天津中考解三角形题型及解题方法

前面咱们已经讲完三垂直模型的基础版本，今天我们来讲解三垂直模型的进阶版本。好，我们来看一下题目， 他说图形中 a、 b、 c 均为等腰直角三角形，那让咱们去求顶点 a 的 坐标。好，我们来看这个图， 现在他的顶点 a 没有在咱们的 x 轴上，所以他并不能够像咱们之前的版本那样，直接从 b 点和 c 点向 x 轴做垂直。那么回忆咱们之前的基础模型，咱们都是从顶点这个位置 做一条辅助线，那如果说顶点在 s 轴上的话，咱们可以直接利用 s 轴作为直线，那没有的情况下，咱们可以自己构造一条直线，也就是做一个辅助线。 好，那么接下来我们就可以从 b 点和 c 点分别向 a 点做垂直。 好，那么辅助线咱们做完了，那全等图形咱也构造完成，也就是三角形 b、 e、 a 和三角形 a、 c、 f， 那 么咱们基础版本的时候说过，横对竖可以来看，那现在咱们的横，也就是 a e 等于 c f， b e 等于 af。 好， 那咱们来看一下咱们的 a e 和 b o 长度应该是一样的， 那么 b o 咱们知道长度等于一，所以咱们能够知道 a e 就 等于一。好，那等于 c， f 等于一，所以 f 点的坐标是三等 二啊，三到二，那么同样我点 e 的 坐标，点 e 的 坐标 b， e 的 长是等于 a f， 那 么 f 是 三到二的话，那所以 b e 就 等于三， 那么点 e 的 坐标就应该是负一到三好，负一到三，那么同时 a 点坐标咱们也轻而易举的就出来了，它是零到三。 好，那么这道题咱就讲解完成，我们再来看下一题。好，我们来看这道题， 它现在 a 点，不同于刚刚这道题，我还在坐标轴上，我现在已经在象限中，那么咱们的模式可以不能改变，先从顶点 a 的 位置画一条辅助线， 然后从咱们的另外两个位置 b 和 c 向这条直线做垂直， 那么在这里面 c 点，因为它在咱们的外轴上，所以直接是从 a 延伸到这里即可，这就是 f 点，这就是点 e。 好， 我们各色完全等以后得到 b， e 等于 a， f， a e 等于 c， f， 好，那么这个时候咱们再看，虽然咱们能够通过一二三三个直角得到矩形 bo， f， e， 也就是 bo 等于 ef 是 等于三的啊，等于三，但是咱并不能够求出来点 e 的 坐标，那此时咱就需要设 x。 好，那咱们可以来看一下。在这个里面我们可以设 b， e 为 x， 那 所以咱们的 o f 也就是 x， 那么 o c， 因为点 c 的 坐标是零的负二，所以 o c 等于二，那么长度就为二，那这个时候 c f 就 等于 x 加二，好，那也就是 a e 的 长度就是 x 加二， 那么通过咱们去设 b， e 为 x， 所以 a f 的 长也是 x， 那刚刚咱们得到了一个 b， o 等于 e， f 等于三，所以咱们可以列一个方程， x 加二加 x 等于三， 所以二 x 等于一， x 就 等于二分之一，那么刚刚咱们设的并不是坐标，而是长度，那么咱们就能够知道点 e 的 坐标是负三到二分之一， 当 s 值出来以后，那么 a 点的坐标也就出来了，长度二分之一，高度二分之一，它又在第二象限，所以 a 点的坐标咱们就已知 是负二分之一到二分之一这样的一个结果，那么所有的咱们三垂直的模型都可以这样去做。如果说坐标给的不太够，咱就需要设未知数， 那么跟未知数和九十度有关的也会有翻折模型，那这个部分也是在八年级常考的一个知识点。好，那有机会老师再给大家去讲解一下翻折模型，那这是咱们三垂直模型的进阶版本，咱们就讲到这里结束。

今天我们来讲解一下二五年中考涉及到的考点三，垂直模型。我们今天先来讲基础 好，咱们来看一下这道题，它说等腰直角三角形 a、 b、 c 好， a、 b、 c， 角 e 等于角 e 九十度，那么很明显角 a、 c、 b 是 等于九十度的， a、 c 等于 b、 c， 那 么从这个条件里也能知道这两个角度分别都是四十五度。 好，我们再一看，那这个里面角的和角的是九十度，这里也是九十度。当一个图形中九十度比较多的时候，那么它会容易出现倒角，也就是角度相同，那我们可以证出来这个角度和这个角度是相等的。好， 那么这样子我们就可以证出来三角形 c、 d、 a 和三角形 bc 是 全等的。好，那全等以后，我们就会知道 a、 d 等于 c， e 好， a、 d 这个边 等于 c、 d 这个边，也就是它是横的，那它就是竖着，那么它是横的，它就是竖的。 那所以咱们能得到边对边相同，也就是横边对竖边。那么如果说遇到这两个三角形全等以后，那我的边长如果比较相近的话，咱也可以用横对竖这三个字来进行比较。 好，那我们再来看一下这道例题，他说这个三角形 abc 啊，老师没有写它是一个等腰直角三角形，那么他想让咱们求点 c 的 一个坐标， 那这个时候咱们看一下，这里有一个九十度，这里是咱们坐标系天然自带的九十度，那么我还差一个，那和这个图一样，咱们需要从这边的顶点 向这个线这边做一个垂直。好，假设它是点一， 那么我们通过刚才这个图形的结论，能够得到三角形 a、 o、 b 和三角形 b、 e、 c 是 全等的，那么横对竖的情况下，横对竖，这个 a、 o 是 三，所以 b、 e 也是三， o， b 等于 c， e 等于一。好，那所以同学们不要把 c 点写成三等一， 那别忘记前面还有一个 o、 b， 所以 点 c 的 坐标是三加一等于四，横坐标是个四，纵坐标是一，那么它就是四到一。好，那么这道题咱们就讲解结束了。

