t8联考数学选填填多少分

这份试卷的质量真的高，又有创新，又有点难度，又没有什么偏题怪题。好了，我们给大家逐一点评一下。我们先看第一题啊，考这个集合没有什么难度啊，一个并集。第二题呢，如果你真要把 z 给算出来再去算呢？我觉得还有点复杂了啊，用个结论吧， z 乘以 z 的 共和呢，就等于 a 方加 b 方，也就是 z 的 平方，你只要把 z 的 模，另一个结论会更快一些。第三题，对数的计算，然后这个地方呢，再来一个基本不等式就可以了啊。 第四题，重心我建议你们直接特殊值，把它画成个等边三角形，然后渐细去做也可以。好吧，然后呢，第五题，这道题看你能不能把 s 呢通向给求出来啊，也没有什么太难的啊。第六题，实际上我们课本上真的有这样的题目，这种桶车图啊，什么水车图啊，对不对？这个 a 等于什么东西？ 就是最大减去最小除以二，这个 k 又等于什么东西？最大加上最小除以二。然后呢，我没搞到什么二派除以 t 范的对应法再去求，我觉得出的也是不错的啊。 好了，第七题，跟我印象中有道高考题特别像，我记得当年那道高考题还是一个错题，有两个答案啊，这个题呢，找个中位线就可以做出来。第八题，相对高考题来说是稍微偏难一点点的，我自己亲自参加了三年高考的第八题，你们知道难度的啊，很轻松的 看一下。这个函数是个偶函数，所以有四个零点，于是呢，在零到正确就两个零点，所以这个函数跟那个负的 f 负 x 就 会有两个交点，找一个切点就可以把 k 求出来，难度不是很大，直接翻篇好了。多选题，这个题顺分题啊， ab 直接搞定对吧，你每一个数加了一个 x， 极差不变，频率数肯定不同了嘛，方差是不变的啊。好了，第十题，这道题我觉得出的真的好啊， a 很好判断 b 呢，也很好判断， d 也很好判断 c 选项。有没有同学在考场想半天的，很有创意啊，他把那两个函数分别去比较，然后呢，再把它们合在一起比较。哎呀，我们总在想是不是用单调性啊，或者什么真的真不是这样子的啊。所以这个题的 c 选项出的真不错，让人做的时候有点点难度，但是一想到又恍然大悟啊。好，提到第十一题， 相对我们高考的 d、 c、 d， 其实它难度没有什么太大啊。这道题我连图都没画啊，脑海里面一想，图 a、 b， c、 d 快 速就搞定了啊！其中这个 c 选项可以直接利用 r 等于 l 的 平方除以二 h 这样公式去搞定这个 d 选项，脑海里面一想， 它说六个面相当把这个球六等分，所以就是六分之一个微球就可以了啊， so easy！ 好 了，填空题，这个题二项的定义没有什么难度，我记得好像是六还是五吧。 然后第十三题，如果你知道这种交半径的公式就是 e， p 除以 e 减去 e 的 扩散 c 塔，抛物线里面的 e 呢，是等于 e 的， 所以 e 减去扩散 c 塔，然后呢， p 除以加扩散 c 塔，就是个很易记的题目了。好了，第十四题，不要觉得它有什么太大难度啊，我自己分析了一下， 画了一个这样的图，阿尔法要么在这，要么在这，贝塔呢，要么在这，要么在这，要么在这，要么在这就可以了啊。所以呢，阿尔法跟贝塔关系有两种情况，找出来也不算什么，太难啊，但是呢，有没有创意呢？这些真有创意对吧，平时就没有怎么见过这种题。好了，我们来看一下大题啊。 大题的第十五题的第一小问，直接一个降密公式就搞定了。这个第二问，如果你总一个思维定式，还不知道怎么做，那画一个图，实际上呢，做个辅助线就可以搞定了，可以说就是一个初中题。好了，第十六题，我一看到这个题我还吓一跳，我在想怎么第十六题就考马尔科夫定了，结果，哦，他没有考那么复杂啊。 其中当然第二个呢，总共有四个步骤，每一种都有上下左右四种情况，就是四的四次方，这总共的。然后要想回到原点，上下左右各一次，或者两次上，两次下，或者两次左，两次右，一讨论，就没有什么太大难度啊。 第十七题呢，也是简单的啊，下一位呢，直接见习啊，就直接翻篇了。第十八题的这个地方，实际上面积之比就是它底子比，用高字同一个高，对吧？那么这个底子比怎么求呢？如果你知道第二定义，而且学会在高考考场去证明第二定义，余弦定律，就可以把 a f 二， f 二还有这些长度都给算出来，这种题可以说不需要连力也能做，当然，最后一题四点共圆。哎，有点新意啊，只需要这个角跟这个角相等是不就可以了，然后探点这个角就等于探点这个角，这个两角和与差 搞定结束啊。但是这个题的第二问，最后你还要去判断单调性，看它到底有几条，所以这个题出的还是真的很有含金量的啊。 十九题的难度就不用说了，完全创新的啊，把高次函数放到里面了，然后和三角函数在一块，还有竖列在里面，难度非常之大啊！第二问呢，第一小问甚至要用到数学规律法等等方法去做啊！第三问这个难度非常的狂野了，这都是给清北的学生准备的了啊！ 好了，这份试卷呢，就给大家点评完了，说实话，从头到尾做完，我真的非常喜欢。今天晚上十点钟给大家直播讲一遍，我们今晚十点不见不散，跟着勇哥跑数学一定好！

一份试卷让八省联考数学直接冲上热搜。这张由华中师大一附中命制的替八联考数学卷，试卷质量不错，但全部集中在两小时内完成， 对绝大多数学生而言堪称灾难级。它极度强化抽象建模、多步转化、复杂计算与严密推理， 是一张典型区分度拉满的竞赛像模拟卷。普通学生能及格已属不易，但对于目标一百四十加的顶尖学生，这是绝佳的思维磨刀史。核心题拆解第七题，双曲线加圆的切线几何性质与解三角形关键洞察双曲线乘二减 m 二 y 等于一， 故 f 一 作圆乘二加 y 二等于一的切线交双曲线又之于 m， 且 f 一 m f 二等于派三求 m， 需综合运用切线长定里双曲线定义解三角形解题思路，设切点为 n 连接 on 则 on f e n on 等于一， 由双曲线定义得 m f 一 减 m f 二等于二。设 f e n 等于 t， 则 m f 一 等于 t 加 m n。 在 f e m f 二中已知 f e m f 二等于六十度。用余弦定里建立关于 t m 的 方程，结合 f e n f 二中的几何关系，解出 m 等于一加三分之根号三、易错点提醒切线长使用错误。 双曲线定义中的绝对值处理不当解三角形时选错边角关系。第八题，分段函数加对称零点问题分类讨论与图像变缓关键洞察给出分段函数 f x 构造 g x 等于 f x 加 f x， 讨论零点个数，本质是利用奇偶性简化转化为两个函数。图像焦点问题解析思路，写出 g x 的 表达式。注意 x 大 于零和 x 零需分别讨论。令 g x 等于零等价于 f x 等于减 f x。 g f x 与减 f x 图像的焦点分别画出 f x 和减 f x 的 图像，观察焦点个数随参数 k 的 变化确定恰有四个零点时 k 的 取值范围，以错点提醒忽略 g x 的 定义。分段处理 图像画法不准确，导致焦点个数误判。临界情况如相切，需单独验证。第十四题，三角条件最值待数化规于几何转化，关键洞察给出条件 sinelfir sin beta cos beta， cos alpha 等于零，求 sin alpha 加 cos beta 减二的最小值，需将条件转化为方程或几何轨迹。解析思路，由乘积为零得 sin alpha 等于 sin beta 或 cos beta 等于 cos alpha， 设 x 等于 sin alpha， y 等于 cos beta， 则条件化为 x 二加 y 二等于一， 且 x 大 于等于零或 y 大 于等于零。极点 x y 在 单位圆的第一、二、四象限含坐标轴，目标是 x 加 y 减二的最小值转化为点到直线。 x 加 y 减二等于零的距离最值问题 最远点为一零代入的最小值位减三思维提升，将条件等式转化为轨迹，将代数最值转化为几何距离，是解析几何思想在三角问题中的高阶应用。第十九题，高斯函数加递推数列 新定义阅读与数学归纳，关键洞察结合高斯函数 x、 三角函数 cos x 与递推数列 x n 加一等于 g x n 考察新定义，理解 递推规律，规律不等式放缩与求和取整。解析思路。第一问，直接计算 f 四和 f 五，需注意 cos 四、 cos 五的符号与大小。第二问由递推函数 g 五大于三点九等归纳出 x 二 t 三 nine 四 乘二 t 加一四四点一判断 cos 的 符号区间得到 f x n 的 值零或负一，进而求 f 式构造。 phi x 等于 x 加 g x， 证明其单调性。利用 phi 乘二 t 减一大于八， phi 乘二 t 八对和式进行放松，得到式的表达式思维训练。此题融合新定义 函数性质，递推数列不等式放缩取整运算，是典型的材料题加压轴题。复合体，考察学生长链条推理与严密表述能力。备考建议，如果你这次得分较高，一百二十分以上，你的抽象建模、长链条推理、复杂计算能力已属顶尖。重点复盘第八、一、四、十九期题， 这些题的多知识点融合新的一转化，严密放松是冲击竞赛级高分的核心。第十九题的地推规划与放缩求和尤其值得反复推敲，书写逻辑。 如果你分数在九十到一百二十之间，你的数学基础扎实，但在时间分配、难题突破步骤、严谨性上仍有提升空间，确保低到六九一零一、二十三十五一十六一十七一二题全对。这些是集合复数、向量、数列、 三角、概率、立体几何的中档题，必须稳拿重点功课。第七、八，分析图像十四、转化思想十九、一二题掌握其核心思路。如果你分数低于九十分，不要灰心， 这张卷子的难度远超高考平均水平，能及格以证明你有不错的基础。首要任务是回归中档题，提升准确率与速度。反复练习第一到五、九十二、十五、十六一题， 这些是基础，预算概念判断简单见磨题，必须满分。看懂第七、八、十四题的答案解析理解条件转化、见磨求解的思维链积累转化策略。心里话，同学们面对这样一张为优等生定制的极限试卷， 感到挫败是正常的，但更重要的是透过这些高难度题目，看到高考命题的趋势与自身思维的边界。这种试卷你在哪道题上完全无从下手，哪道题的解法让你感到恍然大悟？在评论区一起交流吧！点赞、收藏、转发 at 你 的同学，加入这场思维极限挑战吧！

