济南中考数学真题几何占比多少分

济南有初中生的家长看过来，中考总分构成先搞懂，早规划早拿分。 济南中考总分是六百六十分，语文数学英语是各一百五十分，物理呢是九十分，化学六十分，体育六十分， 文化课占大头。体育也别忽视，平时多锻炼就能稳拿分。初二生的会考是进入中考提前要抓牢。你家娃初中上了吗？欢迎留言，方便查看相关信息！

济南市育英中学，二零二五年中国数据非常亮眼，最高分是六百二十八分，比市状元低了一分。六百分以上的有四十二人，五百九十五分以上的是七十二人，五百九十分，五百九十分以上的是一百六十人。 二零二五年山东省实验中学招收统招分数线是五百九十一分。另外呢，他还获得了省实验中学招收统招分数线是五百九十一分。另外呢，他还获得了省实验的推荐生一个，占济南市推荐生名额的百分之三十。 与育婴中学相邻的实验初中，二零二五年参加中考的总人数呢，是四百人。高中上线率达到百分之九十五。六百一十分以上的呢，是十十二个人，五百九十分以上的是五十个人，占到本校参考人数的百分之十三。你还想了解哪个中学的数据呢？ 不要告诉我是某个非常出名的民办中学，因为我所认识的所有人里边，我都建议他不要上这所中学。呃，想要知道具体是谁，评论区留言，我来回答。

在济南考上高中，学生水平是什么样？超过百分之六十多的一个同龄人，很多人可能不信真能吹，但事实就这样，如果说你考公办的高中，你可能会超过百分之七十的初中同龄人， 五百来分的水平，在济南只能上七九十一回，而且还得靠指标升啊。这就是现实，我们每年啊，济南的中考的高中提档线四百五六左右，过线呢，可能会到百分之六十啊， 总共的名额在那摆着呢，一计算就出来。如果说孩子成绩水平只有四百五到五百之间，你可以考虑走一下美术中考特长生，拿这个事情当跳板，有机会冲更好的这个公办学校。 美术中考特长生啊，需要提前去集训，利用我们周六日以及放假的碎片时间学习一下什么素描色彩，速写。中考结束之后啊，如果说文化课过关了，然后这个专业课也过关了，就可以被学校录取，可以了解了解。

本视频耗时两百年，因为涛哥上辈子也是数学老师关于三角形的方方面面第一期挑战，简简单单六道压轴题是天才，三分钟就搞定。看题，这道题呢，它的考点其实并不是非常的复杂，就是考我们都熟悉的三角形全等和斜边 中线，哎，那么这个斜边中线当然会和中点有关，三角形全等呢，就是他的判定和性质了。那么 既然题目中啊，没有让我们去证明三角形全等，那我们对于三角形全等的处理，一旦有了全等三角形之后，一定就要干什么去用三角形全等的性质了，比如说边角都相等的关系。 好，我们先来看啊，给出一个等腰直角三角形，直角是角 a， 那 么两个腰呢，都等于五，同时 a d 等于二，那 dc 呢？就等于三，这没什么好说的。一点在 a b 上运动，当一点运动到某一个位置的时候，把 e e 给连起来，同时取到 d e 的 中点 g 点和 c b 的 中点 f 点，那也就说这个 c f 永远是等于 b f 的， 也就是说我用蓝色标一下，这两个蓝色的点是中点， 同时呢还有 a g 和 f g 相等， a g 和 f g 相等，那实际上根据斜边中线，你看这个 g 点是这个直角三角形， g 点是中点，斜边中线等于斜边的一半，所以这四条红色的线段是不是都相等啊？ 好，现在要求什么呢？要求 d e 的 长，求这条斜边的长等于多少呢？ 我们看啊，在这样一个蓝色的直角三角形中，要求斜边的长。我们知道了一个直角边等于二，也就是说，如果能够把 a e 给求出来，是不是斜边就可以直接求了？ 那 a e 怎么求呢？要求 a e， 我 们可以再做一个转化，实际上就是求 e b 吧。哎，把 e b 等于多少给求出来？ a b 是 等于五的嘛，所以 a e 就 能求。好，接着该怎么办？ 接下来其实我们的做法呢？这个辅助线很多同学能够想到的是把 df 给连起来，把 fe 也给连起来，这两条红色的线连起来是不是很容易想到的？你看看，因为， 因为这是一个等腰三角形，这也是个等腰三角形。根据两个等腰三角形或者斜边中线的逆定律啊，我们是不是很容易得到这个角一，这个是角一，这个角二，这个角二，角一加角二，是不就是九十度啊？因为两倍的角一加两倍的角二是等于三角形的内角和一百八，所以一倍的角一加角二呢，是九十度。哎， 这里就是九十度的关系。好，那再接下来我们还是要求 e b 对 不对？刚才这个方向，这该怎么办呢？这个辅助线就有同学忽略了，其实下一条辅助线还是利用斜边中线。我们这道题利用了几次斜边中线呢？ g 点是这个绿色三角形斜边的中线， g 点是上面这个绿色三角形的斜边中线。两次了吧，第三次我用绿色的辅助线把 a f 连起来，你看这个大的绿色的等腰直角三角形 f 点是不是也是斜边中线啊？ f 点是不是也是斜面的中点啊？所以 a f 就 等于 b f 吧，也就说途中这两条绿色的线是不是就相等啊？好，这两条绿色的线相等之后，接着就好办了，你看这个角是不是四十五度啊？没问题吧，因为这个大的三角形是等腰直角三角形，根据三线合一嘛， 而这个角是不是也是四十五度啊？所以角 d、 a、 f 是 等于角 e、 b、 f 等于四十五度的。 同时上面这个角一等于角二，有没有发现角一是等于角二的？为什么？因为中间这个角叫角三的话，我们根据同角的与角相等，角一加角三是不是九十度，角一和角三互余， 角二加角三是不是也等于九十度啊？这很容易发现的吧，所以角一等于角二。好，根据刚才这三组条件，是不是就是 a、 s、 a 啊？那两个三角形 d、 a、 f 全等于三角形 e、 f 这个全等三角形 就非常的隐蔽了，那如果这两个三角形全等 e、 b 是 不是就等于二了？那么 a、 e 是 不是就等于三呢？那这个直角三角形蓝色的斜边就是 根号，下一是三就做完了。好，这道题的关键呢，就是要能找到这两个全等的三角形。这两个全等的三角形的寻找啊，我们多次用到了斜边的中线， 那为什么要想到斜边中线呢？因为有关键词中点，并且在直角三角形的斜边中点上。所以呢，这道题大家好好的体会一下，其实并不难啊，只是说这个斜边中线再一次让大家体验到了它的隐蔽性 啊，大家好好体会一下中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题汇总至今全网最详细的分类， 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。这道题的特点呢，他考察一个几何模型，叫绊脚模型。 关于绊脚模型啊，我在摆地闯关，还有之前的摆地冲刺网课中呢，都有讲到了，那这里呢，我们就直接去应用。那这个绊脚模型，它的特殊之处啊，在于，并没有直接给出，而是我们需要通过添加辅助线，哎，然后构造出绊脚模型。 好，我们先来看题啊，这个题目其实并不复杂，给出一个正方形，然后呢，有几条线段我们是知道它长度的， b e 的 长等于五， f d 的 长也是等于五的，以及 c， n 的 长等于八。好，加上这个正方形的条件以及垂直的关系，哎，中间是个垂直的关系。好，要求 a n 的 长， a， n 呢，就是蓝色这条线， 那么要求 a n 这条线段的长。我们很容易想到啊，这个 a n 是 在这样一个直角三角形中，那也就是说，如果 d n 和 a d 这两条直角边都知道，那就可以用勾股定律求了。那么很容易想到的就是把 e c 设为 x 的 话，那么根据 正方形的边长是五加 x， 所以 d n 的 长呢，就是 x 减三好， 那么 a d 的 长呢，也就是五加 x， 对 不对？那换句话来讲，求 a n， 那 就是要求 x 等于多少吧，你把 x 求出来了，那么用勾股定力，一切迎刃而解。好，那如何求 x 呢？要求一个未知数 x， 我 们肯定要构造一个 方程吧，哎，左右两边如果都含有 x 或者是 x 的 代数式的话，就可以解方程了。好，那关键就是如何构造这个方程。 分析到现在，我们发现其中有一个条件始终都还没用上，是什么样的条件呢？