人教版数学九年级下册基础训练答案

今天我们继续讲天星教育的一遍过啊，这是二十六张 第一节二十六点一反比例函数课时反比例函数的图像和性质。我们今天讲过能力啊， 前面大家的过基础，如果没有做的话，先把过基础做完以后来再来做一下这个过能力啊，过能力有些题做的还是不错的啊， 你看，这是个河北中考题反比函数，如果 y 大 于二小于四，他问你 x 范围，那直接带进去就行了啊， y 是 几？ y 就是 x 分 之四吗？叫大于二小于四， 那咋能不能两边都除以四啊？那么解两个也行啊。嗯，因为 y x y x 这个范围解两个叫啥？叫 x 小 于四，所以我们知道 x， 它应该是在 x 大 于零这边了啊，所以说叫啥叫 x 大于四对吧，乘以 x 对 不对？ x 正的乘以四，所以 x 就 大于一， 那这边呢，叫二小于四， x， 那 就是二 x 小 于四， 然后 x 小 于二，所以大于一小于二啊。当然我们要看这个题的话，一定是这样啊，不是说都能这样解了啊， 这个分式不等式不能都这样解，这是啥情况呢？因为我知道图像是这样我才能解的。我，我确定 x 大 于零的，你看 x 等于四是应该这个图吧， 他告诉我外置是这个正值，是不是 x 也是大于零啊？哎，就前提他是 x 大 于零这，这情况，所以我就能这样解了，如果不是大于零，不确定还是不可以的啊。好，第十一题 好，他说在同一坐标系 y 等于 k， x 跟它，你看这啥关系？这前面俩系数一个正一个负，那我们就怎么样了，以一次函数为标准来看啊，一次函数 k 大 于零 就是一次函数，对吧？ k 大 于零是一个撇，就是个撇， k 小 于零是个捺，哎，就是个捺，这个 k 小 于零 是个捺。好了，那我们来看啊，那这个一看我就知道这个 k 大 于零，对吧？这是 k 大 于零，那好，那这个负 k 是 不是小于零？小于零是不是在二十象限，哎，所以 a 对 了， 那你不信再试试别的，再减一下别的，这是啥？看啊，首先看这个一次函数比较简单，以它为标准来分类啊， k 大 于零，那么什么，那这个就是啥？这是 k 小 于零， k 小 于零啊，不是大于零， k 小 于零，那你这个反比例就应该大于零，大于零在一三相线呀，所以，错，这是 k 大 于零，那你这个就应该是小于零，反比例就应该是小于零，所以它应该在二四相线呀，所以，错 啊，那这个 k 小 于零，对不对？那你这个反比例就应该是大于零，对不对？大于零， k 应该是大一点，哎，但是他这一点有一点啊，你看，你看，这个，这个 d 跟他 他们的这个 k 是 对的，但是我们这里还有个加一，是不一定要过这个一，因为 x 等于零的时候， y 等于一，他等于负一，是不对的，是吧？也是错，嗯，所以通过负一这一点，其实我们也能快速的把 b 选项 跟 d 选项快速的判断错误，所以说用一个动物学为标准，然后判断另外一个图像啊，好了，第十二题结束。 好下面这个题，他说，啊，这个，这个题，哎，该第十三题了， 你看他这个解析，哎，稍还稍微有点麻烦了啊。十三题，他说这两个东西都在反比例函数，首先你得看这两点之间的关系啊，那这个点肯定比他大，一 说他们都在反比例图像上，这个上面在哪呀？这是不是应该是在 这个图像上，对不对？对吧？ 他应该在这啊，他说下来，结论一定正确的是，首先我们说这个 m 跟这个 m 加一， 我不知道在哪了，我不知道两个都在左边还是都在右边，或者一个在左边，一个在右边，都不知道啊？那我能，我必须你得给我规定，你看，你说 y 大 于 y 二，对不对？如果 y 大 于 y 二，你看 y 一， 如果在这， 这不叫 y 一 大于 y 二， y 如果在这，那显然 y 一 对应的 m 值， 那这总不能是加一吧，对吧？所以这是错的，对吧？错的。 那我把这个这个图像再清一下啊，要不然下面看不清啊。所以这第一个是错的 啊。第二个他说 y 小 于 r， 同样道理，因为你 m 不知道，所以我也不知道。你到底是是到底是啥啊？为啥你得给我 m 的 范围知道不知道，所以 y 小 于 r， 这也是错的 啊。第三个， m 小 于零，哎， m 小 于零，哎，你告诉我 m 在 哪了？ m 在 这， 对吧？那 m 加一在哪嘞？ m 加一有可能在这吧？大一吗？是不是所以 m 加一对应的这个值 y 二，然后什么 a 大 于 y 一？ 哎，这个对啊，但是且慢，如果 m 加一大于零，那 m 加一对应的值在这嘞，你看它对应着 y 就 在这了，是不是不对啊？哎，所以这个不对， 嗯，然后呢？记下来， m 小 于负一， m 小 于负一是啥？ m 加一是不是小于零啊？哎，要保证这个都小于零，说明这俩点都在哪呢？是不都在这个第二项线呀？都在第二项线，那不就符合我们这个了？这个 m 对应的是 m， m 加一，你看 m 加一是不是一定比 m 大呀？所以 y 二是不是大于 y 一啊？画图，所以这个选 d 啊，这个题还是稍微麻烦一点啊，所以一定要选，所以一定要画图。 好下一个图。他说啥啊？他说这个折线都在这，这个点呀，都在这反比函数图像上， 哎，这个图，哎，很有意思啊。这个题很有意思啊，说这个长度都是一， 这个长度都是一，这个长度都是一，哎。并且给你 b 是 四，二分之三，它再反比的函数，那我就知道了， k 是 几， k 就 它俩相乘，四乘二分之三， 等几等于六。好了，你就记住这个 c 点， e 点， d 点，所有的坐标，横正坐标都是六就行了。那我知道不知道细点的横坐标，细点横坐标我知道是几吧，他都是一嘛。所以细点的横坐标啊，其实是几 就三吧。那是四吗？往后面移是不是三？那它高度是不是二呀？那一点一点来一点，是不是再往后面？你看啊，这是四， b 点是四，那这就是三，那这就是二，那这就是二，它是不是三呀？二三六，对不对？那 g 点呢？ g 点是不是再往这来移，是不是一啊？逗号，它是不是六啊？ 啊？他问你 e f 距离是几，那你看 f 是 几啊？ f 横坐标是几，是不是二啊？ 重坐标是不是六啊？你看 f 是 不是这个六，减去这个三是不是 e f 的 距离啊？所以是不是选 b 就 行了啊？所以把每点坐标把它算出来，标上去就行了。 好，然后看下一个题啊，下一个题他说啥？他说 x 一 乘 x 等于负三，叫你 y 一 乘 y 二，那你想翻是不是算出来你得用到这个条件，用到这个条件的话，你就想办法要用的它俩相乘啊。那就直接代入， y 一 就等于 x 一 分之六， y 二就等于 x 二分之六，所以我把 y 一 y 二一乘， 对不对？ y 一 乘以 y 二就等于六乘以六，分子乘分子分母乘分母， x 一 乘以 x 二就等于三十六，除以负三，所以等于几？负的十二 是不是就出来了？哎，负十二非常简单啊，非常简单。 好，然后这个题啊，这个题其实河南中考啊，河南中考题二零幺四啊，这个题其实有点小小的，有点小难度啊。你看，他说对角线 图像经过 a， 任何经过 a， 把 a 点坐标写出来， a 点坐标是三二， 所以 k 就 等于二乘以三等于六啊，当然他要写过程得这样写啊。我把过程写一下解 解说，因为他说在反比函数嘛，所以说因为 y 等于 x， 分 子 k 过 a， 接过 a， 三二，这题目上我读出来了，对不对？所以 k 就 等于二乘以三就等于六啊。所以啊，这个反比例函数图像反比例 函数的解析式。这是啊，一个中考题啊，你是把过程给我写清楚一点，解析式为叫啥？哎，这底下有个小容易错了一点啊， y 等于 x 分 之六， 因为我们说反比例函数图像，它按道理是两只，但是图中间只有一只，并且人家题目告诉你大于零，你的 x 大 于零，不要忘了，所以这个很重要，你忘了扣分啊，就完了。