拉格朗日求极限ξ怎么画

两分钟彻底搞懂拉格朗日，求极限！首先看看这道题你会用什么方法做好？同学们，我们来看一下这道题目啊。首先这道题目其实方法是有很多的，但是我觉得最快的方法就是用拉格朗日去做啊，什么时候会想到用拉格朗日呢？ 当你极限中啊，发现函数名相同的两个函数相减的时候，我们就要用到这个拉格朗日。拉格朗日的公式我已经写到上面了啊， f a 减 f b 等于 f 克 c， 撇乘上 a 减 b， 这个克 c， 它是介于 a 到 b 之间的一个数啊，主要是由于我们不知道 a 和 b 谁大谁小啊，反正就是克 c 在 两者之间嘛，对不对？嗯， 那么接下来呢，我们第一步先呢啊，根据这个公式咱们套一下好，套完之后我们是不是应该变成这个样子啊？扩散的导数是不是复散啊？那是不是直接写成复散克 c 啊？然后里面变量值相减，跟这个公式一样，是不是写成 x 减三 x 啊？ 那 x 减三 x 呢？这个公式大家必须要记住啊，当 x 趋近零的时候，它减它啊，之间等价于六分之一， x 三次啊，所以说我们先进行不等价， ok， 等加完了之后呢啊，我们上面这个 x 三次和 x 四次是不可以约分一下好，整理完之后，我们是不是得到了下面这个极限，我们把常数提到外面嘛，对不对？那最终的问题就聚焦在 这个函数的极限到底是多少呢啊，我们根据那个公式啊，知道可 c 它是介于 a 到 b 之间的，那我们这道题 a 和 b 是 不是 x 和三 x 啊？所以说这个可 c 它应该是介于 x 与三 x 之间，对吧？那么接下来重点来了，我们一道题到底能不能用拉格朗去算？那其实本质上你要根据夹逼定律去判断一下两侧的极限到底是否一致啊？为什么要这么去想呢？ 因为你看我这个刻 c 啊，它是处于 x 和三 x 之间，那我们这个函数的极限是不是应该夹于这个极限和这个极限之间啊？我们接下来去算一下这两边的极限是否相同啊？这两个极限应该很简单，是不是应该都是一啊？所以说两侧的极限是不是刚好相同啊？ 那我们最终呢，由加倍定律可得，我们这个目标函数的极限是不是也是一啊？因此它的极限是一啊。我们最后答案呢，是不是就是负六分之一？你做对了吗？

兄弟一看到极限就说拉格朗日，能拉，明白吗？关注我，挑战把数学变成大白话的第十三天口诀，外层相同且相减，外层导乘内层差住可赛为内层的极限值。例如像这道题，当你把极限过程带入之后，它的分母是零，分子也是零， 而且它的分子上外层都是 low n， 所以 说你就可以利用拉格朗日定律去求它。由于它俩的外层都是 low n， 而 low n x 导数是 x 分 之一，所以它的外层差也就是一加 x 减一加 x。 而可赛就是内层的极限值， 你带哪个内存都一样，所以当你把零带入之后，它的内存计算值是一，因此可赛就是个一，所以可赛分之一也就是一，所以它就变成了 limit， x 趋零，二 x 除以 x， 最终结果也就等于二。

这道题你还在用泰勒等价代换来解吗？今天教你们秒杀大法拉格朗日终值定力球极限视频最后有例题，务必看到最后哦！假如我们会了拉格朗日终值定力球极限，你看这不就是口算题吗？ 接下来我们来了解一下原理。将基本公式带入函数，你看这两个从复合函数作差变成了内层函数作差，外层函数的 f 跑到求导的地方去了。从繁化减。海绵宝宝这个符号是什么东西？怎么算？他叫克西，需要用加逼定理来算。 我们假设克西在 g x 和 h x 之间，当 x 极限趋近于 a 十， g x 和 h x 相等，有没有感觉克西被夹在中间，所以克西与他们相等。上题目看到外层函数相同，都是一直接拉内层函数做 差，外层函数求导克西在两个内层函数之间，并且 x 趋近于零，得克西等于零，带入克西等于零，再化减，结果就出来。简简单单接下来是为大家准备的例题，有什么问题的小伙伴们在评论区评论哦！

