芜湖初三试卷难道怎么样

九年级的家长注意了啊，这个安徽第一卷昨天全部考完了，然后试卷全科呢，我也拿到了这个卷子呢，说难也不难，但是呢分数就是考不到分，因为很多学生啊，考完之后跟我讲，他说这个， 对了答案之后啊，上一百四的不多啊，上一百四的不多，也不知道什么情况，可能是因为这个九年级考试这个综合性越来越强了。因为马上都学完了吗？然后有的学校呢，以前都是用的一百分卷子，现在这个一考一百五的卷子，孩子们这个时间规划 就是拿捏不到位啊，反正整体分数不是那么太理想。嗯嗯，还有很多学校他没有考试，因为这个前几天这个部门发了不允许考试，然后就取消了。但是你该练的还得练，需要这套卷子啊，可以找我一下，发给你写一写。加油。

月考成绩已经出炉，你家孩子考的怎么样呢？各位同学，各位家长大家好，我是在淮安教初中物理的王老师，今天早上收到了很多家长和学生的私信 啊，说天大了，物理考的史无前例的差啊！其实呢，王老师在这里想跟大家说几句。第一个，这只是一次普通的月考啊， 不用过于的这个伤心难过啊，及时的调整好状态，为期末做准备，期末 会更重要一点，他和中考几乎完全一样啊。第二个就是王老想说，这个卷子确实是有难度的啊，很多学校平时这个练习不到位，很多的题型没见过啊，导致学生在考场上 空白太多，就影响到了心态啊，直接就影响到了发挥，这都是正常现象啊。值得庆幸的是，嗯，我们接下来就有一个假期，叫元旦假期啊，可以利用这个元旦假期去把 这个有存在问题的地方给他补一补啊。然后这个关注期末考试，他的考试范围是 八年级占百分之三十，九年级占百分之七十啊，好好复习啊，不用过于气馁。

初三的暑假才是中考的关键期，等九月上了初三，你就会发现新知识点又多又难，七科作业堆成山，孩子根本没时间系统刷题。所以这个暑假一定要让孩子提前吃透中考命题套路。这套目读中考安徽四十六套，你可得看看五套安徽真题，五套全国真题改编卷，直接帮你拆解命题规律， 比普通模拟卷有用多了。 c 大 学科全含盖数学应用题、语文阅读理解、物理实验题，每道题的解析都超详细，错题直接看解析方法能省一半时间。明年中考能不能笑着走出考场，就看你有没有把命题人的心思摸透。 你是我心之怆怆，泪汪 汪如潮拥挤满你所爱的遇见满你心头的笑颜你的生活岱山再见请带我去明天 又落着深深的泪我牵埋你所爱的眼间愿你所愿的宵夜，你的生活开始。再见，请带我去一 点，我听说你曾狂过我的天，忘我成 你，也是我情之所归。我， 我想买你所爱的云间，愿你永远 你爱上我开始再见，请带我去明 天没空说你曾狂过我天，忘不了我成你。

咱们初三啊，很多小孩这个第三次月考的成绩已经出来了啊，成绩波动的很多。那这个时候你再不努力没招了是不是你中考也就三四个月了？ 我讲实话，你花最后三四个月冲刺一下对吧？那明年考完暑假可以稍微放松一下不好吗？ 是不是咱们老师家长托举你也只能托举这三四个月上中考还得你自己考，是不是要好好干呢，不能再懒了，再懒就没办法了啊。我这里有刚刚考完这个安徽第一卷。 a 卷和 b 卷对吧，还有合肥名校的卷子。 嗯，没有参加第三次月考的这个学生啊，或者你想练一下的可以找我要一下啊，加油。

这套九上真题套卷，数学一百分的同学赶紧划走，不然我怕你看完期末还能暴涨五十分。好，我们首先来看第一题，生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形，但不是轴对称图形的，是哪一个？ 那么中心对称图形呢？就是给出一个图形，绕着某个点旋转一百八十度，能够和自身重合，我们把它叫中心对称图形。那么轴对称图形，顾名思义，就是关于某条对称轴对称的，对吧？所以你发现这个 a 呢？嗯，它是一个轴对称图形 啊，所以，嗯，不符合。那么 b 啊，跟我们的 d 呢？他们这两个既是中心对称图形，也是轴对称图形，说他也不符合，唯独我们的 c， 对 吧？他可以绕着我们的中心这个点旋转一百八十度，和自身重合，但你会发现他没有对称轴，所以他不是轴对称图形。 b 一 选 c。 好，接下来我们看第二题，那么给出一个抛物线，问他的顶点坐标是什么？很明显，他给的就是一个顶点式，所以我们可以看出来，顶点坐标就是一负二，简单，我们就过得稍微快一点点。 好，接下来我们看第三题，用配方法解，这个方程下来变形正确的是哪一个？那么配方我们首先需要做的也就是，嗯， 把所有的未知数留在左边，把所有数字呢乘数项移到右边，对吧？好，配方，我们需要加上依次向系数一半的平方，你的一半是三吧， 再平方呢，是九，因此我们左边加上一个九，为了保证整个方程，嗯，依然不变，是成立的，右边也加九，左边是 x， 加上三的平方，右边呢，等于是三，所以这题我们选 b 啊，我们继续往后了，再来看一下我们的第四题啊，来到我们圆的板块， 好，现在我告诉你， ab 是 圆的一条弦， o， d 呢？垂直 ab， 那 此时我们就知道，根据垂径定律，那这条边一定等于这条边。 好，现在呢，和圆交于地点，嗯，如果告诉你 ab 等于四，那每个边就是二了，每个边都是二，当然还有 c、 d 等于，也就是这条线段长度是一，对吧。好，让我们求半径， 我们就大胆引入未知数，比方说另半径是小 r， 那 我这条边也是半径吧，你拿走了一个单位，所以我们知道剩下的这条边是半径减一。那最终你会发现在这个大的直角三角形，我们用勾股定律吗？也就是你的平方 加上半径减一的平方，再等于什么呢？哎，等于我们半径的平方，所以最终我们求出符合题的半径呢，也就是二分之五，因此这里选 d。 搞定。好，我们再看一下第五题，那么第五题他考的就是我们的旋转了。好，现在我们给出一个钝角三角形 a、 b、 c， 把这个三角形绕着 a 点逆时针方向旋转一百一十度，得到我们这个三角形绕着 a 点逆时针方向旋转一百一十度。 好，问题来了，连接 b 点跟对应点 b 一 撇。好，如果 a、 c 撇平行， b， b 一 撇就是这条边。如果平行这条边，让我们求什么呢？求角 c， a、 b 一 撇，也就是我们这个角，它的大小该怎么处理？ 首先你得知道啊，旋转它有什么性质呢？它极有可能会产生等腰三角形，为什么？你看这个三角形，我把 ab 标成红边， 你把这个三角形旋转到这个三角形，你是红边，所以我们知道转过来之后呢，咱们这条边也是红边，对吧？好，那此时你连接我们的底边，所以你会发现它一定是一个等腰三角形吗？ 那，那我们知道从这个三角形到这个三角形，我对应两条红边的夹角是不？刚好等于你的旋转角，也就整个顶角是一百一十度， 那么此时我们可以求出来每个底角呢？那三角形内角和一百八十度，我减去顶角，对吧？等腰三角形，两底角相等，所以每个底角等于三十五度，哦，也就是这个角，对吧？等于这个角每个角都等于三十五度。 好，接下来我们还知道那平行有什么用呢？其实在整个初中阶段，平行线往往给出的就是我们的等角，那两直线平行，我们知道内错角相等，就这个角呢，跟这个角一定是相等的，对吧？那所以我们知道这个角呢等于三十五度。好，那么至此剩下整个题就结束了， 你可以用什么呢？你可以用我们的什么对应角呀？再加上我们这个所谓的同旁内角来进行搞定，但是在这里面量它的习惯性的用我们的旋转来处理， 你把这个三角形的 a c 呢标成一条绿边，对吧？那么这个三角形 a c 撇也是绿边，那我们知道旋转一百一十度，两条绿边所加的角呢？一定就是一百一十度的 一个大角，对吧？一百一十度我们拿走了三十五度，所以我们知道剩下的这个角等于多少度呢？一百一十度减去三十五度，所以我们求出来等于七十五度。因此这个题我们选 a 搞定。 简单，我们就过得稍微快一点点啊。好，我们在马不停蹄来看一下我们今天的例六。好，正面就考察我们圆的性质了。告诉你 p a p b 是 圆的切线，那我们知道 过圆外一点做圆的两条切线，那么根据切线长定义，那么这两条切线段一定是相等的，说白了我们可以得到一个等腰三角形，对吧？ 好， ab 是 切点， ac 是 圆的直径。好，此时我们可以得到什么条件呢？那因为你这个是半径嘛，半径一定垂直于我们这个切线，对吧？用 a 是 切点啊，说白了也就我们这个角呢，是一个大大的直角。好，紧接着这题居然敢告诉我们什么？告诉角 bc 是 十五度的，也就是咱们这个角 啊，就这个角，他是十五度，我们刚说整个角是九十度吧，所以我们知道九十度减十五度，也就这个角呢，一定七十五度，你是等腰三角形，所以这个角呢，一定也是七十五度。最后让我们求什么？求角平 等腰三角形两内角是七十五度，用三角形内角和，对吧？一百八十度，你减去两个七十五度，这还需要算吗？所以我们求出来一定是三十度选 b 搞定。嗯，好，接下来我们继续往后了啊，后面其实扭转选择题，他的难度也不会大很多的，比方说例期， 嗯，我们给出一个关于 x 的 e r 方程，我告诉你有两个不相等的时数根，你只要告诉我根的情况，对吧？