安徽省中职三角函数单选题及答案

好，今天我们来看三角函数的同角运算。好，我们看第一条，已知三 a c t 加口三 a c t 等于十三分之七 c t 呢，是第一第二项线的角，让我们求三 a c t 乘以口三 a c t。 好， 今后我们在做题的过程中遇到，哎，前面是同角的两个三角函数，用加法或者减法连的时候啊，相连的时候再让我们去求哎，同角的什么两个三角函数的乘积，那我们只需要把前面这个式子给它怎么样？平方一下就可以了。好，我们平方一下可以得到 sin 平方 c， 它加上两倍的 sin c， 它 cos sin c， 它再加上 cos sin 平方 c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。啊，后面这个值平方不要忘了啊， 平方出来之后呢？哎，我们可以得到这个，这个是什么呀？是不是同角的三角函数？平方和角呀，那我们知道它等于几？等于一，那一加上两倍的 sin c， 它 靠三 in c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。好，把这个移移过来就可以得到两倍的三 in c， 它靠三 in c， 它等于负的一百六十九分之一百二十。好，我们要求的这个乘积是不是出现在这里？量。好，我们在指数除以二就可以得到答案了，所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之六十，对不对啊？所以答案呢，就是多少负的 一百六十九分之六十，对不对啊？所以记住看这个形式，一定要平方。好，下一题呢，就是多少负的一百六十六十，对不对啊？ 那我们知道 tangent 的 二法是等于什么，是不是三引二法比上我们的什么靠三引二法，对不对？好，那我们看这个式子啊， 我们把它看成一个数，那这个式子可以写成什么？一分之三引二法，靠三引二法等于二。为什么要写这个一啊？因为一等于什么呀？哎，一它就等于我们三引平方二法加上靠三引平方二分之。什么三引二法 h 三一二法。哎，这样一改，知不知道接下来干嘛？哎，分子分同时除以 cosine 平方二法。好，同时除以之后呢，上面呢就变成了 tangent 的 二法，下面变成了什么？ tangent 的 二法？ tangent 的 平方二法再加一等于多少？ 二分之一？哎，我们叫求的这个式子啊，应该通分影响，是不是变成了贪婪的平方阿尔法加一，再比上贪婪的阿尔法，哎，是不是就是我这里怎么倒数呀？那答案也很明显，就等于几，是不是等于二？哎。

高中高考最后二十三天了，谁说用最短的时间带你刷真题，数学轻松上岸一百二十分，今天我们来讲数学三角函数值的一个问题啊，以及二十六天的第二十六天的 三角函数最小正周期的一个问题。那最后两题呢，大家提的一个疑问呢，也比较多啊，那我们今天拿出来专题来讲，最后二十天，如果你想快速提升的，直接做老师，这一份资料啊，能够让你快速到达一百二十分，这些题型都是专题来的，直接做老师这一份资料啊，能够让你快速到达一百二十分。这些题型都是针对高考的一个应试技巧方法， 在你不会的时候也能做对，在你会的时候能够更快做对。好，接下来我们进入正题，三角函数值这个问题呢，二三年考了，二四年考了，二五年考了，你说二六年会不会考好？那这个题呢，非常非常简单啊，我们只需要一个表啊，叫特殊的三角函数值，那这一个呢，它分为 零度到一百八十度啊，三元 cosin， 天卷算法，所以这个表呢，我们是要去背的，要去背的很多同学呢，搞不清楚，不知道怎么背啊，非常简单啊，三元 cosin 啊，天卷算法，我正常的记呢是一 二三啊，你记得都是带根号的就行了啊，一二三三二一三一三啊，三一三啊，天卷三十度呢，这里记得是三啊，其他的啊是二，那往后是什么？三二一一二三三一三啊，这些带符号的呢，自己要去记，去背一下啊，就可以了。好，所以有了这个表之后呢，我们就可以直接 知道天卷四十五度等于多少？等于一，所以这个题就直接选 c 了。这个题直接选 c 啊，三点四十五度呢，是什么呢？二分之根号二，所以选 b 啊，二十五。呃，二五年的题呢？三点三十度啊，这个都是送分题来的啊，确实就是送分题，所以这部分的分值我们是一定要拿到的啊，那我们接下来进入正题啊。 呃，二十六天我们讲了最小正周期的一个问题啊，那我们再来讲再复习一下啊，就是 t 等于 派除以我们感绝对值啊，那只只有这个公式。最小正周期啊，只有这个公式，我们只只需要看啊 x 前面这一个系数啊，只只需要看这个系数就可以了。那这个题怎么解呢？因为这个题呢，它多了一个平方啊，多了一个平方，那 我们原本原有的题是什么？原有的题呢？它都没有平方，都是一次啊，都是一次，那多了一个平方呢？是什么？这个平方啊，我们说就二次方嘛，二次方嘛，对吧？叫二次，那二次的情况下我们就需要啊，需要 降次啊，需要把它降次，我们才可以用 t 等于二 pi 除以 omega 绝对值。