足球单招数学试卷立体几何

说 a、 c 是 三，其余棱长都是二，所以咱是马上发现那个 a、 b、 d 还有 b、 c、 d 都是等边三角形啊？是不是有两个面很特殊， 所以我们要干嘛呢？我们就可以走一个交汇法，我分别取外心 o 一， 然后这个 o 二呗， 然后分别去做垂线呗，做面的垂线交于一点，即为一个点 o， 那 么 o 就 会是球心。 嗯，那一样，那这个时候的话呢，我们把这个平面去延展一下，那是不是又应该和我这个 b、 d 交于一点？而且我们应该能够去感觉出来，这个交于一点，这个点又是 b、 d 的 终点， 因为现在两个三角形是一模一样的。等边三角形，那我去延展平面，去和 b、 d 的 交点，肯定是 b、 d 的 中点，那么这件事肯定应该没有问题。嗯，那好， 而且又意味着什么呢？意味着 a、 o、 e、 e 三点是共线的， c、 o 二， e 三点也是共线的，那么有什么用呢？那这道题和刚刚不一样啊，他没有告诉二面角呀。嗯，来， a、 e 是 根号三， c、 e 呢是根号三，而 a、 c 呢是三，所以咱是不是咱发现这个角 a、 e、 c 正好是一百二十度啊？ 那其实这个角，那就是我那个二面角的平面角，人家就稍微隐晦了那么一点点而已，他其实还是相当于告诉你二面角，只不过他没有那么直白。 我现在是不是知道这个角角 o 一 o o 二，那其实是一个六十度，我是不是又会得到一个特殊的四边形，把这四边形给它画出来啊？ 这里直角直角，这里是六十，那就是一百二呗。然后这是 o， 这是 o 二，这是 o 一， 这是一个 e， 然后你看我是不是又可以知道 o e 是 多少？ o e 是 不是 a d 三分之一，而 e 是 根号三，那这就是根号三除以三， 那我是不是又能够知道这个 o e 是 多少？ o e 是 不是马上就有三分之二倍？根号三，有了 o e 有 什么用呢？ 那我要算的外接球半径，那是不是可以放在直角三角形 o d e 当中来去算？因为我这个平面 o o e e o 二、垂直于 b d 啊，那所以它肯定是满足这样的一个 b d 或者 o d 垂直的，我肯定可以勾股， 所以它就是 o e 的 平方加上 d e 平方，该根号你看和刚刚风格是不是很像？所以虽然数字有点变化，但是从头到尾我们这个操作几乎是一模一样的，虽然条件更隐蔽，但是内核并没有太大的差别， 所以最后你去算，这就相当于是根号下的三分之四，然后再加上一个一半径值到了四 pi r 的 平方，咱们这个表面积，那就能够去算出来一个三分之二十八 pi， 嗯，就 ok 了。 所以其实像这种玩法，说实话就是也是比较套路的， ok。

同学们大家好，今天我们一起来讲一下有关于立体几何这样题目的求解方法。我们在做的过程中经常看到有这样的题目，比如说在一个这样的立方体中， 在这样的一个立方体中，然后这是直角，这是直角，这是直角，然后给你给出来某一个点和某一个点，然后连线， 然后再给出来某一点和某一点再连线，让你求这两条线的先面角以及位关系。那么这个时候有很多同学就是搞不清楚这种题到底该怎么做，那我们今天只讲一个办法，一招先吃遍天，我们只用这一个办法就能解决全部所有你能看到的立体几何题目，所有题目都是用于这个技巧，那就是 间隙，间隙是立体几何中能用到最普遍最广泛的方法，同时也是最无脑，只需要计算什么动脑的过程都不用想的一个方法。那我们来看这个间隙，所谓间隙怎么建呢？你比如说 首先我们来看这种就这种三垂直，三垂直的话，那我们就直接这么建 好，现在这是三垂直，三垂直的话，那我们直接建立一个 空间直角坐标系 x y z， 对 吧？然后我们来看，你比如说这个题目给出来，呃，这是 a b， c， 这都是点啊 点，然后这是 o， 你 比如说这个题给出来一个 a c 的 中点和 b c 的 中点，它俩之间的一条这样的线和 o c 这条直线，它的线面角，那么涉及到线面角， 涉及到线面角我们就直接看，我们直接代公式，那么这个公式是什么来看啊？线面角 c 塔散， c 塔等于方向，向量乘上法向量除以方向向量乘上 法向量。注意老师这里写的都是表示方向向量的数量积，法向量的数量积都是它的数量积，而不是它本身。我们要注意向量它是一个矢量式，那么矢量式我们是无法直接进行这样的操作，所以我们要先把它转换成一种这种数值，只有数值，没有方向这种式子，然后进行计算。 好，那同学，那有同学问了，那老师，老师你说这个法向量它是什么东西呢？法向量在这种直角空间直角几何系统是这么求的，我们来看，比如说，呃，比如说你看这个，我，我们练 a 是 二二吧。 嗯啊，这么写零零二，然后练 c 是 零二零，然后练 b 是 二零零。 好，那么我们现在已经知道，其其实就是知道所有点的坐标了。知道坐标之后，那我们来看，你比如说，呃， a c 这条线，他就可以这么表示， 这么表示 a c 是 吗？ a c 就 等于零减二，这是 a c 吗？从 c 到 a， 零减二负二。好，二减零二，零零二负二，这就是 a c 的 一条表示他的这样的坐标。那么再看，比如说 bc， bc 就是， 你看啊，零二负二就是这样表示。然后我们所说的法向量就是找到这样一个向量， n 等于 x， y， z 使得 n 乘上 a， c 等于零， n 乘上 b， c 等于零，那么这样的话，我们就找到了相当于是这个平面的法向量，那么这样的话，我们现在已经知道法向量是什么，我们就可以直接套用这个公式，那么他就是直接描写的问题，你比如说这个点，他是不是就是呃，零一一， 那这个点就是一一零，我们已经知道坐标的情况下，就可以算出来这条线他的那个坐标，那么已知这条线的坐标情况下，我们可以带这个公式。当然还有另外一种方法，老师待会说 好，那么这是线面角，那么再看二面角，就是面与面之间的角 five， cosine five 等于正负 法向量一乘上法向量二，除以法向量一，法向量二，注意啊，上面这个是绝对值，而下面这个是数量积，不要弄混。然后还有就是点到面的距离，点面距 d， d 就 等于向量 p a 乘法向量除以 法向量的梳箱机。那么我们要问了，这个 pa 是 什么？ p 就是 这个面外的一个点， pa 就是 面内的一点， pa 是 什么？就是连接起来之后，老师刚才说那个坐标表达式还记得吗？用它的坐标表达式乘上它，然后再除以它的梳箱机，就是这么简单。好，那么我们已经知道这样的问题了，我们其实就可以运用这个技巧去解决绝大多数的，甚至是所有的有关这种立体几何问题。 好，你比如说我们举个例子，我们来拿二零二五年模拟题举例，他说这个题是这样的， pa 垂直于平面 abc， 然后角 b， a， c 等于九十度， a b 等于一， a c 等于二， pa 等于二，求直线 p b 与平面 p a， c 的 夹角， 这就是典型的一个线面角的问题，那么线面角我们其实就可以利用上面的式子给他很轻松的算算。你比如说我们先来线系，我们来看这个是什么样的， a b， c， 对 吧？你先画个 a， b， c， abc， 然后 bac 是 九十度，这是九十度， pa 垂直于面 abc， 然后 ab 等于一， ac 等于二， pa 等于二，那么来看它是不是可以直接见系啊？是吧， 这不就是上面老师见的这个系吗？一模一样对不对？那我们直接见 x、 y、 z 好， 那么我们已经见好系的情况下，我们要求什么？求 p b 与 p a、 c 的 夹角。我们来看，先写出来坐标， a 是 零零零， b 是 一零零， p 是 零零二，那我们先看 p b 是 多少 p b 直接写啊， p b 等于一零负二，然后平面 p a， c 的 法向量。这个问题就是利用刚才老师教你的技巧，利用 p a 的 坐标与 a、 c 的 坐标进行转化一下，然后就可以得出法向量 n， 那 么老师在这里就不算了，我们直接写出来法向量 n 等于一零零，然后我们直接同时算 c， 它就等于，你看啊，它俩相乘是一乘一加零加零， 再除以他们的数量积就是根号下一方加二方等于五，等于根五除以根五，然后再乘上他根号下一就是一，所以最后答案就是 五分之根五直接出了。那么这个题运用公式，利用间隙就非常好做，就比那种就是我们直接算的那种，要简单的很多很多，那么老师因为时间关系，今天不能说太多，那么老师整理了一下 有关于快速找到法项的 n， 还有就是上面这个间隙方法的一些拓展应用，包括四项间隙法和三维间隙法等多种间隙方法，老师整理在一个做，整理在一个文档中，然后如果有需要的同学们就在评论区扣六六六，然后老师会把资料发给你。关注我，我们继续学习更多江西数学单招秒杀技巧。