同学们大家好，今天呢我们来看一下这道极限的运算问题，我们看厘米的 x 区域，零 x 的四次方分针头上引的单眼 x， 再减去头散眼 x， 因为这道题呢是比较新颖的啊，实际大家看老师的这个视频呢，有很多呢都是讲解这个极限的求解技巧的，那这道题的这种方法呢，老师呢是第一次讲解， 我们来看一下他给我们的这个式子呢，是一个复合函数，在这个分子里面出现了一个头赛散音 x， 那确实是呢，我们看到这种啊，这种式呢，我们也不知道怎样来进行处理了，因为大家想想这种复合函数的式子吧，我们如果求极限，如果利用洛比达法则求导的话呢，我们根本也导不出来，实际大家可以自己试一下啊，因为每次求导呢都是一个零比零型，我们呢也没 法的正常给他进行一个求解。那么大家再想一下，我们可不可以想一下我们原来所学过的终止定理啊，也就是这个拉格朗日终止定理，我们来看一下这个终止定理他要表述的内容啊， 拉克朗日中值，他那要表示的就是什么小 f， 可 c 的倒等于呢， b 减 a 分值，小 f b 再减去小 f a， 而且这个可费呢是属于 a 到 b 的开区间呢。 那么这个时候大家想一下，如果是应用我们这个拉克朗日中式定理，能不能对我的这个题目的中的分子进 一个化简的啊，也是大家想想这个头散眼散眼 x， 再减去头散眼 x， 我们可不可以把它看成是这个小 fb 减去小 f a 啊， 那么如果要是这样的话，是不是这个扣单眼 x 就相当于 b， 而这个单眼啊，这个这个扣单眼 x 中的 x 就相当于 a 啊？我们来看一下啊，也扣单眼单眼 x， 然后再减去扣上眼 x， 是不是这个上眼 x 他就是相当于 b， 而这个 x 是不是就相当于 a 一啊？那么这个时候我们根据拉格朗这中的定力，他是不是就应该等于什么？也就相当于我的这个小 f 是扣赛印，对吧？是不是也就是我们 头赛球倒，他是等于什么？负的赛克 c， 然后我们再乘以谁啊？再乘以这个 b 减 a， 是不是也就是这个什么赛 x 减去 x， 如果我们用这种方法来进行化解的话，我的这个分子呢，就被我化解出来了，而且大家注意一下，我们的这个可 c 是属于谁啊？ 这可这是很显然是属于什么？从这个 x 到单眼 x， 我题目中告诉我们这个 x 是趋于零的，那是不是也就变相这个可 c 就是属于零啊？那本身我们看这个 x 这是零，那散 x 也是零，在 x 趋于零的时候，那就相当于可 c 呢？ 也是一个零，对吧？也 x 区域零，我们能得出这个可 c 区域零，好，那我们就用这种方法呢，对我们这个题呢进行一个计算啊，把这里先给大家擦掉啊， 那我们看他也就是等于厘米的 x 区零 x 的四次方分值，什么我们的负的 散可 c， 然后我们再乘以谁啊？乘以我们的这个啊，散引 x 减去 x， 我们知道这个啊，可 c 呢，是趋于零的，那整体呢？我们看这个是 这个啊，极限绿色柿子是不是也是一个零比零星啊？那随机，我们啊，既然知道他是七零的，那我们是不是可以把这个可 c 给他也写成 x 啊，方便大家化解是吧？ 那我们看随机，我们对我们的这个分子中的单眼 x 给他等价一下，他就等价成 x， 也就负 x 乘以这个括号中的单元 x 减去 x， 再比上 x 的四次方。 而且呢，我们还知道这个单眼 x 减去 x 呢，他是可以利用等价无穷小的就单眼 x 减去 x， 他是等价于负的六分之一 x 的三次防挡。那经过 我们这样的啊，一系列分析，是不是我们可以得出本题的极限是等于六分之一的呀， 这就是呢，我们这道极限的求解问题呢，他的求解过程，他这底呢，就是对我们这个分子进行化解的时候呢，用到了我们的这个啊，拉格朗日中指定理，这是非常新颖的一种啊，化解方法， 大家都学会了吗？如果大家有任何问题呢，可以在这个呃私信中给我留言，谢谢大家。

