七年级上册数学几何周报沪科版

这节课我们学线段的运算，在直线上画一个线段 ab 等于 a， 然后在 ab 的 延长线上画线段 bc 等于 b， 此时线段 ac 就是 a 和 b 的 和， 我们记作 ac 等于 a 加 b。 如果在线段 ab 上画线段 b、 d 等于 b， 那 么线段 ad 就是 a 与 b 的 差，记作 ad 等于 a 减 b。 我们来看一个题，如图，点 bc 在 线段 a、 d 上，则 ab 加 bc 等于什么？ ab 是 这一段， bc 是 这一段，那它俩相加是不是就是这一段？所以这块应该是 ac？ 再看一下 a、 d 减 c， d 等于什么？ a、 d 等于这一段， c、 d 等于这一段，那蓝色这一段减去紫色的这段是不是就等于这一段？所以 a、 d 减 c， d 等于 a、 c。 再来看一下 bc 等于谁减谁，还等于谁减谁。我们先找一下哪些线段包含 bc， a、 c 是 不是包含 bc， 那 我们把 a、 c 里的这一段减掉是不是就可以了？所以 bc 等于 a， c 减 ab， 同理， b、 d 是 不是也包含 bc？ 那 我们把这块减去是不是就可以了？所以 bc 还等于 b， d 减 c、 d。 再来看一个题，已知线段 ab 画一条线段 ab， 使 ab 等于二 a 减 b， 二 a 是 什么？二 a 是 两个 a 相加，我们先画一个 a， 以这个点为端点，在它的延长线上再画一个 a， 那这一段是不是就是二 a 减 b， 就是 应该在这个线段内画线段 b， 用左边的端点画也行，用右边的端点画也行，我用右边的端点画这段是 b， 那 么这段就应该是二 a 减 b。 最后不要忘了标上 a 和 b 来表示这两个端点。 如图，点 m， 把线段 a、 b 的 中点， 如果说 m 是 线段 ab 的 中点，那么 am 等于 bm 等于二分之一 ab 或者 ab 等于二 am 还等于二 bm。 反之，如果说 am 等于 bm， 或者说 am 等于二分之一 ab， 那 么 m 就是 线段 ab 的 中点。 类似的还有三等分点和四等分点。三等分点就是将线段 ab 的 中点，就是将线段平均分成四份。 如果 m、 n 是 线段 ab 的 三等分点，那么 am 等于 m， n 等于 nb， 等于三分之一 ab。 反之，如果说 am 等于 m、 n 等于 nb， 等于三分之一 ab， 那 么点 m、 n 是 线段 ab 的 三等分点。 如果说点 m、 n、 p 是 线段 ab 的 四等分点，那么 am 等于 m、 n 等于 np， 等于 pb 等于四分之一 ab。 反之，如果说 am 等于 m、 n 等于 np， 等于 pb 等于四分之一 ab， 那 么点 m、 n、 p 是 线段 ab 的 四等分点。 我们来做一个练习，如果 a、 b 等于六厘米点 c 是 线段 a、 b 的 中点点 d 是 线段 c、 b 的 中点，求线段 a、 d 的 长是多少？其中没有给我们图，那我们就自己画一个图，先画出现段 a、 b、 c 是 a、 b 的 中点，标出点 c 的 位置， d 是 线段 c、 b 的 中点，再标出 d 的 位置。问题是求线段 a、 d 的 长度， a、 d 是 这块我们先看看根据已知条件能得到哪些线段的长度， c 是 线段 a、 b 的 中点， ab 的 长度有，所以我们是不是可以得到 a、 c 和 c、 b 的 长度点 d 是 线段 c、 b 的 中点，线段 c、 b 的 长度我们能求出来，所以线段 c、 d 和 d、 b 是 不是也可以求出来？线段 a、 d 等于什么？ 它是不是等于 a、 c 加上 c、 d？ 这个题的整体思路有了，我们写一下步骤，先写结，因为 c 是 线段 ab 的 中点， 所以 ac 等于 c， b 等于二分之一， ab 等于二分之一，乘以六等于三厘米。单位也不要忘了写，因为 d 是 线段 c、 b 的 中点，所以 c、 d 等于二分之一， c、 b 等于二分之一，乘以三等于一点五厘米。 所以 a、 d 等于 a， c 加 c， d 等于三，加一点五，等于四点五厘米。好了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

这期视频我们来解锁一项新技能，即几何问题的渐比设参法。如图， b、 c 是 线段 a、 d 上的两点， b 和 c 把线段 a、 d 分 成三段，题目给出了这三段的长度比例， e 和 f 分 别是 a、 b、 c、 d 的 中点，我们可以用等幺三角形将其标出来， 可见这是一个线段双终点问题，是上期视频线段双终点问题汇总中的第三种情形，即有交叉重叠部分。 由上期的结论，我们可以得到两个终点的距离。下面就要用到本期我们要解锁的一项新技能，见笔设参法。因为题目给出了三段线段的长度之比，三比一比四，那么我们可以设一个参数 x， 我们设一个参数 x 之后，根据比例关系，那么 a、 c 就 等于三， x， c， b 就 等于 x， b、 d 等于四 x 根据线段关系我们可以得到，又因为已知条件已经给我们 e、 f 等于十四，所以求解这个方程就可以得到 x 等于四，然后根据线段的关系，我们就可以得到 a、 b 和 c、 d 的 长度。最后我们来小结一下， 看到已知条件，给出多条线段的比例关系，我们就可以设置参数 x， 然后根据线段关系列出含有 x 的 方程，最后求出 x， 就 可以求出多条线段的长度，你学会了吗？