hello， 大家好，今天我们来完成复习题四的内容。首先我们来看到 a 组，这是巩固第一个填空题。第一小题，两条直线之间的三种位置关系，分别是什么？平行， 相交，其实这两种是我们在同一个平面当中的关系，对不对？但是通过我们这一张学习，我们会发现两条直线还可以怎么样？不在一个平面内，我们称它为异面 好。直线与平面之间的三种位置关系，分别是直线在平面上， 或者说在平面内啊，写平面内吧，然后直线 与平面平行， 还有什么？直线 与平面相交， 那么两个平面之间的关系啊，有两种，一个是平行， 一个是相交。看一看啊，有没有问题？没有问题，我们来看第二个，如果一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线就与这个平面内的任意一条直线都怎么样？都垂直啊，但是平行呢？它并不满足我们这一个内容， 不是说一条直线与一个平面平行，那么这条直线就平行于这个平面内的任意一条直线的哈，这个是不正确的，但是垂直是正确的。然后第三题， 若四十五度的二面角的一个面上的一个点到另一个面的距离是根号二 a， 则这个点到棱的距离是好。这一个呢，我们需要画一个图来画一画， 这里有点被挡住了，部分用虚线啊，感觉这个角是不是有点太倾斜了，不止四十五度。 好吧，还是有点太斜了，没关系啊，我们凑合一下，你看一下。好，这里是四十五度这个二面角这个面上的一个点， 他到我另一个面的距离，也就是说过这个点来做我的什么垂线，对吧？一个平面 一个点到我平面的距离，是应该他要做垂线吗？对不对？也就是这个垂线要等于多少根号二 a。 好， 这里是四十五度， 这里呢？是垂线九十度，所以我这一个图形抽象出来，他应该是一个等腰直角三角形，这也是根号二 a 这里，那也应该是根号二 a， 对 吧？因为这四十五度嘛，那我这一个 点到我棱的距离，也就这个是我的棱，对不对？这一段也就我这个三角形斜边应该等于多少二 a 嘛？ 你根据勾股定律去算，或者根据我等腰直角三角形三边的比值啊，一比一比根号二去算，是不是也可以？那你这一份是根号二 a， 那 根号二份就是根号二 a， 再乘一个根号二，是不是等于二 a 了，对不对？好，看一看我们的 第一个填空题有没有问题？没有问题之后我们来看到我们的选择题啊， 下列命题正确的，是第一个平行于同一条直线的两条直线平行，哎，这个是正确的。我们说平行是有什么传递性的，对吧？好，第二个 平行于同一条直线的两个平面平行，这个是什么错误的啊？这个平面平行是没有传递性的，你看，这是我的一条直线，这是我的平面 r 法， 这是我后面的一个平面背他，对吧？这两个面都和我这要直线平行，但是这两个平面平行吗？不平行啊，所以第二个是错误的啊。 好，然后第三个平行于同一个平面的两条直线平行，那这个也是错误的。举一个例子， 这是我的平面而发好，这条直线 m 和它平行，这条直线 n 是 不是也和它平行？但是 m 和 n 平不平行，并不平行，对吧？好。 然后第四个平行，为同一个平面的两个平面平行，哎，这个是正确的，所以我们依次正确。那我选择 c 选项，看一下有没有问题。 没有问题，我们来看到第五题，下列命题正确的是 a 选项没有公共点的两条直线平行。 如果是在我们以前的学习，那这句话是正确的。但是现在我们已经从一个平面几何变成了我的立体几何。我们说两条直线还有可能怎么样？意面对不对？意面的时候，他们依然没有公共点，所以 a 选项是错误的， 缺少了意面，对吧？好。 b 选项与同一个平面所成的角相等的两条直线平行，这个是什么错误的？有可能他们的方向是相反的。举一个例子， 对， r 法，哎，这是我的直线 l， 这是我的直线 l、 e、 p、 l 对 不对？这个线于我面所成的角角都是它们的什么锐角嘛，对不对？所以 b 选项也是错误的啊。 好， c 选项与同一个平面距离相等的两个点所确定的直线与这个平面平行，这是什么错误的？他没有说在同一个方向吗？没有说在同一个面上， 同一个方向上就是玩。你看这个点和这个点距离，我平面的距离是相同，但是你这里坐下来，他应该是这个什么垂线，对不对？这条直线是垂直的，不是平行。哦，所以说是错误的。 那么排除法，你是不是都应该选择我的第一选项？那我来看一下我的第一选项吗？如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就与这个平面内无数条直线平行，这个是正确的啊，他没有说所有 对不对？那你想一想，我这是一个平面，平面它有无限延展性，你看，这是我的直线 m。 好， 那 m 一 漂和它平行平一点， m 两漂和它平行， m 三漂是不是也和它平行？有无数条嘛？对不对？数不完的看一下。这是我的第五题，选择低选项 没有问题。之后我们来看到我的第六题啊，下列命题中正确的是 a 选项。若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则这条直线垂直于这个面。我们说线垂直于面，我需要找的是什么？ 这条直线垂直于我这个平面内，两条相交，对不对？没有相交，那他就是 错误的。那，那 b 选项，分别在两个已知平面内的两条直线是一面直线，那么也是什么错误的？两个平面他也可以怎么样 啊？是可以，是相同的，不一定要一面吗？对不对？也可能在同一个平面上啊，是不是有可能平行，有可能相交？ b 型是错误的啊，我们一条直线是可以在无数个平面上的，同学们，你想一想，是不是这样啊？ 好， c 选项，如果一条直线平行于两个平行平面中的一个，那么该直线也平行于另一个平面，这个是什么啊？你想一想，两个平行的平面， 这是阿法。好，这个是我的贝塔。 好，一条直线要平行于它们其中的一个，我可不可以我这条直线在 m 上，它平行于被它。那你说 m 直线 m 平行于平面阿尔法吗？没有啊，它在我的阿尔法内，对不对？所以 c 选项也是 错误的，那排除法选择 d 选项了，那 d 选项到底正不正确？看一下，如果平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，这个是正确的。别人说的是任何一条，那就是所有嘛， 你平面内的所有的线都平行于那个平面，那当然这两个平面平行，对吧？好，现在来看我们第七题，如果点 o， 呃，是点 s 在 平面 a、 b、 c 上的摄影， 嗯， s a 等于 s b， e 等于 s c， 则点 o 是 三角形 a、 b、 c 的。 好，我们这里要作图给大家画一画， 不太好，重新画，哎，叉子橡皮擦，用斜二测画法给大家画一下。 哎呦，好偏好弯曲的线，没事儿凑合看一下啊。 a、 b， c， 好， 这是 s， 这是我的 o 点，他说 s a 要等于 s， b 要等于 s c。 好， 那你想一想，我这里做垂线垂下来， 对吧？好，你看一下，那 s， 我 以两个三角形来说，我的 s a 要等于我的 s、 c， 我 的 s、 o 是 不是也等于 s o， 然后这里都是直角，所以你的三角形 s、 a、 o 是 不是应该全等？我的三角形 s、 c、 o， 你 根据 h、 l 直角三角形的判定，或者你根据我的边角，边边啊，边边角是不是也可以判定？那现在你是不是可以得到我的 o a 要等于 o、 c？ 同样的道理，那它是不是要等于 o b？ 也就是 o 点到 a、 b、 c 三个顶点处的位置要相同？那么这样的点我们称为什么 y 形啊？叫做 y 结圆圆心，你想想一个三角形，对吧？