离散数学前四章常考公式

命题公式消去量词，设个体域取值 a 一 a 二，移至到 a n， 那 么对式函数 ax 前面如果是全称量词，那么它等值于 a x 取遍地内所有的值，也就是 a a 一 a a 二，一直到 a a n， a x 前边是全称量词，那么这些值之间就是合取。 如果 a、 x 前边是存在量词，那么它等值于这些值之间吸取， 这就是命题公式消去量词的计算公式。 请看例题。设个体域取值 a 和 b， 那 么这个谓词公式消去量词后的等值式是什么？ 我们看一下，先写上谓词公式， 先看第一部分， a， x 取遍 d 内所有的值，这里就是 a a ab。 因为 a、 x 前边是存在量词，所以 a， a、 ab 之间是吸取，然后加括号。 然后看第二部分， b， y 取遍 d 内所有的值，就是 b a 和 b b。 因为 b， y 前面是全称量词，所以 b a 和 b b 之间是合取，加括号，这两部分之间仍然是 c 取， 这样我们就做完了第一题。 第二，设个体域， d 为 a 一 a 二，求这个谓词公式消去量词后的等值式， 我们还是先写下这个谓词公式，这里注意它是 y 的 全称量词。 x 的 存在量词是 两种量词重叠，我们先算其中任何一个，比如说先计算存在 x， p， x， y， 我 们把它加一个括号， 这样里边计算，因为是存在量词，约束边缘是 x， 那 么 x 取值 a 一 一个，那就是 p a e， y， 再取第二个是 p a 二 y 因为是存在量词，二者吸取，然后前面再加上全程量词。 对全称量词括号里的这两项看成一项变量是 y， 那 么 y 取值 a 一 和 y 取值 a 二这两项之间 因为对 y 来说是全称量词，所以是合取， 这样我们就完成了列二的计算。

好的，我们今天来推导一个方差公式啊，我们知道，对于一个随机变量 x， 它的方差啊，是等于 x 平方的数学期望减去 x 期望的平方。 好，话不多说，我们先写一个这样的证，那么根据方差的定义，我们这个 d x 应该等于 sig 码 i 等于一到 n x i 减去一 x 括号的平方，再乘上一个 pi。 好， 这里我们把这个呃平方给它展开啊，这等于 sig 码 i 等于一到 n x i 的 平方减二倍的 e x 再乘上一个 x i 再加上 e x 的 平方就乘以 pi， 那 么就等于 c 个码 i 等于一到 n。 好 了，我们把这个啊 pi 乘进去啊，就等于这个 x i 的 平方乘以 pi 减去二倍的一 x， 再乘以 x i pi 再加上一平方 x， 再乘以 pi。 好， 那么这里我们可以分组求和啊， 要等于 sigma i 等于一勾 n x i 的 平方乘以 pi 啊，减去这个常数可以丢在这个求和符号的外面去啊，减去两倍的 e x 乘以 c 个码 i 等于一勾 n 啊， x i 乘以 pi， 加上一平方 x c 个码 i 等于一勾 n pi 啊， pi 啊，那么这一块实际上就是 x 平方的数学七万，这是一 x 平方，这一块就是 x 的 数学七万啊，这一层是一个 x 的 数学七万就是两倍的一 x 的 平方 再加上一个。嗯，这个地方实际上就是一啊，这应该是 p 一 加 p 二加加加到 p n 等于一啊， 再加上一平方 x 啊，那我们，嗯，把它计算一下，就是一 x 的 平方减去一平方 x 啊，这样我们就知道了， 这个方差的这个公式是等于 x 平方的数学期望减去 x 数学期望的平方啊，这个证明公式还是比较简单的啊。 好了，今天的内容就分享到这里啊，谢谢大家，就给大家比个心啊，再见！

量词出现的次序不同，得到的谓词公式的逻辑含义也可能不同。由一个谓词及若干个个体变量组成的表达式称为原子谓词公式。 定义三点四。由一个或几个原子谓词公式以及逻辑连接词组合而成的表达式称为复合谓词公式。 复合谓词公式当中使用到的逻辑连接词是这些定义。三点五谓词演算的和式公式。这个和式公式跟第二十四页 一点二节当中定义 一点六和式公式这个定义是类似的，这个定义是谓词和和式公式组合而成的。俄罗斯套娃主要作用就是告诉你谓词公式的写法， 写法是这种一层套一层写出来的类似于俄罗斯套娃的定义形式被称为地归。 现在来看一下这个定义，为此演算的合适公式 d 规定如下， 原子的谓词公式是合适公式，若 a 是 合适公式，则这个也是合适公式。若 a 和 b 都是合适公式，则这一串也是合适公式。 若 a 是 函数公式， x 是 a 出现的任何个体变元，则这个和这个也是函数公式。 只有经过有限次应用规则一到四所得到的符号串才是函数公式。 需要注意的是，最外层的括号可以省略，但量词后面的括号则不能省略。例如这里这个括号如果省略的话， 意思就会改变。 括号是不能省。这个量词控制着这一部分省略掉最外层的括号， 那这个量词只是控制 a、 x 整个式的意思就会变了，所以最外层这括号是不能省略的。 和式公式 a 可以 记作这个符号，和式公式简称为公式 e。 三点六 给定谓词和式公式 a 其中一部分公式的形式是这个和这个 称量词后面的 x 为指导边缘，也称为作用边缘 b， x 为相应量词的狭义或作用域。 在狭隘内， x 的 一切出现称为约束出现 b， x 中除去约束出现的其他边缘出现，称为自由出现。我们看例题三点一零， 指出下列合适公式中的指导边缘量词的暇域、个体边缘的自由出现和约束出现。看第一个式子量词，量词后面的 x 是 指导边缘， 这个量词的暇域是最外层这个括号 x 是 约束出现， 除了约束出现之外的 y， z 是 自由出现。 我们看第二个式子，量词后面这个 x 是 指导边缘，它的作用域指到这， 在这个作用域内， x 是 约束出现， y 是 自由出现。再看这一部分， 这个量词后面 y 是 指导边缘作用域，狭域这一部分， x 是 约束出现， y v 是 自由出现。 这个文字复数我就不读了，其实 这个题挺简单的，没什么难度。看第二个式子当中，前键的部分， x 是 约束出现，后键的这个部分 x 是 自由出现。在这个数字当中同样都是 x， 一个是约束出现，一个是自由出现，那么怎么进行区分？ 这就是下面这个概念。在合适公式当中，一个个体边缘既可以是约束出现，又可以是自由出现。这个三点一零二式当中的 x， 它就是 在前半部分是约束出现，在后半部分又是自由出现，这样会容易引起混淆。 为了避免这些不必要的混淆，采用下面两种规则改写命题公式， 在这里补充两个概念，约束边缘是指被量词约束的边 缘，自由边缘是指不被量词约束的边缘，这个约束边缘 与约束出现是一回事，自由边缘与自由出现是一回事。在这里他们不做严格区分，采用下面两个规则改变命题的写法。 一、约束边缘改明规则，将量词暇域中量词的指导边缘及其暇域中该边缘的所有约束出现，均改为本暇域中未曾出现过的个体边缘，其余不变。 简单点说，就是把约束边缘改名，狭隘内不重名。二、自由边缘带入规则，把公式中的某一自由边缘 用该公式中没有出现的个体边缘符号代替，且要代替该自由边缘在公式中的所有出现。 换句话说，所有自由边缘全部改名，公式内不重名。 其实这样说还是有点糊弄，咱们套在例题三点一一当中，就很明显，这个规则的主要目的 是清晰地区分约束边缘和自由边缘。方法是约束边缘改名、自由边缘改名。 这两个规则的使用目的是为了保证个体边缘在合适公式中或以约束形式出现，或以自由形式出现，不再有混合出现情况，从而避免混淆。 我们看这个例题，看数字量词后边这个 x 是 指导边缘，它的狭域 是这一部分，那么 x 是 约束边缘， 也就是约束出现。你这里有 x， 我 这 q x， 它们俩重名啊，你只说 x 的 话，我不知道你说成哪一个。为了清晰的区别这两个 x， 我 们采用第一个规则，约束边缘重命名， 把 x 换成 z， 得到这么个数字，在这个数字的基础之上，我们还可以再用第二步自由变元代入规则，把自由变元 y 用 w 来代替。注意这里自由边缘 y 要全部都换成 w 是 数字当中的所有 y， 这个时候就得到这个数字， 这数字就非常清晰了。 v， 它就是约束边缘， w 是 自由边缘，这个 x 是 不在狭隘内的其他边缘。约束边缘是约束边缘，自由边缘是自由边缘。 清晰明了，所谓的自由边缘带入规则，就是把式子当中的所有自由边缘都改名， 字母换一下就可以。约束边缘改变规则，也就是把约束边缘换个名， 所以这没什么难度啊。这样说白话感觉好傻呀。这是最后一个注意点补充内容，约束边缘重名， 选任意一组改名，从而避免混淆。这个看三点一二， 我们看例题，存在量词 y， 它的作用域是在这个范围，那 y 是约束边缘，也就是约束出现 这两个，它的狭域是 t， 这个狭域内有 x， z 约束边缘这一部分，它的狭域是 u， 在 u 里边也有 x、 z。 约束边缘在整个数字当中都使用了 x、 z， 这样的话也容易混淆，不好区分。咱们依然可以采用约束边缘改名规则， x 改成 u， z 改成 v， 至于你是改前边这个还是改后边这个都行。 如我们改后边这部分， 把后边这个换一下也可以啊。 x u 换一下，前面部分改一下也可以， 这两个都可以。他的目的还是为了好区分，改变规则的核心目的是为了避免变圆混淆，让约束关系更明确，符合位次逻辑的严谨性要求， 这个就类似于编程当中变量不冲突， 要是两个座位的变量用了同一个名字，程序的逻辑可能会出现混乱，所以 改名是为了清晰区分下一节讲三点三，为此演算的等式式和蕴涵式。

命题公式的负值请看例题。在这个命题公式里，只派 p 为一，只派 q 为零，求命题的真值。 我们看一下，在这个命题公式里，只需要把 p 换成一，把 q 换成零， 那么把 p 换成一， q 换成零，我们继续运算， 非一就是零，也就是一的否定是零，吸取原来的零吸取括号里边一的否定是零， 零的否定是一。继续运算括号外两个零吸取还是零 吸取。括号里零与一的吸取是一，那么最后零与一的吸取是一，所以命题的真值为一。 这样我们就完成了这道题的计算。

同学们大家好，我是蚂蚁期末团队的肖老师，本节课由我来继续讲理散数学期末突击课，希望大家期末考试不挂科。而本节课得到了讨论最后一部分内容，这部分涉及到凶恶力算法， 最小数以及最小生成数，最佳分，最佳最好的全数笛士特斯拉，还有那个判断二分图的那个饱和和非饱和的对齐问题，以及最后的判断平面图的问题。这节课涉及到小细碎点比较多，这也是图论的特点。而本节课我们来继续讲以下内容。 首先我们可以看到无限数就要生成有限数，二分图，平面图这些东西又是有很多的概念，我们来一个一个讲。首先无限数，何为无限数？我们可以看到没有循环的无限连通图称为无限数，简称数。 就比如这样我就没有一个循环，而这样我也没有一个循环。说我怎么样循环能，能能到到我的点还是怎么样的呢？对吧？ 没有循环的无限连通图，这又是循，这又是树，而树中度为一的顶点为树叶，这就是这个即度为一的顶点，而度大于一的顶点，比如说这个 内点，它就被称为内点。而森林就是没有循环的无向图，称为森林，森林中每一个点头分支都是树，这就是说我们这就是无向数和森林的概念。而我们的树还有以下性质，树中任意两点有且仅有一条路径相连，我们可以看到了。 而数中有 n 个定点和 m 条边有这样一个公式，这个公式很可能计算题会用到 n 等于 m 加一而数如果任意删提一条边，则变成不连通图，说明该数是连通成了最小的图， 而数中任意两个不邻接的丁点中添加一条新边，则构成图。构成图包含维一的循环，比如说我加这个，则构成了一个循环，大家就可以看到了。而 我们现在要解释的是我们该如何去 进行一个习其的训练。而还有一个概念是生成树，生成树就是既是五项图，由它的一个紫图生成的，它的一个紫图是一棵树，则它就称为生成树，就这么简单。