就是中间这个垂直的关系，大家发现了吗？而且啊，我们说 f d 和 b e 这两条线段相等，哎，这个条件是不是也没有用上啊？ 那大家想想啊，两条线段相等，那如果把这两条线段装到两个三角形中去，那这两个三角形是不是有可能是全等的关系啊？这就是这道题的解析思路的关键，也就是你能够正确的画出辅助线的关键了。好，我先把这些都给擦掉啊， 把这个 x 减三留着。那么大家看啊， f d 和 b e 这两条红色的线段，注意啊，把 a、 f 连起来，再把 a、 e 给连起来， 我们很容易发现，上面这个绿色三角形和下面这个绿色三角形就是全等的关系了，也就是说三角形 a、 d、 f 是 全等于三角形， a、 b、 e 的 这两个三角形全等， 这个很容易发现吧，这个我你看呢，你可以用 s a s 来证嘛，因为 f d 等于 b、 e， 同时直角等于直角，对不对？所以呢，还有一个正方形的两条边嘛，相等嘛？好，所以这个就是 s a s， 所以 就不再对数了啊。好， 这两个三角形全等，那我们记这个角是角一的话，这个角也是角一，那中间这个角呢？我们记作角二，我们知道角一加角二是不是等于九十度啊？哎，我都画出来了，那么上面这个角一加角二呢？这是不是也就是九十度啊？好，我把这个角一角二呢就用九十度来表示了， 然后接下来发现了没，这里有垂直的关系，以及根据 a f 等于 a e， 那 么这个红色的啊，这个红色的三角形，直角三角形 r t 三角形 e a f 是 不是为等腰 直角三角形的？哎，好，那么既然是等腰直角三角形，而且斜边或者叫底边的了啊，底边上的高，大家发现没？垂直的关系，那是不是又是底边的中线啊？等等等等那一系列的关系。最后我们可以发现这个角 就是四十五度了，这个角呢也是四十五度，也就是说三线合一吗？ am 就是 角平分线也是高，也是中线，对不对？好，我们把上面这个四十五度给擦掉，这些都给擦掉，都给擦掉，那么根据这个角是四十五度，我们是不是就出现了 绊脚模型啦，我们要的绊脚模型是不就出来啦，这个角是四十五度，然后在这个蓝色的正方形里面，然后我们绊脚模型的处理方法是不是就旋转呐，把下面这个三角形蓝色的 a b e 旋转九十度到上面去，然后呢就会有这个蓝色的三角形和 把 e n 连起来，和这个蓝色的三角形就全等了吧，半角模型得到的，所以三角形我写上了 a e n 是 全等于三角形， a f n 的 两个三角形全等对应边是不相等啊，那么 f n 这条边是不是等于 e n 这条边呐？那么 e n 等于 f n 等于多少啊？ x 加二好了，那么我们就把 e n 写上 x 加二。最后我们再来看看，我们不是要求 x 吗？还差一个关于 x 的 方程对不对？那看这个红色的 直角三角形，是不就有了勾股定律构造方程啊，于是 x 平方加八的平方等于 x 加二的平方，哎，这是不是构造了一个 x 的 方程？用勾股定律很容易解得，这实际上是一个一元一次方程，因为 x 的 平方消掉了 x 就 等于 一十五。好， x 求出来了，等于一十五，那么这个正方形的长和宽是不是就都求出来了？好，总之呢， x 等于十五之后，这段 d n 的 长不是 x 减三吗？就变成了一十二，那么 a d 的 长呢？就变成了二十。好，要求， a n 是 不是再用一次勾股定律啊？ 所以 a n 就 等于根号下的四百，加上一百四十四嘛，也就是二十的平方加十二的平方，很容易得到 四倍根号加三十四。哎，这道题呢就做完了。好，这道题呢，我们简单的回顾一下，一开始已经分析了，要求 a n， 其实就是把 x 给求出来，对不对？求这个 x 就是 寻找一个方程，这个方程最后呢，还是根据勾股定律得来的，也就是这样的一个红色三角形。大家看了右下角这个图中这个红色的三角形， 那么这个勾股定律，本来这个 x 和八是有的，关键就是个斜边， x 加二怎么来的？这个 x 加二实际上就是等于上面这一段，上面这一段呢？因为这段是五，这一段呢，是 x 减三，对吧？那么是根据上面这一段得来的。那为什么上这条 f n 是 等于 e n 的 呢？因为根据半角模型，哎，这一对三角形全等，那为什么会有半角模型呢？因为这个角为什么是四十五度呢？根据三线合一，哎， 所以这道题呢，还是有一定难度，但是究其本质来讲啊，还是考察我们的半角模型好，只是这个半角模型的四十五度角需要我们先正出来，而且呢，它的一个这条绿色的线呢，还是一条辅助线 啊？那这条辅助线是怎么来的呢？这两条绿色的线，那是因为 b、 e 等于 f、 d 有 两条相等的线段，把它们分别装到一对全等的三角形中去，也就是构造出了我用绿色表示一下，这个绿色的， 这个绿色的上下两个绿色的三角形，他们全等啊，那总之呢，这道题啊，大家好好体会一下，每一条辅助线，每一种方法，每一个模型为什么要用它，这个辅助线怎么来的都是有原因的，所以这个思路大家一定要好好体会。 这是一个典型的逆等线问题。关于逆等线的问题，我在往期的课程三角形全等和相似专题中有详细的介绍，包含着所有类型。这道题啊，如果你不会逆等线，你会做的很复杂。 关于逆等线啊，如果是我的网课用户，你没有找到，我可以发给你给出。等幺直角三角形，两个幺是四， 然后有两个洞点，满足一比二分之根号二的关系，也就是说 c、 e 的 长为 a 的 话， a、 d 的 长就是二分之根号二倍的 a， 那 这就是一个典型的加权逆等线。 加权逆等线想都不用想，构造的是三角形的相似，那就是左边这个三角形要相似于右边这个三角形。 如何寻找左边的目标三角形我们也有直接的套路，首先目标三角形要包含逆等线，也就是 c、 e， a、 d 这两条线段，同时还要满足三角形相似的判据，那我们就去找固定的角和固定的边， 这个角是四十五度是很容易看出来的，以及 a、 c 是 固定的边是多少四倍根号二的长，那也就是说我们就找到了边角边这样一个目标三角形 s a s 的 判据。那第一个左边的三角形就出来了，是三角形 a、 e、 c 要相似于右边的三角形，是我们通过辅助线构造出来的。右边的三角形首先也要包含我们的逆等线 a、 d， 他们的相似比呢？是一比上二分之根号二。哎，这相似比也告诉我们了，一比上二分之根号二，我就先写出来，那这个三角形该怎么构造呢？首先找到这个四十五度的角，是不是很容易想到做一条平行线过去，这条线的长 要满足比上 a， c 是 二分之根号二比一对不对啊？那很容易想到啊，这个线的长就是四嘛。好，这个点呢，我们就记作 p 点，然后把 d p 给连起来，这个蓝色的三角形就和这个蓝色的三角形属于三角形相似的关系。我们做出来了三角形 p d， a 好 通过构造出相似的三角形 p d， a 中题目已知条件的这个线段的比， 那么再用三角形相似的性质，因为三角形相似我们构造出来的，这不是我们的目的吧，我们要用三角形相似的性质，也就是角和角相等线段成比例。那这四个选项迎刃而解。第一个选项 a e 比上 b d， a e 在 这里 b d 呢？在这里我们可以通过这个三角形和这个三角形全等吧，这是不是一个特殊的关系啊？能够做一个等量替换，把 b d 替换为 dp， 那 a e 比上 dp 不 就是相似比啊？就是根号二比一，所以第一个是对的。再来看第二个 一百三十五度的固定角 d f e， 这个角是不是一百三十五度？首先这个 f 点是个动点，对不对啊？那如果是个一百三十五度的话，那后面是不是就有定前定角的可能啊？ 我们先来判断第二个选项，那同样的，既然是角度的关系，那就倒角吧，用三角形相似对应角相等这个角，我们知道这个目标这个角，它是等于角一加上这个角二的，这是内外角的关系， 而我们这个角一是不是等于这个角一啊？根据三角形相似，同时这个角二。刚才说了，三角形有全等，那等于这个角二。我们知道角一加角二是不是一百三十五度啊？为什么？因为上面这个角是四十五度呀？ 上面这个角为什么是四十五度？因为这个角三是不是等于这个角三的？这两个角三是对应角啊？那下面这个角三是四十五度没有问题吧？