我们立马想到要用到攀比式。好，那么请问 a 的 取之范围是什么？ 首先在这面，我们第一个，你有两个不相等的，也就是我们知道单调一定大于零，我们把单调求出来，也就是 b 方减去 c， c 等于多少呢？ b 方也就是负二，对吧？负二的平方减去四倍的 a 乘以 c， 也就是 a 乘以怎么样的？负一，所以等于四加上 c 没有问题吧？你有两个不相等的，所以我们知道也就是 大于零，因此我们推出来怎么样？ a 一定是大于负一的。好，那这个点你会发现，如果是我，我这个 a 选项我肯定会改一下，对吧？那可能会有一部分同学就直接选 a 了，但你要注意， 我是个一二次方程，那么就意味着我的二次项的系数一定是不可能为零的，所以我们需要额外加上一个，怎么样？ a 不 能为零，所以，综上所述，我们选哪个？选 d 选项。嗯，搞定 好，接下来我们再看一下第八题啊，你把第八题这个题他考的是什么呢？考的是概率。嗯，妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可以直接通过，和需要等待的可能性相同，你想每个路口，对吧？ 他有可能你可以直接走过去，绿灯有可能是红灯，需要你等一下。说白了就是你遇到绿灯和遇到红灯的概率完全相同，不考虑什么黄灯的情况啊，要么可以直接通过，要么需要等待啊，这两个概率完全相同，也就是直接通过概率二分之一，等待的概率也是二分之一，对吧？ 好，那么妙妙上学时，这两个路口都直接通过的概率是什么？其实这个题你可以用这个列表法呀，或者树上图的方法去处理。但是亮亮，我希望这么教你啊，就是你想讲 每一个路口直接通过的概率是不都是二分之一，对吧？而且两个路口这个事件是完全独立的，你通过第一个路口的概率是二分之一，你通过第二个路口的概率也是二分之一，对吧？所以同时发生的概率就是两个二分之一相乘，也就是四分之一了。 因此这里选 a 我 们就搞定啦。嗯，独立事件的概率呢？啊，我们可以直接相乘。好，接下来我们再看立九。哎，到立九这里我觉得就稍微的可能会有一点点啊，其实我觉得也还好啊，难度也不会特别大。好，告诉你， ab 是 圆的直径 啊，就是它是圆的一条直径。那你立马想到直径会有什么样的特点好，把 ac 绕着 a 点，顺时针旋转三十度得到 a d， 就是 把 ac 这个边呢 转三十度得到 a d 这个边啊，那我们知道这个夹角呢，一定是三十度，对吧？好，现在我们这个 c 点呢，落到直径啊的边上，也就是 d 点这里。 好，现在呢，你把这个 c d 延长和和圆呢交一点好没了，现在我告诉你，整个 c 等于四，让我们求阴影面积，比如哪个边就是我们这条线 等于四，对吧？嗯，好，阴影面积怎么求呢？其实这个阴影面积我们把它叫做有点类似于宫廷，对吧？所以很明显我们只需要做的也就是连接。 嗯，我们的端点和圆心连接。端点和圆心是不是好，那么此时你只要把这个扇形的面积求出来，再减去这个三角形的面积，那阴影面积不就搞定了吗？好，那么其实像这种扇形，你要求面积，对吧？那我们肯定得知道它的圆心角了，那这个角怎么求呢？嗯， 呃，我跟你说，这是我们这个题目为数不多的啊，也可以说是唯一的难点吧。首先，我们可以求什么东西？哎，你得知道挠你是一个大大大大的等腰三角形，对吧？顶角三十度，所以一百八，我们减去顶角再除以二，所以我们可以求出每个底角多少度？ 七十五度，对吧？啊，就是这个大角，它是等于七十五度的，那接下来我们还可以得到什么结论呢？那你会发现， 我这一段弧所对应的圆周角是三十度，那我这段弧所对应的圆心角呢？这个角他是不一定是六十度呀，而这六十度是整个三角形的外角，所以等于你这个角再加上这个角，对吧？好，那我想问一下，三十度加上多少度等于你这个六十度呢？ 啊，很明显还是三十度吗？哦，所以我们知道这个角三十度，那顾名思义呢，剩下这个角呢？一定是四十五度，对吧？你这个七十五度拿走三十度，我直接这么写了，各位同学能看懂吗？哎，七十五度，哎，嗨嗨，你这个辅助线不要拿走， 所以七十五度，它会变成一个三十度，怎么样呢？再加上一个四十五度，对吧？啊，就是咱们这个角，它是三十度， 剩下我们这个角呢？一定是四十五度。好，整个题目直接结束了，为什么呢？你要知道，各位同学们，喏，这是圆的半径吧，这是圆的半径吗？所以其实你要知道，你连接圆心，对吧？和圆上的点，你往往可以构造出等腰三角形。 那我是一个等腰三角形，我的底角是四十五度，因此我们知道它是个什么。哎，说白了，这个角是不是也四十五度呀？你是一个等腰直角三角形吗？ 对吧？等腰直角三角形斜边是四。所以你不管是根据勾股定律，还是特殊直角三角形，三边比例关系，我们半径求出来二倍根号。那接下来你说求面积好不好？求，非常好求。首先我们就把整个扇形的面积求出来。咋求呢？我们就索性用整个圆的面积乘以四分之一，可以吧？ 好，整个圆的面积等于 pi r 的 平方，对吧？因为我这个是九十度嘛，占整个圆的四分之一，我是四分之一圆，所以你就要除以四，这个就是扇形的面积，再减去谁呢？减去你这个等腰直角三角形的面积就可以了， 等于二分之一乘以两条直角边相乘的一半吧，对吧？二倍的根号，乘以二倍的根号就可以了，所以最终我们求出来，把半径二倍根号带进去。嗯，也就是怎么样呢？派乘以二倍根号二的平方。 哎，其实这个题就是稍微麻烦一点，对吧？减去这东西我直接求了，也就是四。到这里，答案已经出来了，这里面只有一个选项，最终是减去四的 c， 对 吧？也就是 c 选项了。我们前前面求出来是二，派减去四，所以这个题我们选 c。 搞定 好，这是我们所讲到的例九。那我们继续往后啦，再来看一下我们选择题的最后一题，这个题也是很多同学比较怕的，对吧？函数里面的魔鬼序号题，但我告诉你，像这种题，其实他的突破口还是蛮简单的啊。 好，首先我们一起来看一下。嗯，给出一个抛物线，他 y e 等于 a， x 方加 b， x 加 c 图像的一部分啊，就是残缺图像长成这个样子， 好，抛线的顶点坐标呢？ b 是 负一负三，在哪？在这里，对吧？好，直接画出来了，横坐标负一，纵坐标负三，我尽量把它在图形中标注出来，好，和 a 点，嗯，和 x 轴交点呢。哎，这个我就不标了，因为这个已经标的极其明显了， 好吧。嗯，好，还有呢。哎，直线经过 a、 b 两点，其实你说你这个直线表达式可以求出来吗？ a 点坐标负四零， b 点坐标负一负三，一定可以求出来，对吧？好，那么现在给出一个，两个，三个，四个，五个，六个。疯了，给这么多 问，其中正确的序号有哪些？那我们就一个一个来看了，好不好？首先我们看第一个，一个式子里面如果单独出现 a 和 b， 想都不用想用什么用。对正轴吗？负的二 a 分 之一，对正轴是几呢？顶点坐标负一负三，所以对正轴就是负一， 我们左右两边同时乘以二 a， 左边是负 b， 右边乘以二 a 呢，也就是负二 a， 对 吧？所以你移过来，你会发现二 a 减 b 等于零哦，二 a 减 b 等于零，不是二 a 加 b 等于零，哎，这个错了，对吧？一是错的。 嗯，好，那么接下来我们再来看一下我们的第二个啊。第二个好，第二个。问什么呢？问 a、 b、 c 的 乘积开口向上，所以我们知道 a 大 于零没有问题吧？ 与此同时，这个 b 怎么判断呢？当 a 确定之后， b 直接决定我们对等轴，所以你用负的二 a 分 之 b 嘛，我的对等轴是个负数，对吧？那不用说了，小于零的， 嗯，然后我们左右两边同时乘以二， a 左边乘以二， a 呢？负 b 右边乘以二， a 呢？零乘以任何数都是零，对吧？因为 a 是 正数嘛， 你左两边同时乘一个正数，我们不等号不变。好，负 b 小 于零，所以我们知道 b 呢，大于零的，嗯， b 是 正的。好，最终它与 y 轴交于负半轴，所以我们知道 c 呢，是小于零的，因此 a 大 于零， b 大 于零， c 小 于零， abc 的 成绩小于零，二没有问题。 好，所以我们知道二是对的。那接下来我们请调一起来看一下第三个。嗯，好，第三个该怎么处理呢？他说与 x 轴另外一个焦点是四零，这个其实就是考察我们抛物线的对称性，对吧？啊，就是你这个焦点跟我这个焦点，他到对称轴的距离，他到对称轴距离一定相等吗？ 负四到负一的距离，三个单位了。那所以呢，我到你也是三个单位，负一往右走三个单位，所以这个点呢？啊，肯定就是 二零，对吧？他说另外一个焦点呢？四零，你开什么玩笑，那肯定是错的。三，我们都不需要去写什么过程啊。好，那么至此我告诉你，整个答案就已经结束了。嗯，为什么呢？那你会发现，一是错的，三是错的。所以你这个选项只要有一，只要有三，只要有一的，直接排除 是不搞定了。所以这个题选 b 嘛，我看第四个好，给出一个方程， a x 方加 b， x 加 c 等于负三，有两个不相等的实数根。 