好，我们来看，上面是拉格朗次根式的这个基本形式啊，其中这个很重要，就是说它的一端是函数式的差，另一端是自变量的差，乘以某一点的导数。 现在我们假设，呃，这个自变量取的增量 dx f x 加 f x 就是 函数的增量 dy， 这个我们看啊，用这个公式来看，两个函数式的差等于这两点中间某一点的导数乘以自变量的差，自变量的差就是 delta x， 对 不对？然后呢，我们常常把这个 x 到 x 加 delta x， delta x 之间的数记，为什么呢？记为 x 加零点几 delta x， 记住 c 是 零点几的数啊， 因为 x 到 x 加 delta x， 显然可以写成中间的任何一个数，都可以写成 x 加零点几 delta x， 对 吧？这个 delta x 可以 是正的，也可以是负的。这个等式称为有限增量公式。 这个有限增量公式，它是函数增量的准确表达式。 而我们在微分里面讲过， delta y 约等于函数在 x 处的导数乘 delta x， 这是一个 delta y 的 近似表达式，因为它的导数是在 x 处取得，取得啊， 这个就不相等。而我们这个导数是在哪里呢？在 x 到 x 加 delta x 之间的某一点取得。这两个公式各有各的用途啊， 下面这个在计算机里面有用。上面这个呢，在理论中常常有用啊，在一些推导里面有时候要用到这个有限增量公式。 现在我们来看这样个例子，验证下面这个函数 f s 等于 x， 三方减 x 在 区间零到二上满足拉格朗斯公式定义的条件，并求出相应的克赛，就是那个满足那个等式的克赛啊，在零到二这个区间内求 这个条件，很显然就是连续性，可导性。多项式函数处处连续，处处可导，所以我们说这个函数显然在这个曲线上连续并且可导。 下面我们就要求出这个 case 啊，满足这个等式的 case， 那 我们就要先把导数求出来。 x 三方减 x 的 导数是三十平方减一，我们令导数等于什么呢？另一端是什么？另一端是 函数值在两个端点的差除以两个端点的差。 f 二减 f， 零除以二减零， f 零是零， f 二是八减二，六六除以二等于三，所以我们就要找到倒数等于三的点， 那这个很容易了啊，我们把这个一移过来，三， s 平方等于四，再把三除过来再开放。 x 等于正负，根号三分之二， 但是我们要求的是零到二这个区间内的这个数，所以带负号这一项把它舍去， 我们要的就是带正号的这一项。 ksi 等于根号三分之二，它属于根号三分之二是一点几， 它在这个区间内啊，而且它满足 f 二减 f， 零除以二减零等于函数在这点的导数， 这样就验证了拉格朗次中值定律的结论也是成立的，也就说我们把这一点，这种点找到了啊，满足这个等式的点找到了。 嗯，这个红色的曲线是 y 等于 x 三方减 x 的 图形哈，那么在零到二这个曲线内存在这样一点，这个点所对应的曲线上的点的切线和这两点的连线平行。 下面我们来评讲两道题型。十三题， c f s g s 在 b 区间 a b 上连续开局间 a b 内可导，证明存在这个一个点，可赛属于这个开局间，使得这个等式成立。 这个题型我们在上一讲用罗尔定律来加以证明，但是呢，比较复杂，现在我们用拉格朗次中次定律再来证明一次啊。 嗯，我们曾经说过啊，这个二阶行列式是左上角和右下角这两个数的乘积，减去右上角左下角这两个数的乘积，所以我们把它变形啊，把它展开 左边就变成 f a 减 g b 呃，乘 g b 减 f b 乘 g a。 同样这个二角函数也是 f a 乘 g 再可算出的导数减 g， a 乘上 f， 再可算出的导数 cos 来乘上 b 减 a。 下面我们要证明这个等式成立啊。这里我们做这样一个辅助函数，就是 相当于我们可以把这个中括号里面的个 k 赛换成 x 啊，来作为辅助函数。大 f x 等于 f a 小 f a g x 减小 f x g a 好， 那么这个大 f x 由于 g x 和小 f x 都满足 b 卷上连续开卷的可导，那么通过这样的运算以后，它仍然是连续可导的啊，所以大 f x 也满足拉格朗斯分支定律的条件。