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我们来看到这个提高卷啊，第一题，第一题啊，他给了集合 u， 集合 m， 还有集合 n， 是 吧？啊，这里我先抄一抄吧。第一题，他给了集合 u， 是 吧？一二三四五六七八九， 一二三四五六七八九，然后给了集合 m， 集合 m 是 二四五七八 四五七八啊，然后集合 n， 集合 n 呢，是一二三四五啊，集合 n， 一 二三四五啊。 啊，那我们看一下 a、 b、 c、 d 这四个选项，哪一个是正确的啊？ a 选项啊，集合 m 并集合 n 啊， a 选项集合 m 并集合 n 啊， 我们要求的是这两个集合的并集，那就只需要把这两个集合里面的元素啊都放在一起啊，啊，把这两个集合里面的元素都放在一起就行了啊，放在一起的话应该是一二三四五七八吧啊， 所以你会看到了，很明显啊， a 选项他这里就只有三个元素啊，就二四五这三个元素，很明显他的 a 选项是错了啊，他的这个并级是错了，他那个是不对的。那再看 boy， boy 是 交集，嗯， boy 是 求他们两个集合的交集，求他们两个集合的交集，那就找他们两个公共元素啊，公共元素是二吧，还有四吧，还有五吧啊，那就是二四五这三个元素是吧？ 二四五这三个元素，你看到 boy 选项，他这里是不是不对的呀？啊，他这里一二三四五七八，哪有这么多啊，所以 a 和 b 很 容易就看出来是错了啊， a 和 b 很 容易看出来是错的，然后 c 选项 c 选项它算的是 c u m 是 吧？啊？ c u m， 它表示的是集合 m 相对于集合 u 的 补集，是不是 集合 m 相对于集合 u 的 补集，那这个补集啊，我们怎么去找呀？这补集我们怎么找？我们就用这个全集 u 的 元素减去这个集合 m 的 元素就可以了啊，你看一下，我们用 我们用这个全集 u 的 元素，然后减去集合 m 的 元素。啊， 全集 u 的 元素减去集合 m 的 元素，那就减去二，减去四，减去五，减去七，减去八，是不是啊？减去集合 m 有 了元素，是吧？减去二，减去四，减去五，减去七，减去八， 这样子的话呢？剩下来的元素应该是一三六九吧。啊？一三六九啊， 一三六九，行吧，剩下来的元素了就只有四个一三六九，你看一下 c 选项对不对？ 一三六九是不对的，是不对的，所以很明显它 c 选项这个是对的啊，所以这个题目选 c 啊， 这题目选 c 对 吧？啊？这题目选 c， 那 我们把那个 dog 选项也看了吧。 dog 选项？ dog 选项的话呢？他说什么呀？啊？ c u n 等于这个集合是吧？啊？ dog 选项，他说 c u n 等于 等于哪个集合？等于它写的这个是吧？它是关于 x 的 集合，然后 x 要大于五，小于等于九，是吧？其实很明显这个一看就是错了，是吧？啊？集合 n 相对于集合 u 的 补集，怎么写啊？ 集合 n 相对于集合 u 的 补集，还是用我们刚才的方法吧还是用我们刚才的方法 啊？我们现在要求的是集合 n 相对于集合 u 的 补集，那我们就用集合 u 的 元素减去集合 n 的 元素，那剩下来的就是补集的元素是吧？啊？我们用 u 的 元素减去 n 的 元素，剩下来那些就是补集的元素了，是吧？那你现在 把这些元素减掉啊，把一二三四五，把这五个元素减掉，就剩下六七八九，是吧？啊？他就只剩下六七八九这四个元素，是不是 所以倒选项呢？应该是这个才对啊，他写这个是错了，他写这错了啊，他写这个为什么是错的呢？啊？因为你看这里啊，他写的是 他关于 x 的 集合，然后这里 x 的是大于五，小于等于九的。 大于五，小于等于九的数字有很多了啊。啊，在这里有哪些数字啊？比如五点一啊，五点二，五点三呢？五点四啊，五点五啊，五点六，五点七，是吧？啊？有无数个数字，对吧？但是呢，这个补集里面 哪有什么五点一，五点二，五点三，五点四啊，对吧？没有这些数字，是吧？所以很明显呢，题目写这个是错了，题目写这个是错了，我们写这个才对，行吧，这题目呢，这题目选 c， 不过同学们要是对这个集合的这些运算比较熟悉的话，这个题目其实很快可以做出来，是吧？啊？然后第二题，第二题要算这个不等式，这个不等式也不是很难啊，三 x 加五的绝对值小于等于二， 三 x 加五的绝对值小于等于二。在这里的话呢，就直接套公式就行了， a x a x 加 b 的 绝对值啊，小于等于 c 啊，它呢，可以转化成 a x 加 b 大 于等于负， c 小 于等于 c， 是 吧？好，那这里就套这个公式。套公式的话呢，得到应该是 三 x 加五大于等于负，二小于等于二，是吧？我们要把这个 x 算出来，那先消掉这个五吧。怎么消？全部减去五是吧？ 啊？左中右都减去五嘛？啊，左中右都减去五，这里是负七， 中间就剩个三 x， 右边剩个负三，可以吧？啊，然后呢，我们再全部同时除以除以三啊，把 x 前面这个三呢给它消掉，全部除以三啊，负七除以三是吧？负三分之七 三， x 除以三，剩个 x， 那 这里负一除以三，那就负一了，有没问题啊？所以得出来的是这个啊， x 大 于等于负三分之七，小于等于负一啊，这个可以理解啊， 没有问题啊，那答案呢，是写那个区间的形式，如果写区间的话，应该是负三分之七到负一啊，然后 b 区间， ok， 所以 这个题目答案呢？ 答案选 apple， apple 这个应该是负三分之七到负一 b 区间啊，这个他那个没有打好，选 a 啊，选 a 啊，选 a。 然后第三题，下列函数在其定义域内单调递增的是哪一个？ 呃，我们看到 a 选项，这个吧， a 选项是 y 等于 x 的 平方，就只能一个个来看啊。这题目 a 选项是 y 等于 x 的 平方，这个是二次函数吧，这样子吧， 开口向上，呃，顶点在圆点，对称轴是 y 轴的二次函数，是吧？呃，它这个函数呢，是 左边是单调递减的，右边是单调递增的，对吧？啊，左边单减，右边单增，但题目呢，要的是什么？题目要的是在定义域内是整个单增啊，所以 a 选项，这是不对啊， a 是 不对，而 boy， boy 是 y 等于 lawyer x， boy 是 y 等于 lawyer x。 呃，这个的话呢，它是对数函数，而且 lawyer 的 底数呢，是一吧， lawyer 的 底数是一，是吧？啊，底数是一，那底数是一啊，所以它是单调递增的啊，单调递增的一个对数函数 啊，单调递增，所以题目要的是在其定义域内单调递增，所以 boy 这个是对的啊，所以 boy 这个就是对的啊，所以答案就选 boy 啊。然后 c 呢？ c 呢？是 y 等于负的 x 分 之一， y 等于负的 x 分 之一，这个的话呢，它是反比例函数啊，这样子画啊，这样子画。 反比例函数，他的准确的描述啊，准确的描述了，应该是这个函数在第二和第四项线上分别是单调递增的啊，他在第二和第四项线上分别单调递增， ok 吧？ 啊，为什么这样子说呢？因为呢，他第二项线这里也是单调递增的，但是你往往右边看啊， 啊，他其实相当于是啊左边往上走，然后突然间的往下跳，往下跳之后又往上走， ok 啊，所以你要分开来说啊，他在第二象限单调递增，然后在第四象限也是单调递增，可以吧，所以他呢，因为中间是断开的，他中间是断开的，所以呢，他就不满足呃， 他题目这个要求啊，他不满足在定义域内整个单调递增啊，因为题目的要求是他在定义域内整一个是单调递增的。但是问题呢，是你这个反比例函数啊， 啊，它中间这里断开了，断开了你就导致了啊，左边往上走，然后突然间往下跳，然后再往上走，可以吧啊，它就没有满足题目的啊，条件 ok， 所以 c 这个不对啊，然后 dot dot 那 个了， y 等于 sin x。 其实这个是要背的啊， 正弦函数，正弦函数的图像呢，它是一个经过圆点的像波浪线一样东西，是吧？啊，它有减有增，对吧？啊，有减有增，有减有增，所以很明显不满足题，这个，这个比较常考好吧。 然后我们看到第四题，呃，已知双曲线上的，呃，一个点到两个交点的距离之差的绝对值呢？为四，则这个双曲线 c 的 离心率是多少？其，这个呢，它是考了双曲线的定义，是吧？ 第四题他考了双曲线的定义吧，这个双曲线呢，是 a 方分之 x 方减去二分之 y 方等于一，是不是啊？ a 方就 a 方了，然后这个二应该是 b 方吧，所以 b 方是二，有没问题啊？然后他说什么了？ 这个双曲线上的一个点，这个点到两个交点的距离之差的绝对值等于四啊，同学们可以大概画个图啊， 大概理解一下就可以了。比如啊，比如这个点吧，点 p 吧啊，比如这个点呢？点 p， 他 在这个右之上啊，在右之那点 p 到 f 一 的距离减去点 p 到 f 二的距离等于多少啊？题目说了啊， p f 一 减去 p f 二等于四，是不是？题目说了，是不是？ 