今天我们来学习七年级上册数学第六章第一节几何图形，千万别看这个三角形，老张怕烧坏你的 cpu！ 看起来像是个三角形成的夹角，却又变回了直角，这种视觉反差下，完全搞不懂它是平面或者立体， 也根本分辨不出三角形的具体方向与走向，它就是被誉为最不可能物体的彭罗斯三角。在破解它的奥秘前，我们要先从基础的几何图形说起。图上这些都是我们常见的立体图形，我们一个一个来看，这个就是由我们学过的三角形在空间中沿垂直方向向上延伸，就形成了这个立体 图形，它叫三棱柱，还有四棱柱、五棱柱、六棱柱。关于棱柱的特点，其实大家都能看出来，首先上下等宽，像这样的就不是棱柱。最后底面 面是几边形就是几棱柱，里面是三角形就是三棱柱，里面是四边形就是四棱柱。我们之前就接触过的长方形和正方就属于四棱柱。还有一种和棱柱很像的立体图形，最熟知的就是埃及的金字塔，这种立体图形叫做棱锥，我们可以看到棱锥的顶端是尖尖的，它和棱柱既有相同点也有不同 点。首先棱锥只有一个，底面，也是多边形，棱锥有一个尖，叫做棱锥的顶点和棱柱一样，底面是几边形，就叫做几棱锥。既然棱柱和棱锥的底面都是多边形，那么如果把它们的底面变成一个圆呢？我们还是会得到两种立体图形，一个叫圆柱，另一个叫圆锥。关于圆柱，我们既可以看作是圆向上延伸得到的， 也可以看作是一个长方形，绕一边旋转三百六十度得到的。至于圆锥怎么来的，大家试试脑补一下， 答案是 c， 来转一下，你答对了吗？好，关于柱体和椎体的特点，老张都给大家整理好了截图保存。总结一下上面几何图形，不同面的形状，靠转动就能明确分辨出。回到视频开始的问题，这种无法在三维空间实现的彭罗斯三角，换个角度看是什么样呢？你会发现这只是视觉误差，还没完。关于立体图， 弧形，还有一种叫做球，大家平时玩的乒乓球、足球、篮球都属于球，但是要注意，橄榄球不是我们数学中定义的球。我们说球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体也叫做球体，像圆一样，球也有一个球心，球面上每一点到球心的距离都是相等的。虽然上面提到的都是立体 图形。比如从正面看长方体，我们会看到一个长方形像这样从一个方向看过去形成的图像就是矢图。 立体图形的一个仕图就代表着它在一个方向上的形状，比如长方体，从正面看是一个长方形，这就是一个仕图。但从左边看是一个正方形，也是它的仕图。这说明我们要从不同的方向观察，才能更加全面的反映立体图形的形状。在实际应用中，我们一般画一个 图形，从三个方向看过去的样子，分别是从正面、左面和上面来看，这就是它的三仕图，也叫主仕图、左仕图和俯视图。通过三仕图 图，我们就能得到一个立体图形的形状，比如长方体，它的主视图和俯视图都是长方形，而左视图则是个正方形。再比如这个三棱柱，从正面看它是一个长方形，这条棱我们也能看见，所以也要加上中间留下这条竖线。从左面看，它是一个长方形，从上面看，它是个三角形，所以它的主视图、左视图和俯视图 就分别是这样。注意，题目中一般会把主式图画在左上角，它的右侧是左式图，下方是俯视图，基本位置都是固定的。还有圆柱的三式图，这是圆锥的三式图，注意，俯视图里千万别露了圆中间的点，这是四棱锥的三式图，同样要注意，它的俯视图最简单的就是球体的三式图 了，都是一个人。虽然现在看到的三式图好像很简单，但是考试我们遇到的往往是这样的。老张这里温馨提示，一定要注意遮挡关系。

朋友们，今天我们一起来学习四点一几何图形， 其实同学们都知道，我们生活在一个五彩缤纷的世界里，我们的周围有丰富多彩的图形，下面就让我们一起来欣赏这丰富多彩的图形。首先来看第一张图片， 球迷说，它漂亮不漂亮？对，非常漂亮，它漂亮在哪呢？颜色，对，色彩鲜艳，还有呢？形状，对，它的形状有点像五角星的形状啊，特别美。 大家再看这是什么呢？你们猜的很好，这是雪花，这是一片放大的雪花，你们再看它的外观 很美，对，它的外观很美，另外它还晶莹剔透，这都是自然界的一些图片。另外我们看 这张图片是蜜蜂猪的蜂巢， 我们来了解一下蜂巢，蜂巢是严格的六角柱形体，它的一端是六 六角形开口，大家可以仔细的看图线 好，老师把其中一个蜂巢用线勾勒出来了，是不是六角形，那如果你看不清，咱们可以把它放大一下， 数一数几条边，几个角，所以呢，我们把它叫做六角形，它的一端是六角形开口， 另一端则是封闭的六角棱锥体的底由三个相同的菱形组成， 那么神奇的就是这里的菱形，有不少科学家对此做出了探探究探索。十八世纪初，法国学者马拉尔马拉尔奇曾经专门测量过 大量蜂巢的尺寸，就是他为了研究他测量过大量蜂巢的尺寸， 结果令他感到十分惊讶。这些蜂巢组成底盘的菱形，也就是刚才我们说前面提到的三个相同的菱形， 他所有钝角都是一百零九度二十八分。同学们注意啊，他是所有 钝角都是一百零九度二十八分，我们想想，这个我们用两角器都很难保证每个角画的都是那么准确，而他所有的锐角都是 七十度三十二分。后来啊，经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛琳，从理论上的计算 就是更神奇了啊！