，那么这边这个 b 区间是什么呢？哎，我们要写，其实很好写啊，如果我要得到的是 b， 那 么下界就应该是减，上界就应该是加，这里大于等于 c， c 是 我的下界，所以是， 嗯，大于 c 减 n 分 之一 n 从一到无穷，好，如果这里是小于等于 c， c 是 我的上界，那么 f x 就 应该小于 c 加 n 分 之一 n 从一到无穷， 好，那么反过来，如果是开区间，就应该是 b 区间的，并，对不对？好，那么这个 b 区间怎么来写呢？如果它是下界，就反过来啊，它就变成加 b 去接好，如果它是上界，就反过来变成界， 好，那么为什么呢？我们来画个图啊，画个图你立马就能知道了啊！比如说，我们以这个为例，我取的是 e 族级和 b 区间的并级啊，我们来看看，比如说 n 取 e 的 时候，我的 a 加二分之一在这里， 好， b 减 n 分 之一在这里 n 去二的时候，他加的就会更小一点，可是就会往这边靠啊，往这边靠， n 去三的时候，往这边靠，往这边靠，他就会逐渐靠近一个 a， 一个 b， 所以 得到的应该是开去减 b。 好， 那么我们再来看，如果是开去减 n 取一的时候啊，在这里 n 取二的时候， a 减二分之一就会变大，他就往中间靠， b 加二分之一就会变小，也往中间靠。那我的 n 不 断取，不断取啊，他就会逐渐靠近，这里有个 a， 这里有个 b 啊， 因为我取的是交集，所以是能够取到的。好，最终最终无限就是可以取到这个 ab 的， 而我取的是他们的交嘛，好，是能够取到的，所以得到的就是 b 区间。好，那你这里到底是加还是减？到底是加还是减，你就画图去看，总之我要把它往中间去靠， 往那个 c 去靠啊，你就能分得清了，自己，大家下去试一下。这几个结论都是我们之后经常用到的，所以大家记下来。 那我的交集合并集运算会有哪一些很好的性质呢？我们来看，比如说啊，很好理解。如果我的 a 啊，就是和数的运算很类似啊，会有交换结合和分配，因为它是两个运算嘛，会有分配率。 交换就是 a 并 b， 一定会等于 b 并 a， 同理， a 交 b， 一定会等于 b 交 a， a 交 b， 一定会等于 b 交 a。 好， 这是交换率。往下结合率是什么意思呢？就是我先算谁不影响我的结果，我先算 ab 的 b， 再来算跟 c 的 和，先算 bc 的 b 再来算和 a 的 结果相同。 同理，我先算 ab 的 交，再来算 c 的 和先算 bc 的 交，再来算 a 的 一样啊，好，那么这两条如果同时成立交换结合满足，那我如果要算 n 个啊，或者说我要算一组集合族特交或者并， 哎，那我就很好算了，我就可以任意打乱里面的位置，任意两两结合，三三结合等等。好，它都是相等的啊。好，往下分配率是什么呢？如果我的 a 并上 b 先来交 c， 你 就按照数的分配式 去做就行了，所以是 a 交上 c 并上 b 交上 c， 好， 如果是先取交再来取并，那么就是先取并 a 并上 c， 再交上 b 并上 c， 好，这就是我们的分配率好，那么如果大家考到证明题，怎么来证明两个集合要相等，那就证明左边包含右边，右边包含左边即可啊，好，这是我们交换结合的性质。往下我们来学 补集和差集好，那么其实差补是一样的东西啊，我们想想看，差集是什么？ a 减 b， 可以 理解为把 a 里的和 b 里的元素抛掉， 换句话说，就是这个里的元素要来自于 a， 但是不来自于 a， 但不来自于 b。 好， 那么补集是什么呢？补集其实就是差集啊，那么 c s a 指的是 s 减 a 啊，把 s 里和 a 相同的元素产生掉好，那么这里就可以很很快速的得到差集和补集啊，通常我们是叫补补集的一个关系， a 减 b 会等于 a 加上 b 的 补 好，那么补集和差集会有什么样的性质呢啊？