不定积分零基础教学大一

注意刷视频暂停，先来三十分钟速成一下高数来看这一页。 哇哦，好多公式呀，是不是又开始打退堂鼓了？你先暂停，仔细看一眼里面的大部分公式，你高中的时候就记住了，你说老师那剩下的也不好背，不好背就去看这个视频，两分钟就能背下来。他们就好比游戏里的技能，你不多记住几个，咋放大招咋做题。 在背过公式的基础上，我们看导数的运算法则也得背过这些式子，我相信你也很眼熟，因为中学咱们都学过。 看题，上面的那些式子，你背下来了直接求导就可以。稍微有点迷惑的就是要记住，下面二分制派是常数，你记住一点，常数的导数是零。 第二题，求两项乘积的倒数，等于前倒后不倒，加上前不倒后倒， 前倒后不倒就是你先求乘号。前面的式子，后面的原式直接放上去，前不倒后倒就是前面的式子，你原式放上去，后面放求倒的式子。这个公式在这，你把公式背过就可以了。下面你来暂停，做两道练习题，背过公式就能做。 接下来看复合函数求导，你首先要找到中间变量。啥叫中间变量？假设你要寄一个很珍贵的礼物给远方的朋友，但是这个礼物很脆弱，需要先放在一个小盒子里，然后再把这个小盒子放到大包裹里寄出去，这个小盒子就是中间变量。来看这道题， y 等于二 x 加五的四次方， u 就 相当于小盒子，二 x 加五就相当于那个礼物，所以 y 就 等于 u 的 四次方， 所以这个岛就等于 u 的 四十方的岛数对 u 求岛，然后再乘以 u 的 导数，写出来就可以了，这个叫面试法则。 面试法则又是啥意思？举个例子，大冬天的时候，尤其是在北方的同学，在外面的时候，你会穿的很厚，然后就在宿舍很热，有暖气吗？那怎么办？你是要从外向内一层一层的铺衣服？复合求岛也是，你是不是也要先拆外面的大包裹，再打开里面的盒子呀？ 提四提五提六都是复合函数求导。提五提六，稍微有点不一样。求 d y， d y 啥意思？ d y 叫微分，微分怎么算？可以先求导数，再代公式。所以 y 等于 f x， d y 等于 f， 导数 d x 这个练习题也是复合求导，一定要小心一点， d y 要先求导数，再套公式。删了复合函数求导来看引函数求导，那什么叫引函数？ x y 在 一对了，都在左边，这叫引函数，这样怎么求导？就是将等式两边同时对 x 求导， 注意， y 是 x 的 函数，所以这个求导可以用到复合求导的列式法则。第八， x y 在 一对，也叫引函数，两边求导就可以了。第九题，怎么求二阶导数？ 二阶导，第一步是两边同时对 x 求导，注意 y 是 x 的 参数。第二步，将第一步得到的式子两侧再同时对 x 求导， y 是 x 的 参数， 把这个解出来就可以了。这个练习题和前面的做法一样，只要知道它们是引函数，就可以自己暂停做一下。 下面我们说参数发生求导部分，学校可能不包含这一部分，你跳过就可以了。参数发生求导，你把公式背过就行。 x y 都是 t 的 函数，这叫参数方程，咱们中学的时候就学过，这是椭圆的参数方程吧。记住， y 对 x 的 导数是什么？是个分式，分子式， y 对 t 求导，分母式 x 对 t 求导。把这个公式背过。 第十一题要求这个参数方程在四分之派出的切线方程和法线方程。先求切点，切点在这了，再求斜率，这个斜率包括切线的斜率，法线的斜率。注意，切线的斜率就是倒数，那切线和法线是垂直的，所以法线的斜率就是切线斜率的负倒数。 十二题求二阶导数要背公式，一阶导在这了，就是这个式子，而二阶导是什么？二阶导是个分式，分子依然是一阶导对七求导，分母 x 求导。这个公式直接背过就可以了。 练习题也是一样的，你自己暂停做一下。下面我们看导数定义，要算分段函数，在分段点的导数要求左导右导。那什么叫导数呢？导数是因变量增量与自变量增量相等的极限， 好在这个里面左导是什么？左导音变量增量与自变量增量商的极限 显然应该是一右导是什么？一样的，算出来也是一左导右导都存在，还相等，所以零点的导数就是一 看练习题 f x 等于三 x 的 绝对值，这个里面零就是分段函数的分段点，要求分段函数在分段点是否可导，要求左导右导， 这个左导是负一，右导是一，所以导数不存在。下面来讲可导与连续。这里记住一句话，可导一定连续，连续不一定可导。来看这道题，求这个分段函数在 x 等于零处的连续性与可导性在 x 等于零处的连续性，要考虑极限值是不是等于函数值， 左极限右极限都等于函数值，所以它应该是连续的。那可导不可导呢？可导不可导可以用档次的定义来判断，导数是音变量增量与自变量增量商的极限， 这个左导是负一，右导是一极限，不存在，所以在这不可导。这些题你来自己做一下。接下来看第三部分，我们进行积分， 不见积分，首先把公式背的很熟很熟，一定要背过。其实咱们的积分公式和求导公式是一种逆运算，求导是往前迈一步，积分是退回来，你把前面求导公式背熟了，积分公式就好背了。你在这把积分公式背熟了，求导公式就好背了。 这些公式就是你们手机上存的那些锦鲤，佛祖保佑考试顺利背下来他们你的好运气就来了。 比如第一题 x 方的积分是什么？你直接看一看积分表里面哪个式子跟它占标带公式就可以了。第二个也是看看哪个式子跟它占标直接带公式。第二个表格是比较复杂的，积分的表格也得背过。第三题也是带公式，把公式找到直接带进去， 所以这个公式咱们要背的很熟很熟，这得练到啥程度呢？就好比你看到手机你就想划拉，他摸到篮球你就想投篮，听到音乐你就想摇摆，让他成为你生活里的肌肉记忆。你要把这个公式背的很熟很熟。第四个差的积分是积分的差，拆出来两个积分， 第一个积分和第二个积分，我们直接背公式就可以了。练习题也是再强调一遍，把公式必须背过。有些时候公式会进行变形，一般会怎么变形呢？看几个高中时候学的二倍角公式，你自己暂停回忆一下。 第五题，直接用二倍角公式来进行化简，就变成了这个式子。这个式子拿过来就是二分之一套算平方，分之一 是 second 方， second 方的积分是 tenth x， 也就是把积分表背过就行了。第六题，把分子乘开单写开，然后背积分表。 另外强调一下，我做了积分，写了半天，我做对了吗？对与错看两点，一是结果必须有 c， 如果结果没有 c， 你 一定错了。第二个积分结果的导数等于背接函数，如果等于你就做对了，不等于的话，你就得检查检查。 第七题，这个题就是你只要背过常见的三角函数和常见的积分公式就可以了，所以我们要用敏睿的眼光，灵活的使用这些公式，看见这个题就把不会的式子转化成我们背的公式。例如第八题，有这个式子吗？没有咋办？ 公式里面有 x 方加一分之一这个积分，所以这个分式我们可以把分子加一减一，再约分就可以了。编辑题都是熟记公式，下面我们看第一类换元法。第一类换元就是直接带公式，没法直接带咋办？没法直接带，你就得想办法凑一凑，凑成我们常背的那个积分表凑出来就可以了。 像这个题前面是二 x， 你 背公式的时候，注意公式里面的 x 不是 x， 是 方框， 像这个你一定会 cos 方框 d 方框的积分，而这个是二 x 方框，所以 d 凑方框，这么凑就多了二， 所以前面的二就没了。这是第一类换元，又叫凑微分，关键在于把计算表里的 x 看成方框就行了。这个也是五 t， d t 怎么办？就把方框写成五 t， d 方框就是 d， 五 t 前面差了一个五分之一， 像十一题，这是平方，这是一次方，所以要把 x 凑到后面来，凑的时候前面配个系数二分之一，就把这个凑成我们会的式子了。十二题，你只要知道余弦的导数是负的，正弦可以把正弦凑到 d 的 后面，写成负的 d 抛线就可以了。 这一块关于积分，熟能生巧，一定要把题多练一练，求导说，少练没事，积分绝对不能少练，下面我们看分不积分。分不积分的关键是正确的选择，要选对了，事半功倍，要选错了一些， sorry， 选择顺序是什么呢？ 反对密指三，注意这里面哪个函数最难？那肯定是反函数呗。第二难的是对数，最简单的是三角函数，所以从前到后是从难到易，从繁到简。进而我们选择 u 的 原则叫先苦后甜，哪个类型难，哪个是 u？ 看这题， x 是 密函数， cos， x 是 三角函数， 反对逆值三，所以 x 为 u， 记住这个 u 要选对了事半功倍，选错了一切， sorry。 十四题，如果背接函数只有一项，那么这一项如果是对数或者是反三的函数，把它设为 u 就 可以了， 这个是 u， 那 v 呢？ v 就是 x， 直接计算。十五题， x 逆值三，所以 x 为 u， e 的 for x 是 指数函数。反对逆值三，所以 x 为 u， e 的 for x 方求 d v。 十六题， x 是 逆函数，绕 n 是 对数函数，谁厉害，对数函数厉害，所以绕 x 减一为 u， 把 x 缩到 d x 的 后面去就行了。看这些练习题，这些练习题的关键就在于看清哪一个是 u， 哪一个是 v。 第二类还原法，其实就是见到二次根式，用三角函数代换， 看谁不顺眼就让谁消失，看哪个不顺眼就把哪一个设为 t 就 可以了。就用这个表格看这题，根号下 x 方加一的立方，见到根号下 x 方加一，二次根式，所以用三角代换，令 x 等于看成 t。 像这题怎么办？看谁不顺眼，让谁消失。根号二 x 是 不是不顺眼，所以用 t 等于根号二 x 就 可以了。注意注意，不管是第一类还原还是第二类还原，你怎么还原还是怎样把它带回去 练习。五也是看谁不顺眼，让谁消失谁不顺眼。根号下一加一的 x 去 me 这有个根号不舒服令 u 等于它，记住谁不顺眼，让谁消失就可以了。