其实你要知道，各位同志们，就是在函数里面，你只要遇到了方程，那么像这样的方程极有可能是求焦点所构造出来的。比方说， a x 方加上 b， x 加上 c 等于负三，对吧？你会发现左边是一个函数的表达式吗？它不就是函数外移， a x 方加上 b x 加上 c 吗？ 右边这个可以看作什么呢？可以看作是一条直线，对吧？说白了是一条水平的直线， y 等于负三，对吧？我怎么样去构造一个方程？我只要求二者的焦点就可以了。比方说，我让你求函数和一条水平线 y 等于负三的焦点，你怎么求？ 你肯定就直接令这个表达式等于负三了，对吧？去构造一个方程嘛。所以你这个方程的解就是我们这个二次函数和水平线的焦点的横坐标， 对吧？那所以我看看 y 等于负三和这个抛线会有几个交点呢？因为顶点坐标是负一负三，对吧？哎，顶点坐标是负一负三，所以你看，如果你画一条直线纵坐标等于负三的话，哎，我画了短一点点啊，就像这个样子，如果纵坐标等于负三，你会发现他跟抛线只有一个交点， 那么也就是你这个方最终求出来一定只有一个数，对吧？也就是 x 一 等于 x 二等于某一个数吗？ 所以方阵一定有两个相等的实数根，而不是不相等，对吧？一定是两个相等的嘛，所以四是错的。那接下来五和六为什么是对的呢？好，我们把它清掉了，我们讲完一个就拿走一个啦。好，接下来我们看第五个，其实第五个就是叫做固态表达式， 什么叫固态表达式呢？你遇到什么？几 a 几 b 加 c， 几 a 几 b 加 c， 对 吧？它的形式非常的固定，我们就把它叫固态表达式，它往往是把某一个数代入所得到的外置。比方说呢，这个是什么？ 这个就是 x 等于一所对应的外值，你不信把一带进去，你把一带进去，你会发现 no， 对 吧？把一带进去就是 a 吧，把一带进去就是 b 吧？啊，这是 c， 所以 你发现 a 加 b 加 c 就是 x 等于一所对应的外值。好，那么接下来我们后面这个式子是什么呢？那这个 你会发现，嗯，这是我们的一函数，对吧？哎，也就是把 mx 变成负 m， 把这个 n 呢？照写。那你想想，我们如何把 m 的 前面的系数变成负一呢？很明显， 我们就要把 x 等于负一代入就可以了，是不是？好，接下来我们看看啊，就在我们整个函数里面，首先二次函数 x 等于一，大概在这里呢，对吧？所以 x 等于一所对应的外值大概在哪？差不多在这个地方，是不是？哦，这个点的纵坐标就是 a 加 b 加 c。 好，那 x 等于负一所对的 e 函数呢？负一所对的 e 函数呢？是在这里，对吧？哦，那你说这两个点的纵坐标谁更大呢？很明显我更大，你小一点嘛，所以我带你，对不对？所以第五个完全正确，所以五是对的，就这么简单，往往是把某个数带进去，我们来进行判定的。 好，接下来我们再看第六个，也就是我们的最后一个啊，其实最后一个我个人觉得比较简单了，这个考的是什么呢？考了就是我们呃 函数与方程不等式之间的一种联系了。好比方说，那首先我们看看他给出一个式子，那告诉你 m x 加这个是什么？这个就是一函数表达式吗？ a x 方加 b， x 加 c， 就是 二函数表达式，对吧？一函数要大于二函数，在哪段范围里面呢？这个叫做谁大 谁在上，对吧？焦点左右望，谁大谁在上。那么一三数和二三数会有两个焦点，一个 a 点，一个 b 点，是不是？那很明显我要使得一三数 红色的，要在我们整个二三数紫色的上方吗？我大于你吗？好，你告诉我哪段范围里面，我们这个红色的图像一三数是在紫色的二三数的上方的呢？很明显 红色在紫色上方，只有这个区域里面，对吧？所以呢，这个范围里面，你一个焦点横坐标负四，另外一个 b 点横坐标负一，所以取得范围是负四到负一之间，因此我们这个六完全正确，正确的是二五六，所以这里我们选 b。 搞定 好，我们再来看一下填空题第十一题，那么给出一个方程，他说两个实数根分别是 x 一 x 二，让我们求出两根之合，那我们知道两根之合等于什么呢？根据负的 a 分 之 b 嘛，等于负的 a 呢啊，这里面我们求出来就是 e b 呢，也就是负四， 所以我们求出来最终等于四的啊。好，那么第十二题呢，让我们从这五个数里面随机抽一个数，刚好是五位数的概率是什么？什么是五位数呢？哎，什么开方开不进的呀？ mpi 的 呀，对吧？哎，就像这些东西，他都是五位数，所以这里面五位数有两个，嗯，从五个数里面挑两个，概率多少呢？很明显也就是五分之二了，哎，就这么简单。 嗯，好，我们再来看第十三题，你会发现现在很多题目前面那完全就是充分题，对吧？给出两点，关于圆点对称。我们知道关于圆点对称的两个点，横中坐标都会相反数，你的横坐标一定是负二，送起来 m 怎么样？ m 等于负一， 你的纵坐标等于负三，所以我的纵坐标就等于三，那么因此你会发现呢？那 m 等于负一， n 等于三的，所以 m 加 n 等于几等于二。 好，我们再看第十四题。若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流，一次一共通了二十一次话。那么设这些朋友一共有 x 人，可以列哪个方程？方程应用题里面属于我们的单循环的问题。 什么叫单循环呢？比方说，嗯，发红包，对吧？互相之间发红包，我给你发了红包，你还要给我发红包，对吧？有来有回，这个叫双循环，而这个呢，你看，通话一次，我跟你通话之后，你还要不要再找我通话？不需要了，所以我们就把这个叫做单循环。那我们知道一共有 x 人，对吧？好，总共有 x 个朋友， 每个人需要打多少个电话？注意啊，就是除了我之外，我是不是要跟剩下的所有人都打一次电话，所以我每个人都要跟剩下的 x 减人减。一人都打一次电话，所以总共打了这么多次电话，但是你要知道， 我跟你打电话，你还需不需要跟我打电话？不需要了，对吧？所以我们把整个的通话我们除以二就可以了，因此等于多少呢？等于二十一，这是我们构造的方程。好，我们再看第十五题。好，已知二十三数啊，给出一个范围，问， y 的 最大值与最小值的差等于多少？那么这个属于非常具有代表性的，叫做区间最值。问题， 首先我把这二十三数，我们把它画出来，可不可以二十三数大概长这个样子啊？就像这样，对吧？开口向上的，你把它对准轴求出来，对准轴多少呢？ 哎，你求下 x 等于负的 x 等于负的二， a 分 之 b 嘛，所以等于负的二 a 呢？就是 b 呢？负一，所以我们求出了二分之一，好，也就是对中轴呢？ x 等于二分之一，是不是？这么多？ 好，现在负二到一，负二在对正轴的左边，是吧？啊？离了两个度单位，一呢，在对正轴的右边，隔了零点五个单位，所以负二到一，他这个范围在整个图像上就大概长成这个样子。好，那请问在这个范围里面哪最大呢？很明显，在这里取的最大值，是吧？ 好，那问题在哪取的最小值呢？注意啊，不是在一这里，他说在我们顶点这里取的最小值， 所以也就是我们最大值是几？最大值就是把负二把它带进去，对吧？好，我们带进去，也就是负二，带进去也就是四了，负二带进去，加上二再减二，所以我们的最大值等于几？我们的最大值是四，对吧？好，接下来我们求最小值， 最小值共一次，也就是把二分之一带进去了，也就是四分之一减二分之一再减二，对吧？啊，所以我们求出来等于多少？等于负的四分之九啊，就最小值的负的四分之九嘛。好，现在我用它减去它等于多少，有个发现刚好等于四分之。 嗯，稍微的通分一下好不好？哎，我们就直接把它写成怎么样呢？一个分数的形式就可以了，也就是四分之二十五。 好，我们再来看一下第十六题。那么十六题这个圆我个人觉得还是有一定难度的啊，它是一个最值问题。好，首先在半径为四的一个圆中啊，告诉你，弦长 a c 等于四倍根号，就这个边呢， 它是四倍的根号啊，四倍根号二好， b 点是圆上的一个动点啊，它在整个圆上动来动去，在哪呢？你不知道。 好，然后我们永远取 a b 的 中点啊，那我告诉你地点是 a b 中点，说白了就是这条边等于这条边，对吧？我是一个小小的中点。好，问题来了，连接 c d， 让我们求什么？求 c、 d 的 最大值该怎么办？ 好？你会发现在这里面我们就求它的最值，好像没有任何的思绪，对吧？你只要求最值，不知道怎么处理的，我们会跟大家聊到什么呢？叫做转化思维， 那么其中转化思想就是如果某一条线段你不知道怎么处理，你就把它转化成我们熟悉的有关联的线段，比方说，我是你的几倍呀，你是我的几分之几，对吧？比方说，那我们这个 c d 怎么转化呢？ 带有终点的线段，转化的方式非常常见的就是构造中位线，对吧？你是个中点吗？如果你也是个中点，那么此时不就产生中位线了吗？我如何使得 c 点是一个终点呢？很简单， 我只要顺着你这个 a c 把它给延长出来，对吧？哎，我把它延长出来，延长多少呢？嗯，延长四倍根号各单位嘛，对吧？