所以根据拉格朗斯分支定律， 就存在一个 k 赛属于这个开区间，使得在呃，使得大 f b 减大 fa 等于 b 减 a 乘上大 f 在 k 处的导数。 好，我们把这个 b 带入这个大 fa 里面去，就得到小 fa 及 b 减小 b 及 a， 对 不对？再把 a 带进去， 就是这个啊，导数，我们看啊，导数就是 g 的 导数乘小 fa 减小 f 的 导数乘 ga， 再把 k 先带进去啊，带进去后 cos 来乘以 b 减 a， 但是我们看啊，这个综合号，这两项抵消了啊，它们都是一样的，一减等于零，就剩下前面这个，这个叉右边不变，我们把 b 减 a 写到前面来，那这就是上面这个等式啊。 所以我们做这样一个辅助函数的话，用拉格拉斯公式定义就可以证明这个等式 啊。另外，如果我们取 f x 等于一，那么左边这个行列式的第一行就是两个一，呃，右边这个行列式呢？ fa 还是一，这个一，一的导数是零呢？ 然后我们用行列式的这个运算运算率，左边就得到 g， b 减 ga， 右边得到 g， 在 可算数的导数乘一减零，再乘以 b 减 a。 大家看，这恰好是拉格朗斯宗日定律的结论啊，所以这个体系的结论应该说是拉格朗斯宗日定律的推广啊。拉格朗斯宗日定律是它的特例，是它的特例。 我们再看这道题，这是教材总题三的四题， c f 的 导数，当 x 去无穷大时，这个导数的极限等于 k。 现在来求 f x 加 a 减 f， x 当 x 去无穷大时的极限。 注意啊，这个导数，这个导数就是说它处处都存在啊，所以这个函数就满足了满足拉格朗次中值定律的条件了。现在我们来看，我们看啊， 这个是两个函数值的差，这就想到用拉格朗次中值定律，在 x 和 x 加 x， 在 x 和 x 加 a 之间啊，函数值的差 等于质变量的差，乘以这两点中间某一点的导数， 这个点我们用 k 三 x 来表示啊，那这个 x 加 a 减 x 就是 a 了，所以我们就得到 a 乘以 f 在 这两点中间某一点 cos x 处的导数啊，现在我们来取极限，原来这个极限就等于 a 乘 f 在 cos x 处的导数，当 x 去无穷大时的极限。 现在我们看啊，这个 cos x 加在 x 和 x 加 e 之间，随着 x 去无穷大，这个 cos x 也要去无穷大， 因此我们就可以把这个 k x 换成 x 来取极限，因为他们的趋势是一致的，对吧？只要这个极限存在，这个极限就等于这个极限，而这个极限是存在的，等于 k 好，它等于 k， 再乘以 a 就 得到 a 乘 k， 所以 这个题用拉格朗夫公式的零，把这两个函数的差变成这个形式，这个就是我们说的有限增量公式嘛，对吧？然后再来取极限就可以了。 最后我们来评讲一道考研题，这道考研题也是教材总习第三、二题的一题，设在 b 选项零到一上，函数的二节导数大于零，这下列不等式成立的是哪一个啊？ 这里面主要是比较 f 在 一处的导数， f 在 零处的导数和 f 一 减 f 零的大小关系啊，大小关系这里面涉及到二解，导数大于零怎么用呢？这个条件 可以证明啊，我们以后可以证明。现在我们说一下啊，这个在高中大家也讲也讲过，就是在一个区间上，如果导数大于零的话，函数就是单调增加的， 我们现在可以来证明一下啊，很很容易。我们假设 x 二大于 x 一， 对吧？那么 f x 一 减 f x 二，根据拉格朗公式定义， 就等于 x 一 减 x 二乘以这两点中间某一点的导数，但是导数大于零，对不对？我们就可以，而且这个 x 一 减 x 二是负的， 对不对？这个是正的，就是负的，那这个乘起来是负的，就小于零呢？从而我们就得到 f x 一 小于 f x 二， 换句话说，或者说 f x 二大于 f x 一， 也就说自变量越大，函数值越大，所以函数就单调增加。好，现在二阶导数大于零， 那一切导数就应该是单调增加的，对不对？所以导数就单调增加，那么自变量越大，导数就越大，在这个区间内。 好，然后 f 一 减 f 零呢？