好，接下来就记住老师的一个口诀啊，口诀非常简单啊，叫降次，降次阔脚 好，降次过扩角什么意思呢？这降次降的是这一个啊，这一个啊，平方，次方，三次方，等等啊，降次啊，扩角，扩角是什么？扩角的意思呢？就是原来是 x， 现在你要变成二 x 啊，这个叫扩角。降次就是原来是平方，那现在就变成啊，原来是 sin 平方，对吧？现在呢就会变成啊，降次扩角之后呢，会变成三 x 啊，只要记住这一个就行了啊，其他的前面的这些系数，前面的这些系数啊，全部都不用管，全部都不用管啊，我们算的是最小正周期啊，最小正周期，所以，所以，那 t 等于二， pi 小 于 unk 小 于 unk 的 这个降次扩角之后呢？它会等于二，所以这个最小正周期呢？它会是 pi 啊，我这样说，大家听明白了吗？非常关键啊，就降次扩角啊，降次扩角， 好，那紧接着我们再讲下一个题啊，下一个题啊，他是三 x 乘以或三 x， 好， 那这种情况是什么呢啊？第二个内容，第二个公式啊，一次乘以一次会等于二次， 一次乘以一次会等于二次，所以，所以这个题是什么呢？这个题一次乘以一次，他会等于二次。二次，我们还是需要降次扩角啊，相当于直接扩角，变成 x， 会变成二 x， 然后我们再来算， t 等于二， pi 除以 omega， 好， 这样说，大家明白吗？所以这个题它还是选最小正周期，还是 pi 还是 pi 好， 那再来两个例题，再来两个例题，等于 sine x 加 cosine x， 好， 那这个是指它会是什么呢？它会是什么呢？它的最小正周期呢？好，我再来写一下，依次加减 一次还是等于一次啊？二次加减二次还是等于二次啊？所以都不变啊，那它只需要看它前面的系数啊， t 等于二 pi omega， 它这个是一，那就等于二 pi 啊，如果说 三 x 平方加上 cosine x 平方啊，这一个二次加二次还是等于二次，所以 t 会等于二， pi 除以二等于 pi， 好，这个内容大家听明白了吗？那还有其他想听的知识点啊？发在评论区，我们下期来讲。好，下期再见。

各位同学好啊，今天我们来讲一下任意角的三角函数，那么我们初中也就讲过了，就是在直角三角形中，一个角的正弦值是等于 对比，就是在这 a， 这是 b， 这是 c， 叫对比斜，它的余弦值是等于什么？我们的 零比斜，那么长短算法呢？就是对比零，就 a 比 b， 这是我们初中学过的好。那现在呢？我们来看到是中边的， 现在串犯的中边经过一个点，好，随便我们画一个中边好了，我们习惯呢，举例子，用什么第一项线，因为第一项线比较符合我们的正常的一个方法啊，想要有个点为 x 到 y， 那 么我们过这个点做垂线， 那这就是 y 值，这就是 x 值，而这个长度呢，就是根号 x 方加 y 方。勾股顶顶。注意了，因为它的第一项线，所以 y， x 都是什么？都是正的，所以是 y x， 所以 我们就可以写出公式，这就是它的中边角， 这个角的正弦值是等于 y 比，根号 x 方加 y 方。 cos 阿法是等于 x 比上根号 x 方加 y 方，它的中间的阿法是等于 y 比什么 x。 所以 我们以后凡是看到中边上有任意点的时候，我们就要想到， 哎，中间有那一点，就想到这三个公式了哈。另外我们发现我们一般用 r 来表示，根号 x 方加 y 方，所以书本上都是呢，是 y 比 r， x 比 r 好。 现在我们就说象限的问题了， 在第一象限的角， 因为我发现 r， 我 们看正弦哈， r 是 正数，所以 y 是 正的，我们的塞音就是正的，就是塞音。 r 法跟 y 的 值怎么样啊？ 是正负性一致的，所以我们经常说句话叫做塞音看 y， 靠塞音看什么 x， 而常言的看什么 y 比 x， 所以 在第一项线 正确是正的，第二项线因为它 y 是 正的，所以也是正的。然后呢，这是负的，负的，所以在一二项线三也是正的 cos， 你 看 x， 所以 我们的 cos 在 一项线正的，二项是负的，三项线也是负的，而我们的第四项线呢，是正的， 这是我们的 y 和 x 对 应的 cos 三根是什么？ cosine。 好， 那正切是 y b x， 很 明显正切在一三相切是正的，那么这个最好背一下啊，一三相切正，二四相切是什么？是负啊？这是我们的概念。 我们讲完了第一题，凡是看到中间经过一个点的时候就要想公式，所以 cos 阿法也可以写成 y， 就是 x 比上根号 x 方加 y 方。哎，它的 x 是 什么？是 m 根号 m 平方， x 方加上 y 方就二十五， 减负的是三分之十二，反中间一个点套这个公式就可以了。好，我们这样交叉相乘就负十三， m 要等于十二倍的 m 平方加二十五，两边同时平方是幺六九， m 方等于幺四四， m 方 加上幺四四乘二十五。注意哈，我们不要把幺四乘二十五怎么样啊？乘起来，因为它比较大，那道号后面肯定会约掉的， 幺六就减掉，幺四四就是二十五， m 平方你看到没有，就等于幺四四省二十五，二十五跟二十五可以约掉，所以 m 的 平方就等于幺四四。