ok， 兄弟们，咱们从今天开始速通一下高速，希望能拯救一下你的考试。好，那我们现在开始期末不挂科时，带你三小时速通高速上第五期终于来了，不定积分。 首先咱们来讲一下基本原理，不定积分是啥意思呢？它的本质是导数的逆运算，高中时候求导的都学过，那不定积分就是导数的逆运算。如果大 f x 导数是小 f x， 那 小 f x d x 就是 叫求小 f x 的 不定积分。前面这个像撬棍这样的符号就是代表在求小 f x 的 积分， 那求出来结果它一定是大 f x 吗？那不一定啊，也可能是大 f x 加一个常数，所以说这个积分求出来结果应该是大 f x 再加个 c。 你 比如说 x 方的导数肯定是二 x， 但是二 x 的 原函数不一定分也是 x 方，也可能是 x 方加一， x 方加二，所以说你求出来结果应该是大 f x 再加个 c， 就比如这个求 s 方 d x， 那 这意思就是 s 方是一个函数的导数，然后再往回求它的原函数 s 方的一个原函数，你第一想到的应该是三分之一 s 立方吧，但是不一定是它三分之一 s 立方，加个常数也行，所以说它的结果应该是三分之一 s 立方，再加个 c 不定积分，就这意思。接下来咱总结一下不定积分的核心做法。首先第一个就是凑一分法，他也叫第一类换元法，那啥意思呢？他本质就是通过凑的方式把贝吉百达仕转化为某个已知积分公式的形式，然后用基本的积分公式来求解。 具体来说就是如果你要计算一个 f 反 x 乘反 x 倒，就是一个负函数，再乘上隔内层函数的倒数，它的积分。那咱之前学过微分 d 反 x 是 不就等于反 x 倒 d x， 那 现在我把这个反 x 倒 d x 给它逆过来，它是不就等于 d 反 x？ 所以说这也是凑微分的关键。把 f x 到 d s 凑成中间变量 u， 等于 f x 的 微分 du， 那 我原来这个积分是不是就可以转化成这个？把 f x 当成 u， 那 现在就是 f u du， 只要能求出 f u 的 原函数，再把这个 u 等于换 x 给它换回去，那这个积分是不就出来了？就比如说这个二 x 乘以的 x 方 d s， 我 要直接去积分，我没学过这样的积分公式，我不会做呀，但我观察到这个是一个复合函数，然后他二 x 正好是里边这个内层 x 方的导数吧， 所以我就可以把二 x d s 给它处理一下，就变成 e 的 s 方，然后 d s 方吧。然后现在我把这个 x 方当成 u， 现在不就是 e 的 u 次方 d u 吗？ e 的 u 次方 d u 是 不是等于 e 的 u 次方再加 c 啊？然后最后我把这个 u 用 x 方给它换回去，那就是 e 的 x 方加 c 呗。这就是凑一分法的原理。 那么这些常用的凑一份公式，你需要记住，看到一个背记函数符合这里边的形式的时候，你就可以直接利用这个凑一份公式给它凑出来。 这凑一分关键你发现没，就是要找到那个内存函数 f x， 然后把它当中间变量 u， 然后凑出 f x 的 导数，把 f x 的 导数拿到 d 的 后边。 ok， 那 咱们拿几道例题简单讲解一下。那么这个函数把谁当 f x？ 是 不是底下这个三加 s 当 f x， 那 我就要凑出它的导数，它导数应该是二吧，那现在我没有二，怎么凑呢？那我在前面乘个二分之一呗，那就变成 三加二 x 分 之一，再乘上三加二 x 的 导数 d x， 然后把它的导数拿到 d 后边就变成二分之一三加二 x 分 之一 d， 三加二 x， 然后这个反 x 给它看成中变量 u， 那 现在有 u 分 之一 d u 就 会变成二分之一 line u 的 绝对值，再加个 c， 然后把 u 再换回来呗。那就二分之一 line 三加二 x 绝对值再加 c， 然后第二个弹进的 s dx， 弹进的 x， 那 我需要给它变下型，给它变成赛比头呗。 变成赛 x 除以 cos 小 于 d x， 那 我观察到这 cos 导数就应该是负的 cos 吧，那我前面给它加个符号，就变成 cos 小 于 d x， 然后把它就拿到 d 后边，那就是负的 口在 x 分 之一 d， 口在 x 吧，那它就变成负的小于口在 x 绝对值再加 c 了呗。 然后继续第三个，这个是 x 乘小于 x 方分之一，再 d x 吧。那么还是关键找到那个泛 x， 这泛 x 可以 是泛 x 吧，正好泛 x 的 导就是 s 分 之一，那我就可以把这个 x 分 之一给它拿到 d 后边就变成 烂 x 方分之一，然后 d 烂 x 吧，然后把烂 x 当成 u， 现在就是 u 方分之一 d u， 那 它是不就等于负的 u 分 之一再加 c， 把 u 再放回烂 x， 那 就是负的烂 x 分 之一，再加 c 吧。 ok， 基本的做法你了解了，那咱用点强度，用考试真题来进阶一下子，这几个肯定都需要一点技巧来。先进行一下变形，然后再凑为分了。 第一个分母是 x 方，加一分子是 x 立方，那我先拿出一个 x， 给它变成 x 方，再乘 x， 这个 x 我 给它设置前面乘二分之一，它就变成二 x， 就 可以当 x 方的导了吧。 那就给它变成二分之一，底下是 x 方，加一分之 x 方，然后 d x 方吧。接下来呢，这个分式我得给它拆一下子， 那要变成 x 方加一，再减一，就是分离常数，然后 d x 方，然后那就是二分之一一 d x 方，然后再减去 x 方加一分之一 d x 方， 那变成二分之一 x 方，再减去 d s 方和 d s 方加一，它的导数是都一样的吧。所以我直接给它变成 d s 方加一，那这个就是 line x 方加一， 然后再加上 c， 然后第二个我还是直接给它拆开，变成一加 x 方 d x 加上一加 x 方， 分子按个弹进的 x dx， 这个还是给他分一下常数，那就变成我给他加一，再减一吧，那变成一减去一加 x 方分之一 dx， 然后这个的话我就可以直接凑为分了。我观察到啥呢？这个一加 x 方上面是不是分之一，他正好是按个弹进 x 倒，那我就把这个他的倒给他放到 d 后边，那就变成 r 的 弹性的 s， d r 的 弹性的 x 吧，然后那我就可以直接做了。这个积分的话，就是 x 减去一加 x 方分之一 d x， 你 看用这里的基本积分公式在这呢吧。一加 x 方分之一 d x 就 直接是 r 的 弹性的 x， 所以的话，这个就是减去阿克弹进的 x， 这个是不是再加上二分之一阿克弹进的 x 的 平方？完了，最后加上 c， 最后一个更是精彩了，这个多项式的分式来求积分，这一开始我也看不出来 f s 导数是谁，我也现在也不知道怎么拆呀，但是我观察到这个分母，它的导数就是二 x 加四，是二倍的 s 加二。那我把分子给拆一下子呗，我先给他凑出个 s 加二， 那就变成 x 加二减一，然后除以 x 方加四 x 加五，再 d x， 然后把这个分式给拆开呗，再变成 x 方加四， x 加五分之 x 加二，再 d x 减去 x 方加四， x 加五分之一 d x， 然后这部分是不是就可以凑为分了？我给前面乘二分之一，那里边是不是就二倍的 s 加二，正好是这个分母的导数了，所以就是 x 方加四 x 加五，上面就是 x 方加四， x 加五的倒吧 d x 后边这个我把分母配加方变成 x 加二的平方，再加一分之一 d x， 那我观察到这个分母是有 x 加二，那我这 d s 是 不是可以直接给它改成 d s 加二？现在这两部分我就都凑出来了，要变成二分之一 s 方加四， x 加五分之一 d s 方加四， x 加五，后边的话给它再抄下来 d s 加二，然后那么开心写结果了，就你看就是二分之一 line x 方加四， s 加五的绝对值减去 r 弹进它 x 加二吧，再加 c， 搞定 好，那么咱最后总结一下，凑一分法来求不定积分呢。关键就是你得把 which 犯 s 找到，然后去凑这个犯 s 倒数。那怎么凑出来呢？需要通过一些拆分变形，然后再凑出这个犯 s 倒之后把犯 s 倒给拿到地后边去，最后借助这些基本的积分公式，然后就可以给他求出来了。

接着我们学习不定积分的第三课，第二类换原法。这个方法主要针对有根式的情况，当背及函数含有这种类型的根式时，我们可以令 t 等于这个根式，这样题目就可以做出来了。 比如这道题，我们令 t 等于它，那这个分母就变成了 t， 但只变这部分还不够。式子中还有 x 和 d x 呢，它们怎么变呢？ 非常简单，因为 t 等于三次根号下 x 加二，所以 t 的 三次方就等于 x 加二， x 就 等于 t 的 三次方减二，那么 x 对 t 求导就等于三 t 方。 根据这个式子，我们很容易就可以得出 dx 等于三 t 方程 d t， 这样 x 和 dx 就 都求出来了。我们用这俩结果来替换这个 x 和 d x 可以 变成这样。 好，现在这个积分你应该会做了吧？ 注意，千万不要忘记把结果里的 t 再换回去。 好，这就是第一种情况，特点是背记函数有根号，且根号下的 x 是 一次方。

预备开始大学数学救命课第十二期，今天我们来说一下定积分。定积分是什么意思呢？他长得有点像不定积分，跟不定积分有一点点区别，就是不定积分他没有这个 a 和 b 这两个数，而定积分有 a 和 b 这两个数。 那定积分是啥意思呢？非常简单啊，指的就是从 a 到 b f x 的 积分等于大 f x。 我 来一个竖线，上面是 b， 下面是 a， 大 f x 指的是 f x 的 原函数。 然后呢，这个东西怎么算呢？就是大 f b 减去大 fa， 所以 说非常简单。定积分的定义就是我们先找到 f x 的 原函数大 f x， 然后呢，我们用大 f 上面那个数减去大 f 下面那个数，这就是定积分的进行定义，非常简单。比如说我们练几个题来看一下。 第一个题，我们按照定积分的定义，首先先来找一下 x 平方的原函数啊，密函数的原函数应该是一加二分之 x 的 一加二次方，然后啊， 上面是二，下面是一，简单整理一下，就是三分之一 x 的 三次方，上面是二，下面是一，按照定积分的定义往里带 就是三分之一倍的二的三次方，减去一的三次方，非常简单，最终结果等于三分之七。下面那个也是一样，我们还是先找到这个 e 的 x 方的原函数，就是还是 e 的 x 方。然后呢，上面是二，下面下面是零， 也就是最终结果是一的二次方减一的零次方，也就是一方减一，非常简单，这个也是一样，首先我们把根号下 x 变成 x， 二分之一次方，找一下 x， 二分之一次方的原函数就是一加二分之一分之 x 的 一加二分之一次方，简单整理一下就是这个样子。 ok， 然后啊，把这个二和一往这个圆函数里带，也就是三分之二给它提出来倍的二的二分之三四方减去一的二分之三四方， 二的二分之四方，三四方怎么算啊？这个二的三四方开二次根号就可以了，所以最终结果是三分之二倍的啊，根号二减一非常简单，这就是定积分的定义。