好，今天我们来看一道二零二五年的天津中考真题，咱们的十七题，这道题一个固定固定的考点呢，就是说考察一个几何模型啊，几何模型在咱们 小题当中的一个综合的应用啊。所以第一步呢，我们先审图，然后从已知当中找信息，看看我们能得到哪些线段长或者度数啊。他说在一个矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 的 长为二，我在这标一下 b、 c 的 长为三啊，后面紧接着跟了一个 ec 等于二倍的 be 啊，如果说 ec 是 两倍的 be， 那 这两条线段分别就是二合一， 那第一问我们迎刃而解了啊，第一问没基本上没有难度啊，完全是送分给你的啊，我们说一比二比根号五 a、 e 的 常得到的解决。 然后咱们在审第二问之前呢，如果说你的几何直觉足够强的话，我们去猜一下这个三角形 a、 b、 e 和 e、 c、 f， 它应该是有一个全等关系，因为这里暗含了一个什么模型呢？一线三垂直， 这个我们在八年级学这个全能的时候啊，应该是重点有有过讲解的啊，什么叫一线三垂直，顾名思义，在一个直线上，我们有三个垂直关系啊，所以我们通过第二文来验证一下，是否他真的满足这个一线三垂直。 说这里的三角形 a、 b、 e 是 否真的全等于三角形 e、 c、 f 呢？哎，我们会发现，上来是不就给了 f 是 c、 d 中点，所以一二二一，那么两角两边一加角，这个 s、 a、 s， 这两个三角形全等啊，是为了去验证我们的三角形 a、 e、 f， 应该它是一个等腰值， 那有特殊的边关系，也有特殊的这个度数关系，因为我们紧接着跟一个等腰直的一个必考的考点叫做一比一，比根号二， 他的三条边啊，均知一求二，知道一条，其他两条边肯定是可以求的啊，我们顺势往后往后解啊， m 是 af 重点， 显然这里 af 可求啊啊，然后又给了一个特殊度数啊，不管了，我先把谁求出来，我先把这个 af 求出来，所以 af 我 们顺势就可以得到，它应该是根号二倍的 a e， 这叫小编到大边，我们应该做乘法啊，得到一个根号十 m， 又是 a f 的 中点，是不就可以推出来这个 m f 的 长啊，哎，它是二分之一的 a f， 叫做二分之刚好使 好的呃，这个七十五度给的也好啊，七十五度，四十五度加三十度啊，两个特殊度数，我看看怎么去拆呢，我们就要看他问的是谁了，他问的是线段 mn 的 长。咱同学一定要有一个意识啊，咱们初中去求线段长啊，一定要学会去 构造直角三角形，也就是说把咱们的线段放到一个特放到一个直角三角形当中，咱们才好求。 所以我从 m 点呢，这样垂直做了一条垂线段之后呢，哎，你看看能够得到一个什么模型，我单独把它拆出来，我们仔细的看一下， 这个是 n 点啊， m 点在这 f 点之后呢，我们一条垂线段坐下来啊，四十五度，有了同学， 垂直有了，那其中的这个 g m f 也是四十五度的话，请问这个 n m g 是 不是非常好理解 得到一个三十度哦，所以这里面这个模型你们也是无言少啊，左边是个三六九，右边是个等腰直啊，这两个直角三角形有一个公共边贴在一起，我们就把它叫做背靠背模型， 哎，你看它多形象，两个直角三角形有一条公共边贴在一起背靠背， 那么这个背靠背啊，它左右两边都有一个固定的比例，那就叫做之一求 n， 你 想求几个你就求几个哦，所以我们顺势来看一下， m f 刚刚是根号十，没问题哦，所以这条公共边是关键啊，那我顺着再把这个公共边 m j 求出来， 是不是就得用大边去除以这个分数？哎，大边到，小编我们注意是做除法啊，得到了一个二分之根号五，没问题。紧接着啊，其实这道题我觉得刚开始有些同学可能会算的晕一点，为什么呢？因为这个 m j 啊， 他正好是角 n 是 一个六十度所对的直角边，我们要求的这个 m n 呢，是三六九当中的斜边，所以我们通常情况下是不得先把最短的这角边求出来，那我们就来看看由 m g 到 n g 还是大边，求小便作除法 哦，除以根号三。在这我想稍微带你们做一下这个运算啊，所以我们分母由梨化之后，应该是六分之根号十五，分子分母同乘根号三，所以 m n 应该是这个最短边的两倍，最后结果应该是三分之根号十五。所以呢，我们的花样再多，它到最后呢，离不开咱们几个基础模型三六九 呃，等腰值一线三除以值加一个背靠背，这道题就可以得到完美的解决啊。呃，可以关注一下我的账号，然后咱们后续会更新更多的讲解视频。

hello， 同学们，大家好，我是数理化白老师，今天继续和大家分享数学八上有关于分式的计算和因式分解啊。那么接下来我们看给出的这两道题啊，那么十九题第一问是因式分解啊，那我们看这个题， 呃，先看一下啊，题中给出的是三项，有两项是平方，所以我们大概率是要看公式法，那么公式法的话，它其实平方前面是正数，对不对啊？但是它都是负数，这题我们可以先提出一个负一，对不对啊？先提出符号，然后调整一下位置， m 方，呃， 加二 m 加上加二 m， n 加 n 方啊，所以这就是我们学的那个完全平方公式啊，就是负的 m 加 n 的 完全平方。好吧，哎，第一个比较简单，我们看第二个，先化简再求值 啊，那么就是让我们呃，乘法计算啊，对不对啊？