同学们看，从理论上计算之后发会发现，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器。 同学们仔细要体会这句话，消耗最少的材料，又要制成最大的容器，最大的菱形容器，也正是这个角度， 朋友们想想看，是不是非常神奇啊！就从这个意义上说，蜜蜂称得上是天才的数学家，天才的设计师。 这个蜂巢欣赏完之后，我们说这个人类啊，也从大自然当中汲取智慧。 古埃及建造的金字塔，原高一百四 十六点五米，同学们可以用心的体会一下，一百四十六点五米，那得是多高呀啊，五十多层楼高，如此高大，却建造的这样精美。 此外，金字塔的四个面与东南西北四个方向正对， 底面是一个正方形，正方形的两边与正北偏差分别只有三度五十分和五度三十分。 这个三度五十分和五度三十分是一个非常小的角度，也就是说，他与正北的偏差特别小。 由此可见，古埃及人已掌握了丰富的几何知识，这是古代人从自然界当中汲取智慧，建造 如此高大的建筑物，还有如此精美，那同学们知道不知道现在最高的楼房是多高？ 哎，还真有同学知道，说的很好，是哈利法塔，他多高呢？同学们一起看是八百二十八米， 这是古埃及。那么在我们现代的中国，看到这个图片，同学们肯定立即反映出他是国家体育场鸟 鸟巢队。国家体育场鸟巢，它的外形非常美丽，非常漂亮，同时呢，它还有 三个方面的最新的设计理念。下面呢，我们一起来看看鸟巢这三个方面的设计理念。第一个方面是绿色设计。 鸟巢的设计一直贯穿着节俭办奥运和可持续发展的理念， 在满足奥运使用功能的前提下，充分考虑永久设施和临时设施的平衡。 另外一个方面，科技设计方面，通过采用可靠、成熟、先进的 高新技术成果，将国家体育场建设成为一个具有以人为本的信息服务、方便可靠的通信手段、先进舒适的比赛环境和坚实可靠的安全保障的特点 这样的一个新型场馆。第三个方面，人文设计方面。 国家体育场的设计有助于普及奥林匹克精神，弘扬中华民族的优秀传统文化，并应充分考虑各类人员的需求，这里的各类人员，比如 残疾人，还有行动障碍人员，然后建立适宜的 人文环境。因此啊，鸟巢不仅它的外形美观，还有这样的先进的设计理念。那我们还知道国家体育场另一个建筑， 那就是水立方。水立方看似简单的方盒子，它是中国传统文化和现代科技共同搭建而成的。中国人认为，没有规矩不成方圆， 按照制定出来的规矩做事，就可以获得整体的和谐统一。在中国传统文化中，天圆地方的设计思想催生了水立方，他与 圆形的鸟巢、国家体育场相互呼应，相得益彰。方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常理论为代表的社会生活规则。 而这个方盒子又能够最佳体现国家游泳中心的多功能要求，从而实现了传统文化与建筑功能的完美结合。 这是我们现代中国两个比较有特点的建筑。 我们继续来欣赏我们生我们的周围还有哪些图片？这是高铁，相信同学们一定也都坐过高， 但是高铁的车头很有特点，他像什么呢？对，就像一个子弹头。那么这个流线型的头型与之前方方正正的绿皮车有明显的区别， 那他有什么样的优点？那这里蕴含着什么样的科学道理呢？他的目的是优化其空气动力学性能， 主要是降低空气阻力、压力波、降低噪声等，从而呢还能够提高运行速度。再看一个啊，当我， 我们看完了这些图片的时候啊，我们想水立方当中有我们，是否有我们熟悉的图形呢？ 嗯，这个同学说的很好，是长方体，小学里我们就对长方体有了认识。 那在金字塔当中呢，能够看到什么样的图形？这个图对同学们来说是陌生的，那在这个金字塔当中呀，我们看他应该是得到这样一个图形， 他的底面是一个正方形。通过刚才的那个资料，对那些资料对金字塔的介绍， 我们知道他的底面是一个正方形，他的侧面我们数一数，一共有四个面，每一个面呢都是三角形， 然后这四个三角形有一个公共的顶点，整个的形状像一个锥子，再加上呢，他有四条棱，于是呢，我们就把这个叫四棱锥， 相信这个图片里的图形里的这个东西，同学们一定都熟悉，他是什么呀？伸缩门下面请同学们仔细观察。 伸缩门上有这样一个图形，那同学们说，对，是平行四边形，那我想问同学们一个问题，这里的平行四边形，它的形状会不会改变 哦？会改变，同学们都认为会改变，那么这个形状你怎么就想象出他会改变了呢？ 对了，同学们说的很好，现在伸缩门是一种关闭的状态， 那如果需要有人和车进去的时候，伸缩门是要打开的，那伸缩门打开的时候，刚才老师标的这个拼音，四边形，它的形状， 同学们想想想看，对，可想而知，他的形状一定会发生改变，那否则的话，伸缩门那就不成为伸缩门，那就开不开了。 那么平行四边形，在我们看伸缩门打开的时候，它的形状是可以发生改变的，因此呢，他的现在的这种形状是不稳定，这也是平行四边形 一个性质，也就是不稳定性，而这个伸缩门就是利用了平行四边形的这种不稳定性来建造。 我们继续欣赏生活中的另外一个图片，这也是同学们最熟悉的，很多同 同学也都骑着自行车来上学，那请注意观察自行车里的哎，这个形状，哎，同学反应很快，三角形， 那么同学们也可以设想一下，这个三角形的形状会不会发生改变，不会。对了，如果三角形的形状也像刚才的平行四边形一样能够发生改变，那么这个自行车就没法骑了， 那平行四边形的形状能够发生改变，我们称之为平行四边形的不稳定性。现在三角形的形状是固定的，不能改变，那么就是三角形的对 三角形的稳定性，那么三角形的这种稳定性也是我们这个建造自行车啊所依据的东西。 