首先，一个集合和他的补一定可以得到全集好，那么一个集合和他的交一定得到的是空集。 如果一个集合取了两次补，就等于他本身好。全集取补是空，空集取补是全。 如果 a 是 b 的 子集，那么 b 的 补一定是 a 的 补的子集。 如果 a 和 b 相交为空，那么 a 一定会在 b 的 补里， b 也一定会在 a 的 补里 好，如果我算的是 a 减 b 再来减 c， 你 可以看作是 a 减掉， b 加 c， 而在集合里的加，其实和我的并集运算类似啊。所以 a 减 b 减 c， 其实可以看作是 a 减 b 并 c 好， 所以我的差集其实会和我的交并联系起来好，这里就有一个非常著名的工具，阿德摩根公式， 如果我要求一组，那比如说 a 交上 b， a 并上 b 的 补，它一定等于 a 的 补和 b 的 补作交集啊，这里取并，这里就取交。反过来，如果是 a 交上 b 来去补，它一定是 a 的 补和 b 的 补作并。 当然这个你也可以往 n 位去推广啊。比如说我们用集合族来表示，假设我求的是异族病集合，集合族取病再来去补他一定是等于这些集合族先去补，再去交集 好。如果我求的是这个集合族取交得补，他一定是等于这些补得病 好。换句话说就是我的交病运算在补。理会相反，原本取病，后来就去取交，原本取交，后来就会取病啊好，这是我们的德摩根公式。

时变函数论是现代数学中的一个重要分支，它研究定义在时数级或其子级上的函数的性质。与初等数学中的函数不同，时变函数论更侧重于函数的极限、连续性、可微性、可基性等深层次性质，并引入了诸多测度、可测函数、积分等更为抽象和一般的概念。 在十遍函数论中，我们首先需要明确几个基本概念，包括集合的测度、可测函数和勒贝格积分集合的测度。测度是实数集上集合大小的一种量化方式。 与长度不同，侧度能够处理更为一般的集合，包括开级、 b 级、可数级和不可数级等。乐贝格侧度是十遍函数论中最常用的侧度之一，它扩展了欧吉里德空间中长度的概念，使得对于任意时数级，只要其满足一定的条件，我们都可以赋予其一个乐贝格侧度 可测函数可测函数是定义在可测级上的函数，其直域中的每个子集都是可测的。在十遍函数论中，我们通常只关心那些可测函数，因为它们具有更好的性质，如勒贝格积分存在等。勒贝格积分勒贝格积分是十遍函数论中的一个核心概念， 他是对离曼积分的扩展和一般化。与离曼积分不同，勒贝格积分允许函数在积分区间内存在可数多个不连续点，甚至允许函数在某些点上无定义。勒贝格积分的定义基于测度的概念，他通过对函数值域进行划分，并对每个划分区间上的函数值进行加权求和来得到积分值。 十遍函数论中重要的定律，如今定律如今定律表明，对于任意定义在有限测度级上的可测函数总存在一个连续函数，使得他们在除去一个任意小的测度级之外处处相等。这个定律在证明可测函数的性质时非常有用。 叶哥罗夫定律叶哥罗夫定律是关于可测函数列收敛性质的一个定律，它表明，如果一列可测函数在某集合上几乎处处收敛，那么对于该集合的任意子集， 只要其侧度足够小，就可以找到一个子列，使得该子列在该子集上一致收敛。这个定律在证明函数的极限性质时非常关键。单调收敛定律和法图引理这两个定律都是关于函数列积分收敛性质的定律。单调收敛定律表明，如果一列非赋可测函数单调递增且逐点收敛， 那么他们的积分也收敛到极限函数的积分。法图引理则更为一般，他允许函数列在积分区间内存在正负值，但要求函数列的绝对值主点收敛。这两个定律在证明积分的极限性质时非常重要。勒贝格控制收敛定律勒贝格控制收敛定律是关于有界函数列积分收敛性质的一个定律， 它表明，如果一列可测函数被一个可积函数所控制，并且该函数列主点收敛，那么它们的积分也收敛到极限函数的积分。这个定律在证明复杂函数的积分性质时非常有用。