说我们看第一个 啊，先看先化减下试试啊，他前面前面是一个公式啊，就是 x y 的 完平方，嗯，是一个完平方公式，后边是一个平方差公式啊，就是 a 加 b 乘以 a 减 b， 所以 这我们可以打开一下啊，就是九倍的 x 方减去二 x y 加 y 方，对吧？然后减去，这一定要括号啊，嗯，就是三 x 的 完全平方减去 y 的 平方，对吧？我多写一步啊， 然后我们再把括号给打开，就是九 x 方减去十八 x y 加上九 y 方，然后这边应该是减去九 x 方加 y 方了，对不对？然后我们合并一下同类相啊，就是十 y 方 减去十八 x y 啊，然后题中说 x 等于二分之一，然后 y 等于一，那这样的话，我们原式等于多少呢？来代入的话， 就是十乘以一的平方减去十，八乘以二分之一乘以一，这我们算一下，应该是十减去九等于一。好吧，我们看二十题，二十题主要是有关于分式计算的这一块啊，那我们先看第一个。 呃，前面这个应不用化解了，对吧？就是二分之一 x， 然后乘以 y 的 负二次幺，后面这个我们可以把它看成是 g 的 乘方，对吧？那就是给它写成是负二的 平方， x 负二次幂的平方，然后是 y 方，那就是二分之一 x y 的 负二次幂，这是不是乘以四了？然后是 x 的 负二 负四次幂，然后是 y 方，这样的话，我们其实可以变成单项成单项了，对不对？那么系数和系数相乘 可以理解，二分之一乘以四，那就是二，对不对？然后 x 和 x 负三负四次密，那就是 x 的 负三次密，然后 y 的 负二和 y 的 二，那就是 y 的 零次密， 对吧？那这样的话，我们其实就有多少了，就是二 x 的 负三次密啊，然后我们写成分数格式啊，就是 x 三次密，分之二，好吧， 嗯，接我们看后边，先化简再求值。这我们得先通要分，对不对啊？ x 和 y 的 最简公分母就是 x y 啊，上边应该是 x 方，然后减去 x， y 分 之 y 方，这个比较简单了啊，然后除变成， 对吧？ x 比上 x 减 y 啊，这我们通要分 x， y 分 之 x 方减 y 方，那不就是 x 加 y， 乘以 x 减 y 嘛，对吧？然后乘以 x 比上 x 减 y， 然后我们约一下，约一下是不是最后是 y 分 之 x 加 y， 对 吧？呃，然后其中 x 的 负二， y 的 负一，那么这样的话，我们的原式它其实就等于负一分之负二加负一，对不对啊？ 那就是正三了。好吧，哎，就是我们计算这一块啊，还是需要大家多呃，多练一练啊其实。嗯，预算法则很容易理解啊，对吧？哎，需要的是大家必须要多练。好吧，点赞加关注解析有思路。

大家好，我是古老师，继续求解老古的二六版天津中考数学总复习的内部悬案。 这就来处理第一章第三讲板块二关于三角函数的真题。来，我们把真题演练剩余的几道处理完。第九题，来自外省的一道中考真题，同学从 a 处出发，向正东方向走了 x 米，到达 b 处，那 a、 b 长是 x， 然后从正北方向到达 c 处，已知角 b a、 c， 也就是角 a 等于阿尔法则 ac 的 距离是多少 好，也就是角 a 的 邻边是 x， 让我们求斜边，那斜边的长，我们就直接用 ab 比上角 a 的 余弦值即可，所以说就是 x， 再比上 cosine。 答案选择二 b 余弦函数的灵活变形。 第十题二零二五长春的一道题，某山峰的海拔为 m 米，那 b、 d 长是 m。 登山者到达了海拔高度为 n 米的 a 处，那 a、 e 就是 等于 n。 测得山顶 b 的 阳角为阿尔法，那角 b， a、 c 为阿尔法，求 ab 的 距离， 求 a、 b 的 距离。在三角形当中，我们根据长度的关系，这里面有矩形 a、 e、 d、 c， 所以 我们 c d 边等于 a， e 边就等于 n， 那 这样的话，我们这个 对边 bc 的 长度是 m 减 n 好， 要求斜边，那斜边 ab 的 长度呢？我们就用对边 m 减 n， 再比上这个角阿尔法的正弦 c 阿尔法好，那这样的话，我们 ab 的 长度就有了。那答案呢？还是选择二 b 好。十一题来自一个随州的模拟题，好 b、 d、 c 在 同一水平面上，然后在 c 处测得顶端 a 的 阳角为阿尔法角 c， 那 就是阿尔法 好。继续走了，距离为 a 的 长度 cd 长是 a 好， 这时候呢，再得到它的一个阳角为 b 塔， 让我们求 ab 的 高度。好，要求 ab 的 高度，我们可以先将其设为 x， 在 这里面我们就列等式，等式呢，就是 c d 减 b， d 等于 a。 好， 所以说我们先把这个故事的逻辑找到 c b 减去 b， d 长等于 c， d 长等于 a， 好， 要求 c b， 我 们就把它放在大三角形当中，知道了对边要求邻边的话，那就是正确的灵活变形，那就是对边 x， 再比上 tangent 阿尔法。 同理， b、 d 在 三角形 a、 b、 d 当中，用对边比上 tanthan 的 贝塔，就得到了它的邻边，所以说我们再用 x 比上 tanthan 的 贝塔，那就等于 a。 好， 要求 x， 那 我们就先进行通分整理即可。 好，此时我们 x， 其共阴式，那接下来括号里面是不就有了它一定是 tanthan 二法分之一减去 tanthan 贝塔分之一等于 a， 好， 直接计算，那就有了 x 乘以 tanthan 阿尔法，再乘以 tanthan 贝塔，好，分子就变成了 tanthan 贝塔，再减去 tanthan 阿尔法等于 a， 好， x 除以它等于乘以它的倒数，那就是 a 乘以 tanthan 阿尔法，再乘以 tanthan 贝塔， 再比上 tangent 贝塔，再减去 tangent 阿尔法。