河北单招数学立体几何求角

巩固基础考高分！今天我们来讲一个单招数学当中常考的立体几何问题。在正方体 a、 b、 c、 a、 e、 b、 c、 e、 d、 e 中意面直线 d、 e、 c 与 b、 d 所成的角，那么究竟是多大呢？ 那么解决这种意面直线所成角的问题，往往是将这些意面直线转化到一个面当中，再去求它们之间的夹角。那么转换的方法呢？我们最常见的就是找某一条直线的平行线，正好和另一条直线在同一个面里面，这样的方法是最常见的。那么对于这个题我们来看，首先要做一条辅助线， b、 e、 d、 e 发现 b 一 d 和 d、 b 是 平行的，所以我们只需要找到 b 一 d 和 d、 e、 c 所成的角度就可以了。接下来我们再连接一条辅助线，就是 b、 e、 c。 这个时候大家观察一下啊， b、 u、 d、 e 什么是是上面这个正方形的对角线，而 b、 e、 c 是 右边这个正方形的对角线哦， 然后 d、 e、 c 是 我们看到的后边那个 d、 e、 c 的 正方形的对角线，那么这个正方体它的每个面的对角线的长度是一样的，所以这三条边的长度是一样， 证明三角形 b 一 d 一 c， 它是一个等变三角形啊。那么等边三角形的每一个内角都是六十度，也就说 b 一 d 一 和 d、 e、 c 所成的夹角是六十，那同理， d、 b 和 d、 e、 c 所成的角也就是六十。 这个题答案选 c。 想吻上单招公办数学易错点，一定要吃透！私信领押题卷，测测你能不能达标！

hello， 同学们，大家晚上好，今天晚上给大家更新一期例题几何。那么今天这个题目呢？第一问是让你证明一个面面垂直，第二问是证明线面平行。先来看题目中的已知条件， c、 c 一 垂直于 abc， 这个是线面垂直，那么根据线面垂直的定义，我们知道 c、 c 一 就会垂直于底下这个面的任意一条直线啊，这个后续我们要用到的。好。第二个，这个三角形是一个等边三角形，并且 d 是 终点 哦，这个等腰三角形顶点和我们中点的连线，是不是和我这个底边是垂直的关系啊？好，先来看第一问，那么根据我们刚才的这个推论啊，因为三角形 abc 为等边 三角形，并且 d 为 ab 中点， 所以我们知道 a、 d 是 不是就是垂直于 c、 d 的？ 我为什么要写 a、 d 呢？因为你看现在这个，如果把 c、 c、 d 看成是一个平面的话啊，那么我这个 a、 d 好 像就像是它的一条垂线， 我要证明 a、 d 是 它的一条垂线，仅仅只垂直于 c、 d 是 完完全全不够的。因为线面垂直的判定定理要求我们要在这个平面内找到两条相交的直线和它垂直，是不是才可以啊？所以我们又可以再用到第一个条件。哎，就是说我们刚开始说的 c、 c 一 垂直于平面 abc 啊，那么又因为我这个 a、 d 它是不是包含于平面 abc 的 啊？平面两字我省略没写啊，那所以说 这个 c、 c、 e 就 垂直于我们的 a、 d。 好， 你看现在的两个条件哈，一个是 a、 d 垂直于 c、 d， 一个是 a、 d 垂直于 c c、 e， 这两条线是不是都是我的平面 c、 c、 d 上的，并且它俩还相交啊？又因为 c、 d 交上 c、 c、 e 于点 c， 并且呢，这个 c、 d、 c、 c、 e 都包含于平面 c、 e、 c、 d 啊，所以我们就证明了 a、 d 啊，它是垂直于 c、 e、 c、 d 的， 或者说 a、 d 就是 这个平面的一条垂线哦，既然垂线找到了，那过这条垂线的任意一个面是不都和这个平面是垂直的？嗯，那你看，现在我这个 a、 d， 很 明显它是包含于平面 a、 d、 c、 e 的 好，所以就证明了我们的题目 c、 e、 c、 d 啊，是垂直于 a、 d、 c、 e 啊。你在书写的过程中，一定要把这个平面两次加上哈。好，这第一问 好，再来看第二问，第二问呢？是线面平行。那根据线面平行的判定定律，我们知道，要想证明一条线平行于一个面，我必须在这个面内找到一条线和它平行才可以啊。那么现在呢，没有现成的这个平行线，所以我们要去做一个辅助线。 做辅助线有两个原则啊，一个是连对角线，再一个就是去构造中点，去找三角形的中位线。好，现在很明显还有一个正方形的对角线没有连起来啊，那就是 b、 c、 e。 当我连接这条对角线之后， 它与 b、 e、 c 相当于点 o， 这个点 o 是 不刚好是一个中点啊？那你再去连接你的 o、 d 的 时候，会发现它这个 o、 d 刚好就是三角形 a、 b、 c、 e 的 中位线。好 连接 b、 c、 e 啊， b、 c、 e 交上 b、 e、 c 于点 o、 o 为，嗯，谁的终点？ b、 c、 e 终点，又因为 d 为 b a 终点， 哎，所以这个 o、 d 是 不是就是平行于 a、 c、 e 的 好，下面平行除了平行之外，我还要写一个不包含，一个包含好。又因为 啊，我这个 a c 一 啊，它不包含于平面 c， d， b 一， 但是 o， d 包含于平面 c， d， b 一， 所以就证明了 a c 一 啊，平行于平面 c， d， b 一。 这就是这个题的一个完整的解析步骤。

hello， 大家好。呃，前几天就是单招系列里面有一个立体几何大题讲解的那个视频，里面有两个东西，大家就是可能不太理解，就是为什么我正线与面的余弦值我要去找， 就是这个题，线与面的于弦直，正弦直啊，正弦直。我为什么要去找这条线与它垂直以及这条线与它垂直，为什么要去证？证明这一步以及面与面垂直 已知二面角啊，面与面所成的二面角，为什么要找这个面与这个面的交线，然后并且找到一个点做两条垂线垂直于它，然后这个所形成的叫二面角，然后左边的话，这边这边，我这个二面角写错了吧， 应该是角 c d p。 对， 这念的时候一直念 c d b， 但其实际上是 c d p。 啊，对，为什么这个是二面角？ 还有这个，那今天就做个解释，那首先我们来看到二面角吧，我们首先从二面角看哈，大家翻一下书啊，就是翻书，把书翻开来，它是不是有两个面啊？ 嗯，这样子，这个面与这个面的夹角我们怎么求啊？哎，是不是你从这边看到的这条与这条所形成的角呀？这个就是面与面的夹角， ok 吧？好，那这个夹角我们去怎么求呢？ 好，那首先哈，我要画出来，我必须要画出来，在书上的话好画呀，哎，书上翻开来就是对不对？好，这个角怎怎么来的？我们要随便取一点哈，我把它画大一点啊，画大一点，画这么大。 好，我们来看啊，我取一点，找一个点啊，垂直于这条交线，在这个面里面垂直这条交线，好，再找这个点啊，在这个面垂直这条交线，你看这个角与这个角会干嘛？会不会相等啊？因为它与它平行啊， 它我垂直了，也与它平行平行啊，对不对？所以这个角就是这个角，对不对？有没有发现？所以面与面的角角，我就在这个 两个面的交线上面，干嘛？找一个点分别做他俩的垂线啊？做完了之后我把这个角求出来就 ok 了。好，我们来看到 去年的春季高考的第二小问，现在要证明的是谁？要证明的是 p、 a、 b， 这个面与谁？ abc， 这个面的二面角，首先求正弦值，首先我们要找到那个角是哪个吧？ 你找不到角，你求什么？这钱值呢？对不对？好，那怎么找呢？还是一样的，找一个人干嘛？与他垂直？与他垂直，对不对？好，那这个点怎么找呢？这边首先他做垂线下来，这边找到一个， 随便取一点 a、 b、 c、 d， 假设这是点 d， 那 这个垂直了，那我就给他连起来，为什么要给他连起来？ 你们能不能成连这个连这个，连这个，连这个连这个那那那那啥子都知道？肯定是这个点嘛，为什么只有这个点？ 你不可能连个 a， 连个 b， 找他终点，找他终点嘛，对不对？这很明显了，就是他垂直他，他与他求这个角就行。好，昨天怎么讲的？首先 这边三，这边四，然后这边五用了两个勾股底里吧，不会的话记得去看一下单招的那个系列视频的第一个小问号，所以才证明到的。他垂直他，他也垂直他的他，他俩都垂直 a、 b， ok 不？ 所以我直接求 p d、 c， 求这个角就是这个二面角，然后只要求他正弦直，然后可以把那个这个直角三角形给画出来， ok？ 不？ 这是面与面，接着线与面啊。线与面。我们来看啊，那线与面，哎，这条线我只需要做一条线垂直于这个面，哎，然后我给这两个连起来，那这个角就是线与面的夹角，但是这条线好做吗？ 它不太好做。我们来看啊，它不太好做。为什么呢？我们来看，注意看啊，我要这个题。第二个题啊， a c 与这个面的 所成的角，我要找到这个角，我，那我就要在这个线里面干嘛？做一条垂线垂直于这个面吧，对不对？ 那垂到哪里去呢？垂到，这不是，这不是垂线，这不是垂线，这是直角啊，对不对？这不是垂线啊。好，那这怎么办呢？应该找他垂直，哎， 垂直就一定垂在这啊？我这边不一定，也可能是垂直吧，对不对？好，所以就有哪遇会遇到哪种情况，我往下做垂线。可以啊， 那你知道是这条是垂线还是这条是垂线还是这条是垂线吗？我随便做三条线你都分不出来哪条是垂线，你知道吧？所以在这里面 找得到吗？我直接找一条，我就说他垂直，他能行吗？垂直于这条线就是一定垂直于这条面吗？不一定吧，所以干脆不找了。那应该怎么办呢？我直接找个面， 跟刚才那个翻书一样，我怎么呢？我把这条线放在这个面上， ok？ 不？ 来，注意看啊，注意看，这一步很关键啊，这个 q 啊 q r 啊 q p， 我 给它放到这个面里面， ok？ 不？好，现在我要找的不就是这条线与这个面的夹角吗？也就是这个角，也是这个西塔，能不能理解？所以 我干嘛？我只需要这条，干嘛？ p q 垂直这个以及 q 这个 q a， 哎， 垂直这个交线，那这个角是不是就这个角？所以我们只需要证明的是谁线垂直于交线以及什么交线上，这一点，垂也垂直这个好，那我们来看到这道题 一定要仔细听，仔细去理解哈。那你看啊，这个线我要证明它垂直它以及这个垂直它，那我这个角就是线与面的角，能理解吧？ 线与面所成的角，可以吧？再来一遍，我要直接做垂线，我办不到， 做不到啊，臣妾做不到，好难找，找不到，知道吧？你不可能就是做一下，哎，就出来了，我说做垂线就做垂线，线到面的垂线很难做的，很难办的呀， 你求法项链就好好办了，射就行，但是你现在就是用初中方法，没办法去求，知道吧？所以这很难办到呀，所以我们就退而求其次，我找面面，哎，我找这条线与与这个交交于他这个交这个交线以及这个焦点，然后沿这边也做一个垂线， 继续你看这条交线，哎，是吧？那我这条线垂直它，这条线也垂直它，哎，这个角就是我们所求的角的， 能理解吧？好了，那通过这个视频，然后大家可以结合看一下上次那个为什么要证明它， ok 吧？好了，那感谢大家收听，拜拜。

同学好，我是 sky 老师，这边拍个小视频讲一下啊，这个立体几何啊，那这个几何我觉得用空间向量是更好处理一些好不好？首先三棱台啊， a、 a、 e 垂直于底面啊，它是跟底面垂直，那么其中这个地方有一个九十度，哎，那么此时间隙的时候，我们以 b c x 轴， b a y 轴， 那么 z 轴是过 b 点向这个面做垂线，好吧，那同时因为刚才 a、 a 一 垂直底面，所以这两个是平行的好不好？ 好，再来，那么根据长度啊，这个是一，这个也是一，这个也是一啊，底面这两个都是二，好吧，那么此时这两个坐标是很好理解的啊，分别是它， 那么此时再来 a、 e、 b、 e 这个坐标怎么来处理好不好？那么 a、 e 的 坐标很简单，它是在 a 的 正上方，说白了就是这个 z 向上加一个单位就行了，好不好？ 来，那么此时 b 一 怎么来处理啊？ b 一 向底面做垂线，那这个地方应该是一个矩形，好吧，所以这个长度是一，那这个长度是一，好，那 b 一 的坐标，记住 y 的 话，坐标是一， z 的 坐标还是一，所以说应该是零一一，这是 b 的 坐标 好，那么有了这几个坐标之后，来首先来看一下 a、 c 向量在这个地方，这是方向向量， 那第二个心与面，那就是要求法向量，好吧，那 b、 b、 e 向量在这个地方啊， b、 c 的 向量在这个地方好，有了这个之后，设法向量，而这个地方就是一个比较常规的操作方式，求面的法向量，好吧，好，那么有了面的法向量之后，哎， 那么记住线与面得到的公式应该是三引，这个地方必须要记住啊，是三引，三引等于这个，那么三引等于二分之一，记住我们线面角是零到二分之拍之间， 零到二分之拍，零到二分之拍要等于二分之一，三引只有唯一的一个值，就是六分之拍，也就是三十度，好吧？啊，这是这个题，用空间向量这个地方比较好处理一些，好不好？这是这个题。