这是 o 点 y 结圆，哎， 我说圆上了一点到我圆形的距离都等于半径吗？所以半径都是相同的，对吧？所以，好，你看，这里等于这里等于，这里都等于半径，所以 o 点是它的 y 形啊，看一下有没有问题。 然后第八题，若正方题 a、 b、 c、 d 杠 a 一 b 一 c 一 d 一 的轮长为 a， 则点 a 一 到直线 b、 d 的 距离。好画图， 这种题必须画图啊，不能偷懒哟，同学们， 偷懒就要出问题，出问题这个题就白做了，你也白偷懒了，对不对？不要偷懒啊！ b、 c、 d， a、 e、 b e c、 e、 d、 e。 好， 这是我的 b、 d， a、 e 到 b、 d 的 距离，这个是要怎么做？什么叫点到直线的距离？应该是要垂直过去， 对不对？要垂直过去？好，你想，你想啊，我连接 a、 e、 b， 再连接 a、 e、 d。 好， 那你看一看，林老师给你抽象出来， 给你抽出来啊！我的 a、 e， 这是 b， 这是 d a、 e， b 和 a、 d 都是我这个正方形啊，一个正方形的对角线，那它的长度 对吧？正方形的边长是 a， 那 它的对角线根号二 a 嘛，所以这里是根号二 a， 这里也是根号二 a， b、 d 是 什么？ b、 d 也是对角线，所以它也是根号二 a。 你 要找的点到直线距离，其实就是找 a、 e 做垂线， 对吧？我这里标一个 e 点，其实你就是找 a、 e 的 距离，也就是找这个等边三角形的 高，对不对？那你想一想，他既然是个等边三角形，所以三线合一，这里既是他垂线，也是他的中线，所以 b、 e 等于的是二分之根号二 a， 这里是六十度 a， 一个六十度的直角三角形，它们三边的关系应该是一比二比刚好三。好，这里是一份， 那这里应该是根号三分，那乘一个根号三，他等于多少？二分之六根号六倍的 a， 所以 a 一 等于二分之根号六倍的 a， 我 们选择 a 没有问题。我们现在来看到我们第九题，第九题要给大家画图啊，我这样画吧， 画大一点，大家好看一些啊。他这是个二名角的题目， 要画的有立体感一点，可能大家看起来好轻松一些。他说的是什么？我这个二面角 r 法杠 l 杠贝塔上有一个棱，上有一个点 a 为端点， 在贝塔内做一条射线，为 a c， 使它与棱 l 呈四十五度，与平面 r 法内呈三十度，则这个二面角 r 法杠 l 杠贝塔的大小可能是， 好，我这里是我的阿尔法平面，这是我的贝塔平面，这条线呢，是我的 l， 我 现在在找一个点 a， 对 吧？好，先换一个颜色啊，同学们，我在贝塔内要找一个 c 点， 对吧？要使我的 a c 与直线 l 成四十五度，好，这个 a c 到与我平面而发，要成三十度角，好，我这里过 c 点做垂线， 或者说做做摄影，对吧？ a c 做阿尔法内的摄影 c 漂，那你会发现我的 c a c 漂，这一个角度应该就是我的三十度， 对不对？好，那我现在先把这一个三角形画出来， a c c 漂，这也是三十度。我现在可以假设我的 c c 一 漂等于长度是一，那我的 a c， 它就等于二， a c 一 漂呢？等于根号 三，对不对？但是他现在让我找这个二面角，那么说二面角他必须要怎么样？这两个棱啊，这两个射线必须都要同时垂直于我的棱 l， 但是你现在 a c 是 没有垂直他的 a c e 漂 a 也是没有垂直他，所以能不能用这个角？这个角是不是三十度？是不是我的二面角？肯定不是，对不对？所以现在我要怎么做？我在北塔内找一个点 b， b 塔内找一个点 b， 然后过点 b 做 a b 的 投影，在我的平面 r 法内变成 b 一 条。好，这一个我们的角， 哎，不太标准。 b a 漂哦， b a b 漂，这个角应该就是我的什么二面角，对吧？我们这里是要让我的 b a 垂直于 l， b 漂 a 也是垂直于 l 的 哈，这个时候它才是。好，这个时候你看一下，如果，假如啊，我们 连接我的 bc 啊，那你会发现我的 abc 就是 在平面北塔内的一个直角三角形 abc， 对 吧？而且我的角 a， 我 的 c a b 应该就是四十五度嘛。 ac 是 等于二的，所以 ab 等于多少根号二，好，这里也是根号二，所以我的 ab 根号二，对不对？好，那你再来看一下我这一个 c 和我的 b cb 两点应该都是什么？平行于 l 的， 对不对？我这条直线是平行原有的，那我这一条 c b 这一条直线一定平行于我的平面 r 法，也就是说我这一条直线上的任意一点到平面 r 的 距离都应该要相等。 我们说 c 点到我平面 r 的 距离 b b 一 漂是不是也应该等于一？ 是不是应该这样？那根据我的勾股定律，我的 ab 漂也应该等于一。那你会发现我这个三角形 b a b 漂，它是一个等腰直角三角形，这一个我要找的这一个平面角的角度为四十五度，因此我这一个要找的二面角的角度也应该是四十五度。所以我们这个题选择哪一个？选择我的 b 选项啊，选择我们的 b 选项，看一看有没有问题。哎，这一个要画很多图啊，同学们，我专门用不同的颜色给你们标出来，因为很容易弄混响啊，林老师都容易弄混响，那我相信大家可能都容易弄混响，所以一定要看清楚好不好？这是我们第九题啊！ 然后我们来看第十题，在正四面体 s 杠 abc 中， s、 c 与 ab 所成角的大小。好，我这里给大家画一下啊， 正四面体是什么意思？同学们，记不记得？就每一个面都是什么正三角形，也就是都是等边三角形啊。 s、 a、 b、 c， 它问的是 s、 c 与 ab 所成的角的大小。那我做什么？ 做 s c 到 ab 的 一个投影吗？ 或者说一个摄影，对吧？ 你这一个与我这一个 a、 b 所呈的角度， 你看一下啊，同学们，这里因为都是一个正四面体，大家都是什么六十度，所以说你看一下林老师画的 我这一个是我的点 d 吧，我的 d 点为我 ab 的 中点啊， d 点是我 ab 的 中点，我的三角形 s、 a、 b 应该是一个等边三角形， d 点是他的中线啊，中点，那我的 s、 d 既是他的中线，也是他的垂线，所以我会发现我的 ab 垂直于 s、 d， 对 吧？那在我的底面三角形 abc 当中，三角形 abc 也是一个等边三角形， d 点又是他们的中点，所以 c、 d 既是他们的中线，也会是他们的垂线。那这个时候我的 ab 垂直于 c、 d， 你 会发现我的 s、 d 交 c d 于点 d， 所以 我的 ab 是 什？怎么样垂直于我的平面 s、 c、 d 的， 因此我的 ab 它是垂直于 s、 c 的， 所以它们这两条直线所成的夹角是多少？九十度吗？选择我的 d 选项，看一看有没有问题？ 好。第十一题，两条直线没有公共点，是两条直线平行的什么条件？那我们就看一下前面能不能推后面，后面能不能推前面，对吧？两条直线没有公共点，我们说是有两种可能，第一种可能是什么相啊？平行， 还有一种可能意面，对吧。所以你会发现你的前面能不能推后面？不能， 他有可能是一米，所以推不了两直线平行，但是两直线平行是可以推导出他没有公共点的。 我们说前面推后面是充分，后面推前面是必要，那前面不能推后面，那就是不充分，后面能推前面那就是必要。所以这一个是什么必要不充分？选择 b 选项，看一看有没有问题？ 没有问题。再来看我们的第十二题，在一百二十度二面角 alpha 杠 l 杠 beta 的 内部有一个点 p 好， 在这个角的中间相当于，对吧？然后这两个平面的中间有个点 p 嘛，若它到平面 alpha、 beta 的 距离均为五，则点 p 在 alpha beta 内的之间摄影的距离为好。这一个 画图，对吧？还是给大家画一个图，平面阿发， 这是我的平面贝塔哈，他们是摊开的，因为一百二十度嘛，对不对？好，这里一个点 p， p 点的距离，那就做垂线。这是 p 点啊，这里也是做垂线，他，他们的距离都是五。 好，那你想一想，同学们，我这里连接一下，所以你会发现它长成这样的 p 点，它到这两个之间的距离相等，所以相当于我这个 p 点，还是这一条线，还相当于是他们这个平分线，对不对？