九下数学北师大版二次函数最后一节

来，嗯，我们看一道初三， 呃，我们这个马上就要进行期末考试，月考的一个压轴题啊，关于三角形角度存在性问题，还有我们的面积存在性问题啊，那个第一问呢，我这个题我就不给大家具体讲了啊。呃，先给大家读读题哈， y 等于 x 方加的，哎，它可以告诉我们这个这个点，这个肯定是三，零度三呗， 负一三。那求这个我直接写答案了哈，我直接写这个写，写是 y 等于负的 x 加上二， x 加三啊，开口向下对称轴是 x 等于一， 我就出来了啊，我们重点看看第二位和第三第三位啊，这个第二位呢，我要重点讲讲是我们现在比较常用的一个牵垂法，说连接连接 b d， b d 啊， p d 连接，然后再连接 p d， p b 啊，这个连接之后呢，他说是这个面积是否等于三？好，我把这个图放大一些啊，我们重点来看一看，这个重点讲这个牵垂法啊， 好，这也是很多同学咨询我的啊。好，到了初三之后呢，我们会学习很多很多关于二次函数里面的一些内容，比如说这个题的面积存在性，他说这样一个面积啊，这个屁在上面运动， 当然这个屁不也有可能是在这哈，这个屁在这也有可能都很多，那个我们的到底什么时候情况下他是等于三呢？那么我们先把这些具体的数据标一下， d 点坐标是零到三， b 点坐标是三到零， 所以这是多少度？四十五度吧，四十五度，那么你这个 b d 的 直线是不能出来了， b d， 那 么就是就等于这个直线往上移三个 y 等于负 x 加三呗。啊，这条这条直线， 好，那么今天这个视频呢，给大家讲讲铅垂法，那求面积，好，那么给任意给出一个三角形不规则的啊，我是说不规则的， 比如这个不规则，那么我们以这个图题为例吧，啊，我们把由 p 点向我们 x 轴做一个垂线垂足，垂足，比如说与它交点为 m， 我 们把 pm 这个距离这段距离哈，叫做铅垂高，铅垂高， 把这个距离哈，那么把点 p 点，点 d 到直线这个距离称之为水平宽一。哎，这个距离，这个距离看好啊，蓝色的吧， 这个距离称为水平点二。 h 一， 这是 h 一， 这是 h 二，那么我们就可以得到什么呢？你这个三角形的面积啊， b d， p 的 面积可以写成什么呢？哎，两个三角形相加，你第一个呢，就是比二分之一的 pm 乘以 h 一 加上二分之一的 pm pm 的 长哈，这是 pm 乘以 h 二， 那么我们整合一下二分之一的 p m， h 一 加 h， 那 么我们看到 x 型的面积可以写成你的轻垂高乘以这个什么 h 一 加 h 二，它的在图形当中可以表示成什么？ 点 b 到点 d， 这个横坐标的距离哈，我们把它称之为水平宽，水宽， 这是 p m 为铅高啊，这样题，我们就把这个谁想去把这个题就是大体的思路解出来了，那具体到这个题目怎么做呢？哈，好，我们知道这个结论之后，我们来看一下， 好，我们清一下屏哈，关于水平高铅直，看着经常用到啊，大家一定要熟悉，非常熟悉哈，那么如果我们假设 p 点坐标啊， p 点坐标为 m， 横坐标为 m 哈， 你这一块为 m， 因为人家 m 说了哈， m 大 于零，小于三了，就在这个范围之内，这个范围之内运动 好， p 一 点坐标是 m， 但是他横坐标呢？横坐标，这样时候大家要学会代数哈，就是负 m 方加二， m 加三，为啥？这是因为我们的解析式吗？就这个 好，你的这个横坐标我知道了，那你这个横坐标你知道吗？也知道啊，你看这不是有个解析式吗？ 这个点是在上面的啊，不论是在你，比如 p 点在这，你也是这样，你也是这这个式子，那么 y 等于负 m 加三，就是这个点，横的标是就这个 这个纵的标啊，纵的标就这个点的这块负 m 加三，那么我们就可以得到。哎， p 点，这个 p 点的横坐标负 m 方加二， m 加三，减掉你的这个， 比如，比如说交于这个点，我不知道哪个点哈，就大 m 吧，你的横坐标就是负 m 加三，就横坐标，就纵坐标啊，这个高度，那么就是这个大高度，我看一下啊，红色的这个线的大高度，减掉蓝色的这个小红色的，就是我们这个距离， 就这个距离等于几呢？刚才我们说了啊，那个这个三角形的面积是二啊，是等于三的时候，他二分之一的千锤高，千锤高是几我不知道啊，但是我们的水平宽，知道水平宽是三， 乘以我们的这个距离，比如说 pm 这个距离吧，那么你解一下 pm， 它就等于几？等于二，就这个距离，你这样等于二就得到了。那也就是说刚才这个式子如果等于二，我们就解出这个题来，就铅垂高等于二啊， pm 距离 好，第一，水平宽是三，水平宽是三， pm 求出 pm 等于来等于二来，那么就这个式子整体等于二就可以了。那么我们化简一下，负 m 方加二， m 加三，加上 m 减三减二等于零，那么负 m 方减去三， m 减二等于零，加上三 m 啊，那么变成了写最下面的 m 方减去三， m 加二等于零， 这是什么？十字相乘呗， m 减二， m 减一，所以它的坐标 m 就是 一个是一吧， m 等于一或 m 等于和，哈，和 m 等于二，就就就结束了这个题啊，要么你在这，要么你在这 啊，所以这个题有两个答案。好，我们这个题第二问就解决了啊，我们再回到回到我们的图形原图当中，去看一下我们的第三问，第三问，现在这个很正常啊，来，我们看下第三问。 第三位，他是这样说的哈，他说，呃，连接 ac， 连接 ac， 连接之后连接 ac， 他 说过点 p 啊，这个点，这个 p 点 p 在 横坐标，在我们的这个抛物线上运动哈， 那 pm 垂直于 ac， 这是 ac， 也是直线，那垂直于 ac 的 直线你，你这个垂直的，就看你的回球哈，然后他说是否存在点 p， 点为十的 pm 等于 pm， pm 等于二倍的 c， m 就 这块啊，如果我连接它的话，连接它的话，你看这个 pm p 在 这， p 有 可能在这，那就在这了，是吧？在这，我具体我不知道啊，那么在什么情况下， 那你有时候你这 p m 等于二，就是你整个你，你这个角度，这个角度是，如果是二比一，你整个如果下来都是平行于它，都在这个直线上运动，是吧？那么都在直线运动。好，那么我们来分析一下这个题，这个题怎么做啊？ 好，把这个图继续放大，而且以这个图为例啊，好，我们首先我不知道这个点在哪哈，那我们就假设呗，假设在这个位置，它有个点 在这个点在 p， 看它有什么特点，这个角哈，好，我们看一下这个 r， 这个 r， 它说 pm 就是贪给的 r 法等于 pm， 比上 pm 呗， mc 呗，等于二呗， pm 等于二倍加 mc， 就 这样呗，那它有什么特点？我们看分析一下哈。好， 既然是垂直于它，那你这个斜率是不是就能求出来这个斜率？两支线垂直 k， 比如说两条直线吧，这条直线垂直，如果这个这个这个点的 k 标是二，那么这个点就是负的二分之一，就是这两个直线的，这要要明白哈，就是 ac 即将垂直于 ac， 那 么你这条直线的斜率就是它的负倒数。什么是负倒数？就是 k 一 乘以 k 二，等于负负一呗，这叫负倒数。 那么你咱们要分析一下这个 a c 的， 它的，它的什么 a c， 它的斜率是多少，就是它的 k 值是多少啊？好，我们来看一下， a 点坐标呢？是负一零， c 点坐标是一到四，那我们解一下啊。呃，负 k 代入哈，负 k 加 b 等于零，负 k k k 加 b 等于四，是吧？那么解一下，这个 k 得到了 k 是 二， b 是 二，那么也就说这个 a c 的 这个直线 y 等于二， x 加 b 吧，加二吧。你说这个这个他的这个什么出来了？好，换句话说，你看这个，巧了，你看这个边，就这个角的，大家看 d a、 o， 这个角的正切值是多少？ 哎，大家会明显会看到啊，它的正切值其实也是二，就这个边 c o 比它也也是二，这个这个点坐标是二吗？所以这个边也是二，所以大家会看到什么？哎，这个角度， 这个角度和我们如果，如果有一个直线真的是这样的，哈哈，那你和这个角度是一样的 r， 对 吧？是 r， 也就是说当我们 p 点继续做做做，比如说交于这个点吧，交于，我们假设交于 e 点，交于点，你这个阿尔法和这个阿尔法是一样的。 对了，大家想想是不是？那这有什么？这有什么作用呢？ 哎，很明显，大家去看一下，你看这个这个点的坐标是一到二，那么这个点是不是全等，或者这个点的坐标是一到四，这个也是二，所以这两个，这两个三角形啊，蓝色项是全等，也是说我们这这个点是什么？是它 的，是它什么点？哎，是这个等腰三角形 e、 e， a c 的 垂直平行中点，那你连接这个点 之后，我们是不是可以得到这个点坐标？就是你这是垂直的，这垂直的这个点坐标是不知道，也说整个你的所有的点，所以这个屁，这个直线上就是 c e 这个直线上啊， c e 直线上任何点到这个垂线都是都是一样的， 那么现在我们就有思路了，有什么思路呢？哎，就是这个点啊，这个屁点，我们所求的这个屁点一定是在这条直线上，一定是在这条直线上， 且与我们的抛物线有一个交点。为啥？因为你这是，我给举一下例子啊，你这是算法，这是算法，我先把这个不必要的，不必要的清掉哈， 好，你这是 r， 这是 r， 这两个角呢？相同，也就是他们是 等腰三角形，而我们这这个这个点交于这个 f， 这个点是个中点，由此可以得到我们的平行线垂直，这条线肯定是做它垂，做它垂线肯定是三线合一的 啊，由此可以得到这个角的正切值。就这上面这些点都是二比一，比如说举个例子， 这个点，比如说这个点在这，那你这个角还是二比一，所以我们就不断的移动，移动，移动过程中正好和这个点抛线有交点 啊，那么我们就借着这个思路把这个题求出来就可以了啊。好，首先我们知道 f e 这个 f e， 哈， f e 这个直线， f e 是 过哪个点呢？ f e 是 过 我们的这个 e 点， f 点， f 点坐标是零度二，且它的 k 值是多少？我们刚才说了，这条直线的值是 y k 二 x， 那 么 f e 这个直线， y f e 这个直线肯定是负的二分之一， x 加上 b， 哎，这条直线肯定是过零。逗，二，这个点我们代入啊，把零代入 x， x 等于零， b 等于二，所以 这条直线是这个，那么也就是说什么呢？我们的 k 写写 y 这个直线， f e 的 直线就等于负二分之一， x 加二。 好，那么他与 x 的 交点，就让 y 等于零呗。与 x 轴点交于 e 点，那么 e 点坐标求出来，那么等于零，那么 x 等于几？等于等于四吧，所以 e 点坐标是四度零， e 点坐标是四度零。我知道了， c 点坐标是多少， c 点等于一度四吧，一度四，那我们把这个图形往上移动一下啊， 好，刚才说了 c 点坐标一点， c 点坐标是一到四，那么我们连立一下，连立一下这个方程哈，我把它缩小吧，还是缩小一些 好， c 点坐标一到四，一点坐标四到零，我们代入求这个直线就可以啊，求这直线，那么就是四 k 点坐标， c 点代入， 一， k 加 b 等于四，我们减一下，上面减下面三 k 等于负四 k， k 等于负的三分之四 啊， k 等于四，负的三分之四， b 呢？ b 等于多少？我们看一下啊。 b 等于负的三分之四，加 b 等于四，嗯，三分之十二，三分之十六吧， b 等于三分之十六， 所以，所以我们这个 c， e 的 这个直线就出来了。 y 等于负三分之四， x 加三分之十六。好，那么最终我们就把这个什么求出来了，就把我们所要的这个 c、 e 的 直线就求出来了啊，那它有什么用 啊？这 c， e 这个直线，那用处太大了啊，我们来看一下我们，我们知道这个直线，我们知道了啊，这个直线是 y 等于三分之四，负三分之四， x 加十三分之十六，那么它与 y 轴交点，那么那么连立一下这方程就行了。 y， 嗯， y 等于负的 x 方加二， x 加三代入，把这两个方程连立起来，就是与 直线 c 域直线 c， e 与抛物线的解析啊，那我们带大家一块做一做啊。好，嗯，把这个 y 代入，就等于负的 x 方加二， x 加三等于负三分之四， x 加三分之十六， 三分之十六。好，我们把从这边写啊，那么所有的数据都乘以三，都乘以三，负的三 x 方 加六， x 加九等于负四 x 加十六，负四， f 加十六。好，那么继续我们分解，继续分解，那么这变成了负三 x 方， 呃，我们把所有数都移移到等号的右边来吧啊，三 x 方减去四， x 减去十， x 加十，六减去九，减去九等于七，百加七等于零，所以 x 是 不是你求出来了？所以 x 是 不是求出来了？是十的相乘是吧？ x 等于几啊？这是， 呃，连立之后，我们的是负十， x 等于。哎，两个答案啊， x 加一乘以 x 十字相乘也行啊。嗯，三 负七负一对吧，哎，不对，嗯，负七负一 对吧，这样我们就求出来了啊，你解这个方程， x 最终等于我们的 x 一 两个解， x 一 等于 一， x 二等于负的三分之七吧，三分之七啊，三分之七， x， 你 看就是三， x 减七等于三，这 x 加一呗， x 减一啊，那么 x 等于三分之七，那代入 x 等于三分之七，得到 x 这个点坐标时， 注意， x 一 求出来哈，这两个都都要试一下啊。 x 等于一的时候， y 等于四了，它超出范围的啊，超出范围的，我们只需要一个就行啊。好，那么我们这个解就是坐标就是 x， x 等于负三分之七和三分之九分之二十，代入就行啊，那么这个题就结束了啊，这个题就结束了。呃， 这个题呢，考察了大家什么呢？考察大家对于直线斜率的问题，还考察大家垂这个铅垂高的问题啊，铅垂高水平宽的问题。