如图所示， a、 b、 c、 a、 e、 b、 e、 c、 e 是 指三楞柱 a、 b 等于 b， c 等于 a、 e、 c、 c、 e 都等于 a。 而且角 a、 b、 c 等于九十度，这是一个九十度的角。 显然上下地面都是等腰直角三角形。因此， a、 c 和 a、 e、 c 一 都等于根号二。 a 求 一面直线 b、 b、 e 与 a、 c 所成的交， 要求两条一面直线所成交。一般的来讲，是将其中一条直线平移和另外一条直线相交，这两条相交直线所成交， 平行成橡胶。两条橡胶直线所成的角就叫两条一面直线所成角。 显然， a、 e、 a、 c、 e 就是 两条一面直线所成角。这样，在直角三角形 a、 a、 e、 c、 e 中， 角的对边长是 a， 邻边对边长是根号二 a 邻边是 a， 那 么它的正切值也就等于根号二。由此，我们可以由直三棱中 它中的两条次棱 a、 a 一 和 b、 b 一 平行， 那么角 a、 e、 a、 c、 e 就是 一面之线 b、 b、 e 与 a、 c、 e 所成的角。 由于 a、 a、 e 等于 a、 a、 e、 c、 e 等于 a、 c 都等于根号二 a 所以说要求角的正切值就得对边 a、 a 一 必定边 a、 e、 c、 e 必定边 a 一 根号二 a、 b、 a 等于根号二。 第二问证明 d 一 为一面之线 b、 b 一 d 一 为一面之线 b、 b 一 和 a、 c、 e 的 公垂线。 我取 a、 c 的 中点 f 连 e、 f， 则 e、 f 就是 a、 c、 c 一 的中位线。三角形 a、 c、 c 一 的中位线， 则 e、 f 平行且等于二分之一 c、 c 一， 然后再连 b、 f。 由于 d 是 d 为 b、 b 一 的终点，则 b、 f、 b、 d 也平行且等于二分之一 c、 c 一， 所以说 e、 f 平行且等于 b、 d， 所以 说四边形 e、 f、 b、 d 为平行四边形， 所以说 d、 e 平行且等于 b、 f。 又因为 b、 a 等于 bc， 所以 说 b、 f 就 垂直于 ac， 因为这是个直角楞柱平面 b、 a、 c 垂直于侧面 a、 a 一 c、 e、 c 且 平面 b、 a、 c 交平面 a、 a、 e、 c、 e、 c 与直线 a、 c 两个平面垂直，其中一个平面的一条直线垂直于交线，所以说 b、 f 就 垂直于平面 a、 a、 e、 c、 e、 c。 因为 a、 c、 e 在 平面 a、 a、 e、 c、 e、 c 中， c、 e、 c 也在这个平面 a、 a、 e、 c、 e、 c 中，而且 b、 b、 e 平行于 c、 c、 e。 所以 说 b、 f 就 垂直于 a、 c 一， b、 f 垂直于 c、 e、 c。 由于 c、 c 一 和 b、 b 一 垂垂直平行，所以 b、 f 也垂直于 b b 一。 由于 b、 f 和 d、 e 是 平行且相等，所以说 第一也就垂直于 a、 c 一。 第一也垂直于 b b 一。 又因为 d 点在 b b 以上， e 点在 a、 c 以上。说一说， 第一为一面直线，一面直线 b、 b 一 与 a、 c 一 的共垂线， 第三求一面直线 b、 b 一 与 a、 c 一 的距离 有第二文的证明之。 b、 b、 e 与 a、 c、 e 的 共垂线段 为 d、 e， 且 d、 e 平行且等于 b、 f。 在直角三角形 abc 中， ab 等于 bc 都等于 a， 则斜边上的高 b、 f 也得二分之根号二 a。 所以说 d 一 就等于二分之根号二 a。 也就是说，一面之线，一面之线 b、 b、 e 与 a、 c、 e 的 距离，它之间的距离， 之间的距离为二分之根号二 a。

看解答题的第十七题，考的是空间立体图形吧，我们在初中的时候啊，是不是喜欢考平面图形， 在平面中考线线平行是吧，线线垂直，求线段的长度，然后考察三角形全等啊，三角形相似等等，这初中选考的内容，那高中时候呢，就喜欢考空间图形， 空间图形主要考察线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直，然后选考二面角等等。那这一题呢，主要是考察是线面平行和二面角。 我们先看第一题，第一小问啊，第一小问，若 a， d 啊，垂直于 p b， 证明 a， d 平行于平面， p b， c， a， d 平行于平面 p b， p d， c， p b， c 这个平面 p b， c， 然后 a， d 啊，是这条线，我们看一下题目吧，我看一下那个开头，那个开头给了哪些条件吧，这个四等锥把 p a， b， c， d， 然后 p a 呢，是垂直于底面 a， b， c， d 的 p a 啊，垂直于底面 a， b， c， d， 那 么 p a 就 垂直底面上的任意一条直线吧。 然后 p a 等于 ac 等于二， p a， p a 等于 ac 等于二，等于 ac 等于二 pb 啊， bc 等于一， ab 等根号三， bc 等于一， ab 啊，等于根号三。根据这个条件啊，根据这个条件，我们能够求出啥？这不角 b 等于九十度啊， 根据这个条件和这个条件， a， c 等于二，我们能够得出角 b 等于九十度，角 b 等于九十度。根据勾股定律，角 b 等于九十度，是吧？然后我们再来看，若 a， d 啊， a， d 垂直于 pb， a， d 垂直于 pb， a， d 垂直于 p p b， 这这这个这长的 p b 证明 a， d 平行于平面 p b， c 这题啊，是不是很明显用到线面平行的判定力里啊， 就是这平面外的一条直线啊，与平面内的一条直线平行吧，那么这条平面外的这个直线是不是平行于这个平面？所以我们就要找和 a、 d 平行的一条在这个平面 p b， c 上的一条直线吧。 哇，你看这个图啊，是不是很明显啊，这个 bc 有 可能是平行的呀， bc 是 有可能平行于 ad 的 吧，那我们这时候你就要详细的看一下 bc 是 不是平行于 ad。 好 吧，我们根据已知条件，已知条件如果，那我们已知条件，我们知道了，角 b 等于九十度吧，如果，如果角这个角，这个 d， a， c， d， a， b 也等于九十度的话， 那么 ad 就 平行于 bc 了吧，所以我们主要是证明下这个角 d， a， b 等于九十度，也就是啊， d a 要垂直于 ab 吧，要证明这个这个吧， 我们如何这样？我们看这四等锥啊，这四等锥 pa 啊，是垂直于里面 a， b， c， d 的 pa 是 垂直于 a， b， c， d 的，是吧，那么 pa 是 不是垂直于 d a， 那 p a 因为啊，第一题啊，因为啊，因为 p a 垂直于底底面 a， b， c， d， 那 所以啊， p a 就 垂直于 p a 就 垂直于啊，还有个条件啊，然后 a， b 是 不是含有这个皮底面？ 韩语这个底面 a， b， c， d， 那 么 p a 就 垂直于， 不是 ad 啊？ ad ad 韩语这个底面，那么 p a 就 垂直于 ad 吧， p a 垂直于 ad， 你 再来看他题目又说了， ad 是 不是垂直于啊，又，因为啊， ad 垂直于 pb 吧， ad 垂直于 pb 这条斜的线，那所以啊， ad 就 垂直于平面， 啥 ad 啊，就垂垂直于平面 p a b 哇，用英文啊，英文 a b 是 不是韩语？平面 p a b 那 所以啊， a d 就 垂直于 a b 吧。 好吧， a d 垂直 ab 哎，这个条件怎么是算求出来了啊？那又因为又因为啊，角 abc 等于九十度啊，是根据勾股定来的吧？这是根据勾股定律算出来的吧。 那所以啊，就所以啊，就 a d 就 平行于 bc， 对 吧？平行于 bc， 那 又因为又因为啊，又因为 bc 是 不含于平面 pbc 是 吧？ a d 啊，不含于平面 pbc， 那 所以啊， a d 就 平行于平面 p b c ok， 你 就这第一小问。第一小问，先求两个线平行，然后根据判定定理求出线面平行。好，这是第一小问。第二小问， 若 a d 垂直 dc 把这个去掉，这不是垂直了？第二个 a d 啊，垂直 a d 这个吧， a d 啊，垂直 dc a d 垂直 dc。 好， 那就这个角是九十度吧， 这个角等于九十度。角 a d， c 等于九十度，且二面角 a c， p d 的 正弦值为七分之，根号四十。这个角 a a c p a c， p d 啊，这个按面角的正弦值为七分之，根号四十二。 这种怎么求呀？这不第一反应啊。第一反应是啥？这不建立空间直角坐标系啊。空间直角坐标系 为什么要建直角坐标系呢？因为这种方法可以避免，避免啊，直接去求二面角，如果你直接去求这二面角，是不是一下子很难看出来啊？一下子很难看出来。你不知道哪个角？不知道哪个角是二面角吧？你，你是不是还要去找这二面角是比较麻烦的，所以我们第一反应是用空间直角坐标系， 用向量的方法是比较简易，而且这一题啊，是不是也非常好，非常容易去做这个空间直角坐标系啊，因为很多垂直就已经告诉你了吧， 那我们这一题啊，我们就先采用第一种方法建立空间直角坐标系，好，它告诉你 a， d 垂直于 d， c， a， d 垂直于 d， c， 那我们，那我们就，我们就可以以这个为 x 轴吧，我们以啊以 d， c， 以 d， c 为 x 轴，以啊 a， d 为 y 轴， 好吧， a， d 为 y 轴，然后过 d 点，过 d 点去做平行于 p a 的 线。直线 啊，这个 v z 轴 v， z 轴，然后就过 d 点做 平行于 p， a 的 直线， 为 c 轴， c 轴为什么要做平行于 p a 的 直线啊？因为 p， a 是 不是垂直于底面 a， b， c， d， 那 么这时候 z 轴啊，就垂直于底面 a， b， c， d 吧，那这个，那这三个轴呢？就是我们想要的轴， 我们设，我们求的是 a， d 吧，我们设 a， d， a， d 等于 a， 长度等于 a， 这时候我们是不是要求各点的坐标呀？二面角 a， c， p， d， 那 我们看 a， 求 a， c， p 和 d 的 坐标吧，你看 a 点坐标等于什么？ a 点坐标是不是等于零？ a， 零，然后 c 点坐标， 四点坐标，我们不知道哎，但是我们知道这个三角形啊，这是 d 点，这是 a 点，这是 c 点，我们设的是哪个？ a， d， 这是九十度啊，这 a， d 是 等，这不等于 a， a， c 等于多少？ ac 是 不等于 ac 等于 ac 的 平方，是不等于 ab 的 平方，加上，哎， ac 告诉你了， ac 告诉你了， ac 告诉你了， ac 等于二， a， c 的 长度等于二，那么 d， c 的 长度就是四减 a 的 平方吧。好，那么 c 点坐标就是根号下四减 a 的 平方 啊， c 点，然后零零，那 p 点坐标是啥？ p 点坐标是这个点就是在 x 的 轴上是零吧，那 y 轴上是不是就等于 a， z 轴上等于二吧，因为 p a 的 长度等于二， 然后 d 点坐标就是圆点，就零零零。好，我们求出所有点的坐标了，那么这时候我们先看，先看平面啊，先看平面 a， c， p， 先看平面 a， c， p， 我 们是求出两个，两个求出两个，那个向量呀， 求出两个向量吧，我们先看 a， c 啊， a， c 向量等于多少？先看 a， c 等于根号下 四减 a 的 平方负 a 吧。零，哇，这 a， c 的 坐标，再求一个 ap 吧， ap 等于 零，零二吧，零零二，好，我们设设 m i n 吧， i n 等于 x y 一 z 一 为平面 a， c p 法向量，那我们能够求出啥？求出 n 等于啥？ 具体过程草纸啊，那 z 肯定是等于零， z 肯定是等于零八， z 肯定是等于零，那我们求出啊，我们假设我们令 x 等于一，那 y 就 等于是不是 a 分 之根号下四减一的平方，这是 n 的 坐标，我们再看平面 里面啥？ c， p， d 吧，看里面 c， p， d， 我 们求坐标，我们选两个吧，选 d p， 先选一个 d p， d p 等于什么？零 a 二呀，再选一个 c p 吧， c p 等于 负的根号下四减 a 的 平方 a 吧，有个二，好吧，同样，我们设 m 等于 x 一 y 哦， x 二 y 二 z 二为平面 c p， d 的 反向量， 这时候我们求出 m 等于多少其中一个向量 m 零二 零二非。好吧，这是，这是 m 的 向量，我们只是求出其中一个向量，那么这时候它告诉你了这个二面角正弦值，正弦值为七分之，刚好四十四十二，那么它余弦值多少？假如这两个向量之间假说这两个向量之间假角是 r 法， 我假设这个二面角是 r 法，这个二面角是 r 法，那么 cos 还 r 法， cos 还 r 法等于啥？是不等于这两个向量？ m 乘 n 比上 n 向量的长度乘以 m 向量的长度呀，对吧？ 他是是吧？要准确说，我还是要打个绝对值吧。加个绝对值符号就等于把它带进来，那就是等于啊， 乘以乘以就是零零，然后就是，是不是两倍的根号加四减一的平方比上 a 就 比上这绝对值啊，这现在也不用绝对值了，因为 a 是 也是正值，然后乘以根号加 一，加上 a 的 平方分之四减 a 的 平方是不是乘以根号加 二的平方？加 a 的 平方。哇，就等于化减，上面先不动吧。四减 a 的 平方比上 a 啊，不加上这根号多少啊？一加上 a 的 平方分之四，就 a 的 平方分之四吧，因为一已经约掉了，是不？乘以四加 a 的 平方， 这等于多少？这 a 是 不是跟这约掉了？这四跟这约掉了吧，就等于根号一下四减 a 的 平方比上根号一下，四加 a 的 平方等于等于多少？正弦值有了吧。那 cosine r 等于多少？ 等于七分之根号七吧。哇，这没问题啊，这一减去四十九分之四十二，就四九分之七开，根号就根号七分之一，那就是七分之根号七，哇，等于七分之根号七， 两边同平方可以吧。就四减 a 的 平方比上四加 a 的 平方等于七分之一，那就四减 a 的 平方啊，七倍的四减 a 的 平方，就等于四加 a 的 平方，就二十八减七， a 的 平方，等于四加 a 的 平方， 是吧？八一的平方，那 a 等于多少？ a 等于根号三吧。好，这种向量方法是不是很快就能够算出结果了？ 这做这题目的时候，大家一定要细心，因为这个坐标他很容易就给他列错了，这坐标很容易就给他列错了。然后求向量时候呢，也特别容易错， 求发向量的时候一定要细心啊，发向量的时候一定要细心。好，那这就是向量版向量的方法，比较容易想到， 比较容易想到。好，那下面呢，我们看第二种方法吧，我们求一下二面角，把这都擦掉，把这第二根擦掉吧。 第二种方法呀，我们可以直接把这个二面角求出来吧，可以直接求出这个二面角，但是可能要花点时间看，我们是 这个二面角 a， c， p d 的 这个二面角吧， a， c， p， d， a， p c 和 d 二面角。哎，我们的常规思路啊，我们是不是想过这个 a 点，过 a 点，我们尝试一下，我们可以尝试一下过 a 点啊，去做这个 p c 的 垂线，假如为 e 点吧，然后我们连接 d e， 如果 d e 啊，如果 d e 啊， d e 也垂直于 p c 的 话，那么这个角 d， e， a 就是 我们，就是我们啊所要求的二面角吧，是吧？ 但是我们啊，观察了很久，发现啊，这第一没有办法证明。这个第一啊，垂直于 pc， 这没有办法证明的，就这种方法，它不可取，不行，不可取，那不能这样做，换一种，换一种， 还有种思路啊，还有思路啊，因为我们是 a c b d 嘛。