所以这里一个是六十度，这里一个也是 六十度，对吧？哎，这里选的是六十度，我要找的摄影其实之间的距离，一个两个，然后找他们的什么，所以你看一下，相当于长这样。啊， 这是五，这也是六十度，我们说一比二比根号三，五，这里是根号三，所以这里一相当于是根号三分之五，也就等于的是什么？三分之五倍根号三， 对吧？但你要找的是阿尔法贝塔内摄影之间的 p 点，阿尔法在贝塔内摄影之间的距离，所以它这摄影是长这样的，这两条是摄影摄影之间的距离，就找这两个找它的距离，对不对？好，这里一个是五倍杠， 三倍五，三分之五倍杠三。哎，哎，橡皮擦呢？啊，这 三分之五倍根号三，好，六十度啊，我要找的是这里，那这一段就应该是多少？ 三分之五倍根号三，这里是六十度，那这里是他的一半，就变成六分之五倍根号三。好，这里要乘他的根号三，所以这里是二分之五，一半是二分之五。呃，两部分，那是不是应该等于 五？所以我这个题选择 c 选项，看一下有没有问题。摄影之间的距离，对吧？相当于是换一个颜色，给大家画一下 这一条直线的，这的断线断的长度对不对？看一下。好，没有问题。之后我们来看最后一个选择题了。啊，我把这里擦一下。 好，十三题已知点 o 是 abc 的 垂心啊，点 p 是 平面 abc 外的一点， 且 o p 垂直于平面 abc。 若三角形 abc 边上的 ab 的 高是 cd， 则下列错误。呃，结论错误的是好画图，对吧？画图 p 点，要是他的垂心垂心 p 点 o p 垂直于我这个平面，那我画鞋用鞋儿侧画法来画，稍微好看一点点 a、 b、 c。 这是 p 点啊，这是 o 点 o p 还是我外的一点嘛，对吧？好，且三角形若三角形 a、 b、 c 上的高是 c d 好， 那这里还是高。哦 哦，糟了， 搞 c、 d。 下列结论错误的是 a、 b 垂直于 b d。 这个是啊 p， 这要连一下，对吧？ a 选项啊， a， b 垂直于 p d。 啊 a， b 垂直于 p d。 好， 你想一想，既然它是我垂心啊，垂心是什么意思？垂线的焦点吗？中垂垂线的焦点对不对？好，所以说我的 p o 或者说我的 o d， 我 的要做垂线的话，那肯定就也就是它的高线嘛。所以我的 p 点一定是在我的 d 点，应该在我的 o 点上啊，是不是应该这样，对吧？这样画才对， 对吧？是应该这样画吗？对吧？垂线吗？所以我的点 o 应该是在我的 c、 d 上啊， c d 上 c d。 好， 现在再来看， a、 b 垂直于 p d。 好， 你的 a、 b 是 垂直于 c、 d 的， 对吧？我的 ab 垂直于 cd 嘛，垂线，对吧？而且因为我的 o p 垂直于这个平面 abc， 所以 我的 o p 也垂直 ab。 我 的 o p 交，我的 cd 有 一个交点点 o， 所以 你的 ab 垂直于这个平面 p o、 d， 那 你的 a、 b 当然垂直于我的平面 pd， 所以 a 选项是正确的啊。 b 选项 c、 d 要垂直于 pc， 这个能不能说明我的 c、 d 啊？ pc 呢，可以把它看成肯定只能放在我的平面 p d c 当中了， 对吧？他垂直吗？其实你肉眼看呢，都觉得不垂直，对吧？肉眼看他都不垂直啊。所以说啊，因为你的 o 点不能落在 c 上面吗？也不能落在 d 上面， 对吧？你的 p 点不能落在 c 上面，也不能落在 d 上面，所以 b 选项肯定是错误的啊，我们这里直接选择 b 就 可以了，当然，你看一下你的 c、 d 选项 是什么？ ab 垂直于 pc， 你 看一下我这里，把 pc 连起来，我这 pc 是 不是也在我平面 p d o 当中无限延伸的嘛？平面可以无限延伸嘛，对吧？所以心弦肯定是正确的嘛。然后你看你的 p o 是 不是也是 在我这个平面当中？所以啊，我们这里错误的是 b 选项，看一下有没有问题， cd 都可以证明的，对吧？ 好，没有问题之后呢，我们来看到我们第三个解答题了啊，已知四棱柱 a b c d 杠 a e b e c d e 当中 a a e 要垂直于 ab a a e 要垂直于 a d， 要证明这个四棱柱为值四棱柱，也就是其实你就证明什么它的棱啊，侧棱垂直于底面就可以了。然后第二个，若 o o e 为该棱柱的高，求证 o o e 平行于 a a， 其实它是直，我们说直四棱柱，它的棱长就会等于它的高，对不对？那这个题呢，你必须要画图啊，看一下吧。 哎，我这里为什么擦掉啊，看一下怎么证明的， a a e 它垂直于 ab， 这个是题干上告诉我的 a a e 又垂直于 a d， 那 我的 a b 交 a d 于点 a， 所以 我的 a、 a、 e 平垂直于我这个底面。要侧能垂直于底面，那它当然是一个直角。楞住了， 我这里的底面我是用平面 a、 c 用它对角线来表示的啊，当然你也可以写成平面 a、 b、 c、 d， 对 吧？ 看一下这第一小问，那第二小问啊， o、 o、 e 为它的高，那你的 o、 o、 e 肯定是要垂直于我的平面 a、 c 的， 那你的 a、 e、 a 又垂直于平面 a、 c， 我 们是垂直于同一个平面的两条直线要平行。看一下我们十四 t 有 没有问题？ 没有问题，我们来看我们的第十五题。已知点 o 是 平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c 和 b、 d 的 交点点 p 在 平面 a、 b、 c、 d 之外，并且我的 p a 等于 p c， p b 要等于 p d 要求正 啊！ p、 o 垂直于平面 a、 b、 c、 d 平面 p a、 c 要垂直于平面 a、 b、 c、 d。 好， 证明直线垂直于平面。我们说要证明的是这条直线要垂直于我这个平面内的两条相交直线， 对吧？你要证明两个平面垂直是证明什么？一个平面内的两条相交直线是垂直于你这个面的， 那么过这条直线的面都会垂直这个平面，对不对？垂直看一下吧，我这里画了图的啊， 当然第一个题啊，因为 pa 等于 pc， pb 等于 pd， 所以 这两个三角形都是等腰三角形。既然是等腰三角形满足三线合一，那它既是它的中线， 也会是它的垂线，对吧？ p o 既是我的中线，也是我的垂线，所以我的 p、 o 它垂直于 a c， p o 也垂直于 b d， a、 c 交 b、 d 于点 o， 所以 我的 p o 垂直于这个平面 a、 b、 c、 d， 这是没有问题的。 然后又因为你的 po 是 包含在平面 pac 当中的，我们说了两个直线要垂直，就是什么其中一条各平面内的一条线是垂直于另外一个平面，这个就 ok 了。好吧，看一看有没有问题。 好，没有问题就看一下我们下一个条，有问题的同学，你可以按暂停键自己写一写过程好不好啊，去画图啊。 然后第十六题，若正三角形 a、 b、 c 的 边长为一， d 是 ab 边的中点点 p 是 平面 a、 b、 c 外的一点，且 p c 垂直于平面 a、 b、 c， p c 等于二分之一。要问我这一个啊， p d 与平面 abc 所成的角的大小。第二个要求，二面角，那这里你都要注意，你要去找什么垂直对不对？所以看一下主要画图啊。同学们，你看一下， 我这里是连接了 c、 d， 连接了 c、 d， 由于我的 pc 啊，它怎么样垂直于平面 abcd 啊？当然我这你这样话就不太感觉不太立体了，你想一想啊，闭上眼睛想一想，你的 pc 是 垂直平面 a、 b、 c、 d 的， 那我的 cd 其实就是我指我线段 pd 在 我平面 a、 b、 c、 d 上的摄影， 对不对？那因此这一个角 p d、 c 就 应该是我 p d 与平面 abc 所成的一个角。我们说你要将这一个线面角或者说二面角换成平面角，你是必须要 去说明的啊，必须要去说明的，尤其是线面角转化为平面角，你一定要去说摄影啊，你一定要有两个字，摄影好不好？好，又因为我这三角形 abc 呢，它是边长为一的 正三角形，也就是等边三角形，对吧？所以 c、 d 等于多少二分之二三，这个很好算，自己去算啊。 