所以第二点，嗯，第二点看他问啥？ 嗯，他说这个图像上先描出这个反比函数图像上不同点 a 的 三个格点，再画出反比函数图像。就是你找三个点呀，把反比函数图像画出来，那这简单，对吧？ 咋了？就相当于让他找出来。找出来这个谁啊？他俩乘起来等于六了呗，你看，描出来三个格点，对吧？这是二，三是六，六一是不是也是六，对不对？然后他一瞄，咱前面瞄过这个图像 啊，哎，这个有点瞄过啊， 是不是不停的接近啊？所以，哎，我还是要强调一下，这个位置不要勾起来不要勾起来啊，这个位置也不要勾起来啊，这个勾起来就是错的，不能往里面弯，这往里面弯，这就是错的。 不能弯啊，就要光要拦线无限延伸就行了啊。好，这一份我都结束了 啊。看下一位，他说将矩形向左平移，当 e 落在这个反比函数图像的上时，平移的距离是几？你看啊， 看啊，我们看 e 落到这上面，他平移距离是几？他光让你填空，这个 e 现在在哪呢？在六， e 的 坐标是六，现在是移到这，你看他的重坐标是几？ 移到这啊，我们假如它是一撇，对不对？一撇啊，它的，它的重坐标是四，对吧？ 哎，那你说横坐标是几？横坐标带进去吗？是不是四分之六就是二分之三，对不对？所以原来这个一是啥？是不是六啊？ 移动距离啊， d 就 等于原来的六，再减去现在的坐标啊，叫二分之三啊，那是谁？二分之十二减二分之三是不是等于二分之九啊？ 所以这题等于二分之九也不难啊，一个中考题，你看三三分的中考题叫二分之九啊，就行了， 所以，哎，这个题我跟你说这个题哎，就讲完了。所以说这中间有几个啊，这个过过还有过能力，还是有几个题是要考察你的，但是你要熟练啊，过能力好了，这个应该是完了 啊，还没完，这个跳过去了，我们还有题啊，来，咱快速翻到这，刚才是怎么退出来了？嗯， 好，这个题填二分之九对不对？你看他算了，那这是上个题， 我们都做过了，这个题大家如果不熟悉，大家一定自己把它熟练度给它提高一下，自己做一下啊，这中间其实都不难。 好了，下面这个题啊，下面这个题出来是比较好啊，他说啥？这是福建中考题后面平常之家坐标系里面这有这 有个这，他说点 a 都在理解一下，如果 a 的 坐标是一二，他问你 b 的 坐标是几？这题如果快捷的时候有一个结论啊，这个结论是啥啊？你看我们说 这底下有一条线啊，说反比例啊，反比例 函数关于谁对称啊，你看它其实是关于谁对称啊，它关于这条线叫 y 等于负 x 啊， y 等于负 x， 逗号，这条线叫 y 等于 x， y 等于 x 啊，你看这两条线，这是关于两个线，这叫啥？轴对称，他还关于谁对称啊？圆心吗？零零叫中心对称啊，这叫轴对称 啊，这叫中心对称，所以这我们这个题就用谁啊？我们说 y 等于 x， 这两点关于 y 等于 x 的 对称，那这个圆，你看这个圆是不是也关于它对称啊？ 所以它们的焦点啊，圆跟反比例都关于 y 等于 x 对 称，那它们的焦点就是 ab 啊，关于 y 等于 x 对 称， 哎，你记着关于 y 等于 x 对 称的点是啥关系啊？就是横正坐标与交换，这是个结论。比如说有两点啊，这个直线不是 y 等于 x， 这个也不是，再画斜一点。好，如果这两点关于 y 的 x 对 称啊，我画两点，这是 a， 这是 b， 所以 它关于 y 的 x 这点坐标是几？ 这点坐标就是 b a， 记住这个结论，所以你做这个题就非常好用。就是 b a 吗？ b 都好， a 就 行了，所以那这个题就填二一就行了， 填空嘛，对不对？你知道结论直接用就行了啊。当然我们如果去写，你看这里面，他没有让你写这个过程，对不对啊？如果去写的时候，哎，那就稍微会麻烦一点点啊，就是怎么样，你要解啊？咋解啊？你看有一种几何法，就是 把这个一连连起来，你也得用这个定义， 对吧？一连起来，然后做个垂线，做个垂线做完了以后，你看对称，那好，那就这个角等于这个角，换角的话， 这个角就等于这个角做完。垂直的话，这是个垂直，这是个垂直，对不对？说这角相等，那这俩半径 o a 含等于 o b， 对 不对？所以我们说能最后，最后可以可以证明出来，这不直角三角形吗？对不对？ 其实相对的三个角度相等，然后边相等，对不对？那剩下那个谁啊？是不是？这个叫啥？比如说这叫 a a 撇，这叫 b b 撇，是不是 a 撇跟 b b 撇相等啊？所以那你说那这 b b 撇是一，那 a 撇不就是一了？ 那 o b 一 就等于二，那 o a 一 不就等于二了，所以坐标不就是二多少一了，就这种证明也行啊，但是我们在考场上其实要用很多结论，我们在平时做的时候，你想这种结论都要记住 啊，这种结论都要记住。关于 y 等于 x 对 称啊，结论就是一交换就行了，把横纵坐标一交换，就是他们的对称点好了， 所以这个题我们就讲完了，过能力的题我们就讲完了，大家可以看看这个解析啊，他两他也跟你说两种解析都行。第二种解析其实很麻烦啊，这个考场上你用这种解法去解其实有点麻烦啊， 这是用全等的角度啊，全等啊，然后可以暂停一下，看看解析 这是啥？用这个购物定力，用购物定力设坐标，设完解出来去做啊，这是练基础能力的 啊，如果我那一种方法大家听懂，就第一种方法，记住结论能用啊，其实这个题就作为一个参考啊，做后面的解法作为一个参考看看。哎，所以这个过能力我们都讲完了， 嗯，好，他现在他问啥反比例函数图像特殊在哪里啊？他就是两只对不对？他两只啊，并且我们说，哎，开大于零，他在一三相线，开小于零在二四相线，哎，这些一般的性质，关于那几个对称都要知道， 都对称，还是中心对称好，所以我们这个啊讲义谢谢天星给予了这个授权 啊，所以说，哎，我们大家，呃，去做这个题的时候，就先自己做一下题，然后看看自己这个做的流畅不流畅啊，然后再对照着我来讲一看，我给你们 那个思路的方法一不一样啊，把一些结论给记下来，这就是我们做题以后一定做一个小复盘 啊。就是你总结一下这里面我学了点啥？学了点这个东西能不能用到以后其他的解析上啊？这就行。好，今天就讲到这里。

今天我们继续来讲天星教育的一遍过啊，初中数学九年级下册人教版，对应好自己的版本啊。现在我们讲第二十六章反比例函数，第二节啊，我们讲第二节， 第二个课时来我们来看题啊，过基础，过能力，两框课。十二、反比例函数图像和性质，我们研究任何一个函数就要知道它的图像和性质 啊，知道这个的话，哎，我们去做题的时候，用性质去做题，有时候是非常方便，非常快。先看过基础 好，他让你画出来这个图像，我们画一个函数图像，其实最基本的方法就是描点法，哎，你找几个点啊，然后他描上去，那我们找谁啊？啊？ 就找你看，就找一个负四对称吗？负三， 负二，负一，一二三四，是不是？我找这个点，那我分别把这个函数值算出来吗？是负四的话，他俩一除是等于一，这是等于三分之四， 这等于二，这等于负四，这等于负二，这等于负三分之四，这等于负一。好，那我们把这个值然后在上面描出来就行了。 画个表格，然后直接一描 好，下面有专门有个表格，哎，教我们描图，你看怎么描啊？所以说，哎，人家 i， 哎，我们描一下，我们用这个蓝笔描一下啊， 然后一嘞，哎，负一嘞，它是四， 对吧？我们就描三点啊，中间的点也可以描啊，三分之四嘛，这个在这有一点点，是不是啊？就在这一点点啊，然后这边是 x 等于一等于负四， x 等于二，应该是负二 等于三，让它负三分之四，就比这个负一多一点点，等于四是负一。好，所以我们就把它函数图像描出来了，就这样， 嗯，这个画了，有点，有点，有点。这个啥啊？你这个没有描的点，你把它趋势也可以画出来， 就这样就行了。那这个呢？