而最小生成树，我们就是在生成树中找一个最小生成树， 就是 crystal 算法，我们可以看到最小乘除数的算法，我们可以这样看，我们把记中的个别按全值大小排序，就是说我们会排序，比如全差一二三四五，我们按全大小排序，然后初值化一个空集，这个空集初值是什么都没有的， 我们以下步骤，直到包含 n 减一条边，比如说我们首先我们要选择全是最小的一条边，这个就是一，然后我们要看继续往进加全是最小的边，而我们看这个边能不能构成环路，如果不构成环路，我们加下去构成环路，我们就把它剔除，这又是 crystal 算法，我们来一个一个解释， 我给大家画了一个图，这又是一个无向图，而此时我们要对它进行一个 crystal 算法的演练，首先我们把它权重排起来，即这样排起来了，我们出场一个空集 s， 我 们首先把最权重最小的 b c 放进来，比如 b c 在 这里， 而在 b c 放进来后，我们在接下来的地方，我们再选择一个最小的，也就是说我们要选择 a、 b， 即把 a、 b 选择， 那我们要再接下来再选择，我们再把 a、 b 和 b、 c 都去掉，我们要在剩下的 a、 c 到 c、 e 中再选一个最小的， 那我们看到 a、 c 实际上它已经跟我们选好的 b、 c、 a、 b 构成了一个循环。哦，这是万万不行的，那我们 b、 c 就 不，那我们的 a、 c 就 不加了呗，那我们就哥，那我们就加，继续剩下最大，那我们就加个 b、 d、 b、 d， 不 构成循环， 那加了以后， b、 d， 我 们再剩下的，我们再选一个，我们能选 c、 d 吗？因为我们的 b、 c、 b、 d 跟 c、 d 会变成一个循环了，所以我们不选 c、 d， 我 们剩下再选，我们就要选 d、 e， 而 d、 e 选择完以后，我们看是否要选选择我们的 c、 e 呢？答， c、 e 和 dc 在 c、 e 的 c、 e 我 们是否能跟它，就是源于这些图的基础上，我们是否可以和它进行一个， 进行一个全直，进行一个，变成一个循环呢？我们可以看到 c、 e、 b、 c、 b、 d、 d、 e 它们构成一个循环，它们四个边构成一个循环，那我们万万不能加了 b、 c、 b、 d。 第一，要如果加 c 的 话，它们就构成一个循环，那我们只有这四个，所以说这又是我们的 s。 而最下的步骤，我来告诉大家严格的写，你说这样写，首先先选这个，加入 bc， 然后不会不形成环路的前提下，我要加入 ab， 在 此之上我如果加入 ac 的 话，我会形成一个循环，我不加 ac， 在 此之上，我选择 b、 d 全值， 而加入 b、 d， 我 并不会形成环路，我可以加，再加入 c， d， c， d， 我 又变成环路了，我又不加，再加 d， e， d， e 不 够是环路，我加进去再加 c， e， b， c， b， d， d， e， c， e 构成环路的，那我就不选了。所以最终我的最正确的编辑是这样的， b， c 就是 bc， 这是 ab， 这是 b、 d， 然后这是 a， b， e， 这是一个数， 我们可以看到这个数就是这样子一个形式，而最小数的全值总和就把他们全加起来，一加二加四加六等于十三，这就是无限数与最小生成数的整体算法。算法并不难，大家需要严丝合缝的按照我这个步骤去一步步执行下来，这就是无限数中的知识点。 全图的最小生成数问题跟大家分享完毕，好进行下一个知识点。有项数，有项数，就是有这个方向的一个数嘛。 满足以下条件的有效图，这行有效数它久写，仅有一个入度为零的顶点，称为根，就是这个部分入度为零，除根外，其他填入度都为一。那很明显， t 中每一个顶点都有一条该顶点跟到该顶点路径，当然跟到哪都能到达呀，这就可以啊。而接下来我给大家弄了一个有向数的图，要跟大家说这些概念，首先父子关系，这是我们的 t 有 向数， a， a， b 乘以，如果 a 是 实点， b 是 终点， 则称 a 是 b 的 父亲。要是我十点引申出一个中点，那我就是你的父亲，而 b 是 a 的 儿子。如果 t 中有一条以 a 为十点，以 x 为中点，有向对称，则称为 a 为 x 祖先， x 为 a 的 后代。可以看到，这个题中十五就是六的祖先，是九的祖先，而九和六是十五的后裔数和内点。出度为零的点称为树叶或叶片，就是一二三、四、五叶片， 其中其他顶点称为内点或支点，这就是根据这个图前树叶内点以及父子关系的描述。 而接下来层次和高度，从树根的顶点到的的路径长度称为 a 的 水平和层次，树中最长的长度称为 a 的 高度，这就很明显可以看到。 而 a 是 t 中的一个顶点，由 a 导出的所有点都是包括 a 的 后移导出，所有点都是其它的， 都是它的有效图的指数，那么 a 是 指数，就十五导出的这些所有点都是它的指数，这就是它的概念。 n 元素，即每个顶点都有 n 个儿子，也就是每个顶点引出两条线， 而特别的 n 引出 n 条线，特别的如果每个点都引出两条线的话，那么称其为二叉数，这个就是二叉数，每个点都引出两条线，这是树叶啊，树叶就不再引了。好，这是所有概念，这是跟大家分享的， 大家要明白了，这些是最基本的概念，大家要跟针对这个图去衡量，其实很简单，就是一个父子关系，高度关系等等等。而此时完全 n 元素，也就是每个每个点引出 n 条边的内点数和叶片的关系，叶片就是这些东西，而内点数则是 除那个树叶和叶片以外的其他点，称为内点或支点，它们这有这样一个公式，这个公式就不细讲，大家如果有计算题的话，自己用一下，我们的重点是要讲如何找到最优数， 并且使这个完全二叉数有最小的权。首先代权数，我们要找到完全的二叉数，我们每一个东西都有权重，如果一棵树叶的权重是这些为二叉数，那我们 如果他权重最小的话，那我真是称此数为最优数。而最优数的求解依赖于一个算法叫哈夫曼算法， 把树叶权这些排版看了，然后让他最从小到大依次排列，将权最小两个合成一片树叶，并把它们看成一个整体，继续与他排列，这是最优数，直至最后只剩一个 wi 的 集合，那就完毕了。 那我们来看一下，看一下这个哈夫曼算法，求最优数，首先我们来这样看，我们有一二三四五五个点，首先我们从大到小排就完序了，我们要合并最小两个，他俩就合成三 三四五， ok， 他 俩又合成最小的，变成六级，接下来变成六四五六四五中两个最小的号，他俩最小合起来就是六九六九，他俩合成最小就是十五，这又是他的一个算法的过程， 而我们如何根据这个算法过程把这个数画出来，这就是接下来要讲的东西。这个过程是非常简单，就是不断的合并这两个最小的，直至变成最终的一个。 所以我们就可以看出我们一二三四五一和二首先变成了三 二，接下来的三和三，我们要把它再给它弄上，就变成了六二，接下来的六，接下来四五，我们合起来就是九，接下来六和九合起来就是十五。你可以看到我这个数的结构形式和它是完全一样，只不过它是， 它是根据我把我这个数像是这个数，像是歪脖子，把它给正过来，写成一个规整形式，这就是我的最优数的图解和我的最优数的求和方法， 就是这样做的，大家一定要严格按照我的步骤去一步一步执行下来。再重说一遍，一二合成三，三和三，再合成六，六和六，剩下四五合成九，六和九，再合成十五。看跟这个图完全一样，这个是我们的哈佛曼算法，我们讲了两个题已经一个是这个角 cross 算法以及哈夫斯曼算法，哈夫曼算法这两个都是有可能考大题的，大家要注意，无论是图和过程都要会弄，就是有项无项数一个题，有项数一个题。接下来二分图还有一个题， 我们可以看到和为二分图，我们就将顶点的集合 v 化分为两个子集， v 一 v 二， v 一 交。 v 二等于 v， v 并二等于空集集，使图中的每一条边的一个端点在 v 一 中，另一个端点我在 v 一 中，这是 v 一 端点，这是 v 二端点，就是如此。就是我把点集划分成 v 一 v 二，其中 其中每一条边的一个端点在 v 二中，仅此而已。它这个题中， a 一、 a 二、 a 三、 b 一、 b 二，它们构成了所有的边，即我 a 一 a 二在 v 一 里， b 一 b 二在 v 二里，就是我的 二分图。而接下来简单二分图，还有个完全二分图，就是我每一个点都要和所有的另一个，比如说我 v 一 是 a 一 a 二， a 三跟刚一样， a 二是 b 一 b 二，有时候我 a 一 的点必须要跟 b 一 b 二点， a 二点必须跟 b 二点， a 三点必须跟 b 二。有时候我每个点都需要跟另一个集合中所有点相连，而这个图就是我们的二分图，它为记作，记作 k 三。二就是我们的完，就是我们的一个完全二分图，即其中一个集合 点，要把每另一个几何的每一个点之中都要进行一个连线，这又是我们的完全二分图。而判定方法则是判断它是二分图的重要条件，就是图中每条循环都有偶数边组成，这个是双条件，大家可以用它来判断是否为二分图。 而二分图之中还有个题型叫对齐的匹配，首先我们可以给他规定， a 一、 a 二、 a 三、 a 四、 b 一， 然后 b 一， 然后给他再列这是 b 二，接下来是 b 三，接下来是 b 四。 好，我来给大家换一个图讲，因为这个图写起来会更加清晰简单，大家要注意一下，我换了一个图，这个图已经标注好了，给大家， 我们先补全，这是 a 一、 a 二、 a 三， a 四和尾对齐呢？就是 m 中两条边没有公共的端点。比如说我这个题中的 a 一、 b 二和 a 二、 b 三，它们标红的这三条线，它们就没有公共的端点，它们各自端点 都没有一个公共的，他们的起点和终点他们都没有相交，这又是他们的一个对积，则对积 m 就是 这三个边， a 一、 b 二， a 二、 b 三，然后 a 四、 b 一 看他们，他们的起点中间都没有一个重合，这就是对积。而我们乘点，而 如果 v 是 某条，如果 v 是 m 中某条边端点，则称它是饱和点，并称 m 是 饱和的，否则 v 乘 m 是 非饱和。在我们这个题中，我们这个里面所需要所有东西， a 一、 a 二、 a 四、 b 一、 b 二、 b 三是饱和的， 而剩下的点 a 三只有这一个 a 三没有红线引出来，则它就是非饱和的，就仅此而已。一个概念，饱和点就是有设计到 m 的 点，不饱和点就是这样的，那我们可以给它进行一个， 这就是给它进行一个定音，大家要明白。而最大对积就是说我这个对积里面的数不能再大，就是对积里面的边数不能再加。比如说我这个题， a 一 b 二， a 二 b 三，它也是一个对积，但是它不是最大的对积，因为最大的对积还有一个 a 四、 b， 仅此而已，就是最大对积。 就这个图中再也没有能听下去编，让它再变成对积了。然后我们要介绍两种路径，这个一会算法有用，是它是二分图， m 是 对积， p 是 记成一条路径。如果 p 是 由属于记成属于 m 的 边和不属于 m 的 边交替组成的，则称为交替路径。就是说，比如说这个图，就是说我红蓝相见，就是我先红再蓝，先蓝再红，这种就是叫交替路径，即属于 m 的 边和不属于 m 的 边，我都给它交替。 而我们的交替路径是这样的，十点、十点和中点都是 m 的 非饱和点的交替路径，称为 m 的 增长路径。也就是说我十点和中点都必须是没有任何红线的点，这就是它的增长路径。 所以可以看到 m 的 增长路径必有计数点标。如果我十点是蓝色的，它发出了一条蓝色的线，那我下一个接上一个红色的线，然后我的终点还需要是蓝色的线，那我必须要接上一个蓝， 这就是它的增长路径。增长路径就是说我起点和终点必须是非饱和点，而我的交替路径则不需要这样。 而知道这些定义，我们才能进行匈牙利算法求解。我们接下来我们就要看到给定一个二分图，另 m 是 任意一个对称，也可以是直接是空的，你能找出来就找出来，找不出来你直接弄成空的， 如果 u 一 属于 v 一 这样，所以这些东西大家不用看，我来给大家一个一个讲解，一点一点的给大家讲解。首先你可以看到这个图，我可以明显看到这三条画红色的边，我给他编个号， a 一， a 二， a 三， a 四， b 一， b 二， b 三， b 四，然后还有 b 五，你可以看到，首先我可以看到这三条红色的边，它完完全全它就是没有任何交点的边，就是说它们没有任何交叉的点在一起，则它们就是对齐， 而我们如何来求最大对集呢？首先我们要找到图中的非饱和点，我们来找啊，有没有红线的点，哎，他没有红线，他没有红线，哎，他没有红线，比如说剩下的点 我们都可以去给他找一下，我们对每个点进行一个一个渲染算法应用，就可以得到它最大堆积。