t 八联考昨天下午数学刚刚结束，这张卷子呀，又难哭了一大片，高三的同学难度系数是非常的大，创新点非常密，知识之间的连接也非常的多，题目是比较综合的， 最重要的一点是计算量超级大。我想说这张卷子的成绩不作为孩子未来高考成绩的参考，但是我们可以参考的是什么？ 现在高考的形势下，命题的方向和趋势到底是什么？首先第一点，我们先从试题的结构来说，依然延续了二零二五年高考命题的结构，前段时间传的是八三三五要改了，八道单选三道多选三道填空五道，解答结构并没有发生变化。 其次呢，一轮复习没有多长时间就要结束了，那这张卷子反映了同学在接下来的复习过程中，需要把思路打开，不要形成思维定势，尤其是刷题，刷题的那些，你需要足够的灵活才行，因为里面有很多的创新点。那么我们一起来看几个。 比如说第六题，以天宫开物的统测为背景，考察的其实是三角函数的模型。第十六题以置点运动为背景，考察的是统计概率。十九题完全是一道创新性的 综合型的题目，以高斯函数为背景，里面有三角函数，有导数，有数列极限等等这些知识的一个融合。所以这一张试卷无处不在的体现。现在的高考的趋势叫创新， 需要有临场应变的能力，需要灵活的思维。就这张卷子的计算量是非常非常大的，这也是我们现在新高考的趋势之一，虽然题目变成了十九题， 题量比以前少了，但是你会发现啊，多选择题的第十题，第十一题相当于是八个小问啊，最后解答题的十八题，十九题你不留出来，十八到二十分钟你根本做不完。所以呢， 就要求同学们的计算能力要非常的强，并且要既快又对，你只会单纯的运算，远远不够， 那计算呢，也是需要你总结出一些方法和技巧的。另外一个就是你的心态，如何在两个小时之内答一百五十分的题，能抢到更多的分数呢，也是需要很好的答题技巧的。 所以呢，最后朗老师也总结一下啊，就这一套 t 八联考的卷子，确实是值得我们所有的高三同学去参考的，参考的不是他的分数啊，而是新高考命题的方向。所以呢，同学们在做题的过程中一定要拥抱这种趋势， 我们现在呢，高三还有最后的六个月的时间，我们应该尽快的从原有的，固有的这种套路，固有的思维当中脱颖而出，拥抱这种新形式的变化。 需要答案的可以免费领取啊，公屏区留下 t 八即可。建议呢，让孩子回去反复地琢磨琢磨这一套卷子，希望对孩子有帮助。

河北省的孩子昨天参加完 t 八联考数学考试，你有什么样的感受呢？这次的 t 八联考数学呢，有几个非常大的特点，也可以称为变化。 第一个，数学题的难度偏大，跟二五年的高考相比呢，他的数学的难度是偏大，那平时考一百二一百三的，这次极有可能啊，在一百一十来分。第二呢，计算量相当大，一道题可能就让孩子用掉草稿纸满满一张， 这对于做题速度慢的孩子，或者平时计算的时候速度慢的孩子来说，是非常吃亏的。那通过这一次 t 八联考的数学的一个特点呢，给我们河北省的孩子一个建议，我们不妨学一学衡水的模式刷题。 另外呢，时间的管理，把刷题的速度练上来，把时间的管理一定要应用上来，这样在我们接下来的一百六十天左右的时间里，让我们的孩子数学能够更上一层楼。大家记得点赞关注张老师哦，带你了解河北省更多的高考志愿填报！

同学们，这张是 t 八年考，按道理来说唐老师应该写全卷的，不过唐老师在考试拿到卷子的时候呢，就把整张试卷的解析呢全部都给写好了，但是后来考试一结束，答案就出来了，我这个解析呢都没有用武之地，所以呢，只是和同学们就说一下好了。这个一到十七题唐老师都做对了， 然后十八和十九的话，咱们现在开始花四十五分钟做一下，那么我们最后的分数怎么计算呢？咱们以十一百五减去十八和十九扣的分，然后再扣两分作为咱们 t 八年考最后的分数。那么话不多说，咱们现在开始计时。

t 八联考分数线大概在什么区间呢？把最近三届分数线分享给大家，要注意统一划线，但各省和地方有微调。 二零二五届物理类特供线四百五十分本科线三百八十分历史类特供线四百六十八分本科线四百一十分 二零二四届物理类特供线四百零八分，北科线三百五十七分。历史类特供线四百五十五分，北科线四百零八分。 二零二三届物理类特供线四百八十五分，北科线三百九十分历史类特供线五百零二分，北科线四百二十五分。 我们二零二六届参加 t 八联考的学生啊，可以进主页粉丝群或者后台私信何老师，会第一时间发布试题及答案，还有今年的分数线供大家参考。