就这样，两边要无限靠近着 x 轴，但是我们切记啊，切记，你这底下不要画的勾头。看啊，就这样，不要画，勾过来 啊，来，我给你画的。有的同学画到这了以后就这样，他画完这个图以后，他画成这样， 哎，这就错了，它不能勾过来，它要无限贴近它 啊。这边是无限贴近它，为什么不要勾过来？如果勾过来，这就不是函数了啊，无限贴近它，你看这个，你画成这都错了啊，你看这同学画成这样 就错了，他想把它延伸一下啊，但是延伸，你记着无限按照这个趋势不断靠近两个坐标轴是对的，你勾过来就错了啊，所以说，哎，要注意这个，这个， 这个这个点啊，所以要注意这个点，你看他这个贴画了，他可要抄出来这些点，对不对？但是这个点一定不能勾 啊，不能勾过来就行了，勾过来这个题都画错了啊，有时候在考试中间给你打错，你还不知道为什么啊，就行了，瞄点就行了啊，反比例函数图像，哎，你看光滑曲线啊，哎，多瞄两点，刚才我们瞄了三个点，四个点就行了啊， 所以说，哎，所以说，哎，你那边他与 x y 轴没有交点，并且他不，你看延伸性啊，他不能怎么样了，他要无限接近于 x y 轴，他不能翘起来 啊。然后最后你要把它解析式的这个写上去，你看，比如说这个解析是啥，是不是 y 等于负的 x 分 之四就 ok 了。 好，这是我们画一个图来，这个，这个要求啊，最容易错的是这个啊，所以，哎，他问你，这个图像大致是什么啊？我们说，你看这个图像不就相当于 x 乘以 y 等于二吗？ x 乘 y 等于正的，那是不是在一三象限呀？所以就选 d， 所以说我们说 y 等于 x 分 之 k 啊， x 分 之 k， 得到一个结论啊， k 要是大于零，人家就在以三相减， k 要是小于零，哎，人家就在二四相线，并且这个在这个相线内，它是 y 随 x 增大而增大的啊，这个是减小的啊，这是减小的， 在这个范围内，它是 y， 虽然是增大了，增大。好，所以记住这，这就好选了，所以这个选 d。 说反比例函数的图像一定经过它点。首先你要保证这两，你看是不是 x y 一 乘 对 x， y 乘是不是等于负十二呀？所以这是错的，对吧？啊，这是错的，对吧？啊，这是错的。哎，这不用看嘛，它必须等于负十二，对不对？ 它乘以乘以负十二，说这个图像位于一三象限，我们刚才说过了啊，一三象限是不是 k 减一要大于零啊？所以 k 是 不是大于一啊， 对不对？开到大于一，你看这是开大于一，那他在第几象限啊？大于一了，竖横坐标是大于一， 横坐标大于一，横坐标大于一，是不是在这边，这边是个负了吧？负三对吧？一二三在这一开大于一，对吧？是不是在这，所以在第四象限。 嗯，当然，你这个四不能这样写啊，要写这个四。 好，再下一个说这个图像，他问你 k 一 k 二到底谁大谁小？你这样啊，你画一个竖线，画一个竖线， 你看竖线对应着这俩值，比如说对应这个值角 x 一， 你说对应了这个值，是不是角 y 一 啊？那对应了这个值，是不是角 y 二呀？ 啊？那你看，他问，你看一看二， k 一 是几？ k 一 是不是就等于 x 一 乘以 y 一， k 二是不等于 x 二乘以 y 二呀？那显然 y 二比 y 一 大呀， x 相等呀。所以是不是 k 二大于 k 一 啊？所以填这个号，哎，所以这个记住，越往外面越大，越远越大。记住这个就行了， 越远越大。总结个口诀，越远画的图像在一个地方去比的时候，哎，离他离这个圆点越远就越大啊。好，这就完了，这就结束了。 嗯，好，下一个。 好。他说这个，他说下面结论正确的是，好。图像位于二四象限，不对。咱说前面说过 k 大 于零，是以三象限，这是错误的。图像与坐标轴有公共点没有？因为 x 不 能等于零，对不对？ 对，图像所在的每个象限外随 x 增大而减小，对不对？哎，这是对的。为什么？因为这个图像不就是这个样吗？ 对不对？是不是 y 是 增大减小，所以这是对的。说图像经过 a 三，所以 a 就 等于三分之一， a 要等于三分之一，那这俩一乘不就等于一了吗？你看人家这这俩坐标一乘是等于三的， 是不是 x y 等于三？你这俩一乘等于一是错的啊。所以你知道这个性质，做这题都非常好做。 好。他说具有下列性质啊，这个题，当 x 大 于零， y 随 x 增大而减小，这不就是我们说了这种情况吗？ 对不对？所以 y 等于 x 分 之 k 这种图，那你 k 啥？ k 是 不是大于零啊？大于零随便写个数写个二行吗？ 他写个一，一可以，写几都行啊。好，下一个画图啊，他们都在反比例函数图像上。 好，他问你外一跟外二谁大谁小？好，那我们在哪啊？把这个图像一画就行了啊，或者不画图。你这样来看啊，你看我把 a 写上去， a 负三，逗号外移， b 减负一，逗号 y 二，你看它在这条图像，咱们是说过外旋增大的见效，你看这个，你看这个，负一，负三到负一是不是增大？ 既然负三到负一是增大的，你看这个增大肯定是反向，这是增大的，所以那是不是，那这就得减小，就得反过来，对不对？就是 y 一 大于 y， 对吧？或者你把这个图画出来，在点上找也行啊，反二就直接找啊，找 a 等于负三啊。负三在哪？在这 负三，它在这图像上。图像不是这样吗？对，负三对应的值是几？是不是就叫 y 一 啊？啊？那解负一对应的值是几？负一对应的值是不是 y 二呀？ 显然 y 一 比 y 二大，对不对啊？用图像也行啊，用我刚才那个也行。好了， 下一个啊，说这个图像上有两点它，它说 x 一 小于零，小于 x 二，有它，它为你开的取值范围。你看这个图像，那我们只有两种情况呀，只有两种情况，你哪两种情况？第一种情况 是这样的，对不对？第二种情况是这样的，对不对？ 哎？你去把它点往上面放嘛，对不对？哎？他说啥？他说，哎，是这两点， x 一 小于零，小于 x， 那 就是 x 大 于零，一个大于零，一个小于零啊。那我们来把这个点模拟模拟啊，模拟模拟，说啥？ x 一 小于零， x 一 小于零，在这，对吧？都小于零，那 x r 大 于零， x r 大 于零，在这随便找一点，那它对应的值谁？ y， 那 它对应的值 是 y 一， 他说 y 二大于 y 一， 哎，正好符合了呀。符合不就是四减 k 要大于零吗？所以 k 是 不是小于四啊？你看，我画两个图，准备了，这个不行，我就用上另外一个，就两种情况，谁选谁， 对吧？好，下一个。 他说这三点都在这上面，若它大于它，这三点都在反比例函数图像上， k 不知道大，不知道小呀？好，我们把这个点算出来，画出来 啊，用图像啊，能用图像去解决了问题就是，好啊，负一对应的点在外一，负一在这， 万一在哪呢？不知道，等会再说。这是二，这是三。 好，他说 y 大 于 y 二，你看负一对等点，要么在上面， 要么在下面，对不对？好，假如我在上面，那好，他要在上面，那这个图一定是在下面， 二对应的点叫 y 二，一定在下面，满足不？满足？满足吧。啊？换句话说，你说我不这样，我就想他对应的点在下面， 那，那点对应的一定在上面，你看那 y 一 能大于 y 二吗？大不了吧，所以说，哎，这，我们假设一下，这就出来了，所以说这个点， 哎，这个点就是 y 一 对，那这个点呢？因为它要么是一三，要么是二四嘛，那这个点对应了谁啊？就是 y 二，是不是满足 y 一 大于 y 二，所以人家的图像应该是这样的，对吧， 对不对？所以你看你三对应的知识点是不是 y 三呀？那显然是啥，是不是 y 三大于 y 二呀， 对不对就行了。所以这个画图啊，这道题画图去解的话，哎，相对的比较好啊。好，下面他说啥？如果这个图像经过这两点， 他问你 y 一 加 y 二等于几？那我们知道啊，经过这两点，这个 k 不 管是谁 k， 不 管是谁，在大于零还是小于零，我们这个图像的点，你看横坐标怎么样了？