哎，我把它画成虚线啊， 也就是差不多这样，这个样子就是四倍的根号。二，看到没有？好，这个点，我就把它叫做，呃， a b， c， d， e， f p， 看到没有？亮亮在这里放个红色的屁，臭死那些听一半就逃跑了。各位同学，你发现你是不是中点， 所以因此你会发现，此时你再连接下 b p， 整个题目就简单多了。为什么呢？首先你会发现呐，各位同学们，你是终点，我也是终点，那么也就是整个 c d 一定是整个三角形的中位线，对吧？转化之后，也就是 c d 永远等于二分之一的 b p， 是不是我永远等你的一半？那只要你最小，那我们整个 c d 就 一定最小了。好，那问题来了，请问 p b 如何最小呢？你要知道， p 点是圆外一点，对吧？你 b 点是圆上一点，那我想问一下，喏，画个草图吧， 那圆外一点到圆上一点距离如何最小？很明显，圆的最值问题绝大多数都是穿心而过的，对吧？ 哎，当你 b 点在这里之后，此时 p b 一定最大，没有之一。所以 p b 的 最大值是什么呢？我告诉你啊，就直接连接它，并且穿过它，对吧？这个就是最大的 p b， 没有之一。好，那这个 p b 怎么求呢？各位同学们，你要注意啊， 在这里面我们有个前提条件，那有一个弦的长度，我们一直没有用，对吧？也就是四倍根号。好，那么看清楚，而且这个四倍根号跟圆的半径你稍微的结合一下，你发现有个特别有意思的现象，你连一下， 嗯，在这里面，辅助线我尽量把它画成虚线啊，好吧，嗯，就是我们需要的构造的辅助线都把它画成虚线。那你这个屁屁除外啊，就这个边除外。好，你会发现，嗯，圆的半径是四吗？所以我们知道也就是这个边呢，它是四，这个边也是四四四四倍根号。那我想问一下，其实它是一个什么三角形？ 他是个等腰直角三角形，对吧？所以你会发现，那这个角一定是四十五度了，对吧？好，接下来我们怎么去求 p b？ 我 告诉你，我们一般情况下不会直接求 p b， 我 们会先求 p 点到圆心的距离，求这条线呢，对吧？ 在我们整个呃计算的过程里面，求斜线段最常见的方法就是把它放在一个横平竖直的直角三角形中，所以我们过 o 点向 a、 c 做垂线。有两个好处，第一个过圆心向弦做垂线。根据垂进定律，我们知道你这个边是二倍根号， 我们知道这个边呢，就是这条边，对吧？他也是二倍的根号，没有问题吧？嗯，与此同时你会发现第二个好处，就是咱们产生了一个等腰直角三角形，你是二倍根号，所以这个边呢，也是二倍根号，就是这条边嘛。 那最终你会发现，在整个大大大大的直角三角形中，一个边二倍根号，另外一条边呢？多少二倍根号加上四倍根号，六倍根号嘛，所以在这个大的直角三角形中，咱们用勾定力，你说我们可不可以把 p o 求出来？ 二倍根号，六倍根号，第一个一三根号，十二倍根号乘以根号十四倍根号五，对吧？也就是这个边的长度多少呢？量呢？就直接口算了，是四倍的根号五，是不是好？剩下这个边好不好算？太好算了。为什么？ 圆的半径是四吗？所以你这个边就是四，因此你这个 b p 的 最大值是四倍根号五加四吗？哦，你是四倍的根号五加上四，所以我的最大值呢，你的一半也就是多少？二倍根号五加上二。好，那么整个题目我们就搞定了。 好，我们再来看下一道，也就是解方程的题目啊，其实我们知道解方程有很多种方法，对吧？他往往在我们这个期末考试面，你别说啊，就是考频高，分值高，难度低啊，所以我们一定要把它拿下啊， 我们在谈笑间，量就已经把右边呢全部挪到左边去了，那么此时呢，我们直接可以，你可以配方，也可以公式法，对吧？当量在这里面，我们直接用十字相乘，也是怎么样呢？ x 减三乘以 x 加一，所以我们最终求着 x 一 呢，等于三， x 二呢，等于负一， 搞定啊，就这么简单。好，我们再来看一下第十八题啊，这个是关于圆的一个大题。好，我告诉你，圆 o 是 三角形的外角，圆就是 a 点， b 点， c 点，他们都在圆上，并且我告诉你，这个角呢， 一百二十度，嗯，而且整个 ab 呢，二倍刚好三，就这个边，对吧？二倍的刚好三，好，让我们求什么？求圆的半径。 其实这个题的构造方法有很多种，但我个人觉得最简单最快的方法是什么呢？首先我们要利用你这个一百二十度，对吧？ 我们知道圆的内接四边形对角一定是互补的，所以我们就构造你的圆的内接四边形啊，就像这个样子，我们直接过圆形构造，这样构造我个人觉得是最快的，为什么呢？因为这样构造之后你会发现，喏，你比方说，放个屁点可不可以？ a c b p 是 不一定是圆的内接四边形对角互补吗？你这个角是一百二十度，所以我们知道剩下这个角一定是 六十度了，没问题吧？而且你要知道我们是个直径，直径所的圆周角一定是直角 o， 它这个含有六十度三十度的直角三角形，我们较长直角边是二倍角，三边比例关系我们都可以求出来，这个边是二，这个边是四，对吧？ 整个边是四，所以我们圆的半径呢？啊，我们求出来半径，等二搞定，他没有我们前面的选择填空题的某些题难，对吧？好，我们再来看一下第十九题， 哎，这是我们很多地区考试特别喜欢考的哎，这个我觉得是 npc 啊，就是它的难度低，对吧？哎，这个大体还比较靠后，还不是那么靠前，关键的分值高又简单啊。图中每个小方格都是边长为一，嗯，这个单位长度的正方形 好。然后呢，每个小正方形的顶点叫格点啊，就像这样点，这样点，这样点，对吧？都叫格点好，三角形，他的顶点呢？都在格点上面啊，三角形大家能看到吗？他长得比较隐蔽啊。 好，现在画出，把这个三角绕 b 点，逆时针方向旋转九十度。什么叫逆时针？真的很多同学不知道什么叫顺时针，逆时针，你们家的纸纸往哪边转？往这边转，所以这个叫顺时针，往这边转呢，就叫逆时针，理解没有 哎，所以你往这边就是顺时针了，往这边就是逆时针啊，所以也就是把这个三角形绕着 b 点往这边转九十度，对吧？好，那我们就转一下好不好？那么转完之后他大概长什么样子？注意啊，很多教练我不知道怎么旋转，你就把 b 当做我们的旋转中心， 你把 b a 绕着 b 点转九十度。你本来是对角线嘛，你转完之后你还是个对角线，对吧？因为正方形对角线呢，哎，和正方形的对角线和这个边的夹角四十五度嘛， 两个四十五度加起来一定是直角啊，用的 a 啊，就是我们这个 a 呢，在这里，对吧？好，接下来你再把 c 点找，这个太好找了，它是个长度为四的数值线段，所以转过来就是长度为四的水平线段，对吧？所以我们的 c 就 在这里。嗯，因此最终我们画完之后就大概长这个样子， 就大概长这个样子啊。好，这是我们的 a abc 了。好，接下来继续往后了啊。话说把这个三句往右拼，往右拼，那是不更简单了，简单的没边了是吧？ b 点往右移六个单位，一二三四五六，在这 a 点往右一二三四五六跑这了， c 点呢，在这里，是吧？所以这个是 b 二，这个是 a 二，以及这个呢是 c 二。好，你会发现他总得想个办法去为难我们。第三步干嘛呢？他往往就让我们求面积，嗯，但是他觉得求这个三角形面积太简单了，所以他会怎么考？嗯，同学们， 节目在一中求旋转过程中扫过的面积，就是我在这我所扫过的图形，对吧？你把它当做一个扫，把他扫过的地方全是干净的，你告诉我哪块干净的？无非就是怎么样呢？多了一段圆弧金字而已嘛，是不是就是整个不规则的图形，这块图形它就干净了， 那这块图形面积怎么求呢？我们在遇到不规则图形面积的时候，我们往往是把它变成规则图形面积之差，或者变成规则图形面积之和，说白了就是用胳膊法，你可以把整个图形变成上面这个三角形，再加上下面这个怎么样呢？大大的直角 扇形，对吧？这是不是一个直角扇形加起来就可以了？好，所以这个面积怎么求呢？整个面积等于上面这个三角形，对吧？它是二分之一的底是四吗？高是一吗？ 嗯，我们再加上。好，那么我们这个扇形的面积呢？它是四分之一圆乘以 pi r 的 平方半斤几半斤是四吗？所以直接乘以四的平方就可以了，所以最终我们求出来等于多少呢？这个是二，这个呢？是四 pi， 所以 是四 pi 加上二。搞定 好，我们继续往后了，再来看下我们今天的第二十题哦，女方，这个题是一个概率问题啊，我们一起来看看。那这么说的 二十四节气是我们中国古代有很多，对吧？巴拉巴拉，巴拉巴拉的好，现在问题来了，就是我们现在对这个有两位同学对你这个东西很感兴趣， 他准备了四张完全不同的不透明卡片，就是意味着你看不到，你要随机抽取，那么卡片的正面分别有什么？惊蛰夏至，白鹭霜降啊，就是我们节气中的某些好问题来了，嗯， 好，现在呢，把这个卡背面朝上洗匀之后呢？随便抽一张啊，抽完之后呢，我们讲讲这个节气的由来与习俗，嗯，不重要，我们来看看。问题 就是小明从四张里面随便抽一张抽到 a 的 概率是什么？你还需要管后面的文字吗？我们只要看 a、 b、 c、 d 就 够了，对吧？你从四张里面抽出一张，刚好是 a， 概率四分之一，对吧？