下面我们继续来欣赏。在同学们看，对同学们来说的左边那个图是一个钟表，它的外形是 熟悉的圆形，这是我们课本的封面，它的外框是长方形 茶杯，嗯，老师每天喝水用的茶杯，它是一个，也是我们在小学里就认识的圆柱体。 好了，通过对刚才这些图形的认识，我们得到了长方体、四棱锥、 平行四边形，三角形，圆形，长方形、圆柱体。 当我们再看到这些图形的时候，已经完全没有了 它原有的颜色，我们也不再关注它的材料， 它的重量，它的构成，而只看到了它的什么呢？只看到了它的 形状，看到了它的大小，这样的话我们就得到了几何图形。好，下面同学们一起把几何图形的定义再熟悉一下， 我是和你们一起来重重新熟悉一下，定义我们周围的物体多姿多彩，如果只研究他们的形状和大小， 而不去考虑物体的颜色、重量，材料构成等性质，就得到了几何图形，这就是我们要研究的几何图形。下面呢， 让我们再进一步认识即可。图形，这是最熟悉的，下面同学们一起再说一遍，第一个长方形，第二个圆形，第三个三角形，最后一个正方形， 这四个图形他们有一个共同的特点。 那有同学纳闷了，他们的形状各异，还有什么共同的特点呢？我们看这四个图形 都在每一个图形上面的所有点是不是都在同一个平面内？用心体会一下，对着这看这个观察的 图形，然后想一下老师的这个问题，长方形的所有上面的所有点是不是在同一个平面内？再看圆形上面的所有点是不是在同一个平面内？ 三角形，正方形，于是我们发现他们的这四个图形的共同点就是每个图形上的所有点都在同一个平面的，因此我们把这一类图形就叫做 平面图形。好，同学们一起把这个定义平面图形的定义自己默读一下，熟悉一下。是图形的 所有点都在同一个平面内，这样的图形叫做平面图形。那除了这四个图形是平面图形以外，图片在结合的定义。回忆一下我们所学过的图形当中，还有哪些是平面图形？ 同学们可以举一些例子。 嗯，说的很好，线段角，梯形、 直角三角形等，腰直角三角形等等，这样的呢 例子很多， 好，我们继续往下看 哦。这是长方体，非常熟悉的长方体，那么它是平面图形吗？不是，它为什么不是平面图形？ 对，长方体上的所有点并不都在同一个平面面。同学们回答的很好， 因为它就不符合平面图形的定义。所有点不在同一个平面内的图形，那不是平面图形。我们把它叫做立体图形， 这是什么圆柱体？它是什么图形？ 是平面图形还是立体图形？对面说对了，他是立体图形，图形的所有点就不都不，都在同一个平面内。 球球体立体图形， 圆锥立体图形。哎，这就是刚才我们说从古埃及金字塔看出的一个图形，这个就叫四棱锥立体图形。 那么生活当中啊，哦，这个，这个呢是什么呢？这个是能住， 再数一数，它有三条棱，我们把它叫做三棱柱， 那就是说同学们注意看，在我们屏幕上显示出来的长方体、圆柱、球体圆锥、四棱锥、三棱柱 都符合立体图形的定义，他们这些都是立体图形，而立体图形我们就简称其 长方体、圆柱、圆锥、四棱锥球，都是几何体，简称体。 那么生活当中啊，也会有类似这些图形的物体，同学们可以刻下留心观察周围的事物，再举出一些 啊，像，类似，像这些图形的物体。 下面呢，我们来做一个练习，给同学们一会的思考时间。 第一个很好连球，第二个很好连长方体，第三个圆柱体，第四个圆锥。 啊，同学们说这个是五棱柱，虽然说他是陌生的，然后后面一个，最后一个，这个是正方体，大家是最熟悉的，那剩下的也只能是他了。那刚才与我们 介绍的三棱柱是非常类似的，这个就是比刚才介绍的三棱柱多了几条棱呢？多了两条棱，因此呢，我们把它叫做五棱柱。 那同学们看，这是我们熟悉的长方体，根据刚才所学的知识，他是体，对，他是体，那他是 立体图形还是平面图形？嗯，它是立体图形，因为它所有点不都在同一个平面内，这个解释非常好，那如果说从正面看， 那同学们看到了一个什么呢？哎，从正面看啊，我们只看他的一个面，背后的面呢，都会被遮盖住，这个时候我们看到的 是一个长方形，不再是立体图形了，而是我们熟悉的平面图形。那如果从左面看，那也只能看到一个面，得到的长方形也是平面图形。那如果说从上面看 啊，也是平面图形，那看来这个立体图形，如果我们从他的不同的侧面去看，不同的方向 去看，得到的图形都是平面图形。从三个不同的角度，从三个方向分别是正面、左面、上面得到了 这个立体图形的啊，从三个方面看到的图形，我们把它叫做是它的三视图，其中呢，从正面看，我们又把它叫做主视图。从左面看的呢，左视图，从上面看的是俯视图。 接下来啊，老师又给出了圆柱球、 圆锥、四棱锥、三棱柱， 请同学们仿照我们刚才对长方体 他的研究，从正面看得到什么图形，从左面看得到什么图形，从上面看又可以得到什么图形，并把它画在自己啊自己的草稿纸上， 给同学们几分钟的时间，同学们现在就开始画一画。 好，下面我们来看同学们做的对不对啊，老师在这里呢，把这个五个立体图形的 三视图分别呢画出来了，给同学们来对照一下，长方体，圆柱体啊，长方体，刚才我们已经讲过圆柱体的，从正面看 长方形，左面看一样的长方形，从上面看得到的是圆球，无论从哪个方向看都是圆 圆锥，从正面看，三角形，等腰三角形。从左面看， 等腰三角形，一样大的等腰三角形，从上面看是一个什么呢？圆对圆。哎， 有的同学细心的同学会发现，圆的中间有一个点，就是圆锥的顶点，那个尖在头到下面，于是呢，有一个点 自然锥，正面看，左面看都是一个等腰三角形， 从上面看，朋友们看是一个长方形。 