是吧，题目说了啊，绝对值为四啊，就是这个四嘛。啊，这 p f 一 减去 p f 二等于四，那根据我们那个双曲线的定义是吧， f 一 减去 f 二，它应该是等于二 a 的， 所以现在二 a 了，是四，二 a 等于四，所以 a 就 等于二， a 是 二， ok 吧。好，那 b 方有了， a 也有了，然后去算那个 c 啊， c 方等于 a 方加 b 方，那就等于二的平方加上二，那应该是也是四吧。四加二就六吧，六吧，所以 c 方是六， c 方等于六，那 c 就是 根号六，它要算离心率，离心率等于 a 一 分之 c， 是 吧？啊，题目要算离心率啊，然后 a 呢，是多少？一十二是吧？ a 是 二， c 是 根号六，所以答案呢，就是二分之根号六，所以这个题目其实没什么难度啊。这题目不难啊，二分之根号六，应该选 c 啊，应该选 c， 可以 吧？选 c 啊，这个卷子他有些有些数字可能没有打的很清晰啊，选 c 可以 吧。 好，我们第五题啊，已知一组数据， a 一 a 二 a 三 a 四 a 五吧，他这个看的有点不清楚啊，那没关系吧。呃，第五题这里啊，我写一下吧，因为他那里看的有点不清楚。 a 一 a 二， a 三， a 四 a 五，这一组数据的平均数呢，是八是吧？啊，他说这一组数据的平均数是八， 然后让你算另外一组数据的平均数。呃，我们先看这个题目条件嘛，他说这一组数据的平均数是八，这一组数据的平均数怎么算啊？把这一组数据啊都加起来是吧， 然后有多少个数据啊？有五个数据除以五了啊，然后等于八，可以吧，平均数大家都会算嘛，小学学啊，然后整理一下，把这个分母消掉，左右乘以五啊，就得到得到这个啊， 左边乘以五得到这个，右边八乘以五，就四十啊，所以得到他们五个加起来是四十。那题目呢，要算的是啊，另外一组数据，另外一组数据呢？呃，我来抄一下吧我来抄一下另外一组数据。 它是这样子的啊，我抄抄出来给同学们看啊，它是这样子的 啊，另外一组数据是这样子的，是吧，他要求这一组数据的平均数是吧？啊，他要求另一组数据的平均数，那这个呢，也不难啊，你要求这一组数据的平均数就把这一些数据都加起来是吧？啊？把它们全都加起来， 把它们全都加起来再除以多少啊？有几个数据啊？一二三四五，有五个数据要除以五了， ok 啊，然后我们化简整理一下， a 一 加 a， 二加 a， 三加 a， 四加 a 五啊，先放一起， a 一 加 a， 二 加 a， 三加 a， 四加 a， 五是吧？啊？先放一起，然后呢？加五减五是吧？加五减五加五减五是吧？加五减五，然后再加五， ok， 再加五 没问题。好，呃，其实前面这里呢，我们观察到它是 a 一 加 a， 二加 a， 三加 a， 四加 a 五，其实这个东西啊，我们刚才不是已经写到了吗？就在这里啊，它是不是事实啊？ 啊？就这一坨东西是不是四十四十怎么样？看后面啊，看后面，正五减五是不是抵消掉？正五减五又消掉啊，那这个正五呢？啊，留下来了啊，这个照抄下来， ok， 这个正五照抄下来啊。四十加五，然后分五是五，可以吧？ 分子是这个，分母是这个，那就没啥好说啦，分子是四十五，四十五除以五就九了，这比较简单的啊。九，我觉得这个就没什么难度啊，也是也是比较简单的题目啊。第五题是吧？ 第五题选倒啊九啊六题。这六题的话也是很常规很常见的题目啊。过点四负一且与直线二 x 减 y 减一等于零。垂直的直线的方程是哪一个？呃，我们先看题目给这条直线啊二 x 减 y 减一等于零，是吧， 我们假设了题目给的这条直线是 l 一， 好吧，那这样子吧， l 一 和 l 二， 我们假设题目给的那条直线是 l 一， 然后 l 二呢，是我们要求的啊， l 二呢是我们要求的，那题目说他们两个呢，是相互垂直的，是吧？ 啊？他们两个相互怎么样？垂直？而且我们要求的那条直线，它是经过四负一这个点啊，它是经过四负一这个点， ok， 好 啊，垂直的话呢，我们会想到这两条直线的斜率相乘是负一，是吧？所以要先算这个 l 一 的斜率啊，写 k 一 吧， l 一 的斜率写 k 一 啊，一般是算斜率， 一般是方程算斜率，那应该是负一分之 a， 是 吧？负一分之 a 没有问题吧？ 嗯，那现在 b 是 负一， a 是 二吧，对吧？所以这个 k 一 是二，那你算出来 k 一 了，是二吧，是吧？ k 一 是二，那现在的 l 一 和 l 二啊，它是 垂直的，对吧？这两条直线垂直，那么他们斜率相乘就是负一，是吧？ k 一 是二嘛，那就二乘以 k 二等于负一，是不是？所以 k 二算出来是负二分之一，是不是？ k 二呢？是负二分之一啊？所以这个 l 二，它的斜率我就算到了啊，是负二分之一啊。现在呢，我们知道 l 二经过了这个点，然后又知道它的斜率。知道点，知道斜率，那应该是用什么啊？点斜式是吧？点斜式， 点斜式。 ok， 那 现在呢，它的斜率是多少啊？负二分之一啊，已经知道了啊， 这 k 是 负二分之一啊，那 x 零 y 零是多少啊？他经过了这个点的坐标就是 x 零 y 零，是吧？所以现在 x 零呢是四， y 零呢，是负一，是吧？啊，带进来啊， x 零是四， y 零呢，是负一， ok 啊，整理一下， y 加一等于负二分之一乘以 x 减四的差， 要消掉这个。呃，二分之一吧，把这个二分之一消掉吧。那就左右乘以二啊，左右乘以二，左边乘以二二 y 加二， 右边这个二分之一乘以二，那就刚好抵消掉了啊。那剩下什么？剩下负的 x 减四的差再整理啊。 等于负 x 加四，这里移过去就是 x 加二， y 减二等于零，可以啊。嗯， 第七题向量 a 和向量 b 题目都给了啊，然后且满足向量 a 减去二倍的向量 b 等于三负五，是吧？呃，在这里的话呢，我们先把这个坐标抄一抄吧， 向量 a 的 坐标是一四，是吧？呃，然后向量 b 的 坐标是负一 y， 那 因为呢，它这里是向量 a 减去二倍的向量 b 啊，所以我们要先把二倍的向量 b 写出来啊。先把二倍的向量 b 写出来，是吧？那就二乘以横坐标，二乘以重坐标，那就负二二 y 可以 吧？ 二乘以负一就负二嘛，二乘以 y 就 二 y 嘛，对吧？啊？然后向量 a 减去二倍的向量 b， 怎么写？向量 a 减去二倍的向量 b， 那 就横坐标减横坐标，是吧？一减负二，一减负二是三啊， 然后重坐标减重坐标四减二 y， 没问题啊，那这一个呢？就是啊，向量 a 减去二倍向量 b 的 坐标是不是？好，那题目说 它是等于什么的呀？看题啊，它是等于三负五的，它是等于三负五的，是不是它呢？是等于三负五的。那我们刚才呢，已经算到它的坐标是不是这个啊？它的坐标是不是三，然后四减二 y， 这样子啊， 它的坐标是这个吗？是不是？所以现在呢，这个坐标等于这个坐标， 那就很明显看到了横坐标跟横坐标了，已经相等了，所以了，重坐标跟重坐标要相等啊，四减二， y 要等于负五，是不是把 y 算出来就行了啊？ 啊，不难了啊，这个负二 y 移过去，这个负五呢？移过来， ok， 那 就九等于二 y， 所以 很明显 y 等于二分之九啊，二分之九， 嗯，求 y 啊，题目要求 y 吧？对啊，求 y 吧，二分之九选 a 啊，行吧，第八题，这个有点看不清啊，我写出来吧，我写出来啊，因为， 呃，它呢，就说等差速列，是吧？等差速列 a 三和 a 七啊， a 三和 a 七呢，它是这个方程的两个根，对吧？啊，它是， 它是这个方程的两个根，是吧？然后呢，让我们算那个 a 四加 a 六啊，那应该是让我们算 a 四加 a 六等于多少是吧？啊，呃，因为呢， a 三和 a 七是这个一元二次方程的两个根，是吧？ 啊，它是这个一元二次方程的两个根，那我们通过解答定理呢？我们知道啊，两根之合是等于负 a 分 之 b 的，是吧？ 两根之合等于负 a 分 之 b， 那 现在 a 是 一了， b 是 十二啊，所以啊， x 一 加 x 二， x 一 加 x 二等于负十二， x 一 加 x 二其实是什么东西啊？ x 一 和 x 二呢，是这个方程的两个根，那现在这个方程的两个根呢，就是 a 三和 a 七啊，所以其实 x 一 和 x 二就是 a 三和 a 七，是吧，所以 a 三加 a 七呢？啊，等于负十二 啊。然后呢，我们在那个等差速列里面啊，因为题目已经说是等差速列啊题目已经说是等差速列啊。第八题，等差速列，等差速列 a 四加 a 六跟这个 a 三加 a 七呢？其实是相等了是吧？ a 四加 a 六是等于 a 三加 a 七的，是不是啊？所以这个 a 三加 a 七是多少啊？是负十二是吧？是负十二，它是等于负十二的，所以这里 a 四加 a 六也是等于负十二的，可以吧，这是伟大定律啊。 行吧，第九题我们尽量把那个选择题讲完啊，这个第九题也也有一点点看不清，但是没关系啊，大概都能看得到。第九题散了。 