那有同学啊，会会啊，从 d 点啊，去做一条直线会先啊，先从 d 点做一条直线，或做个线段垂直于 pc 还是为 e 点啊，然后它连接 a e， 然后证明啊，证明 a e， 然后垂直 pc， 然后这时候呢，角 d e a d e a 就是 我们要的二面角，是吧？那这时候你发现啊，这 a e 垂直于 pc， 是 不还是没办法证明它怎么怎么垂直 pc 啊？ a e， 你 没有办法证明 a e 是 垂直于 pc 的， 这种方法其实也是不可取的哇，你看了很久也看不出来这两个垂直，再换，再来尝试，再来尝试。其实啊，学数学啊， 它不是你突然就得，你要经过很多次尝试， 不是有些题吗？不是你一眼就能看出来的，你一定要是经过很多次尝试，反复试错，你才能够找到正确的办法。 其实学数学啊，就是将你能够想到的所有方法都使用一遍，总有一种方法能够解决你的问题，因为大家要清楚啊，我们他这考试范围一定是不会超出你所学的知识， 所以大家在平时一定要去多尝试，多尝试，用各种不同的方法去求解。这样这样的时候呢，到考试的时候，你就能够很快就能够判断出这一题要用什么办法，要做到做到这种程度了 哇，能做到这种程度，会为你啊节省很多时间，会提高你做题的效率和速度，你们看还能怎么做啊，还能怎么做？ 哎，聪明的同学，你想到了，其实我可以做啊，从 d 点，从 d 点垂直于 a e 的 一个线段，假设为一点啊，假设为一点啊，我们，然后呢，再过一点啊，去做垂直于 p c 这个线段，假设我们交 f 点啊，这时候啊， e f 是 垂直于 pc 吧，所以我们是不是只需要这样 d f 也垂直于 pc 就 可以了？我们连接一下 d f， 我 就说我不一定要从 a 点做垂直于 pc 吧，我可以从这个其他点吧，是从一点吧，一点也可以吧，就是说我们可以从啊 p a c 啊，不 p p a c c 啊看一下啊， a c p 啊，对啊，对对，就 a c p， 就 说在 a c p 啊这个平面上， a c p 这个平面上， 我们做二面角，我们不一定要找这个端点吧，不一定要找这个端点垂直于 pc 吧，我们可以从可以找这个三角形中的任意一个点吧，比如说我们这个时候就找，找到了这个 e 点，是吧？ e 点，我们假设我们做这个 e 点，然后垂直于 pc， 这种也是可以的吧， 那么我们知道啊， e f 是 垂直于 pc 的， 因为是我们自己做的吗？做的是垂垂线，那这时候我们只需要证，证什么证？ d f 垂直于 pc， 我 们只需要证明这个，那么我们就能够得出啊，角 d f e 就是 我们所要的二面角吧。哇，我们现在主要看怎么证 d f 垂直于 pc 来看这个思路啊，我们啊，如果啊，如果，如果 pc 垂直于平面， d e f， 那 么 p c 是 不是就垂直于 d f 呀？ 那 pc 垂直于平面 def 吗？ pc 是 垂直的吧，因为啊， pc 首先啊，它是不是垂直于 e f 呀？是吧， pc 垂直 e f， 然后呢？ 然后什么 看啊？然后啊，看这个 d e， d e 是不是垂直于 a c 啊？然后 d e 是 不是也垂直于 pa 啊？ pa 是 不能够推出 d， e， d e 垂直于平面 p a， c 是 吧，那么是不是就能够推出来 d， e 是 垂直于 pc 的？ 把这个填充放这来 放这俩是不是就能够得出？跟着这两个垂直是不是就能够得出 pc 啊？垂直于这个平面 d， e， f 是 吧，那么就能够得出 pc 垂直于 d f， 所以 啊，那么就正出来了呀。那这个角，这角 d e f 角 d， e， f 就是 我们要求的二面角吧。角 d， e， f 这个角就是二面角，那这是，这个是这个三角形啊，这个三角形我先画一下， 这是 d 吧，这 e 吧，这因为 d， e 啊，它垂直于平面 p a， c 的， 所以这个角才是九十度， d， e 是 九十度，这是 f。 好 吧，我们要求的是什么？哦，这，这个，这个是 m 面角吧， 我们要求的是 a， d 的 长度， a， d 的 长度，我们再画一下 a， d 的 长度， 假这个三角形啊，这是 a 点，这是 d 点，这 c 点，我们要求是 a， d 的 长度。我们假设 a d 为 x， 可以 吧？ ac 的 长度已经告诉你了吧，等于二，那 dc 的 长度是不是等于四减 x 的 平方？ 哎，我们知道这点值，这三引，三引，这个假设这个角，假设这个，我们另外 r 法吧，这样写起来比较方便一点。加，这是三 r 法是不告诉你了，等于七分之根号四十二，那我们是不是能得出 cosine r 法等于七分之根号七呀？ 那么这样 tan 比上 cosine 根号四十二，比上根号根号七吧， 等于多少？根号六嘛。这弹性耳法就等于根号六。弹性耳法等于多少呀？ 弹性耳法等于多少？弹性耳法，这个角啊，是不等于 d e 比上 e f？ 那 我们现在要求的就是 d e 和 e f 的 长度吧， d e 和 e f 的 长度 啊，这一点，是不是在这个地方，一点是垂直他的吧，这个这一点一点是吧？长度是二，是他的吧？第一， 好吧，那根据这已知条件，我们能不能求啊？ d e 等于什么？这角是不是等于九十度啊？ a d 垂直 dc 吧， a d 垂直 dc 他 不告诉你了， a d 垂直 dc， 那 么根据三角形的面积公式，那么二分之一 x 乘以根号下四减 x 平方，是不等于二分之一 a c 啊，乘以 d e 是 吧？ 等于二分之 a c 等于二吧，乘以 d e， 那 d e 就 不出来了。 d e 是 不是等于二分之 x 乘以根号下四减 x 的 平方 哇，这 d e， 那 么接下来就是求的是 e f 吧， e f e f 的 长， e f 这个地方在图上可以这这个地方 e f 的 长，也就是对应在这个地方 e f 等于什么？ e f ef， 我 们再看一下这个这个大的图啊，我们求 ef， 我 们是不是可以先求出 cf 啊，或者是 ec 啊？ 是吧？那 cf 可能是求不出来，是不是可以先求出 ec 啊？是不是先求 ec， 我们再看这这大图像，这 p a 等于几啊？等于二吧， ac 也等于二，那所以这个角是不等于这个角等于四十五度呀？哇，那么角，角什么角？ e c f 等于四十五度吧？角 e c f 等于四十五度， e f 又是垂直于 ef， 又是垂直于 pc 的， 那么角是吧？角 f ec 也是四十五度吧。那么 ef 是 不是就等于 fc？ ef 就 等于 fc， ef 是 不是就等于 fc 啊？ 是吧？ ef 等于 fc 是 不等于根号二倍的 fc 啊， 这能理解吧？因为弹性四十五度啊，是不等于弹性四十五？不啊，弹啊，不，不是弹性四十五度啊，因为三啊，四十五度啊，是不等于 ef 比上 fc 等于二分之根号二吧。那这样我们就能够求出 e c 等于根号二倍的 fc e c 等于根号二倍的 f c。 那 这时候我们是不是求 e c 就 好了呀？ e c 如果出来的话，那 f f c 就 出来了， f c 出来了， e f 就 出来了，是吧？那么 e c 等于啥？ e c 等于啥？ e c 是 不是等于这一段 e c 等于啥？ 我们 d e 是 不出来了， d e 出来了吧？你看哦，你看哦， e c 哦， e c 的 平方是不等于 d c 的 平方减去 d e 的 平方 啊，那就等于啊， d c 的 平方是不是四减 x 的 平方？四减 x 的 平方吗？这不减去啊， d e 的 平方是二分之 x 乘以根号下四减 x 的 平方，括号的平方，是吧？哎，那这 e c 不 就是开根号吗？ e c 就是 根号下这个是吧？ 那，那我们这个时候贪定而发，等于 d e 比上 e f d e 啊，就等于啊 d e。 我 们刚才求这个式子， x 乘以四减 x 的 平方比上二，然后比上 e f e f 等于 e f 等于 f c 是 吧？ 那根号二倍的 f c 呢？又等于 e c 那 所以 f c 啊。哦哦，我们是 f c 哦， e f e f e f 等于 f c， 那 f c 就 等于 e c 除以根号二吧。那就 e f 就 等于 e c 除以根号二吧。 e c 等于这个，这个十字就是根号下 四减 x 的 平方，减去二分之 x 乘以根号下四减 x 的 平方，括号的平方是除以根号二呀。哇，这次式子化简啊，这下面这个式子，下面这个式子可以化简为化简为这个式子。 嗯，四减 x 平方比上两倍根号二，下面就画一个这个式子，然后就等于啊，就 x 根号下四减 x 平方比上二，然后比上四减 x 平方两倍根号二 就等于等于多少？等于根号六吧，根号六，那这样能够算出来 x 等于 根号三，好吧， x 等于根号三，这个就是啊，先求出二面角， 先找出二面角，然后再根据直角三角形啊，正弦定，等于先定理，然后进行求解进行算。 这种方法要比嗯向量法要复杂一点。如考试的时候啊，优先建议采用向量法，因为他比较快，考试时间有限嘛，找二面角可能还得找一段时间，所以就是考试时候优先建议使用向量法。 嗯，然后但平时的时候呢，就建议大家把所有的方法都试一下。那如果考试时候碰到那种题目啊，他不能用，他不能用啊，向量是吧？没办法直接去做直角坐标系的话，那你可能就要找出二面角了。 那么这就是以上部分，就是第十七题的所有内容。

如图，在无棱锥 p a、 b、 c、 d、 e 中， p a 垂直于平面 a、 b、 c、 d、 e。 说明 p a 就 垂直于平面内的任何一条直线。 自然 p a 就 垂直于这个平面垂直于平面内的任何一条直线 ab 和 cd 平行， ac 和 ed 平行， a、 e 和 b、 c 平行，且角 a、 b、 c 等于四十五度。 角 a、 b、 c 等于四十五度。 a、 b 等于二倍的根号二， b、 c 等于二， a 一 等于四， b、 c 等于四， a 一 等于二。 这样，在三角形 a、 b、 c 中，用余弦定底可以算出， a、 c 的 长就等于二倍的根号二， ac 的 长是二倍的根号二。那么三角形 bac 三边长分别是二倍的根号二、二倍根号二、四。显然，这是一个等腰直角三角形。 这样就得到 b、 a 垂直于 a、 c。 由于 b、 a 和 cd 垂直平行， 那么就得到 dc 垂直于 ac， dc 垂直于 ac， 那 么这一个 dc 就 垂直于平面 pac 内的一条直线 ac 了。 那么由于 pa 和整个地面垂直， pa 和 cd 也垂直， p a 和 cd 也垂直，这样 cd 就 垂直于 p a、 c 内的两条橡胶直线 p a 和 ac， 因此 cd 就 垂直于平面 p a、 c。 这样，第一问的证明基本完成。因为 c、 d 在 平面 p c、 d 中，那么这两个平面就垂直。这就是第一种情况。 第二种情况，求二面角 p c、 d、 a 的 大小 p c、 d、 a。 也就是 p c、 d 和下地面所成的二面角。 根据第一文的推导分析， cd 垂直于面 p a、 c。 它就垂直于面内的每一条直线。 显然， cd 垂直于 ac， cd 垂直于 p c。 显然， p c、 a 构成的角就是二面角 p c、 d、 a 所成的 所成的角。由于 p a、 b 是 等腰三角形，那么我们就知道 p a 也等于二倍的根号二。 这样在直角三角形 p a、 c 中，要求二面角的平面角的 对边是二百杠二，邻边也是二百杠二，因此要求的这个二面角的平面角，它大小就是四十五度， 所以这个二面角的大小是四十五度，这是第二。第三 求直线 p b 与平面 p c、 d 所成的 线面角，要求一条直线斜线与平面所成的线面角。一般的来讲，我们是要做出这个斜斜线在平面的摄影， 如果这个斜线在平面的摄影不太好做的时候，我们只要能求出斜线上一点到平面的距离也可以。 由于 ab 和 cd 是 平行的，因此 ab 这个面 ab 这条线和面 pcd 平行，这样 b 点到 pcd 的 距离 就等于 a 点到 pcd 的 距离。 由此，我们要过 b 点做 p c、 d 的 摄影，我们不妨设这个，不妨设 b o， 不 妨设 b o 就 垂直于平面 p c、 d， 那 么要求 b o 的 场，我们只需要求 a 点到 p c、 d 的 距离。 由于第一问，我们证明了 p a、 c 和 p c、 d 是 垂直的， 那么我们只需要在面 p a、 c 内过 a 点做 p c 的 垂线，垂足叫 a h， 那 么 a h 的 长度就是我们要求的 b o 的 长度。显然 a h 就是 等腰直角三角形 p a c 斜边上的高， 那么显然 p c 就 等于四，因此 a h 就 等于二， 这样就推得 b o 也等于二。由于 p a、 c 中 p a、 b 中两只角边是根号二， p b 就是 四， 那么我们连这个 p o， 连 p o 就 得到一个角 p o， p o 比这个直角三角形， 而这个 b o 根据刚才的分析，就等于 a h 等于二，而 p b 就 等于四。显然角 b p o 就是 p b 以平面 p c、 d 所成的角的线面角。由于这个图形，这个角不太好做出来，我们可以 十 o 点的十 b 点的射影为 o 连 p o， 这样这个角叫 c， 它显然 c 以 c， 它就等于四分之二，也就等于二分之一， 所以说 c 的 角就等于三十度，因为线面角永远是锐角，这样就求出了直线 p b 与平面 p c、 d 所成的角为三十度。 这就是对本题的基本的情况的分析。下面我们用文字书写出以上分析的过程。 第一证明， 因为角 a、 b、 c 等于四十五度， a、 b 等于二倍的根号二， b、 c 等于四， 所以在三角形 a、 b、 c 中，有域线定力 得到 a、 c 的 平方等于二倍的根号二的平方加四的平方减二乘二倍的根号二，再乘以四， 乘以 cosine。 四十五度， 也就等于八，所以说 v c 就 等于二倍的根号二。 也即是 既有 ab 的 平方加 ac 的 平方正好等于八，加八等于十六，也就等于 b、 c 的 平方， 所以说 ab 就 垂直于 ac。 