九、减不定积分最关键的步骤呢，是观察观察分析函数各个因子之间有什么样的关系，基于这个关系在确定我们使用什么样的方法啊？从哪里出发，挑战期末不挂科一百题之二十三题。这道题目里面 有阿根廷 x 以及一加 x 方分之一，很明显，它们俩之间是有关系的。阿根廷 x 倒数恰好就是一加 x 方分之一，但不好的地方是，它前面还成了个 x 方分之一。 因此，我们现在想办法能不能把这个 x 方程一加 x 方分之一给它拆开。这是一个我们比较熟悉的操作啊，它可以写成是 x 方分之一，减去一加 x 方分之一，然后再乘以外面的 arc 弹进的 x， 这样我们就将这个不定积分拆成了两个部分，第一个部分是 x 方分之 arc 弹进的 x 的 不定积分，再减去一加 x 方分之一 arc 弹进的 x 的不定积分。很明显，这个第二个不定积分会更好积啊，直接凑为分就可以了。现在我把原微分记为是 i， 那 把这两个微分呢，分别记为 i 一 和 i 二，我们分别来看第一、第二个吧。先看第二个，第二个比较简单， i 二啊，可以直接写成是 arc 弹进的 x， 把一加 x 方分之一放到微分里面 d arc 弹进的 x， 那它就是 u， 这样这样一个不定积分，对吧？直接记为把那个 r 弹性 x 看成是 u， 它的原函数应该是二分之 u 方，再加上一个常数 c 一， 所以它的 i 二的不定积分结果就应该是二分之一 r 弹性的方 x， 再加上 c 一， 这是第二个不定积分，很容易求出来了，我们再来看第一个不定积分，第一个不定积分现在是 x 方分之一乘以 r 弹进它 x， 我们观察这个被积函数，这两个部分之间呢，没有很明显的关系，那么这个里面不太容易积分的部分，一定是这个 up 弹力的 x， 这就提醒我们是否能够使用分布积分法，因为我们知道分布积分法是基于这样的，我们把它写出来，基于 u v 导 的不定积分，它是等于 u 乘以 v 减去 u 导 v 的 不定积分，这里是 x。 好，那我们观察这个不定积分，它的本质原理是什么呢？原理其实是对于 u v 导这个不定积分，它不好求，我们想把它转化为求 u 导 v 的 不定积分， 那也就是说原来这个 u 啊，对 u 来讲，它不太友好，我们想给它进行一个求导，求导之后它变得友好了，它好极了。 那我们观察我们这个 i 一 这个不定积分，这个里面的 r 弹性 x 呀，它不太好积分，那如果说把它进行求导之后，是不就变成了一加 x 方分之一，这个对于我们来讲是比较容易进行的，因此想到了用分布积分法。 你现在想用分布积分法，你就要确定谁是 u， 谁是 v， 我 们现在确定用这个用这个 u 了 r 弹性 x 即为 u， 它是 u， 那 它就是 v， v 倒，你现在把 v 啊，把 v 写出来，它也是比较好写的，它应该是负的 x 分 之一的倒数乘以 r 弹进的 x， 这样一个不定积分，确定了 u 和 v 是 谁，我们就可以用分布积分这个这个公式了啊，它就应该等于 u 乘以 v 就是 负的 x 分 之一，乘以 r 弹进它 x， 再减去减去 u 导 v， u 导一加 u 是 r 函数 x， 它求导是一加 x 方分之一，再乘以 v， v 是 负的 x 分 之一，那这地方就变成加了，再乘以个 x 分 之一，是这样的， 这样的，那现在我们就来解决这个问题，来解决这个不定积分。这个不定积分里面 有 x 出现，也有 x 平方啊，那我们可以给它凑成凑成这个样子啊。 我把 x 方放到微分里面， d x 方，它就会出现二 x d x 为了保持不变，你要把这个二去掉，所以前面要乘个二分之一， 二， x 会和下面这个 x 约调，那你为了保持不变，你把下面变成是 x 平方，这样我们就凑成了，就凑成了啊。那么接下来 来看它五能不能把它解出来呢？它其实它的形式就是二分之一倍的，把 x 方看成是 u， u 乘以一加 u du， 这个不定积分我们是很熟悉的，它可以拆成，跟刚刚这个思路是一样的，它可以写成二分之一倍的 u 分 之一，减去一加 u 分 之一 du， 那 么它的不定积分就是二分之一倍的 lo n u 的 绝对值减去 lo n， 一 加 u 的 绝对值，再加上一个常数 c 二。 好，我们接下来就把这个 u 换成 x 方就可以了，它就应该接下来是等于负的 x 分 之一 r 弹进它 x， 再加上二分之一倍的， 里面是 long u 的 绝对值减去 long， 一 加 u 的 绝对值，把 u 的 换成 x 平方。由于 x 它本身做了分母，所以 x 肯定不等于零，那么 u 换成 x 平方，绝对值可以去掉，它就二分之一倍的 x 平方除以一加 x 方，接下来后面还有个常数 c 二、 c 二，这样我们就把它记出来了，那我们来看最终的结果，我们要求的呢是 i i 这个不定积分，它是等于 i 一 减去 i 二的， i 一 的结果是它 i 二的结果在这里，在这里啊，我们把它两个整理到一起，应该等于 i 一 减去 i 二，那应该是负的 x 分 之一倍的 arc， 弹进的 x， 弹进的 x， 弹进的方 x， 再加上 二分之一被的漏，一加 x 方分至 x 方，两个常数相减之后，还记为一个常数，直接用 c 来表示，那这就是最终的结果啊。这里大家再想一下，我们是有一个 大家在做分布积分运算，选 u 的 时候是有一个规律的，我们把它叫做什么？ 反对密指三是选 u 的 时候， 也就是说当你这个里面如果出现了反三角函数和指数函数的时候，那么你选 u 一定选的是反三角函数作为 u， 为什么是这样呢？大家想一下，你如果选的是 指数函数或者说三角函数或者是密函数，你把它选为 u 之后，是不是下一个做那个？做这个后面这个不定积分的时候，你是要把那个 u 进行求导的， 那你密函数、指数函数、三角函数，它求完导之后，它还是密函数，指数函数和三角函数，它结构上是没有变化的，对于你来讲是没有帮助的，所以我们 选 u 的 时候都没有选它，因为因为你那个求完导之后没有变化，但是对于反三角函数和对数函数来讲就不一样了， 反三角函数，比如说这个 x， 它求完导之后就变成一加 x 方分之一了，它本质都发生了改变，它对于我们来讲它是好记分的，所以才会有了这样一个这样一个所谓的一个口诀，一个规律。

人再笨，十四岁还能学不会微积分吗？当时听到说这句话的时候，我第一感觉就是钱老把我开除人极了。所以为了不被钱老开除人极，今天简单讲一下不定积分的概念。不过在此之前，我们先来了解一个新的名词，那就是元函数的概念。那么什么是元函数呢？ 很简单，如果对于大 f x 和 f x， 其中大 f x 的 导函数等于 f x， 我 们就说大 f x 就是 f x 的 原函数。说大白话就是求导后的函数就叫导函数，而求导之前的就叫原函数，这很好理解吧。 打个比方，我们都知道 x 平方的导函数其实就是二 x， 所以 x 平方就是二 x 的 原函数。所以看到这里，大家应该都能知道原函数是怎么一回事吧。 与此同时，大家也能看到，不止 x 平方是二 x 的 原函数，其实有很多函数也可以是二 x 的 原函数。由此可见，一个函数的原函数并不是只有唯一一个，而是可以有很多个。 事实上，我们有一个定律可以描述这个事情，如果大 f x 是 f x 的 原函数，则大 f x 加 c 所表示的函数都可以是 f x 的 原函数。 那么这时候又多了两个问题，函数在什么样的情况下才存在原函数呢？并且这无数个原函数之间又存在怎样的一个关系呢？ 对于这两个问题，定例二和定例三可以做出对应的回答。定例二告诉我们，如果函数在区间内连续，则它在该区间内必然存在原函数。同时，定例三也告诉我们，函数的不同原函数之间其实就相差了一个常数。并且结合定例一和定例二， 我们可以发现，如果 f x 在 区间上连续，则它必然存在无数个元函数。有了这些基本概念之后，我们就可以看不定积分的定义了。如果 f x 存在元函数，那么它的无数个元函数统一称为它的不定积分。 通俗一点的说，不定积分其实表示的是所有求导后能等于 f x 的 函数，此时我们将符号记为这个，其中 f x 左边的那个撬棍就是不定积分的符号， 而 f x 就 称为背时函数，而 d x 中的 x 就 称为积分变量，而常数 c 就 称为积分常数。并且从这个定义也能看出，不定积分其实就是求导的逆运算。 举个例子，计算这个函数的不定积分，根据不定积分是求导的逆运算，我们只需要找到一个函数，使得这个函数求导后等于被积函数就行了。这里被积函数是 cosine x， 那 么哪个函数求导之后是 cosine x 呢？ 很明显是 since 吧，所以这个不定积分我们就算出来了。好吧，这里其实还有一个常数 c， 别忘记加上它，这样才是正确答案，大家平时做题的时候千万不要把常数 c 忘了。 再来个例子，求这个函数的不定积分。还是同样的思路，找到一个求导后等于被积函数的函数就行了， 很简单，对吧？再来一个例子，已知函数在每一点处的切线斜率都等于该点横坐标的两倍，并且 x 等于二处的函数值等于五。求出这个函数， 这题怎么做呢？首先我们知道函数任意一点处的切线斜率可以用这个表示吧，并且它等于该点横坐标的两倍，所以我们可以写出这个等式吧， 这样我们就得到了关于 f x 导函数的等式。那我们该怎么得到关于 f x 的 等式呢？很明显， f x 是 它导函数的原函数吧，所以我们可以求它导函数的不定积分，从而得到 f x 的 表达式。 最后我们再把这个式子带进去就行了。 最后算出来 f x 等于 x 平方加一。接着是积分表， 实际上就是基本出等函数的积分公式。因为实际求不定积分的时候，我们不可能总是靠猜原函数是什么，因此我们需要记住这些积分公式，从而帮助我们更快速地计算不定积分。 并且大家也不用觉得要记的公式很多，这些反过来其实就是出等函数的求导公式而已。 举个例子，求这个函数的不定积分。观察被积函数，我们可以把它转化成这种形式。很明显，这是个密函数的不定积分吧，直接带入公式就行了， 这样就算出来了。再来一个例子，计算这个积分，很明显被积函数是一吧，并且这个积分也可以直接带入这个积分公式吧，这样就算出来了。 接下来讲一下不定积分的性质。首先是性质一，一个函数积分后再求导，结果不变。同时一个函数积分后，再取微分，等于这个函数乘上 d x。 当然，这个证明也很好理解，按照不定积分的定义来就好了。 这样我们就得到了左边的式子，右边式子的证明原理也是一样的。 然后是性质二，函数的导函数的不定积分等于该函数自身再加上一个常数 c， 同时，当被积函数为一，且积分变量为函数本身，则结果也是该函数加上一个常数 c。 这个证明也很好理解，实际上就是将微分的定义带入一下就行了。 举个例子，现已知一个函数的定义，代入一下就行了。举个例子，现已知一吧， 这样 f x 就 算出来了。接下来是性质三和性质四，其中性质三告诉我们函数和差的积分等于函数积分的和差，而性质四告诉我们可以把积分中的常数音式提取到积分外面。 举个例子，求这个积分。很明显，这个可以用性质三和性质四将原式拆分成多个积分，是吧。 接着我们对各部分分别计算不定积分就行了。 化简一下，这样就算出来了。再来一个，求这个不定积分。同样的，先对式子变形一下， 然后这里可以列项吧。 性质三和性质四，将原式拆开，然后分别计算每个部分， 最后别忘了加上常数 c， 这样就计算完了。再来一个，求这个不定积分。同样的，先对式子进行变形，分子用二倍角公式展开， 然后列项， 然后计算每部分的不定积分， 这样就计算完了。 最后给几个题目，大家回去练一下吧，下期再见！

