5年级上册数学实验园地几何图形

同学们，前面我们已经学习了关于平行四边形的面积和三角形的面积，都是把它转化成我们以前所学过的平面图形，进而推导出他们的面积计算公式。 那么今天我们来学习梯形的面积，同学们想一想，梯形是不是也可以转化成我们以前所学过的平面图形，进而推导出梯形的面积计算公式呢？我们知道在生活中啊，我们 私家车的这个车玻璃，他都是梯形形状的，怎样计算他的面积呢？那么今天啊，我们一起来走进梯形的面积，那有些学生说，王老师，我可以把这个梯形，我把它分成一个平行四边形 和一个三角形，那我们用我们所做的工具来试一下，通过平移法。 同学们，前面我们已经学习了关于平行四边形的面积和三角形的面积，都是把它转化成我们以前所学过的平面图形，进而推导出他们的面积计算公式。 那么今天我们来学习梯形的面积，同学们想一想， 那么同学们想一想，这样我是不是就能够来 把平行四边形的面积计算出来，然后在三角形的面积，我也把它计算出来，然后把它们加在一起，是不是就能求出这个 梯形的面积计算公式呢？那我们来试一下啊，来平四边形的这个底呢是 a， 高呢是 h， 所以那就是 a， h 加上 三角形的面积是底层对应底面上的高是不除以二啊？那底呢是多少呢？哦，底这个，这个是整个是 b， 这一段呢是 a， 所以这一段就是 b 减 a 啊， 然后括起来乘高除以二，那高是多少呢？高是不是同样和平时面前的高是一样的，都是 h 啊？然后再除以二，那我们来整理整理一下啊，那也就等于这个 a h 加上啊 b 乘 h 除以二啊 b h， 然后除以二，再减去 a 乘 h， 是不是除以二？ ah 除以二。 那么同学们来观察，前面有个 a 乘 h， 后边有一个 a 乘 h 除以二，相安是一倍的 a 乘 h 减去 a h 除以二，那就是呃 a 乘 h， 然后再除以二，那加上 b 乘 h 再除以二。大家发现这里边是不是后都有 h 除以二？所以我们可以利用乘法分别对着逆算这样一提取 来提取 h 除以二啊，乘 h 除以二，那么这里还剩一个 a， 这里还剩一个 b， 那么这样我是不是又推导出了梯形的面积公式？是上面这个底加上下 上面这个底，然后括起来乘这个高，然后再除以二，这是第一种。那么接下来呢，我们再来研究第二种，就是我把这个 梯形分成两个三角形，哎，我只要连接这个这两个点，是不是就可以把它分成两个三角形呢？我们来试一下 同样的道理，这个是上底是 a， 下底呢是 b， 高呢依然是 h， 那这样的话，同学们来观察上边这个三小三角形，他是底层对应底边上的高，然后再除以二，也就是 a h 除以二，加上，那下边这个三角形是不是对应的底层底边上的高再除以二呢？加上 b h 代除以二，那么同样的都有 h c 二我提取，那这样的话就变成 a 加 b 括号里的乘 h 除以二，这样也推导出了 梯形的面积公式对不对？那么接下来我们第三种，就是我找一个和他完全一样的梯形，我可以把它怎么样转化成，哎，我们前面学的平行四边形，那这样的话我们来简单的画一下啊，这条边这么长， 这么长，那这条边呢？二十八这里看烟机， 这样大家发现两个完全一样的梯形，是不是又拼成了一个这个平四边形，这个呢用小写的 a 表示， 这个呢用小写的 b 来表示，那这个也是 a， 这个呢也是 b， 那么平行四边当然高就是 a 上。 那么同学们来观察平行四边形的面积是不是底乘，对应底面上的高底，当然就是 a 加 b， 高呢就是乘 h， 这是 一，怎么样平行四边形？因为这两个梯形怎么样完全相同，所以我还得怎么样再除以二，从而求出梯形的面积计算公式，我这样是不是也推导出来了？那么王老师用了这样的三种方法 推导出了梯形的面积阶段公式，你学会了吗？关注王老师，让数学变得更简单。