是不相反啊？ 那纵坐标一定是啥也是相反，所以 y 一 加 y 二就等于零啊。你说这个，如果你说我不理解，这样吗？那你看是不是三 y 一 是不是等于 k 啊？ 是吧？负三 y 二是不是也等于 k 啊？ 它们都等于一个 k， 那 是不是三个 y 一 就等于负三个 y 二呀？那你把它移过来，是不是三 y 一 加上三 y 二就等于零，那是不是 y 一 加 y 二就等于零啊？ 因为它们每俩横坐标相乘是都是，都是同样一个 k， 对 不对？哎，所以这就等于零。 好，下一个北京中考题啊，都不难，都不难啊，反比例函数其实没有难题，咱们中考卷子都不难。嗯，好，他说 x 分 之六，这个函数中间，他说 x 大 于等于二是啥？我们还是画图，你看啊。哎，图形控，你只要喜欢画图，做反比例函数的题非常快。你看 x 取值范围。啥叫 x 取值范围？ x？ 比如说这是啊，啊，人家这啊，在这边啊，来这边，对吧？ 这。你看 x 这个图，它对应的函数图像是不是这一段看 y 的 范围？咋看嘞？就是把这一段图像投影到 y 轴上， 看 y 轴这个范围是不是从零，它是二的时候，它是六，它是应该是个三，对不对？ 对，你看 y 的 范围， x 范围是这，因为它无限延伸吗？无限延伸对不对？哎，因为无限延伸它不会相交呀。它不会相交会啥？那就最多它是零，但是不能等于零，对不对？哎，所以它的范围是 y 大 于 零，小于等于三。好，如果 x 是 这个范围，他问你 y 的 最大值 x 哪个范围？那内另外一只图，另外一只图它是，你看是不是在第三项线划，不算划， 对不对？你看好负三对应的值是这啊，因为它们以乘是这，所以负三对应的值一定是几。负二八对那个负一对应的值 啊，负一对应的值是几？是不是应该是负六啊？他说最大值是几，是不是就是谁高谁大嘛？是不是负二呀？所以是负二 是负二就行了。好，所以。哎，这些题，哎，这是基础题，我们都讲完了啊，所以说过基础其实都不难，大家把这个快速的去过一遍就行了啊。好，今天我们就讲到这里。

今天我们来看一道九年级下册关于这个反比例函数的一道练习题，那么这道题啊，它还是有一定难度的啊。好，咱们来看一下。 首先题目说如图，在这个平面直角坐标系中，直线 y 等于四 x 与这个 y 等于 x 分 之 k， 在 第一项线内交于 a b 两点。 好，首先这个有两颗线啊，一个是 o a， 一个是 o b， 咱们要怎么样呢？要能够分辨哪一个是 y 等于四 x， 哪哪一个是等于 y 等于 x， 那 么这就是一个一次函数的一个知识点，对不对？很简单， y 等于 x， 它怎么样呢？它平分这个一三象限，对不对？就说 o b 这里怎么样？它就是 y 等于 x， 而这个 o a， 它是 y 等于四 x。 好， 然后交于 a 点和 b 点，他说若三角形 aob 的 面积为三，三角形 aob 这个三角形面积是几啊？是三。问这个 k 的 值是多少？那么要求 k 的 值，我们在这个课本里面讲过，对不对？ 就是这个 k 叫做反比例系数，那么这个反比例系数它怎么样呢？它等于反比例函数图像上的一个点与两坐标轴的什么？两坐标轴 这个围成的这个矩形的什么等于它的面积，这个大家知道吧？就是说有一个点，比如说拿点 a 举例子，对不对？那么我这个点 a 分 别做这个 x 轴和 y 轴的垂线， 它就会与这个坐标轴围成一个什么呢？围成一个矩形，那么这个矩形的面积就是等于这个反比例系数啊。为什么？你看这个和这个地方，这个是宽，这是长，那么长乘宽刚好就是 a 点的什么横坐标乘以这个 纵坐标，对不对啊？你看十字相乘就是 x 乘以外就是横坐标乘纵坐标等于一 k 的 k， 对 不对啊？那么既然是这样子，我们这里没有，对不对？咱们就要做辅助线啊，咱们过点 a， 做这个 x 轴的一个 垂线，然后过点 b， 也要做这个 x 的 垂线，因为这个 ab 它是。呃，两个不同的点啊，两个不同的点 好，得到这个辅助线之后呢？它题目告诉的是三角形 a、 o、 b 的 一个面积，那么这个三角形 a、 o、 b 的 面积，它和哪个相等呢？它和这个梯形这个梯形面积相等的。我们标个字母啊，啊， c、 d 吧。啊， 和 a、 b、 c、 d 这个梯形它的面积相等的，为什么我们来看啊？注意听啊，这个地方，这个大的这个四边形，它的面积等于什么？ 等于上面这个 a、 o、 b 的 面积，对不对啊？我写一下吧，也就是说由这个 s 三角形 a、 o、 b 的 面积加上下面这个三角形 a、 o、 b、 d。 啊， s 三角形 s 四边形，这个 a、 o、 b、 d， 这个的面积，它是等于这个三角形 a、 o、 b 加上 b、 o、 d， 对 不对啊？ 加上这个 s 三角形 b、 o、 d， 这是等于什么呢？等于 s 这个四边和减写啊，四边形 a、 o、 b、 d， a、 o、 b、 d， 那 么这个四边形 a、 o、 b、 d 除了用这两个三角小三角形怎么样加起来以外，还可以怎么算的面积呢？是不是可以变成这个梯形的面积加上这个三角形 a、 o、 c 的 面积，对不对？好，我写在这个。嗯，下边吧，等于什么呢？等于这个 s 三角形 a、 o、 c 加上这个 s 这个梯形啊，梯形，哪一个梯形？这个 a、 b、 c、 d， 对 不对？好，我们看啊， 这个三角形 b、 o、 d， 找一下，这个三角形 b、 o、 d 刚刚讲了，如果说这个点与坐标轴围成是个矩形，那么它的这个面积就等于什么？等于反比例系数这个 k， 但现在是什么三角形，我们也讲过，它就等于多少等于二分之 k， 对 不对？就说这个 s， 三角形 a、 o、 c 和 b、 o、 d 的 面积怎么样？这个部分和这个部分它都是多少？都是二分之 k， 能理解不啊？这个部分和这个部分都是等于二分之 k， 所以 说是相 等的，那么它们这样一个，呃，面积加二分之 k， 等于四边的面积， 这样一个四面，呃，这个，这三角形啊，三角形的面积加这个二分之 k， 等于这个四边形的面积，一个梯形的面积加这个二分之 k 也等于什么？这个四边形面积。所以说得到这个三角形 ab 和梯形 a、 b、 c、 d 怎么样？它面积就是相等的啊，这个人懂吗？啊，好，那么既然得了这样一个信息之后啊， 咱们就得到什么呢？得到这个梯形的面积，我就不写写字了吧， b 不好写 s 什么呢？ a、 b、 t 型， a、 b、 c、 d 啊，它的面积怎么样？也等于几啊？也是等于。哎，这个 b 等一下等于几啊？等于三，对不对？等于这个 a、 o、 b 的 面积等于三。好，那么得到这个信息之后再怎么做呢？我们看一下啊， 这个 a 点怎么样？在这个反比例函数图像上，这个 b 点也在这个反比例函数图像上，这个两个直线，直线的这个解析式咱们是知道的，我们这样子把这个 a 点的坐标把它设出来 啊，我们设这个 a 点的横坐标是 t 啊，我设这个 a 点的横坐标是 t， 那 么根据什么？根据这个直线的解析式，相当于这个，此时这个 x 等于 t 的 话， y 就 等于多少？等于四 t， 对 不对啊？这个 y 就是 等于这个四 t 的 好，知道这个 a 点的这个横纵坐标之后，那么 x 乘以 y 啊，那得到什么？得到反比例系数是 k， 就 说咱们会得到这个 k 怎么样？ k 是 等于 t 乘以四 t 等于四 t 的 平方，对不对？等于四 t 的 平方好，那么这个点 b 它怎么样？在这个 y 等于 x 这个直线上，就说相当于它的横坐标和纵坐标乘起来怎么样？ 