又因为这个 p a 啊， ab 垂直于 ac， 也就是 ab 和 ac 垂直， 又因为这个 ab 平行于 cd， 所以 说 cd 就 垂直于 ac， 又因为 p a 垂直于面 a， b， c， d e， 而这个 c、 d 在 面 a、 b、 c、 d 一 中，所以说 pa 就 垂直于 cd， 这样我们就知道 pa 垂直于 cd， 因为 pa 和 a c 都在面 p a、 c 中， 且 p a 交 a、 c 于 a 点，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，所以说这条直线就垂直于平面， cd 就 垂直于面 p a、 c。 又因为 cd 在 面 p c、 d 的 p c、 d。 中。 因为 cd 在 面 pcd 中，所以说一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个面垂直 pcd 就 垂直于面 pac。 第二问解，由第一问之， cd 垂直于平面 p a、 c。 而 a c 在 p a， c 和 p c 都在平面 p a， c 中说一说， c， d 垂直于 a， c， c， d 垂直于 p c。 说一说角 p c， a， 也就是这个角 即为二面角 p c， d， a 的 平面角。 又因为 p a 垂直于平面 a、 b， c， d， e。 所以 说 p a 也垂直 ac。 也就是说 p a、 c 是 一个等腰直角三角形， 所以三角形 p a、 b 为等腰直角三角形。 而 pa 等于 ab， 也就都等于二倍的根号二。 从而我们可以知道， ac 和 pa 都等于二倍的根号二。 所以说 p a 等于 a， c。 倒等的倒等于二百个二。 所以说角 p c， a。 也就是等于直角三角形的一个锐角四十五度， 所以说二面角 p c， d， a 的 大小为四十五度。 第三问 的求解过程，又一只 平面 p c， d。 垂直于平面 p a， c。 我 在平面 p a， c。 内过 a 点做 p c 的 垂线，垂足为 a 区，也就是 在平面 p a， c。 内 过点 a 作 a h 垂直于 p c 与 h 点， 则根据两平面垂直的性质定底， a、 h 就 垂直于平面 p c， d， a， h 就 垂直于平面 p c、 d。 且根据前面所推导的， a、 c 是 二倍的根号二， p a 也是二倍的根号二， a、 h 就 等于二分之一， p c 也就等于二。 又因为 ab 平行于 cd， 而 ab 不 在平面 pcd 内， 所以说点 a 到平面 p c， d。 值距就等于点 b 到平面 p c、 d， 它的距离，这是一条直线和平面平行，那么这条直线的每一点到这个平面的距离是相等的。 这样我就舍 b o 垂直于平面 p c、 d 于 o 点， 则 b o 的 长就等于 a h， 也就等于二。我连 p o 则角 b p o 就是 b p 与平面 p c、 d 所成的角。 虽然这个角我们没有做出来，但可以 给他推的存在，也就是说我们没有在图形上做出来，但可以看到这是 o 点 p 点， 这是 b 点 b o 整个二。那么 在直角三角形等腰直角三角形 p a、 b 中，我们一定知道这一个 p a 等于 a b 都等于二倍的根号二， 所以 p b 就 等于四。所以说 sin 角 b p o 也就等于 b o 比上 b p 等于四分之二，等于二分之一。 说一说角 bpo 也就等于三十度。说一说直线 p b 与平面 p c、 d 所成角， 斜面角，它的大小为三十度。

哈喽，大家好，我是汉城大赵张老师，今天我们通过两道题来学习一下正三棱柱的体积和它的侧面积。那在这个里面的话，我们要知道什么是正三棱柱啊？正三棱柱是指的我们下面的这个三角形是一个边三角形啊，每条边都相等 啊，而且大家要在考试当中要会画图，这个图体验给大家画好了，所以在考试当中是没有图的，是需要你自己来画图的啊。 那在这个里面的话，那我们首先看他给的条件，他说是底面边长为二，也就是我们的这个三角形的边长都是为二啊，然后他的高为一，也就是这个高是为一的，那求他体积，首先我要看这是什么体积，那体积里面要么是柱体，要么是锥体，要么是球体，他说是柱， 那柱体的体积用 v 来表示呢？它它的公式是 s h， 就是 底面积乘以高啊，底面乘以高，那它的底面是一个三角形是吧？边长为二的一个等边三角形啊，边长为二的一个等边三角形，那这个三角形的面积应该是怎么来求呢 啊？第一种求法是做高线，那第二种方法，那我们用一个呃，三角函数里面我们用到的公式，三角函数里面三角形的公式是不是二分之一？ a b 三以 c 啊？也就是知道角度就行，那他三条边相等，说明他们三个角相等，说明每个角应该是为六十度，所以是二分之一乘以二乘以二乘以 三以六十度，这就是他的三角三面积，所以二分之一乘二乘以三以六十度，那六十三以六十度等于二分之根号三，然后再乘以我们的二，再乘以二， 然后再乘以我们的二分之一，所以进行约分，约分只剩下我们的根号三啊，所以他的一个底面积是等于我们的根号三的，然后高高是为一，所以是根号三。乘以一，结果等于根号三，所以无选式二号必选上。好，那接下来看第二题。 第二题的话是这个正三棱柱的侧面积，那大家要知道什么是侧面积？侧面积指的是除了上底 和下底，整个我们侧面啊，整个侧面，那侧面来看是三个面，对不对？他的侧面底面边长为四啊，底面边长是为四，也就是说这个距离是等于四的啊，然后高是三，也就是说这段长是为三啊，那他的面积是一个长方形，长方形面积应该是 款，对不对？所以是四乘三应该等于十二。一共有像这样的面，一共有三个面，一个面，两个面，还有后面面三个面，所以十二乘以三就是等于三十六，这就是他的侧面积。侧面积就是除了上底和下底的面积， 那如果考到是表面积的题的话，表面积就是再加上上底和下底就所有面的面积，那就叫做表面积。

如图所示，三棱锥 p a， b， c， p c 垂直于平面 a， b， c， p c 垂直于平面 a， b、 c。 这样它就垂直于这个面内的任何一条直线 p c 等于三角 a， c， b 等于二分之拍 d， e 是 分别是线段 a， b， c， d 上的点，且 cd 等于 d。 一 都等根号二， c， d 是 根号二 d， e 是 根号二 d， e 是 根号二 c， e 得二倍的一比等于二。什么一比是一， c， e 是 二 d， e 证明 d， e 垂直于 d， e 垂直于 p c， d， d， e 垂直于 p c， d。 那 么第一问的证明， 因为 p c 垂直于平面 abc， 它就垂直于平面内的任何一条直线。特别的 d 一 在平面 abc 中，所以说 pc 就 垂直于 d。 一， 我们要证明 d 垂直于 pcd， 即要证明 d 垂直于 pcd 内的两条相交直线。现在我们证明了 p、 c 垂直于 d。 另外，在三角形 c， d、 e 中， 在三角形 c， d， e 中， c e 根据条件它等于二， c， d 等于 d， e 也都等根号二，显然符合多古典底， 所以说 c、 d、 e 是 一个等腰直角三角形，所以 c、 d、 e 为三角形。 cd 一 位等腰直角三角形， 所以说 cd 就 垂直于第一，这样 cd 垂直于第一， cd pdpc 也垂直于第一， 所以说 d 也垂直于 pcd 这个面内的两条橡胶直线， 因为 pc 交 cd 于 c 点， pc 在 面 pc 底内， c， d 也在面 p c， d 内，这样 d， e 垂直于平面 p c， d 内的两条相交直线，所以说 d、 e 就 垂直于平面 p c， d 求二面角 a， p d， c 的 余弦值。根据提设条件， c， d 等于 d。 一 都等于根号二， c 一 等于二。因此 c、 d 一 是等腰直角三角形。 取 c、 e 的 中点 f 并连接 d、 f， 则 d、 f 就是 等腰直角三角形，斜边上的高，它等于斜边的一半，正好等于一。 由于 c、 e 等于二倍的 e、 b， 说明 f、 e 是 c、 b 的 三等分点。 由于 d、 f 是 等腰直角三角形，斜边上的中线自然也是高，所以 d、 f 就 垂直于 c、 e。 由于 a、 c 也垂直于 c、 b 都在平面 a、 c、 b 内，所以 a、 c 和 d、 f 是 平行的， f 是 c、 b 的 三等分点，所以 d 就是 ab 的 三等分点。 由此知道 a、 c、 b 上 d、 f 就 等于 c、 b、 b 上 f、 b。 这样就可以算出 a、 c 的 长度等于二分之三。 这样 a、 c 的 长度知道 c、 b 的 长度，知道 c、 p 的 长度为三，从而直到这三条线两两垂直，又知道长度。 我们建立空间直角坐标系，用空间直角坐标系来求二面角的余弦值，更为简洁。为此我们就以 c、 a 为 r 轴， c、 b 为 y 轴， cp 为 z 柱， c 位坐标原点建立空间直角坐标系。显然， a 的 坐标、 b 的 坐标、 p 的 坐标以及 d 的 坐标非常容易写出， 而且还知道 pcd， 它的发向量就是 d， 然后只需要计算 apd 的 发向量，就可以利用发向量的加减公式达到计算的目的。下面我们写出它的计算和推导过程。 第二问求解过程。 由第一问知道 三角形 c、 d、 e 为等腰直角三角形 角 d、 c、 e 也就等于四分之一拍。 我们取 c、 e 的 中间 f 连 d、 f， 则 d、 f 垂直于 c、 e。 切 d、 f 的 长为一。 因为 c 一 等于二， cd 等根号二。 在这里面 cd 等于 d 一 都等根号二， cd 等个二， 所以说知道 d、 f 等于一， 而且 c、 f 比上 f、 b， 也就等于二比一、比二。 因为 a、 c 是 垂直于 c、 b 的， 所以说在同一个平面内， a、 c 和 d、 f 都在平面 a、 b、 c 中，所以说 a、 c 就 平行于 d、 f， 所以 a、 c 与 d、 f 的 比值就等于 c， b 与 f、 b 的 比值也等于三比二。由于 a、 d、 d、 f 是 一，所以 ac 也就等于二分之三。 这样有了这些量，我们如图建立以 c 为圆点， c、 a 方向、 cb 方向、 cp 方向分别为 x、 y、 z 轴 这样的空间，空间直角坐标系。 这时就可以知道 a 点的坐标、 b 点的坐标、 c 点的坐标 d 的 坐标， 则 c 的 坐标是零零， p 的 坐标是零零三， a 的 坐标二分之三零零， e 的 坐标零二零， d 的 坐标一一零，所以就得到 e、 d， 它的坐标是一负一零， dp 的 坐标是负一负一三， d、 a 的 坐标是二分之一负一零， 终点的坐标减十点的坐标。有了这基本坐标以后，我们求平面的发向量。 设平面 p、 a、 d 的 发向量 为 n 一 坐标是 x 一 y 一 z 一。 既然是发向量，就有 n 一 与 d p 的 点积 等于零， n 一 与 d、 a 的 点积也等于零。 也就是说，把坐标带进去，也就是负 x 一 减 y 一 加三加三， z 等于零 二分之一， x 一 减 y 一 等于零，这是三 z 一。 这是一个不定方程组，我们给其中一个量取一个适当的值，比如说我们取， 不妨取 x 二。 x 一 等于二，显然可以得到 y 一 等于一， z 一 也等于一， 故 n 一 向量的一个值是二一一， 这就求出了 a、 d、 p 的 一个发向量。有第一文可以知， d、 e 垂直于平面 p、 c、 d， 所以平面 pcd 的 发向量 n 二 可取 为 e d 一 e d， 也即是 n 二，就等于 e d。 向量一负一零，从而我们知道了 是两个平面的发向量。那么利用它们的夹角公式， 从而发向量两个发向量 n 一 n 二的夹角 的余弦值为 向量的间接公式。口塞进减括号 n 一 向量 n 二向量，就得 n 一 向量与 n 二向量的点积除以 n 一 的模， 乘以 n 的 模，代入计算，恰好也就等于六分之。负的六分之 等于六分之根号三，正的六分之根号三。 故所求二面角。这个二面角可以看出是一个锐二面角，二面角是一个锐二面角。 a、 p、 d、 c 的 余弦值 为六分之根号三。 在这为什么要说明它是个锐角？因为两个发向量的方向不同，算出发向量的夹角与圆值可能是正的六分之根号三，也可能是负的六分之根号三。 如果二面角是个锐二面角，那余弦值是个正的。如果是钝二面角，余弦值就是个负的。所以在这里面特别要注意观察我们要求的二面角是个锐二面角或者是钝二面角， 才能使你计算。最后总结得到的答案和题的实际相吻合。