开始大学数学救命课第七期，今天我们正式来说一下不定积分。不定积分是什么东西呢？哎，核心的核心，就我们面前的这一堆啊，我用一根像撬棍一样的东西，再加上一个函数，再加上一个 d x， 得到了它的原函数。 啥叫原函数呢？原函数取完倒了之后叫倒函数，那倒函数的上一级就叫原函数。比如说，哎，整个从第一条一直到第十九条，等号的右边都是原函数， 然后呢，等号六边取完倒了之后，哎，就得到了左边带 d x 那 一堆就是他们的导函数。说白了，不定积分干啥事呢？不定积分就是找元函数啊，就这么简单。好吧，来 第一条，一直到第十九条，大家一定要把它背下来，虽然说这个过程可能稍微有一点困难，大家大家一定要克服困难，把这个东西给它背起来，好吧，嗯，然后紫色线的这两条是不定积分的系数，拿到这个翘棍前面，结论依然是一样的。 然后呢，再一个，不论积分是具有加法的和减法的性质的，就是我在内部加减法，跟在外面分别算完不定积分，再进行加减法，是一模一样的。好吧，大家对这个简单有些印象，来，我们看一些奇题，看一下例题一，呃，根据不论积分的性质，首先我可以对它进行这么一个操作， 好，核心的核心，谁的原函数啊？这个口塞四 x 的 原函数是谁？塞二 x 的 原函数是谁？那口塞的原函数肯定是塞嘛，对不对？因为塞求导是口塞嘛，所以说那一定是这个样子。 由于负函数的求导，我们说了，哎，正常这个家伙，求导会前面多个四，那我这来个四分之一不就得了吗？对不对？哎，这个东西正常原函数应该是负的口塞 x， 因为负的口塞 x， 求导是 sine x， 也就是这个样子。 好，为了保证这个负函数，求导跟这个，呃，这个系数要跟原来保持一致，所以这前面上一个二分之一， 然后这前面符号，然后这自己又有个符号，负负得正，哎，来最终结果，别忘了加上一个常数 c 就 ok 了。好，再看下例题二，还是啊，根据性质先对它进行这么一个操作。 好，然后前面的这个，这算啥呀，这是不是 x 的 负二四方啊？我们应该想起哪个公式啊？我们是不是应该找到这个元函数的公式啊？一加二发分之 x 的 一加二发四方，是不是，哎，把二发等于负二往里头带，对吧，那就是 负三分之一乘上这个负一分之 x 的 负一次方，这就找到了它的原函数。然后后面这个东西的原函数是谁呀？哎，我们之前背过求导公式吧， r 个弹进来 x 吧。 ok， 最后别忘了加常数 c， 前面这个东西，对它简单整理一下就是最终答案。再看下例题三，这是二的 x 方，乘一的 x 方，我们可以先对它进行这么一个处理。二，一，括号 y 的 x 次方。那我们想起哪个圆函数公式啊？这个吧， a 的 x 次方的圆函数的公式是这个， 好，那我们就这样，就是把 a 等于二一往里头带，就这个样子。 最后别忘了加常数 c， 非常非常简单啊。再看一下例题四，还是利用性质把它进行一个简单的操作， 三次根号下 x， 那 是 x 的 三分之一次方。二次根号下 x， 那 是 x 的 二分之一次方。无论是哪个，我们都代入这个 x 的 r 法次方往回找原函数就行了。这个 r 法等于三分之一，这个 r 法等于二分之一，来二的原函数自然就是二 x 减去。哎，往这个 alpha 等于三分之一，往里带就这个样子。 alpha 等于二分之一，往这里带就这个样子。 ok 啊，对这个函数对做一个简单的处理，最后别忘了加常数 c， 最终就是正确答案。好吧，所以说核心的核心，大家一定要记住原函数的公式。

本科我们研究是用第二类换元法的第二种情况，当背及函数含有这三种类型的根式时，我们可以使用三角代换，也就是令 x 等于它们。那么问题来了，如何快速记住哪种类型对应哪种三角代换呢？ 非常简单，先画一个锐角为 t 的 直角三角形，然后根据这个根式，再结合勾股定律，我们可以写出一个这样的等式。 很明显，三角形的斜边是 a， 直角边是他们。注意，这里，我们要让 x 作为角 t 的 对边。 好，现在通过这个直角三角形，我们可以得出，四按 t 等于 a 分 至 x， 进而可以推出 x 等于 a 乘以四按 t， 这样不就记住了吗？ 同理，根据这俩根式，我们也可以写出这俩勾股式，进而画出这俩直角三角形。注意，也是要让 x 作为角 t 的 对边， 然后分别通过贪整 t 和 cosine t 的 关系式，很容易就可以推出这俩三角代换的式子。 好，我们来做一道具体的题目吧。因为背及函数还有根式，其根式可以写成根号下 x 方减一方，符合这种类型，所以我们令 x 等于一倍的四 kind 题。 当然，这个式子你记不住也没关系，我们可以画直角三角形来推导。通过这个直角三角形，我们可以得出 cosine t 等于它，贪婪 t 等于它。 这样，我们不仅知道了 x 等于 c 看的题，还顺便知道了根号下 x 方减一等于贪婪的题。 现在带球机分离的 x 和根式都变成关于 t 的 式子了，只剩下这个 d x， 它怎么变呢？很简单，因为 x 等于它，所以 x 对 t 求导等于这个结果。 根据这个式子我们很容易就可以得出 d x 等于它。好，现在这个带球积分我们就分析完了，它可以变成这样化解一下，很容易可以求得结果是 t 加 c， 最后千万不要忘记把 t 再换回去。 好，这就是第二种情况，特点是背机函数有根号，且根号下的 x 十二次方。

大学数学救命课第八期，今天我们来说一下相对复杂一点点的这个不定积分的处理办法。 我们上一期说了，这个不定积分说白了就是找元函数，但是真正考试的时候啊，他未必有那么善良啊，就比如说我们面前的例题一和例题二这个样子，你很难一眼看出元函数啊。就换句话说，这种分式类型的，我们应该怎么处理？核心的核心就是一句话，就是老师圈起来的这堆东西， 我们一定要把分式相乘的东西，把它变成分式相加或相减的东西。好吧，哎，这个东西其实本质上它只是一个变形的技巧，并不难，算是一个大学的一个新知识，但是我们大家积累一下这个技巧，对我们考试做题会很有帮助。好吧，哎，所以 为什么要这样呢？因为你相乘的东西很难找到元函数，但是如果要把它变成相加的东西，那这个函数一定是会被化简的。那这样的话，我分开找元函数，这个结果说不定就会变得很简单很简单。比如说我们也看了一下例题一。好，我们按照这个公式啊，把它拆成这个样子， ok 啊，核心的核心啊，就是我们一定要求出这个 a 和 b 来，其实就是某种意义上的待定系数法啊。好，那我们先处理这个函数，再回头处理这个不定积分。 好，那意思就是 x 分 之大 a 加上 x 加二分之大 b， 得等于那个原式呗。哎，我们把它强行通分一下，就是这个样子， a 倍的 x 加二加上 b 倍的 x， 而这一堆分子 肯定得跟 x 加一对应相等。好，我们把这个蓝色的圈圈给它打开，也就是 a 加 b 倍的 x 加上二 a， 好， 那这样的话，我们说你 a 加 b， 一定得跟 x 前面的系数对应相等， 然后这个二 a 一定得跟那个常数项一对应相等，那这样的话，我们就非常容易求得， a 等于二分之一， b 也等于二分之一，非常非常简单，所以说这个积分这就变成二分之一，这就变成二分之一就 ok 了。好，我们就想 x 分 之一的原函数，那是不是 long x 的 绝对值啊，所以非常简单直接，一步到位就给它求出来了，就是这个样子， 最后别忘了加常数 c， 好 吧，嗯，这个 x 加二啊，虽说是个负函数，但是你求完倒了之后，它没有任何附加的系数，所以说原函数依然是绕你这一堆啊，大家放心求就行了。 第二个题也是一样的，我们还是利用一下这个，把分式相乘变成分式相加，哎，也就是把这一堆函数先变成这个样子， x 减一分之大 a 加上 x 加二分之大 b， 然后给它强行通分一下，就是这个样子， a 倍的 x 加二，我老师直接展开，加上 b 倍的 x 加一，老师也直接展开。好，简单处理一下，分子就是 a 加 b 倍的 x 加上二， a 减 b， 分 母跟原式保持一致， 所以核心的核心，我这个变形完了之后，那在这一堆一定跟分子那个三对应相等，所以说，哎， 既然这样， a 加 b， 你 x 那 一项不能有，就等于零二， a 减 b， 这一堆东西就等于三好，那解得 a 等于一， b 等于负一好，那这样的话就非常简单了，对不对？哎，我只需要求这个这个函数的原函数以及这个函数的原函数是不就得了？哎，我们简单写写过程啊，也就是这个样子。 好，那这一堆的元函数肯定还是跟 long 看齐嘛，对吧？也就是这个样子， 后面那个也是要跟 long 看齐，最后别忘了加上常数 c。 所以 说大家在考试当中如果遇到分式相乘不好找元函数的，我们一定要利用这个公式把它拆成分式相加，然后分别找元函数，这样就会相对简单一些。

大家好，我是一分钟讲数学，接下来我们学习不定积分。不定积分额其实非常好理解，它本质上就是求导的逆运算，比如 x 求导等于一，那么一的不定积分就等于 x， 再加上常数 c。 再比如三 x 求导等于 cosine， 那 么 cosine 的 不定积分就等于 c， x 再加上常数 c。 为什么要加常数 c 呢？因为不只是 x 的 导数等于一， x 减一， x 加二， x 加一方等等，它们的导数都等于一，所以我们要在后边加上常数 c 来覆盖所有情况。 同理，不只是 sine x 的 导数等于 cosinex， sine x 加任意常数的导数都等于 cosinex， 所以 我们也要在后边加上常数 c。 总之就一句话，不定积分的结果要加 c。 好，现在你已经掌握了第一种求不定积分的方法，只要能知道谁求倒等于背记函数，那么背记函数的不定积分就等于谁加 c。 其实对于这种非常简单的不定积分，教材已经帮我们整理好了一张基本积分表， 乍一看内容很多很难记，但其实你只要熟练掌握了前面学过的求导公式与法则这些就不用围外记忆了，因为表中的结果，求导之后都能很容易的得到。背记函数 最后不定积分还有两个非常简单的性质需要大家记住，第一个是俩函数先相加，再求不定积分等于它俩先分别求不定积分，再相加相减也一样，就不多说了。 第二个是当被记函数为非零常数倍的某函数时，该非零常数可以提到前面。

