26数二能用欧拉方程吗

好的同学们，我们继续来看欧拉方程。欧拉方程是指一种特殊的变系数限行微分方程， 它的基本形式包括， x 的 n 次方乘上 y 的 n 阶导，加上系数乘上 x 的 n 减一次方，乘上 y 的 n 减一阶导， 最终一直加到系数乘上 x 的 零次方， y 的 零阶导等于 f x 这个方程便是我们欧拉方程的一种普适形式。 但是在我们本科期间的数理方程中，我们研究的较多的就是变系数二阶限性常微分方程。 也就是说 n 等于二的时候，欧拉方程的一个写法，它写作 x 的 平方乘上 y 的 二阶导，加上 x 乘上 y 的 一阶导，减去 m 的 平方乘上 y 等于零。 那么我们如何去求解这个欧拉方程？我们要注意一个核心思想叫做代换法， 代换法即为用一的 t 次方去代换掉我们的自变量 x， 那 么我们就可以发现 dy 和 dt， y 和 t 之间的一个关系。我们用 x 与 x 扯上关系之后，可以发现是 dy 除上 dx 乘以 dx 除以 d t。 为什么这个式子可以相等？分子分母约掉之后，是不是又变回了 d y 除以 d t， 所以 我们可以发现这个式子和这个式子是具有等效效应的。我们为了 注意哈同学们，我们为了求解这个方程，我们用了代换法，把自变量由 x 变成了 t。 但是我们最终求解的方程是 y 的 x 啊，所以我们在计算完之后，计算完 y 的 t 之后，一定要把 y 的 t 变换成 y 的 x， 这也就是我们这一步代换的意义所在。 好来同学们跟着老师算，首先 d y 除以 d x 是， 我们就不动它， d x 除以 d t 是 什么？ 是不是一的 t 四方的一节道？那么就等于一的 t 四方乘上 dy dx， 再用 x 代换回来之后，就变成了 x 乘上 dy dx 啦。 所以我们就得到了我们的第一个式子， d y 除上 d， x 除上 d t 是 等于 x 乘上 d y 除以 d x 的。 好的同学们，我们继续来看下面的一个式子， y 对 t 的 二阶导应该如何求解？用同样的方法，我们把 二阶导变换成 如下的形式， 同样分子分母相约掉，就回到了我们的 d 方， y 除上 d t 方好，然后在这个式子中 我们去如何求解？因为 y 也是关于 x 的 等式，然后 x 也是关于 x 的 一个等式，对不对？所以我们用的方法叫做前倒后不倒，加上后倒前不倒，这是我们在高数的时候学到的一种基本方法。 好，我们就得到了 y 的 一阶导，加上 x 乘上 y 的 二阶导，然后后面一项 dx 除以 dt， 用之前的方法也是一的梯次方，然后在最后一步把一的梯次方变成 x， 就 得到了我们的最终等式， x 平方乘上 y 的 二阶导，加上 x 乘上 y 的 一阶导。 那么我们再把我们求求得的这些方程带回到我们原来的等式上去，就会变成 y 对 t 的 二阶导，减去 m 平方乘上 y 等于零，所以我们的欧拉方程就变成了一式所示。 这个时候同学们还记得我们上一张 ppt 所讲到的关于 我们这种微分方程的一种解法问题吗？我们是不是要进行分类讨论，对吧？首先进行的分类讨论就是 m 与零的一个关系，它是等于还是不等于零？ 好，我们先来探讨等于零比较简单的一种情况， m 等于零，是不是我们就变成了 第一方 y 除上第一梯方等于零，这种时候它的一个特征方程是不是 r 的 平方等于零， r 一 等于 r 二等于零， 对吧？根据我们上一张 ppt 对 特征方程根的一个求解，我们可以知道，此时其次方程的通解 可以写作， y 等于 c 一， x 加上 c 二乘上一的 r x 次方， 那么我们的 r 一 等于 r 二等于零，对吧？我们这一项就变成了一的零次方，所以最终的等式 c 一 乘上 x 加上 c 二。 但是同学们注意哈，我们这里是关于 t 自变量为 t， 所以 其实我们的这个 x 最终是要等于七的。然后在我们的 代换法中，我们把 x 用一的梯次方表示了，那么 t 是 等于什么？等于 lone x， 我 们再代换回来，就等于 c 一 乘上 lone x 加上 c 二的 这样一种形式，于是就得到了我们这一个等式。