那么往下直线和平面怎么求呢？一样，我们仍然是两种办法，要么是几何直观，怎么找？我就找上面一点过垂，把这个线面夹角的平面角找到，或者是几何法。 好，我们来看这个题，他说在正方体要求 a 一 b 和平面 a 一 b 一 c 的 左乘角好，那么从几何的角度来说， 我们就应该怎么办？哎，我们就应该过这条直线啊，因为这个平面，这个直线和平面已经交于哪个点啦？ a 一 点啦，所以我只能取这条直线上的另外一个点啊， b 点来做平面 a 一 的 c b 一 的垂线， 然后假设这么做垂，假设垂足是 p， 然后把 a e p 连起来，找这个角度 c， 它 好，那么这个角度怎么怎么求呢？我找到角之后，求角是不是就是解三角形？我把 a e p 的 长度一求，把 a e 那 个 b 的 长度一求，再把 b e p 的 长度一求，是不是用余弦定力就可以求？另外，因为这里是垂直，你甚至是直角三角形，你只需要知道两段的长度也可以求，你听得懂哈 啊。所以这道题如果是几何法的话，我就需要知道，首先 a 一 b 的 长度啊，我再求一个，随便求一个。如果我能把 b p 的 求度求出来，因为 a 一 p 通常比较难求啊，我求 b p 的 长度啊，我把它假设成啊，不用假设 好，那我这个夹角的什么值就可以求了。对边是不是三 e c 塔就可以求了？它就应该等于 b p 除以 a e b， 而我 b p， 其实之后我们会说啊，它是一类特殊的距离，是什么距离？点到平面的距离。除此之外，我们还有代数的手段 好，那么代数的手段应该怎么去求解呢？哎，一样的间隙好，间完隙之后呢？来，关键就是来我们来看啊。 好，我们说直线和平面所成角应该是这个夹角 c 塔角，对不对？哎，它应该是哪些和哪些的夹角呢？哎，首先直线我们说都是用方向向量来刻画的啊，那么在空间向量里，平面是用什么刻画？那这里告诉你是法向。 法向是什么？就是垂直于直平面的一个向量，垂直于平面的直线，他的一个方向向量 n， 当然他也可以朝上，可以朝下啊。那如果我把这个 n 平移过来啊，我移到这里来，假设我就过这个交点找这个法向 n 可以接受。好，那我的线面夹角 theta， 它就会和我两个向量之间的夹角 phi 有 关系。什么关系？哎，相加为二分之 pi， 所以 我的 phi 啊，或者我写我的 theta， 我 的 theta 就 会等于二分之 pi 减 phi， 对 不对？ 是吧？所以我的 f i 也会等于二分之 pi 减 sine。 而我两个向量夹角的余弦值是可以求的。 cosine f i 是 可以通过数量级除以一个字母长来求的，它就会等于 哎，它就会等于可 size 二分之 pi 减 theta。 哎，用诱导公式，我们知道它一定会等于 size theta。 换句话说，我用向量的方法求出来的应该是向量夹角的正弦值， 那我找的是什么呢？找的首先是这条直线的方向向量 ab 和这个平面的法向 n， 然后我的 sine， theta 就 应该等于它们的数量级除以各自摩擦 好。当然这里还有一个问题啊，如果求出来的这个值是个负数怎么办？哎呀，我取个绝对值，我保证它会，正，因为我的这个 theta 角是锐角三 c， theta 一定是正的，它不是正的，我就取绝对值，使得它变正。 好能接受。哈，好，那么比如说像这个题来说，我们应该怎么来做呢？哎，首先键 c 键在的点。 好，我需要的坐标。首先 a 一 的坐标， b 点的坐标，对吧？这是写方向的，我们先写一写好，它还是没有给我们楞长，我们就假设楞长为 a， 那 么 a 一 的坐标就是 a 到零到 a， b 的 坐标就应该是 a 到 a 到零，所以 a 一 b 方向相反，就应该是零到 a 到负 a。 好，关键就是新平面的法向啊。好，那么这里我们来说一下，法向又该怎么求啊？我假设这是平面二法。好，那么这根法向我们刚刚说了，他一定是垂直于平面的直线 l， 他的方向向量， 那么直线 l 要垂直平面，自然就应该垂直。平面内的两条相交直线 m 和 n， 对不对？好，那么从空间向量的角度来说， m 有 一个方向向量 m， n 有 一个方向向量 n， 是 吧？我的 l， 他的方向向量 l 就 应该 g 和 m 垂直，也和 n 垂直， 是不是？那么垂直意味着数量即为零，所以 l 点乘 m 应该为零，同理， l 点乘 n 应该为零。好，那么通过这里我就可以列出两个方程。好，我们来试试看。 好，现在我要写平面 a， e， b， e c 的 法向，我就应该先在 a e， b， e， c 的 里找两条相交直线，把方向写出来。好，我随便找。假设我找 a， e， b e 和 a e 的 吧。 好，那么我就需要 a 一 b 一 点的坐标啊，我把 b 一 点的坐标写在这里。好， b 一 点的坐标，它应该是 a 豆 a 豆 a 好 的点的坐标就是零豆零豆零。所以 a 一 b 一 是用 b 一 减 a 一 啊，就是零豆 a 豆负零豆 a 豆零。 好的， a 一 得，就应该是得点减 a 一 的坐标就应该是负 a 到零到负 a。 好， 这是两条相交直线。好，我假设法向量 m， 它的坐标是 x、 y、 z， 那 么按照我们的定义，我的 m 这根法向就要既和 a 一 b 一 垂直，也要和 a 一 得一垂直。换言之，数量级为零，而数量级是对应相乘相加。所以我可以列出两个方程， x 乘零，加上 y 乘 a， 加上 z， 乘零为零。好， x 乘负 a 加上零乘 y， 再加上 负 z 乘负 a 啊，就是减 a， z 也要为零。好，那么第一个方程，这里是零，这里是零，我要使得它为零，只能这个 y， a 等于零啊，因为 a 是 冷场，它肯定不为零啊，所以它只能 y 为零。 好，那么这里也是零啊，同理，这里也是零。我们的这个方程是负 ax 减 a， z 等于零，因为 a 都是相等的公式约调，所以就是负 x 减 z 等于零，换言之，负 x 等于 z 啊，我们就得到了这两个方程啊。好，那么因为我们的法项其实是三个未知数，通常三个未知数要完全有解，必须有三个方程，但是我们只能列出两个啊，不是说我们没有找到三个，是我们只能列出两个。 听得懂哈，你再列一个，得到的结果肯定也是一样的，没有必要你只能列两个。通过这个垂直，那么你列两个，就求不出三个的值啊，所以这里还有一种负值的思想啊，你求出关系之后，令 z 为一， 那么假设 z 为一， x 就 应该等于负一， y 横等于零，所以我就写出了法向坐标负一到零到一 能接受。当然你也可以令 z 为负一，写出坐标一逗零逗负一都是可以的，反正你的法项之间肯定是有倍数的， 只要乘整数倍啊，分数倍也可以，只要乘不为零的倍数，它都是法项二，可以接受啊，这是求法项的办法哎，所以我们就得到了。首先直线的方向向量 a e， b 是 零，逗 a 逗负 a 平面得法像 n 是 负一到零到一好，那么下面要求角就是 sine theta， 记住啊，线面夹角是 sine theta 好， 它应该等于这两个向量的数量积出一个字母长，所以就是对应相乘相加负 a 取个绝对值。下面是模根号二， a 乘根号二，一约分就是二分之一，所以 c 塔角等于六分之派。 好，我们一起来看一下第二个题啊。如果用代数法来说，就是你做成习惯之后，你就会发现非常简单，比如说我们首先看间隙细节在哪里，在的点 好，然后我们需要找的是直线 a， e， o， 所以 我需要 a 一 点的坐标， o 点的坐标和平面 b b 一 的一的的 啊，左乘角，所以我还需要这个面的法向。那么要求这个面的法向来观察一下，他不是一个特别特殊的平面啊，当然其实他还是挺特殊的啊，他是一个对角面好，那么我们的法向来回忆啊，我们的法向本质上适合平面垂直的直线，那如果我能找到垂直他的直线，我就可以不用求法向的方法来求他， 那为什么？因为这个他这个面非常特殊啊，他其实就是对角面，那么对角面他一定会和这条另外一条对角线垂直的。啊，为什么呢？啊？因为我们快速说一下。首先 啊，我们打个草稿， a， e、 c 会垂直于 b e d e， 而且我的侧轮也会和底面垂直，键自然就会和底面的任意之间垂直， a， e、 c 就 垂直于得得 e， 然后我的得得 e 又和它相交交 b e d e 所于得 e 点，所以我的 a、 e、 c， 它就会垂直于面 b 的 得一 b 这个平面。好，那么垂直这个面他其实就是我的法向啊，他就是我这根法向，他的方向向量就是我的法向，所以我再把 c 一 点一写就可以了。好，那么 a 一 点的坐标应该是他还是没有告诉我们棱长，我们还是设成 a 啊，所以 a 点的坐标是 a 到零到 a o 点来看， o 点是什么？是对角线的焦点，换句话说，他一定是 a c 或者 b 的 中点。 那么如果你不好的写，你就把你就把 a 点坐标写出来， c 点坐标写出来，相加除二就行了。 a 点坐标应该是 a 逗零逗零， c 点坐标应该是零逗 a 逗零。所以 o 点坐标是二分之 a 逗，二分之 a 逗零， 好。然后 c 点的坐标是零逗 a 逗 a， 好。 下面我们来写啊。首先 a e、 o 是 方向向量，用 o 点 a， e， o 是 方向向量，用 o 点 a e o 一 负的二分之 a 逗负 a， 好。 然后我的 a e、 c 一 是我的法项， 嗯，就是啊，负 a 到 a 到零，好。然后呢，他们两个的夹角是我先面夹角的正弦值对应相乘相加，二分之 a 方加二分之 a 方加零除以啊，上面那个应该是根号，下 四分之一加四分之一，二分之一，再加一就是二分之三的 a 方乘以根号下二的 a 方 好，所以等于 a 方下面除以二分之根号六， a 乘根号二， a 好， 根号六乘根号二是二倍，根号三一约就是根号三分之一啊，所以我的 theta 其实是等于阿克撒引三分之根号三的，是不是很简单？ 好，再来看侧棱 ab 与底面 abc 所成角啊，好，首先它是个正四面体。正四面体是什么意思啊？之后我们会来说啊，它其实是一个特殊的正三棱锥，正三棱锥指的是， 正三棱锥指的是，首先底面是正三角形，其次顶点的投影在底面的中心。中心是什么意思啊？就是就是四心合一的那个中心啊，外心、内心、 重心、垂心都在这个点啊，因为他是正三角形。好，那么正四面体他比正三棱锥多了个什么呢？就是侧棱和底边的长度是一样的，这叫正四面体。好，我们来看， 那这个题你选用几何法还是代数法更好呢？哎，你看，既然我都已经啊，我要求的是 p a 这条棱和底面所成角，然后呢，我又过了 p 点做底面的垂线垂足 o 一， 我发现我把 a u 连起来，这个夹角就一定是我直线和平面所成角。哎，所以我人为的从定义里就已经找到了这个 c 叉角啊，如果我再去解析，就已经变笨了啊，我这题不妨采用几何法。好，那么现在我要用几何法，我就只需要把哪些求出来啊，你观察这里是垂直的啊，我要觉得这个夹角我可以把 提高求出来，他们两个作比都可以啊。所以现在我假设棱是 a， 好，下面要么我们求 po 一， 要么我们求 a o e 啊，好，那么这个题其实是求 a o e 比较好，因为 po 一 也要借助 a o e 来求，那么 a o e 怎么来求呢？哎，我们说了，这个是底面的中心，中心是四心合一的啊，外接圆，内接圆。 嗯，这个，呃，外心、内心、垂心和重心四心合一的啊。我们来画一个 三角形啊，这是我的 o 一， 好，那么现在他和任意一个点的连线其实都应该是相等的，应该是等长的等于多少呢？哎，这个是重心的心智啊，他及时延长之后， 我们说延长之后交于这个的点，它一定是中线，对不对？ a 的 一定是中线，而 a 的 长度，它一定是等于。这段是 a， 这段是二分之 a， 这段一定是二分之根号三 a， 而我的 a o e， 它一定等分。 a 的 二比一，所以它会占整段的三分之二， 所以它一定等于三分之根号三 a 可以 接受，这段是三分之根号三 a， 而我的 pa 长就是 a， 所以 通过几何法我知道了这段，知道这段用什么。可三以 c 塔，所以可三以 c 塔就应该等于 a o e 的 长比上 pa 的 长，一带进来就是三分之根号三 a 比上 a 就是 三分之根号三，所以这个 c 塔角应该是啊，可可三，以三分之根号三。 好，所以几何法和代数法的选择，你要慢慢的体会啊，它有些几何法更简单，有些代数法会更简单。 好，下面我们来讲二面角又该怎么计算啊？二面角也是两类啊，几何和代数，但是这里就非常不推荐你用几何法了啊，用几何法会非常复杂，我们还是来讲代数啊。 代数的方法是怎么来求两个平面的二面角呢？我们说面都是用法向来刻画啊，假设一个平面的法向是 n 一， 一个平面的法向是 n 二。好，这里我强调一下啊，你的法向完全可以是反向的啊，完全可以，他一定，他不一定就是向上的这个项链，他也可以是向反向的那个项链啊。 好，那么关键就是我这个向量之间的夹角和我面之间的夹角有什么关系呢？好，我们来看啊，首先面之间的夹角 o， 假设这个点是 a， 这个点是 b 啊，可能这个颜色不是很清晰啊，我用黑色来画 好，假设这个点是 a， 这个点是 b 啊，我们两个做垂线啊，垂在了同一个点，假设是 o， 那 么我们就把 a o、 b 叫做这个二面角的平面角，对不对？好，那么它和我的法向之间的关系是什么呢？ 哎，如果我的这个法相，你来观察，如果我取的是无穷远处啊，我把它无限的延长。 好，我还是从 a 点沿啊，这个我还是从 b 点沿。哎，它是不是一定会构成一个四边形啊？我尽可能的把它都弄在一个平面当中。好，那么这里是垂直的，这里是垂直的， 来观察，我的法向会这样穿出去，所以这个假角 c 塔角就是我两个向量之间的假角，它其实也就是这个角 c 塔角， 对吧？而我的这个 c 塔角会和我的平面角 f 之间有什么关系？哎，非常好，相加为 pi， 所以 我的 pi 加 c 塔会等于 pi， 那 我要求的这个 pi 角其实就是 pi 减 c 塔， 我的 theta 其实也就是 pi 减 pi， 对 不对？好，那么我们说这个法向 n 一 和法向 n 二，只要给向量，就可以求向量之间的夹角，所以我的可 sin theta 向量的夹角就可以求，它就是 n 一 点乘 n 二除以 n 一 的模，乘以 n 二的模。 好，但是我们说对，这边取可 sin， 这边也取可 sin， 应用诱导公式，它就会等于可 sin 引发 好。那么如果我的法向，哎，我的法向如果取的是这个方向，一个是这个方向，一个是这个方向，我就发现这个 c 它角，哎，它其实就会和我的 f 角相等，所以这里啊，要么就是角相等，要么就是相加为派啊。这里是有两个关系 好，假设我的 n n 二取的是这条， n 一 取的是这条，那么这个角就应该是我的 c 它角啊，这个 c 它一撇吧， 这个一撇是不是又看不见啊？我打在这里，那么这个 c 塔一撇和 c 塔相加为派，而从这个图里，我的 c 塔角和否角又相加为派，所以我的否还可能会等于 c 塔一撇。换句话说， 我两个法向的夹角，要么会和它互余，要么会和我的否角互补，要么就会和我的否角相等，那么从余弦值的角度，要么就相等，要么就互为相反数。所以我们的操作还是先取绝对值。回到图里去观察锐角还是钝角， 我们来计算一下。比如说我们来看这个正方体，我要求的是二面角， b 一 a a 一 c 一。 好，那么它其实这个二面角啊，这个二面角的标识我们还没讲啊，它是什么意思？它其实这条 a a 一 指的就是它的交线好， b 一 指的就是我 r 平面上的一个点， c 一 指的就是我 b 塔平面上的一个点。