刚刚结束的 t 八年考的数学试卷，质量真的高，所以呢，今天晚上十点钟，勇哥给大家直播讲解，在今天晚上讲解之前呢，先跟他干几道选填，看一下这个试卷。 ready go！ 我 们来看一下第一题前面的几个题还是比较轻松的啊， x 平方减减三大于等于零，我们是不是十字相乘，就是 x 减三乘以 x 加一，要大于等于零，大取两边数， x 小 于负一， x 大 于等于三。后面这个式子呢，就是我们的 x 要大于等于 e 的 二分之一，也就是大于等于根号 e。 好， 并在一块，你可以画一个数轴看一下啊，其中呢，这边呢，是一个小于等于负一实心点啊， 这边呢，是大于等于三，还有个大于等于根号 e， 根号 e 肯定是比三要小一些的，并在一块，是不是小于等于负一大于等于根号 e， 选什么？选 b？ 结束 go！ 好了，第二题第二题我们来看一下啊，二 z 加一，看能不能把 z 给算出来，这是不是三 i 再减去 i 倍的 z， 一 向过来就是二加上 i 倍的 z 等于负一加上三倍的 i， 于是 z 呢，就等于负一加上三倍的 i 除以二加 i。 那 么有没有必要把这个 z 呢，给它画几下做出来呢？没有必要啊，因为 z 乘以 z 的 共轭， 你们可以看一下。不妨令这个 z 等于 a 加 b， 它是不是就是等于 a 方加上 b 方，那么就等于 z 的 模等于什么？这个地方是不是有个结论，等于上面的模除以下面的模，就是根号十 除以根号五，也就是根号二，所以这个就是根号二的平方就是二了，选什么？选 c， 这样做会更快一点点。 go， 第三题，我们来看一下， 先从这个地方入手对数，我们是不是有个公式，落个 a b 分 之一等于落个 b a， 所以呢，它实际上就是落个以二为底 a 的 对数，加上落个以二为底 b 的 对数，对数相加，等于 根数相乘，那么就在求 a b 的 最小值。那么这个地方怎么样处理呢？你们看一下啊，很多同学可能想着是不是去通分去处理了啊， 我们可以这个 a 分 之一啊，加上 b 分 之一，根据我们基本不等式，是不是大于等于两倍的根号下 a 分 之 b， 所以呢，把这个根号 a b 乘过来，是不是 a b 要大于等于二的对数？就是一，选什么？选？ 结束。 go， 我 们来看一下第四题，这道题用什么方法最好呢？它是重心对不对？我觉得你可以直接画一个等边三角形啊，间隙去做，就没有任何问题，你比如说 a 点， b 点， c 点，当然呢，我们也说一下常规的方法啊，这个 呃，重心呢，是三条中线的焦点， ok， 而且重心是有个一比二，大家需要知道的啊，这个是个记点， b g 向量等于 number 的 b c 加上 m 倍的 a g， 你 看 a g 是 不是在这个方向，对不对？ b c 是 不是这个方向好了？比如说，我们把这个地方当做个 d 点，那么 b g 向量就等于我们的 b d 加上 d g， 其中呢， b d 跟这个 b c 是 共线的， d g 呢，跟 a g 是 共线的好，那不就可以了吗？ b d 向量就等于二分之一的 b c 向量，还有这个地方有个一比二，所以 d g 向量呢，就是等于我们的负二分之一的 a g， 所以 我们的 number 就 等于二分之一， mu 就 等于负的二分之一， number 减 mu 就 等于一。选什么选 b 好？第四题结束，第五题我们来看一下啊，告诉你呢， a 一 等于负五，还有这样个是指要你算那么的小一点， s n 横乘以，那就是求 s n 的 最什么值啊？就是求 s n 的 最小值，看能不能把 s n 的 表达算出来。这个形式呢？我们先 我的第一反应，我想把这个 n 给乘过来啊， n 倍的 a n 就 等于 s n 加上二倍的 n 乘以 n 减一，那么 是消 a n 呢？还是消 s n 比较好呢？大家经常去做的是把 s n 消掉，但是这个题目就是要求 s n， 所以 我觉得消 a n 试一下啊， a n 呢，就等于 s n 减去， s n 减一，那么这个地方就是 s n 加上二倍的 n 乘以 n 减一，于是呢，一向过来就是 n 减一倍的 s， n 减一，加上二， n 乘以 n 减一。然后接着怎么做？你观察一下 是不是两边同时乘以，这样一个式子就可以得到一个 s n 除以 n 就 等于 s n 减一，除以 n 减一，再加个二，这是不是构造了什么数量？是不等差数量？所以呢， s n 除以 n 就是以 s 一 除以一为首项，加上 n 减一倍的 d， 其中 s 一 呢，就等于负，加上 n 减一，再乘以二，那就等于二 n 减七，那么我们就可以把 s 算出来了啊， 大家可以思考一下，要不要检验一下？呃， a 一 附不符合，不用检验啊，因为 n 这个地方 其实有个前提条件， n 大 于二，大于等于二，即使等于二的时候，也就是 s， 二除以二等于 s， 一 除以一加二，是不是也是构成等差数列的啊？ 所以就等于二 n 的 平方再减去七根，这是个什么函数？一个开口朝上的二次函数，当这个 n 取对成轴负的二 a 分 之 b 等于四分之七的时候， 最小是 n， 必须是整数，所以当这个 n 等于 二的时候，那么呢， s n 就 等于二乘以四减去十四，八减去十四呢，就等于一个负六， 这就是它的最小值了。于是呢，那么的，小于横乘以要小于等于负六，选什么？选 a 结束，这就是我们的第五题。继续看下第六题啊，这道题呢，实际上我们课本上经常有什么水车呀，要你求它的表达式啊， 其中呢，有些东西公式啊，你要很清楚，如果你知道原理就更好了啊。 a 等于什么？ a 等于最大， 减去最小值再除以二，其中这个 k 啊，以前是 h， 我 们一般是啊， a 被的三元 o， max 加 f 加 h 啊，这是 k， 无无所谓，换了个字母而已。两个相加除以二，我们应该等于什么呢？我们应该等于二 pi 除以 t， 对吧？好，其中你们看一下这道题目，我们就不妨啊，令这个半径就是 r， 令这个高度就是 h， 所以 最大值这个 m 就 等于 r 加上 h， 这是个最高点，对不对？最小值这个小 m， 它是个负的， 对不对？就是 h 减去二了，那么最小是个负数嘛，所以呢，我们这个 a 两个一相减，除以二，是不是就是二？然后呢，我们的 k 两个相加除以二，是不是就是 h， 对 不对？这个 r 等于几啊？我们来看一下半径为二嘛，就 ok 了嘛。这个 h 等于几呢？ h， 我 们看一下它说轴心距离水面的高度，根号三， ok， 虽然你知道原理，根本就不要这些公式啊。 这个 h 呢，这个 k 就是 我们的水平值，然后这个 a 呢，就叫做正负，就是最大值距离水平的高度，或者最小值距离水平的一个高度就行了啊。 好了，接着我们来看一下啊，要算周期，每分钟转一点五圈，那么呢，也就是六十秒 转了一点五圈，那么一圈多少？六十除以一点五，是不就四十秒转一圈？于是呢，我们的 omega 就是 二 pi 除以四十，也就是二十分之 pi， 于是呢，我们的表达式，这个 d 呢，就等于 二倍的 sin 二十分之 pi 加上 f， 再加上根号三 f 怎么求？它？是不是当这个时间 t 等于零的时候，我们来看一下它是不是刚冒出水面，浮出水面，也就是 当嗯这个地方漏了个 t 啊。当 t 等于零的时候，我们的 d 呢，刚好等于零，好把 t 的 零带进去，所以就是两倍的三与 f 加上根三等于零，就是负的根号三，那么呢，我们的三与 f 就 等于负的二分之根号三 f， 就 看里面哪一个复合是不是负的三分之 pi 就 可以了。好了，这道题呢，就做出来选 a 好 了， 通过接近九分钟的时间跟大家把第一题到第六题讲了讲，第七题，第八题，我们下两个视频单独给大家去讲讲。这个第七题就是 根据油量高考题改编的，非常像啊，这个第八题还稍微有点难度，我们下个视频好好讲讲。今天晚上十点钟，勇哥会给大家把这整套试卷直播讲一讲，记得定好闹钟过来看一看，跟着勇哥跑数学一定好。