哎，比较简单。好，现在问题来了，小明先从四张里面抽一张 小亮，再从剩下的卡片注意啊，嗯，抽完之后剩下的卡片就意味着抽完回去他放不放回去？不放回去，对吧？好，从剩下卡面再抽一张。好，用列表或画树状图的方法 求两都没有抽到 b 的 概率是什么？其实这个题如果你说用我们刚才选择题里面的独立事件的概率来处理， ok， 可以， 但是他是个大题，对吧？所以我们只能用他的方法，我们就树状图 ok， 比方说 那书上就，呃，开始我就不写了，就像这个样子嘛。为，我们首先说这个小小民吧，各位小民，小民，他可能抽到 a、 b、 c、 d， 对 吧？哎，就像这个样子，就像这个样子，这个样子，这个样子。这开始还需要量写吗？我觉不至于吧。好，那接下来还有什么呢？抽完之后小亮抽，那么小亮可以抽到什么呢？注意啊，小亮抽完之后，你抽走了 a， 所以 小亮只能抽 b、 c、 d。 你 抽走了 b， 我 只能抽 a、 c、 d。 你 抽走了 c， 我 只能抽 a、 b， 嗯， d， 对 吧？你抽走了 d， 我 只能抽 a、 b、 c， 是 不是？注意啊，是两个人都没有抽到 b， 是 吧？首先你会发现总有多少种情况，有三四十二种情况，是不是十二种情况？那请问符合 提议的情况有几种呢？都没有抽到币吗？那一种两种，这个就直接 pass 掉了，因为小明抽到了币，对吧，所以小梁不敢抽，什么都不行。好，你会发现三四 五六偶有六种情况，十二分之六，所以我们知道概率呢，刚好是二分之一，搞定，我们继续往后了， 所以你看这种概率题，它也比较简单，对吧？哎，纯纯的送分题。好，我们再看一下第二十一题，圆的综合。嗯，好，告诉你， a、 b 是 圆的直径啊，直径我们知道会有什么特点呢？好， a， c 是 圆的弦 啊，就像这个样子。好， a、 d， 平分角， b， a、 c， 说白了就是这两个角相等啊，这个角等于这个角，那这两个角我都把它标在 a， r， 都把它标在 a、 r。 好， 问题来了，嗯，角平分线和圆交于地点。好， d， 垂直 a， c， 那 我告诉你，这个角是直角九十度，我们尽可能把它在题干中把它标出来。 嗯，好，问题来了，第一个让我们求整，第一是圆的切线，第一是圆的切线，那地点肯定是切点了，所以我们需要证明的很简单，连接圆形和切点。然后接下来我只需要证明什么，咱们只需要去证明。哎，你过来， 咱们只需要去证明也是这个角是个直角就可以了，对吧？好，那怎么证呢？非常简单啊。首先我想问各位朋友一个问题，比方说我把这个角标做 b 就 行。好，大家再告诉我，请问 air 加 b 多少度？ 那你是一个直角三角形吗？所以我们知道两锐角互余，也就是我们知道 a r 加上 beta 一定等于九十度，没有问题吧？好，剩下这个题结束了。为什么呢？那你会发现，那这个是半径呀？这个是半径，我是个 等腰三角形，对吧？等腰三角形，你这个角是 a r， 所以 我们这个角也是 a r。 搞对了没有？其实这个题你可以通过去平行来证明，对吧？你比方说亮亮， 哎，这两个角相等，所以我是平行的，我是平行的，对吧？你是垂直，所以我也是垂直的，可以吗？可以，但我们也可以通过角度测出来判断。我们刚说 a r 加倍等于九十度，因此这个角不就直角吗？所以切线我们就证明完毕了。 好，接下来我们看第二问啊，大家一定要注意，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的。第一，小问好，接下来。第二，怎么求解呢？我告诉你， a e 是 八，哪个边？也就是这条线段的长度呢？是 八啊，这个边是八，对吧？好，而且我告诉你，圆的半径是五，那半径是五，也就是这个边呢？是五，我把它标出来了，嗯，就这个子边是五，是吧？好，当然。第一问，我们挣出来这个角是九十度吗？ 对不对？九十度之角。好，让我们求什么？求 d 的 长？我告诉你，在圆中我们求线段长的方法很多，什么勾股定律啊，相似呀，三角函数呀，等面积吧，只有这四种啊。那么在这里面我们用哪一种方法呢？其实这个题所涉及到的辅助线 叫做画圆为方啊，叫画圆为方，这画圆为方也是我们圆中啊，各大辅助线中的一种，我直接告诉你我们怎么处理，好吧？嗯，我们直接过 o 点向对边做垂线， 那，那就像这个样子，那么做完垂线之后，我们可以得到一个什么呢？我们得可以得到一个长方形，看到没有？一个两个，三个，三个九十度，所以你是一个大大大大的长方形，对吧？那你得到长方形的对边相等啊， 你这个边是五，所以我们知道这个边是不是也是五呀？那么除此外还有什么？这是圆心，这是一条弦吧， 你过圆心向一条弦做垂线，我们知道根据垂进配比，那么这两个边是不相等，对吧？你这个边是五啊，所以我知道这个边一定是三，没问题吧？哎，就是这里垂进配比，你用不用，其实好像 也没有什么太大的关系啊。那行，我们就不用了吧，这个边是三。好，那然后怎么办？你要知道啊，圆的半径是五吧，你是五，那我这个边是不是也是五，这也是圆的半径呀，所以你勾股定律我们求出来，这个边是几，这个边一定是四，对吧？ 哎，矩形对边相等，所以你这个边呢？也等于四，所以 d 的 长度搞定了。这里很多朋友可能会想到，我们用相似，对吧，我们用三角函数去处理，可不可以？也可以啊，但是画圆为方是我们圆中非常 one 的 一种辅助线的构造。好，我们继续往后啦。 好，我们再来看第二十二题，也就是二次函数的一个实际应用了，就是某，呃，某养殖场，他现在用总长为两百米的围栏啊，靠墙，对吧？墙长六十五米啊，就是这个墙的长度是六十五米，那意味着什么呢？就意味着你待会这个长度是不能超过墙的。比方你这个长度要是像这个样子，对吧？ 你养什么？鸡呀，鸭呀，对吧？鹅呀猪呀，那全部从这里跑掉了嘛。所以也就是告诉你怎么样呢？我们整个 d c 呀，啊，或者你这个 e f 呀，你的长度是小于六十五的。 好，微声，如图所示的三块区域，那我们平常可能接触的都是为一块啊，外为三块。好，告诉你，这两个矩形的面积相等啊，就这个矩形跟这个矩形面积相等，那不用说了，也说你这个点是个中点，对吧？就这条边等于这条边 h 呢，它是个中点，没问题吧？ 好，并且我还告诉你什么呢，也就是这个面积，哎，就是这个面积等于它的一半，哎，你给我回来 擦掉啊。好，就是告诉你，这个矩形的面积等于整个大矩形面积的一半啊，就是我的 e、 a、 g、 h 呢，等于整个矩形面积一半。那你想想，就是我的长已经等于你的长的一半了，对吧？我的面积等于你的一半，说明什么？说明这两段又相等啊，说白了也就是你这两个边它是相等的， 那一点呢？也是一个终点，我们尽可能把题干中的条件，我们尽可能多的把它标注出来，说白了就是我的面积等于你的面积等于你的一半，对吧？所以你的面积是 s s， 我 的面积一定是二 s 吗？ 嗯，就像这个样子。好，那然后怎么办呢？嗯，我们设 a d 的 长是 x， 整个 a d 的 长是 x， 那 我们就知道每一个呢？哎，这个不用说了。嗯，我们标一下，也就是你是 二分之 x， 对 吧？你是？哎，我还是用红色的吧，红色可能更加显眼一点。就你这个边是二分之 x， 二分之 x， 对 吧？包括同样的整个边呢？二分之 x， 二分之 x， 还有你这个边也是二分之 x 吧。我把竖向的、竖向的、竖向的每一条线段全部把它标注出来， 那剩下的，那我们多了，就围成横向的和横向这两条，对吧？这是不是要用我们这个平常的围栏？不需要了，这个墙，你还用这个木头围栏，对吧？没必要。嗯，好， 现在我们整个区域的面积是 y， 那 你会发现我们的宽知道是 x 吗？所以我只要把长表示出来就可以了。长怎么表示呢？两百减去 x， 减去 x， 减去二分之 x， 你 会发现就是两百减去， 是不是二分之五 x 呀，对吧？减去二分之五 x， 但你要知道啊，我们有两条长，对吧？所以我们再除以二就可以了，所以它是一百减去四分之五 x。 好， 就这条是一百减去四分之五倍的 x， 对 吧？ 好，接下来你会发现我们再去表示面积。嗯，那就没有那么难了，对吧？比较简单，整个面积我们该怎么去表示呢？嗯， y 与 x 之间的函数关系式，那么我们整个面积它就等于长 一百减去四分之五 x， 再乘以什么呢？乘以宽，宽是 x 嘛，对吧？所以等于负四分之五， x 的 平方加上一百 x， 是 不是像这样？好，那么也就是我们第一问的表达式，我们罗列出来了，也是第一问呢， y 等于负四分之五， x 的 平方加上 一百 x， 对 吧？好，当然让我们写出自变量取式范围， x 能有什么范围呢？首先你要知道你这个长它是不能为零的，对吧？那更多为负数，也就是你这个 x 呢？你得大于零。首先第一个 x 你 得大于零，那么除此之外呢？ 对吧？就是你这个边你得大于零，这个边他有没有范围？有，你这个边一百减去四分之五 x， 他的范围呢？