好，这就是关于它的一个变形的整理。那在这里面我们这个选项找到是不是就可以了？好，跟我们写的一样的就是四 d， 所以 说十一题的答案就有了， 好，继续更新剩余的几道基础的计算。十二题来自益阳的一道中考真题。好，平面直角坐标系中我们有点的坐标， a 点的坐标外轴上零斗一， b 点四斗一， c 点的五斗六好，求三角 b a c 求它的正弦值，我们需要将其放在三角形内进行处置，所以说我们过 c 所 ab 所在直线的垂线垂足是 h， 所以 说我们此时三角 b a c， 我 们就可以用对边 c h 比上这个斜边 a c 的 长度 好。接下来呢， c h 的 长是不是就根据 c 点和 b 点的坐标，它们送坐标的差值，所以说或者我们直接数格是不是就有了，所以说这个长度呢，我们标注它等于五。接下来呢，读 ac 的 长度，那不就是还是我们去找距离即可， 还是用勾股定力去求就行了。这个边长，那我们是也可以知道那 c a 的 水平距离是五，这也是五，所以说这就是一个等腰直角三角形，那它的求结处理是不是就直接是塞以四十五度的这个正弦值，那这样的话，我们求结出来的就选 c 好。接下来呢，就是天津的考察，也就是对于特殊角的三角函数，在选择当中一个三分的基础题，那我们就挨个求解计算即可。 它这个四十五度，这个值是一，再减去根号二。 cosine 四十五度是二分之根号二，这个求解出来就是一减一，那这个值是不是就有了，等于零？所以说选 a 下一个根号二，乘以 cos 四十五度是二分之根号二，再减一，那这个结果仍就是一减一等于几零。所以说十四题仍就选 a 好， 十五题，那 cos 四十五度，那就是二分之根号二，再加二分之根号二，那它的和呢？是不是就是一个根号二了？所以说选择二 b 好。接下来呢，我又找到了一个在模考当中的一个计算来，根号二乘以扣三引六十度二分之一，再减去三引四十五度二分之根号二，那这时候求解出来是不是仍就是零？所以说选择 a 好。 十七题，我们来看一道模拟题，三引四十五度的平方，那就是二分之根号二的平方，那就是四分之二，结果很明显，二分之一选择 a。 好，以上就是我们的这一个关于锐角三角函数，它在选择当中的一个基础考察，这十道题帮助你夯实练习， 尤其外省市的这些题可以对应到我们天津的二十二题，一些实际问题的处理。好，感谢大家持续更新。

大家好，我是老古，来到了老古的中考数学所复习二零二六版第三章第一讲圆的综合，最后一体立属于类型。八去构造含特殊角的直角三角形 是题，二零二四河东一模，也是一个满分的一个大题。来，我们看， 从图一开始入手题干的信息解读过 a 做圆 o 的 切线，那这时候连半径出垂直切线的性质定律，所以说第一个连接 o a， 那 此时我们 o a 一定垂直于 e f， 这里面有这样的角度的关系， d 是 弧 bc 的 中点，那这时候出现了等弧的问题，好标注在这里，弧 b d 等于弧 c d 好，下一个连接 d o， 那 这时候了连半径，那过圆心平分弧，那就是垂径定律，所以说这个 o d 一定垂直平分弦 bc 了， 好延长，那这时候 d h 就是 直径。好，接下来与切线也相交于点 f 好， 若角 a b h a b h 是 一个圆周角，它的度数是二十四度。接下来求角 e 的 大小来， 我们从结果分析，要求角 e 的 话，第一个呢，我把它放在 r t 三角形 e f g 中，只要求出 f 与它互余就可以了， 但是你 f 也不太好求，对不对？求 f 的 话，我怎么处置，还得需要再去找跟它产生联系，那现在联系比较紧密的，因为 f 又在 a o f 当中，所以说要求 f， 我 们只需要把 a o f 找到， 换一个思路，那在这里面有直角三角形，所以说角 e 与角 a o h a o f 属于等角的，与角，等角的，与角相等，所以说我们在这里面呢，角 e 就 等于角 a o f 了。 好，那角 a o f 又等于 a 角 abh 的 二倍，因为弧 a、 e、 h 所对的圆心是圆周角的二倍，所以说是二乘以二十四度，那他就有了是多少度？四十八度角， 所以说第一问就有了四十八度角好用的挺热闹，但是核心的点是很基础的 来，如图二所示，那题目中的信息很多都用不了了，只要知道 abc 在 圆 o 上，那这是圆心来， aoc 好， aoc， 弧 a、 c 所对的圆心 角 b 弧 a、 b 所 a、 c 所对的圆周，那它们相加是幺三八，所以说在这里面就有角 b 加上二倍的角 b 角二倍的角 b 就 角 a、 o、 c 就 等于幺三五度，那这样推出来，角 b 是 特殊角，四十五度角 好，角 b 是 四十五度角 a、 o、 c 是 九十度。又因为我们的 o a 等于 o， c 等于二直角三角形，那这时候半径是五 好， o， a、 o、 c 都是五，这个顺手写出来吧。五倍的根号二对不对？好， bc 的 长等于八，这叫 a。 标注已知信息，落实到图上，进行一些简单的进一步的处置。 还是求弦的长度，在这里面已经有一个特殊角了好，并且有这两个边，知道要求他不就是构造垂直的特殊的三角形吗？所以说下一步的处理比较 明确过， c 所 ab 的 垂线好，垂足即为 h， 在 这里面的两个这样三角形慢慢的处理 好。