好，那总之呢，它是等于角一加角二，角一加角二很容易得到一百三十五，所以是对的。第二问，这个固定的一百三十五，大家看啊，这个是一百三十五，对顶角是不是在左边来了？ 那左边这个一百三十五度的角很容易得到 f 点，是不是一个以 ab 作为定弦的一段圆弧上啊？这个圆我可以画出来用绿色表示一下， 大概就是在这个圆上，那么圆心我们记作 o 点的话， a o 就是 半径， o b 也是半径， 我们根据倒角的关系啊，或者是圆内的弧弦角距的关系，圆心角，圆周角的关系，你就可以做出一系列的引含条件和辅助线了。首先可能知道这个角是九十度，如果这你不知道的话，你就去复习一下圆心角和圆周角的关系， 然后问第三问 a b， f 面积最大， a b f 就是 这个红色三角形，它的底是不是四啊？那面积最大，就是这个 f 点到 ab 的 距离最远，也就是这个高最大，那很容易得到 f 点呢？就是垂直于 ab 的 时候，所以很容易得到 f 点过 ab 中垂线的时候，那我们把 of 连起来，假如此时就是最大值，那么这就是垂直的，而且这一段等于这一段是个垂直平分的关系，这个大家去看就很容易得到啊，我就不再赘述了。那既如此，我们图形已经定下来了， 你看 ab 的 长是四，那就这一段就是二，这一段也就是二。我们要求的面积，那不就是求。我们把这个焦点呢记作 s 的 话，那这个面积是不是就等于二分之一的底，也就是四去乘以 s， 那 也就是说能够把这个高 s 求出来就可以了，这 s 就是 绿色，这一段呢？ s 绿色这一段好， s 怎么求啊？ s 不 就等于半径 r 再减去 o s 吧，半径 r 好 不好求，这段是二，这段也就是二，那这段不就是二倍根号二啊。 哎，半径是二倍根号二，减去 o s， o s 的 长已经给出来，就是二嘛，减去二。好，我们把这个 s 等于二倍根号减二带到上面去，很容易得到。 这第三个选项也是正确的。最后第四个选项更容易做了。 c f 的 最小值， c 点是个定点， f 点是一个圆上轨迹的动点，圆外的一个定点到圆上某一个点距离的最小值，那不就是把 o c 给连起来。这种题我们做了无数遍了吧， o c 给连起来， 那就是求 o c 的 长最小值就是 o c 减去这个半径二， o c 好 不好，求过 o 点做平行垂直的关系，很容易得到。勾股定比啊，你看 b， c 的 长是四，那这个点我们记作 t t b 的 长是多少？根据半径是二，这是一个等腰直角三角形， 那么这段就是二，这段就是二，很容易求出。 o c 的 长是二倍，根号十，半径呢是 二倍根号二，那相减是不就是我们这个要求的也是对的？所以一二三四老规矩。我们最后再来总结一下逆等线的问题。逆等线无论是加权还是不加权，我们最多的方法就是构造三角形相似或者三角形全等，那么构造相似和全等最重要的就是找到目标三角形，这目标三角形 相似和全等的判据通常是要满足的。这道题中我们找到的是 s a s 这个判据，因为无论是相似还是全等， 逆等线本身就要参与构造，那就是这个 s 这条边一定是能找到的，那剩下的就去找另外的角和另外的边，要能构成相似和全等的判据就可以了。所以找到目标三角形，这是逆等线最重要的一步， 第二步就是找到了相似和全等关系以后，那就要去利用相似和全等的性质作为引含条件，去解我们后面的问题。好，那这道题呢，我们就讲到这里，如果逆等线我网课的用户你找不到，你可以告诉我，我直接发给你。 中考数学背后有无规律？最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴专题，汇总至今全网最详细的分类。这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律，这项工作在未来还会持续进行， 并将部分结果收入于四加三培优体系。这道题主要考察三角形相似。三角形相似。我相信所有同学都会遇到这样一个问题，一对三角形相似，就会有三对比例关系，是不是？这三对比例关系，你在解析的时候到底是选哪一些？ 这是不是很头痛啊？你要把它都写出来，这个式子就很复杂了。首先我们把这个问题给大家搞定啊，这三对比例关系，其实我们只要用两对就行，什么意思啊？你看啊，这个是一号，这个是二号，这个是三号。 通常的时候我们要写一等于二，二等于三，还有一等于三，这看起来是有三个等量关系，对不对？但实际上啊，只有两个，因为这三个中，你任取两个就能推出第三个，那也就说推出来的第三个，实际上自己等于自己了。 也就如果你用了第一个和第二个，你看，一等于二了，二也等于三了，那自然而然可以通过前两个推出一等于三，所以一等于三就不需要用了。同 一样的啊，假如你选了第二号和第三号这两个等量关系，那二等于三，一也等于三，那一是不等于二啊？所以啊，三角形相似中的这三个比例线段构成的三个等量关系，有用的只有两个。 好，那现在问题又来了，这三个里面取两个，到底取哪两个呢？这是不是问题啊？好，那这个时候我们接下来这道题就会给出我们一些具体的操作思路了。那第一个问题我已经讲清楚了啊，三角形相似三个里面，你只要取两个等量关系就行。 给出一个 a、 b、 c 三角形，这个三角形呢，是一个动态的三角形，因为只有两个定长的边， a、 c 和 a b 分 别是二和三，那 b、 c 的 长并不知道，那不管 b、 c 等于多长，始终过 c 点做平行于 ab 的 线 c m。 同时呢，在 c、 b 的 这条边上有一个动点 e， 无论 e 点运动到何处，和 a 点连起来，延长相交平行线于 d 点，然后这个 e、 d 的 线段是不是就固定了 e、 d 的 长？如果为 a 的 话，那么 pa 的 长就会是二 a， 也就是说，这个 p 点始终要满足 ap 等于两倍的 e、 d， 然后过 p 点做平行线，交于 q 点， 是不是看起来很绕啊？这个图形关系，接下来还有更绕的两条线段，分别用 x、 y 来表示， a q 是 x， p q 是 y， 这两个线段呢？ a q 和 p q 是 不是都是动态的线段？它不是定长的线段吧？那我们要求这两个线段之间的关系。 哎，两个动态线段之间的关系的话，那是不是就更加复杂了？那该怎么办呢？首先，这道题的思路意图是很明显很直接的，大家肯定知道考察三角形相似，那这里面有哪些三角形相似呢？有两对三角形相似，这是第一对 a 字形的相似， 这是第二对蓝色的八字形相似。我先把他们给写上，肯定要用的到的三角形 apq 相似于三角形的相似，第二对三角形 a、 b、 p 相似于三角形 b、 c、 e， 这是八字形的相似。好了，我们刚才讲了，一对三角形相似有三对等量关系，有用的是两对。 那么两对三角形相似就有六对等量关系，而有用的呢，实际上是四对。那换句话来讲，我们要从这两对三角形相似中选出四个等量关系构造方程， 从而得出 y 与 x 的 函数表达式，这是我们的思路。那难点在于哪里呢？难点在于这六选四该怎么选？你要舍掉哪两个？ 好，我们先来看第一问， x 等于 y 的 时候， cd 的 长， x 等于 y， 那 这个红色的三角形就是一个等腰三角形，那和它相似的这个大红呢？也是等腰吧，所以 ac 等于 cd 嘛，那 cd 就是 二嘛。写上好，接着来看 y 和 x 的 关系啊，现在 x y 就 不相等了啊，那这两个该怎么建立关系呢？ 首先我们再盯着三角形相似来看一下啊，这一个绿色和这个绿色是相似的，以及这一个蓝色和这个蓝色是相似的。这两对相似三角形，他们有什么特殊关系吗？这就是这道题的关键了。特殊关系有，就是 a d 这一条线段， a d， 大家看，我用绿色加粗了 a、 d， 它既在 a 字形的相似中，又在八字形的相似中，也就是说 a、 d 这个线段上的比例啊，它既能出现在上面 a 字形的等量关系中，又能出现在下面八字形的等量关系中，那上下两个等量关系三角形相似，是不是就构建了联系啊？ 所以我们在选举等量关系的时候，一定要选和 a、 d 有 关的，与 a、 d 有 关的等量 关系。这是我们的第一个思路。