又用拉格拉斯公式定义，就等于一减零，乘以中间某一点的导数，一减零就是一，所以这就是某一点的导数， 这个 k 塞呢，在零和一之间啊。然后利用导数的单调性，这点的导数小于一处的导数，又大于零处的导数， 所以我们就得到这个不等式，而中间就是 f 一 减 f 零，因此我们就得到 f 一 减 f 零小于 f 在 一处的导数，大于它在零处的导数。 那我们看应该选哪一个呢？好，应该选 b。 大家看 f 一 减 f， 等于 f 在 零处的导数，小于 f 在 一处的导数，所以我们选 b 啊，选 b。 所以 这个题呢，要用到拉格朗斯公式定义，还要用到二阶导数大于零，一阶导数，它就叫增加 好。拉格朗斯公式定义的 d 部分，我们就讲到这里。

利用拉格朗日中直定理球极限，大家学习了高数这么久，正切函数一定认识吧？ 坦金特阿斯比 x 的极限会算吧？指数函数见过吧，那么这个函数的极限呢？ 想必高数三巨头各位一定听说过吧， 那拉格朗日中指定里的大名一定不会忘记吧？那这道题我们该怎样来计算呢？给大家五秒钟简单的思考一下。 and me 密指函数 a 的 b 次方形我们先来指数化 b， 用对数横等式 a 的 b 次方等于 e 的烙音 a 的 b 次方，那么原式就等于 由烙阴 a 除 b 等于烙阴减烙阴 b 可以得到。 接下来由拉格朗日中职定理可只存在一个可赛界于坦京特岸 与 x 之间，使得函数在可赛出的导数等于这个式子简单的变换后可以得到。在前几节课程的学习中，我们知 x 趋近于零时， 坦京特 x 与 x 等价，可赛界于坦京特 x 与 x 之间可以得到。 所以上是等于等价无穷小后可以得到。线性组合等价无穷小后可以得到 月份，即最终答案为三次根号下译，以上就是本节课程主要内容，你学会了吗？关注我，学习更多高等数学知识！

一分钟告诉你考研数学求极限易错点，给你保住五分！首先哦，这几个常用极限直接背过。需要注意的是，一的 x 四方还有 arctenes， 去于无穷的时候要分清是左无穷还是右无穷。在极限计算中一共有七种类型，朋友，我看你就头大，别着急，一共其实就两类。咱先说最重要的零比零型吧，有人说等价如胸小，你会发现 有很多情况下他是不适用的，所以说咱们得用胎漏公式，但注意，如果上下层这个接触展开的不一样，那必错。第二种情况就是函数形态相同的情况下，这种情况下必须拉格朗是中指定理，直接秒杀。咱再说这个无穷比无穷，行，别着急着用落笔， 看看分子分母中咱直接处以最大的这一个，直接秒掉。咱们看一下这种无穷险无穷型给你三秒钟思考，它的核心原理就是强行把分子漏出来，变成零比零型，你看这不就解决了。然后就是第二种极限类型了，刚才说了分式类型，现在就是说一的无穷次方。

宝子们，今天我们要讲的是拉格朗日定律在极限中的应用，给大家思考五秒钟，看看这道题目有没有思路吧！ 在讲这道题目之前，我先来给大家回忆一下拉格朗日终止定律的两个条件和一个结论。如果 f x 在 b 区间内连续在开区间内可导的话， 那么它在这个开区间内就至少可以找到一点，使得那一点的导数等于 f b 减 f a 除上 b 减 a。 所以 我们如果令 f x 等于阿克贪金 x 的 话，则这个函数就可以在 n 到 n 加一这各区间内使用拉格朗日定律， 此时 f 一 撇的克西就等于 ark 贪金 n 加一减去 ark 贪金 n， 即一加克西平方分之一就等于 ark 贪金 n 加一减去 ark 贪金 n。 所以 原式可以写成 lim 值 n 趋向于无穷大时， n 方程上一加克西平方分之一， 而这个数列的范围可以进一步限制在一加上括号一加 m 的 平方分之 m 平方到一加 m 平方分之 m 平方之中。并且这两个端点数列的极限值都是一， 所以尤加逼准则我们就可以知道最终的数列极限结果为一，大家看看有没有做对呢？我这里有两道新的极限题，看看你们能不能用拉格朗日定律把它做出来吧！把你们的答案放在评论区哦，我会单独批改哒！