注意刷视频暂停，先来速成一下高数，我们今天呢，来学习一下第三节课不定积分，呃，主要就是去讲如何算不定积分，五个方法我们来看一下。那我们的这个讲课顺序也是从高频考点一直到低频考点给大家去讲解的，所以同学们要一个主次之分。 我们先来说一下啊，积分到底是什么？还出现了这么一个符号，这个符号呢，读作积，它是我们的积分符号。旁边呢，会有一个函数，我用 f x 去表示，这里的 f x 叫做被积函数，旁边有一个 b x， 这个 x 叫做积分变量。 好，当你见到这样的式子，他就是求不定积分的题目了，他会问你，他等于什么？当然了啊，如果这个式子换一个字母去表示，完全是一样的，也就说这个函数啊，用哪个字母去表示，和这个函数的本身其实没有太大的关系，无所谓。那如何去算呢？ 比如说 a 求完导是 b， 那 反过来 b， 这不是结果吗？这个 b 如果要想求不定积分，它就等于 a 加 c。 我 们先不看这个 c 啊，它里面有个 a， 那 也就说明，如果我们把这个式子里面没有经过求导的 a 叫做圆函数，求完导之后的这个 b 叫做导函数。 原函数，我们一般用大 f x 去表示。这个导函数呢，我们一般用小 f x 去表示，那你会发现大 f x 经过求导就会变成小 f x。 那 反过来啊，那你看我们这个式子积分，那就是积小 f x d x 二 刚好等于 a 加 c 呀， a 是 不是大 f x， 大 f x 加 c 呀？求导和积分其实是互为逆均算的一个过程，对吧？你看求导是不是正着去求，那我们的这个积分你就要想了，谁求导是小 f x 谁呀？大 f x 呀，所以等于大 f x 加 c， 它是一个互逆的过程， 为什么要加 c 呢？那我们来想一下，是只有 a 求完导等于 b 吗？ a 加一，求完导是不是也是 b 啊？那 a 减五，求完导也是 b 啊，你会发现求完导能变成 b 的 式子有多少个？有无数个的。那我怎么去表示这无数个圆函数呀？那我加一个 c 嘛， 如果你在考试的时候啊，不管说你这个 a 求出来有多么的正确，你没有加 c， 那 这个题就没有分了，所以同学们一定要记得加 c 啊。我想去求二 x 的 原函数， 我就要想，谁求导数是二 x 呀，那经过我们的那个导数公式啊，我们之前是背过的呀， x 平方求完导是不二 x， 所以 反过来写，二 x 去求不定积分，就等于 x 平方加 c 了。所以我们这个积分啊，本质上是求不定积分，就等于 x 平方加 c 了。所以我们这个积分啊，本质上是求导的一个原函数是谁？ 说白了就是你去想谁求导是它 x 平方求到好，那就是 x 平方加 c 了，当然了，像这个比较简单，对吧？你像这个公式我们是背过的，再复杂一些可能就不太好讲了，所以我们给大家一些公式啊， 这个积分表呢，一共是十一个啊，然后前七个是非常非常常用到的，八九十十一啊，我们就简单的去记一记啊，前七个是最常用的。好，那这个积分表我们讲完之后啊，就去用一下它来，我们看 好第一题呢，这个被积函数是 x 的 平方，它是不是一个幂函数呀？那我们肯定要用那个幂函数的不定积分公式， g x 的 u 次幂 d x， 它应该等于 u 加一分之 x 的 u 加 e 次幂 加 c。 好 在这里 u 值不相当于二啊。好，所以我们来写一下，就是 g x 平方， d x 就 等于啥呀，二加一分之 x 的 二加一次密嘛，然后再加 c 嘛，就等于三分之一 x 三次方加 c 啊，所以它的答案是三分之一 x 三次方加 c。 这个是比较简单的 啊，直接用一个公式，第一步就是观察被记函数，第二步就是选择公式往里面套就可以了。所以前提是什么？把公式背下来。 那第二题呢？第二题啊，同学会看懵啊老师，嗯，三 x 乘以 e 的 x， 这是两个函数啊，这两个函数是可以合在一起的呀，你观察一下面积函数，你看一下，都是 x 次幂，所以这个函数是不可以写成三 e 整体的 x 次幂啊，就可以用我们的那个指数函数呀， a 的 x d x 是不等于它本身再除上一个 loan a 呀，再加 c 呀， a 在 这里相当于三 e 呗。那我直接套公式是 g 三 e 的 x 次幂 d x 就 等于三 e 的 x 次幂， 比上 loan 三 e 嘛，然后再加一个 c 不 就完事了吗？好，这是我们第二题，就是用公式啊，两步走。那我们来看一下啊，它的一个分析思路和答题过程，观察被记函数，使用积分表。 好，这是我们的直接记分法，我们接着往下看了，我们再来看啊，比较复杂一些的记分表，同学们要把它背一背，我们先说啊，它的前提条件是表中的 a 要大于零， 在这里就不多说了，所以你想把这个表格背熟，包括刚才的表一啊，表一和表二，你想背熟前提条件是什么？要把我们第二章当中的导数公式背熟，因为它是个逆序，算好回去自己背吧。那我们就来用一下啊。第三题，观察一下背记函数啊， 我们把 d x 放下面来啊，是不是根号下 x 平方加九分之一啊？它是不是可以把这个九写成三的平方啊，也就是根号下 x 平方加上三的平方分之一啊， 你看倍增函数是它啊， a 不 就是三吗？我们的积分表用的是它 a 等于三的时候，你就直接往里带这个 a 换成三， 这就完事了嘛。所以前面你就背下来直接抄就可以了，所以原式就等于零， x 加上根号加 x 平方加上三的平方就是九，然后加 c。 哎，这是第三题，积分表，很好用啊，前提要把它背下来。好，来，我们继续往下看了啊，看一下第四题， 背积函数，它是两个部分相减构成的两个函数相减或者相加去求不定积分，你完全可以把它拆开算。所以我们是有这个性质的啊， f x 加减 g x， 我们去求它的一个不定积分啊，你给我拆开，你先去求小 f x 不 定积分，然后再去求 g x 的 不定积分，好，最后再相加减。那这个式子我不就可以拆开了吗？对吧？我分别去算，我先去算前面啊，一加 x 平方分之三， d x， 那 出现了常数，对吧？求导里面出现常数是不是直接往前提啊？ 我们在不定积分里面也完全一样，所以把这个三就直接给我提到前面去，三倍的积，一加 x 平方分之一 e x 其实就是算它的一个不定积分，你就想谁求到是它呀，阿克丹顿的 x 呀，所以答案就出来了，对吧？好，后面这个呢？根号下一减 x 平方分之二， 把二提前面去二倍的积。根号下一减 x 平方分之一 d x， 谁求到是它呀，不是 x cosine 吗？对吧？所以是二倍的 x cosine， x 加 c。 然后呢，再把这两部分的结果进行相减，就搞定了呀，关键是被公式。好，我们来看一下， 你看啊，我们把这步已经求完了，所以原式不就这两部分去相减吗？老师，这个 c 和 c， 它不是两个 c 去相减吗？对吧？为什么就只剩下一个 c 了？你注意啊，任意常数运算后，我们就只写一次，我不管是加还是减， 所以我们写一个 c 就 可以了，不管你算出来最后有几个 c， 最后我们只写一个 c。 那 连起来写呢？当你把最后一个积分符号算完的时候，统一加一个 c 就 可以了。 两条性质啊，第一个是可以拆开算啊，你包括啊，你把这个加号变成减号加减法都是可以用的啊。来第二个，如果有常数，你看这个常数 k 了吗？你可以把它完全提到前面去，直算后面，这样可以简化运算，当然 k 在 这里不能为零啊。好，这个是我们的第四题，直接用公式 来四个练习题，回去自己做一下吧，来，答案就给大家了，回去自己算，然后定正第一个啊，直接积分法就讲到这里了，我们一会看第二个了， 来看一下第二个啊，第二个是变形后直接积分，那这个变形后直接积分啊，他主要用的其实是三角函数的一个转换， 一共有七个，就是七个公式，我们应该背一背啊，我们来看一下第五题，第五题其实就是一个变形后直接积分，因为你直接去用公式，其实是用不了的，我怎么去分辨？可以直接积，或者说需要变形后再去积，你就观察被积函数， 第一步永远是观察。那你看啊，公式里面有写过一加 cosine 二 x 分 之一的不定积分是谁吗？没有呀，对吧？所以我们要进行一个变形，一加 cosine 二 x 不 就是二倍的 cosine 方 x 吗？ 对吧？好，这就是我们的一个降密公式呀，当然这个式子啊，我们再进行整理， cosine 方 x 等于二分之一加 cosine 二 x， 这个是我们的降密公式，也可以直接去使用来，接着吧，就使用积分表了呗，不就是求它了吗？别忘了啊，有常数二分之一，给我提前面去啊，只需要算 cosine 方 x 分 之一的原函数是谁啊？直接就一步到位啊，二分之一 tan x 加 c。 完事了， 六题，我们要算一下这个函数的原函数是谁？找原函数就是我们积分最大的一个方法以及思路，我们只能把它拆开，那就是原式等于 来 x 平方， x 减一的立方。刚才我们去背了啊，就是 x 的 三次，然后减去三倍 x 平方，加上三 x 再减一。好，我们把每一项啊都除以 x 平方，把它分开，拆成四个积分，那也就表示 g， 首先是 x 平方，分之 x 三次方，减去 x 平方分之三倍的 x 平方，再加上 x 平方分之三 x， 再减去 x 平方分之一 dx， 整理下 g x dx， 然后减去 g x 分 之一 dx， 然后减去 g x 平方分之一 dx， 然后我们就去算呗， x 的 原函数，这是 x 的 一次密吧，对吧？我们用一下那个密函数，找不定积分的公式，那也就是二分之一 x 平方，没问题吧，不着急加 c 啊，我们都算完了，加一个 c 就 可以了。来第二项呢，常数常数直接加一个 x 啊，那就是减去三 x， 谁求到是 x 分 之一啊，是不是漏 x 呀？但别忘了啊，我们要保证 x 要大于零，所以加一个绝对值来接着他呢。谁求导是 x 平方分之一，这个同学导一下啊， 这个是 x 负二次幂，去找元函数啊，那也就是 x 的 负二加一，然后下面是是负二加一啊，再加一个 c 啊，所以整理完应该是什么呀？嗯，负二加一是不是负一啊？有个符号 x 的 负一次幂啊， 所以接着整理，应该是负的 x 分 之一加 c 呗。好，那也就是减去负的 x 分 之一加 c， 那 也就是加上 x 分 之一呗，然后统一加一个 c 就 可以了，这就是我们的元函数。找到了呀， 最后的结果都可以进行验算。怎么验算？你把你求完之后的这个式子进行求导，你看是不是这个背记函数，如果是这个题绝对是正确的，两步走，第一个是背记函数，观察之后进行变形，第二步就是使用积分表了。好，来，我们接着往下看了， 我们来看一下第七题啊，我们观察一下背记函数，是不是公式当中没有，对吧？很复杂啊，所以我们把它变形一下， 你没有别的办法，你就把它乘进去啊。第一， cosine sita 乘以贪着它 sita， 再加上 cosine sita 乘以 second sita， 然后 d sita 这个贪着它，以及这个 second 是 不是可以展开呀，对吧？这两个我们不常用，我们就往这个 sin 和 cosine 去，往里面去。靠啊，尽可能能约分就把它约掉。好，那也就变成第 cosine sita 乘以三 b cosine 加上 cosine theta， 再乘以 cosine theta 分 之一啊，那现在啊，这就太好办了，所以约分 cosine theta， 然后是加上 e， d theta 呀，我是不是分别去求它们的原函数就可以了呀，那就很好求了呀，负的 cosine theta 呀，它的原函数一呀，这不常数吗，直接一乘以 theta 就 完事了，所以加上一个 theta， 整体加一个 c， 就 搞定了。 