高考数学幺四九做 t 八联考压轴题要多久？ 第二问，感觉题干已经不是暗示，是明示了。开始第三问，视频后面会给大家细讲， 如果你也喜欢刚刚这种答题速度的话，下面我们就一起来看一下，考场上一道题怎么能够快速获得思路，写出答案。首先，我们在考试做题的时候，一定要注意一个细节， 不要上来就直接去想这道题怎么算，答案是啥。如果你只是看这道题，想这道题，你的思路就会局限在这个里面，但我们应该做的是什么呢？发散 到外面，你却想这道题和你之前学过的哪些模型，哪些题型是相关的，是可以直接进行套用的。比如这道题，它就是竖列里的不动点， 形象一点的话呢？蛛网图，我怎么想到的呢？就是读题的时候，我看到了 x n 加一等于 g x n a 这个形式， 而且这个 g 它的表达式里边是没有 n 的， 与 n 无关的，这种情况下就是注网图或是不动点的适用条件啊。那我自然就想到这道题不动点是什么呀？我看 他告诉我， g 五在三点九， g 三点九，四点一， g 四点一啊，大于三点九基本上就属于明示我了。 s 等于四的时候，这函数值是什么呀？一算根号四十九，减根号九，正好是四，所以它的不动点就是四 四。有同学经常问，哎呦，我怎么能想到我要求这个 g 四的值，它是四啊，我想不到啊，就是因为你没有进行发散，你在考场上现想出来一个题型怎么做，可能性几乎为零。但如果你考前就知道 有这个题型，那你就看这道题它的适用条件是否满足之前你学习题型的那个适用条件。哎，你看这道题正好满足不动点，那我自然就想到要求这个 g 四了。那我们在这里直接一起复习一下不动点和蛛网图啊。 x n 加一等于 g x n， 这个 g x 长什么样呢？我可以先画一下求导，发现导函数是小于零的，函数单调递减，而且呢，当这个 x 趋于无穷的时候，函数值基本趋均于零吧，所以这函数图像怎么画呢？这样画，这是 g x 大 概的模样。 网图是啥？再画一个 y 等于 x， 它正是由于有 x n 加一，也就是我的下一项和上一项之间的关系，是一个函数关系，所以我就能够在图像上进行表示了。这道题告诉我了， x 一 等于五，对不对？在这呢， x 一 等于五， 我为了让大家看得清楚，所以我画的远了一些，这是 x 一， 那 x 二是不是 g x 一？ g x 一 在这吧，哎，这是 x 二。好了，那 x 三呢，就是 g x 二。 g x 二怎么表示呢？画过来，这是 x 二吧， 因为这条线是 y 等于 x 呀，也就是说，你把每一个函数点都向 x 轴 y 轴进行投影，与 y 等于 x 的 交点， 这里是 x 二，我再找上去，这就是 g x 二吧，也就是 x 三。下面 x 四就等于 g x 三，再投，这就是 x 三啊，所以这个点就是 x 三， g x 三，也就是 x 四。 哎，划到这，我基本上已经得到这个蛛网图了吧，蜘蛛网一样的，无限的去逼近于中间的不动点四四，这就是蛛网图。 其实看到这，这道题的思路已经完成了，下面就只是纯去计算了，就比较简单了，我们可以来快速看一下。首先第一问问你 x 等于四， x 等于五的时候， f x 这个中括号边是什么？一个向下取整的值带进来 符号看象限一下，因为这里面直接是数吗？ pi 等于三点一四二， pi 是 六点二八二分之三， pi 四点七一。 那我发现四啊，它在三点一四和四点七一之间，也就是在第三项线，所以 cos 四呢，是大于负一小于零的前面，再乘以个二分之一呢，依然大于负一小于零，所以它向下取整就是负一。同样道理， cos 五啊，五在四点七一和六点二八中间， 所以 cos 值就是大于零小于一的。那 f 五呢，也是大于零小于一的，因为前面乘以的是一个五分之二，所以 f 五向下取整就是零。 第一问完毕，看第二问，求 f x 向下取整之后的和，那么我就得看先向下取整每一项大概是多少。第一项是 x 一 等于五，上一问已经求了，函数值是零 x 二 等于 g x 一。 咱们在主网图上已经画了，这是 g x 一， 也就是 x 二。题里告诉我大于三点九的，那我还得知道一个上限，根据这个织网图，我知道 它就是四了，因为它要靠近这个不动点嘛。 g 四等于四，而且还求了导，由于五是大于四的，删掉递减函数， g 五就小于 g 四就小于四，所以说 g 五就在三点九和四之间，也就是 x 二在三点九和四之间， 还是在第三项线， f 函数值一取还是负一，那同理啊，接下来我再算 x 三等于 g x 二 x 二，上一问算完了，在三点九和四之间， 所以我的这个函数值呢，就在 g 四和 g 三点九之间。单调递减函数嘛，也就是在四和四点一之间，这是题里给我的已知条件，还是在第三项线向下取正还是负一？既然一直算偶数项都是在三点九和四之间的， 积数项都是在四和四点一之间的，那无论如何呢，它就是在四的左右两边摇摆，还都在第三项线，是吧？ 那我这个竖列每一项都是负一周和，太简单了，一减 n， 第二问完事。好，我们再看第三问，也就是第二问的第二小问求和之后，再向下取整。我就看这个竖列求和它的一些上下线呗，把它逼近出来呗。 因为我从蛛网图里已经看到了，大家都是无限接近四的，只不过一个比四大，一个比四小，这俩加一起和八之间有什么关系呢？这就是咱们经常用的一种方法。在竖列求和的时候呢，你可以两两一组，给它分组这一项和下一项的和 x n 加 x n 加一，它和八之间的关系。 x n 加一是啥？是不是就是 g x n 啊？所以我就得到了一个新的函数， 设 five x 等于 x 加 g x。 我 对这个 five x 求导，发现它导数是大于零的，也就是单调递增的。由于上一问我已经求出来了偶数相小于四，基数相大于四， 单调递增函数。那么函数值呢？一个小于八，一个大于八。我们看这个图， x 二加 x 三，这两项加是小于四的哎，像 x 一 加 x 二，基数项出发的，哎，这两三加就是大于四的，从图里可以说是一目了然，那下面我就可以进行求和了。 sn 我 给他两两配对一下，最后一项的这个项数是基数还是偶数呢？我就在分类讨论一下。假设最后一项是偶数， n 等于二 k 的 时候， sn 他 可以等于两两相加一下。 基数项的函数值都是大于八的啊，一共是 k 项，所以大于八 k， n 对 二 k 带进来，他就大于四 n 只有大于四 n， 和第二问一样，我还定不了他的下限是什么，我还得看一下上限是什么。 所以呢，我再利用一下，偶数项小于八，那就得从 far x 二开始了。那前面这个 x 一 别漏掉，后面呢？还有一个 x 二 k 别漏掉， x 一 等于五 x 二 k 本身是小于四的，中间这一大堆 k 减一项，每一项都是小于八的。最后一算，把 n 的 二 k 带进来，它又是小于四 n 加一的 大于四 n 小 于四 n 加一，那向下取整呢？就是四 n， 同样道理，基数最后一项求和也一样， 也是在四 n 和四 n 加一之间的，所以最后它的表达式去向下取整的话，等于四 n。 别忘了，第一项特殊等于五，这道题就做完了。所以我们回看一下这道题，即使是压轴题，他也不可能去考你一些新思路新方法， 我们在破题的时候不用自己去想这些什么新技巧新解法，你想不出来的，咱们就去结合题干。已知条件，我学过哪些题型是能够匹配上这道题的，自然就有解法了，直接可以快速写出答案。

二零二五年高三含金量最高的模拟考试期末联考，今天下午数学刚刚落下帷幕，这张卷考完呀，又难哭了一大片，高三同学们难度系数属实非常的大， 创新点非常密，知识之间的连接非常的多，题目比较综合。另外一个就是计算量超级大。那对于我们高三的同学们来说啊，老师可以告诉你，这张卷的成绩不作为你未来高考成绩的参考，但是我们可以参考现在新高考形势下命题的方向和趋势到底是什么。 首先第一个点，我们先从试题结构上来说，依然延续了二零二五年的高考命题结构，八三三五也打破了二零二六年高考数学结构改革的传言，八道单选，三道多选，三道填空，五道解答结构并没有发生变化，这个咱们高三的家长和同学们可以吃一个定心丸了。 其次啊，这张卷要求同学们在复习的过程中，你需要把你的思维打开，不要形成思维定势，你需要足够的灵活，因为里边有很多创新的点，我们一起来看几个，比如说呢，给大伙举几个例子。第六题，以天宫开物的统车为背景，考察的其实是三角函数模型。 第十六题，以置点运动为背景，考察的是统计概率。十九题完全就是一道创新性的综合题目，以高斯函数为背景，里边有三角函数、导数、数列极限等等，那这些知识的一个融合， 所以这张试卷啊，无处不在的体现。现在高考的趋势叫创新，需要的是同学们临场应变的能力，需要是同学们灵活的思维。第三个点啊，就这张卷的计算量非常的大，这也是我们现在新高考的趋势之一，虽然题目变成十九道题，题量比以前少了， 但你会发现多选择题的第十题，第十一题相当于是八个小问，最后解答题十八题，十九题你没留出，十八到二十分钟你根本都做不完。 所以呢，就要求同学们的计算能力得非常的强，你只会单纯的硬算，远远不够，那计算呢，也是需要你总结出一些方法和技巧。另外一个就是你的心态如何在两个小时之内达一百五十分的卷，能抢到更多的分数，也是需要有很好的一个答题技巧。 所以最后安老师给大伙做一个总结，就这套 t 八联考的卷，确实是值得我们所有的高三同学们和家长们去参考， 参考的不是他的难度，参考的不是你最后得了多少分，而是命题的趋势，而是新高考命题的方向。那大家呢，可以看到， 真正的高考命题，实际上是与你平时学校的各种各样的周练，期中期末完全是两种感觉，所以大家在做题的过程中一定要拥抱这种趋势。 我们现在高三还有最后六个月的时间，我们应该尽快的从原有固定的思路，固定的套路，固定的思维当中脱离出来，拥抱这种新形式的变化。