等于四 t 平方，又相等又在第一象限，所以这个点 b 的 坐标点多少？它是等于二 t 和二 t 啊，就是这个二 t 怎么样？乘以二 t 等于四 t 的 平方，如果说这个地方你想不出来，你可怎么样怎么样呢？可以直接把这个和什么 这个 y 等于 x， 分 之 k， 把这个 k 换成四的平方，那另一个什么？另一个方程解出这个 x 和 y 就 行了，对不对啊？好，那么得到这个信息之后，那么那么咱们这个梯形怎么样？它的面积就可以表示啊，对不对啊？怎么表示？梯形面积等于 上底加下底，乘高除二。好，上底就是 b 的 什么坐标？就是个 b 的 纵坐标是二 t 啊，咱们写下， 也就是这个二 t， 好， 加上下底是这个 a 的 重坐标是多少？是四 t， 上底加下底乘以什么？乘以高？高是多少？高就是这个 c t 的 长度， c t 的 长度就就是什么呢？就是这个 b 的 横坐标减去 a 的 横坐标，也就是二， t 减去 t 等于几啊？等于 t 啊，乘以多少？ 乘以这个乘以 t， 再除以二，乘以多少？乘以二分之一，等于它的面积是几？等于面积是三，对不对？等于面积是三。好，那么这个很简单，对不对啊？咱们把它这个 啊跨打开啊，这个地方啊，二分之一乘二，就怎么样抵消掉，然后是 t 乘 t， 就是 t 的 平方啊， t， t 这个 b 啊， t 平方。好，然后这个地方是约分得多少得二，然后再 t 乘 t 等于 t 平方，也就是 加上什么呢？加上一个二， t 的 平方等于多少？等于这边是 这个比啊，等于等于啊三，然后 t 平方加二， t 平方等于三 t 的 平方，哎呀，这个比 t 的 平方等于几啊？等于三。好解得， t 平方等于多少？ t 平方等于一， 那么 t 平方等于一的话，咱们这个 k 等于多少？等于四 t 平方，所以 k 就 等于四，乘一等于几啊，等于四，就说 k 的 值就是几啊，就是四啊。好，那么今天这道题啊，咱们就讲完了，大家听懂了吗？

同学们好，我们继续来看特殊的三角函数值，三十度、四十五度和六十度的三角函数值，这个我们在学习的过程中都已经知道了，我们这就不再说了。然后老师想给大家一个万能的，大家能记住这个三角函数值， 那就是这样一个，大家把它记住啊。这里面除了三十和四十五度以及六十度，还有十五和七十五度的角，大家都应该能记住啊。我们画一下来，然后呢，我们把这个三角形给它连起来，等到直，然后我们把它补齐了，这个矩形啊，这个矩形给它补齐， 然后画一下，哎， 这个矩形给它补齐，就这个样子。好，那我说这个角是三十度，这个角是六十度，那这个角直角，这个角三十度，这个角是六十度，这个边等于这个边，那这个角就是四十五度，这个角就是四十五度， 那这个角就是十五度，这个角就是七十五度，这是个矩形。我们现在标数字，它是一，它是二，它就是根号三，那么它是二，它是一，它就是根号三， 所以呢，这一条的根号三，这个就是根号三减一，这个就是根号三加一，然后这个就是二倍的根号二，对吧？一比一比根号二，所以呢，你看就这个图里面 三十度、四十五度、六十度、十五度和七十五度的所有三角函数值，你光看这个图，你只需要知道正弦就是对比斜，余弦就是零比斜正切就是对比零， 可以了，那所有的三角函数值都已经都能看出来。好吧，好，我们继续看这个第一题吧，他在下列三角函数值中是有理数的，式三用六十度等于二分之根号三明显是个无理数。考试用六十度等于二分之一，它是有理数。选二。 b， 它的六十度是根号三，三用四十五度是二分之根号二，它们都是无理数。看第二题，若一个三角形的三个内角度数是一比二比三，因为一加二等于三，所以它一定是一个直角、三角形 角三角形。三个角中最小角的正切值，那就它俩加起来是九十度，那就九十度被分成了三份，它俩其中的。

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二零二五年人教版九年级化学下册课后练习答案讲解第九单元课题三 一、下列对质量分数为百分之十的氢氧化钠溶液的理解中，不正确的是选择 c。 一 百克水中溶解有十克氢氧化钠， 一百克水中溶解十克氢氧化钠，则溶液的质量为一百一十克溶液的质量分数为十克，比一百一十克乘百分之一百，不是百分之十二。在其他条件不变的情况下，对硝酸钾溶液进行下图所示实验， 下列对编号幺二、三的溶液中溶质质量分数大小的比较正确的是选择 c 选项。一和二均有不溶的固体，多为该温度下的饱和溶液， 所以一和二的溶质质量分数相等。升温后，三中固体全部溶解。与二相比，溶剂质量不变，溶质质量增大， 所以三的溶质质量分数等于二，所以应该是一等于二，小于三。三、在温度不变的情况下，对钾中的一百毫升氧化钠饱和溶液进行下图所示实验。下列结论中，不正确的是 选择 b 选项。实验一时，乙中为氧化钠的饱和溶液。实验二，向乙中加入五克氧化钠，氧化钠不会溶解，所以乙中的溶质质量分数不变。 四、在二十摄氏度时，将四十克硝酸钾固体加入一百克水中，充分搅拌后，仍有八点四克硝酸钾固体为溶解 一，所得溶液是二十摄氏度时硝酸钾的饱和溶液，因为仍有八点四克硝酸钾固体为溶解 二，计算二十摄氏度时硝酸钾的溶解度。四十克硝酸钾固体剩余八点四克，可得溶解的硝酸钾质量为四十克，减去八点四克等于三十一点六克， 证明二十摄氏度时，一百克水中溶解硝酸钾达到饱和时，所溶解的硝酸钾质量为三十一点六克，所以二十摄氏度时硝酸钾的溶解度为三十一点六克。 三、计算所得溶液中硝酸钾的质量分数。所得溶液溶质质量为三十一点六克，溶液质量为三十一点六克，加一百克等于一百三十一点六克。溶质质量分数为三十一点六克，比一百三十一点六克乘以百分之一百等于百分之二十四 五。质量分数为百分之二的过氧乙酸溶液，常用于环境消毒。预配置四百五十克百分之二十的过氧乙酸溶液，计算所需质量分数为百分之十五的过氧乙酸溶液的质量。 本题是一道溶液稀释的问题。溶液稀释的原则是稀释前溶质质量等于稀释后溶质质量。我们可以设需要溶质质量分数为百分之十五的溶质质量为四百五十克乘百分之二。 稀释前溶质质量为 x 乘以百分之十五，二者相等，解的 x 等于六十克。 六、一百克某浓度的稀硫酸恰好与十三克锌完全反应，是计算这种稀硫酸中溶质的质量分数。我们可以根据十三克锌完全反应，先计算出参加反应的硫酸的质量，也就是溶质的质量。 算出溶质质量后，再计算溶质的质量分数。利用参加反的新的质量为十三克，先计算出参加反应的硫酸的质量为十九点六克。由于是完全反应，所以说稀硫酸中溶质质量为十九点六克， 然后用溶质质量比溶液质量十九点六克比一百克乘以百分之一百算出溶质质量分数为百分之十九点六 七。请根据以下步骤自知其水。一、在五百毫升饮料中加入两勺蔗糖、一点五克食品级碳酸钠。二、注入饮用水。三、加入一点五克食品级柠檬酸，并立即旋井瓶盖摇匀。 一、查阅资料说明加入柠檬酸后立即旋井瓶盖的原因，碳酸钠与柠檬酸反应生成二氧化碳逸出，所以要立即旋井瓶盖。 二、如果在炎热的夏天将制得的汽水放入冰箱冷藏一段时间后取出，打开瓶盖时可能会出现什么现象？根据所学知识解释原因， 可能会出现二氧化碳带着汽水喷出，因为从冰箱中拿出汽水，汽水的温度升高，温度升高，二氧化碳的溶解度会降低。点赞、收藏、关注，刘老师将持续更新视频！