第一个我们就在 r、 t 三角形 c、 b、 h 中进行分析了。好，直接标注 这个角是四十五度，这是垂直等腰直角三角形斜边是八。那接下来我们两个直角边， b、 h 等于 c， h 等于八乘二分之根号二。答案是四倍的根号二 好，咱们就直接进行标注了， b h 是 四倍的根号二， c h 也是四倍的根号二。好，下一个在另外 r t 三角形 a c h 中好， a c 斜边五倍的根号二， c h 是 四倍的根号二。 那这时候是不是又是经典的五四三好？所以呢，我们 a h 的 长度就是三倍的根号二 好， a h 是 三倍的根号二。那最终我们 ab 弦就等于 a h 加 b h 等于四倍的根号二，加三倍的根号二。答案，七倍的根号二。 好，最终我们这个题求解完成。好，以上也就标志着圆的松和这个大专项结束，感谢大家继续更新其他的。

大家好，我是老古，继续更新老古的二零二六天津中考数学总复习内部学院第三章第一讲中考数学二十一题原则综合还是处理类型？二、这个类型呢，是我们去结合纯净定力构造直角、三角形、矩形来解边和角的问题 来专题演练。第十一题来自二零二四河北区二模的第二十一题，还是十分的大题 来。从图一开始，圆 o 中 ab 是 圆 o 的 直径，弧 bc 等于弧 b、 d 好， 出现了等弧。在这里面呢，我们就要去考虑等弧所对的圆周角啊，圆心角这些相等以及辈分的关系。 好，接下来呢，我们再看弦 cd 好 和 ab 相交于点 m， 且角 c、 d、 m， 角 c、 d、 b 是 二十二点五度。 好，那我们看第一个求角 a、 c、 d 的 大小和角 o、 d、 b。 好， 这个的大小。行，那这个标注起来呢，我们就简单分析一下即可。好，要求它的度数，我们就去想，哎，这个角等于哪个角啊？它是弧 a、 d 所对的圆周角，它一定等于角 a、 b、 d， 或者叫角 o、 b、 d。 好， 那 o、 b、 d 和 o d、 b， 其实这两个都属于等腰三角形里边的两个底角啊。所以说这个第一问，它求解的其实含金量呢，其实是不大的。角 a、 c、 d 等于角 a、 b、 d 也等于角 o、 d、 b， 所以 说最终要求的呢，这个角度其实是一码事。好，剩下来怎么求弧 c、 d 等于弧 b、 d 这两个弧相等。好，那接下来呢，我们就有了 c、 b， 弧所对的圆周角是二十二点五度，那 b、 d， 弧所对的圆心角就是这个圆周角的二倍。 好，就有了角 d、 o、 b， 那 就等于二倍的角 c、 d、 b。 好， 比如刚才已经说了这两个弧等，那这个等弧所对的圆心是圆周角的二倍。 好，二倍有了，那就是二乘以二点五度，好，这个就是多少度啊？是不是就是四十五度？好，他是四十五度的话，那也就有了。顶角是四十五度， 要求这两个等腰三角形的底角，那第一位里面就有的角 a、 c、 d 等于角 o、 d、 b， 那 就等于二分之一的一百八十度，再减去四十五，那就是二分之一百三十五了，那他等于多少啊？那就是六十七点五度，好， 第一问难度不大。好，那第一问里边关于这个等弧的处理，我们看第二问中是不是能得到一些思路的启发？ 好，还是 ab 是 圆 o 的 直径，那弧 b、 c、 b 等于弧 b、 d 好， 并且角 c、 d、 b 是 二十二点五度，好，它是二十二点五度，那刚才我们去求解的这个角它一定还是四十五度，那这两个底角呢？还是咱们六十七点五？不着急，看下面做的 或 c 所圆 o 的 切线是 c、 n， 那 我们还是说的见切线连半径出垂直， 好，接下来呢，我们就连接 o、 c， 连接 o、 c 之后呢，这个 o、 c 一定会垂直于我们的这个 h、 n， 这是切线的性质定律。 继续过 a 做 a h 垂直， c、 n 与 h， 好， 那这时候呢？这个角也是九十度，那接下来呢？同旁内角互补，两直线平行，所以说我们一定会有 o、 c 平行与 a、 h， 好， 这是边是有一个平行的关系的，来写在这里啊， o、 c 平行与 a、 h， 好， 接下来呢，我们知道 ab 的 长度，也就是它的直径是等于八，也就是半径是等于四， 接下来呢，要求的是这一段的长，这段的长去求，那你想想思路的启发是不是也得过它做垂直，想着能否构造我们所说的哎，矩形来进行处理，因为这里面有特殊角啊，对不对？好，怎么去处理？那接下来呢，我们就去抓住特征了， 弧 c b 等于弧 b d b d 所对的圆形角是四十五度，那弧 c b 所对的圆形角也是四十五度，所以说这个角也是四十五度，那好，这两个角都是四十五度，那我们就有了角 c o d 一定是九十度角，所以说角 c o d 是 等于九十度的。 好，那接下来呢，我们就利用到之前也讲过的，他俩平行，你这还有一个九十度，我们直接把 d o 延长与 a h 相交，那并不是直接过 o 所它的垂线来，我们延长 d o 交 a h 呢？与点 n 啊，不是已经有 n 了，那就是点 f。 来，我们就说明一下，这个角是九十度，因为这两个平行了，两只线平行，同位角相等，所以说这个也一定是垂直了，那四个角都是九十度，所以说我们现在呢，又出现了矩形， 谁啊？ o c h f 了，出现了矩形 o c h f 之后，剩下的呢？那 c h 不 就转移到了我们 o f 的 长度了吧，所以 c h 就 等于 o f 好， o f 怎么去求？因为我们这个是延长的，那 ab 这边一整是不是会有对顶角相等？ 所以说角 a o f 和角 b o d 就是 对顶角，对顶角相等的话，这个角也是四十五度，那这个是垂直，这个是四十五度，那直接对边是斜边的二分之根号二，一乘二倍的根号二， 所以说这个就有了，就是四乘二分之根号二，最终结果二倍的根号二。好，以上就是我们关于这道题的思路的处置，好，感谢大家后续持续更新。