注意了，高中上最容易犯的错误就是，一个数的平方等于 一个值的话，这个 m 有 几个值啊？ m 是 等于正负什么？十二， 那么它的通解的值是等于 y 比什么？ x 是 五比 m， 那 答案就选正负十二分之五，对不对啊？ 貌似是对的，因为我们经常说，如果有两个答案，一定要先写出来，然后再去分析有没有什么啊，排除的可能啊，排除在哪里呢？因为你看到没有，之，所以我们可以看到最原始的这里，我们这里到这里是平方了， 实际上呢，在这个式子是由他得到的，你看啊，这个是一个正数，而这边是一个什么数啊？负数，所以 m 的 值应该也是什么负数，所以我们就得到 m 是 小于零的，所以 m 只能等于负十二，不能等于正十二， 所以答案就是负十二分之五。好，这是我们的反一，那么其实更好的方法就是看到没有 cosine 是 负的，证明他一定在什么，他的 x 值呢，也是负的，所以 m 就 一定小于零，看，这里是最好的， 所以呢，我们也能找到 m， 是 吗？是等于负十二，所以答案就选择 c。 好， 我们看下第二题，第二题，首先呢，要知道三分之二拍啊 啊，很浓啊，我们发的是角度是一百二十度，是不是？那么我们经常是要记，我们记是记什么？是三十度，四十五度和六十度的正弦值和余弦值都是要背下来的，那一百二十度就是 我们经常说的一百二十度是第二项角，对不对？也是钝角，他需不需要背呢？其实他呢，是这么背的，那么我们要了解，就是我们初中经常是说的补角，就两角互补 公式哈，叫正等于反，切也反， 什么意思呢？只要留过两个角，表示二，一百二十度和六十度很明显是复古的，是不是？所以它正弦相等，与弦是相反，正切也是相反的，记住这句话就可以了。所以呢，我们的三点一百二十度 和三引六十度是什么相等的？因为正弦相等，那么一百二十度呢？和括号等于六十度呢？因为跟它的补角啊，两角一百二十度跟六十度是互补的，它的余弦是相反，这么记就可以了。所以三引六十度等于二等于多少？三、 负 cos 是 什么？六十度等于负的什么二分之一这样的，比如说我们写 cos 一 百五十度，所以一百五十度，我们脑补下的补角的度数是三十度， 所以等于 cos。 先写个 cos 负三十三十度，因为这两脚互补，它的余弦是相反的，是写负 cos 等于三十，也等于负的二分之 cos， 所以 我们这个 p 点的坐标啊，是我们的二分之 cos 三 do 什么 for 级好。然后呢，我们画出一个坐标，很明显它的 我们不画坐标。可以哈，你看到没有，它的正，它的 x 是 大零， y 是 毛是小零，证明点 p 在 第四象限。 然后呢，我们发现它的 num 键的 alpha 是 等于什么？是 y 比 x 是 负二分之几，勾什么我们的二分之三，那么就负的三分之三， 我们想想哪个角的哪个角的正切是等于我们的平方三呢？是我们的六分之一拍，但是它又在什么？所以负的平方三呢？就是负六分之一拍，那，那就对上了，所以是负六分之一拍 在第四，在第三项，而且它正弦是等于负的三分之二三。所以呢，现在我们怎么样啊？来看到这个角， 它就不光是负六分拍了，它应该是负六分拍加上什么二 k 拍才行，因为它只有一条射线，只有一条中边好，所以阿法是要一组值啊，一个值，而这 k 要属于什么整数？ 那现在他要的要求是什么？是最小正值，也说他是正值，而且最小的，所以我们只要让 k 等于讲一，答案就是六分之十一拍，所以答案选 d。 有 些题目呢，也会说阿法的绝对值最小，那么就是六分就拍了。 我们来到第三题，又是中边过一个点套公式 cos alpha 是 等于什么？等于我们的 x 三比上根号三方加上四减分给了 alpha 的 平方。 如果我们直接这么写的话，你会发现很难算是吧。对的，因为我的加法有不知道多少了。好，我们看看啊，那我想到这里出现了的加法，所以我们直接要写的加法等于加法是等于什么？ y 比 x 就是 这样。那这样的话呢，就关键定义了 alpha 的 一个方程，所以三倍的定义了 alpha 就 等于四减定义了 alpha， 所以呢，定义了 alpha 就 直接等于几啊？等于一 啊，这道题你就把它套到公式就可以了。所以点 p 呢，就是等于三三 啊，把它带进去就三除以根号九加九就十八，其实是三倍的根号二就三，就等于二分之根号二，所以答案选择 a， 我们拿到第四题前面呢，可以复式。哎，这个话都是会说的啊，不说你就默认就是跟原点对称，那么它的中边关于 y 等于 x 对 称， y 等于 x， 是 这样的， 然后呢，这两个中边关于这个对称， 假如这是 alpha， 这是 b， 倒，如果你去考虑这两个叫对称的话，其实就是它的角角相相等，那这样太太麻烦了，我们可以想到点的问题， 我假设啊，这个上面有个点是 a 点，它对应的是 x， y， 那 b 点呢？它也一定会经过 y 勾， x 就是 y 等于 x， y 等于 x， 个对称的一个性质就是横纵互换了。