你光与 a、 d 有 关的等量关系，这一个线索能不能找到我们要的这四个等量关系？并不能，所以还有第二个线索。第二个线索就是与 定长线段有关的等量关系有关的等量关系。定长线段是什么？ a、 b 是 不是定长等于三？ a、 c 是 不是定长等于二啊？而 a、 c 和 ab 是 不是也在这两对相似三角形中啊？好，有了这两个线索，那么这六个等量关系中如何去找到这四个就已经定下来了，这就是我们的思路。好，再回到我们目标上来啊。首先， y 和 x 的 函数表达式，我们最容易发现的就是 y 与 x 是 在同一个三角形中吧？ 大家发现没，同一个三角形中，那很容易得到，就是 y 比 x 等于 c， d 比上 a、 c， 那 从而化简得到 y 等于二分之， c、 d 乘以 x。 好， 这个题就做完了嘛， y 就 等于 x 的 关系了呀，并没有吧，因为 c、 d 它是不确定的。于是我们接下来的思路就是要去寻找 c、 d 与 x 或者 c、 d 与 y 的 关系。如果能够找到 c、 d、 x 或者 c、 d 以外的关系带进来，是不是就消掉了 c、 d 只留 x、 y 了？那就做完了嘛？好，那我们把这个一式先做一个保留，这是一式，那接下来我们就要找四对等量关系 来寻找 c、 d、 x 或 c、 d 与 y 的 关系了。好，这四对等量关系，刚才利用这两个线索，通过 a 字和八字的三角形相似，就很容易找到了。我先找 a 字中的关系， a 字中的关系，大家看看， a 字在这里，这一个和这一个绿色是相似的。首先要有 a、 d 线段嘛，那不就是 ap 比上 a、 d， 是 不是在 a、 d 线段上好等于多少呢？再一个关系，那就是要有定长的线段 a、 c 在 这里的嘛，那不就是 a q 比上 a c 呀。哎，这是 a 字形的相似中的等量关系，是不就出来了，这是一，这是二呀，我们已经找到了两个了吧，还需要三和四，不就是从六个里面选出了四个啊。好，再来看八字形中的，八字形中的相似，一样的要在 a、 d 上先去找，那 a、 d 上去找八字形的相似，不就是 e d 比上 e a 啊，好，这是第一对啊， e d 比上 e a， 那 第二对呢？要含有常数，常数不就是 ab 和 cd 啊，所以 等于 cd 比上 ab 好， 那么这两对等量关系啊，都找到了，其实你看一二三四，是不是六选四，这四选出来了吧，他选择的依据是不是我们前面讲这两条线数啊，与定长线段有关，你这大家就不用去猜了， 不然的话你这一二三，然后第二对，这样一下是还有四五六，你这样去从六个里面去选四个，你碰运气肯定是不行的。好，那我们继续进行化简啊，这个是二式，这个是三式。我们把二式和三式做一个化简，二式化简得到 ap 是 二， a， ad 呢是三， a 加上 pe 正好右边 a， q， x， a， c 是 二，这就是我们化简后的二式。化简后的三式， e， d 是 a， e， a 是 二， a 加上 pe 等于 cd 不知道，而 ab 呢是三，这是三式。我们的目标。大家千万别忘了啊，我们要通过二式和三式得到 cd 与 x 或者 cd 与 y 的 关系，然后代入到我们的一式中去，最后消掉 cd。 那 我们再来看二式和三式有没有 cd 和 x、 y 的 关系呢？ 首先二十和三十中没有 y， 那 就好了，我们目标更明确了，就是通过二十和三十找到 cd 和 x 的 关系就可以了。 cd 和 x 的 关系好不好找呢？现在有点麻烦，因为多出来的参数 a 和 pe， 这是有点麻烦的，那我们就得通过把二式和三式连立以后，消掉 a 和 pe， 那 好不好消呢？首先我们要想办法把这个独立的 pe 给消掉，我们先想办法，那 pe 在 分母上是不好消的，要把它放到分子上去，于是做一个倒数的转换，二式和三式啊，同时做一个倒数的转换，就变成了二， a 分 之三， a 加上 pe 等于 x 分 之三。好，这是三式。二式和三式可以进一步化简， 二分之三加上 pe 比上二， a 等于二比 x， 这是二式。三式做一个化简，二加上 pe 比上 a 等于三，比上 c， d 就是 三式。好了，这个新的 二式和三式，其实就是原来的二式和三式吧，是等价的吧。那么我们的目标是消掉 pe 和 a， 留下 x 和 c、 d 吧，那好不好消，这很好消了吧，大家看这个 pe 和 a 是 不是可以做一个整体呀？我们把二式等号左右两边同时乘以二， 二式乘以二，等号左右两边同时乘以二，是不得到一个新的二式。三加上 p， e 比上 a 等于四比 x， 这是二式，三式不变。二加上 p， e 比上 a 等于三比上 cd 好。 二式和三式中的这个 p e 比 a 是 不是一个整体啊？做一个整体就消掉了吧。我们用二式减去三式，二减三，最后得到 一等于四比 x 减去三比上 c， d， c d 等于三， x 比上四减 x， 那 么 c， d 和 x 的 关系就出来了吧，把它带入到一式中，最后就消掉了。 c， d 留下了 x， y 啊，最后 x y 的 表达式呢？我写在上面啊， y 等于三 x 比上二倍的四减 x 啊！这道题就做完了。其实这道题的思路还是非常直接的，它的考点也特别的明确，就是考察三角形相似中的比例关系。你如何去寻找比例关系？大家回过头去，再去看一下我刚刚说的这两个线索啊，非常的重要。中考数学背后有无规律？ 最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴题，汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。 有一定的难度啊，因为他的条件比较隐含，而且这道题他其实考察了一个几何模型，这个几何模型呢，我们很多同学都见过，叫一线 三垂直，但是这个一线三垂直和我们通常的是有很大的区别的，我们通常见的一线三垂直是怎样的呢？我画一个图是一条直线，然后呢，在直线上有一个直角，好，然后做两个垂线，左边红色和右边红色三角形就是相似的或者是全等的，是这样的一线三垂直。但是这道题中 他的一线三垂直是有别于刚才所讲的这样的，因为一线三垂直，还有一种情况，大家看着啊，我画一条直线，好在这个直线上呢，有这样一个直角，同时呢，再做一个直角，再做一个直角，大家看一下， 一个直角，两个直角，三个直角，这也是一线三垂直，于是呢，上面这个蓝色的三角形也是相似或者是全等的。而这道题他所考察的就是这第二种一线三垂直， 而且它非常的隐蔽。好了，那我们来看题，首先给出一个等腰直角三角形， a c d， 大家看这个是一个等腰直角三角形，那也就是说 a c 是 等于 d c 的， 然后呢，这里有一个九十度， 同时这个角 q b e 蓝色这个角，它的正切是等于三。哎，这是不是非常特殊的一个条件，一定要用上。那么第二个等腰直角三角形，大家看把 e d 给连起来， 这个蓝色的三角形也是等腰直角三角形，那么一角呢，是直角，那我也写上 c e 等于 b e， 对 吧？有两对相等的线段。好，现在要求什么呢？求 b e 的 长， 这条蓝色的 b e 等于多少？哎，这个题目看起来其实很简单啊，就是两个等腰直角三角形，一个两个同时呢，有一个正切为三的角，现在要求 b e 的 长，对吧？这个条件看起来并不复杂，那该怎么办呢？ 我们的突破口当然是这个正切值，给了你一个角的正切，那我们是不是就可以马上构造一个直角三角形，把这个正切值给利用起来啊？所以我们很容易想到的是过 c 点 做一个垂线，哎，这个垂足呢？我们记住 p 点可以吧？就这个垂足呢？那么于是根据这个蓝色的角正弦是三的话，我们是不是可以设未知数啊？我们可以设 c p 等于三倍的 a， 那 么 b p 是 不是就等于一倍的 a 啊？因为是三比一的关系吗？三 a b p 呢？就是 a， 好， 这个时候我们是不是就把这个角给利用起来了？但是这样做出来的话有什么用呢？它和它对于我们求 b e 这条线段有什么帮助吗？暂时看不出来，但是这个时候大家有没有发现有一线三垂直的可能啊？