给你一次 t 八联考的机会，看你是否到心破碎！公元二零二五年十二月二十四日， t 八联考重磅开考。这届 t 八联考 又称河北解压考试，江湖适应考试广众浮聊见市面。考试紧靠新高考命题趋势，所有科目命题范围都和高考一致，成绩很有参考价值，主打一个全方位拿捏考生气质。 之前的数学考试，你是不是公式定律梦里都在背，一上考场全作废？面对摆在面前阅读理解般的长题干， 只能交一张写了解字的答题卷。试卷难度层层累，卷面整洁赛白胚，大题瞪眼干皱眉， 一字写不出是常规。五星上将迈克阿瑟表示， t 八考试确实有难度，不少考生高高兴兴进考场，失魂落魄走出来。为了让更多的考生能够在数学考试中从容容游刃有余， 我给大家汇总了优质模拟试卷，帮你更好的迎接 t 八联考。你可以在 t 八考前进行模拟，有了它，再也不用感叹出题人不懂什么叫忠实留白的韵味， 再也不用别人来懂。古道西风瘦马 t 八将我戏耍的辛酸泪，祝你在 t 八考场上金榜题名，馋宫折桂！

t 八联考试卷新鲜出炉，选填压轴题标答居然用三角换圆，步骤又长，变形还复杂！主播今天教你秒杀技巧，特殊执法，直击答案，秒出结果！ 我们来看这道题八联考的选填压轴题，这道题目无论是难度还是计算量都超级简单。首先给的条件，这个括号乘这个括号等于零。哎，那就是两种情形嘛，第一种情形，第一个括号等于零，三以二法它会等于三以贝特的绝对值， 那既然这里有个绝对值，那肯定是大于等于零的。那第二种情形呢？就是第二个括号等于零呗， 那就应该是 cosine 比特它会等于 cosine alpha 的 绝对值，进而它是大于等于零的。好的，那接下来呢，我们就分别从这两种情形出发，去探讨一下原式的最小值。 如果是他满足第一类情形，那这时候三阿尔法他是大于等于零的，所以这东西的最小值他是个零。 cosine beta 呢？他的最小值肯定是个负一。哎，那能不能同时去取啊？如果能同时取到的话，是不是我们整个式子他就会去取到一个最小值啊？ 我们可以取个特殊值，比如说我们让阿尔法他就等于个零，然后我们让这个贝塔 他去取一个 pi， 这样的话， sin alpha 等于 sin pi， 是 不是他们都是零啊？ 哎，没问题，符合提议的。那这时候呢， sin alpha 他 就取到零， cosine beta 呢？他是不是如愿以偿去取到负一啊？同时去取到，所以说这地方最小值它就是个负三。 好的，然后从第二种情形去出发， cosine beta 它是不是大于等于零的？所以这家伙的最小值它是个零，这家伙的最小值呢？是不是它应该是个负一啊？那能不能同时去取啊？还是去举个例子，那这时候我们可以让这个 beta 它去取一个二分之一派， 然后让这个阿尔法它可以去取一个负的二分之派，那这时候是不是 cosine 二分之派它会等于 cosine 负的二分之派的绝对值都等于个零。那这边呢？ 它如愿以偿去取到个零，这边呢？它也去取到自己最小值，它是个负一，那负一加零再去减二，它的最小值是不是也是负三啊？ 所以说无论第一种情况还是第二种情况，最小值都是这个负三，所以在这种情况下，我们这个式子的最小值他直接就是一个负三了。

压轴题常考八大超越函数必须会画。二六届 t 八联考单选压轴题，其实核心就两点，一、超越函数图像啊，这个图像应该一下子画出来。二、对称变换，关于原点对称的熟练运用， 明确焦点个数，直接找出零解值来，这个答案就做出来了。单选压轴这道题啊，难不难呢？我们看一看啊。首先， f x 学函数的最高境界是什么？如果你画图像的能力贼强，那这题轻松加一得，如果一个函数你都啊，对吧，没怎么见过你也能画出它图像来，那你学的更溜， 听懂了，所以一看这个 f x 绝了，我肯定会画呀，对不对？这不是一个超越吗啊，比较有名的超越函数，然后这一个就是直线啊，过负一零。现在呢？他说 g x 等于它。 现在呢，他说 g x 有 四个零点，求 k 的 值范围，零点不是点啊，笨蛋不是蛋，傻瓜不是瓜。零点是两个图像的焦点，对不对啊？焦点所对应的那个横坐标，所以零点是让 y 等于零 啊，让 y 等于零，这让 y 等于零的话，我当然不能画它了。 f s 加 f 你 会画？你是哥吗？对不对？你肯定画不了呀，所以我们就想到了它， ok， 所以 它考了一个图形的变换。那你说 f s 关于什么对称才变成它？我先帮你画一画啊 啊，首先大于零的时候是一个啊，是一个超越函数，它与 x 轴的交点是二分之一。然后呢，你口算求个倒，它的极值点是负的二分之一啊，这个图像应该一下子画出来，如果一下子画不出来， 好好的去学习去啊，你肯定这超越函数没学过，那肯定不行，他求一是倒加一个，斜率是加一，所以极致点是负二分之一，又因为他只取大零的部分，所以他的图像长了这个熊样。 单调递增的这个点是多少呢？这个点是二分之一，这个点是多少呢？让 x 等于零，那就是负一。 ok， 然后再怎么画呢？我一看四个选项，做题时候不要太死板，是一看四个选项全都是正的呀，所以这个选项很有可能错。 我先假设 k 是 正的，我一会再想一想呗， k 负的不行就可以了。所以这个小零的时候，他是一条直线啊，我大概这么一画啊，就大概这么一画啊。 ok， 也就说这量是负一，这个量是几呢？这量取不到，那就说白了，它是个 k 啊，它是个 k 啊，我画出来了啊，大概是长的这个熊样。那现在呢？我们画完之后，这是谁的图像呢？这是 f a 图像， f x 的 图像，我们得把这个图像关原点对称，关原点对称，它需要有四个焦点， 所以怎么关联的对射呢？我也不知道。 k 大 于负一小一啊，我这样画，那肯定是这量是二分之一喽。哎，你说我这样画行不行？这个直线的话，哎，这样画，你看我画的现在有几个焦点 啊？现在我画的有几个焦点啊，所以你能明白什么意思了？这条直线和他是官员的对称的，这个曲线和他是官员的对称的，所以他们都是官员的对称，我只需要让他俩之间这个直线和他之间有几个焦点就可以了。 听懂我的意思吗？你比如我这个直线上画质量有两个焦点，质量有两个焦点。这边听明白了啊，这边一定是有两个焦点的，一定是两个焦点的，因为他是都是官员的对称的啊，都是官员的对称的，能明白不？这个直线如果是他比较靠上， 就说白了账，所以这边有两个焦点就可以了。那我问你，有两个焦点的临界值是什么呢？这道题马上做出来啊，就简单了。临界值不是相切吗？ 听明白了吗？大概是在这吧。啊，就是凑合着看啊，你，你明白就可以了，没必要画那么标准啊。因为这条是这个直线，这个直线一定过一啊，听懂吗？所以临界是相切啊。相切的话，那你说如果相切的话，这个指数函数我在这个斜率上变大一点，他不就两个焦点吗？ 啊？他不就两个焦点吗？所以我求这个邻界值了就可以了。求邻界值怎么办呢？邻界值是相切，我假设这个切点是 x 零外零，所以这个函数是谁呢？是二 x 减一乘一个 e x， 我 求个导，就应该是二 x 加一乘一个 e x， 我 把切点的横坐标带进去， 它就应该等于 k， 对 不对？那又因为这个切线呢？它过的是一零点，为什么过一零点呢？因为官原点对称了，它原来过负一零啊，那所以这边一定过一零， 所以它过的是一零点的话，那 dart y 比 dart x 也是 k， 也就说二 x 零减一，比上一个 e x 零减去个零，比上一个 x 零减一，它也是 k， 他俩都是 k 的 话，我直接解这个方程就是喽。解这个方程你会发现这个一 x 零完全约掉，所以我们直接二 x 零方 再减去一个 x 零，再减个一等于个二， x 零减个一，所以二 x 零方等于个三个 x 零，所以 x 零等于个二分之三，所以 k 就 求出来了啊，当然 x 零不能等于零啊， 那零不行啊，他不能切在原点吗？不能切在这个地方，切在这个地方的话，他不可能有两个焦点，零点值应该是在这个地方啊，不能切在这个点上，取不到这个点啊。所以我们把 s 零等于二分之三带进去，那就应该是四倍的 e 的 二分之三次方， 然后呢，这个直线再变陡一点，当然就两个焦点了，所以这里选二 b 觉得难吗？啊？那为什么有两个焦点就四个了呢？是因为你这个地方是邻界值往上一点，斜率再变大一点，他立刻就有两个焦点。不要忘了，这个直线和这个直线是官园的对称的， 这个曲线和这个曲线也是关于原的对称的，这边有两个焦点，这边一定有两个焦点，所以二加二等于四啊。那当然我们就不需要考虑 a 了，那你说你偏得考虑 a， k 小 零的时候行不行？ k 小 零的时候，这个图像是这样画的， 看到吗？那你想一想，对它关于原的对称，然后再对这个曲线，关于原的对称， 他最多几个焦点，他最多就两个焦点，这两有个焦点，这两有个焦点，所以他只有两个零点，不可能四个，所以 k 小 零显然是不可以的。听明白了，所以一百二十分目标的同学，这道题应该做的比较轻松才对，就直接找出零解值来，这个答案就做出来了。