另外呢，还可以画出它的对角线，三棱三棱柱。 从正面看，大家看，从正面看，后面的东西虽然被挡住了，但是我们能够看到两个侧面交界的地方 啊，我们要用虚线给他画出来。从左面看就是一个长方形，从上面看是三角形，再做一个拓展练习，那么圆柱 刚才我们已经画出了它的三式图。那同学们看这个长方形， 我们说它是从正面看，那么这个长方形的长是多少呢？对，是一百五十宽呢。哎，五十这个长方形，这两个一样大，那么圆是从上面看下去， 那么这个圆的直径也就是圆柱体底面圆的直径是五十。 我们看这题选选 d。 对了，因为长方形和梯形都是平面图形，只有三四五六是球，属于立体图形。 那么通过本节课的学习，你有哪些新认识呢？啊？同学们在下面回忆一下，并和同桌进行交流。 好，那么你认为今后我们还需要研究几何哪些方面的问题呢？ 好了，同学们，这节课呢，我们就上到这。

七、上数学最难的几何图形二十八大易错母题全部吃透，考试没有丢分的二、五星。七、上几何图形初步二十八大易错题靶向突破，精选历年期末常见易错真题一、常见几何题二、组合几何题的构成。 三、几何体中的点棱面。四、三、四图五、几何体展开图问题六、展开图计算几何体的表面几何体积。 十、直线、射线、线段的联系与区别。十八角的四则运算。十九、方向角相关的计算。二十八、角度中的动角、定角角关系折叠等问题。这个是重难点，有完整版。

线段双中点问题是期上数学的重点。我们先来看第一种情形，线段长度为 n， c 点为线段 a、 b 上的一点 c 在 两个端点之间，可见 c。 把线段 ab 分 割为 a、 c 和 b、 c 两条线段， m 和 n 分 别为线段 a、 c 和 b c 的 中点， 求这两个终点的距离及 m、 n 的 长度。这是最易经典也是最简单的线段双中点问题。我们可以用画等幺三角形的方法把线段中点标出来，这种方法非常直观， 由中点的定义我们可以得到。大家有没有发现，双中点距离 m、 n， 它只与线段 a、 b 长度有关，与分割点 c 的 位置无关。这是线段双中点的一个重要结论， 大家可以记住这个结论，下次遇到如果是填空题或选择题，这个结论是可以直接使用的。我们再来看第二种情形，如果 c 点呢？它跑到线段 a、 b 啊，两个中点以外， 还是 a、 c 的 中点以外，还是 bc 的 中点？我们在图上标出来。这种情形下，双中点距离 mn 是 多少呢？ 不出所料，推导过程也不复杂，大家可以自己试一试。小结一下线段双中点问题，两个中点的距离只与等条线段 a、 b 长度有关， 而与分割点 c 的 位置无关，且分割点在线段 a、 b 的 端点以外，这个结论依然成立。这是线段双中点问题的两种最基本的情形， 即实现断双中点问题，还有多种变形。下期视频我们将其进行汇总介绍。例如，线段 a、 b 上有两个分割点 c 和 d， 还有另外一种情形呢，是线段上有两个分割点 c 和 d 啊，这种情形呢，是两条线段有重叠的情况，下期视频我们对这两种情形进行讲解。

结构提出问题，如何利用一张正多边形硬纸片制成一个无底的金字塔模型？在正多边形中，各点距离相等的点是正多边形的中心， 如图点 o 是 正 n 边形，纸片的中心沿虚线剪开，分割成多个三角形形状一样的大小， 组成一个无底金字塔，此时正 n 边形的中心变成了金字塔的顶点。来看这道题，第一道题补充， 三角形、正方形、正五边形面积均为一百八，就是这三个图形面积都是一百八。 我们来看这里，这个怎么填呢？ p o q 的 度数。 p o q 是 哪里？ p o q 是 这里， 就是我们可以发现这个，这个角加上这个角就是一个小三角形，加上一个平行四边形的两个角，我会发现这里同样有一组，所以这有，所以这这有三组，所以就是三百六十除以三， 三百六十除以三，一百二。那这边呢？这是四边形，就有四组，是一个三百六十除以四，等于九十度啊， 每个侧边的面积二十十五，这怎么出来的呢？ 这个的话， 前面三百六十 是 n 边形，我们主要是看这个二十，跟这个 n 有 什么关系？二十乘三，二十乘三 六十，六十再乘三八十，十五乘四，六十，是不是再乘四？对 试一下这个三，因为他是因为他这里，这里是三等分，那我们应该我们乘个三十，这个 三乘三九二九，一百八十度。四乘三，三四十二十二，又乘十五， 一百八十度，哦，那就是 n 乘三，再乘着下面这个度数， 那等于等于一百八十嘛，那就是这里面积面积它是一百八十，所以是一百八十，一百八十除以 五乘三十二，所以这应该填十二 面积为 s， p、 o， q 的 度数。 q 这个度数跟面积没有关系，所以这还是这个就是三百六十除以 n 码 面积。面积我们刚刚算出来，这是一百八，一百八除以三 n， 那 面积变成了 s， 那 就是三 n 分 之 s。 若想拼出每个侧面面积均为五十 cm 方的无底金字塔模型，要用正八边形纸片， 那每个侧面这上面我们已经求出了公式，每个侧面的面积为三分之 s， 那 我们知道三 n 分 之 s 就 等于这里的五十 cm， 那 五十 cm 有 什么不是？那这是一个正八边形，所以视频把它分成八分，所以要三百二十四。 二十四分之 s 等于五十，那么可以求得 s 等于一千二。