大家好，今天我们接着学习二次函数的图像和性质。首先回忆上节课说过的两个函数，二次函数 y 等于 x 平方和 y 等于负 x 平方。二次函数 y 等于 x 平方的图像是一条开口向上的抛物线，顶点坐标是零，逗号零 开口向上，那这里的顶点就是抛物线的最低点，相应的函数有最小值，最小值是零。抛物线是轴对称图形，它的对称轴是 y 轴。 很显然， y 轴左侧图像下降，也即是 y 随 x 的 增大而减小， y 轴右侧图像上升， y、 c、 x 的 增大而增大。类似的二次函数 y 等于负 x 平方的图像是一条开口向下的，跑无限顶点坐标也是零，逗号零 开口向下，那么它的顶点即是图像的最高点。相应的函数有最大值，最大值是零， 它的对正轴也是 y 轴，增减性如图所示，对正轴的左侧图像上升， y、 c、 x 的 增大而增大，右侧图像下降， y、 c、 x 的 增大而减小。两个函数，一个开口向上，一个开口向下。 二次函数 y 等于 x 平方，它的二次项系数是正一开口向上， y 等于负， x 平方的二次项系数是负一开口向下。一 般的，对于抛物线 y 等于 ax 平方来说，它的图像 a 大 于零时开口向上， a 小 于零时开口向下。今天我们就来研究一下 y 等于 ax 平方这个函数的图像和性质。 首先，在画有抛物线向 y 等于 x 平方的直角坐标系中，画中 y 等于二 x 平方的图像。任何时候画函数图像都要先列表描点连线， 用光滑的距线、顺次连接格点。观察这两个函数图像，它们之间有什么共同点呢？对开口都向上，顶点坐标都是零逗号，零 对称轴都是 y 轴，并且 y 轴左侧 y、 c、 x 的 增大而减小，右侧 y、 c、 x 的 增大而增大， 有什么不同点呢？很明显，抛线 y 等于二 x 平方，它的开口比较小，由此我们可以总结形如 y 等于 ax 平方的性质。首先，顶点 都是圆点，对称轴都是 y 轴，并且对称轴两侧的增减性不同。二次项系数 a 大 于零时，开口向上， a 小 于零时，开口向下。在这里， a 的 正负决定了抛物线的开口方向， 而它的大小又决定了抛物线的开口大小，即 a 的 绝对值越大，抛物线的开口越小。知道了 y 等于 a x 平方的图像和性质，下面我们来看个例题。 第一，同一坐标系里画出 y 等于二 x 平方， y 等于二 x 平方加一和 y 等于二 x 平方减一的图像。分析三个函数图像的一同， 这三个图像的表达是二次项系数都是二，都没有一次项，常属项分别是零一和负一。 居然是画函数图像，先列表吧。瞄点，连线，在同一坐标系里画出三条抛物线，这三条抛物线开口都向上，对称轴都是 y 轴， 形状相同，位置不同。顶点分别是零逗号零、零逗号一，零逗号负一。 三条抛物线形状相同，那么我们就可以通过平移的方式，由其中一条抛物线得到其他的抛物线， 比如抛物线 y 等于二 x 平方。向上平移一个单位，就可以得到抛物线 y 等于二 x 平方。加一类似的 抛物线 y 等于二 x 平方，如果向下平移一个单位，就得到了抛物线 y 等于二， x 平方减一。 在这里，三条抛物线形状相同，位置不同，是因为这三个函数二次项的系数都相同，而常数项 c 不 一样， c 不 相等，位置不同，三条抛物线呢，顶点坐标就不同。由此可以总结出抛物线 y 等于 ax 平方加 c 的 关系。首先来看 y 等于 ax 平方， 它的开口方向是由 a 的 正负来决定的， a 大 于零时，开口向上， a 小 于零时，开口向下。对称轴是 y 轴，顶点坐标是零。都好，零。 对于 y 等于 a x 平方加 c 来说，它的开口方向也是由二次项的系数 a 来决定。 a 大 于零，开口向上， a 小 于零，开口向下，对称轴也是 y 轴，顶点坐标不同了，顶点坐标是零，逗号 c。 因为在这里 x 等于零的时候， y 的 值是 c， 因为 r 次项的系数都是 a 是 相等的。那么这两条抛物线呢？形状相同，形状相图就可以通过平移的方式得到。对于 y 等于 a x 平方来说， 在这里，如果 c 大 于零，我们可以通过上一 y 等于 a x 平方的图像得到 y 等于 a x 平方加 c 的 图像， c 小 于零是下一图像即可。好，这节课就到这里，再见。

嗯，今天我们来说一说初三的一个很重要的章节，二次函数。那么二次函数对于我们初中数学老师来说，是一个内容量体量非常大的一个章节，往往需要的课时也比较多。 那么二次函数呢？在初三的，在北师大教材中，他是在初三的倒数第二章学习， 那么对学生来说呢，也是一个难度和体量较大的一招，那么为什么难呢？首先，二次函数它的知识量比较大，它有很多的公式，在我总结的这本 讲义中可以看到啊，它的公式思维导图就占了一页，那么它的公式包括啊，对称轴公式，以及学校很多学校老师要求背诵的这个顶点公式，以及我们的 几个五个，它的模基础模型的一个 abc 的 一个式子，以及我们判定与 x 轴交点的一个式子，有很多式子，所以说很多学生呢比较乱。其次， 那么我们之前在初三的时候也学了解一元二次方程，它很容易和二次函数 搞得有一些混乱，所以这块呢，也是一个难点，如何区分？那么其实这些呢，都 不算特别难，那么它倒特别难，就是它的一个实际应用和几何应用，那么它的实际应用呢？经常的什么拱桥问题，以及我们实际的抛物问题。那么其实你多做几道题，掌握一下它的一个特点，也不是很难， 就最难的就是它和几何的综合运用，这个呢，我们经常用到很多课时，首先对它进行一个分类，它会和几何综合运用。嗯，它的模型是什么样子的？比如说啊， 就是是否能构成平行四边形模型，还有是还有一个模型，就是它，呃组成三角形的面积的倍数关系，这种模型我们要对它的模型进行一个分类，学生呢，不能说呃 找一本练习册就开始直接做，这样子呢，呃，虽然说每一道题能看着答案可以能做出来，可以练出来，但是呢，他对这个模型是 不清楚的，所以我们建议呢是从模型进行一个分类，接下来对每一个模型进行一个详细的归纳总结，这样呢，二次函数才能真正做到学的精，学的好。