所以我们把 a 一 啊 b 一 a 一 a c 一 这个二面角看作是面阿尔法和贝塔产生的二面角。那么从这个角度出发，你就知道啊，我的阿尔法面其实是哪个面？哎，其实就是我的面 b 一 a 一 a 这个平面，我的贝塔面是哪个面？哎，其实就是我的面，这个 c 一 a 一 a 这个平面 好，所以我们怎么来理解这个二面角呢？哎，就非常好理解了啊，啊，就是这里是一个面，这里是一个面。好，所以我们的两个面是 b 一 a a 一 和 a a 一 c 一， 那么我们说面面角角就需要写出它们两个的法项，我角是一个用 m， 一个用 n 来表示， 对吧？你就把法向写出来，好，那么要写法向，就需要面内的相交直线，而且还需要线，这个细啊，所以我们又来见细啊，正方体的细，见了一百八十次了啊，现在多点。好，那我现在需要 b 一 a e a 这个平面啊，我们画出来，我发现就是上顶面，对不对？好，我要写一个他的法向，还有必要用我们那个相交直线来求吗？没有，我们找一条和他垂直的线，用这根线的方向向量就可以啦。比如说我们的得 a 是 不是和他垂，我们的 c b 是 不是和他垂？换句话说，我们的 x 轴啊，这条轴是不是和他垂？ 所以 x 轴上的任意一个向量都可以，比如说一到零到零，它就没有必要再去算了啊。我们主要来算哪个呢？主要来算 好，我们主要来算的是 c 一 a 一 a 这个平面。 好，我们主要来算这个平面啊，其实这个平面你也没有必要算了啊，因为 a 一 a c a 一 a， a 一 c 一， 这个平面其实就是我的对角面，刚刚我们才说对角面的反向怎么求？你取另外一条对角线就可以啦，比如说 b 一 得一，或者是 b 的， 而 b 的 的坐标啊，应该是啊， a 到 a 到零是不是？好，那么现在我的克萨尼塞塔就应该是这个向量的，这个向量夹角的与绝对值啊，要么取正，要么取它本身，要么取它的相反数好，然后我们再来观察啊，我这个 a 一， 那我的这个侧面和这个对角面产生的这个夹角肯定是个锐角，所以我就取正的就可以了啊。所以可在 c 塔应该是数量级 a 除以个怎么长？根号二 a 好， 所以是二分之，根号二，所以这个 c 塔角应该是四分之 pi 好， 那么还要求什么？ b a， e a 的 啊，那么我们的 b b a， e 的 这个面的法向已经写在这里啦，我们再来写 a e a 的 a 一 a 的 二。是这边这个平面啊，它的法向其实是我的 y 轴，所以我假设用 h 来表示它的法向，它就应该是零。逗一逗零，那我需要的就是这两个平面数量极数一个怎么长是零嘛？所以是九十度 余弦值为零，可得 c， 它等于零，那么它就是垂直的。好，然后最后一个要求的是 c e b 的 c， 我们先从图上来找一找 c e b 的 c 是 什么啊？好， c e 是 这个点 b 的 啊，是这两个点 c 好。 所以我们需要的是 c e b 的 这个面和 b 的 c 这个面的法向好。首先， b 的 c 其实就是底面 a b c 的， 所以它的法向我用呃 l 来表示啊，它其实就是 z 轴零到零到一 好，关键是这个 c e b 的 这个平面的法向有点难写，所以我们来算一下啊。因为他不是一个特殊的平面，所以他的法向就只能用我们刚刚的算法来算。那我要求他的法向就需要找两条相交直线的方向向量好，我们采用什么呢？ 那随便写。比如说我写 b， 得写一条，然后呢？写 c， 得写一条，因为得点的坐标肯定是零到零到零好，那么 b b 的 那个向量，你就应该把 b 点的坐标写一写 好，那么 b 点的坐标应该是 a 到 a 到零，那还需要什么？还需要 c e 的 坐标 c， a 的 坐标应该是零到 a 到 a 好， 所以 b 的 的坐标是用得减 b 啊。零到零到零，减就是负 a 到负 a 到零 好的， c 一 就应该是用的减 c 的 坐标二，所以是零负 a 负 a 好， 所以它的法向 m， 它就应该是 x 负 y 负 z 啊，我假设是 x 负 y 负 z 好， 那么它就应该是对应相乘相加，负 a， x 减 a， y 等于零，负 a， y 减 a， z 等于零。所以我可以推出 x 等于负 y， z 也等于负 y， 那 我不妨令 y 为一 或者负一，那么 y 等于负一， x 就 取一， z 就 取一。所以法项就是一逗负，一逗零，所以它的二面角余弦值就应该是取绝对值之后啊，对应相乘相加一除以根号三 啊，所以是三分之根号三，那我要求的正切值又来涉及到一个转化啊，好，那么这个 好，那我要求的是正切值，你就对这个余弦值再进行一个转化就行了。我们借助一个三角形来看直角三角形，那么假设这个角是 c 叉角，那么余弦值就应该是零边一比斜边根号三对边就是二，所以它的 tangent 值应该是对比零，二比一就是二。

已知三棱柱， a、 b、 c、 a、 e、 b、 c、 e。 它的侧棱与底面长、侧棱长和底面边长都相等， 各棱长都相等，我们在具体计算时，不妨舍它棱长是一或者是二。比如舍棱长为二， 在底面 abc 上的射影 a， 一 在底面 abc 上的射影恰好是 bc 的 终点，我起名叫 d， 那么 d 是 中点，这样就得到 c、 d 是 一， d， b 长也是一。 由于 ab 的 长是二，这是个等边三角形， 则一面直线，一面直线 a、 b 与 c、 c、 e 所成角的余弦值。 在立体几何中，我们要求两条一面直线的余弦值。一般来式，将它们进行平移成相交直线。 在具体操作时，往往其中一条不动，只平移另外一条。比如说 a、 b 固定线不动，我们平移 c、 c。 一， 让它平移到正好和 a、 b 重合， a、 e、 b、 a、 e、 a 重合，那么可以看到 c、 c、 e 与 ab 两条一面之线，说成角就是角 a、 e、 a、 b 这个角我们记作 c， 它 为了计算这个角，我们先做连 a、 d 连 a、 d， 则 a、 d 就 等于根号三， a、 d 就 等于根号三。 因为 ab 是 二， b、 d 是 一， ab 等根号三，那么 a、 e、 a 是 十二， abc 是 等边三角形，所以说 b、 a、 d， 它的所成的角就是三十度。 为了计算角 c， 它 a、 a 在 底面 a、 b、 c 上的射影是 a、 d， 它与它射影所成的角，我们给它起名记作 c 特一， 那么这个射影 a、 d 与 ab 所成的角，我们给它记作 c、 t。 二，那么我们有一个三余弦公式，也就是 cosine c、 t 就 等于 cosine sine 一 乘以 cosine sine 二。 也就是说，两条一面直线所成的角的余弦值，就等于 其中一条一面直线在一个平面内的射影所成的角记作 sine 一， 他的摄影与另一条一面之间说成了叫叫 c 塔二。那么 q 乘以 c 塔就等于 q 乘以 c 塔一，乘以 q 乘以 c 塔二。 显然， q c 的 一就得邻比斜 a d 比上 a a 一， a d 等于根号三。 a a 一 是二，因此 q c 的 一得二分之根号三 口在 c 特二，因为 abc 是 个等边三角形， a、 d 是 它的高或者说是中线，则 c 特二就等于三十度， 口在三十度就等二分之。根号三。 说一说乘积得四分之三， 符合本结论的选项是 d。 本期我们巧妙地运用了一个公式，这个公式就叫三域选公式。 三域选公式，也就是说，两条一面直线叫 c， 它 一面之线，其中一条一面之线在一个平面内的射影所成的角，也就是线面角记作 c， 它一， 在这个平面内，这个射影与另外一条直线所成的角叫 c。 它二。那么两条一面之线所成角与全值就等于 线面角的余弦值，乘以摄影于另外一条一面直线所成角的余弦值。这个公式对我们计算两条一面直线所成角非常方便。 同时，一反过来也可以是求线面角一个公式 啊。要求线面角公式，只需要知道以平面一条斜线与平面内的一条直线所成角，以及它的射影和平面内的这条直线所成角 c 他 二。 这样知道了 c 他 和 c 他 二，就可以求 cosine c 他 一。 本题的另外一种计算方法是 连接 a 一 b 在 三角形直角三角形 a e d， b 中， d b 等于一， a e、 d 可以 根据 a d， a、 e、 d 就 等于一， 这样我们就知道 a 一、 b 等于根号二， a 一、 b 就 等于根号二，也就是 a、 d 等于根号三， 这样就推得 a、 e、 d 等于一。 在直角三角形 a、 e、 d、 b 中， b、 d 是 一， 所以说 a、 e、 b 也就等于根号二。 这样在三角形 a 一、 a、 b 中， a、 a 是 二， a、 b 是 二， a、 b 是 根号二。用余弦定底 口在一 c， 它就等于两邻边的平方，二的平方加二的平方减对边的平方，根号二的平方 再除以二倍的两个邻边的乘积， 二得四，加四得八，再减个二得六，约掉个二，因此得四分之三。 所以说符合本结论的选项是 d。

我可以证两个全等，全等值后就是 a e c 和 a e d 相等，所以 a e 没有水，所以 b c 水就不 a e d c 因为它是等腰对角三角形， a a e 与底面平行。那还好，那正极在哪？ 一个都没。 我可以设一一一，这个是 x， 好 一是它的。 什么意思？ 一是 一一 好，现在你要去 这个不 b 一 的话， x y 是 g 是 b e x 负一 y f 负一 c 一 是一比一，一比六负二。 a c e d a b c 的 反差量。 a 一 a c 状态就是我的预判里面就你。你这种题应该是能拿下来的 啊。你看是用什么 笔？ 我举证可以这个三 s 哦。

数学是天底下最简单的科目，没有之一。我会我会我会，我教你，你当然会。今天我们讲第二个图形，叫对称图形， 这是立体几何里面第二个非常重要的图形。什么叫对称图形？来，这是一个三轮锥 立体几何，归根结底就是三个堆。超哥你看，哼，这是 s a b c 对 称图形，必须要满足两点，第一， s a 等于 s c， 第二来， a b 等于 b c 啊，但它俩相等，它俩相等。超哥你看， 如果这个题目当中五特殊角，我们该怎么办？注意啊，如果没有特殊角，你发现没有，这是点二三零，这也是点二三零， 点二三零，三线合一。哦，那我，那我就取这个中点 m。 你看，我如果连接 s m， 再连接 b m， 一定要把步骤写完整，取 r 超的中点 m， 不 做了。超哥你看，既然 s a 等于 s c， 那 等于三角形，这个点是中点，那一定三线合一。 那三线合一 s m 不 就垂直阿超吗？给它标出来， 哼，这个题目还说 a b 等于 b c， 那 也三线合一啊！所以我推出 b m 也垂直阿超， 哎哎，超哥，你看，好奇怪，阿超垂直 s m， 阿超垂直 b m， 阿超垂直两条相交直线， 那阿超垂直平面对不对？哎，我垂直两条香蕉直线，那阿超不就垂直平面 s b m， 阿超垂直平面，阿超就垂直平面内的任意一条直线，当然阿超也垂直 s b s b 是 什么？ so beautiful！ 哈哈哈哈！所以我们推出结论，阿超垂直 s b， 他 不但垂直 s b， 他 垂直 s b m 里面的任意一条直线，所以如果没有退出掉，我们就这样做好了。那如果我有退出掉来 这个题，如果我有特殊角，我又该怎么做呢？就不能这样做了，你想一下特殊角是多少度啊？三十四十五，六十九十一百二、一百三十五和一百五。 那如果有特殊角怎么办呢？你看看他俩相等，他俩相等， 有特殊角我就要看三角形全等啊。如果这个题目当中有三十四十五，六十九十，那我就要看三角全等，你看 a b 等于 b c 啊。 啊噗，这怎么两个 a b 哦 s 啊，写歪了，讨厌。嗯，打你脸。 你看 s a 等不能 s c 啊，变 a b 等不能 b c 啊，变 s b 还等于 s b 了？ s s s 是 不是可以证明两个三角形的不做了？这两个三角形的 s a b 和 s b c 全等，那有特殊角我就可以这样做啦。怎么做？哎，做垂线干嘛？有 s a 等于 s c， a b 等于 b c， s b 等于 s b， 我 可以推出三角形 s a b 全等于三角形 s c b。 既然三角全等，我做 am 垂直 s b， 两个三角全等，我做 am 垂直 s b， 那 你回答我。 不啊，你死得好惨，放这里继续用。那你说 c m， 它是不是也垂直 s b 啊？ 对不对？你看嘛， a m 垂直 s b， 那 三角全等 c m 也垂直 s b， 这又出结论了，为什么？你看 s b 垂直 a m， s b 垂直 c m， 那 s b 不 就垂直 a c m 吗？对不对？所以 s b 垂直谁啊？垂直面 a c m 啊，那 s b 就 垂直面的任何一条直线，那 s b 不 也垂直 a c 吗？ 对不对？当然不，只有这一个结论。为什么？因为有特殊角了吗？这个角有可能是三十、四十五和六十吗？所以三十多岁的这边的前面一半这个题目就可以应付一类考题了。 这就是我们讲的第二个非常重要的图形，叫对称图形，你学会了吗？关注超哥数学真的很简单，当然也可以关注明明学我张超带你学高中数学这本书。下方小黄车可以下单。