那么首先我们需要先看到 a 四点，那么在 a 四点中我们可以看到 a 四点，它的起点，它的起点是它是非饱和点，它是一个蓝线，我也说我们不知道这根线到底就除完红，除了红线以外都是蓝线，我们并不知道，事先并不知道它是否有红线的情况下，我们就不能 鲁鲁莽认为它就是红线，我们直接这样，我们一样非饱和点，饱和点交替，你可以看到这样就没有从它引出的路径，就没有办法交替了，因为它引出的路径 它就只能是蓝线，蓝线，蓝线蓝线都是蓝线跟蓝线不行啊，得蓝红交替啊，先蓝再红，最后就开始必须是蓝，最后也必须是蓝才行，那这样就不行了，那我的 a 四点我就不能用了，把它抛弃掉线， 那我看到我的一个 b 点哦， b 点起点哦，它从 a 点起点可以吗？可以的， b 一， 先从这里它有个路径，就是 b 一 蓝线红，就是这样子，我用激光笔给大家解释， b 一， 首先蓝线红线，然后又蓝线哦，你就可以看到这个路径是可以的，我们不妨直接给它标记一下， 也就是说此时我们的 b 一 蓝线，红线蓝线，我们就这条路径，我们就认定了，而我们是我们认定了这条增长路径以后，我们现在要做的就是让这条路径让所有线红色的变蓝色，蓝色的变红色，也就是说现在 我们这条线要变红色，而这条线也要变红色，而我们刚刚中间这条红线它要变成蓝色的了。 而此时我们再看现在这个图，我们我们只剩下 b 四唯一一个 b 四的点，我们去我们只剩下唯一一个 b 四的点，我们看能否去给它找一个交替。首先 b 四 只剩下 b 四这个 c 饱和点， b 四我们看能不能 b 四，我们这条蓝线横线，蓝线横线蓝线，这都是便利了我们这些东西的，没有任何意义，而 b 四这样它没有办法交替， 所以说我们就可以看到 b 四这个点，我们我们 b 四这个从 b 四出发的这些点，我们都找不到最大的路径，所以说 这个题目我们就到此为止，解释完毕。我们最终找到的也就这四条红线，也就是我们的对集， 此时我们可以看到我们的 m 集合，就等于此时的 a 一、 b 二， a 二、 b 三， a 四、 b 五，还有 a 三 b 一， 你可你可能会说，为什么 b 四，你明明 b 四有路径，为什么不继续弄了呢？因为我们现在我们可以看到我们的 v 一 的集合， 他到此为止，他都满了，就是他，他每一个边，他，他每一个点都已经有红线牵出去了，就是每一个点，我最多最多就是这些线，所以你可以明白， 所以每一个点，因为我保证他不相交情况下，我每一点最多就引出这些线，如果我一个点引出两条线的话，那不就相交了吗？那不就不符合了。我既然每个点都变道，并且有一条线， 那我就已经满足条件了，即我得到这个，而不需要考虑下一个，只需要其中一个 v 一 或者 v 二，他满足的，那么就可以了，那么他就可以作为我们的一个 最大堆积，这就是我们最大堆积最终的求出来的结果。 ok， 接下来是平面图，如果能一个把这个图画成端点以外，任何两条边都不相交，则是可平面的 完全图，它是非平面图，完全二分图都是我们前面讲过的，它完完全全它是非平面图，这两个图非常重要，考的时候可能会考到，可以看到这个平面除了端点以外，没有任何两条边相交，可能这个平面图你就要说它不是有两条边相交吗？哦不，你说的是端点，它其实这个图可以这样画， 它其中这两个线，这样这就是它的一个图， 它其实是平面图，你要会这样拉出来，把这根线给它，把这根线给它拉出来，这就是平面图。而这个明显是非平面，你这些线怎么拉它都会有交集的。而区域则是这样子区域，比如说我来一个 这个区，我 r 一、 r 二、 r 三，除了 r 一、 r 三以外是 r 四区域，就是我有这四个区域，这就是区域的概念， 而区域的概念会帮助我们进行以下的内容讲解。设计为五项联通平面图，它有 n 个点， m 调边、 r 区域，它们有这个固定的公式，这个公式可能考分，考到你要去记住。而判断是否平面图的方法一个重要条件就是 它的不高开二度同构的 k 五和 k 三三，所谓同构，就是它们点和点之间的关系一样，无非就是显示的情况不一样。而推论则是途径是这样，则三 n 大 于六 m， 这是其中一个推论，这这个推论 如果它平面图的话，它则有这个推论，这个推论可以帮助我们解决，帮助我们判定一下它是否为平面图。 而且平面图步骤你不需要管这个，这个是乘法，你只需要看这两个是否检查边和顶点关系，如果满足的话不一定，如果不满足的话就可以推出来，那么它一定不是平面图，还要检查子图，看，同时包包含这种 k 五五和 k 三三的子图， 比如说这个，这个图，你觉得它是平面图吗？其实这个图和这个图是同构的，那为什么同构呢？你把 b 点给它拉下来，则你就这样拉 e、 d， 这是 f， 这两个是 c 和 v， 你可以看他们边跟边，点跟点之间边的关系完全没有变变，也就是说它的一个形式，所以它包含 k 五、 k、 k 三三，所以它不是。好，这又是平面图，一个知识点，就这里严格记住这两条就够。 而这就是我们所有讨论的内容，可能有些点没有讲到，但是已经尽可能的在三个小时把所有的点都涉及到了。 而对齐部分的题目大家要注意，因为考试它会考，所以这就是本节课的全部内容。本节课我们再来理一下我们本节课讲的哪些东西，因为这节课内容还是蛮多的。 首先有项数，有有项数，这里有个最小分寸数的问题，求解，有项数，这里有一个最小全数的求解。二分图，这里有一个那个度，那个 增长路径，求最大对极，最大对极的题目出现。平面图有个判定，平面图的两条定义存在，所以这四个题都有可能出现大题，大家要好好的明白它的两条定律存在，所以这四个题都有是图的五个大题之中的其中之一。好，本节课内容到此结束。

大家好，我是蚂蚁期末团队的肖老师，本节课我们继续讲理想数学期末突击课，希望大家期末考试不挂科。 同时这节课是针对于上节课的基础上，一定要听完上节课再听这节课。这节课是图的矩阵表示和图的矩阵应用，图的矩阵表示就是各种图用矩阵表示出来，我们会接受很多种， 而矩阵应用则是会告诉你 a 图的表述出来的矩阵 a， a 转至， a 乘 a 转至以及 b 等于 a 加上 a 方，加上 a 三次方，它的一个含义是什么？就是 这就是我们这节课所需要接触到的内容。我们直接开始首先关联矩阵，而是有向图记，它是 v e 二元关系，同时 v 是 这些点， e 是 这些边，那我如果这些边， 我如果这些边不关联 vi， 这就是我这条边上这两个点没有 vi， 我 的 vi 不 在这两个点，两个点之中，则我取零。 而我的如果我的 e i j， 如果我的 e j 和一个点关联了，和 v i 关联了，且这个 v i 是 起点，那我记作。一，如果 e j 和 v i 关联，但是 v i 是 这个边的终点，那我则负一，如果 e i 是 自环，就是它自 就自己关联于自己，就是说 v i， 然后它是自环的，那继承负二，这又是我们的一个矩阵，注意这个矩阵表达的内容是 每一个点和所有边是否关联，而我们可以看到我们这里有四四个点， v 一， v 二， v 三， v 四，然后我们有七种边，就是我们的关联关系， 我们可以看到我们的这个关联矩阵的横坐标，就是说我们点 v 一， v 二， v 三， v 四，我们纵坐标则是 e 一 到 e 七，这就表示 v 一 和 e 一。 哦，原来 v 一 是 e 一 的起点呀， v 一 还是 e 二的起点， v 一 是 e 三的终点， 就是这个意思，即我的矩阵的矩阵的行指标表明的意思，意义是每四个所有的点，而矩阵的劣指标表明的是我所有的边， 而矩阵呢，其中的 a i g 表示我这个点和这个边的关系，它到底是不关联零呢？还是关联，并且是起点关联还是终点还是自环呢？这就是它的意义。注意，这个矩阵是点和边组成的一个关系矩阵，我们要好好的明白， 所以我们再总结一下这个什么是关联矩阵。关联矩阵就是有点级和编辑表达点击和编辑关系的矩阵，即矩阵的 矩阵的行指标是所有的点，矩阵的列指标是所有的边，而矩阵中所有元素皆是这个点和这个边之间的关系。比如说 a 一 一，我表明 v 一 和 e 一 之间的一个关系，它们是邻一还是负一负二，则有我的 具体的定义决定，而这个定义不同，说不不一样，大家要根据自己教材所决定。所以关联矩阵这个内容就到此为止，他就是表明点击和编辑关系的内容，其中他要涉及到的是点和边的关系，一定要注意到。 而我们可以看到无效图的关联矩阵，只要相比有效图来说简单一点，我只要关联不关联他，我就零，我只要关联他，我就是一，我只要是次环，我就是二， 而不像那我的起点或者终点划分，我有一或者负一。注意这些值。不同教材的方法不一样，如果你和我教材不一样，请先不要急，就说课程有错误，而说看一下你的教材的定义，每本教材定义是不一样的，所以你一定要好好明白这一点。 好，我们可以看到关联矩阵是什么啊？行指标是点，列指标是边，而它的元素是点和这个边的关系。同样的，我们要看到临界矩阵，它就和前面有所区别了， 同样的还是这个图 v 一， 我的 v 是 这些点，我 a i j， 就 这样定义，如果我的 v i v， 这是我们之前那种 v i v j， 其实是表示的一条边及及 v i 点和 v j 点， 它们之间有一条边，至于这个是有效还是无效无所谓，但是表示它们两个点之间有一条边，这就是这个括号的意思。 所以我们要明确出此时我们的此时我们的矩阵就成了我们的矩阵，行指标也是这些点，列指标也是这些点。而我们每一个元素它代表的意义就是对应的 v i v j， 它们是否之间两点有一条边， 他们对应的意义是这样，如果有边是以无边，则称为零。其实他们统一是每个点之间是否有边的关系，他们的矩阵的行指标是点，劣指标也是点，而他们的元素则是这两点之间是否有一条连线，有连线则值为，以无连线则值为零，这是他的零阶矩阵 和刚刚的关联矩阵区别。关联矩阵的行指标是点，劣指标是边。他们每个元素表示这个点和边的关系， 而他们而此时的临界矩阵则表示他们每个元素都表示点和点之间是否有一条连线，所以你一定要明白这两者的区别，可不要弄错了，弄错了那就要出大问题了，所以这就是两种矩阵。 而我们要写出以下图的临界矩阵，就是把这个缘分不能搬过来，其实就是告诉你，我 v 一 点和 v 二点之间有一条连线，那么同时 我 v 二点和 v 三点之间也有一条连线，我 v 三点和 v 一 点之间也有一条连线，仅此而已。所以你要看到 这个很重要，非常重要，当然你可以看到，那你 v 一 跟 v 二这有关系，那我这个为什么是零呢？那说明这个矩阵它表示是有向，即我 v 一 为起点， v 二为终点的这个有边，但我 v 二到 v 三 v 一 并没有边，所以我这里是零。我也讲过的，这个东西是可以表示有向，也可以表示无向的，之前大家要明白。 ok， 这就是关联矩阵和连接矩阵，这两个种矩阵，大家一定要明白，只有是矩阵的表示内容， 同时我们对应的还有矩阵的应用，而我们矩阵的应用针对的矩阵。注意不是关键矩阵，而是临街矩阵。临街矩阵是什么行，指标是点，列，指标是点，并且他们点，并且这个矩阵的每个元素表示点和点之间是否有一条边，或者是否有条有向边。请注意，这点十分重要， 一定要搞清楚这是临界矩阵的，去给他进行一个讨论。 ok， 我 们来记它的临界矩阵是这样的，它临界矩阵转置是这样的，那我两个乘起来得到了 b i j 矩阵 b， 那 我的 b i j 是 什么意义呢？答，它有如下的意义，即 我的 b i j 表示从丁点 v i v j 引出，也是 v i v j 引出，并且共同于终止于一些丁点的数目。就是说什么我的看，我的 v i v j， 我 都终止于 v k， 则我的 b i j 的 值就表示 v i 和 v j 引出的边共同于终止于 v k 这个点的数目。注意这个一样明确。而特别的，如果我 v i 本身 和 v k 和 v k 和什么 v 各种点，它就是它的初度，特别的它是它的初度，也就是说它表达的是我这个点， 我这些我这些值，我都是表示这个点到这个这两点之间边的数目。特别的，如果我是 b i i， 那 我就是 v i 的 初度。所以大家要明白这个物理意义，当然大家不明白物理意义完全没有关系，考试时候会算即可， 那我们来解决。 