大家看一下啊，角 c 是 不是一个直角？ 好，我们刚才做了这条垂线 c p， 如果把它延长的话，大家看往下延长。好，那么因为这里是一个大的直角，绿色的画出来，这个没问题啊，这里角 c 又是一个直角，两个直角了，那么过低点再做一个垂线，哎，这是不是第三个直角，这个时候是不是就构成了一线三垂直的模型啊？ 哎，就是我们上面这种情况呢，你看，其实就是把上面这个我们第二种一线三垂直的情况，把它给倒过来嘛，就是一条直线，然后呢有一个直角，然后第二个直角，第三个直角，那么左边三角形和右边三角形就是相似的，或者是全等的了。好， 那么我们构造出来这样的一个一线三垂直的模型之后啊，你看啊，这个绿色的三角形和这个绿色的三角形是相似或者是全等的，那我们先写上，至少是相似的。所以第一步，三角形 a、 c p 是 相似于三角形 c、 d， 那 这个垂足呢？我们记作 r 点，哎， r 好， 也就左右两个三角形相似，那么我们又能够根据 a c 等于 cd 是 不是相似？三角形的对应边相等，那不就是两个三角形全等吧。哎，根据 ac 等于 cd 的 话呢， ac 等于 cd 对 应边相等，那这两个三角形就全等了，这样就比相似更加特殊。好，这两个三角形全等，这就是我们的第一步。做好了，接着 我们就能够把图中的一些线段分别用 a 这个参数来表示了，因为还有一个已知的值， ab 等于十。来看， ab 等于十，根据 a， b 等于十。 ap 呢？大家看 ap 的 长是不是就是十加 a 啊？对吧？十加 a 同时 c r 的 长，这条蓝色的线段 c r 的 长是不是也是十加 a 啊？因为三角形全等嘛， ap 和 c， r 是 对应边以及呢 p r 的 长， 这一节，大家看这段是不是就是十加 a 减去三 a 啊，那就是十减二 a 好，这些呢，就是我们已知的线段，这就是我们啊，根据三角形全等和正切值，设出来了 a 和三 a 得到的一些隐含条件，接着我们继续往后做，我们的目标是干什么？求 b e 的 长，对吧，你看 b、 e 的 长在这里， b e 的 长 第二步啦，我们目标求 b e 的 长，它实际上等于 b p 加上 p e， 对 不对？这个 b p 它就是我们刚才所设的这个 a， 那 么关键就是把 p e 给求出来，然后把 a 给求出来， b e 是 不是就可求啦？好，那么我们再把目标放到 p e 上来， p e 这条线段，它非常的特殊，为什么呢？我们首先能够得到四点共圆，大家看啊， c 点、 e 点、 d 点和 r 点是四点共圆的，为什么四点共圆？因为角 e 和角 r 是 不对角互补啊，所以呢，首先 c 点、 e 点、 d 点和 r 点四点共圆，四点共圆之后呢，我们根据共边角相等，大家看啊， 这个角叫角一的话，这个角叫角二的话，很容易得到角一等于角二，这个没问题吧？而角一是什么啊？我们刚才讲了，这个蓝色的三角形是一个等腰直角三角形，已知条件吧，角一等于四十五度，所以角二呢，也是四十五度。既然角二是四十五度的话，那上面这个角 是不是也是四十五度啊？好，于是大家看一下，这个绿色的三角形是不是也是四十五度啊？好，于是大家看一下，这个角是不是也是四十五度啊？好，于是大家看一下，这个角是不是也是四十五度啊？好，于是大家看一下，这个角是不是也是四十五度啊？好，于是大家看，一为 等腰直角三角形，哎，得到等腰直角三角形之后呢， pe 就 等于 pr， 而 pr 上面是不是有啊？在这里，哎，直接写下来了吗？就等于一十减二 a， 好， 我们已经写到这里之后，接下来就一切迎刃而解了，就是做计算了，为什么呢？我们刚才讲了，求 b e 的 长，他实际上等于 b p 加 p e， b p 是 等于 a， 而 p e 等于多少？ p e 是 等于十减二 a， 对 吧？那也就是说十减二 a， 那 最后 相加嘛，就是十减 a。 好， 那么我们只需要求出 a 等于多少，那一切这个 b 的 长是不是就求出来了？因为 b 的 长是十减 a 嘛，那如何求 a 呢？这个 a 是 不是一个未知数啊？而且只有一个未知数，我们只需要干什么？构造一个 方程就可以了，也就是寻找一个等量关系嘛。那么在这个图中有很多直角三角形，那勾股定力是不是就是一个天然的构造等量关系的重要的工具啊？ 勾股定律，哎，这个思想啊，大家一定要重视啊。勾股定律能够构造一个天然的等量关系，所以呢，就能够求这个未知数，具有一定的可能了。那么我们就找这样的一个直角三角形，大家看啊，直角三角形 cpe， 这个红色的，大家看这个红色的直角三角形 cpe。 第三步， 我们很容易得到 c e 的 平方，等于 c p 的 平方，加上 pe 的 平方。哎，我们只需要把 c e， c p 和 pe 都用 a 来表示，然后把这个方程给解出来，那 a 是 不就求出来了？好，那我们一个一个来啊，我把等号先写在这里，我们先看等号右边的 c p 等于多少？ c t， 它是不是就是三倍的 a 呀？哎，在这里呢，已知条件都有，所以呢，就是它的平方就是九倍 a 的 平方，加上 p e， p， e 的 长，是不是就是这里有了十减二 a， 对 不对啊？哎，加上十减二 a 平方，好，那么左边 c e 我 们能够用 a 来表示就可以了吧？ c e 在 哪里啊？我把这个擦掉啊， c e 在 这里， c e 我 们好像跟 a 是 没有关系的吧，但是大家发现了吗？我们又一次利用这个等腰直角三角形 c e， 它是不是等于 c、 d 去除以根号二呀，对吧？因为是等腰直角三角形啊，而 c、 d 的 长呢，我们是可以表示的。为什么呢？我们先一步步来看啊， c、 e 是 等于 c、 d 除以根号，所以它的平方呢，要加上来。好，我们把这个等式先写过来，就是 c、 d 的 平方除以二等于 得三倍， a 的 平方减四十倍的 a 加上一百，是吧？我做了一个化简啊。好，我们关注 c、 d 的 平方就可以了。 c、 d 的 平方，那 c、 d 它是不是等于 a c 啊？ 这个没问题吧，所以 c、 d 的 平方就可以把它写成 a c 的 平方。好，那 a、 c 的 平方是不是又有一个直角三角形？大家看蓝色的这个直角三角形， 再画一遍啊，蓝色的这个直角三角形，所以 a、 c 的 平方，我写上来。 a、 c 的 平方，它是不是就是等于 a、 p 的 平方加上 c p 的 平方啊？因为蓝色的直角三角形呢？ a p 在 这里， c p 还是三 a， 对 吧？所以 a、 c 的 平方就等于 a、 p 的 平方。十加 a 的 平方，再加上 c、 p 的 平方，三 a 的 平方就九倍 a 的 平方。好，那么 a、 c 的 平方我们知道了，把它带到上面来，那么这是不是又得到一个关于 a 的 方程了？好，那么最后化简啊，都写到最左边了啊， ac 的 平方展开得到十倍， a 的 平方加上二十倍的 a， 加上一百除以二。好，要等于右边的一十三倍， a 平方减四倍， a 加上一百，对吧？就解这个方程，把 a 解出来，然后 就能够迎刃而解了吧，因为 b e 的 长是十减 a。 好， 我们解这个方程，做一个化减吧。啊，这个是四十倍的 a 啊，那么最后呢，我们把这个方程做一个化减，可以化减为四倍， a 的 平方减二十五倍的 a 加上二十五等于零，这个是一个简单的计算，不再对数了，最后解得 a 等于五或者 a 等于四分之五。好，你把 a 这两个答案当然都可以带进去，所以呢，用一十啊，减去 a， 最后 b 的 长呢，就是五或者四分之三十五。 好了，那么这道题那就算是做完了啊，有一定的难度。这道题啊，它的突破口在哪里呢？它的突破口在于 把这个正切为三的角构造到一个直角三角形中去，大家看啊，就是中间这个 cbp 这个绿色的直角三角形，把它做出来之后呢，然后我们能够发现这条线啊，这条线刚好 是有一个直角的，然后把它延长之后，构造出了一线三垂直的模型啊，这个一线三垂直特别的特殊，然后呢，多次的利用勾股定律，我们用了几次勾股定律啊？