首先他要大于零，对吧？其次他要小什么？要小于等于六十五，对吧？ 哎，小于等于六十五，所以我们最终可以求出来指数， x 怎么样？ x， 我 直接算一下，四分之五移过去小于八十，好，负四分之五移过来负三十五，同时除以五分之四七，二十八，也是大于等于二十八的， 对吧？ x 要大于零， x 还要在在这个范围里面，所以你方我们最终 x 的 取值范围呢，就是二十八小等于 x 小 于八十。不等式组求解的过程啊，连续不等式计算过程我就省略了，可不可以？ 好，有时候你这个 x 大 于零，咋不考虑呢？又在这个范围里面， x 一定大于零啊，是吧？所以这两个，呃，解集的公共部分最终的解啊，就是二十八到八十之间的啊， 可以取二十八，但是不能取八十。嗯，好，那么接下来我们看第二个，第二个干嘛？让我们求这个面积的最大值？那顾名思义，我们只要配方就可以了，配方过程量呢，也直接口算下负四分之五，也就是 我们提个负四分之五，提过来就是负八十，也就是 x 减四十的平方啊，一千六百除以它四百加加上两千。 好吧，这是我们配方咒的，所以你会发现很明显当 x 等于四十，你要考虑它是个开口向下的抛物线吗？对吧？所以当 x 等于四十的时候，我们的面积最大最大值等于多少呢？ 就等于两千的，是不是？哎，我们单位就不写了，同时你要考虑四十在在不在这个二十八到八十这个范围里面，你也是在的呢，我们可以取到。 好，这是我们第二个，我们直接过了。我觉得这个题最有意思的是第三问，嗯，它会干嘛呢？会让你求我们最终的一个成本，而且是怎么样呢？求高次不等式。 现在我们要在 e、 a、 g、 h 啊，就是在这个矩形和什么呢？和 d、 f、 c 和这个矩形里面分别安装不同类型的养殖设备。你养鸡，那可能要弄一个什么自动的投喂器，对吧？ 你要养这个猪，那可能要搞些什么自动放水的装置，嗯，对吧？嗯，养大熊猫，咱们可能需要安装个空调什么之类的啊，总之呢，就是我们要花钱。好，就是这个单价呢，是每平方米四十块钱，这个单价呢，每平方米是二十块钱， 我现在要使得安装的成本不能超过三万块，直接求出 x 取的范围，就对你这个图形的形状长宽有一定的要求，那该怎么处理呢？首先我们就把面积表示出来，把费用表示出来可不可以？好，那这个面积怎么表示呢？喏，那这个宽，知道长这一段等于这一段吧？等于你的一半， 你的一半是多少？那不就是五十减去八分之五倍的 x 吗？对吧？所以我们知道，那我们的总费用呢？就是总费用，我们用 w 来表示，可以吗？我换个颜色吧， 蓝色，嗯， w 等于多少？等于你的二者相乘，对吧？啊，也就是二分之 x 乘以五十减去八分之五 x， 对 吧？这个单价段每平方米四十块钱，总直接乘以四十就可以了。 好，那么接下来我们再加上这块，这块多少呢？那把这个长宽相乘吧，也就是等于二分之 x 乘以一百减去四分之五 x， 我 的单价多少？每平方米啊？二十块钱，所以我们再乘以二十就可以了。我这个乘号写的比较小啊，你不要把它跟 x 弄混了。 所以最终我们求出来的一段，我把它整体往左边挪一点点，大概长这个样子，所以它等于多少呢？嗯，这个相乘是二十 x， 对 吧？所以也就是减去 o 二十乘以你等于负的啊，二分之，我算一下啊，好吧，二十乘以你也就是等于二十除以他除以四二分之 五，也就是负的二分之二十五 x 的 平方加上一千 x， 好 不好，再加上二十乘以它呢？十 x 十 x 乘以里面每一项，也就是， 哎，你会发现负的，对吧？也就是负的二分之二十五 x 平方加上一千 x， 哎，你会发现最终它就是等于负二十五 x 的 平方加上两千 x， 那 么配方过程我们就直接写了，等于负二十五，我们提出来，也就是，呃， x 平方减 八十，那么也就是 x 减四十的平方，一千六百乘以它，嗯，四百啊，四万，对吧？加上四万，好，也说我们可以得到像这样的一个怎么样的啊？一个表达式，那问题来，我要不超过三万，对吧？就是我小于等于三万，你说这个咋处理啊？ 这我们根本就没有学过像这种高次的一个不等式，对不对？那么很简单，我们只需要用什么用到二次函数的知识就可以了。你是个开口向下的抛物线吗？对吧？开口向下的抛物线，并且我们要知道怎么样呢？哎，你什么时候等于三万呢？我就直接画出一条 y 等于三万，像这样的一条直线就可以了， 是吧？啊，那么我们知道当 x 在 这里和这里我们就可等于三万，那么接下来我们需要做的干嘛呢？也是，我们只要使的这个东西等于三万就行了。好，我们就另怎么样？我们另这个不二十五， x 减四十的平方加上四万，对吧？ 我们令它等于三万嘛，对不对？所以你移过来之后呢？负一万，负一万除以二十五呢？啊，等于四百，所以你的平方呢？等于啊，负一万乘以除以负二十五，所以你是四百，也说你是正负二十嘛。 x 减四等于正负二十，我们直接算了，就是这个是二十，这个呢？六十，对吧？也就是你这个东西呢，要是小于等于三万的话，你你想想啊，也就是在二十到六十之间，我是怎么样呢？超过三万的我要不超过三万，对吧？ 不超过三万，我要总量小于三万吧，你不就在二十的左边或者六十的右边吗？也说你的 x 要么小于等于二十，你的 x 要么大于等于六十，有没有问题？那最终你要知道，我们 x 要在二十八到 八十之间的，你要在这个范围里面，要在这个范围里面，那么综上所述，我们最终 x 的 取值范围是什么？就是六十小于 x 小 于八十就可以了。搞定 好，那么接下来我们再来看一下第二十三题啊，他是一个关于二次函数的比较简单的对值问题了啊，好，他这么描述，首先给出一个哦，函数表达是固定的，二次函数 好，与 x 轴交于 ab 两点，那么 ab 两点我们肯定可以求出来。嗯，好，现在呢，我告诉你，有一条直线啊，和这个抛物线呢，交于 e f 两点啊，交 e 点和 f 点。 好，首先在上面我们去求什么？求 ab 两点坐标，可不可以啊？咱们求一下。就是啊，我们令四分之一 x 平方减 x， 加上四分之三，我们令它等于零，所以两边同时乘以四， x 方减四， x 加三， 是吧？所以我们可以直接因式分解嘛，我们求出来一个呢是一，一个呢是三，就是你这 a 点的坐标呢，它是一零的， 你这个 b 点坐标呢，是三零的，对吧？好，接下来我们求完之后呢，把这个清掉。嗯，好，我们来看看这个题 d 用干嘛？ 如果直线也有经过定点， d 啊，直接写出定点坐标，就你这个直线是否经过定点呢？其实经过定点的问题，我们之前跟大家说过，韩餐定点问题如何处理，原理我们讲过啊，但是在这里面我们直接教大家好不好定点。说白了我举个例子吧，比方说 d 点呢，横坐标是一的时候，纵坐标几， 你把一带进去，这是 k 吗？减三 k 加四，对吧？也就是负二 k 加四，这个叫定点吗？所谓的定点就是横纵坐标一定是不变的，它不是定点。那问题来了，就是把 x 等于几带进去，我们会得到一个固定的坐标呢，就是你的 k 会消失吗？很明显， 把几把三带进去好不好？把三等于，这是三 k 减去三 k， 对 吧？加四，咔嚓，是不是抵消了？所以我们知道 no， 它一定经过三四这个点。 好，我们看第二问，求 b f 面积的最小值。好，就是这个三角形的面积，大家注意啊，我们需要去怎么样呢？我们需要去构造公形三角形，我们过 b 点直接做一条铅垂线，比方这个交点呢，我们就把它另做 p 点，是吧？你的坐标是三零，所以我们知道这个坐标，横坐标一定是三。纵坐标呢？ 你这条直线一定经过三次吗？我的横坐标是三，所以这个 p 点横坐标一定是四，没问题吧？哦，你会发现整个面积等于多少？我告诉你啊，像这种不规则的三角形，它的面积一定等于二分之一的铅垂高段 b p， 对 吧？ 乘以什么呢？乘以水平宽，水平宽就是整个三角形水平上的宽度。说白了就是比方说你的横坐标是 x 二， 你的横坐标是 x 一， 可以吗？用你的横坐标减去它的横坐标，对吧？乘以 x 二，减去 x 一 嘛，所以等于多少？等于二分之一，乘以 b p 等于几呢？纵坐标四是吧？再乘以 x 二减去 x 一， 所以你有发现最终面积就是 x 二减 x 一， 整个表达式的二倍， 所以我只要使的这个东西最小就 ok 了。那问题来如何最小？你要知道 x 二 x 一 是如何产生的，是我们这个一函数和二函数相交所得到的，对吧？好，那我们就处理一下，令二函数和一函数相交，也就是四分之一 x 的 平方减 x 加上四分之三 等于什么？等于你这个东西吗？等于 k， x 减三， k 加上四，好，移过来四分之一 x 平方，我们减去 k 加一倍的 x， 让我们再怎么样呢？嗯，让我们再加上三 k 减去怎么样？ 四分之十三等于零啊，化简一项啊，整个的过程量就直接写了，可不可以？好，那你会发现这个东西怎么处理呢？你要知道啊，我们知道两根之和等于多少呢？你要你这么想吗？就这个玩意你不好处理，对吧？