好，同学们好，今天我们来看看这个九年级数学全题型微课。那我们来看第十一节二次函数图像与各系数符号之间的一个关系啊，我们都知道这个， 呃，不管是二次函数还是一次函数还是反比例函数啊，那我们之前呃学的那些 函数解析式当中呢，都会有参数，那么这个参数呢，它与这个二次与这些函数图像是有一些对应关系的。那么 啊，我们今天主要研究一下二次函数图像它的这个系数，它的系数有 abc 啊， abc 之间的关系。我们的微课呢，更加适合咱们镇江的学生，如果有需要领取讲义或者配套练习，可以加个群啊。好，我们首先看基础知识点。 那首先呢，我们来看啊，就抛物线呢，它这个解析式是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 当然 a 不 等于零啊，它里面有三个系数，就是 a， b， c， 我 们要搞清楚它与图像对应的一个关系啊，那么首先 a 好 看是吧？ a 我 们之前就学过， a 是 什么？开口对不对？ 好，那 b 是 什么呢？ b 其实跟它对称轴有关啊，对称轴有关，就是，呃，就有一句话叫左同右异，有一个口诀吧，左同右异， 它什么意思呢？就是说如果对称轴在 y 轴的右侧啊，举举个例子啊，这个图在 y 轴右侧，对吧？那么呃，右 e 就是 a b e 好， 如果在 y 轴左侧， ab 就 同号啊，那么我们推一下啊，就是因为，嗯，如果对称轴 在右侧，那么就，也就是说负的二 a 分 之 b， 它是大于零的，对吧，那么也就是二 a 分 之 b 小 于零，能推出 ab 一 号， 对吧？啊，所以左同右异啊，那如果对称轴在左侧，那能推出负的二， a 分 之， b 小 于零，对吧？那这个时候 a b 同号 啊，好，我们叫左同右异啊。那么也就是说， b 不 能单独决定一些东西，它只能和 a 一 起看。举个例子，这幅图，第一幅图，这个 a 是大于零的，由于他在对称轴在 y 的 右侧，右 e 啊，左同右 e， 所以 b 应该小于零啊。同理，这个呢， a 大 于零，那么 b 就 应该也大于零啊，左同嘛，好，所以这个就是看对称轴啊，对称轴 c c 简单吧， c 指的是二次函数图像与 y 轴交点的纵坐标啊。比如说 这个图假设交于零二，那么 c 就 等于二啊，这幅图交于零负二，那么就 c 就是 零，负二啊，就是负二，对吧？所以我们讲的是 a 看开口， b 呢看对称轴，但是 b 也不能 直接看，他应该和 a 一 起看，对吧？ c 呢，看与 y 轴交点啊。好，剩下的有一些其他辅助判定条件。我们在图中啊，在题中可以看啊，题中可以看好，首先我们来看例一，例一说二次函数图像，如图所示。下列结论中不正确的是我们先看啊，哪个不正确？首先，这个 a 是 小于零， 记得我们刚刚画左同右异吧，它在 y 轴的左侧，所以 b 也小于零，然后它与 y 轴的交点 c 是 大于零的，对吧，所以 c 大 于零，所以 a 选项是对的啊，不能选啊， a 选项是正确的，它我们选不正确的是 b 函数的最大值位。这个函数什么时候最大？是不是 s 等于一是最大？所以我们把一代入啊，当或者令吧， y 就 等于啊，负一啊，负一，它对称轴是负一嘛，对吧？ 负一就是 a 减 b 加 c 啊，所以最大值是 b 没有问题啊， b 也不能选啊，它 b 是 对的， c 负三到一时， y 大 于等于零，我们看一下，这边是一，这是负一，所以这地方是就是负三，负三到一时， y 大 于等于零，没有毛病啊。 所以 c 啊，不能选 d。 四 a 减二， b 加 c， 这个应该是什么令 x 等于负二是吧？你看啊， s 等于负二， y 就 等于什么？ y 就 等于四， a 减二， b 加 c， 哎，负二的时候，它的 y 是 干嘛大于零，哎，确实大于零啊，所以这个 d 是 错的啊，选 d， 它是大于零，对吧？不是小于零啊。好，我们看第二。 第二说，如图，抛物线与 s 轴交于点 a 和点 b， a 点坐标是负二零， b 点是六零与 y 轴交于点 c。 小 红同学得出以下结论， 一、 b 方减 c c， b 方减 c， c 就是 我们的 delta， 是 吧？它是 delta 二零，这个没毛病啊，因为 delta 在 整个初中呢，会有两个用处，一个是判断一元二次方程的解的个数，另一个就判断二次函数与 s 轴交点的个数，两个交点，所以一是对的。 二。四 a 加 b 等于零，这个怎么看呢？因为它两个焦点是负二和六，所以它的对称轴，我们算一下， x 等于六加负二除以二就等于二啊，也就是说我们的负的 二 a 分 之 b， 它是等于二的，那这个时候就是，嗯，负 b 等于四 a， 对 吧？啊，那我们退出四， a 加 b 等于零， 哎，没毛病啊， c 二也是对的。三 y 大 于零时， x 是 负二到六， x 负二到六，直接是这一段就 y 小 于零，所以算错了。四四就是什么 a 加 c 的 平方 小于 b 方，这个乍眼看不好看，是不是不好看，但是我们可以把它移过来试试。哎，我们可以把它 b 方移到左边来，它这个小于，那我们也就是平方差公式对不对？ 我们一个位置啊，就写成 a 加 b 加 c， 这个写成 a 减 b 加 c 小于零。哎，这个其实就是 x 等于一时 y 的 值，这个是 x 等于负一时 y 的 值。看看啊，你 s 等于一 y 就 等于什么？ y 就 等于 a 加 b 加 c 嘛，对吧？ s 等于负一， y 就 等于什么 a 减 b 加 c， 对 不对啊？哎，我们看啊， s 等于一时，在哪个位置啊？在这个位置负一在这个位置，它 y， 它两个 y 其实都小于零，所以它们相乘应该大于零， 所以三，所以四错的啊，四错的五三 a 加 c 大 于零，那这种题怎么做呢？我们可以这么看啊，首先它这个 b 啊，就是四 a 加 b 等于零，我们能推出 b， 其实是等于负四 a 的。 哎，另外，图像经过 a 或者 b， 我 们代入一个就会得到啊，将 负二零代入啊，得得什么呢？就 a 点代入嘛，就是零等于四， a 减二， b 加 c， 是 吧？那么 b 等于负四 a， 我 们代入一下啊，就零等于四， a 加八， a 加 c， 哎，推出 c 等于什么？ c 其实是等于负十二 a 的， 哎，那这样的话我们是啥？三 a 加 c， 那 这样的话三 a 加 c， 这个很重要的一个信息在这啊，就等于 三 a 减十二 a 就 等于负九 a 负九 a， 这个时候 a 大 于零，所以它小于零嘛，所以五也错了，只能选。呃，对俩啊，只能选 c 啊，选 c。 好， 这个就是我们常见的题，让我们来看最后一个， 最后一个说二次函数的部分图像，如图所示，图像经过负一零， 负一零在这啊，对称轴是二，那我们其实可以顺势写出另一个这个这焦点的对称的关系啊，负一三应该是五零吧， 五零啊，首先一说 abc 小 于零是啥？ a 小 于零没关系吧，哎，没问题吧，这个左同右异，右边是不是所以 b 大于零啊，然后 c 也是大于零的，所以 a b c 小 于零，没毛病，是不是啊？是对的，二四 a 加 c 大 于二比， 这怎么看？一样啊，一样，首先呢，对称轴，对称轴是负的二 a 分 之 b， 对 吧？负的二 a 分 之 b， 它应该等于二，所以啊， b 就 等于 负四 a， 对 吧？ b 等于负 c 啊，我们接着写啊，那 c 怎么办呢？一样代入一个啊，负一零就是零等于 a 减 b 加 c， b 等于等于负四 a 就是 a 加四 a 加 c， 推出 c 等于等于负五 a， 所以 这个时候四 a 加 c， 其实等于负 a， 是 吧？四 a 加 c 就 等于负 a， 负 a， 二 b 呢？二 b 二 b 等于负八 a， 那 负 a 是 不是大于负八 a 呢？我们只要这个成立就行啊， a 是 一个负数啊，负数我们试试啊。呃，我们可以这个乘成立咱就对的，不成立咱就错的啊。那我们先来个括号，就是 a 要求小于八 a， 然后 a 是 小于零的，所以就是一要大于八，错的啊，所以二错的三 四 a 加二 b 大 于这个东西啊，这个东西大家注意一下啊，注意一下，四 a 加二 b， 我 们要把这个等式左右两边同时加个 c 啊，他说要大于等于 a 重开啊，重开 这个指的是 x 等于二十 y 的 值，这个是 x 等于 m 十 y 的 值， s 等于二十 y 的 值，是不是永远大于等于 s 等于 m 十 y 的 值啊？所以三是对的啊。四、三 b 减二 c 大 于零，我们已经求过了，是不是在这儿？ 三 b 你 试试啊，我们都换成 a 了，是不是减二 c， 它其实是等于负十，二 a 加加，呃， 加十吧，加十 a， 是 不是啊？它等于什么？负二 a a 它大于零，没毛病啊，因为 a 小 于零嘛，所以四应该是选三个。好，那这个啊，回忆一下我们讲的内容，今天讲的内容呢，是关于二次函数图像与这个系数对应关系啊，我们当然它这个里面有很多常规的题，咱们要注意一下它的思路啊。 思路，首先对称轴一定要注意，对吧？ abc 判断我们讲过了啊，对称轴一定要注意，很重要东西啊，往往很多题呢，我们都是希望要搞定 abc 的 关， abc 的 关系啊，就比如说啊，一般是换成 a， 因为 a 的 正负我们好判断，对吧？啊，比如说这题，这题就是换成了这个啊，那这题呢，也是换成了这个啊。 另外一个呢，就是这个时候大家要注意一下啊，它怎么处理，对吧？我们两边加个 c， 然后搞定它的意思就行了啊。好，那这节微课呢，我们就讲到这。

同学们好，我们来看一道二次函数的冲卡题目，将二次函数 y 等于 x 平方减二， x 减三的图像在 x 轴下方的部分，以 x 轴为对称轴，翻折到 x 轴的上方， 得到如图所示的新函数图像。下列对新函数图像的描述，正确的是 这个题目，我们一定要注意题目的要求。题目问的是对新函数图像的描述，那么根据提议，原来的函数图像事实上我们可以还原出来，我们现在把它还原出来，它就是这样子的。 我们现在看选项， a 选项，图像与 y 轴的焦点坐标是零负三， 那么这个 a 选项事实上我们看到它应该是错的，因为新图像与 y 轴的交点现在显然在 y 轴的正半轴，零负三的话，它肯定是错的。都在这，我们可以具体的求出新图像与 y 轴的交点的坐标。 原来的函数图像对应的关系式，它是 y 等于 x 平方减二， x 减三， 我们看到 c 值是负三，这就意味着原来的图像与外轴的交点对应的数值，它是负三。新图像与 外轴的交点和原图像与外轴的交点，根据提义的话，它事实上是一组对称点， 原来的函数图像与 y 轴的交点是零负三，那关于 x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以说它就是零三， 所以新图像与 y 轴的交点的坐标应该是零三。 a 选项我们排除掉， 再看 b 选项。当 x 等于一时，函数取得最大值， 那么对于抛物线，它的最大值和最小值实际上就是顶点坐标的纵坐标，而这个时候对应的自变量当然就是顶点坐标的横坐标，也就是对成轴的值。接下来我们可以求一下对成轴 函数关系式。题目告诉了，那么根据对成轴的计算公式， x 等于负的二分之 b， 我 们可以代值就是负的二乘 一分之负二，结果是正一。所以原来的抛物线对应的对称轴的值，它是 x 等于一，我们把对称轴做出来， 哎，这条线现在应该是直线， x 等于一。现在我们来看一下 x 取一的时候，函数是不是有最大值。当然不是， 我们看到 x 取一的时候，对应的新图像上的点，他是这个点，这个点现在并不是新图像的最高点， 事实上这个新图像两侧他是无限延伸的，所以说他没有最高点，没有最高点也就意味着函数值没有最大值。所以说 b 选项我们也要排除 c 选项， 图像与 x 轴两个焦点之间的距离为四，那么这个时候我们要求出抛下与 x 轴的两个焦点的横坐标。由于函数关系式告诉了，那么焦点的横坐标当然是非常容易能够求出来的。我们可以念 y 等于零， 也就是令零等于 x 平方减二， x 减三，然后解这个一元二次方程。这个一元二次方程的解实际上就是抛向 x 轴的两个焦点的横坐标，这个一元二次方程我们看到可以用十字相乘法进行去解， x 平方我可以写成 x 乘 x 三可以写成一乘三，但是现在它是负三，说明一和三前面它是负一号， 然后一次性它是负二 x， 这就说明是负三乘一，此时十字相乘负三， x 加一， x 恰好是负二 x， 所以 我们临时分解就可以把它写成 x 加一乘 x 减三等于零，那么 x 一 等于负一， x 二等于三。这就说明抛物线与 x 轴的两个焦点的横坐标，一个是负一，一个是三，所以两个焦点之间的距离就是三减负一，结果是四。 所以这个题目我们看到 c 选项，它是正确的。 d 选项当 x 大 于一时， y 的 值随 x 的 增大而增大，这个显然是错的。 x 等于一，它是对称轴，那么在对称轴的右边，我们看到函数图像，它有减有增，并不是单一的增函数，所以这个题目最终我们选 c 就 可以了。

好，今天来讲二次函数与一次函数的一个综合题，还有一个简单动点，先来读题，如图，二次函数 y 等于四分之一， x 方减去二分之五， x 加六的图像与 x 轴交于 a， b 两点 点， a 在 点 b 的 左侧，与 y 轴交于 c 点。好的，先来看第一问，第一问让我们求是 abc 三点的坐标，很简单啊，同学们，这道题首先我们能看到 ab 是 在 x 轴上，那 ab 在 x 轴上告诉我们的 y 点是怎么着的，它的 y 是 不是等于零的？ 好，既然图像里已经告诉我们二次函数的一个解析式了，我们直接 y 等于零，带入， y 等于 y 等于零，带入等于零，等于四分之一， x 方减去二分之五， x 加六。好，把这个二次 x 解答出来， 零等于 x 方减去十， x 加二十四。好，通过十字相乘的办法，我们能解出来， x 减六，乘上 x 减四等于六，我们可以解出 x 一 等于六， x 二等于四。 好，这个时候我们把 x 一 x 二求出来了，我们就知道 a 点坐标和 b 点坐标了， a 点坐标它得是四零吧， b 点坐标得是六零吧。 好，到这里面各个同学应该都是懂的， a 是 在 b 点左侧，所以 a 点是四零， b 是 六零。那好，此时此刻我们把 a 的 坐标， b 的 坐标都求出来了，我们应该怎么办？我们应该去求 c 的 坐标。 那好， c 的 坐标我们知道它的 x 等于零，为什么？因为 c 点在 y 轴上，所以 x 等于零代入，我们能直接看出来 x 等于零， 直接能可求出来， y 等于几啊？ y 直接等于六，那好， c 点坐标直接求出来，我们能求出来一个零六。好的，第一问已经解决了， a 点坐标是四，零， b 点坐标是六，零， c 点坐标是零六。好，第一问解答，我们来看第二问， 第二问说求过 bc 两点的一个依次函数的解析式。首先我们要知道， bc 两点好， b 点坐标我们求出来了， c 点坐标我们也求出来了。依次函数的解析式是什么？是 y 等于 k， x 加 b。 好 的，很简单啊，同学们，这道题，这道题我们直接将 b 点坐标和 c 点坐标代入就行了，好， b 点坐标代入 零等于六， k 加 b 好， y 等于几？ y 等于 y 是 六，六等于 b。 好 的，通过 b 等于六，我们能求出来， b 等于六，那六 k 等于 k 等于几啊？ k 等于负一。好的，那我们把这个解析式也给解出来， k 等于负一， b 等于六， 好，直接反过来代入到一次函数的极极式里，我们能求出来， y 等于负， x 加六。好了，第二题，这样我们也很简单的可以求出来了，我们来看一下第三题。 第三题就有点难度了，很多同学们到这个阶段我们就开始想，哎呀，这动点问题我一看就害怕，但是现在呢，阿斌老师来告诉大家，这种题咱们没有必要去害怕。首先来读一下题啊， 如果 i p 点是 x， y 指 p 点的坐标是线段 bc 上的动点。首先，线段 bc 我 们的表达式已经求出来了， y 等于负， x 加 b， 它是一个动点问题。求 三角形 b o a 的 面积与 x 之间的关系式，相当于我们要用 x 的 这个表达式来表达出来 b o a 的 面积。 同学们到这里，哎呀，是不是有点难，没关系，我们先来看一下 b 点是在 bc 线段上的动点， bc 线段是不是这条线段，我们可以先在这里面画出来一点屁，既然我们要去求 b o a 的 面积，我们是不得连接 b o 和 b a 啊， 这个时候我们能看出来，哎，这个三角形它是 b o a， 那 好，接下来我们先来问一下大家，三角形的面积怎么求啊？是不是底 底乘高再乘二分之一啊？底乘高乘二分之一，那我们来看一下，哎，那我们的底是不就知道了呀，它的底是不是 o a 的 长度 对不对？那高呢？哎，题目中好像没有给出来高的距离，所以我们第三问的第一个难点是，我们要用 b p 垂直于 o a 得到点 e， 好， 先写一下 p 点做垂直于 o a 到点 e， 好，通过从 p 点做垂直到点 e， 这个时候我们能发现 p e 的 距离是不是就有这个三角形的高的长度啊？那相当于我们是不是又能知道一个点叫做 p 点， p 点的 y 轴坐标就有这个三角形的高。好，这个时候我们再给写一下 p 的 y 轴坐标就是 p 到 x 的 距离 位高，同学们，通过这种讲法你们能听懂吗？ 好的，我们先来看一下，我们知道 p 点坐标是 x y， 且它的 x 一定是大于等于零 小于六的，对不对？这个我们能知道啊， p 点哪怕到到这个地位，它的位置一定是小于零的，小于六的它，它能最多是等于零，这是 p 点的一个取值范围，我们把这个写一下， 那好，我们之间知道了 p e 垂直于 o a， 那 我们是不是知道 e 点坐标啊？ e 点坐标是多少？ e 点坐标是不是 x 零啊？ 那好，那我们接下来看一下。首先我们知道它的这个一次函数的一个表达式是多少，是 y 等于负的 x 加 b。 那 我们来看一下 三角形的面积是多少？三角形的面积是不是底乘高乘二分之一，那我们来看一下它的底怎么表达出来，是不是 o a？ o a 的 长度是不是四， 对不对？ a 点坐标我们就写出来了，是四列，所以它的底是四。那好，它是不是还要再乘一个二分之一啊？它再乘一个二分之一，那好，那这个高高我们已经说过了，是 p 到 x 的 距离为高，是不是是它的外值啊？ 那好，那外值是不是就这个一次函数的外值？那一次函数的外值是不是 y 等于负 x 加 b 啊？负 x 加六啊？那我们可以直接将这个外值代入进去，所以就是乘负 x 加六。那好，我们来减一下二乘负 x 加六 等于负二 x 加十二。那好，这个因为这道题他问的是关面积与 x 之间的关系式。那好，那这个 x 我 们已经表达出来了，负二 x 加十二，就是这个面积的关系式。 好，这道题比较简单啊，同学们可能哪里没听懂的话，到时候咱们打在评论区，然后我这边看一下的话，再给大家一些回复。这是一个二次函数与一次函数的一个综合题，还有一个简单的动点问题。好，这道题就解在这里。