好，下面我们进入到第二节一侧度收敛的这个学习啊，好，那么虽然这节我们的这个给的标题是一侧度收敛，但是我们其实要研究的是三个收敛，第一个是几乎处处，第二个是基本一般连续 几乎一致连续，第三个才是一侧度收敛啊，我们来看几乎处处收敛是什么？它其实就是几乎处处成立的一种特例啊，就是收敛几乎处处成立，我们就称它几乎处处收敛，即为 fn 收敛于 f 几乎处处与 e。 啊， 好，那么几乎处处成立意味着什么？就是他不成立的这个原像集是一个邻侧集，所以我啊，就是这样一个定义啊，几乎处处收敛。好，那么什么叫做几乎一致连续呢？ 好，那么我们就是相当于连续一致连续啊，是几乎成立的啊，这个叫做啊，几乎一致连续，换言之就是去掉某一个很小的测读机，留下的会是一致连续，这样子我们就称之为是几乎处处连几乎一致连续。 好，那么如果要用数学语言来表达，就是对于任意的德尔塔大于零，我都会存在一个子集 e， 它是可测的，而且它的测度无限小。好，使得 f n， 他 会再去掉这个 e 的 e 的 塔上一致连续 f， 这个就叫做几乎一致连续。好，那么最后 什么是一侧度收敛呢？好，一侧度收敛，嗯，它给定的定义就是对于任意的 sigma 大 于零，都会有 fn 减 f， 绝对值大于等于 sigma， 这个成立的原像级侧度极限为零。 好，我们就称它是一侧度收敛的，如果要用人话来说是什么意思啊？就是 我使得 fn 减 f 的 绝对值大于等于。呃， sigma 的 原像级是一个无限小的集合啊，它的侧度是一个无限小的集合， 也就是说，我的 fn 减 f， 它的距离大于等于 sigma 产生的这个集合的侧度非常非常小。这样子的收敛我们就称之为是一侧度收敛啊。它其实是用侧度来 规定吗？和之前的有所区别，但是逻辑都是一一样的啊，你直观的感受他就是无限靠近，只是我刻画的角度不同，我的几乎处处收敛找的是不收敛的原相机测度为零。 我的几乎一致收敛是去掉一个任意小的侧度及留下的一致收敛。我的一侧度收敛指的是使得它大于等于 sigma 的 原象级侧度无限小。其次，我们再来给出几乎处处收敛强调的其实是点上函数值的收敛。 一侧度收敛并不指出它在哪一个点收敛，主要是 找误差超过 c 个码点组成的集合，它的测度应该随着 n 去进无穷小数去进零。好，我们考察的是偏离 f 的 这些误差超过 c 个码的点所组成的集合测度，它应该要无限小。 而我的这个几乎处处上联强调的是点上函数值的收敛，因为它是 fn 收敛于 f， 而我的 e 测度收敛是这个 m 趋近于零啊，小于 c 个码 小于普斯隆。那么他们这三个收敛之间有什么关系呢？好，哪三个呢？几乎处处收敛，几乎一致收敛和一侧读收敛啊。首先注意他们的记号啊，几乎处处收敛就是 fn 收敛于 fa 点， e 点与 e。 几乎一致收敛就是 fn 收敛与 fa 点 n a 点 u 点与 e。 一 侧度收敛呢？是 fn， 一个双箭头 f 与 e 啊，注意啊，一致收敛是这个样子表示的，几乎一致，我们就用这个表示 好，那么它们三者会有一个怎样的关系呢？好，这里我们先介绍两个定律。第一个是李斯 好，李斯定律说的是什么呢？就是如果我的 fn， 它一侧度收敛于 f， 那 么我一定会存在子列 f n i， 使得 f n i 它是几乎处处收敛于一的 好。第二个是勒贝格定律，它说的是什么呢？