我们再讲啊，讲我们的函数，反函数里面讲过， 所以我们所以这里 cos 阿法是等于三分之二。注意了，它就是 x 比上根号 x 方加 y 方等于三分之二。那对于 cos bin 的 来 sin bin 的 来说呢？它是用 它的纵坐标，但是它纵坐标变成 x 了，就变成 x， 也比上根号 x 方加什么？加 y 方，所以你会发现它们两个是相等的关系。所以呢，我们要得到 sine b， d 是 等于三分之几吗？三分之二， 很巧妙啊，一个题就设坐标，第五题，第五题啊，这个我们发现这个点呢，是二根杠，三到二根一，那么我们就可以画一个 坐标，而且最好画一个单位圆。为什么？因为刚好我们的 o p 的 长度啊，是等于减一，因为等于根号方加 y 方嘛，所以它对应的是什么？是横坐标？是二分之三，但纵坐标是什么？是二分之一，在这个位置， 那么这里很容易得到。它的角是多少度啊？是我们的三十度， 三十度啊，因为凡是跟高三有关的，二分之二分之高三嘛，你说它的正弦值是等于二分之一，那么肯定在第一象限，所以肯定是三十度。 按照它的意思，它顺时针旋转七十五度，达到 o p 一 撇 本来是三十度，顺时针转七十五度，那就到了四十五度负四十五度这里， 那么因为我们的转动的时候，因为 o p 的 长度是什么一，那 o p 一 撇，因为转动这个线段是不会改变大小的，所以 o p 也等于几啊？等于一，所以恰好也在什么 在这上面了。好，那么我们根据公式，因为我们设这个点 p 一 撇，坐标为 x y， 那么我们又知道根号 x 方加 y 方等于几啊？等于一，所以呢，很明显 x 比上 r 也是我们说的根号 x 方加 y 方一就等于 cos 加法， y 比上一就等于 cos 加法。 所以呢，我们的 cosine 四十负四十五度和 sine 负四十五度，那么这个就直接等于我们的二分之根号二，而这里就等于我们的负的二分之二。 我们从图像的角度来说，很明显它的 x 值是什么？是正的， y 值是负的，而跟四十五度有关的角，它的正弦值也好，余弦值也好，都是等于二分之二， 所以答案就是二分之根号二到负二分之根号二。这道题主要抓，抓住一个点，就是 o p 线段是不会改变的。那第六题第六题开始啊，就考象限的正负性的问题了， 我们看一下啊，这道题说的是点 p 在 第四象限，点在第四象限，就是他的横的横坐标是要大零的，但是他的纵坐标呢？应该要怎么样？小零 好，那么长方形的大零我们就背一四，长方形的，我们就记得是一三是什么？对角，一三是正，二四是负，所以他在一三象限， 但是它的 cosine 是 吗？是负的，所以它在二三相线。为什么是二三相线呢？因为 cosine， 你 看 x 在 二三线里面， x 呢是 小于零的，所以它既要满两个都满足，所以它只能是在这中间，只能在第几项线了，第三项线，所以答案选择 c。 第七题，三亚法要小于单亚法则阿法是第几项线？第一项线的什么条件？ 首先呢，我们看一下啊，三元 alpha 小 于等于 alpha， 我 需要把它怎么样化解， 怎么化解呢？我们一定要知道它减的 alpha 是 小于等于 alpha 是 等于三元 alpha 除以 cos。 那这两边都有三亚法，能不能除掉呢？不能，因为我不知道三亚法是正的还是负的，所以我们就做一个叉，是三亚法减掉，三亚法除以 cos 三亚法小于零， 我们通下分是 cos 三亚法， cos 三亚法减掉三亚法小于零，所以是 cos 三亚法。 向量法提取出来， cos 向量法减掉一要小一点。 好，那么我们一定要有一个问题，就是什么？就是 cos 向量法和向量法，它都是等于 y 比 r 和 x 比 r， y 和 x 都小于等于 r， 所以呢，我们一定要注意后面这样，我们用到 sine alpha 跟 cosine alpha， 它是永远夹在负一和一之间的， 明白了吗？所以我们看到 cosine alpha 减一呢，我们就知道它是小于等于零的，但是呢，因为这里不允许等于零，所以这个因为 cosine alpha 减一小于零， 所以呢，我们就满足三 e f 除以 cos 三 e f 就 一定要大一点，因为一个小零数乘一个大一点的数才会得到，怎么样啊，它是小零，所以也就是说 cosine f 要怎么样要大一点，也说 alpha 一定是在 b b 几啊，这是一三象限，所以这个条件就等同一阿法是在一三象限，所以呢，我们前推不出后，但是后能推出前，所以我们说这个条件就是它的必要不充分条件。选 b 还是考象限的正负性的问题，但是这个题稍微有点难度，就是一定要用做叉。 第八题就是啊，具体的角它应该怎么判断正负性？那么我们这样说呢，就是我们一定要背一下三百六十度的两倍是七百二是吧？三倍是幺零 八零，四倍是一千八，十倍是三千六 啊，当然六倍的话能背就是二幺六零哈，其实不用背了哈，其中比较重要的就是幺零八零，七百二也重要啊，一千八和三千六， 那我们说如果两个角相差三百六十度的整数倍，他的中边是相同的，中边都相同，那么他的正弦值、余弦值和正切值肯定要相同，所以你要判到一千度。