b、 c 题干上说了二分之一，好巧， p c、 d 又是一个直角三角形，所以我的 另一个角 p d c， 你 用我的正切值可以表示出来，等于三分之二三的一个锐角，那只能是多少六分之二 啊。线面角的取值范围都是零到二分之拍的 b 区间吗？对不对？ 然后第二题，他是求二面角，那求二面角的话，你必须要说明他为什么是二面角，也就就是我的什么 p c， 他 垂直于 ab， 然后 cd 也垂直于 ab， 对 吧？ 看一下啊。然后我的 p c 交 c d 于点 c， 所以 我的平面，我的 a、 d 是 垂直于平面 c p d 的， 也就是说 ab 一定垂直于 d p 啊，所以你的角 p d、 c 就 应该是这个二面角，对吧？就是这个二面角，因此大小。你第一个小问，算了吗？六分之二，看一下有没有问题？第十六题啊， 没有问题，我们来看到我们 b 组能力提升已知，等腰三角形啊，等腰直角三角形 a b c a b 等于 a， c 等于 a， a、 d 是 斜边上的高 沿 a、 d 对 折后，使 b、 c 等于 a， 求折后所得二面角 b 杠 a d 杠 c 的 大小，这是一个过程，对吧？那过程呢？还是可以画图啊，你看一下吧，我这里的 a、 d 用蓝色线画出来，它就是我的一个折痕， 现在要把它折上去了。折上去以后呢，你会发现 a、 d 一定是垂直于 c、 d 的， 对吧？ a、 d 也是垂直于我 b、 d 的， 哎，这个毋庸置疑嘛。好，那此时 c、 d 交 b d 于点 d， 那 a、 d 一定是垂直于什么？ 你也可以直接就可以直接说，我这二面角其实就可以是什么 c、 d、 b 对 不对？直接就等于 c、 d、 b 嘛，因为都是垂直于这个棱的，对不对？这个棱 a、 d 的 嘛。好，那 ab 等于 ac 等于 a， d 是 bc 的 中点，所以 cd 等于 b， d 应该等于是多少二分之根号而已嘛。 我的 c、 b 原本是我这个直角直角三角形的一条斜边，他被分成了两半，对吧？所以一半是二分之根号二 a 啊，另一半也是二分之根号二 a。 然后你的 bc 答案上说啊，我的题干上说等于 a， 那你会发现这个 c、 d、 b、 d 啊 bc， 它满足我的勾股数，既然是满足我的勾股数，因此三角形 c、 b、 d 为直角三角形，那我的角 c、 d、 b 等于的是九十度，因此这个二面角的大小为九十度。看一下有没有问题。 你要说明啊，角 c、 d、 b 为什么是它的二面角的平面角，就说明我的 c、 d 垂直于 a、 d， 对 吧？ b、 d 垂直于 a、 d。 就 这句话不能省啊，省的话就被扣分了。同学们看一看有没有问题？ 没有问题，我们来看到我们的第二题 b 组第二题已知四棱锥 s 杠 a、 b、 c、 d 的 底面是矩形 s、 h 与底面垂直 ab 等于三， ad 等于四， s、 a 等于六 点， ef 分 别是 b、 c、 s、 d 的 中点。第一个求证， ef 平行于平面 s、 a、 b， 你 看一下这个点 ef 分 别是这两个边的中点。像这种题，我们去找线面平行，是不是找了太多了， 对吧？什么三角形的中位线定力呀，是不是或者证明他是一个平行四边形啊，这种是不是找过很多这种类似体？我们是说只要平面外的一条直线，只要平行我这个平面内的任何一条直线，这条直线都和我这个平面平行， 对吧？好。第二个，你要求这一个 e、 f 与 b c、 a b 所形成的角度，那你这个就是找什么？如果这两条直线是异面的怎么办？我们说平移其中一条线， 对吧？平移其中一条线，把它平移到同一个平面内，那此时所成的夹角也是我这两条意面直线所成的夹角。好，然后要求这个三棱锥的体积，体积的公式是什么？三分之一底面积乘 搞，是吧？所以这个你会发现最终还是要落到画图上面了，是不是？你看第一个题，我知道 e f 是 他的终点，那我可以找一个 g 点吗？他是 s a 的 终点，连接我的 e f g b， 他 是一个平行四边形， 对不对？他一定是个平行四边形，因为你的 g f 与 b e 平行且相等，对吧？那既然是平行四边形，对边要平行喽。 e f 平行于我的 b g b g 是 在我平面 s a b 当中的，因此 e f 平行于平面， s a g。 看一下。当然题干上说要 s a b 啊，我们就改一下吧。这写错了，哎，题干上说，哦，糟了， s b、 g 属于 s a b 嘛？ 哎，为什么感觉我现在我的笔不够灵敏呢？是该换了吗？ 好，第二个，你看要求 ef 和 ab 所成的夹角， ef 和 ab 是 怎么异面的吗？ 啊？异面，那就 ef 平行于 b g 啊，所以你这个 ef 和 ab 所成的夹角就是 g b 和 ab 所成夹角，也就是 g b a 这个角，对吧？看一下嘛， 然后再根据我提设的条件提高的一些条件。 ab 要等于三，对吧？ s a 要等于六，那 g a 是 s a 的 一半，那就是也等于三。三分之三等于一呀，它占了多少度？等于一？在零到二分之拍的范围内，它占了四十五度嘛，也就四分之拍，对不对？所以 ef 与 ab 所成的夹角的大小为四十五度，或者一些四分之拍都可以啊。 好，第三题，你看我这个绿色的部分，就是你要找的这个三棱锥的体积，如果你是要去把它看成我的 s 杠， a b， e， 那 s a 呢？距离是知道，但是这个三角形 a， b， e 你 可能不太好算，所以你可以把它倒过来，就是这个三棱锥，把 s a， b， e 看成它的底面， b， e 看成它的高，这个是可以的，对不对？这个是可以的，好，此时你会发现，三角形 s a、 b 的 大小你是很好算的，二分之一底乘高嘛？二分之一乘三乘六， b e 的 长度 你也是有的呀， b e 就 等于二嘛，对不对啊？ b e 就 等于二。所以说 这样子啊，你把这个立体几何，尤其是求体积能追的体的时候，有的时候不太好求的时候，有可能你会需要想一下，我这个图是否可以旋转或者翻翻过来，对吧？这个立体图形翻过来改变一下它的底面积和高，哎，就好算了，看一下有没有问题， 有问题的同学写一写好不好啊？动笔写啊，边写边思考，效果好一点。好，现在我们再来看我们的第三题啊，要 做一个结面，过 a c， b 一， 做一个结面，要证明我这个结面 a c b 一， 要垂直于对角面 b 啊， d b、 b 一 d。 好， 先把这个结面算出来呀， 我这里呢，没有画，我直接是去证明的啊，我直接去证明的，因为我要证明这两个面垂直，我需，我只需要证明我洁面当中的一条线垂直于我这一个对角面就行了，对不对？我找的是 a、 c 啊，或者我给大家画一下你要找的。 我这个时候呢，我找的是 a、 c 啊，你看一下，因为它是个正方体，那正方体的我的 b、 b、 e 一定是垂直我这个底面的。哦， 那它既然垂直我的底面，那它一定垂直我底面当中的任何一条线，包括的 a、 c， 所以 我的 b、 e、 b 是 垂直于 a、 c 的。 好，他又说 a、 b、 c、 d， 所以 我的底面 a、 b、 c、 d 是 个什么正方形？那我的 a、 c 垂直于 b、 d， 对 吧？ 对角线嘛，啊，正方体啊，正方形的对角线要相互垂直，对吧？所以我这个时候 b、 d 交 b、 e、 b 于点 b 啊，此时我的 a、 c 是 垂直于这个平面 d、 b、 b、 e、 d、 e 的 好，而且你的 a、 c 是 包含在 a、 c、 b、 e 当中。当然这两个面要怎么样要垂直，看一下有没有问题， 这题相对要简单一点啊，像这种类似的题目，大家已经做过很多了，脑子里一定要有印象啊。 这里没有问题，以后我们来看到我们 c 组啊，将一张长为四十厘米，宽为三十厘米的长方形纸，沿一条对角线 a、 c 折叠成一个直二面角啊，如图所示， 要怎么去计算另外两个顶点 b、 d 之间的距离？好，这里我要给大家做辅助线啊，你看一下， 我是这样子做的，我既然要算 b、 d 之间的距离，那我肯定要怎么样过？坐在平面 abc 里面 b、 d 的 一个什么投影，一个摄影，对吧？一个摄影，我就是 b、 f。 