首先我们可以看到给定一个临界矩阵，我刚刚说过了，临界矩阵我要计算它的转制，我两者沉起来，我可以看到我我的这个 b i i， 我 就可以知道我的 v i 的 出度就是它，而其他的其他的 b i j 则是 v i v j 引出的边共同中止于一些丁点的数目。所以， 所以你要好好的明白这个，你要好好的明白这个 b i j 的 具体含义是什么， 所以要非常的明白它两个都是一，才表明我的 v k 是， 它们有一个共同顶点就是 v k， 它的数目是一，这是非常容易明白的， 而这个就是它的初度，所以你的 a 乘 a 的 转制就是你算出来的。意义就是刚刚这些值对应刚刚就是这个 b i j 和 b i i， 其所对应的真正含义， 所以啊，你可以看到它既然说是终止于共同边，终止一些这些丁点的数目，所以我的 b i j 的 值就是 v i v j 引出的边，共同终止于某些丁点的数目， 像这个我的 v i v j， 我 共同中点的数目就是一，而如果我的 v i， 它的共同中止于从从它引出的这些点的数目，这些点的数目就其实表明了它的初度，就是这么简单。而 a 乘 a 的 转置意义介绍到此，而还有 a m 的 意义，这个直接记就好，你不需要知道它的原理。当然你可以自己去理解， m 等于一的时候，它表示 a i g 等于表示一条 v i v g 存在一个长度为一的路径，而 m 等于二的时候，它所有的 a i g 则表示 v i 到 v g 长度为二的路径的数目， 而 a m 表示 v i 值为 m 的 路径的数目。所以你要好好的明白到这一点，我们计算到 a 的 me a 的 三，这就是距离为二的路径数目，距离为三的路径数目，所以我们 b r 也就是 b 三，这就表明我们 v i 到 v j 长度不超过三，也就小于等于三的 所有路径数目。看，比如说我我 v v 一 二，从 v 一 到 v 二的路径数目，不长度不超过三，路径数目就是两两条，这就是矩阵的基本含义， 所以你可以明白到这些矩阵的意义，你要非常的理解，它们是有具体的意义的，考试中也会给你出相应的题型，当然这是其中的一种类型。而还有可达矩阵设计是这个， 如果有路径就是可达，如果 vr 到 v 这五路径则不可达，你可以刚刚跟刚刚的，刚刚的另一种矩阵临界矩阵对比，它是两点之间有一条线， 而我这个表达是我 v i 之间要有我 v i 到 v j， 我 可以有好多条线，直到我们只要有一条录音频就是可达的。 所以可达矩阵就是说我 v i 到连接矩阵， v i 到 v j 就是 它们两个点之间在连线， 而可达选择 v i 到 v j， 我 可能会经历啊好多步骤，最后才连上，但是只要我有这有这样一条路径即可。这就是我的一个讲解，可达学院的讲解，所以大家要好好地去明白回味。这个 还有强分支， p 是 图 g 的 可达矩阵，也就是说我的 p、 i、 j 全部是一，则是表示 v i v j 是 相互可达，就是我这个所有的点我都是相互可达的，我能达到你，你也能达到我，所以这个整个 p 就 弄写成了它就是强分支的内容。 而本节课我们讲了三种矩阵，第一种关联矩阵是点和边的关系，第二种是点和点的连接形式。第三点是是其可达矩阵，也就是点和点之间，但是它们之间的边可以是很多边，组成一条路径，路径就是有很多条边，只要能达到就 ok。 而我们还有两种题，一种是我们利用 a 乘 a 的 转制，我们得到的这些共同共同中指的共同中指一些顶点的数目， 而特别对于对于 b i、 g 来说，它共同终止于顶点，就是它自己发射嘛。这些顶点数目恰好就是它的初度，就是 a 转置，而我们的 am 则是路径不超过 m 的 路径数目，我们加起来就是路径小于等于 m 的 数目， 这就是我们所有的内容，本节课矩阵和矩阵的应用大家好好弄好，同时因为不同教材的所涉及到的 定义不一样，大家要查好自己教材，当然这节课有什么东西讲错的，欢迎大家及时的反馈，我们会及时的跟阵，给大家提供更好的服务。

平面图的判断题，我们看一个定理，四点三点三设，这是一个有微个节点一条边的连通。简单平面图， 若 v 大 于等于三，则 e 小 于等于三 v 减去六。 这个定律，一方面，我们可以根据已知图形的节点和边的数量去从正面验证这个不等式的成立。 另一方面，一个命题的逆否命题和原命题等价，所以我们常常用它的逆否命题来做一些判断 它的逆否命题，也就是在已知条件下，如果 e 不 小于等于三维减六，也就是 e 大 于三维减六， 那么这个图就不是平面图。 请看例题，这 g 是 一个有四个节点十条边的连通图，则 g 是 否为平面图？ 我们利用逆否命题来判断， e 是 十条边， v 是 四个节点，那么三 v 减去六等于六， 但入不等式，那么 e 等于十大于 三维减去六等于六，所以这也不是平面图，这样我们就完成了判断。

大家好，我是蚂蚁期末团队的肖老师，本节课由我继续为大家讲理散数学期末突击课，希望大家期末考试不挂科！好，本节课承接上节课集合。 本节课的重要内容有以下部分，迪卡尔承接二元关系的描述，二元关系的表示以及二元关系的运算。 这四部分也是同样，他比较基础，他没有个实际的立体，但是他对你后面求传递 b 包，对称 b 包，以及用二元关系去定义函数，甚至于去学徒论都有着直观重要的作用，所以没有他是一定不行的，这部分是一定要给大家用一个时间去补一下的。 下面我们来直接进入本节课的主题内容。笛卡尔乘积何为笛卡尔乘积？即在 a、 b 两个集合中，它们要定义以下部分，其中定义个二元关系 a 逗 b， 其中 a 来自于集合 a， b 来自于集合 b， 这就是笛卡尔乘积。 你看它 a 乘 b， 就是 a 中所有元素乘上 b 中所有元素，二乘二等于四，也就是四种情况，这就是笛卡尔乘积。 那二元关系的一般定义是什么呢？给定集合 a 和 b， 我 们在他迪克尔乘积的基础上，我们在他的子集取出其中一部分子集作为二元关系 r， 比如说 r 本身就是一组二元数组，这个二元数组来源于迪克尔乘积的子集， 所以我们可以看到他可能，可能二元关系就是任何迪克尔乘积子集都有可能成为二元关系，我们从刚刚的中挑出来两个，他就是二元关系，所以二元关系是承接迪克尔乘积之下的一个 一个特殊情况，而我们二元关系还有一些定义需要告诉大家，乾御何为乾御，何为乾御，何为直御。对于这个例子来告诉大家，乾御就是说第一个分量中关联的集合就是乾御，即一和二，那直御就是第二个变量 x 和 y。 在这里 x 和 y 第二个分量所关联的所有元素集合，即是它的值域。也就是说这个数像，像我们的函数一样，前面的前面的第一分量像是 x， 后面的第二分量像是 y。 好 点，这节课这个讲到为止。 还有恒等关系。恒等关系就是说每个元素的自身即 a， 这就相当于恒等恒等函数， 也就是说他的两个前后两个分量是一样的，即给到一个矩阵，在其上建立一个二元关系 i， a 则 他的所有，这样就是一一二二三三，这就是他的恒等关系。同样恒等关系也是一个二元关系，而这个集合其实相当于就是 a 乘 a， 上面的我们刚刚是 a 乘 b， 特殊的我们将 b 也和 a 一 样 简化成 a 乘 a， 这是我们的恒等关系。大家要清楚这种东西你现在听着很简单，但是要求一定要认真明白，理清楚他们的关系后续但凡你有一个原因你不知道，你做题就是一片空白的。 而痊愈关系非常好，了解痊愈关系就像拳击一样，就是我所有的东西全部拿过来，我们以 a 乘 a， a 乘 a， 这个 dcard 乘积，我们的所有的我们的 dcard 乘积的全集，就是说这个的痊愈关系其中的一个痊愈关系， 而空关系就相当于什么都没有对应对应空集，这这很简单。 二、我们的二元关系还有表示和性质，这性质一定要提起一百个注意来，注意后面求传递币包，乃至后面的图论都需要用到这一点，尤其是求币包那块，你不会这性质，你就是抓瞎。 我们给到集合 a， 我 们还是在集合 a 上定义一个集合，而乘积，我们得到了关一组关系 r， 那 关系 r 是 自反的，是什么？何为自反？这又引出来了，对于集合中的每一个元素，注意是每一个，也就是集合中所有的元素 a r， a 就是 a， 逗， a 属于属于 r 的 意思。这个不同教材，不同的记法，大家明白一下， 即我 a 中任何一个元素，我这里面必须得都有像这个关系，我们的这个里面有三个元素，一二三则一一二二三三，我都得在里面。 ok， 这个关系就是自反的。自反就是说相同元 a 中相同元素的所有内容都在这里面，这就是自反的， 而非自反的，是这个一一二二，没有这个一二一二二二三二三。所以自反性，大家要明白后面求自反 b 包需要的同样的反自反性也是反，自反性跟他完全反过来，我 a 中所有的元素 a， 我 全都不在里面，刚刚刚刚是我全都在，现在是我全都不在， 那么我们看到这个，这个就是反字反的，也就是我一斗一这种两个元素相同元素，他一个都没有，而这个就不是反字反的，他里面有一个，而同样这个也不是字反的，因为他说的他要求每一个元素都属于里面，所以他不是反字反的。 ok， 打反转一下对称性，对称性就相当于对称矩阵的感觉一样。 ok， 我 们的一斗二在里面，我们的二斗一也必须在里面，比如说我们的呃一斗一在里面，不是，比如说我们有个集合，三斗四在里面，那么四斗三也必须在这个二元关系里，就这么简单。像这个就不对称的，因为 没有二而一，这就是对称性。而反对称性就是说我有一组变量，他的反对称变量绝对不能在到里面，可以看到这个他就反对称的，因为我二斗一和三斗二都不在，而这关系就是反，就不是反对称的， 因为他一斗二和二斗一都在里面，我一个相反量居然都在里面，那不行啊，那肯定不是反资。反反对称性， 而传递性则是相当于相当于我 a 到 b， 然后 b 到 c， 相当于说我给他有个传递。当然这个只是一个简单讲，具体原理是这样的，我 ab 属于这个二元关系， bc 也属于二元关系，那么 ac 也属于，就这么简单， 而这个里面我一二属于，二三属于，那么我一三肯定也在里边，这就属于一个传递的例子，而这个一二在里面，二三在里面，但我的一三却不在里面，则我就不是传递的，所以传递性就是如此，我必须两个都两个， 两个东西他们的传递量在才可以就是传递性。举好例子给大家讲明白，而表格法就是说我把刚刚的东西用表格表示出来，就是说我把它表格，而同样的话可以用矩阵表示出来，我们后面用到的最多的就是矩阵， 比如说他们的关系 r， 他 们的 account， 我 可以给你们给他这样表示，这样，一而一，一而二，二而一，二二这样。 而同样的，这就是我们刚刚说的这几个性质。我再强调一遍，所有的 a 都有它，所有的 a 都没有它，这是一对对称与反对称，就是说有 a a 都 b 属于，那我 b 都 a 就 不属于。 那么反对者就是如果有 a 豆 b 属于那我，那我两个都属于的话，那我只能相等，我不可能说是我都属于。而传递性就是 a 豆 b 相， b 豆 b 在 里面， b 豆 c 在 里面，则 a 豆 c 也在里面。再给大家强调一遍，这东西你看起来不难，但是后面学习它都是需要用到的。 学员表示法就是这样喽，刚刚我们把它关系想成一个主根，我们 我们可以看到一斗一，二斗二在里面，那我们对应的元素给它弄成一，这就这就结束了。这就是矩阵的简单表示，大家可以了解一下。后面求那个 b 包矩阵表示是已经需要的，这些东西很基础，不给大家详细讲，浪费大家时间。 而同样的，他的矩阵表示法就这样的，那我自反信，那我对角线上的都在喽，那我就是一反自反信，我对角线上肯定都是零喽，那对称信，那我 a i j 在 那，我的 a j i 也得在那我的反对信， 如果，如果我的 a i g 和 a j i 都在那我，那那么它只能在主主源上，而不能在对应的对称的位置上。那传递性，如果，如果这两个是一，那么它们也必然在，就是用矩阵方法给它表示一下，仅此而已。 这些性质很重要，我们有相对应的立体在后面，当然前两节课是基础部分，大家一定要，大家可能听得没有难度，但是一定要打起精神，后面当然前两节课就到此为止。