两次勾股定律吧， 第一次勾股定律是在这个红色的三角形中，第二次的勾股定律呢，是在左边这个红色的三角形中，而且中间有一些条件转换，有一定的复杂性，大家好好要体会一下。而且啊，这个图中 已知条件是有两个等腰直角三角形的，第一个这个红色的，第二个这个红色的。但实际上，我们根据四点共圆的模型发现啊，这里还有第三个等腰直角三角形。所以，这道题中，等腰直角三角形呢，一共有三个。 哎，这道题呢，有一定的难度啊，大家好好体会一下。中考数学最难的知识点，一定是三角形相似，不接受反驳，这道题，大家就能好好的体会一下，三角形相似到底难在哪里了，我先把理由给大家讲出来。 首先，三角形相似，它能够刻画一对三角形相应边之间的比例关系啊，就是谁比谁等于谁比谁，对不对？而且呢，这种比例关系呢，根据比例的性质啊，有七大比例的性质，所以从比例关系的七大性质来讲呢，它可以和代数进行关联，这就很难了。 最难的是什么呢？三角形相似是你根本就找不到三角形相似，而题目中却要你运用三角形相似啊，找不到啊，这是最难的，为什么呢？因为三角形全等是两个长得一模一样的图形，我们通过观察法是可以找到的， 而三角形相似，就是长得差不多一样形状。哎，这种图形，你要去发现相似的话，就很难找到，你找都找不到，那就更别谈上面性质的应用了。 所以，这道题中呢，我们寻找三角形相似也是一个难点。那总之呢，我总结出一点啊，三角形全等难不难？已经很难了，对吧？但其实，全等只是三角形相似中的一种特殊情况，也就是相似比为一而已。所以，在三角形相似面前啊，这个三角形全等，其实只是个弟弟 给出一个等腰三角形， a c 等于 a b 在 一个腰上面有一个动点 o o， 无论运动到哪里，那么以 o b 作为半径，就画这样一个半圆，同时 o b 这个线段，再取一个中点 f， 好， 中点啊，这是一个非常重要的特性，最后把剩下的该连的点和线段都给连起来，那么有三问，一问比一问难。第一问，如果 o g 等于 d， g， 也就是这两条蓝色的线相等，再根据我们题目的已知条件，这两条红色的线也相等，要证明平行四边形，也就是绿色，这个图形是平行四边形，这个怎么证呢？ 首先，根据两个终点的关系，是不是很容易得到 g f 是 中位线啊，也就平行于 b d， 所以 要正的平行四边形中已经有一条对边是平行了的吧。 好，那我们只需要再证明这两组边相等，或者再证明这样的两条边也平行，另外一组对边平行就可以了吧。那很容易得到另外一组对边平行，为什么呢？因为这个图中有一个红色三角形，两个红色三角形，其实它们是相似的关系。首先这个角一等于这个角一是没问题的，已知条件， 同时根据圆的半径相等啊，你看 o d 是 不是等于 o b 啊？那有绿色这个三角形是也是等于三角形啊，所以这个角也是角一，这个角好，根据角一等于角一，同位角相等，两直线平行于 d， g 好， 对边都平行的四边形就是平行四边形。我就直接写出来了，不正了。好， 再来看第二问。第二问，要用到图二，当这个角是直角的时候，同时还有一直角的时候，同时还有一直角的 o f e， 也就是这个角。 我们记住，角一等于 d o e 这个角二，角一等于角二的时候，而且 a o 的 长等于四，这段长等于四，要求 o b 的 长， o b 的 长，我用蓝色表示一下，就这一段，这个怎么求呢？ 根据中点的关系，我们要求的 o b 为 x， 那 其实 off 呢，就是二分之一的 x， b f 呢，也是二分之一的 x， 求 o b 的 长，就是求 x 等于多少，对不对啊？好，很多同学发现了，这一对角相等是肯定要用上的，这个角一等于角二，于是就有这个蓝色三角形的相似，于是根据相似比 e o 的 平方 等于 e g 乘以 e f 啊，这样去算。但是你得把 e o， e g 和 e f 都用 x 表示出来，才能够造这样一个等量关系吧，是比较困难的哎，大家可以去尝试。于是我们就要去寻找另外一个方法了， 我先把它写上。如果你用三角形 ego 相似于三角形 eof， 这两个三角形是相似的，没有问题，但是却比较麻烦，因为要把 egef 和 eo 这三条线段用 x 表示出来是比较困难的，于是我们就得去寻找新的条件。 除了这两个三角形相似以外，还有三角形相似，这个绿色三角形和这个绿色三角形也是相似的，哎，也就是三角形 e o a 是 相似于三角形 f e a 的。 好，有同学说，这是怎么看出来的呢？这其实就难点了，你看 他们都有共同的直角，没有问题吧，也就是说这两个三角形再找一对角相等就可以了。角一的与角是不是上面这个角三， 角二的与角是不是下面的角四？因为角一等于角二，所以相等的？角的与角相等，所以角三就等于角四，角三都等于角四了，所以这两个三角形就相似。好，这两个三角形相似虽然难找啊，但是我们一旦找到之后，就很容易去使用我们三角形相似的子母形相似中的比例关系了。大家看看这个三角形和这个三角形相似， 公共角是不是就是这个直角啊？然后呢？公共边 e a e a 的 平方等于 a o 乘以 a f 等于 a o 乘以 a f e a 的 平方，它其实就是在左边那个红色直角三角形中，斜边 e o， 它是不是就是半径 x 啊？哎， x 的 平方减去另外一个直角边四的平方，所以 x 平方减去四的平方等于 a o 就是 四， a f 呢，就是四加二分之一 x。 好， 我们不要求 x 吗？构造出来一个 x 的 方程，直接解出来 x 等于一加减根号三十三，那么把这个减舍掉，就是一加根号三十三。哎，第二问就做出来了，这第二问呢，其实已经有一定的难度了，大家看看，它既体现出了一个复杂的比例关系，在这里，在哪里呢？就这里， e a 的 平方等于 a o 乘以 a f， 这是子母形相似中，只要是中考考到三角形相似，几乎必考的一个点。我在三角形相似这个网课中有专题的介绍啊。好，这是一个比例关系，是比较复杂的了，同时你要利用这个比例关系的前提是什么？你得发现这一对相似的三角形相似，是不是你找不到啊？ 哎，有同学说，找到了，那就非常不错啊！好，我们大部分同学只能找到上面这一对相似的三角形，那真正要用的呢？是下面这一对用呢？你找到了之后啊，那还得利用这个比例关系好。呃，这是第二问。接着我们再来看第三问。 第三问呢，我们又回到图一啊，因为它并没有九十度的角了，也没有相等的角了，也没有这个边上为四了。这是第三问，把 b g 给连起来。但是现在有等幺三角形啊，也就是说以 o b 为幺， o b 为幺的等幺三角形，而且 a o 等于 off， 也就是说这段长等于这段长，等这段长。哎，这是个三等分点了吧。 同时有等腰三角形好要求两条线段的比值， o g 比上 o d。 首先我们可以令这三等线段的长呢，都为 a， 这没问题吧？ a a a o g 这一段呢，令为 m， 其实 o d 的 这段长呢，就是二倍的 a。 好， 我们要求的 o g 比上 o d， 其实就是 m， 比上两倍的 a。 然后再回到等腰三角形这个限制条件上来啊，等腰三角形的腰是 o b， 那 有两种情况啊，一种是以 g b 为腰，还有一种呢，是以 o g 为腰。我们根据题目的条件，很容易得到。以 o g 为腰的时候，这个 g 点 就得和地点重合，对不对啊？ g 点得和地点重合，那么 g 点能不能和地点重合呢？ g 点是怎么来的？它是这个 e f 和 o d 的 交点，对不对啊？ e f 和 o d 的 交点，这个 g 点一定是在地点的下方，是不可能重合的，这个是我们很容易能够得到的。所以第一种情况，我们讨论，当 o b 等于 o g 的 时候，是矛盾的关系是不可能存在的，于是这个看似需要分类讨论的复杂问题就变成了第二种情况，当 g b 等于 o b 了，所以这种情况就是唯一的情况了。那现在啊，这个 o b 等于 g b， 那 么这个 g b 呢？也就是两倍的 a， 此时我们要去求 m 和 a 的 比值为多少，对不对啊？这个题啊，首先把这个等腰三角形给处理了，那接下来该怎么办？