好， 我这里是去做垂线啊，我这里做垂线，我知道我的 d、 f 肯定要垂直于 a、 c 的， 是不是？所以我在我的第一个图里面啊，平面的时候，这个图里面我就做 d、 f 垂直于 a、 c。 好， 我的 b、 e 呢？也垂直于 a、 c， 那 根据我们的勾股定律啊，根据我们的勾股定律，这里是三十度。 哦，三十厘米啊，对不对？ a、 d 是 三十厘米嘛？好，你的 a、 f 是 不是可以算出来的？ a、 f 是 可以算出来，它应该要等于多少？它应该是要等于十八厘米。好，这个是怎么算的？因为你的 c、 b 等于 a， d 等于三十， a， a、 b 又等于四十，所以你的 a、 c 很 清楚，应该等于是 五十厘米，对不对？五十厘米。好，我的 d、 f 与我的 b、 e 要等于二十四，这个是怎么算的？我跟大家说一下。我们这里用的是等面积法，等面积法 a、 c， 你 可以很清楚知道五十，因为勾股数嘛，三四五，对不对？勾股数三四五，等面积法。那你的三角形 abc 面积啊？ s 三角形 abc， 他是不是应该等于二分之一？被乘 ab， 再乘一个 bc， 对 吧？二分之一，他是不是还可以写成二分之一？ a、 c 乘 b、 e， 可以的吧，对吧？好， a、 c 是 五十，这里是四十，这里是三十，所以我这里算出来 b、 e 等于二十四，那同样的道理，我的 d、 f 也是等于二十四，对不对？好，二十四厘米 斜边有了，直角边也有了， a、 f 有 没有？有了吗？对吧？等于十八， a、 f 等于十八，那你的 c f 应该等于多少？五十减十八等于三十二厘米，是吧？啊，那 c， e 肯定是等于 a、 f 都等于十八的，所以我的 e f 等于十四厘米， e f 等于十四厘米。那你的你看在我的直角三角形 b， e、 f。

看这个上来就是三问都先不读题，先看问题，第一问是让你正线面平行，第二个问是要正线面垂直，第三个是求体积。好，那我就分别用几何和那个间间隙的方法来解这道题啊，那我们第一问就选用通平，通平常的就选用平常的方法， 就是根据我们背的那些东西去正。好了，现在看下题干吧。 abcdabcde 是棱长为一的正方体， e 是 aae 的终点，嗯，让你求线面平行，求的是 ace a c 一，哎， a c 一，它画的这条虚虚线，然后平平行于面 b 一， 让我给他描一下啊，我们看的清晰一下。 b 一第一 e 这一个三角形， b 一第一 e， 是吧？ 好，哎，先回忆定理啊，要想正线面平行，然后把那个线要正线面平行，需要正什么线？线平行对不对？好， 要想正线线平行，那就是说了。我之前上节课我也总结过啊，要想正线线平行，我们通常会什么应用到三角形的中位线，要不就是什么， 嗯，平行四边形的性质是吧？那这个图跟结合这个图说了，点意是个终点，来点意是个终点，有了一个终点了，哎，我自然而然就会要想到三角形的中位， 那我就想构造一条线，在在这个平面内还得跟 ace 平行，你是不是，你看你是不是也能看出来， 你看是不是也能看出来？哎，是不是存在这么一条线？好，那这条线我们要怎么来呢？哎，所以我就想到了，我连接 a e c e 是不是会和 b e d e 有一个焦点 o， 焦点 o， 那我连接 e o 的话， 因为这个图形，因为这个图形是不是是一个正方体，是吧？是一个正方体。那我们连接 a， e， c e， 连接 a e， c e 与 b e， d e 相交，是不是就是一个终点，是吧？ 这是平行四边形的一个性质了。正方形的性质，对角线互相垂直且平分。 哎，连完了之后，那现在 o 也是终点， e 也是终点，看是不是三角形 a a e， c， e 的中位线？好啊，我写一下，有的同学不写着就已经迷糊了，证明看。我连接 a， e， c， e 交 b e， d e 与点 o， 是吧？那因为又因为点 e 是终点， 是不是能够得到 o e 平行于 a， c， e？ 为什么？因为它是 三角形。看啊， aaece 的中位线是不是？哎，是的话，那是不是就能得出来 ace 是平行于 oe 的？那进而是不就能得出来 ace 是平行于面 b e， d e， e 的，对吧？因为 o e 在面儿 b e， d e 上， b e， d e e 上，对吧？好，那第一问就做完了。

哈喽，大家好，我是汉城大赵张老师，今天我们通过两道题来学习一下正三棱柱的体积和它的侧面积。那在这个里面的话，我们要知道什么是正三棱柱啊？正三棱柱是指的我们下面的这个三角形是一个边三角形啊，每条边都相等 啊，而且大家要在考试当中要会画图，这个图体验给大家画好了，所以在考试当中是没有图的，是需要你自己来画图的啊。 那在这个里面的话，那我们首先看他给的条件，他说是底面边长为二，也就是我们的这个三角形的边长都是为二啊，然后他的高为一，也就是这个高是为一的，那求他体积，首先我要看这是什么体积，那体积里面要么是柱体，要么是锥体，要么是球体，他说是柱， 那柱体的体积用 v 来表示呢？它它的公式是 s h， 就是 底面积乘以高啊，底面乘以高，那它的底面是一个三角形是吧？边长为二的一个等边三角形啊，边长为二的一个等边三角形，那这个三角形的面积应该是怎么来求呢 啊？第一种求法是做高线，那第二种方法，那我们用一个呃，三角函数里面我们用到的公式，三角函数里面三角形的公式是不是二分之一？ a b 三以 c 啊？也就是知道角度就行，那他三条边相等，说明他们三个角相等，说明每个角应该是为六十度，所以是二分之一乘以二乘以二乘以 三以六十度，这就是他的三角三面积，所以二分之一乘二乘以三以六十度，那六十三以六十度等于二分之根号三，然后再乘以我们的二，再乘以二， 然后再乘以我们的二分之一，所以进行约分，约分只剩下我们的根号三啊，所以他的一个底面积是等于我们的根号三的，然后高高是为一，所以是根号三。乘以一，结果等于根号三，所以无选式二号必选上。好，那接下来看第二题。 第二题的话是这个正三棱柱的侧面积，那大家要知道什么是侧面积？侧面积指的是除了上底 和下底，整个我们侧面啊，整个侧面，那侧面来看是三个面，对不对？他的侧面底面边长为四啊，底面边长是为四，也就是说这个距离是等于四的啊，然后高是三，也就是说这段长是为三啊，那他的面积是一个长方形，长方形面积应该是 款，对不对？所以是四乘三应该等于十二。一共有像这样的面，一共有三个面，一个面，两个面，还有后面面三个面，所以十二乘以三就是等于三十六，这就是他的侧面积。侧面积就是除了上底和下底的面积， 那如果考到是表面积的题的话，表面积就是再加上上底和下底就所有面的面积，那就叫做表面积。

巩固基础考高分！今天我们来讲一个单招数学当中常考的立体几何问题。在正方体 a、 b、 c、 a、 e、 b、 c、 e、 d、 e 中意面直线 d、 e、 c 与 b、 d 所成的角，那么究竟是多大呢？ 那么解决这种意面直线所成角的问题，往往是将这些意面直线转化到一个面当中，再去求它们之间的夹角。那么转换的方法呢？我们最常见的就是找某一条直线的平行线，正好和另一条直线在同一个面里面，这样的方法是最常见的。那么对于这个题我们来看，首先要做一条辅助线， b、 e、 d、 e 发现 b 一 d 和 d、 b 是 平行的，所以我们只需要找到 b 一 d 和 d、 e、 c 所成的角度就可以了。接下来我们再连接一条辅助线，就是 b、 e、 c。 这个时候大家观察一下啊， b、 u、 d、 e 什么是是上面这个正方形的对角线，而 b、 e、 c 是 右边这个正方形的对角线哦， 然后 d、 e、 c 是 我们看到的后边那个 d、 e、 c 的 正方形的对角线，那么这个正方体它的每个面的对角线的长度是一样的，所以这三条边的长度是一样， 证明三角形 b 一 d 一 c， 它是一个等变三角形啊。那么等边三角形的每一个内角都是六十度，也就说 b 一 d 一 和 d、 e、 c 所成的夹角是六十，那同理， d、 b 和 d、 e、 c 所成的角也就是六十。 这个题答案选 c。 想吻上单招公办数学易错点，一定要吃透！私信领押题卷，测测你能不能达标！