一千度太对我们来说太大了，所以我就减掉了七百二也可以，所以说二百八十度， 二百八十度很明显是在比二百七要大，比三百六要小，是在第四象限 第四样线，它的塞盈值呢？是什么值啊？是负值，因为第四样的角啊的 y 值啊，是负值啊，所以 a 不 能选一样的负，我们的两千一百，那么你就加上什么一千八就负三百， 再加上一千一，三百六就是六十。所以他跟他的中边跟六十度是怎么样是一样的，但是六十很明显的第一象限，所以他是对的第二个七，所以他没写度。哦，是七 啊七，那么我们就要看一下七啊七个弧度至，我们有两个方法，一个方法呢，就是要记下一个弧度至约等于五十七点三度，那么你乘以七， 那比较难成，是吧？好，他略，他比四百二十度怎么样？然后要小是吧？然后他有比四百二十度呢，要小那么一点点，所以你看，就是你可以假设他是负四百二十度， 四百二十度加上我们的三百六，就是负六十度啊，明显负六十度是在第几项线？在第四项线，第四项的三值是什么？ 是负的，所以不能选 c， d 选项。十分之七拍它是等于什么？ 它在第几项线？它比我们的二分之拍系数二还要大，比拍要怎么样？小是在的第二项线，所以这个数是什么？正的。而 cos 一 拍，注意， cos 一 拍我们可以用单位元来理解， cos 一 拍注意中边以单位元的焦点是负一到零， 我们说靠三也，如果中他的他们原像里面，他的靠三也是直接等于 x。 cos 等于 x 等于什么？等于 y， 所以 靠三拍等于负一，所以上面这个是负一小零，所以分子是小零的。 九分之十七拍比九分之十八，也就是二拍略小一点点，所以他肯定比二十三拍要怎么样？要大，所以他在第几项啊？第四项线 最下面是第四项，第四项呢？一、正切值是负值，是负的，所以呢，是正乘负，再除负还是正，所以 d 一定是对的，就是特殊角怎么去看 它的正负性？就是把它太大了，怎么样就减点，太小了，怎么样就加点好。来到第九题，第九题就有点难度了， 哎，就是我们的下面结果，你看，都是角度哦，都是弧度哦，一个弧度就是约等于什么？六五十七点三，很明显在第几项线呢？在第一项线， 所以三引靠三引度，对吗？所以三引一大于零，靠三引一大于零，所以它们相加肯定是大于零的，所以 a 可以 选。好，我们来看一下这个。 哎，这个四个负的值，四个负的值，它是约等于，就是二百二十八度，因为五十七乘以四就二百二十八度， 二百二十八度很明显在第几项呢？是在第三项减第三项的三一值是负的，扩散值也是负的，所以 d 是 不能选的啊。所以还剩下 b 和 c 两个厚度是幺幺四度，三个厚度至乘以三五十七乘以三就是一幺七幺度左右。 好，那么这个的三元值是正的， cosine 值是负的，这也是正的，这是负的，因为它都在第二项线，那正数加负数呢？我们是不能确定去忙它的正负性的。那怎么办呢？好办，我们现在采取那个单位元， 单位圆有什么用啊？就是说单位圆，就是如果一个中边要画幺幺四，幺幺四是九十度加二十四度是这样子画的，它以单位圆的焦点到横坐标就是它的 x 就是它的 x 等于多少，它的 cos 值等于多少啊？因为它是 cos 算法，是等于 x 比上 r， r 等于一，所以在单位圆里面， 这个 cos 算法就是等于它的 x 好， 幺幺四，很明显幺幺四这里有一个，有一个东西幺幺四它的 这里。这个点我们设为 x y， 所以呢，我们就是等于，因为三以二就是 y， cos 等于二呢，就是 x， y 是 大零的，但是 x 是 小零的。然后我们放在这个时候了，我们要注意，这里有个非常重要的分界线，就是我们的一百三十五度，因为在这个分界线上啊，它的 x y 值恰好是吗？是相等的， 就是 y 等于我们的负， x 就是 绝对值是相等的。 那么很明显，我们的幺幺四是它的 y 值啊，比它的 x 要怎么样？要大，所以 y 的 绝对值要大于 x 绝对值，所以呢，它们两个相加就一定是什么是正的， 就因为它正的多一点，负的少一点，所以答案选择 b。 那么我们的三幺七幺幺七幺是在这里，很明显，它的 y 值呢？ y 的 绝对值要比 x 的 值的呢要小， 所以呢， y 加 x 呢，就一定是什么是我们的小于零的，所以 c 不 能选，最终答案选择 ab， 明白了吗？就是用单位元以后，看到两个同角的三异值和 cosine 相加或者相减，问它的正负性的时候就画这个图，单位元就可以了。那么还有一个分界线是这里 最后一题啊，那么这道题要了解，就是一个数的绝对值除以它等于正负一的 x 带零 是等于负一，是哪个小零，所以这个式子我们来看一下啊。 sin c 大 于除以 c 大 于 c 大 于 c 大 于，加上 cosine c 大 于除以 cosine c， 首先呢， cosine， cosine 除以不能等于零，因为等于零的话分母，所以 cosine c 要么都要么都是大零，要么都是要么就小于零。