大家好，我是老谷，继续更新老谷编写的二六中考数学总复习内部选天津专版的还看第三章第一讲语言的综合。我们类型似特殊三角形的处理问题， 来到了真题演练的第二十题。是题二零二三河东一模的第二十一题仍就是十分的大题。来，我们从图一开始入手， a、 b 为圆 o 的 切线，那还是所说的见切线连半径出垂直切线的性质定里就有 o c 垂直 a、 b， c 为切点，然后过 d 点数， d、 f 垂直 ab 好， 有垂直同位角相等，两直线是平行的关系， d、 f 和 o、 c 是 平行的，有平行的关系就会转移角出内错，同位同旁内角的数量关系 好，下一个如图一所示。角 d 的 度数是三十四度，那我们把它写在这里，这个是角 d 三十四度。接下来求角 d、 e、 o 好， d e、 o， 它的度数是多少？这就是涉及到倒角和划规的思想的。 角 d、 e、 o。 如果我们记为 r 法的话，根据我们读题， o、 c 平行 d、 f， 那 角 d、 o、 e 一定等于角 c、 o、 e， 这叫两直线平行内错角相等 好求它的度数，也就是求角 c、 o、 e 的 度数。 c、 o e 和 c、 d、 f 就 有同弧所对的圆心和圆周的辈分关系了。 所以说这个题我们思路指出出来了，角 d、 o 等于角， c、 o、 e 等于二倍的角 c、 d、 e 好， 后者用到了同弧所对的圆心是圆周角的二倍。 前一个利用到了两直线平行内错角的关系好，这个角是多少度，其目中已知已经得到了。所以说最终我们的答案 d、 e、 o 就 等于二乘以好，三十四度，那他的答案呢？就是六十八度角， 这是第一个，难度不大来看第二个，仍旧落实到我们的题干。 ab 为圆 o 的 切线，渐切线连半径出垂直，所以说连接 oc， oc 呢，会垂直于 ab。 好，接下来呢，我们仍有过 d 做了 d f 也垂直。 ab， 好， 两个角都是九十度，同旁内角互补，两直线平行，所以说 o c 一定还会平行， d f 还会有边角关系的处置， 下一个有一个辈分关系，角 d o e 等于二倍的角 c j e。 好， 接下来呢，我们这个角 c j e 如果记为阿尔法的话，那也就是角 d o e， 它的度数呢，就是二阿尔法，对不对？ 好，接下来呢，我们又知道 c e 所对的圆心角 c o e 等于角 c j e 的 二倍，所以这个角用符号表示，它也是二 r f。 又因为我们已经有了这个平行的关系， o c 平行 d e， 那 他被这 e 所截形成的内错角相等，那角 o e d 就 等于角 c o e， 它呢也是二 r f。 好， 那我们知道三角形等腰 是谁呀？三角形 o e d， 这个三角形 o d 等于 o e。 好， 根据这两个角已经相等，我们已经知道等边对等角，好，那这时候呢？等角对等边 o d 是 等于 d e， o d 呢，它又等于 o e， 最终三个边相等，所以 我们三角形 o d e， 它就是一个特殊的三角形。三角形一定是都是相等的， 或者是我说这个是和这个相等，那这个角呢，也是二 r 法，三个角都是相等的，都是六十度。好，二 r 法等于六十度，所以说对应的这个 r 法角呢，就是三十度了，后续的处置就简单了。 好圆 o 的 半径是五，让我们求 c j 的 长度，那就是一比一比根号三。如果写过程的话，肯定我们还要用到一个 a 垂径定里过 o 做它的垂线垂足为 h 的 话，那我们题目中最终要求的 c j， 它就等于二倍的 c h。 好 在 r t 三角形 o c h 中我们对应的边 o c 的 长度等于半径等于五，这个底角它是三十度角。所以呢，我们 c h， 那 就等于五乘以二分之根号三，所以我们这个 c j 就是 二乘以二分之五倍的根号三。答案就有了，五倍的根号三。好测，重用到了平行关系的转移。还有一个特殊角，难度很简单，感谢大家。

大家好，我是老古，继续更新老古编写的二六版天津中考所复习内部学案第三章第一讲圆的综合中考数学的二十一题的位置。接下来呢，我们还处理类型二，它是综合到垂直定力去构造这样三角形矩形去处理的。 来。真题演练第十题试题源自于二零二三和平区初三数学三模的第二十一题，满分仍旧为十分。来，我们读题分析三角形 abc 中，从图一开始好， ac 等于 bc， ac 等于 bc， ca 等于 cb， 这是等边对等角。等腰三角形 好过 d 做圆 o 的 切线，交 b、 c 于点 e， 那 这时候呢？切线就是 d、 e。 好， 还是我们所说的见切线连半径出垂直，那此时呢，我们连接 o、 d， 那 o、 d 此时一定会垂直 d、 e， 那 这个角呢？就是一个九十度。 好，继续我们看，若 a、 c 为圆 o 的 直径，那 c， a 为直径，且角 b、 d、 e， 它的度数是二十五度。好，我们来进行标注， 这个是二十五度角。接下来呢，我们让求解角 c 的 大小来进行分析。要求解角 c， 它是在咱们园内，它属于一个圆周角。好，这是一个处理的思路。好，还可以怎么去处理啊？