好的，我们接下来看 m 等于零的一种， m 不 等于零的一种情况。 m 不 等于零，我们的 方程就变成了 d 方， y 除以 d， t 方减去 m 方， y 等于零，他的特征方程就变成了 r 的 平方，减去 m 方， q 等于零。这个时候我们 m 等于什么呢？为我们的 r 怎么去求 r 一 和 r 二先一下， 所以 r 是 不是就等于根号下 m 的 平方就等于正负 m， 为什么我们直接等于 m 呢？因为我们可以看到我们上一页 ppt 中说的 q 是 指什么？是指 y 的 一个系数 y， 这里系数除了 m 之外，它的系数为几啊？为一，所以我们的 q 也是等于一了，在这个计算中，我们就把 q 给消除掉了，就无量钢化了。好的， 我们现在得到了 m 一 二等于正负 m， 这个时候我们对应对应到我们上页 ppt， 是 不是第一种情况， r 一 不等于 r 二的时候。其次，方程的通解，为什么 y 等于 c 一 一的 r 一 x 加上 c 二一的 r 二 x 对 不对？ r 一 r 二带进去 c 一 的 m t 加上 c 二一的负 m t， 这个时候我们再用 lo n x 来换走 t， 就得到了我们的这一个式子。所以老师现在就带着大家把我们欧拉方程二阶欧拉方程的方程解求出来了。 这里同学们需要回去再自己自行计算一下，要保证自己对欧拉方程的求解不能留疑问，因为我们欧拉方程很有可能就会出在我们第一道 计算题当中。好，同学们，我们在讲解完了前面的欧拉方程之后，现在来带大家做一道例题。同学们先来看一下题目。 首先求欧拉方程它的一个通解，我们如何去对三阶的欧拉方程进行求解？刚才我们讲的是二阶欧拉方程，三阶欧拉方程如何求解？同样，第一步，先令 x 等于一的梯次方， 那么根据我们前面推导出来的哈， x 等于一的梯次方 y， x 可以 变换成 z t， 那 么 y 的 一阶导等于 x 分 之一 z 的 一阶导， y 的 二阶导等于 x 的 平方分之一，乘上 z 的 二阶导，减去 z 的 一阶导。 y 的 三阶导等于 x 的 三次方分之一，乘上 z 的 三阶导，减去三倍 z 的 二阶导，加上二倍 z 的 一阶导。 我们把这三个式子带到我们圆方程中，可以变成这一个形式的方程，那么我们将这个方程全部乘开外面的乘进去，然后再进行合并，交相之后得到了我们 y 的 三阶导，减去二倍的 y 的 二阶导，减去三倍 y 的 一阶导，等于三乘上一的二梯次方这么一个方程。好，那么这个方程我们要去求解它，我们是不是先要把它化作其次方程？ 奇次方程，也就是说我们这一项要等于零，于是我们就可以得到下面的这个奇次方程。对于这个奇次方程，用我们同样的方法，这里是 三阶，这里是二阶，这里是一阶。相对应下来可以得到特征方程为 r 的 三次方，减去二倍 r 的 平方，减去三 r 等于零， 然后我们求解这个方程，可以得到 r 一 二三等于零，负一三。 这个时候我们再利用我们之前关于解的特征方程解的一些性质，可以求出其次方程的通解为 c 一 加上 c 二 e 的 负梯次方，加上 c 三 e 的 三梯次方。这个时候我们只是求出了我们其次方程的通解，我们求的不是我们题目中欧拉方程的一个通解， 我们，那我们如何去求欧拉方程的通解？我们就是需要解出一个特解，同学们还记得之前老师讲的特解应该如何去求吗？ 我们先设特解一 p 等于 a 乘上一的二 t 次方，然后再把这个特解带回到我们欧拉方程中，带回到这里 可以解出 a 等于什么？ a 等于负的二分之一一的二 t 次方， 然后最后我们用 x 替换掉一的 t， 所以 就得到了欧拉方程的一个通解。 y 等于 c 一， 加上 c 二， x 的 负一次方，加上 c 三， x 的 三次方，减去二分之一 x 的 平方。所以这道题同学们现在有一点思路了吗？ 老师建议同学们哈，下课之后可以再去把这道题拿出来自己做一遍。因为如果我们纯出二阶的欧拉方程，那这道题基本上就是送分题，因为套路都是统一的，那么如果有的老师出的刁钻一点，可能就会把欧拉方程的阶数提升， 一般不会考四节，咱们考研可能出的多的也是三节欧拉方程，所以同学们还是要注意一下三节欧拉的求解方法。