好，我们来做一道组合图形的，我们先来看一下已知图中四条线段的长度，分别是 ab 是 两厘米，标上， 好，再来看 c、 e， 它也是两厘米。好，我们的 c、 d 也是两厘米，然后 af 也是什么两厘米， 那好，这道题要我们求这个平行四边形的面积，平行四边形就是中间这一块，要我求它的面积，那这道题我们从哪入手看一下？ 那我现在能知道这个平行四边形的什么？我们的底是几二，但是我们不知道平行四边形的什么高，我要知道这个平行四边形的高，对不对？我这样一画，你们就能知道了他的高是多少了，我们先来画一下，记住画高的时候他必须垂直于谁底。我们先来看一下， 你看我们这样画，他的高是不是这一条，那你就知道了，这是不是一个长方形？那长方形我们延伸出来，你看我这一条延伸出来，他和这条对应的是怎么样的？ 是不是一样的？那我们就知道了，其实我们的高就是什么 a、 f 这一条，也是我们的什么 c、 e 这一条，对不对？那你就知道了呀，他的底是二，那他的高也是谁二，那我们就可以求他的什么了面积了。那很简单，我们 来看一下我们四边形的面积怎么算？它是不是等于底乘谁高，那就是多少四单位带上什么平方厘米，你看是不是特别简单？

求多边形的面积是五年级期末必考题，他可是丢分大题，出错率特别高。要是孩子的空间想象能力不好， 那你就给他准备这套小学几何训练。他把小学所有会考到的图形题以及八大几何模型都总结好了。你看五年级的平移旋转法、 割补法、加减法、等级变换法。首先是母题，教孩子一步步拆解学会，再来练一练常考易错题，不懂的还可以扫码看视频讲解，让孩子把这些方法都会学了，期末怎么考都不怕了，赶紧准备吧！

有两个正方形，已知大正方形的边长是十厘米，求三角形 abc 的 面积。 我们看到 ab 是 大正方形的对角线， c 点在小正方形的右上角， 那么这个图形如果任意找一个边为底去求高都很难，我们能不能把它变成一个方便观察简单的图形来做？这里有对角线，那能不能在小正方形也连接 c、 d？ 好， 两个正方形的对角线是平行的，这个三角形是不是在平行四边形 内部刚好衔接着顶点就在上面这条线？嗯，好，那我们学过一个概念叫 等，底等的高，面积不变。哎，那能不能移动它去变化一些新的图形出来？我们先把 c 移动到 c 撇这个位置。好，我们看 a 形成新的三角形，形成新的三角形 a， a， b， c 撇好铅笔连接的部分是不是？嗯，哎，那这个图形的围出来的三角形面积和和 a、 b、 c 的 面积相等。哦，相等是吧？为什么呢？ 啊？因为他们的底都是 ab， 他 们的高都是在两条平行线之间，所以高没有发生变化。哦，非常棒。好，那我们就再继续移动啊，移动， 移动，其实他可以是到另一个端点，对不对？嗯，到我们最方便观察的地方。哦，地点很好，就是出现了一个新的图形 abd 这个直角三角形，这个三角形的面积其实也是阴影部分的面积。 那么很重要的一个知识就叫等级变形。算是，呃，算是。底乘高除以二，底乘高再除以二，它，因为它有两个 ok。

各位同学们，你们真的是太不容易了，刚过了这道关，又过那道关，像黑板上这道五年级的求第一的长度的这种题目，你们有思路吗？ 好多同学直接就蒙圈了，说王老师，这是哪个天使大姐出了这样的题来，难为我们呢？如图，正方形 a、 b、 c、 d， 它的边长是四厘米， 长方形 e、 d、 g、 f 的 边 ef 呢？过 a 点点 g 在 b、 c 上，若 d、 g 这条边为五厘米，这条边是五厘米啊， 让我们求第一的长度，你开什么玩笑啊，这个第一的长度怎么求啊？各位，其实这道题他考察的是等级变换，比如说这个长方形的面积和这个正方形的面积相等。 那还有的同学说，老师，这个面积相等我，我怎么看不出来呢？大家仔细观察，接下来不要眨眼睛，因为这道题它涉及的内容比较多，我现在连接 ag 这两个点， 连接完以后，同学们会发现，三角形 agd 是长方形面积的一半，因为涉及到一半模型，看到没有，这两个加在一起是长方形面积的一半。那这个 a、 g、 d 是 不是 长方形面积的一半？同时三角形 a、 g、 d 是 不是也是正方形面积的一半？正方形的面积是不是边长成边长，而这个三角形的面积是底乘高除以。二。 老师，这个三角形 a、 g、 d 既是长方形面积的一半，同时也是正方形面积的一半，所以这个长方形的面积我写一下啊，长方形 s、 e、 d、 g、 f 就 等于 s， 正方形 a、 b、 c、 d， 它们俩的面积相等。中间王老师用了一半模型， 那他俩的面积相等，正方形的面积我能求出来是边长乘边长，长方形的面积这条长有了是不求的是宽啊，所以长方形的这条宽就应该等于正方形的面积，同时也是长方形的面积除以长方形的长， 所以那么第一的这条边的长度也就等于四乘四，然后再除以五，求出来是三点二厘米， 轻松的拿下。各位，关键的就是等级变换的问题，你学会了吗？关注王老师，让数学变得 so easy！