哈喽，大家好，这期视频的话更新一下单招考试或者说广东春招考试里面的例题几何大题的讲解，那这期的视频的话会把去年的模拟题以及广东去年高考的说错了， 春考的立体几何真题给大家讲解一下，那我们来开始吧，那前面的话，我们把常见的那些已经复习完了，那这期视频的话主要是直接就开始讲了哟，知识点的话，大家可以往前面视频翻看一下。嗯，好的，我们来看这题。 圆锥，这是去年的春考真题啊，圆锥 p a b c 中 p b c 等于 p c， b 等于 a c b 等于九十度 p c a 九十度 p c b 九十度 a c b。 哎，都九十度，对不对？然后 a c 等于三， b c 等于四 三四五，我们可以给它标上去。现在要证明的是什么？证明的是 p c 垂直 a b。 来拿黄色的 p c 垂直，哎，黄色的好像看不见，红色的垂直，蓝色，蓝色的， 那我们要正这个垂直这个，那我们只需要正这个垂直于底面就行了。线垂直下面这个面，那这个线在这个面里面，那这个线就垂直这个面 的上面的这条线了。 ok， 那 么首要目的，我要正 p c 垂直面 abc。 好， 那我们已经找到我们要正的东西了，那我们想一下，线要垂直面，是不是线要垂直面里面的两条线，对不对？好，因为题目给了，因为 pca 角， pca 等于角， pcb 等于九十度 a， 因为这个条件是不是就证明到了什么？往下写一点。 好，这第一问，所以 p c 垂直 a c p c 垂直 b c。 来，我再指给你们看一下啊，这条换一个，这条垂直，这条，这条又垂直，这条对不对？好，然后他们有交点，继续给这个垂直往下挪一点， a c 交 b， c 等于 c 有 交点，对不对？好，那么所以就证明到了 p c 垂直下面这个面，因为 a b 在 这个面里面， 所以 p c 垂直 ab。 好 了，那么第一问就证明完了。那么上期视频其实有讲过，但是这期视频给大家完善一下步骤啊。 好，接下来看第二本啊。放心哈，就是你自己写的时候，步骤少一丢丢是不无关紧要的，知道吧？你如果要多写点也可以多写点，但是少一丢点点是无所谓的，知道吧？嗯， 就你把，别把重要步骤漏了哈。首先线要垂，这个线要垂直下面两个线，这个你漏掉了肯定是没分的哈。其他的可以少，稍微少一步，两步都无所谓，但是关键的一定要到位。好吧，这是第二步。 求证 p a、 b 与 a、 b c 错成二面角的正弦值。好，初中的时候就教过正弦是什么， 哎，这边我们可以不用空间向量哈。之前我以为所有的正正弦与弦正切都要用空间向量，但是后面我发现好像所有的都可以用初中知识解答啊。好，回顾下初中知识， sign a 等于 abc 对 边比斜边括号 sign a 等于零边比上斜边。 tanger a 等于对边比上零边好，那 这个叫正弦，这个叫余弦，这个叫正切， ok 不？ 现在要求 tanger a 好 二面角的正切怎么去求呢？举个例子哈，我先画一个面哈，下面这个面与这个面， 我要求他们的二面角的正切。首先我们要知道二面角是什么？好吧，二面角是什么呢？这两个面垂直，有一条交线，交线这边随便取一个点，然后做一个垂线垂垂直于这边，然后这边也垂直下来。好，那么这两条线垂直， 这两条线所形成的夹角叫做二面角，等会还有一个线垂直面， 大家可以把书翻开来，把书那个你翻开来的时候有一有一个角度，这就是书的左边和右边所形成的二面角， ok 吧，这个应该能理解哈。好，所以我们来看一下 p a、 b 把刚才的极地孤独全擦掉， 下面要正的是 p， a、 b 这个面与哪个面？哎，与底下这个面。好，那我们首要目的是要干嘛？找一个点与它垂直，这边随便找一个点垂直，然后这边也搞一个垂线，对不对？好，怎么找呢？来看一下啊。 首先 a、 b、 c， 我 能不能做一条垂线过来啊？做它垂线， a、 b、 c 做条垂线下来，假设交于地点，可以吧？这边有个地点好， d 垂直 c 嘛，然后等会再找 d 垂垂直这个面嘛， ok 吧？好，我们先找这个，先把 c、 d 的 长度求出来， 因为刚这边 a、 c 是 三。呃， b， c 是 四， a， c 是 五。好，我们用等面积法，这个三角形可以，这个不是直角三角形吗？可以用三乘四乘二分之一 面积嘛，也可以用这边换一个底。 ab 乘 cd 乘二分之一，可以吧？二分之一五乘我要求的 cd 好， 写一下，过 c 作 cd 垂直， ab 于 d， 点由面由面积 得 s。 三角形 a， b， c 等于二分之一， a、 c 乘 b， d 也可以等于二分之一， a、 b 乘 cd。 好， 左边，刚才我们二分之一乘三，刚才就是二分之一乘三乘四，等于二分之一乘五乘 cd。 好， 二分之一二分之一约掉三四十二五除过来，所以 cd 等于五分之十二。好，过程不用管了， 中间过程你不用管了，你直接解得就行。嗯，解得好， cd 等于五分之十二。 好，那我们目前还差给啥？因为我刚说了这个点垂直它，那我这个点还要垂直。这是什么？垂直另一个面吧。来，刚才画的这个，注意看啊，注意看啊，一定要证明两个垂直。 好，这个点出发垂直这个和这个点出发垂直这个，这样所形成的角叫做二面角，可以不？那现在，现在这个点引出了一条垂线，这个是垂直的。好，那我现在还要还要找这个线做垂线。 你直接连接 p d 就 好了，肯定是这个。嗯，连接 p d， 然后我们证明 p d， 我们只需要证明什么， p d 也垂直 ab 就 ok 了。那么由此我们在 d 点上引出了两条线， p， 哎，说错了， d c 垂直的是 ab， 然后 d p 也垂直 ab， 所以 角 c d p 就是 这个二面角， ok 吧。 好，那么首要任务还要正哦，继续哦。再正的是这个往下，因为这是最后一道题，可能会稍微难一丢丢。好，怎么正呢？因为刚才已经证明到了什么？ 这个 ab 是 垂直 cd 的， 因为 ab 垂直 cd。 又呢？又因为什么？ pc 是 不是？哎呀， a b 垂直 p c 啊，为什么？第一问证明到了吧？第一问证明到的不就是 p c 垂直 a b 吗？我写成 a b 垂直 p c。 啊，为什么？我想做什么呢？我想让 a p 垂 a b 垂直 p c d。 这个面 注意看一下。首先 a b 垂直这个线， a b 又垂直这个线，所以 a、 b 就 垂直这个面， ok 吧，垂直这个面就垂直面里面的所有线，所以 a、 b 垂直 p d。 好， 那我们是不是证明到了？ 好，所以 p a、 b 与 a、 b、 c 二面角 即为角 c d b。 好， 我们目的就是求这个角， 怎么求呢？刚才长度我们偷偷已经算出来了五分之十二，现在要求的是 tangent 角 c d b 是 不是等于等于什么？把它偷偷拿出来， 这边是 p， 这边是 c， 这边是 d， p c 是 告诉你的是五， 我刚是不是哪里错了？我刚说 ab 是 五，对不对？第一题的时候我说 ab 是 五，为什么 ab 是 五？因为三四五嘛。 ab 是 五， ok 吧，现在是 p c， 这边是五，可以吧？嗯，一下快了一点， 这个 ab 通过勾股定律等于根号下三平方加四的平方等于五，这个要写一下哈，我刚看错了。嗯， 好了，这边是五，然后这边 c、 d 刚才证明到的是五分之十二，所以 t 这等于 p c 除以。就这个角嘛， p c 除以 cd 等于五，除以五分之十二等于 除以一个数，所以五乘以十二分之五，等于十二分之二十五。好了，那么这道题就是这么做的。回顾一下， 首先第一问的话比较简单了，就证明垂直嘛。好，第二问的话，你要这二面角，我就要在 它们的交线上找一个点，分别垂直这个面与垂直那个面所形成的夹角，才叫做二面角。 由此我们先找一个垂直，随便先找一个垂直，所以我们做 c 垂直 d cd 垂直 ab 交于 d 点， 然后通过等面积法啊，因为这个面积可以通过呃， a c 乘 bc 来求，也可以通过 ab 乘 cd 来求，然后 ab 通过勾股定，你是求到的是五。听我思路啊，所以 cd 就 求出来了， cd 求出来了，然后 把它挪上一点点， 然后继续往下。 现在这这个证垂直证明到了，那我还要找他垂直他，怎么找垂直他呢？我现在 ab 垂直了这个线，又垂直这个线，所以他就垂直这个面，所以 ab 就 垂直到了 pd， 所以 我才知道 c d p 是 这个二面角，所以你要写下他与他的二面角是这个，所以你要求的是这个，然后 所有东西都给你了，这是一个直角三角形，对不对？所以 tanger 它直接等于 p c 比上 c d， 然后把你刚求的边全带进去，那么这个题就结束了。好，那么这就是第一个题。接下来第二个题，注意看啊，这边也求的是正弦值啊。 来看第一个， a b 是 圆的直径。好，圆的直径有一个，有一个什么 直径？所对的圆心角都是九十度，那你看这个 abc 是 不是九十度？好，那继续面， p a c p a c 垂直 a c b 垂直 a c b 好， 左边这个面垂直下面这个面，然后他说 a p a p 垂直 a c 好。 现在问的是 b c 垂直 p a c 这个面。我们来看啊， 因为 ab 是 直径， 首先我们就证明到了 b c 垂直这个线吧。哎，两个平面相交，它垂直交线，说明什么？它就垂直这个面，就证明到了， ok 吧。 两个平面垂直，垂直于交线的线，垂直于另外一个面，两平面垂直， 垂直于交线 的线垂直 另一个面。 好，举个例子啊，这个好像我没讲，但是这个是定力哈，直接用的 好，你看现在它们有交点交线了，然后假设哈，这条线。假设是 o a 吧。 o a 如果垂直 b c。 好， 假设这个 alpha， 这个是 b， 它现在这条交线 o a 如果垂直这条交线，那 o a 就 垂直下面这个面，垂直这个 b， 它。 ok 吧。 o a 就 垂直这个 b 它。我先来举例子啊，哼，不要说怎么。哎，题目没有 我举的例子啊。好，就是这个两平面垂直，垂直于交线的线，垂直另一个面。好，记住这个哈，这个在正平线面垂直中用的比较多。好， 首先 a b 是 直径，那我现在刚才已经说了， a b 是 直径，所以 b c 垂直 a c 对 不对？好，因为平面我懒得写字啊。 p a c 垂直 a b c 面 abc。 好， 它俩的交线 p a c 交 a b c 等于 a c， 它俩有一个交线，刚才又它就垂直于交线，所以 b c 垂直另一个面面。 p a c。 好， 这是最快的。好，题目的话，它会这样做哈，题目它是先 a p 垂直这个，这是第一个，接下来它垂直它，这是第二个，所以 b c 垂直这个面，这是题目里面的题目。要正两下，但是这边是不是只需要正一下就行了？这个方法简单一点啊。 好，这是第一问大家，呃，好像有点写不下了，给它缩小，放左边，放下面。那我们来看第二问啊， a b 等于二， a b 等于二， a c 等于一， ap 等于 ap 也等于一。现在要问 a c 与面所成的角的正弦值， a c 与面哪个面？ p b c 这个面好，线与面，我们来看哈 这个面哈与这条线，它们之间的夹角也是这个线哈与这个面的交点。 你看这个焦点干嘛呢？垂直于这个，垂直于这个交线，知道吧？是，他们不是有交 有一个交线吗？然后这个就是线与面的夹角，这是用初中方法这样做，如果是学了空间向量的空间向量，那就求法向量，但是那个我们可以不学，为什么？因为用初中方法就能做，那就能做的话，那我们就更简单嘛。 好，那首先 a、 c 要垂直这个面，那我们去看一下 a、 c， 你 看与它的交点，在这个 c 点，我看一下 p c 是 不是垂直这个 b、 c。 一 般都是，你看刚才这个，你做这个垂直这个，那这个连起来肯定这个也会垂直下面， ok 吧？一般都是，你放心，你就连着，然后正它垂直下面，正它垂直下面就 ok 了。这边也是一样的， 它与这个面有一个交点 c， 然后 c 又连着这个面的另外一条线，那它肯定是那 a c p c a c p 这个角肯定是线与面所成的角。好，那我们只需要证的是什么？ 只需要正什么？只需要正 p c 垂直 bc， 正到这个就 ok 了。刚才说了，正到这个就 ok 了，那我们就求可以求这个角了，求这个角了， ok 吧？那我们开始正， 刚才已经把所有线都给你了，线都给你了。意思就是想让你用勾股定律去求它的边长，求完边长之后等会儿就能求到了。那我们来看 这个等于一，这个等于二，所以这个是不是根号下一方加二方等于五？好，写一下第二问， p b 等于根号下 a， p 方加 a， b 方等于根号二方加一方等于根号五。 好， b c， b c 呢？ b c， 我 把 a b、 c 标出来哈。哎呀， 这样看可能会觉得乱乱的，但是你不要怕，不要怕，一定不要怕。 a c b。 标出来，这边是一，这边是二，这边是 这个，对不对？所以 b c 等于根号下， a b 方减 a c 方， ok 吧？二二得四，四减一的话是等于根号三，所以 b c 等于根号三，这边根号五。好，然后 a c p a c p， 这边是直角，这边是直角嘛，因为这个面垂直这个面啊，这边要偷偷证明一下，因为平面 p a c 垂直面 a c b， 所以， 哎，不用这，哎，不用这，哎，这边不是给你了吗？我看错了， a p 已经垂直它了，所以它就是直角，不用正了。好， 这个是一，这个是一，那这个是不是根号二啊？所以 p c 等于根号下 a p 方加 a c 方等于根号二。好，通过这些角度，呃，这些长度啊，我们就可以把 p c b p c b 把它拿出来哈。 根号三，这边根号二，这边根号五，你看一下 p b 平方是不是等于 p c 平方加上 b c 平方，所以这是什么勾股定律？说明这边是九十度， p c 垂直 b c 可以 吧，所以你就可以写了。所以 a c 与面 p c p b c 所乘角 就是什么 a c p 角 a c p 好， 那角 a c p 添着角 a c p， 是 不是求求出来了呀？添着角 a c p， 因为所有的边我都知道呀，这边一，这边一，这边根号二呀，刚求出来的嘛，求出来的记得给它标上去啊。正弦值正弦哦，正弦是 sine， 不要弄错了啊， sine 对边比斜边，对边是一，斜边是根号二，所以就是二分之根号二就证明的，呃，就写出来了这第二个， 所以这就是，呃，就是如果是大体出了这个求正弦、余弦的，那就这么做好，然后其他考的比较多的就是求体积的，那我再讲一个求体积的，然后剩下的大家可以去自己看一下，一般都是求体积或是正，什么 正垂直，然后另外一个就是这个，这什么正，正弦啊，算了，好吧，都讲一遍吧，没关系，来看下十五题啊，都讲一下，都讲一下，大家不会 好，接下来就比较简单了，因为正弦余弦的话，还要证明这个这么多东西，那其他的都稍微简单一丢丢，好。 十五题第一问，三轮锥 s， a， b， c， d 底面 a， b， c， d 是 平行四边形， d， a， b 是 一百三十五度， b， c 等于二根号二，然后给了这么堆东西，现在让你这什么， 一般我们先看完题目再去看这个，不然的话你念一圈回来，你发现好像没记住什么东西， 带着问题去找答案。 