就是我们所说的看有没有一些相等的角， 因为这里面的太多的等腰了，本身圆里面也有等腰，那我们就进行分析了。好， c、 b 等于 c、 a， 那 两个底角，如果我都记为 r 法的话，这个是 r 法，这个是 r 法。又因为圆内半径相等， o、 a 等于 o、 d， 所以 说这个角也是 r 法。 好，两个角都是 r 法，那 o、 d 和 c、 b 一定平行的关系。因为是内同位角相等，两直线平行，所以说要求角 c 的 大小，那我们只需要去求角 a、 o、 d 的 大小即可。 好角 a、 o、 d 的 大小，我们只需要把底角求出来，然后顶角也就出来了，怎么去求？因为这个角是平角，一百八角 o、 d、 e 是 九十度，那剩余这两个角属于互余的关系， 互易的关系。角 b、 d、 e 是 二十五度，那直接缩差九十减二十五，那这个角呢？ r 法就有了。 r 法是多少度啊？我们写在这里，他是不是就是六十五度？ 好 r 法是六十五度，等腰三角形当中，那他的顶点角 a、 o、 d 就是 一百八，再减去二倍的 r 法，那就等于一百八十度，再减去我们的一百三十度。所以说第一问是五十度，五十度角 c 和我们这个角 a、 o、 d 是 相等的，因为刚才已经正平行内，同一角也是相等的。好，第一问有了好第一问的结论，有时候一些思想呢，可以在第二问中进行一些迁移来继续看 ac 等于 bc， 那 这时候呢，我们还是等边对等角，两个角是底角，继续好。 ab 与圆 o 的 交点是 d 点过 d 点做了圆 o 的 切线好，还是我们所说的见切线连半径出，垂直连接 o、 d， 那 此时呢，我们一定会有 好 o、 d 垂直于 d、 e， 并且呢，在这里边呢，我不往下看，条件还会有着这个角 b， r 发角 a， r 发 好角 o、 d， a 也是阿尔法好，这里面呢，同位角相等，两直线平行，所以说在这里面呢，根据已知，我还仍旧把 o、 d 平行 c、 b 这个条件找到 好，继续分析。 b、 c 与圆 o 相切一点， f 还是我们所说的渐切线连半径出垂直，此时我们再连接 o f， 那 这里面呢，又有直角了， 好，这个角是直角，刚才我们所说的他俩平行的关系，那这个角也一定是直角了，叫两直线平行，同旁内角互补 好，这两个角是直角，一、二三，三个角是直角的，四边形是矩形，所以说这个角也一定是九十度。所以说在这里面呢，我们已经会有一个特殊的平行四边形的，那就矩形 o、 d、 e、 f， 好， 这就是我所说的我们对于题目特征 第一遍，第二遍的联系和标注的处理来，接下来呢，他求啥？其实你就会哎，丝滑的求解出来了，来看下一个角， b， d， e 好 角， b， d， e 这个角呢，现在变成了是多少度角啊？十五度角好，它是十五度好，并且呢，我们这个 a、 c 边， a c 边是等于六 好，整个的边长呢，我们知道的是六好，求他的半径和 b 的 长度好，那肯定是在里面去猜想，证明特殊角 好角 b、 d、 e 是 十五度，跟第一本中当中的一样，这里面呢，有平角一百八，这个是九十度。所以说我们这个 r 法呢，就是与十五度是互余的， 那互余的话，这个 r 法角是多少度呢？就是七十五度好， r 法是七十五，这是七十五，那顶角呢，就是一百八减七十五乘以二，那这个顶角呢，就是三十度角，那两直线平行角 c 也一定是三十度角了，好，剩余的都好求了， 求半径半径 o， a 是 r， o f 是 r， 这个是三十度。三十度角所对的直角边是斜边的一半，所以说 o a 是 r， o c 是 两个 r， 那 接下来呢？ r 加 r， 二， r 等于我们对应的 a， c 等于六好，这么整理出来， r 的 值就等于二 好。第一问 r 的 就有了。下一个求 b e b， e 是 在这一块，它并不是我们所熟悉的特殊的，特殊，指的是不是三十度， 四十五度这些，那还是考虑到和差，用总的减去 c， e 是 不是就可以了？来，我们把这个目标先整出来， b 边就是 c， b 减去 c， e 好 这些了，或者我们可以说是 c， b 减 cf， 再减 ef， 好， 下来呢，我们就读题标注即可。 好，下来呢，我们看半径是二，那这时候呢，这些边长都有了。来，我们就读题标注， o， a 是 二， o d 也是二好，接下来呢， o， f 是 二， o c 他 是四好，这个长直角边是短直角边的根号三倍，二倍的根号三好。 e， f 在 矩形当中，他等于 o， d， 这个长是二 好。最终呢，我们 c， b 等于 c， a 是 六，六减二，再减一个二倍的根号三就有了，所以最终他就是六减二，再减二倍的根号三。整理一下，四减二倍的根号三好。这就是第二问的处理 好。藤木的题目的特征，题目的处理以及它结果的联系，一二问之间的关联，我们都可以丝滑的求解出来。好，请持续关注。

直角三角形，孩子每次都能做对吗？不一定哦，直角三角形在天津数学中考大题中的难度算是比较低的了，虽说满分率也比较高，但是呢，每年都会有一些成绩好的孩子，最后，哎，做不出来，或者说得不到满分，然后成绩差的可能就是没有思路。 那为什么会有这个问题呢？首先解直角三角形，他有一个很大的扣分点，就是计算，很多孩子平常做题他会依赖于计算机，所以说自己比算的时候很少算，算这道大题的时候他就三位数乘以四位数，四位数除以三位数就不会算。 所以说，孩子们平常在练到这些题型的时候，调计算器啊，自己比算练练手感。还有个呢，就是，呃，平常做题可能都简单的要考试给你一个新的题型，你一下子不知道思路是什么了。所以在做解直角三角形的时候，要学会总结思路，你可以总结出一套自己的一个方法， 自己的一套通解，然后让每个题型都会写，这样子考试时候就不会卡壳了。都可以，这道题不能掉以轻心，毕竟中考十分呢。