高斯曾说，一个人能否感受到欧拉公式的魅力，决定了他是否有成为数学家的潜质。数学家们评价他是上帝创造的公式。欧拉公式凭借一己之力打通了指数函数、三角函数和复数的壁垒，让求导和积分变成一个简单的、不能再简单的问题，尤其是对于微分 方程来说，那公式将为打击。今天我们就来学习它。首先，我们要知道，欧拉公式既不是公里，也不是独立于定义的定律，它是时数域上的指数函数通过密集数解析沿透到负数域后自然导出的恒等式。而欧拉公式的具体定义如下，对 任意时数艾克斯都有一艾艾克斯方等于寇塞因艾克斯加艾塞因艾克斯。注意了，这里的每一个符号都有严格的定义， 这里的一是自然常数，爱是虚数单位满足爱的平方等于负一口塞因艾克斯，塞因艾克斯则是三角函数。那在了解了它的定义后，我们来看一下是如何从密集数中 推导出欧拉公式的吧。在正式推导前，我们需要引入指数函数与三角函数的密集数展开式。而之所以要引入这些密集数，是因为他们就像一把钥匙，打开了欧拉公式推导的大门。从本质上看，密集数为指数函数和三角函数提供了一 种共同语言，使他们能够在同一数学框架下相互对照，彼此转化。接下来只需要三步，就能完成整个证明过程。第一步，将指数函数的密集数推广到负数自变量。因为指数函数的定义式在负数域内收敛，我们就直接将 e 的 艾克斯 方的密集数展开式中的艾克斯替换为负数艾艾克斯，那我们就能得到这个式子，这是负数值函数 e 的 艾克斯方的密集数定义式，它的意思是 我们将 e 的 艾艾克斯方定义为一个无穷级数的核，而这个级数的每一项是连得阶乘分之艾艾克斯的 n 次方。第二步，艾米斯的教训拆分级数，那我们就得到了这个，接着带回到级数展开适中，从而得到这个。这时我们发现它已经将 e 的 艾艾克斯方清晰的 翻译成了实部和虚部两部分，将原本混杂的复数指数级数同组成为了我们熟悉的两个实函数的级数之合。第三步，识别拆分后级数所对应的三角函数。观察拆分后的两项，我们就能发现它们在结构上恰好 分别对应正弦函数和余弦函数的密级数。展开式，将其替换号，我们就得到了欧拉公式。到这里，欧拉公式的证明就结束了。 通过欧拉公式，我们就可以把三角函数轻易地转化为指数函数，将三角积分问题转化为更易处理的指数积分问题，从而避免了繁琐的三角恒等变化。就比如像这两个三角函数根替欧拉公式，将艾艾克斯替换为负艾艾克斯， 那我们就能得到这个。接着再加两个等式做预算，我们就可以让它们轻松转换。那在搞懂了概念定义后，我们来看看它是怎么应用的吧。以这道题为例，第一步，先利用欧拉公式替换克萨因艾克斯，那我 我们就能得到这个式子。第二步，计算指数积分，将结果带回到第一步的式子中，根据积分的限性性，我们可以得到这个。接着来到第三部分，母有理化，因为有理化的结果是这个，那么将结果带入到第二步的式子中，我们就能得到这个。然后来到第四步，展开合并同类型花钱后得到这个， 那么原始积分的结果也就出来了。瞬间秒出答案。怎么样，你学会了吗？正经的知识又增加了，我是带你成长的派毛，关注我，分享更多有用知识！

好，作为这个数学二最难的一道题，最后一道题他说求微分方程，这个满足这个条件的解，那么你这个微分上拿到以后，我们这个地方呢，是判别类型，选择方法。但我们数学二同学他什么类型？你看出现 x， 出现 y， 出现了 y 一 撇，但是没有出现 y 啊，叫做不显含 y 的 可将解方程啊， 这就是个可将解方程，那么所以 y 一 撇就等于 p， 那 y 两撇就等于谁 p 一 撇， 然后你这个时候呢，你把它一带进去，然后这个时候再往下解就可以了。那你注意这解方程，这不是难题啊，所以这个数学二十卷子里面没有正例题，都是计算题， 那并且这个计算题也没有什么特殊的技巧，那这个时候呢，就是通过这个把它化成一阶，然后呢再来解那样一个一阶方程就可以了 啊。所以这个数二的介子，为什么同学说数二介子简单，因为里边没难题，再一个没有我们比较怕的证明题，那这个时候，所以到我们同学来讲，应该说是这个比较容易做的。