离散数学主要研究离散对象和结构，这些对象可以是整数图集合、布尔代数等。离散性意味着这些对象可以被单独列举，而不是像实数轴上的点那样连续变化。离散数学的核心概念包括集合论、逻辑学、图论和数论等。 集合论是研究集合及其性质的数学分支。逻辑学关注推理的性质，数论则专注于整数的性质。 集合论是现代数学的基础，它提供了描述和处理数学对象的基本语言。集合可以包含任何类型的元素，包括数字、符号甚至其他。集合 论的基本概念包括空集、子集、病集、焦集、密集等。逻辑学是研究推理的学科，他在离散数学中扮演着直观重要的角色。命题逻辑和谓词逻辑是逻辑学的两个主要分支，他们提供了形式化推理的基础。 图论是研究图的结构和性质的数学分支。图由节点或顶点和连接这些节点的编组成。图论在离散数学中占有重要地位，因为它提供了一种直观而强大的方式来描述和分析复杂系统。图论的应用广泛，包括网络设计、路径优化、社交网络分析等。 在图论中常见的概念包括联通性、最短路径、生成、数匹配等。数论是研究整数的性质的数学分支。 尽管述论看似抽象，但它在密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。述论的基本概念包括质数、整除、性同余魔运算等。费马小定律、欧拉定律和中国剩余定律等。述论中的经典定律在密码学算法的设计中发挥着关键作用。 离散数学中包含着许多重要的定律，这些定律不仅具有理论价值，还在实际应用中发挥着重要作用。以下列举几个典型的例子，割潮原理割潮原理或抽屉原理是组合数学中的一个基本原理。它表明如果将 n 加一个物体放入 n 个容器中，则至少有一个容器包含两个或更多的物体。 割潮原理在算法分析、密码学等领域有着广泛的应用。科尼西因里科尼西因里是图论中的一个重要定律，它表明在一个二分图中，如果每一侧的节点集合都可以覆盖所有的边，则存在一个完美匹配。科尼西因里在匹配理论、网络流问题等领域有着广泛的应用。 欧拉回路定律欧拉回路定律是图论中的一个经典定律，它表明一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图是连通的，且所有节点的度数都是偶数。 欧拉回路定律在履行商问题、网络设计等领域有着广泛的应用。离散数学在计算机科学中发挥着直观重要的作用，它是算法设计、数据结构、数据库系统、计算机网络、软件工程等领域的基础。 以下列出几个典型的应用场景，算法设计与分析、数据结构与数据库系统、计算机网络与信息安全。

大家好，我是蚂蚁期末科研团队的肖老师，本节课由我继续为大家讲述离散数学期末突击课，希望大家期末考试不挂科。 本节课承接前面两节课的内容，我们我们要给出以下两个知识点，第一个，二元关系的运算，第二个，求传递 b 包。 二元关系的运算则是一个基础，有了这个运算基础，我们才能进入后面传递。而求传递币包则是在已有二元关系基础上，我给他添加一些元素，变成一个新的二元关系，新的二元关系就是我们的传递币包，而具体形式我们一会慢慢一个一个去讲解。 首先我们看定义，第一个 r 和 s 的 合成关系，只有相当于就相当于传递关系，即我 a 斗 b， 在 这个里面，在这个 r 关系里面，我 b 斗 c， 在 s 关系里面，那么他俩的合成就是 a 斗 c。 而举例子，设 a 是 这样， b 是 这样，那关系 r 则是这样的，关系 s 是 这样的，那么 r 和 s 给它进行一个合成，就是如图所示，积我 a 和 a 对 应，变成合成一斗一， b 和 b 对 应，我弄成二斗二，这是二元关系的合成关系运算，需要注意这一点，和前面的传递关系它是一样的，大家要明白。 而二元关系的逆，二元关系的逆则是将它反过来，就是将这些元素每个元素给它调一个顺序给它反过来，一斗二变成二斗一，三斗四变成四斗三，这就是二元关系的逆。 知道这两个东西以后，我们接下来就可以求传递币包了，需要明。再次明白的是，传递币包大家可能 暂时不了解，我来给大家快速的讲明白，何为传递币包？就是将关系扩展到满足某种特定性质的最小关系。所以你现在问我什么是传递币包？答，它是一个最小关系，它也是一个 r 或者 r 心的一个最小关系。而这个关系它有什么特点呢？它则是使原有关系自反 的扩展，最小扩展就叫自反币包，而使原有关系对称的扩展则是最小扩展则是对称币包。而使原有关系 传递的一个最小扩展则是传递币包。而现在我回答清楚你了，何为币包？币包就是在原有关系的基础上，给他加一些元素，加了这些元素合成以后的新关系，他达到了自反性，达到了对称性，达到了传递性， 就是 b 包的意思。那我们看一个例子，那比如说我们，我们来看关系这个，那我们如何给他加元素，让他变成自反。 b 包又是让这个关系加什么元素，我们让他变成自反的呢？ 哦？答，我们要将 a 中所有的元素全部取出来，并且每个元素都弄成相同的样子，恒等的样子给他，显示 a 中有一二三，则我们的儿中一一二二三三必须全部都有，这就完成了我们自反包球，即在原有关系的基础上，我进行了扩展合成的新关系，而新满足了自反性，这就是我们儿关系的自反必包。而用矩阵的形式来表达，就是将原有儿关系的矩阵表示的 单位元素全部弄成一，这就是我们的自量表。而我们的对称币包则是在原有关系基础上，我们将它的对称元素全部加进来，也就是它的逆给它加进来，即我们看到了 把一到二的一到二反过来，二到一加进来，二到三到四反过来，四到三加进来，就是我们的乘以表，是将原有地方是一的地方，它对称位置给它再变成一，这就是我们矩阵简单的表示对称币包。 而我们的传递 b 包则是这个就复杂一点的，而是在原有关系基础上，哦，这两个关系居然可以合成变成一六三， 好，那我们就将他的传递 b 包一六三加入进去，这弄成新传递 b 包，就是我们的传递 b 包 r t。 所以 你可以明白何为 b 包运算，就是在原何为 b 包 b 包就是二元关系，何为 b 包运算，就是在把原有的二元关系我加一些元素变成自反的，变成对称的，变成传递的。 如何变成自反的，则我给他加入些元素，让这个新的二元关系变成自反的。如何对称 b 包，则我将原有的旧关系加入元素变成新的关系，这个新的关系满足对称性。 如何是传递 b 包？在我原有关系技术上，我给他加入些元素，我让这个新的关系满足传递性，这就是二元关系 b 包运算，它本质上是二元关系，在二元关系的基础上加些元素，用矩阵的方法则是让一些零的位置变成一，这又是二元关系 b 包运算的全部逻辑，大家要明白清楚。 接下来我们来详细的去讲述例题。首先我们可以看到这叫 warshall 算法，我们有个集合和关系，我们可以看到 a 一 二 a 二三 a 三四 a 五一 a 五四，我们把对应元素转化成一，这就是它的关系矩阵啊，当然这个，这个有点细，这个打错了，这个应该 m， 我们可以看到 a 一 a 二就是一行二列 a 二， a 三就是二行三列 a 三， a 四就是三行四列 a 五， a 一 就是五行一列 a 五， a 四就是五行四列，这就是我们的关系矩阵。我们现在要进行布尔预算，首先我要告诉你什么叫布尔预算，比如说一加零等于多少，他还是一，这就是基础预算。比如一加一等于多少，我还是一，就是布尔预算，我零加零等于多少？答，我还是零，我零 加一还是一，这就是布尔运算。则他们只要有一个一在他们的加法中出现，则他的值就是一，如果都是零的话则为零。有一个一的话，他的值即为一，就是布尔运算。 而明白布尔运算以后，我们接下来用一个简单方法来表示这个传递币包如何？求大家跟我的步骤行，不用听，不用去理解，他直接跟我的步骤就没有问题，这是我在本科时候学的方法。 首先我们看到此元素的第一列，此矩阵的第一列是不是只有 m 五一是一啊？我们看接下来哦，第一列只有 m 五一是一，那我们就要将第一行的所有值给它布尔加到第五行上。我再重复一遍，我们看到第一列的 m 五一的值是一，则我们要将 第一行的所有值不尔相加到第五行上。又说我 m 五一的值是一，那我就要将它列元素代表的行业就是第一行加到第五行上，那我可以看到我的第一行加到第五行上对应多少呢？ 所以零加一是一，一加零是一，零加零是零，零加一是零，加零是零，则我的第五行就更新成了 幺幺零幺零，我们看是不是幺幺零幺零，我第五行更新的剩下的不变，这就是完成的第一步，即我们从第一列开始，我们选择了一个，我们看到一个元素值是一，所以我们要将这个元素的 给它进行这样一个算，而我们在这个矩阵的基础上，我们要进行第二步运算，我们第一第一步的运算就是在第二列，第三列，第四步就是第四列等等等等，如此而已，那我们考虑第二列的该，而第二列值，此时我们看到的。 在我们刚出小几中，我们要看第二列有一个是一，有一个还是一，即我们的 m 一 二和 m 五二都是一。 那我此时要做的东西就是将第二行分别加到第一行和第五行上就可以。那我第二行加到第一行上和第五行上，你看我出来是不是这个，我的第二行加第一行上，这些都是零，他们都出来都是零，不用管，而这些相差些都是一，所以第一行变更成了零，一一零零，而我加到第五行上， 这些这两个值都是一，这个值是零，这个值是一，这个值是零，所以是一，一零一零则是 则我们可以看到，哦，是在第二行加第五行，不好意思，是第二行加第五行上，呃，我刚刚是第三行了，看成第二行加第五行，那很这些值都是零，它的布尔值不变，给它加下来，而只是变的值是一，加零等于一，即我们变成了这个，所以我们将第二行分别加第五行，加第五行和第一行更新成了这两个。 好，这就是我们第二列的内容，我们完成了，所以大家要明白， 我们每一列都要做如相似的运算，而每一列，而我们第二列求完以后的卷就是这样的，考虑完第二列，那我们要在第二列卷上考虑第三列还是一样，那我，那我第三列什么？ 我第一行，那我的 m 一 三， m 一 三， m 一 三，这是一。将第三行分别加到第一行、第二行、第五行上，我们就可以得到如下的数字，我们第三行加到第一行、第二行、第五行上，那我们能得到什么？我们第一行被更新成什么呢？ 我们第三行只有一个指是一，那我们第一行就零一一一零了，我们第二行也是零零一一零，那我们第五行不更更新成什么了呢？我们第三行加第五行发现没有变化，因为就是刚刚不往下就没有变化，一一一一零，我们看是不是 零一零零零一零，哦，没有问题。好，就是我们第三列完了，在，我们在第三列，突然就在第四列同样的给它进行计算，即像第四行 这些东西都等于我们将第四行分别加到布尔加第一行、第二行、第五行上，哎，矩阵没有改变，而第五行此时没有了 e， 那 我们就不管了，我们把五列都这样便利了。好，我们最后得到这个矩阵，就是 他的传递 b 包的矩阵表示法，我们看，看见我们这几个多了些 e， 每多一个 e， 就 意味着我们往进加进了某一些元素，这就是我们的传递 b 包，这个是函数算法，求传递 b 包的具体过程，我给他讲一下，我再总结一下， 首先我们要把关系学生写出来，其次我们根据每一列非非零的，也就是一的元素，我们进行给他一个不尔运算， 第一列运算完得到矩阵，我们再进看他第二列进行，第二列运算得到矩阵，我们要给他第三看，第三列进行。如是而已，你最后会走到这个矩阵的最终形式，你不需要管他为什么，但这样做就是对着 这就是传递 b 包的算法，大家可以看到传递 b 包算是一个比较难的，但是你熟练了以后，它非常非常的简单， 这就是传递 b 包，我不再强调，大家一定要认真认真的看，那我们可以看到我们这的一行三列， a 一 a 三加进来了，我们看看 a 一 a 三加进来吗？我们随便验证一下。 a 一 a 三就是一行三列，我们加进来了吗？我们的一行三列，哎，加进来了，说明就原有基础上我们给它加进来了，大家可以剩下都自己去给它验证一下，那这个再验证一下，那我的 a 二 a 四加进来了吗？那我看看二行四列是不是一啊？ 二行四列，哦，果真是一，那我们再看看，我们再验证验证，我们看还有什么 哦，好像暂时是哦，还有这个 a 五 a 一， 那五行一列是，那五行一列是一吗？哦，是一啊，原来， 那我们再看看还有什么 好。接下来的东西我就不给大家浪费时间弄了，大家自行去验证一下，这个东西一定是没有问题的， 所以大家可以知道这个算法为什么是这样的呢？他其实是根据这个算法弄出来的一个简单的方法，而大家因为是期末考试的关系，我们不需要去详述他为什么这样做，大家学会这个题目的方法，直接做就好，所以， 所以我们这个内容就讲到这，哦，这还有个 a 五二，大家可以看一看有没有更新到哦，更新到了 哦，那我们就全都更新到了，原来原来我们已经全都更新到了，大家可以看还有吗？我们再便利一下，那 a 一 a 二，那我们去弄， 只能弄出来刚刚说那些东西，那我们这些内容就到此为止。传记 b 包也给大家验证了一下，没有什么问题，补进来了这些已有的元素， 而我们，而我们在这个的基础上，我们可以看到还有什么元素加进来了呢？哦，原来的 a 一 四还加进来了，那一行四列可以加进来吗？当然可以加进来，我们把一一行四列加进来，就是 a 一 四， 所以我们这些东西就都验证完毕了。好，我们来开始求对称 b 包， 而对称 b 包则是关系 r 的 临界矩阵 a， 它的对称 b 包，临界矩阵 b 可以 通过一下子，这也就是我说的嘛，对称 b 包就是说把它的元素的对称给它拿上就行，也就是说原来我这有个元素，我给它对称一下，不就是加上它的转置吗？就是它 还有自反 b 包，则是将它的主对角元素上全部变成一，这就是求它的自反 b 包，把它矩阵就这样子的，那我们有关系啊，它临界矩阵是这样的，我们给它整出来了， 求它的自反 b 包，则是将它对角主圆上变成一求它对角 b 包则是加它 a， 它的转字，则我们可以看到如下的如下的结果。 好的，这就是本节课所有的内容，大家一定要去认真地观看，认真地理解好这三种 b 包运算的求解方法。