这是一道九下数学必考压轴题，也是中考数学的压轴题，考察二次函数与一元一次方程的关系。 很多孩子见到这类题目，压根不知道怎么下笔，叶老师通过一个视频给大家讲清楚，再把叶老师总结到二次函数与一元一次方程的练习，认真的做一遍，这类题目在考场上轻松秒杀。 在做这道题之前，我们先来复习一下二次函数与一元于此方程的关系。我们都知道， y 等于 ax 平方加 b， x 加 c， a 不 等于零， 它是二次函数的一般式，那么一元一次方程的一般式是 ax 平方加 b， x 加 c 等于零， a 不 等于零。好，那么这两个式子的区别是什么呢？上面的 y 明显不在了，对吧？它就把 y 变成了零，所以说它变成了一元二次方程。 那如果说我给 y 随便取一个值，是不是也变成了一元二次方程呢？比如说我让 y 取三的时候，就变成了 a x 平方加上 b， x 加 c， 对 吧？我们再把它化成一元二次方程的一般式，就变成了 a x 平 方加 b， 只加 c 减三，是不是等于零？那么这个时候 c 减三才是我们标准式的 c， 对 不对？所以说，只要给 y 取任何一个数，它都变成了一元二次方程，这就是一元二次方程与 x 函数的关系。 好，那么接下来我们来看这道题。抛物线 y 等于负， x 平方 加 b， x 加 c， 经过零动负三，通过这个条件可以把 c 组出来，对吧？也就是把零动负三带到表达式中，可以把 c 组出来， c 是 等于负三的，继续往后， 对称轴为直线， x 等于负一，那么对称轴公式是 x 等于负二， a 分 之 b 代下这个值的 a 负二乘负一分之 b 等于负一， 那么这个时候就会得到 b 等于负二。二次函数的表达式就出来了，变成了 y 等于负 x 平方减二， x 减三。好，继续。那么关于 x 的 方程，负 x 平方加 b， x 加 c， 那 么很明显前面就是我的二函数，对吧？减 n 等于零，我把这个方程给它变了形， 变成了负 x 的 平方，加上 b， x 加 c， 是 不是等于 n？ 对 照函数的表达式，也就是让 y 等于 n 的 时候变成了 e x 方程，它问的是这个方程在 x 大 于负四小于一的范围内有实数根， 有实数根我们就可以看成 y 等于 n， 它这条线是平行于 x 轴的线，对吧？它必须要与 x 函数的图像有交点，就能说明这个方程有实数。根学函数离不开图像，我们把这个 二次函数的大致图像先给他画一下，首先知道开口还知道对称轴，那么顺便我们就变换的什么顶点坐标，来求一下啊。就是当 x 等于负一的时候，我的外是多少来代一下 负括号负一的平方减二乘负一，减三等于负一，这里是减二减三，最后的话是负二，那么顶点坐标是 负一，逗号负二。接下来把它的大致图像给它画一下，尽量的根据题中的信息把它画的准确一点。那么对称轴是 x 等于 负一，那么这里有个负四，有个一，我就把它的单位乘以它标过了，这是负二，负三，负四一，对吧？那么顶点坐标是负一到负二 就在这里了，还开口向下，那么与外角的焦点坐标是负三，那么大致的图像呢？就这样子的 好，对吧？也就是那么 y 等于 n 的 这条线呢，必须和它有交点，是在这个范围内有交点，那么我现在把这个范围这个图像呢给他找到，当它是取负四的时候，它对的是点，是在这块， 在这块，然后呢一的时候呢是在这里，好，我把这张图像呢把它标注一下。 好，我们只要 y 等于 n 与这段图像有交点就可以了，就说它有实数根， 好，再看，那么我们找个边界线啊， n 这条线的话，如果放在这里，它是有两个焦点，再往上走两个焦点，走到顶点处的时候，它是不是只有一个焦点了，对吧？也就是有一个实数根了， 那么再往下走的时候继续往下走啊，必须用黑色的部分的焦点啊，那么到这里的时候 是不是也是个边界线，还有一个交点 n 再往下走的时候，他就没有交点了，那刚才我们一个算法，这里的 n 是 几？ 是负二，对吧？那么这个 n 呢？是当 x 取负四的时候， y 的 函数值，我们来代一下，当 x 等于负四， y 就 等于负括号负四的平方减二乘负四 减三，最后化解负十六，减负八加八减三等于负十一，那这里 n 呢是负十一，好，我们再来看啊，负四这里它是取不到的，对吧？然后呢这个二是取到的，所以说 它 n 的 范围是大于负十一啊，取不到负十一，然后是小于等于负二的。答案，选 c。 这道题你学会了吗？

大家好，这一讲，我们来讲二次函数 y 等于 a 倍的括号 x 减 h 的 平方加 k， 它的图像与性质。那我们先说结论啊， 第一个，当 a 大 于零的时候，开口向上，当 a 小 于零的时候，开口向下。好，这个没有什么问题，对吧？因为我们说决定二次函数，它的形状以及开口方向的啊，是 a 啊，好，第二个，它的对准轴是 x， 等于 h。 第三个，它的顶点坐标是 hk。 好， 那什么意思呢啊？也就是说这个 二次函数的函数原是这样的啊，假设这个地方是 h 啊，然后这个地方是 k。 假设啊，然后它的开口啊，朝上 啊，那这个地方的顶点啊，就是 h k 啊，当然还有可能怎么样开口朝下啊， 这地方是 h， 这地方是 k。 好， 那我们来看一下 y 等于 a， 括号 x 减 h 的 平方加 k 与 y 等于 a s 平方的关系。首先我们来看一下啊，这两个函数，你看它的二次项的系数都是 a， 对 吧？ 所以呢，它们的形状相同，开口方向也是一致的，那么只是什么？只是位置不同。 好，为什么呢？因为你看 y 等于 a， x 平方啊，首先说它的顿轴是什么？是 y 轴，对吧？它的顶点呢，是圆点零零， 而这个二次函数呢，它顿轴是 x， 等于 h 啊，它的顶点坐标呢，是 h k， 所以 这两个二次函数图像啊，它是形状相同，开口方向一致，但是位置不同啊。 好，当 h 大 于零的时候， k 也大于零。那这时候我们就说这个啊，二次函数是由啊， y 等于 a， x 平方，向右 平移 h 个单位，然后向上平移 k 个单位，当 h 小 于零， k 也小于零的时候，那么 y 等于 a 倍的括号 x 减 h 的 平方加 k， 是 由它向左 平移 h 绝对值各单位，向下平移 k 个绝对值各单位。 好。换句话来说，这个函数图像啊，是由这个函数图像啊，要么向左啊，要么向右啊，平移完了之后呢，要么向上啊，要么向下平移，对吧？好，那我们最后看一个关键信息， 像 y 等于 a 倍的括号 x 减 h 的 平方加 k， 像这种形式啊，我们称之为叫二次函数的顶点式啊， 啊，顶点式啊，那么这样写的好处是，第一个，我们可以一眼的知道它顿轴是 x 等于 h， 第二个，我们知道它的顶点是 h k， 你 看，所以这种表达方式，我们把它称之为顶点式啊。 好，第二个，函数图像平移的口诀。好，那这个平移口诀，无论是一次函数，还是我们现在学的二次函数，还是以后我们要学的反比函数，它的平移口诀都是一样的啊。 第一个针对 x 的， 我们叫做左加右减，什么意思呢？如果我们把这个函数图像向左边平移，那么它所对应的每一个 x 啊，就要加啊，因为向左平移就要加啊，那如向右边平移呢，那就要减啊。好，第二个针对 y 的 啊，叫做上加下减。 好，这个比较好理解啊，就这个函数是什么？它变大了，对吧？那变大了说明什么？是向上平移了，对吧？所以向上平移就要加。好，那如果是减呢？说明什么？说明函数值变小了，对吧？那就是向下平移了，对吧？所以叫上加下减。 好，为了巩固这个平行口诀啊，我们来做两个立体啊，好，第一个，将 y 等于 x 平行方向左个单位 啊，好，我们先操作这一步啊，那么向左平移，我们说左加，对吧？所以，那这个函数它针对 x， 你 看，原来是 x 平方，那现在每一个 x 怎么样？向左啊，那就怎么样？就加三，有没有 左加嘛，对吧？好，再平方。好，然后再向下撇，向下撇两个档位。好，向下怎么样？ y 值就减小了，所以什么呀？上加下减，向下，那就是减，所以减二。 好，这是第一个题。好，再看第二个题。好，第二个题呢？它是一个一般式啊，它是 y 等于 x 平方加二， x 减三，然后向右平移两个单位，然后向上平移三个单位。好，那这个题的说法有两种 啊，第一种是把它变成顶点式啊，所以我们来做一下啊，那么这个 y 等于 x 平方加二， x 减三。好，那它可以写成什么？可以写成 x 平方加二， x 加一， 然后再减四，可以吧？好，那前面什么？前面是 x 加一的平方减四。 好，你看把这个一般式啊，最后变成了 y 等于这样一个式子，对吧？你看它就变成了顶点式啊。好，那么顶点式它的好处是什么呢？是平行的，比较方便 啊，好，看一下啊，先第一步，向右平行两个单位，左加右减，向右平两个，所以我们的 x 怎么样？要减二，对吧？所以我们写下啊，所以它就变成了 y 等于什么呢？原来是 x 加一，对吧？你现在要减二啊。 好，然后向上平三个单位，那么最后怎么样？原来是后面是减四的，那现在是不是要加三呢？ 对吧？好，我们把它化简一下啊，变成什么呢？变成了 x 减一的平方，然后怎么样？然后减一啊？ 好，这是第一种做法，就是将一般式变成平减式，然后再来进行左加右减，上加下减，对吧？ 好，那么第二种方法呢？我们就不变成啊，点点式，我们就用一般式来做好。先说向右平行两个单位是说什么？说明它的次变量 x 怎么样，每一个 x 都要怎么样啊，都要减二，对吧？因为左加右减 啊，向右平，那就要减二，对吧？但记住啊，是它的次变量，每一个 x 都要减二，所以我们来写下啊，所以这个 y 啊，它就写的什么呢？好，这个 x 要减二。 好，后面的这个 x 也要减二，好，减三。照抄啊，这第一步啊，你看每一个自变量 x 都要减二，好，然后最后呢？向上平移三个单位啊，最后是不是要加三的？ 好，我们把它化简一下啊，最后就变成了 x 的 平方减二， x， 好，我们看下这个结果跟这个结果是不是一致的呢？啊，我们把这个化简一下啊，把它乘开，变成 x 平方减二， x 加一减一，你看，依然是 x 平方减二， x。 好， 下面我们看三道例题啊。先看第一道，已知 a 的 坐标是 x， y 以 b 的 坐标是 x， 二为二。说这两个点在抛物线啊，这个上面好，这给的这个顶点是啊，顶点是，你看前面 这个 a 是 负一啊，所以开口朝下啊。对，正轴是 x， 等于四，好，顶点呢？是四 m 啊，这个 m 视为常数啊，正负不知道啊。若 x 一 小于 x， 二小于四，则下列大小比较正确的是， 好像这种题啊，我们肯定是要竖形结合的啊，只知道对正轴是四 啊，这个地方是四，也只知道开口朝下啊，但这个 m 大 和小不知道啊，比方说它有可能是这样的，对吧？那有可能呢， 是这样的，对吧？啊，都有可能啊，但具体不清楚，是吧？好，他说 x 一 是小于 x 二是小于四的，换就是 x 一 和 x 二都在四的左侧。 好，那我们看一下，无论是这哪个图，哪一个啊，都无所谓啊，怎么样，他的左侧怎么样？都是一个正函数，对吧？ 所以怎么样随着 x 的 增大而增大，所以这个四数对应的 m 最大， x 二对应的 y 二，这第二档啊， y 一 最小，所以呢，应该是选 d 啊， m 大 于 y 大 于 y 大 于 y 一 啊。 再来看第二题，当 x 大 于等于负二小于等于一时，二次函数 y 等于负的 x 减 m 的 平方加五，有最大值是四，让你求实数 m 的 值。 好，那一样的啊，这个图像我们要把它画一下啊，它的 a 是 负一开口朝下啊，它的这个重坐标啊，最大值是五，对吧？它对准轴是 x 等于 m， 这个 m 不知道，那我们就分了讨论，可以吗？ 好，如果这个 m 是 零，那它对准轴怎么样？就在 y 轴啊，那它应该是这样的， 对吧？那这个地方就是五，这个时候 m 等于零的啊，假设啊，假设这个地方是负二吧，那根据对称性，那一要离对称稍微近一点，那这是一。好， 那它有最大值，那最大值是什么？最大值是五，对吧？好，那说明这种情况就不存在，对吧？ m 肯定是不认为零的啊。好，第二种情况，比如说 m 大 于零。 好，大于零是这样的啊，那它对准轴是在这边？好，大家划一下， x 在 负二到一。好，那假设这地方是负二吧，它的最大值是四啊，那一应该在这个位置， 对吧？啊，那这个地方应该是四啊，好，这是一个正函数，对吧？所以要让它取最大值啊，是四，那应该是当 x 等于一的时候啊，那么这个 y 啊，它就等于什么等于四啊？ 好，我们可以带进去啊，带进去，那就是负的怎么样？一减 m 跨的平方啊，加五等于四，所以呢，这个 m 等于二或者是零的啊。好，这个零要舍去啊，应该说是 m 大， 因此， 好，第三种情况，那就是 m 小 于零。好， m 小 于零，它的同样值，它是这样的，以为它对应轴是什么呀？是在负半轴啊，它是这样。 好，那假如这个地方啊，是负二，这地方是一啊，所以你看在这个右侧啊，是负二，这地方是一啊，所以你看在这个右侧啊，是一啊，也就是当 x 等于负二的时候， y 呢，等于四啊，所以我们可以代入啊，那就是负的括号负二减 m 的 平方加五等于四，这个 m 呢，等于负三 或负一。好，那我们看一下啊，这个 m 肯定是在负二的左侧，对吧？它不可能在在负二的右侧，对吧？那因为如果在负二的右侧的话，那这个时候取掉的是不是四，那应该是五，对吧，所以这个负一要舍去。 好，所以中上啊，这个 m 只能等于二或负三啊，选 c 好，看，最后一道，若二次函数 y 等于 a 倍的括号 x 减四的平方加四的图像，在 x 大 于二小于三这一段，位于 x 轴的上方，在六到七这一段是位于 x 的 下方，让你求 a 的 值。 好，我们看一下啊，现在目前的情况是，我们只知道它的对称轴是 x 等于四，它的顶点是四四，但这个 a 大 与小你还不知道啊？我们来看一下啊， 好，这是四，这也是四啊，这是顶点，所以它有可能是这样，但是呢，也有可能是这样， 对吧？有可能开口朝上，有可能开口朝下啊， x 大 于二，小于三，这段在 x 的 上方，好，那从这个看和这个看似乎都可以满足，对吧？所以目前还不能判断好。再看这一段， x 大 于六小于七的时候啊，这一段位于 x 的 下方，那显然这个肯定是不可能，对吧？是不是所以只能是这个啊？只能是这个，好，那我们看一下啊，那就意味着什么呢？那就意味着，比如说这个地方 应该是二，对吧？好，那还有什么呢？意味着六到七是在下方啊，那意味着这个地方 啊，应该是六，对吧？什么意思呢？也就是说当 x 等于二的时候啊，那这个函数值怎么样？ y 是 要大于或等于零的， 并且啊，当这个 x 等于六的时候 啊，这个 y 呢，是要小于或等于零的啊，是这个意思，对吧？啊，那就是四 a 加四要大于零啊，好， x 等于六啊，六减四啊，也是二二的平方，那也是也是四 a 加四 啊，它要小于等于零，好，那什么意思啊？你看，四 a 加四要大于等于零，也要小于或等于零，那只能说明什么？所以这个四 a 加四，它只能等于零，对吧？所以呢，这个 a 是 等于负一的啊，好，以上就是我们自己讲的全部内容，谢谢各位。