如果我的 m e 小 于无穷，也就是说我的 e 测度是个有限级， fn， 它几乎处处有限且可测啊。好，这是它的先决条件。好，如果我有 fn， 它几乎处处收敛于 f， 那我就可以推出 fn， 它会一侧度收敛。 换句话说，由我的这个勒贝格定律可知，只要我的一啊，就这个侧度是有限的，那我的几乎处处收敛是可以推出一侧度收敛的啊，我的这个误差就是会无限小。那么现在我们这三者好，几乎一致， 几乎处处好，那么就是 a n f a 点 u 点于 e， a f n f a 点 e 点于 e， 最后 e 侧度收敛， f n e 侧度收敛于 f， 它们三个之间就可以相互地推 好。当然，他们之间的地推关系是有一些条件的啊，除了他们本身之外，还要加上一些条件，我们来看是什么条件好，首先， 我要从几乎处处收敛得到几乎一致收敛好。首先，几乎一致收敛其实是这三个收敛里最强的，所以他可以直接推出几乎处处收敛和一侧度收敛啊，换句话说，由 几乎一致收敛得到的这两个箭头是天然存在的啊。当然，大家可以去证明啊，我要证明几乎处处收敛，就证明他不收敛的那个集合测度为零。我要证明他一测度收敛，就证明他们的距离大于 c 格玛的这个测度极限是零。 好，这个都比较好证明啊，大家自己下去尝试一下。一、几乎一致，他是这三个收敛力最强的啊，所以他可以无条件的推出另外两个。那么另外两个怎么得到他，以及另外两个之间是什么关系啊？这里我们来， 我，我怎么通过几乎处处收敛推得几乎一致收敛呢？只需要加上一个条件，就是我一的测度有限啊！这是叶果洛夫定律告诉我们的。 只要我的集合有限，那么几乎处处收敛就可以推得几乎一致收敛。好，那么几乎一致收敛又可以推出一侧度收敛，所以我也只需要加上 有线，就可以推出一侧度收敛。好，那么往下继续一侧度收敛，怎么推得几乎一致收敛呢？哎，只需要找到一个子列 好，我一侧度收敛成立，我一定会存在一个子列 f、 n i， 使得它几乎一致收敛。而几乎一致收敛又可以推得几乎处处收敛，所以我仍然可以找到一个子列 f、 n， i， 使得它几乎处处收敛于 f。 好， 这就是它们三者之间的推导，几乎一致是最强的，它可以推出另外两个。从几乎处处出发，只需要加上集合测度有限即可。那么从一测度出发，我只需要找到子列即可。

除非你对高丝过敏，不然你真的没有理由不来耗这一本识变函数与泛涵分析基础。像这样一本书，平时学下来起码得花一学期。不过啊，咱期末周现在有活动，仅需一礼拜就可以到手。这么厚一本书到手这么多？ 里面啊，一共有两大篇，十一小章，这么多内容才出一张卷子。而且啊，这配料表挺干净，老人小孩都可以学。关键啊，这是期末周的活动，考一门更送一本中学数学教学设计，再送一本近视袋书。

下面我们一起进入第二节的学习啊，第二节讲的是典籍啊，第一小节说的是，嗯，这个度量空间 n 为 o 式空间啊。我们先来理解一下什么是度量空间。 好，那么度量空间就是假设我给你这样一个映射，这个映射呢，是从带 x 叉乘带 x 一 直到 r 的 一个映射，这个映射满足三条性质，第一条是镇定型，什么意思？就是我定义的这个 d， x， y， 它一定是大于等于零的，而且当它为零时，当解解到 x 等于 y， 好，第二个是对称性，就是 x， y 的 d 和 y x 的 d 是 一样的，相等的好。第三个是三角不等式性啊，我插入一个值啊，比如说这个， 这个啊，我他到他的这个距离是小于等于他到 z 的 距离加上 z 到 x 的 距离啊，这是 x y， 好， 这是 z， x 到 z 的 距离加上 z 到 y 的 距离，是大于等于我 x 到 y 的 距离啊，好，如果我的一个映射的满足这三条性质，我们就称这样的的，是 啊，我们称之为是距离。 