你先求它的平方，可不可以， 对吧？你先求它的平方，你把平方求出来，它的平方就是 x 一 的平方，加上 x 二的平方，再加上啊，再减去怎么样呢？ x 一， 二倍的 x x 二，对吧？那其实你会发现，说白了我们可以继续化解吗？我们化解可以得到什么？哎，咱们把这个东西把它给清掉， 哎，清掉，那么接下来你会化解，你可以得到。哎，其实我们从上一步到下步我觉得就可以直接得到了， 让你们看一下高科技啊，说它其实就是等于怎么样的 x 一 加上 x 二的平方，对吧？这个玩意啊，你从它到这里你要减去吗？啊？我直接减去四倍的 x x 二啊，各位同学，能不能跟得上？ 你这个展开里面有一个二倍的 x x 二，对吧？二倍减去四倍才会产生它嘛，所以反，这不就是两根之隔，这不就两根之积吗？我们把它算出来就可以了。好，你会发现 x 加上 x 二，我换个颜色啊。好，请问也就是两根之隔等于多少呢？ 两根之隔等于负的 a 分 之 b 的， 所以等于多少？负的 a 是 怎么样的？四分之一嘛？ b 就 等于这么多，所以你直接把它代替。我们求出来等于多少？我们就等于四 k 加四，好吧， 哎，也就是我们求出来是四 k 加上四的好，两根之积等于多少呢？等于 a 分 之 c， 对 吧？也是等于十二 k 减十三的。好，最终有发现，那接下来我们需要求解什么呢？很简单，我们继续往上挪一下啊， 那么也就是你这个玩意我们最终怎么算呢？它等于多少？它等于 x 一 加 x 二，它，对吧？也就是四 k 加四的平方，减去四倍的 x 一 x 二呢？ 所以你会发现我们可以得到一个十六 k 的 平方，加上三十二 k， 再加上十六，减去四十八 k， 然后再怎么样呢？我们再减去啊，加上五十二，所以等于多少？等于十六 k 的 平方， 我减去你也就是减去十六 k 了，你再加上六十八，这个我们配方价等于提个十六，就是 k 方减 k， k 减二分之一的平方，四分之一四啊，我们就要加上个六十四就可以了，配方我们就省略了。 所以其实你会发现，也就是我们最终也就是当 k 等于二分之一的时候，对吧？我们可以取得最小值。最小值等于六十四吗？谁的最小值？ 你的平方的最小值等于六十四，所以你的最小值等于几呢？你的最小值等于八呀，二八十六嘛，所以我们整个面积的最小值呢，自然就是十六。搞定 好，接下来我们再来看一下今天的第二十四题，那么这个题呢，比较长，所以我把整个版面稍微缩小一点点，可不可以？哎，就像这个样子啊，我们一起来看看。好，他这么描述， 首先在这个平面直角坐标系里面，哎，直角三角形， a b c 的 斜边 a b， 啊，这是个斜边直角三角形，那剩下两个一定是直角边了，顾名思义，它就相当于告诉你 c 是 一个直角顶点，这是九十度，我们把它标出来。 好，现在呢，我们这个边 a、 c 与 x 轴交于地点，嗯， a e 平分角 b a c a e 平分角 b a c。 好， 说白了，也就是我们这个角，嘿嘿嘿，我们这个角等于这个角，对吧？这两个角我都把它标做 e、 r、 f， 都把它标做 e、 r、 f， 可不可以？ 好，现在问题来了，经过我们 a 点、 d 点， e 点三点的圆呢？嗯，他的圆心 f 刚好在我们的外轴上，并且圆 f 呢，还和我们的外轴交于 g 点。嗯，所以我们知道这个是半径，这个也是半径。好，这个题第一问，求证 bc 是 圆的切线， 其实求证切线，对吧？你想想谁他是切线吗？ e 点自然是切点啊，所以我们连接切点和圆心，我们这证明这个角是直角，九十度就可以了，这个咋证明， 是吧？这是直角，其实证明非常简单，在这里面你可以用平行的方式证明，那么这样就直接用最直观的倒角的方式，我用这个角是 beta， 对 吧？首先你会发现，喏，在咱们这个直角三角形中， alpha 加 beta， 它不就九十度吗？ 直角三角形，两锐角互余，对不对？好，你要知道这个是半径，这个也是半径，圆的半径相等，所以你是个等腰三角形，因此这个角怎么样？它也是 a r 法，没问题吧？啊？它也是 a r 法，就这个角，那剩下你会发现，它就比较简单了，对吧？挠 整个角 ar 加倍它，我们刚说 ar 加倍，它是九十度嘛，所以因此整个角一定是大大的直角九十度，就这么简单。当我们推出直角了，那么第一问，切线，我们就证明完毕了，我们就搞定了，我就把所有的角全部把它给清掉，行不行？嗯，你也是一个直角九十度，好， 接着我们看第二问，他们说，如果 a、 d 坐标是这么多求圆的半径，那我们标出来 a 点坐标呢？是零负一， 那么其实也就告诉你这条线段长度是一嘛，对吧？好， d 点坐标二零， d 点坐标是二零，那么也就意味着这条线段的长度呢？一定是二。现在让我们求什么？求圆的半径 好？求圆的半径，我肯定要把这个半径与你这两条线段结合起来，我们连接 f、 d， 其实这个题非常简单，是吧？连完之后你会发现，喏，比方说，你就是半径好不好？ 你这个边是不是也是半径呀？你拿走一个单位，所以剩下这个边呢？一定多少？一定是半径减一喽。在这个大的直角三角形中，可不可以够规定你，你的平方加我的平方等于他的平方，对吧？ 半径减一的平方加上二的平方等于半径的平方，所以我们最终求出来符合条件的半径等于几呢？嗯非常熟悉二分之五。好吧，所以第二问求解过程啊，我们就直接过了。 接下来我们再来看一下第三问啊。我觉得第三问是有一点点难度的，但是不多啊。好，把它清掉。这坐标都不能用了啊。清掉。嗯让我们探求什么？探求三条线段之间的等量关系。 ag ag 在 哪？就整个圆的直径呗。 a d 是 谁呢？ a d 是 这个边， c d 是 这个边对吧？哦也就是你这两条小的线段跟整个直径有什么数量关系啊？证明你的结论 啊。这个该怎么处理呢？其实你会发现如果你学过了画圆为方是吧圆中的各大辅助线构造如果你学了画圆为方你会发现这个题会变得特别简单。为什么呢？ 我们只要遇到了两个直角直 u 形我们永远是过顶点向对边做垂线就像这个样子。那么做完垂线之后哎，你这个图会有点歪，不好意思啊，我们直接做垂线这个图的确是有点不太标准，但是我们就要把它想象成一个哈，就这个图最主要谁歪是你是歪的啊，就正常垂直应该整这个样子对吧， 是不是应该长这个样子吧。嗯那行吧，我们就学会利用不太标准的图形求出标准的。你是个大大大大的长方形是吧？说白了你这个哎呀，我们先不管了，他是个正方形啊，我们待会再聊。好转垂线之后你会发现直角直角直角。所以他是个什么？ 他是个长方形对吧？你是半径你是半径所以他是个正方形，但是在这里面，我们只要知道他是个长方形就够了。好，接下来你会发现，你让我去求两条线段跟直径的关系，我只要求这两条线段跟半径的关系不就好了吗？ 你过圆心向一条弦做垂线，我们知道那这个边等于多少？一定会把这个弦平分了吗？对吧？就这个边一定是二分之一的 a d， 有 没有问题？没问题吧？就这个，这条边是整个弦的一半，我们再加上谁？我们再加上你这个绿色的 c d， 这是不是 c d 呀？对吧？那么这个边加这个边等于谁呢？你会发现，高等于我们的对边，谁高等于半径，是不是？哦，也就我们可以得到一个结论，二分之一的 a d， 我 们加上 c d， 是 吧？这样刚好组成怎么样呢？我们的对边等于半径 是不是？那 a g 是 直径嘛？所以你直接乘以二，左边乘以二呢？ a d 加上二倍的 c d 等于谁？等于二倍的半径，而二倍的半径是谁？二倍的半径不就是 a g 吗？所以你会发现，那么三者之间的数量关系不过如此，对吧？我们也可以轻松搞定，就这么简单。 好，接下来我们再来看一下我们今天的最后一题，也就是二次函数的压轴题了。嗯，好。这个题首先这么描述，就是给出一个抛物线，那我已经告诉你 a 了，但是 bc 不知道，我告诉你，经过 a 点，坐标三二，我把它写出来三二， 而且呢，与一条直线 y 等于负 x 加二分之七。啊，就这条直线的表达式呢？它是固定的，那就把它给画出来。 ok， 它的表达式 y 等于负 x 加上二分之七。好， 嗯，就是抛线和这个一次函数呢？交于 b c 两点。好，那问题来了， b 的 坐标是四小 m， b 的 横坐标是四，那纵坐标呢？你把四带进去，信不信？我们可以求出纵坐标负的二分之一，对吧？好，那我想问一下，第一问，我可以直接过吗？ 这里面只有未知的 b， 只有未知的 c， 只有两个系数，不知道你只要把这两个点坐标带进去，可不可以求出我们二次函数表达式，在这里我就直接写了，可不可以？好，我们可以求出来，就是整个我们二次函数的表达式 b， 也就是 y 等于负二分之一， x 的 平方 加上 x 加上二分之七，大家可以验证一下啊。好吧，接下来我们看一下第二问啊。第二问，其实我告诉你，他其实考察我们铅垂线段的一个最值问题，对吧？ d 是 抛线上位于直线 bc 上方的一个点， 你要在抛物线上，要在 b、 c 的 上方，对吧？