大家好，今天我们接着探索二次函数的图像和性质。首先来看两个函数， 二次函数 y 等于 x 平方的图像是一条开口向上的抛物线，它的对称轴是 y 轴，也即是直线 x 等于零，顶点坐标是零，逗号零。 函数 y 等于二， x 平方加三也是一条开口向上的抛物线，它的对正轴也是直线 x 等于零，顶点坐标是零，逗号三。这两个函数二次项的系数都是二。 知识长数向 c 不 同，所以函数图像形状相同，位置不同，所以 y 等于二， x 平方加三的图像可以由 y 等于二、 x 平方的图像向上平移三个单位得到。 一般的 y 等于 a， x 平方与 y 等于 a、 x 平方加 c， 这两个函数的图像是可以通过平移得到的。 在这里，如果 c 大 于零， y 等于 a、 x 平方的图像向上平移 c 个单位，即可得到 y 等于 a x 平方加 c 的 图像。当 c 小 于零的时候，是向下平移，绝对值 c 个单位， 这是根据常数向 c 的 增幅来决定是向上平移还是向下平移。那么这个图像是不是可以左右平移呢？ 我们来看一下今天的内容。首先在同一坐标系中做出二次函数 y 等于二次平方与 y 等于二倍的括号 x 减一括号平方的图像。 同样的先列表在纵调系里面描出这些点，用光滑的曲线将这些点连接起来，就得到这两个函数的图像。 观察这两个函数图像，它们都是开口向上的抛物线，形状相同，位置不同。 对于 y 等于二 x 平方来说，它的对称轴是 y 轴，也即是直线。 x 等于零， 顶点是圆点零，逗号零。对，抛物线 y 等于二倍的括号 x 减一括号平方，它的对称轴是直线 x 等于一顶点，坐标是一，逗号零。 这两个函数二次项系数 a 都是二函数，图像形状相同，位置不同， 所以二次函数 y 等于二 x 平方的图像向右平移一个单位，即可得到 y 等于二倍的括号 x 减一括号平方的图像。类似这两条抛物线的关系， 想一想， y 等于二倍的括号 x 加一块儿平方与 y 等于二 x 平方的图像有什么关系呢？对，只需将 y 等于二 x 平方的图像向左平移一个单位即可。 抛物线 y 等于二倍的括号 x 加一块儿平方的堆成轴时，直线 x 等于负一 顶点，坐标是负一，逗号零。由此，我们可以总结出二次函数 y 等于 a 倍的括号 x 减 h。 括号平方与 y 等于 ax 平方的图像呢关系 在这里是需要凸向左移或者右移得到，到底向左移还是向右移，是根据 h 的 正负来确定。当 h 大 于零时， y 等于 a x 平方的图像向右平移 h 的 单位，即可得到 y 等于 a 倍的括号 x 减 h 括号平方的图像。如果 h 小 于零，只需向左平移绝对值 h 的 单位即可。 到此我们知道，当抛物线的形状相同的时候，我们可以通过上下平移或者是左右平移的形式来找到图像之一的关系。下面我们来看一个具体的题目。 第一，在同一坐标系中作出二次函数 y 等于二 x 平方， y 等于二 x 平方减一， y 等于二倍的括号 x 加三括号平方与 y 等于二倍的括号 x 加三，括号平方减一的图像。分析图像间的关系三步骤 列表描点点线。在此，我们若画画图的过程，依次给出四个函数的图像。 第一个， y 等于二 x 平方的图像，这是一条开口向上的抛物线，它的对正轴是 y 轴，也即是直线 x 等于零，顶点坐标是零，逗号零。第二个， y 等于二 x 平方减一的图像， 它也是一条开口向上的抛物线，它的对称轴是直线 x 等于零，顶点坐标是零，逗号负一。第三个， 这是 y 等于二倍的括号 x 加三块二平方的图像，它仍然是一个开口向上的抛物线， 对正轴是直线 x 等于负三，逗号零。 第四个，这是 y 等于二倍的括号 x 加三，括号平方减一的图像。同样是开口向上的抛物线，对正轴时，直线 x 等于负三，顶点坐标是负三，逗号负一。 很显然，这四条抛物线形状相同哦，位置不同，可以通过平移 y 等于二 x 平方来得到其他的三条抛物线。具体来看一下 四个函数， y 等于二 x 平方最简单， y 等于二倍的括号 x 加三，括号平方减一相对来说最复杂。这两个函数同样之间又有怎样的平移关系呢？我们来看一下。 y 等于二 x 平方，如果向下平移一个单位，即可得到 y 等于二 x 平方减一的图像。对于 y 等于二 x 平方减一， 如果向左平移三个单位，即可得到 y 等于二倍的括号 x 加三块二平方减一的图像。 就是先向下移一个单位，再向左移三个单位得到。是不是有第二条路径呢？当然有。 y 等于二 x 平方的图像， 先向左平移三个单位即可得到 y 等于二倍的括号 x 加三括号平方的图像， 再向下平移一个单位即可得到 y 等于二倍的括号 x 加三块二平方减一的图像。这是先相作平移三个单位，再向下平移一个单位得到。 有这个问题，我们知道，形状相同、位置不同的抛物线，相互之间可以通过平移得到。好，这节课就到这里，再见。

好，我们今天来讲初三的二次函数的题目，我们先来看一下题目， abc 三点点 a 的 坐标是负一零， 点 b 的 坐标是四零，然后点 c， 再往一轴正半轴上切， a b 等于 o c， a b 等于 o c。 第一个让我们求点 c 的 坐标，那 a b 等于 o c， 求点 c 的 坐标，不就求出 o c 的 长度就可以了？那 o c 等于 ab， ab 应该是等于多少啊？ a b 的 话，它是负一零，它是四零，把它两个一加不就行了吗？是不是绝对值一加我就知道它是多少了，就是四加上负一的绝对值，应该是等于五，也就是 ab 的 距离应该是等于什么五，那 c 点的坐标不就出来了吗？零它在什么正慢轴上，那不就是零五吗？ c 点的坐标就是零五。很简单，第一问，哈， 我们来看第二问，第二问，我们今天讲的重点，第二问说求二次函数的表达式。那二次函数的表达式我们初拿到这个题目，其实最简单的啊，就是 最常想到的就是把三个点的坐标往里面一带，是不是把零五和四零和负一零往里面一带也能求出来，但是会不会相对复杂一点呢？对不对？是不是会相对复杂一点？那给了我们这样的一个图像和这样的坐标之后，我们应该怎么做能够更简单，更快，准确率更高呢？ 那很显然我们不能再设一般式了，不能再设完等于 x 平方加 b， x 加 c 了，给了我们两个焦点焦点坐标，这么好的条件，我们肯定要设焦点式，那焦点式我是不是可以直接设 y 等于 a？ 我 不知道乘以第一个点是多少？是负一零，那是不是就是 x 加一？再乘以第二个点是四零， x 减四，是不是？那我是不是直接这样算出来以后，我发现里面 只有一个未知数，就是 a， 是 不是？那他的两个我们现在验算一下，那他的这两个焦点坐标就是与 x 的 焦点，是不是就是负一和四，是不是？所以那给出这样的一个解析式之后，我们再去带零五， 对不对？再去带零五就很简单，我们往里面一带呢，往 a 等于 a， 我 保持不变，零加一还是一，是不是对不对？零加一还是一， 然后呢？后面呢？后面还是零？零带进去之后应该是多少？负四是不是？零减去四等于负四嘛？那么它等于多少啊？等于五，是不是？把零五往里面一带，就得出一个这样的式子，那就是负的 四 a 应该等于五， a 是 不是应该等于负的四分之五？那它的解析式不就是 y 等于负四分之五，乘以 x 加一，乘以 x 减四吗？ 你直接写这样也是可以的，虽然我们正常习惯来写啊，都是写一般式多，但是你写成顶点式啊，焦点式啊，都是可以的。那像这样我们直接设焦点式的话，做起来会更简单一点，因为已经给了你两个焦点坐标，那如果他给的是这种顶点的一个坐标，那设顶点式就更方便。 他如果给的既不是顶点也不是焦点，就给了你普通普通的三个坐标，那你就说一般式。像这种给焦点式的，你肯定要说焦点作焦点式的解析式会更好一点。今天最重要的就是讲用最简单、最快的方法去求解析式，不能所有的式子拿出来，就把一般式往里面套，那会非常复杂，那今天你学会了吗？