好，那么 x 和的组成的这个空间，我们称之为是度量空间。 好，那么更进一步，我们可以定义 n， 噢， n 为的欧式空间，它是什么意思呢？就是我取的这个元素是 r n 里的元素啊，也就是 x e， x r h x n， 好， 我定义的这个距离得的函数呢，这个映射是根号下啊，也就是平方和再开根号， 好，那么我们得到的这个欧式空间，它就是一个特殊的度量空间。好，那么如果考试的时候考到让你证明欧式空间是度量空间，或者让你证明某一个东西是度量空间，你只要去证明他给定的这个射 d x 满足刚刚我们说的三条性质，首先非负，其次对称 好，最后是三角不等式 好。那么首先我们来看，如果我要证明这个欧式空间是一个度量空间啊，非负性是显然的，因为它是平方开根号嘛，这个根号下的数是一定大于等于零的，所以根号也一定大于等于零。其次对称性，这也是显然的 好，因为我对平方里的两个元素进行交换，位置平方之后的值是相等的，那么他求和再开根号也是相等的，所以这个对称性也是显然的啊。我们主要是来证明这个三角不等式好。那么我们要证明这个三角不等式借助的首先是科西不等式 好。那么科西不等式指的是什么呢？就是如果我是 a i b i 先求和， i 从一到 n 好， 求和在平方它一定会小于等于 a i 的 平方 i 从一到 n 乘上 b i 的 平方 i 从一到 n 好， 这是我们的科西不等式。那我怎么用科西不等式来证明我们要证明的这个三角不等式呢？哎，其实很好理解啊， 那我要证明的这个三角不等式，证明的其实就是根号下这个 x i 减 y， i 的 平方会小于等于根号下 x i 减 z i 的 平方求和，加上根号下 z i 减 y i 的 平方再求和。那么这里我们不妨就取 ai 加 bi， 它的完全平方 i 从一到 n 好， 那么它展开就应该是 ai 的 平方 i 从一到 n 加上 bi 的 平方 i 从一到 n， 再加上二倍 ai 乘 bi， i 从一到 n， 而这个部分就可以用到我的基本不等式了，对不对？好，那么它就会小于等于前面两个式子不变。 i 从一到 n 加上 b i 的 平方求和 i 从一到 n， 这个部分就会小于等于二倍的根号。后面两个的乘积啊，也就是 a i 的 平方乘上 b i 的 平方， i 从一到 n， i 从一到 n 好， 这个部分又可以配凑成 a i 的 平方， i 从一到 n 开根号，加上 b i 的 平方 i 从一到 n 开根号，这两个式子合得完全平方。 所以如果我同时对两边开根号，根号就会小于等于根号加根号啊，我就证明了 ai 加 bi 会小于等于 ai 的 平方加 bi 的 平方。那么下一步我只需要令 ai 等于 x i 减 z i， b i 等于 z i 减 y i 好， 它们两个的和就是我的 x i 减 y i 好， 它们分别就是这两个式子，所以我就证明了这个三角不等式。 所以我们的 n 为 o 式空间，是一个度量空间。那么这个 o 式空间除了度量之外，它有一些其他的很重要的定义，比如说我们来看领域， 领域是什么呢啊，有的地方会用 o 表示，有的地方会用 u 表示啊，反，它表示的都是一个意思，它指的是点屁和屁零之间的距离小于德塔德，这些点的集合就称为是屁零的德塔领域。好，那么这个领域有哪些性质呢？ 啊？首先，我的这个 p 点肯定是在我的 p 零领域内啊，它属于这个领域，而且对于这是第一个星指，第二个星指对于两个 p 的 领域来说，优一 p 和优二 p， 它们的交集 也一定是我优的领域啊，换言之，我会有一个 p 的 领域，优三，它在这个优一和优二的交当中 好，它们的胶也一定是我 p 的 领域。