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学七年级上册第六章几何图形初步六点三点一角的概念。我们来看一下我们这节课的一个学习目标。第一个呢，我们要理解我们什么叫做角，我们角的相关概念和它的定义，掌握如何用我们几何语言来表示我们角。 第二个呢，就是要学会用我们的量角器去测量角的一个大小，然后认识我们角的单位，然后进行我们度分秒之间的换算。最后呢，就是我们要了解我们的方位角的概念。 好，这是我们的这节课的一个学习目标。我们先来复习一下我们之前学过的线段射线和直线，他们的表示方法，如何来表示呢？是不是我们线段可以表示线段 a， b， 也可以小写字母，同样的是不是我们的端点有两个可以 不能延伸，对吧？这是我们的线段，那我们射线呢？是不是说我们射线能同样的有一个端点，以及我们一方可以无限延伸？ 那最后再来看我们直线 a， b 和 a 有 两个端点，呃，有没有端点，然后呢，两边可以无限延伸，这是我们的直线射线和线段。再来看一下下面图中有几条线段呢？ 大家是不是可以数呀？有线段 a， b， a， c， a， d 和 a， e， b， c， b， d 啊，还有我们的 be， 对 吧？ cd， c， e， 最后是 d， e， 好， 这是我们的一个线段 啊，还有一个公式，大家可以记住，有二分之 n 乘 n 减一个，那就是有几个点我就带进去，有五乘以五减一，括号除以二，也就是五乘四，除以二也就等于十，所以说有十个线段，这个公式大家可以呃，感兴趣的话可以记一下啊。 好，那线段是我们的一种几何图形，我们来看一下啊。好，那线段是我们的一种几何图形，我们的基 脚也是我们的一种基本的几何图形，我们来看一下类比于我们线段来学一下，比如说我们下面四个四幅图中是不是我们的剪刀，我们的这里以及我们的棋盘，包括我们的圆规，还有我们的桌子，还有我们的钟表，还有我们的直角尺， 是不是都会涉及到我们的脚呀？也是，所以说我们的这个脚呢，也是来源于生活以及我们的这个，是吧？好，我们会发现他们都是我们脚的一个形形象。现在看一下我们第一个知识点呢，就是我们脚的定义， 通过我们上述呢和我们小学学过，我们来看一下，当我们有一条射线的时候呢，再来一条射线，这两个射线有什么样的一个关系呢？是不是说他们的端点一样呀？所以说当两个射线端点一样的时候，他们所之间所形成的这个 也就是说假角，对吧？就是我们所说的这个角。好，那我们角的第一个定义就是说当我们两个有公共端点的两条射线组成的图像叫做角， 那我们的所谓的我们的公共端点呢，就叫做我们角的顶点，两条射线边呢叫做角的边，这是我们角的静态定义，那静态定义大家一定要明白啊，两条射线并且有公共端点， 好，我们的顶点以及我们的边应该要知道。再来看一下，那我们角能否看作一条射线绕着它的端点进行旋转呢？比如说我们现在有一个射线 o a， 我 是不是从 o a 开始来转，那是不是我转到我的这里的位置，那你会发现我这两个所形成的这个是不是也是我们的所形成的一个角呀？同样的，如果说我转到这里是不是形成了平角， 那如果说我转到三百六十度，是不是转了一圈，也就是我们的周角呀？是不是周角是我们的三百六十度？所以说我们角的动态定义是不是说也可以看作是什么呀？一条射线绕着他的端点 旋转而成的，所以说角的静态定义有我们角的动态定义。大家要知道好，下面的图中哪些是角呢？这应该很简单吧，除了第二个，我们其他的都是，对吧？ 再来看一下下列说法，正确的是可以看一下啊，平角是一条直线，不对吧？我们一条射线就是一个轴，角也不对，两条射线组成的图形叫做角，这个也不对吧，如果说我们两条无没有相关的射线呢？一定是两边形成 两边，两个边成一条直线的角呢？是一个平角，这个是对的，所以说我们要清楚再来看， 那我们知道角之后呢，如何用我们符号语言来表示角呢？我们先来用这样的符号把它标叫做角，然后呢，我们可以用三个大写字母， a o b 和和我们的 b o a， 你 会发现我的 a o b 和我们的 b o a， 是 不是我们顶点放在中间，两边可以换呀？ 这是我们用我们大写字母，那如果说用一个字母呢？是不是我直接用角 o 来表示，也可以表示我们的这个角，对吧？ 好，那你再想一下，如果说我现在还有一条射线 oc， 此时我能不能说我的 boc 就是 角 o 呢？肯定是不行的吧，因为 你的角 o 如果用角 o 的 话，是不是现在有可能是他，也可能是他，也可能是他？所以说此时必须用三个来大写的字母来表示，这块一定要注意啊。 好，再来看，当我们把一个数字加上弧的时候，他也可以记作角 a， 同样的也可以记作我们的希腊字母角 r 法，这样的表示方法也是可以的，必须在图上标注之后，并且呢才能表示，并且能表示一个角，对吧？ 好，那此时我的角 e 能不能表示呢？是不能的，是因为此时他就有歧义了，对吧？ 好，我们角的表示三种，第一个我们用大写的字母三个，第二个呢，用一个简单的大写字母，第三个呢，就是我们的角一，角二，这三种表示办法，我们常用的是这个和这个，那角一和角二一般是大家自己标上来说的啊。好，所以说这个大家要知道， 我们来判断一下，下列表示正确的是，比如说 a、 c、 b 不 对吧，应该是 abc， 第二个 abc 也不对，然后第三个 abc 对 的，第四个角 b 和我们的角 a， 这个角 a 是 不对的，是吧？应该是角 b， 这个要清楚啊，同样的，下面图中表示我们角 d、 e、 f 的 图像，是啊，哪一个啊？