好，你看这题，这个题目呢，他其实现在给了我们一个视频量的这个取值范围，然后说他的这个 y 的 取值范围是这么多，那我们现在最重要的一个问题是，不知道他是当 m x 等于 m 的 时候， y 是 取三 m 还是取三 n 的 值，对不对？ 因为他有可能会直接反过来，对吧？比如他是在递减的时候，他就可能会反过来递增的时候，他这个是存在的。所以这个时候我们得要确定一个东西，就是这个 x 的 取值范围是不是应该给它定掉？那这个时候我们就回过头来研究我们的这个啊， 加上它，好来看一下它的取值范围是多少啊？是不是负二 a 分 之 b 啊？对，负二 a 分 之 b 在 这个时候等于多少？是不是等于一啊？ x 等于一的时候，那注意，在这种情况下， 他的出电量的起值范围 x 等于一，那他的这个最大值是多少？因为我这个时候是什么？是 a 小 于零的时候吗？所以他只有最大值能理解不？那他的最大值是多少呢？我这个 y max 是 不等于四 a 分 之 c， a c 减 b 平方呢？ y max 对， 这个四 a 是 多少？是不是四乘以负二分之一， cc 呢？是不是零啊？嗯，然后呢？再减 b 平方，是不是减一啊？对不对？所以这个时候呢？四乘以负二分之一是不是等于负二？他是不是等于二分之一啊？看，没有。 所以这种情况下，我的这个整个函数的 y 的 值值最大值是不是已经确定了？那也就是我这个三 n， 这个所谓的 y 能够取的值的范围，这个三 n 是 不是一定要小于等于二分之一？能不能理解？ 就是我总的这个，我的这个数值，那我这个 y 所能够取到的三 m 和三 n 现在这个里面所能取到的最大值是不是三 n？ 就 这个三 n 是 不是一定都要比我整个函数的那个所谓的最大值是要小的？因为它是小于三，而，对吧？所以我这个 n 是 不是要小于等于六分之一的啊？是不是等于小于六分之一的？ 那也就是我的这个范围，也就是 x 是 不是得小于六分之一？嗯，好，你注意，我根据函数图像来判断我次倍量的取值范围是在哪里的呢？啊？对折是哪里的？是不是 x 等于一啊？我这个这一段值得取哪里？是不是得要取六分之一啊？ 所以你看是不是得在这一边这个红色的区域内，能理解吧，也就是他只能取这一段，所以当他取这一段的时候，我什么时候取最大值呢？这个时候这个就是递减递增的区间了吗？啊？ x 等于，对，那从这个地方我就能判断出，当 x 等于 n 时，我 y 是 等于多少， y 是 等于三， x 等于 m 时， 然后 y 乘以多少， y 乘以三 m 啊，好，然后再把它带入进去，我就能求得。比如说负二分之一 n 的 平方加 m 是 等于三 m 的， 以及负二分之一 m 的 平方加 m 是 等于三 m 的， 从这个地方我能求得 分别 n 和 m 的 两个值，那当然这两值肯定是一样的。嗯，啊，一个是零，一个是负四，同样的这个零也是负四，所以这个时候你要注意，我 n 取哪里啊？取零 m 呢？取负四。为什么呢？因为我不能倒过来嘛。嗯，对不对？所以我这个 m， 也就是这个 x 得要干嘛？大于 m 小 于 n 的 时候，它其实是大于负四，小于零的哦，所以说 n 在 这个是等于零， m 就 等于负四哦，嘿嘿嘿。

好，我们来看一下这一道二次函数与角度存在性问题。角度存在性问题其实是有固定的解析套路的，所以这道题目呢，建议同学们可以反复观看啊，把这个方法掌握了，所有的角度存在性问题都可以解决， 包括二倍角啊，包括二倍角。好，我们来看一下这道题目，这道题目并不长啊，比较简单说，有一个抛物线与 x 轴交于点 a 啊，坐标是负一零，还有一个点 b， 不知道与 y 轴交于点 c， 顶点坐标是一负四，要求解析式。这里的话，建议大家可以啊，重新设一下这个解析式啊，重新设一下这个表达式，把它设为顶点式，设 y 等于 a， 括号 x 减一，括号的平方减四， 再把这个点 a 坐标代入啊，就可以求得这个 a 了。 a 求出来呢，答案是等于一，再代入，把这个表达式化解一下， 化简的结果是 y 等于 x， 方减去二， x 减三啊，这个是它的表达式啊，第一问就结束了，比较简单。好，第二问呢，就是要我们找到角相等，看一下是什么角是角 pcb 等于 cbd 啊， cbd 是 本来题目当中就有的这个角，我把图稍微放大一点点。 好， cbd 原本就已经有了，我们要的是 pcd 啊， pcd 找到二次函数上的点 p。 那 第一种情况是比较简单的，所以这种角度存在啊，大家不要害怕，一般情况下，我们考到的角度存在，会有其中一个答案比较简单，是可以啊，快速出答案的， 把抛物线再稍微延长一点点。好，那它的焦点就会在这个位置啊，这个地方就是我要的 p e 啊，要的 p e。 好，那这两个角相等，这两个角相等，那我们就会发现他们两个的位置关系是内错角啊，内错角，那马上就可以得到啊。因此， c、 p e 是 平行于 b、 d 的 啊， 是平行 b、 d 的， 那在坐标系当中，如果有两直线平行，那就代表他们的 k 是 相等的啊，依次函数的 k 值相等，那我就可以先去求一下 b、 d 的 解析式啊，求一下 b、 d 的 解析式。好，那在此之前，还要再求一下 b 点的坐标 啊。这里面很多过程我就先省略不写，主要以我口述方法为主啊，好点， b 的 坐标为三，零点 d 的 坐标呢？已经有了，是一负四，马上就可以得到 b、 d 解析式。好，我们来口算一下， y 就 等于 纵坐标之差是四，横坐标之差是二，那就是 y 等于二 x 减六啊，这个是 b、 d 的 解析式。好，因此 c p e 的 解析式就可以设为 y 等于二 x 加 b 啊。二 x 加 b， 那 因为它是过点 c 的， 那只要把点 c 坐标代入，那 b 马上就可以求出来，它是负三啊， b 是 负三，所以啊， c p e 的 解析式就可以啊，得到了，那我还是写成加 b， 因为我前面写了一个设啊，写了一个设 好，因此它就是 y 等于二 x 减三，那这个是 c p e 的 解析式，那 p e 的 点坐标怎么来呢啊？ p e 点坐标可以连立两个函数，一个是 y 等于二次减三， c p e 的 直线，还一个就是二次函数 y 等于 x， 方减去二， x 减三， 这两个函数连立一下，就是我要求的点 p 坐标。好， p 点的坐标，最后的答案得到的是啊，四五这个答案得到的是四五数据还是比较好看的啊。这是第一种情况，这第一种情况，好，来，我们来第二种情况， 第二种情况换一个颜色啊，比较好，这样在图上面比较好区分。好。第二种情况呢，那就是关于 c b 对 称， c p e， 关于 c b 对 称的位置，还会有一个答案， 大概是一个这样的一条线啊，这条线画长一点会好看一些些。好，然后它与二次函数的交点是在这个位置， 这个就是我们要的 p 二啊，要的 p 二，那在这里面想要直接得出 c p 二的解析式是不太可能的啊，难度有点大，难度有点大，那这里的话啊，就要讲到我的通用方法了，那我们比较建议啊，建议大家构造 k 字形，构造 k 字形的全这个相似 构造 k 字形的相似进行解决。好， k 字形怎么来呢？你可以先把这个角啊，我要找的这个角的两条射线再给我描一下，一条就是我原本画的绿色，那还有一条就是 c b 这条射线啊，把这两条射线描一下。好，在这两条射线上，请你找到定点， 请你找到一个定点，那我能够找出来的定点只有点 b 啊，找出来的定点只有点 b。 好， 那找到点 b 之后干嘛呢？以 b 为直角构造一个直角三角形，就是过点 b 做 b 自身的垂直啊，构造一个直角三角形，那你能够构造出来的情况也就只能是这样子了 啊，只能是这样，这边有一个直角。好，假设这边的有一个焦点，假设是 q， 那 我就得到了 c p q 是 一个直角三角形啊， c p q 是 一个直角三角形，那这个直角有啥用呢？啊？我要去解决一下我要求的这个角的 tangent 值， 也就是要去解决一下 tangent 角 bcq， 如果这个 tangent 解决了之后，那我的对边 b q 比上零边 c b 啊，这个两条直角边之比就有了，这样的话， k 字形的相似比就能有了。 好，那它的 tangent 的 值怎么去解决呢？那它等于谁呀？它等于 c、 b、 d 啊，等于角 c、 b、 d， 所以 我想要去解决它，我就要先去解决 tangent 角 c、 b、 d 的 值啊，解决一下 tangent 角 c、 b、 d 好， 我们看到 c、 b、 d 好，看到 cbd 好， cbd 在 这个位置哈，在这个位置，那连接一下 cd 啊，连接一下 cd 这道题目呢，出题老师他是数据凑好的，还是比较友好的啊，那我们 c 点的坐标是零负三， d 点的坐标是一负四，那你就会发现 cd 其实是一个斜向下的四十五度的一条线段， 斜向下的四十五度的线段，然后发现 c、 b 是 斜向上的四十五度的线段，那因此 c、 b 和 c、 d 恰好是垂直的啊，恰好是垂直的，如果他们这里面没有现成的垂直的话，你们可以去找一下这个垂直啊，要去构造一个直角三角形。 好，那回到我的这个答题过程啊， tangent 角 cbd 就是 等于 c、 d 比上啊， c b 好， c、 d 的 长度是多少？是根号二， c b 的 长度是三，根号二，所以这个整数就等于三分之一。好，那因此这个长度就出这个比值就出来了啊，那它 b q 比上 c b 就 等于一比三啊，等到一比三好，接着接着用它来构造啊，用这个编织笔来构造 k 字形， 构造 k 字形相似来构造 k 字形好，再构造到这里的话，大部分同学应该就已经啊，可以可以自主的去构造了。好，直角在这里，那点 q 做一个垂直，垂直于 x 轴，好，然后点 c 呢，也是做 x 轴垂直，那这个垂直的话是现成的啊，是现成的， 然后再连接一下，那你看到我这个蓝色部分的两个直角三角形，它们就是相似的啊，相似的， 是相似的，好，那这个 k 字形我写一下，是三角形 b h q 啊，相似于三角形 c o b 啊，这个两颗三角形相似，而且相似比，相似比就是刚才的 b q 比上 c b 相似比就是一比三啊，相似比是一比三。 好，因此很多长度就可以出来了。好，那我们回到图上， o c 的 长度是三，所以 b h 的 长度就是一啊， o b 的 长度是三，所以 b h q 的 长度也是等于一，那因此啊，因此就可以得到点 q 的 坐标，它在 b 往右一个单位，再往下一个单位，那坐标就是四 负一了啊，四负一了，好，那么图上面 q 是 怎么来的？ q 是 在直线 c p 二上，所以 c p 二的表达式就可以啊，表达出来了，那 c p 二也就是 c q 啊， c 点坐标是零三， q 点坐标是四负一啊，口算一下，它就是 y 等于。 纵坐标之差是二，横坐标之差是四，所以它的 k 就是 二分之一， y 就 等于二分之一， x 减三啊，这个是 c p 二，好，最后的计算啊，这差最后一步了，那我们要求得这个 p 二的点坐标，那就要连立直线 y 等于二分之一， x 减三和 y 等于 x 方减去二， x 减三啊。连立两条 函数表达式连累之后，你就可以得到 p 一 二的点坐标啊。 p 一 二的点坐标算出来的答案是啊，这个二分之五负四分之七啊，这个点坐标就出来了，这是这一道题目。