alpha 等于五分之三是吧，然后 alpha 大 于零小于二分之八。我稍微写写吧。 sign alpha 等于五分之三，然后 alpha 大 于零小于二分之 pi。 嗯，它要算的是 cosine alpha 加上六分之 pi。 其实这个没啥难啦没啥难啦，它要算的是 cosine alpha 加上六分之拍。很明显两角和差公式展开来嘛，扣扣减去塞塞。是不是扣扣减去塞塞啊？那能写的都写出来呗。这个不知道啊， cosine 三十度是二分之根号三减去这个五分之三，题目给了吧，是吧？题目给了乘以 sine 三十度二分之一有没问题？所以其实你到了这里啊，你到了这里的话，你就发现就只有这个 cosine alpha 是 不知道了啊。 cosine alpha 怎么算？ 知道三阿法算 q 三阿法。那这个我觉得没什么难的啊，三阿法方加 q， 三阿法方等于一。呃，三阿法是五分之三嘛？五分之三的平方加上 q 三阿法方等于一 啊，那扣上阿法方等于多少啊？这里是二十五分之九，移过去一减去二十五分之九，那就是二十五分之十六。 ok， 然后直接开平方法扣上阿法等于正负五分之四。正还是负啊？题目有给条件吗？ alpha 是 第几象限啊？大于零小于二分之一，拍第一象限吧。第一象限啊，所以呢，这里 cosine 在 第一象限啊。 alpha 是 第一项线啊， q 扇在第一项线是正啊，那就五分之四了。五分之四可以啊。对，是正的。呃，其实大部分时候都是正的，就我们这个考试很少会出现负的，比较少出现是负的情况啊，大部分情况都是正啊。呵呵， 行，所以这个 q 扇 alpha 呢？啊，是五分之四是吧， 那就做完了哦，是吧。后面这里这两个分数乘起来十分之三吧，然后这个口算，算法是五分之四刚算啊，那就往下算了，前面这两个分数乘起来十分之四倍，根号三减去后面四分之三， 所以同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减啊。分子是四倍，根号三减三啊。 ok， 四倍根号三减三啊，分子。看答案 d 吧，选 d 吧，选 d 是 不是选 d？ 嗯， 第十题，呃，已知 a 为实数，则根号 a 大 于一，是 a 大 于一的什么什么条件？第十题， 他问你根号 a 大 于一是 a 大 于一的什么什么条件啊？后面这个不用算了，前面这个要算啊，肯定是吧。呃，根号 a 大 于一怎么算啊？同学们， 左边有根号哦，右边没有根号哦，那同学们怎么算？其实这个很简单啊， 一呢，可以写成根号一是吧？一啊，我们其实呢，可以写成根号一，有没问题 啊？那你看根号 a 大 于根号一，其实左右两边这两个根号就抵消掉了，所以得出来应该是 a 大 于一吧。 a 大 于一有没问题？ a 大 于一，而且呢，你这个你这个 a 它是放在根号里面的，这个 a 啊，它是放在这个根号里面，所以这个 a 呢，它肯定要大于零啊。啊， 这个这个 a 它放在根号里面呢， a 呢，肯定要大于零，那现在呢，我们这里算出来， a 是 大于一的， a 大 于一，那它就已经已经满足 a 大 于零这个条件了啊。所以，所以，其实啊 所以，其实呢，它前面这里算出来就是 a 大 于一，可以吧，然后你发现前面是 a 大 于一，后面呢，也是 a 大 于一，前后是一样的喔一样的喔。前推后 ok 吧，后推前也 ok 吧，因为它前后是一样的， 前后是一样的，是吧？前推后可以，后推前也可以，因为前前面跟后面都是一样的，谁推谁都可以啊，是吧啊，前推后是充分性， 后推前的是必要性，充分性和必要性都打了勾都满足啊，那就既充分又必要条件啊。简称是冲药啊简称是冲药， 冲药选选 c 啊，选 c 选 c 啊。嗯，十一天随机抛至两枚质地均匀的头子啊， 则得到的两个点数中，其中一个点数能整除另一个点数的事件概率为多少啊？这个呢，就会有点麻烦啊，这个题目十一题他要投两个头子 十一题投两个头子啊，先投第一个头子，有六个面有六个数字，是吧？一二三四五六，确实会比较麻烦。这个题目这是第一个头子，然后第二个头子。 第二个头子也是一样的啦，也是一二三四五六了，是吧？一二三四五六，第二个头子也是一二三四五六了，是吧？那就都一样啊，第二个头子也是一二三四五六。 嗯，这题有点麻烦啊，因为他要什么呢？你看清楚他题目要是什么， 他要的是得到的两个数里面啊，其中一个数能整除另一个数啊，就得得到两个数，对吧？你投两个头子，那不是有两个数字吗？这两个数字啊，一个数字是一个数字， 能被另外一个数字整除啊，他要是这种情况啊，一个数字能被另外一个数字整除啊，他要是这种情况，那我们就只能一个个看了，有点麻烦。这题目 你看啊，一和一这没问题吧？一除以一得出来是个整数，没问题啊， 一和二也可以啊，因为二除以一呢，是二，没问题，三除以一呢是三也可以，四除以一是四也可以，五除以一是五也可以，六除以一是六也可以，是吧？所以，其实呢，这里这六种都可以啊。然后看后面啊， 二和一可以吧，二除以一了，是二吗？然后二和二，二除以二是一也没问题，但是你看这里啊，二和三就不行了，因为你二除以三是个小数，三除以二了，也是有小数了，是吧？所以这个都不行啊。 就二和三是不行了，二除以三不行，三除以二也不行，对吧？因为除出来都是有小数了啊，所以这个不行啊。这不行啊，二和四可以啊，四除以二是二吗？二和五就不行啊，二和五，因为你二除以五了，是有小数的，五除以二了，也是有小数了，所以都不行啊。 然后二和六就可以了啊，因为六除以二是三吗？那这样子的话，就再往后面看喽，一和三可以，三和二不行吧？三和三可以啊，三和四不行啊，三和五不行，三和六可以啊，六除以三是二吗？ 然后四和一啊，看后面啊，四和一可以啊，四和二可以啊，四和三不行啊，四和四可以，四和五不行啊， 四和六不行啊。因为你四除以六是有小数的，六除以四也是有小数了，所以四和六是不行的啊。那我们再看了，还有什么？五和一可以了，五和二不行啊，五和三也不行， 五和四也不行，五和五啊，五和五可以，五和六不行啊，五和六不行。最后啊，六和一 ok， 六和二可以，六和三也可以，是吧？呃，一二三都行啊，一二三都行，六和四呢？六和四不行啊，六和五也不行，六和六就可以， 也没问题。嗯，所以在这里一共有三十六种情况， 有几个是打勾的呀？一二三四五六七八九十十一，十二，十三十四、十五、十六、十七、十八、十九、二十二。一二二是不？二十二个有二十二个勾。那这里很明显要约分嘛，约分除以二十八分之十一。 答案选到有点难啊有点难有点难。 十二题， f x 等于 x， 加上 g x， 若函数 g x 是 奇函数，且 f 一 等于二啊，则 f 负一等于多少？这个应该不难啊。先看下题十二题，他说了 这个函数是 g 函数啊，那其实就是 f x 是 g 函数了啊，不是，题目说 g x 是 g 函数吧。啊，对，题目说 g x 是 g 函数啊，题目说 g x 是 g 函数啊，是 吧？它说的是 g x 是 g 函数啊，不是 f x 啊，不是 f x 啊，它说的是 g x 啊， g x 是 g 函数， 给了什么条件啊？ f 一 等于二，因为 f 一 等于二，这个条件怎么用啊？其实就是当这个 x 等于一的时候嘛，当 x 等于一的时候，那就写出来喽，是吧？ 啊，应该是这样子喽，是不是当 x 当 x 当 x 等于一的时候，能懂吗？能懂啊，当 x 当 x 当 x 等于一的时候，是不是？那你 这个往下去算一下，这个一移过去，二减一就一嘛。所以 g 一 呢，是一题目要算什么？ 题目要算 f 负一，是吧？题目要算 f 负一，你要算 f 负一的话呢，要先把那个 g 负一算到啊。 g 负一它等于什么呀？ 因为呢， g x 它是个奇函数，奇函数呢，可以把括号里面的符号拿出来，是吧？ g 函数可以把括号里面的负号拿出来。所以 g 负一等于负的 g 一， 你就负了多少 g 一 是不是这个一啊？那就负一了啊，因为 g 一 是一嘛，刚得到了 这个 g 一 是一吧， g 一 是一， ok， 所以 这里负 g 一 就是负一了啊，所以这个 g 负一就等于负一。题目要算的是 f 负一， f 负一怎么算？ f 负一就是当 x 等于负一的时候，是吧，写出来啊，看看清楚啊，当 x 当 x， 当 x 等于负一的时候，是吧？啊，所以写出来 f 负一等于负一，加上 g 负一，那就负一加上这个是负一负一加负一负二呗。所以答案呢，是负二。这题确实比较容易错啊，比较容易错 十三题，这个其实也不难啊，十三题， i 是 虚数单位，然后这个方程啊， x 方加二等于零的根是多少？ 这种题很基础的题目而已啊， x 方加二等于零的根是多少？先把这个移过去嘛， x 方等于负二，可以吧，那这里呢，我们应该是怎么样啊？直接开平方法 还是直接开平方法啊？ x 等于正负，根号下负二。这里啊，这里用的是直接开平方法，跟我们初中学的方法是一样的啊。 就我举个例子吧，比如你 x 方等于六， x 等于多少？ x 等于正负，根号六，是不是？ 这个是不是直接开平方法在这里是不是一样的？这两个方法是不一样的直接开平方法啊，只不过呢，你可能不知道这个根号负二怎么算。其实也不难啊，因为这个根号负二啊，它其实可以拆成根号负一乘以根号二，是吧， 负一乘以二，那不就是负二吗？所以这里啊，根号负二，我们就拆成了根号负一乘以根号二，然后根号二就不用算了。根号负一呢，这个是要背的，根号负一是 i 啊， 你背一下吧，根号负一是 i ok 啊，根号负一是 i 啊，根号负一是 i， 所以 这里得出来是正负 i 乘以根号二，那写好看点，那就 x 等于正负，根号二， i ok， 根号二乘以 i， 那 就根号二 i 嘛，没问题。可以啊，选哪个啊？选 boy 啊，这个有点不清晰，但是就选 boy 啊，选 boy 这个卷子可能不是很清晰。 十四题啊，函数 f x 呢，它在直角坐标系中对应的图像呢？如图所示，则这个 f x 的 解析式是怎么样的？其实很明显呢，这个 f x， 它这个分段函数啊，而且 a、 b、 c、 d 这四个选项呢，确实也是分段函数啊，那我把这个图画出来啊。嗯，这样子啊， 是吧，就很明显，它是分成两段啊，分成两段啊，就是 y 的 左边是一段， y 的 右边又是另外一段，是不是啊？左边和右边呢是两段，左边和右边呢，都是线段，对吧？ 啊，那其实这两条线段的解析式啊，都是很好算的是吧？都是很好算的啊。首先呢，呃，这个线段的话呢，我们先把它看成 这个线段啊，我们先算左边这个吧。啊，先算左边这个吧，呃，它是一条线段嘛，那就先把它看作是一条直线吧。好吧，先把它看作是一条直线，直线的话，直线的函数解析式啊，应该是 y 等于 k， x 加 b， 是 不是？那现在左边这条线段它经过哪个点啊？这个点，还有这个点啊，我们可以标出来啊， 这个点在 x 轴上，那应该是负三零啊，这个点在 y 轴上，那就零二喽，是吧？所以左边这里啊，这条线段经过这两个点，那就把这两个点带进去，是不是带进去？ 带进去没多难吧啊，负三，零带入零等于负三， k 加 b， 然后这个零二带入二等于 b 吧，是不是 零二这个点带进去得出来就是二等于 b 啊，那就简单啦。所以在这里啊，这个 b， 这 b 是 不二啊， b 是 不二，就往下啊， 就就这里啊，这个 b 是 二， b 是 二，所以往下算了。零等于负二， k 加 b， b 是 二吧， b 是 二，行吧，然后算出来就行了啊，这个移过去三， k 等于二，然后左右除以三，左边除以三， 右边除以三，是不是？所以 k 呢，是三分之二，所以算到了 k 等于三分之二，然后 b b， 就 这个啊，都不用算了，是吧？比如说，行吧。啊，那这样子的话呢，左边这一段我们是不是算到了啊？因为 k 和 b 都算到了，是吧？ k 是 三分之二， b 是 二，所以这里这一段写出来是 y 等于三分之二， x 加二，有没问题啊？左边这一段写出来是 y 等于三分之二， x 加二，是吧？ 写在这边吧， y 等于三分之二， x 加二。那刚才呢？已经说了，它呢是一条线段，它是一条线段，它从哪里到哪里啊？从这里到这里，是吧？同学们看一下，它呢，是从从这个点到这个点，对吧？ 从左边这个点到右边这个点的这条线段，那 x 从哪里到哪里？ x 是 从负三到这个 x 等于零吧？ x 是 从负三到这个 x 等于零吧，所以这里呢，它是 x 大 于等于负三小于等于零，可以吧？ 哎呀，这是左边那一段，那右边那一段呢？方法是一样的啊，右边这一段也是一样啊，我们先把它写成 y 等于 k， x， 右边这段也是一样，把它先设成 y 等于 k， x 加 b， 是 不是？ y 等于 k， x 加 b， 然后右边这一段，它经过这个点吧，经过零二这个点，然后还经过这个点，这个点是一零吧 啊，这个点它在 x 轴上，坐标是一零，可以吧？所以右边啊，哎呦，所以啊， 所以呢？右边这一段，它经过零二这个点，还经过一零这个点啊，它呢经过零二这个点，还有一零这个点，那一样哦，带进去，带进去，是不是啊？零二带进去，那就是二等于 b 啊， 一零带进去，那应该是零等于啊。 k 加 b， 是 不是 啊？这个一零带进去是零等于 k 加 b， 那 其实这个 b 已经知道了 b 是 二，是不是啊？零等于 k 加 b， 这个 b 是 二嘛？然后这里移过去，所以就负二等于 k， 那 就 k 等于负二，是不是 所以算到 k 等于负二，然后 b 是 等于二的啊？这里已经有了。这样子的话呢。哦，右边的这一段啊，右边这一段，那也算到了，是吧？也算到了啊， 啊，也算到了，它的 k 呢，是，它的 k 呢是负二，它的 b 呢是二，是吧？就 y 等于负二， x 加二，有没有问题啊？所以右边啊，所以右边的这一段呢，应该是 y 等于负二， x 加二， 对吧？啊，然后右边这一段呢，它是从这个点到这个点的是吧？啊，这个点它的 x 呢？是零，然后到这个点，这个点它 x 是 一吧，所以右边这一段是从哪里到哪里啊？从 x 等于零开始，到 x 等于一，是不是啊？所以右边这段是 啊，从 x 等于零开始，然后啊到 x 等于一，这里，是吧？所以他呢？应该是啊，在 x 大 于等于零，小于等于一这个范围里面的。没问题啊。最后呢，我们就把 最后呢，我们就把这两个写在一起，对吧？把它们两个写在一起，左边那一段呢？是 y 等于三分之二， x 加二，然后 x 呢？是怎么样？刚写过了啊， x 大 于等于负三，小于等于零， 然后右边那一段呢？就这个嘛， y 等于负二， x 加二，然后 x 要怎么样？ x 要大于等于零，小于等于一啊，所以这个就是答案了啊。这就答案啊，你把答案找出来就行了， ok， 就 这么简单， 不难吧。这有什么难的，是不是没啥难的，所以答案选 boy 啊，选 boy 是不是分段函数嘛？你再看一下，没问题，看一下，没问题。 ok， 十五题， 已知圆心呢，在第一象限的圆啊，而且呢，与 x 轴相切， 且圆心在这个直线上，若该圆被直线 x 减 y 等于零，截得的弦长是二倍，根号七，则这个圆的标准方程是怎么样的？这个题目你就画个图嘛，是吧，画个图去帮助理解什么意思啊？还是 它说了圆心在三 x 减 y 等于零这条直线上是吧？啊？圆心呢，在这条直线上，这条直线画出来大概啊，大概啊， 它画出来大概是这样子啊，三 x 减 y 等于零，是吧，圆心在这条直线上啊，圆心在这条直线上，而且呢，这个圆与 x 轴是相切的 啊，这个圆啊，与 x 轴是相切的啊，这是切点。好吧， 这个圆啊，它的圆心呢在这条直线上，而且这个圆呢，它与这个 x 轴是相切的啊，那这个呢是切点。呃，切点的话其实很好找啊，我们只要过 过圆心，做这个 x 轴的垂线其实很好找啊，我们只要过过圆心，做这个垂足就是切点，有没有问题？ 过圆心做 x 轴的垂线啊，这个垂足呢，就是切点好不好？垂足就是切点，这个能看得出来啊。 好，那现在呢，我们可以先把这个圆心射出来啊，先把这个圆心射出来，怎么射啊？因为圆心呢在这个直线上，所以我们可以射圆心 设圆心呢？是啊， a 三 a 吧， a 三 a 啊，因为 a 三 a 这个点，它就在这个 直线里面啊，你可以带进去嘛啊， x 是 a， 然后这个 y 呢，是三 a， 是 不是三 a 减三 a 是 不是刚好等于零啊？能理解吗？ 其实呢，就是这个点，它就是在这个直线上了啊。因为题目说圆心在这个直线上，所以现在呢，我们就把这个圆心设成 a， 三 a 是 吧？ x 呢是 a， y 是 三 a， 对 吧？啊， 那我们得到三 a 减三 a 等于零，对吧？啊，你验算一下吧，验算一下方向就对了啊，你验算，你是看到他是没问题的，他是对的，是吧？所以这样子色是没问题啊，是对的。 ok 啊，你可以去验算一下。可以啊。啊，圆形是这个啊，圆形这个 啊，那有了圆心的话呢，你看圆心的坐标是 a， 三 a， 同学们有没有看到啊，其实这一条是不是它的半径啊？我刚才过圆心做 x 轴的垂线啊， 过圆心做这个 x 轴啊，做这个 x 轴的垂线，然后这里这条垂线段其实就是它的半径。半径是多少， 这个点到 x 轴的距离是多少，是不是三 a 啊？所以半径是三 a 啊，所以 r 等于三 a， 有 没有问题？ 这个点啊，它的纵坐标是三 a， 所以 这个点到 x 轴的距离呢，就是三 a 啊，所以这条垂线断的长度呢，就是三 a， 有 没问题？就是三 a 啊，而且呢，你会看到啊，题目他这里也很清楚的写了，他说圆心在第一象限，圆心在第一象限啊，这个圆心是在第一象限的，第一象限。 第一象限的话呢，那就说明啊， 第一象限，那就说明它的 a 是 大于零的，对吧？