是不是只有这一段曲线啊？就地点在这上面运动好过地点做 x 轴的垂线交于一点啊？不是，是和这个直线 b、 c 交于一点，对吧？好，当你这个怎么样？当你这个， 哎，就是 p 点是对正轴上一动点，就 p 点在整个对正轴上动来动去的， p 点在这，当你这个 d 长度最大的时候，就是当你这个长度最大的时候，那你 d 点坐标肯定就固定了吧。让我们求 p， d 加上 p a 两边之隔的怎么样呢？最小值。 首先我们要处理的第一个问题就是你这个线段长度如何最大？当然你可以用标准方法，但我要告诉你，用公形的结论是最快的。什么在公形的结论呢？你一个二函数和一个一函数相交，这个图像像不像一个公形？那这个东西我们在内部系统方面也讲过了，对吧？公形的结论， 像这样的铅垂线段什么时候最大呢？对吧？你做往下做一条铅垂线段，这个线段长度什么时候最大？当你这个地点在两个端点的 啊，说白了，把这两个端端点的横坐标相加除以二就可以了。你的横坐标是四吗？你的横坐标呢？ c 点坐标多少？ c 点坐标是零二分之七，对吧？你的横坐标是零，你的横坐标四相加除以二。当你的横坐标是二的时候， 你这条线段百分百怎么样？是最大的啊？好吧，那当我们知道，第一点，横坐标二重坐标呢？把二带进去 是负二，加上二加二分之七，所以我们求出来，也就是二分之七，我们就搞定了。 这是我们所讲到的啊，怎么样？第二步？当然如果你说这样呢？我不理解，对吧？你可以尝试设坐标，把他坐标设出来，把他坐标设出来，你用他的坐标减他的坐标重坐标，对吧？你不妨，我们可以得到一个二三数的表达式，通过二三数求对值，可不可以？也可以啊。 好问题来了，那最值怎么处理呢？其这个相对于什么呀？比方 p 点在这， ok？ 哎， p d 和 pa， p 点是上面一个动点吗？这不就相当于将军印码吗？你要么做 d 点，关于它的对称点，你要么做 a 点，关于它的对称点，对吧？那做 d 还是 a 呢？ 有对称点我们就直接做，为什么呢？你的纵坐标二分之七，你的纵坐标也二分之七，纵坐标一样的两个点在二十三处上，纵坐标一样，表明 c 点跟 d 点一定关于对称轴对称， 所以你把 d 点直接对称过去，那你的对称点就是 c 点，所以接下来你只要连接什么呢？连接 ca， 对 吧？哎，这条 ca 的 线段长度就是我们要求的最小值，此时你的 p 点我们可以找出来，还是在这，对吧？但这题没有让我们求 p 点，只让我们求最小值啊，然后就把最小值把它给求出来多少呢？ 那就是线段 ac 的 长度嘛，此时你可以用两点间的距离公式，你可以怎么样呢？把它放在一个横平竖直的直角三角形中都可以。所以其实我发现很多同学你们的漏洞很多啊，横坐标三，横坐标零，对吧？就是三，纵坐标二分之七，纵坐标二，那么也就是二分之三， 那么最终也就是我们求出来呢？勾股定力二分之三一二，二分之三没刚好五。好。那么接下来我们再继续往后了，再来看一下我们的最后一问，最后问他其实考的是什么呢？就是我们的，哎，这个我就我就保留了吧，就不清了。 最后你其实考的是什么？考的就是我们存在性的一个问题，是吧？比方说，那，呃，我们把题干稍微盖住啊，就是设点 m 是 抛物线的顶点，你这个抛物线顶点多少呢？我们可以配方下负二分之一，也就是，嗯， x 减二， x x 方减二， x 减一的平方 减二分之一加二分之一加四，所以我们知道顶点是一四，对吧？好，当然 a 点坐标三二，我们把它给标出来，可不可以？好，那问题来了，那你知道对中轴是一吗？ 是吧？好，在外轴上有没有一点 q 点？是的， a q m 等于四十五度啊，比方这个 q 点是吧？是的， a q m 就 这个角等于四十五度。像这样的 q 点有吗？如果有，求坐标，不存在，请说没有。 其实这个题考的就是我们角度的存在性问题啊，是否存在某个点使得角等于多少度呀？是否存在某个点使得我是你的二倍，你是我的几分之几，我们加起来等于多少度，对吧？都属于角的存在性问题。角的存在性问题只有三种方法，那么今天我们会说到其中一种，比方说我们过 a 点直接向对边做出现。 你要注意，这题干中的每一条边，每一个角，每个坐标全都通过精心安排过的，你会发现，喏，你的坐标是三二嘛，对吧？所以我们知道你的横坐标是三，对正轴呢？哎，是一，所以我们知道这个线段长度是二， 你的纵坐标是四，我的纵坐标是二，所以你把这个边也是二，意味着什么？就意味着，如果你连接 mma， 我 们可以构造一个等腰直角三角形，对吧？好，接下来， 比方这个点呢，我们就把它叫做屁点，可不可以？哎，放个紫色的屁啊，叫屁点。接下来我们以屁为圆心，二为半径，我们就画一个圆，整个题目就直接结束了，为什么呢？我们把这个圆大致画成这个样子，可不可以？嗯，就差不多长这个样子，哎，我们差不多像这样，哎，再上来一点点， 好，我觉得差不多了啊，对吧？差不多了，这个圆好，就像这样。那我想问一下各位同学们，哎呦，这个图好像有一点点歪， 就像这样吧。嗯，好，那我想问一下，你要知道我这一段弧能看到吗？这一段弧我所对应的圆形角是九十度，请问我所对的圆周角呢？比方在圆上找一点，我所对圆周角是不一定是四十五度呀？哦，就是我们只要把这个点呢放在圆上就可以了， 这个点既要在圆上，又要在外轴上，所以这个圆和外轴的交点，明白没有啊？你会发现，等我连一下，我们这个 m q a 是 不等于 九十度一半也就四十五度吧，所以你与我们这个外头有几个焦点，我们就几个 q， 很 明显有两个 q 点，那这两个 q 点怎么求呢？非常简单，圆的半径是二呢， 对吧？所以你连一下，圆的半径是二，然后你这个对称轴是一，所以你做一下，这个是一嘛？所以我们求这个边是根号三，对不对？好，那你会发现 p 点坐标是一，纵坐标是几，纵坐标是二，对吧？纵坐标是二， 哎，也就是差不多长这个样子。好，现在你往下走，根号三个单位，所以我们求出来第一个 p 点，第一个 p， 哎，第一个 q 点多少？第一个 q 点也就是横坐标是零，纵坐标呢？啊，也就怎么样呢？二往下走根号三，也就是二解根号三了。 好，请问第二个 q 我 们还需要去求解吗？你当然也可以求，对吧？我们的，哎，比方你连一下，这个是二吗？ 你这个不也是一吗？所以你觉得这个也是根号三，你一二往上走，根号三个单位，所以我的纵坐标呢？也就是二加根号三，对吧？所以我们这个 q 二，也就是我们可以求出来，我们在外轴上横坐标一定是零，纵坐标呢？二加上根号三，就这么简单搞定。 那么亮在这里也祝各位同学期末考试顺利，能够拿到自己想要的分数，过一个好年，跟着亮亮无脑学习。

十二月份的这一次月考，很多初三的家长有没有回来听你家孩子说，好难啊啊，这一次的这个试卷，我从头到尾简单看了一下啊，然后我看到一些这个上的试卷，包含二次函数、相似三角形、反比零函数、解直角三角形，很多都是九年级的重点内容， 整体这个难度啊，是中等偏上，打中了对知识点综合运用和逻辑性推理能力的考察。 就这张试卷，你学生在基础的概念计算能力和综合题型解析思路上，如果你存在不扎实的话，这一次数学有点悬， 会让孩子有点头疼。下面呢，我们这个试卷上面看一下啊。第六题，选择正确率是比较高的啊，能快速预呃算出基础公式和地理，作出预测。但第七题呢啊，反比例函数和几何综合的题型开始就出现有点难度了， 现在的这个情况没有做出来，是反映出你对跨模块知识点融合的处理能力不够足。很多孩子在十四题，抛物线平移和交叉问题的出现，他的计算问题也就暴露了函数运算的粗心问题。 这个十八题呢，解直角三角形的实际运用，你很多孩子能列出基本的三角函数关系式，但在数值计算和单位换算上很容易出错啊。第二十题呢，反比例函数和一次函数的综合题，学生能求出反比例函数 解析思路，却在求一次函数参数和三角形面积时，他那个思路是不清晰混乱的。那第二、三套题，函数与几何综合的压轴题，很多孩子在求 最值问题和重点问题就不会做了，所以这一张试卷是中等偏难的，很多很多侠子可能会在这一张试卷 会做的有一点崩溃，那我们后期要怎么去加强呢？在巩固基础的同时，同时要加强知识点的综合运用 和解析思路的训练，那尤其是针对函数与几何融合的题型和亚洲体进行专项的突破，才能逐步的提升数学的解析能力。

这是八中初三本周的数学周考试卷，全程两小时沉浸式感受一下孩子们的考试氛围。整个试卷做下来，难度在线，计算量也大，考题上也有所创新。 例如试卷第九题常考正方形相关的几个题，但这次却考了一个平行四边形相关的几个题。 这是这学期第一次出现这种出题模式。由此可见，我们已经不能用常规的思维去判断出题方向，而这也告诉我们，老师要不断更新知识储备，提升自身的问题分析和创新思维能力。 而学生们首先得认知转变，明白没见过是正常的，把新题视为一次闯关而非危险。 学无止境，孩子们一起加油呀！