t 八年考数学难到哭！二零二五年高三含金量最高的模拟考试 t 八年考， 昨天下午数学刚落下帷幕，这张卷子是考完以后又难哭了一片的高三学生，难度系数属实非常大，创新点非常密， 知识之间的连接非常的多，题目非常的综合。另外有一个不得不提的之处就是计算量超级大， 对于高三的同学来说，可以告诉你这张试卷的成绩不要作为你未来高考成绩的参考，但是我们可以参考现在新高考形势下命题的方向和趋势到底是什么？ 第一个点吧，先从结构，试卷结构上来看，依然是延续了之前的高考命题结构，八三三五也打破了二零二六年高考数学结构改革的传言，八道单选，三道多选，三道填空，五道解答结构并没有发生变化， 这个高三的家长和同学们就可以吃上一个定心丸。那么第二点呢，要求同学们在复习的过程中需要把你的思维打开，不要形成思维定势，你需要足够的灵活，因为这里面有很多的创新的点。 那我们看一些例子吧，比如说第六题，以天宫开物的统称为背景，考察的其实是三角函数模型。十六题以质点运动为背景，考察的是统计概率。十九题完全就是一道创新性的综合题目， 以高斯函数为背景，里边有三者函数、导数、数列极限等这些知识的一些融合，所以这张试卷无处不在的体现了现在高考的趋势，创新需要的是同学们临场应变能力 和灵活的思维。那么第三个大点，这张试卷的计算量非常的大，也就是现在新高考的趋势之一，虽然题目变成了十九道题，题量比以前少，但是你会发现多选题的第十题，十一题相当于八个小问， 最后几道题，十八题十九题，你没有留出一个二十分左右的时间，你根本是做不完的，所以要求同学们的计算能力非常的强， 你只会单纯的硬硬算，远远是不够，计算也是需要总结出一些方法和技巧。另外一个就是你的心态啊，很考验心态啊， 如何在两个小时之内打出一个一百五十分的试卷，能抢到更多的分数，也是需要很好的答题技巧。 最后给大家做一个总结吧，就是这套 t 一 八联考的试卷，的确是值得所有高三同学们和家长们去参考，参考的并不是他的难度，参考的不是你最后得多少分，而是命题的趋势，而是新高考命题的方向。 大家可以看到，真正的高考命题实际上与你平时在学校的各种各样的周练呢，集中期末完全是两种感觉，所以大家在做题的过程中一定要拥抱这种趋势。 现在高三还有最后五六个月的时间，我们应该尽快的从你本身原有固定的思维思路套路中脱离出来，去适应拥抱这种新的趋势变化。

不出意外，这次 t 八数学的难度呢，果然是比较大啊，我呢也是刚刚做完了全部的大体，还有是选填里面啊，偏难的部分啊，给大家附一个试卷分析啊，大家可以看一下做个参考啊。你要单独看的话，每个题目呢都可圈可点啊，质量比较高，但放到一张两小时的试卷上， 难度还是很大的啊，一般学生如果想及格的话，呃，基本上呢就是一个重点，就是一定要吃透真题， 要抓牢通信通法啊，如果说你能把每个模块的这个常规题型，还有是常规的一些解析思路练到很熟练 啊，拿个一百一一百二还是没有问题的。但是想要突破高分，必须要拓展一些新的方法啊，包括二级结构的拓展啊，跨模块的这种知识点的这种结合能力，包括一些转化的技巧啊，运算能力啊，这些都要下功夫 啊。针对不同分数段呢，接下来马上要开始的二轮复习呢，大家的方向一定要明确啊，首先分数如果在九十分以下的，优先啃透近十年的正题， 你要按模块分类整理题型，还有些解析思路啊，把基础题型的这种得分率要拉满啊，比你盲目的去做一些难题偏题呢更有效 啊。如果说那咱们家孩子是冲刺高分，你就不能只局限于这种课本，还有是高考政题，一定要适当的去做一些拓展性的练习 啊，同时呢，要现实的去刷一些模考卷，提升你做题的速度，还有是做做难题的一个能力，尤其是整套试卷上中档偏难点的题目比较多了之后啊，整个考场上的这个做题节奏啊，还有是你的这个运算效率直接会决定你分数的一个上限。

每年高三最终的联考非 t 八联考莫属。 t 八联考原本是八个省的 top 高中组织的联考，辽宁东北育才中学、河北石家庄二中、江苏南师大附中、福建福州一中、湖北华中师大一附中、湖南师大附中、广东实验中学、重庆西南大学附中。 据说今年有三百多所高中参与。今年的 t 八零考数学试卷虽然是华中师大一附中命制，但据武汉的家长说，华中师大一附中紧急通知不参加此次领考。这份试卷上，单个考题质量大部分都较高，但放到一张试卷上，难度略大一点点。 翻选前五题是基础题，翻选第六题几乎是教材原题。基础好不好，这样的题做的快不快最能说明。 单选第七题开始上难度，第七题属于常规中档题，双曲线定义和三角形结合。第八题主要考察函数零点，涉及到导数、函数图像及变换，综合性较强，注意基偶性和数形结合的应用。多选第九题和第十题均有创新。 第九题构造新数据后数字特征的变化，属于老掉牙的题型。第十题，两个函数的综合题，中场难度大，内切求外求问题。填空题，前两题比较基础，解解答题，前三题比较常规。 第十八题连列后计算复杂，最后转化为函数零点问题。第十九题，数列不动点问题，结果容易猜到，比较套路。