哈喽，朋友们，这个视频我们给大家说一下第四这道打卡题目的处理方法。当然这道题呢，其实是重庆今年的一个中考专题啊，但是他并不是压轴题，他是倒数第二题，后面还有一个几何综合大题。当然说到这，我觉得你可能做这个题目，信心应该会更增加一些啊。 呃，那我们一起来看一下。他说平面直角坐标系中呢，有这样一个抛物线，与 x 轴交于 a b 两点，与 y 轴呢，交于点 c， 并且我们知道他的一个对称轴是直线 x 等于二分之五。 好，那么在这的话，你会知道对称轴是负的二一分之 b， 所以 a 知道，那么 b 是 可以求出来的，对不对？ 再把 b 点的一个坐标代入，就可以直接求出抛物线的解的提示啊。那这个题目的话呢，大家可以自己去把它的一个求解过程再完善一下，我这就不详细去说了啊。首先负二分之 b 等于二分之五，从而得到 b 等于 负五，然后把我们的这个代入，那最后的话呢，得到应该是 y 等于 x 的 平方减去五， x 减六。 好，接下来我们来看第二文啊，它点 p 呢，是射线 bc 下方抛物线上的一个动点，连接咱们的 o p 啊，与射线 bc 呢，交于点 q d e 啊，为抛物线对准轴上的一个动点，两个动点啊，并且一直在 d 下方，而且知道 d e 等于四，但你读完这个，你就要意识到大概率是旋转桥了， 连接我们的 b d 和 p e， 他 说当我们的 p q 比上 o q 取得最大值时，求点 p 的 坐标，以及 b d 加 p e 的 最小值。当然这个题目的话呢，它其实就说白了绕了一下对不对？首先的话呢，你得先求出什么时候 p q 比上 o q 最大，那把这个 p 点 搞定，屁点搞定之后呢，我们再去解决后面的这样一个最值问题，对不对？我们一步一步来思考啊。 显然对于这样一个比例问题来说呢， p q 和 o q 是 同一直线上相邻的两条线段，我要求比值第一时间想的就是直接去表示，肯定是比较麻烦的，所以我们要进行一个转化，那么比例问题的转化核心想到的就是相似构造，所以我在这可以构造一个八字相似，你从屁点 往正上翻呢，引一个竖直线，假设交叉于一个点，假设是 q 点吧， 有 q 点了，那我们就用 t 点表示吧， a t。 好， 那这个时候的话呢，其实我们得到的就是一个什么啊，有一个八字形的相似了，这有个八字形相似啊，我们来先把这个思路给它呈现一下，左 p t 平行于我们的 o c 交 b c 与 t 啊， 那这个我就快速的说一下，所以得出来 p q 比上 o q 啊，那么你可以思考一下，谁会比较好表示，当然是 p t 比上我们的 a c 哦， o c 在这里面的 oc 我 觉得是非常明确的，这个长度是六，当然 b 点坐标也知道，这个也是，呃，六到零， a 点坐标呢，你可以说快速的算一下，很明显他应该是负一到零，对吧？这个的话呢，都是比较基础的东西，我就直接给他说了。 好，接下来的话呢，我们要求他的一个最值啊，我觉得就是说白了又回归到了求线段的最值了，因为 o c 是 定值六嘛，所以就是六分之 k t， 那 这个的话呢，应该说做的非常之多了吧，我们设点表示， 哎，我们的这个线段，你设 p 点坐标，然后再设得到 t 点坐标，最后把 t p 表示出来，然后呢求它的一个最值，这个的话呢，我就直接说结论了，我们给大家说过这里面存在的一个二级结论就是什么，当我们的 p 点横坐标是这条 直线与抛物线两个交点横坐标的中点时，它是不是取到一个最大值？那么也就意味着这两个交点一个是 c， 一个是 b， 横坐标分别为零和六，那么这样 p 点的横坐标我们就可以得到， 应该是等于三的，所以 p 点我们在这直接给答案了，你自己要去可以把它写清楚一点。 好，那么 p 点的坐标知道之后啊，我们进一步去处理后续的问题，这个其实就比较直白了啊，比如在这个情境下，我现在要求 b d 加 p e 的 一个最值，这个我觉得是非常清晰明了的吧，是不是就是一个选址造桥问题啊？那我们的思路就是把这两个 合并起来对不对？那构建成一个首尾顺次连接的线的，所以你在这平移，你平移 p e 也行，或者平移 b d 也行啊，你比如说我在这就要不就直接平移 b d 吧， 那么把 d 点往下平移，因为 d、 e 的 长度是四个单位，所以我们把 b 点也往正下方平移四个单位，得到我们的 b e。 好，这个长度也为四，那么本质是不是构造了一个平行四边形，所以 b d 始终是等于咱们的 b e 的， 那这个问题也就顺利的转，转化成了什么呢？原本是 b d 加上 p e 的 最小值， 它就等价于我们的 b e e 加上 p e 的 一个对值。那这个的话呢， b e 的 坐标是不是也是非常明确的？横坐标使六纵坐标变成了负四， 这个我们只需要进行一个两定移动的将军一马处理即可。所以你这可以再做一下我们的对称点，但你做 b 一 的对称点也可以，或者说 p 点的对称点我都可以吧，这个没什么区别，所以我们就直接再继续在 b 一 上面去构造吧。 做 b 一 关于 e 点运动轨迹，也就是这条对称轴。呃，我们的 x 等于多少呢？二分之五的对称点。好，假设这个是我们的 b 二， 那么此时 b 一 e 是 不是总等于 b 二 e， 那 么最值在于就是连接 b 二 p 就 好了。这个的话呢，就是一个占均一码啊。 b 二的坐标，横坐标，他们俩横坐标的中点应该是二分之五，所以横坐标之和应该是等于五的，所以横坐标是负一，中坐标为四。 好进一步转换成啊，等于我们的这个什么呢？ b 二一加上我们的 e p 啊，这个我再写一下吧。 b 二一加 e p， 所以 它的一个最小值啊。 b d 加上 p e， 它的一个最小值 应该是等于 b 二 p 的。 那这个的话呢？两个点坐标都知道，我们直接两点之间的距离，公式也是根号下 横坐标的差值，嗯，是等于四的，所以是四的平方正坐标差值是。哎，这个是负四啊，正坐标差值是等于八的，所以加八的平方四八四倍根号， 那所以这个第二问呢，我们就把它搞定了啊。第二问一共是有两个问题的落脚点，一个是 p 点坐标以及这个和的最小值。当然有的题目的话呢，他可能要求的是 b d 加 p， e 加 d e 的 一个最小值，这个你还要注意把中间这个定产线段要加上。 好，然后我们来看一下第三问啊，他说啊，在二中当他取得最大值的条件下啊，那也就意味着这个屁点呢，依旧和之前是一个道理啊，屁点坐标 我们先写一下，也就是三度哦，负十二。他说我们将这个抛物线啊，沿着 bc 方向平以二倍根号二个单位得到外一撇， 那么 m 点是 p 点的对应点， n 点呢，是 y 一 撇上的一个动点， 如果这个角 n a b 是 等于角 o p m 减去四十五度的，请直接写出符合条件的 n 点坐标，并且写出其中一个过程。好，那么我们在这的话呢，依旧是把思路啊，带着大家去顺清楚。首先的话呢，我们把这个图形啊带大家去顺清楚。首先的话呢，我们把这个图形啊带大家先把它平移划一下啊， 这个平移的话呢，是斜向下平移了什么呢？二倍根号二个单位，那当然的话呢，我觉得，呃，你要意识到 这条线 bc 他 本身与 x 轴夹角，是不是这个就是一个四十五度角，所以我们往斜向下的一个方向平移，我可以拆分成水平和竖直两个维度，那也就是什么呢？ 向，应该说是向左移两个单位，以及向下移两个单位，对不对？通过这个我其实就可以求出来他具体的一个新的解析式。好，那我在这的话呢，先把这个图形啊画一下，比如左下，那 左下左二下二，那应该是这样一个差不多啊，画成这样一个形式。好，那么屁点的一个对应点啊。嗯，但我们的这个对称轴应该是跑到这边了的， 这画的好，那也就是屁点大概是这个位置， 这是它的对应点 m 点啊。那么 m 点是不是也相当于把 p 点往左两个单位，所以横坐标变成一，纵坐标变成负的十四 啊？这个的话你自己要想清楚。好，接下来我们要进一步去分析啊，就是说你现在是在新的这个抛物线 y 撇上去找一个点 n 嘛，使得我们的什么呢？ n a b， 我 们随便先画一个 n a b 这个角 啊，这个角它是等于 o p m， 我 们来找一下 o p m， 那 它是这样一个角 减去四十五度。好，我们来思考一下， o p m 减四十五度是个什么玩意？我其实说了， p 到 m 是 不是也是斜向下走了二倍根号二，而且我们知道它斜向下就是一个刚好为四十五度的夹角，对不对？ 所以啊，你会发现，那么 o p m 减四十五度是刚好，也就相当于是 o p 与这个 我可以理解为水平向左的这个方向的一个夹角吧。那这个夹角我觉得应该说是非常明确的， 它的一个大小以及三角函数值，我觉得毋庸置疑，可以轻松地结合 p 点和 o 点的坐标求出来吧。好，那也就我知道这个大小了，那我接下来要去构造一个角 n a b 等于它这个思路是不是就非常的简洁明了了？那么怎么做呢？我们来一起看一下。 首先你可以先把新的抛物线解释式啊写一下。呃，那新的抛物线解释式我就直接不去写顶点坐标了啊？呃，我就不去写顶点式了，直接用我们的这个一般形式去说。 呃，根据我们的上加下减函数向左加右减，自变量向左两个单位，所以我的自变量原本是 x 的 平方变成了左加，也就是 x 加二的平方，然后减去五 x 也是，哎，五倍的 x 加二 再减去六，还要再减去二，乘除下是不要减去一个二。好，那这个的话呢，你把它进行一个简单的展开整理，应该得到的就是 x 的 平方啊，这里面的话呢，有一个四 x， 再减去后面的五 x， 那 就是减去 x 啊，然后的话呢，是乘除下，也就是四减去十，然后再减去我们后面的八，对不对啊？所以应该是减十四， 这是新的一个函数解析式。好，至此的话呢，我们的这个针切值啊，也就是 tangent 角 n a b 这个角的一个大小应该是等于多少呢？根据我刚才所求的，那也就是你从 p 点直接往这边引垂线就好了，这个点我们称之为 h 点吧， 就等于我们的什么呢？ o h 比上 p h， 也就是十二比三，是不是等于四的 这个角的大小我是明确的，我要构造多大的一个角。好，那这个角的话呢，我们来快速的分析一下，你就会发现我们 a b 这条线是确定的，那所以他是不是有两种情况，一种是在他的一个顺时针方向，一种是在逆时针方向。好，那在这的话呢，自然我们两种情况分开来进行一个系数啊，一种情况，因为这个角很明显他不是一个钝角啊，所以我把图画的稍微标准一点，那么换一种颜色， 假设这是一种情况，这个点呢，对应的是我们的 n 一 啊，那此时此刻的话呢，我们的 n 点，我们就直接可以进行一个坐标的假设了，设它横坐标为，呃，就为 a 吧，这个题目 a 好 像没用过，那纵坐标占也就是 a 的 平方减 a 减 十四。好，接下来我是不是就可以求出它的一个解析式了？同样，你从 n 一 往 x 轴引个垂线，假设这个是我们的 呃， f 吧，打 f。 好， 那么第一种情况啊，当我们的 n 在 x 轴下半时， 这个时候则有什么呢？呃，我这说的就比较简单了啊。呃，那么此时此刻我们的这个正切值是不是就是它的一个核心关系啊？那就是纵坐标的相反数， 负 a 的 平方加 a 加十四除以横坐标，也就是 a f 它的一个长度，那自然就是拿 a 加上一，因为 a 点的横坐标是负一，对不对？那这个的话呢，我要求它要等于四的，那你把这个的话呢，进行一个求解，那我们求出来解的 a 一 是等于负五，那这个肯定要怎么样呢？舍去， 而 a 二是等于我们的二的，这是 ok 的 啊，因为我们通过这个 两种情况，我知道 a 点应该此时此刻是一个正的情况啊，为什么会出现另一个情况的话呢？就因为啊，这边还有一个情况，我实际求解是这样一个角，那这个时候这个角确实也满足，和这个角大小一样，但是它不再是什么呢？ n a b 了啊。 所以说呢，你自己把问题要理解透彻，为什么会出现一些其他的一个值？好，那么此时对应的 n e 的 坐标也就出来了， 横坐标是二，纵坐标是负的十二，那因为我们这个点的横坐标肯定是要大于什么呢？ a 点的横坐标的好，那另一种情况呢？自然就是在上翻的时候，对不对啊？我觉得思路差不太多啊，思路差不多的，所以第二种情况， 单 n 在 x 轴上翻时， 核心就是什么东西改变了呢？就是这个表达式，那么此时我们的一个 正切值的表示啊，就是它的一个这个长度比上这个长度，那这个长度其实就是它的纵坐标，这个不需要变相反数了，所以也就是 a 的 平方减 a 减十四，那么 水平的一个宽度依旧是什么呢？ a 加一，此时同样要等于四，你把它 a 求出来，对不对？那当然这个的话呢， a 我 觉得算出来，可能 a 一 是等于 二分之五减去根号九十七的，那这个的话呢，同样是要进行一个舍去的啊，因为它是超过了负一，那比负一还要小啊，所以这个舍去。那么另一种情况就是 a 二， 它就等于二分之五，加上根号九十七的，这个就是符合要求的，那么我们进一步求出它的一个具体坐标就可以了， 横坐标是二分之五加根号九十几带进去啊，求出对应的中坐标，这个大家自己稍微耐心的一点计算，比如二分之根号九十七加上十四。 好，那么这个题目的话呢，最终也就是两种情况，我们相当于就搞定了，但整体我觉得还是有一定的难度的啊，它的综合度是比较的高，你比如说像第二问他还 绕了一下，对不对？没有那么的干脆利落啊，以及第三问他也是稍微绕了一下，搞了一下平移 啊。这个的话呢，其实也就是重庆的一些出题的特征啊，有的时候他们很喜欢在第二问的时候，设计就是两种最值联系起来的 一个问题。然后这第三问呢，结合一个抛物线平移，再加上我们的一些角度问题，这个的话呢，你如果能够理解，我觉得对这类题目啊，做起来都是有很大的一个帮助的，大家可以再体会一下。