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大家好，欢迎来到我的视频，今天跟大家看这样一个题目啊，解一个虚数的方程，我们知道三个 x 最大就是一了，对不对？那他为什么等于二呢？很明显是虚数的啊。 首先我们看一下这个题，其实这个题呢，不难，我说他不难是因为他每一步都不是那么难想，但是呢，我也说他运算量比较大，但是大家不要跑啊，你别跑啊，这个运算量大是我大，你们看我的视频，你你们没有运算量大的问题啊，对不对？并且有的朋友喜欢用瞪眼法， 你也可以看看这个题能不能把它给瞪出来啊，如果这个题你把答案给瞪出来了，我觉得你赶紧买张机票去美国，说不定那个巴菲特，他那个银行密码，你也是可以瞪出来的。我们来看一下这个题啊，首先我们知道这个 x 是个虚数，并且呢，又带着三年 x， 我们就很自然的想到那个最美的 公式了，对不对？欧拉公式，没错， eix 这个地方呢，我就不读 e 的 i 乘 x 次方了，对吧？因为这点太麻烦了，我就读 eix 了啊， 一二 x 等于扣三 x 加上 i， 三 x， 欧拉公式是用三角函数把这个东西表达出来了，而我们现在呢，要反着用，我们需要把三 x 表达出来， 但是呢，我们又不能直接反着用，你把口算 x 移过去，这样用不行，因为还带着口算 x， 那怎么办呢？很自然的，我们把它两边啊都取一个倒数，左边取倒数变成了 e 的负二 x， 右边取倒数呢， 所有的东西都不变，只是把加号变成减号了。如果对欧拉公司的计算比较熟悉的朋友肯定对这个式子并不陌生，但是呢，我也相信有很多朋友对这个事不是很熟悉，对不对？我既然要 你这个流量，肯定要把这个事讲清楚啊。我们看看一副二 x 是不是就等于这个东西的倒数，他的倒数，他的倒数应该怎么算呢？应该分子分母都呈上一个他的工作室。我们看一下啊，就是呈上一个口三 x 减去 i， 三 x 分子不动，我们看分母是不是一个数加一个数，再乘上一个数减一个数，这种形式可以用平方插公式，于是我们就把它给化减成这种形式了。 口算 x 的平方写在这里， i 算 x 的平方也写在这里。中间是一个减号，大家看一下这个 i 的平方是不是就负一减，负一是不是就变成了加号了？所以说中间变成了加号把，哎，没有了。中间变成加号的话，就说 一个数的余弦方加上这个数的正弦方，这是不是就等于一了？于是分母就给他约掉了，只剩下分子，分子就是他的工作室，你看我已经写在这里了，所以说他的倒数呢，就等于这个东西。 我们要把三 x 给求出来的话，就是两个式子相减扣，三 x 就减没了这个 i， 三 x 再减去一个负的就变成两倍了。 我把这个右边的部分写到左边去了。啊，那这个书写习惯的问题，然后呢？再就是左边他相减，把它插下来，然后再把这个二二二给除过来， 所以我们就可以把这个三 x 用欧拉公式把它给表达出来了，就等于二二分之一，二 x 减去它的倒数。我觉得大家不要把所有的赞美之情都放在欧拉身上，虽然欧拉这个人很伟大， 但是我觉得泰勒也是很伟大的，并且呢，在欧拉公式这件事情上，我个人认为很有可能是泰勒比欧拉的贡献更大，可以说泰勒指出来一个方向，指出来一个算法，而欧拉呢，他只是做了一个 运算，对吧？当然了，我是一个民科啊，我没有教师资格证的，我是乱说的，欢迎大家反驳啊，你一反驳我，我才有流量，算了，为了流量呢，我干脆说欧拉公示这个莎士比亚的贡献比较大，是吧？你，你们赶快来反驳我啊， 你不反驳的话，我就往下讲了，我们把平清一下，把主要结论写在这里，三 x， 我们表达出来了，他就按照题目，他就等于二，于是呢，我们就算这个式子就可以了，把二哎乘过来，变成了一二 x， 减去他的倒数，等于四倍的，哎， 这个时候我们看他是在分母上的，在分母上的有个东西我们是很难算的，于是我们宁可使次数增高，也要把分母去掉，对吧？所以我们要在等式的两边都乘以一个 eix， 这个时候呢，把括号打开，这就变成了一二 x 的平方，对吧？乘以这个负的就变成负一了啊，右边就变成了四二一 x。 这时候我们观察一下这个柿子，如果你把它看成一个整体量的话，就变成了一个关于 eix 的二次方程了，我们把它整理一下，写成一个比较标准的形式，他的平方减去四二，他再减一等于零。 这个二次方程大家想能不能用因式分解啊？