有几道数学物理科目，咱们最主要是巩固孩子思维方法，怎么去引导，每道题包括重难点讲解以及课后的思考的答案解析。打开里面 给孩子进行思维引导和立体展展示，让孩子的题无论怎么出，怎么变换。给你提供好了各种思维思维方式思路的解析。这本书彩考点也很准的。南京考试第二十一题里面出现了原题， 周一到周五的时候做数学 t o 版，给孩子巩固好基础，周末的时候做巅峰，尤其加入题和重点训练两个搭配去使用，孩子进步更快，下学期学习能更轻松更省力一点。先行的 t o 和巅峰 想打基础的话去做好 t o 版，想刷重难点的去做咱们巅峰版就够了。四年级的宝宝把数学和有带回家去来巩固就可以了。八年级的宝宝你再额外带一本物理，让孩子寒假有时间去把基础去打牢，打扎实了。 一个指教版，一个速克版，相同的题去排四款就可以了。里面百分之八十的记题加百分之二十的题目题去帮孩子巩固基础，去练习这个题型。

抛物线 y 等于二， x 方加上二倍的括号 k 减一，反过乘 x 减 k， k 为常数，与 x 轴交点的个数为。本题呢，它考察的是我们二次函数的判别式， 我们来复习下知识点。第一种情况，如果 b 方减四， a， c 大 于零， b 方减四， a， c 指的就是我们的判别式。那么本图像呢，与 x 轴就有两个交点， b 方减四， a， c 等于零时有一个交点。第三种情况是， b 方减四， a， c 小 于零时就没有交点。 那我们来看一下本道题。因为小 a 的 值是二， b 的 值是二倍的括号 k 减一，也就是二 k 减二，那么 c 的 值呢？是负 k， 所以 b 方减四 a， c， b 的 平方是二 k 减二，块平方减去四，乘 a 的 值是二呀， c 的 值是负 k， 我 们去计算一下，化减啊，二 k 块的平方是四 k 方， 减去八 k 加四，这里面用到的是完全平方公式，再加上我们的八 k， 它的整体结果呢，是四 k 方加四， 四 k 方是大于等于零的，你要再加四的话，结果就横大于零。所以应该符合的是。第一种情况，当 b 方减四， a， c 大 于零时，那么抛物线于 x 轴交点的个数就一定是两个，选的是 c 选项。

今天我们来看一道九年级下册关于反比例函数的一道练习题。 好，咱们来看一下题目如图，在平面直角坐标系中，依次函数 y 等于负二， x 加六啊。首先这个依次函数的解析式他是告诉我们的， 然后他说他的图像与反比例函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像交于 ab 两点啊，交于 a 点和 b 点，然后这个反比例函数怎么样，他是没有告诉我们的， 且点 a 的 坐标为一和 a 啊，这个点 a 的 坐标是一和 a， 所以 我们这个点 a 的 坐标只知道横坐标，不知道纵坐标，对不对啊？第一问，他说求 a 的 值和反比例函数的解析式， 这个 a 点和 b 点是这个反比例函数和依次函数的交点，说明什么？ 说明这个 a 点既在这个一次函数图像上，也在这个反比例函数图像上，这个 b 点也是同理的，对不对啊？那么既然要求 a 的 值，我们能不能带到这个 反比例函数里面去啊？不能，对不对？只能带到哪个？只能带到这个一次函数这个解析式里面去啊，把这个 a 点带进去啊，带进去。 好，我这写的啊，也就是说带你去得到这个 a 怎么样？ a 它是等于 x 等于一，就是负二加上几啊，加上六，那等于几啊？ a 它是等于四的，对不对啊？ a 等于四 好，然后得到 a 等于四了之后，那么这个点 a 的 坐标是不是就写出来了？点 a 的 坐标就是多少，就是一和四。 然后这个点 a 刚刚讲呢，它既在一次函数图像上，又在反比例函数图像上，所以咱们把这个点 a 的 坐标带到反比例函数的解析式里面去，就可以求出 k 的 值，也就是得到这个反比例函数的解析式，对不对啊？好，咱们带进去啊，带进去也就是 y 是 几啊？ y 是 四啊，就是四。 四等于多少等于一分之 k， 那 么就是值多少就是 k， 那 k 就 等于四，所以反比例函数的解析式解析式就是 y 等于 x 分 之四啊。第一问啊，非常简单。好，咱们来看一下这个。第二问， 第二问，它求哪个？求三角形 a、 b、 o 的 面积，求三角形 a、 b、 o 的 这个面积。 那么首先咱们来观察下这个三角形啊，三角形 a、 b、 o 这个三角形它不特殊。 为什么说它不特殊？因为三角形 a、 b、 o 它没有任何一边是与这个已知坐标轴怎么样，它是重合的，懂意思不啊？所以咱们无法直接用底乘高除以二来算这个三角形的面积。那怎么办？想办法，咱们用大三角形减去小三角形的面积就可以啦，对不对？所以咱们写一下啊， 就可以用这个 s 等一下啊， s 三角形这个 a、 b、 o 啊， a、 b、 o 的 面积，它就会表示为，用这个 s 三角形大的这个 a、 o、 e 啊，三角形 a、 o、 e 的 面积减去哪一个？减去这个下面这个小的这个 b、 o、 e 的 面积啊，减去这个 s 三角形 b、 o、 e 的 面积。好，那么我要用这个面积等于它减它的时候，我们就怎么样？先算这个前面个 a、 o、 e 的 面积。 a、 o、 e 的 面积怎么算？ 它是不是这个有一个边和 x 轴是重合的，所以说这个底边就是这个 e 点的这个横坐标，也就是这个一次函数与 x 的 这个交点，这个是点 e 啊，我加上去的啊，点 e 的 这个横坐标 为底，那么高，就是 a 点的什么坐标？就是 a 点的重坐标，这个 a 点的坐标，咱们又知道对不对？所以咱们第一步怎么样？要算出这个 e 点的这个坐标？怎么算？ e 点是这个啊，依次函数与 x 的 一个交点， 此时它特不特殊啊？特殊？特殊在哪里？它对应的哪个？对应的这个 y 等于多少？等于零，也就是当 y 等于零的时候啊，写这边啊，当 y 等于零的时候，对应的这个一次函数的这个 x 的 值啊，就是负二 x 加上六啊，解的这个 x 等于几啊？ 写的这个 x， 它是等于三的，对不对？ x 等于三，所以这个点 e 的 坐标就是这个啊，三和零对不对？所以这个 o e 怎么样？ o e 的 长度咱们就可以知道了。 那么这个三角形 a o e 的 面积表示出来就轻而易举了，对不对？好写啊，等于多少？等于这个等一下啊，重写一下， 等于这个，这个比等于二分之一，底是多少？底就是三，再乘以多少，乘以这个高，高是多少呢？高就是这个 a 点的纵坐标，就乘以这个四啊，乘以这个四，再减去后面是哪个？后面是三角形这个 b o e 的 面积。 b o e 和这个 a o e 其实差不多啊，因为它也有一个边， o e 怎么样和 x 重合，就说这个底，就是这个一点的这个横坐标，咱们是算出来的。那么现在还差哪个？差这个三角形 b o e 的 一个高，它的高就是 b 点的什么坐标呢？就是这个 b 点的这个纵坐标，所以说咱们要算出这个点 b 的 坐标， 那么点 b 的 坐标怎么算？刚才这个题目里面咱们说了啊，这个 a 点和 b 点，它是这个反比例函数与依次函数的一个两个交点，所以说咱们把这个两个函数怎么样 的解析式？连立一个二元一次方程组就可以了，对不对啊？好，连立一个二元一次方程组。这写啊， 写出来也就是先用一次函数，就是 y 这个比啊， y 等于负二， x 怎么样？负 x 加上六啊，反比例函数是 y 等于 x 分 之 k 啊，哎，不对， x 分 之四， x 分 之四。解得这个解很简单，我就不解了，解得 x 其中一个啊，其中一个 x 一 怎么样？它是等于一的啊，等于一的，然后 y 一 等于几啊？等于四，另外一个 x 二，它是等于二，然后 y 二它也是等于二的， 所以说咱们把它分类啊，一个是一和四，那么一和四刚好怎么样？就是对应了咱们这个 a 点的这个坐标，就说另一个坐标就是二和二，所以点 b 的 坐标就是 二和二。好，那么点 b 的 坐标都知道了，咱们这个三角形 b、 o、 e 的 中坐标是不是就是多少？就是这个点 b 的 中坐标就是二。好，就直接写啊， 等于二分之一，底乘高等于二分之一，乘以底是一样的啊，底还是几啊？底还是三，然后乘以高，高是多少？高就是这个二。好，咱们来算一下啊，这边这里直接算啊， 这个比啊，三四十二对不对？除以二等于多少？等于六啊？这边是约分，是三，六减三等于几啊？六减三等于三，所以说这个三角形 a、 b、 o 的 面积就是多少，就是三。好好，今天这道题啊，咱们就讲完了，大家听懂了吗？