好，那这时候呢，我们知道这个就等于正负一，这个也等于正负一，那么它加在一起呢？ 啊，不是有四个解，本来有四种情况，但是呢，我们不能说正负一加正负一哈，因为我们 c 的是同一个角，所以我们假设 c 的是第一项线， 是第一项线，那么三引是正的， cos 也是正的，所以呢，这个值就可以等于二。如果它在第二项线就一正一，所以 y 的 值是二分之一乘以二。 在第二项线的时候，因为他是一正什么一负，所以正一加负一就等于零。第三项线他们两个都是负的，所以是负一减一等于负一。在第四项线的时候，他是三引，是什么？ 是负的，括号是正的，所以是二分之一个负一加一也等于零。所以我发现这个 m 集合啊，其实只有三个解的，一个是负一，一个零，一个一。 好，第二个问题就是 n 等于一个集合 ab， 洛克 a。 注意了，这是这个洛克 a 啊，有一个谴责的信息，就是什么 注意啊，它就等于负一零一。哈。简单的事情是什么？是我们的 a 要怎么样啊？大于零，因为叫做真数， a 要大于零，所以呢，我们就知道 a 是 大于零的，所以 a 只能去记啊，去一 非常重要，所以 a， 因为它的代数只能等于一，所以 a 等于一，那 log a 呢，自然就等于几啊？等于零，所以 b 呢，就只能等于什么负一，所以 a 乘 b 呢，就是一乘负一。答案选择 b。

好，今天我们来看同角的三角函数的基本关系啊，我们看第一节，若 alpha 为第二象限角，且 alpha 等于三分之一，让我们求 tan 的 alpha 好， 因为 alpha 第二象限角啊，我们考 tan 的 alpha， 它一定是个负的，对不对？所以 tan 的 alpha 呢，它一定是从 b 和 d 里面去选。 好，我们可以用同角的平方和等于一啊，也就是三引二八的平方加上口三引二八的平方等于一，所以我们口三引二八的平方就等于多少呀，哎，九分之八，那我们开根号可以得到口三二八，它是等于什么呀？哎，正负三分之二倍，根号二，那很明显我口三二八怎么样？ 哎，是一个负的三分之二，所以可以得到口三二八，就等于负的三分之二二。好，我们又知道贪心的二八等于什么呀？ 是不是等于三一二法比上什么扣三一二法好，把值带进去。所以我们的 tangent 的 二法呢，就等于三分之一，比上负的三分之二倍根号二。答案是不就等于负的二倍根号二分之一，答案呢，就选我们的四 d 啊，就可以了。 我们看下一题，就是二法，是 d 相减，第二相减，减的二法等于负二法，我们用 tan 二法知道 tan 二法就等于什么负二倍的扣三一二， 对不对？好，由这个关系式，再又加上我们什么三一二八的平方，加上口三二八的平方等于一，我们就可以求出来对应的值了。好，我们带进去可以得到 四倍口三一二八的平方，加上口三一二八的平方等于一，所以五倍口三一二八的平方等于一，所以口三一二八 平方等于五分之一，对不对？好，我们开个根号考三幺二八，应该等于正负五分之根号，因为 alpha 第二项线，所以我考三幺二八，他一定是个负的，对不对？所以答案选我们的 a， 负的五分之根号就可以了。 好，最后一题啊，他说，若，哎，这个分式等于二分之一，让我们求弹性的二，那你看这个分式啊，分子分母都有三根，口三根啊。我们有个方法，就是分子分母同时除以口三根，哎，我们就可以把弹性求出来了。来看一下，分子分母同时除以口三根，二八呢？那这里是不是变成了弹性的二八 减二，对不对？比上三倍的弹性的二八加一等于二分之一。好，我们交叉相乘，再相等就可以等于三倍的弹性的二八 加一等于两倍的 tan angle， 再减四，然后移过来。 tan angle 呢？这个再移过去啊，是不是等于负五呀？所以答案呢，就选我们的 a。

来，同学们压个题，三角函数让你求值域，是不是有点蒙啊，不要怕啊，注意我们的值域其实也是三角函数的最值问题嘛。啊？值域？什么意思？值域就是最小值到最大值，把这个记下来啊，凡是让你求值域函数类的都是从最小到最大，不要怕。所以说一定要注意下这种题。 如果说这个题啊，看第一个，如果说没有这个三，没有加这个三的话，就一个单独的二倍的 cos， 那 他的最小值大家都很都能理解哈，就是 a 的 绝对值加个负 a 的 角值，最小值就是负二了，最大值就是二了啊，这个好理解哈， 必须接美女吧。那加个三怎么办？在后面加个三怎么办？那就对应的左端点加，右端点加呀，负二加三一呀，二加三呢？五啊，所以说秒了，直接选 a 选项，你懂了没啊？然后第二题，这个题 有这个，有个平方看到没，二次，然后这里面是一个二 x， 二 x， 这是 x， 那 肯定二倍角啊， 要把这个二要降次，降次就会出现二倍角，明白没？要降次啊，来这个地方降次公式给大家。 sine x 的 平方，它直接就等于啥？等于二分之一减 cosine 二 x。 有些朋友问这个怎么来的，其实就是这样的，因为 q 乘以二 r 不是 有个二倍角吗？有个等于啥？等于一减，涉及到三 e 的 是不是一减二倍的三 e r 平方啊？所以说我们的三 e r 平方就等于啥？等于把它移过去啊，是不等于一减 q 乘以二 r 除以二啦，就这公式啊，背一背嘛， 然后后面再加一个 cosine 二 x 啊，这个地方合并一下就跟第一个一样了。我就提到，提到这里大家动手算一算，看看答案是什么？打在评论区看看能不能做对了啊？ ok。