同学们好，我是蚂蚁期末团队的肖老师，本节课继续给大家讲理想数学期末突击课，希望大家期末考试不挂科。 本节课的内容仅称上节课关系，也就是关系的最后一块内容，等价关系和偏序关系。等价关系中有一个求急的一种类型题，偏序关系有一个哈斯特，当然是哈斯特不一定考，但是要给大家讲到 我们来直接开始。首先何为等价关系啊？这个关系他首先是二元关系，就是我们刚刚说的何为二元关系，他是迪卡尔级的子级。比如说我们有这样一个二元关系，他这个二元关系他必须满足以下的性质，就是我们第一节课提到的。 首先是自反性，就是所有 a 属于 a， 那 么 a a a 逗 a 必须属于到这个里面，那么对称性，如果 a 逗 b 属于，那么 b 逗 a 也得属于 r。 所以我们可以看到资本学对人性满足，我们还要满足传递性，即三大性质都满足的二元关系，我们又称为等价关系。所以你问什么是等价关系？就是满足三种性质的一种。一个普通关系就是等价关系。而我们的等价类是什么呢？ 则我们对于每个元素属于 a， 我 们等加类定义为如下，也就是说我们这个 a， 首先它是元素，它是元素的形式， 而其次 a 作为元，而其次 a 作为二元关系的第一个变量，我要把后面的所有 x 都给它收集过来，就是我二元关系里含有的所有的这样的二元数值给它拿过来， 我们把 a 等于，比如说 a 等于一东西摘过来，我们把一后面对应那个所有 x 值都给它放这个元素里，这又是我们的一个类，而跟这些等加类，我们能把这个集合进行一个划分。大家可能听的有一点不明白，我们一会一讲例子，大家会明白的， 而等加类是等加关系中很容易考的一个题，而商级就是在原有等加类的基础上给它划分，这个我们一会可以给大家讲到，就是根据我们等加类把原有几何进行划分， 对，这就是刚刚的划分操作。而我们来直接看到一个例题，首先 a 很 等于 b 魔三， 那么这个表示 a 和 b 两个数除以三得到的余数都相同。给了大家一些例子，大家要明白这个什么关系，而大家可以看到， 那么那么我想问这个关系里面的这个关系里面，我们定义 r 是 它，就是我们刚说这关系，那我们满足自反信吗？ 也就是说我 a 和 b 两个数除以三得到余数相同，那我，那我 b b 逗 a 呢？ b 逗 a 不 就表示我 b 和 a 除以三的余数相同，那肯定还是相同的呀，毕竟他们就调了个顺序而已，但值也没有变呀。那对称性呢？ 那我的 a 逗 b， 在 这个里面，它们除以三的余数相同，那我的 b 逗 a 难道就不相同了吗？当然相同了，对称性，而自反性则是那对所有的 a 属于 a， 二者 二者除以三，两个数都一样，那它们除以三的余数肯定也相同啊，所以自反性也满足，那我们再看 则传递性是否满足，也就是 a 和 b 都可以除以三余数相同， b 和 c 除以三余数也相同，那么 a 和三除， a 和 a 和 c 除以的余数也相同吗？那当然也相同，那 a 和 b 的 余数相同， b 和 c 的 余数相同，那它们余数可不都一样吗？所以它们，所以因此这个 r 他就是一个等价关系，就是自反性。他可能会考，你问你这个关系他是不是自反性啊？你就要这三个性质都给他走一遍，然后你说这个关系就是自反关系。好的，我们来看到， 我们来看到它的关系矩阵，这样我们表示出来就是说关系矩阵，就是说，比如说我的一逗一属于 r， 那 我给它一行一列给它标出来就 ok 了，一行一列给它直变成一就 ok 了。那这些东西都讲过， 那关系矩阵 r 我 们得到了，接下来我们想要得到它的等价类，该如何得到等价类呢？我们可以看到 等加类，我说了等加类，比如说我一的等加类，则我要看一，也就是首元是一，末元我现在不知道，我要找这些末元的元素都给它加进来。 首先我们看到一，也就是第一行哦，第一行，第一列哦，末源元素有一个一，第一行，第四列，还有一个四，比如说我一四都在里面，所以我的 a 的 等加类就是一逗号四，同样我的二的等加类就是二和五，也就是我二的等价类是二和五， 那我三的等价类呢？那可以看到是三和六，我们不妨看看对不对？ 哎，没有问题，这个是我们的等加类弄出来的，何为商级呢？就是将这些等加类给他们弄到一块，因为这些等加类已经满足了 a 中所有的元素，一二三四五六。可能你有问题，那我为什么不考虑四，不考虑，我不考虑六呢？ 我为了，我为了讲全面，我一会告诉你这个答案，请你先记着，那我的集合划分就是如此，我将这个集合根据这个划分了。那你刚刚说的我等加的四五六呢？你会发现四五六出来的结果和 一二三一样。为什么一样呢？因为其满足自反性、对称性、传递性。它本身就是一个主元为一的对称矩阵，也满足传递性，所以它当然有对称性，给它对称过来，它是答案是一样的，不信我们来看。 第四行，我还是第一行和第四行，那么第五个呢？我还是二和五，那么第三个呢？还是三和六？第六一样的。而反对称性，而偏序关系， 偏序关系则是它满足自反性，也满足刚刚的传递性，但是它是反对称性的。反对称性我说过 a 兜 b 属于圆， b 兜 a 都不属于圆，如果 b 兜 a 属于圆，那它两个值一定相等，这就是其反对称性。同样的反对称性，我给到你一个例子， 你要去自行验证他是否满足这三个，我可以告诉你，他已满足这三个。这考试是会出这种类型的题的。同样，这三个步骤都走一遍，跟刚刚的，跟刚刚的等价关系是一样的。而偏序关系还有一个点是这样的，他是哈斯特的会制， 那在会制哈说这个哈数之前，我要先说其自反型，再给大家带一遍吧。每个数都能整除自身，那不用说， 那 a 整除 b， b 整除 b 整除 a， 则 a 等于 b 满足其反对成形，因为互为整除的，那么它一定得相等 而传递性 a 如果整除 b， b 如果整除 c， 那 毫无疑问啊，这是最明显的，所以大家考试要把这三点都写上去，漏一点你都会被扣分的。这是一种题型，就和我们刚刚的等价等价划分一样， 就是这里它是一种题型。而我们接下来看哈斯特的会制， 你根据这个可以绘出以上的哈斯图，而这个哈斯图中我们可以找到它最下面的就相当于二叉树中的叶子一样，它就是极小圆，而最上面顶峰就是极大圆。而二和三没有建立一个整除关系，那么它就是反链， 这就是对它一个图的直观解释。而如何绘制这个哈斯图呢？ 其实很简单，位置哈斯图就是我一可以整除所有数，则它要放到最下面，那么我有一个二可以整除四和十二，我先给它摆上，三可以整除六和十二我也给它摆上。那四可以整十二我给它摆上， 然后这两个十二给它一合并，这一给它们勾起来关系，我们就可以得到。这个哈斯图非常简单， 就是偏序关系，而本节课这两种关系，它每等价关系稍微复杂，它除了判断等价关系以外，它还涉及到了一个将集合划分 的一种题，也就是两种题，等价关系，一种是确定自它是否为等价关系，根据这三角判断，一种是确定它的集合划分，而第二种偏序关系则是 还是要确定它是否是偏序关系。同时 pass 头要会绘制这几小圆，几大圆，反面，这些关系定义需要会表述，这就是等价关系和偏序关系。好，本节课的内容到此结束。

同学们好，我是蚂蚁期末科研团队的肖老师，本节课来讲理想数学期末突击课。首先我们讲第一节比较基础的章节，这章分为三个知识点， 这章分为三个知识点，分别是集合的概念，集合的运算，包含排斥原理。这些东西都是在高中都接触过的，我们快速过主要是勾起你这些东西的回忆，因为他的学习指引到你后面的所有东西的学习。 首先第一个概念集，集合的概念集合，元素集合，基数集合，我不多说，元素，也不多说，高中接触过的概念，集合的基础要注意一下，它就是表示集合里面元素的个数既作 a 的 a 的 绝对值，当然有些教材写的是 pa， 当然这看你自己的教材对应的内容。 ok， 这个元素一二三四五，他求集合 a 的 基础，那么他有五个， ok， 这就是概念，概念带过就可以。我不去细讲这些东西，大家都是非常简单的。首先集合的表示法，描述法，列表法就列出来，描述法就是运用个东西表示他的性质，给他写上，那我就用描述法， 这是一个集合，这是列表法，一个集合好，这是他的两种表示方法。那么子集和密集相对来说也是学过的概念，那么 a 的 每 a 的 子集不用说，就是 a 属于 b， a 的 集合个数小于等于 b， 而密集则是集合 a 所有的子集构成的密集，即为 p a。 当然不同教材不一样，大家要根据自己教材去想。 首先集合 d 是 他求 d 的 密集，那我空集单独的个数和总的全集，那这就是我的密集个数，就是简单的概念，而第四个两个特殊集合，全集和空集，你乍一看，这样的概念我们都学过，但是请记住，全集和空集在后面的很多概念中有决定性的作用，那这个例子我也不用大家讲，我也不用去讲了，那全集和 普及这些概念，以及全集空集都是非常简单的密集的个数，如果我的密集包含的所有子集，如果 a 中有 n 个元素，则 a 的 密集包含二 n 个子集，这就这就不用多说了，有看一二三四五六七八，这就是 所有的密集沟，这个都是大家高中接触过的，点到为止。而集合的运算也要跟运算，大家要注意啊，你现在可能看的非常简单，但是到后面怕你混到具体逻辑那里。 a、 b 很 简单，就是它们都合起来，与此同时后面有一个 a 和 b 的 差， a 和 b 的 对称差，你要注意交运算就是它们合起来，这不用多讲，这都很简单。 而它的补运算就是说我优是这个，我 a 是 这个， a 的 集合部分就是 a 的 补集， 而对称差运算大家需要注意 a、 d 和 b 当然不同，教材也有，也有的教材是 a 加 b， 这个看你自己的教材，它就是说 a 和 b 的 并集中扣除 a 和 b 交集的部分，即为和 b 的 并集，并且是一二三四五，扣除交集部分。三，那我剩下的元素就是一二四五，就是对称差运算，你要注意到， 而集合的预算定义分配率，这就这就不用了，这这就是大家注意，就是这个符号，他们中间的符号是要在外面的，然后剩下两个都在里面， 这个大家要非常详细的去了解，因为你现在开始简单，后面都需要用到，就是一个像工具一样的东西，这些例子大家看过一眼就行了，当然可能我打 ppt 的 时候有些错误，但是这个简单东西大家应该应该这是已经掌握的，我只带去过一遍， 而针对吸收率，这就是这样的。而针对得膜根率，这个很重要，这个很重要，这个很重要，后期一定要会用到的，它就是 a 交 b 的 逆，然后等于 a 逆的 b， b 逆， a 并 b 的 那个逆等于 a 逆加上 b 逆，你要注意这就是两个，两个结合上面加上逆，然后再给它们中间的符号变换，就是它得魔根，这个非常重要，非常非常重要。