这个题啊，它就是一个三角函数的公式，要灵活运用。这第七题啊，那第八题呢？第八题，观察一下背记函数啊， 公式里面没有，我们要小小的变形一下，怎么去变啊？这里教给大家一个技巧，观察背记函数，如果你的分子和分母它是同次逆，我们要尽可能的加一减一，去凑一下这个分母。好，那此时我们来看一看啊，变成了 x 平方加一分之 x 平方加一。 好，我们不能平白无故加这个一啊，我们把一要减去，那也就变成了两部分，一减去 x 平方加一分之一 d x 了，没问题吧？那这就会算了呀，分别去算呗，一的原函数啊，它的不定积分是不是就 x 后面这个呢？是不是啊，可摊着它 x 统一加一个 c 就 完事了，能听明白啊，所以这个灵活运用啊，这个小技巧记一下， 你在答题的时候直接去写啊，从这开始写，从这开始写就完全可以了，一定会给你满分的。一共四个待机题，把这些东西拆开也好啊，去转换一下也好，用一用公式也好，把它做一做，做完之后和答案进行定正啊，这些题并不难，回去好好做一做。 那第三个题型叫做第一类换元法，这个方法呢，也叫做凑微分，比如说，我们来看一下第九题，第九题我们要算一下二倍 cosine 二 x 的 不定积分是谁？好，那我们现有的公式是 c， cosine x dx， 它等于 sine x 加 c， 这个是我们的积分表中的公式。 那现在呀，是 cosine 二 x 这个系数二我们就先不说了啊，因为它比较简单，你可以提到前面去啊。如果说是 cosine 二 x d 二 x 二 x 看作整体的话，比如说是 u 啊， u 在 这里是二 x， 那 这个题是不是就相当于变成了积口算也 u d u 了呀？那也就是谁是不是算也 u 加 c 啊？我们再把 u 反带回去，是不是算也二 x 加 c 啊？ 这两个我们都会啊，只不过就是把它看做整体。那也就是说凑微分。这个方法的灵魂之处在哪？在这个字，凑字，你要凑成 d 前面以及 d 后面的积分变量保持一致。 你比如说这是 x， 我 就是对 x 取积分，这是二 x， 我 就是对二 x 取积分，你必须要保持一致，那我们就要想办法让 d 后面的 x 变成二 x， 刚好这是不是有一个二啊？那如果说我把这个二和这个 d x 结合在一起来，你看一下啊，原式等于 积 cosine 二 x 乘以二 d x， 哎，我换个顺序去写啊，我为什么要换顺序？二倍 d x 是 不是 d 二 x？ 嗯，所以这个东西啊，你把它结合在一起，积 cosine 二 x d 二 x， 那 现在 积分变量不就保持一致了吗？好，这是那个 u， 这是那个 u， 不 就是我们这个 cosine u d u 了吗？这两个和这两完全是等价的。那现在就可以做题了，相当于是积 cosine u d u 吗？最后答案不就是 cosine 二 x 加对了吗？它算完之后不是 cosine u 加 c 吗？完事能听明白啊，这叫凑微分。所以凑微分的灵魂之处在于这个凑字我们要凑成什么样子的，前和地后的积分变量一定是一致的。我们做题方法其实四步啊，就是找导数配 c 数，第二个是求导部分放地后，第三个是换圆求积分，第四个是换回 x。 所以 简单来讲啊， 你就是把二放到 d 的 后面去，是找他的原函数二 x， 直接就到这一步了。好像这种题呢，一般情况下，你就是到小填空呀，或者小选择呀，如果说单词上的出大题也只是大题中的某一步，让你去做啊。 好，这个是我们的第九题。来，我们继续往下看啊，我们来看一下第十题，你看，让你求 e 的 五 t 次密的元函数，我们的基本公式是 e 的 t 次密比 t 等于 e 的 t 次密加 c。 现在是什么 e 的 五 t 次密？我们要把五 t 看做整体， 那 d 后面也必须是五 t， 你 这样的话， d 前和 d 后保持一致，我才能去换原作呀。 d 的 后面如果想变成五 t， 那 我要看一看啊，这个 d 五 t 和我之前的 d t 它相等不相等？ d y 是 不等于 y 导乘以 d x 呀， 那现在只不过把这个 y 变成了五 t， 所以 相应的应该是五 t 的 导数，再乘以 dt， 是 不是五倍的 dt？ 你 注意啊，现在是一个 dt 变成了五个 dt， 它不相等。所以为了保证相等，我需要在这个式子的前面干什么？把这个系数消掉吧。怎么消啊？乘五分之一啊， 原式等于啊， g e 的 五 t d 刚才我们已经证明过了啊， d 它是五倍的 d t 前面就一个 d t， 所以 这前面是不是要乘上一个五分之一啊？你这样等号是不是它和原式成立啊？我们的五 t 和五 t 就 保持一致了，那这个式子是不相当于 g e 的 u d u 啊，就是 e 的 u 加 c 了嘛，再把 u 反带回去啊，前面别忘了系数五分之一倍的 e 的 五 t 加 c， 对 吧？所以找短数配系数，这个系数一定要配好了啊，你这是五倍的底 t， 这个五是多余的，你给我消掉，所以前面要乘上一个五分之一。 好，这是我们的第十题啊，来看一下剪辑过程，完全一样的啊，主要就是把这个系数给我配对了啊。我们来看第十一题， 观察一下这个不定积分的被积函数，它是 x 乘以 cosine x 平方。好，那我们在这里说一个小技巧啊，当你看到被积函数中有两个密函数，两个密函数啊，你看，一个是 x 的 一次，一个是 x 的 两次，对吧？而且呢，这个 x 的 次密，它的前后刚好差一次。 我们的做题方法是将次逆逼的往后放原式，就等于我们要想办法把 x 是 不是放后面去啊，那我的背接函数就只剩下 q 三也什么 x 平方了。好，你注意啊， x 往后放啊， x 的 原函数二分之一 x 平方呀。 不管是被积函数中含有常数，还是积分变量中含有常数，只要含有常数，而且是相乘的形式，通通往前放，所以就变成二分之一倍的积 cosine x 平方 d x 平方了。你想用公式，你就必须要把 cosine x 平方里的 x 平方看做整体。 那此时这个式子是不是变成了 g 口三 u d u 啦？这个太熟悉了，这是 sin u 加 c 啊，我再把 u 反带回去，这题不就算出来了吗？所以最后答案是不是二分之一倍的 sin x 平方加 c 啊？ 我怎么验证我算的对不对啊？对这个结果进行求导呀，你求导之后看是不是这个被积函数，如果是，就百分之百是全拿到分数的一个题目，这是它的一个解析过程啊，同学们可以自己看一看啊。 第十二题一样的啊，去观察你的背积函数。背积函数啊，是两个式子相除是 sine x 比上 cosine 三次方 x， 我 们要尽可能地让 d 前和 d 后的积分变量保持一致。 如果你想把 cosine x 看作整体的话，你 d 的 后面如何变成 sine x 其实是不好变的。难道你把 cosine 三次方分之一往后放吗？找不到它的原函数呀。所以我们就要尽可能地让 d 后面的 x 变成 cosine x， 我们是不是把这个 sine x 往后放啊？ sine x dx 等于啥？等于 d 负的 cosine x 呀？好，所以原式就等于 g 背记函数只剩下 cosine 三次方 x 分 之一了。我把 cosine x 往后放，得到的是不是负的 cosine x 没问题吧？好，符号往前提啊，符号相当于系数嘛，负一嘛，提到前面去就是负的 g cosine 三 x 分 之一 d 口三 x。 好， 那我现在我是把这个 cos x 看做整体了，那整个式子是不变成了 e u 的 三次密分之 e d u 了呗。 好，那现在我们就着力解决它。好，那现在啊， g u 三次方分之 e d u， 我 是不是可以写成 u 的 负三次密 e u 把它转化成幂函数啊？那也就是等于 u 的 负三加一次幂是不是负二次幂，下面是不是负二？那也就是负的二分之一呗。然后呢，再加一个 c， 这个 u 的 负二次幂，它是不是 u 方分之一啊，所以是负的二 u 方分之一再加 c， 理解是不是应该等于负的二倍的 u 方 u 是 谁？ u 是 cosine x， 所以 是 cosine 方 x 分 之一，然后整体再加上一个 c， 两个符号是不是为正了？所以最后答案，二倍的 cosine 方 x 分 之一，再加上一个 c 啊。来看一下解析步骤 是一样的啊，回去自己看自己整理啊。做题思路已经讲过了，例题三一共是四道题，回去自己好好做一做啊，然后答案就给大家，这是一二题的答案，你可以去定正一下，做完，然后这个是三四题的答案都在这了。 第四个，我们来讲一下分布积分法，这个东西很重要啊，来，我们要知道分布积分法的这个公式是什么？主要背的是这个 u 和 v 在 这里是什么？我给你标一下啊， u 和 v 是 两个不同类型的函数。 好，我们来看一下啊，这个式子它是怎么构成的？ d 的 前面有两个函数， u 和 v 的 导数去乘， 然后这个 v 的 导数和 d x 结合，是不就是 dv 啊，相当于把 v 的 导往后放啊，谁求导数？ v 的 导，那不就是 v 吗？就变成了它。你要保证 d 前面和 d 后面各有一个函数，等于这两个函数直接相乘，减去 u 和 v， 看见没？互换位置，求积分。一开始是 u， dv 变成了 v， d u 关键是什么？关键是谁是 u， 谁是 v。 在 选择 u 的 顺序上是这样的啊，叫做反对密指三。这是一个口诀啊，叫反对密指三。谁在前，我们就考虑谁当 u， 就是 把谁留下。好，你比如说，我们来开一道小例题啊， 第十三题，求一下这个函数的不定积分啊，我们说一下啊，怎么去考虑用分布积分？分布积分呢？我们适用范围有两个，我们先讲一个啊，第一个适用题型是这个背积函数呀，它是有两个函数相乘的形式， 你见到这种题的时候，我们要考虑一下分布积分，这是第一个适用范围啊，来观察，这不是 x 乘以 cos x 吗？ x 它是不是一个幂函数呀？ cos x 是 不是一个三角函数呀？对吧？这个是幂， 这个是三角。我们刚才那口诀是啥？反对密指单呀，我们说谁在前，谁就当 u 嘛。好，那你看谁在前，密在这儿， 三在这，所以我问你谁当 u 啊，对吧？这不是那个 x， 这不是 cos x 吗？所以它就是 u 了。原式等于啊，来 g， 谁是 u 谁就得留下 x 给我留下啊，那就只剩 x 了，然后是 d cos x 和 d x 是 不要结合在一起啊。 cos x， 它是谁的导数啊？是不是 sin x 的 一个导数啊？它是 cos x 呀，所以我们把这个 cos x 放到 d 的 后面去，是不是应该是 d 的 sin x 呀？ 所以这个式子啊，其实你可以把它完全看成 x 乘以三 x 的 导数，然后 d x， 所以 它们两个一结合，不就是 d 三 x 了吗？