很多同学坐在这里啊，就做不出来了啊， 于是我们发现啊，现在有一个特点是什么？我们遇到的困难是什么？条件不足了？条件不足我们就需要干什么？去构造 或者是寻找，你找不到了吗？你既然找不到的话，我们就得自己去构造条件，叫构造新条件。好，如何构造新条件呢？ 那我们当然要去画辅助线，而这个构造新条件的目的是干什么？是解决我们的比例关系吧。大家看，我们构造这个新条件是解决我们的目标，我们的目标是不要求 m 比二 a 这个比例关系啊，哎，是解决比例的关系，而比例关系中要去构造条件，画辅助线图形的话，用的最多的是什么？那不就三角形相似啊， 是不是这个思路我们现在就慢慢的清晰了啊？好，条件不足，构造新的比例条件，解决我们的问题，那通过什么样的方法呢？那当然就是辅助线了。好，这个辅助线的本质是干什么？是要引入 新的图形，哎，你要引入新的位置关系，图形关系，然后得到构造出的新条件，尤其是比例关系，来解决我们的 m 比二 a 这个比例问题。那现在图形中很明显有三等分点的关系吧，而且这个二 a 和下面这个二 a 是 相等的吧。于是我们自然而然想到延长 g b， 延长 g b 这个交点呢？我们记住 h 点就能够得到 a 字形的相似吧，你看这个三角形和这个三角形是 a 字形的相似啊。同时再看 我们根据第一问和第二问的关系，这条绿色的线和这条绿色的线是平行的吧？有平行线，而且 o 点是什么点？他还是 a f 的 中点，于是又有中位线和新的三角形相似。好，现在我们的条件就会越来越充分了，那么 e 点是在圆上的，当然还要和圆心 o 给连起来。 我们用这个焦点为 p 点，通过引入新的图形，构造了辅助线来解决。现在的我们先把已知条件给写出来，通过构造了刚才这个辅助线以后，那是不是多了很多已知条件啊？首先看中位线的关系， o g 是 不是这个三角形的中位线啊？好，那也就是说 o g 是 m， 那 么 e a 的 长就是二 m 吧， e a 等于两倍的 m， h a 是 不也容易得到了？因为这里是二比三的关系嘛，所以 m 比上 h a 也是二比三的关系， h a 等于二分之三倍的 m， 那 h a 是 二分之三 m， e a 是 二倍 m， 所以 这个 e h 呢，就是二分之一 m， 我 就写上二分之一 m， 二分之三 m， 我 先把它给写上 e h， 这个点是 h 点，我把这个 h 点呢，用红色单独表示一下吧，也是区别 e h 等于 二分之一的 m， 再根据两线平行，就这条蓝色的线和这条蓝色的线啊，是平行的关系，是不是又有新的三角形相似啊？看啊，红色的这个三角形和这个红色的三角形是相似于三角形 gpo 的 相似比，是不是很容易得到二分之一 m 比上 m 吧，相似比是一比二的相似比。 既然是一比二的相似比，实际上这个 p 点呢，它是 h g 的 三等分点吧，就是三分之一的位置。所以我写上啊， p 为 h g 的 三等分点。那 p g 和 hp， 它的长度是不是又分别都能够知道了？哎， hp 的 长是三分之一， agp 的 长是三分之二 a， 那 同样的另外一条线段， e o 的 总长是二 a， 对 不对啊？所以 ep 的 长呢？ e p 的 长是三分之二 a， 而 po 的 长呢，是三分之四 a。 我 们越来越多的线段都能表示出来了。 好，现在我们虽然得到了这些隐藏条件，也就是其他的线段啊，也用 a 和 m 给表示出来了，可是我们依然无法解决 m 和 a 的 比例关系。 为什么呢？虽然多出来了这个三角形相似啊，但是它们的对应的相似比啊，对应边的比，要不然就是单纯的 m， 要不然就是单纯的 a， 什么意思呢？你看啊， e h 这条边对应边是 o g， 它们的比例关系就是二分之一 m 比 m， 那 都是 m 的 关系，也就是说，没有 m 和 a 的 关系，只有 m 与 m 的 关系， a 和 a 的 关系。那接下来我们就需要干什么？去寻找 m 和 a 的 具体等量关系？如果你能发现这一段 e、 h 和这段 o、 b 构成了相似三角形，而且是对应边的话，那这个 m 比上 a 是 不就有了？好，这就是我们这道题的关键，也是最难的地方，很多同学根本就找不到这两个三角形相似， e、 h 和 o、 b 成对应边了。你看，三角形 e、 p、 h 是 相似于三角形 e、 p、 o 的， 也就是途中我把这个划掉，这个蓝色的三角形和这个大的蓝色三角形是相似的关系。既然三角形相似，那么 e、 h 比上对应边 b、 o 是 不是就是二分之一的 m 比上两倍的 a 啊？就是四分之一的 m 比上 a， 它是等于多少呢？等于我们的相似比的相似比就是 hp， 就 这段 hp 比上 op 对 应边嘛？ hp 比上 op 刚好很容易算的嘛。 hp 是 三分之一 a， op 是 三分之四 a， 那 不就是一比四啊。所以 m 比 a 就是 一 m 比 a 都求出来了，我们要求的是二分之一的 m 比 a 吧，所以就等于二分之一。哎，二分之一就求完了。这道题，大家想一想啊，最后这个三角形相似是不是最难找的？为什么要找这样的最后这个三角形相似呢？因为它刚好就代表了 m、 e、 h 这条边和含有 a 的 o、 b 这条边，它们是相似比的对应边， 而且相似比呢，就是一比上四。所以这道题啊，是有一定难度的。这个三角形相似在这道题中就有很多，至少有五对以上，甚至有六七对，大家去找一下，那么这道题大家再回过头来体会一下，三角形相似是不是中考最难的一个考点呢？ 一方面，难在比例关系，他有七种还要处理，对吧？而且他是对应边的比例关系，那么就有六个量，你看一条边比上一条边等于另外一条边比另外一条边，等于第三条边比第三条边是不是有六个量了？分子和分母，而且比例的性质有七大。同时 这还不是最难的，最难的是什么呢？刚才这道题中啊，你这个三角形相似找到了吗？你能找到这些相似的三角形吗？很多同学其实是找不到的，所以最难就难在你根本找不到。这道题，大家好好体会一下，还是有一定的难度的。 中考数学背后有无规律？最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题，汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得。我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。

济南中考未来变化全省统一命题二零二六年起，六三学制地区语文、数学、外语、物理、道德与法治、生物、历史、地理九科将采用省统一命题试卷。 综合评价招生自二零二六年起，在普通高中学校试点综合评价招生，探索将推荐生、自主招生整合为综合评价招生。 体育考试变化，体育与健康总分七十分，其中统一测试从三十五分涨至四十分，过程性评价从二十五分涨至三十分。身高体重测试将取消，长跑男生一千米，女生八百米变为必考项。这些政策的变化对自己孩子的中考会有哪些影响呢？欢迎家人们 评论区聊一聊二六年参加中考的同学家长们。如果孩子预估在三百至五百分左右，那您仔细想一想， 不管孩子是在私立高中还是在莫流的公办高中上上三年，最终的结果是什么？能不能考上大学本科？答案是否定的。 对，这就是现实。咱们山东卷的真的很扎心，大概率就是个专科，因为即使成绩好点的孩子进入以上这些学校，成绩是铁定的，大幅下滑， 师资管理、学习氛围等等因素。如果说有好的路径，三年后能让孩子轻轻松松的上到公办本科或者二幺幺，甚至冲九八五，当然是完全合法合规的前提下。在你的条件允许下，您会考虑托举一下孩子吗？