五年级上册数学必考重点求图形阴影面积！要是吃透小学数学九大几何模型，孩子考试碰到这类题，简直像抄答案！想让孩子几何学的好，就选这本几何三十六模型。 他把小学常考几何模型全整理好了。比如一半模型无论顶点怎么移动，阴影面积始终是长方形的一半，等积模型同底等高的情况下，三角形位置在变，面积都不变。还有蝴蝶模型、挖洞模型、沙漏模型、 补定模型等等，一网打尽。每个模型都配了详细图解分析推导过程，看不懂的还有视频动画，让复杂几何问题直观可直观搭配视频讲解， 手把手教孩子吃透模型原理，关键还附赠举一反三练习册。每天花十分钟攻克一个几何模型，你会惊喜发现孩子的空间思维有多棒！快给孩子安排上吧！

凡间弟子，速速助我巨兽冲破封印！他身负混沌之 刑，法术难治，唯有布置几何封印阵。布阵第一步是识别巨兽身上有简单图形拼接而成的弱点。 请告诉我，在你身边，哪些物体是由两种或两种以上我们学过的图形组合而成的？你的发现将点燃封印阵的第一道神火。 很好，你们锁定了弱点，但这些符文是组合而成，必须被分解才能计算阵眼的面积。请你仔细辨认，巨兽身上的这些符文 分别是由哪几种最基础的几何图形组合而成的。 现在计算阵角时的面积，我已施展分割之术，将其分成了两块。简单图形 分割后的阵角时是由哪两种简单图形构成的？要得到最终面积，你需要将两部分的面积相加还是相减。 观察分析组合图形可分割或添补哪些学过的基本图形，再找出计算基本图形面积需要的条件。然后利用合理的方法， 先计算出基本图形的面积，再利用基本图形的面积和或差计算出组合图形的面积。 不妙，结界出现了缺口，修补它。我们试试添补之术，先把它当成一个完整的封印计算，再减去多余。如果使用添补法， 请说明计算修补区域的面积应该用哪个大图形的面积减去哪个小图形的面积。 恭喜你们，我的弟子们， 这份功绩将永载史册！