好，这就是那个 u， 这就是那个 v u 和 v， 直接套公式了啊，它等于它俩相乘， x 乘以三 x 减去它们两个互换位置 v d u 啊， 上引 x d x， 那 现在啊，我们一开始求的是这个函数的不定积分，就变成了求它的一个不定积分了，所以继续求 x， 上引 x 减去谁啊？谁求导，是它呀，是不是负导 cosine x 呀，然后再加 c， 经过我们的整理，也就是 x 乘以 cosine x， 再加上 cosine x 加 c 呗，对吧？这就是我们的分布积分法的一个使用。第一个题型啊，是背记函数，是两个函数相乘的形式， 反对密值三啊，把它背下来看一下十四题，十四题呢，记 long x d x。 哎，老师，这个还是用分布积法吗？没错啊， 所以第二个适用题型是什么呢？背记函数啊，是单独的倍数函数，或者是单独的反三角函数，这两个也可以去使用对数函数，一般常见的就是 long 啊，反三角就是带 arc 的。 什么意思呢？你都不需要选 u， 虽然说我们叫反对密值三嘛，你去选 u 嘛，你根本就不需要 未知函数，就给了一个函数是 lone x， 这就是天然的 u， 那 v 呢？老师没，没处找 v 去 d， 后面的 x 就是 天然的 v， 就 已经把公式给你配好了，所以直接给我套公式，就等于 x 乘以 lone x 减去，它俩互换位置啊， x d lone x， 好 到这怎么读？你求它的不定积分应该怎么去求？你要化简一下 d lone x， d lone x 等于什么？是不等于 lone x 的 导数，再乘以 d x， 所以 是不是 x 分 之一 d x 整个 d 零 x， 你 要换成谁？换成 x 分 之一 d x， 那 此时这个式子就变成了 x 乘以零 x 减去 g x 乘谁 x 分 之一 d x 消掉，那式子就只变成了减谁啊？减去 g e d x 了， 谁求导是一啊，这还不好写吗？对吧？我现在就求这个积分，这积分很简单呀，好，它就是 x， 所以 最后答案是 x 乘以零 x 减去 x 加一个 c 嘛，能听明白啊？好，这就是我们的第十四题。 第十五题。第十五题呢？我们观察一下背记函数啊，来分析一下它的一个做题思路。那 x 它是一个 m 函数吧，然后旁边 e 的 for x 是 不是一个指数函数呀？这不是两个不同类型函数相乘的形式吗？所以我们可以去采取分布积分法， 反对密指三，所以密在前，那么 u 就是 x 了，这个 x 我 们就被当选成了 u e 的 负二 x 往后放啊，那整体思路不就是这些吗？好，所以我们来看一下解析步骤啊，和之前其实大差不差的，首先是选 u， 一个是密，一个是纸，我们刚才分析过了， x 就是 u 了啊。来，接着我们应该把另一部分往后放，那这个 e 的 负二 x dx 往后放，是谁呀？负二分之一倍的 e 的 负二 x 呀？因为负二分之一倍 e 的 负二 x 求完，倒是 e 的 负二 x 呀。 来，接着套公式啊，那现在把这个负二分之一给我提到积分符号前面去啊。接着，那就是 u v 相乘，到这一步，减去他们两个互换位置。那实际上啊，前面我都不需要你求了，已经出来了，我现在求的是不是就是这个积分啊？ 我是不是要把负二 x 看做整体？我 d 后面这个 x 是 不是也得变成负二 x 才行？那我才能用那个公式去做题啊，对吧？变成什么？变成 g e 的 u d u 吗？ 这个 d 负二 x， 它应该是负二 x 的 导数，再乘以 d x， 所以 应该是负二倍的 d x， 我 们要把负二消掉。怎么消？前面乘上一个负二分之一，来看一下。 来，负负为正，变成加号。那现在啊，来这个积分就好多了。 g e 的 u d u 吗？好，所以就变成了 e 的 u 加 c， 你 再把 u 反代回去，是不是 e 的 负二 x 加 c 啊？啊，所以最后答案就在这里。好，我们再把负二分之一乘进去，不就是负二分之一的它减去四分之一的它再加 c 吗？ 这是第十五题，十六题，十六题的做题思路。我们来分析一下啊。来，首先背记函数，观察一下，一个是 x， 一个是 long x 减一，两个函数相乘的形式，并且前面是 me， 后面是。对， 那反对密是三吗？那对在前呀，所以 long x 减一就是 u 了。好，它是 u 了，我们就要想办法把 x 往后放，它就是那个 v 啊。好，那做题思路我们已经分析完了，肯定是分布积分法去选 u 啊，来看一看 one x 减一为 u。 第二步，我是不是另一部分放到 d 的 后面去啊？那就是把 x 往后放， x 往后放，找它的原函数是二分之一， x 平方二分之一，提到积分符号的前面去，变成了来它。 那我们在做题上。嗯，这是那个 u， 这是那个 v， 那 就是它俩相乘嘛，减去它们两个互换位置，求积分。 d ln x 减一，它等于什么？这个式子应该等于 ln x 减一进行什么？是不进行求导啊？再乘以 d x， 所以 它求完导是谁？是不是 x 减一分之一再乘以 d x 呀，那也就变成了它。前面全是照抄啊，是完全一样的， 我们把这个 x 平方和 x 减一分之一放在一起，数，变成了这个式子，那现在我们就要努力算这个不定积分了。好， x 平方，还有一个是 x 减一，没有别的办法，我们减一加一变成了它这个式子。 你把这个式子给我展开消掉啊。那前面是不是就只剩下一个 x 加一了？后面是不是 x 减一分之一？我们把整个式子展开，再进行化简，最后的答案就在这了。 次很麻烦啊，只是在后面算的步骤当中比较麻烦。前面的思路你分析对了，后面会做的很顺。好，接着往下看啊， 然后有四道练习题，这四道练习题全部都是用分布积分法去做的。回去自己做啊。你比如说像这个第二题啊，不要忘记我们的适用题型二啊，有单独的 long 或者单独的反三角函数出现，照样可以去使用分布积分，这就是天然的 u， 这就是天然的 v， 我 不需要你做选择，自己做啊，然后我们就直接给答案了，你自己定正啊， 这个是前三道题的答案，大家看一下。这个是第四道题的答案，第四道题可能有些繁琐啊，一步步做，做完之后给他对答案。 第五个题型，我们最后一个了，叫做第二类换元法。这个第二类换元法一般什么时候用啊？带根号的时候，我们经常会优先考虑一下第二类换元法，它的目的就是为了去掉根号。 第二类换元啊，它有两个方向，一个是引入三角函数去换元，还有一个引入 t 去换元。第一个我们先去讲引入三角函数去换元， 只要根式当中含有它，它以及它三者之一啊，我们就使用三角代换。怎么换？请同学们把这个表格背下来啊。主要背的是前两列，因为后面这两列啊，你可以自己去推， 见到根号在 a 方减 x 平方，你就令 x 等于 a 倍的三点 t， 这个很常用啊，这是最常用的，下面这两个是一样的啊，最常用的是第一个根号在 x 方加 a 方变成它，根号在 x 方减 a 方变成它。 什么时候用，一定要搞清楚啊。好，带根号是一方面，并且根号里面的 x， 你 看啊，这个 x， 这个 x， 这个 x， 通常是二次 来看一下例题来看，是不带根号，然后根号里面有个 x 平方两次，所以我们要引入三角换元，它应该用根号下 x 平方加 a 方啊， a 在 这里是不相当于一啊。好，那我们就令 x 等于贪婪的 t， 不 就是一倍的贪婪的 t 吗？ x 平方加一是不是相当于 tangent 的 方 t 加一啊？它是不是 second 的 方 t 啊？ 好，那我们来写一下啊，原式就等于所有的 x 是 不是都要换成 t 啊？换圆换圆吗？你不能既带 x 又带 t 啊。那 d x 请同学们不要忘记换掉啊。 d x 是 不相当于 d tangent 的 t 吗？ 它是不是应该等于摊着的 t 进行求导，再乘以 d t 啊？所以就是 second 方 t 再乘以 d t。 完事了，接着啊，把所有 x 变成 t， 那 么原式原式就变成了积。下面是 x 平方加一，那就是它呗，对吧？这不就是那个 x 平方加一吗？等于的是它啊。 那首先啊，应该是 second 方 t 的 三次开根号儿，没问题啊，来，上面是不是一啊？ ds 写旁边啊，就不写分子上了啊，不得看啊。 ds 是 不是 second 方 t d t 呀？好，那现在我们是不是要约一下分了呀？嗯，我们把这个啊根式整理一下，相当于是 second 六次方 t 去开二次根号吧。所以开完之后是不是就剩三次了呀？好，那既然剩三次，也就是基 second 三次方 t 分 之一，再乘以 second 平方 t d t 约掉是不是只剩下一个了？所以我们最终要求的是谁？要求的是 second t 分 之一 d t， second t 分 之一，这可是公式啊，是不就是求 cosine t d t 了呀？这太熟悉了，是不是 cosine t 加 sin， 这不就求完了吗？ 好， sign t 加 c， 这可不能作为最后的结果。为什么？因为这个 sign t 里面的 t 是 我自己设的，你可以设成 u， 你 可以设成 v， 你 可以设成任何一个你想要的字母，你要回带，这就是我们刚刚所说的啊，你需要用这个图示去推导了， 刚才你所设的不是它吗？摊着的 t 啊，乘以 x， 好， 摊着呢，是正切在我们的直角三角形里面，比如说这个点是 t， 那 摊着的 t 是 x， 相当于 x 比一嘛，所以是不是对边比上邻边啊？ 所以根据我们的勾股定律啊，我们的斜边长度是不是 x 平方加一，再开一个根号啊？好，那由这个图示我们就可以推导出 sin t 是 谁了。 sin 平方加一啊，所以是 x 比谁，根号在 x 平方加一嘛， 不就可以回答了吗？直接把它回代过去，最后答案就是根号下什么 x 平方加一分之 x， 最后加一个 c 就 搞定了。能听明白啊，这就是我们完整的一个答题过程以及解析思路。来看一下答题步骤， 第一步，换圆球积分，第二步，换回 x。 这个换回 x 啊，用的是啥？用的是图示啊，画这个直角三角形，这个比较方便啊，主要是下面的换圆球积分，你得知道怎么换啊，什么时候换这个，自己回头整理一下 来，我们看十八题啊，十八题，这个题我们分析一下啊，它带根号，有人说，老师你说带根号要用这个三角换元， 你还得是 x 二次密的时候，你才能用三角换元吧，现在这个 x 是 几次密，它就是一个一次密，所以记住了啊。第二类换元里面如果带根号，根号里面的 x 是 一次密，我们要引入 t， 这就是我们要讲的第二个方向， 如果你见到根号下 a， x 加减 b， 或者是根号下 e， x 加减 a， 像这种式子出现了，你就要引入 t 了，好，引入 t 怎么去换啊？一定是令整体等于 t 带上根号啊，不是令二 x 等于 t 啊。所以这个题应该令根号加二 x 整体等于 t， 然后把这个 t 给我反解出来啊。