啊，横坐标大于零，重坐标也大于零，是吧？ 啊，第一象限嘛，横坐标是大于零的，重坐标也是大于零的啊，所以其实在这里呢啊，这个 a 它是大于零的，三 a 呢，也是大于零的，可以吧， 那就没问题了。然后这个 r 是 三 a 没问题吧，这个三 a 呢，是大于零的，没问题啊，半径肯定大于零嘛，是不是都没问题了吧。都可以啊，是吧，那接下来怎么去做呢？他说， 呃，这个圆呢，被这条直线截得的弦长是二倍，根号七。圆的弦长怎么算的呀？圆的弦长我们有公式的啊。 这个题确实有点难啊，圆的弦长是怎么样？应该是二乘以根号下 r 方减去 d 方吧。 圆的弦长啊，或者我写完整一点吧。圆的弦长啊，我们假设那个弦长是 a b 吧啊，圆的弦长，我们假设那条弦是 a b 啊。 a b 的 长度等于二乘以根号下 r 方减去 d 方，有问题？ 可以啊，没问题啊，那现在 r 了，已经有了啊， r 是 三 a 是 吧。所以其实就算这个 d 就 可以了啊，算那个 d， d 是 圆心到那个直线的距离是吧，要不我画个图吧还是。他说这个圆啊，他说这个圆呢 啊，被这条直线截得的斜长是吧？被这一条直线啊， 这个圆，被这条直线截得的这条弦 a b 的 长度呢？是二倍，根号七是不是，是吧。啊？啊，那弦长怎么算呢？刚不写了吗？圆的弦长公式是不是这个啊？ 那现在 a b 知道了， r 也知道，那就差这个 d d 呢？是圆心到直线的距离是吧？ 圆心是啊， a 三 a 嘛，刚设了嘛。圆心是这个啊，圆心到这个直线的距离呢？是 d 是 不是？所以现在我们要算 d 啊，要算 d， 圆心到这个直线的距离 d 是 不是点到直线的距离？公式 是吧。圆心到这条直线的距离 d 是 吧？啊，带入进去算就行了啊。根号下一方加上负一方分之多少？ 一乘以 a 加上负一乘以三 a， 再加上零的绝对值，有没有问题啊？同学们就把 x 零， y 零还有 a b， c 都带入进去啊，得到这个式子可以啊，没问题啊。嗯，要往下去算啊。往下去算， 嗯，分母是根号二分值，这是 a 吧， a a 加上负三 a， 那 就 a 减三 a 咯，加零就不用写啊，那上面就是 a 减三 a 的 绝对值， ok 啊，一啊一， 再往下写啊，一等于多少？根号二分之 a 减三 a， 那 就负二 a 啊，负二 a 的 绝对值啊，第一次这个，第一次这个啊， 根号二分之负二 a 的 绝对值，然后这里啊绝对值里面的负号是可以直接给它消掉的，所以啊，负二 a 的 绝对值就是二 a 的 绝对值，可以吧？ 啊，绝对值里面的负号啊，是可以直接给它消掉了，所以这里得出来应该是二 a 的 绝对值，行不行？ 可以啊，呃，在这里的话呢，我建议同学们把它去化解一下。怎么化解呢？因为你后面要拿这个东西去套公式的，所以这个东西呢，我们能化解，尽量把它化解一下。怎么化解呢？根号二分多少？我们是有公式的啊， 啊，一个东西的绝对值等于根号下这个东西的平方啊，所以这里我们套这个公式啊，套这个公式，分子应该是啊，根号下分子应该是根号下二 a 的 平方，对吧？ 你理解一下，这里分子套这个公式得到应该是根号下二 a 的 平方，是不是 可以啊？没问题啊，继续，第一等于多少？根号二分之多少？根号下四 a 方吧。再继续啊，第一等于根号二分之多少 啊，你看分子根号四就是二啊，然后这里根号 a 方，你就就写根号 a 方嘛，就写根号 a 方，没问题， 还能化简的，还能化简，因为二呢，它可以拆成根号二乘以根号二，是不是二啊？它可以拆成根号二乘以根号二。那这样子拆的话呢，约分是不是约掉了？所以 d 等于根号二乘以根号 a 方。 嗯，就这个啊，所以现在 d 呢？其实也也有了啊。那最后就套公式嘛。啊，套这个弦长公式啊，套这个弦长公式。 呃，弦的长度呢？是二倍根号七，对吧？弦长是二倍根号七。题目说了啊， r 刚写过啊，啊，是三 a 是 吧？啊，是三 a， 这个 r 是 三 a 啊，那 r 方就三 a 的 平方了，减去 d 方， d 方就这一坨的平方，对吧？这坨平方就是根号二乘以那个 根号 a 方，是吧？ d 方呢？应该是这一坨的平方。呃，那我们先把 d 方写出来吧，在这里写吧， d 方等于多少？ 第一方就这个平方吧，这个也平方吧，是吧，根号二的平方就二了，然后这个平方就 a 方了。是不是首先第一方是这个第一方是二 a 方啊，第一方是二 a 方啊，这样算的啊，然后写出来就行了， 这里九 a 方吧，然后减去二 a 方吧，是不是二倍？根号七等于二乘以根号下多少七 a 方。是不是到了这一步，左右两个二 消掉，根号七等于根号下七， a 方左右根号抵消掉，就七等于七。 a 方七也消掉啊，一等于 a 方，所以 a 等于正负一，是吧， 正一还是负一啊？刚才已经讲过了啊，因为呢，它是第一象限的角啊。啊，因为这个圆心呢，在第一象限，因为这个圆心在第一象限，所以它的横坐标，重坐标都是大于零的啊，所以这个 a 呢，它应该是大于零的啊， 横坐标，重坐标都是大于零的，所以这个 a 要大于零啊， a 是 大于零的， a 大 于零呢，就正一了，对吧？ 因为 a 大 于零，所以 a 是 正一啊，有点麻烦，这个题目有点麻烦啊。确实啊，那算到 a 是 一还没做完啊，因为呢，题目要写的是圆的标准方程，行吧，圆的标准方程。那，但是其实这个到了这里就不难了啊，圆的标准方程， 因为 a 呢，已经算到了啊，那刚才啊，刚才您知道啊，圆心呢，是 a， 三 a， 半径是三， a 是 吧？ 圆心是 a， 三 a， 然后半径 r 呢，是三， a 是 吧，那现在 a 是 一啊， a 是 一， a 是 一，是吧？带进去，所以圆心是一三，然后半径是三， ok， 然后写标准方程，这没啥好说了吧，是吧啊，标准方程 a 是 一， b 是 三，然后 r 是 三，对吧，带进去，带进去啊，带进去。这是九了，所以答案就这个啊，那答案选哪个？ 选 apple 吧，选 a 吧，选 a。 嗯， 十六题，十六题的话呢，它要算这个式子，是吧？这个式子我们先抄到后面去吧， 十六题，它是九的二分之一次方，减去啊， log 二为底，根号二的对数。嗯，这个就不难啊，这里九的二分之一次方，那其实就根号九，是不是啊？ 九的二分之一次方，那就是根号九，然后后面这里啊，那这个 log 二为底，根号二的对数等于多少？他其实在问你什么呀啊，他其实在问你二的多少次方是根号二，是吧，二的多少次方是根号二，是不是？ 这没问题啊，能看得懂吧？这个是指啊，他问你二的多少次方是根号二，是不是二的多少次方是根号二，那这个我们也是知道了吗？ 应该是二的二分之一次方是根号二，是不是二的二分之一次方呢？是根号二，所以这里啊，他应该是二分之一啊，就这里算出来就是二分之一。哎，好， 那前面是根号九，根号九是三啊，三减二分之一没问题吧啊？三减二分之一，通风啊，二分之六减去二分之一，所以答案呢，也是二分之五， 可以吧，这题目肯定是比较简单的啊，就相当于送分的这七题啊，在会制某个样本频率分布直方图的过程中，统计结果显示在三到八左臂右开，这个主类呢，有六个数据，且频率为零点二， 则该样本的容量为多少？其实呢，呃，前面前面那句话你看不懂，我觉得没什么关系啊，他什么？ 呃，会制某样本频率分布直方图啊，这个什么频率分布直方图？要是你不知道他是什么东西也没关系啊，你只要知道这个组里面有多少个数据啊。啊？十七题这里啊， 他说的这个组里面啊，他说了这个组里面有六个数据啊，有六个数据啊，有六个数据， 而且他说啊，而且他说这个组的频率呢，为零点二。这个组他的频率为零点二啊， 这个组有六个数据，然后这个组它的频率为零点二，那其实零点二呢，你可以看作是什么？百分之二十。 这个组有六个数据，那这六个数据啊，这六个数据它是占了，它是占了总体的百分之二十，是不是这个意思？ 这一个组有六个数据，然后这六个数据呢其实是占了全部的百分之二十。然后现在他问你啊，在这里一共啊就全部有多少个样本？他是不是问这个， 他最后再问你啊，这个样本一共有多少个？那这个就比较简单了嘛，是吧？啊？其实我们可以设啊这个样本容量啊，就这个样本一共有多少个？有 x 个咯啊？这个样本容量 为 x 啊啊就一共有 x 个样本，然后 x 乘以多少啊？ x 乘以这个零点二，或者是乘以这个百分之二十都可以啊。 x 乘以零点二或者是乘以这个百分之二十，它是等于六的啊，它等于六了啊， 因为了你这六个数据是占了全部的百分之二十，是吧？这六个数据是占了全部的百分之二十，所以现在呢 全部啊全部乘以百分之二十，那就是这六个数据有没有问题啊？全部的数量乘以百分之二十就等于就等于这六个数据的数量， 这没问题啊。啊？然后呢？啊？你把它算出来就可以了。然后这个就没什么难的啊。