好，下面看一下二次函数的第二个题目啊，那么咱们第二个题目呢，是放的啊，是什么模型呢？我们先读一下题目，说二次函数呢，图像过点 c 点和 d 点， 且于 x 轴相交于 a 点和 b 点顶点呢，是 m 一 稳，求函数的表达式啊，这个比较简单，肯定是用待定系数法 啊。第二问呢，求三角形 abm 的 面积，那么看一下图像啊， ab 分 别与 x 的 交点， m 是 顶点坐标，所以说三个点都知道，那么求面积肯定是直接法直接求面积啊。那么第三问，那么三角形 pab 等于四分之五倍的 m a b， 那 么 m a b 呢？因为在第二问中都求出来了，那么所以这是一个面积倍数啊，转化成面积定值问题啊，那么然后去求这个动点 p 的 坐标的这么一个问题，下面我们一个一个的这个 一个一个的题目哈，一个一问一问的哈，来看一下，首先第一问，求函数表达式，咱们刚才说了哈，用待定系数法直接求就可以啊，来记，我们把已知的这个点 c 点负二负五和 d 点 二负三，那么代入解析式啊， y 等于 x 方加 b， x 加 c 就 可以哈，具体解的过程我就不写了哈，带进去之后通过化简求值，那么我们求出来 b 呢是负二， c 呢是 负三，那么所以炮心的解析式呢，就是 y 等于 x 方减二， x 减三，这是第一问啊，待定系数法求函数表达式。那么第二问啊，咱们刚才简单分析过啊， a 点、 b 点和 m 点这三点都知道，那么我们要求这三点组成的面积就直接求面积就可以了，直接套公式底乘高，所以很明显 ab 是 底，那么 m 的 纵坐标的长度哈，纵坐标的绝对值为高哈。那么所以我们需要求 a 点， b 点和 m 点坐标，所以直接令啊，上面的抛物线解析式， y 等于 x， 方减二， x 减三，让它等于零啊，肯定是用十字相乘，一一一三，那么要得到负二和这里是负三，那所以很明显符号给三哈，那么我们就会得到啊， x 一 呢是负一， x 二呢是 这个三，所以啊， a 点坐标就是负一到零，那么 b 点坐标呢，就是 三到零。那么在这儿呢，可以直接求一下 ab 的 距离啊，那所以 ab 的 距离呢，就直接是三减负一就是四啊。那么继续往下看哈，咱们还得求 m 点的坐标，那么 m 点的坐标哈，直接用顶点坐标公式，负的二， a 分 之 b 哈，负的二乘 这个一分之负二，那么所以求出横坐标来，然后再代入函数及其式求纵坐标哈。计算过程我就不写了哈， m 点的坐标呢，是一度负四， 那么，哎，知道了这三点坐标之后哈，那么我们说，哎，这个来标一下哈，在图形中， 底儿呢，就是 a b 啊，在这个三角形中，高呢，就是 m 的 纵坐标的绝对值，所以我们直接求面积就可以哈，所以 s 三角形 a b m， 它就等于二分之一 ab 的 长度，再乘 m 啊，纵坐标的绝对值就可以啊，直接代数求值，就是二分之一乘四，再乘负四的绝对值，乘四就可以哈，这个 数值呢是八。这是第二本，比较简单。第三问哈，咱们刚才说到了哈，这一个非常典型的哈，什么问题呢？首先他给的是一个面积乘倍数的哈， 一个面积等于另外一个面积面积乘倍数的这么一个模型，那么这种问题呢，一定要转化成面积定值问题，也比较好转化哈， 面积定值问题，那么哎，因为这个 m a b 的 面积是八，那么我们四分之五乘八，哎，就是十，那么所以 整个 p a b 的 面积呢？其实就是是这样就转化成面积定值问题了哈，那么面积定值再怎么转化呢？我们要转化成 线段，所以值问题，也就说长度是一个定值，线段定值问题哈，那么记哈，哎，这个三角形 p a b 的 面积哎，它里边肯定是有哎，有线段哈，是动点型的线段，它是一个定值的哈，我们具体来看一下哈， 来先算一下啊， s 三角形 p a b 啊，因为它等于四分之五倍的 s 三角形 m a b， 那 么我们直接代入四分之五乘八就是十。再来看一下 p a b 啊，密集怎么求？我们知道啊， p 点呢，是二次函数上的某一个点，那么我们随便找一个点哈，做 p 点，假如说 p 点在这个位置， 那所以 p a b 组成的面积，那么非常好啊，非常好表示这个图形哈， p a 在 这里， p b 在 这里， ab 是 咱们刚才画的这条线啊，那所以说 p a b 的 面积怎么求呢？还是底长高？所以呢，我们就表示一下哈，它的面积是底是 a b 高是谁呢？很明显是啊， p 点的纵坐标的绝对值，那么这个长度呢，就是十，在前一位中，我们知道 a b 是 个四哈，这个地方是四，所以我们就会求出 p 点的纵坐标， 哎，是五。那么现在知道 p 点纵坐标之后哈，咱们再来分析分析哈，咱们在第一问中，第二问中哈，求出来了 m 的 纵坐标哎， m 呢，它其实是抛物线哈，抛物线最低点呢，是一个负四，所以说 p 点它肯定不在 x 轴的下方哈，所以这里你可以写一句话哈，因为 m 点啊，是一负四，那么所以我们说 p 点一定在 x 轴的上方哈，它一定在 x 轴的上方，那所以下边啊，这个 p 的 纵坐标就可以直接求出来了，那所以那我们就知道 y p 呢，就直接是五就可以了啊，在外在 x 轴上侧是个正值，那 那么咱们又知道 p 在 二函数上，所以可以直接代二函数的表达式啊， x 方减二， x 减三，它就是 y， 也就是五，一项就是 x 方减二， x 减八等于零，很明显，十字相乘一一， 然后二和四，因为是负八，这里又是个负二，所以说符号给四哈，这样求出来哎， x 三是个二， x 四呢是 四啊， x 三是负二， x 四呢是四既，我们要找的这个 p 点的横坐标，一个是负二，一个是四，那所以 p 点的坐标哈，就写出来了啊，那么再写下结论就可以哈，所以 p 点坐标是负二斗啊，纵坐标是五或者是 四到五，这样整个题就做完了哈，我们再来看一下哈，整个这个题目，它分别涉及到什么知识点，以及怎么去做这个题哈。 首先啊，第一问，刚才强调了哈，这是一个非常典型的啊待定系数法求解一式的题目，直接求就可以哈。 那么第二问，求面积，也是一个直接用公式法求面积底乘高就可以，哎，这个题的第三问是动点形成的面积成倍数问题，我们首先转化了哈，转化成了 p、 e、 b 面积为定值问题哎，定值时， 下面呢，再表示这个三角形的面积，它就是二分之一底哎，底又是一个固定的，那么只剩下这个高了哈，那么所以高就是动点形成的这个线段，这个线段呢，也为定值，那么 g 哈， p 点的纵坐标就是一个定值五 啊，当然哈，这有一个判断哈，因为这个 m 点哈，他最低处纵坐标是负四，那所以说这个 p 点的纵坐标根本达不到负五，所以说 p 点是一定在 s 轴上方的哈。然后再把 p 点的这个纵坐标带入二次函数表达式中去求横坐标就可以了哈，横坐标这样的求出来有两个哈，像这样的 p 点哈，左边一个，右边一个哈，那么这就是这个问题哎， 思路比较哎，比较简单哈，直接套哈，直接套这个面积被数面积定值转化成线段定值哈，去求这个点的坐标就可以。

济南中考三大升学痛点，这样破局更省心？济南初三的家长是不是也被三个升学难题给困住了？别焦虑，今天带给大家济南本地亲测有效的破局方法，每个都配真实案例，看完能直接用 痛点一，分数卡在普高临界线，选普高怕掉队，选职专不甘心五百到五百三十分的家长别纠结，首先瞄准三加四贯通培养。济南七所职专招生二零二五年资格线为四百五十二分。三年职专后呢？转段考试直接升本科。 比如说济南旅游学校对接山师，历城职专对接启功大，去年职升职专的小周通过四百九十分学会计，转段考试六百一十二分，顺利进入了本科，比普高偏科生升学更稳。 通点二，择校只盯着头部名校，却忽略了孩子适配度。不是所有孩子都适合省实验，历城二中的自律性强，擅长自主规划的孩子，省实验的宽松氛围能发挥优势， 需要严格管理的孩子，即刚高中的日清月洁。这种模式更适合像济南三中，二零二一年录取分数线五百二十分，二零二四年特空线上线率百百分之四十五，低性高出的加工能力，对中等成绩的孩子更加友好。 痛点三，升学路径，单行道没留保底方案，普高生别只懂高考，三月份的专科综合评价一定要报 山东商职、淄博职院等双沟院校，考语文、数学加职业适能力，二零二四年济南普高生录取率高达百分之九十二。济南九中的小陈英语偏科，但梳理好光靠这个前前提，提前锁定了电商的王牌专业， 职专生除了三加四还能走职业高考二零二四年济南就有一千零六十八名职专生考上了本科，多条腿走路才踏实。中考升学的关键是找对赛道，而不是盲目跟风。收藏这篇，转发给身边焦虑的家长，关注我，了解更多的升学信息！