三招的同学们大家好，我们今天给大家分享一下三角函数的二倍角公式，在学这个内容之前，大家需要先记住一下右边这三组公式。第一个是 口算阿法会等于口算阿法的平方，减去三阿法的平方。第二个等于二倍的口算阿法，平方减一。第三个等于一减去二倍的三阿法的平方。 同时大家要记住一下口算三十度的值，以及口算四十五度的值。我们来看一下第一道题，口算阿法等于三分之二，让我们求口算阿法， 在这里我们可以代入第二种公式，也就是口算阿法会等于二倍的口算阿法，平方减一，我们将口算阿法带成三分之二，所以这里是二乘三分之二的平方减一，也就是负的九分之一。 第二道口占十五度的平方，减去三十五度的平方。那我们这里看起来应该比较像我们右边这里的第一组公式，也就将第一组公式的阿尔法带成十五度， 所以这里会等于口占的二乘十五度，所以我们将它写下来，应该是口占二乘十五度，也就是口占的三十度，所以会等于二分之。根号三，选择 c 选项。那么第三道题给大家有做课后的练习，大家有答案也可以打在评论区。

看一，一只 mn 为两条直线，阿尔法贝特为两个平面， m 属于。看啊， m 属于平面，阿尔法属于平面，阿尔法。 看，就这样了， m 在平面阿尔法内，下面有四个命题，让你去判断真正。呃，正确的命题是什么？看这种题，在做的过程中，你就自己一边读题，一边画个小图就 ok 了，特别简单，特别简单啊。看这个，若 m 平行于阿尔法， 则 m 平行于 n。 哎，你看啊，我要这么画那条 n 的话，这这么画，这么这么着画起来应该看着会更舒服一些。这么着画，在这这么着画，那现在我这条 n 呢，跟这个平面就是平行的，那他跟 m 平行吗？不平行吧，很明显不对，那一就排除了。那做选择的时候，你看有一的，那不都排了吗？好了，有一的排了之后，直接就干掉了两个选项，就还剩 cd 了， cd 里边又同时又都有四，那我们四可以不看了，肯定对， 那就看一下二三就 ok 了。看一下二三，再看。先看二， n 如果垂直于阿尔法，现在 n 垂直于阿尔法了， 垂直了，垂直于阿尔法，那么 m 也垂直于 n。 哎，这个是对的吧。这刚刚老师也说了，如果一条直线要垂直于这个面， 那这条直线一定会垂直于面内的任意一条直线，所以二是对的。那这道题已经选完了，就选 c 啊，是吧？

大家好，今天是九月一号星期五，我们一块看一下体育单刀数学最后一大部分立体结合初步的内容。 题登的数学总共是考九部分，我们在之前分三十次更新了八个方面，还剩一个立体结合初步。 呃，在二零二一年及之前，这个立体结构初步，它每年都是最后一道大题。 呃，按照考纲的要求呢，他也是要占百分之二十的分之三十分，但是从这个二二年二三年的考题来看，他只是考 每年都是考一道选择，一道填供，大概十六分。嗯，所以我们对这个这一部分大大致有一个了解吧。然后这个上面是考试内容和考试要求， 主要是主要是直线、平面，平面与平面，还有一些啊，圆锥啊，球啊，这这方面的性质，或者他的那个表面积啊，体积啊， 我们来看一看他的考点吧。第一个考点是直线与平面的关系 啊，直线和平面的关系，这个考点主要是直线与平面的平行 型，还有垂直。呃，如果要正一个直线与平面平行的话，啊，这个怎么正呢？ 就说啊，要在这个平面里找一条线啊，与那条直线平行，就是我们要正一个直线与一个面平行，那我们就要在那个面里找一条线就可以了。 然后我们说的时候呢，要说这个直线啊，在面里啊，另一个直线在面外，那这样的话，这个直线与面就平行了， 然后这一边一般会用到那个三角形的中位线定理。什么意思？就是说这是一个三角形啊，找他边的终点，那他一连就是三角形的中位线，中位线和底边的关系，从位 上来说他俩是平行的，这种位置关系从数量上来说来说的话，那就是，呃，中位线是等于底边的一半， 或者假如我们找一下这个 b c 的终点，它也一样，假如找 b c 的终点，那连接一下 f 吧， e f， 那 e f 它就与 a b 平行，而且等于 a b 了一半儿，那这是它的终极限定笔。 呃，然后就是直线与平面的垂直，直线与平面的垂直，这个要。嗯， 正直线与平面内的两条相交直线啊，这个很关键，一个是两条，另一个还是相交，就这两条直线有交点，这个是什么意思呢？就是要 找两条相交直线啊，不能只与一条直线垂直。假如他与一条直线垂直，他就会与无数条直线垂直， 但是与无数条直线垂直，他也不一定与这个面垂直。要找两条相交直线啊，要找两条，而且这两条有焦点， 我们只需要，哎，证明与第一条 l 一垂直啊，又证明与 l i l 二垂直，然后 l 一 l 二有一个焦点啊，这样的话这个直线和那个面就垂直了啊，这是直线与平面垂直的这样一个。呃，判定证明。 然后下边是平面与平面的关系，平面与平面的平， 平行啊，两个直线就可以，两个啊，不平行的吧？不平的直线或者两个相交直线，他就可以把这个面确定下来，那如果两个相交直线都与另一个面平行的话，那这两个面就平行了， 然后就是平面，平面的垂直夹角是九十，那这两边垂直，或者说，呃，一个平面的垂线，哎，另一个面经过这个垂线，那经过这个垂线，那这个两个面就垂直了 啊，这是平面与平面的垂直啊。下面我们又给大家的一点提示，垂直于同一平面的两个直线平行啊，垂直于同一个平面的两个直线啊，就平行了。平， 平行于同一个平面的两个平面也平行，平行于同一个平面的两个平面也平行。 然后第三个是平行于同一平面的两个直线啊，关系是不确定的。假如这有，其实我们可以，呃，转一个笔吧，假如我们手里拿个笔转一下，就这样水平的转一下，你看这个 笔啊，他与地面是平行的，当我们转动过程中会形成无数条直线，那这些直线都与地面平行，但是这个两个线他们都不是平行的关系 啊，不一定是平的关系。垂直于同一平面的两个平面也位置关系不确定，就长了。两个平面都与这个呃，平面垂直了，那他那这两个平面啥关系呢？或者说你看 我们把书拿一本书，我们立到桌面上，立到桌面上，我们把书翻开，那这两个面都与桌面垂直啊，但是这两个面他也不一定平行。 或者你看这个，我们房间啊，有一个底，有个地面，有个天花板，这四壁，四个墙壁他都与啊，地面垂直， 都与地面垂直，那这四个面他是啥关系啊？确定不了。而且那个门，你看那个门，我们随便拉，随便拉啊，当拉开门的时候，这个门也与地面垂直， 那所以这个门跟那个四个墙壁又是什么关系呢？也确定不了。所以说啊，如果两个平面怎么样啊？两个平面啊，都垂直于同个平面的话，那他们的关系也确定不了。两个平面平行，其中一个平 面与另一个垂直，那另一个也垂直啊？两个平面都平行了，两个平面都平行了，那如果一个与地面一平面垂直了，那另一个是不是也垂直了？哎，他本身就平行了，是吧？ 呃。这个关于这个直线平面，这个比较简单啊。二十年的，考了一个选填空题， 但是他这个也，但是从这个反馈上来看，有的同学做这题还是不容易拿满分的。不容易拿满分，我们来分析一下吧。 offer 与 beta 垂直了啊， gamma 也与 beta 垂直了，那这两个啥关系？有关系没？没有，就像那个地面一样，就我们做这类题可以用地面啊，强 墙壁，就房间，还有那个纸笔啊，我们借助这些啊，培养我们的想象能力吧。你看那两个阿富尔卡马都与被单垂直，那他俩啥关系啊？就你看四个墙壁还有那个门都与地面垂直，那这四个墙壁还有门有关系没？没有，可能垂直，可能平行，也可能啥关系？没有。 第二个，呃， alpha， 伽马都与被他平行了啊，那这两个就平行了？第三个，哎。他俩平行了，那 alpha 与他垂直，那两个面平行了，其中，呃。与另一个面与其中一个面垂直，那与另一个面怎么也垂直 啊？这个其实也一样，他只是把那个数给换了一下，那所以这个还是垂直的关系。 二零二一年的第十体， m n 是两条直线， alpha 被它是两个平面啊。下面四个结论， m 与 alpha 平行， n 与 beta 平行， alpha 与 beta 平行，那么 m n 的关系就是，我们可以先看这个平面和平面的关系，就我们找两个平行的平面， 然后其中一个笔啊，假如一个地面和天花板吧，其中一个笔与地面平行，那另外一个笔与天花板平行，那这两个笔的关系是不确定的。 