s、 d 要平行， c， f， a， 好， 这种题有没有写过呀？这边一猜，它就是中点，然后我要什么？这这个肯定是平行四边形或者什么东西，然后你可以连起来，连起来，这边是中点，然后这叫中位线结束，这边是这个三角形，中位线 好， 没了，没了，正平行，就这么简单啊，给它连起来，好，因为它是平行四边形。连接 b、 d， 交 a， c 于 a， b， c， d， e， f， g 于 g 吧， 交于 g， 好， 这只要是这个是 g 点，再连接 g、 f， 这个点你随便取啊。连接 g， f， 好， 这第一步好，看一下给了没？给啊？给了，中点肯定给了，因为 a、 b， c、 d 是 平行四边形， 四边形，所以什么呢？平行四边形的话， g 就是 什么， g 就 为 b d 中点，这个直接用哈，这是平行四边形的性质，这个对角线会平分，相互平分。又因为 f 为 s b 中点， 所以 g f 平行且等于二分之一的 s d， 这是中位线的性质，中位线会平行且等于这边的一半，那我们可以直接平行就行了，因为这个等于好像用不上，用不上你就不用等，所以它直接等就行。 f p 直接平行就行啊， 这个直接平行，这个这是中位线的性质。嗯， 但写的时候哈，注意哈，谁平行谁，你最好把谁写到前面。好吧， s d 平行 g f， 但写的时候哈，注意哈，写的时候还有呢，你这边 s d， 你 就这边写 f g， ok 吧， f g 这样写好看一点。嗯， 因为 f g 在 面 c f a 上面，这个在这个 c f a 上面，所以 s d 就 平行面 c f a。 这是第一道题，还是挺简单的哈。好，那我们来看到第二问， 让你挣的是 s a 垂直 bc。 好， 一般直接挣不到哈，一般要你挣什么？一般要不就他们不在一个面上吗？你怎么去挣呢？是不是不太好挣啊？ 那怎么办呢？一般就是挣 s a 垂直下面这个面，那他就垂直于面里面的所有线，所以 s a 又会垂直于 s a 的 那个面。好，那这里的话我们先把条件都分析一下。 呃，首先哈， d a b 等于一百三十五，你要把它画出来，这个平行四边形，这边是一百三十五，画大一点。 好，一百三十五， b a d c。 做这种题哈，一定要把底面画出来啊，因为它是变形的，你直接到那边看，可能有点怪怪的。 那一百三十五，那这边是不是四十五呀？显而易见嘛，对不对？然后 b c 等于二，根号二。为什么显而易见啊？初中学过，就是什么，这边是三十五，它俩互补吧？互补是加起来一百八，知道吧？嗯， 然后 s a 等于 s， c 等于 ab， s a， s b 等于 ab， 都是二。好， 那你看一下啊，我我我，你看啊，你看啊，注意看啊，注意看啊。我想要不就正它垂直，下面这个面，要不正 b c 垂直，关于 s a 的 这个面，对不对？好，那我刚刚敏感的发现到啊， 怎么敏睿的，你别管，哈哈哈。这边你做垂斜垂直，你有没有发现就是 a 这个什么东西？这个 a， b， c， d， e， f， 哎，没有 e。 对， 我设一个 e 吧，对不对？垂直 e 可以 吧？ 哎，因为这是四十五度呀，然后做垂直，这边又是四十五度呀，对不对？那这个是多少？也能求吧，对不对？这边能求，只不过画的不不美观嘛。因为这边四十五度，这边也四十五度喽，那这两个的平方就是等于它喽， 它的平方了。那所以它来假，假设这是 x， 这也是 x， 因为四十五度，四十五度，它，它应该长成这样子啊。但是我画的有点丑啊， 这边四十五度嘛， a e 的 平方加上 b e 的 平方，会等于 a b 的 平方嘛，对不对？ 那 a e 等于 b e， 然后 a b 的 话二二得四，那这边的话就是什么两倍的 a e 的 平方， a， e 的 平方等于二， a e 等于根号二，所以这两都是根号二，可以吧？根号二，根号二，根号二。 好，还求出来了，它是根号二，根号二。然后呢？你看，观察观察，那我们能不能把它也连起来？为什么要把它连起来？因为 b c 刚已经垂直了，它刚才与它搭边的一条边，那我给它连起来， 好，把 c e， 哎呸， s e 再连起来，我这个 e 画好一点， 假设 e 在 这吧， s e 连起来，那我就想到了，我主要是想证 b c 垂直 a， e 与 bc 垂直 s e， 那 这个是很容，就是刚才做的就是垂直嘛，对不对？所以我主要目的还是要证啊。要求这个 s e， s e 怎么求呢？会不会垂直下面怎么求呢？把它画出来 s b c， 然后这个 e 刚才算到这边是根号二，总共是二根号二，对不对？只不过我画的丑嘛，对不对？总共是二根号二，这边根号二，这边根号二，那这不就终点嘛，对不对？ 好，又什么 s b 等于 s c 等幺三角形吧，中点就是什么三线合一吧，中点就会垂直下面吧，对不对？好，那我们理清楚了，那我们就可以左手下笔做了。刚才都是在打草稿，现在可以左手做了， 找思路哈，带大家找思路啊。第二问，首先过 a 做 a， 你 直接说， 呃呃，对，过 a， 一 过 a 做哎呀，这字，哎呀，先下来一点。二，过 a 做 a， e 垂直 b， c 于 e 点 好，因为角 d a b 等于一百三十五，所以角 b 就 等于四十五度好， 四十五度，那所以，所以角 b a e 也是四十五度，对不对？所以 b e 等于 a， e 好，它俩相等，然后 b e 的 平方加上 a， e 的 平方会等于 a b 的 平方。好，所以 b e 解出来等于根号二。这边到槽格纸上解就行哈， 它等于四嘛？然后 b， e， a， e 是 相等的嘛，你换成就是两倍的 b e 的 平方等于 a， a b 平方是四，二除以四等于二等于二，所以 b e 的 平方等于二，所以 b e 等于根号二嘛，这个很好解吧。好， b e 求出来了啊， 它是根号二，因为什么 bc 等于什么二？根号二吧，所以 e 为 bc 中点 好。又因为什么 s b 等于 s c， 所以 s b c 为等幺三角形 要写的比较多哈，因为都是最后一题等幺三角形，所以 s e 垂直 bc， 或者你写成 b bc 垂直 s e 吧。哎呦， bc 垂直 s e， 为什么要写成 bc 垂直 s e 啊？因为我想 bc 垂直这个面嘛， 谁垂直谁都无所谓，因为都是一样，一个意思嘛。好，现在 bc 垂直 s e， bc 又垂直 a e， 对 不对？ bc 垂直 a e 啊， 你把前面的条件重新用一下。又因为 bc 垂直 a e 就是 我们刚设的这个嘛，所以 bc 垂直面 a s a e， 所以 bc 垂直 s a。 你多写一步。你说 s a 在 这里面，因为 s a 属于 s a b a e 面 a c e 在 这里里面，所以 b c 垂直 s a。 但是不要这样写，因为要正的是 s a 垂直 bc， 所以 你写的时候你就写 b c s a 垂直 bc， 可以 吧，你掉一个头是一样的。好了，这就是完整的步骤，大家可以学一下 就能简变。大家可以自己简变一下哈，你不影响关键步骤就行。好吧 好，这是正垂直的题，然后我再带大家写一个求体积的题啊，刚才那个三问，我不想写那么多，我只想写两问的。我们找这个十八题来看啊。我们来看到这道题哈，第十八题， 这可只有两问好，首先我们先看题目，再去看那个，好吧，我要证明的是什么？ a、 c、 e 平行面， c， d， b、 e。 好 的，如果哈，大家一下看不出来平行应该做什么辅助线，建议大家去看，就是我教的就是做 平平行的辅辅助线的那一期哈，就是你这个线要垂哦，要平行，谁平行哪个面你，你就先把它拿一个直角板比一下，然后呢，要平行这三个点 怎么办呢？注意看，注意看，注意看啊，沿着它上下左右移，你不要旋转哈，不要旋转，你移，移到那三个点的位置，移到 c 点， d 点和 b 一 的位置， 如果这个点就是这个线，这个平行线啊，这个平行线就是刚刚与 a、 c 一 重合的那条线，如果与这个点， 与这个 c、 d、 b 一 如果还有交点，那大概率就是那个交点做一个平行线，那我们往下你看， c 就 没有交点啊， d 这边就有了，对不对？ d 这边有一个交点，给它画一下， 这个点是不是继续往右踩过两个点嘛，哎，第三个点，发现第三个点也与这个 与哪个三角形，与自己这个三角形 c、 d， b、 e 这个三角形没有没有交点，就说明不是在这坐着。辅助线再来一遍，再来一遍，一共就三个点嘛，你与它平行，沿着这个 c、 d、 b、 e 走一遍，发现哪一个有焦点，是不是只有 d 的 这个有一个焦点？ c、 b、 e 上面有一个焦点，就是蓝色的这边圈的。好吧，所以辅助线大概坐到这儿好，结束之后我们来看题， 等会儿应该是在坐在这儿，那你看啊，三楞柱，三楞柱这边是什么 矩形？矩形对角线相连，平行且等于它的一半吧，对不对？焦点对角线相连，连起来，假设这里是 a、 b、 c， d 一 点。好吧，那它就是，是不是终点啊？一，是不是终点啊？ 矩形，正方形，平行四边形，这些都是交点，会平分对角线，知道吧？好，继续往下读题啊。哎，你看一下啊，这个要平行，这个，哎，我连起来连起来， 看出来了，没有？做中位线，那肯定他还会告诉你 d 是 a， b 中点，看一下给了没有。喏， d 是 a， b 中点，是不是跟刚才那个题差不多呀？好， d 题就结束了。我们要这几个条件就能这的 连接。 b、 c 交 b、 e、 c 于一点，因为它是三能柱， 所以 e 为。因为它是三等柱，所以 b、 b、 e、 c、 e、 c 为矩形，你多写几个字都无所谓的。它是矩形，所以 e 为。呃， 我要找它是它的终点，那就是 b、 c、 e 的 终点。 b、 c、 e 终点，当然也可以是呃 b、 c、 e 的 终点咯。两个终点都是嘛，对不对？ 终点看我们要什么，我要知道它是它中位线，所以我要它知道吧。嗯， 又 d 为 a， b 中点，所以什么？所以 d、 e 平行啊。你不要写 d， e 平行，因为我要正的是什么？正 a， c、 e， 所以 a， c、 e 平行。 d， e 好， 又因为 d， e 是 什么为 c d， b 上 e 上的线，所以 a、 c、 e 垂直面 c， d、 b 结束来这么写啊。第二问 求三能追 d， 把 d 问的擦掉啊。 d， b， b、 e、 c 的 体积好，三轮锥的体积，你以谁为中，以谁为那个顶点都行吧。我改一下，以 b、 e 为顶点，这样子就比较好做一点吧，对不对？那我只需要知道底面的什么 底面的面积喽，然后这个高应该是给你了喽。那我们来看题吧，很应该很多都给你了。 a， c， a， c 是 三， b， c 是 四，这个又是五，然后呢？ d 是 它终点，没问题， 没了。那我们把它画出来吧，三四五，这个画出来四四。哎呀，画的稍微标准一点，尽量让自己不看迷糊嘛。我平时也是随便画的，反正尽量标准嘛。 c， a， b， 然后 d 是 它终点五，然后这边长度是五。好， 终点。那我要知道什么？我要知道这底面的八，啊呸，底面的面积，底面的面积，那现在它是终点，哎，对不对？第一是终点，哎， 什么意思？这个三角形与这个三角形干嘛？如果这个三角形与这个三角形，你看 a、 d 这个三角形， a、 d， c 这个三角形和 b、 d， c 这个三角形干嘛？ 把它调，把它稍微调正当一点啊， 底一样高一样，底一样高一样，说明什么？这两个三角形是不是面积是一样的？那面积是一样的？我先求整体不就行了？好，所以第二问，因为第一为 a、 b 中点， 所以呢？ a， s， a， d， c 等于 s， b， d， c 这两个面积相等等于什么？二分之一的 a， b， c， 哎呀， 哎，哎呀， s， a， b， c 等于大的一半嘛，对不对？那这个就可以求了喽，等于多少呢？ 呃，我现现在要求谁？现在要求 s、 b， d， c 了？那你就单独写，等于二分之一的 s， a， b， c 等于二分之一。好，二分之一乘。呃， 哎呀，不要这样写，不要这样写，慢一点，慢一点。先把 s， a， b， c 求出来了。等于二分之一 b， c 乘 a， c 二分之一，底程高吗？这边，这边是不是直角吗？对不对？三四三四五不是直角吗？哦，还要正一下，三四五慢一点，慢一点，往下往下往给他挪一下啊。还要正一下，三四五要正一下。因为 a、 c 方加上 b、 c 方等于 a、 b 方，所以 a、 c、 b 为直角。嗯 啊，所以这个就可以用 c， 用这两个直角边来求它的面积了。好，所以它的面积就是二分之一的 a、 c 乘 b， c， ok 吧？那二分之一乘二分之一乘三，四十二，那就是六 好，然后 s、 b， d， c 等于二分之一的 a， s， a， b， c 等于三好。底面半径知道了， 底面就是说错了，不是底面面积，底面底的面积知道了，这个面积知道了，那我们就差一条，高 b b 一 b b 一 有告诉你吗？一般都告诉你了，那 a a 告诉你了，那 b、 b 一 不是告诉你了吗？又 a a 等于 b， b 一 等于几啊？等于四四，所以 三棱锥，我不想写字啊。体积为三分之一， s b， d c 乘，呃呃，乘这个 b e， b， b、 e 等于三分之一乘三，乘以四等于四。 ok， 那 我们就这个题就解完了啊，不知道大家听懂了没有，一共三个类型啊。第一个是求正弦，求正弦，余弦正切好，这个我们要正垂直，首要任务是正垂直，先找到再去正好。第二个是正 光正垂直了，线线垂直了，怎么去正线垂直面？你不管谁垂直谁，你要仔细看， 这是第二个。接着第三个是求体积，求体积，一般不要木纳的，以它为顶点，以它为底，这样不好求，所以我们稍微的改变一下，求底面，然后以它为顶点求，这样求比较好求， ok 吧， 那这就是立体几何的三个大题，我觉得难度应该是不不大的，然后他作为压轴的话，我觉得大家应该 都有机会能把这个拿满分。好吧，说实话他不是特别难啊。 后前面的话还有一节，我记得还有一节什么东西，我应该还会出一个，就大体解析视频讲什么来着，我忘了。然后到时候再更新吧，感谢大家收听，拜拜。