二 x 是 应该等于 t 方啊，所以 x 应该等于二分之一 t 方 来， x 等于二分之一 t 方了，我可以把它反带回去嘛，对吧？那我问大家 d x 应该等于什么？ d x 应该等于 d 二分之一 t 方，所以它应该等于 t 倍的 dt 吧，对它进行求导往前放，对吧？所以 t 为的 dt 啊。那这个时候原式 一加把所有的 x 给我换掉啊，是不是一加 t 分 之一再乘以 t 抵 t 呀？把 t 给我乘上面去，是不是积一加 t 分 之 t 抵 t 呀？我们刚才之前讲过啊，分子和分母如果是同次幂都是一次啊，我们是不是采取加一减一凑分母？ 所以这个式子就会变成积一加 t 分 之一加 t， 再减一 d t， 为了凑出那个一来吗？所以等于积一减一加 t 分 之一 d t， 这不就好慢了吗，对吧？前面这个谁求到是一啊 t 呀，所以等于 t 减去我们要求后面这个了， 你想用哪个公式啊？你看什么分之一，这不就是妥妥的 law 吗？所以我们要把一加 t 看作整体，那 d 的 后面也得是一加 t。 好， d t 加一，你看和这个一一加 t 比 t 相等不？相等，完全是相等的。 d t 加一，它是不是等于 t 加一的导数再乘以 d t 啊？那不就是一倍的 d t 吗？ d 后面啊，你想加减任意常数是可以随便加随便减的，无所谓啊。 好，那我们就直接加上一个一了啊，那也就说明它是不是整体了，所以最后答案应该是 t 减谁？ t 减 loon， 一 加 t 的 绝对值，整体再加一个 c， 那像引入 t 啊，引入 t 比引入三角函数要好做一些，你在回代的时候直接回代就行了，因为 t 你 是知道的， t 是 根号加二 x， 所以 最后答案是，根号加二 x 减去零一加，根号加二 x， 绝对值加 c 就 完事了。你不需要去画图，跟那些三角函数角度没有任何关系。 二十八题，我们来看一下它的一个解析步骤啊，来换元，求积分，换回 x， 完全一样的，这个换回 x 直接换就行，直接回代，你不需要去画图啊，没有必要啊，因为这已经告诉你了，根号二 x， 它是 t， 回头自己整理一下啊，练习五，我只给你讲思路啊，回去自己做来观察一下啊，是不是带根号。带根号，我们就优先考虑一下第二类换元法，并且 x 是 不是一次，这的 x 虽然很小，是不是就一次？所以引入 t， 这是一种小的思路啊。还有一种小的思路是什么？好，我刚才是不是说了记两个式子， 如果你见到根号下 ax 加减 b， 或者是根号下 e 的 x 加减 a， 你 是不是就去采用引入 t 没问题吧？那你看，这不是根号加 a 加上 e 的 x 吗？所以不就满足这个式子吗？你两个思路想都可以。好，所以这个题肯定是引入 t， 我 们要令整体等于 t 啊，令根号加 e 加 e 的 x， 整体等于 t， 然后再去反解。 好，所以后面的你就自己去做了啊，这个是答案，做完之后可以对一对啊，不要忘记回答 x， 如果是大题的话，在考试的时候没有回答 x， 你 是要扣一些步骤分的，回去好好看一看啊。好，这就是我们全部的一个内容了，不定积分就先讲到这里，我们下节课再见。

本课我们研究第一类换元法，如何精准换元。先看这道题，虽然我们知道 cosinex 的 不定积分公式，但这里给出的是二 x， 不是 x， 非常难受，所以我们设 u 等于二 x 四，然后再按照上节课讲的流程做就可以了。 再看这道题，虽然我们知道 x 分 之一的不定积分公式，但这里给出的是三加二 x， 不是 x， 非常难受，所以我们设一又等于三加二 x， 然后再按照上节课讲的流程做就可以了。 再看这道题，直接呆住，因为难受的地方太多了，射它为右还是射它为右还是射它为右呢？总不能挨个试一遍吧？ 其实这种题目有个小技巧，先把背积函数写成两相相成的形式，然后我们会发现，这一项里的那层函数，求导之后正好等于非零常数倍的另一项， 这个时候我们就找到 u 了，设 u 等于这个内层函数，然后再按照上节课讲的流程做就可以了。 类似的还有这道题，这道题，这道题，它们都符合其中一项里的内层函数，求导之后正好等于非零常数倍的另一项，而这个内层函数也正是我们要设的 u。 最后，这个第一类换元法要想熟练掌握是比较有难度的，很多题目都需要先转化一下，再使用刚才讲的技巧才能做出来。 因为这个转化的过程比较难想，所以大家一定要多刷刷该知识点的课后习题，遇到不会的可以问问豆包呀！

注意刷视频，米老鼠刷视频暂停。先来三十分钟速成一下高数 定积分怎么算？牛顿莱布尼斯公式告诉我们，要算定积分得先找不定积分再代数，所以要算 一到二上二 x 的 定积分，需要先找它的不定积分，或者叫原函数，再带上下线就可以了，这个本质叫做牛顿莱布尼斯公式。看直接积分。第一题我先找原函数 ark tangent x 带上下线就可以了，练习题也是一样。 第二题，定积分的换元法怎么办？咱们定积分的换元就是不定积分，你的换元一模一样，多了一个上下线而已。分布积分法也和不定积分一模一样，也是反对逆止三。唯一的差别在于现在多了个 a b， 计算定积分的时候时刻记住多了一个上下线， 定义三分布积分法。像这个积分先找元函数再代数，这也是先找元函数再代数。但是你发现从第四题开始有什么猫腻了吗？ 题目出现了反常哪？反常积分上下线出现了无穷，它叫反常积分，其实考试的时候你也不用知道它叫反常积分，不用想其他的，你就和定积分一样计算就可以了。 第五个类型，变现积分求导，这个线指的就是上下线，这个求导的时候把公式背过就行了。像这个就是把积分变量 t 换成上限乘以上限的导数，减去积分变量 t 下限乘以下限导数， 这里下线是 a， a 的 导数是零，减零就不减了。这都是变线积分求导题六题七都是变线积分求导 题八，这题只是把变线积分与零比零型的洛必达法则放在了一起，好，加二的换元也是算变积分，注意换元 b 换线，上下线要变一下，变的时候要注意上下线要分别对应上线对应上线，下线对应下线。 练习六，这怎么办？看谁不顺眼，让谁消失。令 t 等于根号 x， 注意换圆。 b 换线，这个线是 x 的 线，这个线就是 t 的 线了。下面我们看题型二、用几何意义求定积分。定积分的几何意义是什么？笼统说叫面积，底是面积的积分， d 是 积分区间， a 到 b 高是，并且函数 f。 例如第十一题，这是个什么图形？根号下四减 x 方是圆心式的圆点，半径是二的上半圆，而零到二的积分就是在第一项线，所以应该是四分之一圆长这个样子。 练习七，这是什么图形？圆心是圆点，半径是三的上半圆。十二题，你自己暂停看一下题型三、利用对称性求定积分。 你需要记住偶倍积零啥意思？如果见到负派到派这种对称区间，需要考虑这些函数是偶函数还是奇函数？ 如果是偶函数，就是零到 a， 加上积分的二倍。如果是奇函数，积分是零，这个显然是奇函数，所以积分是零，这个也是判断它的奇偶性。这个函数是偶函数，偶倍就是零到 a 加上积分的二倍。要背过几个常见的奇函数和偶函数。 这几个练习题，你自己暂停做一下，这是答案。第五部分定积分的应用，它的应用重点是两个，一个叫面积，一个叫体积。关于面积，你只要背过就可以了，怎么背？像这道题，计算由什么什么所围成的图形面积要用定积分算， 就要找积分区间和背接函数。积分区间的上限是什么？是图形里面点的横坐标的最大值，下限是什么？下限是图形里面点的横坐标的最小值，就是 x 大 减 x 小， 上线减下线，这些函数是大的减小的，或者说是上面的减下面的。不管是求面积还是求体积，老师建议大家把图形画出来，因为面积或者体积叫几何题，几何题不是要通过几何图形来解决吗？所以最好把图形画出来， 这个也是面积的计算，同样的下面看体积的计算。关于体积要求不多，你把这个公式背过就可以。 看最后一部分，微分方程。微分方程这一块和前面的积分和前面的求导都会用到，但是用到的不多，会简单的积分，简单的求导就可以了。 第一个，可分离变量，什么叫可分离变量？字面上意思就是能分开的变量，你只要能把 x y 两边一边一个分开就行。 那这种题怎么解呢？两边同时取不定积分，左边以 x 为积分变量，右边以 y 为积分变量。需要注意的是，要求通解或者解的时候，一阶方程只有一个任意常数，所以要把任意常数整理到一起。 题型二，其次方程。什么叫其次？像这个形式里面 x y 次数一样高，一样高就叫其次。它的解法叫换元，用 u 等于 y b x 换元就可以了。这里不是特别重要，可以根据自己学校的考试情况自己暂停看一下，这里有道练习题，可以自己做一下。 下面我们看一阶向量为分方程，这是重点，但是不难哦，不要害怕。什么叫一阶向量？最高的是一阶导，关于 y 和 x 的 导数是一次方，一次方叫向量，找到 p q 代公式就可以了。这种题是最简单也是最重要的， 下面看二节。二节方程有两个，一个叫长数项，其次，一个叫非其次。重点是其次，其次方程怎么做？第一步，先通过微分方程写特殊方程，特殊方程就是你是几节角，我就换成二的几何方。 注意 y 是 y 的 零阶导，所以这是二的零次方，二的零次方是一。然后这就是一个一元二次方程，根据它大于零等于零，小于零，它有三种特征，方程的根叫特征根，进而得到它的通解。这个必须要背过。 其次跟刚刚那题非常像，带刚才那个套路就可以了。练习题也是好，咱们的课程到此就结束啦。

接着我们学习不定积分的第二课，第一类换元法。当我们遇到的题目不能直接使用上节课的公式时，我们会优先考虑该方法。 比如这道题，虽然我们知道 e 的 x 次方的不定积分公式，但这里给出的是二 x 多了个二，这样就没法直接套这个公式了。 那怎么办呢？很简单，换元位我们设 u 等于二 x， 那 这个被积函数就变成了 e 的 u 次方， 但只变这部分还不够，后边还有个 d x 呢， d x 咋变？ 既然我们知道了 u 等于二 x 四，那么 u 对 x 求导等于什么？很明显，等于二。根据这个式子，我们很容易就可以得出 d x 等于二分之一倍的底油，这样我们就可以用这个结果来替换 d x。 上节课讲过被极寒数理的常数因子可以提到前面。好，现在这个积分你应该会求了吧，直接套公式就可以了。 注意这里的括号要去掉，不去掉就会出现二分之一倍的 c。 这里写二分之一倍的 c 和直接写 c 本质上是一个意思，都表示任意常数，所以不如直接去掉括号，这样省不周。 最后千万不要忘记把 u 再换回二 x 四。 好，这就是第一类换原法的解析流程。是不是挺简单的，我们来总结一下解析技巧啊。要想用第一类换原法，我们要先观察背机函数，看看哪部分让我们比较难受，大概率把这部分设为 u 就 能做出来了。 如果还是做不出来，说明 u 设的不对，或者这道题不能用第一类换原法来做。 下节课我们找几道题给大家具体讲讲如何设这个 u 吧。