第二个啊，找两个垂直的平面。嗯？找谁啊？找地面和墙面吧，找地面和一个墙面啊，其中一个笔与地面平行，另一个笔呢？与。 呃，墙面平行，那这两个笔啥关系？也没有关系，是吧？也没有关系。呃，或者说不确定。这个第三个，两个面平行啊，找地面和天花板吧，其中一个笔与地面垂直，另一个笔与 跳板垂直。那你看这两个笔是不平行的关系，这个是对的。第四个呢，两个面垂直，两个面垂直啊，一个笔与地与地面，另一个笔一个墙面垂直，那你看这两个笔也是垂直的关系。 我们来看一下二零二零年，你看二零二一二二连的三年考了这个题。 我们看，呃， beta 和 gamma 是垂直的关系，而且相交于 beta 和干嘛是垂直的关系。然后呢？ alpha 与 beta 呢？ alpha 与干嘛也是垂直关系啊？它俩相交啊， alpha 与 beta 垂直，相当于直线 a， beta 与干嘛垂直相当于直线 b。 你看怎么说？你看一个假如地面吧，地面啊，四个墙面，四个墙面和地面都有一个胶线，都都都垂直，而且有个胶线。那我们看他的判断，第一个啊，他说这两个面平行 啊，对不对？那这就没法不对了，他俩的关系是不确定的。就像我们刚才说都与地面垂直，那这四个墙壁还有那个门啊，他可能是平行，也可能垂直，也可能是没有关系，就是当那个两个面平行的时候啊， 那两个胶线也平行，这是没问题的。两个面平行了，是吧？他们都与地面垂直，两个面又平行了，那他们的胶线也是平行的。 第四 offer， 嗯， beta 相较于 c， 那就是像那个墙壁跟门，它有一个胶线，那个胶线叫 c， 那它们的胶线怎么来也与那个 gana 垂直，这个是没问题的。 一八年 alpha 贝塔是两个平面， m n 是两个直线，它给的关系是直线。 m 在那个 offer 里，就我们可以把桌面啊当成当成 offer， 然后在桌面上。呃，画一条线嘛， 啊？或者是画画纸上画一条线啊，这个就是 m 他给的，你看他给的条件命题， d 若 n 与阿尔法平行，那 m 平行一个，那我们转一下笔吧。转一下笔，你看他这个笔跟这个桌子上这个线， 呃，就这个笔跟桌子平行，但是这个笔就跟桌子上的直线不一定平行，是吧？所以说这个一就不对了。 呃，二呢， n 垂直于阿法就是 n 垂直这个桌面了，那垂直这个桌面就会垂直这桌面里的任何一条直线，那所以这个二是没有问题的。 三呢， n m 与 beta 平行，就是这，我们在桌上画这个线与 beta 平行，那 after beta 不一定啊，就是当 我们拿一个，拿一个平面吧，或者拿一张纸与桌面上这个线平行的时候，我们在保证平行的前提下，我们是可以转动这个面的，所以说啊，这个 offer 和 bitar 就不一定平行了。四呢， m 垂直背带啊， m 垂直背带，那阿法也背带也垂直了。你这个，你当你垂直这个 m 垂直背带，他就像一个什么串羊肉串什么串一样，你就是你把这个直线已经把这个平面给串起来了，那就所以他动的话，他就不会， 不会，只能垂直的动了，就不能再别嗯，别的方法移动了。二零一五年的第七题，我们来看下面四个命题。呃，真命题。呃， l 与 f 二垂直， m 也与它垂直，那所以这两个线就平行了。可以找两个笔都与桌面垂直，那这两个笔是平行的关系。第二个，嗯， l 与被它平行， ma 与被它平行，那它俩不一定关系。加上我们找找两个笔转是吧？ 都都都与桌面平行，我们是同时转动这两个笔，那他们是没有关系的。 l 与 alpha 垂直，还有 batter 垂直啊，这两个面就怎么平行了？ 第四啊， m 与 after， 呃，平行， m， a 与 bitter 平行。那 offer 与 bitter 呢？ 也不一定是吧？就是我们可以拿一个，当这两个面都与笔平行的时候，我们也是可以保证他在啊与这个笔平行 前提下，你把这个面稍微转动一下啊，他就不平行。你拿个笔啊，我们现在竖一个笔，对着那个对着那个门的，那个门与墙壁的胶线。哎，我们现在这个笔啊，垂直地面与那个门与墙壁的胶线，他是怎么样平行的是吧？ 那这个笔迹与呃门平行，还与墙平行，那这个门和墙它也是没有关系的啊，不是平行的关系。 呃，实际原因我们今天先看一下，看到这里吧，之后我们再看一下他的表面积，体积的考点，还有呃，立体几何的综合体啊，欢迎大家到时候持续关注，再见。

hello， 同学们，大家晚上好，今天晚上给大家更新一期例题几何。那么今天这个题目呢？第一问是让你证明一个面面垂直，第二问是证明线面平行。先来看题目中的已知条件， c、 c 一 垂直于 abc， 这个是线面垂直，那么根据线面垂直的定义，我们知道 c、 c 一 就会垂直于底下这个面的任意一条直线啊，这个后续我们要用到的。好。第二个，这个三角形是一个等边三角形，并且 d 是 终点 哦，这个等腰三角形顶点和我们中点的连线，是不是和我这个底边是垂直的关系啊？好，先来看第一问，那么根据我们刚才的这个推论啊，因为三角形 abc 为等边 三角形，并且 d 为 ab 中点， 所以我们知道 a、 d 是 不是就是垂直于 c、 d 的？ 我为什么要写 a、 d 呢？因为你看现在这个，如果把 c、 c、 d 看成是一个平面的话啊，那么我这个 a、 d 好 像就像是它的一条垂线， 我要证明 a、 d 是 它的一条垂线，仅仅只垂直于 c、 d 是 完完全全不够的。因为线面垂直的判定定理要求我们要在这个平面内找到两条相交的直线和它垂直，是不是才可以啊？所以我们又可以再用到第一个条件。哎，就是说我们刚开始说的 c、 c 一 垂直于平面 abc 啊，那么又因为我这个 a、 d 它是不是包含于平面 abc 的 啊？平面两字我省略没写啊，那所以说 这个 c、 c、 e 就 垂直于我们的 a、 d。 好， 你看现在的两个条件哈，一个是 a、 d 垂直于 c、 d， 一个是 a、 d 垂直于 c c、 e， 这两条线是不是都是我的平面 c、 c、 d 上的，并且它俩还相交啊？又因为 c、 d 交上 c、 c、 e 于点 c， 并且呢，这个 c、 d、 c、 c、 e 都包含于平面 c、 e、 c、 d 啊，所以我们就证明了 a、 d 啊，它是垂直于 c、 e、 c、 d 的， 或者说 a、 d 就是 这个平面的一条垂线哦，既然垂线找到了，那过这条垂线的任意一个面是不都和这个平面是垂直的？嗯，那你看，现在我这个 a、 d， 很 明显它是包含于平面 a、 d、 c、 e 的 好，所以就证明了我们的题目 c、 e、 c、 d 啊，是垂直于 a、 d、 c、 e 啊。你在书写的过程中，一定要把这个平面两次加上哈。好，这第一问 好，再来看第二问，第二问呢？是线面平行。那根据线面平行的判定定律，我们知道，要想证明一条线平行于一个面，我必须在这个面内找到一条线和它平行才可以啊。那么现在呢，没有现成的这个平行线，所以我们要去做一个辅助线。 做辅助线有两个原则啊，一个是连对角线，再一个就是去构造中点，去找三角形的中位线。好，现在很明显还有一个正方形的对角线没有连起来啊，那就是 b、 c、 e。 当我连接这条对角线之后， 它与 b、 e、 c 相当于点 o， 这个点 o 是 不刚好是一个中点啊？那你再去连接你的 o、 d 的 时候，会发现它这个 o、 d 刚好就是三角形 a、 b、 c、 e 的 中位线。好 连接 b、 c、 e 啊， b、 c、 e 交上 b、 e、 c 于点 o、 o 为，嗯，谁的终点？ b、 c、 e 终点，又因为 d 为 b a 终点， 哎，所以这个 o、 d 是 不是就是平行于 a、 c、 e 的 好，下面平行除了平行之外，我还要写一个不包含，一个包含好。又因为 啊，我这个 a c 一 啊，它不包含于平面 c， d， b 一， 但是 o， d 包含于平面 c， d， b 一， 所以就证明了 a c 一 啊，平行于平面 c， d， b 一。 这就是这个题的一个完整的解析步骤。