大家好，我是郭老师。书接上文继续把我们二六版中考数学所复习天津专版的这个冲刺选案，我们第一章第三讲板块二、三角函数的这个真题演练我们进行解决。来看在真题和模拟题当中的一个考察， 三角形 a、 b、 c 中角 c 是 九十度角 b 是 二十度 a， c 等于五，则 a、 b 的 长是等于几 好，在这里边呢，我们就根据题意把相应的图画出来即可。这是角 c， 这是角 b， 这是角 a。 好， 由题意可得来，我们标注即可。 ac 的 长，这个边是五好，这个角是二十度角，让我们求 ab 的 长，这时候我们想要表示 ab， 知道这个角是二十度，知道它的对边，要表示斜边，就是我们所说的对于三角函数的灵活应用即可。 ab， 我 们就用 a， c 比上这个角的正弦值好，所以说答案就有了，五比上 c， 二十度，答案选 c 好。第二题二零二五红桥区的模拟题，三角形 a b、 c 中角 b， a， c 是 九十度 a、 d 垂直 bc， 所以 说在这里面呢，会有一、二、三三个直角三角形。 下列说法正确的是来看第一个三 b 角 b， 它的正弦值是在这个三角形中去看，或者是在这个三角形中去看， 来看他说的这个 bc， 那 bc 呢，是放在大三角形当中的，也就是斜比、邻，那这个 a 肯定是错误的了。 好。二、 b 扣三 b 角 b 的 余弦好，很明显，他放在这个小三角形中去看，那角 b 的 余弦值应该是他的邻比斜，应该是 b， d 比上谁 ab， 那 在这里面呢，他说 a、 d 比 ab， 那 就是错误的。 c。 泰特纳 c， c 的 正切好，正切就是对比邻，所以说可以是 a， d 比上 d， c， 也可以是 ab 比上 a， c， 那 它这个 c 就是 错误的，那这样的只有 d， 我 们看 d， 泰特纳 c 对 比邻 a， d 比 c， d 好， 在这本三角形当中去看的没问题。好，第三题二零二四和平区的一个模拟题 啊，直角三角形当中又有高线了，所以说这就是三个直角三角形。已知角 a 的 正切值是四比三，来我们看一下角 a 的 正切值，对比邻是四比三，那接下来 cos 角谁 b， c， d 好， 它的值是几？ 那我们就用同角的与角的关系去证明一下，角一加角二是九十度，角一加角 a 也是九十度，所以角二等于角 a 好， 求 cosine 角 b c、 d。 所以 说这个题我们就划归成了求 cosine a 的 大小 来。我们标注它的 a 是 对比零，是四比三，所以说我们这个边是四，这个边是三，这个边是五。好，角 a 的 余弦那就是零，比斜，那就是三比五， 那这样的话答案就有了。二 b 好， 这第三题。再来看第四题，还是一道模拟题，考察三角函数的灵活应用， 测得 bc， 为了测 bc 的 高，再据他的五十米的 a 处，所以说读题标注我们 a， c 长是五十，这个角度呢是阿尔法角，接下来求 bc 好， bc 的 话，我们就用正切灵活的变形，那它就是邻边，乘以这个角的正切值就行， 邻边是五十，所以说是五十倍的 tanthan 的 阿尔法单位是米，所以说选 a。 第五题来自广西的一道真题，角 c 是 九十度， ab 是 七， ac 是 三。好，那我们就直接画图，把这个抽象的文字用图像描述出来， 这个是 c， 好， 接下来呢，我们有 ab， 好， 那就是斜边儿了， ab 长是七， ac 长是三，求角 b 的 这个什么值啊？正弦正弦对比零，三比七，所以说第五题也就有了二 b。 第六题来看云南的一个考察题，角 c 是 九十度角， ab 是 十三， bc 是 五，经典的勾股数十三五，这个是十二，好，求三 a， 三 a 就是 对比斜，五比十三，所以说答案就有了，是四 d， 好， 这是第六题。第七题来继续来看临下周的一个考察， ab 等于 ac， 这就是等腰三角形角 b， 它的正弦值是五分之四，所以说在这里面呢，我们就构造出直角三角形，在这里面呢，也有三线合一的。处理 好，接下来要求 bc 的 长，那我们在这里面呢，用一次三角函数，斜边是五，那三根 b 等于五分之四，所以说我们的角 b 的 对边 a， h 就是 ab， 再乘以三根 b 即可，所以说是五乘以五分之四，所以说长是四。在两个小三角形当中，用一次勾股定律 好，斜边五，这个直角边四，那这个直角边就是三，所以说 bh 是 三，三线合一， c， h 也是三，那三加三等于六。第七题就有了选 b， 好， 第八题，长春的一道题来，我们看是火箭发射的，当上升到 a 点时，海平面 r 处雷达测得 r 到 a 的 距离，也就是线段，这个长度是 a 千米， 此时阳角为 c， 它角让我们求这个高时极，所以说在这里面我们考察的对于这个三角函数中正弦的考察， 正弦呢，是我们的对比斜，那其实你熟练之后，直接我们就有了，它就是斜边乘以这个角的正弦值即可。所以说在这里面第六题呢，就选 a 好， 我们就是 a 乘以 c， 它 好。以上就是前八道题一个熟练掌握，最终呢，把你这个正弦、余弦正切，他们相应的变形灵活转化好，接下来继续更新剩余的是题。