大家好，今天我们接着学习二次函数的图像和性质。首先回忆一下前几节课的内容。 我们知道二次函数的图像是抛物线，开口方向跟二次相系数 a 的 正负有关， a 大 于零时，开口向上，此时的抛物线是 先下降再上升。即是说对称轴左侧 y 随 x 的 增大而减小，对称轴右侧 y 随 x 的 增大而增大。 当 a 小 于零时，开口向下，此时的抛物线是先上升再下降。那也即是说对称轴的左侧 y 随 x 的 增大而减小。 下面逐一来看这四个函数的对称轴和顶点坐标。第一个 y 等于 a x 平方，它的对称轴是 y 轴，也即是直线 x 等于零，顶点坐标是零，逗号零。 第二个 y 等于 a， x 平方加细，它的对正轴也是直线， x 等于零，顶点坐标是零，逗号系。 第三个 y 等于 ab 的 括号 x 减 h， 括号平方，它的对正轴是直线， x 等于 h， 顶点坐标是 h， 逗号零。第四个 y 等于 ab 的 括号 x 减 h， 括号加 c， 它的对正轴是直线 x 等于 h， 顶点坐标是 h， 逗号 c。 今天我们继续来研究 y 等于 ab 的 括号 x 减 h， 块儿平方加 c 的 图像和性质。从这个函数表达式上直接可以看出，对正轴是直线 x 等于 h， 顶点坐标是 h， 逗号 c。 这个表达式称为配方式，通过边形可以得到一般式 y 等于 a， x 平方减二， a h x 加 h， 平方加 c。 这里二次项系数是 a， 一 次氧系数是负二 a h 常属象是 h 平方加细。多数情况下，题目呈现的是二次函数的一般式，那我们就需要先转化成配方式，再研究它的图像和 顶点坐标。质是一般式。 那首先转化成配方式呗，也即是转化成 y 等于 ab 的 括号 x 减 h， 括号平方加 c 的 形式。怎么转化呢？前面我们在解一月二次方程的时候学习过配方法，还记得吗？这里完全一样 解， y 等于二， x 平方减八， x 加七。转化成配方是首先提取二次项系数二等于二倍的括号， x 平方减四， x 括号加七。 要想括号里面凑整完全平方式，需要加上一次项系数一半的平方等于二倍的括号， x 平方减四， x 加四，减四，括号再加七。这里再减四是为了保证等式的成立。 边形等于二倍的括号， x 平方减四， x 加四，减八，加七，就等于二倍的括号 x 减二，括号平方减一。 到此，这就转化成了 y 等于 ab 的 括号， x 减 h， 括号平方加 c 的 形式。这里的 h 等于二， c 等于负一。因此二次函数 y 等于二次平方减八， x 加七。图像的对称轴是直线， x 等于二， 顶点坐标是二，逗号负一。这是一个常见的二次函数，我们把它转化成配方式，写出对称轴和顶点坐标。 下面再来看一个二次函数。例二，求二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加细图像的对称轴和顶点坐标，这是一般式。同样先转化成配方式。介 把二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的 右边配方。第一步需要将二次项的系数提出来，等于 a， b 的 括号 x 平方加 a， 分 之 b， x 括号加 c。 若将括号里面凑整完全 p 方式，需要加上一次项系数一半的平方。要想保证等式成立，还得再减去一次项系数一半的平方。去括号时一定要注意符号的变化。 得到 a、 b 的 括号， x 加二 a 分 之 b 的 平方，加四 a 分 之四 a、 c 减 b 的 平方，这就得到了配方式。 由此可以写出二次函数， y 等于 a， x 平方，加 b， x 加细。图像的对称轴是直线， x 等于负二 a 分 之 b， 顶点坐标是负二 a 分 之 b。 逗号四 a 分 之四 a、 c 减 b 的 平方。求出这个二次函数图像的对称轴和顶点坐标后，我们再碰到任任何一个二次函数， 都可以先确定 a、 b、 c 的 值，分别代入负二 a 分 之 b、 四 a 分 之四 a、 c 减 b 的 平方，写出对称轴和顶点坐标。那学习到现在，如果让你求一个二次函数图像呢？对称轴和顶点坐标，我们可以有两种方法， 第一种方法，把二次函数化成配方时，给出对称轴和顶点坐标。第二种方法，确定 a、 b、 c 的 值，分别代入负二 a 分 之 b、 四 a 分 之四 a、 c 减 b 的 平方，给出对正轴和顶点坐标。好，这节课就到这里，再见！

好的，咱们看一下九年级亚洲金奖的第二十二奖，这也是一道关于二次函数的一道压轴题啊。 他说，已知抛物线 c 一 呢，是这个东西啊，然后过点一逗三。第一问，求 a 的 值和抛物线 c 一 与 y 轴的交点坐标，因为这个抛物线呢，过这个点一逗三。所以呢，我们直接把这个一逗三代入到抛物线的减一式里面，就能求得 a， 因为未知数就一个 a 嘛。所以啊， 第一问，将啊，一度三代入 y 等于 a 倍的 x 减二的平方加四啊，所以我们能够得到三，它是等于 a 倍的一减二和 y 的 平方加四啊。我们解得 a， 它是等于负一的， 所以这个抛物线的减一次呢，就比较清晰了啊，所以这个 y 呢，它是等于负的 x 减二，宽 y 的 平方加四啊。整理过后，结果就是等于负的 x 方加上四 x。 他 说求 y 轴这个抛物线与 y 轴的交点坐标，所以我们令 x 等于零，得到 y 也是等于零的。所以啊，与 y 轴的交点啊，也是零度零。 第一位呢，相对来说比较简单，咱们看下第二位啊，他说，将抛物线 c 一 呢进行平移，得到 c 二点 a， m 勾 y 一 和 b 呢， m 加勾 y 二，分别在抛物线 c 一、 c 二上。他说，若 y 二减 y 等于二分之一， 且直线 ab 与抛物线 c 二只有一个焦点。求直线 ab 的 表达式啊，那么显然，因为我们第一步呢已经求出来了 a 的 值，所以 c 二的表达式啊。那么显然，因为我们第一步呢，已经求出来了 a 的 值，所以 c 的 表达式啊，那么显然，因为我们第一步呢，已经求出来了 a 的， 它是等于负的 啊， x 加一换 y 的 平方啊，加一整理过后呢，它就变成了负 x 方减掉 x。 写到这里呢，好多同学会把 a 和 b 分 别带到 c 一 和 c 二里面，是吧？解出来 y 一 和 y 二，然后呢，再用这个去表示一下，但是经过这个大量的计算， 他会发现解决不了，那么这个题出发的角度在哪里啊？说 y 二减 y 一 等于二分之 n， 那 么我们回顾一下，我们求一次函数的这个解 a 四啊， 咱假设知道两个点的坐标，一个点呢是 m 啊，然后呢， x 一 y 一， 然后一个点呢，是 x 二 y， 我 们设直线的解 a 四，是 y 等于 k， x 加 b， 对 不对？然后呢，求这个解 a 四，我会把 a m 和 n 分 别带到这个解 a 四里面， 对不对？所以呢，这个 y 一 呢，它是等于 k 倍的 x 一 加上 b， 然后呢， y 二呢，是等于 k 倍的 x 二加上 b 啊，这两个是方程组啊，通过加减操作求出来 k 和 b， 对 不对？但是这里有一个非常细节的地方，我不知道各位有没有总结到啊，这个函数的 k 啊， 它是不是就是 y 一 减掉 y 二，除以 x 一 减 x 二，这里能不能理解啊？这个信息是非常关键的，因为通过观察我们会发现 a 点的坐标和 b 点的坐标，它们的横坐标一个是 m， 一个是 m 加 n， 那 么我们如果用啊， 这个 y 一 y 二减 y 一， 比上 x 一 减 x 二，我们会直接得到直线 ab 的 k， 这里能不能理解啊，所以我们设一下这个直线 ab 的 解析式啊，设这个 ab 的 这个解析式是 y 等于 k， x 加 b 的， 因为这个 a 和 b 都在直线上嘛。然后呢，我们选择将 a 和 b 分 别代入 啊 ab 这条直线解析式里面啊，将 am 到 y 一 b 点呢， m 加 n 到 y 二 代入 y 等于 k， x 加 b 里面。所以呢，这里会得到两个方程，一个是 y 一 等于啊， k 乘以 m 加上 b， 一个是 y 二呢，等于 k 乘以 m 加 n 加上 b 啊，所以这里我们用一十减掉二十，或者用二十减掉一十吧。二减一，我们能够得到 y 二减掉 y 一， 是不是等于 k 倍的 n 啊？这里能不能理解，又因为什么呢？又，因为 y 二减掉 y 一， 它是等于二分之 n 的， 所以我们能够得到这个直线的 k， 它就是二分之一， 这里能不能理解？所以这条直线 ab 的 减一式，它就变成了啊，二分之一 x 加 b， 因为这个直线 ab 呢，和抛物线 c 二只有一个交点所，所以呢，我们将直线和抛物线连立方程组利用它等于零，可以解出来 b 吧。 所以啊，这个负 x 方减去二 x， 它是等于二分之一 x 加 b 的。 咱们整理一下会得到什么呢？就是 x 方加上 二分之五 x 加 b， 它是等于零的，因为它只有一个焦点嘛，所以这个德塔啊，是等于零的。德塔呢，等于是 b 方减掉四 a， c 是 不是等于啊，这个二分之五个 y 的 平方减掉四 b， 它是等于零的，所以我们求得这个 b 呢，是等于十六分之二十五的。所以这个 ab 这条直线的减一次呢，它就变成了 y， 它是等于二分之一 x 加上十六分之二十五啊，这是第二小问的第一小问啊， 那么第二小问啊，他说若 m 等于二 n 求 y 二减 y 一 的最大值，那这里很明显我要把这个啊， a 和 b 分 别带入两个抛物线里面吧。是不是这个用 y 二减掉 y 一， 得到的结果就是负的 m 加 n 加一，括号的平方加一啊，减去上面 y 一， 就变成了加 m 减二的平方减掉四啊，又因为这个 m 呢，等于二 n， 所以 我们整理过后会得到， 所以我们整理过后会得到 y 二减掉 y 一 等于负五 n 方减掉十四 n， 那 么我们得到一个这个新的二次函数，显然开口向下，所以它有最大值。那最大值是不是当 n 等于对称角的时候取啊？所以当 n 等于负的二 a 分 之 b 时，这个 y 二减 y 一 啊，取得最大值 d， 当 n 等于负的五分之七时 啊，这个 y 二减 y 一， 取得最大值啊，为五分之四十九啊，带进去就可以了。那么这道题 啊，最终的难点就在于这个 y 二减 y 一， 你们要去如何去表示啊？ y 二减 y 一， 如何去表示这里呢？是这道题的一个难点啊。好的。