新学期再也不用担心孩子没有课后同步练习题了，理想树的初衷必刷题来了！同步二零二六春新教材，紧跟老师上课节奏，老师讲完一节课，孩子就练一课时，巩固课上学道的知识。先刷基础，再刷题升题目都是按知识点分类好了 哪里不会刷哪里。题型囊括全国各地期中、期末中考真题。按照教育局新通知规定，杜绝偏题怪题，都是新考法、新趋势、新考向一书三册附赠狂退重点，提前课前预习学练结合答案单独成册，详细解析，方便孩子批改对照。家里有初中生的家长，可以给孩子提前准备起来了。

九年级数学基础学行不行就去做一下和平卷，来检验一下咱家孩子这个基础学咋样啊？因为和平卷的话，这次考试还是挺简单的，他那个题出的都不是很难，就包括压轴题也 不是很难。然后呢，各位家长，如果说和平区的家长，咱家孩子数学如果答的不行，答的不好，那就说明他，要不然就是做题他这个习惯有问题， 如果出现马虎情况，那就是坐的习惯有问题，这个假期得练练套卷啊，不刷套卷的话，他这个可能改不过来。然后再有一个呢，就是真要是答的不好的话， 那就是他学的不太好啊。分成几种情况啊？各位家长，这是我的这些学员当中的几种情况。首先第一种学员呢，我这回和平区有很多学员考的都非常好， 有史以来最高分，为啥确实他要简单一些，然后呢，这些东西他也学，学明白，学透了他就做对了呗。还有一种情况是什么？就是我也感觉非常简单，我感觉太简单了，这题我做的也都挺好，但是分出来发现不是那回事，啥原因呢？哎呀，这家伙看错个线段，这，这是马虎了啊。如果说次次考试这样，那不是马虎， 如果说是只有这回是这样，那确实马虎了，可以原谅啊，但是下回不能出现这种情况了。还有一种情况是啥呢？仍然考的不好啊，但是差哪了？差过程了说，老师，我之前这东西都这么去那个写的呀，我这东西写的都是对的呀，那为什么这回就给我扣分了呢？啊？就是因为过程不标准，不规范，这又是一种情况，所以这几个都是什么？他 学的还行，这些题我都能说出个一二三四五来，我能做出来。但还有一种情况，如果真就是分还是极低，不咋会，那孩子就是学的不到位，这个假期，这个一轮复习一定得抓起来了啊。不管是哪一种情况，这个假期我们一定要把重点放在一轮复习，还有我们的写题过程上边，如果写题过程从 从来没扣过分， ok， 你 可以不用去练，但是过程你老是差那么一点，老是差那么一点。这个假期道道题写过程，不管你是这个什么填空选择呀，填空选择他也有过程啊，那玩意不是嘣出来的吧？那就得有过程， 你简简单单写在旁边，把你思路能说出来也够用，但是你要是胡噜阿嘟，这个假期过去了，又完蛋了。所以各位家长可以告诉一下咱家孩子，这个假期尤为重要，真是最后一次机会了。如果我们想冲我们县级段所适配高中的上一档的高中，就必须这个假期削尖了脑袋往前冲啊！ 为啥？削尖脑袋给自己坚持着阻力，所有对自己学习有阻力的事干掉！过年可以玩几天之后的其他时间，用心去学。 啥叫用心去学？每一个题型自己做完之后保证能说出来才行，每一个自己不会的题，老师讲完之后保证自己能讲出来才可以，这个叫真正的过关，这叫真正的学习，一定要从舒适学习变成输出式学习才可以，只有这样的话，才能掌握的更深，才能更适配于现阶段那种中考的趋势。

初中生人手一本的五年中考三年模拟初中同步练习册终于拿到手了！各年级都有，语数英各科版本齐全，一套三本，根据最新教材编写，每章节的知识点都用词条的形式梳理的一目了然，包含概念、定理和例题讲解， 比课堂上讲的还详细。学完再做对应练习，先做基础夯实，再做能力提升，后面还有素养题，又综合拔高。每道题都是精选各地中考模考证题，让孩子实操实练， 重难题扫码可看视频讲解，不怕孩子学不会。答案解析也非常详细，孩子一看就能懂。家有初中生的闭眼入！

同学们好，这里是莹莹老师，今天呢，我们来讲厢房区期末考试啊，九年级下的，来我们一起做一下啊。 嗯，我们还是分成三个部分啊，选择，填空，然后后面的大题啊。来第一题我们看一下啊，相反数啊，相反数是什么啊？相加为零吗？对不对？所以选 a 啊，第一道题非常简单，第二道题他说属于轴对称 啊，属于轴对称，但不是中心对称的事，对不对？那你看啊，之前我们在上一套卷子的时候我就说过了，我说轴对称是什么？是我折叠，然后呢？左右两边可以完全重合，是轴对称， 中心对称，是旋转一百八十度之后和圆图形重合。那我们看一下 a 和 c 啊，还有四号 d， 他 们都是什么呢？既是轴对称，又是中心对称，我旋转一百八十度之后呢， 都可以与与原图形重合，那唯独啊，这个二号 b， 你 看一看里边这个是几个图点啊？这不是五个图点吗？单数，所以他不可能是对那个中心对称图形啊，所以这道题选什么？选择二号 b 啊？ 来第三题，科学计数法，来点四，看后边几位数啊，四位数，所以一点四乘以十的四次方，选择二号 b。 来， 他说下面主式图，对吧，这呢，这个图一个三个，选啥？选 c 啊，很简单了啊，来，我们看第五题啊，他咋说？嗯， bc 为五对不对？ ac 是 十三，所以马上能知道这是直角吗？那这个位置是几啊？十二， 所以弹进他 a， 这不就是 bc 比上 b a 吗？所以就是五比上十二，选择四号 d 啊。 来第六题，嗯，规律，那你就看呗，找黑色三角形呗，第一个有几个？一个，第二个呢？三个三角形，第三个呢？几个黑？一二三四五五个，第四个呢？一二三四五六七。好了， 其实找到这就还是一三五七九，是不是所以应该是二 n 减一啊？那所以第 n 个的时候对应的就是二 n 减一，那我们不是想求第十个吗？二乘十减一呗，等于十九，所以选择二号 b 啊， 来第七题啊，这个第七题与南杠的就不太一样了啊。这个第七题我们考察的是左加右减和上加下减，是不是 我里边的是左右，外边的是上下啊？嗯，所以左加右减对不对？我向右平一就减二，所以就是 y 等于 x 加一，又减减二 啊的平方，然后呢，我再向下平移两个单位再减二，是不是所以 y 就 等于 x 减一，括号的平方减三，找直接选 c。 嗯， 来第八题啊，第八题他怎么样？第八题他有个折叠，那我们观察一下啊，其实他这个折叠是什么？是三等分点，明白吧？嗯，所以这个位置要注意一下啊，三等分点，所以他考察了两个内容啊， 一个是平行线分线段成比例，还有一个其实他考察的是相似三角形，来，我们挨个看一下，像这种东西标记一下，提醒自己，我选的是错误的，对不对？先来看第一个，嗯， ab 比上。哎呀， am 比上 ab， 那 等于啥呀？等于 an 比上 ac， 没有毛病啊，他是你用平行线分线段去看的，还是用相似三角形去看的，都没有问题啊。 然后呢？二号 b 来看 ap， 这呢比上 mp ok， 他 就应该等于什么呀？ a q 比上 n q 啊，第二号 b 也是对的啊，来第三个， 他说什么 ab 比成 ac， 那 你看这是直角，其实我们说 ab 等于 ac 这块你可以看成是什么？ 看成的是散音，哎，口散音吧，对吧？角 a 对 不对？那它等于 am 比谁呀？比 an 对 不对？