好，一个视频给大家讲清楚什么叫做三角函数，给值求值以及给角求值问题。大家听好，就一个方法，画图，他告诉你在第几象限，你就在第几象限画图就完事了。来，第一个 说三二八等于一个值，说他是，哎，第二象限的角，那你就在第二象限画一个角。好，第二象限随便画一个来， 他说三幺八是根号三比二，那你就绕对边是根号三，斜边是二，就这么简单，那你说老师我另外一个边我不会，怎么办呢？勾股定理来， 二的平方等于根号三的平方，加上咱们不知道的那个平方 x， 平方一算，这个 x 就 等于正负一，那当然第二象限的横坐标是负的，所以这个边是负一。好，那 cos 二幺八等于谁啊？ 零比斜等于负，一比二，也就是负的二分之一，直接选 a， 大家说对吗？就这么简单，你就画图来，第二个 看见的 r 八是一个值，说，哎，划重点，第三项线一个角，那第三项线，那我们就画上呗，第三项线随便一画，在第三项线好，看见的 r 八等于二，也就是二比一，对不对？好， 这是二，这是一。那重点，其实第三项线是不是这个边是负的，这边也是负的，因为行动坐标都是负的。好，这个边用勾股定律一算，就是根号五。 c 幺二等于多少？ c 幺二对边比斜边。哈，负二比成根号五，也就等于五分之负二倍。根号五直接选择啥呀？直接选择 a， 你 学会了吗？

好朋友们，这期视频我们来学一个三角函数的定义，这是个高频考点，基本年年都考的啊。首先这个地方有个公式， r 等于啥，要背一下， r 等于根号下 x 方加外方，然后把坐标里面的 x， y 搞清楚，这是 x， 这是 y 三样法定义等于 y 比 r 来，直接带进来， y 等于 e， r 呢？ 等于二，一比杠三比二，背一背啊，这个高考的数据都非常好算，一般是会出现勾股数，什么一比杠三比二，三四五呀，呃，五十二十三六八十啊，这些背一背啊，所以带进来一比二，秒了，选括号一选项。 第二个括号的定义，括号等于 x 比 r 来找 x， y， x 等于负根号三，所以负根号三比上 r 也是一样的， r 等于一，比根号三比二，所以负二分之，根号三选 c， 秒了。好，第三个的定义给你啊， y 比 x 来自己做一做答案。选啥啊，看看会了不？

一个视频秒杀三角函数的定义，好，让我们看题，已知角 alpha 的 中边经过点 p 负八负六，则 cos alpha 的 值为多少？ 那么我们要背过一个东西，是 r 等于根号下 x 方加上 y 方，那么负八是 x， 负六是 y， 好 把它代入用根号下 负八的平方加上负六的平方好，那么就等于根号下八八六十四加上三十六，好，根号下一百，根号下一百呢，就是十好。 cos alpha 呢？ cos alpha 就 等于被过，他的定义是 x 比二，那我们找一下 x， x 是 负八，然后负八除以十好， 就结果是负的五分之四好，答案是应该选 c 选项好，那么老师问你一个问题， c 幺二等于多少呢？好，给老师点个关注，轻松上本科！

好，同学们，我们这期视频来学三角函数的基本关系，这也是一个高频考点。什么基本关系呢？就是平方和等于一，我们的三一和科三一，首先它的分母是一样的，这些分母是五，那么 abcd 全是五，先排不了。好，接下来我们看这个符号，我们的 r， 第二项线来背二正弦， 正弦就是三一，那三一定为正，所以说排除 b， 排除 d， 这两个是负的，然后他的分母一样，那分子呢？和分母呢？勾股数三四五，所以选 a 秒了。 好，第二个题一样的，首先看我们的科三音，分母是五，那三音的分母也是五，所以排除 c， 排除 d。 然后再来看 f， 第三象限背口诀，三正切正切贪巨为正，那么三音就是负的，所以把 a 排除，选 b 秒了。 ok， 第三个有点感觉了吧，来，自己练一练选什么。

老师，三角函数求会快递写，如何呈现？可以加用我的魔法代数直接秒看题。我们知道贪着的阿尔法可以写成 seeing 阿尔法比上 cosine 阿尔法 三同样可以乘三，比上一。好了，魔法代数我让 sin alpha 等于三， cosine alpha 等于一，给我代入三乘以一，这儿就是三的平方加上二乘以一，算一下等于十一分之三秒了。第二题，先把一给破解掉，就等于它 sin alpha 的 平方加上 cosine alpha 的 平方，它让 alpha 等于二，那么就是 sin alpha 等于二。比上 cosine alpha 等于一，代入这变成二个平方加上一，下面三乘以二个平方减去四，算一下等于八分之五秒了。最后一题， sin alpha 在 这里可以写成 二倍， sin alpha 乘以 cosine alpha。 同样继续魔法， cosine alpha 等于一，那么 cosine 法就等于三，开始代入这变成二乘以三乘以一，剩一个六，这是什么呀？三的平方减去一，那就是八分之六，约分四分之三秒了。单招小猪哥上岸就看我。