重点中学入学考题分享，我们先来读题，如图，在直角三角形 abc 中，四边形 e、 f、 b、 h 是 正方形， ab 等于二十一厘米， bc 等于二十八厘米， ac 等于三十五厘米， e、 d 垂直于 ac， e、 d 等于八点四厘米。我们要求的是正方形 e、 f 啊 b、 h 的 面积是多少平方厘米？我们先来看图，整体是一个直角三角形 a、 b、 c 被分成了三块儿，但是其中的两块儿是啊，不规则图形，这个时候我们就要用啊辅助线来啊，辅助我们构造规则图形， 我们连接 a， e 连接 e， c， 连接 e、 b。 好， 这个时候我们来观察图，我们的辅助线是不是把直角三角形 abc 分 成了三个三角形，也就是说三角形 abc 分 成了三个三角形，一个是 a、 e、 c， 一个是啊 a、 e、 b， 还有一个是啊，三角形 b、 c、 e。 那 我们来观察这三个三角形，它的底是不是都是这个 abc 三角形的三条边，其中 ab 是 二十一，我们可以用红色的把它勾出来， 那它的高你会发现它其实就是啊 e、 f 的 长度，对不对啊？好，我们用另外一个颜色的笔标出啊三角形 b、 c、 e， 它的底是不是就是 bc 的 长度啊， bc 的 长度是啊二十八，而它的高其实就是啊 e、 h 的 高长度。那么 e、 h 和 fe 是 不是都是这个正方形的边长，所以它们两个的高是相等的？接下来来看第三个三角形，第三个三角形是 a、 e、 c 三角形 a、 e、 c。 如果我们以 a、 c 为 b， a、 c 的 长度是啊三十五， 它的高是不是就是 e、 d 的 长度啊， e、 d 的 长度是啊八点四，那现在我们能直接求出面积的是不是就是三角形 abc？ 三角形 abc， 它的面积底乘高除以二，直角三角形，所以两条直角边二十一乘啊，二十八除以二，得到 二百九十四平方厘米。在这里三角形 a、 e、 c 的 底和高也是已知的，所以三角形 a、 e、 c 也可以求得，应该是三十五乘。啊，八点四除以二，等于一百四十七平方厘米。 好，我们接下来来看，如果我从整体 a、 b、 c 三角形中把这个黄色的 a、 e、 c 减掉，是不是它就正好等于另外两个三角形的和，而 f 三角形 a e b a e b， 它的底乘高是不是 e f 乘二十一除以二，那么我们经过化简，是不是它应该是等于十点五乘 e f， 而三角形 bce， bce， 它的底是知道的，是二十八高，是啊， e h， 也就是 e h 乘。啊，二十八除以二，我们算一步，它应该是等于 e h 乘。啊十四， 那我们现在观察到 e f 和 e h 是 不是长度是一样的，所以我们可以把它替换成 e f， 那 这样的话，两个三角形的和是不是就相当于是十点五乘 e f 加十四乘 e f？ 用乘法分配率我们化简一下，它应该是等于二十四点五乘 e f。 好， 我们经过整体减， 也就是二百九十四减掉三角形 a、 e、 c 的 面积是等于啊一百四十七平方厘米，这一百四十七平方厘米是不是就是 a e b 和 b c e 的 三角形面积之和，面积之和？刚才经过化简，是不是二十四点五乘 e f。 啊？所以呢，就可以求出 e f 的 长度， e、 f 的 长度应该是用一百四十七除以二十四点五等于六厘米， e f 是 不是就是这个正方形的边长？所以我们就可以求得正方形 e， f， b， h 的 面积应该是等于六乘六，等于 三十六平方厘米。所以最后不要忘了写答语，正方形的 e， f， b， h 的 面积应该是等于三十六平方厘米。所以遇到复杂的面积问题不要慌，辅助线来帮你忙，好，学会了没有？