这几天刚考完的 t 八联考数学，大家觉得整体难度怎么样？欢迎大家评价交流！

快看看是不是你刚考完的 t 八零考好，接着看 t 八零考的第一页，他说求并集嘛，首先我们这个对上一升减一，负三一，所以一个解释负一，一个解释三，然后大于零，所以负无穷到负一，零上三到正无穷。 前面解释这个，然后对于它是不是劳根 x 大 于等于零二，根号 e， 所以 就是 x 大 于根号 e， 取并集的选 b 选项。然后对于第二题，他说计算机一百是不就是求 c 的 模嘛，对吧？ c 模的平方嘛？对，这个时候我们把它移向就是 二， g 加一等于三， a 减 c 二一过去我们就是嗯， g 提出来就是 g 二加 i， 对 吧？等于三， i 减一，所以不就 g 就 等于三， i 减一，所以二加 i。 对 于这个我们 g 模式不是根据那个 g 上面的模式，根号十，下面的根号，我们接着根号平方就是二，我们选先这样让我们接看，那你他说最小值。对于这个我们换底公式嘛，我们就换一下，是二的 a 加上 log 二的 b， 他 应该。对于使用 g 模式就等于 log 二的 a b 嘛，等于 log 二的 a b， 对 吧？ 那这个我们立什么呢？我们是不是要有一个 a b d 根号下大于 a 分 之一加 b 分 之一分之二，这个不等式到那个不等式六啊？对于这个题目要告诉我们根 b 等于 a 分 之一加 b 分 之一，我们是不是知道，是不是知道把它就等于根号 a b 的 话，我们就知道根 a b 就 大于等于二，对吧？ ab 大 于二的话，我们就可以知道它这里应该就是 ab 就是 ab， 就是 代数，它一就是乐高，二就等于一，所以我们选有 d 选项，就要极有 e， 然后我们学，并且以他说重心， 他说对于他的一个重心，我们随便画一个三角形 abc， 好 一个继续重心。我们 g 点在这里就是 g， 这里就为 m 点，终点嘛。然后 g 点我们可以知道 b g， 它就等于三分之一倍的 bc 加上三分之一倍的 b a， 然后我们 bc 有 了，是不是找到一个 bc b a 和 a g 的 关系？我们把 a g 点起来，是不是就是 b a g 是 不是就等于 b g 减 b a 呀？对吧？我们把它取三分之一 b b 减 a， 我 们把它移过去，就是移一下下，就是一减三分之二倍的 b g 等于三分之一倍的 b c 减三分之一倍的 b a， 我 们对于同时乘以二分之三，我们就是 bc， 就 等于二分之一下乘以二分之一倍的 bc 减二分之一倍的 b a， 然后乘以二分之一六，就是负二分之 y 呢？减 b 呢？就是一弦变小横纹，接着等右纹切入列子， 他说一等于负五， a n 等于这个。然后对于这个我们可以很明显可以把 s n 给求出来吗？ s n 应该怎么求呢？这不是乘 n 过去，就是 n 倍的 a， n 等于 s n 加上二倍的 n 方减二 n， 对 吧？我们把它打开了嘛。我们这里就是 n 减一倍的 a， n 乘以就等于二， n 减一方减二， n 减二， n 减二， n 减一，等于，是吧？然后我们两次做差，就是 n 倍的 n 减 n 倍的 a， n 减一， 再加 a， n 减一，我们就等于 a n 就 二， n 方减二，方没了，我们打开二方减四， n 加二，这把我们二 n 减没了，是，嗯，加四 n 减二，这里二 n 又没了，就再减二，就是我们把它合并同类项就行。 n 减一倍的 a n 减一，这也是 n 减一倍的 a n 减一就等于，还不是， 这是再加上四 n 减四嘛。我们提这些四 n 减一，然后发现对 n 减一这个项我们直接约掉，这是 a n 减一， a n 减一加四，所以它就是一个 d 公差为四的等加速列，然后他说公差为四的等差向量 d 雷四，然后首项为负五，我们就通项公式，我们就是 a n 等于负五，加 n 减一倍的四就是四 n 减角，这是 a n 等于四减角。 然后对于 s n， 我 们知道首项加尾项乘以小数除以二，我们就知道看一下哈，是二 n 方减七二 n 方减七二吗？ 嗯，因为哎呦，得是整数嘛，对吧？我们画个图出来，就是它有一个减是零，一个减是二分之七，就是这样，零是零二分之七，这应该就四分之七，然后一的话应该就是在里了最近的时候是零二，最近嘛，所以它最小值应该就是二十号起，我们只要把二代记，就是二乘十四就是八减，呃，十四就是负六，我们选选 f 六， 我们看第六题，他说一个通车哎，比较常规的题，他们看，他说，哎，半径为二，就是这一段为二吗？然后他说每分钟转一点五圈，是不是？嗯，每分钟总共是多少呢？一圈是不是二派吧？一圈周长吧，周长是二派，那么一点五圈是不就三派，对吧？然后一分钟 就是六十秒，就是二十分之派，所以欧米亚有二十分之派，欧米亚我们出来了，我们再看他的一个 a， 可以 让他们求 a 是 不是等于最大 减最小，然后再除以二，对吧？减最小，那我们最大的什么？最大的时候是不是应该就是 a d 的 p 在 这里是不是最大就是二加根三，然后第二最小的呢？是不是相当于 p 在 这下面来了，他是不是，他说吗？他说如果在水下面就是复数吗？是不是就是减个根三，减二吗？然后减掉他，我们除以二是不是就是四，除以二等于二，我们好。然后对于这个 k 吗？也是就是最大加吗？加最小吗？就是加根三，加 就是除以二这个根三，所以这个式子我们就可以知道是两倍的赛二熊之派 t 加上块加根三，然后他说 啊，刚浮出水面底是 d 零，然后他说嗯，看一下呢，嗯，刚浮出水面是不是 d 等于零的时候是不是应该在这个，在这个地方，对吧？ 他就是距离水面是零嘛，就像没有距离嘛，所以把 t 等于零带进去就是，嗯，两 t 零带进去，两倍的赛赛加上根号三等于零，所以他等于，呃，负二分之三的话就是负三分之派了。然后对于第一题，他说一个双曲线画一个双曲线，他负一他放， 然后做一个圆，在这里画大了一点，圆在这里，然后他说这里镶嵌，这里加一 m， 这一个我就设 n d m 吧，然后这里要放，这里有个连接点，就是六十度，对吧？ 对于这里我们这里是一，这里是很常规的这个周度，应该知道我们直接做个平行吗？这就第二吗？那当然，这是六十的天际呢？盘锦，我们让天际比一下，这个是垂直度，因为平行度都垂直的吗？我们天际比一下这个是三分之两倍高三，然后这里就是这三十度吗？然后放进三十度吗？然后这里这里的话， 那么这里他这里意思一，这里这里给断嘛，这里给断就是 c 嘛，这里就是 a 嘛，所以这里应该就是 b 嘛， a 方加 b 方于 c 嘛，然后这里有 b， 然后这又是中线，所以也是 b， 所以 我们根据的双线定义就是， 嗯， b 的 话，就像那些 m 嘛，就写 m 嘛，二 m 加上三分之两倍根三减三分之四倍根三，它等于二 a 就 等于二， a 就 等于二 m 嘛，所以 m 就 等于一加三分之两倍根三，所以就是选 d 选项一加三之根亥。 我们看第八题最后一个单选择题，他说了一个这个什么函数，它等于它有四个零点。首先我们观察 g x 这个图像， g x 它这个题有没有发现什么？它是不是发现 g 负 x 是 不是跟原先相等吗？ g h g 负 x， g 负 x， 我 们是不知道它这个是偶函数吗？对吧？这很明显就是偶函数吗？这个函数它说它有四个零点， 对，他这函数是不是我们只需要满足他要么在零的正无穷有两个，或者在负，而负极到里有两个就可以？因为我们只需要他是对称的函数嘛，所以我们只需要满足他在零的正无穷有两个解就可以了。然后对于我们 g x 它等于零，在零的正无穷上有两个解， 应该怎么弄呢？好，我们说第一种，我们就就直接看大零的情况就可以了， x 小 零不看嘛，你直接对称就可以了， m 看明就是我们把它代入，就是 x 大 于嘛？直接在第一个数字就是一二减二，一减一，然后那个 x 大 零，那么负二是不是小零的括号是小零是在这个嘛，所以就是加上 k 位的负 x 加 e， 它等于零，然后它等于的话，在零到这五角上 有二解，对吧？有二解的话，我们对吧？你对象就是一的 x， 二的 x 减一，我们 y 是 不是？嗯， k 倍的 x 减一，是 k 倍的 x 减一啊？对， k 倍的减一，那我们再把移过去，就等于 x 减一分之一一的 x， x 减一，现在就是 k 等于这个什么函数嘛？他在那个。 嗯，您当做无穷用二解对吧？让我们先对这个函数，应该 k 等于一的 x 乘以二 x 减一， x 减一，它在有有两解，所以我们对它并它的呃问的 g x， 我 们就等于 h x 吧，对它求过倒就是 x 减一，括号平方对它前面倒就是，嗯，前倒， 前倒，后不倒就是 i x 二 x， 然后，然后。呃，前不倒后倒就是加上二 x e x， 然后面再倒就是 e x。 好， 我们打括号，然后对于后面他不倒的话，就是就是 x 减一嘛， 把这减掉，前不倒后倒，后面倒就是一了，就是减倒啊。二得 x， 一 得 x， 加上这个 e x， 我 们把差一份，就是二得 x， 一 得 x， 减二得一得 x， 加上二 x 平方一得 x， 是这个吗？就是减二得 x， 一 得 x， 再减 x， 一 得 x， 加上一得 x， 一 得二得 x， 一 得 x， 加上一得 x， 我 们约个什么？是不是能约掉啥？是不是看看能约到什么？这个能约掉，然后 二的 x， 这个约不？哦，这个也能约掉，这两个都能约掉啊。对于这里我们就是二的 x 平方减三， x 的 提个 e s 了，然后我们这个就变成什么，就是二的 x 平方减三 x， 对 的 e x 为 x 减一的平方。对于它怎么分析？它是不是要函数？它是不是一个相当于这个相当我们另一个固定的 x 大 于于的吗？然后对于它应该是什么？对于它是有一个减是零，一个减是二分之三的，对吧？ 这个二分三大概一就在这里，所以我们知道零到一他肯定是减的，一到二分之三他肯定也是减的，然后二分之三到正无穷，他肯定也是真的，对吧？所以说他大概图像应该就是零，这是一，这是二分三，所以他是减到一，然后一直到二分三在这里开始正，减到一， 然后二分之三再开始正，对吧？减到减，减到这个二分三为止嘛？然后他就二分三开始正，然后是不是二分三取最小值？这个时候他往上是不是一直有两个焦点了？所以我只需要把二分占定，就是 e 的 二分之三去方，二分之二三减一就得二。好，下面就是二分三减二分之一乘乘上去就是四，所以他应该就是，呃，看一就是四的 e 的 二分三次方就有，所以所以 d 选项。