那我先来去， 那我们看一个例题吧，这么重要的，那 a a 并 b， 首先它是一、二、三， 他的去补习，那就是那就是四，而 a 的 补习和 b 的 补习给出来的，所以 a 的 补习并不有就是四。当然这个例子很简单，我们不多说，不浪费大时间，包含排斥原理，对于一些学校来说是一 b 出的一个小题，甚至有些普通点的学校它就是一个大题，而这个就是最简单的一个公式的运用，给出二阶和三阶的形式， a 并 b 等于 a 的 集合的个数，加 b 的 集合个数，减去 a 交 b 集合的个数，而 a 而 a 并 b 并 c， 等于等于三个集合个数加起来减去所有两个集合取交集的个数，再加上 呃，它们三个集合取交集的个数。这个东西大家一定要去明白，好，去理解好 这公式记住就行。我们来仔细看一个题型，好，我们看到本班有四十名学生喜欢数学，我们记作 a， 喜欢物理我们记作 b， 有 这些人两者都喜欢，就是 a 交 b， 那至少选一种，那不就是 a b 一 b 吗？那我们代入公式就可以得出来，他题目中何可能会给你，给你这个数据，会让你求这个，这些数据都有可能的，这些东西未知量我都可以任意的改变去弄这个东西就是一个小题的分量，大题吧，也就是你把每个东西描述下来，你套公式即可解决，这就是套公式。 而针对三个三种几何情况套公式，那我喜欢数学的，我继承 a， 喜欢物理的继承 b， 喜欢化学的继承 c， 同样的，它们这些都是对应的，我给你直接写好了， 然后它们同时喜欢的求至少选一个，还是带公式。而你注意，考试中我可以问你，我可以给定你 其把这个东西我变成已知的，而我问你，这其中的某一个东西，我给他直接弄成未知，都有可能的，你要根据考试的题目具体去了解清楚，这又是刚刚的公式，套路不多，浪费大家时间。因为本课程的知识点非常细碎，所以我们要给出时间给后面的课程，而这节课的内容就到此为止。

同学们大家好，本节课我来给大家继续讲数理散数学，希望大家期末考试不挂科。本节课结，在结束讨论之后，我们要新开一个课，叫逻辑，而逻辑涉及到命题的基本知识，还有永真式和推理，还有最后一个范式， 而发式可以明说明为推理的一个规范化，它就是用一个规范的步骤弄出来。命题的基本知识则是一些我们曾经接触过很多次的，比如说否屁命题，否 q 命题等等等一些的内容。 而你要注意的是命题基本知识他在我们的高中提到过，在我们的大学中也学过，他是数字逻辑中的一个重要的部分。而本而本课程要讲的命题基本知识则是以下比较简单的，我涉及到考点的我会讲。 好，接下来我们开始。第一，命题和介词命题是什么？是具有判断内容语句它的，它有一个值，真值是 t 或者是 f， 它确定真值的陈述句才是命题。比如说今天天气好美呀，哎，这是，这是感叹句，这不是命题。还有 比如说我今天，比如说今天我们要去看电影吗？这是一个疑问句，我也没有确定它弄的它不是，它必须有个陈述句。 所以说原子命题就是不能分解为更简单的陈述语句。而复合命题就是连接词、标点符号和原子命题构成的，比如说 p 并 q 这种，这就是复合命题。当另一个 p， 它就是原子命题，不能再简化的命题。 所以你一定要非常清楚的明白，命题它就是陈述具有真值。其次，命题的分类有原子和复合，这部分就到此为止，而这部分和我们接下来要谈的东西密切相关。 ok， 我 们接下来就要看到连接词哦，这里就要给你真值表了，这些连接词的真值你必须清楚。 比如说我以 p 命题，当我给 p 命题负 t 值和 f 值，那否命题呢？否命题就是对命题的否定，则我要念 f 值，对命题的对假命题的否定就是真，命题就是 t 值，这个要明白，就是相反了。 而合取合为何取？其实就是在集合的角度看，他就是像是取病机一样，但是在我们逻辑这里，命体这里，我们叫它为 合取，合取就是病，合取合在一起吗？就是把它们合一块，合一块肯定有些东西要没有的，那我们就把它称为合取。合取我们也看到合取就是两个东西都得是真的时候，他们才是真。另外只要有个假掺在一块，那他就是假， 就是合取。而在了解到合取以后，我们现在要去了解到吸取，吸取就相当于病的样子， 而只有当它们同时为假的时候，它才是假，剩下都是真。你看，只要它涉及一个层面题，它就是真，它同时为假则为假，就是吸取这一部分的内容。 而排斥吸取是什么呢？排斥就是排斥嘛，就是说二者相等的时候，同是同为假或同为真的时候是假，二者不相同的时候，一真一假，一假一真则是真，这是排斥吸取用的不多，但是要给大家介绍一下，当然还有条件， 条件 p 推 q， 它有一个等价的，并且这个后面也会用到的叫否屁并上 q， 否屁和 q 的 吸取，这是它们是等价的， 也就是说我们来看否屁并 q， 也就是 t 否屁并 q， 也就是这个就是 t 并 f， 那 当然是 t 喽否屁并 q， t 并 t， 当然也是 t 喽。 否 q 否 q 比 b， 这个就是 f 并 t， 当然还是 t 喽否 q 比 p， f 并 f， 当然是 f 喽，所以这个没讲，这个后面要是高度使用的 p 推 q， 等价于你遇到这个，你就能把它写成否 p 吸取 q， 一定要明白这一点。好，我们这个就讲到这，那还有双条件，就是两个都是真，他们才是真，两个都是假，你看到两个都是真，他们才是真。剩下一个只要有一个两个都是 假的时候，他们也是真，那一真一假他们就是假，这是双条件。双条件也用的比较少，但是要给大家介绍的同时，我们还要注意到我们还有个命题符号化，何为符号化？比如说命题 p 是 天下雪， q 是 去看电影，而是有时间，天不下雪就是否屁， 如果天不下雪就是否屁推 q， 我 们去看电影就是，这就是命题，就是我把命题型，我把我把平常的这几些文字给它弄成命题，然后文字表达逻辑，用命题给它表达出来，就这么简单，就是将文字变成我们刚刚命题符号的格式。 二、同样的，我们可以看到有逻辑等价，也就是我刚刚说的 p 推 q， 它等价于否 p 并上 q， 否 p 与 q 的 吸取， 这就是如此。我们可以看到这些真值和这些真值 t t f t 和刚刚是一样的， t t f t f f f t 它们只要它们各部分量只配的真值，而确定命名公式的真值就是真值表。而所玩我们刚已经用的真值表概念，而只要它们的真值， 两个命题，我是 a b， 在 分到不同的值牌情况下，它们的真值总是相同的，那么我就可以说这两个命题是等价的，即负 p b n q 和 p e 推 q， 它们的真值在 p q 负不同的值下，它们总是相等，它们值，则这两个就是相互等价的。 所以你也看到有些这个否否否，那就是这个密等率及 p 变 p 和 p 一 样， p 交 p 和 p 也一样，这个结合率就不用说了，这很简单，交换率也同样如此。而分配率则是 就还是跟我们之前集合的一样嘛。那我们把它给它并交起来，这些都是最基本吸收率。 p 及 p 并 p， p 并 p 交 q， 那 这个东西肯定比 p 小 呀。 p p 小 的东西还包括 p， 那 p 并它就变成 p 了，这个也同理。摩根率则是否 就是两个命题取否中间变号，两个命题取否中间变号，这就是摩根率。而同一律 p 并 f， 则是 p， p 并 t， p 交上 f， 也就是说它和 p 是 等价的，而 p 和真值取和 p 合取于真值 t， 则它能推出来的是 p。 所以 啊，你可以明白的是这些，你要记住，频率 p 并上真值，那毫无疑问就是真值了呗。 p 交上 p 交上假的值，毫无疑问，它跟假的值就是一样的呢， 所以也就是 p 并上真值，那么它就是恒为真值了。那 p 交上假的，那它永远就是假的。而同一律 p， 只要 吸取上假的，那我那 p 既然是吸取上假的，那我就还是跟原来的 p 是 一样的，那我吸取这个假的不就没用吗？那么 p 如果合取上，合取上 t， 那就是我，我 t 就 相当于是一个，这你就可以看，我 t 就 相当于是一个那种全级的感觉，而我的 f 相当于是一个空级的感觉，就是这样的。 所以你从这样理解的话，你就能完全明白这两个公式了。 f 想成全级，而 p 想成空级，你就可以想而否定你。 p 教育系，那可不是那一个事，不是真的就是假的呗。那一个事喊的又真又假，那当然是否的了，这是否定率，这些东西都要记住啊，刚刚说的一遍都必须记住。 毫无疑问的是，这将是决定本章大体是否能做出来的非常重要的重点。而与此同时还有待会规则，待会规则是这样的， 即我们有两个 a 公式，等价，如果在 min 体 c 中出现 a 地方，用 b 替换以后得到 d， 也就是说我的 a， 我 的 a， 它可以等价成一个别的东西，我的 b 也可以等价成别的东西。等价成 b， 我 a 的 东西可以等价成 c， p 中可等其我 c 跟 d 也是等价的，就相当于一个传递性嘛，对吧？而这样简单的东西，我们要用一个立体来讲，我来一步一步带大家做这个立体。 首先我们要证明它等价，那我们就把这个东西普通等价其实给它划过来，不用刚刚的等价式。首先 p 交上它，我说过了， p， p 推 q， 就是 否 p 并 q， 我 们弄起来，而它又它又，它直接给它乘出来，即 p 并 p。 哦，这个就是假永假式啊，那这个呢？永假式交换，这个 p 并 q 出来了，刚刚我们求的那个命题， 所以就这么简单，这个事就是把刚刚东西应用上来就可以。所以这个题再跟大家说一遍这个题最重要的点，大家要不但要明白这个题怎么做，还要明白的一点是 这两者是等价的，明白。而永假式也就是相当于把它想成空集，那空集并上一个集合， 那不还是这个集合本身吗？那不还是 p 并 q 吗？对吧？你就按它把它 f 想成空集，然后 t 想成这个大全集，这不就一下都通了吗？你就不用那么别扭的去想了，当然你有自己理解更好， ok。 永真式和推理何为永真式？即黑 b 是 命题公式，如果 a 推 b 这个值永远是真的，则称 a 永真与海 b 及 a 双箭投 b， 则我们如何证明它永真式，则要证明它这个式永远是 t。 那 么如何证明它是 t 呢？即 我们我们刚刚说的这个东西就是否屁并屁这个等价形式。然后我们给它拆出来，就是 否 p 并上否 q 并 p， 那 p 变否 p 就是 真值了。真值并上否 q， 我 们把真值上成全级，那全级比任何级的都大，那我并成的当然是全级真值了。所以我们就证得这个东西它的整体逻，这个 p p 合取 q 推出来 p， 则证明这个公式它的值是永远是真的，它和真值相互等价 g， 它永远是真的 g， 它就是永真式 g， 你 可以把它弄成这种形式，就是永真蕴涵式的一个道理。你可以看到刚刚我说的这个推，你要证明它等价，以及证明这个是同样，只不过这个要证明它 和真值等价是同一类型题，只是换了个说法，换了个表达，换了个概念，你要好好的秒体会清楚。好，接下来是推理理论， 如果 p 跟 q 永真是时候，如果 p 是 真的话， q 也是真，那当然喽，那就是否 p 交上 q 的 时候，那如果 p 的 值是真，那它就是假了，那假的话，那后面只能是真喽，真才是真。这个 p 称为前提， q 称为有效结论， 而这个就是在它定义上的推广。我们不多讲，这就是推理，而我们如何证明它是这样的呢？这就比较复杂，但它还是万变不离其宗。我来给它弄成一个详细的证明， 首先 p 并 q 给它弄出来，而这个而此时我们的否屁推 q 就是 屁并 q， 也就是说 我们这个东西和它是等价的。否屁推 q， 那 不就是屁并 q， 屁并 q 不 就是否屁，屁推 q 不 就是否屁并 q 吗？对吧？ 所以你要明白这个以后再看这个公式就简单了。还是刚刚我说那个重要公式，否屁推 q， 哦，那不就是 否 p 推 q， 它跟什么等价呢？你想想，用我们的公式，那不就是 p 否 p 再否，不就是 p 在 在那个吸取上 q， 那 不就跟这个一样嘛。所以它俩是等价的，相当于把这个东西化成了它，哦，化成了它， 化成了这个样子， ok， 我 们来处理 q 到 s， q 到 s 引入，前提我们还要知道 由 q 推出 s， 然后我们还知道否 p 推出 q， 我 们就可以知道它们两个取交集。这个我们就是连接词嘛，两个 q 一 样，那我们就是否 p 推出来， s 即我们得到的，我们由。 