那你开玩笑呢，他带着爱的你怎么因式分解呢？对吧？所以我们只能用球跟攻势啊， 所以这个数呢，一二 x 就等于二分之四，哎，加减根号下的这个 b 方减 c c 吗？对吧？ b 方就是它的平方，减去四，这个一就不用写了，对吧？再把负一给乘上，然后呢，把里面的东西运算一下， 负四啊，就变成了负十六，对吧？负四乘负一就变成了正四，然后呢，这个根号底下的这东西就变成了负十二，这个时候你别跟我说单他小于零啊，这个我们本来就是在玩负数呢，对不对？ 所以呢，这个根号下就变成负十二，把四提出来，把三留在里头，那个四呢，就可以跟底下的二约掉了，对吧？整理成这样一个简单的形式，二加减根号三倍的 i， 这就是一二 x， 这个数的表达出来了，然后呢，我们再取对数，是不就可以 算 x 了？我们把主要结论写在这里，然后两边取对数，可以看到啊，这个 l n 和 e 就约掉了，对吧？所以左边就变成了 i x， 右边呢，我们把这个乘号变成加号，变成 l n 一个数，再加上 l n i。 如果我是个不太负责任的主播呢，那么我直接把爱除过来，这个 x 就解出来了，对吧？但是我相信很多朋友对这个捞啊爱应该怎么算还是不太明白的， 于是呢，我再把这一部分说一下啊， lin i 怎么算呢？我们知道 i 是个负数，每一个负数都可以表达成这种形式， a 加 b i 的形式，其中呢，这个 a 啊，就等于 aircosync， b 呢，就等于 r 赛赛塔，这个 r 是什么东西？是 a 加 b 的平方，然后再开放，其实就是相当于他的膜，这个负数的膜，他是一个叉 长度，所以在这个式子里，我们把阿尔提出来，然后括号里面是不是就变成了口算？随他加上 icec 塔，又是一个我们非常熟悉的式子，用欧拉公式，对不对？就变成了 eic 塔，所以说一个复数可以写成这样的形式，对吧？如果这个复数是 i 呢？这一串等于什么东西呢？ i 就等于一，因为 i 是个虚数单位，他的十周为零，所以这个 r 就变成了一了。我们再看一下这个 ct 是不是就等于二分之趴呀？ 所以 i 就等于一乘以一的 i， 二分之派。换而言之， lone i 就把意消掉了，变成二分之派。 i 到这个地方呢，我们就可以把这个数带到这里边来了啊。我们先清屏，把主要结论写在这里，把 i 除到这边来。于是呢， x 就等于， 你看这个数除以 i， 是不是就等于乘上一个负的 i 啊？因为当你化减 i 分之一的话，是分子，分母都乘以 i， 分母就变成了 i 的平方，也就是负一分子就变成了 i， 然后把负号拿上来，就变成负爱，对吧？ 所以说一个数除以，哎，就等于乘以负，哎，后面这部分呢？哎，就除掉了啊，不是这一部分，是这一部分，哎，就除掉了，只剩下二分之盼， 所以 x 等于这个东西，大家看一下，这个负号是不是可有可无，因为里面是个正负号吗？所以我们把负号删掉，把正负号给他拿过来化解一下，就变成了正负的这个数，再加上二分之派，这就是这个问题答案 我相信，虽然说这个题不是很难哈，但是这么复杂的运算也不是每个人都喜欢看的。我在发这期视频之前呢，我查询了一下我的粉丝数据，女性粉丝是占百分之十一点二，后面的我就不用说了啊。感谢大家来到我的视频，我们下期再见。

今天呢，和大家聊一聊二六考研数学的一个难度，今年的考研数学可谓是突破了偶数年必难的一个规律，怎么说呢，首先第一个惊喜的就是今年的数学三 难度呈断崖式的下降，计算量有明显的减少，而且呢没有考证明题，很多的小伙伴就跟我反映，他们的考场有很多考生都提前交卷了，但是反观数一呢，依旧是硬核担当， 线面积分，微分方程的计算量也是难度直接拉满，那么还是那个实力依旧的老父亲 数学三呢，其实难度中规中矩，只是有一些可能偏的一些题型让大家就是卡了一下壳。就在我看来啊，今年数学难度的这种 分化，可能就是命题组的一个精准的调控，他就是避免那种一刀切的难度，同时呢可以精准的去筛选出一些吃透的题型，然后能够随机应变的考生。但是话要说回来，无论题难或者是简单， 我们都要给自己竖一个大拇指，因为我们终于坚持的把考研出事给考完啦，那么就祝大家金榜题名，有任何复试上的问题可以随时后台私信我，加油！