这个题答案就是六厘米，怎么来的呢？这么来的呗，这么来的啊，哈哈哈，我们现在遇到这么个问题，说那么个问题呢，如图，如果，哎，你的小小小小小指头行上了啊。 如图如图，如果。甲三角形比乙三角形的面积少五平方厘米，求 a 的 长度，但是 c m 甲是哪个？这个是这个雪地，你是那个大的一个啊， 他比他小，一眼就看出来了。对呀，他问你求 a 这一段长长是多少？怎么求呢？怎么这个题咱一看题，咱该怎么办？先算出乙和下面那一块的面积啊，哪个好？算一点？假三角形为什么？太小了？太小了， 他的条件最多。对呀，因为他这个这个假，这个乙首先没有在乙的三角形的面积怎么算？以乘高除以二，三角形 面积等于的乘高、乘二、乘二。好，就这几个条件来说，是不是假的？条件比你的条件要丰富一点。怎么丰富这么丰富？这么丰富？ 它至少很小，而且还能还知道它一个边的长度很好，咱们知道这个边是二二，那么一看这个三角形，咱又看想成啥来了？正方形，一个正方形，虽然看着不太不太正哈，但它完全是个正方形的啊。说说正方形的特点是什么？ 四个边，一个长，这边是二厘米，这是二厘米，这是二厘米，是不是这也是二厘米啊？这是二厘米。那么好，咱第一步要求什么？假那个假，假 这个这个 s， 这个小正方形，对，咱给他做了辅助线是不是？对啊，这多少？ 四怎么来的？二乘二，二乘二等于四平方，所以咱能求出假 这多少？因为这里是假这个三角，这个正方形里面是一半是假的，一半是空的。嗯，那他们两个就是两份是一样的，那就可以用四除以二。好，四除以二等于二平方厘米，对吧？对啊，求出假来了。咱也知道，一来了一多少，一是什么？告我， 乙是什么？乙是什么？甲比乙少五，那么就乙比甲多呗。嗯，所以说 s 乙等于二加五，二加五等于 seven 七平方米，对不对？所以说这个这个 s 加等于二，这个 s 一 就等于七七，咱最终求什么呢？ a， 咱最终求 a 这个 a 的 场。哎呦，你不好求了， 但是咱现在知道一个条件是啥呢？这一段是二，哎，这一段是二，那么这一段到这是多少？ 这到这整体是五，这一段是五减二等于三三 c m 是 不是？ yes 哟，咱说，咱就说这个，这个求这个大正方形的面积，必须是底乘以高除以二 d 已经知道了， d 知道了三三，但是我们的这个高还不知道。哎，但是我们能求出什么来呢？ 我们现在知道可以知道这个是 s 小 正方形加这个长方形。 答了，再加 s e 就 等于这个图形的面积。 yes， 是 不是？ yes， 其实求这个求一半，行，这个就这个小，就这个地方啊，这空白的地方是吧？对呀，咱们就当它假设是 s s 饼吧，行不行？行， s 饼的面积加上 s 加这个长 s 长方形的面积加上这个 s， 一 方面就是这个大三角形的面积，这等于多少呢？就等于 s 饼，对吧？ s 二二，然后长方形面积呢？ 长方形的面积是 x 长方形， x 长方形等于三乘以二，因为长方形求面积是 乘长乘宽哦， x 长方形等于六平方米，是不是？ s 二加长方形面积等于六，再加你这个 s e 多少七等于多少？十四 cm 平方，比如说 这个等于，嗯， s 大 三角形等于多少？十四平方厘米，是不是？对啊，它底是多少？ 求这底是多少？三加二是多少五。好，那就等于咱们根据三角形面积就等于什么？就等于。那我再问一个问题，嗯， 那你说了这么一大堆，嗯，那怎么求 a 呢？哎呀，你知道这个大三角形面积了吧？嗯，知道底了吧？嗯，大三角形面积怎么算底？乘高除以二，所以十四就等于底。多少五乘以 x， 五乘以高，高除以二。 不对。那转过来，二十八乘二十八等于五乘一个 减多少减 多少？六加七幺七等于多少？十，三十五十五啊，十五。看错了，不对， 这个高多少？三十除以五，高等于三十除以五等于六 c m， 所以 a 等于六 c m， 明白了吗？这里是六，这里是二，那是不是这个六？六是六，是整个的六，明白了吧？六是从这里到这里的。对，二是从这到这，对，是不是这是四呢？对，这，因为这没关系，因为你知道，因为你通过求 s 加赢 一加五就等于出 s 一 来了，所以这里求这个 a， 这段是没有意义的。来这里边用。用啥了啊？用啥了？ 用了四，一共用了五个面积。啥面积？长方形面积啊，然后一夹一饼，不是夹饼啊，是通过小正方形的 一半就是一个三角形面积，是吧？然后然后用了个长方形面积，还用了这个整体大三角形面积倒推，还有一个小三就是中等倒推的，有一部分是 倒推出来的，是不是？嗯，是不是倒推出来的？嗯，哎，简单吗？简单吗？不简单。这个题你只要 能，你只要能理解，就是这几个里面包含意思，其实就是你，就是你可以知道就是这个长这个很大的长方形，它就很大的三角形，他们两个都有一个这个和这个， 是吧？嗯，只要明白是不是都有这个，那就是一个好突破点。对，他给你的要给你的信息太少了。对啊，他也没告诉你是不是等腰啥的。对，但这个题 还是他既然让你求 a 就 证明不是个正常等腰直角三角形，如果他是个正常的话，他他就不用看你这等腰。他他他没有告诉你。如果是是的话就不用画了，最上面的不用画。好了。这个题 这么简单。简单吗？简单吗？简单，下课老师再见，哈哈哈。