是 c 吧，其他的都不对啊，我们可以看 好回答，我们来看一下，第一个写出图中能用一个字母来表示的，那是不是角的 a、 m、 n 都可以啊，应该是没有问题的。再来看下我们第二个写出图中以 b 为顶点的角，那是不是有好几个呀？比如说 abc， b， 呃， cbm 或者 abm 都是不是啊？好，角一和角二改写我们大写字母，那角一应该是 abc， 角二呢？应该是 bcn 或者是 nncb 都可以啊， 那我们学完角的表示，那我们想一下角的大小如何来表示呢？是不是我们可以把这个角给它量出来，用我们的量角器来量出来，比如说我们这个角等于四十度。 好，所以说我们用量角器可以量，那我们想一下，我们角呢，除了我们用我们的度数来表示，我们可以用度分秒，那度之后呢就是分，分之后就是秒，然后呢一个周角是三百六十分 一度呢，是把它分成六十份，然后呢一一份呢叫做一分，一分呢又把它分成六十秒，六十份，然后呢叫做秒。那如果说我们用我们这个来表示的话，就是一个轴角三百六十度，一个平角一百八 一度呢，等于六十分一分呢，等于六十秒，那此时呢，我们的角呢，就可以用我们的度分秒来表示了。我们以度分秒的来表示的话呢，叫做我们的角度制，同样的我们比如说把我们其他的比如说叫做弧度制压，或者是密度制压等等。 好，我们来看一下，当我们用我们的度分秒来表示我们的角的时候，如何来画呢？那一定是我们用度化成分化成秒的时候，一定是我们知道他两两之间是不是差了一个六十呀？大化小乘六十，小化大除六十，那是不是说五十七点三二度，是不是就可以？什么呀？ 化成五十七度，加上零点三二，那零点三二是不是可以乘以六十分？那就是十九点二，那十九点二呢？是不是十九分？然后零点二再乘六十分，最后化完就是它大化小用乘，乘什么呢？乘以它们之间的进值就可以了。那反过来呢？ 我们再来画一下，是不是我们依旧是小画大用除，然后呢？十七度六分三十六秒，是不是说也就是十七度加上六分，除以三十六，除以六十，然后呢再加上六点零，除以六十就可以了。所以说我们只用记住大画小用乘，小画大用除， 基本上就可以了，除多少呢？除以他们之间的近值，也就是六十。好快速的前后大化小，五乘六十，然后呢他再乘六十就可以了。好，然后呢三十八度，然后零点一五乘六十，也就是九，对吧？来，他应该化成除六十，零点六，再除六十，零点零一， 他呢零点一五乘六十，也就是二点五，对吧？好，然后这两个相等吗？不相等。那是不是说我们把它统一一下，我们把我们的这个化成我们的度数三十八点二度，那这个是我们三十八点一五，是不是很明显人家比他大？ 同样的，如果说我们除了量角器之外呢？是不是我们还可以用其他的一些工具测量？所以说我们借助我们的三角尺也可以画，我们知道我们的三角尺啊，有一个六十、三十和九十，有一个四十五、四十五和九十，所以说我们能够用这些来进行加减来画 好，比如说我们可以用我们的两角，用我们的三角尺来画出这些三十度、四十五度、六十度、七十五，是不是他俩加起来六十度呢？就等于两个六一百二，等于两个六十就可以了啊， 所以说我们借助我们手中的三角板可以画出很多的度数。好，然后再来看一下我们的方位角，那小学已经学过了，我们的方位角我们知道上北下南、左西右东，那我们来看一下八大方位，第一个东西南北应该比较好吧，比如说我们涉线 o a， 涉线 oc， 涉线 o d， 以及我们的东北、西北、东北、东南、西南、西北，我们射线 o e 和我们射线 o f 一定是正东正正西北、正东北，是吧？一定是偏四十五度。这个八大方位大家要记住应该是比较简单的。再来看一下我们的下列，比如说 射线 o a 呢？你看 o a 是 不是在北偏东多少四十度，然后呢？ o b 呢？是北偏西 oc 呢？是啊，南偏西，以及我们的 o d 呢？是不是就是南偏东二十度呀？这些方位角大家要清楚， 当我们有一艘货轮的时候呢，你会发现我们根据这艘货轮，他会在我们灯塔的发现灯塔在他的南偏东六十度方向，那是不是南偏东六十度就是 我们的灯塔呀？同时他在他的北偏东四十度，南偏西六十度，你会发现我根据我们所说的这个方位角，就能确定我们的一些位置，一定要知道哪个偏哪个以及偏多少，对吧？所以说大家一定要清楚啊。 好，那这些位置我们都能确定，那我们以他为，以他为顶点，就可以画出我们所谓的几个方位角，对吧？ 来，那我们当通巩固一下方角是比较简单的，我们来看一下下列说法正确的。是，我们来看一下正确答案，选 d。 为什么？你看一下第一个，两条直线相交不对吧，两条射线相交才能叫做角，并且呢，两条射线的公共端点是一样的。 好，两条具有公共端点的线段不对，两条具有公共点的射线组成的角。哎，这个也不对啊，我们说公共端点对吧，一定要强调公共端点。 第二个，下列说法不正确的。是啊，我们的 b， 你 们发现啊，射线 b o 和我们的 a o 分 别表示的是它两条边吗？不对吧，应该是不对的。那如果说让我画一下，应该是 b o， 是 这个，对吧？那 a o 呢？可能为 a o 呢？可能为这个 是吧？完全不是一回事啊，完全不是一回事，其他的都是正确的。来，直线是一个平角，不对吧，我们任何一个角都是由两个射线来构成。 图，一屁不在 b o c 的 a o c 的 内部，肯定在吧，因为我们射线可以无限延伸嘛，所以说，就在啊。