刚考完的 t 八连考选填压轴题来了，这道题我们讲两种方法，一个是讲参考答案的方法，一个是讲我想到的方法。两种方法对比学，把这道高含金量的题轻松吃透。参考答案的方法当然也很常见，应该怎么去做呢？我们假设它是 x， 我 们假设它是 y 啊，或者反过来，我们假设它是 y， 它是 x， 没错吧？所以呢，我们看看，这道题立刻就出来了，正好是我们最近刚讲的一轮复习，正好讲过了几何意义，所以前面这个式子呢，就相当于 y 减去一个甚贝塔，甚贝塔的话，显然是绝对值吗？是一减 x 方等于零， 或者是后面等于零， x 减去考生的绝对值，就是根号下一减外方等于零，想能换元呗。那所以这是个什么东西？是不是 y 等于一个根号，下一减 x 方，那它是个单位圆，它是个什么东西？ y 等于根号，下一减外方，它也是单位圆的部分， 听明白了吗？一平方都是个圆，那它到底是单位圆的哪一部分呢？听懂了吗？我们先画出整个来，当然是或的关系啊，所以它是单位圆哪部分呢？这个地方的话，显然是 y 大 等零，那就应该是这半个圆， 那这个地方显然是 x 大 等零，显然是这半个圆，所以它表示的是这半个圆，或者是这半个圆。 听懂我的意思吗？那现在这是什么东西呢？来你就明白了啊，如果你还不明白，就那你看啊， c 二法是 y， 那 所以这个式子就相当于 x 加 y 减二， 你想到了它什么？求它的最小值，所以这是几何意义吗？常见的几何意义？你得知道 x 加 y 减二的绝对值，是不是我想到了点到直线的距离， 或者是想到了拮据？都可以，因为你想绝对值也可以，原因就在于参考答案想的是距，距离。原因是什么呢？原因就在于啊，这个数是负的吗？ x y 最大是一吗？所以呢，他加个绝对值也没这问题，听懂了吗？想到了几何意义？点到之前的距离， 当然你也可以把它想成一个结句， z 等于个 x 加 y， 然后呢，再减去个二，所以相当于 y 等于一个负， x 加 z 再加上一个二， 那 z 要取最小值的话，那就相当于这个直线要平移到最低，这叫什么拮据啊？直线啊，你让我求 z 的 最小值，那这个直线呢？他显然斜率为负一，斜率为负一的话，他要平移到最低才可以，那平移到最低的话，正好是在这。听明白了，这个点显然是能取到的，所以这个点是零。负一。 听明白了，平移到最低，截距就最小，截距最小值是负一，所以它的截距是 z 加二，负 x 加 b 嘛？所以 z 加二等于负一，所以 z 等于负三，能想到不？几何意义？想到了半圆，想到了截距， 想到了平移到最低，所以它的最小值是负三，听懂了吗？首先，它俩相乘等零，是不是说明我用我的方法的话，是不是说明它等于它？ 你的脑子得想明白，或者中间是或还是且？我问大家问题，或者是考生贝塔等于一个考生二发的绝对值。 ok， 结论不会就一步一步算。那你说他俩是中间是或还是且啊？好快想，中间一定是或， 因为他俩相乘等零，一定是他等零或者他等零啊，他不可能说且啊。但是呢，你对这两个式子，平方平完方之后，剩二发方等于一个剩贝塔方， 这个地方是考胜被他方等于一个考胜二发包。我问你，他俩平安方之后还是货吗？你比如我把他写成一减考胜二发包，这张是一减考胜被他方， 他算出来就是考胜二发包等于考胜被他方，所以平安方之后他俩是且同时满足这两式子。 哎，你知道他就能推出他来说明原来他俩什么关系，听懂我的意思吗？所以你能想明白这个，这道题做出来了， 大家再说他俩等于相乘等零，是他等零或者他等零。但是我想到了平方，因为有绝对值，我一平方，这是我想的方法啊。我一平方，我发现他俩是且的关系，所以本来两个式子是互的关系。他平完方之后相等，说明什么？ 说明原来是相等的，或者是相反的。你说平方方成立，所以这个式子我们就能够推出三种情况，这样，法等于个肾背，他的绝对值， 考甚贝塔等于个考甚而法的绝对值，同时满足啊。或者是啊，当然就是重复了嘛。 甚而法等于个啊甚贝塔的绝对值，或者是考甚贝塔等于个就是负的。考甚而法的绝对值，或者是啊甚而法啊。当然你算的时候都很简单，负的甚。这一步我不知道，你能想明白不？再说一遍，他俩是只要有一个成立就可以，但是我发现平完方之后他俩是同时成立的， 那说明平安方之前他俩是相等或者是相反，能想明白不？想明白这个往下做就简单了。好，能听懂不能听懂不懂的打个懂。他俩是互的关系， 这辆是且的关系，他俩他等于他且等于他，或者是他等于他且等于他。有一个加符号。因为平安方之后他俩是同时成立嘛。说明平安方之前一定是相同或者相反啊，能听懂吗？一定是相同或相反啊， 听懂了吗？平完方之后是这两式是一模一样的，这两式是一模一样，就相当于三等于三。平完方之后九等于九吗？或者三等于负三平完方之后平完方之后九等于九吗？ 听懂我的意思吗？原来也可能是相反，对不对？所以呢，我们一个一个算一算，由于这辆都等于绝对值了，所以我们假设二法和贝塔都是零的二分之派可不可以？可不可以？都是第一项线呗。都是零的二分之派的话，那他俩就是二法和贝塔就相等 没错吧。考辛法等于考辛贝塔嘛，都是对角嘛。所以二法和贝塔相等，那就说明肾二法再加上一个啊。考辛贝塔就是考辛二法再减去个二， 所以呢，它就应该等于根二倍的 sin。 二法加四分之派，然后减个二来个辅助角。公式求范围正弦型函数求范围法加四分之派。哎，我这个笔有点罢工啊。它有点不太粗， 他就应该等个四分之派到四分之三派，明白了不？所以他的最小值他就应该在四分之派的时候取到，那最小值就应该是负一，但是这个答案不一定是负一，因为他还有可能是这种情况，那这种情况的话，那肾等于正的，考肾是个负的，我就假设背他是什么， 我就假设背他等于一个负的吗？第二项线，二法，二法是第一项线， 对吧？二法是第一项线，没问题啊，你假设他是第一项线，没问题啊。听明白了，因为 c 二法是个正的，所以这时候呢，我们就发现这个四十九点个 c 二法，再加上一个考神贝塔，那你想一想，这两角什么关系？ 这两个角就应该是互补的关系，因为我们这两角就可以互补的关系，完全可以这样。二 k 派我都不写啊，互补的关系，好理解不？正弦是正的，余弦是负的，我就假设一个第一项线，一个第二项线互补的关系，那互补的关系的话，那所以，那我们就算出来了。好，你看你能想到不？ 那就申二法，再加上一个申考申贝塔，考申贝塔就应该是诱导公式，就应该是负的。考申二法再减个二，来一个辅助角公式，根二倍的申二法减去四分之派， 然后再减去二，由于二法再减去四分之派，这属于范围，就应该是负的四分之派到四分之派，所以整个的最小值就应该是负一减二。答案是负三，所以这个答案是负三。 这个是一模一样的道理啊，我就不想了，这个也是负三啊，这个也是负三。哎，能理解不？就说白了，我想明白了这二法和贝塔这两个角的关系了， 要么想二法和贝塔相等，要么是二法和贝塔是相加等派。这个二法和贝塔，你想想，你可以把它想成第几向下的角。考生，贝塔考生是正的，肾呢？是负的，所以我完全可以把它想成是相反角。你自己去做啊。 二、加倍差等于零就是相反的角，你看它是不是一个第一象限，一个第四象限就可以了。所以这个题的答案是负。三，这道题我给他负了个范围就可以了。 好，应该没问题吧。这是我想的方法，应该是比较严谨的啊。好，来我们再看啊。分类讨论想到了绝对值相乘等于零，分别等于零。然后呢，我就考虑他俩说的是或的关系。我想到了他俩原来是要么相等要么是相反就可以了。