正常应该是 am 比 an 呢，但又因为是折叠 n q 是 不等于 an， 所以他也没有任何问题啊，所以 c 也是对的，他俩想表达的都是口算也 a， 然后这个位置是个等量替换啊。 来，接着我们看四号 d 啊，那其实这道题毋庸置疑应该选择四号 d 啊，那你看呗， a n 比谁啊？比 n q， 那 这道题应该是平行线分线的成比例啊，他应该等于 am 比 mp， 明白吗？但是绝对不可能等于 m n 比 p q， 为什么 m n 比 q q 呢？这个位置是相似三角形啊，应该是三角形 a n m 相似于三角形 a p q， 对 吧？啊，那 m n 比 b q 应该等于谁呀？等于 a m 比上 ap， 嗯，等于 a n 比上 a q， 明白了吧？嗯，所以四号 d 是 错的啊。来，接着看第九题， 旋转。嗯，记住啊，旋转这个问题其实我们也要进行做标记，首先要标边，其次要标角，因为旋转是什么？旋转有两个内容啊， 第一个，我们构成的是构成的是全等三角形吧，旋转前，旋转后，我们的三角形是完全全等的，对不对？所以在这个里头啊，看红色三角形和谁和蓝色三角形是全等三角形 啊。那么第二个问题是什么？我旋转前后啊，对应边， 对应边，会形成新的等腰三角形，新等腰三角形，等腰。 哎，三角形什么意思？看一下你旋转前后来以这个三角形为例， 嗯， a c 和 a e 是 不是旋转前和旋转后的边啊？对不对？中间这个角 e a c 是 旋转角吧。那么这个三角形形成的是新三角形吗？是什么三角形？等腰三角形，我们要着重注意一下这个东西啊。 来吧，那我们观察一下啊，来把该标记的标记一下啊，他说这是九十度，嗯，好，这也是九十度，对吧？嗯， a c 十二， ok， 这也是二，是不是？ 然后呢？ c f 是 一。嗯，来，接着我们再看啊，非常有意思的一个问题，那也就是说我们需要干什么啊？连接 a f， 知道我是怎么想的吗？啊，这有两个垂直看没看见啊，然后呢，这两条边还相等， 对吧？所以一定可能会构造出来这个折叠的模型啊，所以这是一。来，我们看一下三角形 a、 e、 f 与三角形 a、 c、 f 全不全等，全等啊，它俩相等对不对？斜边和斜边相等 h l 嘛，对不对？ 嗯，完事了，所以这也是一对吧。嗯，接着我们再看呢，那他俩其实这个位置啊，也就证明 a f 是 c e 的 垂直平分线，所以啊， 你既然是垂直平分线，所以他俩不相等吗？所以看，没看见。我放大一点啊，我放大一点看啊，所以观察一下 哪个三角形。三角形 e m f 与三角形什么 a、 e f， 他 俩什么关系啊？相似啊， 圈叉，圈叉，对吧？嗯，所以这是二，这是一，是不是？嗯，然后呢，我测我这个斜边不是根号五吗？是吧？ 嗯，来吧，那我们可以列出什么？你用相似三角形也行，你用弹进他也没问题啊。用弹进他，阿尔法啊，来，这个圈我们换成阿尔法 也没有问题，那么弹进他阿尔法等于谁啊？等于 e f 比上 a e， 嗯，好，等于一比二，那么弹进他阿尔法还等于谁啊？等于 m f 比上 e m， 他 也等于一比二，所以射，这是 a， 这是二 a， 对吧？同学们啊，这个位置是一好吗？二， a 的 平方加上 a 的 平方等于一，所以 a 等于什么？ a 等于五分之根号五， 所以二 a 就是 啥？那二 a 就是 五分之二倍的根号五。那又因为 e c 等于啥？ e c 等于二倍的 e m， 那 就是二。乘以五分之二倍的根号五等于五分之四倍根号五。同学们，所以选啥呀？ 嗯，选择 c， 对 吧？嗯，他其实是有一定的。嗯，有点难度啊，但是没有那么太难。好吧，来看第十题啊，他这道题其实运用的就是相似喽。 嗯，其实第十题同样我们也运用的是相似知识点啊，他这套题出的比南杠的要难一点点，我个人觉得啊，来看一下啊，第十题好吗？来看，马上六十度， 他俩相等，嗯，所以三角形马上知道了 a、 e、 d 是 什么，等边三角形，所以马上来继续标记六十六十对不对？接着标， ok， 一 百二，一百二，对吧？ 嗯，然后呢，人家又说了，哎呀，我这个角啊， b f g 等于啥？等于他俩相加，他俩相加是多少度？一百二嘛， 是不是因为三角形内角和一百八呀？这不他加他吗？是不是所以就一百八减六十度，所以等于一百二十度啊？哎，所以标上这是一百二。来，那我们继续标，你看这个位置，我说他是而法，可以吧？那这就是六十减而法。 嗯，继续标，那这也是 r 法， ok， 这也是六十减 r 法，所以观察一下红色三角形，嗯，和蓝色三角形看见了吧，也就是三角形。 d f b 与三角形谁呀？ e， f g 咋的相似， 对吧？所以由此可得，原来 df 呀，这是 x， 对 不对？比上谁？ e g， 这不是 y 吗？啊，等于谁比谁啊？等于 b d 比 e f， 嗯，好了，来吧，他给了我们一个关于 x 和 y 的 关系式，也就是什么呢？当 x 等于二分之三十， y 等于四分之五啊，对吧， 来吧，把里把这个东西往里带，是不是 d e 是 谁啊？ x， 那 就是二分之三 啊，比上四分之五除四分之五呗。哎呀，等于啥呀？ b d， 人家条件给我们了吧。 b d 是 三， ok， 那 就这位置是三来接着看，所以就等于三除以谁？ e f 不知道，放着 好了，那就二分之三乘以五分之四约掉，约掉二等于三比一 f， 也就是六比五等于三比一 f， f 得几啊？等于，嗯，六分之十五约分二分之五用三约的啊， 有没有问题？同学们，嗯，六，一 f 等于十五啊，一 f 等于六分之十五，对吧？用三约二和五，没毛病啊。来，出来了，二分之五，所以看啊。同学们， 这个位置是啥？二分之五，那这个位置刚才算的是啥？二分之三，所以啊，第一等于什么？二分之三加二分之五等于四， ok， 它是一个边长为四的等边 算吧。那此时他的面积是多少啊？四乘作高呗，这是二，二倍根号三，二倍根号三乘二分之一，约等于四倍根号三，所以选什么？选 a， 嗯， 可以吗？同学们，要是有不会的可以私信问我啊，然后要是想要这个原件的话，就评论区问我。嗯，就可以。好，那我们一会再接着上传填空啊，这是以上十个题。

这是一道有关于我们徐州的中考题，若函数 y 等于 x 方减二， x 加 b 的 图像与坐标轴有三个交点，则 b 的 取之范围是？题目中提到的是叫坐标轴。 我们知道坐标轴分为 x 轴和 y 轴，这里面呢，给大家画一个草图， y 轴两个轴的焦点呢，是坐标原点。想要是三个焦点的话，那么 y、 x 轴应该有两个， 与 y 轴是横有一个，对吧？那么 x 轴所占的数量就是两个，此时 b 方减四， a， c 应该大于零了。我们来看一下这道题啊， 解字，因为我们的 b 方呢，减四， a， c 要大于零，才能保证。二次函数与坐标轴有三个交点， b 的 值是负二， a 是 一， c 是 b， 那 么四减去四， b 就 大于零，负四 b 呢，大于负四， b 除以负一，要变号， b 应该是小于一。 但是大家不要忽略一种情况啊， 当 x 轴的交点与 y 轴重合的时候，这种情况要给它排除掉。 本情况呢，是二次函数过圆点，当 x 等于零， y 等于零时，那么原方程呢，就变成零等于零的平方，减二乘零，再加 b， 算出零等于 b， b 等于零，要把这种情况呢给它排除掉，理由是什么呢？当 y 轴的这个焦点与 x 轴的某一个焦点重合时，尽管 b 方减 c， c 仍然大于零，但是焦点的数量却只有两个了， 那么 b 就 小于一，且 b 呢，不能等于零，等于零的时候呢，有两个焦点不符合题意，把这种情况呢给它排除掉。最终呢，选择的是 a 选项。

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