来，他俩是同一个角， abc 和我们的 d b e， abc 和我们的 d b e 同一个角，对吧？ 来，再来看一下我们第四道题，图中有多少个角呢？其实大家数就可以了。来，图中的角都表示出来，然后用我们的啊，单独的 角 a 也能表示，用我们的 b a、 c 也能表示，所以说我们几种办法大家可以看清，然后进行表示就可以了啊。 好，一共有八个，然后呢，这些角就表示出来了啊，再来看一下垃圾打捞船呢， a 和 b 都停留在我们的湖边，我来观察我们的湖面，从 a 船发现它的北偏东方向有白色， 同时呢，从 b 船也发现他在他的北偏西，那如何来确定他的位置呢？是不是我们根据他所描述的 a 船的北偏东，然后我们把它划出来，北偏东六十度，以及我们 b 船的北偏西，是不是他俩的一个交汇点，也就是我们的白色白色漂浮物的一个位置呀？ 好点 c 呢，在 a 点的北偏东六十度方向，那么点 a 在 点 c 的， 那是不是我以点 c 建立我们的坐标系，然后他就在他的南偏西六十度方向上呀？所以说方位角呢，考的还是比较简单的啊。 最后我们来总结下，第一个，角的定义是不是有两个，一个静态定义，一个动态定义，这两个定义大家都要能明白。 第二个呢，角的表示方法，第一种呢，就是用我们三个大写字母或者是一个大写字母来表示，要么用一个数字加弧线来表示，要么用一个小写的希腊字母来表示。三种表示办法， 第三个呢，角的度量，那就是我们用度分秒来表示，一度等于六十分，一分等于六十秒，他们之间要相互换算。好，那我们这节课呢，所有的知识点都讲完了，每个知识点大家都要认真掌握，我们这节课就上到这里，我们下节课再见。

今天我们来学习七年级上册数学第六章第二节直线、射线线段。上节课我们认识了许多立体图形之后，欢迎大家正式打开初中平面几何世界的大门。那么今天我们就要从两种最基本的几何图形，点和线开始学起。在数学的世界里，点没有大小，它 是几何世界中最基本的单位。我们一般用一个大写字母来表示一个点，比如点 a， 当然也可以是点 b、 点 c 等等。要注意是一个大写字母，不是两个，也不会用小写字母来表示。像数学里我们用来精确的表示位置，就会用到点 a、 点 b 这样的描述。说完了点，咱们再说说线，就是我们熟悉的直线、射线和线段。先来回忆一下他们的几何特征。没有端点，可以向两岸无限延伸的是射线，有两个端点，长度固定的是线段。那他们分明 怎么表示呢？线一般有两种表示方式，先看直线，我们在直线上随便取两点，比如点 a、 点 b， 我 们就把这条直线命名为直线 a b。 要注意， a b 前的直线两字可不能少哦，只要有了直线两字，直线 a b 或直线 b a 都可以。除此之外，我们还可以用一个小写字母来表示，比如直线 a。 再来看射线，我们也是用两个大写字母来表示，比如射线 o a。 但在射线中，这个端点是独一无二且固定的，所以第一个大写字母必须是这个端点，也就是 点 o。 如果变成射线 a o， 那 表示的就是另一条射线。和直线一样，射线也可以用一个小写字母来表示，比如射线小 b， 最后线段，它的两个端点都是固定的，所以我们叫它线段 a b， 线段 b a 都行， 它同样可以用一个小写字母来表示。比如线段小 c， 既然线段是两个固定的端点，那难道线段就没有办法无限延伸了吗？其实不然，我们可以延长线段 a、 b， 这就是我们接下来要讲的延长线和反向延长线。先说延长线，比如延长线段 a、 b， 这个时候线段的名字 a、 b 就 起大作用了。这里字母的先后顺序 暗示了延长的方向，那就是从点 a 往点 b 的 那个方向。于是我们就从点 b 开始，用尺子沿着线段往外划虚线一直延长出去。虚线的这个部分就叫做线段 a b 的 延长线。反向延长线也很简 单，就是往相反的方向延长。比如反向延长线段 a、 b， 也就是往从 a 到 b 的 相反的方向延长，也就是从点 a 开始，用尺子往另一边画虚线，左边虚线的这个部分就叫做线段 a b 的 反向延长线。老张这里提示一下，射线只有反向线，也没有反向延长线。对这两句话有问题的同 同学，赶紧去洋葱学院看这节动画课，保证你一看就懂，记得搜张无羡领全科会员哦！既然我们要学习平面几何，那么研究他们的位置关系就是我们的首要任务了。首先关于点和直线的关系，聪明的同学肯定想到了，有两种，一种点在直线上，也可以说直线经过点 a。 还有一种就是点在直线外。如果只有一个点的情况下，直线 l 可以 经过 点 a， 直线 m 也可以经过点 a， 此时这两条直线只有点 a 这一个公共点。这种情况在数学上叫直线 l m 相交于点 a， 其实不仅两条直线能相交于一点，三条、四条乃至无数条直线都能相交于点 a。 换一种说法，过一点能做无数条直线。那么这样就证明我们无法用一个 点的位置来确定一条直线，实际上只要再多一个点，也就是说两点就能确定一条直线。反过来说就是过两个点有一条直线，并且只有一条直线。好了，今天老张就先讲到这里，我们下期再见。

来，各位家长注意了啊，七年级上册期末考试有非常重要的一张就是几何初步，这里边呢，主要分为线段和角两大模块。 呃，它其实呢，是为我们七年级下册学相交线和平形线更为复杂的几何问题打基础的 啊，期末考试的时候呢，分值占比也非常高，于是老师给同学们整理了这个几何初步、线段和角这两大专题资料，每一道题呢，都有详细的答案解析，回复几何初步拿去练习。