没什么难，那个零点二就五分之一嘛，五分之一乘以 x 了，就五分之一 x 了，五分之一 x 等于六，所以很明显 x 等于三十啊。 啊所以这个样本容量啊，就一共应该是有三十个数据啊，所以这里啊一共是有三十个数据啊，所以样本容量是三十。 其实他还有另外一个方法呢。呃，我们小学是有学过。呃什么东西呢？对吧？这个六除以这个零点二，那其实呢就可以得到啊，就可以得到一共有多少个样本啊，对吧 啊？六除以零点二其实就可以得到一共有多少个样本啊？六除以零点二，应该是三十吧，算出来答案是一样啊。啊，你用这个算也可以好吧。哎呀， 其实根本看不懂题目我都告诉你了，其实你只要看懂它这个组里面有六个数据，而且你只要知道啊， 这个主他的频率是零点二，那就说明呢，这个主他占了全部的百分之二十，你能看懂这两个就可以了啊，前面那些你看不懂没有任何关系的好吧。啊，前面那些你看不懂是没有任何关系的。 二十八题，呃，向量 a 和向量 b 它的夹角呢，是六分之五拍，而且向量 a 的 模等于根号三，向量 b 的 模呢，等于二啊，则向量 a 点成像量 a 减去向量 b 的 差等于多少啊？题目呢， 要算的是向量 a 点乘向量 a 减去向量 b 的 差，那这个怎么去算啊？你只要把这个向量 a 乘进去，乘进去就可以了，乘进去向量 a 的 平方，减去乘进去向量 a 点乘向量 b， 是 不是 啊，跟我们以前的这些算法是一样的啊，跟我们以前单项式乘以多项式的算法是一样的啊。但是这里呢就要用到公式啊啊，就要用到向量的一些公式，它这个向量 a 的 平方啊， 根据公式它应该等于向量 a 的 模的平方啊，这个就是公式来的啊，如果你忘记的话就记一下 向量 a 的 平方，它就等于向量 a 的 模的平方，这个本身就公式来的啊，然后减去那这里呢也是公式啊，向量 a 点成像量 b 也是需要用到向量的公式，那这里是数量积吧。数量积啊，应该是等于什么？向量 a 的 模乘以向量 b 的 模， 再乘以这两个向量的数量积，公式是这个吧。 啊，然后现在呢，向量 a 的 模，向量 b 的 模，还有这两个向量的夹角啊，其实题目都给啊题目都给啊， 向量 a 的 模，向量 a 的 模呢是根号三，向量 b 的 模呢是二，然后夹角呢？是啊，六分之五拍啊，我们写进去啊，向量 a 的 模是根号三， 向量 b 的 模式二，然后这两个向量的夹角是六分之五拍，是不是看一下有没有抄错。 没错啊，就这个要往下算就行啊，就这你往下算就可以算出来答案了。这是三吧，减去这里是二倍。根号三乘以 cosine 六分之五拍 啊，应该是 cosine 一 百五十度， cosine 一 百五十度了，是负的二分之根号三啊，那往下算吧，等于三减多少啊，后面这里二和二就越分越掉，那剩下根号三乘以负，根号三是吧， 根号三乘以负根号三，那算出来应该是负三是吧，那就三减去负三，有问题？就后面这里他算出来了是负三，那这里负负得正三加三个六啊，所以答案就是六啊。这题目不难啊，套公式就行了，套公式就行。 十九题，已知数列 a n 中啊。啊， a 一 呢是一，而且满足 a n 加一减去 a n 等于 n 啊，则这个 a 五等于多少啊？这个题目呢？看一下 题目是给了这个公式啊，看一下，题目是给了题目是给了这个式子是吧。 啊，他说竖列 a n 啊，他是满足这个式子的啊， a n 加一减去 a n 等于 n， 而且呢，而且那个 a 一 是一啊，这是题目的条件来的， 现在问你那个 a 五等于多少啊？ a 五等于多少？其实呢，我们会看到他给的这个式子应该是这个竖列的递推公式吧。递推公式我们这种题已经做过好多遍了， 它这个给的是竖列 a n 的 地推公式，为什么呀？啊？因为 a n 加一和 a n 呢， 这两个项呢，是相邻的是吧？ a n 加一和 a n 呢，这两个项是相邻的，它给的是相邻两个项之间的数量关系，是吧， 相邻两个象之间的数量关系，所以这个啊，所以这个是指就是竖列的递推公式。我们有了递推公式啊，然后又知道这个 a 一 是一，其实呢，我们可以把 a 二 a 三 a 四， a 五 a 六啊， a 七 a 八 a 九啊，其实可以一项一项的往后去递推，是不是这样子做， 那现在题目要算什么？题目算 a 五是吧？题目算 a 五，题目问你 a 五等于多少，那你就一项一项的往后去递推嘛？啊，第一个啊，第一步应该是当 n 等于一的时候， 当 n， 当 n， 当 n 等于一的时候，那得到应该是 a 二减去 a 一 等于一吧，是吧，然后 a 一 啊， a 一 是不知道了， a 一 是一吗？那就 a 二减一等于一，是吧，然后这个移过去，很明显 a 二了，是等于二了 啊，这也是第一步，那第二步，第二步就当 n 等于二的时候了，是吧？啊，就一步一步的往后去递推嘛，这个同学们应该都会的啊，当 n 啊，当 n， 当 n 等于二的时候啊，当 n 等于二的时候，写出来应该是 a 三减去 a 二等于二， ok 啊， a 二刚算了， a 二是二， a 三减二等于二，然后这个移过去，那就 a 三等于四， 同样的道理啊，往后就是当 n 等于三的时候啊，当这里的 n 等于三的时候，那就 a 四减去 a 三等于三， a 三是四吧，就 a 四减四等于三，这个移过去，那就 a 四等于七啊， 没问题，没问题，能理解啊，那最后一步喽，就当 n 等于四的时候啊，最后一步，当 n 等于四的时候 啊，当这个四指里面的 n 都等于四的时候，那写出来应该是啊， a 五减 a 四等于四， a 四是知道了吗？ a 四是七吗？是吧？ a 四是七吗？ a 五减七等于四，那负七移过去啊，那就 a 五等于十一啊，做出来了，就这么简单。二十题啊， 在这个三角形 a、 b、 c 中啊，角 b 的是钝角，然后这些都废话，不用看啊，然后满足 a 等于二， c 等于三，然后扣三，二 b 等于负的九分之七，那么这个三角形 a、 b、 c 的 周长是多少，是吧？这个二十题，我们 画个图啊，二十题，画个图大概画就行了啊。三角形 a、 b、 c 是 吧？三角形三角形 a、 b、 c。 看一下， a 是 二， c 是 三， a 是 二， c 是 三，那他还给了什么呢？还给了 cosine 二 b 等于负九分之七啊。 cosine 二 b 等于负九分之七，是不是？然后问我们这个小 b 等于多少，没错吧 啊啊，然后呢，他要问那个周长呢，其实问周长就是问那个小 b 等于多少，那题目呢，让我们求这个三角形的周长， 其实呢，周长的话，这两条边都知道了，就差这个小 b 了，是吧？所以其实啊，题目问的周长就是让我们算这个小 b 等于多少啊，因为小 a 和小 c 都知道，如果小 b 也知道的话，那么这个周长就很容易算到了嘛，是不是啊，那题目给了这个条件，它有什么用呢？ cosine 二 b 等于负九分之七，我们可以从这里得到什么呀？嗯？ 我们可以从这里得到什么？你看啊，这里它是 cosine 二 b， 很 明显它想要我们去用那个二倍角公式吧。 它这里很明显是想让我们去用二倍角公式，那用哪个呢？应该是用这个啊， cosine b 方减去一对吧啊，这里啊，我们应该是用 cosine b 方减一这个啊， 就是这个口扇二 b 应该是展开成这个啊，展开成这个二口扇 b 方减一对吧。啊，那为什么要展开成这个呢？ 为什么要展开成这个？因为展开成这个的话呢，我们是可以把这个口扇 b 算出来的。那为什么要算口扇 b 了啊？等会再说好吧。啊，为什么要算口扇 b 啊？等会再说。 展开成这样子啊，展开成这样子，那很明显呢，我们可以通过这个市值啊，通过这个方程把这个库上逼算出来的，是不是啊，那我们现在来算一下啊， 先把这个负一的移过去，二 q 三 b 方等于负九分之七加一，是吧，那就二 q 三 b 方等于这里算出来的九分之二。九分之二是不是右边这里算出来的九分之二，然后再左右同时除以二啊， 左右同时除以二，那应该是得到 q 三 b 方等于九分之一， q 三 b 方等于九分之一。好了，这里往下应该是直接开平方法。直接开平方法是吧，记得写正负啊，记得写正负好了，根号九分之一呢，就是三分之一了， 所以得到扩散 b 等于正负三分之一，那是正还是负呢？题目是有给条件的啊，你看题目很明确地说，他说角 b 是 个钝角，看得见吗？角 b 是 个钝角， ok 啊，因为 b 是 钝角， 所以 cosine b 呢，应该是负的，因为钝角它是在第二象限的，钝角在第二象限， cosine 在 第二象限应该是负的，所以 cosine b 等于负的三分之一。好了， 那刚才就已经说了，为什么我们要算扣三眼呢？为什么我们要算扣三眼呢？因为呢，如果你能把这个角 b 的 扣三眼值算出来的话，啊啊， 我们现在已经把这个 q 扇 b 算到了， q 扇 b 是 负三分之一，是不是我们现在呢把这个角 b 的 余弦值啊，就 q 扇 b 算到了，你看啊， 口算 b 知道，然后呢？