好，第三个，如果我有 q， 在 以 p 的 领域当中，那么一定会存在某一个 q 的 领域，它也在 p 的 领域当中。 最后，如果 p 和 q 不 等好，两个不同的点，那么它们的交集，我一定会有两个领域，使得它们相交为空。比如说我取它们的距离 的三分之一倍啊，假设这是我的德塔，好，那么假设这是一个点，这是一个点，他们距离的三分之一倍。我这边有个这样的领域，这边有个这样的领域，他们相交一定为空。好，这是我领域的四个特点，这是我们第一个非常重要的定义。好，其次，我们来讲收敛， 收敛是什么意思啊？就是我的点列会收敛，假设 p n 是 一组点列，它来自我的 r n， 这个 n 为欧式空间当中啊，其中有个点 p 零，它也来自于我的 n 为欧式空间当中。如果 当我的 n 趋近于无穷的时候，我 p n 这个点列和 p 零这个点列的距离逐渐趋近于零，我们就称 p n 这个点列 收敛于 p 零，记作 n 取无穷时， p n 等于 p 零。还有什么意思啊？就是假设有一组点列，那我们这里假设画一组点列 好，那么当我的 n 趋近于无穷大的时候，我的这组点列，它距离这个批零的距离会越来越小，越来越小，甚至趋近于零，我们就称这组点列是趋近于零的啊，趋近于批零的 好，那么用领域的话来说，就是对于任意批零的这个领域， 我都会存在一个大恩，对于任意的小恩大于大恩，我的屁恩都会，在我这个屁零的领域当中，对于无穷大的某一些量，它一定会在我屁零的领域当中。好，我们也称收敛 好，除了前面的两个心值之外，我们还要讲第三个定义啊，距离好，那么这个距离，除了这个点集当中两个点 p q 之间的距离，我们还可以定义两个点集 a 和 b 之间的距离 好，假设这是我的点击 a， 这是我的点击 b 啊，我们拿集合来表示好，那么这两个点击之间的距离就是我在 a 中取一个点 p， 在 b 中取一个点 q， 它们之间距离的最小值啊，下确见。换言之，我的 d a b， 它可以用 d p q 好， p 来自于 a， q 来自于 b， 好， 这个的下切记啊，小的最近的距离来刻画好，那么如果我要刻画的就是这个点集的直径， 那我就在这个点集当中取两个 好，我的 p 点也来自于 a， q 点也来自于 a， 好， 我在这个 a 集合当中取两个点好，我要定义这个的直径，应该取的是这两个点距离的最大值啊，上缺界好，那么直径我们用德塔来表示啊，距离我们用德来表示 好，最后我们来定义什么是有界无限点击 好，那么首先无限点击就意味着这个点击当中要有无限多个点好，除此之外呢，指的有界就是他的直径小于无穷，他的直径是一个可以测量的东西好，那么他会有哪些等价定义呢？好，如果 e 是 r n 中的有界无限点击 好，那么意味着存在一个大 k 代零，对任意的 x 用 x 一 啊，已知到 x n 表示的来自于 e 当中的元素都有 x i 减都有 x i 的 绝对值小于等于 k。 当然更进一步，我还可以说存在 k 大 于零，使得对于任意的 x 属于 e 都有 x 和零二。这个零指的是坐标全为零的这个点好，距离小于 k 好。更进一步，我还可以说存在一个 delta 大 于零，使得我的这个 e 集合会包含于这个零的 delta 领域啊，这个零指的还是零零零这个点 好。首先我们可以用它的直径小于无穷来刻画。除此之外，我们还可以用它每一个坐标的分量都会小于 k 来刻画，我们还可以用它到坐标原点零到零到零的 这个距离小镇可以来刻画。更甚者，我们还可以用它一定会在我这个零的 delta 领域内来刻画啊，这是我的有界无限典籍。