稍等啊。擦个黑板，我们由 这个和这个我们推出了它，推出了它以后，那我们接下来就不禁想了，屁推 r， 我 们该怎么用呢？那我们可以，我们知道一个命题的一个命题和什么等价呢？还有一个等价写，就是这个命题的 逆反条件就是否定，然后再反，比如说我否 r 推 p 否 p， 也就是说我不但要反过来，我还要给他们否定，这是否定反，他是跟 p 推，而是等价。这是在中药那块我们讲过的，就是把两个取否在符号相变，他们是等价的，即他变成这个样子。 而负 r 推否 p 和它们两个它们一结合就推出的负 r 推上 s， 负 r 推 s 又是什么呢？那我们很明显，那不就是 r b s 吗？因为 r b s 就是 和负 r 推 s 等价是用得到的 r 吸取 s， 这就是明白。再来讲下这个题目，重申一遍这个题。首先第一步，我们相当于给他两个进行了一个代换。第二步，他们两个进行一个合取运算， 得到了他。第三步， p 推 r， 我 要给他弄成一个逆反条件，又逆又反，即负 r 推负 p 就是 它，它加等价，它加等价，结合它，它们两个一起得到的 r， 这个这个一化解就是 r b s， 所以这个题很明显的，我们就可以证明到它可以推出来 r b s， 就 这么简单，所以说我们推理理论就是如此。 还有有人就说了，那我 r b s， 那 我推出来 r b s， 那， 那我推 r b s， 这是 我们把右边这个画成了它，那我们可以证明它整成的非常，它自己推自己，那当然是永真式了，对吧？那就相当于它的命题否定，否定 r b s 命题，然后再交上 r b s， 这不就是永真式吗？这不还是刚刚说的 这里的，这里就是扩展了一下而已嘛，对吧？就这么简单，都是一块的，高中学过这些，大家掌握起来应该很快， 所以这部分内容就讲到这儿这里为止。那我们还有间接证明法。何为间接证明法？我来说明，即 我原本我要证明这个公式它是永真式，则我现在我可以把 q 的 否定否 q 加入前提，即它们并起来，它们为永假式就可以。 所以说这个题就是我再圆我的调这个逗号，就是并的意思，并的形，我把 s 给它加进来，也就是它再并上个 s， 我 证明这一个大公式 它是永假式就可以。比如说我挣出来它的真值是假，还是我给出你这些提示，你要自己去做，还是一模一样的做法，只不过我现在我要转化成，我证明这个命题你要自己去做，还是一模一样的做法，只不过我现在我要转化成我证明这个命题你要自己去做，还是一个 f 用那些规则， 这个我就不做相应的讲解，这儿给你列出来一个像是答案的一样的东西，但是我要提醒你的是，你要自己去做好，因为这块因为格式问题写的不是很规范，所以你要自己去做它并不难。 而还有 cp 规则， cp 规则这个就是要证明它能它推到 a 推 b 这个事是永真事，那么我可以证明 把这个拿进来，即我证证明这个东西推它就这么简单，我可以把 a 拿进来，我证明它们前面的一大堆东西给它们并起来，就可以推出 e， 就 这么简单。这个逗号的意思就是说两个条件，两个条件一起推出它 及这两个条件，他们是病的关系，所以还是一样的给出你一个大概的东西，你要自己去做，还是跟他一模一样的跟这个东，跟这个推理万变不离其宗，无非是变了一点形式。 而接下来我们要讲到接下来我们要讨论的东西是规范性的问题。何为规范性？ 我们我们一个命题共称为合取范式，那它就是这个形合取的样子呀，它们都是用命题辨认和否定所得，比如说这个，这就是合取的样子，把它们都加到大括号。而与之对应的我们还有析取范式，析取范式就是这样子的，还是它们都是由其否定组成的合取式。 而我们得到的合取范式和析取范式就是说所有命题我给它整在一块，他们之间都是用合取的符号标的。 所以你明白合取和吸取泛失这两个关键的定义，有助于我们后续更好地去做。所以大家一定要明白的是合取泛失、吸取泛失这两点，就是说它们所有的面积都看成一个大块，它们中间是用这个东西标志的。 ok， 我 们是这样说，我们剩下一个面积公式都可以转成已知等价的合取泛失或吸取泛失。 哦，原来是这样呀，我们每一个命题等价公式，我们我们每一个命题公式，我们都可以给它弄得更规范，我们弄出来它只有，要么核曲方式，我只有这种符号，要么循环式，我只有这种符号。哦，原来想想它想弄得更规范一些呀， 那我们不禁想，我们可以去做一下，比如说屁并这个命题，那我们给它等价，及时就用那些逻辑把它展开，先给它等价展开，然后再给它给它。嗯，展出来分配就展出来，展出来以后 则是 f， 则这个形式，你可以看到它就已经是一个西去方式的形式，因为它中间是这个，两边是这别的命题， 而我想要把它弄成一个和解方式，还要继续化简，往后化简就是 f 并它 f， f 是 把它相成空集，则空集并任何东西都是别的集合，则它，哎，它就是 p 并 q 集，我可以推出来，它就是我的一个 吸取范式，而你可以看到它的吸取范式和和取范式是不一定一样的，也就是吸取范式和取范式并不唯一。那我们，那我们为了让它唯一，我们就创造出了主吸取范式和主和取范式，让它们唯一，这样求出来的命题它就是唯一的。 就是这么简单，那比如说我们有一组命题， p 和 q 的 一组命题给它弄出来是 a， 比如说我的 a 命题， 我的 a 命题，也就是我的 a 命题，就是由 p 什么推 q 呀？什么并并什么东西，什么 p q 这些东西弄出来，这个东西不唯一啊，我只是给你举例子，并不对应的是跟这个表格是没有关系的。我现在要告诉你，你有这么一个命题，你把命题中的每一个元素，每一个 最小的命题元给它列出来，然后把真值、假值、真值、假值、真值，所有情况都给它列出来，二二得四四种情况。然后 我要在这种情况基础下，我要去看它 a 命题的真假，也就是我把真假值复制进去，用前面这些逻辑运算，我就算出来 一个 a 的 值是真还是假，算出来我列出一个表，哦，也就是说我们这个 a 命题我们就可以这样算，那 a 命题我要主席去犯事，我就可以这样做，我也就是说我把所有 a 值取，当我找主席去犯事的时候，我要把 所有值为真值的部分给它拿出来。比如说第一个为真值，它的 p 跟 q 是 交的， 它都是真的。而第二、第三个为真值，则是否 p 交 q， 第三个则是否 p 交否 q， 然后它们中间再用吸取的方式连接起来，这就是它的主吸取方式，它一定可，也就是说何为吸取方式？就是说 我把它组成了这个形式，这个形式跟原命题是等价的， 就是我求出来它的主吸去范式，而接下来我们要求组合去范式，那我们列出了三个，就是我 f、 p、 q、 r 等于 a， 我 在 p、 q、 r 中列出不同的值，我要最后探索 a 的 值是什么。而你要知道组合这个例子，这个例子当然是跟这个没有关系的，因为我觉得 这个例子就是说我现在弄出来这个例子，就说我把 picker 这个整整个命题，它就是 a， 整个命题它就是 a， 把它们整体看作 a， 也就是说把整体看作 a 以后，我可以得到， 我可以由 picker 不 同的值，我得到 a 的 最终不同值，最终我在组合取方式中，我需要将 真值为 f 的， 跟它相反，跟真 f 的 都挑出来，然后它们之间要取并集，也就是说我第一个是， 也就是说我 f 的 都要给它单独拿出来，然后这就是我们的组合取反式。也就是说我们把 f 单独拿出来，可以看到第一个它们都是假极否僻 即否 p， 而这个题跟这个表并没有关系，就给大家举例子，我来告诉大家，否 p， 然后交上否 q， 交上否 r， 给咱们括号，这就是这个对应的，而这个 f 值对应的则是否 p， 交上 q， 交上否 r， 这个则对应的还是一样。把它们按交的形式写起来，求主和取反式呢？它的对应小样就用交的方式写起来，那它就是 p 并否 q， 并上否 r， 然后合取。我们把这三个括号给它，用合取的形式给它们加上，这就是主和取反式。它们的小象用交的形式，它们小象之间的东西呢，用合取的形式，而主西取反式则是它们小象之间用这样表示， 而他们之间则是用合取的方法，而他们总是用吸取的方法表示。所以这就是本节课的全部内容。你可以知道，这个题就是你需要知道， 在我们逻辑推理这一块， 你需最需要掌握知识点，就是你这儿那些背的公式需要备注，备注以后你要进行我给你的信息训练，然后每一个命题又可变成分真的，你又可以列出那个真值表去给它求出来。而命题的基本知识 则是对于所有命题一些介绍，它的吸取和取那些知识你需要知道，这个章节必出大题，这一章也就讲到这里了，主要内容都在于次的。

第四节前数泛式、谓词公式规范表现形式。前数泛式 定义三点九一个公式，如果量词均在全式的开头，它的作用域延伸到整个公式的末尾，则称该公式为前数泛式。 前数泛式的形式，看这个例子，它把量词和指导边缘全部放在前头 后边，这个式子是不含有量词的，像这种形式叫前数泛式。看描述前数泛式是这么一个式子，其中 q i 是 量词， 它可以是全称量词，也可以是存在量词，为 i 是 个指导边缘， a 为不含有量词的谓词公式。 这个式子是前述泛式，那么这个就不是了。 定理三点二，任意一个，为此公式均存在与之等值的前数范畴，这个定理称为前数范畴的存在。定理，一般情况下，前数范畴不为。一、 将一个谓词公式转换为陈述方式的过程有以下几个步骤，一，对不同域的同名变元进行换名，也叫换名。规则 二，利用定理三点一，将否定连接词深入到命题边缘和谓词公式前面。量词转化规则，这里默写定理三点一的两个公式 三，利用等值式这个式子和这个式子将量词移到全式最前面，也称之为量词提前规则。 在这补充一下，这个 a 是 不含 x 的 出现。其实你只知道这两个式子后边做题还是不太够， 后边我补充了量词提前的内容，所谓的量词提前实际上是量词狭义的收缩于扩张等式。咱们以这个式子举例说明， 全称 x， 我 能约束的只有 x， 这个 a 是 不含 x 的 出现，也就是说，全称 x， 我 控制不了 a， 我 把 a 当空气，当它不存在。 全乘 x 的 狭域是 b x， 我 把全乘 x 的 狭域扩张一下，扩到 a 这个位置上， 它跟圆是依然是等价的。 原是这个 x 影响不到 a， 你 扩张了之后，这个 x 还是影响不到 a， 只是全称 x 的 狭域扩张收缩。 下面这几个式子，最常用的是这个，这个，这个、这个。但是我建议各位还是把这八个式子全都记一下， 以防万一啊。看例题三点一六，求其下宫次的前数范式。看这一个式子， 哎，这个部分和前面这个重名，因此要先换名，把它换成 y， 式子是这样。然后第二步量子转化规则，把这个非移过来，用的是定力三点一的公式， 设置是这样，这个设置咱们要量词提前 来看。对于全称 x， p x 来说，这一部分它是不含 x 的， 相当于 a， 那 么全称 x 是 可以扩充暇裕的。 在这个数字上，咱们再看，如果以存在 y 来说， 那么不含 y 的 p x 就 相当于 a。 存在 y 是 可以把狭隘括到这个位置的， 也就是把存在 y 提到前面来。量词提前规则， 得到这个式子来看第二个式子， x， x 重名重名换 y。 然后这一步咱们用到等值转化规则，就是将第二章的命题演算公式应用到本章谓词演算公式中。 第二章里边这个公式 非它 定义。三点一量词转化规则，把这个符号移到这个位置。 存在量词以存在 x 为标准，这个部分不含 x， 相当于 a， 那 么它的狭义可以扩充 量词提前规则， 以存在 y 为标准。 c p x 相当于 a， y 可以 提前。 也用了一次量词提前规则，整个式子为来看第三个这个式子 x y 这个除名，把 x 换成 v 换名规则。 第二步咱们把它处理掉，用到等值转化规则 这一部分，用德摩根率 量子转化规则，把这个符号放在这个位置上，这个放在这个位置上， 然后它是量词提前啊，他他他提出来具体过程怎么提？有前两个狮子座比较，我这就直接跳过了，咱们直接提可以， 这就完成了，这个整个结果是这个其实咱们可以再多做一步，我把这一部分换成这个式， 补齐其余部分之后，我们可以看到 可以推导出两个前数范式，也就说前数范式不为一。这个第三式你写到他也就可以了，但你要是多写几步写到他也行， 毕竟前数算式它并不唯一。第四节完成，下一节课会说第五节为此衍生的推理理论。