小 a 小 c 又知道，其实就相当于是知道两边一角，是吧？知道两边一角，然后要算第三条边，那很明显应该是用余弦定力，是不是啊？你看啊，因为现在口算 b 啊，已经知道了 啊，然后小 a 和小 c 也知道啊，其实相当于是知道了两边一角，知道两边一角，然后要算第三条边，很明显用的是鱼弦定理吧。那你要用鱼弦定理，肯定要用口塞眼啊，是吧，所以刚才我们这里 就是想把口算算出来啊，因为刚才呢，就已经要想到我们后面应该要用到鱼弦定理的，是不是啊，知道两边一角算第三条边，肯定是用鱼弦定理。哎，好了，这里用鱼弦定理就行了啊。用鱼弦定理 啊， b 方等于 a 方加 c 方减去二 a， c 乘以口算 b， 是 吧？嗯，那 b 呢？就是要算了 a 和 c 就 知道了啊。 a 是 a 是 二， c 是 三，是吧？ a 是 二， c 是 三， a 是 二， c 是 三，扣上 b 刚已经算到了负三分之一，是吧？负三分之一是不是？然后这里我们算出来就行了啊？这是四加，这是九，减去后面这里 二二得四吧，二二得四，然后四乘以这个负一，那个是负四吧，有没问题 啊？就这里最后算出来啊。这里算出来应该是负四，没问题吧。嗯，再往下四加九，然后这里再加四，那这里写出来应该是十七吧。十七， b 方呢？是十七啊， b 方是十七， b 方等于十七，所以 b 呢，应该是等于根号十七。那题目要算的是周长啊，题目要算周长，周长就三条边相加了啊， a 加 b 再加上 c 啊，所以答案呢是五加根号十七，没问题。

查座位号了！二零二六广东春季高考准考证开放打印，具体打印教程如下，第一步，打开学考报名系统，输入账号、密码等信息。第二步，进入报名系统。 普高深的春季高考需要选择学考报名，登录后再点击左手边的二零二六年第一次学考，点击即可查看信息表，再点击打印准考证即可打印。预祝同学们金榜题名！

考生开始阅读材料和问题，各位考官，下面开始回答第三题。小程序上线后呢，使用率偏低，我认为啊，关键是没有摸透大家我用的真实原因。因此呢，相关部门要找准问题再精准发力，可以做好以下的四件事情。 第一件事情呢，要摸准核心问题，可以通过三个方式来快速定位，一是查看小程序后台数据，追踪用户注册后的数据变化是否持续下降，影响力变弱。 二是可以在博物馆现场进行访谈，游客了解是否知晓咱们的小程序操作是否顺畅，是否觉得功能实用。 三是梳理小程序类的用户反馈、留言板提取，像操作复杂、信息无效、找不到需求等高频诉求。通过这三步呢，快速总结出规范出核心问题为不知道、不会用、不好用这三类情况。 第二件事，多渠道广泛宣传，破解不知道的问题。如果贞洁是没人知晓，就要全方位扩大曝光率了，于是可以靠联盟内博物馆发力，场馆门口粘贴醒目的二维码海报，电子屏循环播放。 工作人员呢，入园时可以主动引导扫码，用小程序能导航预约讲解了换款更方便。这样的话。 二是借助咱们官方平台肇事，可以通过 a 四文旅局、博物馆联盟的公众号、视频号发布，三十秒搞定博物馆预约短视频，在本地新闻、公交、地铁广告位进行投放宣传，覆盖不同的年龄段。 三是给予小激励，新用户注册了应该送咱们文创的优惠券，可以用小程序预约呢，能够优先参与咱们特展，吸引大家主动尝试。 第三件事，要简化和教学，破解不会用的问题。如果是操作门槛过高，就要降低使用难度。一方面我们可以简化流程，减少注册的步骤。另一方面可以做直观教学视频。 在小程序内呢，设置一到两分钟的操作视频，还可以在博物馆设置体验区，让志愿者手把手教老人家，让长辈快速上手。 第四件事，要优化功能或者不好用的问题。如果功能啊，体验不佳，那再宣传也留不住用户。所以呢，要解决不好用的问题，我觉得首先要优化卡屏的问题，组织技术团队，排查服务器，优化小程序的运行速度。 其次是呢，升级关键词解锁功能，支持展品、场馆、区域等多维度的信息搜索，提升解锁的效率。最后是丰富使用功能，可以去新增咱们客流查询文化打卡线路等，让小程序好用又有吸引力。 相信做好以上四件事情呢，能够解决小程序使用率偏低的核心对问题，让小程序能够回归便民利民的初衷。考生答题结束。

广东事业编加 b 站等于绝杀，怎么还有备考广东事业编的人不知道？哔哩哔哩其实真的不用买很多资料，每个模块认准专业的老师直接去看专项课能选很多次言语提分认准过期。他讲言语特别接地气，能把言语题里的逻辑关系、关键词定位讲的明明白白，不会让你靠语感瞎蒙， 讲课节奏也舒服。还会总结超多实用解析技巧，比如选相对比法以及分析法，都教得很实在，听完就能直接上手刷题，做题速度和正确率都能明显提上来。工具背诵看，尤其广东试考老师，擅长把零散的知识点串联成体系，还会总结超多好记的口诀和思维导图、 法律、政治、经济这些难背的内容，经他一讲变得特别好记，讲课节奏不拖沓，专挑高频考点讲，不用死记硬背，记起来轻松多了。 资料分析看花生十三，他最牛的就是速算技巧，教的那些计算节位基础方法，能帮我们省下超多做题时间。而且他会把资料分析的强考公式一错点梳理的清清楚楚，跟着练几套题，就能告别算的慢、算不对的烦恼。 质量小白看高教，他会把复杂的公式拆写成通俗的步骤，还会教我们快速解析的秒杀技巧，不管是行程问题还是排列组合，都能帮我们找到最简单的破题思路，就算是数学底子弱的人跟着学，也能啃下数量这块硬骨头。 判断推理看龙飞，龙飞讲判断超有一套图形推理、逻辑判断这些让人头疼的题型，他都有自己的一套解析逻辑，比如图推的特征，图形逻辑的推理规则，讲得特别直白好记。听完他的课，不管是类比还是 图推，都能帮我们建立清晰的解析框架，做题又快又准。这些老师都是我听下来觉得不错的，大家可以参考。

哈喽，同学们大家好，广东学考快要开始了，我们来做一篇学考模拟卷的语法填空。第一题， for 介词得加名词或者是动名词 poor， 它是形容词，叫穷的怎么变成名词啊？加德，在这里，德加形容词表一类人，所以的 poor 其实就是穷人。 此外还有的德尔加姓氏表一家人，比如说 the greens， 格林一家。为什么呀？因为在外国文化里，女方嫁给男方需要改姓，所以一家人都是姓格林啊， tom 这样子。然后这两个语法点呢？它其后面的谓语啊，都要用复数， 呃，还有个相似的也变形的规则，比如说 she is 空格 加上名词的 beauty。 按理来说，这个部分得填个 beautiful 吧。那怎么办呢？ 要填 of of， 加名词等于形容词， ok， 假设，呃，同学们不知道这个的加形容词表一类人的这个考点怎么办呢？ 没关系，我们还是能蒙得出来的。首先这是不给出词，也就是啊，虚词，虚词考的是借冠连， 借冠连，那介词可能吗？这里已经有 for 了，不可能两个介词挨在一起吧，所以介词排除。那这可能考的是连词吗？他们建造房子，为了穷人关心呃，无家可归的人，帮助保护动物， 这是排比句啊，说明这个部分得不是，不是句子，得是个名词短语，所以连词是连接两个句子的，这都不是句子，所以排除连词。那么只剩冠词 冠词，呃， and， 首先排除 am， 因为 bo 它是 p 开头，它是辅音元音啊，辅音因素开头，所以排除掉。那可能是呃吗？ 他们建造很多的房子，为了一个穷人，这可能吗？不可能，所以只可能是得 ok， 所以 蒙也蒙得出来。下一题又是考介词， 介词说过了，加名词或者是动名词，加上这个形容词，农村的又是得修饰名词的。两个证据证明了，这个空就得填名词 area， 它本身就是名词，名词变名词，什么考点呢？ 变复数，所以这道题 areas 搞定。 下一题 又是考虚词，借关联其中一个。呃，我们看这个句子吧， are taught 谓语动词 organize 谓语动词说明了前面是句子一，后半句是句子二。 这跟我上一个视频的第一道题非常的像，可以说是一模一样的考点。我们看这里空格连接两个句子的话，必然考的是连词， 那这一句话又是句子一？逗号，空格句子二的有两种情况，要么是撞虫，要么是非限制性定语从句。那这道题到底是啥呢？ 他缺成分谁被教啊？主语缺失了，所以他是缺成分的。非限制性定语从句中考的是关系代词。是人被教还是物体被教啊？孩子们被教，所以人就用互 ok， 大家感兴趣的话可以看一下我上上一个视频的第一题。 ok， 那 就不不多讲了。下一题 考的是代词，我们看下边。代词分为人称代词、物主代词和反身代词。人称代词指的就是你我他。物主代词，物品的主人嘛，谁谁谁的。那就是考个有加个得反身代词，反过来说自身，所以是自己。 怎么做题呢？我们看这边，首先翻译这个代词是否需要加个的？如果是，那就是物主代词的考点。物主代词什么考点呢？看这空格后面是否有名词， 如果空格后面有名词，要填形容词性物主代词。如果空格后面没有名词，考的是名词性物主代词， ok， 继续。