安徽单招数学秒了，单招备考还有三个月时间，数学按照这些知识点备考学习，至少一百分起步。今天董老师请到了咱们安徽单招网教研组数学老师李老师 给咱们备考的考生详细的说一说数学备考提分秘籍，点赞，听完祝你单招考试数学拿分一百分起步。 根据二五年数学真题试卷的讲解呢，数学呢，一共有三十道题目，每道题呢都能找到对应的数学的公式和知识点。这里呢，老师呀，把每一年考到的知识点和公式给同学们呢标注出来。 第一题考的是集合，集合呢，一般考三个部分内容，这个呢，向下是交集，还有并集和补集。第二个呢是函数的定义域，那这里给的是分母和根号，这两个呢，是我们考试的重点的，重点好，每年必考的知识点。 第三题对数的运算哎，老师讲的哈，叫做方法是什么呢？叫做核化机，机化核的形式。第四题是不等式啊，不等式呢，傻瓜，题目一讲就会了，我们的方法是什么呀？开口向上，开口是什么？挨划正。然后呢，我们看到是小于号取中间，大于号取两边，找中间和两边就可以了。 第五题讲的是偶函数对吧，我们在课程里面呢，会同学们讲到哪些是关于偶函数，常见的有哪些对不对，一讲就知道了哈。来第六题看的是向量的一些内容，这里考的什么向量呢？哎，叫相反向量对不对？第七题是我们的概率题目，每年一个 一题必考的内容。第八题呢是体积公式啊，这里完全背公式就可以了。第九题是我们二倍角的公式。第十题是等差数列，每年呢有一题等差数列，有一题等比数列。十一题呢是直线的垂直和平行，每年都会有要么直行，要么呢垂直，要么平行的内容。 第十二题呢是胡长公式，这是对于公式的理解和应用的。第十三题点到距离公式，这个公式呀，是每一年必考的一个知识点，每一年都有的，所以这个公式一定要记住。第十四题呢是分段函数，也是一样，每年必考的一个知识点。第十五题是双曲线，那双曲线方程考什么呢？哎，考的是叫静静线的方程。十六题 讲的是条件的判断，什么时候充分，后推后叫充分，后推前叫必要。 十七题呢是我们的等比数列，那这里考的是等比数列的定义，对吧？每年必考的一道题目啊，这十九题呢，是我们的平面向量啊，讲的是我们的三角形法则，如何去计算就可以了。十九题也是一个公式，叫做三角函数求值，这个呢是需要根据定义法来求的，就去了解最基本的概念。 第二十题讲的是比大小，哎，我们怎么样去比大小呢？用的是函数的呀，增减性比大小的。二十一题讲的是圆的方程，那圆的方程是什么呢？哎，告诉我们相切就可以了，圆的方程每年也是必考到一道题目。第一题讲的是我们的统计内容，叫做频率分布，直方图，要注意什么，我们的坐标就可以了。 二十三题也是一样，比大小，用不等式的性质比大小。这里啊，老师告诉你们哈，有一个特殊的方法叫什么方法叫做特殊值代入，直接秒期。二十四题呢，是我们的函数值， 每年也会有一道题目的二五年是我们的一体几何当中的线面之间的位置关系。二十六题讲的是正弦定律或者余弦定律，那已经涉及到我们的面积公式的应用，记住公式直接代入计算就可以了。二十七题是我们的线面，线线的夹角， 线夹角，还有线夹角，还有二面角，都是我们考试中的重点和难点内容哦。第二十八题呢，属于函数的平移的内容，怎么去平移？左加右减自变量，后面三个字叫自变量发生改变，很多同学只记得前面左加右减，后面呢却忘记了， 所以就容易出错了。哈，它是一个常见的易错点。二十九题是我们的函数图像的题目，图像题怎么写呢？它很抽象对不对啊？ 课堂上老师会跟你们讲的话，我们怎么样去化抽象为具体，直接秒提来。最后一道题是我们椭圆的几何性质，这节课呢，我们要结合椭圆具体的性质和方程来做答了，它也是我们每年考试的重点和难点内容。以上知识点内容一定要好好去看， 单招数学你学会了吗？评论区留下六七八，董老师额外给你分享数学公式大全，关注董老师，带你单招上岸不迷路！

同学们，这种题还不会的，赶紧学这种题型啊，三角函数最小正周期啊。注意，我们的题干中只有一个三 e 或者只有一个 q， 三 e 的 没有其他的啊，两个就不行了啊。我们公式 t 等于二派除以 omega， 它绝对值。 好，以后面我再讲一个，出现了什么平方，什么三 e 加 q 这种的，它的最小正周期怎么去处理它？给大家一个技巧。首先我们这里找 w， w 是 啥？ w 继续找 x 啊， w x w x 或者将 omega x 绑在一块的啊，不要搞错了。所以第一个 w 等于二来带进来，二派除以二派，所以选 a 秒了。第二个二派除以 o， omega 等于四，二派除以四二分之派选 d 秒了。你看多简单，背一背啊。好，第三个问你最小的六七是派的是哪一个啊？自己做一做，看看选什么， ok？