如果翻译出来，它是不需要加的的，那要么是人称，要么是反身。那接下来我们看这句话的主语和要填的代词是否指着是同一人。同一人。 如果是，比如说 i learn english by myself， myself 和 i 是 同一人，那么这个空就得填反身代词，或者呃 i hurt myself， 我 呃伤到自己了。 i 和 myself 指的是同一人，所以这个要填 myself， 填反身代词。 反身代词三个部分，首先是判断了，判断刚讲了同一人，那就是反身。接下来固定固定搭配啊，比如说 啊，常见的固定代词，第一个就是 by myself， 第二个就是 learn by myself 或者是 teach myself。 此外还有 hurt myself， dress myself， help oneself to 这些。 还有最后一个最容易搞错的就是复数，千万别忘了，复数需要把 f 改成 v e s， ok， 我 们继续。如果他不是只同一人，那就考的是人称代词。人称代词两个考点，主格跟宾格怎么判断啊？主谓宾，所以谓语前面是主语，谓语后面是宾语。 当然有个例外，就是宾语可以放在介词的后面，俗称介宾短语吗？为什么他可以放在介词的后面呢？因为这个谓语他是 不及物，动词的话，它需要加介词，再加宾语。比如说 listen to music， listen 和 music 听音乐，它们中间得加个介词 to， 哎呀 to， 所以 它也有可能放在介词的后面。我们看回这题， 志愿者帮助他们还是他们的探索世界？应该是帮助他们探索世界，所以不用的排除掉物主代词，那接下来看是否指同一人呐？ 这个他们应该指的是这些孩子，帮助孩子探索世界，所以不是同一人考的人称代词又放在 help 这个动词的后面，所以 them 搞定现在题。 呃，这题很简单，考的是 at at the same time 固定搭配，没啥好说的，下一题 下一题。如果你会这个 for somebody， to do， something 的 结构，那就可以秒做，那就是 to learn。 跟那个大家应该学过叫 it 加形容词加 for somebody， to do， something 是 一样的。我们可以通过这个我们已经知道的固定搭配来背这个我们新的固定搭配， ok， 假设大家不知道这个怎么办呢？其实也能做的出来。 愣动词动词，要么考谓语，要么考非谓语。前面已经有个意思了，已经有个细语了，一句话只能有一个细语或者一个谓语，那这已经把呃，这整句话的谓语份额给占了，说明这个愣只能是非谓语。 学考的非谓语考点就有三个，非常简单，要么就 to do， 要么就 doing， 要么就 done。 怎么办呢？首先判断他到底是主动呢还是被动呢？我们看这题， 志愿者工作是一个经历，经历可数的话是经这个 experience， 如果是可数的话，那就是经历，是一个经历。对于志愿者来说，在这个经历中啊，要学习，那应该是主动，如果是被动，那就填当了，那这道题是主动，那就排除当， ok。 接下来如果是主动的话，我们继续判断它是否有目的。怎么判断啊？就是翻译的时候看看有没有来要 去为了这些字眼。那我们看这题，在这个经历中，志愿者要学习去学习，所以是有的，所以就是 to learn。 反之，如果没有这个目的啊，没有这个目的，那就是读影。 ok， 下一题， true， 记错了处两个改法，要么就 chew， 要么就 choose。 后面已经有个动词短语了，那我们第一反应判断这是不是副词去修饰这个动词短语啊， 我们可以真底起作用，在这个世界上通过志愿者工作吗？是对的，所以就是处理下一题 b， 嗯？什么时态呀， 你看，要看上下句哈啊 is 说明这是一般现实单数复数啊，无论这是谁的 b 都是复数，所以就是 r。 这题考得比较仁慈了，如果难一点， 我给个例子吧，比如说 chairs of living room of house， 房子的客厅的椅子后面加了一个空，要填个 be 动词，那到底填单数还是复数呢？答案是 chairs， 而不是最近的这个 house。 为什么呢？你翻译嘛， a of b of c 其实就是 c 的 b 的 a 就是 房子的客厅的椅子，那这个 b 它的真正的主语是这个 chairs。 ok， 下一题， is 有 个 then， 说明了它是要填比较级的 bright， 一个元音说明是单音节，那就直接加 e r。 下一题， look forward to 好 固定搭配 doin 这个 to 按理来说应该是 to do 吧，但你考试中肯定不是填原型啊，所以要么 doin， 要么 don't， 那 我们期待去做它们的部分嘛，肯定是主动的，所以就算你不知道这个固定搭配，我们也能选出 doin 相关的 to doing。 下面这里有个表格，大家可以记一下这个 look forward to 我 们一般用在作文，那最后一句经常会用。 i'm sincerely looking forward to your reply。 我 真诚地期待你的回信。好了，搞定。

广东省考面试岗一就一定稳了吗？面试不好好准备，难道还想明年再来一次吗？现在就是你离成功最近的一次，咱们千万要好好准备 面试。想稳就靠两件事，高强度对练和精准指导。我们上岸村的线下面试班就是帮你把笔试的优势保持到面试结束。阶段一、十天，线下冲刺，前四天主讲带你揣实思路，中间五天五轮近一百题高压模拟还原真实考场， 每组配一对一面试老师专治卡壳跑偏。第十天考前预测卷模拟实战精准发力。阶段二，线上持续训练，线下结束不等于训练结束。 每天群里老师随机抽人对练，把状态一直延续到考前阶段。三部分班次支持五天回 回炉冲刺，考前重返线下高强度模拟加状态调整，提前消化紧张，从容走进考场。面试班全程由深耕广东面试多年的老师带练，他们懂你容易在哪失误，更懂如何帮你补强面试班爆满积分班，点击下方锁定席位！

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广东省考成绩即将公布，如何找面试机构？面试班怎么选呢？是选金标尺还是滑涂？还是导弹？宝子们，既然见面了，就要好好把握机会。我搜集了广东多数地方的公考机构情况，发现有三家上岸率在百分之八十六以上，想了解评论区扣六六六，我无偿分享 一家。课程体系全面，根据不同岗位和行业特点，制定全面系统的培训课程。实战模拟丰富风，让学员模拟真实面试场景，亲身体验面试流程，熟悉面试氛围，提升面试能力。第二家实战模拟逼真，采用一比一还原真实考场的高强度模拟训练， 帮助学员快速适应考试场景。会根据学员薄弱环节定制提升方案，例如在结构化面试、无领导小组讨论等方面进行针对性指导。第三家课程内容全面，包含多种类型的面试课程，内容丰富，包含面试技巧、岗位分析、模拟面试等多个方面， 可满足不同考生需求。师资力量雄厚，授课老师具备丰富的面试经验，对各类面试题型和答题技巧有深入研究，能为考生提供专业指导和辅导。

二零二六届广州临模的分数出来以后，在广州家长圈炸掉了，全市第一名居然不是华夫的，也不是直性的，而是广州二中的，据说这个第一名考了六百七十一分，各个科目都接近满分。 咱们广州临模历年来都被称为广东高考的风向标，因为他的题目的试卷的难度和题型都是紧扣高考的，是非常值得参考的目的考，再加上参考学校和参考人数众多，所以这一次考试你的分数和排位 其实对标高考还是蛮有可参考性的。那接下来我把物理类和历史类各分数段的同学们分别预估一下，你这一次的临模考试相当于夏季高考多少分？首先给物理类的同学分数由高到低 分别来捋一下，临模六百一十分，对标到夏季高考基本上都是六百七八的，这个分数基本上是可以考虑华东五校的第二档。临模的。五百九十来分，相当于夏季高考，大概能考个六百五十分左右， 这个分数可以留在中大和华工来挑专业了，初审你也可以读到很好的九八五高校的新工科专业。五百六十多分，相当于夏季高考在六百三左左右右，全校排位大概是在一万位次左右，这个分数可以上到中大或华工，但是， 哎，肯定是很难保住专业的。五百二这个分数段基本上就是华南师范大学的线，相当于夏季高考的五百五十多分，这是咱们一本的 四百一十五分，相当于夏季高考的四百九十多分，这是咱们公办本科的底线。历史类的考五百四左右，相当于夏季高考的六百二左右，这是咱们九八五的底线。 五百一十多分，相当于夏季高考的五百九十多分，这个分数相当于二幺幺的底线。四百七十多分，相当于夏季高考的五百五十多分，这是咱们一本院校的底线。四百四十多分，相当于夏季高考的五百二十分左右，这是咱们公办本科的底线。如果你不知道这一次你的分数能考怎样的大学，可以在评论区打出来，明月老师帮你评估。